Resumen de Análisis matemático II

Resumen de

matemático II

Autores: Juan Pablo Martí

U.T.N. F.R.M.Ingeniería Electrónica

Resumen de Análisis

matemático II

U.T.N. F.R.M. Ingeniería Electrónica

Resumen de Análisis

matemático II


PRIMERA PARTE

UNIDAD I: FUNCIONES VECTORIALES

Definición:

:)( Atr ⊂

Vector Posición:

tr )(

Límite:

ltrlímtt

=∃→

)(0

si ε >∀ 0

Continuidad:

)(tr

Derivadas:

zjtyitxdt

rdtr ˆ).(ˆ).()( +′+′==′

Reglas de Derivación:

o [ ] baba +′=′

+

o [ ] baba ×′=′

×

o ).(

)(

)( tr

t

tr αα

′=

′

Vector Velocidad:

)(trv ′= . Siempre es tangente a la curva en el punto

Vector Aceleración:

*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*

Teorema:

Si a es tal que


Página 1 Resumen de Análisis matemático II

RIMERA PARTE: CÁLCULO MULTIVARIABLE

UNCIONES VECTORIALES DE UN PARÁMETRO REAL

2IRBIR ⊂→⊂ ó 3:)( IRBIRAtr ⊂→⊂

ktzjtyitx ˆ)(ˆ)(ˆ)() ++= ó

=

)(

)(

)(

)(

tz

ty

tx

tr

εεδ <−>∃⇒ ltr )(/0)(0 con tal de hacer

es continua en 0t si el )()( 00

trtrlímtt

=→

t

trttrlím

dt

rdtr

t ∆−∆+

==′→∆

)()()(

0

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxkt ˆˆˆˆ).( ++=′

as de Derivación:

′

ba ′×+ y [ ] bababa ′•+•′=′

•

)(

)().()(2

t

ttrt

ααα ′−

con )(tα =función escalar

. Siempre es tangente a la curva en el punto

)()( trtva ′′=′=

°′+°′′= NkrTra ..

2


a es constante, entonces aa ⊥′


Resumen de Análisis matemático II

ÁLCULO MULTIVARIABLE

DE UN PARÁMETRO REAL

con tal de hacer δ<− 0tt


Terna Intrínseca:

Tangente Unitario:

(

(

r

rT

′′

=°

Normal Principal:

r

rN

′′

=°(

Binormal:

×°=° TB

Fórmulas de Frenèt:

o ds

Tdk

°=

o ds

Bda

°=

o Comp =

Triedro Intrínseco:

Plano Osculador:

Es el plano que contiene a los vectores

( )[ ˆ.0− ixx

Plano Rectificante:


( )[ ˆ.0− ixx

Plano Normal:


( )[ ˆ.0− ixx

Longitud de Arco:

Como dsdtrrd =′= .

UNIDAD II:

Definición:

,...,,,()( 321 xxxfxfz ==

BIRAxf n ⊂→⊂:)(


)(

)(

t

t (Versor de la Velocidad)

rr

rr

′⋅′′×

′×′′×′ )

°× N

3r

rr

′

′′×′=

° (Primera Curvatura o Flexión)


2rr

rrr

′′×′

′′′•′′×′−=

° (Segunda Curvatura o Torsión

22ka

ds

Nd+=

° (Curvatura Compuesta)

Es el plano que contiene a los vectores °T y °N :

( ) ( ) ] 0ˆ.ˆ.ˆ00 =°•−+−+ Bkzzjyyi

Es el plano que contiene a los vectores °T y °B :

( ) ( ) ] 0ˆ.ˆ.ˆ00 =°•−+−+ Nkzzjyyi

Es el plano que contiene a los vectores °B y °N :

( ) ( ) ] 0ˆ.ˆ.ˆ00 =°•−+−+ Tkzzjyyi

ds :

dtrdsSb

a

b

a.∫∫ ′==

UNIDAD II: FUNCIONES REALES DE VECTOR

),..., nx

IR


Torsión)

ECTOR


Gráficos en tres dimensiones (

Curvas de Nivel:

Se iguala la función a varias constantes, lo que determina varias ecuaciones de curvas planas, que serán las curvas de nivel. Siempre se dibuja en el plano

Trazas:

Igualamos a ecuaciones de curvas planas, que son las intersecciones de la gráfica con los planos coordenados.

Intervalo Rectangular:

Sea ),( yxfz = :

≤≤

≤≤=

dyc

bxaI

Entornos:

Entorno:

),( Eyx ∈

Entorno Reducido:

),( Eyx ∈

este tipo de entornos no incluye a las rectas

Entorno Circular:

),( Ecyx ∈

Entorno Circular Reducido:

),( Ecyx ∈


Gráficos en tres dimensiones ( ),( yxf ):

guala la función a varias constantes, lo que determina varias ecuaciones de curvas planas, que serán las curvas de nivel. Siempre se dibuja en el plano xy

Igualamos a 0 cada variable por separado, lo que nos determina tres ecuaciones de curvas planas, que son las intersecciones de la gráfica con los planos coordenados.

),( baE si

∀<−

<−δε

δε

,;by

ax arbitrariamente pequeños.

),( baE ′ si

∀<−<

<−<δε

δε

,;0

0

by

ax arbitrariamente pequeños. Pero

este tipo de entornos no incluye a las rectas ax = e

),( baEc si ( ) ( ) δ<−+− 22byax

Entorno Circular Reducido:

),( baEc si ( ) ( ) δ<−+−< 220 byax

b

a

c d

x

y

z

y

x

b

a

δδδδ


guala la función a varias constantes, lo que determina varias ecuaciones de curvas planas, que serán las curvas de nivel. Siempre se

os determina tres ecuaciones de curvas planas, que son las intersecciones de la gráfica con

arbitrariamente pequeños.

arbitrariamente pequeños. Pero

by = .


Límite Múltiple o Simultáneo:

⇔=∃→

lyxflímbayx

),(),(),(

l es único para (),( yx →Si l no es único, entonces no existe el límite.

Límites Reiterados:

( )( )),(

),(

2

1

yxflímlíml

yxflímlíml

byax

axby

→→

→→

=

=. Si ≠1l

Límites Direccionales:

).()( axmby −=− , ecuación de la recta de pendiente m que pasa por

Entonces tomo valores arbitrarios de la recta. Tomo el límite, y si al cambiar el valor de existe límite. Pero si el resultado no cambia, no se pu

Teorema Fundamental del Límite:

),(),(),(

yxflímlbayx →

= , entonces, si

sabemos que yx =),(ϕ

Toda funció

Continuidad:

),( yxf es continua en

1. yxflím

by

ax∃

→

→),(

2. ),( baf∃

3. lbaf =),(

Derivadas Parciales:

Derivada Parcial respecto de

fbaf x

∂=′

),(


fbaf y

∂=′

),(

Teorema de Schwartz o Teorema de Clairaut:

El orden de derivación no altera el resultado, si la función es derivable n veces res


Límite Múltiple o Simultáneo:

εεδε <−⇒>∃>∀⇔ lyxf ),(0)(,0 con tal de hacer

( ) ( ) δ<−+−< 220 byax

),( ba superficial y simultáneamente (cualquier trayectoria).

no es único, entonces no existe el límite.

∃/⇒≠ 2l límite único. Pero si ⇒= 21 ll nada se puede decir.

, ecuación de la recta de pendiente m que pasa por

Entonces tomo valores arbitrarios de m , y reemplazo a x por su valor en la fórmula de la recta. Tomo el límite, y si al cambiar el valor de m cambia el resultado, entonces no existe límite. Pero si el resultado no cambia, no se puede afirmar nada.

Teorema Fundamental del Límite:

, entonces, si 0),(),(),(

=⇒∃→

yxlímlbayx

ϕ (infinitésimo en

lyxf −),( , entonces podemos decir que:

),(),( yxlyxf ϕ+=

Toda función es igual a su límite más un infinitésimo

es continua en ),( ba , sí y sólo sí:

l=

Derivada Parcial respecto de x :

x

bafbxaflím

x

zlím

x

baf

x

x

x ∆−∆+

=∆

∆=

∂∂

→∆→∆

,(),(),(

00

Derivada Parcial respecto de y :

y

bafybaflím

y

zlím

y

baf

y

y

y ∆−∆+

=∆

∆=

∂∂

→∆→∆

,(),(),(

00

Teorema de Schwartz o Teorema de Clairaut:

El orden de derivación no altera el resultado, si la función es derivable n veces restodas las variables.


con tal de hacer

superficial y simultáneamente (cualquier trayectoria).

nada se puede decir.

