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1Profesor Juan J. Sanmartín
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
La velocidad es una magnitud vectorial, ya que para que quede completamente definida hay que dar, d á d l é i id d di ióademás de su valor numérico y su unidad, su dirección
y su sentido.
El tiempo es una magnitud escalar, ya que quedacompletamente definida dando su valor numéricoy la unidad en la que se mide y la unidad en la que se mide.
2Profesor Juan J. Sanmartín
SISTEMA DE REFERENCIA
Los pasajeros del tranvía están en reposo respecto al conductor, pero los peatones que están en laacera ven a los pasajeros en movimiento Un objeto está en reposo o en movimiento según el acera ven a los pasajeros en movimiento. Un objeto está en reposo o en movimiento según el Sistema de Referencia que se escoja.
3Profesor Juan J. Sanmartín
MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO
Un atleta que de una vuelta completa a la pista,tendrá un desplazamiento nulo. Eldesplazamiento es la diferencia entre la
ó f l ( ) l ó l ( ) dposición final (s) y la posición inicial (s0) de unmóvil.
La trayectoria es la línea que describeel móvil en su movimiento. La longitudque recorre el móvil medida sobre lat t i l i idtrayectoria es el espacio recorrido.
4Profesor Juan J. Sanmartín
MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO
invertidotiemporecorridoespaciovm =Velocidad Media:
Velocidad Instantánea: Velocidad media en un intervalo muy pequeño de tiempo.
La unidad de velocidad en el Sistema Internacional es: m/s
Aceleración:invertidotiempo
velocidaddeiaciónvara =
La unidad de aceleración en el Sistema Internacional es: m/s2
5Profesor Juan J. Sanmartín
Cambio de Unidades al Sistema Internacional
sm25
3600s.1h.
1Km.1000m.
hkm90 =⋅⋅
ss 270060min45 =⋅ mmkm 30000100030 =⋅s2700min1
min45 mkm
km 300001
30 =
EN LOS PROBLEMAS EL RESULTADO TENDRÁ QUE ESTARSIEMPRE EN UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL Y CON SU UNIDAD CORRESPONDIENTE EJEMPLO 5000Y CON SU UNIDAD CORRESPONDIENTE EJEMPLO 5000m.
6Profesor Juan J. Sanmartín
TIPOS DE MOVIMIENTO
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
Un automóvil que se desplaza en línea recta con velocidad Un automóvil que se desplaza en línea recta con velocidad constante lleva un movimiento rectilíneo uniforme.
La posición del móvil en un instante, t, viene dada por: tvss 0 ⋅+=
Gráfica s t de un MRU La pendiente de la G áfi d MRUGráfica s-t de un MRU. La pendiente de la recta coincide con la velocidad.
Gráfica v-t de un MRU.
7Profesor Juan J. Sanmartín
Problemas
M i i tMovimiento RectilíneoUniforme
8Profesor Juan J. Sanmartín
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE (M.R.U.)Problema nº1.-(TIPO I):Una moto parte de una ciudad A a una velocidad de 150 km/h al cabo de 50 min parte de laUna moto parte de una ciudad A a una velocidad de 150 km/h, al cabo de 50 min. parte de lamisma ciudad un coche, con la misma dirección y sentido que la moto anterior pero a una velocidadde 210 km/h. Calcula que el tiempo que tarda el coche en alcanzar a la moto y a que distancia de laciudad A la alcanza.
Lo primero que debéis tener en cuentaes el tipo de movimiento (en este casoM R U ) l fó l lM.R.U.) y las fórmulas que lecorresponden
tvss ⋅+= tvss 0 +=
ss 0−
Es recomendable mientras realizáis los ejercicios en clase o casa tener las fórmulas de los
tv 0=
E m m j f mumovimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)
9Profesor Juan J. Sanmartín
Planteamos el ProblemaAmbos vehículos parten del mismo punto y en el momento que el coche alcanza a lamoto HAN RECORRIDO EL MISMO ESPACIO es decir LOS ESPACIOSmoto HAN RECORRIDO EL MISMO ESPACIO, es decir, LOS ESPACIOSRECORRIDOS SON IGUALES.
vezlaaamboscirculandomoto0moto tvss ⋅+= vezlaaamboscirculandomoto0moto
La moto está circulando durante 50 min. antes de que el coche arranque, consideramosque el espacio recorrido por la moto durante ese tiempo es su espacio inicial.
