Departament de Fsica Aplicada i ptica

Grau de Fsica Fonaments dElectromagnetisme i ptica

Problemes

v.15

1 CAMP ELCTRIC

1.1 A l'tom d'hidrogen, l'electr gira entorn del prot a una distncia mitjana de 0.53 . Quant val la fora d'interacci electrosttica entre les dues partcules? I la gravitatria? Conclusi.

N 10 3.6 = F , N 01 8.2 = F -47g-8e

1.2 La distncia entre dos cossos de massa 1 kg s 1 m. Calculi la fora electrosttica d'interacci si cadascun t tants protons com neutrons per noms 99 electrons per cada 100 protons. Qu se'n pot concloure? (prengui les masses del prot i del neutr iguals a 1.6710-27 kg).

N 2.110 = F 21 1.3 Als vrtexs d'un triangle equilter de costat a hi ha tres

crregues puntuals q, -q, q (q>0). Al centre del triangle se situa una crrega puntual Q>0. Determini la fora sobre la crrega Q.

2oa2

qQ3Fpi

=

1.4 Dues crregues puntuals q, q (q>0) es troben en els punts de coordenades (-a/2, 0) i (a/2, 0) sent a>0. Determini (a) el camp elctric que creen en un punt de leix y, i (b) consideri el cas en qu y >>a.

x30

x2/3220a

yqa

41E ,a

4ay

aq4

1E rrrr

pi

+

pi=

1.5 Una esfera de radi a=1cm presenta una densitat volmica de crrega 0=10-8 C/m3. (a) Determini la crrega de lesfera. (b) Una altra esfera de radi a presenta una distribuci de crrega no uniforme (r) = 0 + 1 r2/a2. Determini la crrega de lesfera. (c) Quina s la condici perqu la crrega daquesta esfera sigui nulla? (d) Representi grficament la funci (r) quan es compleix lanterior condici.

01103

-14

35

- (c) , 5

3

a 4 Q (b)

C10 4.19 Q (a)

=

+=

=

1.6 Un fil de longitud L est carregat amb una densitat uniforme. (a) Calculi el camp elctric en un punt situat a la mediatriu del fil a una distncia r. (b) Estudi la situaci lmit quan la longitud del fil tendeix a infinit. (c) Id. id. quan tendeix a zero.

200

20

r4 L

E(c) , r2

E(b)

Lr21

1r2

E(a)

pi=

=

+

pi

=

1.7 Un fil en forma de semicircumferncia de radi a t una densitat lineal de crrega uniforme . Determini el camp elctric que crea al centre de la circumferncia. (A.N.: a = 2 cm, = 1 C/m).

kV/m 899 E , a2

E0

=

pi

=

1.8 Un anell de radi R t una crrega Q distribuda uniformement. Determini el camp elctric que crea als punts del seu eix.

a

)z + R(z Q

41

= E z3220

rr

pi

1.9 En una regi el camp elctric t per components 0E , 0E ,k x E zyx === , on k s una constant.

(a) Calculi el flux del camp a travs de la superfcie dun cub daresta a, el centre del qual coincideix amb l'origen de coordenades i les seves cares sn perpendiculars a algun eix. (b) Determini quina s la crrega elctrica que hi ha al cub.

30

3 ka =Q (b) , ka= (a)

1.10 A l'atmosfera el camp elctric s aproximadament vertical i dirigit cap a terra. Si a terra val 200 N/C i a 1400 m daltura val 20 N/C, quina s la densitat mitjana de crrega a latmosfera per sota de 1400 m?

3pC/m 1,14 = 1.11 Determini el camp elctric que crea una crrega Q

distribuda uniformement sobre una superfcie esfrica de radi R. Representi grficament els resultats i analitzi la continutat del camp.