, ecuación de la recta de pendiente m que pasa por ),( ba .

por su valor en la fórmula de cambia el resultado, entonces no ede afirmar nada.

(infinitésimo en ),( ba . Y

b)

b)

El orden de derivación no altera el resultado, si la función es derivable n veces respecto de


Plano Tangente y Recta Normal:

,(

∂∂

x

baz

Ecuación del Plano Tangente a la Superficie

Ecuación Simétrica de la Recta Normal a la

Diferenciabilidad:

Siempre que z∆ pueda expresarse de la siguiente manera,

),( ba :

fz x=∆

x

bazz

∂∂

=∆),(

Los dos primeros términos de la expresión anterior representan el diferencial total de

(lineal) y los dos últimos términos (

superior. Entonces:

x

bazdz

,(

∂∂

=


Interpretación Geométrica del Diferencial Total:

El Diferencial Total es el incremento de ordenada referido sobre el plano tangente.


Plano Tangente y Recta Normal:

0)()(),(

)()

=−−−⋅∂

∂+−⋅ czby

y

bazax

b

Ecuación del Plano Tangente a la Superficie ),( yxf en el punto

)1(),(

)(

),(

)(

−−

=

∂∂

−=

∂∂

− cz

y

baz

by

x

baz

ax

Ecuación Simétrica de la Recta Normal a la Superficie ),( yxf en el punto

pueda expresarse de la siguiente manera, ),( yxf es diferenciable en

kkhkhkbafhba y ).().,().,().,( 21 εε ++′+′

yxyxyy

bazx ∆∆+∆∆∆+∆⋅

∂∂

+∆⋅ ).().,(),()

21 εε

Los dos primeros términos de la expresión anterior representan el diferencial total de

(lineal) y los dos últimos términos ( 21 εε + ) representan un infinitésimo de orden

kbafhbafyy

bazx

byx ).,().,(

),() ′+′=∆⋅∂

∂+∆⋅


Interpretación Geométrica del Diferencial Total:



en el punto ),,( cba

en el punto ),,( cba

es diferenciable en

y∆

Los dos primeros términos de la expresión anterior representan el diferencial total de z

) representan un infinitésimo de orden

k



Derivada Direccional:

Si p es el vector posición y

entonces )( hpfz +=∆

derivada de la función en la dirección de

Ahora bien, si definimos el ángulo

sabemos que x

azz

(

∂∂

=∆

direccional se nos convierte en:

∆⋅

∂∂

=′→

cos

0

),(

h

x

x

bazlímfh

h

α

fh

Vector Gradiente:

Existe un operador NABLA, que nos define a éste vector, y éste es:

Al conocer este nuevo vector, podemos redefin

Donde u°


Existe una propiedad del vector gradiente que nos dice que siempre, la máxiderivada direccional estará dada en la dirección del vector gradiente y valdrá la norma de éste vector:


Otra propiedad nos define que cuando la derivada direccional es igual a 0, la función es constante, entonces nos queda definida una CURVA DE NIVEL.

Regla de la cadena:

Supongamos que fz =

compuesta )( ftFz ==


osición y h , un vector que nos define una dirección en el dominio,

)() pf− , y si hacemos tender 0→h , entonces tenemos una

derivada de la función en la dirección de h , que será: pf

límfh

h

(

0

=′→

Ahora bien, si definimos el ángulo α como el que forma el vector h

hhyy

bazx

x

ba).(

),(),ε+∆⋅

∂∂

+∆⋅ , entonces la derivada

os convierte en:

+∆

⋅∂

∂+

434210

).(),(

h

hh

h

y

y

baz

sen

ε

αα

, entonces:

αα sin),(

cos),(

⋅∂

∂+⋅

∂∂

=′y

baz

x

bazf

h

)(ˆˆ zgradjy

zi

x

zz =

∂∂

+∂∂

=∇

Existe un operador NABLA, que nos define a éste vector, y éste es: ∇

Al conocer este nuevo vector, podemos redefinir la derivada direccional como:

°•∇=′upzpf

h)()(

h

h= es el vector unitario de la dirección h


Existe una propiedad del vector gradiente que nos dice que siempre, la máxiderivada direccional estará dada en la dirección del vector gradiente y valdrá la norma

zmáxfh

∇=′)(


Otra propiedad nos define que cuando la derivada direccional es igual a 0, la función es tante, entonces nos queda definida una CURVA DE NIVEL.

),( yxf y que además

=

=

)(

)(

tyy

txx. Obtenemos así una función

( ))(),( tytxf . Podemos definir una derivada de

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

∂∂

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

=∂∂


, un vector que nos define una dirección en el dominio,

, entonces tenemos una

h

pfhp )() −+

h con el eje xr

y

, entonces la derivada

jy

ix

ˆˆ∂∂

+∂∂

=∇

ir la derivada direccional como:

Existe una propiedad del vector gradiente que nos dice que siempre, la máxima derivada direccional estará dada en la dirección del vector gradiente y valdrá la norma

Otra propiedad nos define que cuando la derivada direccional es igual a 0, la función es

. Obtenemos así una función

. Podemos definir una derivada de z respecto de t :


*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN (partiendo de definir

En casos más generales podemos tener más de una variable de las que depevariable independiente de esas variables. Así, podemos generalizar el concepto:

()( fxfz ==

∂

∂⋅

∂∂

+∂

∂⋅

∂∂

=∂∂

jjj u

x

x

z

u

x

x

z

u

z 2

2

1

1

Derivadas de Funciones Implícitas:

Definimos una función implícita


En un caso más general:

De esto podemos obtener una nueva fórmula para calcular las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la función en el punto:

(

x

az

∂∂

()( y

zf

yf

ax

zf

xf

⋅

∂∂

∂∂

−+−⋅

∂∂

∂∂

−

∂∂

x

f

Extremos Relativos Libres:

Partimos de la condición de que

dominio. Para un punto

o Existe un mínimo local

o Existe un Máximo local

Pero como esto es muy difícil de aplmétodos, poniendo como


*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN (partiendo de definir z∆ con los

En casos más generales podemos tener más de una variable de las que depevariable independiente de z . Entonces podremos derivar a z respecto de cada una de esas variables. Así, podemos generalizar el concepto:

),...,,...,,( 21 ni xxxx y ,...,,...,,( 21 jii uuuugx =

∑= ∂

∂⋅

∂∂

=∂

∂⋅

∂∂

+∂

∂⋅

∂∂

+n

i j

i

ij

n

nj

i

i u

x

x

z

u

x

x

z

u

x

x

z

1´

...... (Hay

Derivadas de Funciones Implícitas:

Definimos una función implícita 0),( =yxf , diferenciamos y despejamos y nos queda

yf

xf

x

y

∂∂

∂∂

−=∂∂


al: 0)( =xf

n

i

i

n

xf

xf

x

x

∂∂

∂∂

−=∂

∂ con ni ≠

De esto podemos obtener una nueva fórmula para calcular las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la función en el punto:

Ecuación del Plano Tangente

)()(),(

)(),

czbyy

bazax

x

ba−=−⋅

∂∂

+−⋅

.().()() byy

fax

xf

czby −∂∂+−∂

∂⇒−=−

0)()()( =−∂∂

+−∂∂

+− czz

fby

y

fax

x

f

Ecuación de la Recta Normal

zf

cz

yf

by

xf

ax

∂∂

−=

∂∂

−=

∂∂

− )()()(

Extremos Relativos Libres:

Partimos de la condición de que ),( yxfz = sea diferenciable en una región

dominio. Para un punto ),( ba podemos decir que:

mínimo local en ),( ba si ,(,0),(),( xbafyxf ∀>−Máximo local en ),( ba si (,0),(),( xbafyxf ∀<−

