Procesamiento Digital de Señales
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La Transformada ZLa Transformada Z
1.1. Definición de la Transformada ZDefinición de la Transformada Z
2.2. Propiedades de la Transformada ZPropiedades de la Transformada Z
3.3. La Transformada Z inversaLa Transformada Z inversa
4.4. Sistemas LTI y dominio ZSistemas LTI y dominio Z
5.5. Estructuras para la realización de Estructuras para la realización de sistemas discretossistemas discretos
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1. Definición de la Transformada Z.1. Definición de la Transformada Z.
La Transformada Z directa.La transformada Z de una señal discreta x(n) está definida como una serie de potencias
Donde z es una variable compleja.
La transformada es llamada directa por transformar una señal del dominio del tiempo x(n) al plano complejo X(z).
El proceso inverso es llamado transformada inversa Z.
n
nznxnxZzX )()()(
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Al ser la transformada Z una serie infinita de potencias, existe solo para valores de z donde la serie converge.
La región de convergencia (ROC) de X(z) es el conjunto de valores de z para el cual X(z) alcanza valores finitos.
Ejemplos:x1(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} X1(z) = 1 + 2z-1 + 5z-2 + 7z-3 + z-5
x2(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} X2(z) = z2 + 2z + 5 +7z-1 + z-3
x3(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1} X3(z) = z-2 + 2z-3 + 5z-4 + 7z-5 + z-7
x4(n) = {2, 4, 5, 7, 0, 1} X4(z) = 2z2 + 4z +5 +7z-1+z-3
x5(n) = δ(n) X5(z) = 1
x6(n) = δ(n - k), k > 0 X6(z) = z-k, k > 0
x7(n) = δ(n + k), k > 0 X7(z) = zk, k > 0
¿Cuál es la ROC en cada caso?
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• La ROC de señales de duración finita es todo el plano Z salvo en ocasiones z = {0, ∞}.
• Estos puntos quedan excluidos pues zk (k > 0) no está acotada para ∞ y z-k (k > 0) para 0.
• La transformada Z es una forma alternativa de representar una señal.
• El exponente de z tiene la información necesaria para identificar las muestras de la señal.
• La suma finita o infinita de la transformada Z puede expresarse en forma compacta.
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Determina la transformada Z de la señal x(n) = ½n u(n).
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Expresemos la variable compleja z en forma polar
z = rejθ
donde r = |z| y θ= ∟z.
La transformada Z puede expresarse entonces como
En la ROC de X(z), |X(z)| < ∞. Pero
Entonces |X(z)| es finita si x(n)r-n es en absoluto sumable.
n
njn
rezernxzX j
)()(
n
n
n
njn
n
njn rnxernxernxzX )()()()(
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La ROC de X(z) se determina con el rango de valores de r donde la secuencia x(n)r-n es en absoluto sumable.
• Si X(z) converge en alguna región del plano complejo, entonces los dos sumandos son finitos en esa región.
• Si converge el primer sumando, los valores de r son lo suficientemente pequeños para que la secuencia x(-n)rn,1 ≤ n < ∞, sea en absoluto sumable y la ROC correspondiente es una circunferencia de radio r1 < ∞.
• Si converge el segundo sumando, los valores de r son lo suficientemente grandes para que x(n)/rn, 1 ≤ n < ∞, sea en absoluto sumable y la ROC son todos los puntos fuera de una circunferencia de radio r < r2.
010
1 )()(
)()()(
nn
n
n
nn
n
n
r
nxrnx
r
nxrnxzX
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Im(z)
Re(z)r1
Región deconvergencia
Im(z)
Re(z)r2
Región deconvergencia
Plano z
Plano z
Im(z)
Re(z)r2
Región deconvergenciade |X(z)|r2 < r < r1
Plano z
r1
La convergencia de X(z) exige que los sumandos sean finitos.
Entonces la ROC de X(z) es la región anular del plano z: r2 < r < r1, que es la zona donde las sumas son finitas.
Si r2 > r1 no existe región de convergencia común y X(z) no existe.
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Determina la transformada Z de la señal x(n) = αn u(n).
Determina la transformada Z de la señal x(n) = - αn u(-n-1).
Determina la transformada Z de la señal x(n) = αn u(n) + bn u(-n-1).