300060min50 sstinicial =⋅=
.12510030007,417,41
11000
36001150
min1 ms
sm
kmm
sh
hkmv
oinicialmot
moto
inicial
=×=→
=⋅⋅=
Hemos calculado el espacio que recorrió la moto mientras el coche estaba parado.
10Profesor Juan J. Sanmartín
Entonces
cochemoto ss =Y por lo tanto…
tvstv += vez la a ambos circulandomoto0vez la a ambos circulandocoche tvstv ⋅+=⋅Resolvemos
sm
kmm
sh
hkmvcoche 3,58
11000
36001210 =⋅⋅=
.1,75361251001251006,16
1251007,413,583,587,41125100
stt
tttt
==⇒=
=−→⋅=⋅+
,6,16
,
7536,1 s. es el tiempo que tarda el coche en alcanzar a la moto
11Profesor Juan J. Sanmartín
Si queremos saber el tiempo que circula la moto, tendremos que sumar el tiempoinicial en que la moto circulaba mientras el coche estaba parado y el tiempo en que
circulan ambos es decir 3000s+7536 1s=10536 1scirculan ambos, es decir, 3000s+7536,1s 10536,1s
Para calcular el espacio que recorren, se puede calcular tanto con el espacio de lamoto como con el del coche ya que ambos son iguales.
.4,43937,4393551,75367,411251007,41125100 kmmtsmoto ≈=⋅+=⋅+=
.4,4396,4393541,75363,583,58 kmmtscoche
moto
≈=⋅=⋅=
LAS DIFERENCIAS OBTENIDAS SON DEBIDAS A LAS APROXIMACIONES REALIZADAS
12Profesor Juan J. Sanmartín
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE (M.R.U.)Problema nº2.-(TIPO II):Dos trenes parten al mismo tiempo de dos ciudades A y B separadas por 270 km en la mismaDos trenes parten al mismo tiempo de dos ciudades A y B separadas por 270 km. en la mismadirección y distinto sentido, uno cara B y el otro cara a A respectivamente. El tren A (llámese asípor partir de la ciudad A) circula a 140 km/h. y el tren B a 180km/h. Calcula a qué distancia deambas ciudades se encuentran y qué tiempo tardan en encontrase.
E t bl dif i d lEn este problema a diferencia delanterior, ambos salen a la vez pero dediferentes puntos. En principio notenemos espacio inicial, entonces…tenemos espacio inicial, entonces…
tvs ⋅=
Es recomendable mientras realizáis los ejercicios en clase o casa tener las fórmulas de los
tvs
E m m j f mumovimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)
13Profesor Juan J. Sanmartín
Partiendo de la idea de que ambos trenes salen de una ciudad para ir a la opuestallegamos a la conclusión que en el MOMENTO QUE SE CRUZAN los dos trenes HANRECORRIDO ENTRE LOS DOS EL ESPACIO TOTAL.
totals=+ tren_Btren_A ssResolvemos
sm
kmm
sh
hkmv Atren 9,38
11000
36001140_ =⋅⋅=
Resolvemos
sm
kmm
sh
hkmv Btren 50
11000
36001180_ =⋅⋅=
270000270ktt .270000270____ mkmstvtvss totalBtrenAtrenBtrenAtren ===⋅+⋅=+
entonces
27000
3037,1 s. es el tiempo que tardan los trenes en cruzarse
sttmtt 1,30379,88
270002700009,88.270000509,38 ==→=→=+
14Profesor Juan J. Sanmartín
Para calcular la distancia a cada estación, es fácil, calculamos el espacio recorrido en untren y la diferencia con el total se corresponde con lo que falta a la otra estación.
