PRUEBA DE TRANSICIÓN

pdt

PROFESOR DANNY PERICH C.

WWW.SECTORMATEMATICA.CL

CONTENIDOS PDT

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS RESUELTOS

GUIAS DE EJERCICIOS

VIDEOS DE CONTENIDOS

VIDEOS DE EJERCICIOS

ALTERNATIVAS CORRECTAS

PRUEBA DE TRANSICIÓN

MATEMÁTICA 2021

PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 2

Danny Perich C. – www.sectormatematica.cl



CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS NATURALES (lN)

Corresponde al conjunto lN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}

Números Pares: Corresponde al conjunto {2, 4, 6, 8, 10...} y

su representación algebraica es 2n, siendo n número natural.

Números Impares: Corresponde al conjunto {1, 3, 5, 7, 9...}

y su representación algebraica es 2n+1 o 2n-1, con n natural.

Números Primos: Números que tienen sólo dos divisores distintos.

Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…

Números Compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son

primos.

Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21,

22,…

Orden de Operación: Al efectuar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el

siguiente orden:

1º) Resolver los paréntesis.

2º) Realizar las potencias.

3º) Realizar multiplicaciones y/o divisiones. Cuando aparecen multiplicaciones y

divisiones, a la vez, se debe operar de izquierda a derecha.

4º) Realizar adiciones y/o sustracciones.

Ejercicio viral en redes sociales: 6 : 2(1 + 2 ) = ? (Respuesta: 9)



NÚMEROS CARDINALES (lN0)

Corresponde al conjunto lN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Números Dígitos: D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

División por 0: la división por cero, en que el divisor

corresponde a cero, NO ESTÁ DEFINIDA.

NÚMEROS ENTEROS (Z)

Corresponde al conjunto Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2…}

Divisibilidad: Un número entero es divisor de otro entero,

cuando al dividirlos el resultado es un número entero y el resto

de la división es cero.

Algunas reglas de la divisibilidad: Un número es divisible

Por 2: Cuando termina en cifra par.

Por 3: Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de tres.

Por 4: Cuando las dos últimas cifras sean ceros o múltiplos de 4.

Por 5: Cuando termina en 0 o 5.

Mínimo Común Múltiplo (m.c.m): Es el menor entero positivo que es múltiplo

común de dos o más enteros.

Ejemplo: La señora Clara tiene que tomar tres medicamentos, el primero cada 6 horas,

el segundo cada 8 horas y el tercero cada 12 horas. Si la primera toma de los tres

medicamentos la hace al mismo tiempo, ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que

vuelva a tomar los tres medicamentos juntos?

Máximo Común Divisor (M.C.D): Es el mayor entero positivo que es divisor común

de dos o más enteros.

Ejemplo: Dos cintas de 36 metros y 48 metros de longitud se quieren dividir en

pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?

NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son todos aquellos números de la

forma a

b con a (numerador) y b (denominador) números

enteros y b ≠ 0.

En una fracción si a es menor que b la fracción es propia.

Toda fracción propia se encuentra entre 0 y 1.

Si a es mayor que b la fracción es impropia. Toda fracción

impropia es mayor o igual a 1.

Relación de orden en Q

Un método es a través del producto cruzado de las fracciones comparadas.



Ejercicio. El orden de los números a =3

2, b =

6

5 y c =

8

3de menor a mayor es

A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a

NÚMEROS DECIMALES

Se obtienen de la división entre el numerador y el denominador de una fracción. Su

desarrollo decimal, puede ser finito (exacto), infinito periódico o infinito semiperiódico.

Operatoria con números decimales

Ejercicio.

Al resolver (0,012 + 0,5 – 0,01) ∙ (0,005 : 0,05) se obtiene

A) 0,0502 B) 0,502 C) 5,02

D) 50,2 E) 502

Transformación de decimal a fracción.

Decimal exacto.

0,287 = 1,72 = 4,3 =

Decimal infinito periódico.

0, 7̅ = 0, 53̅̅̅̅ =

0, 103̅̅ ̅̅ ̅ = 2, 7̅ =

Decimal infinito semiperiódico:

0,52̅ = 3,17̅ = 0,372̅̅̅̅ =

Ejercicios Adicionales.

1. =

−

+

4

11

2

3

1

A) 2

3 B)

3

1 C)

6

11 D) 1 E) 3

2. El orden de los números a =2

5, b =

5

9 y c =

3

7 de menor a mayor es

A) a < b < c B) b < c < a C) a < c < b D) c < a < b E) b < c < a



3. Sea n un número entero positivo, ¿cuál de las afirmaciones siguientes es (son)

siempre verdadera(s)?

I) n+2

n−1 es racional. II)

n+2

n+1 es una fracción impropia. III)

n+2

n+1 = 2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

4. Si A = 0,69̅ ; B = 0,694̅ y C =0,692, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?

A) B < A < C B) B < C < A C) C < B < A

D) A < B < C E) A < C < B

5. Al resolver 0, 2̅ + 0,12̅ se obtiene

A) 0, 32̅̅̅̅ B) 32

90 C)

31

90 D) 0,32̅ E)

32

100

GUIA A - 01

1. El resultado al efectuar 5⋅

5,0

05,0 es

A) 0,5 B) 0,05 C) 0,005 D) 50 E) 500

2. El orden de los números a =3

2, b =

6

5 y c =

8

3 de menor a mayor es

A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a

3. Si r y s son dos números impares consecutivos tales que r < s, entonces r − s es

A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2

4.

25,08

3

1

75,08

3

1

−

+

−

=

A) 3

15 B)

3

16 C)

3

16− D) 4 E)

3

8

5. Si se divide el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor entre los

números 30, 54, 18 y 12; se obtiene

A) 5 B) 15 C) 30 D) 45 E) 90

6. Al dividir un número por 2

3, se obtuvo 12 como cociente. ¿Cuál es el número?

A) 8 B) 9 C) 18 D) 30 E) 36



7. Cuatro niños compran D dulces cada uno. Si llegan 3 niños más, sin dulces, y el total

se reparte entre todos en partes iguales, cada niño recibe

A) D

7 B)

4D

7 C) 4D – 3 D) 4 – 3D E)

4D−3

7

8. Si p = 6,0 , ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?

I. 3p

2 es un número decimal periódico infinito

II. p + 1 es un decimal periódico infinito

III. p +1

p es un número decimal finito

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

9. Un hotel de cuatro pisos tiene 48 habitaciones. En el segundo piso hay una

habitación más que en el primero y en el tercero hay una habitación más que en el

cuarto. Si en el cuarto piso hay 13 habitaciones, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) FALSA(S)?

I. Hay tantas habitaciones en el segundo piso como en el tercero.

II. Hay tantas habitaciones en el cuarto piso como en el primero.

III. En el primer piso hay 10 habitaciones.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

10. Una persona viaja desde La Serena a Los Vilos, ciudades que se encuentran a una

distancia de 210 km. Si en los tres primeros días recorre 3

7,

2

21 y

7

30 de esa

distancia, respectivamente, ¿a cuántos kilómetros de Los Vilos se encuentra al

término del tercer día de iniciado el viaje?

A) A 49 km B) A 51 km C) A 100 km D) A 110 km E) A 159 km

11. =

−

+

4

11

2

3

1

A) 2

3 B)

3

1 C)

6

11 D) 1 E) 3

12. Se puede determinar el numerador de cierta fracción, si:

(1) El valor de la fracción es 0,8.

(2) El denominador de la fracción es 15.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional



13. Si a = 0,017; b = 0, 017 y c = 0,017, la relación correcta es

A) a < b < c B) b > c > a C) c < a < b D) a < b = c E) a = b = c

14. Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, el cual contiene 3

12 litros, ¿cuántos

litros faltan para llenarlo completamente?

A) 3

12 B)

3

22 C)

2

32 D)

3

13 E)

3

21

15. Si n es un número entero positivo, entonces la expresión 2n+1

2n es siempre

A) un número impar B) un número par C) una fracción impropia.

D) una fracción propia. E) 1

16. En la recta numérica de la figura se ubican los puntos a, b, c y d. ¿En cuál de las

siguientes operaciones el resultado es siempre menor que 1?

A) a b B) d + a C) a c

D) d – c E) c + b

17. =

++

+

11

11

11

2

A) 6

5 B)

3

10 C) 1 D)

5

6 E)

10

3

18. En un viaje Pedro se traslada 800 km. La cuarta parte del viaje lo realiza en bus.

Las tres quintas partes del resto lo hace en avión y lo que queda en tren. ¿Cuántos

kilómetros anduvo Pedro en tren?

A) 120 km B) 240 km C) 320 km D) 360 km E) 480 km

19. Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y el de las

unidades es n, entonces a + 1 =

A) m+n+1 B) 10m+n+1 C) 100m+n+1 D) 100m+10n+1 E) 10(m+1)+n

20. Si a y b son números enteros positivos tales que a > b, entonces el orden

creciente de las fracciones a

b,

b

a,

−a

b y

−b

a es

A) −a

b,

−b

a,

b

a,

a

b B)

−a

b,

−b

a,

a

b,

b

a C)

a

b,

b

a,

−b

a,−a

b

D) −b

a,

−a

b,

b

a,

a

b E)

−b

a,

−a

b,

a

b,

b

a



21. Se define a # b = -2a + 2b, para a y b números racionales, el valor de 2

1 # (-

2

1)

es

A) 0 B) 2 C) -1 D) 1 E) -2

22. Sea p un número entero positivo múltiplo de 6, q un número entero positivo

múltiplo de 12, r un número divisor de 6 y s un número divisor de 12. ¿Cuál de las

siguientes expresiones tiene por resultado siempre un número racional NO

entero?

A) p

s B)

r

q C)

q

p D)

s

r E)

s

q

23. Se define baba b += y a # b = 2a - 4b, para a y b números racionales, el valor

de (2

1 2) # (-

2

1) es

A) 2

13 B)

2

5 C) 1 D)

2

11 E) Otro valor

24. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un racional?

A) -1 B) 0 C) 0,2 D) E) √−83

25. Si M = 1,4 + 4,05; P = 5,6̅ − 0,21̅ y Q = 3,21̅̅̅̅ + 2,24̅̅̅̅ , ¿cuál de las siguientes

relaciones es verdadera?

A) P > Q > M B) M = Q > P C) Q > P > M

D) P > M > Q E) Q > M > P

26. El 20% del 333

1% de

5

3 es

A) 25

9 B)

5

6 C)

25

1 D)

5

12 E) Otro valor

27. Un bidón está con jugo hasta la tercera parte de su capacidad. Si se saca 4 litros,

entonces queda sólo hasta la quinta parte de su capacidad, ¿cuál es la capacidad

del bidón?

A) 5,625 litros B) 8,571 litros C) 16,5 litros

D) 23,8 litros E) 30,00 litros

28. El mayor de los números fraccionarios 4

3,

2

1,

9

1 es

A) 9

1 B)5 C)

2

1 D) 4 E)

4

3



29. El valor de 4,13

2− es

A) 2, 2̅ B) −0, 7̅ C) 2, 1̅ D) −0, 8̅

30. Si a = 2

1 y b =

3

1, entonces

ba

1

+=

A) B) 5 C) 6

1 D) 6 E)

5

6

31. Dadas las fracciones a = 4

3, b =

3

2 y c =

6

4. ¿Qué afirmación es falsa?

A) a > b B) b = c C) c > a D) b < a E) a > c

32. Si m = 2

1, n =

4

1 y p =

6

1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A) m > n > p B) m < n < p C) m < n = p

D) p > m > n E) n > p > m

33. Dados lo racionales a = -0,2; b = -0,01 y c = -0,1; el orden creciente de ellos

será:

A) a, b, c B) a, c, b C) b, a, c D) b, c, a E) c, a, b

34. Si

=99

26

99

25x/RxM , entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes

es(son) verdadera(s)?

I) 520, M II) 0,252 M III) 620, M

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

35. ¿Qué afirmación es correcta?

A) 0,099 > 0,2 B) –0,28 > -0,35 C) 0,2·0,2 = 2·0,2

D) 0,4 : 0,2 = 0,2 E) –0,1 – (-0,01) = -0,9

36. De tres números racionales: 750 milésimas, 50 centésimas y 4 décimas, al mayor

de ellos réstele el menor y el resultado divídalo por el número racional restante;

simplifique el resultado si es posible.

A) 4

1 B)

32

5 C)

16

1 D)

5

3 E)

10

7

2

1



37. Un tambor contiene 30 litros que equivalen a 1

3 de su capacidad. Entonces, para

llegar, a los 7

10 de su capacidad hay que agregar

A) 27 litros B) 9 litros C) 33 litros D) 60 litros E) 63 litros

38. A es el funcionario más antiguo en una oficina. En la misma oficina C es más

antiguo que B y menos antiguo que D. De acuerdo con esta información es FALSO

que:

A) A es más antiguo que B B) D es más antiguo que C

C) C es más antiguo que B

D) A es más antiguo que C E) B es más antiguo que D

39. En un curso de 100 alumnos, 12 aprobaron sólo Matemáticas, 13 aprobaron sólo

Química, 60 aprobaron Matemáticas y Química y el resto reprobó ambas

asignaturas. ¿Cuántos alumnos, en total, aprobaron Matemáticas?

A) 72 B) 60 C) 48 D) 45 E) 12

40. Entre 100 personas se reparte un cierto número de fichas azules, blancas y rojas.

45 personas reciben fichas rojas, otras 45 reciben fichas blancas, 60 personas

reciben fichas azules, 15 reciben tanto rojas como blancas, 25 reciben blancas y

azules, 20 reciben rojas y azules y 5 reciben de los tres colores. ¿Cuántas

personas no reciben fichas?

A) 5 B) 8 C) 15 D) 30 E) 50

41. El agua que hay en un estanque en estos momentos ocupa la mitad de su

capacidad. Si a este estanque le agregasen 120 litros más de agua, entonces ésta

ocuparía 5

8 de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del estanque?

A) 180 litros B) 195 litros C) 375 litros D) 480 litros E) 960 litros

42. Un comerciante vende la mitad de una pieza de género y luego la mitad del resto,

sobrándole 4 m. ¿Cuántos metros medía las 3

4 partes de la pieza de género antes

de comenzar a venderla?

A) 8 m. B) 12 m. C) 16 m. D) 20 m. E) 24 m.

43. Una sala de cine rotativo con capacidad para 400 espectadores está completo. Si

terminada la función se retiran 3

10 de los espectadores y entran a la sala

3

20 de la

capacidad, entonces ¿cuántas personas faltan para que la sala esté nuevamente

completa?

A) 60 B) 120 C) 280 D) 317 E) 340



VIDEOS GUIA A – 01

Ejercicios 5 a 8

Ejercicios 9 a 12 Ejercicios 21-22-23-27

Ejercicios 34-36-40-42

Ejercicios 25-26-37-41

APROXIMACIONES Y PORCENTAJES

Truncamiento. Para efectuar esta aproximación, se eliminan,

sin más, las cifras a partir de un orden considerado.

Ejercicio. El resultado de (1

3+

1

6+

2

7) truncado a la décima

es

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,8 E) 0,7

Redondeo. En esta aproximación se eliminan las cifras a partir

de un orden considerado, pero teniendo en cuenta que si la primera cifra eliminada es

5 o más de 5 a la última cifra decimal que se deja se le añade uno. Si la primera cifra

eliminada es menor que 5 no se añade uno.

Ejercicio. Al aproximar por redondeo el número 4,2451 a las centésimas y a las

milésimas resulta respectivamente

A) 4,24 y 4,245 B) 4,25 y 4,245 C) 4,24 y 4,246

D) 4,25 y 4,246 E) 4,25 y 4,250

Aproximación por defecto: Una aproximación es por defecto si la aproximación es

menor que el número inicial. Por ejemplo, el truncamiento es siempre una

aproximación por defecto.



Ejercicio. Al aproximar por defecto a la milésima el número el número 18,56̅̅ ̅, resulta

A) 18,560 B) 18,565 C) 18,566 D) 18,570 E) 18,565̅̅ ̅̅ ̅

Aproximación por exceso: Una aproximación es por exceso si la aproximación es

mayor que el número inicial.

Ejercicio. Al aproximar por exceso a la milésima el número el número 18,56̅̅ ̅, resulta

A) 18,560 B) 18,565 C) 18,566 D) 18,570 E) 18,56̅

Cifras significativas.

Todas las cifras de un número son significativas, a excepción de los ceros a la izquierda

de él.

Ejemplo: 9615 tiene cuatro cifras significativas, 105 tiene tres cifras significativas;

8,00 tiene tres cifras significativas, 7,0 · 102 tiene dos cifras significativas.

El número 0,005 tiene solamente una cifra significativa

PORCENTAJE

Expresión matemática que representa una fracción de

denominador 100. Así a% es a

100.

Tabla de equivalencias: Equivalencias entre fracciones,

decimales y porcentajes.

Fracción Decimal Porcentaje Fracción Decimal Porcentaje

1

100 0,01 1%

1

4 0,25 25%

1

10 0,1 10%

1

3 0, 3̅ 33

1

3 %

1

8 0,125 12,5%

1

2 0,5 50%

1

5 0,2 20%

3

4 0,75 75%

1. Expresa en fracción:

a) 60% b) 1

2%

2. Expresa en porcentaje:

a) 0,12 b) 3 c) 3

10 d) 0,5 ̅



3. Calcula el 12% de descuento por un artículo que vale $5.400.

4. Determina qué porcentaje es 35 alumnos de un colegio de 700 alumnos.

5. Calcula cuál es el total de una deuda, sabiendo que el 8% de ella es $56.000

Interés simple: Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un

período n, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de

tiempo es fijo. La cantidad final Cf después de cumplido el período n, está dada por:

)in1(CCF +=

Ejercicio. Un capital de $ 300.000 se deposita en un banco que ofrece un 5% de

interés mensual. Al cabo de 3 meses, en un régimen de interés simple. ¿Cuánto es el

nuevo capital?

A) $ 301.500 B) $ 304.523 C) $ 345.000 D) $ 450.000 E) $ 750.000

Interés compuesto: Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en

un período n, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento obtenido en

cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una

nueva cantidad. La cantidad final Cf después de cumplido el período n, está dad por:

nF iCC += 1

Ejercicio. Mario invierte $ 1.000.000 a un interés compuesto anual del 10%. ¿Cuánto

es el capital final de Mario, luego de 3 años?

A) $ 331.000 B) $ 1.030.301 C) $ 1.100.000

D) $ 1.300.000 E) $ 1.331.000

EJERCICIOS

1. El 5% de 1

5 es

A) 5 B) 1 C) 1

5 D) 100 E)

1

100

2. El 15% del 25% de 160 es

A) 1,6 B) 2,5 C) 4 D) 6 E) 8

3. Si al 20% de cierta cantidad se le suma 30, se obtiene el 40% de ella. La cantidad

es

A) 150 B) 75,5 C) 30 D) 28



4. Pedro deposita $ 1.800.000 en el banco Sandy Point a un interés simple mensual de

un 0,7%. ¿Qué ganancia obtendrá en un periodo de 5 meses?

A) $ 1.863.000 B) $ 186.300 C) $ 126.000 D) $ 630.000 E) $ 63.000

5. Paulina deposita $ 5.000.000 en una entidad bancaria a un interés compuesto

semestral del 2,5%. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero que dispondrá

Paulina, al cabo de 24 meses?

A) $ 5.000.000 (1,025)4 B) $ 5.000.000 (1,25)4

C) $ 5.000.000 (0,025)4

D) $ 5.000.000 (1,025)24 E) $ 5.000.000 (1,25)24

GUIA A - 02

1. Al aproximar a la centésima por exceso el número 4,372 resulta

A) 4,37 B) 4,36 C) 4,38 D) 4,30 E) 4,373

2. El número de cifras significativas de 0,001030 es

A) 7 B) 6 C) 4 D) 3 E) 2

3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a la

expresión decimal de 3

11?

I) El dígito de la milésima es un número par.

II) Es un número decimal periódico.

III) El número truncado al dígito de la cienmilésima es 0,27273.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

4. El número 439,915587 redondeado a la centésima es

A) 43 B) 44 C) 439,91 D) 439,92 E) 439,9156

5. ¿Cuánto se obtiene al aproximar por defecto a la centésima el número 5,2359?

A) 5,23 B) 5,24 C) 5,25 D) 5,235 E) 5,236

6. En una calculadora, cada vez que se suman números decimales, el resultado final

que muestra el visor está truncado a la centésima. Si se efectúa la suma 0,1666 +

0,164 + 0,167, ¿cuál de los siguientes valores será el resultado que mostrará el

visor de esta calculadora?

A) 0,49 B) 0,497 C) 0,50 D) 0,48 E) 0,498



7. Sea P = 4,24264068 una aproximación de √18 . Si L es el redondeo a la milésima de

P y M es el redondeo a la diez milésima de P, ¿cuál de las siguientes relaciones es

verdadera?

A) L - M < 0 B) 3 < (L - M)104 < 5 C) M = L + 10-4

D) (L - M)103 = 3 E) Ninguna de las anteriores

8. Si n = 2,04 y p = 2,03, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) n es la aproximación por redondeo a la milésima de 2,03851.

B) n es la aproximación por redondeo a la centésima de 2,03851.

C) p es la aproximación por truncamiento a la milésima de 2,03851.

D) p es la aproximación por redondeo a la centésima de 2,03851.

E) n es la aproximación por truncamiento a la centésima de 2,03851.

9. ¿De qué número 48 es el 20%?

A) 480 B) 240 C) 120 D) 96 E) Otro valor

10. ¿Qué porcentaje es 1

2 de

1

4?

A) 50% B) 25% C) 33,6% D) 20% E) 200%

11. ¿Qué tanto por ciento de 72 es 3

5 de 80?

A) 150% B) 37,5% C) 40% D) 50% E) 66,6̅%

12. El 20% del 10% del 60% de 1.000 es:

A) 120 B) 12 C) 240 D) 60 E) 30

13. ¿Cuál es el 331

3 % de 33

1

3?

A) 1 B) 331

3 C) 11

1

9 D) 11

1

3 E) 11

14. El 15% del 25% de 160 es

A) 1,6 B) 2,5 C) 4 D) 6 E) 8

15. El 331

3% del 66

2

3 % del cuádruplo de 90 es

A) 9 B) 8 C) 91

3 D) 9

2

3 E) 80

16. Si al 20% de cierta cantidad se le suma 30, se obtiene el 40% de ella. La cantidad

es

A) 150 B) 75,5 C) 30 D) 28



17. La tercera parte del 20% de la mitad del 25% de 120 es

A) 30 B) 15 C) 3 D) 1 E) 1

3

18. ¿En qué porcentaje debe aumentar el numerador de la fracción 5

8, para que esta

sea igual a 0,75?

A) 10% B) 20% C) 25% D) 30% E) 40%

19. El 60% de (5−10x2) es

A) 3x2 −3 B) 6−3x2 C) 6x3 −3 D) 5x2 −1 E) 3−6x2

20. El 80% de 800 milésimos es

A) 6.400 B) 640 C) 64 D) 0,64 E) 0,064

21. La diferencia entre el 75% de z y el 12,5 % de z equivale a

A) 52,5% de z B) 62,5% de z C) 63% de z

D) 67,5% de z E) 85,5% de z

22. El 20% de 60xy más el 55% de 60xy es

A) 35xy B) 75xy C) 45xy D) 55xy E) 78xy

23. A un estudiante de 4° medio le ofrecen 3 alternativas A, B y C de preuniversitario.

Él tiene un 25% de posibilidades de elegir el plan A, un tercio de elegir el B y lo

restante de optar por el C. ¿cuál es la posibilidad, aproximada, de elegir la

alternativa C?

A) 30% B) 38% C) 40% D) 42% E) 44%

24. Daniela desea vender un artículo A con un 15% de ganancia. ¿Cuál será el precio

de venta, si el costo fue de $210.000?

A) $221.500 B) $231.500 C) $241.500 D) $251.500 E) $341.500

25. Andrea compró un artículo en una oferta. Si su precio sin rebaja era $380.000 y se

le hizo un 20% de descuento, ¿cuánto pagó por este artículo?

A) $314.000 B) $308.800 C) $308.500 D) $304.500 E) $304.000

26. Mario invierte $ 1.000.000 a un interés compuesto anual del 10%. ¿Cuánto es el

capital final de Mario, luego de 3 años?

A) $ 331.000 B) $ 1.030.301 C) $ 1.100.000

D) $ 1.300.000 E) $ 1.331.000



27. Paulina deposita $ 5.000.000 en una entidad bancaria a un interés compuesto

semestral del 2,5%. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero que dispondrá

Paulina, al cabo de 24 meses?

A) $ 5.000.000 (1,025)4 B) $ 5.000.000 (1,25)4

C) $ 5.000.000

(0,025)4

D) $ 5.000.000 (1,025)24 E) $ 5.000.000 (1,25)24

28. Según el censo del año 1992 la ciudad de Quillota tenía aproximadamente 200.000

habitantes. Si en los siguientes 10 años creció a una tasa del 2% anual, para el

censo del año 2002, los habitantes de Quillota debieron ser aproximadamente

A) 200.000 (1,2)10 habitantes B) 200.000 (0,2)10

habitantes

C) 200.000 (1,02)10 habitantes D) 200.000 (0,02)10

habitantes

E) 200.000 10 · 1,02 habitantes

29. ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 15% anual de interés

simple, para obtener $2.400.000 de utilidad en 4 años?

A) $400.000 B) $460.000 C) $4.000.000

D) $4.500.000 E) $6.000.00

30. ¿Qué interés simple anual se aplicó a un capital de $8.000.000 depositado durante

8 años, si se obtiene una ganancia de $80.000?

A) 125% B) 12,5% C) 1,25% D) 0,125% E) 0,00125%

31. ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 6% anual de interés

simple, para obtener $6.000.000 de utilidades en 2 años?

A) $ 10.000.000 B) $ 36.000.000 C) $ 50.000.000

D) $ 60.000.000 E) $ 72.000.000

32. Al depositar $C durante dos años a un régimen de interés compuesto con una tasa

de un 5% anual, se obtuvo una ganancia de $512.500. ¿Cuál fue el capital final

obtenido?

A) $5.515.500 B) $5.515.000 C) $5.513.500

d) $5.000.000 E) $5.512.500

33. ¿Cuál es el valor de un libro?

(1) El vendedor gana el 18% del valor del libro.

(2) El 10% del valor del libro es $1.800

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.



34. ¿Qué porcentaje de x es y?

(1) x= 3/4y

(2) y = 4/3x




Ejercicios 1 a 8

Ejercicios 9 a 16

Ejercicios 13 a 16

Ejercicios 17 a 22

Ejercicios 23 a 25

Ejercicios 26 a 29

POTENCIAS Y RAÍCES

POTENCIAS

Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada

por la base (el factor que se repite) y el exponente (veces

que se repite el factor).

Signos de una potencia

(+)par = + (+)impar = + (-)par = + (-)impar = -

Multiplicación y división de potencias de igual base

Para multiplicar (dividir) potencias de igual base, se suman (restan) los exponentes y

se conserva la base.

an = a • a • a • ...



Potencias de exponente cero

Toda potencia de exponente cero es igual a 1, con excepción de 00, la cual no está

definida.

a0 = 1

Potencia de exponente negativo

Se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.

Potencia elevada a potencia

Se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Multiplicación (División) de potencias de igual

exponente

Se multiplican (dividen) las bases y se conserva el

exponente.

Ejercicios.

1. =−+ −−− 432 224

A) 8

1 B)

4

1 C)

6

1 D) -8 E) -6

2. Si P33 xx =+ − , entonces xx 99 −+ es igual a:

A) P2 B) P2 + 2 C) P2 – 2 D) P2 – 1 E) 3P

NÚMEROS IRRACIONALES (Q*): Son aquellos números

decimales infinitos no periódicos. Los números =

3,141592…, √2 = 1,414213… son ejemplos de números

irracionales.

RAÍCES: Potencias de exponente fraccionario.

Suma y resta de raíces. Solamente pueden sumarse (o

restarse) dos o más raíces cuando son raíces semejantes; es

decir, si son raíces con el mismo índice e igual cantidad subradical.

Por ejemplo 3√2 + 5√2.

Multiplicación de raíces del mismo índice. Se multiplican las cantidades

subradicales y se conserva el índice

√a ∙ √b = √ab



Ejercicio. = ++ 3 1x3 2x2 aa

A) 3x3a + B) 6 3x3a + C) x3a D) 3xa + E) 1xa +

Multiplicación de raíces de distinto índice. Primero se reducen a índice común y

luego se multiplican. Otra posibilidad, al resolver ejercicios, es transformar cada raíz

en potencia y resolver de este modo.

Ejercicio. Si a, b, n y p son números reales positivos, entonces √a2m ∙ √a3n

es igual a

A) √a2n+3mmn B) 𝑎

𝑚𝑛

5 C) √a5mn D) √𝑎6mn

E) a5

División de raíces del mismo índice. Se dividen las

cantidades subradicales y se conserva el índice de la raíz.

√an

√bn = √

a

b

n

Ejercicios.

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) Si P y Q son números irracionales, entonces P Q es un número

irracional.

II) Si P y Q son números irracionales, entonces (P + Q) es un número

irracional.

III) Si P es un número irracional y Q es un número entero positivo, entonces P

Q es un número irracional.

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

2. Al simplificar la expresión 7

1472 + resulta:

A) 32 B) 142 + C) 22 + D) 272 + E) 4

División de raíces de distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se

dividen. Otra posibilidad, al resolver ejercicios, es transformar cada raíz en potencia y

dividir de ese modo.

Raíz de una raíz. Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las

raíces y se conserva la cantidad subradical.

√ √amn

= √anm



Ejercicio. 3 2

2=

A) 3 4 B) 3 2 C) 6 8 D) 6 2 E) 1

Simplificación de una raíz. Al simplificar una raíz debe considerarse si n es par o

impar.

Si n es par, √𝑥𝑛𝑛= |𝑥|

Si n es impar, √𝑥𝑛𝑛= 𝑥

Ejercicio. Si x es un número real mayor que 1, entonces (√𝑥 + 1 − √𝑥 − 1)2 es igual

a

A) 0 B) 2 C) 2x - √𝑥2 − 1 D) 2x - 2√𝑥2 − 1 E) 2x

Racionalización. Consiste en eliminar las raíces que se

encuentran en el denominador de una fracción. Esta se realiza,

si el denominador es un monomio, amplificando la fracción

irracional por este monomio, y se amplifica por su binomio

conjugado en caso de que el denominador sea un binomio

irracional.

En caso en que la raíz del denominador sea del tipo √𝑎𝑚𝑛 , la

fracción dada se amplifica por el irracional √𝑎𝑛−𝑚𝑛.

Ejercicio. √2

√2+√3 =

A) √6 − 2 B) √3 − 2 C) 2 − √6 D) 2 − √3 E) √3

3

GUIA A - 03

1. x465x3 cc −− = ?

A) c B) cx C) c-x D) c2 E) c1 - x

2. 1110 22 + =

A) 212 B) 222 C) 214 D) 106 E) 1023

3. ?22

2276

54

=+

+

A) 2-4 B) 2-2 C) 2-1 D) 22 E) 23



4. El valor de 64 −− n:n es:

A) n-10 B) n-2 C) n2 D) n10 E) 3

2

n

5. ¿Cuál es el valor de 1111111111 55555 ++++ ?

A) 555 B) 115 C) 165 D) 5525 E) 125

6. Al resolver (0,125)–2

se obtiene

A) -0,25 B) 16 C) 64 D) 64

1 E)

1

16

7. ¿Cuál es el valor de 2

21

3

33−

−− −?

A) -3 B) 3

1 C) 3 D) 2

8. Si 3-x

= 0,25; entonces 92x

=

A) 36 B) 64 C) 81 D) 243 E) 256

9. La cifra de las unidades de 1063 es

A) 1 B) 3 C) 7 D) 9 E) 2

10. El valor de ( )2

2

12

a es:

A) a B) a0 C) a2 D) a4 E) a5

11. =

−

−

32a

2

1

A) 8a6 B) 8a-5 C) 5a2

1 − D) 6a8

1 − E) 6a2

1

12. Al resolver la expresión 1x 2793 − se tiene:

A) 127 −x B) x3 C) 13 −x D) 33 −x E) 293 x

13. Si 1833 xx1 =−+ , entonces x + 1 =

A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4



14. Si 153 1x =+ , entonces x3 =

A) 45 B) 18 C) 12 D) 5 E) 14

15. Si n es un número natural, al desarrollar la expresión ( )22n3n 33 −− − resulta

A) )3n(232 − B) )3n(32 −− C) )3n(234 −

D) )3n(2316 − E) )3n(238 −−

16. Se puede determinar que P es un número irracional, si se sabe que:

(1) (P + 1)2 − (P − 1)2 es un número irracional.

(2) (P + 1)2 + (P − 1)2 es un número racional.


D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

17. Sea r un número racional positivo. De las siguientes expresiones, ¿cuál(es)

representa(n) siempre a un número irracional?

