PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACIÓN DE POLILIBRO

Probabilidad Axiomática y conjuntos

1. Al estudia a 100 estudiantes femeninos de una escuela, se observa que 60 visten pantalón, 50 usan lentes y 30 visten pantalón y usan lentes. Si se selecciona a una de ellas al azar, encontrar la probabilidad de que:

a) No use lentes a) 0.25 b) 0.58 c) 0.5 ok d) 0.63b) Vista pantalón pero no use lentes a) 0.27 b) 0.3 ok c) 0.38 d) 0.42c) Ni vista pantalón ni use lentes a) 0.2 ok b) 0.26 c) 0.15 d) 0.3

2. Una caja de 100 paquetes contiene 10 con defectos del tipo A, 5 con defectos del tipo B y 2 con defectos de ambos tipos. Si se extrae un paquete al azar, encontrar la probabilidad de que:

a) No tenga defectos a) 0.83 b)0.92 c) 0.70 d) 0.87 okb) Tenga un defecto cualquiera, pero no los dos defectos a) 0.09 b) 0.11 ok

c) 0.15 d) 0.17

3. En un lote de 100 tornillos se tienen 10 defectuosos de la cabeza, 8 defectuosos de la cuerda y 4 con ambos defectos. Si se selecciona un tornillo al azar, calcular la probabilidad de que:a) Sólo tenga defecto de cuerda a) 0.75 b) 0.80 c) 0.82 d) 0.86 okb) No tenga ningún defecto a) 0.04 ok b) 0.1 c) 0.09 d) 0.01

4. Sean los eventos A y B de un mismo espacio muestral, tales que P(A) = 0.7, P(Bc)=0.6, P(AB) = 0.9. Calculara) P(AB) a) 0.2 ok b) 0.1 c) 0.15 d) 0.18b) P(A-B) a) 0.4 b) 0.55 c) 0.47 d) 0.5 okc) P(AcBc) a) 0.75 b) 0.7 c) 0.8 ok d) 0.85

5. Se sabe que en un proceso P(AB) = 7/8; P(AB) = ¼ y P(Ac) = 5/8. Calcular:a) P(B) a) 0.75 ok b) 0.70 c) 0.65 d) 0.8b) P(ABc) a) 0.1 b) 0.2 c) 0.125 ok d) 0.15

6. Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0.5, P(B) = 0.3 y P(AB) = 0.1. Calcular la probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos sucesos.a) 0.6 ok b) 0.5 c) 0.4 d) 0.7

7. Sean A y B eventos tales que P(Ac) = 0.6 y P(B) = 0.5. Calcular P(A-B) cuando:a) P(AcBc) = 0.8 a) 0.2 ok b) 0.25 c) 0.15 d) 0.17b) A y B son mutuamente excluyentes a) 0.44 b) 0.42 c) 0.35 d)

0.4 ok

8. Supóngase que A y B son eventos tales que P(A) = 3/9, P(B) = 5/9 y P(AB) = 1/9. Determinar:

a) P(AcBc) a) 6/9 b) 8/9 ok c) 7/9 d) 5/9b) P(AcBc) a) 4/9 b) 2/9 ok c) 3/9 d) 1/9c) P(ABc) a) 1/9 b) 3/9 c) 4/9 d) 2/9 ok

9. Se toma al azar un número entero de entre los primeros 30 enteros positivos ¿Cuál es la probabilidad de que el entero seleccionado sea divisible entre cuatro o seis?.a) 1/3 ok b)2/3 c)1/2 d)1/4

10. De 100 estudiantes de una escuela 15 estudian biología, 60 estudian física y 5 estudian ambas materias. Si se selecciona un estudiante al azar, encontrar las siguientes probabilidades:

a) No estudie biología a) 0.85 ok b) 0.8 c) 0.78 d) 0.88b) No estudie física a) 0.36 b) 0.45 c) 0.4 ok d) 0.43c) Estudie biología o física a) 0.7 ok b) 0.68 c) 0.65 d) 0.72d) Estudie biología pero no física a) 0.14 b) 0.12 c)0.1 ok d) 0.08e) No estudie ni biología ni física a)0.25 b) 0.28 c) 0.3ok d) 0.32

PROBLEMAS DE ANÁLISIS COMBINATORIO

1. ¿De cuántas maneras distintas se puede llenar una planilla de pronósticos deportivos que contiene 13 encuentros y cada encuentro tres opciones? R=1’594,323

a) 1’482,862 b) 1’594,323 ok c) 1’833,245 d) 1’633,231

2. Si una examen consta de 12 preguntas de verdadero o falso ¿De cuántas maneras distintas puede contestar el examen un estudiante con una respuesta a cada pregunta?a) 4,024 b) 4,056 c) 4,096 ok d)5,008

3. ¿De cuantas maneras se pueden plantar 6 árboles en un círculo?a) 120 ok b) 126 c) 130 d) 128

4. Si el Sr. López invita a cenar a 5 personas ¿De cuántas formas los puede sentar a la mesa?

a) 20 b) 22 c) 26 d) 24 ok

5. ¿Cuántas señales diferentes pueden formarse con 12 banderas colocadas en línea, si se tienen 5 rojas, 4 verdes y 3 negras?

a) 28,450 b) 27,720 ok c) 27,976 d) 28,040

6. ¿Cuántas cifras de 6 números pueden formarse con los dígitos del 1 al 9, si cada dígito no puede repetirse en una cifra?

a) 60,480 ok b) 60,120 c) 60,936 d) 60,638

7. En una sala de espera hay 4 asientos. Si llegan 6 personas a la sala ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse?

a) 360 ok b) 390 c) 340 d) 320

8. Un inspector de la Secretaría de Comercio tiene que visitar 6 comercios para revisar las básculas ¿De cuántas maneras puede hacer sus visitas?

a) 750 b) 740 c) 720 ok d) 730

9. Cierta sustancia se forma mezclando 5 líquidos distintos. Se propone vertirlos ordenadamente, probando todas las formas posibles a fin de establecer cual da mejor resultado ¿Cuántas pruebas deben hacerse?