.8,1518562,118143270000.2,1181431,30379,38_ mms atren =−→=⋅=
.118145151855270000.1518551,303750_ mms Btren =−→=⋅=
LAS DIFERENCIAS OBTENIDAS SON DEBIDAS A LAS APROXIMACIONES REALIZADAS
15Profesor Juan J. Sanmartín
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
ó
Un M.R.U.A. tiene aceleración constante y su Trayectoria es una línea recta.
Un avión, cuando despega, va aumentando suvelocidad. Tiene aceleración positiva.Cuando aterriza disminuye su velocidad hastapararse Tiene aceleración negativapararse. Tiene aceleración negativa.
tvva 0−
=t
Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
tavv ± 21222tavvf ⋅±= 02
00 21 tatvss ⋅+⋅+=savvf ⋅⋅±= 22
02
Consideraremos + cuando la aceleración sea positiva y – cuando sea Consideraremos cuando la aceleración sea positiva y cuando sea negativa (decelere o frene)
16Profesor Juan J. Sanmartín
GRÁFICAS DEL M.R.U.A.
Gráfica e-t de un MRUA. Se obtiene unaParábola.
Gráfica v-t de un MRUA. Con velocidad inicialV0,, y sin velocidad inicial.
Gráfica a t de un MRUA Gráfica a-t de un MRUA.
17Profesor Juan J. Sanmartín
ÚNINGÚN MOVIMIENTOPUEDE PARTIR DEL REPOSOPUEDE PARTIR DEL REPOSO
SIN ACELERACIÓNSIN ACELERACIÓN
18Profesor Juan J. Sanmartín
Problemas
M i i tMovimiento RectilíneoUniforme
19Profesor Juan J. Sanmartín
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)Problema nº3.- Calcula la aceleración de una moto que pasa de 0 a 100 km/h. en 7 s. ¿Qué espacioha recorrido mientras aceleraba?ha recorrido mientras aceleraba?
Lo primero que debéis tener en cuenta es eltipo de movimiento (en este caso M.R.U.A.)y las fórmulas que le corresponden
tavvf ⋅±= 02
00 ta21tvss ⋅±⋅+= sa2vv 2
02f ⋅⋅±=
2
Es recomendable mientras realizáis los ejercicios en clase o casa tener las fórmulas de losE m m j f mumovimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)
20Profesor Juan J. Sanmartín
Solución:Datos que tenemos:
8,27777,2711000
36001100
0
sm
kmm
sh
hkmv
smv
final
o
==××=
=
.713600
stskmsh
=
Aplicamos las fórmulas
20
0 497,37
08,27s
mtvvatavvf ==
−=
−=⇒⋅+=
Aplicamos las fórmulas
.987421700
21 22
00 mtatvss =⋅⋅+⋅+=⋅+⋅+=
.989742
08,272
22222
22 mavvssavv o
of ≈=−
=−
=⇒⋅⋅+=
O también
422 a ⋅⋅21Profesor Juan J. Sanmartín
Problema nº 4.- Un automóvil que circula a una velocidad de 80 km/h. Encuentra un obstáculosituado a 50 m. de distancia. ¿Cuál ha de ser la aceleración mínima y constante, necesaria paradetener el coche antes de llegar al obstáculo?.g
tavvf ⋅±= 0 tavvf ±0
200 2
1 tatvss ⋅±⋅+=savv of ⋅⋅±= 222
00 2De las fórmulas que tenemos, solamente podremosutilizar aquella en la que tengamos una única incógnita
Solución:Datos que tenemos:
0mv =
222222,2211000
3600180
0
0 sm
kmm
sh
hkmvs
mvfinal
==××=
=
.50ms =22Profesor Juan J. Sanmartín
No tenemos ni la aceleración ni el tiempo, por lo que vamos a utilizar la siguientefórmula
5022202 2222 ⋅⋅−=⇒⋅⋅±= asavv 5022202 ⋅⋅−=⇒⋅⋅±= asavv of
¡OJO!, EL SIGNO NEGATIVO SIGNIFICA QUE EL COCHE DECELERA O FRENA
22
2222
844022022502502220
ma
aa
=−
=
−=⋅⋅→⋅⋅−=
284,4502 s
ma =⋅
=
Ahora podemos utilizar otra fórmula, ya que tenemos la aceleración que acabamos decalcularcalcular.
