RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ELEMENTOS...

UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

“RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ELEMENTOS MECÁNICOS CARGADOS AXIALMENTE UTILIZANDO MDSOLIDS”

MONOGRAFIA

Que para obtener el título de: INGENIERO MECÁNICO ELÉCTRICISTA

PRESENTA: ELVITA ROXANA SALAZAR DÍAZ

DIRECTOR DE MONOGRAFIA: ING. RODOLFO SOLORZANO HERNANDEZ

XALAPA, VER. AGOSTO 2011

Índice

Introducción 1

Capitulo 1:

Elementos mecánicos cargados axialmente 3

Capitulo2:

MDSolids 18

Capitulo 3:

Resolución de problemas seleccionados 39

Comentarios finales 71

Bibliografía 72

Introducción

“Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids” Página 1

Introducción

La mecánica de materiales es un tema básico en muchos

campos de la ingeniería, su objetivo principal es determinar los esfuerzos,

deformaciones unitarias y desplazamientos en estructuras y en sus componentes,

debido a las cargas que actúan sobre ellos. En el nivel universitario,

particularmente en el caso específico del programa educativo en Ingeniería

Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana, la mecánica de materiales se

enseña prácticamente al inicio de los estudios de licenciatura, ya que como se ha

dicho antes es un tema básico y necesario para los alumnos de las diversas áreas

de la ingeniería.

Es importante tomar en cuenta que como en todos los cursos

de mecánica, la solución de problemas es parte importante del proceso de

aprendizaje. Por tanto, al abordar la mecánica de materiales el alumno deberá

estar conciente de que sus estudios se dividirán en forma natural en dos partes:

primero, comprender el desarrollo lógico de los conceptos, y segundo, aplicar esos

conceptos a situaciones prácticas. Lo primero se logra estudiando las

deducciones, explicaciones y ejemplos, y la segunda parte se logra resolviendo los

problemas propuestos. Los problemas que se trabajan en el curso pueden ser de

carácter numérico o de carácter simbólico (algebraico).

En los problemas numéricos las magnitudes de todas las

cantidades son evidentes en cada etapa de los cálculos y se requiere trabajar con

unidades específicas de medida (sistemas de unidades). Por su parte, los

problemas simbólicos tienen la ventaja de que conducen a expresiones

Introducción


matemáticas de aplicación general; una solución algebraica muestra la forma en la

que cada variable afecta los resultados.

El objetivo del presente trabajo es aportar un instrumento que

apoye el proceso de aprendizaje en lo que respecta a la resolución de problemas

mediante la utilización de un software educativo para estudiantes que toman los

cursos del área de la mecánica de materiales, llamado MDSolids. El software

dispone de módulos didácticos para el análisis de diversos tópicos de la mecánica

de materiales, sin embargo, dentro de los alcances de este trabajo se hará uso del

MDSolids aplicándolo únicamente en la resolución de problemas de elementos

cargados axialmente, tema que se estudia como parte del programa de la

experiencia educativa Fundamentos de Mecánica de Materiales del programa

educativo en Ingeniería Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana.

Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente


Capítulo 1

Elementos mecánicos

cargados axialmente A los componentes estructurales que solo están sujetos a

cargas de tensión o de compresión se les llama miembros cargados axialmente

o miembros con carga axial. Las barras sólidas con ejes longitudinales rectos

son los tipos más comunes, aunque los cables y los resortes helicoidales también

soportan cargas axiales. Como ejemplo de elementos cargados axialmente

podemos mencionar a los miembros de armaduras, las bielas de motores, los

rayos de las ruedas de bicicletas y motocicletas, las columnas de edificios y los

puntales en las monturas de motores de avión.

Cambios de longitud de miembros cargados axialmente.

Frecuentemente, al estudiar los cambios de longitud de

miembros cargados axialmente se suele comenzar haciendo mención a los

efectos de una fuerza axial actuando sobre un resorte helicoidal (figura 1.1).

Cuando se aplica una carga a lo largo del eje de un resorte,

éste se alarga o se acorta dependiendo de la dirección de la carga. En la parte

superior de la figura 1.1 se ve un resorte helicoidal en su longitud natural L y en la

parte inferior se aprecian los efectos al aplicar una carga de tensión. Debido a la

acción de la carga, el resorte se alarga una cantidad y su longitud final resulta

L+.



Figura 1.1 Longitud natural y deformación de un resorte helicoidal cargado axialmente.

Si el material del resorte es elástico lineal, la carga y el

alargamiento serán proporcionales, en forma de ecuación podemos expresar lo

siguiente:

Ecuaciones de carga y deformación, en donde k y f son

constantes de proporcionalidad. La constante k se llama

rigidez del resorte y la constante f se conoce como

flexibilidad.

Las barras cargadas axialmente se alargan bajo carga de

tensión y se acortan bajo cargas de compresión, como lo hacen los resortes. Una

barra prismática es un miembro estructural que tiene un eje longitudinal recto y

una sección transversal constante en toda su longitud. Tenga en cuenta que los

miembros estructurales pueden tener diversas formas de secciones transversales,

algunas se muestran en la figura 1.2.



Figura 1.2 Barra prismática cargada axialmente y algunas de las diversas

formas que puede tener su sección transversal.

Figura 1.3 Barra prismática en su longitud natural y deformada bajo carga axial de tensión.

El alargamiento de una barra prismática sometida a una

carga de tensión se muestra en la figura 1.3. Si la carga pasa a través del

centroide de la sección transversal en el extremo, el esfuerzo normal uniforme en

secciones transversales alejadas de los extremos está dado por la fórmula:



Esfuerzo normal o unitario

Si la barra se fabrica con un material homogéneo, la

deformación unitaria axial es:

Deformación unitaria axial

Supongamos también que el material es elástico lineal, lo

que significa que sigue la ley de Hooke, es decir:

Ley de Hooke

Con la combinación de las relaciones básicas anteriores,

obtenemos:

Deformación axial

Esta última ecuación se usará sólo si la varilla es homogénea

(E constante), tiene una sección transversal uniforme con área A y está cargada

en sus extremos. La ecuación muestra que el alargamiento es directamente

proporcional a la carga P y a la longitud L e inversamente proporcional la rigidez

axial AE de la barra.

