Relaciones métricas en los triangulos oblicuangulos

“Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento Año escolar de Nuestra Diversidad” 2012

RELACIONES MÉTRICAS EN LOSTRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Se llama relación métrica entre varios

segmentos, a la relación que existe

entre sus longitudes con una misma

unidad.

1. TEOREMA DE EUCLIDES

1er Caso: si: < 90º

a2 = b2 + c2 – 2bm

a, b, c: son ladosm: proyección o sombra de sobre .

Ejemplo: Hallar: “x”

2do Caso: si: > 90º

a2 = b2 + c2 + 2bm

a, b, c: son ladosm: proyección de sobre

Ejemplo: Hallar: “x”

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

2. TEOREMA DE LA MEDIANA

a, b, c: son ladosx: mediana relativa

Hallar: “x”

_________________________________________

_________________________________________

A C

B

mb

ac

53º

8

5 x

¿QUÉ SIGNIFICA RELACIONES MÉTRICAS?

m bA C

B

ac

120º

4x

3

A M C

B

c ax

b

PROFE, NO ENTIENDO, HAGA UN EJEMPLO

4 5

6

x


_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

3. TEOREMA DE HERÓN(Para calcular alturas)

h: Altura relativa a AC = bb: Lado relativo a la alturap: Semiperímetro

Calculo de P

Mira:

Si:

Ejemplo: Hallar: “h”

4. CALCULO DE LA BISECTRIZ INTERIOR

x2 = c x a – m . n

x: Bisectriz

c y a: Lados

m y n: Segmentos determinados por la

Bisectriz

Ejemplo:

Hallar: “x”

Resuelve los siguientes ejemplos

Calcule “x” en cada caso:

1.

2.

3.

4.

5.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

A C

B

b

hb

cb

ab

8

4 6

14

14 15h

A C

B

c ax

m n

6 8

3 4

x

5 x

37º

6

5

x

127º

2

3

2 4

x

4 5x

7

4

6

9

6x


1. En un triángulo ABC de lados 6, 8 y 9, se desea hallar la proyección del lado menor sobre el lado mayor.

a) 19/15 b) 19/16 c) 20/13d) 21/12 e) 22/13

2. Dado un triángulo ABC, se cumple:

Hallar: m∢ A; si: BC = aAC = bAB = c

a) 30º b) 37º c) 45ºd) 53º e) 60º

3. Los lados de un triángulo ABC: AB = 5, BC = 4 y AC = 2; calcular la proyección de

sobre .

a) 3/4 b) 5/4 c) 2/5d) 3/5 e) 2/3

4. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior ; por un punto “M” de , se

traza una paralela a que corta en “N” a

. Hallar la distancia de “N” a ; AN =

y AM = 5.

a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 3,5

5. En un trapecio de lados no paralelos 13 y 15, hallar la altura del trapecio si las bases miden 6 y 20.

a) 10 b) 12 c) 11d) 9 e) 13

6. Calcular: BH; AB = 4, BC = 3, AC = 2

a)

b)

c)

d)

e)

7. En un triángulo de lados 5, 6 y 7. Hallar la altura intermedia.

a) b) c) 2

d) 3 e)

8. Hallar el lado del rombo.Si: AM2 + MD2 = 10

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

9. Hallar: AE2 + EB2

a) R2 + r2

b) 2(R2 + r2)

c) 3(R2 + r2)

d)

e) 2R2 + r2

10. Hallar: “x”

a)

b)

c)

d)

e)

11. En un trapecio isósceles ABCD de bases: ; se traza la mediana: (M en

y N en ). Hallar: “MN”.Si: CM = 6, MD = 8 y CD = 12

a) b) c)

d) e)

12. En un triángulo ABC, se desea hallar la proyección de la mediana sobre conociendo que AB = 5, AC = 7 y BC = 8.

a) 27/7 b) 16/7 c) 18/7d) 21/11 e) 23/11

13. Hallar la bisectriz en un triángulo ABC; AB = 6, BC = 8, AC = 7.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

14. Hallar: (a x b)

a) 182b) 192c) 172

B

HA C

A D

B CM

A

B

E

RrR

5

7

3

x

6

812

a

b

O


d) 162e) 100

15. Hallar:

a)

b) 3c) 2

d)

e)

TAREA DOMICILIARIA

1. Hallar: “x”

a)

b)

c)

d) 5e) 4

2. En un triángulo de lados 2, 3 y 4 calcular la proyección del menor lado sobre el lado intermedio.

a) 1 b) 1/2 c) 2/3d) 3/2 e) 4/3

3. Hallar: “x”

a)

b)

c) 6

d)

e)

4. En un triángulo ABC; AB = c; BC = a y AC = bHallar: m ∢ A; si se cumple: a2 = b2 + c2 – bc

a) 60º b) 120º c) 45ºd) 30º e) 135º

5. Hallar la mayor altura de un triángulo de lados: 2, 6 y 6.

a) b) c)

d) 6 e) 5

6. Hallar: “h”

a) 2b) 3

c) 4

d)

e)

7. Hallar “h”

a) 3b) 4c) 5

d)

e)

8. En un triángulo de lados 7, 8 y 9, hallar la menor altura.

a) b) c)

d) e)

9. Hallar: (AM2 + MD2). En el rombo de perímetro 8.

a) 10b) 5c) 15d) 20e) 30

10. Hallar: “x”

a) 7b) 8c) 9d) 10,5e) 12,5

11. Hallar: “MN”; MP = 2, MQ = 3, PQ = 4

a) b) c)

d) e)

12. En un triángulo de lados 6, 7 y 8, calcular la menor mediana.

46

5

x

4 x

5

2

5

x

143º

3 6

5

5

5

h54

A D

CBM

7 24

25

x

P

M Q

N

60º


a) b) c)

d) e)

13. Hallar la bisectriz interior intermedia en un triángulo de lados 6, 7 y 8.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

14. Hallar: “x”

a)

b)

c) 3d) 4e) 5

15. Hallar: “x”

a) 5

b)

c) 4d) 1

e)

512

10

x

46

2

x

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