64586402,220 vvtt −− .6,4586,484,4
,00 s
attavvf ====⇒⋅−=
23Profesor Juan J. Sanmartín
ProblemasProblemas
MovimientosMovimientosCombinadosCombinados
24Profesor Juan J. Sanmartín
Problema nº 5.- Un tren de Metro arranca con una aceleración de 80 cm/s2. Al cabo de 50
segundos el conductor corta la corriente y el tren continúa moviéndose con velocidad constante.
•¿Cuál es esta velocidad?
•¿Qué espacio recorrió el tren en esos 50 segundos?
•¿Qué tiempo transcurrió hasta que el tren llega a otra estación distante de la primera 2500m?Q p q g p
PRIMERO, Y LO MÁS IMPORTANTE, es distinguirlos tipos de movimiento en cada momento.
Un tren de Metro arranca… NOS DICE QUE PARTE DELREPOSO Y POR LO TANTO NO PUEDE SER MÁS QUE UNM.R.U.A. POR DEFINICIÓN.
…y el tren continúa moviéndose con velocidad constante.NOS INDICA CLARAMENTE QUE ES UN MOVIMIENTORECTILÍNEO UNIFORME
TENEMOS DEFINIDO EL PROBLEMA, el tren parte del reposo con M.R.U.A. hastaalcanzar una velocidad que hemos de calcular. A continuación mantiene dicha velocidadconstante en M.R.U. hasta llegar a la siguiente estación.
25Profesor Juan J. Sanmartín
Calculamos los distintos movimientos por separado, primero el M.R.U.A.Solución: (M.R.U.A.)Datos que tenemos:Datos que tenemos:
?
00
vs
mv
=
= ¡¡¡¡IMPORTANTE!!!!UNIDADES EN EL SISTEMA
80180
.50?
mmcm
stv
acelerado
final
=
=INTERNACIONAL
.0
8,0.100180
0
22
mssm
cmm
scma
=
=⋅=
Comenzamos smvtavv ff 40508,000 =⋅+=⇒⋅+=
10005080150001 22tt .1000508,02
50002
2200 mtatvss =⋅⋅+⋅+=⋅+⋅+=
Hemos calculado la velocidad final en el M.R.U.A. y el espacio que recorrió mientrasl b P l t t l d l 2500 h t l t ió i l dif iaceleraba. Por lo tanto, no le quedan los 2500 m. hasta la estación sino la diferencia.
26Profesor Juan J. Sanmartín
Solución: (M.R.U.)Datos que tenemos:
40m
?
40
._ts
mv
ctevelocidad =
=Consideramos que el espacio inicial es el que harecorrido mientras ACELERABA.
.2500.10000
msms
final =
=
Entonces
53710002500st
40t10002500tvs
0final
0final
ss
−−
+=⇒⋅+=
.5,3740
t 0final sv
===
.5,875,3750._ sttt ctevelocidadaceleradoTOTAL =+=+=
27Profesor Juan J. Sanmartín
Problema nº 6.- Un conductor ve un objeto en la carretera y debe detener el coche (circulando a 130 km/h.) para no impactar contra el. Calcula la distancia mínima a la que debe estar dicho objeto para que no se produzca el impacto sabiendo que el conductor tarda 0,4 s. en reaccionar desde que ve el objeto hasta que acciona el freno y la deceleración del coche es de 3 7ve el objeto hasta que acciona el freno y la deceleración del coche es de 3,7.
CONSIDERACIONES PREVIAS, desde que el conductor ve el objeto hasta queacciona el freno, el vehículo circula a velocidad constante. M.R.U., es decir, tenemos, , ,dos movimientos, uno M.R.U. y otro M.R.U.A. (decelerado).
M.R.U.
0 4sts
m36,13600s.1h.
