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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA

ASIGNATURA: RESISTENCIA DE MATERIALES

Profesores:

Cátedra Dr. Víctor Hugo Poblete

Ejercicios: Prof. Marcelo Roblesj

Semestre Otoño de 2007

RESISTENCIA DE MATERIALES

TEORÍA: 4 Horas semanales, días Viernes de 19:00 a 22:15 horas

EJERCICIOS: 2 horas, días Sábado, de 8:15 a 9:35 horas

OBJETIVO GENERAL: Entregar las herramientas necesarias para la aplicación de los

conocimientos de la estática, así como los elementos para entender el comportamiento delos

materiales frente a esfuerzos y practicar el dimensionamiento de secciones simples y

capacitar al alumno para abordar las deformaciones en las estructuras.

METODOLOGÍA: Clases expositivas, ejercicios de aplicación y talleres

EVALUACIÓN: Dos evaluaciones individuales (70%) y una evaluación grupalEVALUACIÓN: Dos evaluaciones individuales (70%) y una evaluación grupal,

correspondiente a las actividades de talleres y ejercicios

RESISTENCIA DE MATERIALESUNIDAD I: Determinar el efecto de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido y lasUNIDAD I: Determinar el efecto de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido y lasreacciones que puedan originarse por efecto de las fuerzas.

-Operaciones con fuerzas, momentos y pares. Sistemas equivalentes, condiciones deequilibrio de un sistema de fuerzas, acción y reacción de fuerzas, métodos de cálculo yaplicaciones.

UNIDAD II: Comprender la importancia relativa que tiene la distribución y posición delUNIDAD II: Comprender la importancia relativa que tiene la distribución y posición delárea para la resistencia de materiales.

-Momentos de una sección, centros de gravedad, momentos de inercia, teoremasf d t l j i i li ifundamentales, ejercicios y aplicaciones.

UNIDAD III: Modelar las cargas reales, conceptos de tensiones internas y leyes que rigen ladeformación de los cuerpos; sistemas indeterminados y ecuaciones de formación que lasp y qresuelvan.

-Tipos de cargas y solicitaciones, tracción, compresión, ley de Hooe, módulo de elasticidadde los materiales principio de Poisson deformaciones efectivas ejercicios y aplicacionesde los materiales, principio de Poisson, deformaciones efectivas, ejercicios y aplicaciones.

UNIDAD IV: Independizar un prisma elemental de un material, sustituyendo todos susvínculos por esfuerzos.

- Prisma tridimensional sometido a esfuerzo, ecuaciones de equilibrio, reciprocidad de lastensiones, Caso del prisma bidimensional.

RESISTENCIA DE MATERIALESUNIDAD V: Determinar las tensiones más desfavorables y su orientación ante solicitacionesUNIDAD V: Determinar las tensiones más desfavorables y su orientación ante solicitacionesnormales de corte o combinaciones.

-Tensiones en planos oblicuos en piezas traccionadas, Tensiones y orientaciones principalesde tracción y compresión, representación de las tensiones por el círculo de Mohr, ejerciciosy aplicaciones.

UNIDAD VI: Familiarización de esfuerzos mediante el círculo de MohrUNIDAD VI: Familiarización de esfuerzos mediante el círculo de Mohr.

-Esfuerzo y tensión de Cizalle, leyes de deformación, esfuerzo de corte y normalcombinados, aplicaciones.

UNIDAD VII: Distinguir la distribución de los esfuerzos internos en las vigas y conocercuales de las secciones son las más solicitadas por las vigas.

Representación de las vigas cálculos de reacciones para diferentes tipos de carga esfuerzo-Representación de las vigas, cálculos de reacciones para diferentes tipos de carga, esfuerzode corte, expresión analítica del esfuerzo de corte, diagramas de esfuerzo, Momento flector,aplicaciones.

UNIDAD VIII: Dimensionar secciones de vigas por flexión y corte.

-Definiciones de simetría, plano, eje, línea neutra hipótesis de cálculo. Tensionestransversales y corte tangencial Flexión ejercicios y aplicacionestransversales y corte tangencial. Flexión, ejercicios y aplicaciones.

BIBLIOGRAFÍA: Timosshenko (mecánica Técnica, Resistencia de Materiales);Compendios Schaum, de Resistencia de Materiales o Mecánica Técnica.

