Problemas con Valor Inicial P.V.I.
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Problemas con Valor Inicial
P.V.I.
Veronica Briceno V.
Octubre 2013
Veronica Briceno V. P.V.I.
Pregunta:
Suponga que la funcion aceleracion de un movil es una funcioncontinua a(t), ¿es posible determinar la posicion, exacta, deeste objeto en cualquier instante t?
Veronica Briceno V. P.V.I.
Recordar:
Si y = f (t) es una funcion, entonces su derivada, es decir dydt ,
se puede interpretar como la razon de cambio de y conrespecto a x .
En todo proceso, fenomeno, o hecho de la naturaleza,observamos como las variables definidas y sus razones decambio se relacionan entre sı por medio de principioscientıficos basicos que gobiernan dicho proceso.En este capitulo estudiaremos la expresion analıtica de estarelacion que da como resultado las llamadas ecuacionesdiferenciales.
Veronica Briceno V. P.V.I.
Recordar:
Si y = f (t) es una funcion, entonces su derivada, es decir dydt ,
se puede interpretar como la razon de cambio de y conrespecto a x .En todo proceso, fenomeno, o hecho de la naturaleza,observamos como las variables definidas y sus razones decambio se relacionan entre sı por medio de principioscientıficos basicos que gobiernan dicho proceso.
En este capitulo estudiaremos la expresion analıtica de estarelacion que da como resultado las llamadas ecuacionesdiferenciales.
Veronica Briceno V. P.V.I.
Recordar:
Si y = f (t) es una funcion, entonces su derivada, es decir dydt ,
se puede interpretar como la razon de cambio de y conrespecto a x .En todo proceso, fenomeno, o hecho de la naturaleza,observamos como las variables definidas y sus razones decambio se relacionan entre sı por medio de principioscientıficos basicos que gobiernan dicho proceso.En este capitulo estudiaremos la expresion analıtica de estarelacion que da como resultado las llamadas ecuacionesdiferenciales.
Veronica Briceno V. P.V.I.
Ecuaciones Diferenciales
Definicion
Una ecuacion diferencial es una ecuacion en la que aparecenderivadas de una funcion desconocida.
Ejemplos:Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuales son ecuacionesdiferenciales e identifca las variables dependiente eindependiente.
dydx = 2x + 1x2 + y2 = 4dydx = 3
(dydx )
2 + cos(xy) = 0M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0f (t , y) = tnf (y)
Veronica Briceno V. P.V.I.
Ecuaciones Diferenciales
Definicion
Una ecuacion diferencial es una ecuacion en la que aparecenderivadas de una funcion desconocida.
Ejemplos:Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuales son ecuacionesdiferenciales e identifca las variables dependiente eindependiente.
dydx = 2x + 1x2 + y2 = 4dydx = 3
(dydx )
2 + cos(xy) = 0M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0f (t , y) = tnf (y)
Veronica Briceno V. P.V.I.
Ecuaciones Diferenciales
DefinicionUna ecuacion diferencial es una ecuacion en la que aparecenderivadas de una funcion desconocida.
Ejemplos:Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuales son ecuacionesdiferenciales e identifca las variables dependiente eindependiente.
dydx = 2x + 1x2 + y2 = 4dydx = 3
(dydx )
2 + cos(xy) = 0M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0f (t , y) = tnf (y)
Veronica Briceno V. P.V.I.
Ecuaciones Diferenciales
DefinicionUna ecuacion diferencial es una ecuacion en la que aparecenderivadas de una funcion desconocida.
Ejemplos:Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuales son ecuacionesdiferenciales e identifca las variables dependiente eindependiente.
dydx = 2x + 1
x2 + y2 = 4dydx = 3
(dydx )
2 + cos(xy) = 0M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0f (t , y) = tnf (y)
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Ecuaciones Diferenciales
DefinicionUna ecuacion diferencial es una ecuacion en la que aparecenderivadas de una funcion desconocida.
Ejemplos:Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuales son ecuacionesdiferenciales e identifca las variables dependiente eindependiente.
dydx = 2x + 1x2 + y2 = 4
dydx = 3
(dydx )
2 + cos(xy) = 0M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0f (t , y) = tnf (y)
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Ecuaciones Diferenciales
DefinicionUna ecuacion diferencial es una ecuacion en la que aparecenderivadas de una funcion desconocida.