0E :Rr ,a r 4

Q = E :Rr r2

0=

rrr

1.12 Una esfera de radi R est carregada uniformement. La densitat volmica de crrega s . Determini el camp elctric que crea i representi grficament la seva dependncia amb la distncia al centre.

a r3

R = E : R r ,a 3

r = E : R r r2

0

3

r

0

rrrr

1.13 Un cilindre molt llarg de radi R est uniformement carregat. La densitat volmica de crrega s . Determini el camp elctric que crea i representi grficament la seva dependncia amb la distncia a leix.

a r 2

R = E : R r ,a

2r

= E : R r r0

2

r

0

rrrr

1.14 Una lmina plana molt extensa est carregada uniformement. La densitat superficial de crrega s . Determini el camp elctric que crea i representi grficament la seva variaci.

a z

z

2 = E z

0

rr

1.15 Determini el camp elctric creat per dues lmines planes paral leles molt extenses separades una distncia a i carregades amb densitats superficials (a) i , (b) i .

0 = E (b) ,a = E (a) : 2a

> z

0 = E (b) ,a = E (a) : 2a

< z

a = E (b) ,0 = E (a) : 2a

< z 0) es troben en els

punts de coordenades (-a/2, 0) i (a/2, 0) sent a>0. Determini (a) el potencial elctric que creen en un punt (0,y), i (b) en un punt (x,0) sent x >a/2. Consideri el cas en qu x >>a.

x

x

4a

x

qa

41

V(x,0) (b) , 0 y)V(0, (a) 220

pi==

2.3 Un anell circular de radi R t una crrega Q distribuda uniformement. Determini el potencial que crea als punts del seu eix.

z + R

Q

41

= V220pi

2.4 Determini el potencial que crea una crrega Q distribuda uniformement sobre una superfcie esfrica de radi R. Representi grficament els resultats i analitzi la continutat del potencial.

R4QV :Rr;

r4QV :Rr

00 pi=

pi=

2.5 Una esfera de radi R est carregada uniformement. La densitat volmica de crrega s . Determini el potencial que crea i representi grficament la seva dependncia amb la distncia al centre.

)r R (3 6

= V : R r ; r3

R = V : R r 22

00

3

2.6 Un disc de radi a est carregat amb una densitat uniforme. (a) Determini el potencial i el camp elctric als punts del seu eix. (b) Quan el radi es fa molt gran, quina expressi t el camp elctric?. (c) Qu li passa llavors al potencial?, perqu?, com es podria definir llavors el potencial?. (d) Defineixi per a aquest cas el potencial de la forma ms senzilla i calculil.

z220

22

0

a

za

z

z

z

2 E

zza2

V )a(

rr

+

=

+

=

z2

V (d) , az

z

2 E )b(

0z

0

=

=

rr

2.7 Dos electrons es mantenen en reps separats per una distncia d1 mm. Si es deixa lliure un electr, quina velocitat mxima assolir?

v = 712 m/s 2.8 La distncia entre dos ions monovalents positius s

a=8 nm. (a) Estudi com varia el potencial en els punts de la mediatriu del segment que uneix els ions. (b) Si des dun punt molt allunyat es llana sobre els ions una partcula amb velocitat v i en la direcci de la mediatriu, determini el valor mnim de v perqu la partcula travessi la barrera de potencial que creen els ions.

22o

x4

a

e

21

V )a(+

pi=

km/s3.8v = ,am

e2 vb)(

o pi=

2.9 Determini el treball que en general cal fer per girar 180 un dipol de moment pr en un camp elctric E

r.

Ep 2 Wrr

=

2.10 Tres crregues puntuals q estan situades als vrtexs dun triangle equilter de costat a. Determini: (a) lenergia potencial duna de les crregues pel fet destar en presncia de les altres dues, (b) lenergia del sistema de les tres crregues.

a4q3U (b) ,

a4q2

U)a(0

2

0

2

pi=

pi=

3 CONDUCTORS

3.1 Determini la capacitat dun conductor esfric de radi a (A:N.: a=1 m).

pF 111 C , a4C 0 =pi=

3.2 Consideri la Terra com un conductor esfric de radi 6400 km amb una crrega de 9105 C. Quant val el camp elctric en les proximitats de la superfcie?