RESISTENCIA DE MATERIALESUNIDAD IUNIDAD I:

1.- Conceptos

Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, con los que se trata en la cátedra,

no existen en la realidad. A nivel macro son despreciables, no así a nivel microscópico.

a) Barra: Es un cuerpo que tiene dos dimensiones pequeñas en comparacióncon la tercera, como caso particular, pueden ser de sección transversalconstante y de eje rectilíneo.

Fi 1 B d j Fi 2 B d j tFigura 1: Barra de eje curvo Figura 2: Barra de eje recto

La línea que une los centros de gravedad de sus secciones transversales sedenomina eje de la barra.

RESISTENCIA DE MATERIALES1.- Conceptos

b) Placa: Es un cuerpo limitado por dos planos, a distancia pequeña encomparación con las otras dimensiones.p

Figura 3: Placa

c) Bóveda: Es un cuerpo limitado por dos superficies curvilíneas, a distancia pequeña

en comparación con las otras dimensiones.

Figura 4: Bóveda

d) Bloque: Es un cuerpo cuyas tres dimensiones son del mismo orden.

- La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitacionesinternas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido acargas exteriores.

- La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simplespde cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementostípicos más frecuentes de las estructuras, empleando para ello diversos


El diseño de una estructura comprende los conceptos de rigidez y estabilidad.La rigidez se refiere a la capacidad de una estructura para resistir cambios deforma (alargamiento, flexión o torsión); la estabilidad se refiere a la capacidad del t t i ti d b j f d ió El d lla estructura para resistir pandeo bajo esfuerzos de compresión. El pandeo es laprincipal consideración en el diseño de columnas, que son miembros esbeltos acompresión.

Desde el punto de vista de resistencia de materiales, los problemas a resolverson:

a) Dimensionamientoa) Dimensionamiento

b) Verificación

En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y dimensiones masadecuadas de una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido:

- Con seguridad

- En perfecto estado

- Con gastos adecuados

El segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y esnecesario conocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones


1.2.- Hipótesis fundamentales

a) El material se considera macizo (continuo).

El t i t l d l t i l l ú d d d t t lEl comportamiento real de los materiales cumple aún cuando pueda detectarse lapresencia de poros o la estructura de la materia, compuesta por átomos que noestán en contacto rígido entre sí, ya que forman una red ordenada.

b) El material de la pieza es homogéneo (idénticas propiedades en todos lospuntos).

El acero es un material altamente homogéneo; en cambio la madera el hormigónEl acero es un material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el hormigóny la piedra son bastante heterogéneos. Sin embargo, los experimentosdemuestran que los cálculos basados en esta hipótesis son satisfactorios.

c) El material de la pieza es isótropo.

Esto significa que admitimos que el material mantiene idénticas propiedades entodas las direcciones.todas las direcciones.

d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, son nulas.

En genral, las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distanciasg p yvarían, se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido acargas.


e) Es válido el principio de superposición de efectos.

Para el caso de sólidos indeformables. Al tratarse de sólidos deformables esteprincipio es válido cuando:principio es válido cuando:

- - Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeñosp p p p qen comparación con las dimensiones del sólido.

- - Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólidodependen linealmente de las cargas Estos sólidos se denominan “sólidosdependen linealmente de las cargas. Estos sólidos se denominan sólidoslinealmente deformables”.

El principio de superposición de efectos, puede enunciarse de la siguientemanera: “La deflexión de una viga, producida por varias cargas diferentes queactúan simultáneamente, puede encontrarse superponiendo las deflexionesactúan simultáneamente, puede encontrarse superponiendo las deflexionesproducidas por las mismas cargas, al actuar por separado. Por ejemplo si V1representa la deflexión en un punto particular sobre el eje de una viga, debido a lacarga Q1 y si V2 representa la deflexión en el mismo punto debido a una carga Q2,g 1 y 2 p p g 2entonces la deflexión en ese punto debida a las cargas Q1 y Q2 en acciónsimultánea es V1 + V2.


f) Es aplicable el principio de Saint – Venant

E t i i i t bl l l d l f i t i l tEste principio establece que el valor de las fuerzas interiores en los puntosde un sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación delas cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicación de lasmismas Merced a este principio en muchos casos podremos sustituir unmismas. Merced a este principio en muchos casos podremos sustituir unsistema de fuerzas por otro estáticamente equivalente, lo que puedeconducir a la simplificación del cálculo.

g) Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas

Las cargas se dicen que son estáticas cuando demoran un tiempo infinitoen aplicarse, mientras que se denominan cuasi-estáticas cuando el tiempoen aplicarse, mientras que se denominan cuasi estáticas cuando el tiempode aplicación es suficientemente prolongado. Las cargas que se aplican enun tiempo muy reducido se denominan dinámicas, en donde lassolicitaciones internas que producen son sensiblemente mayores que siq p y qfuesen estáticas o cuasi-estáticas.