a) 100 b) 120 ok c) 126 d) 150

10. ¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la palabra completa que empiecen con c y terminen con a?

a) 720 ok b) 700 c) 680 d) 650

11. ¿De cuántas maneras distintas pueden extraerse 2 cartas de una baraja de 40 cartas: a) Sin reemplazo a) 1,460 b) 1,400 c) 1,500 d) 1,560 okb) Con reemplazo a) 1,520 b) 1,580 c) 1,600 ok d) 1,660

12. ¿De cuántas formas se pueden colocar en un estante 5 libros de matemáticas, 4 de física y 3 de química, si los libros de cada materia deben permanecer juntos?

a) 34,000 b) 34,560 ok c) 34,200 d) 34,840

13. Si hay 9 corredores en un maratón ¿En cuántas formas diferentes pueden ocupar el primero, segundo y tercer lugar?

a) 460 b) 504 ok c) 480 d) 520

14. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 3 hombres y 4 mujeres en una fila:a) Sin restricciones? a) 4,920 b) 4,840 c) 5,000 d) 5,040 ok

b) Si dos personas no deben quedar juntas? a) 3,600 ok b) 3,700 c) 3,650d) 3,550

c) Si se acomodan alternadamente hombres y mujeres? a) 120 b) 144 okc) 130 d) 152

15. Se tienen 7 matrimonios y se desea sentar a todas las personas en una fila ¿De cuántas maneras se puede hacer sí:

a) Si los del mismo sexo deben quedar juntos? a) 52’810,200 b) 48’326,864c) 51’200,100 d) 50’803,000 ok

b) Alternando los sexos? a) 51’735,960 b) 50’803,000 ok c) 52’361,210d) 49’880,972

c) Por matrimonio? a) 10,000 b) 10,520 c) 10,280 d) 10,080 ok

16. A un porcicultor le ofrecen un alimento nuevo con el que supuestamente los cerdos tienen una mejor conversión de alimento a carne. El porcicultor decide probar la

eficiencia del alimento, para lo cual selecciona aleatoriamente dos cerdos de una zahurda que contiene 11 ¿De cuántas forma puede hacer la selección?a) 52 b) 55 ok c) 48 d) 58

17. Para surtir un pedido se envía una caja con las siguientes camisa: dos de talla 30, 3 de talla 32 y 4 de talla 34. ¿En cuántas elecciones de 3 camisas se incluirá una de cada talla? R=24

a) 24 ok b) 28 c) 32 d) 16

18. Un lote de 10 televisores contiene 3 defectuosos ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 4 televisores que contengan al menos 2 defectuosos?

a) 60 b) 70 ok c) 65 d) 75

19. En una reunión ejecutiva de una empresa hay 2 ingenieros, 4 químicos y 10 licenciados ¿De cuántas formas se puede nombrar una comisión formada por un ingeniero, 2 químicos y 4 licenciados?

a) 2,600 b) 2,560 c) 2,480 d) 2,520 ok

20. En un salón hay 7 hombres y 4 mujeres, de los cuales se van a seleccionar 6 personas ¿De cuántas formas se pueden seleccionar si deben participar:

a) Dos mujeres a) 180 b) 210 ok c) 220 d) 250

b) Cuando menos dos mujeres a) 360 b) 342 c) 371 ok d) 390

21. ¿Cuántos comités de 4 personas se pueden formar de un grupo de 5 hombres y 4 mujeres:

a) Sin restricciones? a) 130 b) 126 ok c) 120 d) 122

b) Si deben participar dos hombres y dos mujeres? a) 60 ok b) 50 c) 56d) 64

c) Si deben estar en el comité un hombre y una mujer que fueron previamente seleccionados? a) 26 b) 28 c) 30 d) 21 ok

22. De 6 jugadores de tenis se van a seleccionar 4 para formar el equipo representativo de un país ¿Cuántas formas diferentes hay de formar el equipo sí:

a) Un jugado determinado debe ser seleccionado? a) 8 b) 10 okc) 12 d) 14

b) Deben incluirse dos jugadores determinados en la selección? a) 6 ok b) 4c) 8 d) 10

c) Cierto jugador no debe ser incluido? a) 3 b) 4 c) 5 ok d) 6

23. Una cooperativa agrícola-ganadera está constituida por 20 agricultores y 10 ganaderos. Se va a formar una comisión de 5 personas para que asistan a un Congreso regional ¿de

cuántas maneras puede formarse la comisión si todos deben realizar la misma actividad?

a) 14,864 b) 15,756 ok c) 15,210 d) 15,460

24. De 7 ingenieros y 5 administradores se va a formar un comité de 3 ingenieros y dos administradores. ¿De cuántas maneras pude formarse dicho comité sí:

a) Un administrador determinado debe pertenecer al comité? a) 128b) 136 c) 150 d) 140 ok

b) Dos ingenieros determinados no pueden pertenecer al comité? a) 100 okb) 104 c) 108 d) 112

25. Si se tienen 12 libros ¿De cuántas maneras diferentes pueden:a) seleccionarse 5 libros? a) 800 b) 808 c) 780 d) 792

b) acomodarse 5 libros en un estante? a) 95 040 ok b) 95 200 c) 94 936d) 95 098

26. Una urna contiene 5 boletos numerados 1, 2, 3, 4, 5. Se extraen 3 boletos sin reposición:

a) ¿De cuántas maneras puede hacerse la extracción? a) 56 b) 58c) 60 ok d) 62

b) En cuántas de ellas aparece el boleto 3? a) 36 ok b) 40 c) 44d) 46

27. Una urna contiene 6 fichas numeradas del 1 al 6 ¿Cuál es la probabilidad de sacarlas en su orden natural si se extraen aleatoriamente una por una y sin reemplazo?

a) 0.00203 b) 0.00138 ok c) 0.00171 d) 0.00193

28. Una urna contiene 2 bolas negras, 3 blancas y 4 rojas. Si extraemos las bolas una a una y sin reemplazo, encontrar la probabilidad de extraer al principio las dos bolas negras, luego las tres bolas blancas y al final las 4 rojas.

