7/24/2019 Problema Recta Tangente

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Hallar ecuacin de la recta tangente al grfico de

y=x3-9x2+36x que sea perpendicular?a la recta 4y-8x+13=0. Determine adems el punto de tangencia. halle adems la ecuacin de la

recta normal en dicho punto de tangencia. Gracias!

:y = x - 9x + 36x

La pendiente de cualquiera de las tangentes a su curva viene dada por la derivada, entonces

y ' = 3x - 18x + 36

Calculemos la pendiente de la recta

4y - 8x + 13 = 0

4y = 8x - 13

y = (8x - 13) / 4y = (8/4)x - (13/4)

y = 2x - (13/4)

Su pendiente es

m = 2

por tanto la pendiente de la tangente pedida ser (recuerda la condicin de perpendicularidad entre

dos rectas)

n = -1 / m

n = -

As, esa pendiente ser

y ' = -3x - 18x + 36 = -

3x - 18x + (73/2) = 0

Resolvemos la cuadrtica y as obtenemos las abscisas de los puntos en donde la tangente es

perpendicular a la recta dada:

x = [ 18 (324 - 438) ] / [ 2(3) ]

x = [ 18 (-114) ] / 6

Como el discriminante de la ecuacin es negativo (el radicando es negativo) entonces no hay

valores reales de "x" que satisfagan la ecuacin (es decir que la ecuacin no tiene solucin dentro

de los nmeros reales), por lo que la respuesta al ejercicio es sencilla: La curva

y = x - 9x + 36x

NO tiene rectas tangentes que sean perpendiculares a la recta

4y - 8x + 13 = 0

y por tanto no se pueden determinar ni puntos de tangencia ni mucho menos la ecuacin de la

recta normal all.

Otro anlisis:

Se observa que la derivada

7/24/2019 Problema Recta Tangente

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y ' = 3x - 18x + 36

es una funcin siempre positiva:

y ' = 3(x - 6x + 12)

{cundo es y ' > 0?}

3(x - 6x + 12) > 0

x - 6x + 12 > 0x - 6x + 9 + 3 > 0

(x - 3) + 3 > 0

(x - 3) > -3

lo cual se cumple para todo "x", porque cualquier nmero elevado al cuadrado es siempre positivo

o 0 y cualquier valor positivo o 0 es mayor que -3... {hemos comprobado que la derivada es

siempre positiva}

Como la derivada es siempre positiva, la pendiente de cualquier tangente a la grfica de "y" ser

(obviamente) siempre positiva. Requerimos que la pendiente tome un valor negativo (-,

recuerdas?), pero esto no es posible... los valores de la pendiente siempre son positivos,

entonces demostramos que en efecto el ejercicio no tiene solucin. No hay puntos de "y" cuya

tangente sea perpendicular a la recta.