Pero como esto es muy difícil de aplicar en forma práctica, podemos establecer otros métodos, poniendo como CONDICIONES NECESARIAS:


con los ε )/*

En casos más generales podemos tener más de una variable de las que dependa cada respecto de cada una de

)mu

(Hay m derivadas)

, diferenciamos y despejamos y nos queda

De esto podemos obtener una nueva fórmula para calcular las ecuaciones del plano

).() czz

f −∂∂−=

sea diferenciable en una región S de su

),(), baEy ′∈

),(), baEy ′∈

icar en forma práctica, podemos establecer otros


Al resolver el sistema obtenemos los

existencia o no de extremo local y determinante llamado Hessiano

2

2

2

yx

f

x

f

H

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂

=

GENERALIZANDO… )(xfz =

valorH =

Si ⇒> 0H

Extremo Local

Si ⇒< 0H

Punto Silla

Si ⇒= 0H

CUASIEXTREMO


=∂∂

=∂∂

0

0

y

zx

z

Al resolver el sistema obtenemos los Puntos Críticos ),( yx . Para poder evaluar la

existencia o no de extremo local y la condición de máximo o mínimo, planteamos un Hessiano:

2

2

2

y

f

yx

f

∂

∂∂∂

∂

(Evalúo éste determinante en cada Punto Crítico)

∃⇒ xtremo Local

∃⇒ Punto Silla

∃⇒ CUASIEXTREMO

Si ∃⇒>∂

∂0

2

2

x

f

mínimo local

Si ∃⇒<∂

∂0

2

2

x

f

Máximo local


. Para poder evaluar la

la condición de máximo o mínimo, planteamos un

(Evalúo éste determinante en cada Punto Crítico)


2

1

2

2

13

2

2

12

2

2

2

1

2

n

fxx

f

fxx

f

fxx

f

f

x

f

H

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂∂

∂

=

M

←←←

∆←←

↑∆←

↑↑∆

=H3

2

1

L

MMMM

L

L

L

Extremos Ligados o Condicionados:

En éste caso vamos a tener una función

extremar; y también vamos a tener una función de condición

forma implícita que nos va a definir una curva vamos a obtener los extremos.

Método del Multiplicador de Lagrange:

Para obtener los Puntos críticos, resolvemos la siguiente igualdad: .),( gyxf ∇=∇ λ

Para resolverlo planteamos el sistema:

=

′=′

′=′

0),(

.

.

yxg

gf

gf

yy

xx

λ

λ

y obtenemos los Puntos Críticos con sus respectivos valores de de Lagrange). Luego, para saber si

signo de z∆ , que va a ser el mismo

(),,( xfyxF λ =

(las derivadas evaluadas en los

Para resolver ésta ecuación, determinamos el diferenciando la expresión

reemplazamos los diferenciales, sacam

[ ] 2.dxvalor , de donde el signo de ese

nos determina la condición de máximo o mínimo:


2

3

2

2

3

2

2

3

2

23

2

2

32

2

2

2

1

2

31

2

21

nn x

fxx

fxx

f

xf

x

fxx

f

xf

xxf

x

f

xf

xxf

xxf

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

L

MMMM

L

L

L

∃⇒

⇒<∆>∆<∆

>∆>∆>∆>∆

⇒

∆

↑

↑

↑

PuntodemásloTodo

Si

Si n

n

__

,...)0,0,0(

,...,0,0,0(

321

321

L

MM

L

L

L

gados o Condicionados:

En éste caso vamos a tener una función ),( yxfz = diferenciable, la cual vamos a

extremar; y también vamos a tener una función de condición ,( yxg

forma implícita que nos va a definir una curva inscripta en la superficie, sobre la cual vamos a obtener los extremos.

Método del Multiplicador de Lagrange:

Para obtener los Puntos críticos, resolvemos la siguiente igualdad: ),( yx donde vamos a obtener valores de x ,

Para resolverlo planteamos el sistema:

y obtenemos los Puntos Críticos con sus respectivos valores de ). Luego, para saber si es un máximo o un mínimo, evaluamos el

, que va a ser el mismo signo que Fd2 , donde

),(.), yxgyx λ+ . El valor de Fd2 es:

2

22

2

2

2

2.2 dy

y

Fdydx

yx

Fdx

x

FFd ⋅

∂

∂+

∂∂∂

⋅+⋅∂

∂=

(las derivadas evaluadas en los puntos ,( cc yx

Para resolver ésta ecuación, determinamos el vínculo de los diferencialesdiferenciando la expresión 0),( =yxg y despejando dx . Evaluamos los puntos,

reemplazamos los diferenciales, sacamos 2dx como factor común y obtenemos

, de donde el signo de ese valor es igual al signo de

nos determina la condición de máximo o mínimo:

Si

∃⇒<∆

∃⇒>∆

Máximoz

mínimoz

0

0


2

n

n

n

n

x

x

x

x

∂

∂

∂

∃⇒

∃⇒>

SillaPunto

Máximo

mínimo

_

)0

diferenciable, la cual vamos a

0) =y , dada en

inscripta en la superficie, sobre la cual

Para obtener los Puntos críticos, resolvemos la siguiente igualdad: , y y λ .

y obtenemos los Puntos Críticos con sus respectivos valores de λ (multiplicador es un máximo o un mínimo, evaluamos el

2dy

), cλ )

vínculo de los diferenciales, . Evaluamos los puntos,

como factor común y obtenemos

es igual al signo de z∆ , por lo tanto


GENERALIZANDO…

Si tengo

=

)(

)(

(

2

1

xg

xg

fz

UNIDAD III:

Integrales Dobles

Integral doble en una región


Integrales Reiteradas:

∫∫R yxf ),(


Integración sobre regiones no rectangulares:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

y

x

S c

d

x=h2(y) x=h1(y)

y

x

S

a b

y=g2(x)

y=g1(x)


GENERALIZANDO…

=

=

0

0

)(x

, las ecuaciones a resolver serán:

=

=

′+′=′

′+′=′

′+′=′

0),(

0),(

..

..

..

2

1

2211

2211

2211

222

111

yxg

yxg

ggf

ggf

ggf

nnn xxx

xxx

xxx

λλ

λλ

λλ

M

UNIDAD III: INTEGRALES MÚLTIPLES

dydxyxfdAyxfRR

..),(.),( ∫∫∫∫ =

Integral doble en una región R de ),( yxf .


∫ ∫∫ ∫ ==b

a

d

c

d

c

b

adxdyyxfdydxyxfdA ..),(..),(.)



dxdydxyxfdAyxfd

c

d

c

yh

yhS.),(.),(

)(

)(

2

1∫∫ ∫∫∫ =

=

dxdxdyyxfdAyxfb

a

b

a

xg

xgS.),(.),(

)(

)(

2

1∫∫ ∫∫∫ =

=


dyyxfdxyh

yh.),(

)(

)(

2

1∫

dyyxfdxxg

xg.),(

)(

)(

2

1∫


Cambio de variables:

fIR∫∫=


Parto de definir un vector

Cambio de variables rectangulares a polares:

=

=

θ

θ

sin.

cos.

ry

rx

I ∫∫=

Integrales Triples:

R∫∫∫Integral triple en una región

*/ ESTUDIAR LA D

Integrales Reiteradas:

dVzyxfR

.),,(∫∫∫ =


xfR

,(∫∫∫Cambio de variables:

IV∫∫∫=

y

x

S

a b

y=g2(x)

y=g1(x)


( ) ( )( ) dvduJvuyvuxfdydxyxf ...,;,..),( ∫∫Ω=

Jacobiano

vy

vx

uy

ux

J =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=


( ) ( ) ( ) jvuyivuxvu ˆ,ˆ,, +=Φ , y dos vectores m

)(Ráreanm =×

Cambio de variables rectangulares a polares:

( ) θθθ ddrrrrfdydxyxfR

...sin;cos...),( ∫∫∫∫ Ω=

( ) ( ) dzdydxzyxfdVzyxfRR

...,,.,, ∫∫∫=

Integral triple en una región R de ),,( zyxf .