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Una señal discreta x(n) queda unívocamente determinada por su transformada z, X(z), y la región de convergencia de X(z).
La ROC de una señal anticausal es el interior de una circunferencia de radio r1 mientras que la ROC de una señal causal es el exterior de un círculo de radio r2.
La ROC para una señal que se extiende hasta el infinito por los dos lados es un anillo (región anular) en el plano z.
Transformada Z unilateral:
0
)()(n
nznxzX
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…
…
……
Causal
Causal
Anticausal
Anticausal
Bilateral
Bilateral
Señales de duración finita
Señales de duración infinita
Plano zexcepto z = 0
Plano zexcepto z = ∞
Plano zexcepto z = ∞ y z = 0
r1
r2
r
2
r1
|z| > r2
|z| < r1
r2 < |z| < r1
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La Transformada Z inversa.El procedimiento para transformar una señal del dominio z al dominio del tiempo se denomina transformada Z inversa.
Se emplea el teorema integral de Cauchy.
Tenemos:
Multiplicamos por zn-1 e integramos sobre un contorno cerrado C en el interior de la ROC y que contiene al origen.
Al converger la serie en los puntos de C podemos tener
k
kzkxzX )()(
C
k
kn
C
n dzzkxdzzzX 11 )()(
k
C
kn
C
n dzzkxdzzzX 11 )()(
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La integral de Cauchy dice:
Aplicando esta integral tenemos finalmente:
nk
nkdzz
j C
kn
,0
,1
2
1 1
C
n dzzzXj
nx 1)(2
1)(
Im(z)
Re(z)r2
Contorno C para la integral
Plano z
r1
C
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2. Propiedades de la Transformada Z.2. Propiedades de la Transformada Z.Linealidad.Si
Entonces
)()()()( 2211 zXnxyzXnx zz
)()()()()()( 22112211 zXazXazXnxanxanx z
Determina la transformada Z y la ROC de la señal x(n) = [3(2n) – 4(3n)]u(n).Determina la transformada Z de las señales x(n) = (cos ωn )u(n) y x(n) = (sen ωn)u(n).
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Desplazamiento en el tiempo.Si
Entonces
La ROC de z-kX(z) es la misma que la de X(z) salvo para z = 0 si k > 0 y z = ∞ si k < 0.
)()( zXnx z
)()( zXzknx kz
Determina las transformadas Z de las señales x1(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1} y x2(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} a partir de la TZ de x0(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}.Determina la transformada Z de la señal:
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Escalado en el dominio z.Si
Entonces
Para cualquier constante a real o compleja.
21:)()( rzrROCzXnx z
211 :)()( razraROCzaXnxa zn
Determina la TZ de las señales x(n) = an(cos ωn )u(n) y x(n) = an(sen ωn)u(n).
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Inversión temporal.Si
Entonces
21:)()( rzrROCzXnx z
12
1 11:)()(
rz
rROCzXnx z
Determina la TZ de la señal x(n) = u(-n)
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Diferenciación en el dominio z.Si
Entonces
)()( zXnx z
dz
zdXznnx z )(
)(
Determina la TZ de la señal x(n) = nanu(n).Determina la señal x(n) si X(z) = log(1 + az-1) con |z| > |a|.
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Convolución de dos secuencias.Si
Entonces
La ROC de X(z) es, cuando menos, la intersección de las de X1(z) y X2(z)
)()()()( 2211 zXnxzXnx zz
)()()()()()( 2121 zXzXzXnxnxnx z
Determina la convolución de x1(n) = {1, -2, 1} y x2(n) = {1, 1, 1, 1, 1, 1}.
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El cáculo de la convolución de dos señales empleando la transformada z exige los siguientes pasos:
1. Calcular las transformadas z de la señales a convolucionar
X1(z) = Z{x1(n)} X2(z) = Z{x2(n)}
(Dominio del tiempo Dominio z)
2. Multiplicar las dos transformadas z X(z) = X1(z) X2(z) (Dominio z)
3. Encontrar la transformada z inversa de X(z)
x(n) = Z-1{X(z)}
(Dominio z Dominio del tiempo)
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Correlación de dos secuencias.Si
Entonces
La ROC de Rx1x2(z) es, como mínimo, la intersección de las de X1(z) y X2(z-1).
