RESPUESTAS - correccionpsust.cl · 4. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son...

RESPUESTAS

Número Clave eje temático habilidad cognitiva1 D Números Aplicación2 E Números Aplicación3 A Números Aplicación4 A Números Comprensión5 B Números Comprensión6 A Números Aplicación7 E Números Aplicación8 C Números Comprensión9 D Números Análisis, Síntesis y Evaluación10 A Números Aplicación11 B Números Comprensión12 B Números Comprensión13 C Números Análisis, Síntesis y Evaluación14 C Números Análisis, Síntesis y Evaluación15 B Números Comprensión16 B Números Aplicación17 C Números Análisis, Síntesis y Evaluación18 E Álgebra Aplicación19 A Álgebra Análisis, Síntesis y Evaluación20 C Álgebra Aplicación21 C Álgebra Aplicación22 D Álgebra Aplicación23 C Álgebra Análisis, Síntesis y Evaluación24 E Álgebra Aplicación25 D Álgebra Aplicación26 C Álgebra Análisis, Síntesis y Evaluación27 C Álgebra Análisis, Síntesis y Evaluación28 A Álgebra Comprensión29 E Álgebra Comprensión30 B Álgebra Comprensión31 B Álgebra Aplicación32 D Álgebra Aplicación33 E Álgebra Aplicación34 A Álgebra Aplicación35 C Álgebra Comprensión36 C Álgebra Análisis, Síntesis y Evaluación37 A Geometría Comprensión38 D Geometría Comprensión39 D Geometría Comprensión

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40 A Geometría Aplicación41 E Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación42 B Geometría Aplicación43 E Geometría Aplicación44 D Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación45 A Geometría Aplicación46 E Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación47 C Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación48 D Geometría Aplicación49 A Geometría Aplicación50 D Geometría Comprensión51 C Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación52 C Geometría Aplicación53 D Geometría Aplicación54 C Geometría Aplicación55 B Geometría Aplicación56 B Geometría Comprensión57 D Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación58 D Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación59 D Datos y azar Comprensión60 A Datos y azar Comprensión61 A Datos y azar Aplicación62 E Datos y azar Aplicación63 C Datos y azar Aplicación64 D Datos y azar Análisis, Síntesis y Evaluación65 E Datos y azar Aplicación66 E Datos y azar Análisis, Síntesis y Evaluación67 D Datos y azar Análisis, Síntesis y Evaluación68 D Datos y azar Análisis, Síntesis y Evaluación69 A Datos y azar Aplicación70 C Datos y azar Análisis, Síntesis y Evaluación71 B Datos y azar Aplicación72 E Datos y azar Comprensión73 B Datos y azar Comprensión74 D Datos y azar Comprensión75 B Datos y azar Aplicación76 D Datos y azar Aplicación77 A Datos y azar Comprensión78 D Datos y azar Análisis, Síntesis y Evaluación79 E Datos y azar Aplicación80 C Datos y azar Análisis, Síntesis y Evaluación

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COMPOSICIÓN

Ejes Temáticos abarcados

Números (17 preguntas)

• Números Reales (7 preguntas)• Números Complejos (4 preguntas)• Raíces (4 preguntas)• Logaritmos (2 preguntas)

Álgebra (19 preguntas)

• Expresiones y operatoria algebraica (3 preguntas)• Ecuaciones de primer grado (1 preguntas)• Ecuaciones de segundo grado (3 preguntas)• Función cuadrática (4 preguntas)• Funciones (6 preguntas)• Inecuaciones y sistemas de inecuaciones (1 preguntas)• Sistemas de ecuaciones (1 preguntas)

Geometría (22 preguntas)

• Círculo y circunferencia (3 preguntas)• Cuerpos geométricos (3 preguntas)• Geometría proporcional (1 preguntas)• Puntos, planos y vectores (2 preguntas)• Semejanza (3 preguntas)• Congruencia (3 preguntas)• Ecuación de la recta (7 preguntas)

Datos y azar (22 preguntas)

• Datos agrupados en intervalos (2 preguntas)• Medidas de tendencia central (3 preguntas)• Medidas de dispersión (4 preguntas)• Técnicas de conteo (3 preguntas)• Probabilidad frecuencial y teórica (2 preguntas)• Probabilidad condicional (1 preguntas)

4

• Variable aleatoria discreta (3 preguntas)• Distribución normal (3 preguntas)• Distribución binomial (1 preguntas)

Nivel de contenidos

Habilidades cognitivas abarcadas

Comprensión (21 preguntas)

Aplicación (36 preguntas)

Análisis, Síntesis y Evaluación (23 preguntas)

Instrucciones

ES DE SUMA IMPORTANCIA QUE PRESTE ATENCIÓN A TODAS LASINSTRUCCIONES QUE SE LE ENTREGAN, TANTO EN EL FOLLETO COMO EN LA

HOJA DE RESPUESTAS.

1.- Este modelo consta de 80 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con lasletras A,B,C,D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2.- COMPRUEBE QUE LA FORMA QUE APARECE EN SU HOJA DE RESPUESTASSEA LA MISMA DE SU FOLLETO. Complete todos los datos pedidos, de acuerdocon las instrucciones contenidas en esa hoja, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVARESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entregue susresultados. Se le dará tiempo suficiente para ello antes de comenzar la prueba.

3.- DISPONE DE 2 HORAS y 40 MINUTOS PARA RESPONDERLO.

4.- Las respuestas a las preguntas se marcan solo en la hoja de respuestas que se le haentregado. Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de lapregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de nosalirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito No 2 o portaminas HB.

5.- NO SE DESCUENTA PUNTAJE POR RESPUESTAS ERRADAS.

6.- Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no se olvide traspasar oportu-namente sus respuestas a la hoja. Tenga presente que se considerarán para la evaluaciónexclusivamente las respuestas marcadas en dicha hoja.

7.- Cuide su hoja de respuestas. No la doble ni la manipule innecesariamente. Escriba enella solamente los datos solicitados y las respuestas.

8.- El número de serie del folleto no tiene relación con el número del código de barra queaparece en la hoja de respuestas; por lo tanto, pueden ser iguales o distintos.

5

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Las figuras que aparecen en el ensayo son solo indicativas.

2. Los gráficos que se presentan en este ensayo están dibujados en un sistema de ejesperpendiculares.

3. Se entenderá por dado, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras sonequiprobables de salir.

4. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menosque se indique lo contrario.

5. Los números complejos i y -i son las soluciones de la ecuación x2` 1 “ 0.

6. Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y |z| es su módulo.

7. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z „ Np0, 1q y donde la partesombreada de la figura representa a P pZ § zq, entonces se verifica que:

6

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS

En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se decidasi con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) sepueda llegar a la solución del problema.Es así, que se deberá marcar la opción:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes pararesponder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a lapregunta,

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes pararesponder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

† es menor que – es congruente con° es mayor que „ es semejante con§ es menor o igual a K es perpendicular a• es mayor o igual a ‰ es distinto de§ angulo recto Î es paralelo a§ angulo P pertenece a

log logaritmo en base 10 AB trazo AB„ conjunto vacio |x| valor absoluto de x

ln logaritmo en base e x! factorial de xY unión de conjuntos X intersección de conjuntos

Ac complemento del conjunto A u vector u

7

1.-14 ´

35

34 ´

18

“

A) ´3127

B) ´835

C) ´10336

D) ´1425

E) ´1345

Pregunta ID: 1041661Autor: Francisca BarriaSOLUCIÓN14 ´

35

34 ´

18

“

´72058

“ ´720 ¨

85

“ ´75 ¨

25

“ ´1425

8

2.- ¿Cuál de los siguientes números se encuentra a igual distancia de ´52 y 1

16 en larecta numérica?

A) 0

B) 130

C) ´4143

D) ´4140

E) ´3932

Pregunta ID: 1041662Autor: Francisca BarriaSOLUCIÓN

En la recta numérica, el número que se encuentra a igual distancia de dos númeroses igual al promedio de estos números. Entonces:´

52 `

116

2 “

´40 ` 1162

“ ´3932

3.- Sean a y b dos dígitos. Entonces el número decimal periódico a, b es equivalente ala fracción:

A) 9a ` b

9

B) a ` b

9

C) ab

9

D) a ` 9b

9

E) a ` b

3Pregunta ID: 1041663Autor: Francisca BarriaSOLUCIÓN

a, b “ a `b

9“

9a ` b

9

9

4.- 23 de 0, 3, menos 1 es igual a:

A) ´0, 7B) ´0, 8C) ´1, 2D) 1, 6E) 1, 4

Pregunta ID: 1041664Autor: Francisca BarriaSOLUCIÓN23 de 0, 3, menos 1 se expresa como:23 ¨

13 ´ 1 “

29 ´ 1

“2 ´ 9

9“ ´

79

“ ´0, 7

5.- Sea el número p “ 100a ` 10b ` c, donde a, b y c son números enteros positivosmenores que 10. Si a ` b ` c “ 24, entonces siempre es verdadero que:

I. 2 es divisor de p.II. 3 es divisor de p.III. 6 es divisor de p.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III


Como a, b y c son números enteros positivos menores que 10 y p “ 100a ` 10b ` c,entonces a, b y c son los dígitos de p. Por lo tanto, la suma de los dígitos es iguala 24, que es un múltplo de 3. Concluímos que p es divisible por 3. No podemosconluir que p sea divisible por 2 o 6 porque es posible, por ejemplo, que p “ 897.

10

6.- Al redondear el número 3, 745 a la milésima se obtiene:

A) 3, 745B) 3, 746C) 3, 744D) 3, 74E) 3, 75


3, 745 “ 3, 74545 . . .Por lo tanto, al redondear el número 3, 745 a la milésima se obtiene 3, 745.

7.- 2 12 ` 2 1

2 ` 2 12 “

A) 2 32

B) 8 32

C) 6 12

D) 8 12

E) 18 12


2 12 ` 2 1

2 ` 2 12 “

?2 `

?2 `

?2

“ 3?

2“

?18

“ 18 12

11

8.- Pamela invirtió en un banco una cierta cantidad de dinero, con una tasa de interésmensual de un 2 % respecto del mes anterior, sin realizar depósitos ni retiros en eseperiodo. ¿Cuántos meses deben transcurrir para que su capital se duplique?

A) 12B) log200

C) log2log1, 02

D) plog2q2

E) No se puede determinar


Sea Ci el capital inicial y Cf el capital final. Entonces:Cf “ Ci ¨ p1 `

2100q

n

Cf “ Ci ¨ 1, 02n

Cf

Ci“ ¨1, 02n

Como el capital se debe duplicar:2 “ 1, 02n

{loglog2 “ logp1, 02n

q

log2=nlog 1,02n “

log2log1, 02

12

9.- Se puede determinar que q es un número decimal periódico si se sabe que:

(1) 4 ` q es un número decimal periódico.(2) 4q es un número decimal periódico.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


(1)La suma de un número decimal finito o entero, con un número decimal periódicoda siempre como resultado un número decimal periódico.(2)El producto de un número decimal finito o entero, con un número decimal periódicoda siempre como resultado un número decimal periódico.

13

10.- ¿Cuál es el valor de x en la ecuación x?

5 ` 3“

?5 ´ 32 ?

A) ´2B) 2

C)?

5

D) ´?

5

E) 2?

5 ` 12


x?

5 ` 3“

?5 ´ 32

x “p?

5 ` 3qp?

5 ´ 3q

2“

5 ´ 92

“´42

“ ´2

14

11.- Sea p un número irracional. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) siempre unnúmero irracional?

I.?

3p

II. 4p

III.?

5 ` p

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III


I.Supongamos que p “

?12. Entonces:

?3p “

?3 ¨

?12 “

?36 “ 6

Este número es racional.Por lo tanto, esta afirmación no es necesariamente verdadera.II.El producto de un número racional por un irracional, es siempre un número irra-cional.Por lo tanto, esta afirmación es necesariamente verdadera.III.Supongamos que p “ ´

?5.

?5 ` p “

?5 ` ´

?5 “ 0

Este número es racional.Por lo tanto, esta afirmación no es necesariamente verdadera.

15

12.- Si?

17 « 4, 12,?

68 es aproximadamente igual a:

A) 8, 12B) 8, 24C) 6, 12D) 10, 21E) 16, 48

Pregunta ID: 1041676Autor: Francisca BarriaSOLUCIÓN?

68 “?

17 ¨ 4“ 2

?17

« 2 ¨ 4, 12“ 8, 24

13.- abx“ c, con a, b y c mayores que 1. Entonces x es igual a:

A) c

b

B) logabc

C) logbc ´ logba

D) logbc

logba

E) pcaq

b


abx“ c

bx“

c

a{logb

logbbx“ logbp

caq

x “ logbc ´ logba

16

14.- ¿De cuál de las siguientes ecuaciones son soluciones?

c

ci y ´

?c

ci?