1km1000m
hkm130v
=
=⋅⋅=
0m.s0,4s.t
0
acelerado
=
=
14,44m.0,436,10stvss 0o_frenamientras_n =⋅+=⇒⋅+=
Mientras el conductor no acciona el freno ha recorrido 14,44 m. en M.R.U.28Profesor Juan J. Sanmartín
M.R.U.A.
sm36,1v0 =
?ts
m0vs
final
0
=
9 836,1vvtt f −− 00
sm3,7a
?t
2
acelerado
=
= 9,8s.3,7
36,1avvttavv f
0f ===⇒⋅−=00
E t l i í i á14,4m.ss
0 =Entonces el espacio mínimo será…
109,5m.9,83,7219,836,114,4ta
21tvss 22
00 =⋅−⋅+=⋅+⋅+=
29Profesor Juan J. Sanmartín
MOVIMIENTO VERTICAL o CAÍDA LIBRE
El i i t ti l ti l d M R U AEl movimiento vertical es un caso particular de M.R.U.A.
La aceleración a la que están sometidos los cuerpos con este movimiento es la de la gravedad, cuyo valor es aproximadamente g = 9,81 m/s2g , y p g ,
Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:
1tgvvf ⋅±= 02
00 21 tgtvhh ⋅±⋅+=
v0 y h0 son, respectivamente, la velocidad y la altura iniciales.
Si el cuerpo sube, la aceleración se opone al movimiento y se toma su valor con signo negativovalor con signo negativo.
Si el cuerpo baja, la aceleración tiene el sentido del movimiento y se toma su valor con signo positivo.g p
30Profesor Juan J. Sanmartín
ProblemasProblemas
Caída LibreCaída Libre
31Profesor Juan J. Sanmartín
Problema nº7.- ¿Cuál es la velocidad con la que llega al suelo un cuerpo que se ha dejado caer
libremente desde una altura de 100 m.? ¿Qué tiempo empleó en la caída?.
?.vs
m0v
final
0
=
=
4 5044,3vvtt
sm44,31009,8120vhg2vv
0f
2f
20
2f
−−
=⋅⋅+=⇒⋅⋅+=
100hs
m9,81g
?t
2
acelerado
=
= 4,5s.9,81
044,3gvvttgvv 0f
0f ===→⋅+=
O también se puede hacer así100m.h =
1 2
O también se puede hacer así…
4 5s2100tt9 811t00100
tg21tvhh
2
200
=⋅
=→++=
⋅±⋅+=Consideramos h inicial 0porque no tiene movimientoanterior y tenemos la h
smtgvv
4,5s.9,81
tt9,812
t00100
final 1,445,481,900 =⋅+=⋅+=
==→⋅+⋅+= anterior, y tenemos la hfinal porque sabemos lo queva a recorrer
s32Profesor Juan J. Sanmartín
Problema nº8.-¿Qué velocidad inicial hay que comunicar a una piedra para que, lanzándola
verticalmente hacia arriba, alcance una altura máxima de 20 m.? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar
dicha altura?
sm0vfinal = hg2vvhg2vv 2
f20
20
2f ⋅⋅+=⇒⋅⋅−=
m9 81
?t?.v
dodesacelera
0
=
=
sm19,8209,8120v 2
0 =⋅⋅+=
m.hs
m9,81g 2
20=
=
2s019,8vvttgvv
s
f00f =
−=
−=→⋅−= 2s.
9,81gttgvv 0f →
Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior y tenemos la hConsideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la hfinal porque sabemos lo que va a recorrer
33Profesor Juan J. Sanmartín
Problema nº 9.- Desde lo alto de un rascacielos de 300 m de altura se lanza verticalmente hacia
abajo una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. ¿Con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tiempo
tarda en caer?.
m10vs
m0vfinal
=
=
m77 43009 81210vhg2vv 2f
20
2f =⋅⋅+=⇒⋅⋅+=
m9,81g
?ts
m10v
2
0
=
=
=
6,9s.9 81
1077,4gvvttgvv
s77,43009,81210vhg2vv
0f0f
f0f
=−
=−
=→⋅−=
=+=⇒+=
300m.hs9,81g 2
=
9,81g
Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la hfinal porque sabemos lo que va a recorrer
34Profesor Juan J. Sanmartín
Problema nº 10.- Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto que a los 7 s. tiene una rapidez de
50 m/s. Calcular la velocidad de lanzamiento y el tiempo que tarda en subir y bajar.