Multiplicación de dos secuencias.Si
Entonces
C es un contorno cerrado que encierra al origen y se halla en la región de convergencia común a X1(v) y X2(1/v).
)()()()()()( 12121 2121
zXzXzRlnxnxlr xxz
nxx
)()()()( 2211 zXnxzXnx zz
)()()()( 2211 zXnxzXnx zz
dvvv
zXvX
jzXnxnxnx
C
z 12121 )(
2
1)()()()(
![Page 23: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/23.jpg)
Relación de Parseval.Si x1(n) y x2(n) son dos secuencias complejas, entonces
Siempre que r1lr2l < 1 < r1ur2u, donde r1l < |z| < r1u, y r2l < |z| < r2u, son las ROC de X1(z) y X2(z).
El teorema del valor inicial.Si x(n) es causal, es decir, x(n) = 0 para n < 0, entonces
Cn
dvvv
XvXj
nxnx 12121
1)(
2
1)()(
)(lim)0( zXxz
![Page 24: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/24.jpg)
Transformadas Z racionales.Polos y ceros.
Los ceros de la transformada z son los valores para los cuales X(z) = 0.
Los polos de la transformada z son los valores para los cuales X(z) = ∞.
Si X(z) es una función racional entonces,
N
k
kk
M
k
kk
NN
MM
za
zb
zazaa
zbzbb
zD
zNzX
0
01
10
110
...
...
)(
)()(
![Page 25: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/25.jpg)
Si a0 ≠ 0 y b0 ≠ 0, se pueden evitar las potencias negativas de z sacando factores comunes:
Al ser N(z) y D(z) polinomios de z entonces:
Donde G ≡ b0/a0.
01
01
01
01
0
0
/...)/(
/...)/(
)(
)()(
aazaaz
bbzbbz
za
zb
zD
zNzX
NNN
MMM
N
M
))...()((
))...()((
)(
)()(
21
21
0
0
N
MNM
pzpzpz
zzzzzzz
a
b
zD
zNzX
N
kk
M
kk
MN
pz
zzGzzX
1
1
)(
)()(
![Page 26: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/26.jpg)
• X(z) tiene M ceros en z = z1, z2,…,zM, N polos en z = p1, p2,…,pN y |N - M| ceros (si N > M) o polos (si N < M) en el origen z = 0.
• Puede haber polos o ceros en z = ∞:• Existe un cero en z = ∞ si X(∞) = 0
• Existe un polo en z = ∞ si X(∞) = ∞
• Si contamos los polos y ceros, incluyendo los que están en z = 0 y z = ∞, veremos que X(z) tiene exactamente el mismo número de ceros y polos.
• X(z) puede representarse gráficamente con el diagrama de polos (×) y ceros (○) en el plano complejo.
• Por definición, la ROC de una transformada z no puede contener ningún polo.
![Page 27: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/27.jpg)
Algunos pares de transformada Z.
![Page 28: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/28.jpg)
Determina el diagrama de polos y ceros de x(n) = anu(n) y para a > 0
![Page 29: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/29.jpg)
Localización de polos y comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales.
Existe una relación entre la localización de un par de polos en el plano z y la forma de la señal en el dominio del tiempo.
El comportamiento de la señales causales depende de si los polos se hallan en la región |z| < 1, en |z| > 1, o sobre la circunferencia unidad |z| = 1.
Si la TZ de una señal real tiene un solo polo, este debe ser real. La única señal así es la exponencial real:
Que tiene un cero z1 = 0 y un polo p1 = a sobre el eje real.
azROCaz
zXnuanx zn
:1
1)()()(
1
![Page 30: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/30.jpg)
¿Cómo es la señal con respecto a la localización del polo?
Plano z
01
x
Plano z
01
x
Plano z
01x
Plano z
01
x
Plano z
01
x
Plano z
01
x
…
…
…
…
…
…
![Page 31: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/31.jpg)
Una señal causal con doble polo es de la forma:
)()( nunanx nPlano z
01
Plano z
01
Plano z
01
Plano z
01
Plano z
01
Plano z
01
x
x
x
x
x
x
…
…
…
…
…
…
m=2
m=2
m=2
m=2
m=2
m=2
![Page 32: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/32.jpg)
Plano z
0
1…
…
…
x
xr
ω
Plano z
0
1
x
xr
ω
Plano z
0
1
x
x
rω
Par de polos conjugados
r = 1
rn
rn
![Page 33: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/33.jpg)
Plano z
0
1
x
x
ω
Doble par de polos conjugados sobre la circunferencia
r
…
m=2
m=2
![Page 34: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/34.jpg)
Función de transferencia de un sistema LTI.