xfdydxdxdydzzyxfh

e

d

c

b

a

b

a

d

c

h

e,(...),,( ∫∫∫∫ ∫ ∫ ==


dzzyxfdydxdVzyyxg

yxg

xh

xh

b

a.),,(.),,

),(

),(

)(

)(

2

1

2

1∫∫∫=

( ) ( ) dwdvduJwvuFdVzyxfV

....,,.,, ∫∫∫Ω=

wz

wy

wx

vz

vy

vx

uz

uy

ux

J

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

dxdxdyyxfdAyxfb

a

b

a

xg

xgS.),(.),(

)(

)(

2

1∫∫ ∫∫∫ =

=


m y n , tales que

θ

dzzy .),,

dyyxfdxxg

xg.),(

)(

)(

2

1∫


Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas:

Aplicaciones de Integrales Múltiples:

Áreas de superficies alabeadas:

Volúmenes entre un plano coordenado y una función:

Áreas de superficies planas:

Volúmenes en general:

θ

ρ φ

rθ


Aplicaciones de Integrales Múltiples:

Áreas de superficies alabeadas:

dydxy

fx

fSA

R..1)(

22

∫∫ +

∂∂+

∂∂=


Volúmenes entre un plano coordenado y una función:

dydxyxfVR

..),(∫∫=

de superficies planas:

∫∫=R

dydxRA .)(

Volúmenes en general:

dzzyxfdydxVyxg

yxg

xh

xh

b

a.),,(

),(

),(

)(

)(

2

1

2

1∫∫∫=

P

=

=

=

φρ

θφρ

θφρ

cos.

sin.sin.

cos.sin.

z

y

x

φρ 2sin.=J

πφ

πθ

<<

<≤

0

20

z

P

=

=

=

zz

ry

rx

θ

θ

sin.

cos.

rJ =


π


Aplicaciones físicas de las Integrales múltiples:

Integrales Dobles:

Masa:

Donde ρ

Momentos estáticos (1º orden):

Momentos de Inercia (2º orden):

Centro de masa (Centroide):

Integrales Triples:

Masa:

Momentos de primer orden (respecto a los planos):



Aplicaciones físicas de las Integrales múltiples:

dydxyxml

..),(∫∫= ρ

),( yxρ es una función que determina la densidad superficial de

la lámina

Momentos estáticos (1º orden):

dydxyxyMl

x ..),(.∫∫= ρ

dydxyxxMl

y ..),(.∫∫= ρ

Momentos de Inercia (2º orden):

dydxyxyIl

x ..),(.2

∫∫= ρ

dydxyxxIl

y ..),(.2

∫∫= ρ

( ) yl

z IdydxyxyxI +=+= ∫∫ ..),(.22 ρ


=

=

m

My

m

Mx

yxP

x

y

:),( (Coordenadas)

dzdydxzyxmV

...),,(∫∫∫= ρ

Momentos de primer orden (respecto a los planos):

dzdydxzyxzMV

xy ...),,(.∫∫∫= ρ

dzdydxzyxyMV

xz ...),,(.∫∫∫= ρ

dzdydxzyxxMV

yz ...),,(.∫∫∫= ρ


==== z

m

My

m

MxPzyxP xzyz

;;),,(


nsidad superficial de

xI+

(Coordenadas)

m

M xy


UNIDAD IV: CAMPOS VECTORIALES

Campo vectorial o Función vectorial de vector:

Gradiente:

Dada una función escalar de posición

Propiedades: 1. Indica la dirección de máximo crecimiento de

2. =∇u valor de la máxima derivada direccional

3. rdudu •∇=

4. °•∇=∂∂

ρρ

uu

donde

5. ⊥∇u curva de nivel (para

Rotor:

Dada una función vectorial (xu

rot

Propiedad:

Los gradientes son IRROTACIONALES

Divergencia:

Dada una función vectorial (xu

u a:

Interpretación Física: Variación del Flujo respecto del Volumen

r

P

x

z


AMPOS VECTORIALES. INTEGRALES DE L

Campo vectorial o Función vectorial de vector:

Dada una función escalar de posición ( )zyxu ,, , diferenciable, definimos gradiente de

kz

uj

y

ui

x

uu ˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Indica la dirección de máximo crecimiento de u

valor de la máxima derivada direccional

donde =ρ vector de dirección

curva de nivel (para 2=n ) o ⊥∇u superficie de nivel (para

) kujuiuzyx zyxˆˆˆ,, ++= , diferenciable, definimos rotor de

zyx uuu

zyx

kji

uurot ∂∂

∂∂

∂∂=×∇=

ˆˆˆ

)(

Los gradientes son IRROTACIONALES 0=∇×∇ u

) kujuiuzyx zyxˆˆˆ,, ++= , diferenciable, definimos divergencia de

z

u

y

u

x

uuudiv zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=•∇=)(

Variación del Flujo respecto del Volumen

( )rF

y

3,2: BIRAF ⊂→⊂


NTEGRALES DE LÍNEA

, definimos gradiente de u a:

superficie de nivel (para 3=n )

, definimos rotor de u a:

, definimos divergencia de

3,2IR


Propiedad:

Integrales de línea:

Formas Paramétricas:

CASO I: FUNCIÓN ESCALAR

Sea ),,( zyxf definida y acot

vector de posición es

sobre C :

fC∫

CASO II: FUNCIÓN VECTORIAL

Sea ),,( zyxF definida y acotada sobre una curva

vector de posición es

sobre C :

FC∫

Interpretación física:

Forma diferencial:

Sea yxMzyxF ,,(),,( =entonces:

∫C zyxF ,,(

Teorema de Green:

HIPÓTESIS: Sean ),( yxP y ),( yxQ funciones diferenciables en una cierta región plana

(curva plana)

TEOREMA:

∫∫

∂S

DEMOSTRACIÓN:


Los rotores NO DIVERGEN 0)( =×∇•∇ u

Formas Paramétricas:

CASO I: FUNCIÓN ESCALAR

definida y acotada sobre una curva

=

=

=

zz

yy

xx

C

(

(

:

vector de posición es kzjyixtr ˆˆˆ)( ++= , se define a la Integral de línea de

rtrfdttrtrfdlzyxfb

aC.))((.)(.))((.),,( =′= ∫∫


CIÓN VECTORIAL

definida y acotada sobre una curva

=

=

=

zz

yy

xx

C

(

:

vector de posición es kzjyixtr ˆˆˆ)( ++= , se define a la Integral de línea de

trFdttrtrFdlzyxb

aC))(().())((.),,( •=′•= ∫∫


Interpretación física: Trabajo

kzyxPjzyxNiz ˆ).,,(ˆ).,,(ˆ)., ++ y idxdl ˆ. +=

∫ ++=C

yxPdyzyxNdxzyxMdlz ,().,,().,,(.)

funciones diferenciables en una cierta región plana

∫ +=

∂∂

−∂∂

CdyyxQdxyxPdydx

y

P

x

Q).,().,(..


≤≤ bta

t

t

t

;

)(

)(

)(

, cuyo

, se define a la Integral de línea de f

dttr .)(′

≤≤ bta

t

ty

t

;

)(

)(

)(

, cuyo

, se define a la Integral de línea de f

dttr ).(′•

kdzjdy ˆ.ˆ. +

dzzy ).,

funciones diferenciables en una cierta región plana S con borde C


( ) (xPdxxgxP

Pdxdxdy

y

P

b

a

b

a

xg

xg

b

aS

,.)(,

..

2

)(

)(

2

1

∫∫

∫∫∫∫

−−

∂=

∂∂

( ) ( yhQdyyyhQ

Qdydydx

x

Q

d

c

d

c

yh

yh

d

cS

(.),(

..

