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Repaso
Julio Yarasca
April 3, 2015
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 1 / 73
Pregunta 50
Hallar el valor de a para que la ecuación lineal no tenga solución
3x + ax + (a− 2)x = 3a− 2
a) −2 b) − 1
2c) 1
2d) 1 e) 2
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Solución
Recordemos
Una ecuación lineal de primer grado es de la forma
cx + d = 0
y no tiene solución si c = 0.
En efecto
3x + ax + (a− 2)x = 3a− 2
3x + ax + (a− 2)x − 3a + 2 = 0
[3 + a + (a− 2)]x + (−3a + 2) = 0
[1 + 2a]︸ ︷︷ ︸= 0
x + (−3a + 2) = 0
entonces tenemos 1 + 2a = 0⇒ a = − 1
2Clave b)
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Problema 52
Dieciocho personas tienen que pagar por partes iguales un consumo de $1620,como algunos de ellos no pueden hacerlo, cada uno de los visitantes tiene queaportar adiccionalmente $72 para cancelar la deuda ¾Cuántas personas nopagaron?
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
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Solución
Debemos tener en cuenta que
Personas que pagan × cuota = deuda
Primer Escenario, todos pagan
18× cuota inicial = 1620
entonces cuota inicial = 90
Segundo Escenario, algunos no pagan
Sean x la cantidad de personas que no pagan,
(18− x)× (cuota inicial + 72) = 1620
(18− x)× (90 + 72) = 1620
(18− x)(162) = 1620
18− x = 10⇒ x = 8 Clave b)
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Problema 53
Si a > 0 y −b > 0. Indicar los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
I.a− b
ab< 0
II. b2 > ab
III.b3
a− b2 < 0
a) VVF b) VVF c) VFV d) VFF e) FFF
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Solución
Recordemos
Sean a, b ∈ R se cumpleb2 ≥ 0 (1)
ab > 0⇐⇒ tienen los mismos signos (2)
ab < 0⇐⇒ signos distintos (3)
Si b 6= 0a
b> 0⇐⇒ tienen los mismos signos (4)
a
b< 0⇐⇒ tienen distintos signos (5)
b2 > 0 (6)
Tenemos que a > 0 y −b > 0 ≡ 0 > b, es decir tienen signos distintos.
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Continuación
I. Como a > 0 y 0 > b entonces a > b ≡ a− b > 0, y ab < 0 ya que a y btienen signos distinto.
En resumen tenemos a− b > 0 y ab < 0 entoncesa− b
ab< 0 por que tienen
signos distintos. Verdadero
II. Tenemos que b2 > 0 ya que es distinto de cero y ab < 0 entonces
b2 > ab Verdadero
III. Tenemos b3 = b2︸︷︷︸> 0
· b︸︷︷︸< 0
por lo tanto b3 < 0.
Ahorab3
a< 0 ya que b3 < 0 y a > 0 y b2 > 0 entonces se cumple
b2 >b3
a≡ b3
a− b2 < 0 Verdadero
Clave a)
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Problema 55
Si b < a < 0; indique cuál de la siguentes a�rmaciones son verdaderas
I. a2 > b2
II. a2 < b2
III. b2 < a
a) Solo II b) I y II c) II y III d) Solo I e) I, II y III
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Solución
Recordemos
b < a < 0 ⇒ a2 < b2 (7)
0 < b < a ⇒ b2 < a2 (8)
b < 0 < a ⇒ No podemos a�rmar nada
I) Falso ya que b < a < 0, entonces por (7) se tiene a2 < b2. FALSO
II) Verdadero ya que b < a < 0, entonces por (7) se tienea2 < b2.VERDADERO
III) Tenemos que b2 > 0 y a < 0 por lo tanto a < b2 entonces es falso. FALSO
Clave a)
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Problema 57
Indicar los valores de verdad de caa uno de las siguientes proposiciones.
