Rendes financeres. Exercicis solucionatsEXERCICIS SOLUCIONATS 1. Sigui una renda constant de...
Transcript of Rendes financeres. Exercicis solucionatsEXERCICIS SOLUCIONATS 1. Sigui una renda constant de...
Rendes financeres. Exercicis solucionats 1
RENDES FINANCERES. EXERCICIS SOLUCIONATS
1. Sigui una renda constant de quaranta termes trimestrals de 500 € cadascun, valorada en
règim financer d’interès compost al 4 % anual capitalitzable trimestralment. Calculeu el valor
actual sota els supòsits següents:
(a) Renda vençuda i immediata.
(b) Renda anticipada i immediata.
(c) Renda vençuda i diferida en els tres trimestres.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =C 500 €
• m 4=
• =n 40
• = ⇒ = =44 4
ii 0,04 I 0,014
. Per valorar la renda s’ha d’utilitzar el tant efectiu trimestral, ja que
la freqüència del tant efectiu d’interès ha de coincidir amb la freqüència de la renda.
(a) L’esquema temporal de la renda és:
0 1/4 2/4 3/4 ................... 39/4 40/4 anys V0
500 500 500 ................... 500 500
Per calcular el valor d’aquesta renda en T 0= s’ha d’aplicar la fórmula deduïda per a la renda
constant, immediata, vençuda i temporal: n
m0
mn Im
1 (1 I )V C C
I
−− += = ⋅⋅a
Rendes financeres. Exercicis solucionats 2
que obté el valor de la renda un període abans del moment en què es localitza el primer terme
de la renda, és a dir, en T 0= . En aquest cas: 40
0 40 I4
1 1,01V 500 500 16.417,34 €0,01
−−= ⋅ = ⋅ =a
(b) L’esquema temporal de la renda és:
-1/4 0 1/4 2/4 ................... 39/4 40/4 anys V-1/4 V0
500 500 500 ................... 500
En aquest cas, el resultat d’aplicar la fórmula de la renda constant, 40 I4
500 ⋅a , proporciona la
quantia d’un capital situat un període abans del moment en què està localitzat el primer terme
de la renda, és a dir, en = −T 1 4 :
1/ 4 40 I4V 500 16.417,34 €− = ⋅ =a
Per tant, per obtenir el valor en T 0= s’ha de capitalitzar el resultat anterior un període de la
renda, com ara un trimestre:
( )0 4
1/ 4
40 I4
V
V 500 1 I 16.581,52 €
−
= ⋅ ⋅ + =a
Rendes financeres. Exercicis solucionats 3
(c) L’esquema temporal de l’operació és:
0 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 ........ 42/4 43/4 anys V0 V3/4
500 500 ......... 500 500
Per trobar el valor d’aquesta renda en T 0= , 0V , s’ha d’aplicar la fórmula del valor actual de la
renda constant, immediata, vençuda i temporal i afegir-hi la correcció necessària per preveure
l’existència del diferiment, que en aquest cas és d = 3 trimestres.
En aplicar la fórmula 40 I4
500 ⋅a s’obté el valor de la renda en T 3 4= ; per tant, s’ha
d’actualitzar el resultat obtingut, 3 / 4V , tres trimestres per poder obtenir el valor en l’origen de
l’operació:
( ) 30 4
3 / 4
40 I4
V
V 500 1 I 15.934,51 €−= ⋅ ⋅ + =a
2. Fa cinc anys es va obrir un compte bancari en què s’han anat imposant constantment 300 €
a l’inici de cada mes. Calculeu el saldo acumulat avui si el compte s’ha retribuït al 2,5 % efectiu
anual.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =C 300 €
• m 12=
• = ⋅ =n 12 5 60
• ( )112
1 12 1I 0,025 I 1 I 1 0,002059= ∼ = + − = . Per valorar la renda s’ha d’utilitzar el tant efectiu
Rendes financeres. Exercicis solucionats 4
mensual, ja que la freqüència del tant efectiu d’interès ha de coincidir amb la freqüència de la
renda.
L’esquema temporal de l’operació és:
0 1/12 ............................ 35/12 ...................... 59/12 60/12 anys 59 /12V Vf
300 300 ........................... 300 ...................... 300
De l’aplicació immediata de la fórmula del valor final de la renda constant, vençuda, immediata i
temporal, n Im
C s⋅ , s’obté la quantia d’un capital situat un període abans del moment en què
finalitza l’operació, és a dir, en T 59 12= . Per tant, per obtenir el saldo acumulat en el compte,
és a dir, el valor final de la renda en T 60 12= , n’hi ha prou de capitalitzar el resultat obtingut
en T 59 12= un període de la renda, com ara un mes:
( ) ( ) ( )60
1212 12f
12V59 /12
60 I12300
1 I 1V 1 I 300 1 I =19.178,40 €
Is= ⋅
+ −⋅ + = ⋅ ⋅ +
3. La compra d’una moto de competició, el preu de la qual avui ascendeix a 30.000 €, es
finança pagant al comptat el 10 % del preu i la resta per mitjà del pagament de seixanta
mensualitats constants pagadores per vençut. Calculeu l’import de les mensualitats si l’operació
s’ha pactat a un 7,5 % anual capitalitzable mensualment.
Solució: Les dades de l’exercici són:
• Pagament al comptat = 3.000 €
• Import de les mensualitats constants = C ?
• m 12=
Rendes financeres. Exercicis solucionats 5
• =n 60
• = ⇒ = =1212 12
ii 0,075 I 0,0062512
. Per valorar la renda s’ha d’utilitzar el tant efectiu mensual,
ja que la freqüència del tant efectiu d’interès ha de coincidir amb la freqüència de la renda.