I) √r II) 3r2 III) r√2

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III

18. El valor de 2

83250 −+ es

A) 7 B) 8 C) 28 D) 210 E) 78

19. Al racionalizar la expresión 7

5 se obtiene

A) 75 B) 2

75 C)

5

77 D)

5

72 E)

7

75

20. Sean a = √2 y b = √18. Si el resultado de (a + b) truncado a la cuarta cifra

decimal es 5,6568, entonces el resultado de (a – b) truncado a la décima es

A) 4,2 B) 2,8 C) –2,8 D) –4,2 E) –5,6

21. Sean m y n números enteros, se puede determinar que 3n2−m2 es igual a 81, si se

sabe que:

(1) n - m = 2 (2) 3n

3−m = 9


D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.



22. (√5 + 2√6 + √5 − 2√6)2

=

A) 10√6 B) 10 + 4√6 C) 10 D) 24 E) 12

23. ¿En cuál(es) de las siguientes opciones la expresión puede representar un número

racional?

I) √2𝑥, siendo x un número entero impar y positivo.

II) (𝑥 + √2)2, siendo x un número racional positivo.

III) 𝑥 + √2, siendo x un número irracional.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

24. Al resolver √𝑥2 − 2𝑥 + 1 , sabiendo que x < 0, se obtiene

A) –x + 1 B) –x - 1 C) x + 1 D) x – 1 E) x - √2𝑥 + 1

25. La expresión 4 aa es equivalente a

A) 6 a B) 5 a C) 4 3a D) 8 a E) 4 2a

26. Al resolver √x2 , sabiendo que x < 0, se obtiene

A) x B) –x C) x

2 D) x

1

2 E) x2

27. Si se considera que el valor aproximado de √10 como 3,16227766, n es √10

aproximado por exceso a la milésima, m es √10 aproximado por defecto a la

milésima y r = √(m − √10)2 + √(√10 − n)2, entonces r es igual a

A) -0,001 B) 0,001 C) 0,002 D) -0,0001 E) 0

28. 2)2332( − =

A) 0 B) -6 C) 61230 − D) 61230 + E) 30

29. Al resolver √𝑥2 − 4𝑥 + 4 , sabiendo que x < 0, se obtiene

A) x - 2 B) –x – 2 C) -x + 2 D) x + 2 E) x - √4𝑥 + 4

30. ¿Cuál es el valor de ( ) ( )229191 −− ?

A) -16 B) 4 C) 64 D) -4 E) 16

31. El valor de 125,0 es

A) 22 B) 2 C) 2

2 D)

4

2 E) 0,5



32. Si t3232 =−−+ , entonces el valor de t2 – 2 es

A) 2√3 − 2 B) 0 C) 2√3 D) 2 E) -2

33. Al desarrollar la expresión xx2x

15

44 −+

se obtiene

A) x

15

14 B) x

15

1 C) x4 D) 4 E)

15

4

34. Dadas las siguientes afirmaciones, es(son) verdadera(s)

I. b

ba

b

a 3

3= II. 15

14

5 33 aaa = III. 2

3

3

21

=

−

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

35. 3 6n6a − =

A) a2n-6 B) a2n-2 C) 2n2

1

a − D) 6n2

1

a − E) a6n-2

36. Si a = √3, b = √43

y c = √54

, el orden correcto entre ellos es

A) c < b < a B) b < c < a C) a < b < c D) c < a < b E) a < c < b

37. Si 508 +=x , entonces 14

x vale

A) 2

2 B) 2 C) 8 D) 7 E) 14

38. ¿Cuál es el valor de 33 ?

A) 4 27 B) 4 33 C) 4 9 D) 33 E) 63

39. El quíntuplo de 5

2 es

A) 2 B) 10 C) 2 D) 5

7 E)

5

2

40. Al desarrollar la expresión ( ) ( )222112 +−− se obtiene

A) 24− B) 22 C) 2 D) 2 E) 0



41. Si 21 =+ x , entonces 5−x =

A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 52

42. Al resolver 3 4

2 se obtiene

A) 2

23

B) 2 C) 3 2 D) 3 4 E) 2

43

43. Al ordenar las siguientes expresiones 12

1

−=a ;

12

2

+=b ;

2

3=c en forma

ascendente, resulta

A) a, c, b B) b, a, c C) c, a, b D) b, c, a E) c, b, a

44. =−++−+25

48

16

15

4

16

A) 20

61 B)

5

2

4

6

2

7+− C)

20

151 D)

20

7856 ++−

45. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la variable x

toma los tres valores 0, 1, –1?

xx)IIIxx)IIxx)I 222 ==−=

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas.

46. 3443 )22()22()22()22( +−++− es un número

A) Racional positivo B) Racional negativo C) Irracional positivo

D) Irracional negativo E) No real

47. =

++++

++++

3 55555

55555

55555

55555

A) 5 B) 55

6 C) 1 D) 52

3 E) 53

2

48. Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

xx)A xx

1)B x

x

1)C 1x)D xx)E



49. Dados los números reales 23− ,3

11− , 7− , 32− ,

3

14− , al ordenarlos de menor

a mayor, el término que queda en el centro es

32)A − 23)B − 7)C − 3

11)D −

3

14)E −

50. √3 − 2√2 =

A) √24

B) 1 + √2 C) 1 - √2 D) √2 - 1 E) √3 − √2√2


Ejercicios 1 a 8

Ejercicios 9 a 15

Ejercicios 16 a 21

Ejercicios 22 a 26

Ejercicios 27 a 32

Ejercicios 33 a 38

Ejercicios 39 a 42

Ejercicios 43 a 45

Ejercicios 46 a 49



Ejercicio 50

LOGARITMOS

De la expresión bn = c, obtenemos

Potencias (no se conoce c)

bn = x, para calcular x,

basta con calcular el

resultado de la potencia.

Ej. 34 = x

81 = x

Raíces (no se conoce b)

xn = c, para calcular x,

basta con calcular la raíz

enésima de c.

Ej. x4 = 16

x = 4 16

x = 2

Logaritmos (no se

conoce n)

bx = c, para calcular el

valor de x necesitamos

saber el exponente al

que se debe elevar la

base b para obtener c.

x = cblog

con b>0 y distinto de 1.

Ejercicios. 1. El log2a = 3 se expresa como:

A) 2a = 3 B) 23 = a C) 3a = 2 D) a3 = 2

2. Si logb81 = -4, entonces la base es

A) 1

3 B) 3 C) -3 D) −

1

3 E) −

81

4

La base 10 no se escribe y algunos de los logaritmos más utilizados en base 10 son:

log 1 = 0 log 10 = 1 log 100 = 2 log 1000 = 3

log 0,1 = -1 log 0,01 = -2 log 0,001 = -3



Propiedades de los logaritmos

Logaritmo del producto de dos números. El logaritmo de

un producto es igual a la suma de los logaritmos de los

factores.

logc(a∙b) = logca + logcb

Ejercicio. Al determinar el log 500 se obtiene

A) 5 B) log 5 C) log 105

D) log 25 E) 2 + log 5

Logaritmo del cociente de dos números. El logaritmo de un cociente es igual al

logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Logc𝑎

𝑏 = logca – logcb

Ejercicios.

1. Si a3

1log = , entonces log 9 es igual a

A) -3a B) -2a C) 3

a D) 2a E) 3ª

2. ¿Cuál(es) de las siguiente(s) igualdades es(son) verdadera(s)?

I. 3103 logloglog = II. 15log30log2

1log =+ III.

20201 logloglog =

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

Logaritmo de una potencia. El logaritmo de una potencia es

igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

logcan =n∙logca

Ejercicio. El log 5x-1 es igual a

A) log (5x – 5) B) x C) xlog 5 – log 5

D) log (x – 1) ∙ log 5

Logaritmo de una raíz. El logaritmo de una raíz es igual al

cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz

logc √𝑎𝑚𝑛 =

𝑚

𝑛∙logca

Ejercicio. El log √253

es igual a

A) log 25

3 B) log

3

25 C) 3 log 25 D)

2

3 log 5 E) 1,5 log5



Cambio de base. logbx =logax

logab

Ejercicio. La expresión 8log

4log

4

4 es igual a:

A) 4

3 B)

3

2 C)

2

1 D)

3

1− E)

3

2−

Desafíos.

1. Desarrolla y calcula el valor numérico de:

3 2

3 2

5

625

25·5·125log

2. Calcula el valor numérico de: 2 243log6125log732log

3

1

5

1

4

1 −+

Video: Desafíos y errores comunes en logaritmos.

GUIA A - 04

1. El valor de 10log2 8−log3 27 es

A) 0 B) 1 C) 10 D) 0,1 E) -1

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a log 105?

A) log 100 + log 5 B) log 21 · log 5 C) 3 log 35

D) 3 log 5 + log 15 E) log 7 + log 3 + log 5

3. El valor de x = −21−log3 81 es

A) 1

8 B) 0,25 C) – 0,25 D) – 0,125 E) - 8

4. Si log 2 = 0,30 y log 3 = 0,48, calcular log348.

A) 3,5 B) 1,2 C) 2,2 D) 2,5 E) −7

2



5. ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

A) log3 + log5 = log8 B) log10

log2 = log5 C) log216 = 8

D) log√73

=1

3log7 E) log515 ∙ log53 = log545

6. Si log 1

3 = a, entonces log

1

9 es igual a

A) -3a B) -2a C) a

3 D) 2a E) a2

7. Si log b = 20 y log c = 2, es correcto que

I) log (b

c) = 18 II) log(b + c) = 22 III) log b2 + log c2 = 44

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

8. Si logb81 = -4, entonces la base es

A) 1

3 B) 3 C) -3 D) −

1

3 E) −

81

4

9. Marca la alternativa FALSA

A) logn n = 1 B) logn 1 0 = 1 C) log2 8 = 3

D) logn 1 = 0 E) logn nb = b

10. Para que logx1

64= −6, el valor de x debe ser

A) 16 B) 8 C) 4 D) 2 E) Otro valor

11. La expresión log6

7− log

2

3 equivale a

A) log4

21 B) 2log 3 – log 7 C) 2 log

3

7

D) – log 7 E) 2log 2 – 2log 3 – log 7

12. El valor de log √−325

es

A) -2 B) 2 C) 0,2 D) 0 E) no está definido en los reales

13. El valor de log27 3 + log2 32 es

A) 16

3 B) 8 C) log29 35 D) log54 96 E) Otro valor



14. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I) log 5 · log 3 = log 5 + log 3

II) log (5 · 3) = log 5 + log 3

III) log8

log2= log82

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

15. El valor de x, si log1,5 x = 2 es

A) 3 B) -3 C) 0,75 D) -0,75 E) 2,25

16. El valor de log216−1 es

A) 1

4 B) 4 C) 8 D)

1

8 E) -4

17. Si logx125 = −3, entonces x vale

A) 125

3 B)

−3

125 C) -5 D)

1

5 E) -0,2

18. La expresión log4 4

log4 8 es igual a

A) 3

4 B)

2

3 C)

1

2 D) -

1

3 E) -

2

3

19. log2 9 log3 8 =

A) 6 log2 8 B) 6 log3 9 C) 6 log 8 D) 6 log9 E) 6

20. Si log3 2 +log3 (b + 1) = 1, entonces b es igual a

A) 0 B) 1

3 C)

1

2 D) 2 E) 3

21. Si log 2 = 0,3 y log 3 = 0,48; calcular log36.

A) 0,78 B) 0,48 C) 1,625 D) 0,3 E) Otro valor

22. La expresión log6

7+ log

2

3 equivale a

A) log4 + log 7 B) 2log 3 – log 7 C) 2log2 – log 7 + 2log3

D) 2log 2 – log 7 E) 2log 2 + 2log 3 + 2log 7

23. Si log x = 2 – 3log 5 + 2log 3, el valor de x es

A) 2:15

6 B) 7,2 C) 62 − √25 D) 2 – 32 – 53 E) Otro valor



24. Si log 16−log 8

log 4= p, entonces log p =

A) log 2 B) log 4 – log 2 C) 0,5 D) –log2 E) 2log 2

25. El valor de x en la expresión 21x = 20 es

A) log21 + log20 B) log21 – log20 C) log4 + log5

D) log21

log3 + log 4 E)

log 4+log 5

log 3+log 7

26. Si log 210 = 3; entonces log2 √5 =

A) 0,35 B) 0,15 C) 1,25 D) 25

3 E)

7

6

27. logx xx + log2 2log x equivale a

A) x + log x B) log x2 C) log 11x

D) log2x xx ⋅ 2log x E) xlog x

28. logx x2 + log3 3log x = log 5 0, entonces x =

A) 50 B) 2 C) 48 D) 0,5 E) Indeterminado

29. Si log 16−log 8

log 4= p, entonces p =

A) log 2 B) log 4 – log 2 C) 2 D) 0,5 E) 2log 2

30. 2log 9 + log 27 – log 2187 equivale a

A) log 3 B) 2 log 3 C) 0 D) 3 log 3 E) Otro valor

31. El valor de x en la expresión 21x = 20 es

A) log 21 + log 20 B) log 21 – log 20 C) log 4 + log

D) log21

log3+ log 4 E)

log 4+log 5

log 3+log 7

32. El valor de x en la expresión log3( 92x+1) = 2x es

A) 3 B) -1 C) -3 D) 0 E) 2

33. Al calcularse el valor de log√5+2√6+√5−2√6

√5+2√6−√5−2√6 se obtiene

A) 1

2log 6 B)

1

2log √6 C) log 2 + log 3 D)

1

2(log 3 − log 2) E) 1



34. Si log 2 = 0,3 y log 3 = 0,48, entonces la raíz de la ecuación 2x+1 = 3x−1 es

A) 13

3 B)

√3

2 C) 1,5 D) 0,73 E) Otro valor

35. Si a

b=

1

2, entonces log2ax − log2bx =

A) -x B) 1

x C) -

1

x D) 1 E) -1

36. Si log 25 = p, entonces log 2 es

A) 2−p

2 B)

2+p

2 C)

p

2 D)

2p

25 E)

5p

22

37. logba = c si

(1) b > 0 y b ≠ 1

(2) bc=a



38. Se puede determinar el valor numérico de la expresión real log a – log b, si se

conoce:

(1) log(a·b)

(2) log √ab3




Ejercicios 1 a 6

Ejercicios 7 a 13

Ejercicios 14 a 20



Ejercicios 21 a 25

Ejercicios 26 a 30

Ejercicios 32 a 34

Ejercicios 35 a 38

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PRODUCTOS NOTABLES

1. Cuadrado de un Binomio: (a b)2 = a2 2ab + b2

Ejercicio. Si a · b = 10 y a2 + b2 = 29, entonces el valor de

(a – b)2 es

A) 9 B) 19 C) 29

D) 49 E) no se puede determinar el valor.

2. Suma por su Diferencia: (x + y)(x – y) = x2 – y2

Ejercicio. Si a +1

b= 9 y

a2b2−1

b2= 36, entonces a −

1

b =

A) -9 B) 6 C) 4 D) 3 E) 1

3. Producto de binomios con término común:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Ejercicio. Al resolver el producto (x + √2)∙(x - √8) se obtiene

A) x2 - 4 B) x2 - √10 x - 4

C) x2 - √2 x - 4 D) x2 + √2 x - 4



4. Cubo de un binomio. Si (a b)3 = a3

3a2b + 3ab2 b3

Ejercicio. Al desarrollar la expresión (a3 – b2)3 se obtiene:

A) a9 – b6 B) a6 – b5 C) a9 – 3a6b2 – 3a3b4 – b6

D) a9 – 3a6b2 + 3a3b4– b6 E) a9 - 3a6b2 + 3a3b4+ b6

FACTORIZACIÓN: Factorizar es el proceso de escribir un

polinomio como producto de sus factores

Factorizar: 1) 6x – 18y + 24

2) a5 + a7

3) x2 + 3x – 10

4) 25x2 – 49 5) x2 - 2

Ejercicio. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son)

divisor(es) de la expresión algebraica

2x2 − 6x − 20?

I) 2 II) x − 5 III) x + 2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

Factorización de una suma y diferencia de cubos

𝐚𝟑 + 𝐛𝟑 = (𝐚 + 𝐛)(𝐚𝟐 − 𝐚𝐛 + 𝐛𝟐) 𝐚𝟑 − 𝐛𝟑 = (𝐚 − 𝐛)(𝐚𝟐 + 𝐚𝐛 + 𝐛𝟐)

Ejercicio. Si a y b son números reales positivos, P = a2 + b2, Q = (a + b)2 y

R = a3+b3

a+b , ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?

A) P = Q = R B) R < P = Q C) R = P < Q

D) R < P < Q E) P < Q < R

OPERATORIA CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Resolvamos: 1) a

a+b+

b

a−b−

2ab

a2−b2 =

2) a2−b2

x2−y2∶

a+b

x+y =

3) x2−x−2

x ∙

5x2

x2−5x+6 =

ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

La ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen

elementos desconocidos llamados incógnitas. Para resolver una ecuación se debe

despejar la incógnita, cuyo valor reemplazado en la ecuación hace que la igualdad sea

verdadera.



Ejercicio. La suma de la edad de una madre con las edades de sus dos hijas es 55

años. La edad de la madre es el doble de la edad de la hija mayor y la suma de las

edades de las dos hermanas es 25 años. ¿Cuál es la edad de la hija menor?

A) 5 años B) 10 años C) 15 años D) 20 años E) 30 años

En el número de soluciones de una ecuación se pueden dar que la ecuación tenga

infinitas soluciones. Por ejemplo, 2x + 4 – 2(x + 2) = 0.

Como también ecuaciones que no tienen solución. Por ejemplo, 5x + 7 = 4 + 5x.

SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON 2

INCÓGNITAS.

La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado

es:

a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2

donde a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son números reales.

Se denomina solución del sistema a todo par de valores que satisfaga

simultáneamente ambas ecuaciones. Para resolver algebraicamente un sistema de

ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos, entre ellos, el de

sustitución, el de igualación y el de reducción.

El sistema tiene solución única si 2

1

2

1

b

b

a

a . Por ejemplo,

2x–5y=33x+2y=1

El sistema tiene infinitas soluciones si: 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a== . Por ejemplo,

3x−2y=56x−4y=10

El sistema no tiene solución si: 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a= . Por ejemplo,

x–4y=33x–12y=2

Ejercicios.

1. Si 2A – B = 1 y A + 3B = 11, entonces A + B es

A) 12 B) 5 C) 3 D) 2 E) 4

2. ¿Para qué valor de k el sistema 5x–ky=23x+2y=3

no tiene solución?

A) - 4

3 B) -

10

3 C) 2 D)

10

3 E) 5



PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

En los siguientes ejercicios, sólo escribe la ecuación o sistema de ecuaciones

correspondiente al enunciado, sin resolverlos.

1. A una persona le aumentan el sueldo en 7

20 de lo que

ganaba. Si su nuevo sueldo es $216.000, ¿en cuánto fue

aumentado?

2. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al

menor en 8. ¿Cuáles son los números?

3. Se repartirá un premio entre Ingrid, Gerardo y Jaime. Ingrid

recibe 3

8 del total, Gerardo recibe

2

3 de lo que quedará y Jaime

$130.000. ¿Cuánto reciben Ingrid y Gerardo, respectivamente?

4. Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean repartir la cuenta

en partes iguales. Si cada uno pone $5.500 faltan $ 3.500 para pagar la cuenta y si

cada uno pone $6.500 sobran $500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?

5. La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace diez años la suma de

las edades era igual a la edad que tiene hoy Carla. ¿Cuál es la edad de cada una en

la actualidad?

6. Encuentra dos números tales que si a cada uno le agregamos siete unidades, los

resultados están en la razón 3:2, pero si les restamos cinco unidades, la razón es

5:2.

7. Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. ¿Cuántas monedas de

$10 y de $50 tiene?

8. La suma de las dos cifras de un número es 9 y la diferencia entre él y el que resulta

de invertir el orden de sus cifras es 45. ¿Cuál es el número primitivo?

9. Encuentra un número entre 10 y 99 sabiendo que la cifra de las unidades es el

doble que la cifra de las decenas y que si se invierten, el número aumenta en 36.

10. Descomponer 895 en dos partes, de modo que al dividir la mayor por la menor se

obtenga 6 de cociente y 5 de resto.

GUIA A - 05

1. Sea la ecuación 0,16̅x + 0,25x + 2 = 0, 3̅. Entonces, el recíproco de x es

A) -4 B) 1

4 C)

−1

4 D)

1

15 E) 4

2. Si 4 −2t−1

2= 0, entonces t =

A) 5 B) 3 C) 3

2 D)

9

2 E)

7

2



3. En un viaje Pedro se traslada 800 km. La cuarta parte del viaje lo realiza en bus.

Las tres quintas partes del resto lo hace en avión y lo que queda en tren. ¿Cuántos

kilómetros anduvo Pedro en tren?

A) 120 km B) 240 km C) 320 km D) 360 km E) 480 km

4. Sean x e y dos reales positivos, tal que x2 + y2 = 2

9, además xy =

1

9,

entonces x + y =

A) 3

4 B)

9

16 C)

2

3 D)

1

8 E)

√3

3

5. Juan ahorró dinero juntando en total 65 monedas entre monedas de $ 100 y de

$ 500. Si en total ahorró $ 7.300, ¿cuál de los siguientes sistemas permite

encontrar la cantidad (y) de monedas de $ 500 que ahorró, sabiendo que x es la

cantidad de monedas de $ 100?

A) 500x+100y = 65; x+y = 7.300

B) x+y = 65; 100x+500y = 7.300

C) x+y = 65; x+y = 7.300

D) xy = 65; x + y = 7.300

E) x + y = 65; xy = 7.300

6. Si p – q = 7 y r – s = 8, entonces p – q – 2r + 2s es

A) -9 B) -3 C) -1 D) 15 E) 23

7. Si a y b son números reales, positivos y distintos, tales que ab = 1, entonces el

valor de la expresión a

1+a+

b

1+b es

A) 0 B) 1 C) a D) b E) a + b

8. Sean x e y dos reales positivos, tal que x2 + y2 = 6xy, con x > y, ¿cuál es el valor

de la expresión x−y

x+y?

A) 2√2 B) 1

2 C)

√2

2

D) √2 E) 2

9. En el sistema 3𝑥 − 𝑚𝑦 = 9 𝑛𝑥 + 4𝑦 = −11 ¿qué valores deben tener m y n, respectivamente,

para que la solución del sistema sea el par (1, -3)?

A) -2 y 1 B) -2 y -1 C) 2 y 1

D) 4 y -23 E) Ninguno de los valores anteriores



10. La expresión xy−x

y:

ay−a

y2 es igual a

A) 0 B) a

xy C)

ax

y D)

xa(y−1)2

y3

E) xy

a

11. Un vehículo ha recorrido pq kilómetros, donde p es el dígito de las decenas y q el

dígito de las unidades. La suma de los dígitos que componen dicho número es

ocho. Dieciocho kilómetros más adelante ha recorrido qp kilómetros, donde q es el

dígito de las decenas y p el dígito de las unidades. ¿Cuál de los siguientes sistemas

permite determinar los kilómetros recorridos?

A) p+q = 8; p+q = 10q+p-18 B) p+q = 8; 10q+p = 10p+q+18

C) p + q = 8; p+q-18 = 10p+q

D) p+q = 8; 10q+p+18 = 10p+q E) p+q = 8; p+q+18 = 10p+q

12. Al reducir la expresión (x

y+

y

x) (x + y): (

1

x+

1

y) resulta

A) x+y B) 3x+2y C) x-y D) x2+y2 E) (𝑥 + 𝑦)2

13. (p + q) + (p + q)2 =

A) 3(p + q) B) (p + q)3 C) p + q + p2 + q2

D) (p + q)(1 + p + q) E) 2(p + q)2

14. Al reducir la siguiente expresión n2−1

a+b⋅

a2−b2

n+1, se tiene

A) (n+1)(a-b) B) 1 C) 𝑎2+𝑏2

𝑎+𝑏⋅ (𝑛 − 1) D) (n-1)(a-b) E) (a+b)(n-1)

15. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a a2−2ab+b2

a2−b2?

A) -2ab B) 2

a+b C)

1

a−b D)

a−b

a+b E) a + b

16. Se tienen $ 16.000 en monedas de $ 500 y de $ 50. Si el total de monedas es 50,

entonces la cantidad de monedas de $ 500 es

A) 32 B) 30 C) 27 D) 20 E) 18

17. ¿Para qué valor de x la expresión x−2

2x+3 NO está definida?

A) −3

2 B) -2 C) 0 D) 2 E) -3



18. Si a = b

b1−, ¿cuánto vale b, en función de a?

A) aa

−1

B) a

a1+ C)

a

a1− D) a

a+

1 E) a

19. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 8x3 – 1?

A) (2x – 1)3 B) 8(x – 1)3 C) (2x - 1)(4x2 + 2x + 1)

D) 4(2x + 1)(2x – 1) E) (4x - 1)(2x + 1)

20. Si A – B – C = 2 y A⋅B + A⋅C = BC, entonces A2 + B

2 + C

2 =

A) 2 B) 4 C) 8

D) 16 E) Ninguno de los anteriores

21. Si bx + b = a + ax, entonces x + a =

A) -1 B) –a C) -1 – a

D) -1 + a E) 1 + a

22. Una persona viaja desde La Serena a Los Vilos, ciudades que se encuentran a una

distancia de 210 km. Si en los tres primeros días recorre 3

7,

2

21 y

7

30 de esa

distancia, respectivamente, ¿a cuántos kilómetros de Los Vilos se encuentra al

término del tercer día de iniciado el viaje?

A) A 49 km B) A 51 km C) A 100 km

D) A 110 km E) A 159 km

23. Sean a, b y p números reales, tales que a > b y p = a2−b2

a2−2ab+b2 . ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) p = 1 B) p = 0 C) p > 1

D) Si b > 0, entonces p < 1 E) Si b < 0, entonces p < 1

24. El perímetro de un triángulo de lados a, b, c es 2(3p + q) cm. Si el lado

a mide (p + q) cm. y el lado b mide (7p – 2q) cm., ¿cuántos centímetros mide

el lado c?

A) 14p + q B) 14p - q C) 5p – 2q D) 3q – 2p E) 2p + 3q

25. Un sitio rectangular de s metros de frente por t metros de fondo fue comprado

por 3 amigos en partes iguales. Si costó $p el metro cuadrado, ¿cuánto pagó cada

uno de los compradores?

A) $3stp B) $3p

st C) $

stp

3 D) $

st

3p E) $

(s−t)p

3



26. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al recíproco de (𝑎

𝑏 +

𝑏

𝑎)?

A) ab

a+b B)

ab

a2+b2 C) ab-1 + ba-1 D)

1

a2+b2 E)

a2+b2

a+b

27. Leonardo tiene una cierta cantidad de dinero en monedas de $ 500. Si le regalaran

otras 5 de estas monedas tendría menos de $ 50.000, pero si gastara $ 10.000 le

quedarían más de 20 monedas de $500. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es

verdadera, con respecto al dinero que tiene Leonardo?

A) Tiene $ 20.000. B) Tiene $ 47.500. C) Tiene más de $ 47.500.

D) Tiene menos de $ 20.000. E) Tiene más de $ 20.000 y menos de $ 47.500.

28. La expresión x2 - (x + a)2 es igual a

A) a(2x + a) B) 2x2 + a2 C) -a2 D) -x E) -a(2x + a)

29. Sean x e y distintos de cero, entonces

1+x

y

x2

y−y

=

A) x - y B) 1 C) 1

x+y D)

1

x−y E) x + y

30. ¿Qué condición debe cumplir p para que la ecuación en x, px – 1 = 4x + p, NO

tenga solución?

A) p = -4 B) p = -1 C) p ≠ -1 D) p = 4 E) p ≠ 4

31. El perímetro de un rectángulo es de 46 cm. Si el largo disminuye en 3 cm. y el ancho

aumenta en 2 cm., el área del rectángulo no cambia. En estas condiciones, la

diferencia de las medidas originales entre el largo y el ancho es

A) 15 cm. B) 12 cm. C) 8 cm. D) 7 cm. E) 5 cm.

32. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un cuadrado perfecto?

I) 25x2 - 10x + 22

II) 36x2 – 12x – 1

III) 4x2 – 8x + 1

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I, II y III E) Ninguna

33. La superficie de un cuadrado está dada por 4x2 – 12x + 9. Si el lado del cuadrado

aumenta en 2 unidades, ¿cuánto aumenta la superficie del cuadrado?

A) 8x + 8 B) 8x - 8 C) 8x + 16 D) 8x - 16 E) 4



34. Alberto entra a una librería con el objetivo de gastar exactamente $ 100.000 en

comprar 70 lápices. En la librería tienen solo dos tipos de lápices, uno vale $ 1.500

y el otro vale $ 1.200. ¿Cuántos lápices de cada tipo debe comprar en la librería,

para cumplir su objetivo?

A) 53 y 17 B) 54 y 16 C) 53 y 16

D) Otras cantidades. E) Alberto no puede cumplir su objetivo.

35. Si x + y = a ; y + z = b ; z + x = c, entonces x + y + z =

A) a+b−c

2 B)

a−b+c

2 C)

−a+b+c

2 D)

a+b+c

2 E) 2a+2b+2c

36. La expresión x−2+y−2

x−1−y−1 es equivalente a

A) x2+y2

xy(y−x) B)

x2+y2

xy C)

xy(y−x)

x+y D)

xy

y−x E)

x2−y2

xy

37. En un cajón solo hay fichas blancas y rojas. De estas, m son blancas y 4n son

rojas. Si se saca la mitad de las fichas blancas, entonces el cajón queda con un

total de 110 fichas. En cambio, si se agrega un 75% del total de fichas blancas y

se quitan 10 fichas rojas, entonces el cajón queda con un total de 175 fichas.

¿Cuál es el total de fichas que había inicialmente en el cajón?

A) 80 B) 101 C) 73

D) 140 E) Ninguno de los valores anteriores.

38. ¿Para qué valor de k el sistema formado por las ecuaciones 5x–ky=2; 3x+2y=3,

no tiene solución?

A) −4

3 B) −

10

3 C) 2 D)

10

3 E) 5

39. Si A + B = 120, B + C = 100 y C + D = 160, entonces A + D =

A) 120 B) 140 C) 160 D) 180 E) 200

40. Si a +1

b= 9 y

a2b2−1

b2 = 36, entonces (a − 1

b)2 =

A) 81 B) 36 C) 16 D) 9 E) 1

41. ¿Cuál de las expresiones no puede ser el cuadrado de un binomio, siendo A, B y C

números enteros?

I. A2 + 2AB + B2

II. Ax2 + Bx – C

III. A2 + B2 – 2AB

A) Sólo I y II B) Sólo II y III C) Sólo I y III D) Todas E) Ninguna



42. Al simplificar (ab + a

-b)(a

b – a

-b)(a

4b + 1 + a

-4b) se obtiene

A) (a-b

– ab)

6 B) (a

b – a

b)6 C) a

-6b – a

6b

D) a6b

– a-6b

E) a6b

+ a-6b


Ejercicios 1 a 6

Ejercicios 7 a 10

Ejercicios 11 a 16

Ejercicios 17 a 21

Ejercicios 22 a 26

Ejercicios 27 a 32

Ejercicios 33 a 36

Ejercicios 37 a 42



INECUACIONES DE PRIMER GRADO

DESIGUALDADES Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a

< b, a ≥ b o a ≤ b. Las desigualdades cumplen con las

siguientes propiedades:

1. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma, se resta

un mismo número, el sentido de la desigualdad no cambia.

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o

dividen por un mismo número positivo, el sentido de la

desigualdad no cambia.

3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo

número negativo,

el sentido de la desigualdad cambia.

4. Si de los miembros de una desigualdad, ambos positivos o ambos negativos, se

consideran sus recíprocos la desigualdad cambia.

Ejercicio. 1. Si a < 1, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I. a2 ≥ a II. a3 ≥ a2 III. a4 ≥ a2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas

2. Si a > b > c, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) positiva(s)?

I) a−b

b−c II)

b−c

c−a III)

b−a

c−a

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

INTERVALOS

Intervalo cerrado desde a hasta b, inclusive.

[a , b] = {x lR / a x b}

Intervalo abierto entre a y b.

]a , b[ = {x lR / a < x < b}

Intervalo semiabierto o semicerrado.

]a , b] = {x lR / a < x b}

[a , b[ = {x lR / a x < b}

Intervalo infinito

[a, +∞[ = {x ∈ R / x ≥ a}

]a, +∞[ = {x ∈ R / x > a}

]–∞, b] = {x ∈ R / x ≤ b}

]–∞, b[ = {x ∈ R / x < b}



Ejercicios.

1. Si -3 < 2x – 1 < 3, entonces ¿entre que valores está 3x + 1?

A) ]-3, 3[ B) ]-2, 2[ C) ]-4, 2[ D) ]-4, 7[ E) ]-2, 7[

2. ¿En cuál de los siguientes intervalos están solo los números reales que pertenecen a

−3, 5 y no pertenecen a −1, 7?

A) − 3,−1 B) − 3,−1 C) −1, 5 D) − 3,7 E) 5, 7

3. Todos los números que se encuentran a más de 10 unidades de 6 y a menos de 16

unidades de 8 están representadas por

A) ]16, 24[ B) ]-8, -4[ C) ]-4, 16[ D) ]-8, 24[ E) ]-8, -4[ U ]16,24[

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Son desigualdades verdaderas para un conjunto de valores de

la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la

inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la

notación de conjunto, intervalo o gráfica.