A) x2“ c

B) x2“ ´

?c

C) x2“ ´

1c

D) x2“

1c

E) x2“

?c

c


La ecuación correspondiente es:px `

?c

ciqpx ´

?c

ciq “ 0

x2` p

?c

cq

2“ 0

x2`

c

c2 “ 0

x2“ ´

1c

15.- a2` b2

a ` bi“

A) a ` bi

B) a ´ bi

C) a2´ b2

D) b ` ai

E) b ´ ai


pa ` biqpa ´ biq “ a2´ b2i2

“ a2´ b2

¨ ´1“ a2

` b2

17

16.- p1 ` iq4¨ p1 ´ iq5

“

A) 1B) 16 ´ 16i

C) 1 ´ i

D) 2 ´ 2i

E) 12 ` 5i


p1 ` iq4¨ p1 ´ iq5

“ pp1 ` iqp1 ´ iqq4

¨ p1 ´ iq“ p12

´ i2q

4¨ p1 ´ iq

“ p1 ` 1q4

¨ p1 ´ iq“ 24

¨ p1 ´ iq“ 16p1 ´ iq“ 16 ´ 16i

18

17.- Sea el número complejo z “ a ` bi, donde a y b son números positivos. Se puededeterminar que la parte real del número complejo z es igual a 2 si se sabe que:(1) el módulo de z es igual a

?8.

(2) la representación cartesiana de z forma un ángulo de 45o con el eje real.



Analicemos cada una de las afirmaciones:(1)Si el módulo de z es igual a

?8, hay infinitas posibilidades para los valores de a y

b, como:a “

?2 y b “

?6 o a “

?3 y b “

?5

(2)Si la representación cartesiana de z forma un ángulo de 45o con el eje real, entoncesa “ b. Por lo tanto, hay infinitas posibilidades para los valores de a y b.Si se cumple (1) y (2) entonces tenemos que a “ b y, por lo tanto:a2

` a2“

?82

2a2“ 8

Como a es positivo solo hay un valor posible para a.

19

18.- Sea la ecuación ax ` b “ ´bx ` a. ¿Cuál es el valor de x?

A) ´1B) 1

C) ´a ` b

a ´ b

D) a ` b

a ´ b

E) a ´ b

a ` b


ax ` b “ ´bx ` aax ` bx “ a ´ bpa ` bqx “ a ´ b

x “a ´ b

a ` b

19.- El área de un rectángulo es igual a A. ¿Cuánto mide la diagonal del cuadrado quetiene igual área que este rectángulo?

A)?

2A

B)?

A

C) 2?

A

D) A?

2

E) A2?2


Los lados del cuadrado miden?

A. Por lo tanto, la diagonal del cuadrado mide?

2 ¨

?

A “

?

2A.

20

20.- x3´ 27

x ´ 3 “

A) x2´ 9

B) x2´ 3x ` 9

C) x2` 3x ` 9

D) x2` 3

E) x2` 9


x3´ 27

x ´ 3 “px ´ 3qpx2

` 3x ` 9q

x ´ 3“ x2

` 3x ` 9

21

21.- Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

4x ´ 2y “ 1´x ` 5y “ 0

¿Cuál es el valor de y?

A) ´1

B) 518

C) 118

D) ´2

E) 12


4x ´ ´2y “ 1´x ` 5y “ 0{ ¨ 44x ´ 2y “ 1´4x ` 20y “ 0Sumando ambas ecuaciones tenemos que:18y “ 1y “

118

22

22.- Sea f una función lineal tal que fp2q “ 1 y fp´2q “ 13. ¿Cuál es la expresión def?

A) fpxq “ 2x ` 1B) fpxq “ ´x ´ 9C) fpxq “ 10x ´ 2D) fpxq “ ´3x ` 7E) fpxq “ ´11x ` 1


Si fpxq “ ax ` b, entonces:fp2q “ 12a ` b “ 1fp´2q “ 13´2a ` b “ 13Resolvamos el sistema:2a ` b “ 1´2a ` b “ 13Sumando ambas ecuaciones obtenemos:2b “ 14b “ 7Reemplazando este valor en 2a ` b “ 1 obtenemos que a “ ´3.Por lo tanto:fpxq “ ´3x ` 7

23

23.- Sea la ecuación cuadrática ax3` bx ` c “ 0, con a, b y c números enteros. Si z1

y z2 son soluciones no reales complejas de la ecuación, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones (es) son siempre falsa (s)?I. z1 ¨ z2 es un número real.II. z1 ` z2 es un número real.III. z1 “ z2.



Si los coeficientes de una ecuación cuadrática son números reales y una de lasraíces es compleja no real, entonces la otra raíz es su conjugado. Por lo tanto, estasraíces van a ser distintas y su suma y su producto van a ser un número real. Porlo tanto, la afirmación III es siempre falsa y I y II son siempre verdaderas.

24.- En la ecuación px ´ aq2

“ b la incógnita es x. ¿Cuáles son las soluciones de estaecuación?

A) a y b

B) ´?

a ` b y?

a ´ b

C)?

a ` b y?

a ´ b

D) ´b `?

a y b `?

a

E) a `

?

b y a ´

?

b


px ´ aq2

“ bse multiplica por ?

x ´ a “ ˘

?

bx “ a ˘

?

bPor lo tanto, las soluciones son a `

?

b y a ´

?

b.

24

25.- Consideremos el siguiente sistema de inecuaciones:

´5x ` 1 ° 2x

4x ` 5 ° 3

¿Cuál es el conjunto solución de este sistema?

A) H

B) s15 , 8r

C) s ´ 8,15r

D) s ´12 ,

17r

E) R


Despejemos x de la primera inecuación:´5x ` 1>2x´5x ´ 2x>´1´7x>´1 ¨ ´17x<1x<1

7Despejemos x de la segunda inecuación:4x ` 5>34x>´2x>´

24

x>´12

Por lo tanto:´

12<x<1

7Por lo tanto, el conjunto solución es s ´

12 ,

17r.

25

26.- Los números reales a y b son tales que a2<b2. ¿Cuál de las siguientes afirmacioneses siempre verdadera?

A) a2

b2 † 0

B) a2´ 2ab ` b2<0

C) a ` b

a ´ b<0

D) a ` b

a ´ b>0

E) a2´ b2

°0


a2<ba2

´ b<0pa ` bqpa ´ bq<0Por lo tanto, pa` bq y pa´ bq tienen distinto signo. Entonces podemos conlcuir que:a ` b

a ´ b<0

26

27.- Sea la ecuación cuadrática x2` bx ` c “ 0, en la que b, c y sus raíces son números

reales. Se puede determinar cuáles son las raíces de esta ecuación si se sabe que:(1) el producto de ellas es igual a 21.(2) su suma es igual a ´10.