La propiedad de convolución nos permite expresar:
Y(z) = H(z)X(z); H(z) = Y(z)/X(z)
Como
H(z) caracteriza al sistema en el plano z.
H(z) y h(n) son descripciones equivalentes del sistema.
H(z) se denomina función de transferencia del sistema.
Si describimos al sistema mediante edcc:
entonces
n
nznhzH )()(
![Page 35: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/35.jpg)
El sistema LTI descrito por una edcc tiene una función de transferencia racional.
Si ak = 0 para 1 ≤ k ≤ N tenemos
En este caso H(z) tiene M ceros, determinados por {bk} y un polo de orden M en z = 0.
Este sistema se denomina sistema de todo ceros, o sistema FIR o sistema MA (media móvil).
![Page 36: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/36.jpg)
Si bk = 0 para 1 ≤ k ≤ M tenemos
En este caso H(z) tiene N polos, determinados por {ak} y un cero de orden N en z = 0.
Este sistema se llama sistema de todo polos, o sistema IIR.
La forma general
se denomina sistema de polos y ceros con N polos y M ceros. Los polos y/o ceros en z = 0 y z = ∞ no se cuentan explícitamente. Es un sistema IIR.
a0 ≡ 1
![Page 37: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/37.jpg)
Determina la función de transferencia y la respuesta al impulso del sistema descrito por y(n) = ½y(n-1) + 2x(n) .Determina la función de transferencia y respuesta al escalón de y(n-1)=¼y(n-2)+x(n)
![Page 38: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/38.jpg)
3. La Transformada Z inversa (TZI).3. La Transformada Z inversa (TZI).La transformada Z inversa está dada por
una integral de contorno sobre el camino cerrado C que encierra al origen y se halla en la ROC de X(z).
Por simplicidad C puede ser una circunferencia dentro de la ROC de X(z) en el plano z.
Existen tres métodos empleados su cálculo:
1. Cálculo directo, mediante la integración del contorno.
2. Expansión en serie de términos en z y z-1
3. Expansión de fracciones simples y búsqueda en tabla.
C
n dzzzXj
nx 1)(2
1)(
![Page 39: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/39.jpg)
TZI por integración.Teorema del residuo de Cauchy.
Sea f(z) una función de variable compleja z y C un contorno en el plano z.
Si la derivada df(z)/dz existe dentro y sobre C, y si f(z) no tiene polos en z = z0, entonces:
De forma general, si existe la derivada de orden (k + 1) de f(z) y ésta no tiene polos en z = z0, entonces
Cz
Czzfdz
zz
zf
j C de fuera está si
de dentro está si
0
)()(
2
1
0
00
0
Cz
Czdz
zfd
kdzzz
zf
jk
k
C k de fuera está si
de dentro está si
0
)(
)!1(
1
)(
)(
2
1
0
01
1
0
![Page 40: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/40.jpg)
Si suponemos que el integrando de la integral de contorno es P(z) = f(z)/g(z), donde f(z) no tiene polos dentro del contorno C y g(z) es un polinomio con raices distintas z1, z2, …, zn dentro de C. Entonces,
donde
n
iii
Ci
in
i
C
n
i i
i
C
zA
dzzz
zA
j
dzzz
zA
jdz
zg
zf
j
1
1
1
)(
)(
2
1
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
)()()()()(
zg
zfzzzPzzzA iii
![Page 41: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/41.jpg)
Los valores {Ai(zi)} son los residuos de los correspondientes polos en z = zi, i = 1, 2, …, n.
Por eso la integral es igual a la suma de los residuos de todos los polos dentro de C.
Para el caso de la transformada Z inversa tenemos:
siempre que los polos {zi} sean simples.
Si X(z)zn-1 no tiene polos dentro del contorno C para uno o más valores de n, entonces x(n)=0 para esos valores.
izz
ni
Czi
n-
C
n
i
i
zzXzz
zz X(z)z
dzzzXj
nx
1
de dentro polos los todos
1
1
)()(
en de residuo
)(2
1)(
![Page 42: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/42.jpg)
TZI por expansión en serie de potencias.