Ejercicios.

1. El intervalo solución de la inecuación 3x – 14 < 7x – 2 es:

A) [−3, +∞[ B) ]−∞, −3[ C) ]−∞, −3] D) ]−3, +∞[ E) ]3, +∞[

2. La solución de la inecuación x

2+ 2 >

3

4x − 1 es el conjunto de números reales x que

cumplen con que:

A) 𝑥 < 12 B) 𝑥 > 12 C) 𝑥 < 4 D) 𝑥 > 4 E) 𝑥 < 6

3. ¿Para cuál de los siguientes intervalos la expresión √2x − 1 está definida en los

números reales?

A) ]−∞,1

2] B) ]−∞, −

1

2] C) [

1

2, ∞[ D) [−

1

2, ∞[

4. Si |x – 1| ≤ 5, entonces la solución es



PROBLEMAS VERBALES CON INECUACIONES

Expresiones que habitualmente aparecen en estos problemas,

que hay que traducir: “a lo menos” (≥), “cuando mucho” (≤),

“como mínimo” (≥), “como máximo” (≤), “a lo sumo” (≤),

“sobrepasa” (>), “no alcanza” (<), “entre a y b” (a<x<b), etc.

Una vez planteada la inecuación o sistema de inecuaciones, se

determina el conjunto solución.

Ejercicios.

1. En un triángulo ABC cualquiera, AB̅̅ ̅̅ = 6 cm. y BC̅̅̅̅ = 9 cm. ¿Cuál de las siguientes

desigualdades debe verificarse para el tercer lado?

A) 6 cm < AC̅̅̅̅ < 9 cm B) 0 cm < AC̅̅̅̅ <15 cm C) 3 cm < AC̅̅̅̅ < 9 cm

D) 3 cm < AC̅̅̅̅ < 15 cm E) 4 cm < AC̅̅̅̅ < 14 cm

2. La suma de tres números consecutivos es a lo sumo 39, ¿cuál de las siguientes

afirmaciones con respecto al mayor de los números es siempre verdadera?

A) es menor que 12 B) es a lo sumo 12 C) es menor que 14

D) es a lo sumo 14 E) es menor que 13

3. Lo que falta a un número para ser 27 es mayor o igual de lo que falta a su doble

para ser 30, por lo tanto el número es necesariamente:

A) mayor que 19 B) a lo menos 19 C) mayor que 3

D) a lo menos 57 E) a lo menos 3

4. A lo más, ¿cuántos pepinos a $200 cada uno, más una sandía de $1.800 se pueden

comprar con un billete de $20.000?

A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92

5. Un artesano fabrica x collares, vende 60 y le quedan más de la mitad. Tras esta

venta, fabrica 5 collares más, vende 27 y le quedan menos de 40 collares. ¿Cuántos

collares fabricó en total?

A) 120 B) 121 C) 125 D) 126 E) 127

6. Hace 5 años Mónica no alcanzaba a tener 30 años y en 6 años más tendrá a lo

menos 37 años. ¿Cuántos años tiene, a lo más, Mónica?

A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35

GUIA A - 06

1. Si 𝑎 − 1 > 5 y b + 2 > −6, entonces a + b es

A) mayor que -4 B) mayor que 2 C) mayor que -2

D) menor que 2 E) menor que -2



2. Si x es un número real que pertenece al intervalo ]−2,3], entonces

I) el menor valor que puede tomar x es – 1.

II) (x – 1) es mayor que – 3 y menor o igual que 2.

III) (– x) es mayor o igual que – 3 y menor que 2.

Es (son) verdadera(s)

A) solo I B) solo II C) solo I y III D) solo II y III E) I, II y III

3. ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos contiene algún(os) elemento(s) que satisfacen

la inecuación 2x + 7 ≤ 12 + x?

I) El conjunto de los números reales menores que 5.

II) El conjunto de los números reales mayores que 5.

III) El conjunto formado solo por el número 5.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

4. La edad de Juan está comprendida entre 12 y 15 años y la de Andrés es mayor que

16 y a lo sumo 28, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La suma de las edades es mayor que 28.

II. La suma de las edades es menor que 43.

III. La diferencia positiva de sus edades es menor que 16.


5. ¿Cuántos números naturales cumplen la condición: “el exceso del quíntuplo de un

número sobre 4 es menor que 31”?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

6. Si x<5 la solución de la inecuación 1 −x−5

9< 9 + x

A) ]−67

10, +∞[ B) ]

−77

10, +∞[ C) ]−∞, 5[ D) ]

−67

10, 5[ E) ]

−77

10, 5[

7. Si a los números mayores que 1 y menores que 3 se les resta -p y luego se divide

por el número entero negativo b, entonces los números que se obtienen son

siempre mayores que

A) 1 B) 3+p

b C)

3−p

b D)

1−p

b E)

1+p

b

8. Si a·b > b·c, entonces si b>0, siempre se cumple que

I) a > c II) 1

a<

1

c III) -3ab > -3bc

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) I, II y III



9. Si a < 0 y a > -b; a, b IR, entonces, es correcto afirmar que siempre es(son)

verdadera(s)

I. –a < b II. –a > -b III. b < 0


D) Sólo I y II E) Sólo II y III

10. La solución gráfica de la inecuación (x – 1)2 – 7 ≥ (x – 2)2 es

11. Si a2 > b y b > 0, con a y b números reales y a ≠ b, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) a < b

II) a ≠ 0

III) b < a

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

12. Si a ⋅ b > 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. a

b> 0 II.

b

a> 0 III. a3b > 0

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

13. Felipe resuelve la inecuación −2𝑥 − 2 ≤ 3𝑥 − 4, de la siguiente forma:

I. −2x − 3x ≤ −4 + 2 II. −5x ≤ −2 III. 5x ≤ 2 IV. 𝑥 ≤2

5

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) cometió un error del paso I al II.

B) cometió un error del paso II al III.

C) cometió un error del paso III al IV.

D) no hay error en la resolución.

E) cometió más de un error.



14. La señora Macarena pesa 20kg más que su esposo Arturo y el doble que su hijo

Ernesto. Si entre los tres pesan a lo menos 180kg. ¿cuál es el peso mínimo del

señor Arturo?

A) 20 Kg B) 30 Kg C) 40 Kg D) 50 Kg E) 60 Kg

15. Si 3 ≥ a ≥ 0 y −3 ≤ b ≤ 0, ¿qué valor(es) puede tomar (a + b)?

A) Los valores entre −3 y 3, ambos incluidos.

B) Sólo los valores entre −3 y 0, ambos incluidos.

C) Sólo los valores entre 0 y 3, ambos incluidos.

D) Sólo el 0.

E) Ninguno de los anteriores.

16. ¿Cuántos números enteros cumplen simultáneamente con las dos condiciones

siguientes, el triple del número no supera su mitad, aumentada en 25 unidades y

el exceso del cuádruplo del número sobre 2 supera las 6 unidades?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

17. Se desea confeccionar un marco rectangular cuyo perímetro sea menor a 120 cm.,

pero no menor que 90 cm. Si el largo es el doble del ancho, ¿entre qué valores, en

cm., variará el ancho k?

A) 15 ≤ k < 20 B) 15 ≤ k ≤ 20 C) 30 ≤ k ≤ 40

D) 30 ≤ k < 40 E) 45 ≤ k < 60

18. El IMC es la razón entre la masa corporal y el cuadrado de la estatura de una

persona, respectivamente. Diversos estudios realizados, han concluido que el

grupo de mejor salud corresponde a un IMC comprendido entre 20 y 25 𝐾𝑔

𝑚2. Si una

persona mide 1,5 m, para ser considerada saludable, su masa corporal deberá

estar entre

A) 30 y 37,5 kg. B) 30 y 56,25 kg. C) 40 y 50 kg.

D) 45 y 56,25 kg. E) 45 y 55 kg.

19. Un comerciante compra una partida de 130 camisas por un total de $500.000.

Vende al detalle 50 de estas camisas a $6.000 cada una. ¿Cuál es el menor precio

al que debe vender cada una de las camisas restantes si quiere obtener, como

mínimo, un 30% de ganancia?

A) $ 2.500 B) $ 3.250 C) $ 3.750 D) $ 4.325 E) $ 4.375

20. Si 0 < x < 1; entonces ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son)

verdadera(s)?

I) 2 – x2 < 2 + x2

II) 3 – x2 < 3 – x

III) 1 + x2 < (1 + x)2




21. ¿Cuál es el conjunto de todos los números que están a una distancia mayor que 6

de 0 y a una distancia menor que 20 de 8?

A) ]6,8[ B) ]6,28[ C) ]−∞, −12[ ∪ ]−6,6[ ∪ ]28, ∞[

D) ]−∞, 28[ E) ]−12, −6[ ∪ ]6,28[

22. Se puede saber con exactitud el número de asistentes a una reunión, si

(1) Al retirarse 15 personas los presentes son a lo menos tres docenas.

(2) Al retirarse 11 personas los presenten son a lo más 4 decenas.



23. En una empresa el costo de fabricación de chocolates está dado por C = 25000 +

250x, donde x es la cantidad de chocolates. Si cada chocolate se vende a $ 500,

¿cuál es la cantidad mínima de chocolates que se debe vender para tener

utilidades?

A) 56 B) 77 C) 101 D) 150 E) 181

24. Una persona tiene $ p y quiere comprar ciertos artículos, los cuales tienen un valor

de $ a cada uno. Si del total del dinero que tiene, la persona gasta $ q en

locomoción, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la inecuación que

permite conocer la mayor cantidad x posible de artículos que puede comprar la

persona?

A) xp > aq B) ax ≤ p – q C) x + q ≤ ap

D) ax > p – q E) x ≤ a(p – q)

25. Si -3 < 2x – 1 < 3, entonces ¿entre que valores está 3x + 1?

A) ]-3, 3[ B) ]-2, 2[ C) ]-4, 2[ D) ]-4, 7[ E) ]-2, 7[

26. Para que la expresión

1−x+y

x−y

1+x+y

x−y

sea positiva, se debe cumplir necesariamente que

A) xy < 0 B) x < 0 C) xy > 0 D) y < 0 E) x > y

27. ¿Cuál es el conjunto solución de todos los números que están a una distancia mayor

que 4 de 0 y a una distancia menor que 10 de 8?

A) ]−4,18[ B) ]4,18[ C) ]−4, −2[ ∪ ]4,18[ D) ]−∞, 18[ E) ]−∞, −4[ ∪ ]−2,18[ ∪ ]18, ∞[

28. Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un número menor que 47,

entonces el número debe ser menor que

A) 42 B) 49 C) 52 D) 82

7 E)

52

7



29. Si 𝑥 − 2𝑦 ≤ −2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. 𝑥 − 2𝑦 + 2 ≤ 0 II. x−2y

−2≥ 1 III. 2𝑦 − 𝑥 ≥ −2


30. El gráfico que representa al conjunto solución de la inecuación –6 – 4x 0 es


Ejercicios 1 a 5

Ejercicios 6 a 9

Ejercicios 10 a 13

Ejercicios 14 a 18

Ejercicios 19 a 22

Ejercicios 23 a 30



ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado o cuadrática es una

ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0,

con a, b y c coeficientes reales y a ≠ 0.

Por ejemplo: 4x2 – 5x + 1 = 0

Si a = 1, se denomina Completa Particular y es de la forma

ax2 + bx + c = 0.

Por ejemplo: x2 + 7x + 12 = 0

El cálculo de las soluciones o raíces de estas ecuaciones, x1 y

x2, se determina por factorización o por la fórmula general:

𝐱 =−𝐛 ± √𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜

𝟐𝐚

Ejercicios.

1. Las raíces x1 y x2 de la ecuación 2(x2 – 6) = -2x son

A) x1 = √6, x2 = 0 B) x1 =2, x2 = √6

C) x1 =3, x2 =-2

D) x1 =2, x2 = -3 E) x1 =-2, x2 = -3

2. Las raíces de la ecuación x(x – 1) = 20 son

A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5

D) 4 y -5 E) -4 y 5

3. De la ecuación 6x-2 + x-1

= 1, se puede deducir que

A) las soluciones se diferencian en 4 unidades.

B) las soluciones son números impares consecutivos.

C) la razón entre las soluciones es 2 : 3.

D) el producto de las soluciones es -28.

E) la diferencia positiva entre las soluciones es cinco.

Si b = 0, la ecuación se llama Incompleta Pura y es de la

forma ax2 + c = 0.

Por ejemplo: 4x2 - 36 = 0

Y aunque también se pueden determinar sus raíces por la

fórmula general vista, resulta más fácil simplemente despejar

x.

Ejercicio.

Las raíces de la ecuación 2x2 - 18 = 0 son

A) 9 y -9 B) 3 y -3 C) 4 y -4 D) Sólo 3

Si c = 0, se denomina Incompleta Binomia y es de la forma ax2 + bx = 0.

Por ejemplo: 5x2 – 10x = 0



Estas ecuaciones se resuelven principalmente por medio de factorización, aunque la

fórmula general igual podría utilizarse.

Ejercicio.

Las raíces de la ecuación 3x2 + 12x = 0 son

A) 0 y -4 B) 0 y 4 C) 4 y -4 D) 0 y 9

Naturaleza de las raíces

El discriminante, b2 – 4ac, determina la naturaleza de las

raíces de la ecuación cuadrática. Por lo tanto:

Si b2 – 4ac > 0, tiene 2 soluciones, siendo estas raíces

reales y distintas.

Si b2 – 4ac = 0, tiene sus soluciones idénticas, o sea, una

única solución real.

Si b2 – 4ac < 0, no tiene solución real. Sus soluciones son

imaginarias, complejas conjugadas.

Ejercicios.

1. Las raíces de la ecuación 3x2 – 4x + k = 0 son complejas, entonces

A) k > 4

3 B) k = 0 C) k ≤

4

3 D) k < −

3

4 E) k =

2

3

2. Para que la ecuación 5x(x + 2) = k, NO tenga raíces reales, deberá cumplirse que

A) k > – 5 B) k < – 5 C) k > 5 D) k < 5 E) k < 100

3. ¿Cuál es el conjunto de todos los valores de p, para que la ecuación en x, (x - p)2 +

8p = 0 tenga dos soluciones reales y distintas?

A) 0, B) − , 0 C) − , 0 D) 0, E)

Propiedades de las Raíces de una ecuación cuadrática.

Las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado

cumplen con las siguientes propiedades:

𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 = −𝐛

𝐚

𝐱𝟏 ∙ 𝐱𝟐 =𝐜

𝐚

Ejercicios.

1. Una ecuación de segundo grado cuyas raíces son 2 + √5 y 2 – √5, es

A) x2 – 4x – 1 = 0 B) x2 – 4x + 1 = 0 C) x2 – 5x + 1 = 0

D) x2 – 5x – 1 = 0 E) Ninguna de las anteriores



2. Respecto a la ecuación 7x – 12 – x2 = 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)?

I) La suma de las raíces es 7.

II) El producto de sus raíces es 12.

III) Ambas raíces son positivas.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III

Problemas verbales.

1. Un cuadro rectangular de 30 m2 de superficie tiene un

metro más de largo que de alto. Si x es la medida del alto,

¿cuál de las siguientes ecuaciones permite calcular las

dimensiones del cuadro?

A) x2 – x – 30 = 0

B) x2 – 28 = 0

C) x2 + x – 30 = 0

D) x2 – x + 30 = 0

2. Un sitio rectangular tiene un área igual a 75 metros cuadrados. Si su ancho mide 10

metros menos que su largo, ¿cuánto mide el ancho?

A) 5 m. B) 25 m. C) 7,5 m. D) 15 m.

3. Un jardín rectangular tiene área igual a 24 metros cuadrados. Si su largo mide 2

metros más que su ancho, entonces su largo mide

A) 4 metros B) 6,7 metros C) 4,7 metros D) 6 metros

4. Se puede determinar el largo de una cancha rectangular de área 1.600 metros

cuadrados, si:

(1) El largo de la cancha mide 60 metros más que el ancho.

(2) El perímetro de la cancha es 200 metros, sabiendo que el largo es

mayor que el ancho.



GUIA A – 07

1. Si una de las raíces de la ecuación 2kxx2 =− es -1, la otra raíz es

A) 2 B) -2 C) 1 D) 0 E) -1

2. Si -2 es una de las raíces de la ecuación 02kx2 =+−− , el valor de k es

A) -4 B) -2 C) 0 D) 2 E) 4



3. Si el discriminante de 02xax2 =−+ es 0, entonces a =

A) 8

1− B) 0 C)

8

1 D) 2

4. Si el producto de las raíces de la ecuación 0k3xx2 2 =+− es 12, entonces k2 =

A) 4

1 B) 8 C) 9 D) 64 E) 144

5. El producto de las raíces de la ecuación 02xx4 2 =+− corresponde a un número

I. Racional

II. Irracional

III. Entero

De estas afirmaciones son verdaderas

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

6. Al resolver la ecuación 4x 2 =− se obtiene

A) 2

1 B) -2 C) 2 D)

4

1 E)

4

1−

7. En un terreno rectangular, el largo tiene 2 metros más que su ancho. Si su área es

de 24 m2, ¿cuánto mide su largo?

A) 3 m. B) 4 m. C) 6 m. D) 8 m. E) 12 m.

8. El valor del discriminante en la ecuación –x2 – 1 = 0 es:

A) -4 B) -3 C) 1 D) 4 E) 1−

9. El producto de las raíces de la ecuación x2 + 2x – 1 = 0 es:

A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2

10. La ecuación cuadrática que tiene como raíces 1 y -1 es:

A) 01x2 =+ B) 0xx2 =+ C) 0xx2 =− D) x2 − 1 = 0

11. ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 3x2 – 2x – 5 = 0?

A) 3

10− y 2 B) -5 y 3 C) -2 y

3

10

D) 3

5− y 1 E) -1 y

3

5



12. ¿Qué valor debe tener k en 5x2 – 10x + 2k + 6 = 0 para que una de las soluciones

de esta ecuación sea 0?

A) -6 B) -5 C) -3 D) -1 E) 0

13. Si el discriminante de la ecuación 01kxx2 =+− es 4, entonces el valor de k es

A) 2 B) -2 C) 0 D) 22 E) 2

14. En la ecuación (x – 5)(x + 2) = 0, el conjunto solución es

A) 2,5− B) 2,5 − C) 3,10 −− D) 10,10 − E) 10,0

15. El producto de las raíces de la ecuación 2(x – 1)(x + 2) = 0 es

A) -2 B) 0 C) 2 D) 4 E) -4

16. El conjunto de soluciones de la ecuación 06xx2 2 =−+ está formada por dos raíces

A) racionales de igual signo

B) racionales de distinto signo

C) irracionales de igual signo

D) irracionales de distinto signo

E) naturales de distinto signo

17. El cuadrado del producto de las raíces de la ecuación 01x2x2 =−+ es

A) 0 B) 1 C) -1 D) -2

18. Las soluciones de la ecuación 1x3x +=+ son

A) 1 y -2 B) 1 y 2 C) -1 y 2 D) -1 y -2 E) 1 y -1

19. Las raíces de la ecuación 1xx

1=+− son

A) 2

51 +− y

2

51 +− B)

2

51 +− y

2

51 −− C)

2

51 −− y

2

51 −−

D) 2

51 + y

2

51 − E)

2

51 + y

2

51 −−

20. Las raíces de la ecuación 0xax2 =− , con a 0, son

A) 0 y –a B) 0 y a

1 C) 0 y

a

1− D) 0 y a E) a y

a

1−



21. Una de las raíces de la ecuación 0cx3x2 =++ es 1, ¿cuál es la otra?

A) 1 B) -1 C) 4 D) -4

22. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en el conjunto de los números

reales?

A) x2 + 8x + 9 = 0 B) x2 − 2x + 9 = 0

C) x2 + 6x + 9 = 0 D) x2 − x − 9 = 0

23. Si k4x2 = , entonces las raíces de la ecuación son

A) 2k y -2k B) k2 y k2− C) k2 y k2−

D) 2k y 2k− E) 4k y – 4k

24. “La suma de dos números es 5 y su producto -14”. La ecuación que permite resolver

este enunciado es

A) 014x5x2 =++ B) 014x5x2 =−+ C) 014x5x2 =+−

D) 014x5x2 =−− E) 05x14x2 =+−

25. Una de las raíces de una ecuación cuadrática es 3 y el término independiente es 15.

La ecuación es

A) (3 – x)(x – 5) B) (x – 3)(x + 5) C) (x + 3)(x – 5)

D) (x + 3)(x + 5) E) (x – 3)(x – 5)

26. “El cuadrado de un número aumentado en 6, equivale al doble del exceso del triple

del número sobre 1”. Un posible número que cumple este enunciado es

A) 1 B) -1 C) 6 D) -6 E) 4

27. Al aumentar en 4 metros el largo y el ancho de una sala, su área aumenta al doble.

¿Cuál es el largo original de la sala, sabiendo que excede en 4 metros a su ancho?

A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 32

28. Determinar la edad actual de Alicia si hace 5 años era la raíz cuadrada de la edad

que tendrá en un año más.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

29. El largo de un rectángulo es (x + 3) y su ancho (x + 5). Determinar su perímetro,

sabiendo que su área es 24 2m .

A) 16m. B) 20 m. C) 22 m. D) 28 m.

30. Al resolver la ecuación 1x3x4 +=+ , se obtiene que el menor valor de x es

A) -4 B) -3 C) -2 D) -1 E) 1



31. La ecuación de segundo grado cuyas raíces son y β - es:

A) x2 - βx + (β - ) = 0 B) x2 + βx + (β - ) = 0

C) x2 -βx + (β + ) = 0 D) x2 - βx - (β + ) =0

32. La ecuación de segundo grado que tiene como raíces 1

a+b y

1

a−b corresponde a:

A) (a2 – b2)x2 – 2ax + 1 = 0

B) (a – b)2x2 – 2ax + 1 = 0

C) (a2 – b2)x2 + 2ax + 1 = 0

D) (a – b)2x2 + 2ax + 1 = 0

33. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm. y 1 cm. menos que la

hipotenusa. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

A) Sólo 5 cm. B) Sólo 13 cm. C) 2

5 y

2

13 cm. D) 5 y 13

34. ax2 + bx + c = 0, con a, b y c números enteros distinto de 0, es una ecuación de

segundo grado cuyo discriminante es igual a 25. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones con respecto a las raíces de esta ecuación es (son) siempre

verdadera(s)?

I. Son números racionales.

II. Son números positivos.

III. Son números reales y distintos.


35. Las raíces de la ecuación x-2 – 2x–1 = 8 son

A) 2 y 4 B) 2 y 2 C) 0 y 8 D) -4 y -2 E) 2

1y

4

1−

36. Si la ecuación (p - 1)x2 + 2(p - 3)x + p - 3 = 0, en x, con p un número real

distinto de 1, tiene dos soluciones reales distintas, entonces

A) p > 1 B) p = 3 C) p < 3 D) p > 3 E) p < 1

37. Observa la siguiente secuencia de ecuaciones de 2° grado: x2 – x – 1 = 0;

x2 – 8x – 8 = 0; x

2 – 27x – 27 = 0... ¿Cuál es el producto de las raíces de la décima

ecuación?

A) 1.000 B) -729 C) 729

D) 812 E) -1.000



38. En la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, una de las raíces es la mitad de la otra.

¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera?

A) 2b2 = 9ac B) 4b

2 = 9c C) 2b

2 = 9a

D) b2 = 8ac E) 9b

2 = 2ac

39. La ecuación kx(x + 4) = -4, tiene una solución, entonces dicha solución es

A) -2 B) - 1

2 C) 1 + √2

D) 1

2 E) 1

40. En la ecuación x2 – px + 12 = 0 sus raíces x1, x2 cumplen que x1

x2+

x2

x1=

1

12. El

valor de p es

I) 0

II) 5

III) -5



41. En un Concurso de Matemática, existe un problema sobre ecuación de segundo

grado. Un estudiante lo resuelve, pero se equivoca en el término independiente y

obtiene como soluciones 9 y 3. Otro estudiante se equivoca en el coeficiente del

término de primer grado y obtiene como soluciones -7 y -5. ¿Cuál fue la ecuación

planteada del problema?

A) x2 – 12x + 27 = 0 B) x2 - 12x - 35 = 0 C) x2 + 12x + 35 = 0

D) x2 - 12x + 35 = 0 E) x2 + 12x - 35 = 0

42. Sea m un número real, tal que las raíces x1 y x2 de la ecuación

x2 + (m-2)x + m2 - 2m = 0 son reales. El valor de m para los cuales (𝑥1)2 + (𝑥2)2 = 6 es

A) −2

3 B) 2 C) -1 - √5

D) √5 – 1 E) 1 + √5




Ejercicios 1 a 6

Ejercicios 7 a 12

Ejercicios 13 a 18

Ejercicios 19 a 24

Ejercicios 25 a 31

Ejercicios 32 a 34

Ejercicios 35 a 37

Ejercicios 38 a 39

Ejercicios 40 a 41

FUNCIONES

Una función de A en B, f: A B, es una relación que

asigna a cada elemento x del conjunto A (Dominio) UNO Y

SÓLO UN ELEMENTO y del conjunto B (Codominio).



Por ejemplo

El elemento y es la imagen de x, y se denota f(x). El elemento x se denomina

preimagen.

El recorrido es el conjunto de todos los valores posibles de f(x). En general, el

recorrido es un subconjunto del codominio.

En la figura, por ejemplo, el 5 tiene imagen 3, o sea f(5) = 3. Otro ejemplo, la

preimagen de 5 es 6.

La Prueba de la Recta Vertical, consiste en trazar una recta de modo vertical y verificar

que esta recta corta a la gráfica en un único punto si es una función.

Codominio



Ejercicios.

1. Sea f: lR → lR, una función definida por f(x) = 2x – 1. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) f(0) = -1

II) f(3

5) =

1

5

III) f(a + 1) = 2a + 1


2. El dominio de la función f(x) = x

3x+5 es

A) IR – {0} B) IR – {3

5} C) IR – {

5

3} D) IR – {-

5

3}

3. El recorrido de la función f(x) = 2x

5x−1 corresponde a

A) IR – {0} B) IR – {2

5} C) IR – {

5

2 } D) IR – {-

2

5}

Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente (x),

también aumenta la variable dependiente (y).

Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la

variable dependiente disminuye.

Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable

independiente, la variable dependiente toma un único valor.

Ejercicio. Con respecto al gráfico de la función f de la figura, ¿cuál de las siguientes

alternativas es falsa?

A) f(2)= f(4)

B) f(0) > f(2)

C) f(1)> f(3)

D) f es decreciente en el intervalo [0, 2]

E) f es decreciente en el intervalo [2, 3]



FUNCIÓN AFÍN Y FUNCIÓN LINEAL

Se denomina función afín a aquella de la forma: f(x) = mx + n, donde m y n

son números reales distintos de cero.

La gráfica de una función afín corresponde a una línea recta, donde m

determina la inclinación de la recta (pendiente) y n la intersección de la recta con el

eje de las ordenadas (coeficiente de posición).

Si n=0 la función se denomina función lineal y es de la forma f(x) = mx y

gráficamente, corresponde a una recta que pasa por el origen. Si m = 1, entonces f(x)

= x, se denomina función identidad.

La función lineal f(x) = mx, cumple las siguientes propiedades:

1. Para todo a y b pertenecientes al dominio de la función, se cumple que

f(a + b) = f(a) + f(b)

2. Para todo a perteneciente al dominio de la función y p lR se cumple que

f(p · a) = p∙f(a)

Ejercicios.

1. La recta de función f(x) = x

5 gráficamente corresponde a

A) Una recta paralela al eje Y

B) Una recta paralela al eje X

C) Una recta que pasa por el origen

D) Una recta que intersecta al eje Y en (0, 3)

E) Una recta de pendiente -3

2. ¿Cuál de las siguientes funciones cumple que f(a + b) = f(a) + f(b)?

A) f(x) = 1 - x B) f(x) = 3x – 1 C) f(x) = 3x D) f(x) = 5



Puntos de cortes con los ejes. Para determinar los puntos donde la gráfica

intersecta al eje x, se hace y = 0 en la función dada y se resuelve la ecuación

resultante.

Para determinar los puntos donde la gráfica intersecta al eje y, se hace x = 0 en la

función dada y se resuelve la ecuación resultante.

Ejemplo: La intersección de la gráfica de f(x) = 5x – 2 con el eje y es y = 5∙0 – 2;

y = -2. Por lo tanto, el punto de intersección es (0, -2)

Ejercicio.

1. El área del triángulo formado por los ejes coordenados y la gráfica de la función

f(x) = 3

8x + 3 es

A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36

2. Si f(x) = mx + n es una función afín, se puede determinar el punto de intersección

de la gráfica de f(x) y el eje de las abscisas, si:

(1) f(0) = 2

(2) f(1) = 0

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

GUIA A - 08

1. Si f(x) = 1

x 3−, entonces f(-3) + f(-1) =

A) 1

12 B)

−1

5 C)

−5

12 D)

5

12 E) Otro valor

2. De los siguientes gráficos, ¿cuál(es) de ellas NO es(son) función(es)?

I) II) III)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

y

x

y

x

y

x



2𝑥 + 1 ; si x>1

3. Si f(x)=

x - 4 ; si x 1 Entonces se afirma que

I) f(2) = 5 II) f(0) = 1 III) f(-1) = -5

De estas afirmaciones, es(son) verdadera(s)


4. Sea la función f(x) = {(–8, 1), (–6, 2), (3, 4), (7, 7)}, entonces es verdadero que

I) f-1 = {(1, –8), (2, –6), (4, 3), (7, 7)}.

II) El dominio de la función f es {–8, –6, 3, 7}. III) El codominio y el recorrido son iguales.


5. Sea f: lR – {-1} → lR, una función definida por f(x) = 1 +1

1+x. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) f(-3

5) > 3,5

II) f(√2) = √2

III) f(a - 1) = a+1

a con a ≠ 0


6. El dominio de la función f(x) = 3x

2x+7 es

A) IR – {0} B) IR – {2

7} C) IR – {

7

2} D) IR – {-

7

2}

7. El recorrido de la función f(x) = −x+1

3x−1 corresponde a

A) IR – {0} B) IR – {1} C) IR – {1

3 } D) IR – {-

1

3}

8. El recorrido de la función f(x) = x−3

2−x es

A) IR B) IR – {2} C) IR – {3} D) IR – {-3

2} E) IR – {-1}



9. Con respecto al gráfico de la función f de la figura, ¿cuál de las siguientes

alternativas es FALSA?

A) Dom(f) = [-2, 3]

B) Rec(f) = [-2, 2]

C) f es decreciente en [1, 2]

D) f es creciente en [-2, -1]

E) f no es creciente ni decreciente en [-1, 1]

10. Para que f: IR →IR, donde f(x) = x2 − sea función, el dominio debe ser

A) x ≥ -2 B) x 2 C) x 2 D) x 2 E) x ≤ -2

11. Si f(5x – 1) = – (a + 1) x + 3, entonces el valor de f(-1) es

A) 0 B) 3 C) 1

5 D) a + 5

12. Con respecto al gráfico de la función f de la figura, ¿cuál de las siguientes

alternativas es FALSA?

A) f es decreciente en el intervalo [0, 2]

B) f(1) > f(3)

C) f(4) < f(1)

D) f(2) + f(3) = 1

E) f es constante en el intervalo [2, 3]

13. Sea f(x) una función tal que f(x) = (a + 1)x – a2, entonces el valor de f(a) es

A) 2a + 1 B) a + 1 C) a D) a - 1

14. Si f(x) = x+3

x−3 , con x ≠3, y f(a + 2) = 3, el valor de “a” es

4)A B) 1 C) -4 D) -1

15. La recta de función f(x) = 4 gráficamente corresponde a

A) Una recta paralela al eje Y B) Una recta que intersecta al eje Y en (0,

4)

C) Una recta que pasa por el origen D) Una recta paralela al eje X

E) Una recta de pendiente 4

16. ¿Cuál de las siguientes funciones cumple que f(a + b) = f(a) + f(b)?

A) f(x) = 1 - x B) f(x) = x + 1 C) f(x) = x D) f(x) = 1

17. ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = √−𝑥 − 1 en los números reales?

A) ]−∞, −1] B) ]−∞, −1[ C) [−1, ∞[ D) ]−1, −∞[



18. Sea p un número real distinto de cero y f la función definida por f(x) = px, con

dominio los números reales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA, con

respecto a f, para algún valor de p?

A) La imagen de la suma de dos números reales es la suma de sus imágenes.

B) La preimagen de un número entero es un número entero.

C) La preimagen del cero es el cero.

D) La imagen del doble de un número es el doble de la imagen del número.

E) La imagen de p es un número real no negativo.

19. Un plan telefónico cobra un cargo fijo de $ 2.000 más $ 100 por minuto hablado,

¿cuál de las siguientes funciones modela el cobro en pesos por un gasto de t

minutos con dicho plan?

A) f(t) = 2.100t B) f(t) = 2.100t + 100 C) f(t) = 100t

D) f(t) = 1.900t E) f(t) = 2.000 + 100t

20. Una fábrica de coches durante su segundo año, vendió 4.700 coches y en el quinto

año, vendió 5.315. Si el comportamiento es lineal, ¿cuál es la función que

representa la cantidad de coches que se venderán en el año x?