I. Si 1 < x < 4⇐⇒ 1 < x2 < 16
II. Si −5 < x < −2⇐⇒ 4 < x2 < 25
III. Si −2 < x < 3⇒ 4 < x2 < 9
IV. Si x2 < 3⇒ −√3 < x <
√3
V. Si x2 > 5⇒ x >√5
a) VVVVV b) VVFVV c) VVVVF d) FFFVF e) VVFFV
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Solución
Recordemos
Si a > 0 y b > 0 se cumple
a < x < b ⇒ a2 < x2 < b2 (9)
Si a < 0 y b > 0 se cumple
a < x < b ⇒ 0 ≤ x2 < max{a2, b2} (10)
Si a < 0 y b < 0 se cumple
a < x < b ⇒ b2 < x2 < a2 (11)
Ejemplos
2 < x < 5⇒ 4 < x2 < 25
−3 < x < 2⇒ 0 ≤ x < 9︸︷︷︸= max{9,4}
−2 < x < −1⇒ 1 < x2 < 4Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 12 / 73
Continuación
También
Si a > 0 se cumplex2 < a⇒ −
√a < x <
√a (12)
Si a ≤ 0 se cumplex2 > a⇒ x >
√a ∨ x < −
√a (13)
I. Si 1 < x < 4⇐⇒ 1 < x2 < 16 FALSO por (9) ya que en las proposicion setiene (=⇒), NO (⇐⇒).
II. Si −5 < x < −2⇐⇒ 4 < x2 < 25 FALSO por (11)
III. Si −2 < x < 3⇒ 4 < x2 < 9 FALSO por (10)
IV. Si x2 < 3⇒ −√3 < x <
√3 VERDADERO por (12)
V. Si x2 > 5⇒ x >√5 FALSO por (13) Clave d)
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Problema 56
Indicar los valores de verdad de cada uno de las siguientes proposiciones:
I. Si 2 < x < 5 entonces 4 < x2 < 25
II. Si −π < x < 4 entonces π2 < x2 < 16
III. Si −7 < z < −2 entonces 4 < x2<49
a) VVV b) VFV c) VVF d) FFV e) FFF
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Solucion
I. Si 2 < x < 5 entonces 4 < x2 < 25, es Verdadera por (9)
II. Si −π < x < 4 entonces π2 < x2 < 16, es Falsa por (10)
III. Si −7 < z < −2 entonces 4 < x2<49, es Verdadera por (11)
Clave b)
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Problema 60
Si A es un conjunto de�nido por
A = {x ∈ Z/ ∼ [x ≤ −3 ∨ x > 5]}
Entonces el n(A) es:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
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Solución
Recordemos
∼ [x ≤ a] ≡ x > a
∼ [x ≥ a] ≡ x < a
∼ [x < a] ≡ x ≥ a
∼ [x ≥ a] ≡ x < a
∼ [p ∨ q] ≡∼ p ∧ ∼ q
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Continuación
Tenemos
A =
x ∈ Z/ ∼ [ x ≤ −3︸ ︷︷ ︸p
∨ x > 5︸ ︷︷ ︸q
]
= {x ∈ Z/ ∼ [p ∨ q]}
EntoncesA = {x ∈ Z/ ∼ p ∧ ∼ q}
Ahora∼ p =∼ [x ≤ −3] ≡ x > −3
∼ q =∼ [x > 5] ≡ x ≤ 5
Reemplazando
A = {x ∈ Z/x > −3 ∧ x ≤ 5} = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Por lo tanto tenemos n(A) = 8 Clave C)
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Problema 61
Sea A un conjunto de�nido por
A = {x ∈ R/x > 3→ x > 5}
Halle el con conjunto Ac
a) ∅b) 〈3, 5〉
c) [3, 5〉d) 〈3, 5]
e) 〈−∞, 3〉 ∪ 〈5,+∞〉
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Solución
Recordemos
p → q ≡∼ p ∨ q
Entonces
A =
x ∈ R/ x > 3︸ ︷︷ ︸p
→ x > 5︸ ︷︷ ︸q
= {x ∈ R/p → q}
EntoncesA = {x ∈ R/∼ p ∨ q}
Ahora∼ p ≡ [x > 3] ≡ x ≤ 3
Reemplazando
A = {x ∈ R/x ≤ 3 ∨ x > 5} = 〈−∞, 3] ∪ 〈5,+∞〉
Entonces
Ac = 〈3, 5] Clave d)
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Problema 64
Sean los conjuntos A = [−3, 4] y B = 〈0, 7].Halle el conjunto Ac\B
a) [−3, 7]b) [−3, 0] ∪ [4, 7]
c) 〈−∞,−3〉 ∪ [7,+∞〉d) 〈−∞,−3〉 ∪ 〈7,+∞〉
e) [4, 7]
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Solución
Tenemos que A = [−3, 4] entonces Ac = 〈−∞,−3〉 ∪ 〈4,+∞〉.
