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Geometría Paralelas y Perpendiculares ~1~ NJCTL.org

Rectas parapelas y perpendiculares Angulos y rectas paralelas Trabajo en clase 1. Nombra todos los segmentos paralelos a :

2. Nombra todos los segmentos oblicuos a :

3. Nombra todos los segmentos que intersecten con :

4. ¿Los segmentos y son coplanares? Explica.

5. Los segmentos y son coplanares? Explica.

¿Cada una de las afirmaciones es: siempre verdadera, algunas veces o nunca? 6. Dos rectas que se intersectan son oblicuas. 7. Dos rectas paralelas son coplanares. 8. Dos rectas que están en el mismo plano son paralelas. 9. Dos rectas que no se cortan son paralelas. 10. Dos rectas oblicuas son coplanares. Clasifica cada par de ángulos como alternos interiores, interiores del mismo lado, ángulos correspondientes o ninguno de ellos. 11.

12.

13.

14.

15.

16.

Ángulos y rectas paralelas Trabajo en casa 17. Nombra todos los segmentos paralelos a :

18. Nombra todos los segmentos oblicuos a :

19. Nombra todos los segmentos que intersectan con :



Clasifica cada par de ángulos como alternos interiores, interiores del mismo lado, ángulos correspondientes o ninguno de ellos. 22. 7 y 12

23. 3 y 6

24. 6 y 11

25. 7 y 11

26. 4 y 10

27. 14 y 16

28. 2 y 3

29. 2 y 10


Indica si las afirmaciones son siempre, algunas veces o nunca: 30. Dos rectas coplanares son oblicuas. 31. Dos rectas que se intersectan están en el mismo plano. 32. Dos rectas que están en el mismo plano son paralelas. Propiedades de las rectas paralelas Trabajo en clase Usa el dibujo de la derecha para los problemas N° 33-41.

Si m 9=540, encuentra la medida de los siguientes ángulos:

33.

34.

35.

36.

37.

Si m 2=12x-54 y m 10=7x+26, encuentra la medida de los siguientes ángulos:

38.

39.

40.

41.

Encuentra los valores desconocidos en cada figura:. (N° 42-46) 42. 43. 44.

45. 46.


Encuentra la medida de los siguientes ángulos. 47.

48.

49.

50.

51. Indica que segmentos (si hay) son paralelos. 52. 53. 54. Propiedades de las rectas paralelas Trabajo en casa Si m 9=620, encuentra el valor de los siguientes ángulos:

55.

56.

57.

58.

59.

Si m 2=14x-24 y m 10=6x+72, encuentra el valor de los siguientes ángulos:

60.

61.

62.

63.


Encuentra los valores de las variables desconocidas en cada figura: ( N°64-68) 64. 65. 66. 67. 68. Encuentra la medida de los siguientes ángulos: 69.

70.

71.

72.

73. Indica que segmentos (si hay) son paralelos. 74.

124°

124°

D C

BA

75.


76. Ecuaciones de la recta y pendiente Trabajo en clase Identifica la pendiente de la recta que contiene los siguientes puntos: 77. (-2,11), (-5, 2) 78. (-4,11), (-4, -7) 79. (-2,22), (-5, 22) Escribe la ecuación de la recta en la forma pendiente intersección-y con la siguiente información: 80. m= 4; b=4 81. m= -2; (0,1) 82. (3, -12), (-5, 4) 83. (-16,-2), (-4, 7) Escribe la ecuación de la recta en la forma estándar que contiente la siguiente información: 84. (-7,4), (-7, 32) 85. (1,3), (6,-2) 86. Intersección-x=8; intersección-y= -4 Escribe la ecuación de la recta de la forma punto-pendiente que contiene la siguiente información: 87. m= -3, (-8,-2) 88. (5,2), (-3,4) 89. (-11,12), (-10, 11) 90. El costo (C) de un viaje en taxi es $4 en el comienzo y $0.25 por décima de milla (t)

a. Escribe la ecuación correspondiente. b. ¿Cuánto cuesta un viaje de 3 millas? c. Si tienes $10, ¿Cuál es la máxima distancia que puedes hacer?