Ejemplos:Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuales son ecuacionesdiferenciales e identifca las variables dependiente eindependiente.
dydx = 2x + 1x2 + y2 = 4dydx = 3
(dydx )
2 + cos(xy) = 0M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0f (t , y) = tnf (y)
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Ecuaciones Diferenciales
DefinicionUna ecuacion diferencial es una ecuacion en la que aparecenderivadas de una funcion desconocida.
Ejemplos:Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuales son ecuacionesdiferenciales e identifca las variables dependiente eindependiente.
dydx = 2x + 1x2 + y2 = 4dydx = 3
(dydx )
2 + cos(xy) = 0
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0f (t , y) = tnf (y)
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Ecuaciones Diferenciales
DefinicionUna ecuacion diferencial es una ecuacion en la que aparecenderivadas de una funcion desconocida.
Ejemplos:Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuales son ecuacionesdiferenciales e identifca las variables dependiente eindependiente.
dydx = 2x + 1x2 + y2 = 4dydx = 3
(dydx )
2 + cos(xy) = 0M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
f (t , y) = tnf (y)
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Ecuaciones Diferenciales
DefinicionUna ecuacion diferencial es una ecuacion en la que aparecenderivadas de una funcion desconocida.
Ejemplos:Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuales son ecuacionesdiferenciales e identifca las variables dependiente eindependiente.
dydx = 2x + 1x2 + y2 = 4dydx = 3
(dydx )
2 + cos(xy) = 0M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0f (t , y) = tnf (y)
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Problemas de Valor Inicial (P.V.I)
Definicion
Un Problema del Valor Inicial corresponde a un par, formadopor una ecuacion diferencial y una condicion.Como usualmente la variable independiente es el tiempo, yesta condicion se da para el tiempo inicial, recibe el nombre decondicion inicial.La solucion del P.V.I. la llamaremos solucion particular, puestoque es una sola funcion libre de la constante C.
Veronica Briceno V. P.V.I.
Problemas de Valor Inicial (P.V.I)
Definicion
Un Problema del Valor Inicial corresponde a un par, formadopor una ecuacion diferencial y una condicion.Como usualmente la variable independiente es el tiempo, yesta condicion se da para el tiempo inicial, recibe el nombre decondicion inicial.La solucion del P.V.I. la llamaremos solucion particular, puestoque es una sola funcion libre de la constante C.
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Problemas de Valor Inicial (P.V.I)
DefinicionUn Problema del Valor Inicial corresponde a un par, formadopor una ecuacion diferencial y una condicion.Como usualmente la variable independiente es el tiempo, yesta condicion se da para el tiempo inicial, recibe el nombre decondicion inicial.La solucion del P.V.I. la llamaremos solucion particular, puestoque es una sola funcion libre de la constante C.
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Problemas de Valor Inicial (P.V.I)
DefinicionUn Problema del Valor Inicial corresponde a un par, formadopor una ecuacion diferencial y una condicion.Como usualmente la variable independiente es el tiempo, yesta condicion se da para el tiempo inicial, recibe el nombre decondicion inicial.La solucion del P.V.I. la llamaremos solucion particular, puestoque es una sola funcion libre de la constante C.
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Ecuaciones Diferenciales
En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo:
dydx
= f (x)g(y)
llamadas ecuaciones en variables separadas.ESTRATEGIA:
1 Escribir la ecuacion como:
dyg(y)
= f (x)dx
2 Encontrar las antiderivadas.
El valor inicial de una ecuacion nos permitira evaluar laconstante C.
Veronica Briceno V. P.V.I.
Ecuaciones Diferenciales
En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo:
dydx
= f (x)g(y)
llamadas ecuaciones en variables separadas.ESTRATEGIA:
1 Escribir la ecuacion como:
dyg(y)
= f (x)dx
2 Encontrar las antiderivadas.
El valor inicial de una ecuacion nos permitira evaluar laconstante C.
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Ecuaciones Diferenciales
En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo:
dydx
= f (x)g(y)
llamadas ecuaciones en variables separadas.ESTRATEGIA:
1 Escribir la ecuacion como:
dyg(y)
= f (x)dx
2 Encontrar las antiderivadas.
El valor inicial de una ecuacion nos permitira evaluar laconstante C.