a) 0.0007256 b) 0.000694 c) 0.000642 d) 0.0007936 ok

29. Hay 10 personas para ocupar una planilla de tres puestos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona específica esté en la planilla?a) 0.25 b) 0.3 ok c) 0.28 d) 0.32

30. Se tienen 20 neumáticos, de los cuales 3 son defectuosos. Si se seleccionan 4 neumáticos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que uno de ellos sea defectuoso?a) 0.421 ok b) 0.392 c) 0.405 d) 0.447

31. Una persona tiene 10 llaves, de las cuales sólo una abre la puerta. La persona prueba las llaves una por una seleccionándolas al azar y elimina las que no abren. Calcular la probabilidad de que la quinta llave probada sea la que abre el candado.a) 0.08 b) 0.09 c) 0.1 ok d) 0.15

32. Una empresa tiene dos proveedores A y B de cierta pieza que utiliza en la manufactura de uno de sus productos. El área de control de calidad extrae aleatoriamente un lote de 5 piezas de cada uno de los proveedores y las junta. Si de las 10 piezas se eligen 6 al azar ¿Cuál es la probabilidad de que 4 provengan del proveedor A y 2 del proveedor B?a) 0.193 b) 0.238 ok c) 0.202 d) 0.289

33. Un automóvil de 6 cilindros tiene 2 bujías defectuosas. Un mecánico quita dos bujías para revisarlas ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Las dos quitadas sean las defectuosas? a) 1/15 ok b) 2/15 c) 3/15 d) 4/15b) Una esté defectuosa? a) 6/15 b) 8/15 ok c) 10/15 d) 5/15c) Ninguna esté defectuosa? a) 5/15 b) 4/15 c) 2/15 d) 6/15 ok

34. Supóngase que una urna contiene 4 canicas blancas, 3 rojas y una negra. Se eligen 3 canicas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Haya una canica negra? a) 0.308 b) 0.375 ok c) 0.402d) 0.428

b) Las 3 sean del mismo color? a) 0.0642 b) 0.0935 c) 0.0893 ok d) 0.1018c) Haya por lo menos dos blancas? a) 0.45 b) 0.5 ok c) 0.59 d) 0.62

35. Al arribar un avión a un aeropuerto se bajan 8 velices, 10 maletas y 7 cajas. Si se eligen 3 objetos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que se entreguen en el siguiente orden:

a) Primero dos velices y después una caja? a) 0.0284 ok b) 0.0321 c) 0.0202 d) 0.0250

b) Una caja, una maleta y un veliz? a) 0.0391 b) 0.0493 c) 0.0406 okd) 0.0356

36. Se va a seleccionar un comité de 3 personas a partir de las 5 siguientes A, B, C, D, E. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Sea seleccionado B? a) 0.52 b) 0.6 ok c) 0.78 d) 0.71b) Sean seleccionados A y B? a) 0.10 b) 0.15 c) 0.3 ok d) 0.21c) No sean seleccionados ni A ni C? a) 0.2 b) 0.1 ok c) 0.25

d) 0.30

37. De 6 números positivos y 8 negativos se eligen 4 números al azar y se multiplican ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea un número positivo?a) 0.5045 ok b) 0.6168 c) 0.3529 d) 0.8127

38. Suponga que 2 refrigeradores defectuosos han sido incluidos en un envío de 6. El comprador prueba los refrigeradores uno por uno. ¿Cuál es la probabilidad de que el último refrigerador defectuoso se encuentre en la cuarta posición? R=0.2a) 0.11 b) 0.31 c) 0.20 ok d) 0.45

39. Hay 12 doctores en ingeniería, de los cuales se seleccionan 6 al azar para ser contratados ¿Cuál es la probabilidad de que entre los 6 vayan los 2 mejores del grupo de 12?

a) 0.1581 b) 0.2273 ok c) 0.3749 d) 0.4165

40. Un lote consta de 10 artículos buenos, 5 con pequeños defectos y 3 con defectos graves. Se eligen 2 artículos al azar sin sustitución. Encontrar la probabilidad de que entre estos últimos:a) Los 2 artículos sean buenos? a) 0.0903 b) 0.2941 ok c) 0.1566

d) 0.3942b) Un artículo sea bueno? a) 0.3524 b) 0.5228 ok c) 0.4722 d) 0.6892c) Al menos un artículo sea bueno? a) 0.8169 ok b) 0.7581 c) 0.6145

d) 0.9132d) Ningún artículo tenga defectos graves? a) 0.7245 b) 0.4523 c) 0.5167

d) 0.6863 ok

41. Se selecciona 3 frutas al azar de una canasta que contiene 4 manzanas, 15 peras y una naranja. Calcular la probabilidad de que se elija: a) La naranja a) 0.08 b) 0.15 ok c) 0.29 d) 0.37b) Por lo menos dos manzanas a) 0.009 b) 0.1028 c) 0.0877 ok d) 0.2142c) Una naranja y 2 manzanas. a) 0.0354 b) 0.00526 ok c) 0.0827

d) 0.0105

42. Si se tienen 5 estudiantes denominados A, B, C, D, E ¿Cuál es la probabilidad de que: a) C y D queden de vecinos? a) 0.4 ok b) 0.3 c) 0.2 d) 0.6b) C y D no queden de vecinos? a) 0.6 ok b) 0.35 c) 0.42 d) 0.5c) A, B y C queden de vecinos? a) 0.42 b) 0.15 c) 0.2 d) 0.3 ok

43. La urna I contiene 2 bolas blancas y 2 bolas negras, mientras que la urna II contiene 2 bolas blancas y 4 negras. a) Si se extrae al azar una bola de cada urna ¿Cuál es la probabilidad de que resulten

del mismo color? a) 0.27 b) 0.36 c) 0.5 ok d) 0.41b) Si se elige al azar una urna y se extraen sucesivamente y sin reemplazo 2 bolas

¿Cuál es la probabilidad de que resulten del mismo color? a) 0.51 b) 0.62c) 0.31 d) 0.4 ok