A) f(x) = 205x + 4.720 B) m(x) = 205x + 4.290 C) g(x) = 205x + 4.698

D) n(x) = 123x + 4.700 E) h(x) = 205x + 4.650

21. El área, en unidades cuadradas, del triángulo formado por los ejes coordenados y

la gráfica de la función f(x) = −1

5x − 4 es

A) -40 B) 20 C) 40 D) 80

22. Se puede determinar la pendiente del gráfico de una función lineal, si se sabe que:

(1) Las variables son directamente proporcionales con constante 4.

(2) Pasa por el punto (–2, –8).



23. En la función f(x) = 3mx + 5, en los reales, se puede determinar el valor de m si:

(1) g(x) = x + 1 y f(1) = g(2)

(2) f(–4) = –11



24. Si f(x) = mx + n es una función afín, se puede determinar el punto de intersección

de la gráfica de f(x) y el eje de las abscisas, si:

(1) f(0) = 2

(2) f(1) = 0





25. Se puede determinar que la función f(x) = ax + b es creciente si:

(1) a > 0

(2) b = 3




Ejercicios 1 a 4

Ejercicios 5 a 8

Ejercicios 9 a 12

Ejercicios 13 a 16

Ejercicios 17 a 20

Ejercicios 21 a 25

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Se denomina función cuadrática a la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx +

c, con a, b, c números reales y a≠0.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.



Ejemplo: f(x) = x2 f(x) = -x2 + 3

Con respecto al coeficiente “a”: Si a > 0, la concavidad de la parábola está orientada

hacia arriba.

Si a < 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia abajo.

Un cambio en el valor del coeficiente “a” hace que las ramas de la parábola estén más

o menos abiertas.

Observemos esta situación en el siguiente gráfico:

Con respecto al coeficiente “b”:

Si a > 0 y b > 0, el eje de simetría de la parábola está a la izquierda del eje y.



Si a > 0 y b < 0, el eje de simetría está a la derecha del eje y.

Si a < 0 y b > 0, el eje de simetría está a la derecha del eje y.

Si a < 0 y b < 0, el eje de simetría está a la izquierda del eje y.

Si b=0, el eje de simetría de la parábola coincide con el eje de las ordenadas.



Con respecto al coeficiente “c”: La parábola siempre intersecta al eje de las ordenadas

en el punto (0, c).

Por ejemplo: f(x) = x2 – x – 2

Se denomina discriminante a la expresión b2 – 4ac, cuyo valor nos permite saber en

cuántos puntos intersecta la parábola al eje de las abscisas.

Si b2 – 4ac > 0, la parábola intersecta al eje de las abscisas en dos puntos. Estos

puntos son las raíces (o ceros) de la ecuación respectiva, x1 y x2.

Si b2 – 4ac = 0, la parábola intersecta en un único punto al eje de las abscisas. En

este caso, las raíces (o ceros) de la ecuación son iguales, o sea x1 = x2.



Si b2 – 4ac < 0, la parábola no intersecta al eje de las abscisas. Las raíces (o

ceros) de la ecuación son números imaginarios.

Ejercicio: Determinar en cuántos puntos intersecta la parábola f(x) = x2 – 4x – 4, al

eje de las abscisas.

El Eje de Simetría de la parábola se puede determinar por la expresión x = −𝐛

𝟐𝐚

Ejercicio: Determinar el eje de simetría de la parábola f(x) = 3x2 – 2x +1

El Vértice de una parábola tiene como coordenadas V(x, f(x)). En la función f(x) = x2,

el vértice corresponde al origen (0, 0).



Cuando no se encuentra en el origen lo podemos determinar por

𝐕 = (−𝐛

𝟐𝐚, 𝐟 (

−𝐛

𝟐𝐚)) o también como 𝐕 = (

−𝐛

𝟐𝐚,

𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐

𝟒𝒂)

Ejercicio: Determinar el vértice de la parábola asociada a la función

f(x) = -2x2 + 3x - 5

Si a>0, el vértice corresponde a un mínimo. Si a<0, el vértice corresponde a un

máximo.

Ejercicio: Determinar el valor máximo de la función y = -x2 + 2x – 1.

Ejercicios.

1. Con respecto a la función f(x) = 3x2 + 12x – 10, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Su concavidad está orientada hacia arriba.

II) El punto de intersección con el eje y es (0, -10).

III) Su vértice es (-2, -22)

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) Todas ellas

2. Dada la función f(x) = x2 + 2x – 3, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones


I) x = 1 es un cero de la función.

II) La ecuación del eje de simetría es x = -1.

III) El vértice de la parábola es (-1, -4).

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Todas ellas

3. Respecto a la parábola f(x) = x2 – 9x + 14, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones


I) Sus ceros son x1 = 7 y x2 = 2.

II) Intersecta al eje y en (0, 14).

III) Su eje de simetría es x = −9

2.




FUNCIONES DE LA FORMA f(x) = a(x – h)2 + k

La función cuadrática dada de esta forma, nos permite determinar inmediatamente las

coordenadas del vértice de la parábola V(h, k)

Por ejemplo, comparada con la función cuadrática original, la parábola f(x) = (x – 2)2

+ 3, se traslada h unidades en el eje x (sentido opuesto) y k unidades en el eje y.

Ejercicio: Escribir de la forma a(x – h)2 + k la función cuadrática f(x) = 2x2 – 4x + 3.

Ejercicios.

1. Respecto a la función f(x) = (x − 3)2 + 2 es FALSO que

I) Su vértice es el punto (–3,2).

II) Su concavidad está orientada hacia arriba.

III) Sus ceros de la función no son reales.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto a la

función f(x) = ax2 + bx + c?

I) Si a < 0, entonces la gráfica de la función es una parábola que se abre hacia

abajo.

II) La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, c)

III) Si a = 0, b ≠ 0 y c ≠ 0, entonces f es una función afín.




-5 5

3. Si consideramos la parábola de ecuación y = 3x2 + 6x + 3. ¿Cuál(es) de las

conclusiones siguientes es(son) verdadera(s)?

I. tiene al eje y como eje de simetría.

II. es tangente al eje x.

III. sus ramas se abren hacia arriba

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) Sólo I y II E) I, II y III

4. Considere la parábola 5)1x(2

1y 2 +−= ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones


I) La parábola se abre hacia arriba

II) Su vértice se encuentra en (-1,5)

III) Su eje de simetría es x = 1


5. La gráfica de la figura, corresponde a la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c.

Entonces, el valor de a, y su vértice son

A) 1; (-8, 15) B) 1; (8, 15) C) 1; (4, -1)

D) -1; (4, -1) E) -1; (-4, -1)

GUIA A - 09

1. La abscisa del vértice de la parábola y = 2x2 + 5x – 3 es:

A) 4

5− B)

4

5 C)

5

1− D)

4

3 E)

2

5−

2. ¿Cuál de las siguientes funciones representa a la gráfica de la figura?

A) f(x) = x2 + 10x - 25

B) f(x) = x2 – 10x + 25

C) f(x) = x2 + 25

D) f(x) = x2 – 25

3. Determine cuál de las siguientes parábolas NO corta al eje de las abscisas:

A) y = x2 + 9x + 18 B) y = -x2 – 8x + 20 C) y = x2 – 15x + 54

D) y = 2x2 + 8x + 7 E) y = x2 – x + 2

x



4. Determinar la ecuación de la parábola que muestra la figura.

A) y = x2 – 16 B) y = 4x2 – 16x C) y = x2 + 4x + 4

D) y = x2 + 4 E) y = 4x2 + 16x

5. Con respecto a la función f(x) = 3x2 + 13x – 10, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Su concavidad está orientada hacia arriba.

II) El punto de intersección con el eje y es (0, -10).

III) f(-5) = 0

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

6. Con respecto al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones


I) Tiene 2 soluciones.

II) El discriminante es mayor a cero.

III) f(0) = -2

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

7. Dada la función cuadrática f(x) = x2 + 2x – m, es correcto afirmar que:

I) Si m > -1, existen 2 intersecciones con el eje x.

II) Si m = -1, existe una intersección con el eje x.

III) Si m < -1, no hay intersección con el eje x.


8. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función

f(x) = x2 – 1?

9. Dada la función f(x) = x2 + 2x – 3, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones


I) x = 1 es un cero de la función.

II) La ecuación del eje de simetría es x = 1.

III) El vértice de la parábola es (1, 0).




10. Determinar A y C, de modo que la parábola f(x)=Ax2 – 3x + C intercepte el eje y,

en el punto (0, -4), e intercepte al eje x en el punto (4, 0).

A) -1 y -4 B) -1 y 0 C) 3 y -4 D) 1 y -4 E) 1 y 4

11. ¿Cuál es el valor de k, si la parábola y = 7x2 – 4x + 2k – 10 pasa por el origen?

A) 10 B) 5 C) 0 D) -5 E) -10

12. La ecuación y = x2 – 2x – 8 representa una parábola. Su vértice tiene

coordenadas:

A) (1, -9) B) (9, 1) C) (0, -8) D) (-1, 9) E) (2, -8)

13. Al desplazar la parábola y = (x - 3)2 + 2, cinco unidades hacia abajo se obtiene la

función

A) y = (x - 8)2 + 2 B) y = (x - 8)2 - 3 C) y = (x - 3)2 – 3

D) y = (x + 2)2 + 2 E) y = (x - 3)2 + 7

14. El vértice de la parábola representado por la función y = 2(3x – 6)2 - 3, es

A) (6, 3) B) (-6, 3) C) (6, -3) D) (-6, -3) E) (2, -3)

15. ¿Cuál debe ser el valor de k para que la parábola y = x2 + kx + 3 tenga su vértice

en el punto (2, -1)?

A) -6 B) -4 C) -3 D) 2 E) 4

16. ¿Cuál es el punto mínimo de la parábola y = x2 + 4x – 5?

A) (-2, -9) B) (2, 9) C) (-2, 9)

D) (2, -9) E) (-2, 18)

17. El vértice de la parábola y = 2x2 – 6x + c, se encuentra en el eje x, luego el valor

de c es

A) 3 B) 0 C) 9

2

D) 2 E) 7

2

18. Las temperaturas registradas durante un día en el norte de Chile, se ajustan a la

función T(x) = -x2 + 24x – 106, donde T es la temperatura en grados Celsius (ºC)

y x es la hora del día en que se registró esta temperatura. ¿A qué hora se registró

la máxima temperatura?

A) 12 AM B) 13 PM C) 10 AM D) 15 PM

19. En una empresa agrícola, la utilidad (en miles de dólares) al vender x repuestos

para tractores agrícolas está dada por la función, U(x)=-6x2 + 132x. La cantidad

de repuestos que se deben vender para obtener la máxima utilidad es

A) 132 B) 11 C) 6 D) 1



20. Un granjero dispone de 1.000 metros de cerca para construir tres corrales

rectangulares, paralelos e idénticos, como muestra el dibujo. ¿Cuál es la mayor

área total que puede cercar?

A) 250 m2 B) 31.250 m2 C) 62.500 m2 D) 46.875 m2


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Ejercicios 5 a 8

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Ejercicios 13 a 16

Ejercicios 17 a 20

FUNCION INVERSA

Función Inyectiva: Son aquellas en que ningún elemento del

recorrido es imagen de más de un elemento del dominio.

Formalmente, sea f: A → B una función, para todo x1, x2

perteneciente a A,

f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

Ejercicio: Determinar si la función f(x) = 4x – 1 es inyectiva.

Para saber gráficamente si se trata de una función inyectiva, se

traza una línea recta horizontal sobre la misma, y si ésta la

intersecta solamente en un punto, entonces se dice que la función es inyectiva.



Función inyectiva Función no inyectiva

Función Epiyectiva (Sobreyectiva): son aquellas en que todos los elementos del

recorrido son imágenes de a lo menos un elemento del dominio. Formalmente, sea f: A

→ B una función, para todo y perteneciente a B, existe un x perteneciente a A tal que

f(x) = y.

Ejercicio: Determinar si la función f(x) = x2 – 1 es epiyectiva (sobreyectiva).

Función Biyectiva: Corresponde a la función que es inyectiva y epiyectiva a la vez.



Ejercicio: Determinar si la función f(x) = x3 – 2 es biyectiva.

Función Inversa: Esta existe sólo para las funciones biyectivas. Si f : A → B entonces

la función inversa f−1 : B → A.

La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para

números reales. Únicamente se usa como notación de la función inversa.

f-1(x) ≠ 1

f(x) pero (f(x))-1 =

1

f(x)

En general, las gráficas de f y f–1 son simétricas respecto a la recta de ecuación y = x.

Función inversa de una función afín y lineal.

Para la función afín, biyectiva, definida de IR en IR como f(x) = mx + n, con m y n

distintos de 0, se tiene que su función inversa, de IR en IR, es f-1(x) = x−n

m.

Para la función lineal, biyectiva, definida de IR en IR como f(x) = mx, con m distinto

de 0, se tiene que su función inversa, de IR en IR, es f-1(x) = x

m.

Ejercicios:

1. Determinar la inversa de la función f(x) = 2x – 1 y graficar ambas.

2. Determinar la inversa de la función f(x) = 3x y graficar ambas.

Función inversa de una función cuadrática

Para que una función cuadrática tenga función inversa se deben restringir su dominio y

su recorrido de manera que resulte una función biyectiva. Para realizar esta restricción

nos basaremos en el vértice de la parábola correspondiente, a no ser que el ejercicio

platee otra situación.

Ejercicios:

1. Determinar la inversa de la función f(x) = x2 + 2 y graficar ambas.

2. Determinar la inversa de la función f(x) = (x+1)2 y graficar ambas.



Respuestas gráficas:

3. ¿Cuál es la función inversa de la función cuadrática f: A ⊂ IR B ⊂ IR, definida por

f(x) = x2 + 6x + 8.

4. Determinar la inversa de la función f: ]−∞, 3] → [−8,+∞[, definida en por

f(x) = x2 − 8x + 7.

5. Sea f: − , 3 → B, definida por f(x) = (x - 3)2. Si f es biyectiva, entonces su inversa

es f-1(x) = -√𝑥 + 3, con x en B.

GUIA A - 10

1. Para la función con dominio en los números reales f(x) = 3x + 7, se define g(x)

como su función inversa. A partir de esto, ¿cuál de las siguientes alternativas

representa a la función g(x)?

A) g(x) = x – 7

3 B) g(x) =

x + 7

3 C) g(x) =

x – 3

7 D) g(x) =

x + 3

7

2. De los siguientes gráficos, ¿cuál(es) de ellas NO es(son) función(es) inyectiva(s)?

I) II) III)


3. De las siguientes funciones definidas en el conjunto de los números reales, ¿cuál es

una función inyectiva?

A) f(x) = x2 + 1 B) g(x) = 4 C) h(x) = 5x – 3

D) m(x) = x(x + 2) E) p(x) = (x – 4)(x + 1)

y

x

y

x

y

x



4. Sea f: A → B, donde A = {1,2,5,6} y B = {4,7,8}, ¿cuál de las siguientes funciones

f es epiyectiva?

A) f = {(1,4), (2,7), (6,8)}

B) f = {(1,4), (2,4), (5,7)}

C) f = {(1,4), (2,7), (5,7), (6,8)}

D) f = {(2,4), (5,7)}

E) f = {(1,4), (2,4), (5,8), (6,8)}

5. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones definidas de lR → lR es (son) biyectiva(s)?

I) f(x) = 5x

II) f(x) = x + 7

III) f(x) = x2


6. Sea la función biyectiva f(x) = 3x3 – 4, entonces f–1(20) es

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

7. En la función f(x) = 2x + a, el valor de f(2) es 5, entonces f-1(3) es

A) -7 B) -2 C) 1 D) 7

8. Se define la función f(x) = 2𝑥+4

𝑥+1, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es

(son) verdaderas?

I. Dom f = IR

II. Rec f = y ∈ IR / y ≠ 2}

III. f es inyectiva

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

9. ¿Cuál es la función inversa de f(x) = 3x + 1?

A) f–1(x) = -x + 3 B) f–1(x) = x – 3 C) f–1(x) = –3x – 1

D) f–1(x) = x + 3 E) f–1(x) = 𝑥−1

3

10. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones definidas de lR → lR es (son) epiyectiva(s)?

I) f(x) = x II) f(x) = 7 III) f(x) = x2


11. Sea la función f(x) = (x – 3)2 definida en lR, ¿cuál debe ser su dominio y recorrido

para que la función tenga función inversa?

A) f : IR+→ R B) f : [3, [ → R+ C) f : IR - {3} → R+ U {0}

D) f : [3, [→ R+ U {0} E) f : [-3, [→ R+



12. Sea f: − , 3 → B, definida por f(x) = (x - 3)2, ¿cuál(es) de las siguientes


I) f no es inyectiva.

II) Si B es 0, , entonces f es epiyectiva.

III) Si f es biyectiva, entonces su inversa es f-1(x) = -√𝑥 + 3, con x en B.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III

D) Solo II y III E) I, II y III

13. ¿Cuál debe ser el codominio de la función f(x) = √𝑥 para que sea una función

sobreyectiva?

A) Todos los reales

B) Sólo los reales positivos

C) Sólo los reales positivos, incluido el 0

D) Sólo los reales negativos

E) Sólo los reales negativos, incluido el cero.

14. Si f(x) = 2x2 – 7x + 6, ¿cuál deberá ser el dominio de esta función para que sea

inyectiva?

A) IR B) IR - {3

2, 2} C) ]−∞,

7

4] D) [

3

2, 2]

15. Sea f, función definida en IR, f(x) = 2x – 144 ¿Cuál es el dominio de f -1(x)?

A) IR B) IN C) Z D) IR – {0} E) IR – {72}

16. Si f: [−3,3] → [−2,3] es una función, cuyo gráfico se muestra

en la figura adjunta, ¿cuál de los gráficos, en las siguientes

opciones, representa mejor al gráfico de la función inversa de

f?



17. Sea f una función afin, tal que f : IR → IR y f-1 es su función inversa. Si f(2) = 4 y

f-1(3) = 5. ¿Cuál es el valor de f-1(4) + f(5) + f-1(f(4))?

A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) 13

18. Dada la función f: IR − {−3

7} → IR − {

2

7}, donde f(x) =

2x − 7

7x + 3, entonces es

verdadero que

I) f(x) es inyectiva

II) f(x) es sobreyectiva

III) f −1(x) =3x + 7

2 − 7x


19. Con respecto a la función f(x) = x + 3, definida en el conjunto de los números

reales. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) f(x) es inyectiva.

II) f(x) es epiyectiva.

III) La gráfica de f(x) es paralela con la gráfica de f-1(x).

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II


20. Dada la función f ∶ IR − {−3} → IR − {3}, definida por f(x) =3x − 1

x + 3 , su inversa f-1(x) es

A) 3x+1

x−3 B)

x+3

3x−1 C)

3x+1

3−x D)

3x−1

3−x

21. Sea f: [2, +∞[ → B una función real tal que f(x) = – x2 + 4x + 12. Se puede

afirmar que existe la función inversa de f, si:

(1) f es epiyectiva.

(2) B = ]–∞, 16]




Ejercicios 1 a 4

Ejercicios 5 a 8

Ejercicios 9 a 12



Ejercicios 13 a 16

Ejercicios 17 a 21

FUNCION POTENCIA

Función Potencia: Son aquellas de la forma f(x) = axn,

donde a es un número real, distinto de 0 y n es un número

entero, distinto de 0 y 1. Veamos los siguientes casos que se

pueden dar, de acuerdo con los valores que tomen a y n.

CUANDO n ES UN NÚMERO PAR POSITIVO

Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número par

positivo, su grafica es simétrica respecto del eje y (Función Par).

Ejemplo:

f(x) = 2x4 g(x) = -3x2

a > 0 a < 0

Dom f = Dom f =

Rec f = Rec f =



CUANDO n ES UN NÚMERO IMPAR POSITIVO

Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número impar positivo, su grafica es

simétrica respecto al origen (Función Impar).

Ejemplo:

f(x)= 5x7 g(x) = -2x3

a > 0 a < 0

Dom f = Dom f =

Rec f = Rec f =

CUANDO n ES UN NÚMERO PAR NEGATIVO

Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número par negativo, su grafica es

simétrica respecto del eje y.

Ejemplo: f(x) = 4x-2 g(x) = -5x-4

a > 0 a < 0

Dom f = Dom f =

Rec f = Rec f =



CUANDO n ES UN NÚMERO IMPAR NEGATIVO

Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número impar negativo, su grafica es

simétrica respecto al origen.

Ejemplo: f(x) = 3x-3 g(x) = -4x-7

a > 0 a < 0

Dom f = Dom f =

Rec f = Rec f =

Regla nemotécnica de Perich para la función potencia.



Ejercicio: Completar la siguiente tabla con los valores de n, a, gráfico, dominio y

recorrido de las funciones potencias dadas.

Función n a Gráfico Dominio Recorrido

g(x) = 2x3

f(x) = -5x4

h(x) = 3x-3

i(x) = 3x4

j(x) = -2x-4

k(x) = -x-5

l(x) = 4x-2



m(x) = -2x3

GUIA A - 11

1. El dominio de la función f(x) = -2x-3 es

A) IR B) IR – {0} C) IR+

D) IR- E) IR+ U {0}

2. El recorrido de la función f(x) = 3x-2

A) IR B) IR – {0} C) IR+

D) IR- E) IR+ U {0}

3. ¿En cuál(es) de las siguientes funciones reales el dominio es igual al recorrido?

I) f(x) = 3x4

II) g(x) = –2x3

III) h(x) = x2

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) I, II y III

4. ¿Cuál de las siguientes funciones al graficarla tiene asíntotas?

A) f(x) = 2x2 B) g(x) = -x2 C) h(x) = -3x3

D) i(x) = 5x-3 E) j(x) = -x7

5. Si a es un número real negativo y n es un número entero mayor que 2, ¿cuál(es) de

los siguientes gráficos podría(n) representar a una función de la forma f(x) = (ax)n?

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III



6. ¿Cuál de las siguientes funciones se puede representar por el gráfico dado?

A) 2x4 B) 5x3

C) -2x-2 D) 3x-4

7. ¿Cuál de las siguientes funciones se puede representar por el gráfico dado?

A) -x-7 B) -4x3

C) -5x-4 D) 2x-3

8. ¿Cuál o cuáles de las siguientes funciones tienen su grafica en el segundo y cuarto

cuadrante?

I) f(x) = x7

II) g(x) -5x5

III) h(x) = 4x-3

A) Solo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

9. Respecto de la función f(x) = axn, de la figura, ¿cuál o

cuáles de las siguientes afirmaciones es o son correcta(s)?

I) a > 0

II) n es un impar negativo

III) El eje x es una asíntota de la función



10. Un tipo de bacteria se reproduce al doble cada hora que pasa. Si se hace un

cultivo en el que inicialmente hay 1000 bacterias, ¿cuántas bacterias habrá al cabo

de 5 horas?

A) 32.000 B) 10.000 C) 16.000 D) 64.000



11. Considere la función f(x) = x3 con dominio el conjunto de los números reales.

¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s), para todo número

real?

I) f(-x) = f(x)

II) f(-x) = -f(x)

III) f(-2) < f(-1)

A) Solo I B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y III E) Solo II y III

12. ¿Cuál de las siguientes funciones, definidas en los números reales, es una función

inyectiva?

I) f(x) = -2x6

II) g(x) = 5x-4

III) h(x) = -3x-5



13. Sean p(x) = x3 y m(x) = x4 funciones en los reales. Considerando el plano

cartesiano, NO es correcto afirmar que el gráfico de

A) p(x) tiene simetría central con respecto al origen.

B) h(x) = – x4 y el grafico de m(x) son simétricos con respecto al eje X.

C) p(x) tiene simetría axial con respecto al eje Y.

D) m(x) no tiene simetría axial con respecto al eje X.

14. En un laboratorio se trabaja con tres tipos de bacterias, las cuales se reproducen

de tal manera que en un día la cantidad de microorganismos de uno de los tipos se

duplica, del otro tipo se triplica y los terceros se cuadruplican, dependiendo de las

condiciones ambientales que existen. Si inicialmente había dos bacterias de cada

tipo, ¿cuántas bacterias en total habrán después de una semana?

A) 2(27 + 37 + 47) B) 76 C) 7∙27 D) 2∙97

15. En una hora, cierto tipo de bacteria duplica su número. En el mismo periodo de

tiempo la cantidad de otro tipo de bacterias aumenta 3 veces. Si en un

determinado momento hay 2 bacterias de cada tipo, ¿cuántas habrá luego de 3

horas?

A) 35 B) 70 C) 54 D) 125

16. Al anestesiar a un paciente, se debe monitorear la concentración de anestesia en

el torrente sanguíneo. En el tiempo t > 0, en horas, desde que se aplicó la droga,

la concentración fue modelada por c(t) = 25

t2. Si la anestesia se debe volver a

inyectar cuando su concentracion baje a 1 mg/L, ¿en cuánto tiempo se debe volver

a inyectar a la persona?

A) 5 horas B) 1 hora C) 2,5 horas D) 2 horas



17. Sea f(x) una función con dominio del conjunto de los números reales definida por

f(x) = mxn, con m un número real distinto de cero y n un número entero positivo

tal qué 0 < n ≤ 3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) Para cualquier m y n las gráficas de las funciones tienen un eje de simetría.

B) Si f(a) = f(b) entonces a = b, para todo n y m.

C) La función f no puede ser decreciente.

D) Sí para n = 1 se tiene que f se denota por g, para n = 2, se tiene que f se

denota por h y para

n = 3 se tiene que f se denota por t, entonces hay al menos un punto donde

se intersectan las gráficas de g, h y t.

E) Para m < 0 y para n un número par, el recorrido de f es el conjunto de los

números reales positivos.

18. Si una función real de la forma f(x) = axn. Se puede determinar los valores de "a"

y "n", si se sabe que:

(1) f(1) = 1

(2) f(2) = 8



19. Se puede determinar cuál es el dominio de la función f(x) = axn si se sabe que

(1) a = 4

(2) n = 3



20. Se puede concluir que el grafico de la figura, que

representa a la función de tipo f(x) = axn, se puede

obtener sabiendo que

(1) a es un número real negativo.

(b) n es un número entero negativo.






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Ejercicios 13 a 16

Ejercicios 17 a 20

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Se llaman Transformaciones Isométricas de una figura a las

transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de ella, sólo cambian su

posición.

Entre las transformaciones isométricas están las Traslaciones, las

Rotaciones (o giros) y las Simetrías (o reflexiones).

TRASLACIONES

Las traslaciones son aquellas isometrías que

permiten desplazar en línea recta todos los puntos del

plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una

determinada dirección (Horizontal, vertical u oblicua),

sentido (Derecha, izquierda, arriba, abajo) y distancia,

por lo que toda traslación queda definida por lo que se llama

su “vector de traslación”.

En un sistema de coordenadas, el vector de

traslación está representado por el par ordenado (x, y)

donde x representa el desplazamiento horizontal e y el desplazamiento

vertical.

(+, +) (+, -) (-, +) (-, -)



Ejercicios.

1. En la figura, ¿cuál es el vector de traslación que se

aplicó al triángulo A para obtener el triángulo B?

A) (8, -4) B) (8, 4) C) (4, -10)

D) (10, 4) E) (10, -4)

2. Si al triángulo ABC de coordenadas A(1, 1); B(4, 2) y C(2, 3), se le aplica una

traslación vertical de modo que el vértice C queda en el eje x, ¿cuáles serían las nuevas

coordenadas de B?

A) (1, -2) B) (4, -2) C) (3, -1) D) (3, -2) E) (4, -1)

ROTACIONES O GIROS

Las rotaciones, son aquellas isometrías que

permiten girar todos los puntos del plano. Toda rotación

queda definida por su centro de rotación y por su ángulo

de giro. El punto o centro de rotación puede formar parte

de la figura, del interior o ser un punto exterior de ella.

Si la rotación se efectúa en sentido contrario a como

giran las manecillas del reloj, se dice que la rotación es

positiva o antihoraria; en caso contrario, se dice que la

rotación es negativa u horaria.

Si en un sistema de coordenadas se rota el punto (x, y) con respecto al

origen (0, 0), en un ángulo de giro de 90º, 180º, 270º ó 360º, las coordenadas de

los puntos obtenidos están dados en la siguiente tabla:

Punto inicial R(O, 90º) R(O, 180º) R(O, 270º) R(O, 360º)

(x, y)

Ejercicios.

1. Al aplicar una rotación de centro en el origen y ángulo de

giro de 270º, en sentido horario, al punto

A = (3, 1), se obtiene el punto A’ cuyas coordenadas son

A) (1, -3) B) (-3, -1) C) (1, 3)

D) (-3, 1) E) (-1, 3)



2. Si al triángulo de vértices A(1, 1), B(1, 4) y C(-3, 1), se le aplica la rotación con

respecto al origen R(0, 90º) se transforma en el triángulo A’B’C’, y a éste se le

aplica la traslación T(2, 1), se obtiene el triángulo A’’B’’C’’, cuyos vértices son

A) A’’ (-1, 1); B’’ (-4, 1); C’’ (-1, -3) B) A’’(-1, 1); B’’(-4, 1); C’’(-1, 3)

C) A’’(1, 2); B’’(-2, 2); C’’(-1, -2) D) A’’(-3, 2); B’’(-2, 0); C’’(-1, 0)

E) A’’(1, 2); B’’(-2, 2); C’’(1, -2)

SIMETRÍAS

Las simetrías o reflexiones son aquellas

transformaciones isométricas que invierten los puntos y

figuras del plano. Las simetrías pueden ser Central y

Axial.

Simetría Central, con respecto a un punto O, llamado

centro de simetría y los puntos obtenidos por la

reflexión, puntos correspondientes u homólogos.

o.

Una simetría central respecto de un punto O equivale a una rotación de 180º

de centro O.

Simetría Axial, con respecto de un eje de simetría. Donde cada punto P

de la figura y su imagen P’ equidistan de este eje y el segmento PP’ es perpendicular

a dicho eje.

Ejercicios.

¿Cuál es el punto simétrico del punto A(-1, -3) con respecto a la recta x = 4?

(Explicación: recta x = 4 es la recta paralela al eje y e intercepta al eje x en el

punto (4, 0))

A) (-1, 3) B) (8, 3) C) (8, -3) D) (9, 3) E) (9, -3)

El eje de simetría de una figura divide a la figura en dos partes

simétricas, de modo tal que si dobláramos la figura, una de sus partes calzaría

exactamente con la otra parte. Una figura puede no tener eje de simetría, o tener

un eje, o más de un eje, o infinitos ejes.



Ejercicio: Determinar los ejes de simetría que tiene un

triángulo equilátero, un triángulo isósceles, un triángulo

escaleno, un cuadrado, un rectángulo, un trapecio

cualquiera, un trapecio isósceles, un deltoide, un

pentágono regular, un hexágono y un círculo.

TESELACIONES: Teselar una superficie consiste en

cubrirla completamente con figuras, de modo que estas

encajen perfectamente sin dejar espacios (huecos) por

cubrir.

- Todos los triángulos y todos los cuadriláteros teselan por sí mismo el plano.

- Los únicos polígonos regulares que teselan por si mismo el plano son: el

triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

- Si queremos teselar el plano utilizando dos o más polígonos, es necesario que en

cada vértice la suma de todos los ángulos sea 360º.

Maurits Cornelis Escher, fue un artista holandés conocido por sus

grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles,

teselados y mundos imaginarios.



GUIA G - 01

1. ¿Cuál es el vector traslación que transforma el triángulo

ABC en el triángulo DEF?

A) (5, 1) B) (5, 2) C) (2, 5)

D) (-5, 2) E) (-5, -2)

2. El punto simétrico de (-3, 5) respecto al eje de las

ordenadas, es:

A) (3, -5) B) (5, -3) C) (-5, -3) D) (3, 5) E) (5, 3)

3. El punto homólogo del punto (3, 2), al girarlo en 90º en torno al origen, es

A) (2, -3) B) (3, -2) C) (-2, -3) D) (2, 3) E) (-2, 3)

4. El punto (2, 5) se traslada quedando en el punto (-3, 2), ¿cuál es el vector de

traslación?

A) (-3, -5) B) (3, 5) C) (-5, -3)

D) (-1, 7) E) (7, -1)

5. ¿Cuál(es) de las siguientes transformaciones permite(n) que el punto (2, 2) quede

en el punto (-2, 2)?

I. Reflexión respecto al eje de las abscisas

II. Reflexión respecto al eje de las ordenadas

III. Rotación en torno al origen en 90º


6. Los puntos (a, b) y (x, y) son simétricos respecto al eje y, entonces ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. a = x II. y = b III. b = x

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Sólo I y III

7. La ilustración de la figura muestra un detalle de una de las obras del artista gráfico

Maurits Cornelius Escher. Esta figura puede considerarse:

A) Teselación de dos figuras base, que han sido

transformadas por simetrías.

B) Teselación de dos figuras base, con isometrías de

traslación.

C) Teselación de dos figuras base, con rotaciones de 60º

D) Teselación de una sola figura base, que ha sido

transformada por traslaciones.

E) Teselación de una sola figura, con rotaciones y traslaciones.



