Escola Mare del Diví Pastor

AUTOR: José Luis Fernández Sánchez

2.INTRODUCCIÓ

3.FRACCIONS EQUIVALENTS

4.PAS DE FRACCIÓ A DECIMAL

5.FRACCIÓ GENERATRIU

6.NOMBRE MIXT

7.ORDENACIÓ A LA RECTA

8.COMPARACIÓ DE FRACCIONS

9.OPERACIONS COMBINADES

10.POTÈNCIES

11.RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

RECORDA: • Una fracció està formada per un numerador (a dalt) i un

denominador (sota) a a = numerador (quantes parts tenim)b b = denominador (del total de parts que dividim)

Hem dividit en 4 parts per tant el denominador és 4• Si agafem el segment blau la fracció resultant seria 1/4• Si agafem el segment blau i el taronja la fracció resultant és 2/4 • Si agafem el blau, el taronja i el violeta en tindríem 3/4 • Si agafem els quatre segments en tindrem 4/4 . Fixa’t que 4/4 = 1.

Per tant 1 representa tot l’objecte

ÍNDEX

Si agafem un segment la fracció seria 1/4

Si agafem dos segments la fracció seria 2/8

Fixa’t que les dues fraccions representen la mateixa quantitat, llavors diem que són fraccions equivalents

Condició d’equivalència de fraccions:

dbdad

c

b

a··

Exemple: 2/-3 és equivalent a -8/12?

sequivalentfraccionsSón2424)8(·312·212

8

3

2

ÍNDEX

ÍNDEX

• Per passar de fracció a decimal només cal dividir el numerador entre el denominador. Fent això trobem tres tipus de fraccions:

1. Fraccions impròpies : Són fraccions que donen més gran que 1

Exemple: 8/3

8 320 2,666... 8/3 = 2,666... (decimal periòdic pur)

2020

2...

Perquè una fracció sigui impròpia, el numerador ha de ser més gran que el denominador

ÍNDEX

2. Fraccions pròpies : Són fraccions que donen més petit que 1

Exemple: 4/5

4 540 0,8 4/5 = 0,8 (decimal exacte)

0Perquè una fracció sigui impròpia, el numerador ha de ser més petit que el denominador

3. Fraccions iguals que 1 : Són fraccions que donen 1

Exemple: 4/4

4 40 1 4/4 = 1

Perquè una fracció sigui igual que 1, el numerador ha de ser igual que el denominador

ÍNDEX

• Per passar de decimal a fracció (és a dir trobar la fracció generatriu) cal diferenciar tres situacions en funció del tipus de decimal que tenim:

1. Decimal exacte :a. Numerador: escrivim el número sense la comab. Denominador: posem un 1 i tants 0 com xifres decimals tenim.c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible

Exemple : troba la fracció generatriu de 2,24

a. Numerador: escrivim el número sense la coma : 224b. Denominador: posem un 1 i tants 0 com xifres decimals tenim: 100c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible:

Comprova-ho amb la calculadora 56/25 = 2,24

ÍNDEX

2. Decimal periòdic pura. Numerador: escrivim el número sense la coma

li restem el que estigui fora del períodeb. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del períodec. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible

a. Numerador: escrivim el número sense la coma : 3312li restem el que estigui fora del període 3312 – 33 = 3279

a. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del període: 99b. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible:

Comprova-ho amb la calculadora 1093/33 = 33,121212...

Exemple : troba la fracció generatriu de 33,1212121212... = 33,12

33

1093

99

3279

99

333312

ÍNDEX

3. Decimal periòdic mixta. Numerador: escrivim el número sense la coma

li restem el que estigui fora del períodeb. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del període

posem tants 0 com números hi ha entre el període i la coma.c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible

a. Numerador: escrivim el número sense la coma : 8452li restem el que estigui fora del període 8452 – 845 = 7607

b. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del període: 9posem tants 0 com números hi ha entre el període i la coma: 00

c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible:

Comprova-ho amb la calculadora 7607/990 = 8,45222...

