Distribución de Poisson:

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de

Poisson es una distribución de probabilidad discreta que

expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la

probabilidad de que ocurra un determinado número de

eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se

especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con

probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a

conocer en 1838 en su trabajo.

Propiedades:

Donde:

k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la

función nos da la probabilidad de que el evento suceda

precisamente k veces).

λ es un parámetro positivo que representa el número de

veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un

intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene

lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos

interesados en la probabilidad de que ocurra k veces

dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un

modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.

e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

Ejemplos:

Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene

encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de

que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan

encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de

Poisson. En este caso concreto, k es 5 y, λ, el valor esperado

de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo

tanto, la probabilidad buscada es

Grafica:

Distribución de Poisson

El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida

en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son

solo guías para el ojo y no indican continuidad.

Función de probabilidad

Distribución de Bernoulli

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de

Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por

el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es

una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1

para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad

de fracaso ( ).

Si es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos",

y se realiza un único experimento con dos posibles

resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable

aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .

La fórmula será:

Su función de probabilidad viene definida por:

Propiedades:

Varianza:

Función generatriz de momentos:

Función característica:

Moda:

0 si q > p (hay más fracasos que éxitos)

1 si q < p (hay más éxitos que fracasos)

0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que

de éxitos)

Ejemplo;

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga

cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles:

el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso

(q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen

en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0

(ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que

cumple todos los requisitos.

DIFERENCIA ENTRE POISSON Y BERNOULLI

BERNOULLI:

La distribución binomial mide el número de éxitos en una

secuencia de n ensayos Bernoulli. El número de ensayos es

fijo, es por tal razón que el recorrido de la variable aleatoria

va desde 0 hasta n. Cosa que no ocurre en la distribución de

Poisson cuyo recorrido va desde 0 a infinito.

EJEMPLO:

En una fábrica de ampolletas se sabe que la probabilidad de

que una ampolleta este defectuosa es de 0,2. Si se revisa

una caja de 70 ampolletas, ¿cuál es la probabilidad de que

existan 6 ampolletas defectuosas?. En este caso existe un

límite de ampolletas defectuosas por las que nos podrían

preguntar (70). Cada ampolleta que se revise en la caja

puede resultar defectuosa o no defectuosa (sólo 2 resultados

posibles).

POISSON

La distribución de Poisson se utiliza para obtener

probabilidades de ocurrencia dentro de un marco continuo

(conociendo una tasa de ocurrencia por unidad de peso,

volumen, tiempo, etc.). El recorrido de la variable Poisson va

de 0 a infinito, no se limita como la distribución Binomial.

EJEMPLO:

Se sabe que el número de llamadas telefónicas que recibe

una central telefónica es de 5 llamadas por minuto. ¿Cuál es

la probabilidad de que se reciban 7 llamadas en 3 minutos?

Una pista para responder problemas con distribución Poisson:

la unidad de medida (en este caso tiempo) sobre la cual nos

preguntan es en base a 3 minutos, pero nos dan la tasa de 5

llamadas por 1 minuto. Lo que hay que hacer es expresar la

tasa en base al mismo tiempo sobre el cual nos preguntan.

En este caso lambda=5*3. Y la función quedaría así

P(x=7)=15^7[exp(-15)]/7!

Y si nos preguntaran: ¿Cuál es la probabilidad de que se

reciban 7 llamadas en 4 minutos?, la función quedaría así:

P(x=7)=20^7[exp(-20)]/7!