(1)El producto de las raíces es igual a c

a“

c

1 “ c.Por lo tanto c “ 21.(2)La suma de las raíces es igual a ´

b

a“ ´

b

1 “ ´b.Por lo tanto b “ ´10.Por lo tanto, la ecuación es x3

´ 10x ` 21 “ 0. Si la resolvemos obtendremos lasraíces.

27

28.- En la figura se muestran dos círculos concéntricos en O. Si AB “ x y fpxq es elárea gris, ¿cuál de las siguientes gráficas puede corresponder a fpxq?

A)

B)

C)

D)

E)


Supongamos que el radio del círculo mayor es igual a r. Entonces, el área gris esigual a:fpxq “ fir2

´ fipr ´ xq2

fpxq “ fir2´ fipr2

´ 2rx ` x2q

fpxq “ fir2´ fir2

` 2firx ` fix2

fpxq “ fix2` 2firx

Entonces la gráfica de fpxq es:

28

29.- Sean f y g dos funciones afín con dominio en los números reales. Si fpxq “ 2x ` 3y fogpxq “ 4x ` 5, ¿cuál es la expresión de g?

A) gpxq “ 8x ´ 9B) gpxq “ ´5x ´ 4C) gpxq “ 4x ´ 2D) gpxq “ ´x ` 3E) gpxq “ 2x ` 1


Supongamos que gpxq “ ax ` b. Entonces: fogpxq “ 2pax ` bq ` 3 “ 2ax ` 2b ` 3 “

4x ` 5Entonces:2a “ 4a “ 22b ` 3 “ 52b “ 2b “ 1Por lo tanto, gpxq “ 2x ` 1.

29

30.- Sea la función fpxq “ ´0, 5x` 3 con dominio en los números reales. ¿Cuál es el

recorrido de esta función?

A) s ´ 8, 3s

B) s ´ 8, 3r

C) s3, 8r

D) r3, 8r

E) R


La gráfica de f es:

Por lo tanto, el recorrido de f es s ´ 8, 3r.

30

31.- Sea la función fpxq “ x2´ 2x ´ 1. Su gráfica tiene como vértice el punto:

A) p0, 0q

B) p1, ´2q

C) p0, ´3q

D) p´3, ´4q

E) p´1, ´5q


La primera coordenada del vértice es igual a:´

b

2a“ ´

´22 ¨ 1 “ 1

Como fp1q “ ´2 el vértice tiene como coordenas p1, ´2q.

32.- ¿Cuál de las siguientes funciones cuadráticas tiene como eje de simetría la rectax “ 1?

A) fpxq “ x2` 2x

B) fpxq “ x2´ 1

C) fpxq “ x2` 1

D) fpxq “ px ´ 1q2

E) fpxq “ px ` 1q2


El vértice de la función fpxq “ px ´ hq2

` k es ph, kq. Por lo tanto, el vértice defpxq “ px ´ 1q

2` 0 es p1, 0q y, entonces, su eje de simetría es la recta x “ 1.

31

33.- Sea la función fpxq “ 2x2´x`1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera

respecto a f?

A) fp0q “ 0B) fp1q “ fp´1q

C) Tiene un valor máximo que es 9D) Su gráfica NO intersecta al eje YE) Su gráfica NO intersecta al eje X


Dereminemos el discriminante asociado a la función:� “ b2

´ 4ac “ p´1q2

´ 4 ¨ 2 ¨ 1“ 1 ´ 8“ ´7<0Como el discriminante es negativo, la gráfica de la función no intersecta al eje X.

32

34.- Sea la función fpxq “ ´8x3, con dominio y recorrido en los números reales. ¿Cuáles la expresión de la función inversa de f?

A) f´1pxq “ ´

3?

x

2

B) f´1pxq “

3?

x

2C) f´1

pxq “ 2 3?

x

D) f´1pxq “ ´2 3

?x

E) f´1pxq “

3?

2x


Determinemos la función inversa de f :

y “ ´8x3

´y

8 “ x3

x “3

c´

y

8

x “ ´

3?

y

2Por lo tanto:

f´1pxq “ ´

3?

x

2

33

35.- Sea la función fpxq “ 3x` 2, con dominio en los números reales. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) SIEMPRE verdadera(s)?

I. fpxq “ fp´xq.II. Su gráfica intersecta al eje Y en el punto p0, 2q.III. Su gráfica no intersecta al eje X.



I.fp1q “ 31

` 2 “ 5fp´1q “ 3´1

`2 “ ´13 `2 “

72 . Entonces fp1q ‰ fp´1q. Por lo tanto, la afirmación

I. no es siempre verdadera.II.fp0q “ 30

` 2 “ 1 ` 2 “ 3Por lo tanto, la gráfica de f intersecta al eje Y en el punto p0, 3q. Por lo tanto, laafirmación II. no es verdadera.III.Para determinar la intersección de la gráfica de f con el eje X debemos resolver laecuación:3x

` 2 “ 03x

“ ´2Esta ecuación no tiene solución. Por lo tanto, la gráfica de f no intersecta al eje X.La afirmación III. es verdadera.

34

36.- Sea la función cuadrática fpxq “ ax2` bx ` c. Se puede determinar que el vértice

de la gráfica de esta función es el punto p´3, ´2q si se sabe que

(1) la gráfica de la función intersecta al eje x en los puntos p´4, 0q y p´2, 0q.(2) a “ 2.



A partir de (1) solo podemos determinar que la primera coordenada del vértice esigual a ´3A partir de (2) no es posible determinar ninguna de las coordenadas del vértice.Si se cumple (1) y (2) tenemos que fpxq “ 2x2

` bx ` c y que los puntos p´4, 0q yp´2, 0q pertenecen a la función. Entonces:0 “ 2 ¨ p´4q

2` b ¨ ´4 ` c

0 “ 32 ´ 4b ` c4b ´ c “ 320 “ 2 ¨ p´2q

2` b ¨ ´2 ` c

0 “ 8 ´ 2b ` c2b ´ c “ 8Por lo tanto, podemos resolver el sistema:4b ´ c “ 322b ´ c “ 8Con esto obtenemos los valores de b y c, con ellos la expresión de la función y, porlo tanto, podemos obtener el vértice.

35

37.- El vector up?

2,?

3q se rotó en un ángulo mayor a 180o obteniéndose el vector v. Siel vector v pertenece al tercer cuadrante, ¿cuáles podrían ser sus coordenadas?