V/m 10 0.2E 2= 3.3 Dues esferes conductores de radis a i b tenen

crregues Q1 i Q2 respectivament. La distncia entre els seus centres s gran comparada amb a i b, i es pot negligir la influncia entre els conductors. (a) Determini els potencials V1 i V2 de les esferes. (b) S'uneixen les esferes amb un fil conductor molt prim. Determini les crregues Q1 i Q2 i els potencials V'1 i V'2 de les esferes. (c) Calculi la capacitat del conductor resultant.

b4Q

= V,a4

Q = V a)(

0

22

0

11

pipi

) b+ (a4 = C c)() b + (a4

Q + Q = 'V = 'V

b + a)Q + Q( b

='Q, b + a

)Q + Q( a = 'Q b)(

0

0

2121

212

211

pi

pi

3.4 En el problema anterior, desprs dunir les dues esferes, determini per a cadascuna la crrega, la densitat superficial de crrega i el camp elctric en un punt proper a la superfcie si a=1 m, b=30 cm, Q1=1 nC, i Q2=0. Analitzi els resultats i generalitzils per concloure com es distribueix la crrega en un conductor no esfric. Aplicaci als parallamps.

Q'1= 769 pC , Q'2= 231 pC , 1= 61.2 pC/m2, 2= 204 pC/m2 , E1= 6.92 V/m , E2= 23.1 V/m

3.5 Un conductor esfric de radi b t una cavitat esfrica i concntrica de radi a. Al centre de la cavitat hi ha una crrega puntual q. Determini la crrega a les dues

superfcies del conductor i el camp elctric quan el conductor t (a) crrega Q, (b) potencial V.

r2

r2o

o

r2o

r2o

a r

bV = E : b >r , 0 = E : b

pi

potencial i la crrega de cada condensador, c) lenergia del sistema.

J 900 U(c) ; C 40 = Q , C 20 = Q , C 60= Q

, V 10VV ,V 20V (b) ; F 2 = C )a(321

321

=

===

3.12 Determini per dos mtodes diferents l'energia electrosttica d'un conductor esfric de radi a que t una crrega Q i est sol.

a8QU

0

2

pi=

3.13 Determini la relaci entre les energies electrosttiques U1 i U2 de dos conductors esfrics de radis a i 2a si els conductors tenen (a) la mateixa crrega, (b) el mateix potencial. (c) i (d) Repeteixi el problema per a les densitats denergia u1 i u2 a una distncia del centre r>2a.

4/u u (d) , u u (c) 2/ U U(b) , U 2 U)a(

2121

2121

==

==

3.14 En un condensador pla les plaques estan separades una distncia a, la crrega s Q i la diferncia de potencial entre les plaques s V. a) Determini el camp elctric i lenergia emmagatzemada per dos mtodes diferents. Si la distncia entre les plaques es duplica, determini la crrega, la diferncia de potencial entre les plaques, el camp elctric i lenergia emmagatzemada en el casos segents: (b) el condensador es mant allat amb crrega Q, (c) el condensador es mant connectat a la diferncia de potencial V.

2U

' U',2E

'E' ,2Q

'Q' ,V'V'(c)2U U',EE' , V2V' ,Q'Q)b(

QV21

U, a

VE)a(

====

====

==

4 CORRENT ELCTRIC

4.1 Per un cable de coure ( = 5,81107 S/m) d1 mm de dimetre circula un corrent de 10 A. Determini la densitat de corrent, la crrega que travessa una secci del cable en 1 min, la resistncia per unitat de longitud del cable i la potncia per unitat de longitud que shi dissipa.

W/m2,19P/ , m/m 21.9R/ C 600Q ,m/MA 7.12j 2

====

ll

4.2 Un fil conductor de secci circular t un dimetre d1 mm, una longitud d1 m i una resistncia de 10 . Calculi el temps que tarda un electr a recrrer el fil quan els seus extrems estan connectats a una diferncia de potencial d1 V. (Suposi que la densitat delectrons de conducci s 1029 m-3).

35 h 4.3 Sengles barres de tungst (resistivitat =5.5110-8

m) i de coure (=1.7210-8 m) de longitud 0.75 m i secci 0.03 m2 es connecten en paral lel a un generador. Si pel generador circula un corrent dintensitat 100 A, determini: (a) La resistncia de

cadascuna de les barres. (b) La caiguda de potencial a les barres i la potncia total dissipada.

(a) R1 = 1.38 , R2 = 0,43 (b) V = 33 V, P = 3.3 mW 4.4 (a) Calculi la resistncia equivalent entre A i B del

circuit de la figura. (b) Quina s la diferncia de potencial entre A i C si la intensitat a la resistncia de 8 s 0.5 A?