44. En una urna se tienen 20 canicas numeradas del 1 al 20. Si se extraen 3 canicas, encontrar la probabilidad de sacar las canicas numeradas del 1 al 3 en cualquier orden si las extracciones se hacen: a) Con reemplazo a) 0.00075 ok b) 0.0092 c) 0.026 d) 0.102b) Sin reemplazo a) 0.000105 b) 0.011 c) 0.0027 d) 0.000877 ok

45. Un librero contiene 4 novelas, 3 libros de poemas y un diccionario. Si se seleccionan 3 libros al azar ¿Cuál es la probabilidad de que uno de ellos sea el diccionario?a) 0.408 b) 0.375 ok c) 0.503 d) 0.628

46. De un grupo de 7 personas se eligen 5 para asistir a una asamblea. Pedro y Jesús pertenecen al grupo ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos asista a la asamblea?a) 0.0476 ok b) 0.0836 c) 0.1006 d) 0.0098

47. El día de las elecciones llegan a una casilla electoral 10 votantes, de los cuales 5 son del partido A, 3 del partido B y 2 del partido C. Si se seleccionan 5 votantes al azar ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 del partido A, 2 del partido B y uno del partido C?a) 0.105 b) 0.473 c) 0.325 d) 0.238 ok

48. En un grupo de 17 personas hay 7 altos, 6 medianos y 4 de baja estatura. Si se seleccionan 4 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que haya un alto, 2 medianos y uno de baja estatura?a) 0.3174 b) 0.2842 c) 0.1765 ok d) 0.2133

49. Un vendedor de automóviles tiene 10 autos nuevos, 3 del modelo A, 2 del modelo B y 5 del modelo C. ¿Cuál es la probabilidad de vender 2 automóviles del mismo modelo si todos tienen la misma posibilidad de ser vendidos?a) 0.3111 ok b) 0.2122 c) 0.2956 d) 0.4266

50. De un grupo de 7 estudiantes se seleccionan 2 al azar para que participen en un trabajo de investigación. Se sabe que de los 7 estudiantes hay 2 que son amigos. ¿Cuál es la probabilidad de que:a) Sean seleccionados los 2 amigos? a) 0.0088 b) 0.0476 ok c) 0.1023

d) 0.09835b) Sea seleccionado uno de los amigos? a) 0.4762 ok b) 0.3125 c) 0.3958

d) 0.5642c) No sea seleccionado ningún amigo? a) 0.3167 b) 0.2148 c) 0.4762 ok

d) 0.5167

51. En una habitación hay 12 personas que tienen insignias numeradas del 1 al 12. Se eligen 3 personas al azar para que salgan de la habitación y se anotan los números de las insignias. ¿Cuál es la probabilidad de que el número menos de las insignias sea 8?P = 0.02727a) 0.00534 b) 0.02727 ok c) 0.1025 d) 0.09346

PROBABILIDAD CONDICIONAL

1. Se ha descubierto que la averción a las matemáticas es de tal magnituda que la probabilidad de que una persona comprenda la primera lección es 0.2. Si la persona comprende la primera lección, la probabilidad de que comprenda la segunda es de o.9. ¿Cuál es la probabilidad de que comprenda las 2 lecciones?a) 0.32 b) 0.09 c) 0.25 d) 0.18 ok

2. Una caja contiene 4 resistencias defectuosas y 6 buenas. Se extraen 2 resistencias al azar de la caja. Se prueba la primera resistencia y se ve que es buena ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda también sea buena?a) 1/4 b) 1/3 ok c) 1/5 d) 3/8

3. El 30% de los estudiantes de una escuela reciben calificaciónB. De todos los estudiantes que reciben calificación B, el 40% son mujeres ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione al azar un estudiante que sea nujer con calificación B?a) 0.12 ok b) 0.22 c) 0.31 d) 0.082

4. Las autoridades de tránsito de una ciudad quieren hacer que se respeten los límites de velocidad utilizando radares en los lugares A1, A2, A3, A4. La probabilidad de que funcione cada uno de los radares es, respectivamente, 0.4, 0.3, 0.2 y 0.1. Una persona que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo, tiene respectivamente las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2 de pasar por esoso sitios, haciéndose acreedor a una infracción. ¿Cuál es la probabilidad de que le levanten una infracción?

a) 0.15 b) 0.23 ok c) 0.31 d) 0.39

5. En una fábrica de pernos las máquinas A, B y C fabrican, respectivamente, 25%, 35% y 40% de la producción total. Se sabe que cada máquina da un 5%, 4% y 25 de pernos defectuosos. Si se escoge un perno al azar de la producción total y resulta defectuoso ¿De cuál máquina es más probable que proceda?a) máquina A b) máquina B ok c) máquina C d) máquinas A y C

6. Se van a realizar unas pruebas sismológicas en el campo a las 8:00 horas. La probabilidad de que llueva 2 horas antes es 0.8. Si llueve, se estima que la probabilidad de que se puedan realizar las pruebas es 0.75. Si no llueve, la probabilidad de que se puedan realizar las prácticas es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que no se puedan realizar las pruebas?a) 0.15 b) 0.28 ok c) 0.092 d) 0.39