91. El costo de una casa mediana (p) en Smallville en 2010 era de $250,000. Ese valor aumentó constantemente $5000 por año.

a. Escribe la ecuación correspodiente. b. ¿Cuánto costará una casa en el año 2020? c. Si el valor de la casa continúa aumentando, ¿cuándo alcanzará el valor promedio

de $350,000? 92. El precio (p) en un día de campamento para ver una película es de $7 por cada adulto y

$5 para cada casa rodante. a. Escribe la ecuación correspondiente. b. ¿Cuánto cuesta para 5 adultos y 20 casas rodantes? c. Si por cada 6 casas rodantes, se necesita un adulto, ¿Cuánto costará para 40 casas

rodantes?


Ecuaciones de rectas y pendientes Trabajo en casa Identifica la pendiente de la recta que contiene los puntos: 93. (-6,12), (-2, 5) 94. (14,11), (-14, 11) 95. (-2,17), (-2, 18) Escribe la ecuación de la recta en la forma pendiente intersección-y con la siguiente información: 96. m= -3; b=4 97. m= 6, (0,2) 98. (-2, -11), (3, 4) 99. (16,-2), (4, 6) Escribe la ecuación de la recta en la forma estándar con la siguiente información:: 100. (-7,41), (-9, 41) 101. (-5,12), (-5, 11) 102. Intersección-x= -2; intersección-y= 6 Escribe la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente con la siguiente información: 103. m= 5, (7,-1) 104. (6,2), (8,-4) 105. (-3,0), (-6,2) 106. El costo (C) de un viaje en taxi es de $5 al comenzar y $0.30 por décima de milla (t)

a. Escribe la ecuación correspondiente. b. ¿Cuánto costará un viaje de 4 millas? c. Si tienes $20, ¿Cuál es la mayor distancia que podés viajar?

107. El precio de una casa mediana en (p) en Largeton en 2010 era de $300,000. Ese valor aumentó constantemente $6000 por año.

a. Escribe la ecuación correspondiente. b. ¿Cuánto costará una casa mediana en el año 2015? c. Si el valor continúa aumentando ¿cuándo se alcanzará el valor promedio de

$360,000? 108. El precio en el campamento para ver películas es de $8 por adulto y $6 por casa rodante.

a. Escribe la ecuación correspondiente. b. ¿Cuánto costará para 4 adultos y 15 casas rodantes? c. Si por cada 5 campers, se necesita un adulto ¿Cuánto costará para 36 casas

rodantes? Pendientes de rectas paralelas Trabajo en clase 109. Calcula la ecuación de una recta en la forma punto-pendiente que pase por el punto (-2,5)

y sea paralela a la recta cuya ecuació es 4x -2y = -5 110. Dos rectas son representadas por las ecuaciones: 2x +4y =21 y y=kx -12. ¿Qué valor de k hará que las rectas sean paralelas? 111. Calcula una ecuación de la recta en la forma pendiente-intersección que pase por el punto

(-4,6) y paralela a la recta cuya ecuación es y = -¾ x+11 112. Los lados de un cuadrilátero tienen como rectas a: y= 4x +5, y= 1/3x +7, 8x - 2y= 1,

y x – 3y =2. ¿Es un paralelogramo? Justificar tu respuesta.


113. ¿El siguiente sistema de ecuaciones es paralelo? Justifica tu respuesta. A B

Pendiente de rectas paralelas Trabajo en casa 114. Encuentra la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente que pase por el punto (-

3,2) y sea paralela a la recta cuya ecuación es 6x -2y = 7. 115. Dos rectas son representadas por las ecuaciones: -4x +12y =21 y y=kx -12. ¿Qué valor de k hará que sean rectas paralelas? 116. Calcula la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente que pase por el punto (-8,3) y

sea paralela a la recta cuya ecuación es y = -¾ x+11. 117. Los lados de un cuadrilátero tienen como ecuaciones a: 3x+ y= 7, x + y= 12, 6x – 2y =2,

y x - y=2. ¿Es un paralelogramo? Justifica tu respuesta. 118. ¿Es paralelo el siguiente sistema de ecuaciones?. Justifica tu respuesta.