Ahora B = 〈0, 7], entonces Ac\B = 〈−∞,−3〉 ∪ 〈7,+∞〉Clave d)
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Problema 65
Sean A,B y C tres conjuntos de�nidos por
A = [3, 8〉
B = [−1, 6]
C = [−2,+∞〉
Halle el conjunto C ∩ (A∆B)
a) [−1, 3〉b) 〈6, 8]
c) [3, 6]
d) [−1, 3〉 ∪ 〈6, 8〉e) 〈−∞,−1〉 ∪ [3, 6] ∪ 〈8,+∞〉
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Solución
Recordemos
A∆B = (A ∪ B)− (A ∩ B) (14)
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 24 / 73
Continuación
Es facil de ver queA ∪ B = [−1, 8]
yA ∩ B = 〈3, 6]
A∆B = (A ∪ B)− (A ∩ B)
A∆B = [−1, 8]− 〈3, 6]
Por lo tanto A∆B = [−1, 3] ∪ 〈6, 8]Clave d)
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Problema 66
Si x ∈ 〈−3, 5] a que intervalo pertenece y =x + 4
x + 5
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Solución
Tenemos
y =x + 4
x + 5
=x + 4+1− 1
x + 5
=x + 5− 1
x + 5
= 1− 1
x + 5
Ahora como x ∈ 〈−3, 5] ≡ −3 < x ≤ 5, tenemos
2 < x + 5 ≤ 10 Sumando 5
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Continuación
1
10≤ 1
x + 5<
1
2Invirtiendo
−1
2< − 1
x + 5≤ − 1
10Multiplicando por − 1
1
2< 1− 1
x + 5︸ ︷︷ ︸= y
≤ 9
10Sumando 1
Por lo tanto
y ∈⟨1
2,9
10
]Clave d)
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Problema 68
Si F es un conjunto de�nido por
F =
{x ∈ R/5x − 3 < 7 ∨ 1
2x + 2 > 3
}Entonces se puede a�rmar:
a) [−2, 2] ⊂ Fb) F = ∅
c) F ∪ 2 = Rd) F ⊂ [0, 4]
e) F ⊂ 〈−∞, 2]
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 29 / 73
Solución
Tenemos
F =
x ∈ R/ 5x − 3 < 7︸ ︷︷ ︸x<2
∨ 1
2x + 2 > 3︸ ︷︷ ︸
x>2
Entonces
F = {x ∈ R/x < 2 ∨ x > 2} = 〈−∞, 2〉 ∪ 〈2,+∞〉
Entonces podemos a�rmar queF ∪ 2 = R
Clave c)
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Problema 2
Halle el conjunto solución S de la ecuación:
|5x + 1| = 3x + 11
Dar como respuesta la suma de los elementos de S .
a)1
2b)
3
2c)
5
2d)
7
2e)
9
2
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Solución
Recordemos
|x | < b ⇐⇒ b > 0 ∧ [x = b ∨ x = −b] (15)
Entonces|5x + 1| = 3x + 11
3x + 11 > 0 ∧ [5x + 1 = 3x + 11 ∨ 5x + 1 = −(3x + 11)]3x > −11 ∧ [5x + 1 = 3x + 11 ∨ 5x + 1 = −3x − 11]
x > −11
3∧ [5x − 3x = 11− 1 ∨ 5x + 3x = −11− 1]
... ∧ [2x = 10 ∨ 8x = −12]
x > −11
3∧ [ x = 5︸︷︷︸
>−11
3
∨ x = −12
8︸︷︷︸>−
11
3
]
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 32 / 73
Continuación
Ya que 5 y −12
8son mayores que −11
3tenemos que el conjunto solución de la
ecuación es
⇒ C .S . = {5,−12
8}
Ahora nos piden la suma de los elementos por lo tanto la respuesta es
5 + (−12
8) =
7
2Clave d)
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 33 / 73
Pregunta 4
Halle el conjunto solución de la ecuación
|x − 1| = |2x + 2|
Dar como respuesta el producto de los elementos de dicho conjunto.