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Ecuaciones Diferenciales
En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo:
dydx
= f (x)g(y)
llamadas ecuaciones en variables separadas.ESTRATEGIA:
1 Escribir la ecuacion como:
dyg(y)
= f (x)dx
2 Encontrar las antiderivadas.
El valor inicial de una ecuacion nos permitira evaluar laconstante C.
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Ecuaciones Diferenciales
En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo:
dydx
= f (x)g(y)
llamadas ecuaciones en variables separadas.ESTRATEGIA:
1 Escribir la ecuacion como:
dyg(y)
= f (x)dx
2 Encontrar las antiderivadas.
El valor inicial de una ecuacion nos permitira evaluar laconstante C.
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Ecuaciones Diferenciales
En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo:
dydx
= f (x)g(y)
llamadas ecuaciones en variables separadas.ESTRATEGIA:
1 Escribir la ecuacion como:
dyg(y)
= f (x)dx
2 Encontrar las antiderivadas.
El valor inicial de una ecuacion nos permitira evaluar laconstante C.
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Ecuaciones Diferenciales
En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo:
dydx
= f (x)g(y)
llamadas ecuaciones en variables separadas.ESTRATEGIA:
1 Escribir la ecuacion como:
dyg(y)
= f (x)dx
2 Encontrar las antiderivadas.
El valor inicial de una ecuacion nos permitira evaluar laconstante C.
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Ejemplos
Resolver:
1 dydx = 2x + 1
2 dydx = eyxy(0) = 1
3 y ′ =√
xy4 xy + y ′ = 100x5 dy
dx = xyy(0) = 1
2
Veronica Briceno V. P.V.I.
Ejemplos
Resolver:
1 dydx = 2x + 1
2 dydx = eyxy(0) = 1
3 y ′ =√
xy4 xy + y ′ = 100x5 dy
dx = xyy(0) = 1
2
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Ejemplos
Resolver:
1 dydx = 2x + 1
2 dydx = eyxy(0) = 1
3 y ′ =√
xy
4 xy + y ′ = 100x5 dy
dx = xyy(0) = 1
2
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Ejemplos
Resolver:
1 dydx = 2x + 1
2 dydx = eyxy(0) = 1
3 y ′ =√
xy4 xy + y ′ = 100x
5 dydx = xyy(0) = 1
2
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Ejemplos
Resolver:
1 dydx = 2x + 1
2 dydx = eyxy(0) = 1
3 y ′ =√
xy4 xy + y ′ = 100x5 dy
dx = xyy(0) = 1
2
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dydx = 3
La solucion de esta ecuacion diferencial, es:
y = 3x + C
Graficamente...
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Ejercicios Propuestos
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:1 x ′ = et − 2t
t2−1
2 (x2 + 9)y ′ + xy = 03 dy
dx = 2xe−y
4 x ′ = 1+tt2x2
5 x ′ = et+x
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Ejercicios Propuestos
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:1 x ′ = et − 2t
t2−12 (x2 + 9)y ′ + xy = 0
3 dydx = 2xe−y
4 x ′ = 1+tt2x2
5 x ′ = et+x
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Ejercicios Propuestos
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:1 x ′ = et − 2t
t2−12 (x2 + 9)y ′ + xy = 03 dy
dx = 2xe−y
4 x ′ = 1+tt2x2
5 x ′ = et+x
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Ejercicios Propuestos
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:1 x ′ = et − 2t
t2−12 (x2 + 9)y ′ + xy = 03 dy
dx = 2xe−y
4 x ′ = 1+tt2x2
5 x ′ = et+x
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Ejercicios Propuestos
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:1 x ′ = et − 2t
t2−12 (x2 + 9)y ′ + xy = 03 dy
dx = 2xe−y
4 x ′ = 1+tt2x2
5 x ′ = et+x
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A continuacion...
Resolveremos las ecuaciones diferenciales mas simples,asociadas a estos Problemas de Valor Inicial (P.V.I) quemodelan fenomenos fısicos.
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Problemas de Crecimiento y Decrecimiento
Los problemas que analizaremos a continuacion nos resultaranfamiliares, pues ya los hemos estudiado en MAT021.
Si denotamos por x(t) la cantidad en gramos de una ciertasustancia en el instante t entonces dx
dt es la razon de cambiode esta cantidad.Supongamos ademas que k > 0.