1.3.- Método

Al li l t di d bj t i t l d b lAl realizarse el estudio de un objeto o sistema real se debe comenzar por laelección de un esquema de cálculo. Para realizar el cálculo de una estructura sedebe, ante todo, separar lo importante de lo que carece de importancia, es decir,se debe esquematizar la estructura prescindiendo de todos aquellos factores quese debe esquematizar la estructura prescindiendo de todos aquellos factores queno influyen significativamente sobre el comportamiento del sistema como tal. Estetipo de simplificación es en todos los casos absolutamente necesario, puesto quela solución del problema que considere todas las propiedades de la estructura esla solución del problema que considere todas las propiedades de la estructura esimposible debido a que, en general éstas son inagotables.

Supongamos, por ejemplo, que deseamos calcular la resistencia del cable de unascensor. Debemos considerar ante todo el peso de la cabina, su aceleración y,en el caso de que se eleve a gran altura, el peso del cable. Simultáneamente,en el caso de que se eleve a gran altura, el peso del cable. Simultáneamente,podremos dejar de lado algunos factores de poca importancia como la resistenciaaerodinámica que ofrece al ascensor, la presión barométrica a distintas alturas, lavariación de la temperatura con la altura, etc.p


Un mismo cuerpo puede tener esquemas de cálculo diferentes, según la exactitudpretendida y según el aspecto del fenómeno que interesa analizar. Al escogerse elesquema de cálculo se introducen ciertas simplificaciones en:

a) La geometría del objeto. Así un sólido muy alargado se puede idealizar conuna barra.

b) Los vínculos Usualmente se consideran idealesb) Los vínculos. Usualmente se consideran ideales.

c) Los sistemas de fuerzas aplicadas: es conocido por ejemplo, que las cargasconcentradas prácticamente no existen en la realidad, sino que son lasresultantes de fuertes presiones localizadas en zonas pequeñas.

d) Las propiedades de los materiales. En el ítem anterior hemos hechoconsideraciones al respectoconsideraciones al respecto.

La elaboración del esquema de cálculo corresponde a la resolución numérica delproblema, con apoyo de la Estática, lo que puede enunciarse de la siguientemanera:

1) Elección de un esquema de cálculo (elaboración de un modelo matemático).

2) Resolución matemática del problema2) Resolución matemática del problema.

3) Interpretación de los resultados en función del sistema físico real.


1.4.- Estática de partículas

Se estudia el efecto de las fuerzas sobre partículas, es decir, cuerposcuya forma y tamaño permiten suponer que todas las fuerzas que actúan sobrecuya forma y tamaño permiten suponer que todas las fuerzas que actúan sobreellas, se aplican en el mismo punto.

Resultante de dos fuerzas

Las fuerzas son cantidades vectoriales caracterizadas por un punto deaplicación, una magnitud y una dirección. Pueden sumarse y la magnitud de laresultante y su dirección se puede establecer gráficamente o por medio de latrigonometría (ley de los senos y/o cosenos).

Resultante de dos fuerzas:


Ejemplo: determine la resultante de las fuerzas P y Q que actúan sobre el pernoA.

a) Solución Geométrica (gráfica)

- - Se dibuja a escala cada vector, se mide magnitud y dirección de la

Resultante: R = 98N y α = 35 0.

- Se aplica la regla del triángulo y semiden la magnitud y

dirección de la resultante: R = 98N y α = 35 0.


b).- Solución trigonométrica

S tili l l d l t iá l d d l l d l á l d- Se utiliza la regla del triángulo, se conocen dos de los lados y el ángulo dela resultante. Se aplica ley delos cosenos y de los senos respectivamente.