El cambio de longitud de una barra suele ser muy pequeño

en comparación con su longitud, en especial cuando el material es un metal



estructural como el acero o el aluminio. El hecho que el cambio de longitud sea tan

pequeño nos permite utilizar la longitud original de una barra (en lugar de la

longitud final) en los cálculos. La rigidez y flexibilidad para una barra prismática se

definen como:

Cambios de longitud de barras no uniformes.

Si la barra está cargada en otros puntos además de sus

extremos,como en la figura 1.4, o si consta de varias porciones con distintas

secciones tranversales y, posiblememente, distintos materiales, debe dividirse en

parte que satisfagan de manera individual las condiciones requeridas para la

aplicación de la fórmula de la deformación axial.

Figura 1.4 (a) Barra con cargas externas actuando en puntos intermedios; (b), (c) y (d) diagramas de

cuerpo libre donde se muestran las fuerzas axiales internas N1, N2 y N3.



Podemos determinar el cambio de longitud de la barra

sumando algebraicamente los alargamientos y acortamientos de los segmentos

individuales, los cuales están dados por:

,

y

Y, por lo tanto, la deformación total de la barra, se expresa

como:

Algunas veces, la fuerza axial y el área de la sección

transversal varían continuamente a lo largo del eje de la barra, como se ilustra en

la figura 1.5.

Figura 1.5 En esta barra la fuerza axial y el área de la sección transversal

varían continuamente a lo largo del eje de la barra

El alargamiento del elemento diferencial, figura 1.5 (c), puede

obtenerse con la ecuación:



El alargamiento de la barra entera se obtiene integrando

sobre la longitud:

Figura 1.6 Barra constituida por varios segmentos prismáticos,

cada uno con fuerza axial, dimensión y material diferentes

Por otra parte, cuando la barra consiste en varios segmentos

prismáticos, cada uno con fuerza axial, dimensión y material diferentes, como en

la figura 1.6, el cambio de longitud puede obtenerse con la ecuación:



Estructuras estáticamente indeterminadas.

Se les denomina estructuras estáticamente determinadas,

a aquellas en las que sus reacciones y fuerzas internas se pueden determinar a

partir sólo de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio (figura 1.7 (a)).

Figura 1.7 (a) Barra estáticamente determinada (b) Barra estáticamente indeterminada

La mayor parte de las estructuras son más complejas que la

barra de la figura 1.7 (a) y sus reacciones y fuerzas internas no pueden

encontrarse sólo por estática. En la figura 1.7 (b) se muestra una barra fija en

ambos extremos, la cual tiene dos reacciones pero solo una ecuación de

equilibrio. Como esta ecuación contiene dos incógnitas, no basta para encontrar

las reacciones. Las estructuras de este tipo se clasifican como estáticamente

indeterminadas.



Para analizar tales estructuras, debemos complementar las

ecuaciones de equilibrio con ecuaciones adicionales que contienen los

desplazamientos de la estructura.

Figura 1.8 Análisis de una estructura estáticamente indeterminada

:

En la figura 1.8 (a):

Se requiere una ecuación adicional para resolver las dos

reacciones desconocidas. La ecuación adicional se basa en que una barra con

ambos extremos fijos no cambia de longitud. Al separar la barra de sus soportes

figura 1.8 (b), ésta queda libre en ambos extremos y cargada por las tres fuerzas



RA, RB y P. Estas fuerzas ocasionan que la barra cambie de longitud una cantidad

que debe ser igual a cero, es decir:

La ecuación anterior se llama ecuación de compatibilidad.

De la figura 1.8 (b) se tienen que:

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones:

Se obtiene:



Conocidas las reacciones, es viable determinar todas las

otras fuerzas y desplazamientos. También podemos encontrar los esfuerzos en los

dos segmentos de la barra directamente a partir de las fuerzas axiales. El análisis

de una estructura estáticamente indeterminada implica plantear y resolver

ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad.

Efectos térmicos.

Las cargas externas no son las únicas fuentes de esfuerzos y

deformaciones en una estructura. Los cambios de temperatura producen

dilatación o contracción del material, con lo cual se generan deformaciones

térmicas y esfuerzos térmicos. En la mayoría de los materiales estructurales, la

deformación unitaria térmica es proporcional al cambio de temperatura, de

decir:

Deformación unitaria térmica;

α es el coeficiente de dilatación térmica

del material y ΔT es la variación o

cambio en la temperatura.

Sabemos que:

Por lo tanto, el esfuerzo y la deformación axiales por la

variación de temperatura están dadas por las ecuaciones:

y



En el análisis de las deformaciones unitarias térmicas

debemos puntualizar que si la estructura no tiene restricciones (véase figura 1.9),

es decir, que puede dilatarse o contraerse libremente no se producen esfuerzos

por un cambio uniforme de temperatura en el objeto, aunque los cambios no

uniformes sí pueden producir esfuerzos internos.

Figura 1.9 Bloque de un material sometido a un aumento de temperatura

Ahora bien, muchas estructuras tienen soportes que impiden

la libre expansión y/o contracción, en cuyo caso se desarrollan esfuerzos térmicos

aún cuando el cambio de temperatura sea uniforme en toda la estructura (figuras

1.10 y 1.11)

Figura 1.10 Armadura estáticamente determinada, con un

cambio uniforme de temperatura en cada miembro

Figura 1.11 Armadura estáticamente indeterminada

sometida a cambios de temperatura



El análisis de una estructura estáticamente indeterminada

con cambios de temperatura (figura 1.12) se basa en los siguientes conceptos:

ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y relaciones de

desplazamiento.

Figura 1.12 Barra estáticamente indeterminada con aumento de temperatura uniforme

Desajustes y deformaciones previas

Si un miembro de una estructura se fabrica con su longitud

un poco distinta de la que está especificada, éste no se ajustará en la forma en

que debiera y la geometría de la estructura será distinta de la planeada. A esos

casos se les conoce como desajustes o malos ajustes. A veces se crean

desajustes en forma intencional, para causar deformaciones en la estructura en el

momento de construirla. Debido a que existen tales deformaciones antes de

aplicar carga alguna a la estructura, se llaman deformaciones previas.