V 12 V (b) , 8 R )a( ACAB == 4.5 Un generador de f.e.m. E i resistncia interna r es

connecta a una resistncia R variable. (a) Dibuixi la grfica que representa la potncia subministrada a la resistncia en funci de R. (b) Quan ser mxima aquesta potncia? (c) Quin ser llavors el rendiment del generador?

( ) % 50 (c) ,r R (b) , rRRP (a) 2

2==

+=

E

4.6 (a) S'associen n generadors idntics, de fem E1 i resistncia interna r1, en srie connectant el pol positiu de cada generador al pol negatiu del segent. Calculi la fem i la resistncia del generador equivalent a l'associaci. (b) Repeteixi l'apartat anterior quan s'associen els n generadors en paral lel unint els pols del mateix signe. Si es connecta a lassociaci de generadors una resistncia R, determini la intensitat del corrent que hi circula quan els generadors estan connectats (c) en srie i (d) en paral lel. (e) Conclusi.

n

rRI (d) ;

n

Rr

I )c(n

r r , (b) ; r n r , n )a(

1

1

1

1

1111

+=

+=

====

EE

EEEE

4.7 Un voltmetre presenta entre els seus dos terminals una resistncia interna RV que normalment s molt elevada. En canvi, la resistncia entre els terminals dun ampermetre RA acostuma a ser baixa. En el circuit format per un generador connectat a una resistncia R introdum un voltmetre per mesurar la tensi V al generador, i un ampermetre per mesurar la intensitat I a la resistncia. (a) Calculi R i la f.e.m. del generador sabent que els mesuradors sn ideals (RV= i RA=0) i que V=1.4 V, I=1.0 A i la resistncia interna del generador s r=100 k. (b) Repeteixi lapartat anterior en el cas que RV=1 M i RA=1 k .

M 1.399 R , V 1.64 (b) M 1.4 R , V 1.5 )a(==

== E

E

4.8 Un circuit est format per un generador de resistncia interna 0.5 connectat a una resistncia de 20 en srie amb un ampermetre. Entre els borns del generador hi ha un voltmetre que t una resistncia de

100 . Lampermetre marca 2 A i el voltmetre 41V. Determini (a) la f.e.m. del generador i (b) la resistncia de lampermetre.

0.5 (b) ,V 42.2 )a( 4.9 Un pont de Wheatstone est constitut per quatre

branques AB, BC, CD i DA amb resistncies R1, R4, R3 i R2 respectivament. Entre els punts A i C es connecta una pila de f.e.m. E, i entre B i D un ampermetre. Determini la condici que han de complir les resistncies perqu no circuli corrent per lampermetre. Quina podria ser la utilitat daquest pont?

RRRR 4231 =

4.10 Un circuit t dos nusos connectats mitjanant tres branques constitudes per una pila de 18 V, 12 ; una resistncia de 6 i una pila de 21 V, 5 . A cada nus els pols de les dues piles tenen signes diferents. Determini les intensitats dels corrents que circulen per cada branca.

A3 ,A1 ,A2 4.11 En el circuit de la figura determini: (a) Les intensitats

que circulen per les branques. (b) La potncia que sabsorbeix al circuit. (c) Lenergia que semmagatze-maria a un condensador d'1 F connectat entre els punts A i B.

(a) I1 = 0.67 A , I2 = I3 = 0,33 A (b) P = 2,67 W , (c) U = 6.72 J 4.12 Els generadors del circuit representat a la figura tenen

resistncia interna negligible. Determini els potencials dels punts A, B, C i D.

VA = 10 V, VB = 14 V, VC = 8 V, VD = 24 V

4.13 Una pila de f.e.m. E i resistncia interna negligible es connecta a travs dun interruptor a una resistncia R i un condensador de capacitat C en srie. (a) Determini levoluci de la crrega del condensador i de la intensitat del corrent quan linterruptor tanca el circuit. (b) Calculi lenergia subministrada per la pila per carregar el condensador. (c) Un cop carregat el condensador es curtcircuita el generador. Determini levoluci de la crrega i de la intensitat. (d) Quant val llavors lenergia total que es dissipa a la resistncia?