L’esquema temporal de l’operació és:
0 1/12 2/12 3/12 ................... 59/12 60/12 anys V0
3.000 c c c ................... c c
El valor de l’operació en =T 0 ascendeix a 30.000 €, és a dir, =0V 30.000 € . Aquesta quantia
és el resultat de sumar el pagament al comptat més el valor en =T 0 de les seixanta
mensualitats constants, que constitueixen una renda constant, immediata, temporal i vençuda:
( )−− += = + ⋅
6012
012
1 1 IV 30.000 3.000 C
I
en què C és,
( )−⋅
= =− +
1260
12
27.000 IC 541,02 €1 1 I
4. Sigui una renda de 24 termes trimestrals creixents en un 2 % trimestral acumulatiu. Si el
primer terme ascendeix a 2.500 € i la valoració s’efectua en règim financer d’interès compost al
3 % efectiu semestral, calculeu el valor de la renda en l’origen de l’operació, sota els supòsits
següents:
(a) Renda vençuda i diferida en tres trimestres.
(b) Renda anticipada i diferida en tres trimestres.
Rendes financeres. Exercicis solucionats 6
Solució: Les dades de l’exercici són:
• 1C 2.500 €=
• m 4=
• q 1,02=
• ( )12
2 4 2I 0,03 I 1 I 1 0,014889= ∼ = + − = . Per valorar la renda s’ha d’utilitzar el tant efectiu
trimestral, ja que la freqüència del tant efectiu d’interès ha de coincidir amb la freqüència de
la renda. Es comprova que 41 I q+ ≠ .
• =n 24
• d = 3 trimestres
(a) L’esquema temporal de l’operació és:
0 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 ........ 26/4 27/4 anys V0 V3/4
1C 1C q⋅ ........ 22
1C q⋅ 231C q⋅
Per trobar el valor d’aquesta renda en T 0= , 0V s’ha d’aplicar la fórmula del valor actual de la
renda geomètrica, immediata, vençuda i temporal, ( ) nn
m1
m
1 q 1 IC
1 I q
−− ⋅ +⋅
+ −, i després corregir-ne el
diferiment, que en aquest cas és d = 3 trimestres.
En aplicar la fórmula de la renda geomètrica, immediata, temporal i vençuda, s’obté el valor de
la renda un semestre abans del moment en què es localitza el primer terme, és a dir, en
T 3 / 4= : 24 24
3 41 1,02 1,014889V 2.500 62.673,50 €
1,014889 1,02
−− ⋅= ⋅ =
−
Rendes financeres. Exercicis solucionats 7
Per tant, s’ha de corregir el resultat obtingut, 3 / 4V , i actualitzar-lo tres trimestres per poder
obtenir el valor en l’origen de l’operació: 3
0 3 4V V 1,014889 59.955,40 €−= ⋅ =
(b) L’esquema temporal de l’operació és:
0 1/4 2/4 3/4 4/4 ........ 25/4 26/4 27/4 anys V0 V2/4
1C 1C q⋅ ........ 22
1C q⋅ 231C q⋅
Per trobar el valor d’aquesta renda en T 0= , 0V , s’ha d’aplicar la fórmula del valor actual de la
renda geomètrica, immediata, vençuda i temporal, ( ) nn
m1
m
1 q 1 IC
1 I q
−− ⋅ +⋅
+ −, i després corregir-ne el
diferiment, que en aquest cas és d = 2 trimestres.
En aplicar la fórmula de la renda geomètrica, immediata, temporal i vençuda, s’obté el valor de
la renda un semestre abans del moment en què es localitza el primer terme, és a dir, en
T 2 / 4= : 24 24
2 41 1,02 1,014889V 2.500 62.673,50 €
1,014889 1,02
−− ⋅= ⋅ =
−
Per tant, s’ha de corregir el resultat obtingut, 2 / 4V , i actualitzar-lo dos trimestres per poder
obtenir el valor en l’origen de l’operació:
2
0 2 4V V 1,014889 60.848,08 €−= ⋅ =
Rendes financeres. Exercicis solucionats 8
5. La compra d’un equip informàtic, el preu al comptat del qual és 3.000 €, es finançarà per
mitjà del pagament de 36 quotes mensuals creixents a raó d’un 1 % acumulatiu mensual.
Calculeu l’import de la primera i l’última mensualitats si l’operació s’ha pactat a un 0,75 %
efectiu mensual en règim financer d’interès compost i el primer pagament es duu a terme
quatre mesos després de la compra.
Solució: Les dades de l’exercici són:
• El preu al comptat és el valor actual de l’operació. 0V 3.000 €= .
• m 12=
• q =1,01
• 12I 0,0075= . Per valorar la renda s’ha d’utilitzar el tant efectiu mensual, ja que la freqüència
del tant efectiu d’interès ha de coincidir amb la freqüència de la renda. Es comprova que
+ ≠121 I q .
• n 36=
• d = 3 mesos
L’esquema temporal de l’operació és:
0 1/12 2/12 3/12 4/12 5/12 ........ 38/12 39/12 años V0 V3/12
1C 1C q⋅ ......... 34
1C q⋅ 351C q⋅
Per trobar el valor d’aquesta operació en T 0= , 0V , s’ha d’aplicar la fórmula del valor actual de
la renda geomètrica, immediata, vençuda i temporal i afegir-hi la correcció necessària per
preveure l’existència del diferiment, que en aquest cas és d = 3 mesos.
En aplicar la fórmula ( ) nn
m1
m
1 q 1 IC
1 I q
−− ⋅ +⋅
+ − s’obté el valor de la renda en T 3 /12= ; per tant, s’ha
Rendes financeres. Exercicis solucionats 9
d’actualitzar el resultat obtingut, 3 /12V , tres mesos per poder obtenir el valor en l’origen
d’operació:
3 / 12
36 363
0 1
V
1 1,01 1,0075V 3.000 C 1,00751,0075 1,01
−−− ⋅
= = ⋅ ⋅−
Si s’aïlla 1C , s’obté l’import de la primera mensualitat:
31 36 36
1,0075 1,01C 3.000 1,0075 82,19 €1 1,01 1,0075−
−= ⋅ ⋅ =
− ⋅
i, tenint en compte que l’expressió del terme general d’una renda variable en progressió
geomètrica és: −= ⋅ r 1
r 1C C q amb r 1,2,...,n=
l’última mensualitat, que és el terme, 36C , ascendeix a:
36 1 35
36 1C C q 82,19 1,01 116,43−= ⋅ = ⋅ =
6. En complir 35 anys un particular inicia un pla d’estalvis, en què durà a terme aportacions
mensuals i creixents en un 0,5 % mensual acumulatiu, amb l’objectiu de disposar del saldo
acumulat quan compleixi 55 anys. Calculeu l’import del capital acumulat si la primera imposició
ha estat de 200 € i si duu a terme l’última imposició un mes abans de complir 55 anys. El tipus
d’interès compost és el 4 % efectiu anual.