A) p´1, ´2q

B) p´2, ´1q

C) p´?

2, ´?

3q

D) p´1, ´3q

E) p´3, ´1q


El módulo del vector p´1, ´2q es igual a?

5 que es igual al módulo de up?

2,?

3q,y el ángulo que forma con este vector es mayor a 180o.

36

38.- En la figura los puntos C, E y A son colineales y los puntos B, E y D también. SiCE – DE y BE – AE, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdade-ra(s)?

I. AB{{CD

II. �BEC – �AED

III. BE – BC


Pregunta ID: 1042511Autor: Puntaje Nacional ..SOLUCIÓN

I. Por el teorema recíproco de Pitágoras AB{{CD.II. Por el criterio LAL se cumple �BEC – �AED.

III. En la figura podemos apreciar que no necesariamente BE – BC.

37

39.- El triángulo ABC se gira en un ángulo de 45o respecto del vétice C. ¿Cuál es laimagen del vértice A?

A) p?

2, 2q

B) p?

2,?

3q

C) p?

2,?

2 ´ 1q

D) p3, 1 ` 2?

2q

E) p4,?

2 ´ 1q


Como AC “ 2?

2 y la rotación es en torno al vértice C la imagen de A esp3, 1 ` 2

?2q.

38

40.- En la figura AB{{DE. Si BE “ 5 cm, CE “ 16 cm y AD “ 4 cm. ¿Cuánto mideel segmento CD?

A) 12, 8 cm

B) 13, 5 cm

C) 14, 6 cm

D) 15, 2 cm

E) 16 cm

Pregunta ID: 1042512Autor: Puntaje Nacional ..SOLUCIÓN Aplicamos el teorema de Tales:CD

AD“

CE

BECD

4 “165

CD “4 ¨ 16

5CD “

645

CD “ 12, 8 cm

39

41.- Respecto del triángulo de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?I. Es isósceles.II. Es rectángulo.III. Su área es igual a 5 unidades cuadradas.


Pregunta ID: 1042513Autor: Puntaje Nacional ..SOLUCIÓN I.BC “ AC “

?10, por lo tanto, esta afirmación es verdaderas.

II. La pendiente del segmento BC es igual a 3 y la pendiente del segmento AC esigual a ´

13 . Entonces, el producto de estas pendientes es igual a ´1. Por lo tanto,

el ángulo en C es recto. La afirmación II es verdadera.III. Calculemos el área del triángulo:

A “

?10 ¨

?10

2 “102 “ 5

Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.

40

42.- En la figura BP “ 5 cm, AP “ 4 cm y CP “ 10 cm. ¿Cuánto mide DP?

A) 1, 5 cm

B) 2 cm

C) 2, 5 cm

D) 3 cm

E) 3, 5 cm


Aplicando el teorema de las cuerdas tenemos que:AP ¨ BP “ CP ¨ DP4 ¨ 5 “ 10 ¨ DP20 “ 10DP

DP “2010

DP “ 2 cm

41

43.- En la figura PC es tangente a la circunferencia en el punto T . Si AB “ 5 cm yAP “ 2 cm, ¿cuánto mide PT?

A) 3 cm

B) 4 cm

C)?

10 cm

D) 2?

7 cm

E)?

14 cm


Por el teorema de la tangente y la secante tenemos que:PT 2

“ BP ¨ APPT 2

“ 7 ¨ 2PT 2

“ 14PT “

?14 cm

42

44.- En la figura ABCD es un cuadrado, F es punto medio de AB y AE : CE “ 1 : 3.¿Cuál es la razón entre las áreas del triángulo AFE y el cuadrado ABCD?

A) 1 : 20B) 3 : 64C) 1 : 8D) 1 : 16E) 1 : 32


Como F es punto medio de AB, AF “AB

2 y además FE es perpendicular conAC.Desde E trazamos dos perpendiculares, una a AB y otra a AD como se muestraen la figura.Como AE : AC “ 1 : 4, entonces por el teorema de Tales AH : AD “ 1 : 4 y asíGE : AD “ 1 : 4El área del cuadrado ABCD es igual a AB ¨ AD.El área del triángulo AFE es igual a:AF ¨ GE

2 “

AD4 ¨

AB2

2“

AB ¨ AD

16Por lo tanto, la razón entre las áreas del triángulo AFE y el cuadrado ABCD esigual a 1 : 16

43

45.- En la figura O es centro de la circunferencia y la medida del arco AC es igual a80o. Si — ´ – “ 10o, ¿cuál es el valor de –?

A) 15o

B) 25o

C) 28o

D) 30o

E) 35o


?ABC “800

2 “ 40o

Por lo tanto – ` — “ 400

Como — ´ – “ 10o, resolviendo el sistema obtenemos que – “ 15o.

44

46.- Al triángulo ABC se le aplica una homotecia con centro en D y razón igual a k>0.Si la imagen de A es un punto correspondiente al eje Y , ¿cuál es el valor de k?

A)?

2

B)?

3

C) 53

D) 52

E) 32


De acuerdo a la figura podemos calcular la razón de homotecia k como:

k “D1EAF

“32

45

47.- En la figura el triángulo ABC es rectángulo en C y AB K CD. Se puede determinarel valor de BC si se sabe que:(1) AB “ 7 cm

(2) CD “ 3 cm



Dada la información proporcionada en (1) se pueden determinar distintos valorespara AC y BC con distintos valores para AC ` BC.A partir de la información proporcionada en (2) es imposible determinar el valorde BC.Consideremos (1) y (2). A partir de (2) se puede determinar el área del triánguloABC. Por lo tanto, a partir de (1) y (2) se puede determinar el valor de BCigualando áreas.

46

48.- ¿Cuál es la ecuación de la recta que intersecta al eje X en el punto pa, 0q y al ejeY en el punto p0, bq?

A) y “ ´a

bx ` a

B) y “a

bx ` a

C) y “b

ax ` b

D) y “ ´b

ax ` b

E) y “ ´a

bx ´ b


Determinemos la pendiente de la recta:m “

0 ´ b

a ´ 0 “ ´b

aComo la recta corta al eje Y en el punto p0, bq, el coeficiente de posición es igual ab.Por lo tanto, la ecuación de la recta es igual a :y “ ´

b

ax ` b

47

49.- En la figura, ¿cuál es la pendiente de CD?

A) 52

B) 73

C) 25

D) ´52

E) 37


La pendiente de AB es igual a ´25 .