A B


Ángulos y rectas perpendiculares. Trabajo en clase Resuelve para las incógnitas 119. 120. En los ejercicios 121-122 haz una conclusión de cómo las rectas a y d son relacionadas basado en la información dada.( Las rectas a, b, c,y d son distintas y están en el mismo plano. ) 121.

122.

Ángulos y rectas perpendiculares Trabajo en casa 123. 124. Las rectas a, b, c, y d son distintas y están en el mismo plano. En los ejercicios 125-126 haz una conclusión de cómo las rectas b y d son relacionadas basadas en la siguiente información.

125.

126.

Pendientes de rectas perpendiculares Trabajo en clase 127. Encuentra la ecuación de la recta que pase por el punto (4,-5) y sea perpendicular a la

recta cuya ecuación es 3x -6y = -11.


128. Dos rectas son representadas por las ecuaciones: -3x +6y =21 y y=kx +5. ¿Qué valor de k hará que las rectas sean perpendiculares? 129. Calcula la ecuación de la recta que pase por el punto (8,-2) y sea perpendicular a la recta

cuya ecuación es y = 4x+11. 130. Los lados de un cuadrilátero son las rectas y= 4x +5, y= 1/3x +7, x + 4y= 1,

y x – 3y =2, ¿Este cuadrilátero es un rectángulo?. Justifica tu respuesta. 131. ¿El siguiente sistema de ecuaciones es perpendicular?. Justifica tu respuesta. A B Pendientes de rectas perpendiculares Trabajo en casa 132. Calcula una ecuación de la recta que pase por el punto (-6,2) y sea perpendicular a la

recta cuya ecuación es 4x +6y = -1 133. Dos rectas son representadas por las ecuaciones: 10x -15y =21 y y=kx +5. ¿Qué valor de k hará que sean perpendiculares? 134. Calcula una ecuación de la recta que pase por el punto (8,-2) y sea perpendicular a la

recta cuya ecuación es y = -2x+11 135. Los lados de un cuadrilátero tienen como lado a las rectas: 4x - y= 5, x + 4y=7, 8x – 2y= 1,

y 3x + 12y =2. ¿Es un rectángulo?. Justifica tu respuesta. 136. ¿El siguiente sistema de ecuaciones es perpendicular?. Justifica tu respuesta. A B


Pruebas involucrando a rectas paralelas y perpendiculares Trabajo en clase 137. Completa en los espacios en blanco de las columnas. Dado:

Determina:

Afirmaciones Razones 1. p||n; <9 <5 1.

2. <9 <1 2.

3. <5 <1 3.

4. k || m 4. 138. Completa los espacios en blanco en el párrafo en blanco. Dado: 0

Determina:

Dado k || m, por lo tanto m<12 + m<13 = 180°debido a __1___. Es dado que m<12+m<5 = 180°, por lo tanto por ___2__ , m<12 + m<13 = m<12 + m<5. Si restamos m<12 de ambos lados por ___3__ llegamos que m<13 = m<5. Si m<13=m<5 entonces <13 @ <5 por __4___. Si el <13 @ <5 entonces por __5___ p || n. Pruebas involucrando rectas perpendiculares y paralelas Trabajo en casa 139. Haz una prueba de 2 columas. Dado: El diagrama de la derecha Determina: Teor. de ángulos verticales 140. Escribe una prueba de diagrama de.