final
s
smvs
mv
=
=
0
50.7 Con la velocidad a los 7 segundos calculamos la velocidad inicial quedesconocemos
2
final
sm9,81g
vs
=
= ?0
Una vez que tenemos la velocidad inicial calculamos el tiempo que
smtgvvtgvv s0s 7,118781,950707 =⋅+=⋅+=→⋅−=
s Una vez que tenemos la velocidad inicial, calculamos el tiempo quetarda en detenerse que será el tiempo en llegar al punto máximo.
12,1s.0118,7vvttgvv f00f =
−=
−=→⋅−= , s
9,81gttg0f →
EN CAIDA LIBRE, UN OBJETO QUE ES LANZADO CARA ARRIBA TARDA LO MISMOEN ALCANZAR EL PUNTO DE ALTURA MÁXIMA COMO EN CAER DE ESTE ALEN ALCANZAR EL PUNTO DE ALTURA MÁXIMA COMO EN CAER DE ESTE ALPUNTO DE ORIGEN, POR LO TANTO…
24,2s.12,12t2t h máximatotal =⋅=⋅= 24,2s.12,12t2t h_máximatotal
35Profesor Juan J. Sanmartín
Problema nº 11.- Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba, y asciende con una aceleración
de 2 m/s2 durante 1,2 min. En ese instante se agota el combustible y sigue subiendo como partícula libre. Calcular cual es el tiempo transcurrido desde que despegó hasta caer al suelo.p q p g
Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que tenemos 3 movimientos distintos ytodos ellos M.R.U.A.
El PRIMER MOVIMIENTO es unmovimiento acelerado, con aceleraciónpositiva de 2 m/s2 Datos:
?vs
m0v0=
=
m2a
s.mint?.v
2
acelerado
final
=
==
=
722,1
0m.hs
2a
0
2
=
36Profesor Juan J. Sanmartín
Calculamos la altura a la que llegó y la velocidad en el instante que se agota elcombustible.
11
smtavv
m.22100hta
21tvhh
final
2200
1447220
51847272
0 =⋅+=⋅+=
=⋅+⋅+=⇒⋅±⋅+=
sfinal 0
El SEGUNDO MOVIMIENTO es decelerado, ya que el cohete se mueve como partículalibre y sigue ascendiendo después de que se agote el combustible hasta que la gravedad
9 81 / 2 l b f dg=9,81 m/s2 lo acaba frenando.
14,7s.9 81
0144gvvttgvv final0
0final =−
=−
=→⋅−=smv0 144=
tg21tvhh
9,81g
200 ⋅±⋅+=t
.smvs
decelerado
final
?
0
=
=
6240,9m.9,812114,71445184h
2
=⋅−⋅+= 27,14m.h
smg
0
gravedad
5184
81,9 2
=
=
37Profesor Juan J. Sanmartín
El TERCER MOVIMIENTO es M.R.U.A. con aceleración positiva, es lógico, el cohete unavez que se le ha terminado el combustible asciende por la velocidad que tiene en esemomento. Pero esta se ve reducida por el efecto de la gravedad que acaba anulando.Tenemos el cohete en el punto más alto y parado (un instante). TODO CUERPO QUESUBE TIENE QUE BAJAR, y como tal el cohete cae desde esa altura por efecto de lagravedad.
tg1tvhh 2±+
?t?.vs
m0v
final
0
=
=
=
35,7s.26240,9tt9,811t006240,9
tg2
tvhh
2
00
=⋅
=→⋅+⋅+=
⋅±⋅+=
6240 9mhs
m9,81g
?t
2gravedad
n_gravedadaceleracio
=
=
= 35,7s.9,81
tt9,812
t006240,9 →++
NOTA: LA ALTURA INICIAL ES CERO PORQUE CARA ABAJOEL COHETE NO SE HA DESPLAZADO NADA Y LA ALTURA
Ó0m.h6240,9m.h
0 == FINAL QUE CAE, COMO ES LÓGICO, ES LA MISMA A LA QUE
SE HA ELEVADO.