Como AB y CD son perpendiculares, el producto de sus pendientes es igual a ´1:

mAB ¨ mCD “ ´1

mCD “´1

mAB

mCD “´1

´25

m_CD = 52

48

50.- Sean las rectas:

L1 : y “ mx ` n1L2 : y “ mx ` n2L3 : y “ px ` n3

Con m>0, p<0 y n1>n2. Si L1 y L3 se intersectan en el cuadrante IV, ¿en quécuadrante se intersectan L2 y L3?

A) Cuadrante IB) Cuadrante IIC) Cuadrante IIID) Cuadrante IVE) No es posible determinar en qué cuadrante se intersectan.


En la figura podemos observar que si L1 y L3 se intersectan en el cuadrante IV, L2y L3 también.

49

51.- Sean los puntos del plano cartesiano Ap1, 2q y Bp2, pq. Si AB “?

5 y B perteneceal cuadrante I, ¿cuál es el valor de p?

A) 1B) 5C) 4D) 10E) 9


AB “

ap2 ´ 1q2 ` pp ´ 2q2 “

?5

p2 ´ 1q2

` pp ´ 2q2

“ 51 ` pp ´ 2q

2“ 5

pp ´ 2q2

“ 4p ´ 2 “ ˘2p “ 4p “ 0Como B pertenece al cuadrante I, p “ 4.

50

52.- ¿Cuál de los siguientes pares de rectas son paralelas?

A) L1 : x “ 5L2 : y “ 5

B) L1 : x ` y “ 5L2 : x ´ y “ 5

C) L1 : x ` y “ 5L2 : ´x ´ y “ 5

D) L1 : x ´ y “ 5L2 : x ´ y “ 5

E) L1 : x ` y “ 5L2 : y “ 5


Consideremos las sigueintes rectas:L1 : x ` y “ 5L2 : ´x ´ y “ 5Despejando y de ambas ecuaciones obtenemos:L1 : y “ ´x ` 5L2 : y “ ´x ´ 5Como ambas rectas tienen pendiente igual a ´1 y distinto coeficiente deposición,concluímos que son paralelas.

51

53.- Sean los puntos Ap5, ´1q y Bp´7, 5q pertenecientes al plano cartesiano. ¿Cuál es laecuación de la recta que divide en dos partes iguales al segmento AB perpendicu-larmente?

A) y “ 2B) x “ ´1

C) y “x

2 ´ 1

D) y “ 2x ` 4E) y “ ´x ` 2


Determinemos las coordenadas del punto medio del segmento AB:p5 ` ´7

2 ,´1 ` 5

2 q “ p´1, 2q

Determinemos la pendiente del segmento AB:m “

5 ´ ´1´7 ´ 5

“6

´12“ ´

12

La recta correspondiente pasa por el punto p´1, 2q y debe tener pendiente igual a2. Por lo tanto, su ecuación es:y ´ 2 “ 2px ´ ´1q

y ´ 2 “ 2px ` 1q

y ´ 2 “ 2x ` 2y “ 2x ` 4

52

54.- El segmento AB de la figura se traslada según el vector up0, 0, 4q y la figura resul-tante se traslada según el vector vp´3, 0, 0q. ¿A cuántas unidades cúbicas equivaleel volumen de la figura que se obtiene?

A) 12B) 24C) 36D) 18E) 72


Al trasladarse el segmento AB según el vector up0, 0, 4q, la figura resultante es unrectángulo de área igual a 12 unidades cuadradas. Al trasladarse este rectángulosegún el vector vp´3, 0, 0q se obtiene un paralelepípedo de volumen igual a 36unidades cúbicas.

53

55.- ¿A cuántas unidades equivale el perímetro del triángulo de vértices Ap0, 0, 0q,Bp1, 1, ´1q y Cp1, 1, 1q?

A) 2

B) 2?

3 ` 2

C) 3?

2

D) 3?

5 ´ 1

E)?

7


Determinemos la medida de cada uno de los lados del triángulo:AB “

ap1 ´ 0q2 ` p1 ´ 0q2 ` p´1 ´ 0q

2

“ 1 ` 1 ` 1“

?3

AC “

ap1 ´ 0q2 ` p1 ´ 0q2 ` p1 ´ 0q

2

“ 1 ` 1 ` 1“

?3

BC “ 1 ´ ´1 “ 2Por lo tanto, el perímetro del triángulo es igual a 2

?3 ` 2.

54

56.- Al rotar en 360o un triángulo rectángulo respecto de su hipotenusa obtenemos:

A) un cono.B) dos conos unidos por sus bases.C) cilindro.D) prisma.E) cilindro unido a una esfera.


En la figura se puede observar que al rotar en 360o un triángulo rectángulo respectode su hipotenusa se obtienen dos conos unidos por sus bases.

55

57.- Sea la recta de ecuación vectorial L : px, y, zq “ ⁄p3, ´1, 0q ` p3, ´2, 4q.Respecto a L, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?I. Pasa por el punto p3, ´2, 4q.II. Es paralela a la recta de ecuación px, y, zq “ ⁄p1, ´1, 1q ` p3, ´2, 4q.III. Intersecta al eje X en el punto p0, ´1, 4q.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III


I.Como el vector posición es igual a p3, ´2, 4q, entonces L pasa por este punto.Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.II.Como las rectas no tienen el mismo vector director, no son paralelas.Por lo tanto, esta afirmación es falsa.III. Si ⁄ “ ´1 tenemos que:px, y, zq “ ´1 ¨ p3, ´1, 0q ` p3, ´2, 4q

“ p´3, 1, 0q ` p3, ´2, 4q

“ p0, ´1, 4q

Como la coordenada correspondiente a x es igual a 0, L intersecta al eje X en elpunto p0, ´1, 4q.

56

58.- Sean Las rectas L1 : 5x ` py “ 1 y L1 : qx ´ 5y “ 3, con p y q distintos de 0.Entonces se puede afirmar que p ‰ q si se sabe que:

(1) L1{{L2

(2) p ` q “ 0



Analicemos la información:(1)Si L1{{L2, entonces se cumple que:5p

“q

´5pq “ ´25Entonces p y q tendrían distinto signo y, por lo tanto, serían distintos.(2) Como p y q son distintos de 0, si p ` q “ 0, p “ ´q, por lo tanto, p ‰ q.Concluímos que la respuesta correcta es la D.

57

59.- En la tabla se registran las edades de los trabajadores de una empresa siendo todoslos intervalos de la forma ra, br menos el último que es de la forma ra, bs. De acuerdoa este, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) La mediana se encuentra en el intervalo r40, 50r.B) 40 trabajadores tienen 50 años o menos.C) En la empresa no hay trabajadores que tengan 30 años.D) La moda de las edades es igual a 45.E) Hay un total de 55 trabajadores.