12

)(

)(

2

1

∫∫

∫∫∫∫

+

∂=

∂∂

Entonces - ⇒ ∫∫

−

∂∂

S x

Q

Consecuencias del teorema de Green:

Teorema del área:

Supongo yxQ ),(

. Despejando obtenemos que:

Independencia con la trayectoria:

Si se cumple la condición de simetría

que es el Principio de Conservación de la Energía

QiyxPF ˆ).,( +=línea en una curva cerrada, siempre es cero.DEMOSTRACIÓN:

+⇒= ∫∫∫ −1

0C


( ) ( )[ ]

) dxyxPdxxg

dxxgxPxgxPdyy

yx

C

b

a

.),(.)(

.)(,)(,.),(

1

12

∫

∫

−=

=−=∂

( ) ( )[ ]

) dyyxQdyyy

dyyyhQyyhQdxx

yxQ

C

d

c

.),(.),

.),(),(.),(

12

∫

∫

=

=−=∂

∫ +=

∂∂

−C

dyyxQdxyxPdydxy

P).,().,(..

Consecuencias del teorema de Green:

x=) y yyxP −=),( , entonces ( )∫∫ +S

dydx..11

. Despejando obtenemos que:

∫∫∫ −==CS

dxydyxdydxSArea ..2

1.)(

Independencia con la trayectoria:

Si se cumple la condición de simetría y

P

x

Q

∂∂

=∂∂

, entonces ∫CPrincipio de Conservación de la Energía, lo que nos dice que

jyxQ ˆ).,( es un Campo Conservativo, en los cuales la Integral de

línea en una curva cerrada, siempre es cero. DEMOSTRACIÓN:

⇒−=⇒= ∫∫ − 212

0CCC

∫∫ =21 CC

y

x

S

a b

y=g2(x)

y=g1(x)c

d

x=h2(y)x=h1(y) C

A

B

C1

C2


∫ +−=C

dyxdxydy .).(

0.. =+ dyQdxP ,

, lo que nos dice que

onservativo, en los cuales la Integral de


Siempre que F =armando el gradiente de conservando a la cruzadas, que son iguales.

Teorema Fundamental de las In

HIPÓTESIS: Sea C una curva suave dada por la función vectorial

derivable de dos o tres variables, cuyo vector gradiente

TEOREMA:

Podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo (gradiente de la función potencial f ) simplemente conociendo el v

DEMOSTRACIÓN:

( ) dttrtrfrdfb

aC.)()(∫∫ ′•∇=•∇

dt

dy

y

f

dt

dx

x

fb

a∫

∂∂

+∂∂

=

( )dttrfdt

db

a.)(∫= (por la Regla de la cadena)

( ) ( ))()( arfbrfrdfC

−=•∇∫

Integral de superficie:

FIS∫=

(no confundir con área de Superficies)*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*

Teorema de Stokes (o teorema del Rotor):

HIPÓTESIS:

=

=∆

ds

s


u∇= , se cumple la condición de simetría. Estoarmando el gradiente de u y derivando sus componentes nuevamente, conservando a la u como función a derivar. Obtenemos las segundas derivadas cruzadas, que son iguales.

Teorema Fundamental de las Integrales de Línea:

una curva suave dada por la función vectorial )(tr , bta ≤≤ y sea f

derivable de dos o tres variables, cuyo vector gradiente f∇ es continuo sobre

( ) ( ))()( arfbrfrdfC

−=•∇∫

Podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo (gradiente de la ) simplemente conociendo el valor de f en los extremos de

dt

dtdt

dz

z

f.

∂∂

+

(por la Regla de la cadena)

dydxFy

fF

x

fFdsF

Dzyx ....∫∫

+

∂∂

−∂∂

−=•

Flujo de F a través de S

(no confundir con área de Superficies) */ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*

Teorema de Stokes (o teorema del Rotor):

D

°n

°=

°∆=

nds

ns

.

.


, se cumple la condición de simetría. Esto se demuestra y derivando sus componentes nuevamente,

como función a derivar. Obtenemos las segundas derivadas

f una función

es continuo sobre C .

Podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo (gradiente de la en los extremos de C .


Sea S una superficie orientada, suave a segmentos y derivable, que está acotada por una

curva frontera C suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea campo vectorial, definido y derivable sobre TEOREMA:

Versión vectorial del Teorema de Green

Teorema de Gauss (o teorema de la Divergencia):

HIPÓTESIS: Sea S una superficie cerrada orientable (con orientación hacia fuera), frontera de una región

simple sólida V . Sea F un campo vectorial definido y diferenciable en TEOREMA:


una superficie orientada, suave a segmentos y derivable, que está acotada por una

suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea erivable sobre S y C .

( ) dSFrotdlFSC

•=• ∫∫∫

Versión vectorial del Teorema de Green

Teorema de Gauss (o teorema de la Divergencia):

una superficie cerrada orientable (con orientación hacia fuera), frontera de una región

un campo vectorial definido y diferenciable en S y en su interior.

( )dVFdivdSFVS

.∫∫∫∫∫ =•

V

°n),,( zyxF

S°n

°n

SC

C’

),,( zyxF


una superficie orientada, suave a segmentos y derivable, que está acotada por una

suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un

una superficie cerrada orientable (con orientación hacia fuera), frontera de una región

y en su interior.


Mapa Conceptual de los Teoremas Integrales:

SEGUNDA PARTE

Conceptos:

Ecuación Diferencial: Es toda ecuación que contiene derivadas de una función imás variables independientes. Ecuación Diferencial Ordinaria:Cuando hay una sola variable independiente la ecuación se llama ordinaria. Ecuación Diferencial a Derivadas Parciales:Se presenta cuando hay dos o más variables ind Solución de una Ecuación Diferencial:Es cualquier función que satisface o resuelve la ecuación diferencial. Es decir que sustituyendo la incógnita por dicha solución se llega a una identidad, Constantes Arbitrarias Esenciales:Figuran en una solución sin poder agruparse con otras constantes ni pueden reducirse por ningún procedimiento algebraico. Orden: El orden de una ecuación diferencial está dado por la mayor derivada presente. Grado: Es el exponente al que está elevada la mayor derivad Solución General: Es aquella solución que tiene tantas constantes arbitrarias esenciales como orden la ecuación diferencial. Geométricamente hablando, la solución general está representada por una familia de infinitas curvas del mismo tipo.

Teorema fundamental de las Integrales de

Línea

Teorema de Green

C

)(br

)(ar


Mapa Conceptual de los Teoremas Integrales:

EGUNDA PARTE: ECUACIONES DIFERENCIALES

Es toda ecuación que contiene derivadas de una función incógnita respecto de una o más variables independientes.

Ecuación Diferencial Ordinaria: Cuando hay una sola variable independiente la ecuación se llama ordinaria.

Ecuación Diferencial a Derivadas Parciales: Se presenta cuando hay dos o más variables independientes.

Solución de una Ecuación Diferencial: Es cualquier función que satisface o resuelve la ecuación diferencial. Es decir que sustituyendo la incógnita por dicha solución se llega a una identidad,

Constantes Arbitrarias Esenciales: a solución sin poder agruparse con otras constantes ni pueden reducirse

por ningún procedimiento algebraico.

El orden de una ecuación diferencial está dado por la mayor derivada presente.

Es el exponente al que está elevada la mayor derivada.

Es aquella solución que tiene tantas constantes arbitrarias esenciales como orden la ecuación diferencial. Geométricamente hablando, la solución general está representada por una familia de infinitas curvas del mismo tipo.

Teoremas Integrales

Teorema de Green

Teorema de Stokes

Teorema de la Divergencia

SD

CC

°n

°n

S


LES

ncógnita respecto de una o

Cuando hay una sola variable independiente la ecuación se llama ordinaria.

Es cualquier función que satisface o resuelve la ecuación diferencial. Es decir que sustituyendo la incógnita por dicha solución se llega a una identidad,

a solución sin poder agruparse con otras constantes ni pueden reducirse

El orden de una ecuación diferencial está dado por la mayor derivada presente.

Es aquella solución que tiene tantas constantes arbitrarias esenciales como orden la ecuación diferencial. Geométricamente hablando, la solución general está representada

Teorema de la Divergencia

V

°n


Solución Particular: Es cuando las constantes arbitrarias esenciales toman valores particulares (numéricos). Geométricamente hablando es una de las curvas de la familia. Solución Singular: No siempre se presenta. Cuando lo hace, es una envolvente de las soluciones particulares.