Dado: ABs ruu

||CDs ruu

Determina: m<4+m<2+m<5 = 180°

4

3

2

1

H

GY

X

DC

BA

54

321


Construyendo rectas paralelas Trabajo en clase 141. Construye una recta m que sea paralela y que pase por el punto C usando el método establecido. Ángulos correspondientes 142. Analisis de error: Una persona usando el método de los ángulos interiores alternos construyó una recta n que pasa por el punto D de modo que es pararela a la recta l. Usando sus marcas establece el error que cometió. 143. Usa técnicas de doblado de papel para construir rectas paralelas. Construyendo rectas paralelas Trabajo en casa 144. Análisis de error: Una persona usando el método de los ángulos exteriores alternos construyó una recta n que pasa por el punto D de modo que es paralela a la recta l. Usando sus marcas, establece el error.


145. Construye rectas paralelas usando la regla y el compás usando ángulos interiores alternos. 146. Construye un ángulo de 60° usando regla y compás.

147. Construye un hexágono regular inscriptor en un círculo usando regla y compás. Construyendo perpendiculares Trabajo en clase 148. Usando un compás y la reglam construye una recta perpendicular a m y que pase por C. 149. Un constructor quiere construir un acceso lo mas corto posible al camino en su nuevo proyecto. Si P representa su proyecto y la calle Elm es el camino que está conectando, ¿Dónde debería construir el camino?

150. ¿Qué hizo mal la persona que construyó la recta perpendicular a m que pasa por C?


Construyendo perpendiculares Trabajo en casa Construye una recta perpendicular m que pase por el punto C. 151. Usa un compás y regla. 152. Usa papel de doblar para la construcción. 153. Rafee lanzó un cohete de juguete (R) derecho para arriba en su laboratorio de ciencia. No había viento en ese momento, el cohete volvió al mismo punto de lanzamiento. Construye la trayectoria del cohete usando un compás y una regla. 154. ¿Qué hizo mal la persona que construyó la recta perpendicular a m que pasa por C?


Opción múltiple 1. Nombra los segmentos paralelos a y oblicuos a

a.

b.

c.

d.

2. Dado el diagrama y , ¿Cómo es a. 32 b. 40 c. 86 d. 110 3. Escribe la ecuación de la recta en la forma pendiente intersección -y con m= 3 y b= -2. a. y= -3x +2 b. y= -2x + 3 c. y= 3x + 2 d. y= 3x -2 4. Escribe la ecuación de la recta en la forma estándar con intersección-x =6 e intersección-y=-4. a. 6x – 4y = 1 b. 2x – 3y = 12 c. x – y = 4 d. -4x + 6y = 1 5. Escribe la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente que pase por los puntos (5,2) y (-

3,4). a. y+4= ¼ (x-3) b. y- 4= ¼ (x+3) c. y-2= - ¼ (x+5) d. y-2= - ¼ (x-5) 6. ¿Cuál es la ecuación de la recta paralela a 2x+8y=10 y pasa por el punto (-1,5)? a. y – 5 = - ¼( x-1) b. y – 5 = - ¼( x +1) c. y – 5 = 4(x – 1) d. y – 5 =4(x + 1) 7. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a y – 3 = 2/3(x + 3) y tiene como dato que

intersección-x es 6? a. y= 2/3x +4 b. y= 2/3x – 4 c. y= -3/2x + 6 d. y= -3/2x + 9


En 8-9, usa el diagrama de la derecha. 8. Dado , ¿Qué justifica que ?

a. Convertir con el Teorema de angulos interiores alternos b. Convertir con el Teorema de angulos exteriores alternos c. Convertir con el Teorema de angulos correspondientes d. no hay suficiente información para definir si son paralelas 9. Dado , ¿Qué justifica que ?

a. Teorema de angulos alternos interiores b. Teorema de angulos alternos c. Teorema de angulos correspondientes d. no hay suficiente información

10. El costo (C) de materiales escolares es de $3 por cuaderno (n)y $4 por paquete de lapiceras(p). ¿Qué ecuación representa el total de lapiceras y cuadernos? a. C= 4n + 3p b. C= 7np c. C= 4n + 3 d. C= 4p + 3n

