1

Representacin grfica de funciones

La grfica de una funcin est formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la funcin

Grfica de una fucin

grfica (f) = {(x, f(x)) / x D}

Para representarla calcularemos aquellos puntos o intervalos donde la funcin tiene un comportamiento especial, que determinaremos mediante el estudio de los siguientes apartados:

1. Dominio de una funcin. 2. Simetra. 3. Periodicidad. 4. Puntos de corte con los ejes. 5. Asntotas. 6. Ramas parablicas. 7. Crecimiento y Decrecimiento. 8. Mximos y mnimos. 9. Concavidad y convexidad. 10. Puntos de inflexin.

Dominio de una funcin

El dominio de una funcin est formado por todos los elementos que tienen imagen.

D = {x / f (x)}

Clculo del dominio de una funcin

Dominio de la funcin polinmica

El dominio de una funcin polinmica es

f(x)= x2 - 5x + 6 D=R

Dominio de la funcin racional

El dominio es menos los valores que anulan al denominador.

Dominio de la funcin radical de ndice impar

El dominio es R.

2

Dominio de la funcin radical de ndice par

El dominio est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la funcin logartmica

El dominio est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la funcin exponencial

D =

Dominio de la funcin seno

D = .

3

Dominio de la funcin coseno

D = .

Dominio de la funcin tangente

Dominio de la funcin cotangente

Dominio de la funcin secante

Dominio de la funcin cosecante

Dominio de operaciones con funciones

Ejemplo:

4

Simetra de una funcin Simetra respecto del eje de ordenadas

Una funcin f es simtrica respecto del eje de ordenadas si sta es una funcin par, es decir:

f(-x) = f(x)

Ejemplo:

Simetra respecto al origen

Una funcin f es simtrica respecto al origen si sta es una funcin impar, es decir:

f(-x) = -f(x)

5

Periodicidad de una funcin

Funciones peridicas

Una funcin es peridica cuando:

La funcin se repite de T en T, siendo T el perodo.

La funcin f(x) = x E(x), es peridica de periodo 1.

Ejemplos:

sen (x + 2) = sen x

En el caso de la funcin seno T = 2

tg (x + ) = tg x

En el caso de la funcin tangente T =

6

Si f es peridica de perodo T, tambin lo es f(mx +n), y su perodo es T/m.

Hallar el periodo de las funciones:

Ejemplos

1f(x) = sen 2x

2f(x) = tg (1/2)x

3f(x) = E (1/2)x

Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuacin resultante.

Hallar los puntos de corte con el eje OX de la funcin:

Ejemplo:

Punto de corte con el eje OY

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

Hallar el punto de corte con el ejes OY de la funcin:

Ejemplo:

7

Hallar los puntos de corte con los ejes de la funcin:

Ejemplo de puntos de corte con los ejes

Las asntotas son rectas a las cuales la funcin se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos:

Asntotas

Asntotas horizontales La recta y=k es una asntota horizontal si se cumple que:

Una funcin puede tener hasta dos asntotas horizontales, correspondientes a cada uno de los lmites.

Calcular las asntotas horizontales de la funcin:

Ejemplo:

8

Asntotas verticales

La recta x=k es una asntota horizontal de la funcin f(x) si se cumple que:

Los valores de K hay que buscarlos en los puntos que no pertenecen al dominio de la funcin.

Una funcin puede tener infinitas asntotas verticales (por ejemplo la funcin tangente)

Calcular las asntotas horizontales y verticales de la funcin:

Ejemplo:

Una asntota vertical tiene por ecuacin y = mx + n

Asntotas oblicuas

Slo existen asntotas oblicuas cuando no haya asntotas horizontales.

9

Una funcin puede tener hasta dos asntotas oblicuas, correspondientes a cada uno de los lmites (+ ).

Calcular las asntotas de la funcin:

Ejemplo

Asntotas horizontales

Asntotas verticales

Asntotas oblicuas

10

Las ramas parablicas se estudian slo si:

Ramas parablicas

Se dice que f tiene una rama parablica en la direccin del eje OY cuando:

Rama parablica en la direccin del eje OY

Esto quiere decir que la grfica se comporta como una parbola de eje vertical.

Estudiar las ramas parablicas de la funcin:

Ejemplo

Tiene una rama parablica en la direccin del eje OY.

Se dice que f tiene una rama parablica en la direccin del eje OX cuando:

Rama parablica en la direccin del eje OX

Esto quiere decir que la grfica se comporta como una parbola de eje horizontal.

11

Estudiar las ramas parablicas de la funcin:

Ejemplo

Tiene una rama parablica en la direccin del eje OX.

Crecimiento y decrecimiento Crecimiento en un punto

Si f es derivable en a:

f es estrictamente creciente en a si:

f'(a) > 0

Decrecimiento en un punto

Si f es derivable en a:

f es estrictamente decreciente en a si:

f'(a) < 0

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:

1. Derivar la funcin.

2. Obtener las races de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (races) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x) > 0 es creciente.

Si f'(x) < 0 es decreciente.

