7/22/2019 PRO2_U2_EA_AURS

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LICENCIATURA EN MATEMATICAS

CUARTO CUATRIMESTRE

MATERIA: PROBABILIDAD II

FACILITADOR: JORGE GARCIA NIEVA

ALUMNO: AURELIO RUIZ SALAZAR

UNIDAD II

EVIDENCIA DE APTRENDIZAJE. RESOLUCION DE UN PROBLEMA

UN CASO DE LAINDUSTRIA

Mxico, D.F., a 03 de abril de 2014.

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Evidencia de aprendizaje. Resolucin de un problema Un caso de la industria

Instrucciones: Lee detenidamente el planteamiento que a continuacin se presenta,

e indica si el procedimiento relaciona a variables aleatorias y discretas. Anota tus

conclusiones y enva el archivo siguiendo las instrucciones indicada en la

evidencia de aprendizaje dentro del programa desarrollado.

Un caso en la industria

Antiguamente en las primeras etapas del desarrollo de la tecnologa electrnica, se

usaba soldadura para ensamblar los componentes. En virtud de que se aplicaban

en caliente, pueden originarse esfuerzos como el colgado, deformacin y fatiga del

metal. Se realiza un estudio del uso de amalgamas como alternativas de soldadura.

Una amalgama es una aleacin de metal lquido con un polvo, y que se mezclan a

temperatura ambiente. Se obtienen los siguientes datos sobre el tiempo de curacin

en minutos (X)) y la dureza (Y) de una amalgama de galio, nquel y cobre, por medio

del coeficiente de correlacin

Indique si el procedimiento relaciona ambas variables.

x(Tiempo de curacin) y(Dureza en unidades de durometro %)

5 9

1500 68

2000 87

4200 91

5800 95

SOLUCION I.

El coeficiente de correlacin de Pearson nos dir el grado de relacin entre lasvariables, su clculo es el de la covarianza de las variables X e Y dividida entre elproducto de las desviaciones estndar de X e Y; asimismo, el coeficiente decorrelacin de dos variables aleatorias es un nmero real con el que se mide elgrado o estado de dependencia lineal que existe entre ellas, definindose como el

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nmero (x,y)=

, considerando que las varianzas son nicamentepositivas y finitas. Por lo tanto a continuacin se calcula lo siguiente:

Cov (x,y)=E(XY)-E(X)E(Y), de donde se calcula la sumatoria del producto de x*y

de la siguiente manera:

E(XY)= =

=

=241849, el cual es la

sumatoria del producto de las dos variables.

E(X)= =

=

=2701, resultado de la sumatoria de la

variable x.

E(Y)= = = =70, es el resultado de la variable y.Cov (x,y)=E(XY)-E(X)E(Y)=241849-2701*70=241849-2701*70=241849-189070=52779, es el clculo de la covarianza, y posteriormente se calcula lavarianza de x de la siguiente manera:

Varianza x=E()E=-= -= 7295401=11506005-7295401=4210604 y anlogamente, secalcula la desviacin estndar de x.

Desviacin estndar ==2051.975633=2051.975633

Varianza =E()E=-= -= 4900=5916-4900=1016, es el resultado de la varianza de y, y posteriormente ladesviacin estndar de y.

Desviacin estndar ==31.8747549=31.8747549Una vez habiendo calculado los datos anteriores, se vacan en la siguiente tabla:

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TABLA I

TIEMPO DE

CURACION EN

MINUTOS

DUREZA EN %

(X) (Y)1 5 9 45 25 81 7268416 3721

2 1500 68 102000 2250000 4624 1442401 4

3 2000 87 174000 4000000 7569 491401 289

4 4200 91 382200 17640000 8281 2247001 441

5 5800 95 551000 33640000 9025 9603801 625

TOTALES 13505 350 1209245 57530025 29580 21053020 5080

MEDIAS 2701 70 241849 11506005 5916

VARIANZA 4210604 1016 52779

DESVIACIN 2051.975633 31.8747549

n X*Y i^2 i^2 (ii^2 ()2

Finalmente, se procede a calcular el coeficiente de correlacin de las variables x e y, de la

siguiente manera:

(x,y)=

=

=

=0.8069

SOLUCION II.

Asimismo, podemos utilizar la siguiente expresin matemtica

(x,y)==

=

; asimismo, se puede

proceder a efectuar los siguientes clculos:

= = = =2701= = = =70

=(5-2701)(9-70)+(1500-2701)(68-70)+(2000-2701)(87-70)+(4200-2701)(91-

70)+(5800-2701)(2701)(95-70)=164456+2402-11917+31479+77475=263895

=+ ++ + = 7268416+1442401+491401+2247001+9603801=21053020,por lo tanto:

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==4588.357004 =++++=3721+4+289+441+625=5080

==71.27411872Toso los datos calculados se muestran en la tabla II

TIEMPO DE

CURACION

EN

MINUTOS

DUREZA EN

%

(X) (Y)

1 5 9 45 25 81 7268416 3721 1644562 1500 68 102000 2250000 4624 1442401 4 2402

3 2000 87 174000 4000000 7569 491401 289 -11917

4 4200 91 382200 17640000 8281 2247001 441 31479

5 5800 95 551000 33640000 9025 9603801 625 77475

TOTALES 13505 350 1209245 57530025 29580 21053020 5080 263895

MEDIAS 2701 70 241849 11506005 5916

VARIANZA 4210604 1016 52779

DESVIACIN 2051.97563 31.8747549

n X*Y i^2 i^2 (ii^2 ()2 (ii()

Finalmente el clculo del coeficiente de correlacin se calcula de la siguiente

manera:

(x,y)=

=

=

=0.8069

SOLUCION III

Tambin se puede utilizar la siguiente expresin matemtica:

= = , para lo cual se puede calcular lossiguientes datos:

=(5*9)+(1500*68)+(2000*87)+(4200*91)+(5800*95)=45+102000+174000+382200+551000=1209245

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=6+1500+2000+4200+2800=13505=9+68+87+91+95=350=5*5+1500*1500+2000*2000+4200*4200+5800*5800=25+2250000+4000000+17640000+33640000=57530025

=182381025 9*9+68*68+87*87+91*91+95*95=81+4624+7569+8281+9025=29580==122500Estos datos se pueden observar en la tabla II, y sirven para calcular la siguiente

expresin matemtica:

= = = =

=

=

=0.8069

Despus de haber realizado los clcu los del c oefic iente d e co rrelac in de las

variables de x e y, el resultado entre las tres soluciones planteadas,

l legamo s a la conclusin en cuanto a que sel proc edimientos relacin

ambas v ar iables es verdadero y por lo tanto el co ef ic iente de relacin entrelas dos var iables es elevado, por lo se conc luye que tenemo s qu e la dureza

de amalgama y el t iemp o d e curacin t iene una relacin m uy al ta, en este

caso la tenemo s d el 80.69%, lo que sig nif ica q ue las v ariables estn b astante

relacionadas, pero no del todo , debido a qu e decir que son comp letamente

relacionad as s eran s i el coeficien te de cor relacin =1, como se mu estraen las sigu ientes g raf icas d e dispers in:

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Se obs erva en las d os graficas que las variables x e y, estn b astante

relacionad as al 80.69% y lo qu e signif ic a que la dur eza de amalgam a y elt iempo de cu racin t iene un a relacin mu y al ta.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2000 4000 6000 8000

DUREZA EN % (Y)

DUREZA EN % (Y)

0

10

20

30

40

50

60

70

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0 2000 4000 6000 8000

DUREZA EN % (Y)

DUREZA EN % (Y)