Problemas de razonamiento matemático · Proceso de Admisión 2019 3 Problemas de razonamiento...

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1Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas

Tema: Razonamiento Matemático

2Proceso de Admisión 2019

Problemas de razonamiento matemático

• Son problemas que estimulan la habilidad de aplicar las matemáticas para resolver problemas en situaciones de la vida diaria.

• Estimulan la habilidad para procesar, analizar y utilizar información en la Aritmética, el Álgebra y la Geometría en la solución de un problema.

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Problemas de razonamiento matemático

• Generalmente, un problema de este tipo plantea una pregunta y fija ciertas condiciones.

• Entonces, con base en esta información se debe hallar un número u otra clase de entidad matemática que cumpla con las condiciones fijadas y posibilite la resolución de la incógnita.


Ejercicios

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Ejercicio 1: Construir una carretera

Un ingeniero civil es responsable de construir unaintersección de concreto donde una autopista nuevacruzará una existente. El concreto es hecho de cemento,arena y grava en una proporción 3:6:8. ¿cuánta grava esnecesaria si se quiere construir 850 metros cúbicos deconcreto?

🕑 5 minutos


Ejercicio 1: SoluciónEL problema ofrece varios datos. De la especificaciónsabemos:

Un ingeniero civil es responsable de construir unaintersección de concreto donde una autopista nuevacruzará una existente. El concreto es hecho de cemento,arena y grava en una proporción 3:6:8 respectivamente,¿cuánta grava es necesaria si se quiere construir 850metros cúbicos de concreto?

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SoluciónSea x la cantidad de material que se usa (en metroscúbicos) para obtener T metros cúbicos de concreto.Entonces:

Cemento + Arena + Grava3x + 6x + 8x = T (1)

El interés es saber cuanto vale 8x cuando T = 850. De laexpresión (1) se sabe que x=850/17=50. Por tanto,

La cantidad de grava necesaria será8x= 8(50)= 400 metros cúbicos de grava.


Ejercicio 2: Trabajando con plataUna aleación de cobre y plata que contiene 60% deplata pura es mezclada con otra aleación, también deplata y cobre, con un concentrado del 65% de platapura. ¿qué cantidad es requerida de cada tipo dealeación para producir 1.2 kg. de aleación conteniendo62% de plata pura?

🕑 10 minutos

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SoluciónNuevamente, revisemos los datos de los que disponemos:Una aleación de cobre y plata que contiene 60% deplata pura es mezclada con otra aleación, también deplata y cobre, con un concentrado del 65% de platapura. ¿qué cantidad es requerida de cada tipo dealeación para producir 1.2 kg. de aleación conteniendo62% de plata pura?



W1= peso requerido de aleación al 60%W2 = peso requerido de aleación al 65%RestriccionesW1 + W2 = 1.2 à w2 = 1.2 - w1.6W1 + .65(1.2-W1) = .62(1.2)

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Resolviendo ambas ecuacionestenemos que:

W1 = 0.72 kgW2 = 0.48 Kg.

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Ejercicio 3: PaqueteríaEn una empresa de paquetería deben diseñar unacaja con forma de prisma rectangular, basecuadrada y sin tapa. La caja debe tener lasdimensiones que garanticen la máxima capacidadde almacenamiento, utilizando 3 metros cuadradosde cartón. Encuentre esas dimensiones.

🕑 15 minutos


SoluciónLa base es cuadrada, definamos X como cada ladode este cuadrado y sea Y la altura de la caja.Entonces, cada lado de la caja tiene dimensiones Xpor Y.Como la caja tiene cuatro lados y una base, el áreadel material (en m2) es:

Y el volumen de la caja es descrito por

despejando Y en la ecuación del área:

y sustituyendo Y en V da:

V = X2Y

Y =�1

4X +

3

4X

A = 4XY + X2 = 3

V = X2(�1

4X +

3

4X)

V =�1

4X3 +

3

4X

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Solución, continuaciónSabemos que si resolvemos dV/dX e igualamos a 0,obtenemos los máximos y mínimos de la ecuación,entonces.