Solució: Les dades de l’exercici són:
• 1C 200 €=
• m 12=
• =q 1,005
• ( )112
1 12 1I 0,04 I 1 I 1 0,00327= ∼ = + − = . Per valorar la renda s’ha d’utilitzar el tant efectiu
Rendes financeres. Exercicis solucionats 10
mensual, ja que la freqüència del tant efectiu d’interès ha de coincidir amb la freqüència de la
renda. Es comprova que 121 I q+ ≠ .
• n 240=
L’esquema temporal de l’operació es:
0 1/12 ............ 120/12 ............. 239/12 240/12 anys Vf
200 200 1,005⋅ ............ 119200 1,005⋅ ……… 239200 1,005⋅
De l’aplicació immediata de la fórmula del valor actual d’una renda variable geomètricament,
immediata, temporal i vençuda, ( ) nn
m1
m
1 q 1 IC
1 I q
−− ⋅ +⋅
+ −, s’obté el valor de la renda un mes abans
d’on es localitza el primer terme de la renda, és a dir, en T 1 12= − . Per tant, per obtenir el valor
al final de l’operació, en T 240 12= , n’hi ha prou de capitalitzar el resultat obtingut 241 mesos:
240 240
241240 /12
1 1,005 1,00327S 200 1,00327 130.023,87 €1,00327 1,005
−− ⋅= ⋅ ⋅ =
−
7. Sigui una renda de vint termes semestrals creixents 30 € cada semestre. Si el primer terme
ascendeix a 400 € i la valoració s’efectua en règim financer d’interès compost al 5 % anual
capitalitzable semestralment, calculeu el valor actual de la renda sota els supòsits següents:
(a) Renda vençuda i immediata.
(b) Renda anticipada i immediata.
(c) Renda vençuda i diferida en tres semestres.
Rendes financeres. Exercicis solucionats 11
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =1C 400 €
• =h 30
• =m 2
• =n 20
• 22 2
ii 0,05 I 0,0252
= ⇒ = = . Per valorar la renda s’ha d’utilitzar el tant efectiu semestral, ja
que la freqüència del tant efectiu d’interès ha de coincidir amb la freqüència de la renda.
(a) Renda vençuda i immediata
L’esquema temporal de la renda és:
0 1/2 2/2 3/2 ................... 19/2 20/2 anys V0
400 400+h 400+2h ................... 400+18h 400+19h
Per calcular el valor actual d’aquesta renda en T 0= s’ha d’aplicar la fórmula deduïda per a la
renda variable linealment, immediata, vençuda i temporal:
0 1m m
n Im
h n hV C n hI I
⋅= + + ⋅ ⋅ −
a
que en aquest cas és:
02 2
20 I2
30 20 30V 400 20 30 10.296,15 €I I
⋅= + + ⋅ ⋅ − =
a
Rendes financeres. Exercicis solucionats 12
(b) Renda anticipada i immediata
L’esquema temporal de la renda és:
-1/2 0 1/2 2/2 ................... 19/2 20/2 anys
V-1/2 V0
400 400+h 400+2h ................... 400+18h 400+19h
En aquest cas, el resultat d’aplicar la fórmula de la renda lineal, immediata, vençuda i temporal
proporciona la quantia d’un capital situat un període abans del moment en què es troba
localitzat el primer terme de la renda, és a dir, en = −T 1 2 :
1 22 2
20 I2
30 20 30V 400 20 30 10.296,15 €I I−
⋅= + + ⋅ ⋅ − =
a
Per tant, per obtenir el valor en T 0= s’ha de capitalitzar el resultat anterior un semestre:
( )0 1/ 2 2V V 1 I 10.553,55 €−= ⋅ + =
(c) Renda vençuda i diferida en tres semestres
L’esquema temporal de l’operació és:
0 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 ........ 22/2 23/2 anys V0 V3/2
400 400+h ......... 400+18h 400+19h
Rendes financeres. Exercicis solucionats 13
Per trobar el valor d’aquesta renda en T 0= , 0V , s’ha d’aplicar la fórmula del valor actual de la
renda lineal, immediata, vençuda i temporal i després corregir-ne el diferiment, que en aquest
cas és d = 3 semestres.
En aplicar la fórmula de la renda lineal immediata, temporal i vençuda s’obté el valor de la
renda un semestre abans del moment en què es localitza el primer terme, és a dir, en =T 3 2 :
3 22 2
20 I2
30 20 30V 400 20 30 10.296,15 €I I
⋅= + + ⋅ ⋅ − =
a
Per tant, s’ha de corregir el resultat obtingut, 3 / 2V , i actualitzar-lo tres semestres per poder
obtenir-ne el valor en l’origen de l’operació:
( )−= ⋅ + =30 3 / 2 2V V 1 I 9.560,99 €
8. La compra d’un cotxe, que té un preu al comptat de 30.000 €, es finança amb una entrada
de 6.000 €, en el moment de la compra, i la resta amb 24 quotes mensuals, vençudes i
decreixents en 4 € cada mes. Calculeu l’import de la primera quota mensual si el tipus d’interès
compost aplicat és un 6 % anual capitalitzable mensualment.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• El valor actual de l’operació és la quantitat finançada. =0V 24.000 € .