(e) Compari els resultats dels apartats (b) i (d).

2

2

C21

U)d( ; )RC

t(- exp R

- I(t)

, )RC

texp(- C Q(t) (c) ; C U)b(

)RC

t-exp(

R)t(I , )

RCt

-exp(-1 C)t(Q )a(

EE

EE

EE

==

==

=

=

4.14 Consideri el circuit del problema anterior i afegeixi-li una resistncia Rp en paral lel amb el condensador. Quan es tanca linterruptor, determini la intensitat del corrent que dna el generador i la crrega del condensador (a) a linici, i (b) al cap dun temps molt gran.

0=Q , R

=I )a( E

p

P

p R+RCR

=Q ,R+R

=I (b) EE

5 CAMP MAGNTIC

5.1 Determini per clcul directe el camp magntic en un punt situat a la distncia r dun fil rectilini molt llarg pel qual circula un corrent dintensitat I. (A.N.: I=1 A, r=1 cm).

T 20 B , a r2I

B o =pi

=

rr

5.2 Per dos fils paral lels molt llargs que disten a circulen sengles corrents dintensitats I1 i I2. Determini la fora

2Fr

que actua sobre un tros del segon fil de longitud

2l (indiqui el mdul, la direcci i el sentit en funci dels sentits dels corrents).

a2II

F 221o2pi

=

l

5.3 Determini el camp magntic que crea una espira circular de radi a recorreguda per un corrent d'intensitat I (a) als punts del seu eix (eix z amb origen al centre i sentit relacionat amb el de la intensitat segons la regla del tirabuix), i (b) al seu centre.

( ) a a2 I

B (b) , a az2

a I B )a( z0z2/322

20 r

rrr=

+=

5.4 (a) A partir del resultat del problema anterior, calculi el camp magntic que crea un solenoide recte, molt llarg i de secci circular, als punts del seu eix, sabent que t n espires per unitat de longitud per les quals circula un corrent dintensitat I. (b) A partir del resultat de lapartat anterior i mitjanant laplicaci del teorema dAmpre determini el camp magntic als punts de linterior i de lexterior del solenoide.

0B ,a I nB (b) ,a I nB )a( extz0intz0 ===rrrrr

5.5 Dos corrents rectilinis molt llargs sn paral lels a leix z, tenen el sentit positiu de leix, tallen al pla xy en els punts (0,a,0) i (0,-a,0), i la seva intensitat s I. Determini el camp magntic als punts (0,2a,z), (0,0,z), (0,-2a,z), (-a,0,z) i (a,0,z).

y0

y0

x0

x0

aa2I)z,0,a(B

aa2I)z,0,a(B ,a

a3I2)z,a2,0(B

0)z,0,0(B ,aa3I2)z,a2,0(B

rr

rrrr

rr

pi

=

pi

=

pi

=

=

pi

=

5.6 Determini en el cas del problema anterior, la circulaci del camp magntic al llarg d'una circumferncia amb centre (0,0,0) i radi (a) a/2, (b) 2a.

I 2 (b) , 0 )a( o==

5.7 Per un cilindre molt llarg de radi a circula un corrent uniforme dintensitat I. Determini el camp magntic a una distncia r de leix del cilindre. Representi grficament el camp en funci de la distncia.

02

0 ar 2IB :ar , a

a2r IB :ar

pi

=

pi

=

rrrr

5.8 Per un tub cilndric molt llarg de radis a i b (a=pi=S. Determini la inductncia mtua M de les dues bobines.

a

SNN = M o

6.10 Un fil rectilini vertical molt llarg est situat al pla duna espira quadrada vertical de costat a. El costat vertical ms prxim dista b del fil. (a) Calculi la inductncia mtua del sistema fil-espira (A.N.: a=10 cm, b=5 cm). (b) Si pel fil circula un corrent dintensitat I=Iocost, sent Io i constants, determini la intensitat del corrent que circula per lespira sabent que t resistncia R i inductncia negligible. (c) Faci un esquema indicant els sentits dels corrents per a t=nT/4 (n=0,1,2,3,4) sent T=2/.

nH 22 = M , ) ba

+ln(1 2a

=M )a( o

R2

tsinI )ba

+1ln(a =I (b)

oo

6.11 Una espira circular drea S i inductncia negligible gira amb velocitat angular constant entorn dun dimetre vertical en el si dun camp magntic B horitzontal, uniforme i constant. Determini: (a) El flux magntic que travessa lespira en funci del temps. (b) La f.e.m. induda a lespira.

