REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES

DOMINIO

���� � ���� � ∈ � ��� ∈ �� Si no se indica lo contrario de forma explícita, el dominio de

la función será el mayor posible, es decir, el conjunto de

todos los números reales para los que tiene sentido la

expresión algebraica de la función.

• � función polinómica, ��� � ��� ⟹ ���� � �

• � función racional, ��� � �������� ⟹���� � ∈ � ���⁄ � 0� � � � ∖ ∈ � ���⁄ � 0�

• � cociente de funciones, ��� � �������� ⟹���� � ∈ ���� ∩ ���� ���⁄ � 0�

• � función radical de índice impar, ��� � ����� !" ⟹���� � ���� • � función radical de índice par, ��� � ����� ⟹ ���� � ∈ ���� ���⁄ # 0� • � función logarítmica, ��� � $��% ��� ⟹ ���� � ∈ ���� ���⁄ & 0� • � función exponencial, ��� � ������� ⟹ ⟹���� � ∈ ���� ∩ ���� ���⁄ & 0� ∪ ∈ ���� ∩ ���� ���⁄ � 0, ��� � 0� • � función trigonométrica ) ��� � *+,-���. ⟹ ���� � ������� � /�*-���. ⟹ ���� � ������� � 0�-���. ⟹ ���� � 1 ∈ ���� /�*-���.⁄ � 02

SIMETRÍA

a) Simetría Par (simetría respecto al eje 34) 5 función par ⟺ ��7� � ���, ∀ ∈ ���� b) Simetría Impar (simetría respecto al punto 3�0, 0�) 5 función impar ⟺ ��7� � 7���, ∀ ∈ ����

• Si una función es par o impar, basta hacer el estudio para # 0 y, por simetría,

obtener la gráfica para 9 0.

PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES

PERIODICIDAD

5 función periódica ⟺ ∃; ∈ � ���⁄ � �� < ;�, ∀ ∈ ���� = ⟶ Período de 5 (menor valor real que cumple la

condición)

• Esta característica aparece asociada a algunas funciones de tipo trigonométrico.

• En el caso de funciones periódicas, basta construir la gráfica en un período y,

después, repetir ese tramo sucesivamente.

PUNTOS DE CORTE

CON LOS EJES

a) Puntos de corte con el eje ?@: AB � 0, ��B� � 0 b) Punto de corte con el eje ?C: B � 0, AB � ��0�

• Los puntos de corte con 3D son de la forma �B, 0�, donde B es solución de la ecuación ��� � 0. • La función puede presentar ninguno, uno o varios puntos de corte con el eje 3D.

• El punto de corte con 34, si existe, siempre es único, coincidiendo con �0, ��0��.

CONTINUIDAD

a) 5 continua en EF ⟺ ��B� � $G��→�I ��� b) 5 continua en �J, K� ⟺ � continua en B, ∀B ∈ �L, M�

Es interesante identificar las posibles discontinuidades que presenta la función, así

como el tipo de estas:

• E � EF discontinuidad evitable⟺ ⟺) B ∉ ����, $G��→�I ��� ∈ �

oB ∈ ����, $G��→�I ��� ∈ �, ��B� � $G��→�I ���

• E � EF discontinuidad inevitable de 1ª especie de salto finito ⟺ ⟺

OPQPR $G��→�IS ��� ∈ � $G��→�I! ��� ∈ �$G��→�IS ��� � $G��→�I! ���

• E � EF discontinuidad inevitable de 1ª especie de salto infinito ⟺

⟺OQR $G��→�IS ��� � T∞

o/y$G��→�I! ��� � T∞

PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES

SIGNO

a) ��� & 0 ⟹ gráfica por encima del eje 3D

b) ��� V 0 ⟹ gráfica por debajo del eje 3D

• Para estudiar el signo de � hay que tener en cuenta las regiones determinadas por

los intervalos de definición (dominio), así como las posibles discontinuidades y las

abscisas de los puntos de corte con el eje 3D (si estos existen).