UNIDAD V: E

Tipos de E. D. Ordinarias:

E. D. de Variables Separables:

⇒=⇒=′ QyQ

xP

dx

dy

yQ

xPy (

)(

)(

)(

)(

y si se puede y sino la dejo implícita.

⇒=⇒=′()(

)(

)(

)(

Q

dy

xP

yQ

dx

dy

xP

yQy

puede y sino la dejo implícita.

Trayectorias Ortogonales:

Si ),( yxfy =′ , obtengo una familia de curvas. Si ahora propongo otra func

),(

1

yxfy −=′ , obtengo otra familia de curvas que son ortogonales en todas las intersecciones

con las primeras.

E. D. Homogéneas (de 1º orden):

Función homogénea de grado m:

grado m si λ∀ arbitrario

Si 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM y

grado, entonces tenemos una E. D. Homogénea Resolución:

),(),(

),(yxf

yxN

yxMy =−=′ Función homogénea de grado 0

.),(),(0 fyxfyxfy λλλ ===′

Variables Separables

Homogénea

Reducible a Homogénea


Es cuando las constantes arbitrarias esenciales toman valores particulares (numéricos). Geométricamente hablando es una de las curvas de la familia.

No siempre se presenta. Cuando lo hace, es una envolvente de las soluciones

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

E. D. de Variables Separables:

⇒= dxxPdyy ).().( Integro =⇒ ∫∫ dyyQ .)(

dejo implícita.

⇒=)()( xP

dx

y

dy Integro ⇒=⇒ ∫∫ )()( xP

dx

yQ

dy

Trayectorias Ortogonales:

, obtengo una familia de curvas. Si ahora propongo otra func

, obtengo otra familia de curvas que son ortogonales en todas las intersecciones

E. D. Homogéneas (de 1º orden):

Función homogénea de grado m: Dada ),...,,,,( wvuyxf se dice que es homogénea de

arbitrario ,...,,,,(.),...,,,,( vuyxfwvuyxf mλλλλλλ =

y ),( yxM y ),( yxN son funciones homogéneas del mismo

E. D. Homogénea.

Función homogénea de grado 0

),( yxf Ahora elijo x

1=λ

Variables Separables

Homogénea

Reducible a Homogénea

Exacta

Lineal (Reducible a Exacta)

Bernoulli (Reducible a Lineal)


Es cuando las constantes arbitrarias esenciales toman valores particulares (numéricos).

No siempre se presenta. Cuando lo hace, es una envolvente de las soluciones

LES ORDINARIAS

⇒dxxP .)( Despejo

⇒ Despejo y si se

, obtengo una familia de curvas. Si ahora propongo otra función en la cual

, obtengo otra familia de curvas que son ortogonales en todas las intersecciones

se dice que es homogénea de

),..., w

son funciones homogéneas del mismo

(Reducible a Exacta)

Bernoulli (Reducible a Lineal)


),1(),1( ufx

yfy ==′ de donde

uufxdx

du−= ),1( Entonces nos queda

E. D. Exactas:

Si 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM y

que NMu ;=∇ . Entonces encontrando

función y que satisface la ecuación diferencial.

E. D. Lineal:

Definición: Es aquella en la que la función incógnita y todas las derivadas presentes están elevadas a la primera potencia y sus coeficientes son constantes o en todolas variables independientes.

Forma general:

Si no tiene ésta forma, la llevo a ella

Método del Factor Integrante:

Factor Integrante: xP

e(∫

Qeey

Qeey

xPeye

dxxPdxxP

dxxPdxxP

dxxPdxxP

∫=∫

∫=′

∫

∫+′∫

∫ (..

..

(..

.)(.)(

.)(.)(

.)(.)(

E. D. Reducible a Lineal (E. D. de Bernoulli):

Forma general:

Multiplico todo por ny −

).(.).(. 11 yxQyyxPyy nnn =+′ −−

Tomo nyz −= 1 , lo derivo: z =′

)().(1

111 xQzxPz

n=+′

− Multiplico todo por

Cuando obtenga


de donde ),1(.. ufuxuyxuyx

yu =+′=′⇒=⇒=

Entonces nos queda x

dx

uuf

du=

−),1( E. D. de Var. Sep.

y x

N

y

M

∂∂

=∂

∂, entonces existe una función potencial

. Entonces encontrando ),( yxu obtenemos dentro de ella implícitament

que satisface la ecuación diferencial.

Es aquella en la que la función incógnita y todas las derivadas presentes están elevadas a la primera potencia y sus coeficientes son constantes o en todo

Forma general: )().( xQyxPy =+′

Si no tiene ésta forma, la llevo a ella

Método del Factor Integrante: dxx .)

Cdxx

INTEGROxQ

xQeyxdxxP

+

⇒

∫=

.)(

)(

)(.)..)(

+∫∫= ∫−

CdxxQeeydxxPdxxP

.)(...)(.)(

Reducible a Lineal (E. D. de Bernoulli):

Forma general: nyxQyxPy ).().( 11 =+′

Con 0≠n y 1≠n

).().(.. 1

1

1 xQyxPyyy nnnn =+′⇒ −−−

( ) yyn n ′− −..1 y obtengo z

nyy

n ′−

=′−.

1

1. . Entonces

Multiplico todo por ( )n−1 y tengo

( ) ( )4342143421)(

1

)(

1 )(.1.)(.1

xQxP

xQnzxPnz −=−+′

)().( xQzxPz =+′

Y ahora resuelvo como lineal.

Cuando obtenga z , reemplazo ( )nzy −= 1

1


, entonces existe una función potencial ),( yxu tal

obtenemos dentro de ella implícitamente la

Es aquella en la que la función incógnita y todas las derivadas presentes están caso funciones de

. Entonces


Familia de Curvas Isoclinas:

Para obtener una curva que corte perpendicularmente a todas las curvas de una familia, hago yxfy =′ ,(

UNIDAD VI: ECUACIONES DIFERENCIA

E. D. Lineales de Orden Superior con Coeficientes Constantes:)(

yn

E. D. Lineal Homogénea: (

y

Ecuación Característica:

Resolviendo obtengo

Las

1º Caso: Raíces Reales y Distintas:

¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.

2º Caso: Raíces Reales Repetidas:

Si hay una raíz

Si fuera de mayor multiplicidad, aumenta el grado de la

Si fueran más raíces además de la repetida, se suman los términos simples con

3º Caso: Raíces Complejas Conjugadas:

E. D. Lineal Completa o Inhomogénea:)(

yn

La solución general está compuesta por la solución de

)(xf ), que es la que contiene las constantes arbitrarias esenciales, y una solución particular

que satisface a la ecuación completa.

Una vez que conocemos la hy , para obtener la


Familia de Curvas Isoclinas:

Para obtener una curva que corte perpendicularmente a todas las curvas de una ky =) , donde k va a ser la pendiente deseada en el corte.

CUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDE

E. D. Lineales de Orden Superior con Coeficientes Constantes:

)(...... 1

)1(

1

)xfyayaya nn

n =+′+++ −−

0...... 1

)1(

1

)( =+′+++ −−

yayaya nn

nn

0..... 1

1

1 =++++ −−

nn

nnararar

Resolviendo obtengo las raíces ir .

Las n soluciones particulares serán: xr

iiey =

1º Caso: Raíces Reales y Distintas:

La solución general será: ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.

2º Caso: Raíces Reales Repetidas:

Si hay una raíz repetida dos veces la solución general será:xrxr

G exCeCy 11 ... 21 +=

Si fuera de mayor multiplicidad, aumenta el grado de la x que multiplica cada término.

Si fueran más raíces además de la repetida, se suman los términos simples con los de las raíces repetidas.

3º Caso: Raíces Complejas Conjugadas:

iri βα ±=

La solución general será:

( ) ( )[ ]xsenBxAeyx

G ββα.cos.. +=

E. D. Lineal Completa o Inhomogénea:

)(...... 1

)1(

1

)xfyayaya nn

n =+′+++ −−

La solución general está compuesta por la solución de la ecuación homogénea asociada (sin ), que es la que contiene las constantes arbitrarias esenciales, y una solución particular

que satisface a la ecuación completa.

phG yyy +=

, para obtener la py tenemos dos métodos:


Para obtener una curva que corte perpendicularmente a todas las curvas de una va a ser la pendiente deseada en el corte.