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

12

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin:

Ejemplo

Mximos y mnimos Extremos relativos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.

2. Si f''(a) 0.

13

Mximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mximo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mnimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mnimo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Clculo de mximos y mnimos

Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus races.

2. Realizamos la 2 derivada, y calculamos el signo que toman en ella las races de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un mximo relativo

f''(a) > 0 es un mnimo relativo

3. Calculamos la imagen (en la funcin) de los extremos relativos.

Calcular los mximos y mnimos de:

Ejemplo

f(x) = x3 3x + 2

f'(x) = 3x2 3 = 0

f''(x) = 6x

f''(1) = 6 Mximo

f''(1) = 6 Mnimo

f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 0

Mximo(1, 4) Mnimo(1, 0)

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una funcin habr:

1. Un mximo en el punto, de la funcin, en la que sta pasa de creciente a decreciente.

2. Un mnimo en el punto, de la funcin, en la que sta pasa de decreciente a creciente.

14

Hallar los mximos y mnimos de:

Ejemplo

Tenemos un mnimo en x = 3

Mnimo(3, 27/4)

En x = 1 no hay un mximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la funcin.

Si f y f' son derivables en a, a es:

Concavidad y convexidad

Cncava

Si f''(a) > 0

Convexa

Si f''(a) < 0

Intervalos de concavidad y convexidad Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una funcin seguiremos los siguientes

pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus races.

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (races) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) > 0 es cncava.

Si f''(x) < 0 es convexa.

4. Escribimos los intervalos:

15

Ejemplo

Si f y f' son derivables en a, a es un:

Puntos de inflexin de una funcin

16

Punto de inflexin

Si f'' = 0

y f''' 0

Clculo de los puntos de inflexin

Para hallar los puntos de inflexin, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus races.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) 0 Tenemos un punto de inflexin.

3. Calculamos la imagen (en la funcin) del punto de inflexin.

Hallar los puntos de inflexin de:

Ejemplo

f(x) = x3 3x + 2

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 Ser un punto de inflexin.

f(0) = (0)3 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexin: (0, 2)

Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una funcin habr:

Puntos de inflexin en los puntos en que sta pasa de cncava a convexa o vicecersa.

Calcular los puntos de inflexin de la funcin:

Ejemplo

17

Tenemos un punto de inflexin en x = 0, ya que la funcin pasa de convexa a concava.

Punto de inflexin (0, 0)

Ejemplo de representacin de una funcin

Vamos a representar la funcin

Dominio

Simetra

Simetra respecto al origen.

Puntos de corte con los ejes

Punto de corte con OY:

Asntotas

Asntota horizontal

No tiene asntotas verticales ni oblicuas.

18

Crecimiento y decrecimiento

Mnimos

Mximos

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexin

Representacin grfica

URepresentacin grfica de funcionesUGrfica de una fucin1. Dominio de una funcin.2. Simetra.3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes.5. Asntotas.6. Ramas parablicas.7. Crecimiento y Decrecimiento.8. Mximos y mnimos.9. Concavidad y convexidad.10. Puntos de inflexin.

Dominio de una funcinClculo del dominio de una funcinDominio de la funcin polinmicaDominio de la funcin racionalDominio de la funcin radical de ndice imparDominio de la funcin radical de ndice parDominio de la funcin logartmicaDominio de la funcin exponencialDominio de la funcin senoDominio de la funcin cosenoDominio de la funcin tangenteDominio de la funcin cotangenteDominio de la funcin secanteDominio de la funcin cosecanteDominio de operaciones con funciones

USimetra de una funcinSimetra respecto del eje de ordenadas/Simetra respecto al origenPeriodicidad de una funcinUEjemplos

UPuntos de corte con los ejesPuntos de corte con el eje OXPunto de corte con el eje OYUEjemplo de puntos de corte con los ejes

UAsntotasAsntotas horizontalesLa recta y=k es una asntota horizontal si se cumple que:Asntotas verticalesLa recta x=k es una asntota horizontal de la funcin f(x) si se cumple que:UEjemplo:

UAsntotas oblicuasUEjemploAsntotas horizontalesAsntotas verticalesAsntotas oblicuas

URamas parablicasURama parablica en la direccin del eje OYUEjemploURama parablica en la direccin del eje OXUEjemplo

UCrecimiento y decrecimientoCrecimiento en un puntoDecrecimiento en un puntoIntervalos de crecimiento y decrecimientoUEjemplo

UMximos y mnimosExtremos relativosMximos relativosMnimos relativosClculo de mximos y mnimosUEjemploUEjemplo

UConcavidad y convexidadCncavaConvexaIntervalos de concavidad y convexidadUEjemplo

UPuntos de inflexin de una funcinPunto de inflexinClculo de los puntos de inflexinUEjemploUEjemplo

UEjemplo de representacin de una funcinDominioSimetraPuntos de corte con los ejesAsntotasCrecimiento y decrecimientoMnimosMximosConcavidad y convexidadPuntos de inflexinRepresentacin grfica