El número total de los trabajadores de la empresa es igual a:15 ` 25 ` 10 ` 5 “ 5555 : 2 “ 27, 5Por lo tanto, la mediana ocupa el lugar 28. El dato que ocupa el lugar 28 está enel intervalo r40, 50r.

58

60.- En la tabla se registra el número de hijos de los trabajadores de una empresa ysu frecuencia relativa acumulada. Si la empresa tiene 80 trabajadores, ¿cuántos deellos tienen 3 hijos?

A) 32B) 36C) 40D) 48E) No se puede determinar


La frecuencia relativa acumulada de 3 es igual a 1. Por lo tanto, la frecuenciarelativa de 3 es 1 ´ 0, 6 “ 0, 4. Como la empresa tiene 80 trabajadores, los quetienen 3 hijos son 80 ¨ 0, 4 “ 32.

59

61.- ¿Cuál es el valor del percentil 30 de los datos registrados en el gráfico de barra?

A) 1B) 2C) 4D) 6E) 8


Determinemos el número total de datos:8 ` 10 ` 6 ` 2 “ 26Determinemos el lugar que ocupa el percentil 30:k “

30 ¨ 26100 “ 7, 8 « 8

Por lo tanto, el percentil 30 corresponde al dato que ocupa la octava posición. Estedato es igual a 1.

60

62.- De un curso de 40 alumnos, 3 de ellos serán elegidos al azar para representar alcolegio en una muestra artística. ¿De cuántas maneras se puede hacer esta elección?

A) 13B) 14C) 38 ¨ 39 ¨ 40D) 412

E) 38 ¨ 39 ¨ 406


El número de maneras en que se puede realizar la elección es igual a :ˆ

403

˙“

40!p40 ´ 3q! ¨ 3!

“40!

37! ¨ 3!

“38 ¨ 39 ¨ 40

6

61

63.- Las notas de Javiera en Matemática son 4, 5, 3, 4. ¿Cuál es la desviación estándarde las notas de Javiera?

A) 0B) 1

C)?

22

D)?

2

E) 12


Determinemos la media de las notas:x “

4 ` 5 ` 3 ` 44 “

164 “ 4

Determinemos la desviación estándar de las notas:‡2

“p4 ´ 4q

2` p5 ´ 4q

2` p3 ´ 4q

2` p4 ´ 4q

2

4‡2

“02

` 12` p´1q

2` 02

4‡2

“0 ` 1 ` 1 ` 0

4‡2

“24

‡2“

12

‡ “

c12

‡ “

?2

2

62

64.- La media de un grupo de datos es igual a m. Si se le agrega un dato igual am, respecto de este nuevo grupo de datos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) SIEMPRE verdadera(s)?

I. La media no cambia.II. Las desviación estándar aumenta.III. El rango no varía.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III


I. Si a un grupo de datos se le agrega un dato igual a la media, la media del nuevogrupo no cambiará.II. Como la diferencia de cada dato con la media, elevado al cuadrado no cambiay el número de datos aumenta, la nueva desviación estándar será menor o igual.III. La media de un grupo de datos es mayor o igual al menor de los datos y menoro igual al mayor de los datos. Como el rango es la diferencia entre el mayor y elmenor dato, el rango del nuevo grupo no variara.

63

65.- Los alumnos de los 2 cuartos medios de un colegio rindieron un ensayo PSU deLenguaje. La media de los puntajes de uno de los cursos, que consta de n alumnos,fue igual a p. La media de los puntajes del otro curso, que consta de m alumnos,fue igual a q. Considerando a los alumnos de ambos cursos, ¿cuál fue la mediaobtenida?

A) p ` q

2

B) p ` q

m ` n

C) np ` mq

2

D) np ` mq

p ` q

E) np ` mq

m ` n


La suma de los puntajes obtenidos del primer curso es igual a n ¨ p.La suma de los puntajes obtenidos del segundo curso es igual a m ¨ q.La suma de los alumnos de los dos cursos es igual a m ` n.Por lo tanto, la media de los alumnos de ambos cursos es igual a np ` mq

m ` n.

64

66.- Sea un grupo de datos cuyos valores son a, b y c, siendo entre sí distintos. Si b esla mediana y la media, y el rango es igual a 4, entonces:I. a ` c “ 2b

II. |b ´ a| “ 2III. pc ´ aq “ 2pb ´ aq



I.Como b es la mediana y la media:a ` c

2 “ b

a ` c “ 2bII.Como Si b es la mediana y la media, y el rango es igual a 4, entonces b está a igualdistancia de a y de c. Por lo tanto, |b ´ a| “ 2III.Si pcáq “ 2pbáq, entonces 4 “ 2pbáq, entonces bá “ 2. Pero no sabemos si ao b es mayor, por lo tanto, no podemos asegurar que esta afirmación es verdadera.

65

67.- En la tabla se registran la cantidad de libros leídos por un grupo de personasdurante el último mes. ¿Cuál es la media de la cantidad de libros leídos?

A) 2B) 2, 5C) 3D) 3, 5E) No se puede determinar


Determinamos la marca de clase de los intervalos:

Por lo tanto, la media es igual a:x “

1 ¨ b ` 3 ¨ b ` 5 ¨ 2b

b ` b ` 2b

“b ` 3b ` 10b

4b

“14b

4b

“72

“ 3, 5

66

68.- En un grupo de datos numéricos es posible determinar que la media es igual a unode los datos si se sabe que:(1) la desviación estándar es igual a 0.(2) el rango es igual a 0.



(1) Si la desviación estándar de un grupo de datos es igual a 0 significa que todoslos datos tienen el mismo valor. En ese caso la media sería igual al valor de todoslos datos.(2) Si el rango es igual a 0, esto implica que el menor dato es igual al mayor delos datos. En este caso tambiém todos los datos tendrían el mismo valor y por lotanto, la media sería igual al valor de todos los datos.

67

69.- En una función de cine el 20 % de los asistentes son niñas y el 40 % de las mujeresasistentes son niñas. ¿Cuál es el porcentaje de mujeres en la función de cine?

A) 50 %B) 20 %C) 40 %D) 8 %E) 16 %


Definamos los siguientes eventos:N: un asistente elegido al azar es menor de edad.M: un asistente elegido al azar es mujer.Tenemos que:P pN X Mq “ P pN{MqP pMq

P pMq “P pN X Mq

P pN{Mq

P pMq “0, 20, 4

“ 0, 5Por lo tanto, el 50 % de los asistentes a la función es mujer.

