Problemas 40 y 41 del Captulo 1 del Schuam de Anlisis Vectorial

Problemas 40 y 41 del Captulo 1 del Schuam de Anlisis Vectorial

1-40Dos ciudades A y B estn situadas una frente a la otra en las dos orillas de un ro de 8 km de ancho, siendo la velocidad del agua de 4 km/h. Un hombre en A quiere ir a la ciudad C que se encuentra a 6 km aguas arriba de B y en su misma ribera. Si la embarcacin que utiliza tiene una velocidad mxima de 10 km/h y desea llegar a C en el menor tiempo posible, qu direccin debe tomar y cunto tiempo emplea en conseguir su propsito? Respuesta: Debe seguir una trayectoria rectilnea formando un ngulo de 3428 con la direccin de la corriente. 1h 25 min. [Nota: Aguas arriba significa en sentido contrario a la corriente.]Solucin:

vbtvbrAvrt6 kmCBYX8 km

La idea es que para llegar exactamente al punto C, el bote debe orientarse un ngulo ms all que el ngulo contrarestando el empuje de la corriente. Tenemos los siguientes datos:

vrt = 4 km/h i, vbr = 10 km/h,

Por la ley de velocidades relativas tenemos quevbt = vbr + vrtvbt (sen i + cos j) = 10 kph (cos i + sen j) + 4kph i vbt sen = 10 kph cos + 4 kph y vbt cos = 10 kph sen tan = sen (10 sen ) = cos (10 cos 4) 10(cos cos sen sen ) = 4 cos = 4(8/10) = 16/5 cos( + ) = 8/25 + = cos1(8/25) = 71.3370Pero = tan1(6/8) = 36.8699 = 71.3370 36.8699 = 34.4671 = 34281.57As quevbt = 10 kph = 7.0742 kphPor lo que, le tomar llegar

1-41 Un hombre que se dirige hacia el Sur a 15 km/h observa que el viento sopla aparentemente del Oeste. Al aumentar su rapidez a 25 km/h, le parece que el viento sopla del Suroeste. Determinar la rapidez del viento, as como su direccin y sentido. Respuesta: El viento viene en la direccin Oeste 5618 Norte a 18 km/h.

OSNvvh2vht245EOSNvht1vvh1ESolucin:

Se desea la velocidad relativa del viento respecto a la tierra. Luego por la ley de velocidades relativas, tenemosvvt = vvh + vhtEsta velocidad es la misma en cualquiera de las dos situaciones descritas, por lo que la ley adquiere la forma para cada situacin comovvt = vvh1 + vht1 = vvh2 + vht2.Desarrollamos en componentes los ltimos dos miembros para darvvh1 i 15 kph j = vvh2(cos 45 i + sen 45 j) 25 kph jIgualando componentes correspondientes, se construye el siguiente sistema de ecuaciones, vvh1 = vvh2 cos 45 15 kph = vvh2 sen 45 25 kphDe la segunda ecuacin, se despeja la rapidez vvh2,vvh2 = 10 kph/sen 45 = 10 2 kph,por lo quevvh1 = 10 2 kph cos 45 = 10 kph.As que la velocidad (real) del viento esvvt = 10 kpn i 15 kph j,cuya magnitud esvvt = = 18 kphy su direccin esvt = tan1(15/10) = 5618 al sur del este, es decir, viene en la direccin O 5618 N.La situacin est descrita en la siguientes figuras. Ntese que la velocidad real del viento es la misma en ambas situaciones.

EOSvvtvtNvvh2vvtvht245vtENSOvtvvtvht1vvh1ESNO1M. en C. Ricardo Lpez Lemus. Cubculo 232. Correos: rlemus@esfm.ipn.mx, rlemus08@yahoo.com.mx