UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE

NUEVO LEÓN

Facultad de Ciencias Químicas

Ingeniería Química

LABORATORIO DE CONTROL DE PROCESOS

Práctica No. 3

Identificación 1er. orden y Linealización

Grupo 1

Equipo No. 1

Nombre Matrícula

Belén del Consuelo Alvarado Guerrero 1397767

Mario Alberto Galván García 1355876

Daniel Simón Olivo Alanís 1501436

Mauro Agustín Vanegas Cerda 1389988

Monterrey, N.L., Jueves 4 de Octubre de 2012.

Resumen

Objetivo: A partir de tres modelos (lineal, no lineal y la comparación de estos en simulink)

determinar los parámetros en un sistema de primer orden.

En esta práctica se obtuvieron lecturas de altura de un flujo de agua contra tiempo al llenar o

vaciar el tanque mediante un sensor de nivel conectado a una tarjeta de adquisición de datos y

este a su vez a la computadora. Los datos se obtuvieron hasta llegar a un estado estable. A partir

de estos datos se ajustaron a modelos lineal, no lineal y linealizado mediante diferentes

programas para determinar los parámetros en el sistema de primer orden. Los materiales que se

utilizaron fueron el tanque donde se depositó el agua, una bomba, una válvula solenoide, válvula

de flujo de entrada, válvula de salida y una computadora junto con la tarjeta para poder realizar

las lecturas de voltaje.

Teoría

La linealización es el proceso por el cual los sistemas no lineales son aproximados por los lineales.

Considerar la siguiente ecuación diferencial no lineal, el modelado de un proceso dado

Ampliar la función no lineal f(x) en serie de Taylor alrededor del punto xo y tomar

(

)

(

)

(

)

La aproximación lineal depende de la localización del punto xo alrededor de la cual hacemos la

expansión en serie de Taylor. La aproximación sólo es exacta en el punto de linealización.

(

)

Esta ecuación es la aproximación linealizada del sistema dinámico inicial dada por la ecuación.

Sistemas de primer orden

Un sistema de primer orden es uno cuya salida y(t) se modela mediante una ecuación diferencial

de primer orden. Así, en el caso de sistema lineal (o linealizado), tenemos

donde f (t) es la entrada (función de fuerza). Si ao = 0, entonces se obtiene

Definir

y tomar

τp es conocida como la constante de tiempo del proceso y Kp se denomina ganancia de estado

estacionario o ganancia estática o simplemente la ganancia del proceso.

Si y (t) y f (t) son términos de variables de desviación alrededor de un estado estacionario, las

condiciones iniciales son y(0) = 0 and f(0) = 0

De la ecuación 2 que se encuentra fácilmente que la función de transferencia de un proceso de

primer orden está dada por

Un proceso de primer orden con una función de transferencia dada por la ecuación anterior es

también conocida como retardo de primer orden, retardo lineal, o de retardo de transferencia

exponencial.

Si, por otro lado, ao = 0, entonces:

lo que da una función de transferencia

En tal caso, el proceso se llama puramente capacitivo o de puramente integrador.

Los procesos de primer orden se caracterizan por:

1. Su capacidad para almacenar material, energía o impulso

2. La resistencia asociada con el flujo de masa, energía o impulso en alcanzar la capacidad

Así, la respuesta dinámica de tanques que tienen la capacidad de almacenar líquidos o gases

puede ser modelado como de primer orden. La resistencia se asocia a las bombas, válvulas,

vertederos, y los tubos que están unidos a los líquidos que afluyen o fluye hacia o gases. Un

proceso que posee una capacidad para almacenar masa o energía y por lo tanto actuar como un

amortiguador entre el flujo de entrada y efluente corrientes se modela como un sistema de primer

orden.

Procedimiento experimental.

El procedimiento experimental llevado a cabo en esta práctica fue el siguiente.

Antes que nada empezamos por revisar el equipo proporcionado para esta práctica y analizar un

el funcionamiento de las diferentes partes de este y después se realizaron los siguientes pasos.

1. Se inicio la práctica observando el valor que teníamos en el voltaje al nivel de 0 cm

2. Después se procedió a abrir las válvulas de flujo de entrada, la válvula solenoide y

encender la bomba.

3. Se espero a que en el tanque alcanzáramos el nivel máximo de llenado y se registro el

valor de voltaje mostrado en el voltímetro.

1) Al contar con es Teniendo estas dos lecturas, procedemos a hacer una regresión que nos

permita conocer el nivel por medio del sensor el cual proporciona una intensidad de

corriente que se convierte a volts por medio de una resistencia usando la Ley de Ohm.