68

70.- Se lanzan 10 dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma obtenida sea igual a11?

A) 6105

B) 11106

C) 10610

D) 1611

E) 15 ¨ 6


El número de resultados posibles es igual a 610. Los eventos favorables son:(2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)(1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)(1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1). . . .(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)Por lo tanto, el número de resultados favorables es igual a 10.Entonces, la probabilidad de que la suma obtenida sea igual a 11 es igual a 10

610 .

69

71.- Se lanzan simultáneamente dos dados y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad deque la suma obtenida en los dados sea igual a 8 y salga cara en la moneda?

A) 736

B) 572

C) 148

D) 712

E) 1160


Los resultados posibles al lanzar dos dados se registran en la tabla:

La probabilidad de que la sumas sea igual a 8 es igual a:536La probabilidad de obtener una cara al lanzar una moneda es igual a 1

2 . Por lotanto, la probabilidad de que la suma obtenida en los dados sea igual a 8 y salgacara en la moneda es igual a:536 ¨

12 “

572

70

72.- Dadas las letras A, B, O, I, N, ¿cuántas palabras de 5 letras, con o sin sentido,es posible formar, sin que se repita ninguna letra, si la A y la B tienen que estarjuntas?

A) 10B) 12C) 24D) 36E) 48


La A y la B puede ubicarse juntas de 4 ¨ 2 “ 8 maneras. Por cada una de estasmaneras el resto de las 3 letras pueden ubicarse de 3! “ 6 maneras. Por lo tanto,el número de palabras que se pueden formar es igual a 8 ¨ 6 “ 48.

73.- En el experimento de lanzar un dado común dos veces se define la variable aleatoriaX como el valor absoluto de la diferencia de los números obtenidos. ¿Cuál de lossiguientes conjuntos corresponde al recorrido de X?

A) 1, 2, 3, 4, 5, 6B) 0, 1, 2, 3, 4, 5C) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6D) 1, 2, 3, 4E) 1, 2, 3


La mayor diferencia que se puede obtener es igual a 6 ´ 1 “ 5 y la menor es 0 (encaso de que ambos números sean iguales. Por lo tanto el recorrido de X es 0, 1, 2,3, 4, 5.

71

74.- La siguiente tabla corresponde a la función de distribución de probabilidad acumu-lada de la variable aleatoria discreta X, cuyo recorrido es 1, 2, 3, 4, 5. ¿Cuál de lassiguientes igualdades es FALSA?

A) P pX “ 2q “ 0B) P pX “ 1q “ 0, 2C) P pX “ 5q “ 0, 4D) P pX “ 3q • 0, 4E) P pX “ 5q>0, 4


P pX “ 2q “ 0, 2 y P pX “ 4q “ 0, 6.Como P pX “ 4q ´ P pX “ 2q “ 0, 6 ´ 0, 2 “ 0, 4, P pX “ 3q § 0, 4.

72

75.- La siguiente tabla corresponde a la función de distribución de probabilidad de lavariable aleatoria discreta X, cuyo recorrido es 0, 1, 2. ¿Cuál es la esperanza de X?

A) 1B) 1, 2C) 1, 4D) 1, 8E) 2


Determinemos la esperanza de X:EpXq “ 0 ¨ 0, 2 ` 1 ¨ 0, 4 ` 2 ¨ 0, 4“ 0 ` 0, 4 ` 0, 8“ 1, 2Por lo tanto, la esperanza de X es igual a 1, 2.

73

76.- Se lanza una moneda 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que 6 veces se obtengaun sello?

A) 120 ¨ 6

B)ˆ

12

˙20

C)ˆ

206

˙¨

ˆ12

˙6

D)ˆ

206

˙¨

ˆ12

˙20

E) 1ˆ206

˙


Sea X la variable aleatoria discreta equivalente al número de veces que se obtieneun sello al lanzar una moneda 20 veces. La probabilidad de que se obtenga un selloal lanzar una moneda es igual a 1

2 . Entonces:

PpX “ 6q “

ˆ206

˙¨

ˆ12

˙6¨

ˆ12

˙14

“

ˆ206

˙¨

ˆ12

˙20

74

77.- Sea el número 271 X, siendo X el dígito desconocido. ¿Cuál es la probabilidad deque sea múltiplo de 3?

A) 310

B) 13

C) 25

D) 16

E) 311


X puede tomar 10 valores. Para que un número sea divisible por 3, la suma de susdígitos debe ser un múltiplo de 3. Entonces X puede tomar los valores 2, 5, 8. Porlo tanto, la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 es 3

10 .

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78.- En la figura la línea continua corresponde a la gráfica de la función de distribuciónde probabilidad de la variable aleatoria Y , y la línea punteada a la de la variablealeatoria Z. Si ambas variables siguen una distribución normal y la línea puntea-da corresponde a una traslación de la línea continua, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La media de Y y Z es la misma.II. La varianza de Y y Z es la misma.III. P pY >3q “ P pZ>4q.



I. es falsa ya que la media de Y es 2 y la de Z es 3.II. es verdadera ya que una función de distribución es la traslación de la otrarespecto del eje X.III. Esta afirmación es correcta ya que Y “ 3 se corresponde con Z “ 4.

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79.- La masa corporal de los estudiantes de un colegio se modela a través de una dis-tribución normal con media igual a 40 kg y desviación estándar igual a 5 kg. Si seescoge a un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su masa corporal seamenor o igual a 50 kg?

A) 0, 8B) 0, 9C) 0, 875D) 0, 95E) 0, 977


P pX § 50q “ P pX ´ 40

5 §50 ´ 40

5 q

“ P pX ´ 165

10 § 2q

“ P pZ § 2q

En la tabla podemos observar que P pZ § 2q “ 0, 977.Por lo tanto, la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga una masacorporal que sea menor o igual a 50 kg es igual a 0, 977.

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80.- Las variables aleatorias continuas X e Y siguen una distribución normal. Se puededeterminar que el valor de la desviación estándar de Y es igual a 1 si(1) Y “ 4X ´ 4.

(2) la media de X es igual a 1 y su desviación estándar es igual a 14 .



(1)Si Y “ 4X ´ 4, entonces:Y “

X ´ 114

(2)Si la media de X es igual a 1 y su desviación estándar es igual a 14 , entonces la

media de Y es igual a 0 y su desviación estándar es igual a 1.Por lo tanto, es necesario saber (1) y (2).

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