EL TIEMPO TOTAL DEL MOVIMIENTO SERÁ LA SUMA DE LOS 3 MOVIMIENTOSEL TIEMPO TOTAL DEL MOVIMIENTO SERÁ LA SUMA DE LOS 3 MOVIMIENTOS
122,4s.35,714,772tttt movimiento3to2ºmovimienmovimiento1total erer =++=++= movimiento3movimiento1
38Profesor Juan J. Sanmartín
Problema nº 12.- Se deja caer una pelota desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en
pasar por delante de una ventana de 2,5 metros de alto. ¿A qué distancia de la cornisa se encuentra
l i d l ?el marco superior de la ventana? Este problema, aunque en principio parece fácil, tenemosque suponer varias cosas que complican su resolución
Solución:Ant s d n d m s l s d t s t n m sAntes de nada vamos a ver los datos que tenemos
??
vv
final
o
=
=?
ventana
ventana
.5,2.3,0mhst
final
=
= LA CLAVE DEL PROBLEMA EMODIFICAR EL PUNTO DEREFERENCIA.,5
m.
281,9 smga ==
2
Para empezar SITUAMOS EL PUNTO DE REFERENCIA EN LAVENTANA, donde sabemos el espacio que recorre y el tiempo que lelleva. Como es caída libre utilizaremos g.
39Profesor Juan J. Sanmartín
CONSIDERACIONES PREVIAS.- Antes de llegar al marco superior recorrió unadistancia, le llamaremos h inicial que no sabemos. Tampoco sabemos la h final querecorrerá, pero si sabemos…
52hh .5,20 mhh =−Es decir, si al espacio final (hasta el marco inferior de la ventana), le quitamos el espacioque va desde la cornisa al marco superior (espacio inicial) me queda la altura de la
t E tventana. Entonces…
11
mvvv
tgtvhhtgtvhh
87644,05,244030523081913052
21
21
2
200
200
=−
=→+=→⋅+⋅=
⋅+⋅=−⇒⋅±⋅+=
smvvv 87,6
3,044,03,05,23,081,9
23,05,2 000 ==→+=→⋅+⋅=
Hemos calculado la velocidad con la que llega la pelota al marco superior de la venta a laque hemos llamado velocidad inicial puesto que solamente nos centramos en el paso pordelante de la ventana.
40Profesor Juan J. Sanmartín
CAMBIAMOS SISTEMA DE REFERENCIA:Ahora nos centramos en el espacio que hay desde la cornisa hasta el marco superior dela ventana.C id d 0 l i ( l id d i i i l) l l id d lConsideramos que parte de 0 en la cornisa (velocidad inicial) y que la velocidad con laque llega al marco superior de la ventana es la velocidad con la que inicio el movimientoanterior como es lógico, pero ahora pasa a ser la VELOCIDAD FINAL.
Sabemos la velocidad en el marco superior de la ventana, como el espacio anteriortambién fue en caída libre, consideramos ahora esta velocidad inicial como la velocidadfinal del movimiento anterior que parte desde la cornisa con velocidad 0 hasta el marco
876 2
final del movimiento anterior que parte desde la cornisa con velocidad 0 hasta el marcosuperior de la ventana, a donde llega con la velocidad que hemos calculado.
.4,2281,9
87,681,92087,622
2220
2 mhhhgvvf =⋅
=→⋅⋅+=→⋅⋅+=
41Profesor Juan J. Sanmartín
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Cada una de las agujas del reloj describe ángulos iguales en tiempos iguales. Llevan un Movimiento Circular Uniforme(MCU).
U M C U ti l id d t t T t i i f iUn M.C.U. tiene velocidad constante y su Trayectoria es una circunferencia.
En el S.I. se define el radián como el ángulo gcuyo arco es igual al radio.