• = −h 4
• =m 12
• =n 24
• = ⇒ = =1212 12
ii 0,06 I 0,00512
. Per valorar la renda s’ha d’utilitzar el tant efectiu mensual, ja
que la freqüència del tant efectiu d’interès ha de coincidir amb la freqüència de la renda.
Rendes financeres. Exercicis solucionats 14
L’esquema temporal de l’operació és:
0 1/12 2/12 3/12 ................... 23/12 24/12 anys V0
24.000 C1 C1+h C1+2h ................... C1+22h C1+23h
L’equació d’equilibri que permet determinar la quantia de la primera quota mensual, C, ha de
ser en l’origen de l’operació, ja que se’n coneix el valor actual, i les 24 quotes mensuals són
una renda lineal, immediata, vençuda i temporal:
( ) ( ) ( )0 1
12 1224 I12
4 4 24V 24.000 C 24 4
I I − − ⋅
= = + + ⋅ − ⋅ −
a
Si s’aïlla la 1C , resulta:
( )12
11224 I12
4 2424.000
I 4C 24 4 1.108,73 €I
− ⋅+
= + + ⋅ =
a
9. Una persona vol avui dur a terme la primera aportació a un pla d’estalvis amb l’objectiu de
disposar, d’aquí a deu anys, d’un capital de 60.000 €. El pla estarà constituït d’aportacions
anuals i creixents de 1.000 € cada any i proporcionarà un interès fix i garantit per tot el terme
del 3,5 % efectiu anual d’interès compost. Calculeu l’import de la primera aportació anual al pla
d’estalvis.
Rendes financeres. Exercicis solucionats 15
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• h 1.000=
• m 1=
• n 10=
• 1I 0,035=
• El capital constituït als deu anys és el valor de la renda en T 10= anys.
10V 60.000 €.=
L’esquema temporal de l’operació es:
0 1 2 ..…………….. 9 10 anys
C1 C1+1.000 C1+2.000 ........................ C1+9.000 60.000
L’equació d’equilibri d’aquesta operació s’ha de plantejar en el desè any, ja que el capital que
es desitja constituir, 60.000 €, és el valor de la renda en T 10= anys. En aquest cas, les
imposicions constitueixen una renda lineal, anticipada, immediata i temporal, de manera que en
aplicar la fórmula de la renda lineal, immediata, vençuda i temporal s’obté el valor de la renda
un any abans del moment en què es localitza el primer terme. Per tant, per obtenir el valor al
final de l’operació, en T 10= , 10V , n’hi ha prou de capitalitzar el resultat obtingut onze anys:
( )1110 1 1
1 110 I1
1.000 10 1.000V C 10 1.000 1 I 60.000 €I I
⋅= + + ⋅ ⋅ − ⋅ + =
a
si s’aïlla 1C :
( )1111
1110 I1
60.000 10 1.000I1 I 1.000C 10 1.000 724,77 €
I
⋅ + + = − + ⋅ =
a
Rendes financeres. Exercicis solucionats 16
10. Sigui una renda de quaranta termes trimestrals, variables a raó d’un 4 % anual
acumulatiu. El primer any cada terme trimestral ascendeix a 12.000 €. Trobeu el valor actual de
la renda, si el tipus d’interès compost és del 5 % efectiu anual, sota els supòsits següents:
(a) Renda vençuda i immediata.
(b) Renda anticipada i immediata.
(c) Renda vençuda i diferida en sis trimestres.
Solució: Les característiques de la renda són:
• Període de pagament de la renda: = ⇒ =P 1 4 m 4
• Període de variació: P 1 M 1′ = ⇒ =
• Com que ≠P P´ , es tracta d’una renda fraccionada.
• Nombre de termes de la renda: =n 40
• Nombre de termes d’igual quantia dins de cada període de variació: = = =
m n
M N
4 40K 41 10
• Nombre de termes de quantia diferent: = = =n 40N 10k 4
• ( )14
1 4 1 4 4I 0,05 ~ I 1 I 1 0,01227 i I 4 0,04908= = + − = ⇒ = ⋅ =
• =q 1,04
• Durant el primer any, cada terme trimestral ascendeix a 12.000 € ( =1C 12.000 €). Durant el
segon any s’incrementarà el terme esmentat un 4 % respecte de l’any anterior, és a dir,
2 1C 1,04 C 12.480 €= ⋅ = , i es complirà que r 1r 1C C 1,04 −= ⋅ amb r 1,2,3,... 10= .
(a) Les característiques de la renda auxiliar són:
• Període de la renda: P 1 M 1′ = ⇒ =
• Nombre de termes: N 10=
• El primer terme és 1 1 1C k C 4 C 48.000 €′ = ⋅ = ⋅ = i està situat al final del primer any de la
renda, que és precisament el moment en què està situat l’últim terme de quantia 1C . El segon
terme és 2 2 2 1 1C k C 4 C 4 1,04 C 1,04 C′ ′= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ . Tal com es pot apreciar, la variació del
terme de la renda auxiliar és la mateixa que la de la renda fraccionada. Aquest resultat pot dur-
Rendes financeres. Exercicis solucionats 17
se a terme en la resta dels termes, cosa que permet expressar el terme general com a r 1 r 1
r 1 1C C 1,04 4 C 1,04− −′ ′= ⋅ = ⋅ ⋅ amb r 1,2,3,...,10= . Per tant, la renda auxiliar és una renda de
variació geomètrica.