7. En una tienda se venden 3 tipos de refrigeradores llamados A, B, y C. Los porcentajes de cada tipo que llegan en los pedidos son 40% de A, 50% de B y 10% de C. Se sabe que de la marca A el 3% de los refrigeradores son defectuosos, de la marca B el 2% y de la marca C el 4%. Si se selecciona un refrigerador al azar:a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?a) 0.026 ok b) 0.112 c) 0.213 d) 0.0042b) Si el refrigerador seleccionado es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que sea

de la marca A?a) 0.1287 b) 0.8345 c) 0.5162 d) 0.4615 ok

8. La probabilidad de que un estudiante use microbús para ir de su casa a la escuela es de 0.65 y la probabilidad de que use metro es 0.35. El 30% de las veces que usa microbús llega tarde a la escuela y el 40% de las veces que usa metro también llega tarde.a) ¿Cuál es la probabilidad de que un día determinado el estudiante llegue a tiempo a

la escuela?a) 0.553 b) 0.665 ok c) 0.428 d)0.3564b) Si el estudiante llegó a tiempo a la escuela ¿cuál es la probabilidad de que haya

usado el metro?a) 0.2156 b) 0.3158 ok c) 0.4963 d) 0.5124

9. Los hombres que asisten a una fiesta van vestidos de: traje, sport o deportivo. El 45% visten traje, el 35% sport y el 20% deportivo. Se observa que es de color café el 2% de los trajes, el 3% de los sport y el 1% de los deportivos. Si se selecciona a una persona al azar y se ve que va vestido de color café ¿Cuál es la probabiliodad de que vista sport?a) 0.4883 ok b) 0.5861 c) 0.3765 d) 0.2147

10. Un estudiante contesta una pregunta que ofrece 4 soluciones posibles en un examen de opción múltiple. La probabilidad de que el estudiante sepa las respuestas a las preguntas es 0.8. Además, la probabilidad de seleccionar de seleccionar la respuesta correcta al azar es de 0.25. Si el estudiante contesta correctamente la pregunta ¿Cuál es la probabilidad de que realmente sepa la respuesta correcta?a) 0.6528 b) 0.7869 c) 0.9411 ok d) 0.8215

11. Se tienen 2 urnas llamadas A y B. La urna A tiene 4 bolas blancas y 3 rojas, y la urna B tiene 2 bolas blancas y 5 rojas. Se elige una urna al azar y se extrae una bola también al azar.a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?a) 0.5849 b) 0.2156 c) 0.3721 d) 0.4286 okb) Si la bola resulta blanca ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la urna A?

P = 2/3a) 1/3 b) 2/3 ok c) 3/8 d) 2/5

12. Hay 3 urnas con los siguientes datos: La urna A contiene 3 bolas rojas y 5 blancas, la urna B contiene 2 bolas rojas y una blanca y la urna C contiene 2 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de la urna. Si la bola es roja ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la urna A?.a) 0.26 ok b) 0.35 c) 0.42 d) 0.51

13. Se ha desarrollado una prueba nueva para detectar el cáncer. Al aplicarla se encontró que el 95% de los enfermos con cáncer dieron reacción positiva y sólo el 2% de los que no tenían cáncer dieron reacción positiva. Si se sabe que el 7% de la población tiene cáncer, encontrar la probabilidad de que una persona no tenga cáncer si dio reacción positiva a la prueba.a) 0.1972 b) 0.1517 c) 0.2185 ok d) 0.3246

14. Las autoridades de tránsito de una ciudad quieren hacer que se respeten los límites de velocidad utilizando radares en los lugares A1, A2, A3 y A4. La probabilidad de que funcione cada uno de esos radares es, respectivamente, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1. Una persona que conduce a exceso de velocidad rumbo a su trabajo tiene probabilidades 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2 de pasar por esos sitios, haciéndose acreedor a una infracción. ¿Cuál es la probabilidad de que le levanten una infracción?a) 0.16 b) 0.23 ok c) 0.35 d)0.42

15. Se sabe que en una escuela el 95% de los alumnos que estudian antes de el examen lo aprueban, mientras que el 2% de los alumnos que no estudian también lo aprueban. Si

el 60% de los alumnos sí estudian ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar no haya estudiado si se sabe que aprobó el examen?.a) 0.0941 b) 0.0032 c) 0.0138 ok d) 0.1125

16. En una Universidad el 60% de los alumnos son hombres. El 30% de los hombres y el 50% de llas mujeres estudian en el turno matutino. Si se selecciona un alumno al azar:a) ¿Cuál es la probabilidad de que no estudie en el turno matutino? P = 0.62a) 0.75 b) 0.45 c) 0.53 d) 0.62 okb) Si se sabe que un alumno estudia en el turno matutino ¿cuál es la probabilidad de

que sea hombre?a) 0.7142 b) 0.4051 c) 0.4737 ok d) 0.5248

17. Una persona tiene dos automóviles: un compacto y otro grande. Para ir a su trabajo utiliza el compacto el 75% de las veces y el auto grande el 25%. El 65% de las veces que utiliza el automóvil compacto y el 60% de las que utiliza el carro grande llega a su trabajo a más tardar a las 8:00 horas. Si cierto día llega a su trabajo después de las 8:00 horas ¿Cuál es la probabilidad de que haya usado el automóvil compacto?a) 0.632 b) 0.724 ok c) 0.582 d) 0.491

18. En una glorieta desembocan las calles A y B. El 65% de los autos que circulan por la calle A son conducidos por hombres y el 75% de los autos que circulan por la calle B son conducidos por mujeres. También se sabe que el 43% de los conductores de ese lugar son mujeres. Si se selecciona un automóvil al azar en la glorieta y se ve que procede de la calle B ¿Cuál es la probabilidad de que sea conducido por una mujer? a) 0.6178 ok b) 0.5349 c) 0.4982 d) 0.7027

19. Se sospecha que la contaminación producida por una planta industrial puede retardar el crecimiento de los árboles de un bosque cercano. Una investigación indica que la probabilidad de la presencia de contaminante es 0.6 y de que haya crecimiento retardado dado que hay contaminación es 0.8. Calcular la probabilidad de que si hay crecimiento retardado, éste sea originado por contaminación.a) 0.7348 b) 0.8571 ok c) 0.6946 d) 0.5398

20. Sean los eventos: L: La persona lee la revista A; N: La persona no lee la revista A; H: La persona es hombre; M: La persona es mujer. Se tienen los siguientes datos: P(N) = 0.7; P(H) = 0.4; . Encontrar .a) 0.298 b) 0.345 c) 0.482 d) 0.525 ok