Sustituyendo X en la ecuación del área,

Por tanto, las dimensiones de la caja con mayorvolumen son: 1mts. x 1mts. x 0.5 mts.

dV

dX=

�3

4X2 +

3

4= 0

X2 = 1

Y =�1

4+

3

4=

1

2mts.


Ejercicio 4: Cubriendo un terrenoSe desea conocer cual es el terreno rectangular de mayor área que se puede rodear con 100 metros de alambre.

🕑 5 minutos

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Ejercicio 4: SoluciónSe desea conocer cual es el terreno rectangular de mayor área que se puede rodear con 100 metros de alambre.

Solución:Sean A y B las longitudes del rectángulo que representa al terreno, el área será X=AB, el perímetro del terreno está dado por Y=2A+2B


ContinuaciónComo el perímetro posible de cubrir por el alambre es igual a 100 mts.:

100=2A+2B, despejando para A,A=50-B, sustituyendo A en la ecuación del área

haciendo dX/dB=0

entonces B=25 metros,Si el perímetro es 100=2A+2B, entonces A=25 mts.Finalmente, el área máxima será

X = (50�B)B = 50B �B2

AB = 252 = 625mts.2.

dX

dB= 50� 2B = 0

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Break🕑 10 minutos


Ejercicio 5: Mira telescópicaUna mira telescópica instalada en un rifle de largoalcance tiene la capacidad de ajustar el punto deimpacto de la bala en incrementos (clicks) de 0.25 MOAsen la horizontal y en la vertical; la mira tiene una perillapara cada dirección. 1 MOA (minute of arc) es unamedida angular equivalente a 1/60 grados ó pi/10800radianes. Determine la expresión matemática quecalcula el número de clicks necesarios para ajustar unamira en función de la distancia de tiro (en metros) y ladesviación del impacto con respecto al blanco (encentímetros).

🕑 10 minutos

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SoluciónConsidere una distancia de tiro d (mts.) y una desviación del proyectil f (mts.). Desde el sitio del disparo se formará un triángulo rectángulo de la siguiente forma: d

f

El ángulo θ formado debido a la desviación de la bala tiene la tangente igual a:

tan(θ)= f/d

θ


Continuación

✓ = arctanf

drad

d

f

θ en términos de MOA (1 MOA = pi/10800 radianes)

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Continuación


✓ = arctanf

drad

d

f

Ajuste = 4(arctanf

d)/(

pi

10800),

Pero el ajuste es de 0.25 MOA, si expresamos elángulo en clicks tenemos que multiplicar por 4:


Continuación


✓ = arctanf

drad

d

f

Ajuste = 4(arctanf

d)/(

pi

10800),

Pero el ajuste es de 0.25 MOA, si expresamos elángulo en clicks tenemos que multiplicar por 4:

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Continuación

Pero sabemos que arctan(f/d)=(f/d) para d muy grande con respecto a f. En estecaso es posible aplicar la igualdad porque las distancias de tiro son muchomayores a las desviaciones típicas en un disparo.

Ajuste = 4(arctanf

d)/(

pi

10800),


Continuación


Ajuste = 4(arctanf

d)/(

pi

10800),

Ajuste = 4(f

d)/(

⇡

10800)

Ajuste = 410800f

⇡d

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Continuación


Ajuste = 4(arctanf

d)/(

pi

10800),

Ajuste = 4(f

d)/(

⇡

10800)

Ajuste = 410800f

⇡d

con d en metros y f en centímetros, entonces escalamos en 100 a dquedando:

Ajuste =432f

⇡d


Ejercicio 6: Número de mujeresEn un grupo hay 54 estudiantes, entre hombres y mujeres.A 1/4 de los varones les gusta Historia. También se hasabido que a los 4/7 de los varones les encantaRazonamiento Matemático. ¿Cuántas mujeres estudianen el aula?