360º = 2 π rad
La relación entre el arco y el ángulo descritos en una circunferencia es:
s = ϕ . Rϕ
42Profesor Juan J. Sanmartín
MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO
Velocidad angular: Es el ángulo descrito por el móvil en la unidad de tiempo. Enel S.I. se mide en rad/s.
ϕ
Periodo: El periodo (T) es el tiempo que tarda el móvil en dar una vueltacompleta Se mide en segundos
tϕω =
completa. Se mide en segundos.
ωπ
=2Tω
Frecuencia: La frecuencia (ν) es el número de vueltas que efectúa elmóvil en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz) o s-1
T1
=υ
43Profesor Juan J. Sanmartín
•La velocidad angular de una rueda es de 600 r.p.m. ¿Cuántas vueltas dará en 5 minutos? Si la rueda tiene 10 cm de diámetro, ¿cuánto vale
Relación M.C.U. y M.R.U.
[ ] [ ] sr(radio)sradms =→⋅=⇒→ ϕϕϕ[ ] [ ]
[ ] [ ] vωrωvrad.ωmv
rr(radio)srad.m.s
=→⋅=⇒→
=→⋅=⇒→ ϕϕϕ
[ ] [ ]tωtvss
rωrωvsωsv
00 ⋅+=→⋅+=
→⇒→
ϕϕRelación M.C.U.A. y M.R.U.A
ααα =→⋅=⇒
→
22ararad.ma
αϕϕ
ααα
⋅±⋅+=→⋅±⋅+=
→⇒→
21
21 2
02
0
22
00 ttωtatvss
rassa
αωω
ϕϕ
⋅±=→⋅±=
22
22
222200
00
ff
00
ttavv
ϕαωω ⋅⋅±=→⋅⋅±= 22 20
220
2ff savv
44Profesor Juan J. Sanmartín
ProblemasProblemas
MovimientoMovimientoCi lCircular
Uniforme
45Profesor Juan J. Sanmartín
Problema nº8 .- La velocidad angular de una rueda de 10 cm. de radio es de 600 r.p.m. Calcula la
velocidad y el espacio angular al cabo de 5 min. Y el espacio y la velocidad lineal en un punto de la
periferia en ese mismo tiempo. (1 revolución=1vuelta)
π d1minrd2rev
==
π=⋅π
⋅==
300s.5min.ts
rad2060s.
1min.1rev.
rd.2min.rev.600600r.p.m.ω
πϕ
π=⋅π+=⋅+ϕ=ϕ
1885mm0 1rad6000rs
rad.6000300200tω0
=⋅π=⋅=
=⋅π=⋅ϕ===
.sm6,28rad
m0,1srad20rωv
1885m.rad.m0,1rad6000rs
0,1m10cm.r srad.s
46Profesor Juan J. Sanmartín
Problema nº9 .- Una rebarbadora gira a 2500 revoluciones por minuto.
Sabiendo que su disco tiene 12 cm. de diámetro. Calcula la velocidad angular
y lineal del disco y el espacio lineal y angular recorrido por un punto de la
periferia a los 2 min. (1 revolución=1vuelta)
1 id2
==
π=⋅π
⋅==
s120min2ts
rad3,8360s.
1min.1rev.
rd.2min.rev.2500r.p.m.2500ω
π=⋅π+=⋅+ϕ=ϕ==
cm21rad.99961203,830tω
s.120min.2t
0
→==→=
4188m060d9996
m060,2cm.21r.cm12d
=⋅π=⋅=
=⋅π=⋅ϕ=
.sm7,15rad
m060,srad3,83rωv
m.4188rad.m060,rad9996rs
Profesor Juan J. Sanmartín 47
srad.s
ACELERACIÓN CENTRÍPETA
En el M.C.U. la velocidad cambia de dirección en cada instante, luego existe aceleración, la aceleración centrípeta.
2
Rva
2
c =
Cuando viajamos en un vehículo y toma una curva, latendencia es a salirnos de la curva. La aceleracióncentrípeta lo impide al tirar de nosotros hacia dentrode la curvade la curva.
Para una misma velocidad, cuanto mayor sea el radio de la curva, menor será la aceleración centrípeta.
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