Acompañando a las deformaciones previas hay esfuerzos

previos, y se dice que la estructura está preesforzada. Los rayos de ruedas de

bicicleta (se torcerían si no estuvieran preesforzados), las caras pretensionadas

de las raquetas de tenis, las partes de maquinaría ajustadas por encogimiento y

las vigas de concreto preesforzados son algunos ejemplos comunes de

elementos mecánicos preesforzados.

Si una estructura es estáticamente determinada (figura 1.13)

los desajustes pequeños en uno o más miembros no producirán deformaciones ni

esfuerzos, solo habrá diferencias respecto a la configuración teórica de la

estructura.

Figura 1.13 Estructura estáticamente determinada con un pequeño desajuste

El caso es muy distinto si una estructura es estáticamente

indeterminada, porque la estructura no tiene libertad de adaptarse a los

desajustes (así como no tiene libertad de adaptarse a ciertos cambios de

temperatura). El análisis de una estructura estáticamente indeterminada con

desajustes y deformaciones previas se hace en la misma forma general que las



que previamente se describieron para cargas y cambios de temperatura

(ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad, relaciones fuerza-desplazamiento y

temperatura-desplazamiento).

Para preesforzar una estructura se requiere que una o más

partes de ella se estiren o compriman respecto a sus longitudes teóricas. Una

forma sencilla de producir un cambio de longitud es apretar un perno o un tensor

de tornillo.

El paso de las roscas p es la distancia de una rosca a la siguiente.

Cada vuelta completa del tensor acorta o alarga el cable la distancia 2p, siendo p el paso de las roscas.

Figura 1.14 Perno

Figura 1.15 Tensor de tornillo de doble acción.

Capítulo 2 MDSolids


Capítulo 2

MDSolids MDSolids es un software educativo para estudiantes

que toman el curso de Mecánica de los Materiales (también denominada

Resistencia de Materiales y Mecánica de Sólidos Deformables). Este curso es

normalmente una parte de la mecánica aplicada, en diversos programas de

ingeniería. El software dispone de módulos didácticos para análisis de vigas

estáticamente determinadas, miembros en torsión, columnas, estructuras sujetas a

carga axial, armaduras, propiedades de secciones transversales, y el círculo de

Mohr, incluyendo el análisis de las transformaciones de esfuerzo.

La hipótesis del concepto MDSolids es que los estudiantes

están más interesados en la comprensión de los problemas de tarea específicos

asignados por sus profesores, y que los estudiantes usarán el software educativo

si esto les ayuda con sus preocupaciones de curso inmediatas.

En el proceso, el software puede ayudar a desarrollar el

problema que soluciona, proporcionando a los estudiantes una interface intuitiva

que los dirige a los factores importantes que inciden en varios tipos de problema,

les ayuda a visualizar la naturaleza de esfuerzos internos y deformaciones, y

proporciona un medio fácil de usar y de investigar un número mayor de problemas

y variaciones. Basado en esta premisa, MDSolids fue desarrollado con varios

objetivos en mente:

Versatilidad Comunicación visual

Facilidad de Entrada Explicaciones a base de texto



Versatilidad

MDSolids tiene rutinas que pertenecen a todos los aspectos

enseñados en un curso típico de mecánica de materiales. Estas rutinas son

agrupadas en doce módulos, similares a capítulos que pertenecen a una amplia

gama de problemas de los textos comunes disponibles actualmente. Dentro de los

módulos, cada rutina soluciona los tipos de problemas clásicos de la mecánica de

materiales. El alcance de MDSolids ofrece rutinas para ayudar a estudiantes en

todos los niveles de comprensión, de la más fundamental en el conocimiento, la

comprensión, y del tipo de aplicación a problemas más complejos que requieren el

análisis y la síntesis.

Facilidad de entrada

La facilidad de entrada es un aspecto esencial en el concepto

MDSolids. La solución de problemas de mecánica de materiales es bastante

confusa para los estudiantes. Para se eficaz, el software no debe aumentar la

confusión. Idealmente, el estudiante debería ser capaz de definir un problema de

forma intuitiva y directamente de un libro sin la necesidad de un manual de

usuario. MDSolids, proporciona señales gráficas para guiar a los usuarios en la

entrada de datos. Las ilustraciones se pueden ajustar fácilmente para que la

pantalla de entrada de MDSolids se vea muy similar a la ilustración de los libros de

texto. Varias unidades (por ejemplo, las unidades de esfuerzo, las unidades de

longitud) están disponibles y los factores de conversión están presentes para

asegurar la consistencia dimensional.

Comunicación visual

En cada rutina de MDSolids cuenta con una imagen, dibujo

o gráfico que representa gráficamente los aspectos importantes del problema. Los



dibujos se utilizan para mostrar la dirección de los esfuerzos internos, las cargas

aplicadas y las reacciones.

Explicaciones a base de texto

Muchos de los módulos MDSolids proporcionan

explicaciones adicionales para describir con palabras cómo se realizan los

cálculos. Estas explicaciones pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar los

procesos de pensamiento utilizados en la solución de problemas de la mecánica

de materiales. Las explicaciones de texto son dinámicas y sensibles al contexto,

diseñadas específicamente para el problema en particular en cuanto a los valores

y las unidades registradas para el problema. Errores comunes en las ecuaciones

de equilibrio, inconsistencia en las unidades y al manipular las ecuaciones se

corrigen cuando el estudiante compara sus cálculos de la mano con las

explicaciones de MDSolids.

Características

MDSolids ofrece al usuario opciones gráficas e intuitivas

para todos los datos requeridos o unidades. En los diagramas de fuerza cortante y

de momento flexionante, por ejemplo, el usuario puede hacer clic sobre el botón

de una flecha vertical dirigida hacia abajo y entrar en la magnitud de la carga para

definir una carga concentrada descendente vertical en lugar de tener que

acordarse de introducir un signo negativo para la carga.

En la mayoría de los casos, cuatro unidades comunes (dos

del sistema inglés y dos del sistema internacional) son dan para cada variable.