Els esquemes temporals corresponents a la renda fraccionada i auxiliar són:
0 1/4 2/4 ........... 4/4 5/4 6/4 ......... 8/4 .......... 40/4 anys
Renda auxiliar C’1=4⋅C1 C’2=4⋅C2 .... C’10 =4⋅C10
Renda fraccionada
C1 C1 …..….. C1 C2 C2 .......... C2 ............ C10
0 1 2 .......... 10 anys
Per calcular el valor actual de la renda fraccionada en =T 0 , s’ha d’aplicar la fórmula de la
renda geomètrica, immediata, vençuda i temporal per al cas ≠ + 1q 1 I , i corregir-la pel
fraccionament:
( ) NNMf M
0 1m M
1 q 1 IiV Ci 1 I q
−− ⋅ +′= ⋅ ⋅
+ −
En aquest cas:
( )( )
1 10101f 1
012 1
auxiliar0
C
V
1 1,04 1 IiV 48.000 446.160,51 €i 1 I 1,04
−′− ⋅ +
= ⋅ ⋅ =+ −
Rendes financeres. Exercicis solucionats 18
(b) Les característiques de la renda auxiliar són les mateixes que en l’apartat anterior i els
esquemes temporals corresponents a la renda fraccionada i auxiliar són:
0 1/4 ........ 3/4 4/4 5/4 .......... 7/4 ........ 39/4 40/4 anys Renda auxiliar C’1=4⋅C1 C’2=4⋅C2 .... C’10 =4⋅C10
Renda fraccionada C1 C1 ........ C1 C2 C2 ............. C2 ............. C10
-1/4 0 3/4 7/4 ...... 39/4 anys 3/4 anys
En aquest cas, si s’aplica la fórmula de la renda geomètrica, immediata, vençuda i temporal,
per al cas ≠ + 1q 1 I , s’obté el valor de la renda auxiliar un trimestre abans de l’origen, en
= −T 1/ 4 . Per tant, per tenir el valor de la renda en =T 0 s’ha de capitalitzar el resultat obtingut
un trimestre i fer-ne la correcció per fraccionament:
( ) ( )NN
Mf M0 1 m
m M
1 q 1 IiV C 1 Ii 1 I q
−− ⋅ +′= ⋅ ⋅ ⋅ +
+ −
En aquest cas:
( )( ) ( )
1 10101f 1
0 412 1
auxiliar0
C
V
1 1,04 1 IiV 48.000 1 I 451.636,01 €i 1 I 1,04
−′− ⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅ + =+ −
(c) Les característiques de la renda auxiliar són les mateixes que en l’apartat (a) i els
esquemes temporals corresponents a la renda fraccionada i auxiliar són:
Rendes financeres. Exercicis solucionats 19
0 1/4 2/4 ......... 6/4 7/4 8/4 ........ 10/4 ....... 46/4 anys Renda auxiliar C’1=4⋅C1 .... C’10 =4⋅C10
Renda fraccionada C1 C1 .......... C1 ............ C10
0 10/4 ......... 46/4 anys
En aquest cas, si s’aplica la fórmula de la renda geomètrica, immediata, vençuda i temporal,
per al cas ≠ + 1q 1 I , s’obté el valor de la renda auxiliar en =T 6 / 4 . Per tant, per obtenir el valor
de la renda en =T 0 s’ha d’actualitzar el resultat obtingut en sis trimestres i fer-ne la correcció
per fraccionament:
( )( ) ( )
1 1010 61f 1 40 1
12 1
auxiliar0
C
V
1 1,04 1 IiV 48.000 1 I 414.674,36 €i 1 I 1,04
−−
′− ⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅ + =+ −
11. El pagament d’un equip d’esquí, el preu del qual al comptat és de 900 €, es durà a terme
per mitjà de 36 quotes mensuals creixents semestralment a raó d’un 6 % acumulatiu. Calculeu
l’import de la primera i l’última mensualitats si el tipus d’interès és del 5 % efectiu anual i el
primer pagament es duu a terme un mes després de la compra.
Solució: Les característiques de la renda fraccionada són:
• Període de la renda: = ⇒ =P 1 12 m 12
• Període de variació: 1P M 22′ = ⇒ =
• Nombre de termes de la renda: n 36=
• Nombre de termes de quantia diferent: N 6=
Rendes financeres. Exercicis solucionats 20
• Nombre de termes d’igual quantia dins de cada període de variació: = = =
m n
M N
12 36K 62 6
• ( )12
1 2 1 2 2I 0,05 ~ I 1 I 1 0,02469 i I 2 0,04939= = + − = ⇒ = ⋅ =
• ( )112
1 12 1 12 12I 0,05 ~ I 1 I 1 0,00407 i I 12 0,04888= = + − = ⇒ = ⋅ =
• =q 1,06
• Durant el primer semestre cada terme mensual ascendeix a 1C . Durant el segon semestre
s’incrementarà el terme esmentat un 6 % respecte del semestre anterior, és a dir, = ⋅2 1C 1,06 C ,
i es compleix que r 1r 1C C 1,06 −= ⋅ amb r 1,2,...,6= .
• Quant als termes de la renda auxiliar, el primer terme s’obté com a ′ = ⋅ = ⋅1 1 1C k C 6 C , que
està situat precisament en el moment en què està situat l’últim terme de quantia 1C . El segon
terme és ( )′ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅2 2 2 1C k C 6 C 6 C 1,06 . Tal com es pot apreciar, la variació del terme de la
renda auxiliar és la mateixa que la de la renda fraccionada, cosa que permet expressar el terme
general com a r 1r 1C C 1,06 −′ ′= ⋅ amb r 1,2,3,...,6= . La renda auxiliar és una renda de variació
geomètrica.
• =f0V 900 €
Els esquemes temporals corresponents a la renda fraccionada i auxiliar són:
0 1/12 2/12 ......... 6/12 7/12 8/12 ......... 12/12 ....... 36/12 anys Renda auxiliar C’1=6⋅C1 C’2=6⋅C2 .... C’6 =6⋅C6
Renda fraccionada C1 C1 .......... C1 C2 C2 .......... C2 ............ C6
0 1/2 1 .......... 3 anys
L’equació d’equilibri que permet determinar la quantia de la primera quota mensual, 1C , ha de
Rendes financeres. Exercicis solucionats 21
ser en l’origen de l’operació, ja que se’n coneix el valor actual. Per calcular el valor actual de la
renda fraccionada en =T 0 , s’ha d’aplicar la fórmula de la renda geomètrica, immediata,
vençuda i temporal per al cas ≠ + 2q 1 I i corregir-la per fraccionament:
( ) NNMf M
0 1m M
1 q 1 IiV Ci 1 I q
−− ⋅ +′= ⋅ ⋅
+ −
En aquest cas,
( )( )
662f 2
0 112 2
auxiliar0V
1 1,06 1 IiV 900 Ci 1 I 1,06
−− ⋅ +′= = ⋅ ⋅
+ −
i si s’aïlla ′1C , resulta:
( )( )( )−
⋅ ⋅ + −′ = =
− ⋅ + ⋅
12 21 66
2 2
900 i 1 I 1,06C 140,98 €
1 1,06 1 I i
en què
′= =
= ⋅ =
11
56 1
CC 23,5 €6
C C 1,06 31,44 €
12. S’inicia avui un pla d’estalvis amb la finalitat de disposar de 300.000 € d’aquí a vint anys.
Les imposicions es duran a terme mensualment i creixeran anualment 60 € cada mes respecte
del mateix mes de l’any anterior. Si el compte es retribueix al 3,5 % efectiu anual d’interès
compost, calculeu l’import de la primera i l’última imposicions.
Solució: Les característiques de la renda fraccionada són:
• Període de la renda: = ⇒ =P 1 12 m 12
• Període de la variació: P 1 M 1′ = ⇒ =
• Nombre de termes de la renda: n 240=
• Nombre de termes de quantia diferent: N 20=
• Nombre de termes d’igual quantia d’aquí a cada període de variació: = = =
nm
M N
12 240K 121 20
Rendes financeres. Exercicis solucionats 22
• ( )112
1 1 12 1 12 12I i 0,035 ~ I 1 I 1 0,00287 i I 12 0,03445= = = + − = ⇒ = ⋅ =
• Durant el primer any cada terme mensual ascendeix a 1C . Durant el segon any
s’incrementarà cada terme en 60 € respecte del mateix mes de l’any anterior, i = +2 1C C 60 . És
a dir, es complirà que ( )r 1C C 60 r 1= + ⋅ − amb r 1,2,...,20= .
• = ⇒ = ⋅ =h 60 H 60 12 720 €, en què H és la diferencia de la variació de la renda auxiliar.
• Quant als termes de la renda auxiliar, el primer terme s’obté com a ′ = ⋅ = ⋅1 1 1C k C 12 C , que
està situat precisament en el moment en què es troba l’últim terme de quantia 1C . El segon
terme és ( )′ = ⋅ = ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅'1
2 2 2 1 1H
C
C k C 12 C 12 C 60 12 C 12 60 . Tal com es pot apreciar, la
variació del terme de la renda auxiliar és la de la renda fraccionada multiplicada pel nombre de
termes d’igual quantia dins de cada període de variació, que en aquest cas és dotze. Aquest
resultat pot dur-se a terme a la resta dels termes, de manera que ( )r 1C C 12 60 r 1′ ′= + ⋅ ⋅ − amb
r 1,2,3,...,20= . La renda auxiliar és una renda de variació aritmètica.
• =20añosV 300.000 €
Els esquemes temporals corresponents a la renda fraccionada i auxiliar són:
0 1/12 ....... 11/12 12/12 13/12 ........ 23/12 ........ 239/12 240/12 anys Renda auxiliar C’1=12⋅C1 C’2=12⋅C2 .... C’10 =12⋅C10
Renda fraccionada C1 C1 ........ C1 C2 C2 ............. C2 ............. C20
-1/12 0 11/12 23/12 ...... 239/12 anys 11/12 anys
Per calcular l’import de la primera imposició mensual s’ha de plantejar l’equació d’equilibri en el
vintè any, ja que el capital que es vol constituir no és més que el valor de la renda en T 20= .
En aquest cas, si s’aplica la fórmula de la renda lineal, immediata, vençuda i temporal s’obté el
Rendes financeres. Exercicis solucionats 23
valor de la renda auxiliar un mes abans de l’origen, en T 1/12= − . Per tant, per obtenir el valor
de la renda en T 20= , s’ha de capitalitzar el resultat obtingut 241 mesos i fer-ne la correcció
per fraccionament:
( )1
241120 1 1220 I
1 1 12
f1/12V
i720 20 720V C 20 720 1 I 300.000 €I I i
−
⋅′= + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + = a
Si s’aïlla 1C′ :
( )12
2411 112
1120 I1
i300.000 20 720i I1 I 720C 720 20 4.389,02 €
I
⋅ ⋅ + + ′ = − + ⋅ =
a
resulta que l’import de la primera i l’última imposicions són:
( )=
= + ⋅ − =1
20 1
C 365,75 €C C 60 20 1 1.505,75 €
13. Un empresari finança la compra de maquinària per a la seva empresa amb el saldo de
dos comptes bancaris i amb un préstec.
Compte bancari A. En aquest compte s’han ingressat, per anticipat, 24 termes trimestrals
creixents en 50 € cada trimestre. L’últim ingrés ha ascendit a 1.750 €. El tipus d’interès compost
és del 3 % anual capitalitzable trimestralment.
Compte bancari B. El compte es va iniciar fa 42 mesos i durant el primer semestre es van
ingressar 100 € cada mes, per anticipat. Les imposicions van créixer en un 3 % semestral
acumulatiu. El tipus d’interès compost és del 2,5 % anual capitalitzable mensualment.
Per a la quantitat restant necessària per a la compra de la maquinària, que s’estima en 8.000 €,
sol·licita un préstec amortitzable per mitjà del pagament de 42 mensualitats constants
pagadores per vençut. El tipus d’interès compost és del 7 % anual capitalitzable mensualment.
Rendes financeres. Exercicis solucionats 24
Calculeu:
(a) El saldo del compte bancari A.
(b) El saldo del compte bancari B.
(c) L’import de les mensualitats constants que amortitzen el préstec.
(d) El preu de la maquinària.