R2 = P2 + Q2 –2 P Q Cos B, con lo cual R = 97,73N

Sen (A / Q) = Sen (B / R), con lo cual A = 15,04 0

y α = 20 0 + A = 35,04 0


Componentes de una fuerza

Cualquier fuerza F que actúa sobre una partícula,puede descomponerse en dos o más componentes P ypuede descomponerse en dos o más componentes P yQ por ejemplo, que originan el mismo efecto que lafuerza resultante.. Se determinan gráficamente o pormedio de trigonometría.g

Componentes rectangulares, vectores unitarios

U f F d d (Una fuerza F se descompone en dos componentes (omás) rectangulares, perpendiculares entre sí ydirigidas a lo largo de los ejes cartesianos.

Fx = Fxi Fy = Fyj

F = Fxi + Fyj Fx = FCosθF = Fxi + Fyj Fx = FCosθ

Fy = FSenθ Tanθ = Fy/Fx

F (F 2 F 2)1/2F = (Fx2+ Fy2)1/2


Fuerzas en el espacioFuerzas en el espacioFy = F Cosθy Fh = F Senθy

Fx = Fh Cosφ = F Senθy Cosφ

Fz = Fh Senφ = F Senθy Senφy

F2 = (OA)2 = (OB)2 + (BA)2 = F2y + F2

h

F2 (OC)2 (OD)2 + (DC)2 F2 + F2F2h =(OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = F2

x + F2z

F = (F2x + F2

y + F2z)1/2

Fx = F Cosθx

Fy = F Cosθy F = Fxi + Fyj + Fzky y x yj z

Fz = F Cosθz

RESISTENCIA DE MATERIALESResultantes de fuerzas en el espacioResultantes de fuerzas en el espacio

Cuando tres o más fuerzas coplanares actúan sobre una partícula, las componentesrectangulares de su resultante R se obtienen:

Rx = Σ Fx, etc.Equilibrio de una partícula

Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre ella es cero.

Ej : R = Σ F = 0Ej.: Rx Σ Fx 0

Diagrama del cuerpo libre

Σ Fi = 0, con i = x, y, z


Ejemplo:

En la operación de descarga de un barco, un barco, Unó il d 3 00 lb i di blautomóvil de 3500 lb se sostiene mediante un cable. Una

cuerda está amarrada al cable en A y se estira para Centraral automóvil en la posición deseada. El ángulo Entre el

bl l ti l d 20 i t l á l E t lcable y la vertical es de 20, mientras que el ángulo Entre lacuerda y la horizontal es de 300. ¿Cuales son las Tensionesen las cuerdas AB y AC?

Solución Diagrama del cuerpo libre:

Σ Fx = 0 TAC Cos 300 - TAB Sen 20 = 0

Σ Fy = 0 TAB Cos 20 – 3500 lb – TAC Sen 300 = 0

Resp.?: TAB = ? ; TAC = ?


1.5.- Cuerpos rígidos: Es aquel que no se deforma¡¡¡¡ (ideal)

Fuerzas externas: Representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración.

Fuerzas internas: Son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman el q q p qcuerpo rígido


1.6.- Fuerzas equivalentes (Principio de transmisibilidad)

Las condiciones de equilibrio (o movimiento) de un cuerpo rígido permaneceráninalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por unainalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por unafuerza F’ que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto,siempre y cuando las dos fuerzas, tengan la misma línea de acción.


Ejemplos:

a)

b)b)


1 7 Producto vectorial de dos vectores1.7.- Producto vectorial de dos vectores

V = P X Q = PQ Sen θ

Y se cumple (todos vectores):

- Q X P = - (P X Q)

i j k

- V = Px Py Pz

Qx Qy Qz

Teorema de Varignon: r x (F1 + F2 + ...) = r x F1 + r x F2 + .....


1.8.- Momento de una fuerza con respecto a un punto

El d F O d fi l d i lEl momento de F con con respecto a O se define como el producto vectorialde r y F, donde el Momento Mo debe ser perpendicular al plano que contiene el puntoO y la Fuerza F.

- Mo = r x F

- Mo = rf Sen θ = Fd


1.9.- Equilibrio en cuerpos rígidos

Las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido son las siguientes:

- Σ Fi = 0, con i = x, y, z

- Σ Mi = 0, con i = x, y, zi , , y,

- Fijar el sentido de rotación de acuerdo a las necesidades del problemaj p

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