8. El punto (-2, 3) se refleja en torno al origen quedando en el punto (a, b); entonces

el valor de (a – b) es

A) -5 B) -1 C) 1 D) 2 E) 5

9. La figura adjunta puede ser obtenida por

I. Traslación II. Rotación III. Simetría


10. Al triángulo de vértices A, B y C, cuyas coordenadas son (-1, -2); (2, -2) y (2, 2),

respectivamente, se le aplica una rotación de 90° con centro en A, ¿cuál será la

coordenada del vértice C del triángulo en la nueva posición?

A) (1, -5) B) (-5, 1) C) (3, -5) D) (-5, 3) E) (3, 5)

11. Si a una circunferencia cuyo diámetro tiene extremos A(3, 7) y B(5, -1) se le

aplica una traslación según un vector de traslación (-3, 3), las coordenadas de su

nuevo centro son

A) (1, 6) B) (7, 0) C) (0, 10) D) (2, 2) E) (-4, 7)

12. El triángulo que resulta al rotar, con centro en el origen, en sentido horario y ángulo

de 90º, el triángulo de vértices: A = (2, 3), B = (7, -2) y C = (5, 8), tiene

coordenadas

A) A = (-3, 2); B = (2, 7); C = (-8, 5)

B) A = (3, -2); B = (-2, -7); C = (8, -5)

C) A = (3, 2); B = (-2, 7); C = (8, 5)

D) A = (-2, -3); B = (-7, 2); C = (-5, -8)

E) A = (-2, 3); B = (-7, -2); C = (-5, 8)

13. Con respecto a la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) Al rotar el punto A en 90° con respecto al

origen, sus nuevas coordenadas serán b

, a3

− −

.

II) El punto simétrico axial de A con respecto al eje de las

abscisas tiene por coordenadas ba,

3

−

.

III) Al rotar el punto A en –180° con respecto al origen, sus nuevas coordenadas

serán ba,

3

− −

.


-a

y

A

x



14. A todos los puntos del plano cartesiano, se les

aplica una simetría central con respecto al punto

P. ¿Cuál(es) son las coordenadas del punto

homólogo de T?

A) (0, -8) B) (-1, 1) C) (-1, -9)

D) (0, 8) E) (-1, 8)

15. Las isometrías mostradas en los cuadros I, II y III corresponden respectivamente a

A) reflexión – simetría axial – traslación B) simetría central – rotación – traslación

C) reflexión – rotación – traslación D) simetría central – rotación – reflexión

E) reflexión – traslación – rotación

16. Las coordenadas del punto (x, y), perteneciente al segundo cuadrante, después de

una simetría central con respecto al origen del sistema cartesiano está representado

por

A) (x, y) B) (x, -y) C) (-x, y) D) (-x, -y) E) x y

,2 2

17. El punto P’’ se obtiene por simetría axial del punto P’ con respecto a la recta x = 1

y P’ es el punto homólogo a P(-1, -3) respecto al eje X. ¿Cuáles son las

coordenadas del punto P’’?

A) (1, 3) B) (3, 3) C) (1, -3) D) (-1, 3) E) (-3, 3)

18. ¿Cuál de las siguientes figuras carece de simetría central?

A) Circunferencia B) Hexágono regular C) Romboide

D) Cuadrado E) Triángulo equilátero

19. En el plano cartesiano, luego de aplicar la traslación T1(-8, 1) al triángulo ABC de

vértices A(14, 3), B(16, 3) y C(16, 0) se transforma en el triángulo A’B’C’; y a éste

se le aplica la traslación T2(-5, 1), obteniéndose el triángulo A’’B’’C’’ cuyo vértice

C’’ es:

A) (8, 1) B) (11, 1) C) (24, 1) D) (29, 2) E) (3, 2)

• 10

y T

x

P

3 6

0

1

I) II) III)



20. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras al rotarlas por el punto indicado, coinciden con la

figura original?

I) El cuadrado rotado en 90° con respecto a la intersección de sus diagonales.

II) La circunferencia rotada en torno a su centro.

III) El triángulo equilátero rotado en 60° en torno a uno de sus vértices.


21. Dado el eje L y el punto M de la figura 4, ¿qué

trasformación isométrica hay que aplicar a la mitad

izquierda para obtener la mitad derecha del dibujo?

A) Una rotación en 90º y centro M.

B) Una simetría con respecto al eje L.

C) Una traslación.

D) Una simetría con respecto a M.

E) Una rotación en 180º y centro M.

22. Al aplicar una rotación de centro en el origen y

ángulo de giro de 270º, en sentido antihorario, al

punto A de la figura 1, se obtiene el punto A’ cuyas

coordenadas son

A) (2, 7) B) (-2, -7) C) (7, -2)

D) (7, 2) E) (-7, -2)

23. En la figura, ¿cuáles de los cuadriláteros numerados son una

traslación del cuadrilátero sombreado?

A) 4, 14 y 10 B) 6, 8 y 12 C) 6, 10 y 12

D) 10, 12 y 14 E) 1, 6 y 14

24. En la figura, al punto B se la aplica una rotación en 90º

con respecto al punto A, en sentido horario. Las nuevas

coordenadas del B son

A) (6, 2) B) (6, -3) C) (6, -7)

D) (-3, 6) E) (6, -5)

25. Un triángulo ABC tiene coordenadas

A(3, -4), B(3, 5) y C(-2, 5). Si se aplica una traslación

según el vector (p, q) y las nuevas coordenadas de A son A’(7, 5), ¿cuál(es) de las


I) (p, q) = (4, 9)

II) B’ = (7, 14)

III) C’ = (2, 13)




26. Las siguientes figuras están construidas a partir de un cuadrado. Si los sacados y

agregados son congruentes en cada figura, ¿con la repetición de cual(es) de ellas

es posible teselar el plano?

A) Sólo con I B) Sólo con II C) Sólo con I o con II

D) Sólo con I o con III E) Con I, con II o con III

27. Al romboide ABCD de la figura se le ha trazado las diagonales

y numerado los cuatro triángulos que se generan. ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El Δ1 es una simetría de centro en P del Δ3.

II) El Δ2 es una rotación de 180º y centro P del Δ4.

III) El ΔABC es una reflexión del ΔCDA cuyo eje de simetría pasa por AC.


28. Al aplicar una rotación de centro en el origen y ángulo de giro de 270º, en sentido

horario, al punto A(-2, 7), se obtiene el punto A’ cuyas coordenadas son

A) (2, 7) B) (-2, -7) C) (7, -2)

D) (7, 2) E) (-7, -2)

29. Sobre los segmentos AB, CD y EF se han construido rectángulos congruentes, como

se muestra en las figuras que aparecen en (I), en (II) y en (III). ¿Cuáles de estas

figuras tienen sólo un eje de simetría?

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III

D) I, II y III E) Ninguna de ellas



30. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una rotación de la figura en -90º

con centro p?

31. Al segmento AB de la figura, se le aplica una simetría

(reflexión) con respecto al punto P, resultando un

segmento A’B’, entonces las coordenadas de B’ son

A) (2, 2)

B) (2, 5)

C) (5, 2)

D) (2, 3)

E) (2, -1)

32. Si al triángulo de vértices M(1, 2), N(2, 5) y P(3, 3) se le aplica una rotación con

centro en el origen del sistema de ejes coordenados, se obtiene un triángulo de tal

forma que el vértice homólogo a M es

M’(-2, 1). ¿Cuáles de los siguientes puntos corresponden a los otros dos vértices

del triángulo homólogo?

A) (-1, 4) y (0, 2) B) (5, -2) y (3, -3) C) (-1, -2) y (-3, -1)

D) (-5, 2) y (-3, 3) E) (-2, -5) y (-3, -3)

33. Considere el triángulo ABC, donde dos de sus vértices son A(-1, 2) y B(-3, 6). Si a

este triángulo se le aplica una traslación de modo que la imagen del punto A

pertenece al eje de las ordenadas y está a la misma distancia del origen que se

encuentra A, ¿cuál de las siguientes coordenadas podrían corresponder a la

imagen del punto B?

A) (1, √5 - 2) B) (-2, 4 + √5) C) ( √5 - 2, 4)

D) (√5 + 1, -2) E) (-2 - √5, 4)



34. El triángulo rectángulo de la figura adjunta, se rota sucesivamente con centro en

el origen del sistema de ejes coordenados, en 60º y en sentido antihorario. ¿En

cuál de las opciones se muestra mejor la posición en que queda el triángulo

después de 90 rotaciones?

VIDEOS GUIA G – 01

Ejercicios 1 a 6

Ejercicios 7 a 10

Ejercicios 11 a 14

Ejercicios 14 a 18

Ejercicios 20 a 25

Ejercicios 26 a 29



Ejercicios 30 a 32

Ejercicios 33 y 34

SEMEJANZA, TEOREMA DE THALES Y HOMOTECIA

FIGURAS SEMEJANTES. Dos figuras son semejantes si sus

segmentos correspondientes, u homólogos, son proporcionales

y sus ángulos iguales. Es decir, tienen "la misma forma" y sólo

se diferencian en su tamaño.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: Dos triángulos son

semejantes si:

1º) dos de los ángulos de uno de ellos son congruentes a dos

ángulos respectivos del otro. (AA)

2º) tienen un ángulo congruente comprendido entre lados

proporcionales. (LAL)

3º) tienen sus lados respectivos proporcionales. (LLL)

Ejercicios

1. En la figura, ABCD es paralelogramo. Si E está en la prolongación de CD̅̅ ̅̅ , entonces,

es(son) FALSA(S) las siguientes afirmaciones:

I. ABF semejante al DEF

II. EFD semejante al EBC

III. ABF semejante al CEB

A) Sólo III B) Sólo I Y II

C) Sólo I y III D) I, II y III

E) Ninguna



2. En el ΔABC de la figura, ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I. ΔAHD~ΔCHE

II. ΔADC~ΔBDC

III. ΔAEB~ΔCDB


Teorema: En triángulos semejantes, dos

lados homólogos están en la misma razón que

dos trazos homólogos cualesquiera y también

están en la misma razón que sus perímetros.

a

a′=

b

b′=

c

c′=

h

h′=

t

t′=

p∆ABC

p∆A′B′C′= k

Teorema: Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al

cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera.

á∆ABC

á∆A′B′C′= k2

Estos teoremas también son válidos en polígonos semejantes. Ejercicio.

Las alturas homólogas de dos triángulos semejantes miden 4√2 y 10√2 . Entonces, la

razón de sus perímetros, respectivamente, es

A) 16 : 10 B) 10 : 4 C) 4 : √2 D) 2 : √2 E) 2 : 5

TEOREMA DE THALES: Si dos rectas secantes se cortan por

dos o más paralelas, los segmentos determinados en una de

ellas son, respectivamente, proporcionales a los segmentos

determinados en la otra.



En las figuras, DE̅̅ ̅̅ // BC̅̅̅̅ , por lo tanto, algunas proporciones que se pueden formar son

AB̅̅ ̅̅

AD̅̅ ̅̅=

AC̅̅̅̅

AE

AD̅̅ ̅̅

DE̅̅ ̅̅=

AB̅̅ ̅̅

BC̅̅̅̅

AD̅̅ ̅̅

DB̅̅ ̅̅=

AE̅̅̅̅

EC̅̅̅̅

Ejercicios.

1. En el ΔABC rectángulo en C de la fig., DE̅̅ ̅̅ ⊥ BC̅̅̅̅ . Si ED̅̅ ̅̅ = 8,

BD̅̅ ̅̅ = 10 y

DA̅̅ ̅̅ = 20, ¿cuánto mide el perímetro del trapecio CADE?

A) 56 B) 62 C) 64 D) 70 E) 192

2. El perímetro del triángulo ABC, con L1//L2, es:

A) 9

B) 12

C) 18

D) 36

E) 48

LA ESCALA COMO RAZÓN DE SEMEJANZA

La escala es la razón de semejanza entre un dibujo, un plano,

mapa y el objeto real.

PLANO : REALIDAD

Existen tres escalas: Escala Natural 1:1, Escala de Ampliación,

por ejemplo 2:1 y la Escala de Reducción, por ejemplo, 1:2.

Ejercicios.

1. ¿Cómo representar en un plano a escala 1:320 una longitud medida en el terreno de

54,32 metros?

1 : 320 = plano : realidad

1 : 320 = x : 54,32 metros

320x = 54,32 m

X = 54,32 m/320 = 0,16975 m = 16,975 cm

Aproximadamente 17 cm. en el plano, para representar los 54,32 m medidos en el

terreno.



2. En un plano a escala 1:320 se ha representado una distancia dada con un valor de

17 cm. ¿Cómo calcular el valor real de la distancia representada?

1 : 320 = plano : realidad

1 : 320 = 17 cm : x

x = 17 cm x 320

x = 5.440 cm = 54,40 m

El valor real de la distancia representada es de 54,40 m.

3. En un plano, un segmento mide 12 cm. Si su medida equivale a 48 m. reales. ¿Cuál

es la escala del plano?

x : y = plano : realidad

x : y = 12 cm : 48 m

x : y = 12 cm : 4.800 cm

Se simplifica, entonces x : y = 1 : 400

La escala del plano es 1:400.

HOMOTECIA: Se llama homotecia de centro O y razón k≠0, a

la transformación del plano que hace corresponder a un punto

P un punto homólogo P’, alineado con O y con P, tal que cada

punto P’ cumple que

OP′̅̅ ̅̅ ̅

OP̅̅ ̅̅ = k.

HOMOTECIA DIRECTA: Si k > 0, la homotecia se denomina Directa

En la figura se representa la homotecia directa del polígono ABCDE.

Si k > 1, resulta el polígono homólogo A’B’C’D’E’. (Más grande)

Si 0 < k < 1, resulta el polígono A’’B’’C’’D’’E’’. (Más pequeño)



HOMOTECIA INVERSA: Si k<0, la homotecia se denomina Inversa. Por ejemplo, en la figura se representa una homotecia de centro O y razón -2 al

triángulo ABC:

Ejercicios.

1. Si al triángulo ABC de vértices A(0, 2), B(2, 1) y C(1, 1) se le aplica una homotecia

de centro (4, 4) y razón de homotecia -2, ¿cuál es la imagen de A?

A) (-8, -6) B) (12, 8) C) (8, 10) D) (-8, -4) E) (-4, 0)

2. En la figura se muestran dos homotecias: una de centro O y razón de homotecia 2

que transforma a ABCD en PQRS y la otra de centro O y razón de homotecia 0,5

que transforma a ABCD en EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Si BQ̅̅ ̅̅ es igual a 5 cm, entonces BF̅̅̅̅ es igual a

2,5 cm.

II) OH̅̅ ̅̅ = 1

3 de SH̅̅̅̅

III) EH̅̅ ̅̅ //PS̅̅ ̅

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II


GUIA G - 02

1. El ancho real de una autopista es de 24 metros. Si el plano en el que se encuentra

dibujada está a escala 1:200, ¿cuántos milímetros tendrá de ancho en el dibujo?

A) 0,012 mm B) 0,12 mm C) 1,2 mm D) 12 mm E) 120 mm

2. En un plano a escala 1:300 se ha representado una distancia dada con un valor de

15 cm. ¿Cuál es el valor real de la distancia representada?

A) 5 m B) 15 m C) 45 m D) 50 m E) 500 m



3. A qué escala estará dibujado el plano de un colegio, si sabemos que la puerta

principal de entrada tiene de ancho 3,40 m, y en el plano hemos medido con la

regla 68 mm.

A) 20:1 B) 2:1 C) 1:10 D) 1:20 E) 1:50

4. Si una mosca real tiene una longitud de 9 mm y su maqueta mide 18 cm ¿A qué

escala se realizó la maqueta?

A) 2:1 B) 10: 1 C) 20:1 D) 1:20 E) 1:2

5. Un mapa utiliza una escala de 1 : 20.000. Si en el mapa la distancia entre dos

ciudades es de 5,4 cm; entonces en la realidad la distancia es

A) 0,108 km B) 10,8 km C) 1,18 km D) 1,8 km E) 1,08 km

6. Las dimensiones de una fotografía son 6,5 cm y 2,5 cm. Esta se quiere ampliar de

manera que el lado mayor mida 26 cm, ¿cuánto medirá el lado menor?

A) 13 cm B) 25 cm C) 15 cm D) 10 cm E) Otro valor

7. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados

del primero son 18, 21 y 30, determina el perímetro del segundo triángulo.

A) 69 cm B) 23 cm C) 92 cm D) 51,75 cm E) Otro valor

8. Dos triángulos equiláteros son semejantes con razón de semejanza 3 : 2. Si el lado

del triángulo menor es de 30 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo mayor?

A) 135 cm B) 45 cm C) 50 cm

D) 60 cm E) No se puede determinar

9. En la figura, sean el ∆ABC ~ ∆PQR, si los perímetros respectivos, están en la razón

3 : 1 y AD = 15 cm, entonces PS mide

A) 1 cm

B) 3 cm

C) 5 cm

D) 10 cm

E) 15 cm

10. En la figura, el área del ∆ABC es 48 cm2. Si

DE//BC, ¿cuál es el área del ∆ADE?

A) 32 cm2 B) 52 cm2 C) 60 cm2

D) 72 cm2 E) 108 cm2



11. Si en la figura, L1//L2//L3, entonces x - y =

A) 8 B) 10 C) 12

D) 16 E) 18

12. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que L1//L2?

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

13. En el ∆ABC rectángulo en C de la figura, DE ⊥ BC. Si ED = 4, BD = 5 y

DA = 10, ¿cuánto mide el perímetro del trapecio CADE?

A) 28

B) 31

C) 32

D) 35

E) 96

14. Determinar la medida de DB si AD = 20 cm.,

AC = 6 cm. y ED = 18 cm.

A) 9 cm. B) 11 cm. C) 12,6 cm.

D) 54 cm. E) Otro valor

15. Si al triángulo ABC de vértices A(0, 2), B(2, 3) y C(3, 0) se le aplica una

homotecia de centro (5, 4) y razón de homotecia 2, ¿cuál es la imagen de C?

A) (1, -4) B) (2, -6) C) (-1, -4) D) (0, -4) E) (-2, -6)

16. A un cuadrado de vértices A(2,2) ; B(2,-2) ; C(-2,-2) y D(-2,2) se le aplica una

homotecia cuyo factor de homotecia es 3, con centro en el origen. Entonces es

cierto que la figura resultante:

I) Es un cuadrado

II) Es una ampliación de la original

III) Contiene el vértice A'(3,3)

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III

D) I, II, III E) Ninguna de las anteriores.

C D A

B

E

58° 58



17. En la figura se muestran dos homotecias: una de centro

O y razón de homotecia 2 que transforma a ABCD en PQRS

y la otra de centro O y razón de homotecia 0,5 que

transforma a ABCD en EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes


I) Si BQ̅̅ ̅̅ es igual a 5 cm, entonces BF̅̅̅̅ es igual

a 2,5 cm.

II) OH̅̅ ̅̅ = 1

3 de SH̅̅̅̅

III) EH̅̅ ̅̅ //PS̅̅ ̅

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

18. Un triángulo ABC es homotético al triángulo A’B’C’, respecto a O, con razón k=2.

Si el área del triángulo ABC es 12 cm2, entonces el área del triángulo A’B’C’ es:

A) 6 cm2 B) 12 cm2 C) 24 cm2

D) 48 cm2 E) No se puede determinar.

19. En la figura, el triángulo ABC es homotético a A’B’C’, respecto a O, con razón k. La

altura del triángulo ABC, desde el vértice C, es

A) 3 B) 4 C) 12

D) 5

12 E) No se puede determinar

20. ABCD es paralelogramo, DE = 15, EF = 4, FB = 20.

Determinar CF.

A) 100 B) 6 C) 4

D) 5 E) No se puede determinar

21. En la figura, AB = a, BC = b, CE = c. Si BD//CE, entonces DB queda determinado

por la expresión:

A) c

)ba(a + B)

ba

ac

+ C)

a

bc

D) b

ac E)

c

ab

22. En la figura, L1 // L2. Si EC = 36 cm. y CB = 81 cm.,

entonces =

CABárea

CDEárea

A) 9

4 B)

3

2 C)

81

16 D)

4

9 E)

2

3

D

E

C B A

C

F

D

E

A B



23. Los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura 3, son semejantes. S y S’ representan las

áreas del primer y segundo triángulo respectivamente. Si S : S’ = 1 : 4, ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?

I) a : a’ = 1 : 2

II) hc : hc’ = 1 : 4

III) hc : hc’ = tc : tc’

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III


24. La razón entre las áreas de dos rectángulos semejantes es 1 : 4. Si el perímetro

del rectángulo más pequeño es 12, ¿cuál es el perímetro del mayor de los

rectángulos?

A) 12 cm B) 16 cm C) 24 cm

D) 32 cm E) 48 cm

25. En la figura, ABCD es un paralelogramo en el cual FE//DB, ¿cuál(es) de las

siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) ∆ABD ~ ∆CFE

II) ∆BDC ~ ∆FEC

III) ∆ABD ~ ∆CDB

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III


26. En el triángulo ABC de la figura, PQ es tal que el CPQ es

congruente con el CBA. Si AB = 45 cm, AC = 54 cm y

PQ = 15 cm, entonces CQ mide

A) 6 cm B) 9 cm C) 12 cm

D) 15 cm E) 18 cm

27. En la figura, AC es diagonal del romboide ABCD. Si E, D y C son colineales,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Δ ABG ~ Δ CEG

II) Δ CGB ~ Δ AGF

III) Δ EDF ~ Δ ECB

A) Solo III B) Solo I y II C) Solo II y III

D) I, II y III E) Ninguna de ellas.



28. En un triángulo isósceles, su base mide 15 cm y cada uno de sus lados

congruentes mide 10 cm. Si en un triángulo semejante al anterior el perímetro mide

20 cm, entonces la suma entre sus lados congruentes mide

A) 80

7 cm B)

80

3 cm C) 16 cm

D) 35 cm E) ninguna de las medidas anteriores.

29. En el triángulo ABC de la figura, DE = 3 cm, DC = 2 cm y EC = 4 cm. Si ΔAED ~

ΔBEC, ¿cuánto mide CB?

A) 9 cm

B) 8 cm

C) 7 cm

D) 6 cm

E) 5 cm

30. AC//DE; AC = 15 cm., DE = 5 cm., BE = 3 cm., CE =

A) 13 cm. B) 10 cm. C) 9 cm.

D) 6 cm. E) 1 cm.

31. En el trapecio ABCD de la figura, E y F son puntos medios de AD y BC,

respectivamente. Si BG = 12 cm, FG = 6√3 cm y EG = √6 cm, ¿cuánto mide AG?

A) 36√2 cm

B) 12√2 cm

C) 9√2 cm

D) 2√2 cm

E) 1,5√2 cm

32. En la figura, ST//QR, si SQ = 2x + 1, QP = x + 2,

TR = 3x + 5, RP = x + 6. La expresión que permite

determinar x es

A) 6x

5x3

2x

1x2

+

+=

+

+ B)

1x2

5x3

6x

2x

+

+=

+

+ C)

6x

11x4

3x3

2x

+

+=

+

+

D) 11x4

5x3

1x2

3x3

+

+=

+

+ E) 11x43x3 +=+

A D

B

E C

S

T R

Q

P



33. ABMN trapecio. NC = 8 cm, MC = 12 cm, BC = 15 cm. El segmento AC mide:

A) 22,5 cm. B) 11 cm. C) 10 cm.

D) 6,4 cm. E) Otro valor

34. En la figura, AC̅̅̅̅ es bisectriz del ángulo BAD y el triángulo BCD es isósceles en C.

¿Cuál(es) de las siguientes semejanzas es (son)

verdadera(s)?

I) EAD ~ EBC

II) CED ~ BEA

III) ACD ~ BDC

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III

D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

35. En la diagonal BD de un cuadrado ABCD (fig. 1) se establece

un punto P tal que en el rectángulo AQPR, AR : RP = 3 : 1.

Entonces, DP : AP =

A) √2 : 2

B) √2 : 5

C) 1 : 2

D) √5 : 5

E) 4 : 5

36. En el triángulo ABC de la figura adjunta, D pertenece a AC, E pertenece a BC y DE

// AB. Si AB = 24 cm, BC = 16 cm, CE = 12 cm y CD = 9 cm, entonces el

perímetro del trapecio ABED es

A) 50 cm B) 47 cm C) 49 cm

D) 45 cm E) 103 cm

C

N M

B A




Ejercicios 1 a 8

Ejercicios 9 a 14

Ejercicios 15 y 16

Ejercicios 18 a 21

Ejercicios 22 a 24

Ejercicios 25 a 28

Ejercicios 29 a 32

Ejercicios 33 a 36

GEOMETRÍA ANALÍTICA 2D: LA RECTA

Sistema de coordenadas cartesianas: El sistema de coordenadas cartesianas en el

plano está constituido por dos rectas perpendiculares que se intersecan en un punto

llamado origen.

A la recta horizontal se le da el nombre de eje X o eje de las abscisas; a la otra recta,

vertical, se le denomina eje Y o eje de las ordenadas, y ambas constituyen los dos

ejes de coordenadas rectangulares, los cuales dividen al plano en cuatro partes llamadas

cuadrantes.



En este sistema de coordenadas, la posición de un punto P en el plano queda

determinada mediante una pareja de números reales (x, y).

El nombre de “cartesiano” es en honor del filósofo francés René Descartes (1596-1650)

ya que fue él quien planteó de manera formal la idea de resolver problemas geométricos

por medio del álgebra, a partir de un sistema de coordenadas rectangulares.

La Recta: Si graficamos expresiones como y = 2x; y = 3x – 1;

y = -2x + 2; vemos que todas ellas corresponden a líneas rectas.

Por lo tanto, se concluye que toda recta es de la forma y = mx

+ n, donde m y n son números reales distintos de cero. El valor

m recibe el nombre de pendiente y el de n, coeficiente de

posición. Si n=0 la recta es de la forma y = mx.

La pendiente m determina la inclinación de la recta y el

coeficiente de posición n la intersección de la recta con el eje

de las ordenadas.



Cuando un punto pertenece a una recta, se dice que ese punto (x, y) satisface la

ecuación. Por ejemplo, el punto (3, 4) satisface la ecuación y = x + 1, ya que al

reemplazarlo se verifica la igualdad 4 = 3 + 1.

Ejercicios.

1. La recta y = 3x gráficamente corresponde a

A) Una recta paralela al eje Y B) Una recta paralela al eje X

C) Una recta que pasa por el origen D) Una recta que intersecta al eje Y en (0,

3)

E) Una recta de pendiente -3

2. ¿Qué valor debe tener k para que la recta (k – 1)x + (2k + 1)y – 1 = 0 pase por el

punto (2, 1)?

A) 2 B) 0,5 C) 0 D) -0,5 E) -2

3. Si la ecuación de una recta es 10x - 2y = 20, ¿cuál(es) de las siguientes


I) La pendiente de la recta es 10.

II) La gráfica de la recta intersecta al eje y en el punto (0, 20).

III) La gráfica de la recta intersecta al eje x en el punto (2, 0).


Distancia entre dos puntos.

La distancia entre dos puntos, A(x1, y1) y B(x2, y2), se

determina mediante la expresión

dAB̅̅ ̅̅ = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Para verificar esta fórmula lo podemos hacer aplicando el

teorema de Pitágoras.

El punto medio de un segmento AB̅̅ ̅̅ corresponde al punto P que se encuentra a igual

distancia de los extremos del trazo o segmento. Así

P = (x1+x2

2,

y1+y2

2)

Ejercicio. La distancia entre los puntos P(3, -5) y el punto medio del segmento de

extremos A(-10, 2) y B(-8, -2) es

A) 11 B) 12 C) 13 D) 41 E) 11



Pendiente de la recta que pasa por dos puntos.

La pendiente de una recta que pasa por los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), corresponde a

la inclinación de esa recta y se determina por m =y2−y1

x2−x1. Para determinar la medida

del ángulo de inclinación se debe utilizar trigonometría.

Ejercicio. Si los puntos A(2, 3), B(3, -2) y C(a, 8) son colineales, entonces el valor de

a es

A) 5 B) 3 C) 1

D) -3 E) -7

Ecuación de la recta. La ecuación de una recta se puede expresar en forma

principal, o sea de la forma y = mx + n, o en forma general que corresponde a la

forma ax + by + c = 0. Para determinarla debemos conocer los valores de su

pendiente y del coeficiente de posición.

Ejercicios.

1. La ecuación general de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y que tiene pendiente

3 es

A) 3x + y – 9 = 0 B) 3x – y – 9 = 0 C) 3x – y + 9 = 0

D) 3x – y - 3 = 0 E) 3x + y + 3 = 0

2. La ecuación principal de la recta que pasa por los puntos A(4, -3) y B(2, 1) es

A) y = -2x + 3 B) y = 2

x + 2 C) y = -2x + 5

D) y = 2x + 3 E) y = 2x + 5

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales

y sus coeficientes de posición distintos.



Por ejemplo, la recta y = 2x + 1 con y = 2x + 3.

Ejercicios.

1. El valor de k en la ecuación de la recta 1x5

ky −= para que sea paralela a la recta

de ecuación 2x – y – 7 = 0 es

A) -10 B) - 1

10 C) 2

D) 10 E) 20

2. La recta paralela a L: 3x – 7y + 2 = 0 y que además pase por el origen es

A) L1: 3x – 7y = 0 B) L2: 3x – 7y – 2 = 0 C) L3: 7x + 3y = 0

D) L4: 7x – 3y = 0 E) L5: 3x = -2

Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. Por

ejemplo, la recta y = 3x - 2 con y = −13x+ 1.

Ejercicios.

1. ¿Para qué valor de k la recta L1: 3x + 2y – 5 = 0 es perpendicular a la recta

L2: kx – 5y + 8 = 0?

A) 2

15 B)

15

2− C)

10

3− D)

3

10 E) otro valor



2. Si L1: 10y – 8x + 3 = 0. L2: 5y – 4x – 15 = 0 y L3: 4y + 5x – 8 = 0. ¿Cuál(es)


I) L1 // L2.

II) L2 ⊥ L3.

III) L1 ⊥ L3.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) I, II y III

GUIA G - 03

1. La pendiente de la recta determinada por los puntos A(2, 3) y B(-1, 2) es

A) 3

1 B)

3

1− C) 3 D) -3 E) 5

2. La pendiente de la recta pasa por los puntos A(1, -1) y B(-6, a) es 1

4, el valor de a es

A) −6

5 B) −

6

7 C) −

3

4 D)

11

4 E) −

11

4

3. La ecuación de la recta cuya pendiente es -1 y su coeficiente de posición es 1, se

representa por

A) y = x + 1 B) y = x -1 C) y = -x – 1 D) y = - x + 1

4. El punto (1, -1) pertenece a la recta

A) y = x B) y + x = 1 C) x – y = 1 D) y + x = 0

5. ¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una función cuyo coeficiente de posición es

0?

6. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 2) y tiene pendiente 3?

A) y + 3x + 7 = 0 B) y = 3x - 7 C) y + 3x – 7 = 0

D) 3x – y + 7 = 0 E) y = 3x + 5



7. El punto de coordenadas (a, 2) pertenece a la recta y = 2x – 1, entonces el valor de

a es

A) 2

3 B)

3

2 C) 3 D) 1 E) 2

8. La pendiente de la recta perpendicular a la recta y = 3x – 2 es

A) 2

1 B)

3

1− C)

2

1− D)

3

1 E) 3

9. El coeficiente de posición de la recta 3

1x2y

+−= es

A) 3

2− B) 3 C) -2 D) 1 E)

3

1

10. Una recta paralela al eje x tiene pendiente

A) 1 B) -1 C) 0 D) Infinita

11. La pendiente de la ecuación y = kx – 1 es 2

1, entonces el coeficiente de posición de

la ecuación 4x – 2y + 3k = 0 es

A) 4

3 B)

2

3 C) 2 D)

2

1 E) -3

12. El coeficiente de posición de la recta 5x – 2y = -1

A) 5 B) -2 C) -1 D) 2

5 E)

2

1

13. ¿Cuál(es) de las siguientes rectas es(son) paralela a la recta x + y = 3?

I. x + y = 6

II. 42

yx=

+

III. 5x + 5y = 15


D) Sólo I y III E) Sólo II y III



14. Una recta perpendicular a la recta y = 3 es

I. x = y

II. x = 3

III. x = 3

1−

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

15. Si 4 es la pendiente de la función 3kx – 2y = -1, entonces el valor de k es:

A) 12 B) 3

4 C)

3

8 D)

4

3 E)

3

8

16. En la función 1 = 2x, la pendiente es

A) 1 B) 2 C) 2

1 D) 0 E) Infinita

17. El coeficiente de posición de la recta que pasa por los puntos A(-1, 3) y B(-2, 4) es

A) -1 B) -2 C) -3 D) 1 E) 2

18. La pendiente de la recta perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y = 1 es

A) 3

2 B)

2

3 C)

3

2− D)

2

3− E) -1

19. La recta que pasa por el origen y tiene pendiente -1 es

A) y = -x B) y = x C) y = 0 D) y = -1 E) x = -1

20. Un alumno para determinar la pendiente m de la recta 5x + 2y – 1 = 0, efectúa los

siguientes pasos

I. 5x + 2y = 1

II. 2y = 1 – 5x

III. 2

x51y

−=

IV. y =1

2−

5x

2

V. 2

1m =

¿En qué paso cometió un error?