11. El club de la Moda vende publicidad para el show de primavera. Cada media página cuesta $12 y por página completa $20. La imprenta dona el programa, asi que el resto de la impresión es ganancia. Si el programa hizo que el club gane $188 y habían 7 páginas completas con anuncios, ¿cuántas medias páginas con anuncios fueron vendidas? a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 12. La distancia de un punto a una recta puede ser encontrado por: a. A lo largo de un arco de un círculo b. A lo largo de la perpendicular a la recta a través el punto c. calculando el opuesto recíproco de la intersección-y d. construyendo un círculo centrado en el punto. 13. ¿Cuántas rectas pueden ser dibujadas a través de un punto que no está en la recta perpendicular a la recta dada? a. ninguno b. uno c. dos d. infinitas


Respuestas extendidas 1. Crea una prueba para: Dado:

Determina:

2. Dibuja la recta m en la gráfica provista que pase por el punto (1,4) y (5,-3)

a. ¿Cuál es la ecuación de la recta en la forma punto pendiente? b. Construye una recta paralela n que contenga (3,7) c. ¿Cuál es la pendiente de la recta n?

3 2

1

M N

QP


3. Dibuja la recta m en la gráfica provista que m pase por (1,4) y (5,-3) d. ¿Cuál es la ecuación de la recta en la forma estándar? e. Construye una recta p que sea perpendicular y contenga al punto A(3,7)? f. ¿Cuál es la pendiente de la recta p? g. Explica como encontrarías la distancia desde A a m?

4. Usando un compás y regla, construye rectas paralelas. 5. Usando un compás y una regla, construye un ángulo de 60°.


Respuestas

1. Segmentos , , ,

2. Segmentos

3. Segmentos

4. Si, porque los segmentos son

paralelos.

5. No, esas rectas son oblicuas, por

lo tanto no son coplanares.

6. Nunca

7. Siempre

8. Algunas veces

9. Algunas veces

10. Nunca

11. Interior del mismo lado

12. Ninguna de ellas

13. Interiores alternos

14. Correspondientes


16. Ninguna de estas

17. Segmentos y

18. Segmentos y

19. Segmentos

20. Si, porque son paralelas

21. No, son rectas oblicuas, por lo

tanto no son coplanares


23. Mismo lado

24. Interiores alternos






30. Nunca

31. Siempre

32. Algunas veces

33. 54°

34. 126°

35. 126°

36. 54°

37. 54°

38. 138°

39. 42°

40. 42°

41. 138°

42. x= 144°

43. x= 64° and y= 49/4

44. x=6; z=2

45. x=24, y=11; z=22/5

46. x=33; y=2

47. 44°

48. 107°

49. 29°

50. 29°

51. 136°

52. Segmentos y son paralelas

53. Segmentos y son paralelas


55. 62°

56. 118°

57. 118°

58. 62°

59. 62°

60. 144°

61. 36°

62. 36°

63. 144°

64. x=55°

65. x=86° y y=7

66. x=9; y=6; z=7

67. x=15; y=10; z=8

68. x=25; y=3

69. 41°

70. 106°

71. 33°

Geometría Paralelas y Perpendiculares ~19~

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72. 33°

73. 129°

74. No puede determinarse

75. Segmentos y son

paralelos

76. Segmentos y son paralelos

77. 3

78. Sin pendiente (indefinida)

79. 0

80. y= 4x +4

81. y= -2x+1

82. y= -2x-6

83. y= ¾x +10

84. x= -7

85. x +y =4

86. x – 2y = 8

87. y+2= -3(x+8)

88. y-2= -1/4(x-5) or y-4=-1/4(x+3)

89. y-12= -(x+11) or y-11=-(x+10)

90. a. C=.25t+4 b. $11.50 c. 2.4 mi

91. a. p-250000=5000(x-2010) b.