)tsin(BS (b) , )tBScos( )a( +=+= E 6.12 Per un cable coaxial format amb capes conductores

cilndriques de radis a i b, gruixos negligibles i longitud l (a

alterna de 220 V, 50 Hz hi circula un corrent de 4.4 A. Determini la resistncia i la inductncia de la bobina.

mH 95.5 L , 40R == 7.3 Un circuit constitut per una resistncia de 1k, una

inductncia de 0.2 H i una capacitat de 2 F en srie es connecta a una tensi alterna de 125 V, 50 Hz. Determini: (a) La impedncia del circuit. (b) La intensitat i el seu desfasament respecte la tensi. (c) Les tensions en borns de la resistncia, de la inductncia i de la capacitat, i compari la suma daquestes tensions amb la tensi aplicada al circuit. (d) La potncia consumida al circuit.

(a) Z = 1.83 k , = -56.8 (b) I = 68.5 mA , = 56,8 (c) VR= 68,5 V , VL= 4,30 V , VC= 109 V (d) P = 4.68 W

7.4 Es connecta a la xarxa de 220 V, 50 Hz lassociaci en paral lel duna resistncia de 100 i una bobina dinductncia 20 mH i resistncia 10 . Determini: (a) La impedncia de lassociaci. (b) Les intensitats a la resistncia i a la bobina, i els seus desfasaments respecte la tensi. (c) La intensitat total que dona la xarxa i el seu desfasament respecte la tensi. Compari-la amb la suma de les intensitats a la resistncia i a la bobina.

(a) Z =10.7 , = 28.9 (b) IR=2.2 A, R=0 ; IB=18.6 A, B=-32.1 (c) I=20.5 A , =-28,9

7.5 Saplica una tensi alterna ,V a una resistncia R i un condensador C connectats en srie. Determini (a) la impedncia del circuit, (b) la intensitat del corrent que hi circula, (c) la tensi entre els borns del condensador, i (d) examini els casos =o=1/(RC), o. Comprovi que el circuit actua com un filtre passa-baix.

22 )C/(1R)C/(jRVI (b) ,

CjRZ )a(

+

+=

=

2c )RC(1jRC1VV )c(

+

=

)RC/j(VV , V V , 2/)j1(VV )d( ccc === 7.6 Un pont de Wheatstone

de corrent altern t a les branques impedncies 1Z , 2Z , 3Z i 4Z que es recorren en aquest ordre. Determini la condici dequilibri del pont. (b) El pont de Maxwell, amb la mateixa configuraci, t la impedncia 1Z constituda per una bobina de resistncia R i inductncia L, la impedncia 3Z per una capacitat Co en paral lel amb una resistncia Ro, ambdues variables, i les impedncies 2Z i 4Z sn resistncies R2 i R4 respectivament. Determini les expressions que permeten calcular R i L quan el pont s a lequilibri.

42oo42

4231

RRCL ,R/RRR (b) , ZZZZ )a(

==

=

7.7 El circuit APBQA t successivament a les quatre branques una resistncia R, una capacitat C, una

resistncia R i una capacitat C. Entre A i B saplica una tensi alterna V de pulsaci . Determini la tensi V entre P i Q, i observi com varia V/V en funci de RC. Quina particularitat presenta aquest quocient? Dedueixin una aplicaci.

)arctgRC2jexp()RC

1arctg 2 (j expV/V =

=

7.8 Per mesurar la potncia que consumeix un motor de corrent altern es connecta entre els seus borns una resistncia R i es mesuren amb tres ampermetres dimpedncia interna negligible les intensitats que circulen pel motor IM, per la resistncia IR i per la lnia IL. Determini el factor de potncia del motor i la seva potncia (A.N.: IM=12 A, IR =5 A, IL=15 A, R=100 ).

kW 2.8P , )III(2RP

47.0 sco , II2

III cos

2R

2M

2L

RM

2R

2M

2L

==

==

7.9 Un llum fluorescent de 40 W, 220 V, 50 Hz t un factor de potncia 0.5 degut a la seva inductncia (reactncia). Si es connecta en paral lel amb el llum un condensador, (a) quina capacitat haur de tenir per tal que la intensitat del corrent total a la lnia sigui mnima? (b) Quant valdr llavors el factor de potncia? (c) A qui beneficiar la col locaci del condensador?

