Licenciatura en Biologıa

Matematicas. Primer curso. Curso 2008-2009

Grupo B. Sesion de teorıa del jueves 20/11/2008.

Estabilidad y puntos de equilibrio en ecuaciones autonomas

Vamos a tratar de profundizar en el analisis cualitativo del comportamiento de las solucines deuna ecuacion autonoma:

dx

dt= f(x)

dependiendo de la condicion inicial x(0) = x0. Nos interesa especialmente el comportamientoa largo plazo de una solucion, que viene dado por el lımite lım

t→+∞x(t).

Puntos de equilibrio: En el analisis de ese comportamiento a largo plazo, estos puntos sonespecialmente relevantes. Se definen como aquellos puntos x0 que verifican la ecuacion:

f(x0) = 0

Observese que si x0 es un punto de equilibrio, y se define:

x(t) = x0( es decir, es una funcion constante que no depende de t)

entonces x(t) es una solucion de la ecuacion diferencial. Esa solucion corresponde a una lıneahorizontal (a altura x0) en el plano (t, x). Y ninguna otra solucion puede cruzar esa lıneahorizontal. Por lo tanto, los puntos de equilibrio definen una serie de bandas horizontales enel plano (t, x), con la propiedad de que si una solucion se encuentra inicialmente en una deestas bandas, entonces permanece confinada en esa banda para todos los valores de t. En estafigura se muestran esas bandas, y las curvas solucion, de una ecuacion diferencial que tiene trespuntos de equilibrio a alturas x = 1, x = 2, x = 3. Se han sombreado alternativamente lasbandas verticales para ayudar a distinguirlas:

1

Para describir el comportamiento de una solucion que se mueve dentro de una de esas bandases importante introducir la idea de estabilidad.

Estabilidad: Sea x0 un punto de equilibrio de la ecuacion autonoma

dx

dt= f(x)

(es decir, f(x0) = 0). El punto x0 es (localmente) estable si todas las soluciones de la ecuacionque tienen valor inicial suficientemente cerca de x0 cumplen

lımt→+∞

x(t) = x0

Por ejemplo, el punto de equilibrio x = 3 de la anterior figura es estable.

Si por el contrario, existen soluciones con valor inicial tan cercano a x0 como queramos y quese alejan de x0 al avanzar t, entonces decimos que el punto de equilibrio x0 es inestable. Porejemplo, el punto de equilibrio x = 1 de la anterior figura es estable.

Hay situaciones en las que todas las soluciones con valor inicial cercano a x0 y mayor que x0

se alejan de x0 al avanzar t. Y sin embargo, las que empiezan cerca de x0, pero por debajo,cumplen lım

t→+∞x(t) = x0. Es decir, que el dibujo cerca de x0 es una mezcla de estabilidad e

inestabilidad. En estos casos decimos que el punto de equilibrio x0 es semiestable. Por ejemplo,el punto de equilibrio x = 2 de la anterior figura es semiestable. Es, ademas, semiestable pordebajo, porque las soluciones que se acercan a x0 son las que empiezan (cerca y ) por debajode x0. De la misma forma se tienen puntos de equilibrio semiestables por arriba.

Plano (o diagrama) de fase: es la representacion grafica, en el plano de coordenadas (x, y)(¡que es distinto del (t, x)!), de la funcion y = f(x) que aparece en el segundo miembro de

la ecuacion diferencialdx

dt= f(x). El diagrama de fases nos sirve de ayuda para el analisis

cualitativo de la ecuacion diferencial. En las proximas clases veremos como.

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