a)1
2b) 1 c) 2 d) 4 e) 5
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 34 / 73
Solución
Recordemos
|x | = |b| ⇐⇒ [x = b ∨ x = −b] (16)
En efecto tenemos|x − 1| = |2x + 2|
x − 1 = 2x + 2 ∨ x − 1 = −(2x + 2)x − 1 = 2x + 2 ∨ x − 1 = −2x − 2
x − 2x = 2 + 1 ∨ x + 2x = −2 + 1−x = 3 ∨ 3x = −1
=⇒ x = −3 ∨ x =1
3
Por lo tanto el conjunto solución es
C .S . = {−3,−1
3}
Nos piden el producto, entonces −3 · −1
3= 1 Clave b)
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 35 / 73
Problema 6
Si S es el conjunto solución de la ecuación
x2 + 2x + 3 = 3|x + 1|
entonces la suma de los elementos de S es:
a) -4 b) -2 c) 1 d) 5 e) 6
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 36 / 73
Solución
Recordemos
x2 = |x |2 = |x2| (17)
En efectox2 + 2x + 3 = 3|x + 1|
x2 + 2x + 1 + 2 = 3|x + 1|x2 + 2x + 1︸ ︷︷ ︸+2 = 3|x + 1|
(x + 1)2 + 2 = 3|x + 1||x + 1|2 + 2 = 3|x + 1|
|x + 1|2 − 3|x + 1|+ 2 = 0(|x + 1| − 2︸ ︷︷ ︸
= 0
)(|x − 1| − 1︸ ︷︷ ︸= 0
) = 0
Ahora tenemos 2 ecuaciones con valor absoluto
|x + 1| − 2 = 0 o |x + 1| − 1 = 0
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 37 / 73
Continuación
Analizemos |x + 1| − 2 = 0 entonces
|x + 1| − 2 = 0 ≡ |x + 1| = 22 ≥ 0 ∧ [x + 1 = 2 ∨ x + 1 = −2]2 ≥ 0 ∧ [x = 1 ∨ x = −3]
Entonces el 1 y el −3 son soluciones. Analizemos |x + 1| − 1 = 0 entonces
|x + 1| − 1 = 0 ≡ |x + 1| = 11 ≥ 0 ∧ [x + 1 = 1 ∨ x + 1 = −1]2 ≥ 0 ∧ [x = 0 ∨ x = −2]
Entonces el 0 y el −2 son soluciones, por lo tanto la suma de todas sus solucioneses −4.
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 38 / 73
Problema 11
Si A es un conjunto de�nido por
A = {x ∈ R/3|x − 5|2 − 14|x − 5| − 5 = 0}
entonces la suma de los elementos del conjunto A es
a)12
3b)
16
3c) 10 d)
44
3e)
46
3
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 39 / 73
Solución
Aplicando aspa simple a la ecuación
3|x − 5|2 − 14|x − 5| − 5 = 0
nos queda(3|x − 5|+ 1)(|x − 5| − 5) = 0
Ahora tenemos que igualar cada uno a cero por lo que tenemos
3|x − 5|+ 1 = 0︸ ︷︷ ︸primera
y |x − 5| − 5 = 0︸ ︷︷ ︸segunda
La primera ecuación no tiene solución ya que la ecuacion3|x − 5|+ 1 = 0 ≡ 3|x − 5| = −1 y un valor absoluto NUNCA ES NEGATIVO.
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 40 / 73
Continuación
Ahora estudiemos la ecuacion
|x − 5| − 5 = 0 ≡ |x − 5| = 5
tenemos5 > 0 ∧ [x − 5 = 5 ∨ x − 5 = −5]5 > 0 ∧ [x = 10 ∨ x = 0]
Entonces el conjunto solución es A = { 10, 0} por lo tanto la suma es 10.