LES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.

repetida dos veces la solución general será:

que multiplica cada

Si fueran más raíces además de la repetida, se suman los términos simples con

la ecuación homogénea asociada (sin ), que es la que contiene las constantes arbitrarias esenciales, y una solución particular


Método de los coeficientes indeterminados:

Se aplica siempre y cuando

Entonces la solución propuesta será:

py

donde a , b y k son los coeficientes anteriormente mencionados en

cantidad de coincidencias entre

Los coeficientes indeterminados son los coeficientes de los términos de los polinomios de grado k de la solución. Se determinan reemplazando la solución particular en la ecuación diferencial.

Método de Variación de P

SÓLO APLICAR SI EL MÉTODO ANTERIOR NO FUNCIONA

Mi ecuación será py +′′

Propongo 11. utuy p +=

de la ecuación homogénea (sin las constantes), y

Derivo: 1111 .. tutuy p′+′=′

Impongo una condición:

Entonces 211. utuy p′+′=′

Vuelvo a derivar: uy p =′′

Reemplazo en la ecuación y obtengo

De (1) y (2) obtengo el sistema

y 2t ′ resolviendo por determinant

Las integro sin sumarle constantes de integración y las reemplazo en

solución particular.

UNIDAD VII: SISTEMAS DE ECUACIONES DI

Reducción a orden 1:

xIV

Ecuación de orden superior en donde la función incógnita es

Tomo

IVxx

xxx

xxxx

xxx

xx

=′

′′′=′=

′′=′′=′=

′=′=

=

4

34

123

12

1

Entonces: 4x′

De allí obtengo el sistema con las derivadas despejadas:


Método de los coeficientes indeterminados:

Se aplica siempre y cuando ( )( )xb

xbexPxf

xa

k.sin

.cos.).()(

.= .

Entonces la solución propuesta será:

( ) ( )[ ] m

kk

xa

p xxbxQxbxQe ..sin).(.cos).(. 21

. +=

son los coeficientes anteriormente mencionados en

cantidad de coincidencias entre biaS += y las ir de la hy .

Los coeficientes indeterminados son los coeficientes de los términos de los polinomios de la solución. Se determinan reemplazando la solución particular en la

Método de Variación de Parámetros (Lagrange):

¡¡¡OJO!!! SÓLO APLICAR SI EL MÉTODO ANTERIOR NO FUNCIONA

)(.. xfyqyp =+′

22 .tu , siendo 1u y 2u las soluciones linealmente independientes

la ecuación homogénea (sin las constantes), y 1t y 2t funciones a determinar.

22221 .. tutu ′+′+′

Impongo una condición: 0.. 2211 =′+′ tutu (1)

22 .t′

22221111 .... tutututu ′′+′′+′′+′′

Reemplazo en la ecuación y obtengo )(.. 2211 xftutu =′′+′′ (2)

De (1) y (2) obtengo el sistema

=′′+′′

=′+′

)(..

0..

2211

2211

xftutu

tutu, del cual van a salir las soluciones

resolviendo por determinantes.

Las integro sin sumarle constantes de integración y las reemplazo en

MAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE

ORDEN

)(.... 4321 tfxaxaxaxaIV =+′+′′+′′′+

de orden superior en donde la función incógnita es

)(.... 142332414 tfxaxaxaxa =++++′

De allí obtengo el sistema con las derivadas despejadas:


son los coeficientes anteriormente mencionados en )(xf , y m es la

Los coeficientes indeterminados son los coeficientes de los términos de los polinomios de la solución. Se determinan reemplazando la solución particular en la

SÓLO APLICAR SI EL MÉTODO ANTERIOR NO FUNCIONA

las soluciones linealmente independientes

funciones a determinar.

, del cual van a salir las soluciones 1t ′

Las integro sin sumarle constantes de integración y las reemplazo en py y obtengo mi

LINEALES DE 1º

de orden superior en donde la función incógnita es )(tx


′

′

′

′

4

3

2

1

x

x

x

x

Sistema Lineal Normal Homogéneo:

Es un sistema en el que las derivadas de las incógnitas están despejadas, una en cada ecuación.

Método de Autovalores y Autovectores:

Propongo una solución: KX =La derivo: t

eKX.

.λλ=′

Reemplazo en la ecuación (1):

En (2), las soluciones no triviales se dan cuando:

De ésta ecuación saco los Autovalores

Entonces las Soluciones Particulares

Y la Solución General es:

GX

X

1º Caso: Autovalores R


−−−−=′

=′

=′

=′

142332414

43

32

21

....)( xaxaxaxatf

x

x

x

Sistema Lineal Normal Homogéneo:

n sistema en el que las derivadas de las incógnitas están despejadas, una en cada ecuación.

+++=′

+++=′

+++=′

nnnnnn

nn

nn

xaxaxax

xaxaxax

xaxaxax

...

...

...

2211

22221212

12121111

L

M

L

L

XAX .=′ (1)

⋅

=

′

′

′

nnnnn

n

n

n x

x

x

aaa

aaa

aaa

x

x

x

M

L

MLMM

L

L

M

2

1

21

22221

11211

2

1

Método de Autovalores y Autovectores: t

eK.

.λ

tteKAeK

.....

λλλ = ⇒ [ ] 0.. =− KIA λ (2)

En (2), las soluciones no triviales se dan cuando: 0. =− IA λ (Ecuación Característica

Autovalores ( iλ ) y los Autovectores ( iK ).

Soluciones Particulares son:

tn

n

t

t

neKX

eKX

eKX

.

.2

2

.1

1

.

.

.

2

1

λ

λ

λ

=

=

=

M

nn XCXCXCXC .... 332211 ++++= L

⋅

=

t

n

t

t

nnnn

n

n

G

neC

eC

eC

kkk

kkk

kkk

X

.

.

2

.

1

21

22221

11211

.

.

.

2

1

λ

λ

λ

M

L

MLMM

L

L

1º Caso: Autovalores Reales y Distintos:

Soluciones Particulares


n sistema en el que las derivadas de las incógnitas están despejadas, una en cada ecuación.

Ecuación Característica)


2º Caso: Autovalores Reales Repetidos:

2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente independientes:

DE LA MISMA MANERA QUE EN EL 1º CASO, PERO REPITIENDO LOS

2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente independientes:

Soluciones Particulares de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1

De donde, para averiguar

[ ]1.IA − λ

Cuando hay más autovectores aumenta el grado del polinomio de las

Solución General de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1

3º Caso: Autovalores Complej

βαλ

βαλ

i

i

−=

+=

2

1 ⇒

eCX G .1=


tn

n

t

t

neKX

eKX

eKX

.

.2

2

.1

1

.

.

.

2

1

λ

λ

λ

=

=

=

M

2º Caso: Autovalores Reales Repetidos:

2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente independientes:

DE LA MISMA MANERA QUE EN EL 1º CASO, PERO REPITIENDO LOS AUTOVALORES

2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente independientes:

Soluciones Particulares de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1 autovector:

( ) t

t

eKtKX

eKX

.21

2

.1

1

1

1

..

.

λ

λ

+=

=

De donde, para averiguar 2K lo pongo en la ecuación

] 12. KK =

Cuando hay más autovectores aumenta el grado del polinomio de las

Solución General de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1 autovector:

( )t

G eKtKCeKCX21

2

.1

11 .....

λλ ++=

3º Caso: Autovalores Complejos Conjugados:

[ ] 0.. =− KIA λ ⇒ biaK ±=

Soluciones Particulares:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]tatbeX

tbtaeX

t

t

.sin..cos..

.sin..cos..

.

2

.

1

ββ

ββα

α

−=

−=

Solución General:

( ) ( )[ ] ([ tbeCtbtaett

.cos....sin..cos...