A) I B) II C) III D) IV E) V

21. La ecuación de la recta cuyo coeficiente de posición es -1, puede corresponder a

A) 1xy +−= B) xy −= C) 01yx =++ D) –y = x – 1 E) x = -1



22. La pendiente de la recta paralela a la recta de ecuación x21y −= es

A) -2 B) 2 C) 2

1 D)

2

1− E) -1

23. Si la recta y = 3x – 1 es perpendicular a la recta y = ax + 1, el valor de a es

A) 3 B) -3 C) 3

1− D)

3

1 E) -1

24. La pendiente de la recta que intercepta al segmento AB en forma perpendicular,

donde A(-4, -5) y B(1, -6), es

A) 5

1− B) 5 C)

5

1 D) -5 E)

3

11

25. Las rectas 03kyx2 =++ y 01y2kx =−+ son paralelas, entonces el valor de k

puede ser

I) 2 II) -2 III) 0

De estas afirmaciones es(son) verdadera(s)

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

26. ¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente igual a 7?

27. En el gráfico de la figura adjunta está representada la recta

de ecuación Px + Qy = R, con a y b números reales

positivos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se puede

deducir a partir de esta información?

A) P < 0 B) R > 0 C) P < Q

D) PR > 0 E) PQ < 0

28. La ecuación general de la recta que pasa por el punto (4, -3) y tiene pendiente −2

3

es

A) 2x + 3y + 17 = 0 B) 2x + 3y – 17 = 0 C) 2x + 3y – 6 = 0

D) 2x – 3y – 1 = 0 E) 2x + 3y + 1 = 0



29. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,1

2) y (−2, −

3

2) es

A) 𝑦 =3

2𝑥 − 1 B) 𝑦 = −

3

2𝑥 + 2 C) 𝑦 = −

2

3𝑥 +

7

6 D) 𝑦 =

2

3𝑥 −

1

6 E) 𝑦 =

2

3𝑥 +

1

3

30. ¿Qué valor debe tener k para que las rectas 2x + ky = 0 y 3x – 5y = 6 sean

perpendiculares?

A) −10

3 B) −

6

5 C)

6

5 D)

5

4 E)

10

3

31. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -1) y es paralela a la recta

2y – x + 8 = 0?

A) x – 2y – 2 = 0 B) 2x + y – 7 = 0 C) x – 2y + 6 = 0

D) x – 2y – 6 = 0 E) x – 2y + 9 = 0

32. Dos empresas A y B ofrecen las siguientes ofertas de conexión a Internet:

A: $ 9.000 por 40 horas + $ 900 por cada hora adicional.

B: $ 10.500 por 40 horas + $ 600 por cada hora adicional.

¿Al cabo de cuántas horas daría lo mismo usar cualquiera de los dos servicios?

A) 5 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60

33. ¿Cuál es el área del triángulo que forma la recta 2x - 3y + 6 = 0 con los ejes

coordenados?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

34. Sean L1: px + 2y = 1 y L2: 2x + py = -2 dos rectas del plano cartesiano, con p un

número real distinto de cero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

siempre verdadera(s)?

I) Si p ≥ 2, entonces L1 y L2 se intersectan en un único punto.

II) Si p = -2, entonces L1 y L2 se intersectan en infinitos puntos.

III) Si p ∈ ]−2, 0[ U ]0, 2[, entonces L1 y L2 son paralelas.

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

35. Se tienen las rectas, L1: 5x – 4y = 4 y L2: kx + 4y = 12. ¿Qué valor debe tener

k para que ambas rectas sean paralelas?

A) 4

5 B) 5 C) -

5

4 D)

5

4 E) -5

36. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta que jamás se

intersecta con la recta de ecuación y = 8x - 1?

A) y + 8x = 1 B) y + 8x = -1 C) y - 1

8x = 1

D) y + 1

8x = 1 E) y - 8x = 1



37. Un recipiente de 15 litros de capacidad pierde 0,125 litros cada hora. Si el recipiente

está lleno, entonces la relación entre los litros que quedan (y) con las horas (x) es

A) y 15 125x= − B)1

y 15 x4

= − C) y 15 12,5x= −

D)1

y 15 x8

= − E) y =125

15 x100

−

38. Con respecto a la ecuación de la recta x - y - 3 = 0, ¿cuál(es) de las siguientes

aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) La recta tiene pendiente positiva.

II) La recta pasa por el punto (0,3).

III) La recta intersecta al eje x en el punto (3,0).

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

39. De las rectas 6x + 3y – 4 = 0 y 2x + y = -5, se puede decir que:

I. Son paralelas. II. Son perpendiculares. III. Se interceptan en un punto


40. En la recta de la figura, el valor de p es

A) 4 B) 15

4 C) 7

D) 5 E) 5

12

41. La ecuación de la recta de pendiente 3 y cuyo coeficiente posicional es negativo y

que además forma con los ejes coordenados un triángulo de área 12, es

A) y = 3x + 2 B) y = 3x + 6 2 C) y = 3x + 2

D) y = 3x – 6 2 E) y = 26x3

1+

42. La recta 3x + my = 3m, forma un triángulo de área 6 con los ejes del primer

cuadrante, ¿cuál es el valor de m?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5




Ejercicios 1 a 8

Ejercicios 9 a 14

Ejercicios 15 a 20

Ejercicios 21 a 25

Ejercicios 26 a 30

Ejercicios 31 a 33

Ejercicios 34 a 38

Ejercicios 39 a 41

Ejercicio 42

COMBINATORIA

Principio Aditivo: Se aplica cuando se realiza un evento, que

tiene m formas de realizarlo, o el otro evento con n formas de

realizarlo. El total de formas es m + n.

Ejercicios.

1. Un repuesto de automóvil se vende en 3 tiendas de Puerto

Natales y en 8 tiendas de Punta Arenas. ¿De cuántas formas se

puede adquirir el repuesto?

A) 38 B) 83 C) 11 D) 24



2. Para viajar de Puerto Montt a Temuco se puede optar por avión, autobús o tren.

Existen 3 rutas para el avión, 4 para el autobús y 2 para el tren. ¿Cuántas rutas hay

para viajar?

A) 24 B) 12 C) 9 D) 4 E) 2

Principio Multiplicativo: Se aplica cuando se realiza un evento, que tiene m formas

de realizarlo, y luego se realiza el otro evento, con n formas de realizarlo. El total de

formas es m∙n.

Ejercicios.

1. Si Rodrigo dispone de 4 camisas diferentes y 3 pantalones, también diferentes,

entonces ¿de cuántas maneras diferentes puede vestirse Rodrigo?

A) 3 B) 4 C) 7 D) 12 E) 24

2. ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos: 1; 2; 3; 4 y 5, si se pueden repetir los dígitos?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25

Entonces, ¿cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y

cuando del aditivo?

Es muy simple, si la actividad a desarrollar tiene varias alternativas para ser llevada a

cabo, haremos uso del principio aditivo. Cuando se trata de una sola actividad, la cual

requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del

principio multiplicativo.

Ejercicio. De la ciudad A a la ciudad B, se puede ir mediante 2 buses o 3 trenes. De la

ciudad B a la ciudad C se puede ir mediante 2 barcos, 2 trenes o 3 aviones. ¿De

cuántas formas se puede ir de la ciudad A a la ciudad C, pasando por B?

A) 35 B) 12 C) 72 D) 5

Factorial: Sea n un número natural, entonces n! = 1∙2∙3∙∙∙∙∙(n-1)∙n. Definiéndose

0! = 1.

Ejemplo: 5! = 5∙4∙3∙2∙1 = 120

Fórmula de recurrencia. La expresión n! se puede expresar como n·(n − 1)! o como

n(n – 1)(n – 2)!, también n(n – 1)(n – 2)(n – 3)!, etc.

Ejemplo: 7! = 7∙6!

k! = k∙(k-1)∙(k-2)!

8! = 8∙7∙6∙5!

Esta fórmula de recurrencia nos será muy útil cuando tengamos que resolver ejercicios

de combinatoria.

Ejercicios. Calcular a) 7!∙4!

6! b)

12!

4!∙8!



PERMUTACIÓN

Es la agrupación de n elementos en grupos de k elementos,

donde k = n. Los elementos de cada grupo pueden estar en

otro orden en algún otro grupo. Por lo tanto, importa el

orden.

P = n!

Ejercicios.

1. ¿Cuántos números de 4 cifras podemos escribir con los

dígitos 6, 7, 8, y 9, sin que ninguno se repita?

A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 24

2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse cinco personas en una fila de

butacas?

A) 5 B) 10 C) 20 D) 60 E) 120

Permutación con repetición: Son los distintos grupos de n elementos que se pueden

hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces

indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación.

𝐏𝐫 =𝐧!

𝐧𝟏! ∙ 𝐧𝟐! ∙∙∙ 𝐧𝐤!

Ejercicios.

1. En el mástil de señales de un barco se pueden izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4

verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 9

banderas?

A) 9 B) 24 C) 288 D) 9! E) 1.260

2. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras de la

palabra MATEMATICA?

A) 6! B) 10! C) 10!

2!∙3! D)

7!

10! E)

10!

2!∙2!∙3!

Permutación circular: Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en

círculo", no habiendo un primer o último elemento. Importa el orden y para calcular

sus permutaciones se considera fija la posición de uno de los elementos.

𝐏𝐜 = (𝐧 − 𝟏)!

Ejercicios.

1. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 4 personas alrededor de una mesa

redonda?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 24 E) 64



2. En un grupo de 6 amigos, hay una pareja de novios. ¿De cuántas maneras pueden

sentarse alrededor de una fogata, si los novios deben sentarse siempre juntos?

A) 6 B) 12 C) 24 D) 48 E) 64

VARIACIÓN


donde k<n. Los elementos de cada grupo pueden estar en otro

orden en algún otro grupo. Por lo tanto, importa el orden.

V = 𝐧!

(𝐧−𝐤)!

Ejercicios.

1. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los

dígitos 1, 3, 5, 7 y 9, sin repetir ninguno de ellos?

A) 120 B) 60 C) 30 D) 15 E) 5

2. Marta, Raquel y Alejandro se han presentado a un concurso de pintura. El concurso

otorga $200.000 al primer lugar y $100.000 al segundo. ¿De cuántas formas se

pueden repartir los premios de primer y segundo lugar?

A) 2 B) 3 C) 6 D) 9

Variación con repetición: Es la agrupación de n elementos tomados de k en k a

todas a las agrupaciones que podemos formar con m elementos de A

independientemente de que se pueda repetir alguno.

𝐕𝐫 = 𝐧𝐤

Ejercicios.

1. Con un punto y una raya (símbolos clásicos del alfabeto Morse), ¿cuántas señales

distintas de 5 dígitos pueden hacerse?

A) 5 B) 16 C) 32 D) 64 E) 120

2. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

A) 3 B) 10 C) 243 D) 120 E) 125

COMBINACIÓN


con k<n, en que los elementos de cada grupo no pueden estar

en otro orden en algún otro grupo. O sea, no importa el

orden de los elementos.

C = 𝐧!

𝐤!(𝐧−𝐤)!



Ejercicios.

1. En un curso de 20 alumnos se quiere formar una comisión de 3 alumnos. ¿De

cuántas maneras distintas se puede formar dicha comisión?

A) 3 B) 60 C) 20! D) 1.140

2. Para aprobar un examen de 5 preguntas hay que contestar bien 2 de ellas. ¿De

cuántas formas diferentes se pueden elegir las dos preguntas?

A) 2 B) 5 C) 10 D) 20

Combinación con repetición: La combinación se efectúa en grupos con repetición de

los elementos y donde no importa el orden de los elementos.

𝐂𝐫 =(𝐧 + 𝐤 − 𝟏)!

𝐤! (𝐧 − 𝟏)!

Ejercicios.

1. En una actividad deportiva, en la que participan 10 personas, se va a hacer entrega

de 3 diplomas a participantes que destacaron durante el primer semestre del año.

Determinar de cuántos modos puede hacerse, si los diplomas son iguales y un mismo

participante puede recibir más de uno.

A) 120 B) 1000 C) 720 D) 220

2. En un negocio se venden bebidas de 8 marcas diferentes. ¿De cuántas formas se

pueden elegir 5 bebidas?

A) 792 B) 495 C) 56 D) 40

En resumen: Para saber si un problema dado se trata de una permutación, variación o

combinación, te debes hacer las siguientes preguntas:

¿Importa el orden?

¿Intervienen todos los elementos?

¿Se repiten los elementos?



GUIA G – 04

1. ¿De cuántas formas se puede cruzar un río una vez, si se cuenta con 1 bote y 2

barcos?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 6

2. ¿De cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 2 pantalones y 3

camisas?

A) 5 B) 6 C) 8 D) 9

3. ¿Cuántos resultados se pueden obtener si se lanza un dado 2 veces?

A) 6 B) 12 C) 36 D) 66

4. Carlos, Pedro y Sandra correrán los 100 metros planos. ¿De cuántas formas puede

quedar el podio de primer y segundo lugar, si solo competirán ellos tres?

A) 2 B) 3 C) 6 D) 9

5. ¿De cuántas formas se puede preparar una ensalada de frutas con solo 2

ingredientes, si se cuenta con plátano, manzana y uva?

A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9



6. En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden

elegir 4 pasteles?

A) 126 B) 360 C) 15 D) 24

7. ¿De cuántas formas se puede ordenar una pizza, si hay 2 opciones de masa

(tradicional y especial), y 4 sabores (hawaiana, carne, vegetariana y americana) y

solo se puede pedir una masa y un sabor?

A) 6 B) 8 C) 16 D) 1

8. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 4 personas en una fila?

A) 4 B) 16 C) 24 D) 64 E) 216

9. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras de la

palabra AMAMANTAR?

A) 9! B) 9!

4! C)

9!

2! D)

9!

4!∙2!

10. ¿Cuántos resultados se pueden obtener si se lanza una moneda o un dado?

A) 8 B) 12 C) 36 D) 64

11. ¿De cuántas formas pueden hacer fila 5 amigos para entrar al cine?

A) 120 B) 3.125 C) 24 E) 25

12. ¿De cuántas formas puede un juez otorgar el primero, segundo y tercer premio en

un concurso que tiene ocho concursantes?

A) 6.720 B) 336 C) 56 D) 8!

13. El capitán de un barco solicita 2 marineros para realizar un trabajo, sin embargo,

se presentan 10. ¿De cuántas formas podrá seleccionar a los 2 marineros?

A) 10!

2! B) 210 C) 100 D) 45

14. ¿De cuántas formas distintas puede cenar una persona en un restaurant, si hay 5

aperitivos, 3 entradas, 4 platos de fondo, 3 bebidas y 2 postres, y solo puede

elegir una opción de cada cosa?

A) 360 B) 17 C) 5 D) 17!

15. Un grupo de 5 amigos, suben a un automóvil. Si sólo uno de ellos sabe conducir,

¿de cuántas formas distintas se pueden distribuir en el interior del automóvil?

A) 5 B) 10 C) 24 D) 62 E) 120



16. ¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una sólo

saluda una vez a cada una de las otras?

A) 11 B) 12 C) 24 D) 66 E) 144

17. De la ciudad A a la ciudad B, se puede ir mediante 2 buses o 3 trenes. De la

ciudad B a la ciudad C se puede ir mediante 2 barcos, 2 trenes o 3 aviones. ¿De

cuántas formas se puede ir de la ciudad A a la ciudad C, pasando por B?

A) 5 B) 7 C) 12 D) 35

18. Eduardo tiene 7 libros, ¿de cuántas maneras puede acomodar cinco de ellos en un

estante?

A) 42 B) 7! C) 5! D) 2.520

19. En una directiva de curso de 6 alumnos, ¿de cuántas maneras se puede formar un

comité formado por 2 de ellos?

A) 120 B) 15 C) 36 D) 64

20. Cuando al menos una de cuatro banderas de colores rojo, verde, negro y azul es

acomodada verticalmente en un asta de bandera, el resultado indica una señal (o

mensaje). Arreglos diferentes proporcionan señales diferentes. ¿Cuántas señales

diferentes son posibles sí al menos una bandera es utilizada?

A) 64 B) 24 C) 15 D) 4

21. En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se

pueden elegir cuatro botellas?

A) 5 B) 20 C) 24 D) 70

22. Una comisión de 16 delegados de una sociedad debe escoger su directiva,

conformada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un vocero. Si el

cargo de presidente es para el socio con mayor cantidad de acciones, ¿de cuantas

maneras se puede conformar tal directiva?

A) 16!

4! B)

16!

3! C)

15!

3! D)

15!

12! E)

16!

12!

23. ¿Cuántos números de tres cifras, sin importar el orden, se pueden formar con los

números naturales 1, 2, 3, 4, 5 y 6?

A) 720 B) 216 C) 120 D) 20 E) 18

24. Una sala de lectura tiene 5 puertas. ¿De cuántas maneras puede entrar a la sala

un estudiante y salir por una puerta diferente?

A) 5 B) 6 C) 20 D) 25



25. ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos: 1; 2; 3; 4 y 5, si

se pueden repetir los dígitos?

A) 25 B) 3.025 C) 10 D) 32

26. Las n personas de un grupo salen al mismo tiempo y desde un mismo lugar hacia

un punto determinado. Al término del recorrido estas personas deben pasar, de

una en una, por una misma puerta. Si durante el trayecto se retira la décima parte

de las personas que salieron del lugar, no reintegrándose al grupo, ¿de cuántas

formas distintas se pueden ordenar para cruzar por la puerta las personas que

completan el recorrido?

A) n! - n

10 B) n! -

n

10! C) (n −

n

10)! D) (n −

1

10)! E) n! -

1

10

27. Un club de vóley tiene 12 jugadoras, una de ellas es la capitana Ximena. ¿Cuántos

equipos diferentes de 6 jugadoras se pueden formar, sabiendo que en todos ellos

siempre estará Ximena?

A) 11!

6! B) 924 C) 462 D) 792

28. Con 4 frutas diferentes, ¿cuántos jugos surtidos, con 2 frutas al menos, se pueden

preparar?

A) 11 B) 12 C) 6 D) 8

29. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en línea tres hombres y dos mujeres, si

una mujer debe estar en cada extremo?

A) 6 B) 12 C) 24 D) 120

30. Siete libros, todos con tapas de distintos colores, se deben ubicar uno al lado del

otro en un estante. Si el libro de tapa roja se debe colocar en uno de los extremos,

y el libro de tapa verde en el otro extremo, ¿de cuántas maneras se pueden ubicar

los libros?

A) 35 B) 120 C) 240 D) 720 E) 1.440

31. ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar sin dígitos repetidos?

A) 27 B) 9 C) 3 D) 720 E) 648

32. ¿Cuántos números pares de 3 cifras empiezan con 5 o 7?

A) 100 B) 180 C) 360 D) 72

33. El número de formas distintas en que se pueden sentar 6 concejales de un

municipio en los tres primeros asientos de la sala de reuniones, considerando que el

primer asiento está reservado para el Alcalde, es

A) 18 B) 30 C) 36 D) 72 E) 216



34. Cuatro amigos deciden organizar un campeonato de tenis. En la primera fase se

han de enfrentar todos entre sí. ¿Cuántos partidos se deben realizar?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 24

35. En una pared se deben colocar 7 cuadros de distinto tamaño en línea, de modo

que el más grande debe ubicarse en el centro. ¿De cuántas maneras se puede

hacer esto?

A) 360 B) 720 C) 1.440

D) 2.520 E) 5.040

36. Un dado es tirado siete veces y el orden de los tiros es considerado. ¿De cuántas

maneras pueden ocurrir dos números 2, tres 3, un 4 y un 5?

A) 7! B) 2!∙2!∙3!∙3!∙3!∙4!∙5! C) 49 D) 420

37. Para una competencia internacional de fútbol, hay 25 comentaristas deportivos, de

los cuales sólo seis hablan español. ¿De cuántas maneras se pueden formar

grupos de cuatro, con la condición de que por lo menos se integren dos que hablen

español?

A) 1.526 B) 10.260 C) 10.668

D) 2.960 E) 186

38. ¿De cuántas formas se pueden sentar 6 amigos alrededor de una mesa circular?

A) 6 B) 720 C) 120 D) 36

39. Mario pertenece a un curso que tiene 15 alumnos. Si se deben escoger 3

representantes de este curso, pero uno de los elegidos debe ser Mario, ¿de

cuántas maneras se pueden escoger los 3 representantes?

A) 91 B) 182 C) 210 D) 364 E) 2.730

40. En una clase de 10 alumnos se va a hacer entrega de 3 diplomas a alumnos que

han destacado durante el primer semestre escolar. Determinar de cuántos modos

puede hacerse si los diplomas son diferentes y un mismo estudiante no puede

recibir más de uno.

A) 720 B) 220 C) 1.000 D) 120



puede hacerse si los diplomas son iguales y un mismo estudiante no puede recibir

más de uno.

A) 1.000 B) 120 C) 720 D) 220





puede hacerse si los diplomas son diferentes y un mismo estudiante puede recibir

más de un premio.

A) 720 B) 220 C) 120 D) 1.000



puede hacerse si los diplomas son iguales y un mismo estudiante puede recibir

más de uno.

A) 120 B) 220 C) 720 D) 1.000

44. En un grupo de 6 amigos, hay una pareja de novios. ¿De cuántas maneras pueden

sentarse alrededor de una fogata, si los novios deben sentarse siempre juntos?

A) 48 B) 24 C) 120 D) 720

45. Se va a programar un torneo de ajedrez para los 10 integrantes de un club.

¿Cuántos partidos se deben programar sí cada integrante jugará con cada uno de

los demás sin partidos de revancha?

A) 45 B) 10! C) 10!

2! D) 90

46. Una empresa desea contratar 3 nuevos empleados, pero hay 8 candidatos, 6 de

los cuales son hombres y 2 son mujeres. Si la selección es al azar. ¿De cuántas

maneras distintas se puede elegir por lo menos a un candidato hombre?

A) 8!

3! B) 360 C) 56 D) 12

47. Las diagonales de un polígono se obtienen uniendo pares de vértices no

adyacentes. El número de diagonales del hexágono es

A) 6 B) 10 C) 18 D) 9

48. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres

ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

A) 625 B) 2.880 C) 24 D) 5

49. ¿Cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podría tener el alfabeto Morse?

A) 12 B) 10 C) 36 D) 20

50. Ocho amigos van de viaje llevando para ello dos coches. Si deciden ir cuatro en

cada coche. ¿De cuántas formas pueden ir, si sólo tres tienen licencia de conducir?

A) 4.320 B) 2.160 C) 56 D) 336




Ejercicios 1 a 5

Ejercicios 6 a 10

Ejercicios 11 a 15

Ejercicios 16 a 20

Ejercicios 21 a 25

Ejercicios 26 a 30

Ejercicios 31 a 35

Ejercicios 36 a 40

Ejercicios 41 a 45

Ejercicios 46 a 50

ESTADISTICA I

Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se

emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y

comunicación de conjuntos de datos.



Población: totalidad de los individuos, objetos u observaciones que poseen al menos

una característica en común.

Muestra: Es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y aleatoria.

Variable Cualitativa: Son aquellas cuando las observaciones realizadas se refieren a

un atributo (no son numéricas), por ejemplo: sexo, nacionalidad, profesión, etc.

Variable Cuantitativa: Son aquellas en que cada observación tiene un valor expresado

por un número real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, etc.

Las variables cuantitativas pueden ser de 2 tipos:

Discretas: Que toman sólo valores enteros, por ejemplo: número de hijos,

número de departamentos en un edificio, etc.

Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la

estatura, etc.

TABLA DE FRECUENCIAS

Es importante ordenar la información utilizando diferentes herramientas, por

ejemplo, una tabla de frecuencias, discriminando la mejor opción según lo que se

quiere analizar.

Frecuencia absoluta (f): Número de veces que se repite un dato.

Frecuencia acumulada (F): Es la suma ordenada de las frecuencias absolutas.

Frecuencia relativa (h): Es el porcentaje de la frecuencia absoluta respecto del total

de frecuencias.

Frecuencia relativa acumulada (H): Es la suma ordenada de la frecuencia relativa.

Marca de clase (xi): Se define como el promedio de los lados extremo de un intervalo.

Ejercicio: Completar la siguiente tabla de frecuencias corresponde a las notas

obtenidas por un curso en una prueba de física, cuyos datos estén agrupados

en 6 intervalos de amplitud 1.

Intervalos xi fi Fi hi Hi

[1, 2) 2

[2, 3) 1

[3, 4) 4

[4, 5) 4

[5, 6) 3

[6, 7] 6



Ejercicio. En la tabla adjunta se muestra la distribución de las edades, en años, de un

grupode personas.

Según los datos de la tabla, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) La marca de clase del intervalo de mayor frecuencia es 27 años.

B) Un 44% de las personas tiene menos de 24 años.

C) El grupo en total tiene 50 personas.

D) Exactamente, un 38% de las personas tiene menos de 30 años.

E) 28 personas tienen a lo menos 24 años.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

• Gráfico de barras

Utilizado en variables de tipo cualitativa y cuantitativa discreta, este gráfico

consiste en una serie de barras que indican a los datos, cuyas alturas representan la

frecuencia absoluta de éstos.

Por ejemplo, se puede representar el número de habitantes de una ciudad según el

rango de edad.

Intervalo Frecuencia Frecuencia

relativa porcentual

[12,18[ 8 16

[18,24[ 14

[24,30[

[30,36[ 18

[36,42] 3

https://www.ejemplos.co/wp-content/uploads/2015/07/grafico-columnas.jpg



• Pictograma: representa mediante figuras o diagramas las frecuencias absolutas

de una variable cualitativa o discreta.

• Gráfico circular

Es utilizado en variables de tipo cualitativa y cuantitativa discreta. El gráfico

consiste en un círculo dividido en secciones proporcionales al tamaño de la muestra y

la frecuencia de los datos, generalmente se utiliza para representar frecuencias

relativas.

Por ejemplo, se puede representar el porcentaje de votos que sacó cada partido

político en una elección.

Los gráficos de datos agrupados en intervalos se pueden representar a través de:

• Histograma

Representación gráfica en forma de barras continúas y se elabora representando a los

datos en el eje horizontal y a las frecuencias en el eje vertical, trazando barras cuyas

bases equivalen a los intervalos de clase, y cuyas alturas corresponden a las

frecuencias de clase.

https://www.ejemplos.co/wp-content/uploads/2015/07/grafico-circular.jpg



• Polígono de frecuencias

Línea poligonal, que se obtiene al unir los puntos

referidos a las marcas de clase y la frecuencia

absoluta de cada intervalo.

Para “completar” el polígono al eje horizontal, se

debe agregar un intervalo de frecuencia cero,

antes del primer y después del último intervalo.

• Ojiva

Se representa uniendo los puntos referidos al límite inferior o superior y la frecuencia

acumulada de cada intervalo. En ella se permite ver cuántas observaciones se

encuentran por encima o debajo de ciertos valores.

Ejercicios.

1. La distribución del número de horas que duraron

encendidas 200 ampolletas está dada en el gráfico

siguiente. La duración promedio de una ampolleta en

horas, aproximadamente, es

A) 1 B) 380 C) 400 D) 480 E) 580



2. El gráfico circular de la figura adjunta muestra los resultados de una encuesta

aplicada a 300 estudiantes sobre su nivel de acuerdo sobre la implementación de salas

de computación en su colegio.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) La frecuencia relativa de los que contestan “Muy de acuerdo” es 3/10.

B) La frecuencia de los que contestaron “Ni de acuerdo ni en desacuerdo” supera

en 8 estudiantes a los que contestaron “Algo de acuerdo”.

C) El nivel de acuerdo de la encuesta es bimodal.

D) 2 estudiantes no contestan la encuesta.

GUIA G - 05

1. En la tabla siguiente se muestran los valores de la frecuencia (f), frecuencia relativa

(fr) y frecuencia relativa acumulada (Fr). ¿Cuáles son los valores de A, B, C, y D

respectivamente?

A) 8, 10%, 60%, y 40%

B) 40, 10%, 60% y 8

C) 8, 60%, 10% y 40%

D) 8, 40, 60 y 40

2. En el siguiente gráfico se muestran los puntajes obtenidos en una evaluación.

¿Qué porcentaje de alumnos, aproximadamente, obtuvo puntaje superior a 100

puntos?

A) 40% B) 48% C) 52% D) 54%

Puntajes



3. El gráfico circular de la figura muestra las preferencias de 30 alumnos en actividades

deportivas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?

I) La frecuencia absoluta del grupo de fútbol es de 40%.

II) La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es de

30%.

III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.



4. La tabla adjunta muestra algunos datos que corresponden

a una encuesta sobre el porcentaje de satisfacción por un producto, que manifestó

el total de personas encuestadas. ¿Cuál de

las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Un 50% de los encuestados tiene una

satisfacción que pertenece al intervalo

.

B) Ninguna de las personas encuestadas

tiene un 100% de satisfacción por el

producto.

C) 50 personas contestaron la encuesta.

D) 18 personas expresaron menos del

75% de satisfacción por el producto.

5. En un estudio se registró en una tabla de datos

agrupados el tiempo de duración en horas de un lote

de ampolletas y con estos datos se construyó la ojiva

de la figura adjunta. De acuerdo a este gráfico se

puede deducir que

I) 97 ampolletas fueron registradas en el

estudio.

II) la mayor cantidad de ampolletas duró entre

300 y 400 horas.

III) la mediana del número de horas de duración

de las ampolletas se encuentra en el intervalo [200, 300[.


A) solo I B) solo II C) solo III D) solo I y III E) Ninguna de ellas

Porcentajes Frecuencia Frecuencia

acumulada

[0,60[ 0

[60,65[ 5 5

[65,70[

[70,75[ 8 18

[75,80[ 7

[80,85[ 46

[85,90[ 4

[90,100] 0



6. En una encuesta realizada a 1500 personas sobre su deporte favorito, se obtuvieron

los resultados que indica el gráfico adjunto.

¿Qué ángulo, aproximadamente, forma el sector de los que prefieren otro deporte?

A) 60° B) 65° C) 70° D) 75°

7. El gráfico de la figura representa la distribución de las

notas obtenidas por 15 niños en una prueba. ¿Cuál(es)

de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) 9 niños obtuvieron notas mayores o iguales a 5.

II) La nota más veces obtenidas es la nota 5.

III) La quinta parte del curso obtuvo nota inferior a

4.


8. En un gráfico circular, el 45% del total de los casos queda representado por un

sector cuyo ángulo central mide

A) 155º B) 150º C) 160º

D) 165º E) 162º

9. En un estudio de salud bucal aplicado a 80 estudiantes de un colegio. ¿Cuántos

estudiantes tiene a lo más 2 caries?

A) 22

B) 63

C) 64

D) 79

F: Fútbol

B: Básquetbol

V: Voleibol



10. El gráfico de la figura, representa la distribución

de los puntajes obtenidos por un curso en una

prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) verdadera(s)?

I) El 40% de los alumnos obtuvo 30

puntos.

II) 30 alumnos obtuvieron más de 20

puntos.

III) 1

10 de los alumnos obtuvo 10 puntos.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III


11. La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos de 45 personas de una empresa.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

TRAMO NÚMERO DE PERSONAS SUELDO EN PESOS

DESDE – HASTA

A 3 5.000.000 – 7.000.000

B 2 2.000.000 – 3.000.000

C 5 800.000 - 1.200.000

D 15 500.000 - 700.000

E 13 300.000 - 400.000

F 7 150.000 - 250.000

I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $ 400.000 de sueldo.

II) La mediana de la distribución se encuentra en el tramo D.

III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo más, $21.000.000.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

12. El cuadro siguiente muestra el número de artículos vendidos en distintos días de la

semana y uno de sus valores acumulados. ¿Cuántos artículos se han vendido en

total hasta el término del día miércoles?

A) 24

B) 20

C) 30

D) 8

Días Nº de

artículos

Total

acumulado

Lunes

Martes 12 16

Miércoles 8

Jueves 6



13. La tabla adjunta muestra las frecuencias de las notas en la prueba de matemática,

obtenidas por los alumnos de 4º Medio de un liceo, ¿Cuáles de las siguientes

afirmaciones son verdaderas?

I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5

II) La moda corresponde a la nota 5,0

III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5

IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0

A) Sólo II y III

B) Sólo III y IV

C) Sólo I, II y III

D) Sólo I, II y IV

E) Sólo II, III y IV

14. Se pregunta a los alumnos de un curso acerca de lo que más les gusta hacer en

vacaciones y sus respuestas están en el gráfico de la figura. ¿Cuál(es) de las


I) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es chatear.

II) A la mitad de los alumnos lo que más les gusta es ver TV o jugar.

III) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es leer o jugar.


15. El gráfico de la figura apareció en un periódico de

una ciudad. En él se indica la preferencia por el

noticiero central de cinco canales de televisión,

según una muestra aleatoria, en un año

determinado. ¿Cuál(es) de las siguientes


I) De acuerdo a la muestra el noticiero

central con menor probabilidad de ser visto

es TV 5.

II) El gráfico muestra exactamente la realidad de las preferencias de los

noticieros centrales de esta ciudad.

III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros centrales

de estos cinco canales.