21. En una escuela se aplica un examen especial a los alumnos que cursan el primer año de licenciatura, con el objeto de verificar si son aptos o no para estudiar loa años subsecuentes, obteniéndose la siguiente información: de los alumnos que estudian satisfactoriamente el 80% aprobó el examen; de los que no estudian satisfactoriamente el 40% aprobó el examen. Si se sabe que el 70% de los alumnos de primer año estudian satisfactoriamente ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que aprobó el examen sea un estudiante que estudió satisfactoriamente?a) 0.6547 b) 0.7328 c) 0.8235 ok d) 0.9172

22. Un club está integrado por 70% de hombres y 30% de mujeres. Se sabe que el 25% de los hombres y el 55% de las mujeres fuman cigarro. Si se selecciona un socio al azar y se ve que fuma cigarro ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?.a) 0.4853 ok b) 0.5125 c) 0.6475 d)0.3128

23. Se tienen 2 cajas. La caja A contiene 9 cartas numeradas del 1 al 9 y la caja B contiene 5 cartas numeradas del 1 al 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta; si el número es par, hallar la probabilidad de que la carta proceda de la caja A.a) 0.6193 b) 0.3721 c) 0.4485 d) 0.5263 ok

24. Una compañía de seguros sabe, por experiencia, que el 30% de las personas que preguntan sobre pólizas de seguro de vida adquieren la póliza. Según los registros de la compañía, el 40% de los que adquieren la póliza tienen ingresos superiores a 10 mil pesos y el 20% de los que preguntaron sobre pólizas y no tomaron el seguro de vida, tienen el mismo nivel de ingresos.a) Una persona que pidió informes sobre póliza de seguro de vida tenía ingreso de 15

mil pesos ¿Cuál es la probabilidad de que tome un seguro de vida?a) 0.38 b) 0.62 c) 0.46 ok d) 0.51b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que toma informes sobre póliza de

seguro de vida y gana 8 mil pesos, tome seguro de vida?a) 0.3128 b) 0.1047 c) 0.1981 d) 0.2432 ok

25. Se tienen los escritorios A y B, cada uno con 2 cajones. El escritorio A tiene una moneda de oro en un cajón y una de plata en el otro, mientras que el escritorio B tiene una moneda de oro en cada uno de los cajones. Se escoge un escritorio al azar y de él un cajón también al azar. Si la moneda que se encuentra en el cajón es de oro ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del escritorio B?.a) 2/7 b) 2/8 c) 2/3 ok d) 2/5

26. Hay 3 fabricantes A, B y C que proveen cierto transistor a una empresa que produce televisores. Las probabilidades de que un transistor provenga de cada uno de los fabricantes es 0.25, 0.50 y 0.25, respectivamente, y las probabilidades respectivas de que el transistor funcione correctamente durante un período de tiempo especificado son 0.1, 0.2 y 0.4.a) Si se selecciona un transistor al azar, calcular la probabilidad de que funcione

durante el período de tiempo especificado.a) 0.225 ok b) 0.337 c) 0.483 d) 0.158

b) Si el transistor funcionó durante el período de tiempo especificado ¿De qué fabricante es más probable que provenga?

a) De la fábrica C b) De las fábricas B y C c) De las fábricas A y Cd) De las fábricas A y B ok

27. De los artículos producidos diariamente por una fábrica, el 30% provienen de la línea automatizada, el 40% de la línea mecanizada y el 30% de la línea semiautomática. El 80%, 80% y 90% de las líneas antes mencionadas son buenos. Los artículos producidos por las 3 líneas se mezclan y ya no se puede saber la línea que lo produjo. Se escoge un

artículo al azar de la producción diaria y resulta ser bueno ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la línea semiautomática?a) 0.2347 b) 0.1542 c) 0.3253 ok d) 0.7128

28. Se tiene la siguiente información: en la caja A hay 3 bolas negras, 2 blancas y 5 rojas; en la B hay 4 bolas negras, 5 blancas y 7 rojas; y en la caja C hay 3 bolas negras, 5 blancas y 8 rojas. Suponga que A tiene el doble de posibilidad de ser seleccionada que B y que C tiene 2/3 partes de oportunidad de ser seleccionada que A. Si se selecciona una caja al azar y se saca una bola también al azar ¿Cuál es la probabilidad de que si es roja provenga de la caja B?a) 0.1536 b) 0.2079 ok c) 0.3125 d) 0.4267

29. Sean los eventos independientes A y B con P(A)=1/2 y 2/3. Calcular:a) P(B)a) 1/3 ok b) 2/3 c) 3/7 d) 3/5b)a) 1/5 b) 1/3 ok c) 1/4 d) 2/5c)a) 2/3 ok b) 2/5 c) 1/4 d) 3/7

30. Sean A, B y C tres sucesos independientes, con P(A) = 0.2, P(B) = 0.4 y P(C) = 0.5. Determinar . Resolverloa) b) c) d)

31. En una ciudad el 70% de las personas compran un periódico matutino y el 90% un vespertino. Suponiendo que estos dos eventos son independientes ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad seleccionada al azar compre ambos periódicos?a) 0.51 b) 0.63 ok c) 0.47 d) 0.71

32. Supóngase que A y B son dos sucesos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad de que A ó B ocurra es 0.6, mientras que la probabilidad de que A ocurra es 0.4, calcular la probabilidad de que B ocurra.a) 1/4 b) 1/3 ok c) 2/5 d)1/2

33. Se encontró que al manufacturar un artículo, la probabilidad de que se presente el defecto A es 0.1 y la probabilidad de que se presente el defecto B es 0.05. Si los defectos son independientes ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo esté libre de defectos?a) 0.682 b) 0.743 c) 0.855 ok d) 0.902

34. Suponga que el siguiente espacio muestral es un espacio equiprobable. Se definen los siguientes eventos: , , .a) Diga si los eventos A, B y C son mutuamente excluyentesa) No son mutuamente excluyentes ok b) Sí son mutuamente excluyentesb) Diga si los eventos A, B y C son independientes

a) Son independientes b) Son dependientes ok

35. Lancemos una moneda legal 3 veces y analicemos la independencia o dependencia entre dos de los tres eventos siguientes: A: El primer lanzamiento es cara. B: El segundo lanzamiento es cara. C: Se lanzan exactamente dos caras seguidas.