🕑 10 minutos

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SoluciónDe la descripción se sabe que:

El número de varones tiene cuarta parte (el númerode varones es divisible entre 4)

El número de varones tiene séptima parte (el númerode varones es divisible entre 7)


SoluciónDe la descripción se sabe que:

X = número de hombresY = número de mujeresX + Y = 54

X es divisible por 4 y por 7. Es decir el máximo cómundivisor de X es 4*7 = 28. De aquí se desprende que Xdebe ser múltiplo de 28.X no puede ser 56 (2*28) ya que no cumple el númerode estudiantes es 54.Por lo tanto = 28 y Y = 54 – 28 = 26

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Ejercicio 7: ManzanasSi en medio kilogramo de manzanas se puede tenerde 4 a 6 manzanas, ¿cuál es el menor peso quepuede obtenerse con 9 docenas de ellas?

🕑 10 minutos


SoluciónSi en medio kilogramo de manzanas se puede tenerde 4 a 6 manzanas, ¿cuál es el menor peso quepuede obtenerse con 9 docenas de ellas?

SoluciónEl menor peso se tendrá cuando se utilice el mayornúmero de manzanas por unidad de peso, en estecaso 6 por 0.5 kg. ó 12 por 1 kg.Si 9 docenas es igual a 108 manzanas, entonces,usando la mayor cantidad de manzanas por,digamos, kilogramo:108/12= 9 kg.

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Ejercicio 8: PolíticosCierta convención reunía a cien políticos. Cada políticoera o bien deshonesto o bien honesto. Se dan los datos:• a) Al menos uno de los políticos era honesto.• b) Dado cualquier par de políticos, al menos uno de

los dos era deshonesto. ¿Puede determinarsepartiendo de estos dos datos cuántos políticos eranhonestos y cuántos deshonestos?

🕑 10 minutos


SoluciónLa condición b), implica que cualquier combinación detodas las posibles siempre tendrá AL MENOS undeshonesto, esto es, algunas veces serán los dosdeshonestos y nunca 2 honestos, entonces la respuestaes que uno es honesto y 99 deshonestos.

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Ejercicio 9: CiclistasDos ciclistas avanzan uno hacia otro por una mismacarretera. Sus velocidades son 20 km/h y 15 km/h. Si losseparan 78 km. ¿Cuánto tardarán para encontrarse?Solución

🕑 10 minutos


Ejercicio 9: CiclistasDos ciclistas avanzan uno hacia otro por una mismacarretera. Sus velocidades son 20 km/h y 15 km/h. Si losseparan 78 km. ¿Cuánto tardarán para encontrarse?SoluciónSi cada hora avanzan 20 y 15 km cada uno, se plantea laecuación que suma los recorridos para obtener 78 km:20X+15X=78, entonces X=78/35, les tomará 2 horas, 13minutos y 42 segundos aproximadamente.

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Ejercicio 10: PersecuciónUn auto sale de una ciudad a una velocidad de 100km/h a las 12:00 hrs., otro auto sale en su persecuciónacelerando a razón de 100 km/h2 a las 14:00 hrs. ¿A quehora aproximada el segundo auto alcanzará al primero?

🕑 15 minutos


SoluciónSabemos que la distancia de un cuerpo en movimientoes igual a la integral de su velocidad. Entonces para elprimer auto que viaja a 100 km/h, la ecuación quemodela la distancia recorrida es:

D1 =

Z100dx = 100x

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ContinuaciónSabemos también que la velocidad es la integral de laaceleración, entonces, para el caso del segundo auto ladistancia recorrida está dada por:

Para el caso que nos ocupa, a D1 se debe sumar 2, dadoque el primer auto salió 2 horas antes que el segundo.

D2 =

Z Z100dxdx = 50x2


ContinuaciónConsiderando que el punto donde el segundo autoalcanza al primero es cuando ambos han recorrido lamisma distancia, se igualan las dos expresiones y seresuelve el polinomio:

Las raíces son x1=2.0198 y x2=-0.0198, dado que aúnno podemos viajar en el tiempo hacia el pasado, elsegundo auto alcanzará al primero a las 16:00 hrs.aproximadamente.

50x2 = 100x+ 2,

50x2 � 100x� 2 = 0

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Fin de la sesión del día de hoy

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