$300,000 c. 2030

92. a. 7A+5C=P b. $135 c. $249

93. -7/4

94. 0

95. Sin pendiente (Indefinida)

96. y= -3x+4

97. y=6x +2

98. y=3x-5

99. y=-2/3 x +26/3

100. y=41

101. x=-5

102. 3x – y= -6

103. y+1=5(x-7)

104. y-2= -3(x-6) or y+4=-3(x-8)

105. y= -2/3(x+3) or y-2=-

2/3(x+6)

106. a. C=.30t+5 b. $17 c. 5 miles

107. a. y-300,000=6000(x-2010)

b. $330,000 c. 2020

108. a. 8A + 6C = P b. $122 c.

$280

109. y -5= 2(x+2)

110. k= -1/2

111. y= -3/4x+3

112. Si,

113. a. no; pendiente de m=2,

pendiente de n = 4/3; b. si;

pendiente de n y m = -4/5

114. y -2 = 3(x+3)

115. k=1/3

116. y-3=-3/4(x+8)

117. no;

118. a. no; pendiente de m = 1,

pendiente de n = 4/7; b. no,

pendiente de m=-1/6, pendiente de

n= -1/7

119. x=9 y y=8 y z=7

120. x=8 y y=7

121. a es perpendicular a d

122. a es paralela a d

123. x=6; y=12; z=7

124. x=18; y=7

125. b es perpendicular a d

126. b es perpendicular a d

127. y=-2x+3

128. k= -2

129. y=-1/4x

130. no, y=4x +5 y y =1/3x +7 no

son perpendiculares

131. a. sin pendiente de m= -1/6;

pendiente de n= 7/2; b. sin

pendiente de m= 1/5; pendiente de

n= -1/10


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132. y=3/2x+11

133. k=-3/2

134. y=1/2x-6

135. si, las pendientes son m=-1/4

y 4

136. a. sin pendiente m= 3/2;

pendiente de n= -1/2; b. no,

pendiente de m=1/5; pendiente de

n= -10

137.

Enunciado Razonamiento

P es paralela a n Angulo 9 es congruente al angulo 5

Dado

Angulo 9 es congruente a angulo 1

Postulado de angulos correspodientes

Angulo 5 es congruente al angulo 1

Propiedad de sustitución

K es paralela a m

Postulado de conversión de ángulos correspodientes

138.

1. Teorema de ángulos internos

del mismo lado

2. Sustitución prop de igualdad

3. Resta prop. igualdad

4. Definición de segmentos

congruentes

5. Postulado de Conversión de

ángulos correspondientes

139.


<1 y <4 forman u par lineal. <3 y <4 forman un par lineal

Given

m<1+m<4=180 m<3+m<4=180

Postulado Par lineal

m<1+m<4= m<3+m<4

Propiedad de sustitución de =

m<1=m<3 Propiedad de sustracción de =

<1 @ <3 Def. de segmentos congruentes

140. Escrito como diagrama de

flujo.


ABs ruu

||CDs ruu

Dado

<1 @ 4 <3 @ <5

Teorema de ángulos alternos interiores

m<1=m<4 m<3=m<5

Def. de segmentos congruentes

m<1+m<2+m<3 =180

Postulado de Adición de Angulos

m<4+m<2+m<5 =180

Prop. Sustitución de =.

141. Ver trabajo del estudiante

142. Hecho igual interior del

mismo lado


144. ángulos congruentes deberían

ser supplementarios.



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147. ver trabajo del estudiante


149. construir por P a Elm.

150. Los arcos no fueron

dibujados para intersectarse




154. los arcos no fueron dibujados

para intersectarse

REVISION

1. c

2. c

3. d

4. b

5. d

6. b

7. d

8. c

9. d

10. d

11. a

12. b

13. b

RESPUESTA EXTENDIDA

1.


Dado

Dado

Teorema de Ángulos Alternos interiores

Sustitución

2.

a. y – 4 = -7/4(x – 1)

o y + 3 = -7/4(x – 5)

b. construir

c. -7/4

3. a. 7x + 4y = 23

b. construir

c. 4/7

d. Encuentra la ecuación de la recta p.

Resuelve el sistema de ecuaciones para el

punto de interesección. Usa la fórmula de

distancia para encontrar la distancia desde A

al punto de intersección.



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