Por ejemplo, la tensión puede ser calculada en psi, ksi, kPa, o MPa. El usuario es



libre de mezclar las unidades de cualquier forma deseada. Por ejemplo, la sección

transversal de una viga podría ser definida en milímetros, su longitud en pulgadas,

un diagrama de momento flexionante en kN∙m, y presentar el esfuerzo de flexión

en psi. Todas estas opciones para fuerzas y unidades se hacen con un simple clic

en el botón correspondiente. Los conceptos de la mecánica de materiales son

bastante difíciles sin necesidad de añadir confusión acerca de las convenciones

de signo y sistemas de unidades.

El software está escrito en Visual Basic para correr en el

entorno de Windows; se requiere como mínimo una resolución SVGA (800 x 600)

y para correrlo es suficientemente un ordenador 486-33MHz, pero algunos de los

gráficos se benefician en una máquina más rápida.

Figura 2.1

Pantalla principal de MDSolids



Módulos

Biblioteca de problemas (Problem Library)

Contiene rutinas diseñadas para doce tipos comunes de los

problemas frecuentemente utilizados para introducir los conceptos de esfuerzo y

deformación. Para cada tipo de problema, la rutina incluye preguntas típicas

relativas a la estructura, las variaciones comunes (como el corte doble o cortante

simple), y una imagen o dibujo que describe la geometría del problema. Después

de que el estudiante hace clic en el botón Calcular, la rutina se prepara una

explicación detallada del enfoque que se debe tomar para resolver el problema

con los datos de entrada suministrados por el usuario y las unidades.

Por ejemplo, la rutina de la viga y el puntal se dedica a un

grupo de problemas que comúnmente se utiliza para introducir los conceptos de

esfuerzo y deformación. Estos problemas incluyen una viga que se fija en un

extremo y con el apoyo de una barra o puntal en el otro extremo. A menudo, estos

problemas requieren especificar el diámetro de los pernos y sus configuraciones,

ya sea de corte simple o doble en las conexiones. El estudiante puede ser

requerido para determinar la capacidad de la estructura teniendo en cuenta el

esfuerzo normal permisible en el puntal y los esfuerzos de corte en las

conexiones. Un problema de la viga y el puntal en cualquier configuración puede

ser resuelto por este módulo.

Entramado (Trusses)

Armaduras estáticamente determinadas pueden ser

analizadas para determinar fuerzas axiales internas. La entrada de datos es visual

y sólo requiere de la definición mínima por parte del usuario.



Figura 2.2 Armadura estáticamente determinada

Las dimensiones de la armadura se establecen mediante la

creación de una red definida por el usuario de los puntos de nodo. Los miembros

de la armadura son definidos con el mouse para dibujar las líneas que conectan

los nodos deseados. El software comprueba los miembros a medida que son

definidos para garantizar que los supuestos de idealización de armadura están

satisfechos (por ejemplo, los miembros conectados sólo en las articulaciones).

Los apoyos y cargas también son definidos con movimientos

del mouse. Los controles de software permiten al menos a tres limitaciones de

apoyo y de aceptar cargas sólo en las articulaciones. El etiquetado de las uniones

se realiza automáticamente. Los ángulos de los miembros de la armadura se

calculan y se muestran cuando la armadura es creada. Los resultados del análisis

se muestran sobre la armadura. Los miembros de tensión, de compresión y de

fuerza cero son indicados cada uno por un color diferente. Opcionalmente, los

esfuerzos normales pueden ser calculados para los miembros de la armadura, o

dado un límite de esfuerzos, el área de la sección transversal requerida para cada

miembro puede ser calculada a partir de los resultados del análisis de armadura.



Indeterminado axial (Indet axial)

En este módulo se consideran estructuras estáticamente

indeterminadas sujetas a carga axial compuestas por dos miembros. Los

problemas de éste tipo son, por lo general, los que se indican a continuación:

miembros coaxiales, miembros de extremo a extremo con una carga aplicada en

la unión, miembros de extremo a extremo con una separación entre los dos y

sujetos a una variación de temperatura, miembros de extremo a extremo con un

desajuste entre ellos que se cierra antes de aplicar una carga a la estructura, dos

miembros axiales conectados a una barra fija rígida que gira y un cerrojo que pasa

por una manga con una tuerca que es apretada.

Figura 2.3

Pantalla del módulo de estructuras indeterminado axial (miembros coaxiales)



Torsión (Torsion)

La torsión de elementos con secciones transversales

circulares es considerada por el software MDSolids. Cuatro opciones diferentes de

miembros de torsión están disponibles. El usuario puede definir un miembro de

torsión simple (por ejemplo, un eje con un momento de rotación). Éste eje se

muestra como una representación en tres dimensiones. Una cuadrícula se

sobrepone en el eje para ilustrar la torsión producida por un momento de rotación.

La perspectiva del dibujo es variable de modo que el usuario pueda observar el eje

desde varios puntos de vista.

Figura 2.4 Torsión simple

Opcionalmente, una fuerza axial también puede ser

considerada en el problema, y si el eje es una forma de tubular, los efectos de la

presión pueden ser incluidos. Esto permite a problemas con carga axial y efectos

de torsión ser considerados.



Los cálculos de círculo de Mohr también pueden ser iniciados

desde esta opción de torsión. Los valores estándar para los módulos de corte

están disponibles para el usuario simplemente pulsando sobre el material deseado

en un menú desplegable.

Dos opciones de torsión toman en cuenta los problemas de

transmisión de potencia. Una de estas opciones considera un solo eje conectado a

un motor mientras que la segunda opción considera un eje de potencia unido por

engranajes a un eje simple.

Figura 2.5 Transmisión de potencia

La opción de eje de potencia simple también incluye un

motor animado y el movimiento de engranaje con reguladores simulados de modo

que los usuarios puedan observar los efectos producidos por el cambio de

alimentación del motor, la velocidad, o relación de engranaje.



Cada una de estas tres opciones tiene un ejercicio de

formato de definición flexible. El usuario introduce las variables conocidas y el

software soluciona para el resto de las variables. El software incluye explicaciones

adicionales que describen el procedimiento específico que debería ser usado para

solucionar cada problema.