Clave c)
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 41 / 73
Problema 18
Si T es el conjunto solución de la inecuación |x − 3| < |4− x | ≤ |5− 2x |,entonces el conjunto T , es:
a) [1, 3]
b)
⟨−∞, 7
2
⟩ c) 〈−∞,−3〉 ∪[1,
7
2
]d) [1,+∞〉
e) 〈−∞, 1〉 ∪[3,
7
2
⟩
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 42 / 73
Solución
Recordemos
|x | < |y | ⇐⇒ (x + y)(x − y) < 0 (18)
Se tiene|x − 3| < |4− x | ≤ |5− 2x |
entonces|x − 3| < |4− x | ∧ |4− x | ≤ |5− 2x |
|x − 3| < |4− x | =⇒ ((x − 3) + (4− x))((x − 3)− (4− x)) < 01.(2x − 7) < 0
2x < 7
x <7
2
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 43 / 73
|4− x | ≤ |5− 2x | =⇒ ((4− x) + (5− 2x))((4− x)− (5− 2x)) ≤ 0(9− 3x).(x − 1) ≤ 03(3− x)(x − 1) ≤ 0
(3− x)(x − 1) ≤ 0(x − 3)(x − 1) ≥ 0
Entonces son soluciones de esta ecuación
Entonces〈−∞, 1] ∪ [3,+∞〉
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 44 / 73
Ahora debemos intersectar los conjunto solucion de las inecuaciones|4− x | ≤ |5− 2x | y |x − 3| < |4− x |, entonces en uno resulto
x <7
2
y〈−∞, 1] ∪ [3,+∞〉
Por lo tanto su intersección es
〈−∞, 1] ∪ [3,+∞〉
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 45 / 73
Problema 20
Dado los conjuntosA = {x ∈ R/|2x − 1| < 2}
B = {x ∈ R/|x − 1| ≤ 1}
C = {x ∈ R/|5x − 3| > 4− 2x}
El conjunto (A ∩ B) ∩ C
a)
⟨−1
2,1
3
⟩b)
⟨−1
3, 1
⟩c)
⟨−3
2,+∞
⟩d)
⟨1,
3
2
⟩e)
⟨−1
2,−1
3
⟩∪ 〈0, 1〉
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 46 / 73
Solución
Empezemos encontrando el conjunto A
A = {x ∈ R/|2x − 1| < 2}
Ahora |2x − 1| < 2 es equivalente a decir
2 > 0 ∧ [−2 < 2x − 1 < 2]2 > 0 ∧ [−2 + 1 < 2x < 2 + 1] Sumando 12 > 0 ∧ [−1 < 2x < 3]
2 > 0 ∧ [−1
2<
2x
2<
3
2] Dividiendo entre 2
2 > 0 ∧ [−1
2< x <
3
2]
Entonces A =
⟨−1
2,3
2
⟩Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 47 / 73
Continuación
Ahora con BB = {x ∈ R/|x − 1| ≤ 1}
Entonces |x − 1| ≤ 1 es equivalente a decir
1 > 0 ∧ [−1 < x − 1 < 1]1 > 0 ∧ [−1 + 1 < x < 1 + 1] Sumando 11 > 0 ∧ [0 < x < 2]
Por lo tanto B = 〈0, 2〉Por ultimo C
C = {x ∈ R/|5x − 3| > 4− 2x}
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 48 / 73
Continuación
Entonces |5x − 3| > 4− 2x es equivalente a decir:
5x − 3 > 4− 2x ∨ 5x − 3 < −(4− 2x)5x + 2x > 4 + 3 ∨ 5x − 3 < −4 + 2x7x > 7 ∨ 5x − 2x < −4 + 3x > 1 ∨ 3x < −1x > 1 ∨ x <
−13
Por lo tanto C =
⟨−∞,−1
3
⟩∪ 〈1,+∞〉
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 49 / 73
Por lo tanto podemos observarque la interseción de los 3 conjuntos es⟨1,
1
3
⟩Clave d)
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 50 / 73
Ejercicio
Nota:
Sea la inecuación|x − 2|+ |x + 1| < 4 (19)
En este caso podemos resolver con las herramientas antes usadas, pero la soluciónva a hacer muy tediosa, por lo que dividiremos el problema por casos.En este problema trabajaremos con 3 casos,estos dependen de la cantidad depuntos criticos, estos los hallamos igualando a cero lo que se encuentra en elinterior de los valores absolutos, en especial para la inecuación (19) tenemos:x − 2 = 0 y x + 1 = 0 entonces los valores criticos son 2 y −1
Entonces en la recta tenemos
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 51 / 73
Continuación
Ahora analizemos cuando son posivitos o negativos los valores que estan en elinterior de los valores absolutos
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 52 / 73
Caso 1 2 ≤ xEntonces x − 2 > 0 y x + 1 > 0 por lo tanto
|x − 2| = x − 2 y |x + 1| = x + 1
Remplazando en la inecuación (19) tenemos que
|x − 2|+ |x + 1| < 4 ≡ (x − 2) + (x + 1) < 32x − 1 < 42x < 5
x <5
2
Ahora este resultado me indica que para los 2 < x escoja los que veri�can
x <5
2por lo cual tenemos que los x que veri�can ambas condiciones son
del intervalo[2, 5
2
⟩.
