Repaso de Álgebra (13)
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Citarcomo
Rodrguez
Nieto,
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A!icada,N
otasdeC!ase,
"ni#ersida
dde!RosarioMaestraen$conomade!as
%o!ticas%&'!icas
MTODOS DE REGRESIN APLICADA
esin 1 Reaso de *!ge'ra Matricia!
Facultad de Economa
Maestra en Economa de las Polticas Plicas
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"ni#ersida
dde!RosarioMaestraen$conomade!as
%o!ticas%&'!icas
CONTENIDO
+ectores geometra #ectoria! Caractersticas -eendencia !inea!
Matrices geometra matricia!.
/ios de matrices eraciones matricia!es Matriz in#ersa Matriz in#ersa genera!izada
Matrices simtricas, #ectores #a!ores caractersticos,descomosicin esectra!
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dde!RosarioMaestraen$conomade!as
%o!ticas%&'!icas
!ECTORES
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dde!RosarioMaestraen$conomade!as
%o!ticas%&'!icas
!ECTOR
u es un #ector3 "n con4unto ordenado de e!ementos de in5ormacin
"n arreg!o de n&meros en donde cada uno de !os #a!ores reresenta unadimensin de in5ormacin.
6os #ectores ueden ser reresentados mediante una magnitud (o !ongitud),
as como una direccin en e! esacio (7ngu!o)
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Nieto,
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"ni#ersida
dde!RosarioMaestraen$conomade!as
%o!ticas%&'!icas
!ECTORES " CARACTER#STICAS
Dimensin 1
Dimensin2
$n un e4em!o de dos dimensiones, !os#a!ores de! #ector reresentan !ascoordenadas en un esacio 'idimensiona!
11x
=
12
11'
1 x
xx
12x
( )12111 xxx =
-
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"ni#ersida
dde!RosarioMaestraen$conomade!as
%o!ticas%&'!icas
!ECTORES " CARACTER#STICAS
Dimensin 1
Dimensin2 6a magnitud o !ongitud de! #ector uede
ca!cu!arse usando e! /eorema de%it7goras
21x
11x
1L
2
21
2
111 xxL +=
-
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%o!ticas%&'!icas
!ECTORES " CARACTER#STICAS
Dimensin 1
Dimensin2 6a direccin se determina mediante e!
7ngu!o 8ue 5orma e! #ector resecto a!rimero de !os e4es
12x
11x
1L
2
12
2
111 xxL +=
1
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%o!ticas%&'!icas
!ECTORES " CARACTER#STICAS
Dimensin 1
Dimensin2 $! 7ngu!o uede ser ca!cu!ado mediante
identidades trigonomtricas.9gua!mente !as coordenadas ueden see:resadas en trminos de !a magnitud
e! 7ngu!o
1L
2
12
2
111 xxL +=
1
)( 1121 senLx =
)cos( 1111 Lx =
1
111)cos(
L
x=
1
121)(
L
xsen =
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dde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
!ECTORES $ DEPENDENCIALINEAL
Cuando se tienen dos o m7s
#ectores uede ser interesantee:aminar !as re!aciones entre e!!os.%or e4em!o 8u tan !e4os o cercaest7n en e! esacio
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!ECTORES $ DEPENDENCIALINEAL
Dimensin 1
Dimensi
n2
Cuando se tienen dos o m7s
#ectores uede ser interesantee:aminar !as re!aciones entre e!!os.%or e4em!o 8u tan !e4os o cercaest7n en e! esacio
212
2111 xxL +=
2
22
2
212 xxL +=
1
111)cos(
L
x=
1
121)(
Lxsen =
2
212 )cos(
L
x=
2
222 )(
Lxsen =
11x
1L
1
2L
2
21x
12x
22x
-
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!ECTORES $ DEPENDENCIALINEAL
Dimensin 1
Dimensi
n2
"na 5orma de e:aminar 8u tan !e4os
o cerca est7n dos #ectores en e!esacio es 8ue tan grande es !aroeccin de! uno so're e! otro.
