IDENTIFICANDO CONCEPTOS Trabajo: se dice que es una fuerza que altera el estado de movimiento de un cuerpo. El trabajo de la

fuerza sobre ese cuerpo será equivalente a la energía necesaria para desplazarlo de manera acelerada. El trabajo es una magnitud física escalar que se representa con la letra W y se expresa en unidades de energía, esto es en joules (J) en el Sistema Internacional de Unidades. Ya que por definición el trabajo es un tránsito de energía, nunca se refiere a él como incremento de trabajo, ni se simboliza como ΔW.

Fuerza: es una magnitud vectorial, es la acción que genera un cuerpo sobre otro, estando o no en contacto directo y que puede generar o no algún movimiento dependiendo de las condiciones del problema. En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de medida de fuerza es el newton que se representa con la letra N.

Velocidad: es una magnitud física vectorial que expresa el desplazamiento de un móvil por unidad de tiempo. Como dimensiones y apoyo de referencia tiene la longitud y el tiempo y se representa en Sistema Internacional de Unidades como (m/s).

Desplazamiento: es el vector que define la posición de un punto o partícula en relación a un origen A con respecto a una posición B. El vector se extiende desde el punto de referencia hasta la posición final. Cuando se habla del desplazamiento en el espacio solo importa la posición inicial y la posición final, ya que la trayectoria que se describe no es de importancia.

El concepto de trabajo mecánico en la vida diaria es muy intuitivo. Cuando una persona sube un objeto pesado desde la calle hasta un edificio, efectúa un trabajo. En el lenguaje corriente, la realización de un trabajo se relaciona con el consumo de energía. En términos físicos, el trabajo W se define como el producto escalar de la fuerza aplicada por la distancia recorrida.W=F ∙ ds=F ∙dcos α Donde ∝es el ángulo que forman la dirección de la fuerza y el desplazamiento.Así pues, el trabajo es una magnitud escalar, que alcanza su valor máximo cuando la fuerza se aplica en la dirección y el sentido del movimiento.

Consideremos una partícula de masa m que se mueve a lo largo de una trayectoria curva C bajo la acción de la fuerzaF, Como se muestra en la figura

Debe observarse que en el instante de tiempo t, su posición instantánea serár, y en un tiempo muy corto dt la partícula se moverá desde la posición A hasta la posición A’, experimentando un desplazamiento representado por el vector AA, es expresado por la ecuación:

S

AA=dr 1º ecuación

En mecánica, el trabajo dU, efectuado por la fuerza F durante el desplazamientodr , es definido como el producto escalar de la fuerza escalarmente el desplazamiento, es decir:dU=F ∙ dr 2º ecuación Designando a la magnitud del vector desplazamiento |dr|, a la cantidad ds , el trabajo puede expresarse en la formadU=|F||dr|cosθ=F ∙ dscos θ 3º ecuaciónEn donde, θ es el ángulo formado por los vectores fuerza F y el desplazamiento dr . Por tanto, de la ecuación anterior se deduce que:

Si el ángulo θ es agudo (0<90 ) , el trabajo es positivo Si el ángulo θes obtuso (90<180 ) , el trabajo es negativo Si el ángulo θ es de 90 el trabajo es nulo

Existen tres casos de intereres especial.

Si la fuerza F tiene la misma dirección y sentido que el desplazamiento dr , el trabajo se escribe:dW=F ∙ ds

Si la fuerza F tiene la misma dirección, pero el sentido opuesto a el desplazamiento dr , el trabajo se escribe:

dW=−F ∙ ds Si la fuerza F es perpendicular a el desplazamiento dr , el trabajo es nulo o igual a 0

Trabajo de una fuerza variable

Si la fuerza que actúa sobre la partícula de masa m es variable y produce un desplazamiento finito a lo largo de la trayectoria desde la posición sAhasta la posición sB, como se muestra en la figura (a).

El trabajo U A→Bdesarrollado por la fuerza F, se obtiene sumando (integrando) las ecuaciones (dU=F ∙ dr ) y ¿, es decir:

U A→B=∫A

B

F ∙ dr=∫S A

S B

F ∙ds cosθ 4 º ecuación

Si ahora graficamos la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento (F t=Fcosθ ¿¿ ), en función de la posición s, como se muestra en la figura (b), la integral de la ecuación (4) representa el área bajo la curva entre las posiciones A y B.

(b)

Si la fuerza F es expresada en compo en components rectangulares F=Fx i+F y j+F z k, y el vector desplazamiento en componentes rectangulares dr=d x i+d y j+dz k , el trabajo de la fuerza, puede expresarse en la forma:

U A→B=∫A

B

Fx i+F y j+F z k ∙d x i+d y j+d z k=∫A

B

Fx dx i+F y dy j+F zdz k 5º ecuación

Trabajo de una fuerza constante en un movimiento rectilíneo

Si una caja es arrastrada por el piso como se muestra en la figura mediante la aplicación de una fuerza constante de magnitud y dirección constante P.

