Prob. 2F2Relacin entre las formulas de la rendija y el anillo circular.Cuando un anillo es muy delgado puede considerarse muy aproximadamente a una rendija estrecha.Por consiguiente, se puede aplicar los resultados del problema 2E. Por ejemplo, a partir del problema 2E es posible obtener la velocidad volumtrica de flujo en un anillo cuyo radio de la pared externa es R y de la interna (1 ).R , siendo pequeo, tomando 2B igual a R y igual a 2R, con lo que,

Demostrar que se obtiene el mismo resultado a partir del flujo volumtrico en una seccin de corona circular, dado por

Tomando para k el valor (1-) y desarrollando la expresin de Q en potencias de . Esta operacin requiere del uso del a serie de Taylor,

Y efectuar despus una divisin.Sol.La velocidad volumtrica de flujo, a travs de una seccin de corona circular esta dada por:

Haciendo k = (1-), se tiene:

Desarrollando por partes(1-)4 = (1-)2 (1-)2 = (1 2 + 2) (1 2 + 2) = 1 4 + 62 43 + 4 (3)1 (1-)4 = 4 62 +43 - 4 = (4 6 + 42 3) .. (4)(1-)2 = 1 2 + 21 - (1-)2 = 1 - 1 2 + 2 = 2 2(1 - (1-)2)2 = (2 2)2 = 2 (2 )2 = 2 (4 4 + 42) .. (5) (6)Reemplazando (4), (5) y (6) en (2):

De donde:

Prob. 2G2Flujo laminar en una pelcula que desciende por el exterior de un tubo circular.Una experiencia de absorcin de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeo tubo circular, para descender despus por la parte por la parte exterior del mismo.a) Demostrar que la distribucin de la velocidad en la pelcula descendente (despreciando los efectos finales) es:

b) Obtener una expresin para la velocidad volumtrica de flujo en la pelcula.c) Demostrar que el resultado obtenido en b) se transforma en:

La siguiente fig. muestra en forma esquemtica el proceso de flujo: aR Rrz

Sol.a) Balance de cantidad de movimiento en estado estacionario (Veloc. de entrada C.M.) (Veloc. de salida C.M.) + (suma de las fuerzas que actan sobre el sistema) = 0Elemento del fluido de volumen 2r z rz r2r z rz r2r r z

Trasporte molecular de cantidad de movimiento

2r r ( Vz2) z2r r ( Vz2) z + z

Transporte conectivo de cantidad de movimientoEfecto del campo gravitacional2r r z g

Fig. 1

Considerando la figura 1, el balance de cantidad de movimiento alrededor de un elemento infinitesimal de fluido, de volumen 2r r z, conduce a:(2r z rz r + 2r r ( Vz2) z) - (2r z rz r + z + 2r r ( Vz2) z) + (2r r ( Vz2) z + z) = 0Dividiendo ahora entre el volumen 2 r r z y ordenando se obtiene:

Balance de materia en estado estacionarioz2r r ( Vz) z

rea de flujo 2r r

Elemento de fluido de volumen 2r r z

2r r ( Vz) z + z

(Veloc. de entrada de materia) (Veloc. de salida de materia) = 0

2r r ( Vz) z - 2r r ( Vz) z + z = 0Simplificando y considerando que el fluido es incompresible ( = cte.), se deduce:Vz z = Vz z + zQue indica que la velocidad del fluido Vz es la misma en cualquier posicin Z. Este resultado permite eliminar el 2do trmino del primer miembro de la ecuacin (2), es decir:

Tomando lmite cuando r 0, se tiene:

Y ahora, teniendo en cuenta la ley de newton de la viscosidad:

Y sustituyendo en (4), se obtiene la ecuacin diferencial para el flujo de una pelcula que desciende por el exterior de un tubo circular:

Sujeta a las condiciones lmites:(C.L.1) r = R , Vz = 0 (C.L.2) r = aR , dVz/dr = 0Integrando:

Reemplazando la C.L.2 en la ecuacin (7), se tiene:

De donde:

Reemplazando, ahora la C.L.1 y la ec. (9) en (8):

De donde:

Luego, sustituyendo las ec. (9) y (10) en (8), se obtiene la distribucin de velocidad de la pelcula descendente (despreciando los efectos finales):

b) Velocidad volumtrica de flujo en la pelcula descendente rr + dVz(r)rea de flujodA = rd dr

Por definicin, el caudal o velocidad volumtrica de flujo esta dada por:

Haciendo n = r/R

Integrando trmino a trmino se obtiene:

Ordenado: ec. Del caudal de la pelculac) = espesor de la pelcula liquida que desciende. = aR R = R(a 1) = ancho de la pelcula = 2R