1
2L
2
22x
)cos()()cos()()cos( 2112122 sensenL +=
1
12221121
21
1222
21
1121
2122 )cos( L
xxxx
LL
xx
LL
xx
LL
+
=
+=
1L
1
11
1)cos(
L
x=
1
121)(
Lxsen =
2
212 )cos(
L
x=
2
222 )(
Lxsen =
2
21
2
111 xxL +=2222122 xxL +=
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!ECTORES $ DEPENDENCIALINEAL
Dimensin 1
Dimensi
n2
6a roeccin se ca!cu!a mediante
una oeracin denominada roductoesca!ar
1
2L
2
1
12221121122 )cos(
L
xxxxL
+=
1L
( ) 1222112122
21
121121 xxxxx
x
xxxx +=
=
1
21
L
xx =
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!ECTORES
Dimensin 1
Dimensi
n2
i dos #ectores #an en !a misma
direccin se dice 8ue son co!inea!eso !inea!mente deendientes, uesuno es m&!ti!o de! otro.
22x
12
1
1
2
2
1
1
21 =
==
L
L
L
L
L
La
L
xx
1L
2
2
2
22
2
2121 aLaxaxxx =+=
21x
( ) ( )
=
=
22
21
2221
22
21
121121x
xaxax
x
xxxxx
11x
12x
2L
21 xax = 21
L
La=
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"ni#ersida
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!ECTORES $ DEPENDENCIALINEAL
Dimensin 1
Dimensi
n2
i dos #ectores 5orman un 7ngu!o
recto !a roeccin de! uno so're e!otro es cero se !e !!amaortogona!es.
22x
00
11
2
'
1 ==LL
xx
1L
21x
( ) 022
21
121121 =
=
x
xxxxx
11x
12x
2L
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"ni#ersidadde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
!ECTORES $ COM%INACINLINEAL
Dimensin 1
Dimensi
n2
i dos #ectores son !inea!mente indeendientes, se ueden com'inar
!inea!mente ara generar cua!8uier #ector de! esacio de dosdimensiones 8ue !os contiene
1X
1
2X
2
21x
12x
22x
11x
1aX
2bX
213 bXaXX +=
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"ni#ersidadde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
!ECTORES $ DEPENDENCIALINEAL
Dimensin 1
Dimensi
n2
Distancia euclideana
tra manera de re!acionar #ectores
es mediante e! conceto de distancia
1L
1
2L
2
21x
12x
22x
11x
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"ni#ersidadde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
!ECTORES $ DEPENDENCIALINEAL
Dimensin 1
Dimensi
n2
Conjunto de puntos
A una distancia menor que c
c
1L
1
2L
2
21x
12x
22x
11x
-
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s%o!ticas%&'!icas
MATRICES
inteli'enciaarti(cialca)*+ord,ress*com-./0
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s%o!ticas%&'!icas
MATRICES
"na matriz es un arreg!o rectangu!ar de n&meros "na matriz es un con4unto ordenado de #ectores, !uegoes un #ector de #ectores
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s%o!ticas%&'!icas
MATRICES
Dimensin 1
Dimensi
n2
6as matrices se reresentan en e!esacio a tra#s de !os #ectores 8ue!as comonen
21x
21x
22x
11x
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s%o!ticas%&'!icas
MATRICES
/res #ectores en dos dimensiones
-os #ectores en tres dimensiones
6a matriz
%uede ser reresentada como
=
1
3
1
1
0
2
X
( )
( )
( )
=
11
30
12
X
=11
30
12
X
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s%o!ticas%&'!icas
MATRICES
Dimensin 1
Dimensin2
/res #ectores en dos dimensiones
=11
30
12
X
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RodrguezNieto,
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"ni#ersidadde!RosarioMaestraen$conomade!a
s%o!ticas%&'!icas
MATRICES
Dimensin 1
Dimensin2
Dim
ensin3
=1130
12
X
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zNieto,
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"ni#ersid
adde!RosarioMaestraen$conomade!a
s%o!ticas%&'!icas
TIPOS DE MATRI1
sal2d*3acilisimo*com
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Rodrgue
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"ni#ersid
adde!RosarioMaestraen$conomade!a
s%o!ticas%&'!icas
imtrica
Cuadrada
-iagona!