Figura

El trabajo desarrollado por la fuerza P durante el desplazamiento dr , viene expresado como:

U 1→ 2=∫X1

X2

P∙ dr=∫X1

X2

P ∙dx cosα=P ∙cosα∫X 1

X 2

dx

U 1→2=F ∙cosα ( X2−X1 )=F ∙cosα (L ) 6º ecuación

Trabajo de una fuerza constante en un movimiento curvilíneoCuando una partícula de masa m se mueve en una trayectoria curvilínea bajo la acción de una fuerza Fde magnitud y dirección constante desde la posición A hasta la posición B, como se muestra en la figura, el trabajo de dicha fuerza para este desplazamiento será:

U A→B=∫A

B

F ∙ dr=F∫A

B

dr

U A→B=F (rB−r A ) 7º ecuación

La ecuación (7) indica que si la fuerza es constante en magnitud y dirección y el movimiento es curvilíneo, el trabajo es independiente de la trayectoria seguida y depende únicamente del producto escalar de la fuerza F por el desplazamiento dr=(r B−r A )

Trabajo de la fuerza gravitacional (peso).

Consideremos el movimiento curvilíneo hacia arriba de una partícula de masa m, desde la posición 1 ubicada a una altura y1hasta la posición 2 ubicada a una altura y2 mediada con respecto al plano horizontal, como se muestra en la figura

Figura

El trabajo desarrollado por la fuerza gravitacional (mg) durante el movimiento de m desde la posición 1 hasta la posición 2 será:

dU=−(mg ) j ∙ (dx i+dy j )=−mg∙dy∫X 1

X 2

P∙dx cosα=P ∙cosα∫X 1

X 2

dx

U 1→2=−∫y1

y2

mg∙dy=mg y2−mg y1

U 1→2=−mg ( y2− y1 )=−mg∙∆ y 8 º ecuación

La ecuación (7) indica que el trabajo del peso es independiente de la trayectoria seguida y solo depende del producto del peso (W = mg) por la altura vertical ∆y. El trabajo será positivo cuando ∆y < 0, es decir cuando el cuerpo desciende y será negativo cuando ∆y > 0, es decir cuando el cuerpo asciende.

Trabajo de una fuerza elástica

Cuando una partícula se encuentra unida a un resorte deformado, como se muestra en la figura, ella experimentará una fuerza elástica F e

Si el resorte es lineal, la ley de Hooke establece que dicha fuerza es proporcional a la deformación del resorte y de sentido opuesto a éste, expresada por la ecuaciónF e=−kx ∙i 8Donde k es la constante de proporcionalidad denominada rigidez del resorte y x es la deformación experimenta a tracción o compresión por el resorte

El trabajo de la fuerza elástica durante un desplazamiento dr será:

dU=( F ¿¿e i)(dx i)=−kxdx¿ 9º ecuación

Para determinar el trabajo de la fuerza elástica durante un desplazamiento finito como el mostrado en la figura. Es decir, durante el desplazamiento que va desde la posición A1 cuando la deformación es x1 hasta la posición A2 donde la deformación es x2, se obtiene integrando la ecuación (9), obteniéndose:

U 1→2=−∫x1

x2

kx ∙dx=−[ 12 k x22−12 k x12] 1 0 º ecuación

Al graficar la magnitud de la fuerza elástica de la ecuación (8) se obtiene una línea recta que pasa por el origen de coordenadas y su pendiente es la rigidez k del resorte. El trabajo de la fuerza elástica también se puede determinar mediante el área del trapecio de dicha gráfica entre las posiciones A1 yA2 como se muestra en la figura. Es decir matemáticamente este trabajo se expresa en la forma:

U 1→ 2=−12

F1 ∙ F2∙∆ x 1 1 º ecuación

Las ecuaciones (10) y (11) expresan que al igual que el trabajo de un peso, el trabajo de una fuerza elástica es independiente del camino seguido es decir solo depende de las deformaciones inicial y final que experimenta el resorte.Trabajo de una fuerza gravitacional de acción a distancia

Cuando una partícula de masa m (luna) gira alrededor de otra de masa M (tierra) a una distancia r, como se muestra en la figura (a), experimentará una fuerza central dirigida hacia el centro O de la tierra como se muestra en la figura (b) que según la ley de gravitación universal se expresa en la forma

1 2 º ecuación

Donde: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2, r es la distancia entre el centro de los cuerpos y er es un vector unitario radial y saliendo de O.

Para determinar el trabajo de la fuerza gravitacional consideremos el movimiento de m desde A hasta B como se muestra en la figura (c). El trabajo desarrollado por la fuerza gravitacional Fg durante un desplazamiento d s, es:dU=−F ∙ ds

dU=−[G Mm

r2er] 1 2

El trabajo total será:

W A→B=∫r A

r B

Fg ∙ d s=∫rA

rB

−GMm

r2er ∙ [ dr er+rdφeφ ]

W A→B=−GMm∫r A

rBdr

r2=GMm∫

r A

rB1r

W A→B=GMm( 1r A− 1rB ) 1 4 º ecuación

Esta ecuación muestra que el trabajo es independiente de la trayectoria seguida por m y solamente depende de la posición inicial y final, respectivamente.

(c)(b)(a)

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8

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