Crecimiento poblacional
Suponga que para modelar el crecimiento de una poblacion setiene la siguiente regla: ”La tasa de crecimiento de la poblaciones proporcional a la poblacion existente”, entonces el modelomatematico para este fenomeno es:
dxdt
= kx
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Problemas de Crecimiento y Decrecimiento
Cuya solucion es: x(t) = Aekt , donde A = eC
Dada la condicion inicial: en t = 0 se tienen x0 gramos.Obtenemos: x(t) = x0ekt
Decrecimiento poblacional
Es analogo...
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Ejercicios Propuestos
Resolver:1 Un reactor transforma plutonio 239 en uranio 238 que es
relativamente estable para uso industrial. Despues de 15anos se determina que el 0.0043 por ciento de la cantidadinicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determina lasemivida de este isotopo si la rapidez de desintegracion esproporcional a la cantidad restante.
2 La poblacion P(t) de un suburbio de una gran ciudad enun instante cualquiera se rige por:{ dP
dt = P(101107P)P(0) = 5000
en donde t se mide en meses. ¿Cual es el valor lımite dela poblacion? ¿En que momento sera la poblacion igual ala mitad de su valor lımite?
Veronica Briceno V. P.V.I.
Ejercicios Propuestos
Resolver:1 Un reactor transforma plutonio 239 en uranio 238 que es
relativamente estable para uso industrial. Despues de 15anos se determina que el 0.0043 por ciento de la cantidadinicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determina lasemivida de este isotopo si la rapidez de desintegracion esproporcional a la cantidad restante.
2 La poblacion P(t) de un suburbio de una gran ciudad enun instante cualquiera se rige por:{ dP
dt = P(101107P)P(0) = 5000
en donde t se mide en meses. ¿Cual es el valor lımite dela poblacion? ¿En que momento sera la poblacion igual ala mitad de su valor lımite?
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Ley de Enfriamiento de Newton
Consideremos el siguiente modelo simplificado para elfenomeno de variacion de temperatura en un cuerpo.Sea:t : tiempoT (t): temperatura en el cuerpo en el instante t .Tm: temperatura ambiente.Supuestos:La temperatura del medio es constanteEn el instante t la temperatura en todo el cuerpoes la misma.Ecuacion:dTdt = −k(T − Tm)Condicion inicial: T (0) = T0Cuya solucion es:T (t) = Tm + (T0 − Tm)e−kt
Ejercicio: demuestre esto!
Veronica Briceno V. P.V.I.
Ejercicios Propuestos
1 Un cuerpo a 100oC es puesto en una sala a temperaturaconstante de 25oC. Despues de 5 minutos la temperaturadel cuerpo es de 90o Cuanto tiempo tarda en estar a 50o?
2 Un cuerpo a 100oC es puesto en una sala que esta a unatemperatura constante desconocida. Si pasados 10minutos el cuerpo esta a 90o y pasado 20 minutos esta a82o calcular la temperatura de la sala.
Veronica Briceno V. P.V.I.
Ejercicios Propuestos
1 Un cuerpo a 100oC es puesto en una sala a temperaturaconstante de 25oC. Despues de 5 minutos la temperaturadel cuerpo es de 90o Cuanto tiempo tarda en estar a 50o?
2 Un cuerpo a 100oC es puesto en una sala que esta a unatemperatura constante desconocida. Si pasados 10minutos el cuerpo esta a 90o y pasado 20 minutos esta a82o calcular la temperatura de la sala.
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Mezclas
Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado oun trago es necesario mezclar diversos ingredientes.
Considere un recipiente con un dispositivo de agitacionque en todo momento mantiene la mezcla homogenea.Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene unamezcla de agua con sal.Si al recipiente le agregamos agua con c gramos de salpor litro a una velocidad de a litros por segundo y delrecipiente sacamos agua a la misma velocidad.¿Que cantidad de sal hay en el recipiente en el tiempo t ?
Veronica Briceno V. P.V.I.
Mezclas
Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado oun trago es necesario mezclar diversos ingredientes.Considere un recipiente con un dispositivo de agitacionque en todo momento mantiene la mezcla homogenea.
Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene unamezcla de agua con sal.Si al recipiente le agregamos agua con c gramos de salpor litro a una velocidad de a litros por segundo y delrecipiente sacamos agua a la misma velocidad.¿Que cantidad de sal hay en el recipiente en el tiempo t ?
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Mezclas
Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado oun trago es necesario mezclar diversos ingredientes.Considere un recipiente con un dispositivo de agitacionque en todo momento mantiene la mezcla homogenea.Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene unamezcla de agua con sal.
