Pruebe la desigualdad triangular para la norma asociada con un productointerno.Demostracion:Sean x, y X.Si y = 0 entonces la desigualdad es trivial. Por lo tanto supong-amos que y 6= 0. a) x + y 2= x 2 +2 | x, y | + y 2i)Demostremos que | x, y | x y Sea t K, tenemos entonces que:0 x yt, x yt = x +tx, y+ ty, x+ | t | y En particular si t =

x, yy2 se tiene que:

0 x 2 2 | x, y |2

y2 +| x, y |2y2 = x

2 | x, y |2

y2Con lo que tenemos la desigualdad deseada:| x, y | x 2 y 2Regresando a la parte a), tenemos por lo tanto que: x + y 2= x 2 +2 | x, y | + y 2 x 2 +2 x y + y 2= ( x + y )2

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