a) Los eventos A y B son independientes, A y C son independientes y B y C son dependientes ok b) Los eventos A y B son dependientes, A y C son dependientes y B y C son dependientes c) Los eventos A y B son independientes, A y C son dependientes y B y C son independientes d) Los eventos A y B son dependientes, A y C son dependientes y B y C son independientes

36. Supóngase que A y B son dos eventos independientes del mismo espacio muestral S. Diga si Ac y Bc son independientes.a) Son independientes ok b) Son dependientes

37. Supóngase que A y B son dos eventos independientes del mismo espacio muestral S. Diga si A y Bc son independientes.a) Son independientes ok b) Son dependientes

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

1. De una caja que contiene 4 monedas de diez centavos y 2 de cinco centavos, se seleccionan al azar tres monedas sin remplazo. Construya la distribución de probabilidades de la variable aleatoria T: el total de las tres monedas.

t 20 25 30f(t) 1/5 3/5 1/5

ok

t 20 25 30f(t) 1/6 3/6 2/6

t 20 25 30f(t) 2/8 3/8 3/8

t 20 25 30f(t) 1/5 2/5 2/5

2. De una caja que contiene cuatro bolas negras y dos verdes, se extraen tres de ellas en forma sucesiva y se regresan a la caja antes de realizar la siguiente extracción. Encuentre la función de probabilidades de la variable aleatoria X: el número de bolas verdes.

x 0 1 2 3f(x) 8/27 12/27 6/27 1/27

okx 0 1 2 3

f(x) 5/27 8/27 8/27 6/27

x 0 1 2 3f(x) 7/27 8/27 8/27 4/27

x 0 1 2 3f(x) 9/27 10/27 5/27 3/27

x 0 1 2 3f(x) 6/27 9/27 9/27 3/27

3. Sea W una variable aleatoria que representa el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Haga una lista de los elementos del espacio muestral S para los 3 lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.

S = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, +++} okw = 3 1 1 1 -1 -1 -1 -3

S = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, +++}w = 3 2 2 1 -1 -2 -2 -3

S = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, +++}w = 3 1 2 2 -2 -2 -1 -3

S = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, +++}w = 2 2 2 0 -2 -2 -2 -3

4. Encuentre la distribución de probabilidades de la variable aleatoria W del ejercicio anterior, suponiendo que la moneda está alterada de manera que es doblemente probable que ocurra un cara que una cruz.w -3 -1 1 3

F(w) 1/27 6/27 12/27 8/27okW -3 -1 1 3

F(w) 2/27 5/27 10/27 10/27

w -3 -1 1 3F(w) 6/27 6/27 6/279 9/27

w -3 -1 1 3F(w) 1/27 8/27 10/27 8/27

5. Un envío de 7 aparatos de televisión contiene 2 defectuosos. Un hotel adquiere en forma aleatoria 3 de los aparatos. Si X es el número de aparatos defectuosos adquiridos por el hotel, encuentre la distribución de probabilidades de X.

x 0 1 2f(x) 10/35 20/35 5/35

okx 0 1 2

f(x) 15/35 15/35 5/35

x 0 1 2f(x) 10/35 15/35 10/35

x 0 1 2f(x) 15/35 15/35 5/35

6. Se extraen tres cartas sin reemplazo en forma sucesiva de un mazo. Encuentre la distribución de probabilidades del número de espadas.

x 0 1 2 3f(x) 703/1700 741/1700 234/1700 22/1700

okx 0 1 2 3

f(x) 603/1700 841/1700 134/1700 122/1700

x 0 1 2 3f(x) 703/1700 641/1700 334/1700 22/1700

x 0 1 2 3f(x) 803/1700 741/1700 134/1700 22/1700

7. Un dado tiene una cara roja, dos verdes y las tres restantes negras. Se lanza el dado una vez. Si sale rojo usted gana $2 y si sale verde gana $0.50. ¿Cuánto debería pagar usted si sale negro para que el juego fuera equitativo?a) 1.00 ok b) 1.20 c) 2.00 d) 1.50

8. El dado del ejercicio anterior se lanza dos veces. Si en los dos lanzamientos aparece el mismo color usted gana $11; en caso contrario pierde $7. ¿Cuál es el valor esperado de este juego?.a) 1.0 b) 0 ok c) 0.50 d) 0.75

9. Una caja contiene 4 bolas rojas y 6 azules. Se sacan 3 bolas sucesivamente con sustitución. Si usted gana $2 por cada bola roja y $1 por cada bola azul, ¿Cuánto debería pagar por el derecho a jugar para que el juego fuese equitativo?a) 1.90 b) 2.50 c) 4.20 ok d) 3.00

10. Si en el ejercicio anterior las tres bolas se sacan sin remplazo ¿Cuánto debería ser el pago por el derecho a jugar?a) 4.20 ok b) 5.30 c) 3.50 d) 4.90

11. La distribución de probabilidades de X, que es el número de defectos por cada 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de anchura uniforme, está dada por:

X 0 1 2 3 4f(x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01

Construya la función de distribución acumulada de X.

ok

12. Se sabe que un grupo de 4 componentes contiene 2 defectuosos. Un inspector prueba los componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Una vez encontrado el segundo defectuoso se concluye la prueba. Sea Y el número de pruebas necesarias hasta encontrar el segundo defectuoso. Encuentre la distribución de probabilidades de Y.

y 2 3 4f(y) 1/6 1/3 1/2

oky 2 3 4

f(y) 2/5 1/5 2/5

y 2 3 4f(y) 1/4 ¼ 2/4

y 2 3 4f(y) 1/3 1/3 1/3

13. Al examinar pozos de agua en un distrito, con respecto a dos impurezas encontradas frecuentemente en el agua potable, se encontró que el 20% de los pozos no revelaban impureza alguna, el 40% tenían la impureza A, y el 50% la impureza B (algunos tenían ambas impurezas.). Si se selecciona un pozo del distrito al azar, encuentre la distribución de probabilidades para Y: el número de impurezas encontradas en el pozo.