Dada X(z) con su ROC, la podemos expandir como:
la cual cual converge en la ROC dada.
Entonces, x(n) = cn para toda n.
Si X(z) es racional, la expansión se puede realizar a través de la división.
n
nn zczX )(
![Page 43: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/43.jpg)
Determina la transformada Z inversa de Cuando ROC: |z| > 1 y |z| < 0.5
21 5.05.11
1)(
zzzX
![Page 44: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/44.jpg)
TZI por expansión de fracciones simples.
Tratamos de expresar X(z) como una combinación lineal:
X(z) = α1X1(z) + α2X2(z) + … + αKXK(z)
donde X1,…, XK(z) son expresiones con TZI x1(n),…,xK(n) disponibles en tablas.
Si la descomposición es posible, tendremos:
x(n) = α1x1(n) + α2x2(n) + … + αKxK(n)
El método es útil si X(z) es racional.
Sin pérdida de generalidad, suponemos a0 = 1, entonces
si a0 ≠ 1, dividimos entre a0.
NN
MM
zaza
zbzbb
zD
zNzX
...1
...
)(
)()(
11
110
![Page 45: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/45.jpg)
La función es propia si aN ≠ 0 y M < N.
Una función racional impropia (M ≥ N) es la suma de un polinomio y una función racional propia, y en general puede expresarse como:
)(
)(...
)(
)()( 1)(1
10 zD
zNzczcc
zD
zNzX NM
NM
NN
MM
zaza
zbzbb
zD
zNzX
...1
...
)(
)()(
11
110
![Page 46: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/46.jpg)
Expresa la transformada racional impropiaen términos de un polinomio y una funciónpropia.
2611
65
3312
6111
1
31)(
zz
zzzzX
![Page 47: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/47.jpg)
Primer paso:
Sea X(z) una función racional propia, esto es:
con aN ≠ 0 y M < N.
Eliminamos las potencias negativas multiplicando por zN:
Como N > M, entonces
es siempre propia.
NN
MM
zaza
zbzbb
zD
zNzX
...1
...
)(
)()(
11
110
NNN
MNM
NN
azaz
zbzbzbzX
...
...)(
11
110
NNN
MNM
NN
azaz
zbzbzb
z
zX
...
...)(1
1
121
10
![Page 48: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/48.jpg)
El objetivo es obtener una suma de fracciones simples.
Para eso, factorizamos el polinomio denominador en factores que contengan los polos p1, p2, …, pN de X(z).
Tenemos dos casos: polos diferentes y de orden múltiple.
Polos diferentes.
Suponemos a los polos p1, p2, …, pN todos diferentes.
Buscamos la expansión de la forma:
Debemos determinar A1, A2, ..., AN.
N
N
pz
A
pz
A
pz
A
z
zX
...
)(
2
2
1
1
![Page 49: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/49.jpg)
Podemos obtener los coeficientes A1, A2, …, AN si multiplicamos por los términos (z - pk), k = 1, 2, …, N, y calculamos las expresiones resultantes en las posiciones de los polos p1, p2, …, pN. Así tenemos:
Entonces, si z = pk, obtenemos los k-ésimos coeficientes
Este proceso es aplicable tanto a polos reales como complejos que sean distintos. Los polos conjugados complejos producen coeficientes de la expansión en fracciones simples que son conjugados complejos.
N
Nkk
kk
pz
ApzA
pz
Apz
z
zXpz
)(......
)()()(
1
1
Nkz
zXpzA
kpz
kk ,...,2,1
)()(
![Page 50: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/50.jpg)
Polos de orden múltiple.
Si X(z) tiene un polo de multiplicidad l, esto es, aparece en el denominador un factor de la forma (z-pk)l, entonces la expansión ha de tener los términos:
Los coeficientes {Ak} se obtienen de derivaciones sucesivas.
lk
lk
k
k
k
k
pz
A
pz
A
pz
A
)(...
)( 221
![Page 51: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/51.jpg)
Segundo paso:
Polos diferentes.
De la expansión se sigue que:
La TZI, x(n) = Z-1{X(z)}, se obtiene invirtiendo cada término y efectuando combinación lineal.
De tablas, los términos se invierten usando la fórmula:
112
211
1 1
1...