rtogona!
ingu!ar
TIPOS DE MATRI1
Rectangu!ar/ienen di5erente n&mero de 5i!as de co!umnas, or !o tantotienen di5erente numero de #ectores 8ue dimensiones en e!esacio en donde se reresentan
=
11
30
12
X
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Rodrgue
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"ni#ersid
adde!RosarioMaestraen$conomade!a
s%o!ticas%&'!icas
TIPOS DE MATRI1
imtrica
-iagona!
rtogona!
ingu!ar
Rectangu!ar
Cuadrada
/ienen igua! n&mero de 5i!as de co!umnas, or !o tantotienen igua! numero de #ectores 8ue dimensiones en e!esacio en donde se reresentan
=
111
030
012
X
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s%o!ticas%&'!icas
TIPOS DE MATRI1
Cuadrada
-iagona!
rtogona!
ingu!ar
Rectangu!ar
imtrica
$s una matriz cuadrada cuos #ectores 5i!a son igua!es a !os#ectores co!umna, su reresentacin es igua! en am'osesacios
=
211
130
102
X
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TIPOS DE MATRI1
imtrica
Cuadrada
rtogona!
ingu!ar
Rectangu!ar
-iagona!
$s una matriz simtrica 8ue s!o tiene #a!ores en !a diagona!or !o tanto sus #ectores coinciden con !os e4es de! esacioen donde se reresenta. 6a matriz identidad es un casoesecia!
=
100
030
002
X
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adde!RosarioMaestraen$conomade!a
s%o!ticas%&'!icas
TIPOS DE MATRI1
imtrica
Cuadrada
-iagona!
ingu!ar
Rectangu!ar
rtogona!
$s una matriz cuos #ectores 5orman 7ngu!os de ;0 gradosentre s. 6as matrices diagona!es son un caso esecia! dematrices ortogona!es.
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adde!RosarioMaestraen$conomade!a
s%o!ticas%&'!icas
TIPOS DE MATRI1
imtrica
Cuadrada
-iagona!
rtogona!
Rectangu!ar
ingu!ar
$s una matriz en donde a!guno(s) de sus #ectores uedeconstruirse como una com'inacin !inea! de !os otros. $sdecir 8ue un #ector est7 contenido en e! su'esacio 5ormadoor !os deende de e!!os (son !inea!mente deendientes)
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s%o!ticas%&'!icas
OPERACIONES CON MATRICES
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OPERACIONES
Mu!ti!icar
umar
9n#ersa
9n#ersagenera!izada
A! transones una matriz !as 5i!as se cam'ian a co!umnas #ice#ersa. 6a transuesta se denota con un suerndice / ocon una comi!!a
/ransoner
(< : 2) (2 :
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adde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
9n#ersagenera!izada
9n#ersa
Mu!ti!icar
/ransoner
OPERACIONES
%ara sumar dos matrices =a 8ue sumar !as coordenadas decada uno de sus #ectores. %or !o tanto ara sumar dosmatrices de'en tener !as mismas dimensiones
umar
=1130
12
1X
= 1305
31
2X
=
+
++++
=+22
35
23
1131
0350
3112
21 XX
-
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"ni#ersid
adde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
9n#ersagenera!izada
9n#ersa
umar
/ransoner
OPERACIONES
$! roducto esca!ar entre marices corresonde a! roductoesca!ar entre !os #ectores 5i!a de !a matriz 8ue remu!ti!ica !os #ectores co!umna de !a matriz 8ue ost mu!ti!ica. 6oscua!es de'en tener !as dimensiones adecuadas.