Exemple : troba la fracció generatriu de 8,45222222.. =

900

7607

900

8458452

245,8

ÍNDEX

• Un nombre mixt està format per una part entera i una fracció impròpia:

c

ba

1. Pas de fracció a mixt

2. Pas de mixt a fracció

3

15

3

16 Fem la divisió 16/3 dóna 5 i residu 1Enter: és el quocient de la divisió: 5Numerador: és el residu de la divisió. 1.Denominador: Deixem el mateix de la fracció inicial: 3

Enter: aNumerador: bDenominador: c

4

35

4

38

Numerador: fem enter x denominador + numerador8 x 4 + 3 = 35

Denominador: Deixem el mateix de la fracció inicial: 4

ÍNDEX

1. Fraccions pròpies

Ordenarem a la recta una fracció positiva 1/3 i una negativa -3/5

1/3 Es troba entre 0 i 1. Cal fer tres divisions i agafar-ne una-3/5 Es troba entre 0 i -1. Cal fer cinc divisions i agafar-ne 3

Dibuixem la recta numèrica:

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3

ÍNDEX

1. Fraccions pròpies

1/3 Dibuixem una recta de 3 cm que parteixi del 0 cap a la dreta.-3/5 Dibuixem una recta de 5 cm que parteixi del 0 cap a l’esquerra.

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3

ÍNDEX

1. Fraccions pròpies

1/3 Unim l’extrem del segment dibuixat amb l’1 -3/5 Unim l’extrem del segment dibuixat amb el -1Tracem paral·leles que passin per cada segment dibuixat

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3 -3/5 1/3

ÍNDEX

2. Fraccions impròpies

Anem a situar 5/2 i -7/4 sobre la recta.

Dibuixem la recta numèricaExpressem les fraccions com nombres mixts

2

12

2

5

4

31

4

7Dues unitats i entre el dos i el tres dividim en dues parts i agafem una

Una unitat negativa i entre el -1 i el-2 dividim en 4 parts i agafem 3

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3

-7/4 5/2

ÍNDEX

Per comparar fraccions cal que tinguin el mateix denominador. Anem a fer un exemple:

Ordena les següents fraccions de més petita a més gran:

4/3 , - 5/8, 5/6, - 4/5, 6/5, -4/7

Comencem per ordenar els negatius

- 5/8, - 4/5, -4/7

mcm (8,5,7) = 8 · 5 · 7 = 280. Calculem els numeradors fent 280 dividit entre el denominador i multiplicat pel numerador:

- 175/280, - 224/280, -160/280 → -224/280 <-175/280 < -160/280

Per tant quedaria:

-4/5 <-5/8 < -4/7

ÍNDEX

Continuem pels positius

4/3 , 5/6, 6/5

mcm (3,6,5) = 2 · 3 · 5 = 30. Calculem els numeradors fent 30 dividit entre el denominador i multiplicat pel numerador:

40/30, 25/30, 36/30 → 25/30 <36/30 < 40/30

Per tant quedaria:

5/6 < 6/5 < 4/3

Havíem d’ordenar: 4/3 , - 5/8, 5/6, - 4/5, 6/5, -4/7

L’exercici resolt tindria com a solució:

-4/5 <-5/8 < -4/7 < 5/6 < 6/5 < 4/3

ÍNDEX

Recorda:

1. Suma i resta amb el mateix denominador:

Suma:Per sumar nombres racionals amb el mateix denominador, es deixa el mateix denominador i se sumen els numeradors:

–5 + 4 = – 1 Suma de numeradors3 3 3 Mateix denominador

Resta:Per restar nombres racionals amb el mateix denominador, es deixa el mateix denominador i es resten els numeradors:

–5 _ 4 = – 9 = – 3 Resta de numeradors3 3 3 Mateix denominador

ÍNDEX

2. Suma i resta amb diferent denominador:

1) Eliminar la presència de dos signes junts:(menys i menys = més)

–5 _ 4 _ – 1 = –5 _ 4 + 1 =

24 8 12 24 8 12

–5 _ 4 _ – 1 =

24 8 12

2) Calcular el denominador comú i els numeradors:mcm (24,8,12) = 24–5 _ 4 + 1 = –5 _ 12 + 2 =

24 8 12 24 24 24

3) Calculem el resultat final i simplifiquem si es pot:–5 _ 12 + 2 = –15 = –524 24 24 24 8