4. Al contar con estas dos lecturas procedimos a hacer una regresión que nos permita

conocer el nivel por medio del sensor el cual proporciona una intensidad de corriente que

se convierte a volts por medio de una resistencia usando la Ley de Ohm.

5. Después de esto seguimos tomando mas mediciones del voltaje en relación al nivel del

tanque de esta manera confirmar que nuestra relación era correcta.

6. Se procedió después a conectar la tarjeta en los canales mostrados en el programa de

verificación de esta tarjeta.

7. Después de haber conectado la tarjeta se verifico que tuviéramos lectura y después de

esto pasamos a abrir el programa de Labview.

8. En el programa de Labview procedimos a realizar nuestro arreglo para medir las lecturas

registradas de volts.

9. Al tener el programa listo, realizamos una tomas de datos para verificar que estos

coincidieran con los datos registrados por el voltímetro.

10. Se procedió a tomar varias series de datos con el programa y tener la certeza de que los

valores fueran los correctos.

11. Después procedimos a tratar de tener flujo estable en el tanque manipulando la válvula de

salida y de esta manera tener una serie de datos de Flujo vs Tiempo.

12. En el primer intento para mantener el flujo estable, giramos la válvula de salida más de 1

vuelta pero al final el flujo no se mantenía estable.

13. Después de varios intentos pudimos obtener un flujo estable en el tanque girando la

válvula de salida media vuelta.

14. Al tener ya el flujo estable procedimos a correr de nuevo el programa realizado en

Labview ya con nuestra regresión integrada a él, para que de esta manera nos arrojara los

datos del nivel del tanque con respecto al tiempo elegido.

15. Registramos una serie de datos en un archivo de texto y se guardaron para su uso

posterior.

16. Finalmente al ya contar con los datos de Flujo vs Tiempo se procedió a cerrar la válvula de

flujo de entrada y apagar la bomba del equipo.

Resultados y discusiones

Datos de constantes:

Área = 207cm2 hss = 8.4cm Altura total = 14 cm M = Fo = 25 cm3/s

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 50 100 150 200 250 300

h(cm)

t(seg)

t(seg) h(cm)

0 0.00512358

10 0.07301056

20 0.33890136

30 0.58782024

40 1.47600852

50 1.834301

60 2.38305424

70 3.19486944

80 3.19486944

90 3.73607962

100 4.34800548

110 4.83170044

120 5.22393634

130 5.89337756

140 6.03480892

150 6.19698338

160 6.3912156

170 7.0276563

180 6.88433928

190 6.9211114

200 7.26621644

210 7.42554946

220 7.5820668

230 7.74612706

240 7.98656026

250 8.2203933

260 8.03841836

270 8.13364874

280 8.1091339

290 8.3296122

300 8.44385458

Para a Ecuación lineal

teKMth

s

K

sAR

R

siF

sH

LaPlaceUtilizando

R

h

iFF

iF

dt

dV

1)(

11*

0

El valor de K y de se calculó en Matlab, dando los siguientes resultados:

K =0.421seg/cm2

= 138 seg

Para la Ecuación no lineal

A

t

C

h

hCF

F

R

F

Quedando

hCFFFdt

dV

vvi

ii

vii

2ln

:

2

0

Para el cálculo del valor de Cv se utilizó Matlab.

Cv = 8.5 cm2.5/seg

Ecuación Linealizada

√

√

√

√

[

√

](

√

⁄

) [ √

](

√

⁄

)

Cv = 7.848 cm2.5/seg K=0.7386 seg/cm2

=152.89 seg

Comparación de los tres modelos en Simulink

Figura1: Los tres casos presentados en SimuLink. .

Figura 2: Diagrama de bloques en SimuLink.

Conclusiones

Analizando nuestro sistema, suponiendo un comportamiento lineal podemos apreciar una

semejanza cercana con algunos datos experimentales obtenidos, pero como era de esperarse no

se tiene un comportamiento lineal.

Al analizar nuestro sistema con comportamiento no lineal se llega a un acercamiento mejor hacia

los datos experimentales obtenidos y el comportamiento de nuestro sistema.

La comparación de estos dos modelos, lineal y no lineal nos muestra una diferencia entre uno y

otro, además una diferencia más grande con respecto a la linealizada.

Concluimos que el modelo no lineal se ajusta mejor al comportamiento de nuestro sistema de

llenado de tanque.