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 53 / 73
Caso 2 −1 < x < 2Entonces x − 2 < 0 y x + 1 > 0 por lo tanto
|x − 2| = −(x − 2) y |x + 1| = x + 1
Remplazando en la inecuación (19) tenemos que
|x − 2|+ |x + 1| < 4 ≡ −(x − 2) + (x + 1) < 4−x + 2 + x + 1 < 4
3 < 4
Ahora este resultado me indica que para los −1 < x < 2 escoja los queveri�can 3 < 4︸ ︷︷ ︸
Verdadero
lo cual lo veri�can todos por lo tanto tenemos el
intervalo 〈−1, 2〉 .
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 54 / 73
Caso 3 x ≤ −1Entonces x − 2 < 0 y x + 1 < 0 por lo tanto
|x − 2| = −(x − 2) y |x + 1| = −(x + 1)
Remplazando en la inecuación (19) tenemos que
|x − 2|+ |x + 1| < 4 ≡ −(x − 2) +−(x + 1) < 4−x + 2− x − 1 < 4
−2x < 3
−3
2< x
Ahora este resultado me indica que para los x < −1 escoja los que
veri�can −3
2< x lo cual tenemos que los x que veri�can ambas
condiciones son del intervalo⟨− 3
2,−1
].
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 55 / 73
Por lo tanto la solución del problema es la unión de las respuestas de los 3 casos.
CS =
⟨−3
2,−1
]∪ 〈−1, 2〉 ∪
[2,
5
2
⟩=
⟨−3
2,5
2
⟩
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 56 / 73
Problema 26
Si [a, b] es el conjunto solución de
|x + 2|+ |x − 4| ≤ 8
entonces a + b es igual :
a) -2 b) -4 c) 0 d) 2 e) 4
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 57 / 73
Solución
|x + 2|+ |x − 4| ≤ 8 (20)
Los puntos criticos los hallamos x + 2 = 0 y x − 4 = 0 por lo tanto los puntoscriticos son −2 y 4.
Analizemos los valores que estan en el interior de los valores absolutos
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 58 / 73
Continuación
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 59 / 73
Caso 1 4 ≤ xEntonces x − 4 > 0 y x + 2 > 0 por lo tanto
|x − 4| = x − 4 y |x + 2| = x + 2
Remplazando en la inecuación (20) tenemos que
|x − 4|+ |x + 2| ≤ 8 ≡ (x − 4) + (x + 2) ≤ 82x − 2 ≤ 82x ≤ 10x ≤ 5
Ahora este resultado me indica que para los 4 ≤ x escoja los que veri�canx ≤ 5 por lo cual tenemos que los x que veri�can ambas condiciones sondel intervalo [4, 5].
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 60 / 73
Caso 2 −2 < x < 4Entonces x − 2 < 0 y x + 1 > 0 por lo tanto
|x − 4| = −(x − 4) y |x + 2| = x + 2
Remplazando en la inecuación (20) tenemos que
|x − 4|+ |x + 2| ≤ 8 ≡ −(x − 4) + (x + 2) ≤ 8−x + 4 + x + 2 ≤ 8
6 < 8
Ahora este resultado me indica que para los −2 < x < 4 escoja los queveri�can 6 < 8︸ ︷︷ ︸
Verdadero
lo cual lo veri�can todos por lo tanto tenemos el
intervalo 〈−2, 4〉 .
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 61 / 73
Caso 3 x ≤ −2Entonces x − 4 < 0 y x + 2 < 0 por lo tanto
|x − 4| = −(x − 4) y |x + 2| = −(x + 2)
Remplazando en la inecuación (20) tenemos que
|x − 4|+ |x + 2| ≤ 8 ≡ −(x − 4) +−(x + 2) ≤ 8−x + 4− x − 2 ≤ 8−2x + 2 ≤ 8−3 ≤ x
Ahora este resultado me indica que para los x < −1 escoja los queveri�can −3 < x lo cual tenemos que los x que veri�can ambascondiciones son del intervalo [−3,−2] .