Solució:
(a) Les dades del compte bancari A són:
• Import de l’última imposició 24C 1.750 €=
• =m 4
• =h 50
• =n 24
• 44 4
ii 0,03 I 0,00754
= ⇒ = = . Per valorar la renda s’ha d’utilitzar el tant efectiu trimestral, ja
que la freqüència del tant efectiu d’interès ha de coincidir amb la freqüència de la renda.
L’esquema temporal de l’operació és:
0 1/4 2/4 ..…………….. 23/4 24/4 anys
C1 C2 C3 C24 =1.750 V24/4
El saldo del compte bancari A ve donat pel valor de la renda en T 24 / 4= , 24 / 4V . Per tant, per
poder-lo calcular, cal quantificar el primer terme de la renda 1C , el qual s’obté de l’expressió del
terme general de la renda variable linealment:
( )= + ⋅ − =r 1C C h r 1 r 1,2,...,24
Rendes financeres. Exercicis solucionats 25
En aquest cas, per a r = 24:
24 1C 1.750 C 50 23= = + ⋅
en què
1C 1.750 50 23 600 €= − ⋅ =
Com que es tracta d’una renda anticipada, el valor de la renda lineal, immediata, vençuda i
temporal s’obté un trimestre abans de l’origen, en T 1/ 4= − . Per tant, per obtenir el valor de la
renda en T 24 / 4= s’ha de capitalitzar el resultat obtingut 25 trimestres:
( )2524 / 4 4
4 424 I4
50 24 50V 600 24 50 1 I 30.530,15 €I I
⋅= + + ⋅ ⋅ − ⋅ + =
a
(b) Les dades del compte bancari B són:
• Període de pagament de la renda: P 1 12 m 12= ⇒ =
• Període de variació: P 1/ 2 M 2′ = ⇒ =
• Com que ≠P P´ , les imposicions del compte B constitueixen una renda fraccionada
geomètrica.
• Nombre de termes de la renda: =n 42
• Nombre de termes d’igual quantia dins de cada període de variació: m 12K 6M 2
= = =
• Nombre de termes de quantia diferent: = = =n 42N 7k 6
• Durant el primer semestre, cada terme mensual ascendeix a 100 € ( 1C 100 €= ). Durant el
segon semestre s’incrementa el terme esmentat un 3 % respecte del semestre anterior, de
manera que 2 1C C 1,03 103 €= ⋅ = . Així, es compleix que r 1rC 100 1,03 −= ⋅ , amb r 1,2,3,...,7= .
• 1212 12
ii 0,025 I 0,002083312
= ⇒ = =
• ( )= = + = ⇒ = =∼ 1/ 6 212 2 12 2
II 0,0020833 I 1 I 0,012565 i 0,0062832
Els esquemes temporals corresponents a la renda fraccionada i auxiliar són:
Rendes financeres. Exercicis solucionats 26
0 1/12 ........ 5/12 6/12 7/12 ........ 11/12 ........ 41/12 42/12 anys Renda auxiliar C’1 = 600 C’2 = 618 …... C’7 = 716,43
Renda fraccionada 100 100 ........ 100 103 103 ........ 103 ........ 119,40 V42/12
-1/12 0 5/12 11/12 ...... 41/12 anys
El saldo del compte bancari B ve donat pel valor de la renda fraccionada en T 42 /12= , 42 /12V .
Si s’aplica la fórmula de la renda lineal, immediata, vençuda i temporal s’obté el valor de la
renda auxiliar un mes abans de l’origen, en = −T 1/12 . Per tant, per obtenir el valor de la renda
en =T 42 /12 s’ha de capitalitzar el resultat obtingut 43 mesos i fer-ne la correcció per
fraccionament:
( )
21 7 7
4342 /12
12
iC
0,00208333i
0,00628264 1 1,03 1,01256528V 600 1,0020833 14.406,89 €1,01256528 1,03
−′
− ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = −
(c) Les dades del préstec són:
• L’import del préstec és el valor actual de la renda. =0V 8.000 €
• =m 12
• 1212 12
ii 0,07 I 0,00583312
= ⇒ = =
• n 42=
L’esquema temporal de l’operació és:
Rendes financeres. Exercicis solucionats 27
0 1/12 2/12 3/12 ................... 41/12 42/12 anys
8.000 C C C ................... C C
Com que es tracta d’una renda constant, vençuda, immediata i temporal, la fórmula proporciona
directament el valor de la renda en el moment T 0= . Per tant, l’equació d’equilibri que permet
determinar l’import de les mensualitats C és:
0 42 I12V 8.000 C= = ⋅ a
en què C:
42 I12
8.000C 215,31 €= =a
(d) El preu de la maquinària ve donat pel saldo dels dos comptes bancaris i per l’import del
préstec:
Preu de la maquinària = saldo del compte bancari A + saldo del compte bancari B + 8.000 €
Preu de la maquinària = 30.530,15 € +14.406,89 € + 8.000 € = 52.937,04 €
14. La societat X ha obtingut la concessió per construir i explotar un pàrquing durant quaranta
anys, que, després, revertirà a l’organisme públic corresponent.
La construcció té una duració prevista de dos anys. Per fer front a les despeses inicials
ocasionades, la mateixa societat X cancel·la un compte que va iniciar fa sis anys, en el qual
havia dut a terme les imposicions mensuals següents, per anticipat: 600 € mensuals el primer
any; 900 € mensuals el segon any; 1.200 € mensuals el tercer any, i així successivament. El
tipus d’interès compost és del 6 % anual capitalitzable mensualment.
Rendes financeres. Exercicis solucionats 28
L’import restant per dur a terme la construcció, que s’estima en 600.000 €, es finançarà per
mitjà del pagament de vint semestralitats constants i pagadores per vençut. El tipus d’interès
compost és del 5 % anual capitalitzable semestralment.
Finalitzada la construcció, el pàrquing entrarà en funcionament i es preveu que generarà uns
beneficis d’explotació, anualment i per vençut, durant els cinc primers anys constants, i
ascendirà a 480.000 € cada any, i que a partir del sisè any creixerà linealment a raó de
60.000 € cada any.