1
1
1
1)(
zp
Azp
Azp
AzXN
N
kn
k
kn
k
k pznup
pznup
zpZ
:ROC si)1()(
:ROC si)()(
1
11
1
![Page 52: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/52.jpg)
Si x(n) es causal, la ROC es |z| > pmax, donde pmax = max { |p1|, |p2|, …, |pN| } y la señal viene dada por:
y si todos los polos son reales, podemos decir que una señal causal, que tiene una transformada Z con polos diferentes y reales, es una combinación lineal de exponenciales reales.
Si algunos polos son complejos, tendremos exponenciales complejas, pero si la señal es real debemos reducirlos.
Si pj es un polo, su conjugado complejo pj* lo es también.
La contribución de los dos polos es entonces:
)()...()( 2211 nupApApAnx nNN
nn
)(])()([)( nupApAnx nkk
nkkk
![Page 53: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/53.jpg)
Con estos términos se puede formar una señal real.
Usando notación polar tenemos:
donde αk y βk son las fases de Ak y pk. Sustituyendo:
Por lo tanto,
si la ROC es |z| > |pk| = rk
k
k
jkk
jkk
erp
eAA
)()cos(2
)(][)( )()(
nunrA
nueerAnx
kkn
kk
njnjnkkk
kkkk
)()cos(211 11
1 nunrAzp
A
zp
AZ kk
nkk
k
k
k
k
![Page 54: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/54.jpg)
Polos múltiples, reales o complejos.
La TZI necesita términos de la forma:
Para polos dobles es útil la transformada:
Valida si la ROC es |z| > |p|.
nkpz
A
)(
)()1( 21
11 nunp
pz
pzZ n
![Page 55: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/55.jpg)
Determina la expansión en fraccionessimples de:
2211
231
1)(
zzzX
2211
1
1
1)(
zz
zzX
211 )1)(1(
1)(
zzzX
![Page 56: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/56.jpg)
Determina la TZI de:
1||
||
1||
es ROC si 1
1)(
21
21
2211
23
z
z
z
zzzX
2211
1
1
1)(
zz
zzX 211 )1)(1(
1)(
zzzX
![Page 57: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/57.jpg)
Descomposición de TZ racionales.
Si tenemos
donde suponemos a0≡1. Si M ≥ N, entonces
Si los polos de Xpr(z) son distintos
N
kk
M
kk
N
k
kk
M
k
kk
zp
zzb
za
zbzX
1
1
1
1
0
1
0
)1(
)1(
1)(
)()(0
zXzczX pr
NM
k
kk
112
211
1 1
1...
1
1
1
1)(
zp
Azp
Azp
AzXN
Npr
![Page 58: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/58.jpg)
Puede haber pares de polos conjugados complejos, y al tratar con señales reales debemos evitarlos, agrupando los términos con dichos polos.
donde
El resultado general es:
donde K1+2K2=N.
22
11
110
211
11
11
1
111
zaza
zbbzppzppz
pzAAzApA
zp
A
pz
A
2
21
10
)Re(2
)Re(2)Re(2
paApb
paAb
21
12
21
1
110
10 11)(
K
k kk
kkK
kk
k
kNM
k
kk zaza
zbb
za
bzczX
![Page 59: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/59.jpg)
Si M = N el primer término es una constante.
Si M < N, este término desaparece.
Cuando además hay polos múltiples, se incluyen algunos términos de mayor orden.
Una representación alternativa es:
donde
Suponiendo M = N,
donde N = K1 + 2K2.
22
11
22
11
11
11
1
1
)1)(1(
)1)(1(
zaza
zbzb
zpzp
zzzz
kk
kk
kk
kk
2
2
2
2
11 )Re(2)Re(2
kkkk
kkkk
pazb
pazb
21
12
21
1
22
11
11
1
0 1
1
1
1)(
K
k kk
kkK
k k
k
zaza
zbzb
za
zbbzX
![Page 60: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/60.jpg)
4. Sistemas LTI en el dominio Z.4. Sistemas LTI en el dominio Z.Respuesta con H(z) racional.Consideremos un sistema de polos y ceros con su H(z) dados por
Además, la señal de entrada x(n), tiene su TZ
Si el sistema está inicialmente en reposo y(-1) = y(-2) = ... = 0
![Page 61: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/61.jpg)
Supongamos polos simples p1, p2,…, pN para el sistema y q1, q2,…, qL para la señal de entrada, donde pk ≠ qm para k = 1, 2, …, N y m = 1.