Anexos

Resolución de ecuaciones:

Lineal

( )

[

]

(

)

No lineal

√

√

√

√

√

[

]

[

]

[

]

[

]

∫

∫

∫

( √ )

√

( √ )

√

(

√ )

√

Linearizado

√

√

√ [ √ ]

[

] √ √

√ √

√

√

(

√

√ )

(

√

√ )

√

√

√

[

√

] √

√

[

√

]

√

√

√

√

[

√

]

(

√

⁄

)

[ √

]

(

√

⁄

)

Códigos de Matlab

Ecuación Lineal

syms k tao m=25 datos = [0.0051235 0 0.07301056 10 0.33890136 20 1.28782024 30 1.67600852 40 2.43430100 50 2.98305424 60 3.19486944 70 3.19486944 80 3.73607962 90 4.34800548 100 4.83170044 110 5.22393634 120 5.89337756 130 6.03480892 140 6.19698338 150 6.39121560 160 7.02765630 170 6.88433928 180 6.92111140 190 7.26621644 200 7.42554946 210 7.58206680 220 7.74612706 230 8.03841836 240 7.89784713 250 8.16597513 260 7.99876134 270 8.03659771 280 8.23659748 290 7.71976542 300 8.35648791 310 8.03264971 320 7.87947193 330 7.59751324 340 8.12346796 350]; t = datos(:,2); h = datos(:,1); e=0; for i=1:32; he(i)= m*k*(1-exp(-t(i)/tao)); e = e + (h(i)-he(i))^2; end

grad_e= transpose (jacobian(e,[k,tao])); hess_e=jacobian(grad_e,[k,tao]);

x0=[0.18; 38];

b=1; while b>0.01 xa=x0; grad_e_x0= subs(grad_e, {k, tao}, {x0(1),x0(2)}); hess_e_x0= subs(hess_e, {k, tao}, {x0(1),x0(2)}); x0=x0-hess_e_x0^(-1)*grad_e_x0; b=abs(x0-xa); end

k=x0(1) tao=x0(2) e=0; for i=1:15; he(i)= m*k*(1-exp(-t(i)/tao)); e = e + (h(i)-he(i))^2; end

fprintf('el valor de la ganancia es: \n'); disp (k) fprintf('el valor de la constante de tiempo es: \n'); disp(tao)

plot(t,h,'o') hold on h=m*k*(1-exp(-t/tao)); plot(t,h)

Ecuación No Lineal

clc clear all syms Cv Fi=25;%cm3/seg A=207;%cm2 data =[0.0051235 0 0.07301056 10 0.33890136 20 1.28782024 30 1.67600852 40 2.43430100 50 2.98305424 60 3.19486944 70 3.19486944 80 3.73607962 90 4.34800548 100 4.83170044 110 5.22393634 120

5.89337756 130 6.19698338 140 6.39121560 150 7.02765630 160 7.27917897 170 7.46621644 180 7.52554946 190 7.98206680 200];

t=data(:,2); h=data(:,1); err=0; for i=1:20; err=err+(Fi/(Cv^2))*log(Fi/(Fi-Cv*h(i)^(1/2)))-h(i)^(1/2)/Cv-t(i)/(2*A);%

ecn igualada a cero end %**Newton-Raphson** co=12; dCv=diff(err,Cv); Cvi=8; while co>=.0001; Cvn=subs(Cvi-err/dCv,{Cv},{Cvi}); co=abs(Cvn-Cvi); Cvi=Cvn; end Cv=abs(Cvi); disp('Valor de Cv') disp(Cv)

Ecuación Linealizada

clc clear all syms Cv A=207; hs=8.4; M=25;%cm3/seg datos =[0.0051235 0 0.07301056 10 0.33890136 20 1.28782024 30 1.67600852 40 2.43430100 50 2.98305424 60 3.19486944 70 3.19486944 80 3.73607962 90 4.34800548 100 4.83170044 110 5.22393634 120 5.89337756 130 6.19698338 140 6.39121560 150 7.02765630 160 7.47917897 170

7.46621644 180 7.52554946 190 7.98206680 200];

t=datos(:,2); y=datos(:,1); err=0; for i=1:20; ye(i)=((2*hs^.5/Cv)*M-hs)*(1-exp(-t(i)/(2*hs^.5*A/Cv))); err=err+(y(i)-ye(i))^2; end co=12; grad_e=transpose(jacobian(err,[Cv])); hess_e=jacobian(grad_e,[Cv]); x0=8; for i=1:20 grad_e_x0=subs(grad_e,{Cv},{x0}); hess_e_x0=subs(hess_e,{Cv},{x0}); x0=x0-hess_e_x0^(-1)*grad_e_x0;

end Cv=abs(x0); disp('Valor de Cv') disp(Cv)