Mu!ti!icar
(< : 2) >(2 : 2)(2 :
-
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adde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
9n#ersagenera!izada
Mu!ti!icar
/ransoner
umar
OPERACIONES
9n#ertir una matriz es encontrar otra matriz 8ue a! remu!ti!icar!a oostmu!ti!icar!a de como resu!tado !a matriz identidad. 6as matrices8ue se ueden in#ertir son cuadradas (sea X de dimensiones :)
9n#ersa
$sto es mu &ti! cuando se tiene un sistema de ecuaciones se
8uiere conocer e! #a!or de !os coe5icientes
4
i ? no es singu!ar se uede remu!ti!icar a am'os !ados or !ain#ersa
=
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"ni#ersid
adde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
9n#ersa
Mu!ti!icar
umar
/ransoner
OPERACIONES
%ara in#ertir matrices rectangu!ares se ueden rea!izar dosasos rimero mu!ti!icar or su transuesta ara #o!#ercuadrada !a matriz !uego tomar !a in#ersa de dic=amu!ti!icacin.sea X de dimensiones (n : ) !a in#ersa genera!izada ser7 dedimensiones ( : n) generar7 una matriz identidad dedimensiones ( : ).
9n#ersagenera!izada
@( :n) :(n :) :@( : n) :(n :) > :
$si e! sistema de ecuaciones 8ue se 8uiere dese4ar tiene necuaciones con incgnitas se uede usar !a in#ersa genera!izada
=
-
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"ni#ersid
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DESCOMPOSICIN ESPECTRAL
)ocesdelostoda)ia,resentes*+ord,ress*com
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o
RodrguezNieto,
scar(2015)MtodosdeRegresinA!icada,N
otasdeC!ase,
"ni#ersidadde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
DESCOMPOSICIN ESPECTRAL
i a una matriz simtrica A de dimensiones pxp se !e ueden encontrar #ectores roios c #a!ores roios (raz caracterstica) 8ue cum!an con !asiguiente igua!dad
$ntonces !a matriz se uede descomoner de !a siguiente 5orma
B adem7s cum!an 8ue sean ortogona!es entre si su magnitud sea 1.iii cc =A
1= iicc 0= jicc
ppp cccccc +++= 222111A
DIAGONALI1ACIN DE 5NA
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Citarcom
o
RodrguezNieto,
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otasdeC!ase,
"ni#ersidadde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
DIAGONALI1ACIN DE 5NAMATRI1
i se unen todos !os #ectores caractersticos en una matriz C !os #a!orescaractersticos en !a diagona! de una matriz se cum!e 8ue
6a descomosicin se uede escri'ir como
B muc=as oeraciones com!e4as se =acen muc=o m7s senci!!as
ppp cccccc +++=
222111A
CCA =
CCA = 11
CCA = kk
==j
j)det()det(A
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Citarcom
o
RodrguezNieto,
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otasdeC!ase,
"ni#ersidadde!RosarioMaestraen$conomade!
as%o!ticas%&'!icas
DISTANCIAS
Donus /racE
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Citarcom
o
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"ni#ersidadde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
DISTANCIA
Dimensin 1
Dimensin2
Conjunto de puntos
A una distancia menor que c
c
1L
1
2L
2
21x
12x
22x
11x
-
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Citarcom
o
RodrguezNieto,
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otasdeC!ase,
"ni#ersidadde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
6ORMAS C5ADR7TICAS
Dimensin 1
Dimensin2
El conjunto de puntos ovectores situados a una
distancia menor que c de un
vector
c
( ) 2
1
2 cxx
p
j
jij =
( ) ( ) 2c xxIxx
11x1x
2x
-
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Citarcom
o
RodrguezNieto,
scar(2015)MtodosdeRegresinA!icada,N
otasdeC!ase,
"ni#ersidadde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
6ORMAS C5ADR7TICAS
Dimensin2 Conjunto de puntos
A una distanciaestadstica equivalente
( ) 21
2
cs
xxp
i i
ii
=
( ) ( ) 2c xxSxx 1
1x
=
2
2
2
21
10
01
0
000
1
ps
s
s
1S
2x
-
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mo
ezNieto,
scar(2015)MtodosdeRegresinA!icada,N
otasdeC!ase,
dadde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas
6ORMAS C5ADR7TICAS
Dimensin 1
Dimensin2
( ) 21
2
cs
xxp
i i
ii
=
( ) ( ) 2c xxSxx 1
11x
=
11
1
1
2
1
21
1
1
1
12
1
11
ppp
p
p
ss
ss
sss
1S
1x
2x