Además suponemos que los ceros del numerador no coinciden con los polos, no existiendo cancelaciones.
La transformada inversa nos da
y(n) puede subdividirse en dos partes.
La primera es la función de los polos del sistema {pk} y es la respuesta natural del sistema.
La segunda es la función de los polos del sistema {qk} y es la respuesta forzada del sistema.
![Page 62: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/62.jpg)
Respuesta con condiciones iniciales no nulas.Suponemos que x(n) se aplica en n = 0 (causal). Los efectos de las señales de entrada previas se reflejan en las condiciones iniciales y(-1), y(-2), ..., y(-N).
Nos interesa determinar y(n) para n ≥ 0, por lo que se emplea la TZ unilateral. Tenemos entonces
Al ser x(n) causal, X+(z) = X(z).
![Page 63: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/63.jpg)
Donde
La salida del sistema con condiciones iniciales no nulas puede subdividirse en dos partes.
La primera es la respuesta en estado cero:
La segunda es la respuesta a la entrada cero:
Entonces:
Además, la respuesta a la entrada cero tiene la forma:
![Page 64: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/64.jpg)
De manera que
Donde por definición:
![Page 65: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/65.jpg)
Determina la respuesta al escalón unitario dada por el sistema con ecuación:y(n) = 0.9y(n-1) – 0.81y(n-2) + x(n)
![Page 66: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/66.jpg)
Respuesta transitoria y en régimen permanente.
La respuesta de un sistema a una entrada dada puede separarse en respuesta natural y respuesta forzada.
La respuesta natural es:
Si |pk| < 1, para toda k, ynr(n) decae a cero conforme n tiende al infinito.
En este caso, se presenta una respuesta transitoria del sistema.
![Page 67: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/67.jpg)
La respuesta forzada del sistema tiene la forma:
Si todos los polos de la señal de entrada {qk} caen en el círculo unitario, yfr(n) decae a cero conforme n tiende a infinito.
En este caso la respuesta forzada se denomina respuesta del sistema en régimen permanente.
Para que un sistema mantenga la respuesta en régimen permanente para n ≥ 0, la señal de entrada debe persistir para todo n ≥ 0.
![Page 68: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/68.jpg)
Determina las respuestas transitoria y permanente del el sistema con ecuación:y(n) = 0.5y(n-1) + x(n)
Cuando la señal de entrada es x(n) = 10 cos (πn/4)u(n) y el sistema está en reposo.
![Page 69: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/69.jpg)
Causalidad y estabilidad.
• Un sistema LTI es causal si y solo si la ROC de la función de transferencia es el exterior de un círculo de radio r < ∞, incluyendo el punto z = ∞.
• Un sistema LTI es estable BIBO si y solo si la ROC de la función del sistema incluye al círculo unitario.
• Un sistema LTI causal es estable BIBO si y solo si todos los polos de H(z) están dentro del círculo unitario.
![Page 70: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/70.jpg)
Un sistema LTI está caracterizado por:
Especifica las ROC de H(z) y determina h(n) para1. Un sistema estable2. Un sistema causal3. Un sistema anticausal.
![Page 71: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/71.jpg)
5. Estructuras para la realización de 5. Estructuras para la realización de sistemas discretossistemas discretos
Representación con diagramas de bloques.