Recorda24 2 8 2 12 2 12 2 4 2 6 26 2 2 2 3 33 3 1 1124 = 23 . 38 = 23

12 = 22 . 3mcm = 23 . 3 = 24

ÍNDEX

Recorda:

3. Multiplicacions i divisions:

DivisionsPer dividir nombres racionals multipliquem en creu.Abans però es millor simplificar si es pot (es simplifiquen els numeradors entre sí i denominadors entre sí)

–2 : 4 = –1 : 2 = – 7 3 7 3 7 6

Multiplicacions:Per multiplicar nombres racionals , multipliquem numerador per numerador i denominador per denominador. Abans però es millor simplificar si es pot (es simplifiquen els numeradors amb els denominadors )

–2 . 5 = –1 . 5 = –53 6 3 3 9

ÍNDEX

4. Operacions combinades1) Resolem les operacions que estiguin dins d’un parèntesi o claudàtor, de

dintre cap a fora2) Ordre de les operacions:a) Primer potències o arrelsb) Simplifiquem fraccions, multiplicacions i divisions abans d’efectuar-lesc) Resolem multiplicacions o divisionsd) Efectuem sumes i restese) Simplifiquem per obtenir la fracció irreductible

3

8:

5

2

4

1·

5

4·2

3

2

9

1·3·

5

3

3

8:

5

2

4

1·

5

4·2

3

2

3

1·3·

5

32

a) Resolem primer la potència :

Exemple:

3

8:

5

2

4

1·

5

4·2

3

2

3

1·3·

5

32

ÍNDEX

b) Simplifiquem fraccions, multiplicacions i divisions abans d’efectuar-les

3

4:

5

1

4

1·

5

4·2

3

2

3

1·

5

3

3

8:

5

2

4

1·

5

4·2

3

2

9

1·3·

5

3

c) Resolem multiplicacions o divisions :

3

4:

5

1

4

1·

5

4·2

3

2

3

1·

5

3

20

3

4

1·

5

8

3

2

3

1·

5

3

d) Efectuem sumes i restes als parèntesis traient si cal denominador comú i calculant els numeradors

20

2·

5

8

3

1·

5

3

20

3

20

5·

5

8

3

2

3

1·

5

3

20

3

4

1·

5

8

3

2

3

1·

5

3

ÍNDEX

25

4

5

1

5

2·

5

2

1

1·

5

1

20

2·

5

8

3

1·

5

3

e) Simplifico les multiplicacions i després les efectuo

25

9

25

4

25

5

25

4

5

1

f) Traiem denominador comú i efectuem la resta:

ÍNDEX

4

32

53

2

3

2

4

1

4

42

1

2

63

2·

1

1

3

2

4

11

2

13

3

10·

5

1

3

2

Resolem la multiplicació (simplificant primer) i traiem denominador comú per calcular les restes:

Anem a resoldre un castell:

4

11

2

13

3

10·

5

1

3

2

ÍNDEX

Transformem les ratlles de divisió en dos punts de divisió anant de sota cap a dalt i efectuem les divisions simplificant prèviament:

3

103

2

3

2

2

3:

1

53

2

3

2

4

3:

2

53

2

3

2

Tornem a expressar la ratlla de fracció en dos punts de divisió, simplifiquem i calculem la divisió. Per últim calculem la resta traient denominador comú:

15

7

15

3

15

10

5

1

3

2

1

5:

1

1

3

2

3

10:

3

2

3

2

3

103

2

3

2

ÍNDEX

1. Cas general

–3 4= (–3) . (–3) . (–3) . (–3) = 81

2 2.2.2.2 16

–3 5= (–3) . (–3) . (–3) . (–3)·(– 3) = – 243

2 2.2.2.2·2 32Fixa’t: base es negativa i l’exponent senar, resultat negatiu

2. Potència d’exponent 0 i 1

Qualsevol potència elevada a 0 val 1:–1 0

= 13

Qualsevol potència elevada a 1 val ella mateixa:

–6 1= –6

5 5

ÍNDEX

4. Divisió de potències amb la mateixa base

Es deixa la mateixa base i es resten els exponents:

–7 3 : –7 2= –7 1

= – 74 4 4 4

3. Multiplicació de potències amb la mateixa base

Es deixa la mateixa base i se sumen els exponents:

–1 2 . –1 3= –1 5

= – 13 3 3 243

5. Potència d’una potència

Es deixa la base i es multipliquen els exponents:

–1 2

3

ÍNDEX

6. Potència d’exponent negatiu

Es fa la inversa de la funció i es deixa l’exponent positiu:

–5 -2= 2 2

= 4 2 – 5 25

7. Potència d’exponent fraccionari

Es transforma en arrel on el denominador de la potència és l’índex i el numerador és l’exponent:

4

34

3

5

2

5

2

Potència d’una suma o resta

Es calcula la suma o resta i després s’aplica la potència:

100

9

10

3

10

1

10

4

10

1

5

2222

ÍNDEX

1. Comparació de fraccions:

L’Alba diu que ha corregut 4/7 de la cursa del Corte Inglés i la Mar 5/9.Quina d’elles va per davant?

DadesAlba : 4/7 de la cursaMar : 5/9 de la cursaQuina va al davant?

EstratègiaComparar les fraccionstraient denominador comúLa fracció més gran harecorregut més cursa i va perdavant

Resolució

9

5

7

4

63

35

63

36

9

5

7

4i

Resposta

L’Alba va lleugerament per davant. Però no et despistis!!!

ÍNDEX

3. Augments o descomptes

Quan comencen les rebaixes, ens fan un 10% de descompte sobre el preuinicial. Quan ja han passat 15 dies, comencen les segones rebaixes i ens fan unaaltra rebaixa d’un 15% sobre el preu ja rebaixat.a) Quin percentatge de descompte ens fan respecte el preu inicial?b) Si el cost de l’objecte eren 60€, quant haurem de pagar?

ResolucióDescompte 1 10/100 per tant pago

Descompte 2

Descompte =

100

90

100

10

100

100

100

5,13

10000

1350

100

90

100

15de

100

5,23

100

5,13

100

10

€9,451,1460€1,1460100

5,23descomptedede

Resposta El descompte total és 23,5% i pagarem 45,9 €

DadesDescompte 1: 10%Descompte 2 : 15% del nou preu.% de descompte?Quant paguem en 60€?

EstratègiaCalcular el segon descompte respecte el totalSumar els dos descomptesCalcular el descompte en 60€. Restar-li al preu el descompte

ÍNDEX

3. Fraccions del total (competències bàsiques 2012)En l’organització d’una festa s’han format tres grups. El primer grup aportala meitat de les despeses, el segon grup hi contribueix amb les 2/5 parts deles despeses i el tercer grup paga la resta.a) Quina fracció de les despeses aporta el tercer grup?b) Si el segon aporta 40€, quants aporta el primer grup?

DadesGrup 1: 1/2 de les despesesGrup 2 : 2/5 (40€)Grup 3 la restaFracció grup 3?Diners del primer grup?

EstratègiaRestar al total (1) la suma del primer i segon grup.2/5 de les despeses són 40€Calcularé les despeses i després faré 1/2 d’elles.

Resolució

10

9

10

4

10

5

5

2

2

1

10

1

10

9

10

10

€100402

5€40

5

2dedespesesdespesesde

€501002

1de

Resposta El tercer grup aporta 1/10 de les despeses i el primer aporta 50€

ÍNDEX

4. Fraccions del que queda.La Carla surt de casa i es gasta 5/8 del que porta en uns pantalons, i més tard 1/3 del que li queda en una samarreta. Si arriba a casa amb 10 euros, amb quants diners va sortir de casa?

EstratègiaCalcular el que gasta i el que li queda al final de cada compra.Trobar la fracció equivalent a 10 eurosAïllar per trobar els diners inicials

DadesGasta 5/8 en pantalons1/3 del que queda en una samarretaArriba amb 10€Amb quants surt?

Resolució pantalons:Gasta 5/8Li queda 8/8 – 5/8 = 3/8samarretaGasta

Li queda

8

1

24

3

8

3

3

1de

4

1

8

2

8

1

8

3

€40101

410

4

1dedinersdinersdels

Resposta La Carla surt amb 40 euros de casa.

ÍNDEX

FRACCIONS, FRACCIONS EQUIVALENTS I NOMBRES MIXTS

LAS AVENTURAS DE TRONCHO Y PONCHO(SIN COMENTARIOS)