Reemplazando 2R por y R3 por 3/(a 1)3, se obtiene:

Aplicando sucesivamente el teorema de L Hospital, se obtiene:

Y reemplazando en la ec. (13) obtenemos la ec. De flujo volumtrico de una pelcula liquida muy delgada que desciende por la superficie exterior de un tubo circular:

Prob. 2H2Flujo No Newtoniano en un tubo circulara) Deducir la formula anloga a la de Hagen- poiseuille para el modelo de Ostwald de Wale (ley de la potencia). Al hacer la deduccin debe de eliminarse primeramente el signo de valor absoluto. Como para el flujo en un tubo dVz/dr es siempre negativo, la ley de la potencia se transforma en este caso en:

Explicar cuidadosamente estas transformaciones.b) Deducir una expresin de la velocidad volumtrica para el flujo en un tubo de un fluido de Ellis:

Sol.a) En la figura siguiente se muestra un elemento infinitesimal de fluido, de volumen rrz, que se desplaza axialmente por el interior de un tubo circular: Fig. 1rzrDireccin zEje central del tubo

Transporte molecular (viscoso) de cantidad de movimientorzrzr+rrzrzr

Fig. 2

Transporte convecctivo de cantidad de movimientor r ( Vz2) z + zr r ( Vz2) z

Fig. 3

Accin de las fuerzas de presin y del campo gravitacionalr r Pz

r r P z + z

rrzg sen

r r z

La aplicacin del balance de movimiento al elemento del fluido de la fig. (1), conduce a:

Dividiendo entre el volumen rrz y ordenado se tiene:

Balance de materia en estado estacionario:

(Veloc. de entrada de materia) (Veloc. de salida de materia) = 0

de donde:(Vz)z = (Vz)z+z Como = cte. (fluido incompresible), se deduce que:Vzz = Vzz+z. (4) Este resultado indica que la velocidad del fluido es constante a lo largo de una lnea de corriente, es decir Vz = cte. En cualquier posicin z. As mismo, la ec. (4) permite eliminar el segundo termino del primer miembro de la ec. (3), as:

Al tomar limites cuando z 0 y z 0, se obtiene:

Y haciendo P= p gz sen, se tiene:

Ya que la presin de un fluido que fluye por una tubera varia linealmente en funcin de la longitud, yendo de mayor a menor presin.Para un fluido cuyo comportamiento reologico est dado por la le de potencia, el esfuerzo cortante se define como:

Como para un flujo de fluidos en un tubo circular dVz/dr es siempre negativo, entonces:

Asi mismo, como el valor absoluto de una cantidad negativa o positiva es siempre positiva, se tiene:

Luego, la ec. (6) se transforma en:

Ahora, reemplazamos la ec. (7) en (5), se obtiene:

Sujeta a las siguientes condiciones lmites:(C.L.1): r = 0 , dVz/dr=0(C.L.2): r = 0 , Vz = 0Si se integra una vez, la ec. (8) conlleva a:

Teniendo en cuenta la C.L.1, se deduce que C1 = 0Luego,

De donde:

Integrando otra vez se obtiene:

Como Vz = 0, para r = R (C.L.2), entonces:

Ahora al sustituir el valor de C2 en la ec. (9), se deduce el perfil de velocidad para el flujo de un fluido que sigue la ley de la potencia, es decir:

Flujo volumtrico o caudalEl flujo volumtrico, para un tubo circular, est dado por:

Sustituyendo (10) en (11), se tiene:

Siendo,

Integrando (12), se obtiene:

Y haciendo x = r/R:

Reemplazando B, se obtiene la ec. Anloga a la de Hagen Poiseuille para el modelo de Ostwald de waele:

b) Velocidad volumtrica de flujo para un fluido de Ellis que fluye por una tubera circular.

Cuya integracin conduce a:

Como rz = 0, cuando r = 0, entonces C1 resulta ser 0, es decir:

Luego, de la ec. (14) se deduce:

Por otro lado, el modelo de Ellis representado por:

Consta de tres parmetros positivos ajustables: , y .Asi mismo, el valor absoluto de rz siempre es positivo. Por tanto, el termino:

Tambin es positivo. Tambin en la parte a), se ha iniciado que para el flujo de fluido en un tubo circular dVz/dr es siempre negativo y por consiguiente:

De lo anterior expuesto, necesariamente el esfuerzo cortante debe ser positivo. Luego, se deduce que:

Prob. 2I2Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circularUn tubo vertical est lleno de un fluido de Bingham y cerrado por el extremo inferior mediante una lmina. Al separar la lmina, el fluido puede salir o no del tubo por gravedad. (Vase la Fig. 2.1) Explquese este hecho y establzcase un criterio de flujo para este experimento.