+
x1(n)
x2(n)
x1(n) + x2(n)
×
x1(n)
x2(n)
x1(n) × x2(n)
x(n + 1)zx(n)
x(n - 1)z-1x(n)
ax(n)x(n) a
![Page 72: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/72.jpg)
Dibujar el diagrama de bloques para: y(n) = 0.25 y(n-1) + 0.5 x(n) + 0.5 x(n-1)
Determinar la ecuación correspondiente a:
+ +
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
2
-½
1/3
x(n) y(n)
![Page 73: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/73.jpg)
Forma directa
La función de transferencia de un sistema discreto es:
La ecuación diferencial correspondiente es:
)(
)(
1)(
1
0
zX
zY
za
zbzH N
k
kk
M
k
kk
M
kk
N
kk knxbknyany
01
)()()(
![Page 74: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/74.jpg)
Su realización es la siguiente:
x(n)
x(n-1)
x(n-2)
x(n-3)
x(n-M)
Σ
y(n)
y(n-1)
y(n-2)
y(n-3)
y(n-N)
b0
b1
b2
b3
bM
-a1
-a2
-a3
-aN
x(n) y(n)
![Page 75: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/75.jpg)
Si el almacenamiento de las entradas y salidas pasadas y presentes se representa a través del operador de retardo z-1 tenemos:
Σ
z-1
z-1
z-1
z-1
b0
b1
b2
bM
Σ
z-1
z-1
z-1
z-1
X(z) Y(z)
-a1
-a2
-aN
Realización Forma Directa I
H1(z)Ceros
H2(z)Polos
![Page 76: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/76.jpg)
Intercambiando H1(z) con H2(z) y rearreglando tenemos:
Realización Forma Directa II
Σ b0ΣX(z) Y(z)
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
b1
b2
bM
-a1
-a2
-aM
-aN
H1(z)Ceros
H2(z)Polos
![Page 77: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/77.jpg)
Cascada y paralelo
La realización en cascada se obtiene reconociendo que los polos o ceros de la función de transferencia H(z) al ser números reales o conjugados complejos se pueden escribir de manera factorizada.
Donde
N1 son números reales de ceros para z = ai
N2 son pares conjugados complejos de ceros z = bj y z = bj*
D1 son números reales de polos para z = ck
D2 son pares conjugados complejos de ceros z = dl y z = dl*
21
21
1
11
1
1
1
11
1
1
)1)(1()1(
)1)(1()1()( D
l ll
D
k k
N
j jj
N
i iM
zbzdzc
zbzbzaKzzH
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Los polos y ceros reales son empleados típicamente en la Forma Directa II.
Por ejemplo,
Se efectua con la estructura:
1
1
1
1)(
zc
zazH
k
i
Σ
-ai
ΣX(z) Y(z)
z-1
ck
Estructura de primer orden
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Los polos y ceros conjugados complejos se hallan en pares. Su forma general es:
Y se realizan en la siguiente estructura:
21
21
11
11
)(1
)(1
)1)(1(
)1)(1()(
zddzdd
zbbzbb
zdzd
zbzbzH
llll
jjjj
ll
jj
Σ
-(bj-bj*)
ΣX(z) Y(z)
z-1
dl+dl*
z-1
-dldl* bjbj
*
Como A+A* y AA* son números reales, siendo A un número complejo, todos los multiplicadores son números reales.
Estructura desegundo orden
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La forma paralela resulta de expander H(z) en fracciones parciales. Su forma general para polos simples es:
Donde la primera sumatoria se encarga de los términos de la expansión en fracciones parciales que resulta si M > N.
La segunda sumatoria se encarga de los polos reales y la tercera de los pares conjugados complejos.
Si se ignoran los errores de cuantización no existe problema en la realización del sistema. Pero si son considerados, los resultados pueden cambiar al moverse los polos o ceros produciendo inestabilidad.
21
111
1
11
0
1
)1)(1(
1
1
1)(
D
l l
ll
D
k kk
M
ii zdzd
zeC
zcBzAzH
l
![Page 81: Procesamiento Digital de Señales](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061508/56812d17550346895d9203fb/html5/thumbnails/81.jpg)
Realizar la estructura en cascada y paralelo de
Hallar la ecuación en diferencias de:
+ +x(n) y(n)s
-0.25
s
0.25
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Hallar la ecuación en diferencias de:
+ +x(n) y(n)s
- 2
2
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Bibliografía Digital Signal Processing: Principles, algorithms and applications
J. G. Proakis & D. G. Manolakis. Pearson Education Inc. 3a Ed. 1996.
Introduction to Signals and Systems, D. K. LindnerMcGraw Hill, 1999.
Signals and Systems: Continuous and Discrete.R. E. Ziemer, W. H. Tranter & D. R. FanninPrentice Hall, 4a Ed. 1998
Principles of Signals and Systems F. J. TaylorMcGraw Hill, 1a Ed. 1994
Signals and SystemsA. V. Oppenheim Prentice Hall, 1a Ed. 1993.
Analog and Digital Communication Systems M. S. Roden Prentice Hall, 4a Ed. 1996.