Una cuarta opción de torsión considera un solo eje con

múltiples momentos de torsión. Esta opción produce un diagrama de momento de

torsión, un diagrama esfuerzo cortante y un diagrama de ángulo de giro.

Figura 2.6 Eje de torsión con múltiples torques



Vigas (Determinate Beams)

Figura 2.7 Modulo de vigas estáticamente determinadas

(Diagramas de fuerza cortante y momento flexionantes)

El usuario puede definir a cualquier viga estáticamente

determinada simplemente apoyada, con voladizo simple o doble y empotrada. Las

cargas que pueden aplicarse a las vigas incluyen carga puntual, uniformemente

distribuida, linealmente variable y momentos de flexión.

Los iconos mostrados en un formato de barra de

herramientas permiten a los usuarios seleccionar la carga deseada sin necesidad

de la consideración de una convención de signos. Los diagramas que muestran la

fuerza cortante, momento flexionante, pendiente y deflexión son dibujados

inmediatamente después de la entrada de una carga. Esto permite al usuario ver

el efecto de cada carga al ser añadida.



MDSolids incluye explicaciones adicionales que describen:

1) La forma de configurar las ecuaciones de equilibrio necesario para resolver las

reacciones de la viga,

2) cómo las fuerzas concentradas y momentos afectan a la fuerza de corte y

diagramas de momento, y

3) la forma de calcular el área en cada parte del diagrama de fuerza cortante,

como encontrar puntos de cero en fuerza cortante, y como construir el

diagrama de momento a partir del diagrama de fuerza cortante.

Las cargas se pueden introducir, ya sea para análisis sin

factor de carga o con factor. Las cargas sin factor se utilizan en la filosofía de

diseño por esfuerzo permisible habitualmente encontrada en los textos de la

mecánica de materiales. Las cargas con factor se utilizan en el diseño por

resistencia para estructuras de acero y hormigón. Tres combinaciones de carga

están disponibles: 1.4D, 1.2D + 1.6L, y 1.4D + 1.7L.

Con el mouse, el usuario puede pulsar en una posición

específica sobre el diagrama de carga y obtener la fuerza cortante, momento,

pendiente o la deflexión en ese punto.

Flexión (Flexure)

Si una sección transversal se define, el software puede

mostrar la forma de la sección transversal y trazar la distribución de cualquier

esfuerzo normal o cortante, los cuales varían en la profundidad de la sección. El

software incluye una pestaña desplegable en la que los usuarios puedan indicar

una posición específica en la profundidad de la sección transversal y muestra los

valores de esfuerzo normal y cortante calculados para ese punto. En el cálculo del



esfuerzo cortante, el valor de Q también se calcula para la posición elegida por el

usuario.

Figura 2.8

Diversas pantalla del modulo de flexión



Las distribuciones de esfuerzo se trazan y algunos ejercicios

específicos pueden ser calculados para secciones transversales compuestas.

Además, las fuerzas axiales en la sección transversal también pueden ser

consideradas de modo que las cargas combinadas puedan ser analizadas.

El usuario puede definir esfuerzos admisibles para que la

fuerza axial admisible, la fuerza cortante y el momento flexionante puedan ser

calculados. Los estudiantes que lo requieran podrán resolver ejercicios de diseño

de vigas para calcular el tamaño de viga necesaria. La flexión de formas

asimétricas puede ser considerada.

Propiedades de la sección (Section Properties)

Los menús permiten al usuario calcular las propiedades de la

sección transversal de 19 figuras genéricas diferentes. Las formas generales que

se incluyen son: “I, T, C, L, Z", caja, circular sólida, tubular y las formas

rectangulares. También se incluyen formas dobles I, T, C y L.

Los botones de visualización permiten al usuario hacer girar

la forma a la orientación deseada. Por ejemplo, una forma de T se puede girar de

modo que el tallo de la T señale hacia arriba. Esta característica permite a los

usuarios hacer coincidir exactamente con lo planteado en el ejercicio particular

que se esté analizando.

Las propiedades de la sección calculada incluyen:

localización del centroide, momento de inercia, módulo de sección, radio de giro,

módulo plástico, momento polar de inercia y, momentos máximos y mínimos de



inercia. La forma de la sección transversal se vuelve a dibujar a escala y se

muestran los ejes centroidales.

Figura 2.9 Modulo propiedades de la sección

El módulo de elasticidad de la sección se puede introducir

directamente o el usuario puede seleccionar de una lista de materiales comunes.

Por ejemplo, el usuario simplemente podría pulsar sobre " el Aluminio 6061-T6 " y

el software recuperará un valor de 10,000,000 de psi para el módulo de

elasticidad.

Las propiedades de sección también pueden ser calculadas

para áreas transversales compuestas. Dos materiales diferentes pueden ser

seleccionados y asignados a las partes deseadas de las secciones transversales.



Para las secciones transversales compuestas, los resultados se dan en términos

del método de área transformada para posibles transformaciones.

MDSolids incluye las dimensiones y propiedades

seleccionadas por el American Institute of Steel Construction (AISC) de una lista

de perfiles de acero estándar, en denominaciones usuales de los sistemas inglés

(US) y métrico (SI).

En cada análisis de sección transversal el programa genera

una tabla con los parámetros calculados, que incluyen:

1) centroide y momentos de inercia,

2) eje neutro (y/o plano neutro) y módulo de la sección, y

3) producto de inercia.

Para las áreas compuestas, el centroide y el momento de

inercia están calculados con la conversión del material A en el material B y

viceversa. Los cálculos de propiedades de sección actúan recíprocamente tanto

con la viga, la flexión, como con la rutina de columna.

Columnas (Columns)

Los cálculos de columnas se basan en la fórmula de

pandeo de Euler:

MDSolids muestra dos vistas de pandeo, del eje fuerte y el

eje débil, con las vistas de corte transversal correspondientes para cada columna.



Cualquier condición de soporte en los extremos de la columna (articulado, fijo,

empotrado y libre) puede ser seleccionada para uno u otro extremo de la columna.