Calculeu:
(a) El saldo acumulat en el compte bancari.
(b) L’import de les vint semestralitats constants.
(c) El benefici net d’explotació actualitzada esperada a l’inici d’explotació. El tant de valoració
és del 3 % efectiu anual d’interès compost.
Solució:
(a) Període de pagament de la renda: P 1 12 m 12= ⇒ =
• Període de variació: P 1 M 1′ = ⇒ =
• Com que ≠P P´ , les imposicions del compte constitueixen una renda fraccionada.
• Nombre de termes de la renda: n 72=
• Nombre de termes d’igual quantia dins de cada període de variació: m 12K 12M 1
= = =
• Nombre de termes de quantia diferent: = = =n 72N 6k 12
• Durant el primer any, cada terme mensual ascendeix a 600 € ( 1C 600 €= ); durant el segon
any cada terme mensual ascendeix a 900 € ( 2C 900 €= ); durant el tercer any cada terme
mensual ascendeix a 1.200 €, i així successivament. En definitiva, es complirà que
( )r 1C C 300 r 1= + ⋅ − amb r 1,2,...,6= .
• El primer terme de la renda auxiliar és 1 1C 12 C 7.200 €′ = ⋅ = , que està situat precisament on
està situat l’últim terme de quantia 1C . El segon terme és
( ) '2 2 1 1C 12 C 12 C 300 12 C 12 300 10.800 €′ = ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = . Com es pot apreciar, la variació del
terme de la renda auxiliar és = ⋅ =H 12 300 3.600 € . Aquest resultat pot dur-se a terme a la
resta dels termes i això permet expressar el terme general de la renda auxiliar com a
Rendes financeres. Exercicis solucionats 29
( )r 1C C 3.600 r 1′ ′= + ⋅ − amb r 1,2,3,...,6= , si la renda és de variació lineal.
• ( )= ⇒ = = = + − =∼112 12
12 12 1 12ii 0,06 I 0,005 I 1 I 1 0,06167812
Els esquemes temporals corresponents a les rendes fraccionada i auxiliar són:
0 1/12 ........ 11/12 12/12 13/12 ........ 23/12 ........ 71/12 72/12 anys
Renda auxiliar C’1=12⋅C1 C’2=12⋅C2 .... C’6 =12⋅C6
Renda fraccionada
C1 C1 ........ C1 C2 C2 ............. C2 ............. C6
-1/12 0 11/12 1+11/12 ...... 5+11/12 anys 11/12 anys
El saldo del compte ve donat pel valor de la renda fraccionada en T 72 /12= , 72 /12V . Si s’aplica
la fórmula de la renda lineal, immediata, vençuda i temporal s’obté el valor de la renda auxiliar
un mes abans de l’origen, en = −T 1/12 . Per tant, per tenir el valor de la renda en =T 72 /12 ,
s’haurà de capitalitzar el resultat obtingut 73 mesos i fer-ne la correcció per fraccionament:
( )1
6f 730
12
i
0,061678
i
1 1,0616783.600 3.600 6V 7.200 3.600 6 1,0050,06 0,061678 0,061678 0,061678
518.113,62 €
− − ⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ =
=
(b) Import de les 20 semestralitats constants
Les dades d’aquest apartat són:
• C ?=
• =0V 600.000 €
• m 2=
Rendes financeres. Exercicis solucionats 30
• n 20=
• 22 2
ii 0,05 I 0,0252
= ⇒ = = . Per valorar la renda s’ha d’utilitzar el tant efectiu semestral, ja
que la freqüència del tant efectiu d’interès ha de coincidir amb la freqüència de la renda.
L’esquema temporal de l’operació és:
0 1/2 2/2 3/2 ................... 19/2 20/2 anys V0=600.000
C C C ................... C C
El valor en =T 0 de l’operació ascendeix a 600.000 €, és a dir, 0V 600.000 €= , quantia que és
el valor en =T 0 de les vint semestralitats constants, que constitueixen una renda constant,
immediata, temporal i vençuda:
( ) 202
02
1 1 IV 600.000 C
I
−− += = ⋅
en què C és,
( )2
202
600.000 IC 38.488,28 €1 1 I −
⋅= =
− +
(c) Les dades respecte dels beneficis d’explotació es poden dividir en dos trams, els cinc
primers anys i els últims 33 anys.
Les dades per als cinc primers anys són:
• C 480.000 €=
• m 1=
• n 5=
• 1I 0,03= . Per valorar la renda s’ha d’utilitzar el tant efectiu anual, ja que la freqüència del
tant efectiu d’interès ha de coincidir amb la freqüència de la renda.
Rendes financeres. Exercicis solucionats 31
Les dades per als últims 33 anys són:
• ′ = + =1C 480.000 60.000 540.000 €
• h 60.000 €=
• m 1=
• n 33=
• 1I 0,03=
• d 5= anys
L’esquema temporal dels beneficis d’explotació és:
480.000 ……. 480.000 '
1C =540.000 ............ '1C +31h '
1C +32h
0 1 ……. 5 6 ............. 37 38 anys V0
Per calcular el valor actual dels cinc primers termes d’aquesta renda en T 0= s’ha d’aplicar la
fórmula deduïda per a la renda constant, immediata, vençuda i temporal:
5
0 5 I1
1 1,03V 480.000 480.000 2.198.259,45 €0,03
−−= ⋅ = ⋅ =a
Per trobar el valor dels últims 33 termes d’aquesta renda en T 0= , 0V , s’ha d’aplicar la fórmula
del valor actual de la renda lineal, immediata, vençuda i temporal i després corregir-ne el
diferiment, que en aquest cas és =d 5 anys.
En aplicar la fórmula de la renda lineal, immediata, temporal i vençuda s’obté el valor de la
renda un semestre abans del moment en què es localitza el primer terme, és a dir, en T 5= .
Per tant, s’ha de corregir el resultat obtingut, 5V , i actualitzar-lo cinc anys per poder obtenir el
valor en l’origen de l’operació: