8/19/2019 prueba1_1deoctubre2013

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Cálculo Infinitesimal. Grupos D107 y M107

Prueba 1 de evaluación continua - 1 de octubre de 2013

Apellidos y nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Número de matŕıcula  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La duracíon de la prueba es de 1 hora y 15 minutos.

Los teléfonos móviles deben estar apagados y guardados.

Los resultados que no estén justificados obtendrán  muy poca o ninguna  puntuación.

Pregunta 1.   (2.5 puntos) Sea   f (x) = 2cos2 x − x2, x ∈   [0, π]. Determinar los intervalos de convexidad,intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.

Pregunta 2.  (2.5 puntos) Un polinomio cúbico puede tener un máximo y un mı́nimo local o no tener ningunode los dos. Hallar las condiciones sobre los coeficientes  a y b  de

f (x) = 1

3 x3 +

 1

2 ax2 + bx + c

que aseguren que  f   tiene un máximo y un mı́nimo local. Para a  y  b   verificando dichas condiciones, determinarla abscisa del mı́nimo local y la abscisa del máximo local.

Pregunta 3.  (1 punto) Calcular las siguientes integrales

   x

  3

 x2 − 11 dx

   x + 3√ 

1− x2 dx

Pregunta 4. (2 puntos)

1. Integración por partes: expresión y demostración.

2. Calcular 

  6x5

cos(x3

+ 1) dx

Pregunta 5.  (2 puntos) Calcular

   3x3 + x2 + x− 10

x2 + 2x + 3  dx.

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Cálculo Infinitesimal. Grupos D107 y M107

Prueba 1 de evaluación continua - 1 de octubre de 2013

Pregunta 1.   (2.5 puntos) Sea   f (x) = 2cos2 x − x2, x ∈   [0, π]. Determinar los intervalos de convexidad,intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.

Solución:   f  tiene derivada de orden 1 y orden 2 en todo el intervalo. Para determinar los intervalos de concavidad

y convexidad aśı como los puntos de inflexión estudiamos el signo de la derivada de orden 2 en el intervalo.f (x) = −4sen x cos x− 2xf (x) = 4sen2 x− 4cos2 x− 2 = 4 sen2 x− 4(1− sen2 x)− 2 = 8sen2 x− 6 = 2(4sen2 x− 3)

4sen2 x− 3 >  0 → sen2 x >  34  → sen x < −

√ 3

2  o sen x >

√ 3

2  → x ∈ (π/3, 2π/3)   (condición en [0, π])

4sen2 x− 3 <  0 → sen2 x <  34  → −

√ 3

2   0.

Al ser −a−

√ a2 − 4b

2  <

 −a +√ 

a2 − 4b2

  se tiene

f  > 0  ↔   x ∈−∞, −a−

√ a2 − 4b

2

−a +√ a2 − 4b2

  ,  +∞

  (f   es creciente)

f 

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Pregunta 3.  (1 punto) Calcular las siguientes integrales

   x

  3

 x2 − 11 dx

   x + 3√ 

1− x2 dx

Solución:  Ambas integrales son inmediatas.

   x

  3

 x2 − 11 dx =

   x(x2 − 11)1/3 dx =  1

2

3

4(x2 − 11)4/3 + C  = 3

83

 (x2 − 11)4 + C 

   x + 3√ 

1− x2 dx = 

  x√ 1− x2 dx +

   3√ 

1− x2 dx = − 

1− x2 + 3arcsen x + C 

Pregunta 4. (2 puntos)

1. Integración por partes: expresión y demostración.

2. Calcular

   6x5 cos(x3 + 1) dx

Solución:

1. Teoŕıa desarrollada en clase.

2. Se aplica una integración por partes con:

f 

(x) = 3x2

cos(x3

+ 1)   f (x) = sen(x3

+ 1)g(x) = 2x3 g(x) = 6x2 

  6x5 cos(x3 + 1) dx   =

   2x3 3x2 cos(x3 + 1) dx =

= 2x3 sen(x3 + 1) − 

  6x2 sen(x3 + 1) dx

= 2x3 sen(x3 + 1) + 2 cos(x3 + 1) + C 

Pregunta 5.  (2 puntos) Calcular

   3x3 + x2 + x− 10

x2 + 2x + 3  dx.

Solución:  Realizando la división de polinomios y descomponiendo en sumandos se obtiene:

3x3 + x2 + x−

10

x2 + 2x + 3   = 3x− 5 +  2x + 5

x2 + 2x + 3

= 3x− 5 +   2x + 2x2 + 2x + 3

 +  3

2 + (x + 1)2

= 3x− 5 +   2x + 2x2 + 2x + 3

 +  3√ 

2

1√ 2

1 +

x + 1√ 

2

2Por tanto, la integral pedida queda

   3x3 + x2 + x− 10

x2 + 2x + 3  dx =

 3

2x2 − 5x + ln(x2 + 2x + 3) +   3√ 

2arc tg

x + 1√ 

2

+ C