Si al recipiente le agregamos agua con c gramos de salpor litro a una velocidad de a litros por segundo y delrecipiente sacamos agua a la misma velocidad.¿Que cantidad de sal hay en el recipiente en el tiempo t ?
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Mezclas
Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado oun trago es necesario mezclar diversos ingredientes.Considere un recipiente con un dispositivo de agitacionque en todo momento mantiene la mezcla homogenea.Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene unamezcla de agua con sal.Si al recipiente le agregamos agua con c gramos de salpor litro a una velocidad de a litros por segundo y delrecipiente sacamos agua a la misma velocidad.
¿Que cantidad de sal hay en el recipiente en el tiempo t ?
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Mezclas
Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado oun trago es necesario mezclar diversos ingredientes.Considere un recipiente con un dispositivo de agitacionque en todo momento mantiene la mezcla homogenea.Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene unamezcla de agua con sal.Si al recipiente le agregamos agua con c gramos de salpor litro a una velocidad de a litros por segundo y delrecipiente sacamos agua a la misma velocidad.¿Que cantidad de sal hay en el recipiente en el tiempo t ?
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Mezclas
1 Sea:x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo tLa variacion de la cantidad de sal es:dxdt = (Sal que entra) - (Sal que sale)La sal que entra es ac.La cantidad de sal en el instante t es x(t)/VV : cantidad de sal que sale es: ax(t)/V
2 La ecuacion que modela la variacion de la cantidad de sales:dxdt = ac − a x(t)
V3 Condicion inicial: x(0) = x0
4 La solucion:x(t) = cV + (xo − cV )e−at/V
Ejercicio: demuestre esto!
Veronica Briceno V. P.V.I.
Mezclas
1 Sea:x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo tLa variacion de la cantidad de sal es:dxdt = (Sal que entra) - (Sal que sale)La sal que entra es ac.La cantidad de sal en el instante t es x(t)/VV : cantidad de sal que sale es: ax(t)/V
2 La ecuacion que modela la variacion de la cantidad de sales:dxdt = ac − a x(t)
V
3 Condicion inicial: x(0) = x0
4 La solucion:x(t) = cV + (xo − cV )e−at/V
Ejercicio: demuestre esto!
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Mezclas
1 Sea:x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo tLa variacion de la cantidad de sal es:dxdt = (Sal que entra) - (Sal que sale)La sal que entra es ac.La cantidad de sal en el instante t es x(t)/VV : cantidad de sal que sale es: ax(t)/V
2 La ecuacion que modela la variacion de la cantidad de sales:dxdt = ac − a x(t)
V3 Condicion inicial: x(0) = x0
4 La solucion:x(t) = cV + (xo − cV )e−at/V
Ejercicio: demuestre esto!
Veronica Briceno V. P.V.I.
Mezclas
1 Sea:x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo tLa variacion de la cantidad de sal es:dxdt = (Sal que entra) - (Sal que sale)La sal que entra es ac.La cantidad de sal en el instante t es x(t)/VV : cantidad de sal que sale es: ax(t)/V
2 La ecuacion que modela la variacion de la cantidad de sales:dxdt = ac − a x(t)
V3 Condicion inicial: x(0) = x0
4 La solucion:x(t) = cV + (xo − cV )e−at/V
Ejercicio: demuestre esto!
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Ejemplo
Resolver:Suponga que el estanque contiene 100 litros de agua, entraagua con 500 gramos de sal por litro a razon de 5 litros porminuto, ademas sale agua a la misma velocidad del recipiente.¿Cuanto tiempo tarda en tener 10 kilos de sal el recipiente?
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Ejercicios Propuestos
1.- Resolver:Cuando un rayo vertical de luz pasa a traves de una sustanciatransparente, el grado con que su intensidad I disminuye esproporcional a I(t) en donde t representa el espesor del medio,expresado en pies. En agua de mar cristalina, la intensidad a 3pies bajo la superficie es el 25% de la intensidad inicial I0 delrayo incidente. ¿Cual es la intensidad del rayo a 15 pies bajo lasuperficie?2.- Dadas dos funciones f , g derivables, sabemos que laidentidad
(fg)′ = f ′g′
en general, es falsa .Sea f (x) = ex3+2x , determina las funciones g que verificandicha identidad.
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