Figura 2.10 Módulo de pandeo de columnas

La carga crítica de pandeo y el esfuerzo son calculados por

el software, que además, muestra la dirección del pandeo de la columna. El

usuario también puede agregar soportes intermedios en cualquier dirección que se

pueden colocar en cualquier posición entre los apoyos de los extremos. Un gráfico

de esfuerzo crítico contra la relación de esbeltez se muestra y los resultados de

las dos direcciones de pandeo se indican sobre la curva.

Opcionalmente, el usuario puede definir el límite de

elasticidad del material y/o el límite de proporcionalidad de modo que el pandeo de

Euler pueda ser evaluada.



Se pueden realizar diseños de columnas utilizando el acero

estándar, el aluminio y/o madera.

Figura 2.11

Diseño de columnas

Círculo de Mohr (Mohr’s circle)

El análisis del círculo de Mohr para planos de esfuerzo y los

momentos de inercia están disponible en MDSolids. Los esfuerzos normales en

las direcciones x y y son especificados en términos de tensión o compresión y no

como un número positivo o negativo. El esfuerzo cortante se define en el sentido

de las manecillas del reloj o en sentido contrario sobre la cara x positiva del

elemento de esfuerzos. Un diagrama de orientación aparece para mostrar el

resultado de las condiciones de esfuerzo según lo especificado por el usuario.



El círculo de Mohr se dibuja, etiquetando los puntos que

corresponden a la orientación de los ejes x y y del elemento de esfuerzos. Se

dibujan planos de esfuerzos separados para indicar la orientación de los esfuerzos

principales en relación con el sistema de coordenadas xy, así como la orientación

del esfuerzo cortante máximo.

Los diagramas de los estados de esfuerzos dan a los

usuarios una clara representación visual de la orientación o dirección de rotación

del estado de esfuerzos para representar los planos de esfuerzos principales y de

esfuerzo cortante máximo. Los esfuerzos en cualquier orientación arbitraria

pueden ser obtenidos a partir del diagrama de un plano de esfuerzos ubicado en el

interior de un transportador que permite al usuario obtener los valores

correspondientes en cualquier orientación arbitraria con simplemente un clic del

ratón.

Figura 2.12 Módulo de transformación por círculo de Mohr



Los cálculos del círculo de Mohr se pueden obtener tanto

desde el módulo de vigas estáticamente determinadas como de las partes del

módulo de miembros de torsión de MDSolids. Los datos de planos de esfuerzos

combinados automáticamente son suministrados desde estas rutinas al cálculo de

círculo de Mohr. Los cálculos de esfuerzo plano se pueden obtener a partir de los

datos de deformación normal y cortante.

Dos tipos de galgas extensómetricas, rectangulares y en

delta, que pueden ser analizadas en este modulo.

Figura 2.13

Módulo de transformación por círculo de Mohr (galgas extensómetricas)

Los momentos principales de inercia pueden ser calculados a

partir de los momentos de inercia en torno a dos ejes ortogonales más el producto

de inercia.



Análisis General (General Analysis, Axial Torsion Beams)

En este módulo se consideran estructuras axiales estáticamente

determinadas e indeterminadas, ejes y vigas.

Figura 2.14 Módulo de análisis general

Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados


Capítulo 3

Resolución de problemas

seleccionados En este capítulo se presenta una selección de problemas de

elementos cargados axialmente (tomados del libro de texto “Mecánica de

Materiales”, 5ª. edición de Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., John T.

DeWolf y David F. Mazurek, editorial McGraw-Hill) cuya solución puede realizarse

con la ayuda del MDSolids. Es conveniente hacer mención que para poder

implementar el software en la resolución de los ejercicios, éstos deben adaptarse

a las características de las rutinas disponibles que han sido diseñadas para

problemas tipo de algunas ediciones de textos clásicos de mecánica de

materiales. Para consultar el listado de ejercicios abra el programa y haga clic en

MDSolids Help Documents (Figura 3.1).

Figura 3.1 MDSolids documentos de ayuda



En la ventana de la figura 3.1, seleccione MDSolids

Navigator y haga clic en el botón Open y se abrirá como en la figura 3.2 (a).

(a)

(b)

Figura 3.2 MDSolids Navigator

El MDSolids Navigator tiene la intención de ayudarle a utilizar

MDSolids en el contexto del estudio de la mecánica de los materiales. Usted

encontrará una serie de libros de texto que figuran en la tabla de contenidos



(figura 3.2 (b)). Abra el libro que corresponde a su libro de texto de clase y

encontrará una lista de problemas que pueden ser resueltos y explicados por

MDSolids. Haga clic en un número de problemas y el MDSolids Navigator le

mostrará una breve descripción de los pasos que debe realizar para resolver el

problema con la ayuda del software.

En el caso de que la edición del libro de texto que utiliza en

su curso no corresponda a la especificada por el programa deberá elegir

problemas similares a los que se enlistan, por lo que sería conveniente contar con

un ejemplar de ambas ediciones para realizar la comparativa. Esperando que

estas notas sirvan de apoyo a los estudiantes del curso de la experiencia

educativa Fundamentos de Mecánica de Materiales en lo concerniente al análisis

de elementos mecánicos cargados axialmente, a continuación se presentan once

ejercicios resueltos con MDSolids.



Problema 1 (2.17)

Dos varillas cilíndricas están unidas en B y son

sometidas a la carga que se muestra en la figura.

La varilla AB está hecha de acero (E=200 GPa) y

la varilla BC de latón (E=105 GPa). Determine a) la

deformación total de la varilla compuesta ABC, b)

la deflexión del punto B. (Figura 3.1)

Figura 3.3 Problema 1

Procedimiento de solución con MDSolids:

Haga clic sobre el módulo librería de problemas (Problem library)

Despliegue el libro deformación axial (Axial deformation)

Despliegue miembros cargados axialmente (Segmented axial members)

Despliegue miembros axiales verticales (Vertical axial members)

Haga doble clic sobre la etiqueta diámetros específicos de una barra (Rod

diameters specified)

Seleccione el número de segmentos de la barra.

Introduzca los datos y unidades.