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 62 / 73
Por lo tanto la solución es la unión de los intervalos obtenidos en los 3 casos
C .S = [−3,−2] ∪ 〈−2,−3〉 ∪ [4, 5] = [−3, 5]
Por lo tanto a = −3 y b = 5, nos piden la suma entonces la respuesta es−3 + 5 = −2
Clave d)
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 63 / 73
Problema 28
Si [a, b] ∪ [c ,+∞〉 es el conjunto solución de la inecuación
|x − 5| − |x − 7| ≤ x − 6
entonces el valor de T = a + b + c es:
a) 10 b) 12 c) 14 d) 18 e) 20
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 64 / 73
Solución
|x − 5| − |x − 7| ≤ x − 6
Los puntos criticos los hallamos x − 5 = 0 y x − 7 = 0 por lo tanto los puntoscriticos son 5 y 7.
Analizemos los valores que estan en el interior de los valores absolutos
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 65 / 73
Continuación
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 66 / 73
Caso 1 7 ≤ xEntonces x − 5 > 0 y x − 7 ≥ 0 por lo tanto
|x − 5| = x − 5 y |x − 7| = x − 7
Remplazando en la inecuación (19) tenemos que
|x − 5| − |x − 7| ≤ x − 6 ≡ (x − 5)− (x − 7) ≤ x − 6x − 5− x + 7 ≤ x − 6
6 + 2 ≤ x8 ≤ x
Ahora este resultado me indica que para los 7 ≤ x escoja los que veri�can8 ≤ x por lo cual tenemos que los x que veri�can ambas condiciones sondel intervalo [8,+∞〉.
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 67 / 73
Caso 2 5 < x < 7Entonces x − 5 > 0 y x − 7 < 0 por lo tanto
|x − 7| = −(x − 7) y |x − 5| = x − 5
Remplazando en la inecuación (19) tenemos que
|x − 5| − |x + 7| ≤ x − 6 ≡ (x − 5)− (−(x − 7)) ≤ x − 6x − 5 + x − 7 ≤ x − 6
2x − 12 ≤ −6x ≤ 6
Ahora este resultado me indica que para los 5 < x < 7 escoja los queveri�can x ≤ 6 por lo tanto los x que veri�can ambas condiciones son〈5, 6] .
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 68 / 73
Caso 3 x ≤ 5Entonces x − 5 < 0 y x − 7 < 0 por lo tanto
|x − 5| = −(x − 5) y |x − 7| = −(x − 7)
Remplazando en la inecuación (19) tenemos que
|x − 5| − |x − 7| ≤ x − 6 ≡ −(x − 5)− (−(x − 7)) ≤ x − 6−x + 5 + x − 7 ≤ x − 6
−2 ≤ x − 64 ≤ x
Ahora este resultado me indica que para los x ≤ 5 escoja los que veri�can4 ≤ x lo cual tenemos que los x que veri�can ambas condiciones son delintervalo [4, 5] .
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 69 / 73
Por lo tanto la solución es la unión de los intervalos obtenidos en los 3 casos
C .S = [4, 5] ∪ 〈5, 6〉 ∪ [8,+∞〉 = [4, 6] ∪ [8,+∞〉
Por lo tanto a = 4 , b = 6 y c = 8, nos piden la suma entonces la respuesta es4 + 6 + 8 = 18
Clave d)
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 70 / 73
Problema 29
Determinar A ∩ B, siA = {x ∈ R/
√x − 2 ≤ 0}
B = {x ∈ R/√3− |x | ≥ −2}
a) {3,−3} b) {2} c) [−3, 2] d) ∅ e) [0,+∞〉
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 71 / 73
Solución
Recordemos√a = b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ b2 = a
Es decir la raíz cuadrada de un numero siempre es no negatica (es decir ≥ 0).
Analicemos primero el conjunto A
A = {x ∈ R/√x − 2 ≤ 0︸ ︷︷ ︸√x−2=0
}
Ya que la raiz cuadrada no negativa, es decir no toma valores negativos entoncesla única alternativa que nos queda es que sea igual a cero. Resolviendo tenemos
√x − 2 = 0 =⇒ x − 2 = 0 =⇒ x = 2
Por lo tanto A = {2}, ahora analicemos el conjunto B.
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 72 / 73
B = {x ∈ R/√3− |x | ≥ −2}
Como la raiz cuadrada siempre es no negatica entonces siempre es mayor que unnúmero negatico, pero en este caso hay un detalle, debemos asegurarnos que
3− |x | ≥ 0
Tenemos3− |x | ≥ 0⇐⇒ 3 > |x |
Entonces3 > 0 ∧ [−3 < x < 3]
Por lo tanto B = 〈−3, 3〉 y A ∩ B = {2} ∩ 〈−3, 3〉 = {2}clave b)
Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 73 / 73