ASÍNTOTAS

a) Asíntotas Verticales (AV): $G��→WS ��� � T∞⟺ � / AV por la izquierda

$G��→W! ��� � T∞⟺ � / AV por la derecha

• Para determinar las asíntotas verticales se estudia el límite de la función en aquellos

valores que dan problemas de existencia.

• La existencia de asíntotas verticales da lugar a ramas infinitas en un punto.

• Una función puede tener infinitas asíntotas verticales.

• Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales.

• Las funciones racionales tienen asíntotas verticales en los valores de que anulan el

denominador.

b) Asíntotas Horizontales (AH): $G��→XY ��� � Z ∈ � ⟺ A � Z AH cuando → 7∞

$G��→[Y��� � Z ∈ � ⟺ A � Z AH cuando → <∞

• Una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales.

• Las funciones polinómicas no tienen asíntotas horizontales.

• En funciones racionales, ��� � �������� : �\L]���� V �\L]���� ⟹ A � 0 AH �\L]���� � �\L]���� ⟹ A � W^_`aWa_bc_deabWad%f����W^_`aWa_bc_deabWad%f���� AH

• Para conocer la posición de la gráfica respecto de la asíntota horizontal A � Z, se

estudia el signo de ��� 7 Z cuando → 7∞ o/y cuando → <∞, según corresponda,

de modo que la gráfica estará por encima o por debajo de la asíntota según que esa

diferencia sea, respectivamente, positiva o negativa.

→ T∞

cuando → <∞

cuando → 7∞

PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES

ASÍNTOTAS

c) Asíntotas Oblicuas (AO): $G��→TY `���� � � ∈ � ∖ 0�$G��→TYg��� 7�h �, ∈ �i ⟹ A � � < , AO cuando

• Las asíntotas oblicuas solo se estudian dónde no haya asíntotas horizontales.

• La posición de la curva respecto de la asíntota oblicua A � � < ,, se deduce

estudiando el signo de ��� 7 �� < ,� cuando → 7∞ o/y cuando → <∞, según

corresponda. La gráfica se encuentra por encima de la recta si la diferencia es

positiva, y por debajo, si es negativa.

• Se deben hallar los posibles puntos de corte entre la curva y la asíntota oblicua.

• Las funciones polinómicas no tienen asíntotas oblicuas.

• En funciones racionales, ��� � �������� : �\L]���� � �\L]���� < 1 ⟹ A � /�/G+,0+]+ �������� AO

RAMAS PARABÓLICAS

a) $G��→[Y ��� � T∞∄AO cuando → <∞l ⟹ � presenta rama parabólica

b) $G��→XY ��� � T∞∄AO cuando → 7∞l ⟹ � presenta rama parabólica

• Las ramas parabólicas son ramas infinitas en el infinito.

DERIVABILIDAD

a) 5 derivable en EF ∈ m�5� por la izquierda ⟺ ⟺ ∃ $G��→BS `��I[��X`��I�� ∈ �⟹ �n�BX� � $G��→BS `��I[��X`��I��

b) 5 derivable en EF ∈ m�5� por la derecha ⟺ ⟺ ∃ $G��→B! `��I[��X`��I�� ∈ �⟹ �n�B[� � $G��→B! `��I[��X`��I��

c) 5 derivable en EF ∈ m�5� ⟺ ⟺ ∃ $G��→B `��I[��X`��I�� ∈ � ⟹ �n�B� � $G��→B `��I[��X`��I��

d) 5 derivable en �J, K� ⟺ �derivable enB, ∀B ∈ �L, M�

Conviene identificar los puntos del dominio en los que la función no es derivable:

• �no continua enB ∈ ���� ⟹ �no derivable enB ∈ ���� • ∃�n�BX�, ∃�n�B[��n�BX� � �n�B[� o ⟹ �no derivable enB ∈ ���� ⟶B punto anguloso