Haga clic en calcular (Compute)

Observe los diagramas de cuerpo libre



Figura 3.4 Solución problema 1

a)

b)



Problema 2 (ejercicio 2.36)

La longitud del ensamble mostrado

disminuye 0.006 in cuando se aplica una

fuerza axial en los extremos por medio de

placas rígidas. Determine a) la magnitud

de la fuerza aplicada, b) el esfuerzo

correspondiente en el núcleo de acero.



Haga clic sobre el módulo de cargas indeterminadas axiales (Indet Axial)

Sobre el menú opciones de análisis (Analysis Options) seleccionar la opción

barras coaxiales (Coaxial Bars)


La carga es desconocida, pero los valores de la fuerza a compresión son

conocidos para ambas barras. Marque la casilla al lado de los valores

conocidos, el cuadro de entrada junto a él cambiará a color amarillo

indicando que datos deben de introducirse.

Para las variables que se van a calcular deje la casilla en blanco.

Establecer la dirección de la carga, ya sea hacia arriba (Up) o hacia abajo

(Down) pero asegúrese de que la casilla junto a la carga no esté marcada.


Seleccionar la opción de resultados (Show Equations)




a) b)

Al dar clic en el botón Show Equations (mostrar ecuaciones)

se despliega el planteamiento para la resolución del problema, figura 3.7, que

incluye la ecuación de equilibrio, las ecuaciones de deformación por temperatura y

fuerza axial, y a partir de la ecuación geométrica de la deformación, la ecuación de

compatibilidad. El sistema de ecuaciones que forma la ecuación de equilibrio y la

de compatibilidad se resuelven simultáneamente y se obtienen los valores de F1 y

F2.



Figura 3.7 Problema 2 (Show Equations)



Problema 3 (2.37)

El poste de concreto de 1.5m está reforzado con

seis barras de acero, cada una con un diámetro de

28 mm. Si se sabe que Es= 200 GPa y Ec = 25

GPa, determine los esfuerzos normales en el

acero y en el concreto cuando se aplica al poste

una carga céntrica axial P de 1 550 kN.






Introducir los datos y unidades.

Si la carga es conocida, marque la casilla de carga (Load). El cuadro de

entrada junto a él cambiará a color amarillo, esto indica que se deben

introducir los datos.

Para las variables que se van a calcular deje la casilla de al lado en blanco.

Establecer la dirección de la carga, ya sea hacia arriba (Up) o hacia abajo

(Down)

Hacer clic en calcular (Compute)





y

Al dar clic en el botón show equations (mostrar ecuaciones)

se despliega el planteamiento para la resolución del problema, figura 3.10, esto

incluye la ecuación de equilibrio, las ecuaciones de deformación por fuerza axial, y

a partir de la ecuación geométrica de la deformación, la ecuación de



F2.



Problema 4 (2.41)

Dos varillas cilíndricas, una de acero

y la otra de latón se unen en C y

están restringidas por soportes

rígidos en A y en E. para la carga

mostrada y sabiendo que Ea = 200

GPa, determine a) las reacciones en

A y en E, b) la deflexión en el punto

C.



Haga clic sobre el módulo de análisis generales (General Analysis)


deformación axial (Axial Deformation)

Fije el número de elementos axiales

Los cuadros de color amarillo son para introducir los datos conocidos. Los

de color blanco son para los datos calculados.

Introduzca los datos de los elementos y las unidades.

Introduzca las fuerzas y sus unidades

Introduzca en el nodo especificado los desplazamientos y sus unidades, si

un nodo es un soporte rígido, establezca su desplazamiento especificado

en 0.0, de lo contrario, los espacios especificados para los nodos deben

estar en blanco

Hacer clic en calcular (Compute)




a) b)

Podemos visualizar el comportamiento de la carga neta

(fuerza axial), esfuerzo normal y deformación sobre cada segmento de las varillas

si pulsamos el botón plots, como se muestra en las figuras 3.13, 3.14 y 3.15.

Figura 3.13 Diagrama de fuerza axial



Figura 3.14 Diagrama de esfuerzo normal

Figura 3.15 Diagrama de desplazamiento



Problema 5 (2.47)

La coraza de aluminio que se

muestra en la figura está

completamente unida al núcleo de

latón, y el ensamble se encuentra

libre de esfuerzo a una temperatura

de 15ºC. Considere solo las

deformaciones axiales y determine el

esfuerzo en el aluminio cuando la

temperatura alcanza 195º C.








entrada junto a él cambiará a color amarillo, indicando que deben de

introducirse los datos.


Hagar clic en calcular (Compute)





De igual manera que en algunos de los problemas anteriores

al dar clic en el botón show equations (mostrar ecuaciones) se despliega el

planteamiento para la resolución del problema, figura 3.18, esto incluye la

ecuación de equilibrio, las ecuaciones de deformación por temperatura y fuerza

axial y, a partir de la ecuación geométrica de la deformación, la ecuación de



F2.



Problema 6 (2.51)

Una varilla que consiste en dos

porciones cilíndricas AB y BC está

restringida en ambos extremos. La

porción AB es de acero (Eα = 200

GPa, αα=11.7 X 10-6 / ºC), y la

porción BC está hecha de latón (El=

105 GPa, αl=20.9 X 10-6 /ºC). si se

sabe que la varilla se encuentra

inicialmente sin esfuerzos, determine

la fuerza de compresión inducida en

ABC cuando la temperatura se eleva

50º C.




Sobre el menú opciones (Analysis Options) desplegar la etiqueta barras de

extremo a extremo (End – To – End Bars) y seleccionar la opción con una

fuerza en medio (with Force in Middle)

Seleccione la orientación de la barra (Axial Member Orientation) y marcar

vertical u horizontal.


Marque la casilla de los valores conocidos, el cuadro de entrada cambiará a

color amarillo indicando que los datos deben de introducirse.



Seleccione la opción de resultados (Show Equations)







fuerza axial y, a partir de la ecuación geométrica de la deformación, la ecuación de



F2.



Problema 7 (2.60)

A temperatura ambiente (20º) hay un

espacio de 0.5 mm entre los

extremos de las varillas mostradas

en la figura. Posteriormente, cuando

la temperatura alcanza 140º C,

determine a) el esfuerzo normal en la

varilla de aluminio, b) el cambio de

longitud de la varilla de aluminio.