y 0 1 2f(y) 0.2 0.7 0.1

oky 0 1 2

f(y) 0.1 0.5 0.4

y 0 1 2f(y) 0.2 0.6 0.2

y 0 1 2f(y) 0.1 0.5 0.4

14. Considere un sistema de agua que fluye a través de válvulas de A a B. (Véase el diagrama).

Las válvulas 1,2 y 3 funcionan independientemente y cada una se abre correctamente mediante una señal con una probabilidad de 0.80. Encuentre la distribución de probabilidades para Y: el número de vías abiertas de A a B después de haber enviado la señal. (Obsérvese que Y puede tomar los valores 0, 1 y 2).

y 0 1 2f(y) 0.2 0.7 0.1

oky 0 1 2

f(y) 0.1 0.4 0.5

y 0 1 2f(y) 0.2 0.7 0.1

y 0 1 2f(y) 0.3 0.3 0.4

15. En un problema de una prueba aplicada a niños pequeños, se les pide que hagan corresponder cada uno de los tres dibujos de animales con la palabra que identifica a ese animal. Si un niño asigna en forma aleatoria las tres palabras a los tres dibujos, encuentre la distribución de probabilidades para Y: el número de correspondencias correctas.

Y 0 1 3f(y) 1/3 1/2 1/6

okY 0 1 3

f(y) 1/4 2/4 ¼

Y 0 1 3f(y) 2/5 2/5 1/5

Y 0 1 3f(y) 1/2 1/6 1/3

16. Cinco pelotas numeradas 1,2,3,4 y 5 se encuentran en una urna. Se sacan dos pelotas al azar de las cinco y se anotan sus números. Encuentre la distribución de probabilidades para lo siguiente:a) El mayor de los números seleccionadosx 2 3 4 5

f(x) 0.1 0.2 0.3 0.4ok

x 2 3 4 5f(x) 0.2 0.1 0.4 0.3

x 2 3 4 5f(x) 0.1 0.3 0.3 0.3

x 2 3 4 5f(x) 0.2 0.3 0.3 0.2

b) La suma de los dos números seleccionados. x 3 4 5 6 7 8 9

F(x) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1ok

x 3 4 5 6 7 8 9F(x) 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1

x 3 4 5 6 7 8 9F(x) 0.3 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1

x 3 4 5 6 7 8 9F(x) 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1

x 3 4 5 6 7 8 9F(x) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1

17. Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compañías tienen auditorías permanentes para verificar los asientos contables. Supóngase que los empleados de una compañía efectúan asientos erróneos en el 5% de las veces. Si un auditor verifica tres asientos al azar:a) Encuentre la distribución de probabilidades para Y: el número de errores

detectados por el auditor.Y 0 1 2 3

f(y) 0.857375 0.135315 0.007123 0.000127ok

Y 0 1 2 3f(y) 0.757375 0.235315 0.007123 0.000127

Y 0 1 2 3f(y) 0.957375 0.035315 0.007123 0.000127

Y 0 1 2 3f(y) 0.657375 0.335315 0.007123 0.000127

b) Encuentre la probabilidad de que el auditor detecte más de un error.P(Y>1) = 0.00725

a) P(Y>1) = 0.01253 b) P(Y>1) = 0.00725 ok c) P(Y>1) = 0.00125 d) 0.0937

18. A un trabajador de un establecimiento de lavado de automóviles se le paga según el número de autos que entran al servicio. Suponga que las probabilidades de que el trabajador reciba $7, $9, $11, $13, $15 o $17 son, respectivamente, 1/12, 1/12, ¼, ¼, 1/6 y 1/6. Determine la ganancia esperada del trabajador.a) 8.35 b) 10.71 c) 12.67 ok d) 11.25

19. Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos especiales, los cuales vencen al cabo de algunos años. Considerando que la función de distribución acumulada de X: número de años al vencimiento para un bono elegido al azar es:

Encuentre:a) P(X=5)

a) 1/4 ok b) 2/3 c) 1/2 d) 5/8b) P(X>3) R = 1/2

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/2 ok d) 1/5c) P(1.4<X<6) R = 1/4

a) 3/8 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/4 ok

20. Al invertir en unas acciones financieras, una persona puede lograr una ganancia de 4 mil pesos en un año, con probabilidad de 0.3 o bien tener una pérdida de mil pesos con probabilidad de 0.7. ¿Cuál será la esperanza esperada de esta persona? E(X) = $500

a) 450 b) 500 ok c) 550 d) 650

21. Una urna contiene 5 papeletas que no pueden distinguirse. Tres de ellas están marcadas con $2 y las dos restantes con $4 cada una. Un jugador saca al azar dos papeletas de la urna sin reposición y gana una cantidad igual a la suma de lo marcado en las dos papeletas que ha sacado. Si el costo del juego es de $5.60 ¿Se trata de un juego justo?a) Si es justo el juego ok b) No es justo el juego

22. Suponga que un comerciante de joyería antigua está interesado en comprar una gargantilla de oro, para la cual la probabilidad de poder venderla con una ganancia de $250, $150, al costo o bien con una pérdida de $150 son, respectivamente, 0.22, 0.36, 0.28 y 0.14. ¿Cuál es la ganancia esperada del comerciante?

a) 60 b) 70 ok c) 75 d) 90

23. Un sindicato, al negociar mejores salarios, considera que las probabilidades de que sus agremiados consigan un aumento de $1.50 por hora, $1.00 por hora, de $0.50 por hora o ningún aumento son, respectivamente, 0.40, 0.30, 0.20 y 0.10 ¿Cuál es el aumento esperado?

a) 4.00 b) 2.00 c) 3.00 d) 1.00 ok

24. A un importador le ofrecen un cargamento de máquinas en 140 mil pesos y las probabilidades de que las venda en $180 mil, $170 mil ó 150 mil son, respectivamente, 0.32, 0.55 y 0.13 ¿Cuál es la utilidad esperada del importador? R = 30,600

a) 30 600 ok b) 40 800 c) 51 630 d) 20 490