• $G��→BS `��I[��X`��I�� � T∞$G��→B! `��I[��X`��I�� � T∞i ⟹ �no derivable enB ∈ ���� ⟶ ⟶pB punto anguloso(un límite infinito y el otro real)B punto de retroceso(un límite <∞ y otro 7∞)B punto de inflexión con tangente horizontal (los dos límites <∞o7∞)

PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES

MONOTONÍA a) �n�� & 0 ⟹ 5 creciente

b) �n�� < 0 ⟹ 5 decreciente

• Se estudia el signo de �n en las regiones determinadas por los intervalos de definición

de la función y por aquellos puntos en los que �n se anula, o bien, no existe.

EXTREMOS RELATIVOS

a) �n�B� = 0�nn�B� < 0 o ⟹ EF máximo de 5 ⟺

⟺ -B, ��B�. máximo de la curva A = ��� b)

�n�B� = 0�nn�B� > 0 o ⟹ EF mínimo de 5 ⟺

⟺ -B, ��B�. mínimo de la curva A = ���

• Son los puntos del dominio en los que la función pasa de creciente a decreciente

(máximos) o de decreciente a creciente (mínimos).

• Los posibles extremos relativos de una función derivable son los puntos solución de

la ecuación �n�� = 0.

• Otro criterio para localizar los extremos relativos de funciones derivables es este: �n�B� = 0 �n�BX� > 0 �n�B[� < 0 i ⟹ EF máximo de � ⟺ -B, ��B�. máximo de la curva A = ��� �n�B� = 0 �n�BX� < 0 �n�B[� > 0 i ⟹ EF mínimo de � ⟺ -B, ��B�. mínimo de la curva A = ���

• También pueden ser máximos o mínimos los extremos de los intervalos de definición

de la función (si están incluidos), así como los puntos del dominio en los que esta no

es derivable, por lo que es preciso estudiar los valores que toma � en un entorno de

dichos puntos.

• De entre todos los máximos, aquel en el que la función alcanza el mayor valor es el

máximo absoluto.

• De entre todos los mínimos, será mínimo absoluto el punto en el que la función toma

el menor valor.

• Una función puede no presentar extremos (relativos ni absolutos), o bien, sí tener

algún extremo relativo, pero no el correspondiente absoluto.

CURVATURA a) �nn�� > 0 ⟹ 5 convexa

b) �nn�� < 0 ⟹ 5 cóncava

• Se estudia el signo de �nn en las regiones determinadas por los intervalos de

definición de la función y por aquellos puntos en los que �nn se anula, o bien, no existe.

PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES

PUNTOS DE

INFLEXIÓN

�nn�B� = 0�nnn�B� ≠ 0 o ⟹ EF punto de inflexión de 5 ⟺

⟺ -B, ��B�. punto de inflexión de la curva A = ��� • Son los puntos del dominio en los que cambia la curvatura de la función.

• En el caso de las funciones dos veces derivables, los posibles puntos de inflexión son

las soluciones de la ecuación �nn�� = 0.

• Otro criterio para localizar los extremos relativos de funciones derivables es este: �nn�B� = 0 *G�,� �nn�BX� ≠ *G�,� �nn�BX� o ⟹ EF punto de inflexión de � ⟺ ⟺ -B, ��B�. punto de inflexión de la curva A = ���

• También pueden ser puntos de inflexión los puntos del dominio de la función en los

que no existe �nn.

TABLA DE VALORES

Construir una tabla de valores, sustituyendo en la expresión

algebraica de la función por los valores B

correspondientes a los puntos característicos que han

surgido a lo largo del estudio realizado.

A menudo conviene calcular también otros puntos que

faciliten la representación gráfica.

GRÁFICA

La gráfica de la función � es el lugar geométrico de los

puntos �, A� del plano que satisfacen la ecuación A = ���. • Graduar los ejes convenientemente para representar todas las características de �.

• Dibujar las posibles asíntotas.

• Representar los puntos �, ���� contenidos en la tabla de valores.