Nota f

3,0 3

3,5 5

4,0 4

4,5 6

5,0 7

5,5 5

6,0 4

6,5 4

7,0 2

Total

alumnos

40



16. En la siguiente tabla se muestran las horas de entrenamiento diario de un grupo

de futbolistas profesionales:

¿Cuántas horas como máximo entrena el 40%

de ellos?

A) 7 horas B) 8 horas

C) 9 horas

D) 10 horas E) Más de 10 horas

17. La tabla de frecuencias muestra el tiempo de reacción, en minutos, de 40 personas

luego de aplicarles un medicamento. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) FALSA(S)?

I. La marca de clase del tercer intervalo es 25.

II. El 30% de las personas reacciona entre 20 y 30 minutos.

III. El 42,5% de las personas reacciona antes de los 20 minutos.


18. La tabla de frecuencias

siguiente muestra las notas

obtenidas por un curso en

una prueba de inglés.

De acuerdo con la tabla, los

alumnos que obtuvieron, a

lo menos, nota 4 son

A) 11

B) 8

C) 29

D) 37

E) 39

Horas Cantidad de

futbolistas

7 150

8 230

9 225

10 100

X f F fr %

[10,15[ 8 8 20

[15,20[ 9 17 22,5

[20,25[ 12 29 30

[25,30[ 11 40 27,5

X f F

[6,0; 7.0] 14 14

[5,0; 6,0[ 15 29

[4,0; 5,0[ 8 37

[3,0; 4,0[ 2 39

[2,0; 3,0[ 1 40

[1,0; 2,0[ 0 40



19. El grafico circular de la figura, muestra el estudio estadístico hecho en una ciudad

respecto a la cantidad de televisores en los hogares.

Entonces es verdadero que el sector cuyo ángulo central es 72° corresponde a

los que tiene en su hogar:

A) 1 televisor B) 2 televisores C) 3 televisores

D) 4 televisores E) 5 televisores

20. La tabla adjunta muestra las frecuencias (f) de las notas en la prueba de

matemática, obtenidas por los alumnos de 8º Básico de un colegio, ¿Cuáles de las

siguientes afirmaciones son verdaderas?

I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5

II) La cuarta parte de los estudiantes obtuvo nota 6 o superior.

III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5

IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0

A) Sólo II y III

B) Sólo III y IV

C) Sólo I, II y III

D) Sólo I, II y IV

E) Sólo II, III y IV

Nota f

3,0 3

3,5 5

4,0 4

4,5 6

5,0 7

5,5 5

6,0 4

6,5 4

7,0 2



21. La figura muestra el consumo de gas de una

familia en todos los meses del año pasado. De

acuerdo al gráfico, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) FALSA(S)?

I) La mayor variación mensual en el

consumo, se produjo entre los meses de

febrero y marzo.

II) De abril a junio no hubo consumo.

III) El mayor consumo se produjo en

agosto.

A) Sólo II

B) Sólo I y II

C) Sólo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna es falsa.

22. El gráfico muestra el número de trajes y chaquetas vendidas en el transcurso de

un año. De acuerdo a la información entregada por el gráfico ¿Durante qué

bimestre hubo un mayor aumento en las ventas de chaquetas?

A) Diciembre – Enero

B) Mayo – Junio

C) Junio – Julio

D) Octubre – Noviembre

23. El gráfico muestra la humedad registrada en una sala en el transcurso de una

mañana. ¿Cuántas veces, entre las 8 y las 12 a.m. la humedad fue exactamente

de un 20%?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4



24. La tabla adjunta representa las notas obtenidas por los alumnos de un curso en

una prueba. Se puede determinar el valor de x si:

(1) La suma total de las notas del curso es 109.

(2) El curso está compuesto por 25 alumnos.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)



Ejercicios 1 a 4

Ejercicios 5 a 8

Ejercicios 9 a 12

Ejercicios 13 a 16

Ejercicios 17 a 20

Ejercicios 21 a 24

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Denominadas también Medidas de Posición, son indicadores que representan

valores numéricos en torno a los cuales tienden a agruparse los valores de una variable

estadística.

Estos valores son la media aritmética, la moda y la mediana. Veamos cómo se

calcula cada uno de ellos.

MEDIA ARITMÉTICA (x̅) Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de datos. Si se tienen n

datos; x1, x2, x3, …, xn, su media aritmética es

x̅ =x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn

n=

∑ xi

n

Notas frecuencia

6.0 5

5.0 6

4.0 7

3.0 x



Ejercicios.

1. La media aritmética del siguiente conjunto de datos: 10; 8; 6; 0; 8; 3; 2; 2; 8; 0,

es

A) 8 B) 6 C) 5,9 D) 4,5 E) 4,7

2. La media de 6 elementos se sabe que es 10. Sabiendo que cinco de ellos son 8, 12,

13, 5 y 9. El elemento que falta es

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

La Media Aritmética para datos agrupados en una tabla de frecuencias donde

los datos son; x1, x2, x3, … xn, y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3, … fn, es

x̅ =xi ∙ fi + x2 ∙ f2 + x3 ∙ f3 + ⋯ + xn ∙ fn

f1 + f2 + f3 + ⋯ + fn=

∑(xi ∙ fi)

n

Ejercicios.

1. El promedio (o media aritmética) de la muestra presentada en la tabla adjunta es

A) 10

B) 10,6

C) 12,5

D) 13,25

E) 16

2. La tabla de frecuencia de la figura, corresponde a la estatura de 10 personas. ¿Cuál

es la media aritmética de las estaturas?

A) 1,60 m B) 1,62 m C) 1,65 m

D) 1,68 m E) 1,70 m

MODA (Mo)

Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite.

Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribución de

frecuencias

es Amodal, por ejemplo, {1, 2, 3, 4}

Si existe un solo dato que tenga mayor frecuencia, es Unimodal, por ejemplo, {1, 2, 2, 3,

4}

Dos con mayor frecuencia, es Bimodal, por ejemplo, {1, 2, 2, 3, 3, 4}

Dos o más datos con mayor frecuencia es Polimodal.

Dato fi

5 3

8 2

17 5

20 11

Altura (m) fi

1,45 – 1,55 3

1,55 – 1,65 2

1,65 – 1,75 5



Ejercicios.

1. De la muestra de datos 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8 se afirma que

I) Son moda el 5, 6 y 7.

II) La moda es sólo 7.

III) Es unimodal.

De estas afirmaciones es FALSA

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

2. El intervalo modal en la tabla de frecuencias siguiente es

A) [10, 15[

B) [15, 20[

C) [20, 25[ D) [25, 30[ E) [30, 35]

MEDIANA (Me)

Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados

en forma creciente o decreciente. Para calcularla se determina el valor que ocupa el lugar n+1

2 . Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de

los dos términos centrales.

Ejercicio.

1. Se encuestaron 8 familias y el número de personas por familia dio los siguientes

resultados: 7, 3, 6, 2, 4, 6, 4, 6. Entonces, la mediana es

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2. El intervalo donde se encuentra la mediana de la siguiente tabla de valores es

A) 10 – 14

B) 14 – 18

C) 18 – 22

D) 22 – 26

E) 26 – 30

RANGO

El rango es la diferencia entre el valor más grande y el valor más pequeño de los

datos. El rango representa el intervalo que contiene todos los valores de los datos.

El rango se utiliza para entender la cantidad de dispersión en los datos. Un valor de

rango grande indica mayor dispersión en los datos. Un valor de rango pequeño indica

que hay menos dispersión en los datos.

Clases fi

[10, 15[ 3

[15, 20[ 5

[20, 25[ 7

[25, 30[ 4

[30, 35] 2

Intervalos fi

10 - 14 10

14 – 18 2

18 – 22 1

22 – 26 1

26 – 30 3

30 – 34 2

34 - 38 1



Ejercicio.

1. El gráfico de la figura muestra el resultado obtenido por un grupo de estudiantes en

una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La mediana se encuentra en el intervalo 4 – 5.

II) La moda es 20.

III) El valor del rango es 6.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

2. La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por un grupo de

alumnos en un

ensayo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El valor del rango es 26.

II) La mediana se encuentra en el intervalo 450 – 550.

III) El intervalo modal es 450 – 550.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Sólo II y III

3. La tabla adjunta muestra los puntajes de un curso obtenidos en una prueba.

Es correcto afirmar que

I) el intervalo modal es el intervalo [20,30[

II) la mediana se encuentra en el intervalo [30,40[

III) el valor del rango es 50.


A) solo I

B) solo II

C) solo I y II

D) solo I y III

E) I, II y III

Intervalos fi

350 - 450 19

450 – 550 51

550 – 650 25

650 – 750 13

750 – 850 7

Puntajes fi

0 - 10 2

10 – 20 3

20 – 30 7

30 – 40 6

40 – 50 3



4. En la tabla adjunta se muestran las notas por asignatura obtenidas por Rodrigo y

Mariel. Si P y Q representan los promedios de las notas de Rodrigo y Mariel,

respectivamente, R y S son las medianas de sus respectivas notas, ¿cuál de las

siguientes relaciones es verdadera?

A) P = Q y R S

B) P Q y R S

C) P = Q y R S

D) P Q y R S

E) P Q y R = S

GUIA G - 06

1. Si se suman las edades de 8 personas y ese resultado se divide por 8, ¿qué se obtiene?

A) Mediana B) Media Aritmética C) Moda D) Rango E) Marca de clase

2. El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿Cuánto pesa el quinto si la suma

de los 4 primeros es 302 kg.?

A) 78 B) 68 C) 62 D) 58 E) 72

3. La tabla adjunta muestra las edades de 22 alumnos de un curso. ¿Cuál(es) de las


I) La moda es 17 años.

II) La mediana es 17 años.

III) La mitad de los alumnos del curso tiene 17 o 18 años.


4. Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio 20 kg. En la oficina de control

se pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg, ¿cuál es el peso del

niño al que le perdieron la ficha?

A) 39 kg B) 29 kg C) 21 kg D) 20 kg E) 19 kg

5. El intervalo modal en la siguiente tabla de frecuencias es

A) 10 – 15

B) 15 – 20

C) 20 – 25

D) 25 – 30

E) 30 – 35

Asignatura Rodrigo Mariel

Lenguaje 5,2 5,8

Matemática 4,8 5,2

Inglés 5,0 4,0

Ciencias Sociales 6,0 4,5

Ciencias Naturales 4,0 5,5

Edad (años) 15 16 17 18 19

Alumnos 5 4 6 5 2

Clases f

10 – 15 3

15 – 20 5

20 – 25 2

25 – 30 6

30 – 35 2



6. Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los alumnos de un

curso, ¿cuál de las opciones siguientes es siempre verdadera?

A) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso.

B) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.

C) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más frecuente.

D) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más frecuente.

E) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.

7. La tabla adjunta muestra la distribución de las calificaciones en una prueba de

Química. La mediana se encuentra en el intervalo

A) 2 – 3

B) 3 – 4

C) 4 – 5

D) 5 – 6

E) 6 – 7

8. La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por los alumnos de

un curso en una prueba de matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)?

I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40.

II) La mediana se encuentra en el intervalo

20 - 29.




9. Tres cursos rindieron una misma prueba obteniéndose los resultados que se indican

en la tabla adjunta. ¿Cuál es el promedio total de la prueba?

A) 4,25

B) 5,00

C) 5,16

D) 5,25

E) 5,50

10. La mediana en la siguiente tabla se encuentra en el intervalo

A) [10, 14[ B) [18, 22[ C) [22, 26[ D) [26, 30[ E) [30, 34[

Notas Frecuencia

1 – 2 2

2 – 3 2

3 – 4 8

4 – 5 12

5 – 6 10

6 - 7 16

Puntaje Frecuencia

10 – 19 6

20 – 29 8

30 – 39 12

40 – 49 4

50 – 59 10

Curso Nº Alumnos Promedio

P 20 6

Q 18 5

R 12 4

Intervalos f [10, 14[ 1 [14, 18[ 3 [18, 22[ 4 [22, 26[ 5 [26, 30[ 3 [30, 34[ 2 [34, 38[ 2



11. Los resultados obtenidos por un curso en una prueba de Física fueron: 4; 5; 6; 6;

5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) La mediana es 7

II) La moda es 5

III) La media aritmética es 5


12. Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. En uno de ellos, con 20

estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota

promedio fue 5. Entonces, la nota promedio correspondiente al total de alumnos de

ambos cursos es

A) 5,7 B) 5,6 C) 5,5 D) 5,4 E) 5,3

13. Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000, $10.000, $10.000 y $15.000. ¿Cuál(es)


I. La moda es $10.000.

II. La mediana es $10.000

III. El promedio es $9.600.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

14. En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de

edades. La moda y la mediana de las edades de ese grupo son

moda mediana

A) 16 17

B) 17 15

C) 15 17

D) 5 1

E) 17 16

15. Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Su media aritmética es 4,5.

II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia.

III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.


16. Si las edades de tres personas son distintas, se puede concluir que la muestra es

A) Amodal B) Unimodal C) Bimodal D) Trimodal E) Continua

Edad Frecuencia

13 5

14 11

15 1

16 5

17 13



17. La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos de 45 personas de una empresa.


I) Hay exactamente 20

personas que ganan

a lo menos $400.000

de sueldo.

II) La mediana de la

distribución se

encuentra en el

tramo D.

III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo más, $21.000.000.



18. La tabla adjunta muestra la frecuencia de las notas de una asignatura de un curso

de 38 alumnos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La mediana de las notas es 4

II) La moda de las notas es 5

III) Más de un tercio del curso obtuvo nota menor que 4


19. La tabla adjunta muestra los alumnos de un colegio y su distribución de edades.

¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos

de esta muestra?

4

NNNN)E

4

ENENENEN)D

NNNN

ENENENEN)C

NNNN

EEEE)B

4

EEEE)A

4321

44332211

4321

44332211

4321

4321

4321

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+++

20. La información sobre las notas obtenidas por 15 alumnos

de un curso está dada en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)

I) Dos tercios de los alumnos obtuvieron notas 4 ó 5

II) La mediana se encuentra en el intervalo 5 – 6.


A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III


Tramo Número de

Personas

Sueldo en pesos

Desde – Hasta

A 3 5.000.000 – 7.000.000

B 2 2.000.000 – 3.000.000

C 5 800.000 - 1.200.000

D 15 500.000 - 700.000

E 13 300.000 - 400.000

F 7 150.000 - 250.000

Notas 1 2 3 4 5 6 7

Frecuencia 0 5 8 4 9 8 4

Edad Frecuencia

E1 N1

E2 N2

E3 N3

E4 N4

Notas Frecuencia

1 - 2 0

2 - 3 1

3 - 4 1

4 - 5 4

5 - 6 6

6 - 7 3



21. ¿Cuál es la media aritmética entre los números 0,025; 0,035; 0,045 y 0,055?

A) 0,004 B) 0,08 C) 0,04

D) 0,4 E) 0,8

22. Si x es la media aritmética de los números r, s y t ¿cuál(es) de las

siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I) x = 3

tsr ++

II) (x–r) + (x–s) + (x–t) = 0

III) x + 10 = 3

10tsr +++


23. De 50 números que se encuentran en una bolsa, se distribuyen de la

Manera que indica la tabla adjunta.


I. La moda es 12.

II. La media aritmética es 12.

III. La mediana es 10,5.



24. La tabla adjunta muestra algunos

datos que corresponden a una

encuesta sobre el porcentaje de

satisfacción por un producto, que

manifestó el total de personas

encuestadas. ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es FALSA?

A) Un 50% de los encuestados

tiene una satisfacción que

pertenece al intervalo 75, 80.

B) Ninguna de las personas encuestadas tiene un 100% de satisfacción por el

producto.

C) 50 personas contestaron la encuesta.

D) 18 personas expresaron menos del 75% de satisfacción por el producto.

E) El intervalo modal es 80, 85.

números frecuencia

5 7

8 9

10 10

12 16

15 5

17 3

Intervalos frecuencia Frecuencia

Acumulada [0, 60[ 0

[60, 65[ 5 5 [65, 70[ [70, 75[ 8 18 [75, 80[ 7 [80, 85[ 46 [85, 90[ 4

[90, 100[ 0




Ejercicios 1 a 4

Ejercicios 5 a 8

Ejercicios 9 a 12

Ejercicios 13 a 16

Ejercicios 17 a 20

Ejercicios 21 a 24

MEDIDAS DE POSICIÓN

Los cuantiles corresponden a medidas de posición no central

y permiten conocer la forma en que se distribuyen los datos

dentro del conjunto. Los cuantiles más usados son los cuartiles,

los quintiles, los deciles y los percentiles.

CUARTILES: En un conjunto de datos ordenados de forma

creciente, se llama cuartiles a los tres valores Q1, Q2 y Q3 que

dividen al conjunto en cuatro partes iguales.

El primer cuartil, Q1, es el valor bajo el cual se encuentra el

25% de las observaciones, y sobre el cual puede encontrarse el 75% restante. El

segundo cuartil, Q2, es justo la mitad de las observaciones y, por lo tanto, es lo mismo

que la mediana. El tercer cuartil, Q3, es el valor bajo el cual está el 75% de las

observaciones y sobre él, el 25% restante.



Dado un conjunto de n datos, la posición Pk del cuartil k-ésimo la obtenemos mediante

la siguiente

relación: Pk = k∙n

4 con k = 1; 2; 3.

Ejercicios.

1. Los cuartiles correspondientes a 10 niños de edades 5, 4, 4, 8, 14, 10, 9, 11, 13 y

11 años, son

A) 5; 9,5 y 11 B) 5; 9 y 11 C) 5,5; 9,5 y 11,5

D) 4,5; 9 y 10,5 E) 5,5; 9,5 y 11

2. Sea el conjunto de números {3; 7; 1; 4; 6; 5; 2}. El valor del tercer cuartil es

A) 5 B) 4 C) 6 D) 5,25

3. En la siguiente tabla, el intervalo donde se encuentra el

cuartil Q1, es

A) 10 - 15

B) 15 - 20

C) 20 - 25

D) 25 - 30

E) 30 - 35

PERCENTILES: Son los 99 valores que dividen a un

conjunto ordenado de datos en 100 partes iguales.

La expresión que nos permite obtener la posición Pk del percentil k-ésimo está dada

por: Pk = k∙n

100.

Ejercicio. De los datos representados en la tabla, el intervalo en que se encuentra el

percentil 80 es

A) 1 - 6

B) 6 - 11

C) 11 - 16

D) 16 - 21

DIAGRAMAS DE CAJAS: Es un diagrama que muestra la distribución de los datos,

dividiendo estos en cuatro partes iguales mediante los cuartiles.

Para construir un Diagrama de Cajas se dibuja una caja que va desde Q1 hasta Q3.

Dentro de ella se traza una línea vertical correspondiente a la mediana (Q2). Luego,

se trazan líneas desde la caja a los valores mínimo y máximo.

X fi

10 – 15 3

15 – 20 5

20 – 25 7

25 – 30 4

30 – 35 2

X fi

1 – 6 20

6 – 11 30

11 – 16 10

16 – 21 10



Se llama rango intercuartil a la diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer

cuartil (Q1).

La longitud máxima de los bigotes es una vez y media la longitud de la caja, o sea 1,5

veces la medida del rango. Los valores sobre el valor máximo o bajo el valor mínimo

son llamados valores atípicos.

Ejercicio: Construir el diagrama de caja para la siguiente distribución:

47 52 52 57 58 58 60 65 66 66 71 71 72 73 96

TIPOS DE MUESTRA

Muestra Simétrica: Es simétrica cuando la media, mediana y moda de la distribución

coinciden y los datos se distribuyen de igual forma a ambos lados de esas medidas.

Asimétrica positiva o sesgada a la derecha: cuando los datos tienden a

concentrarse hacia la parte inferior de la distribución. La media se situaría a la derecha

de la mediana.

Asimétrica negativa o sesgada hacia la izquierda: cuando los datos tienden a

concentrarse hacia la parte superior de la distribución. La media se situaría a la

izquierda de la mediana.



Ejercicios.

1. En un liceo se realiza un registro de las masas de los estudiantes de cuarto medio.

Si los cuartiles de la distribución de los datos son 75 kg, 80 kg y 90 kg, ¿cuál(es) de

las siguientes afirmaciones se puede(n) deducir de esta información?

I) La mayor cantidad de estudiantes de cuarto medio se concentra entre el

cuartil 2 y el cuartil 3.

II) Por lo menos un 50% de los estudiantes de cuarto medio tiene una

masa de a lo menos 75 kg y a lo más 90 kg.

III) La media aritmética de las masas de los estudiantes de cuarto medio es

de 81,6 kg, aproximadamente.


2. La distribución de los sueldos, en pesos, de los trabajadores de una empresa se

muestra en el diagrama de caja de la figura adjunta.

Según este diagrama, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) El rango intercuartil de los sueldos de los trabajadores es $ 250.000.

B) El promedio de los sueldos de los trabajadores es $ 650.000.

C) La cantidad de trabajadores que ganan entre $ 300.000 y $ 500.000 es mayor

que la cantidad de trabajadores que gana entre $ 650.000 y $ 750.000.

D) Exactamente un 50% de los trabajadores gana $ 650.000.

E) Un 62,5% de los sueldos de los trabajadores es igual o menor a $ 700.000.

3. Se realizó el experimento de lanzar dos dados 200 veces, anotando la suma de los

puntos obtenidos. El resultado de la suma de los resultados en cada lanzamiento se

muestra en la tabla adjunta.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El primer cuartil de la suma de los puntos es 5 puntos.

II) El tercer quintil de la suma de los puntos es 8 puntos.

III) El percentil 54 de la suma de los puntos es 7 puntos.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III



4. En la tabla adjunta se agrupan las estaturas, en cm, de un grupo de personas. Con

respecto a los datos de la tabla, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) La mediana de la estatura se encuentra en 150, 160.

B) El intervalo modal de la estatura es 160, 170.

C) El tercer decil de la estatura se encuentra en 150, 160.

D) El percentil 80 de la estatura se encuentra en 170, 180.

E) Al menos un 20% de la estatura no supera los 150 cm.

5. En un grupo de datos la mediana es m y la media es x̅ . ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es siempre verdadera?

A) El percentil 75 es mayor que x̅.

B) El percentil 25 es m

2

C) El percentil 15 es menor o igual a m.

D) La mitad de los datos es menor o igual a x̅.

E) El dato más repetido es m.

GUIA G - 07

1. Las edades de 10 niños son 7, 3, 9, 10, 8, 4, 6, 10, 3, 5. El valor del primer cuartil es

A) 4 B) 3,5 C) 3 D) 2,5 E) 4,5

2. En la siguiente tabla, el intervalo en el que se encuentra el percentil 40 es

A) 1 - 6

B) 6 - 11

C) 11 - 16

D) 16 - 21

3. El tercer cuartil de los números 3; 2; 5 y 6 es

A) 5 B) 5,5 C) 3 D) 6 E) Otro valor

Clases f

1 – 6 20

6 – 11 30

11 – 16 10

16 - 21 10



4. Determinar el percentil 75 de un conjunto de datos es lo mismo que determinar

A) El quintil 4 B) El tercer cuartil C) La mediana

D) El decil 7 E) El cuartil 2

5. El tercer cuartil correspondientes a los datos

2, 2, 5, 8, 12, 12, 16, 18, 21, 21, 24, 30, 32, 32, 36, 40, 44, 58 es:

A) 5 B) 12 C) 21 D) 32 E) 34

6. Al construir el diagrama de caja para 47, 52, 52, 57, 58, 58, 60, 65, 66, 66, 71, 71,

72, 73, 96; el rango intercuartil es

A) 6 B) 14 C) 18 D) 31 E) 47

7. Una alumna de electivo matemática realiza un estudio

sobre el número de estudiantes que tiene cada curso del

colegio donde estudia, y para eso construye la tabla

adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s), respecto a los datos?

I) El colegio tiene en total 30 cursos.

II) El quintil 3 de los datos es 44.

III) El decil 3 de los datos es 42.


8. Los siguientes datos representan los días que han estado ingresado cada paciente

para recuperarse de una determinada enfermedad: 8, 20, 27, 30, 32, 35, 36, 40,

40, 40, 40, 41, 42, 45, 47, 50, 52, 61, 89, 108. El valor del primer cuartil es

A) 32 B) 33 C) 33,5 D) 34 E) 35

9. En la figura se muestra un gráfico de distribución

porcentual de una variable estadística X. El cuartil 3

de los datos es

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

10. Los cuartiles del conjunto {33; 5; 54; 12; 8; 8; 33; 4; 6; 5} son respectivamente:

A) 33, 8 y 5 B) 5, 8 y 33 C) 4, 8 y 54

D) 6, 12 y 54 E) 4, 8 y 33

Nº estudiantes Frecuencia

39 1

40 3

41 2

42 5

43 6

44 7

45 4

46 2



11. En la figura se muestra el diagrama de caja de un conjunto de datos. ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es FALSA?

A) El valor mayor de la muestra es 17.

B) El rango intercuartil de la muestra es 6.

C) k es igual a 12.

D) El primer cuartil es 9.

E) El percentil 75 es 15.

12. En el diagrama de caja y bigotes que se muestra en la figura, se muestran las

estaturas de los alumnos de un determinado curso (en cm). ¿Cuál(es) de las


I. El 50% de los alumnos tienen estaturas entre 169 cm y 177 cm.

II. El rango de las estaturas es 20 cm.

III. La distribución de las estaturas es asimétrica positiva.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

13. Los datos {22, 22, 18, 15, 15, 19, 17, 19, 17, 15, 14, 18, 15, 23, 19, 17} se

representan en un diagrama de caja, tal como se muestra en la figura. El valor de

x es

A) 22

B) 19

C) 18

D) 17

E) 15



14. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a un conjunto de datos con media igual

a 5 y primer cuartil igual a 2?

15. En un conjunto de datos ordenados de menor a mayor, el segundo quintil es

equivalente al

A) primer cuartil.

B) segundo decil.

C) cuarto decil.

D) segundo percentil.

E) cuarto percentil.



16. De acuerdo a los 100 datos de la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes


I) El primer cuartil se ubica en el intervalo 45, 50.

II) El intervalo donde se ubica el percentil 50 coincide

con el intervalo modal.

III) La cantidad de datos que se encuentran en el cuarto

intervalo corresponden a un 10% del total de los datos.

A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III


17. En una universidad hay dos grupos de porristas: uno conformado exclusivamente

por hombres (grupo H) y el otro exclusivamente por mujeres (grupo M), ambos

con la misma cantidad de integrantes. Se sabe que el primer cuartil de estaturas

para H y M es 1,58 m y 1,63 m respectivamente, el segundo cuartil para ambos

grupos es 1,70 m, y el tercer cuartil para H y M es 1,82 m y 1,75 m

respectivamente. Al respecto, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Al menos el 75 % de los porristas del grupo de varones mide 1,82 m o menos

II) Al menos el 25 % de las porristas del grupo de damas mide 1,75 m o más

III) Se espera que las estaturas de los hombres superen gradualmente las

estaturas de las mujeres


18. La siguiente tabla muestra la cantidad de jugadores de un equipo de futbol según

su edad en años.

Si al 25% de los jugadores de mayor edad del

equipo se le entrega un bono motivacional de

$35.000 por partido y se juegan 4 partidos al mes,

¿cuánto dinero invierte mensualmente en bonos el

club?

A) $700.000

B) $560.000

C) $840.000

D) $480.000

19. La siguiente tabla muestra una encuesta realizada aleatoriamente a 300 personas

de Santiago buscando recoger información acerca de la cantidad de monedas que

traen en el bolsillo en cierto instante del día. El percentil 40 está en la posición

A) 100

B) 322

C) 128

D) 500

E) 512

Edad en años Cantidad de jugadores

17 1

18 2

19 1

20 3

21 3

22 2

23 4

24 2

25 1

26 2

27 1

Moneda Número de personas

$1 1

$5 3

$10 70

$50 128

$100 512

$500 91



20. La siguiente tabla muestra las estaturas, en metros, de un grupo de niñas:

Respecto a la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las


I) El primer cuartil es 1,54 m

II) La diferencia entre el segundo y el primer

cuartil es 3 cm

III) Exactamente la mitad del curso mide

entre 1,55 y 1,63 m

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

21. La edad de los participantes de un concurso de talentos oscila entre los 6 y los 55

años. Si los cuartiles de esta población son 18, 34 y 43 años, ¿en qué tramo etario

se concentra el 50% central de los participantes?

A) Entre los 18 y 34 años

B) Entre los 18 y 43 años

C) Entre los 34 y 43 años

D) Entre los 9 y 16 años

E) Entre los 16 y 25 años

22. Un conjunto está formado por números enteros de 1 al 10. El siguiente gráfico

muestra la distribución de los números:

¿Cuál es la suma de los cuartiles de la distribución anterior?

A) 20

B) 30

C) 60

D) 90

E) 150

Estatura en metros

Números de personas

1,52 2

1,53 4

1,54 4

1,55 7

1,56 3

1,58 6

1,60 4

1,61 4

1,63 2

1,66 3

1,67 3

1,73 2




Ejercicios 1 a 4

Ejercicios 5 a 8

Ejercicios 9 a 12

Ejercicios 13 a 16

Ejercicios 17 a 19

Ejercicios 20 a 22

PROBABILIDAD

Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones

un número indefinido de veces.

Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un

conjunto de resultados posibles.

Ejemplo: lanzar una moneda al aire y observar su resultado, sacar una carta de una

baraja, el hacer girar la ruleta etc.

Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados

posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo: Al lanzar dos dados el espacio muestral

será de 62 = 36 elementos, como se muestra en la

figura. Al lanzar tres dados, el espacio muestral

será de 63 = 216 elementos.

Evento o Suceso: Es un resultado particular de un

experimento aleatorio. En otras palabras, es un

subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo: Obtener 3 al lanzar un dado.

Tipos de eventos.

Evento o suceso seguro o cierto: Es el propio Espacio Muestral.

Ejemplo: Obtener un número menor que 7 al lanzar un dado.



Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Ejemplo: Obtener 8 al

lanzar un dado.

Eventos Mutuamente Excluyentes: Cuando dos o más eventos no tienen elementos

comunes. Ejemplo: Lanzar un dado y lanzar una moneda.

Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos

comunes y la unión de ellos es el espacio muestral. Ejemplo: A = Números pares al

lanzar un dado; B = Números impares al lanzar un dado.

PROBABILIDAD CLÁSICA O TEÓRICA

La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al

evento A por el número total de casos posibles. La probabilidad de A se denotará por

P(A).

P(A) = 𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬

𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞𝐬

Por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1. La probabilidad de un evento seguro es 1 y la de un suceso

imposible es 0.

Ejercicio. ¿Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos en el lanzamiento de dos

dados?

A) 1

6 B)

1

2 C)

7

12 D)

7

36 E)

7

2

La probabilidad de que un suceso A ocurra mas la probabilidad de que no ocurra es 1.

P(A) + P(�̅�) = 1 de donde

P(A) = 1 – P(�̅�).

Ejercicio. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cuál es la probabilidad

de que el suceso NO ocurra?

A) 0 B) 0,55 C) 0,65 D) -0,45 E) -0,55

PROBABILIDADES DE EVENTOS

Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que ocurran A o B está dada por:

P(A o B) = P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A⋂B)

Ejercicio. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12.

Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 6 o múltiplo de 5 al sacar

una de ellas.

A) 1

2 B)

7

12 C)

5

6 D)

1

12



Probabilidad de eventos independientes: A y B son eventos independientes

cuando la ocurrencia de A no influye en la ocurrencia de B.

P(A y B) = P(A⋂B) = P(A)∙P(B)

Ejercicio. Al lanzar un dado dos veces consecutivas, ¿qué probabilidad hay de obtener

primero un divisor de 6 y luego un múltiplo de 3?

A) 1

3 B)

1

12 C)

2

9 D)

2

3

E) 1

Probabilidad de eventos dependientes: A y B son eventos dependientes cuando la

ocurrencia de A influye en la ocurrencia de B.

P(A⋂B) = P(A)∙P(B/A)

Ejercicio. Supongamos que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades,

de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se

separan de la caja uno después del otro sin reemplazar el primero, ¿cuál es la

probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?

A) 1

4 B)

1

16 C)

1

19 D)

1

6 E)

5

76

Probabilidad condicionada: De la fórmula anterior, despejando, obtenemos que

P(B/A) = 𝐏(𝐀∩𝐁)

𝐏(𝐀)

Ejercicio. En cierta población se ha logrado constatar que la probabilidad que una

persona este obesa y tenga el colesterol alto es 0,1 y la probabilidad que un individuo

sea obeso es 0,4. Si se escoge una persona que resulta estar obeso, entonces ¿cuál es

la probabilidad que tenga el colesterol alto?

A) 0,10 B) 0,25 C) 0,40 D) 0,60 E) 0,90

Ejercicio. Se muestra en la siguiente tabla de contingencia una encuesta sobre el

gusto del futbol en la TV, según los sexos, entre alumnos de 14 y 18 años.

1. Calcular la probabilidad de que siendo hombre le guste el fútbol.

A) 145

196 B)

145

334 C)

145

187 D)

187

334 E)

196

334

Hombres Mujeres

Le gusta el fútbol 145 42 187

No le gusta el fútbol 51 96 147

196 138 334



2. Con la misma tabla anterior, calcular la probabilidad de que gustándole el fútbol sea

mujer.

