Relación entre

el Desplazamiento (x)

Y

el Gráfico de vx(t)

Teorema:

“En un movimiento rectilíneo, el desplazamiento de un móvil (x) entre dos instantes de tiempo ta y tb es igual al área comprendida entre el gráfico de vx(t) y el eje horizontal (eje de tiempos), tomando como positivas las partes que están sobre el eje y negativas las que están por debajo, entre dichos instantes.”

En lo que sigue trataremos de demostrar este teorema.

Primero veamos que es cieto en un caso sencillo: MRUEn un MRU, vx es constante entonces su gráfico será de la forma:

De la ecuación horaria del MRU sabemos que:

Pero esto es efectivamente el área encerrada entre el gráfico de vx en

función del tiempo y el eje entre ta y tb.Por ejemplo si ta=2s, tb=8s y vx=30m/s, entonces el desplazamiento será:

¿Qué ocurre si vx es negativa?

Veamos un ejemplo:

En este caso ta=2s, tb=8s y vx= -30m/s, entonces el desplazamiento será:

Por otra parte, el área es:

Vemos que hay un signo de diferencia, es por eso que el teorema dice que, para que sean iguales al desplazamiento, hay que tomar como negativas las áreas que están por debajo del eje de tiempos

¿Será cierto esto para un movimiento cualquiera, es decir uno que no sea un MRU?

La respuesta es SÍ y a continuación desarrollaremos una forma de ver que efectivamente es así.

Supongamos que tenemos un movimiento cuyos gráficos de posición en función del tiempo y de velocidad en función del tiempo son:

Y consideremos el intervalo de tiempo que va desde ta hasta tb. Por ejemplo, de 0s a 5s.Idea: parto el intervalo [ta;tb] en intervalitos iguales y en cada uno de ellos aproximo el movimiento por un MRU.

Tomemos por ejemplo cinco intervalitos.

En cada intervalito, como aproximo el movimiento por un MRU, el gráfico de x(t) será un segmento de recta.

Pero entonces, ¿cómo nos quedaría el gráfico de vx(t)? Si en cada intervalito

es un MRU, entonces en cada intervalito vx es constante y el gráfico sería así:Ahora, calcular el área entre este nuevo gráfico y el eje sabemos hacerlo ya que son todos rectángulos.

Tenemos que probar dos cosas:

1) El área determinada por estos rectángulos (con su signo) es igual al desplazamiento entre ta y tb.

2) Si vale 1) entonces el área correspondiente al gráfico original también es igual al desplazamiento entre ta y tb.

¿Por qué el área determinada por estos rectángulos es igual al desplazamiento entre ta y tb?

Como en cada intervalito es un MRU, sabemos que el área de cada rectángulo, con signo + si está sobre el eje y con signo - si está debajo, es igual al desplazamiento en ese intervalito.

Veamos ahora que si sumo todos los desplazamientos correspondientes a cada intervalito eso me tiene que dar el desplazamiento total.

Para el primer intervalito [ta;t1] el desplazamiento es x(t1)-x(ta)Para el segundo intervalito [t1;t2] el desplazamiento es x(t2)-x(t1)Para el tercer intervalito [t2;t3] el desplazamiento es x(t3)-x(t2)Para el cuarto intervalito [t3;t4] el desplazamiento es x(t4)-x(t3)Para el primer intervalito [t4;tb] el desplazamiento es x(tb)-x(t4)

Si sumo todos los desplazamientos de cada uno de los intervalos me queda:

¡Pero hay muchos términos que se cancelan!

Suma de las áreas de los rectángulos (con su signo)

Primera cosa que teníamos que ver: listo

= x(tb)-x(ta) = Desplazamiento entre ta y tb

Al final nos queda que:

¿Por qué el área entre el gráfico original de vx(t) y el eje de tiempos es

igual al desplazamiento entre ta y tb?

Lo que hicimos con los rectángulos lo hicimos subdividiendo el intervalo de tiempo [ta;tb] en CINCO intervalitos…

… pero podríamos haberlo subdividido en DIEZ,

Y el área, que está sombreada en celeste, también sería el desplazamiento entre ta y tb (usando exactamente el mismo argumento que usamos antes) y además ésta es más parecida al área correspondiente al gráfico original.

y el área, sombreada en violeta, seguiría siendo igual al desplazamiento entre ta y tb y sería aún más parecida a la correspondiente al gráfico original.

con lo cual el gráfico sería:

Y si en lugar de DIEZ hubiésemos subdividido el intervalo original en VEINTE

el gráfico sería…

Con lo cual, subdividiendo en cada vez más partes el intervalo original puedo conseguir áreas que se parezcan tanto como yo quiera al área correspondiente al gráfico original y todas ellas iguales al desplazamiento entre ta y tb.

Entonces la única opción es que el área correspondiente al gráfico original sea igual al desplazamiento entre ta y tb, que es lo que queríamos demostrar.

Y en cuantos más subintervalos dividamos el intervalo original,

más parecida es el área que nos queda al área del gráfico original.

Algo para pensar para quienes lo deseen:

Empleando este mismo razonamiento y nuestra noción habitual de promedio (por ejemplo cuando promediamos N números), se puede encontrar un argumento para justificar por qué definimos la velocidad media en x (o promedio) entre ta y tb como:

Lo que hay que pensar es cómo construir esa línea argumental.

Notar que este razonamiento es aplicable al cálculo del valor promedio de cualquier función continua en un cierto intervalo.

Aplicación de este Teorema:

Deducción de la ecuación horaria de la posición para el M.R.U.V.

El M.R.U.V. es un movimiento en el que el cambio de vx respecto del tiempo, es decir la aceleración, es constante. Y por lo tanto el gráfico de vx(t) es una recta cuya pendiente es la aceleración.

Por el teorema que vimos, el área encerrada por el gráfico y el eje de tiempos entre dos instantes t0 y t es igual al desplazamiento entre t0 y t.

Pero en este caso el área es fácil de calcular ya que la figura que nos queda está compuesta por un rectángulo y un triángulo.

Recordemos que la pendiente nos indica justamente cuánto cambia el valor de la magnitud que está representada en el eje vertical cuando se modifica el valor de la que está representada en el eje horizontal.

La altura del rectángulo es vx(t0),

es decir v0x.

La altura del triángulo es vx(t)- v0x, o sea el cambio de velocidad entre t0 y t, y eso es justamente:

ax.(t-t0)Sabemos que:

Y listo!

Analicemos cómo escribir el área comprendida entre el gráfico de vx(t) y el eje de tiempos entre t0 y t.

Las bases tanto del rectángulo como del triángulo valen: t-t0

Ec. horaria para x(t)

del MRUV

Para pensar:

Tenemos el siguiente gráfico de vx(t):

Como el gráfico de velocidad en función del tiempo es una recta el movimiento es un MRUV y por lo tanto vale la ecuación:

Convencerse, haciendo un razonamiento similar al anterior, de que esta ecuación horaria también es válida en este caso.