1 cos (b) , F 4.56C )a( == 7.10 Saplica una tensi alterna de 100 V i 100/ Hz a un

circuit constitut per un condensador de 12,5 F en paral lel amb una bobina de 3 i 20 mH. Calculi: (a) Les intensitats que circulen pel condensador i per la bobina, i la intensitat total. (b) La potncia dissipada al circuit. (c) La capacitat que hauria de tenir el condensador perqu la intensitat total fos mnima i el valor daquesta intensitat.

A 12 , F 800 (c)kW 1.2 (b) ,A 19.8 ,A 20 ,A 0,25 )a(

7.11 Es connecten en paral lel una inductncia L en srie amb una capacitat C i una inductncia L en srie amb una capacitat C. Determini les pulsacions (a) de ressonncia i (b) dantiressonncia del circuit.

'CL'1/ , LC1/ )a( r21r ==

)'LL/()'C

1C1( )b( ar ++=

7.12 Saplica una tensi alterna ,V al circuit constitut per una impedncia 1Z en srie amb dues impedncies

2Z i Z en paral lel. Determini (a) la condici que han de complir 1Z i 2Z per tal que la intensitat del corrent que circula per Z sigui independent de Z , i (b) la intensitat del corrent en aquest cas. (c) Quina aplicaci suggeriria per a aquest circuit? Amb quines impedncies 1Z i 2Z concretes podria realitzar-se?

121 Z / VI (b) , ZZ )a( ==

8 EQUACIONS DE MAXWELL

8.1 Un condensador pla de plaques circulars de radi R, separades a (a

10.5 Una piscina est plena daigua fins a una altura h. (a) Determini en funci de lndex de refracci de laigua n la profunditat aparent h a la qual es veu el fons quan sobserva verticalment des de laire. (b) Determini grficament la posici de la imatge dun punt del fons quan sobserva obliquament des de laire. Conclusi.

n

h h' )a( =

10.6 Un peix s a 12 cm de la superfcie plana d'una peixera. Un nen que est a 1 m de la peixera mira el peix. a) On veu el nen al peix? b) On veu el peix al nen? c) Si la superfcie de la peixera fos esfrica de radi 20 cm, on veuria el nen al peix? d) En aquest cas, on es formaria la imatge del nen? L'ndex de refracci de l'aigua s 1.33.

peix del darrera cm 193 a (d) ,cm 111 a (c) ,cm 145 a (b) ,cm 109 a )a(

10.7 Calculi la distncia focal d'una lent prima biconvexa de radis 10 i 20 cm construda amb un material d'ndex de refracci n = 1.22 i submergida en (a) aire (n = 1), (b) aigua (n =1.33).

cm -80.6f (b) , cm 3.30f )a( == 10.8 El radi de la superfcie esfrica duna lent

planoconvexa s 18.5 cm. Lndex de refracci del vidre de la lent s 1.573 per a la llum roja i 1.619 per a la llum violada. Calculi la separaci entre els focus de la lent corresponents als dos colors de la llum.

cm 4.2ff vr =

10.9 Determini quina ha de ser la distncia dun objecte a una lent convergent de distncia focal f per obtenir un augment m.

m

1-mfs =

10.10 Una lent convergent forma una imatge 3 vegades ms gran dun determinat objecte. Si lobjecte es corre 2 cm cap a la lent la imatge s llavors 5 vegades ms gran. Determini la distncia focal de la lent i la posici inicial de lobjecte si durant el corriment lorientaci de la imatge (a) no canvia, (b) canvia.