A) 42

138 B)

42

334 C)

96

138 D)

42

187 E)

96

147

Diagrama de árbol: Representa de manera gráfica todos los resultados posibles de

un experimento aleatorio, facilitando la resolución de problemas probabilísticos.

Ejemplo: El 35% de los estudiantes de un centro docente practica el fútbol. El 70% de

los que practican el fútbol estudia Matemáticas, así como el 25% de los que no practican

el fútbol.

El diagrama de árbol asociado a este ejercicio y la probabilidad asignada a cada uno de

sus tramos es

Ejercicio. Se dispone de tres cajas con ampolletas. La primera contiene 10

ampolletas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay ocho ampolletas,

estando dos de ellas fundida, y la tercera caja hay cinco ampolletas fundidas de un

total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una ampolleta al azar de una

cualquiera de las cajas, NO esté fundida?

A) 69

40 B)

17

40 C)

41

120 D)

23

40

GUIA G - 08

1. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que se obtiene al lanzar 7 monedas?

A) 77 B) 49 C) 128 D) 7! E) 64



2. Al lanzar un dado 2 veces consecutivas, ¿qué probabilidad hay de obtener primero

un 3 y luego un número primo?

A) 1

3 B)

1

12 C)

1

9 D)

2

3

E) 4

3. En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente forma.

Primero Segundo Tercero Cuarto

Niños 15 20 18 12

Niñas 30 25 27 33

Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) La probabilidad de que sea un niño es 180

65.

II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es 180

45.

III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es 45

25.


4. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras;

mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una

urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída

sea blanca?

A) 6

5 B)

8

25 C)

2

5 D)

3

5 E)

4

5

5. La probabilidad que Tomás acierte en el blanco en un polígono de tiro es 0,6 y la de

Hugo es 0,4. ¿Cuál es la probabilidad que al menos uno de ellos acierte en el

blanco, después de haber hecho un tiro cada uno?

A) 0,16 B) 0,24 C) 0,36 D) 0,60 E) 0,76

6. Se dispone de tres cajas con ampolletas. La primera contiene 10 ampolletas, de las

cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis ampolletas, estando la mitad de

ellas fundida, y en la tercera caja hay cuatro ampolletas fundidas de un total de

cinco. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una ampolleta al azar de una

cualquiera de las cajas, no esté fundida?

A) 13

30 B)

1

450 C)

17

30 D)

3

50



7. Se hace rodar 2 veces un dado y se considera la suma de los puntos obtenidos en

ambos lanzamientos. La primera vez sale un número par. La probabilidad que la suma

sea mayor que 7 es:

A) 4

1 B)

6

1 C)

3

1 D)

2

1 E)

3

2

8. Se lanzan al aire uno tras otro tres dados de seis caras numeradas del 1 al 6. La

probabilidad de que el número de tres cifras que se forme, empiece con 4 es:

A) 6

1 B)

216

25 C)

120

1 D)

256

1 E)

3

1

9. La probabilidad de que un feriante venda frutas un día determinado dado que está

lloviendo es 1

3. Si la probabilidad de que venda y llueva ese día es

1

5, ¿cuál es la

probabilidad de que NO llueva ese día?

A) 14

15 B)

1

15 C)

2

3 D)

4

5 E)

2

5

10. En el hexágono regular de la figura adjunta se marcan al

azar tres de sus vértices. ¿Cuál es la probabilidad de que

con estos vértices se forme un triángulo equilátero?

A) 1

10 B)

3

10 C)

1

2 D)

1

4 E)

1

3

11. Se muestra en la siguiente tabla una encuesta sobre el gusto por las novelas

turcas en la TV, según los sexos, entre alumnos de 14 y 18 años:

Calcular la probabilidad de que siendo hombre le gusten las novelas turcas.

A) 42

196 B)

42

334 C)

42

138 D)

187

334 E)

138

334

12. Un colegio ofrece a sus estudiantes varias actividades culturales, entre ellas teatro

y danza. El 10% de los estudiantes del colegio participa en danza, el 8% participa

en teatro y el 4% de los estudiantes del colegio participa en danza y teatro. Si se

escoge al azar un estudiante del colegio, ¿cuál es la probabilidad de que éste

participe en teatro si se sabe que participa en danza?

A) 2

9 B)

2

5 C)

4

5 D)

2

3 E)

1

2

Mujeres Hombres

Le gusta las novelas turcas 145 42 187

No le gustan las novelas turcas 51 96 147

196 138 334



13. En una clase de 30 alumnos, 18 aprobaron matemática, 16 aprobaron inglés y 6

no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase

sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya

aprobado inglés?

A) 5

9 B)

1

3 C)

4

15 D)

4

5

14. En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo. ¿Cuál es la

menor cantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para que

al sacar una bolita al azar la probabilidad de que ésta sea negra, sea 4

3?

A) 1 blanca y 0 negra B) 0 blanca y 1 negra C) 0 blanca y 5 negras

D) 3 blancas y 5 negras E) 2 blancas y 2 negras

15. En una bolsa se echan 20 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 20. Calcular

la probabilidad de obtener un número par o múltiplo de 5 al sacar una de ellas.

A) 3

5 B)

7

10 C)

1

2 D)

1

4

16. Una persona tira tres veces una moneda y las tres veces obtiene cara. ¿Cuál es la

probabilidad de que la cuarta vez obtenga sello?

A) 1 B) 0 C) 2

1 D)

32

1 E)

16

1

17. Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3

fichas rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas.

A) 3

4 B)

2

7 C)

6

49 D)

1

7 E)

9

49

18. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer

y ver la televisión. Los resultados son: A 32 personas les gusta leer y ver la tele. A

92 personas les gusta leer. A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar

una de esas personas:

I) la probabilidad de que no le guste ver la tele es 73

120

II) La probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele es 32

47

III) La probabilidad de que le guste leer es 23

30




19. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera

inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y

el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son hombres y de los que estudian

francés son hombres el 40%. Al elegir un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de

que sea mujer?

A) 0,63 B) 0,69 C) 0,60 D) 0,27 E) 0,40

20. Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga

ningún 6.

A) 0 B) 1

1296 C)

10

3 D)

2

3 E)

625

1296

21. En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de

que sean números distintos.

A) 1

64.000 B)

3

4 C)

1

59.280 D)

4

3.705 E)

192

247

22. Se tienen tres cajas con dos bolitas, una de color azul y otra de color blanco, en

cada una de ellas y todas las bolitas son del mismo tipo. Si se extrae al azar una

bolita de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que éstas sean dos azules y una

blanca?

A) 2

9 B)

3

8 C)

1

4 D)

1

8 E)

3

4

23. Se lanza una moneda y dos dados comunes, uno a continuación del otro. ¿Cuál es

la probabilidad de que en la moneda salga cara y de que el número del primer

dado sea menor que el número del segundo?

A) 1

4 B)

33

36 C)

21

72 D)

15

72 E)

1

24

24. Si se responde al azar una prueba de verdadero falso, de 4 preguntas. ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de responder 3 correctas es 1

4

II) La probabilidad de responder a lo más 3 correctas es 15

16

III) La probabilidad de responder a lo menos 3 correctas es 5

16


25. Una moneda está cargada de tal forma que es cuatro veces más probable que se

obtenga una cara que un sello. Si la moneda se lanza dos veces, ¿cuál es la

probabilidad de obtener dos sellos?

A) 1

4 B)

1

25 C)

1

16 D)

1

5




Ejercicios 1 a 4

Ejercicios 5 a 8

Ejercicios 9 a 12

Ejercicios 13 a 16

Ejercicios 17 a 20

Ejercicios 21 a 23

Ejercicios 24 y 25

EVALUACIÓN SUFICIENCIA DATOS

Las alternativas correspondientes a todas las preguntas que a

continuación se plantean son las siguientes:

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)




Ejercicios.

1. En una urna hay 200 bolitas, las cuales son de dos colores, blancas y rojas. ¿Cuántas

son las bolitas rojas?

(1) Hay tantas bolitas blancas como rojas.

(2) La probabilidad de extraer al azar una bolita roja es de un 50%

2. En la siguiente tabla se muestra la edad de un grupo de personas. Se puede

determinar x si:

(1) El promedio es 7

(2) La mediana es 7

.

3. De cinco alumnos: A, B, C, D y E. ¿Cuál es el más alto?

(1) A es más bajo que B, pero más alto que E.

(2) E es más alto que C, pero más bajo que D.

4. ¿Cuántas veces se lanzó un dado?

(1) la moda fue 4 y la mediana fue 4.

(2) la media aritmética fue 3,5

5. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja de una caja, sin mirar en su

interior?

(1) En la caja hay 4 bolitas azules y 3 verdes.

(2) La mitad de las bolitas que hay en la caja no son rojas.

6. ¿Cuál es el valor de A?

(1) log A + log B = 1,5

(2) log A - log B = 0,5

7. Sean p, q, s, t números reales, entonces p + q < s + t si:

(1) s > t y p < t

(2) q < s y s – t > q

8. Se puede determinar que la expresión a−b

c , con a, b y c números enteros y c ≠ 0,

representa un número entero positivo, si

(1) (a - b) es múltiplo de c.

(2) a = ck y b = cp, con p y k números enteros positivos.

9. ¿Cuántos litros de capacidad tiene un tambor?

(1) Cuando el tambor está vacío, una llave que arroja 0,5 litros de agua por minuto,

lo llena en una hora y 40 minutos.

(2) Con 10 baldes de 2,5 litros de agua cada uno, se puede llenar la mitad del

tambor.



10. Tres personas A, B y C forman una sociedad. Si A aporta el 50% del capital, ¿cuál

es el capital de la sociedad?

(1) B aporta el 20% del capital.

(2) B aporta $ 30.000 y C aporta $ 50.000

11. En la tabla de frecuencias adjunta se muestra la distribución de

una variable X. Es posible calcular la frecuencia faltante f3, si:

(1) La media aritmética de X es 4,4.

(2) La mediana de X es 5.

12. Es posible calcular la edad promedio de los integrantes de una familia constituida

por los padres y dos hijos, si:

(1) El padre y la madre tienen una edad promedio de 35 años.

(2) Los dos hijos tienen la misma edad.

13. Se puede conocer el valor de log 200 si:

(1) log 8 = 0,9.

(2) log 1 = 0.

14. Se desea calcular la edad promedio actual de 4 hermanos:

(1) Hace 5 años tenían 3, 5, 8 y 12 años, respectivamente.

(2) Hace 3 años su promedio de edad era de 9 años.

15. Se puede determinar el promedio de la serie de datos

representada en la tabla adjunta, si se sabe que:

(1) El total de datos de la serie es 20.

(2) La moda y la mediana de la serie de datos es 5,0

16. Si m es un número de dos cifras, ¿cuánto suman sus

cifras?

(1) La diferencia de sus cifras es 7.

(2) La diferencia entre el número m y el número que se obtiene con las cifras

invertidas de m es 63.

17. En la ecuación (ax - bx)(a - b) = a2 - b2, con a y b números reales tal que a ≠ b,

se puede determinar el valor numérico de x, si se sabe que:

(1) a = 2b

(2) El 20% de (a + b) es 2.

18. La expresión ab+5 : ab+8 > 0, si:

(1) a es un número positivo.

(2) a es un número par.



19. ¿Cuántos tercios le faltan a la fracción b

a para completar 3 unidades?

(1) a = 3

(2) a : b = 1 : 2

20. Se lanza un objeto hacia arriba y su altura, en metros, se modela mediante la

función f(t) = -t2 + bt + c, donde t es el tiempo transcurrido desde que es lanzado,

en segundos, y f(t) su altura. Se puede determinar la altura máxima alcanzada por

el objeto, si se sabe que:

(1) El objeto es lanzado desde 10 metros de altura con respecto al suelo.

(2) Toca el suelo por primera vez a los 10 segundos.

21. Se tiene una caja con fichas del mismo tipo. Al extraer al azar una ficha de la caja,

se puede determinar la probabilidad de que ésta sea roja, si se conoce:

(1) La cantidad total de fichas que hay en la caja.

(2) La cantidad de colores de fichas que hay en la caja.

22. Considerando a ≠ 0, ab

a es un número real si:

(1) ab es positivo

(2) b > 0

23. Un estudiante que rindió la PSU de matemática el año pasado obtuvo 667 puntos.

Se puede asegurar que su puntaje fue superior al 85% de los puntajes obtenidos

por el resto de los postulantes si

(1) Su puntaje se ubica en el percentil 87.

(2) Su puntaje es superior al que se ubica en el tercer cuartil

24. Se tienen los siguientes números: 3, 7, 9, 5, x. Se puede determinar el valor de

x si:

(1) El promedio de los números es 8.

(2) La mediana de los números es 7.

25. El consumo promedio de carne de vacuno en los últimos cinco años de la población

de Santiago se puede saber si:

(1) La moda fue 23 kilos al año.

(2) El consumo anual de carne de vacuno en los últimos cinco años fue: 22, 23,

23, 24 y 26 kilos.



26. Sean R y Q rotaciones con centro en el origen del sistema de ejes coordenados y

ángulos de rotación de 270º en sentido antihorario y 90º en sentido antihorario,

respectivamente. Se puede determinar las coordenadas de un punto A, si se sabe

que:

(1) Al aplicar la rotación R al punto A, se obtiene el punto (2, 3).

(2) Al aplicar una traslación según el vector (1, -5) al punto A y al punto

resultante la rotación Q, se obtiene el punto (3, -2).

27. Se tiene una bolsa con fichas blancas, azules y negras de igual tamaño y peso. Se

puede determinar la probabilidad de sacar una ficha negra si:

(1) El número de fichas negras duplica al número de fichas blancas.

(2) El número de fichas blancas es la tercera parte del número de fichas azules.

28. ¿Se puede afirmar que n es un número par?

(1) n2 es un número par.

(2) (n + 2)2 es un número impar

29. En una caja hay 25 fichas entre blancas y negras solamente. ¿Cuántas son las

fichas blancas?

(1) La probabilidad de extraer una ficha blanca es del 40%.

(2) El número de fichas negras excede en 5 al número de fichas blancas.

30. Sea un triángulo ABC al cual se le aplica una homotecia obteniéndose el triángulo

A’B’C’, donde A’ es la imagen de A, B’ es la imagen de B y C’ es la imagen de C. Se

puede determinar las coordenadas del centro de homotecia, si se sabe que:

(1) El punto A tiene coordenadas (0, 0) y la razón de homotecia es 3.

(2) La distancia entre A y A’ es cero.

31. ¿Cuál fue el promedio de notas de Jaime?

(1) La suma de las notas es 30

(2) Si se elimina una nota, su promedio es 6

32. La nota de aprobación en un examen es 4, ¿cuántos alumnos obtuvieron nota

superior o igual a 4?

(1) El curso tiene 30 alumnos y reprobaron 15.

(2) El promedio de las notas fue 4.

33. En una caja hay en total 20 bolitas del mismo tipo, unas de color rojo, otras de

color azul y otras de color negro. Al sacar una bolita al azar de la caja, se puede

determinar la probabilidad de que esta sea de color negro, si se sabe que:

(1) Al extraer al azar una bolita de la caja, la probabilidad de que sea negra es

igual a la probabilidad de que sea roja.

(2) La cantidad de bolitas azules que hay en la caja es la mitad de la cantidad de

bolitas rojas que hay en la caja.



34. Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual tamaño y peso. Se puede

determinar la probabilidad de sacar una ficha roja si:

(1) El número de fichas rojas es mayor que el número de fichas verdes.

(2) El número total de fichas es 36.

35. Se sabe que la probabilidad de que ocurra el suceso A es 0,6 y la probabilidad de

que ocurra el suceso B es 0,8. Entonces para calcular la probabilidad de que

ocurran ambos sucesos A y B se efectúa el producto 0,6 × 0,8. El cálculo anterior

es válido si y solo si:

(1) A y B son sucesos independientes.

(2) A y B son sucesos mutuamente excluyentes.

36. Antonia salió a un restaurante a almorzar y debe elegir un menú consistente en a

lo menos una ensalada y a lo menos un tipo de carne. Se puede determinar la

cantidad de combinaciones distintas de este tipo de alimentos que puede elegir

Antonia, si se sabe que:

(1) Hay 9 ensaladas distintas y 3 tipos de carne.

(2) Antonia elige solo una ensalada y solo un tipo de carne.

37. El histograma de la figura muestra la distribución de las

edades de un grupo de personas, en donde no se han

indicado las edades de ellas. Se puede determinar la media

aritmética de las edades dadas en el gráfico, si se conoce:

(1) El valor de la mediana de la distribución.

(2) El valor de las marcas de clases de cada intervalo de

la distribución.

38. En una urna hay solo fichas de color rojo, verde y amarillo, todas del mismo tipo.

Si se saca una ficha al azar de la urna, se puede determinar la probabilidad de que

ésta sea roja, si se sabe que:

(1) En la urna hay 45 fichas.

(2) La razón entre la cantidad de fichas verdes y el total de fichas de la urna es 2

: 5.

39. Se puede determinar que Q es un número irracional, si se sabe que:

(1) (Q + 1)2 - (Q - 1)2 es un número irracional.

(2) (Q + 1)2 + (Q - 1)2 es un número racional.

40. Los sueldos de tres personas son distintos y su promedio es $ 410.000. Se puede

determinar el sueldo de estas personas, si se sabe que:

(1) La mediana es igual a la media aritmética.

(2) El sueldo menor es la mitad del sueldo mayor.



41. Se sabe que m + n = 120. Se pueden determinar los valores de m y n si:

(1) m + t = 50

(2) m + n = 2t

42. ¿Cuánto mide el lado más corto de un pentágono?

(1) Los lados del pentágono están en la razón de 2:3:4:5:6 y el lado más largo

mide 18 cm.

(2) El perímetro del pentágono es 60 cm.

43. ¿Cuál es el valor de (-1)-k ?

(1) k > 0

(2) 2k – 1 = 9

44. Una pelota se deja caer desde una altura A. La altura que alcanza la pelota en el

primer rebote es equivalente a 2/3 de A. Después de cada rebote la pelota alcanza

una altura equivalente a 2/3 de la altura del rebote anterior. Se puede determinar el

valor de la altura que alcanza al décimo rebote la pelota, si se conoce:

(1) la altura inicial A.

(2) la altura que alcanza en el tercer rebote.

45. Se tienen los siguientes números: 3, 7, 9, 5, x. Se puede determinar el valor de

x si:

(1) El promedio de los números es 8.

(2) La mediana de los números es 7.

46. Considerando a ≠ 0, ab

a es un número real si:

(1) ab es positivo

(2) b > 0

47. Si x es un número comprendido entre 80 y 90, se puede determinar el valor exacto

de x si:

(1) x es múltiplo de 4.

(2) x es múltiplo de 7.

48. ¿En qué razón están a, b, c?

(1) a : b = 3 : 8, b : c = 12 : 5

(2) a + b + c = 43

49. Una recta de ecuación y = mx + n intersecta a los ejes coordenados en los puntos

R y S. Se puede determinar la distancia de R a S, si se conoce el valor de:

(1) m y las coordenadas de un punto de la recta.

(2) n y se sabe que la recta pasa por (2

3, 0).



50. ¿Qué número real representa el número X?

(1) A = 2

5, B =

3

5

(2) AC =CD =DX =XB

51. La expresión ab+5 : ab+8 > 0, si:

(1) a es un número positivo.

(2) a es un número par negativo.

52. Considere la función f (x) = mx + n con dominio el conjunto de los números

reales. Se puede determinar el valor de n, si se conoce:

(1) el punto de intersección de la gráfica de f con el eje y.

(2) el valor de la pendiente de la gráfica de f y las coordenadas de un punto en

la gráfica de f.

53. Si m es un número de dos cifras, ¿cuánto suman sus cifras?

(1) La diferencia de sus cifras es 7.

(2) La diferencia entre el número m y el número que se obtiene con las cifras

invertidas de m es 63.

54. En el plano cartesiano un triángulo ABC isósceles tiene su base AB paralela al eje

de las abscisas, las coordenadas de A son (-1, 1) y la abscisa de B es 5. Se pueden

determinar exactamente las longitudes de los otros dos lados, si se sabe que:

(1) el perímetro del triángulo es 15 unidades.

(2) el punto C está en el primer cuadrante.

55. Sea a : b = 2 : 3. Se puede determinar los valores numéricos de a y b si:

(1) 2b : c = 6 : 5 y c = 15

(2) a + b = 15

56. Sean a, b y c tres números naturales. Se puede determinar el orden de ellos si:

(1) b no es el menor.

(2) 0 < a - b < a - c.

57. Se puede determinar la suma de las raíces de la ecuación: x2 + px + q = 0, si:

(1) el valor de p es el triple de q.

(2) el valor de q es 2.

A C D X B

L

R



58. Se puede determinar la mesada de Raúl si:

(1) La mesada de Raúl es $10.000 menos que la de Víctor, cuya mesada es el

triple de la de Raúl.

(2) Al sumar la mesada de Raúl con la de Víctor se obtiene cuatro veces la mesada

de Raúl.

59. La cuarta parte de x es (6 + a). El valor de y es la mitad de x. Entonces, el valor

de a se puede determinar si:

(1) x : y = 2 : 1

(2) el valor de a es 39 unidades menor que el valor de x.

60. En una caja hay solo bolitas verdes y rojas, todas del mismo tipo. Se puede

determinar la cantidad de bolitas verdes que hay en la caja, si se sabe que:

(1) en la caja hay en total 40 bolitas.

(2) al elegir una bolita al azar de la caja, la probabilidad de que esta sea roja es

2/5.

61. Para la muestra {0, 1, 2, a, 4, 5}. Se puede determinar su promedio aritmético si

(1) La moda de la muestra es 4.

(2) La mediana de la muestra es 3.

62. Miguel y Fabiola se reparten una caja de pastillas. ¿Cuántas pastillas recibe Fabiola?

(1) Se reparten las pastillas en la razón de 3:5, respectivamente.

(2) Fabiola recibe 20 pastillas más que Miguel.

63. ¿Cuál es el valor de a

b?

(1) b es la mitad de a

(2) b = 0,5

64. ¿Cuántos litros de capacidad tiene un tambor?

(1) Cuando el tambor está vacío, una llave que arroja 0,5 litros de agua por minuto,

lo llena en una hora y 40 minutos.

(2) Con 10 baldes de 2,5 litros de agua cada uno, se puede llenar la mitad del tambor.

65. Se puede determinar en que razón se encuentran las áreas de dos hexágonos

regulares si:

(1) sus lados están en la razón 1 : 3

(2) el perímetro del hexágono más pequeño es 120 cm.

66. Sean p, q, s, t números reales, entonces p + q < s + t si:

(1) s > t y p < t

(2) q < s y s – t > q



67. La ecuación x + b = mx + n, cuya incógnita es x, tiene una solución distinta de

cero, si:

(1) b ≠ n

(2) m ≠ 1

68. Sea la función f(x) = √px − 6, cuyo dominio es [6

p, ∞[, con p > 0. Se puede determinar

el valor de la constante p, si se sabe que:

(1) f(2.010) = 2

(2) la gráfica de f intersecta al eje x en el punto (1.206, 0).

69. Sean m y p números enteros positivos, se puede determinar el valor de ellos si:

(1) m : p = 11 : 19

(2) (m + p)2 = 22.500

70. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja de una caja sin mirar en su interior?

(1) En la caja hay 4 bolitas azules y 3 verdes.

(2) La mitad de las bolitas que hay en la caja no son rojas.

71. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que son médicos en un país si se

sabe que:

(1) El 52% de la población del país son mujeres.

(2) El 0,5% de la población son médicos.

72. Si P es un punto ubicado en el segundo cuadrante de un sistema de coordenadas,

¿cuáles son las coordenadas del punto P?

(1) Si se le aplica una traslación de vector (4,-1) se obtiene (2,3).

(2) Al rotar P en 180º se obtiene el punto (2,-4)

73. Se puede determinar el precio de una lata de bebida si:

(1) La lata de bebida vale $300 menos que el

litro de leche.

(2) El valor del litro de leche es múltiplo de $300.

74. Una pieza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede embaldosar

perfectamente si:

(1) Se dispone de baldosas con forma de triángulos equiláteros de lado 10 cm.

(2) Se dispone de baldosas con formas de triángulos rectángulos de catetos 10 cm.

y 20 cm.

75. Sean m y n números enteros, se puede determinar que 3n2−m2 es igual a 81, si se

sabe que:

(1) n - m = 2

(2) 3n

3−m = 9



76. Se puede determinar la medida de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es 60

cm, si se sabe que:

(1) la medida del lado menor es un tercio de la medida del lado mayor.

(2) el doble, de la medida del lado menor aumentada en 2,5 cm, es igual a la

medida del lado mayor, disminuida en 2,5 cm.

77. En un taller de arte se selecciona al azar un estudiante. Se puede determinar la

probabilidad de que éste vista pantalones negros, si se sabe que:

(1) El 85% de los integrantes de este taller visten pantalones.

(2) En este taller, el 60% de los que visten pantalones, los llevan de color negro.

78. Se puede determinar el valor numérico de la abscisa del vértice de la parábola de

ecuación y = ax2 + bx + c, si se conoce:

(1) El valor numérico de c.

(2) Los valores numéricos de los ceros de la función asociados a dicha parábola.

79. Se puede determinar el valor central de tres números impares consecutivos, si se

sabe que la suma de ellos es:

(1) A lo más 75.

(2) A lo menos 63.

80. Sea b el doble de a y el a% del b% de H es 24. Se puede determinar el valor de H

si se sabe que:

(1) a = 10

(2) a + b = 30



ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A - 01

1) A 11) E 21) E 31) C 41) E

2) D 12) C 22) B 32) A 42) B

3) E 13) A 23) A 33) B 43) A

4) B 14) B 24) D 34) A

5) E 15) C 25) A 35) B

6) A 16) A 26) C 36) E

7) B 17) D 27) E 37) C

8) B 18) B 28) E 38) E

9) D 19) B 29) B 39) A

10) B 20) A 30) E 40) A


1) C 11) A 21) B 31) C

2) C 12) B 22) C 32) E

3) B 13) C 23) D 33) B

4) D 14) D 24) C 34) D

5) A 15) E 25) E

6) A 16) A 26) E

7) B 17) D 27) A

8) B 18) B 28) C

9) B 19) E 29) C

10) E 20) D 30) C




1) E 11) A 21) C 31) D 41) B

2) E 12) C 22) E 32) B 42) C

3) B 13) D 23) C 33) D 43) D

4) C 14) D 24) A 34) A 44) A

5) E 15) C 25) C 35) B 45) B

6) C 16) A 26) B 36) A 46) D

7) D 17) C 27) B 37) A 47) A

8) E 18) C 28) C 38) A 48) C

9) D 19) E 29) C 39) B 49) A

10) C 20) C 30) E 40) A 50) D


1) B 11) B 21) C 31) E

2) E 12) E 22) D 32) B

3) D 13) A 23) B 33) D

4) A 14) C 24) D 34) A

5) D 15) E 25) E 35) A

6) D 16) E 26) E 36) A

7) D 17) D 27) A 37) C

8) A 18) B 28) D 38) C

9) B 19) E 29) D

10) D 20) C 30) C




1) C 11) B 21) D 31) D 41) E

2) D 12) D 22) B 32) D 42) D

3) B 13) D 23) E 33) B

4) C 14) D 24) D 34) E

5) B 15) D 25) C 35) D

6) A 16) B 26) B 36) A

7) B 17) A 27) E 37) A

8) C 18) B 28) E 38) B

9) C 19) C 29) D 39) D

10) E 20) B 30) D 40) C


1) C 11) B 21) E

2) D 12) E 22) C

3) D 13) B 23) C

4) E 14) E 24) B

5) C 15) A 25) E

6) D 16) B 26) A

7) B 17) A 27) B

8) A 18) D 28) E

9) D 19) E 29) C

10) B 20) D 30) D



ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A – 07

1) A 11) E 21) D 31) A 41) D

2) B 12) C 22) B 32) A 42) D

3) A 13) D 23) B 33) B

4) D 14) B 24) D 34) D

5) A 15) A 25) E 35) E

6) A 16) B 26) E 36) C

7) C 17) B 27) C 37) E

8) A 18) A 28) E 38) A

9) D 19) D 29) B 39) A

10) D 20) B 30) C 40) E


1) C 11) B 21) C

2) C 12) D 22) B

3) D 13) A 23) D

4) E 14) A 24) B

5) D 15) D 25) A

6) D 16) C

7) D 17) A

8) E 18) B

9) C 19) E

10) D 20) B




1) A 11) B

2) D 12) A

3) E 13) C

4) B 14) E

5) E 15) B

6) B 16) A

7) E 17) C

8) A 18) A

9) A 19) B

10) D 20) B


1) A 11) D

2) E 12) D

3) C 13) C

4) C 14) C

5) D 15) A

6) B 16) B

7) C 17) C

8) E 18) E

9) E 19) E

10) A 20) C - 21) D




1) B 11) E

2) C 12) C

3) B 13) C

4) D 14) A

5) D 15) B

6) D 16) A

7) B 17) D

8) B 18) C

9) D 19) B

10) A 20) E

ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA G - 01

1) B 11) A 21) B 31) B

2) D 12) B 22) D 32) D

3) E 13) A 23) C 33) B

4) C 14) A 24) B 34) B

5) D 15) C 25) C

6) B 16) D 26) E

7) B 17) B 27) B

8) E 18) E 28) E

9) D 19) E 29) E

10) B 20) B 30) D




1) E 11) B 21) B 31) A

2) C 12) D 22) C 32) A

3) E 13) C 23) B 33) A

4) C 14) C 24) C 34) B

5) E 15) A 25) C 35) D

6) D 16) A 26) E 36) C

7) C 17) E 27) D

8) A 18) D 28) A

9) C 19) D 29) B

10) E 20) D 30) D


1) A 11) A 21) C 31) D 41) D

2) E 12) E 22) A 32) B 42) D

3) D 13) C 23) C 33) D

4) D 14) D 24) B 34) E

5) A 15) C 25) C 35) E

6) B 16) E 26) E 36) E

7) A 17) E 27) D 37) D

8) B 18) D 28) E 38) C

9) E 19) A 29) D 39) A

10) C 20) E 30) C 40) B



ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA G – 04

1) C 11) A 21) D 31) E 41) B

2) B 12) B 22) D 32) A 42) D

3) C 13) D 23) D 33) B 43) B

4) C 14) A 24) C 34) B 44) A

5) A 15) C 25) A 35) B 45) A

6) A 16) D 26) C 36) D 46) C

7) B 17) D 27) C 37) D 47) D

8) C 18) D 28) A 38) C 48) B

9) D 19) B 29) B 39) A 49) B

10) A 20) A 30) C 40) A 50) A


1) A 11) E 21) A

2) B 12) A 22) D

3) D 13) C 23) B

4) A 14) D 24) D

5) E 15) D

6) B 16) B

7) E 17) D

8) E 18) D

9) C 19) C

10) E 20) C




1) B 11) D 21) C

2) A 12) D 22) D

3) E 13) E 23) A

4) B 14) E 24) A

5) D 15) C

6) E 16) A

7) D 17) E

8) D 18) D

9) C 19) C

10) C 20) E


1) A 11) C 21) B

2) B 12) E 22) A

3) B 13) B

4) B 14) E

5) D 15) C

6) B 16) E

7) E 17) E

8) C 18) A

9) E 19) B

10) B 20) A




1) C 11) C 21) E

2) B 12) B 22) B

3) C 13) A 23) D

4) D 14) E 24) E

5) E 15) A 25) B

6) A 16) C

7) A 17) E

8) A 18) E

9) E 19) B

10) A 20) E



RESPUESTAS GUÍA ADICIONAL EVALUACION DE SUFICIENCIA DE DATOS

1. D 11. A 21. C 31. E 41. C 51. A 61. A 71. E 2. A 12. E 22. B 32. A 42. A 52. D 62. C 72. D 3. E 13. A 23. A 33. C 43. B 53. E 63. A 73. E 4. E 14. D 24. A 34. E 44. D 54. A 64. D 74. B 5. B 15. A 25. B 35. D 45. A 55. D 65. A 75. C 6. C 16. E 26. D 36. C 46. B 56. B 66. C 76. D 7. C 17. A 27. C 37. B 47. B 57. C 67. C 77. C 8. E 18. D 28. A 38. E 48. A 58. A 68. D 78. B 9. D 19. B 29. D 39. A 49. D 59. B 69. C 79. E 10. B 20. C 30. C 40. C 50. C 60. C 70. B 80. D



TABLA DE REFERENCIA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE

Correctas Puntaje Correctas Puntaje

0 150 31 630

1 180 32 634

2 211 33 639

3 222 34 644

4 230 35 651

5 242 36 656

6 264 37 660

7 294 38 664

8 321 39 667

9 351 40 671

10 388 41 675

11 412 42 680

12 448 43 685

13 470 44 690

14 486 45 696

15 499 46 700

16 513 47 705

17 528 48 710

18 542 49 715

19 557 50 722

20 564 51 728

21 571 52 734

22 577 53 741

23 583 54 749

24 588 55 760

25 595 56 770

26 604 57 784

27 612 58 802

28 618 59 822

29 622 60 850

30 626

PRUEBA DE TRANSICIÓN

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