Sobre el menú opciones de análisis (Anlysis Options) desplegar la etiqueta

barras de extremo a extremo (End – To – End Bars) seleccionar la opción

con una abertura en medio (with Gap in Middle)

Seleccione la orientación de la barra (Axial Member Orientation) y marque

vertical u horizontal.


Marque la casilla de los valores conocidos, el cuadro de entrada junto a él

cambiará a color amarillo indicando que los datos deben de introducirse.


Introduzca la distancia de la abertura (Gap). No importa si es en A, entre las

barras BC o en D.

Haga clic en calcular (Compute).

Seleccione la opción de resultados (Show Equations).



Figura 3.23 Solución problema 7 a)

b)




fuerza axial y, a partir de la ecuación geométrica de la deformación, la ecuación de



F2.



Problema 8 (2.61)

En un ensayo estándar a tensión se somete

una varilla de aluminio de 20 mm de diámetro a

una fuerza de tensión de P = 30 kN. Si ν = 0.35

y E= 70 Gpa, determine a) la elongación de la

varilla en una longitud calibrada de 150 mm, b)

el cambio en el diámetro de la varilla.




Despliegue el libro propiedades de los materiales (Material Properties)

Abra el libro relación de Poisson (Poisson´s Ratio)

Haga doble clic sobre la etiqueta especímenes redondos (Round specimen)

Seleccione la pestaña b






a) b)

Observe que en la ventana de solución de la figura 3.26 se tiene la

posibilidad de ver una animación que nos permite visualizar la forma en que la barra se

deforma bajo la acción de la carga axial.



Problema 9 (2.65)

El cambio de diámetro de un perno grande

de acero se mide cuidadosamente

mientras se aprieta la tuerca. Si se sabe

que E = 200 GPa y v = 0.29, determine la

fuerza interna en el perno, si se observa

que el diámetro disminuye en 13 µm.




Despliegue el libro propiedades de los materiales (Material Properties)

Despliegue el libro relación de Poisson (Poisson´s Ratio)

Haga doble clic sobre la etiqueta especímenes redondos (Round specimen)

Seleccione la pestaña c






(Nota: el signo negativo que aparece en la celda de la fuerza se debe a un pequeño error en la rutina, la carga que se ejerce sobre el perno es de tensión como se indica en la figura.)

Observe que en la ventana de solución de la figura 3.28 se tiene la

posibilidad de ver una animación que nos permite visualizar la forma en que el perno se

deforma bajo la acción de la carga axial que se ejerce debido al apriete de la tuerca.



Problema 10 (2.124)

La varilla de aluminio ABC (E = 10.1 x 106

psi) que consiste en dos porciones

cilíndricas AB y BC, será reemplazada con

una varilla cilíndrica de acero DE (E = 29 x

106 psi) de la misma longitud total.

Determine el diámetro mínimo requerido d

para la varilla de acero si su deformación

vertical no debe exceder la deformación

de la varilla de aluminio bajo la misma

carga y si el esfuerzo permisible en la

varilla de acero no debe exceder 24 ksi.




Despliegue el libro deformación axial (Axial deformation)

Despliegue la etiqueta miembros cargados axialmente (Segmented axial

members)

Despliegue el libro miembros axiales verticales (Vertical axial members)

Haga doble clic sobre la etiqueta diámetros específicos de una barra (Rod

diameters specified)

Seleccione el número de segmentos de la barra.



Observe los diagramas de cuerpo libre



Figura 3.30 Solución parcial del problema 10

Para complementar la solución de este problema es

necesario revisar por esfuerzo normal permisible y deformación axial permisible

(véase figura 3.31).

Revisión por esfuerzo normal permisible:

Revisión por deformación axial permisible:

Comparamos los valores de diámetro calculados y seleccionamos el mayor ya que satisface

ambos criterios de diseño. Por tanto, el diámetro mínimo requerido es:

Figura 3.31 Complemento a la solución parcial del problema 10



Problema 11 (2.130)

La barra rígida AD está soportada por

dos alambres de acero de 1/16 in. de

diámetro (E = 29 X 106 psi), un

pasador y una ménsula en A. Si se

sabe que los alambres estaban

originalmente tensos, determine a) la

tensión adicional en cada alambre

cuando una carga P de 220 lb se

aplica en D, b) la deflexión

correspondiente en el punto D.




Sobre el menú opciones de análisis (Analysis Options) seleccione la opción

miembros rígidos y dos barras (Rigid Member and Two Bars).

Dibuje la configuración de la estructura, en relación con el soporte de

pasador en el centro de la imagen.


Compruebe la casilla de al lado con valores conocidos, el cuadro de

entrada junto a él cambiará a color amarillo indicando que los datos deben

de introducirse.

Para las variables que se van a calcular deje la casilla de al lado en blanco.


entrada junto a él cambiará a color amarillo, datos que indican que se debe

de introducir.


Seleccione la opción de resultados (Show Equations)




a)

b)



incluye a la ecuación de suma de momentos, las ecuaciones fuerza-deformación y

la ecuación de compatibilidad.

Comentarios finales


Comentarios finales

Este trabajo presenta una propuesta para complementar con

software especializado la enseñanza presencial o el uso de libros texto, es decir

tomar ventaja de la tecnología disponible para mejorar la calidad y eficiencia del

aprendizaje.

Las posibilidades de usar visualizaciones y simulaciones

animadas es una ventaja clara comparada con los libros, especialmente si hay que

estudiar diagramas de cuerpo libre, distribución de esfuerzos y procesos de

deformación.

El ambiente de poco estrés creado bajo un software

adecuado para el aprendizaje autodidáctico permite a los estudiantes avanzar

según su propio ritmo.

Bibliografía


Bibliografía

Beer, Johnston, De Wolf, Mazurek, “MECÁNICA DE

MATERIALES”, 5ª Edición, McGraw-Hill, México 2010

Gere, James M., “MECÁNICA DE MATERIALES”, 6ª

Edición, Editorial Thomson, México 2006

http://www.mdsolids.com/

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