(a) cm 20 s , cm 15f == (b) cm 5s , cm 75,3f == 10.11 Per determinar la distncia focal duna lent divergent

sha posat en contacte amb una lent convergent de 10 diptries. Un objecte situat a 30 cm del sistema de lents t una imatge real a 50 cm d'aquest. Quina s la distncia focal de la lent divergent?

cm 4.21f = 10.12 Un sistema ptic est format per dues lents

biconvexes de distncies focals 10 cm i 20 cm. Determini la posici i lalada de la imatge corresponent a un objecte de 5 cm d'alada situat a 15 cm de la primera lent si la distncia entre les lents s (a) 80 cm, (b) 10 cm, (c) 0 cm. Comprovi els resultats dibuixant el diagrama de raigs. Dibuixi la marxa dels raigs des dun punt de lobjecte fins a la imatge.

(a) cm 6.7 'y , cm 3.33's 22 ==

(b) cm 5'y , cm 10's 22 == (c) cm 4' y, cm 12's 22 == 10.13 Un objecte dista 50 cm duna lent darrera de la qual

hi ha a 25 cm una lent de -2 D. Sabent que el sistema de lents forma la imatge a 50 cm darrera de la segona lent, determini la potncia de la primera lent i laugment corresponent al sistema de lents. Dibuixi el diagrama de raigs.

2- m , D 4 P1 ==

10.14 Un observador mira un objecte a travs duna lent de 10 D. Darrera de lobjecte hi ha un mirall esfric cncau que dista 40 cm de la lent. Lobservador veu davant de la lent dues imatges en la mateixa posici, una dreta i una invertida, cadascuna amb una grandria doble de la de lobjecte. Determini la distncia focal del mirall i dibuixi el diagrama de raigs.

cm5.12f 2 = 10.15 Un sistema ptic est format per un mirall cncau de

20 cm de radi, una lent convergent de 7.5 cm de focal i, a continuaci, una lent divergent de -10 cm de focal situada a 20 cm de la lent convergent. Si a 15 cm del mirall hi ha un objecte i la imatge corresponent als raigs que es reflecteixen al mirall i travessen les lents s a l'infinit, calculi la distncia entre el mirall i la lent convergent.

cm 40d = 10.16 Volem projectar una imatge lluminosa de 15 cm de

longitud al fons duna piscina de 3 m de profunditat. Disposem duna lent biconvexa de 50 cm de focal, que situem a sota de lobjecte i a 2 m per sobre del nivell de laigua. Sabent que lndex de refracci de laigua s 1.33, determini: (a) La distncia de lobjecte a la lent. (b) La longitud de lobjecte. (c) El tipus dimatge que es formar al fons de la piscina. Comprovi els resultats dibuixant el diagrama de raigs. Dibuixi la marxa dels raigs des dun punt de lobjecte fins a la imatge.

(a) 56,7 cm , (b) 2 cm , (c) real i invertida

11 INSTRUMENTS PTICS

11.1 El punt proper dun ull hipermetrop est situat a 100 cm de lull. Determini la potncia de la lent de contacte necessria per veure b un objecte situat a 25 cm de lull.

3,0 D 11.2 El punt lluny dun ull miop est situat a 50 cm de

lull. Determini la potncia de la lent que cal per veure b els objectes molt allunyats si es tracta duna lent (a) de contacte, (b) dunes ulleres col locades a 2 cm de lull.

(a) -2,0 D , (b) -2,1 D 11.3 Una lupa t una distncia focal de 8 cm. Determini

laugment angular quan lull est (a) relaxat, (b) enfocat al punt proper situat a 25 cm.

(a) 3,1 , (b) 4,1

11.4 La distncia entre locular i lobjectiu dun microscopi s 197 mm. Les distncies focals de locular i de lobjectiu sn 18 i 8 mm respectivament. Determini: (a) La distncia dun objecte a lobjectiu sabent que la imatge que forma el microscopi es troba a linfinit. (b) Laugment lineal de lobjectiu. (c) Laugment angular del microscopi.

(a) 8,37 mm , (b) -21,4 , (c) -297 11.5 Amb dues lents de focals 95 i 15 cm es construeix un

telescopi. Lobjecte i la imatge que forma el telescopi es troben a linfinit. Determini: (a) Laugment angular del telescopi. (b) Laltura de la imatge que lobjectiu forma duna casa de 60 m daltura situada a 3 km de distncia. (c) La grandria angular de la imatge final vista per un ull molt proper a locular.

(a) -6,33 , (b) 1,90 cm , (c) 7,25