2

. βββ αα +−


2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente

DE LA MISMA MANERA QUE EN EL 1º CASO, PERO REPITIENDO LOS

2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente

Soluciones Particulares de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1

la ecuación

Cuando hay más autovectores aumenta el grado del polinomio de las iK

Solución General de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1

t.1λ

) ( )]tat .sin.. β−


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Primera parte: Cálculo multivariableUNIDAD I: Funciones vectoriales de un parámetro real

Definición: ................................................................Vector Posición: ................................Límite: ................................................................Continuidad: ................................Derivadas: ................................................................

Reglas de Derivación: ................................Vector Velocidad:................................Vector Aceleración:................................

Teorema: ................................Terna Intrínseca: ................................

Tangente Unitario: ................................Normal Principal: ................................Binormal: ................................Fórmulas de Frenèt: ................................

Triedro Intrínseco: ................................Plano Osculador: ................................Plano Rectificante: ................................Plano Normal: ................................

Longitud de Arco: ................................

UNIDAD II: Funciones reales de vectorDefinición: ................................................................

Gráficos en tres dimensiones ( f

Curvas de Nivel: ................................Trazas: ................................................................

Intervalo Rectangular: ................................Entornos: ................................................................

Entorno: ................................Entorno Reducido: ................................Entorno Circular: ................................Entorno Circular Reducido: ................................

Límite Múltiple o Simultáneo: ................................Límites Reiterados: ................................Límites Direccionales: ................................Teorema Fundamental del Límite:Continuidad: ................................Derivadas Parciales: ................................



Teorema de Schwartz o Teorema de Clairaut:Plano Tangente y Recta Normal:Diferenciabilidad: ................................Interpretación Geométrica del Diferencial Total:Derivada Direccional: ................................Vector Gradiente: ................................Regla de la cadena: ................................Derivadas de Funciones ImplícitExtremos Relativos Libres: ................................


BIBLIOGRAFÍA No hay ninguna fuente en el documento actual.

ÍNDICE Primera parte: Cálculo multivariable ................................................................UNIDAD I: Funciones vectoriales de un parámetro real ................................

................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

UNIDAD II: Funciones reales de vector ................................................................................................................................................................

),( yxf ): ................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

Teorema Fundamental del Límite: ................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................Derivada Parcial respecto de x :................................................................................................

e y : ................................................................................................

Teorema de Schwartz o Teorema de Clairaut: ................................................................Plano Tangente y Recta Normal: ................................................................................................

................................................................................................................................Interpretación Geométrica del Diferencial Total: ................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................Derivadas de Funciones Implícitas: ................................................................................................

................................................................................................


..................................................... 1

......................................................... 1 ........................................................... 1

.................................................. 1 ................................................................. 1

....................................................... 1 ........................................................... 1

..................................................................... 1 ................................................ 1

............................................. 1 ........................................................ 1

................................................. 2 ......................................... 2

........................................... 2 ........................................................ 2

....................................... 2 .............................................. 2

............................................ 2 ......................................... 2

................................................ 2

................................................ 2

.................................................. 2 ........................................................... 2

.......................................... 3

............................................. 3 ............................................................ 3

........................................ 3 ............................................................ 3

......................................................... 3 ......................................... 3

............................................ 3 ............................................................ 3 ............................................................ 4

............................................. 4 ......................................... 4

...................................................... 4 ....................................................... 4

............................................ 4 .................................................... 4 ................................................... 4

................................................................... 4 ........................................................ 5

................................................ 5 ............................................................... 5

.......................................... 6 ............................................... 6

............................................. 6 ..................................................... 7

.................................................................. 7


Extremos Ligados o Condicionados:Método del Multiplicador de Lagrange:

UNIDAD III: Integrales múltiplesIntegrales Dobles ................................Integrales Reiteradas: ................................

Integración sobre regiones no rectangulares:Cambio de variables: ................................Cambio de variables rectangulares a polares:Integrales Triples: ................................Integrales Reiteradas: ................................Integración sobre regiones no rectangulares:Cambio de variables: ................................Coordenadas cilíndricas: ................................Coordenadas esféricas: ................................Aplicaciones de Integrales Múltiples:

Áreas de superficies alabeadas:Volúmenes entre un plano coordenado y una función:Áreas de superficies planas: ................................Volúmenes en general: ................................

Aplicaciones físicas de las Integrales múltiples:Integrales Dobles: ................................

Masa: ................................Momentos estáticos (1º orden):Momentos de Inercia (2º orden):Centro de masa (Centroide):

Integrales Triples: ................................Masa: ................................Momentos de primer orden (respecto a los planos):Centro de masa (Centroide):

UNIDAD IV: Campos vectoriales. Integrales de líneaCampo vectorial o Función vectorial de vector:Gradiente: ................................................................Rotor: ................................................................Divergencia: ................................Integrales de línea: ................................

Formas Paramétricas: ................................Forma diferencial: ................................Teorema de Green: ................................Consecuencias del teorema de Green:

Teorema del área: ................................Independencia con la trayectoria:

Teorema Fundamental de las Integrales de Línea:Integral de superficie: ................................Teorema de Stokes (o teorema del Rotor):Teorema de Gauss (o teorema de la Divergencia):Mapa Conceptual de los Teoremas Integrales:

Segunda parte: Ecuaciones diferencialesConceptos: ................................

UNIDAD V: Ecuaciones diferenciales ordinariasTipos de E. D. Ordinarias: ................................E. D. de Variables Separables:................................Trayectorias Ortogonales: ................................E. D. Homogéneas (de 1º orden):E. D. Exactas: ................................E. D. Lineal: ................................Método del Factor Integrante: ................................


Extremos Ligados o Condicionados: ................................................................................................Método del Multiplicador de Lagrange: ................................................................................................

UNIDAD III: Integrales múltiples................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................Integración sobre regiones no rectangulares: ................................................................

................................................................................................................................Cambio de variables rectangulares a polares: ................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

Integración sobre regiones no rectangulares: ................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

Aplicaciones de Integrales Múltiples: ................................................................................................Áreas de superficies alabeadas: ................................................................................................Volúmenes entre un plano coordenado y una función: ................................................................

................................................................................................................................................................................................

Aplicaciones físicas de las Integrales múltiples: ................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................Momentos estáticos (1º orden): ................................................................................................Momentos de Inercia (2º orden): ................................................................................................Centro de masa (Centroide): ................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

Momentos de primer orden (respecto a los planos): ................................................................Centro de masa (Centroide): ................................................................................................

UNIDAD IV: Campos vectoriales. Integrales de línea ............................................................Campo vectorial o Función vectorial de vector: ................................................................

................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................Consecuencias del teorema de Green: ................................................................................................

................................................................................................................................Independencia con la trayectoria: ................................................................................................

Teorema Fundamental de las Integrales de Línea: ................................................................................................................................................................................................

Teorema de Stokes (o teorema del Rotor): ................................................................................................Teorema de Gauss (o teorema de la Divergencia):................................................................Mapa Conceptual de los Teoremas Integrales: ................................................................

Segunda parte: Ecuaciones diferenciales ................................................................................................................................................................................................

UNIDAD V: Ecuaciones diferenciales ordinarias ................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................

E. D. Homogéneas (de 1º orden): ................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................


................................................... 9 ............................................. 9

.......................................................... 10 .............................................. 10

....................................... 10 ............................................................. 10

........................................ 11 .................................................................. 11

............................................. 11 ....................................... 11

.................................................................. 11 ........................................ 11

................................................................... 12 ..................................... 12

............................................... 12 ................................................... 12

.............................................. 12 ......................................................... 12

................................................................ 12 ............................................................... 13

........................................ 13 ....................................................... 13

............................................. 13 ............................................ 13

................................................... 13 ......................................... 13

....................................................... 13 ............................................. 13

................................................... 13

............................ 14 ............................................................... 14

......................................................... 14 ................................................................ 14

...................................................... 14 ........................................... 15

.................................................................. 15 ............................................. 15

........................................... 15 ............................................. 16

........................................ 16 ............................................... 16

........................................................... 17 ....................................... 17 ...................................... 17

........................................................... 18 ................................................................ 19

............................................. 19 ........................................................ 19

................................... 20 .................................................................. 20

........................................................... 20 ................................................................ 20

..................................................... 20

..................................................... 21 ....................................................... 21

......................................................... 21


E. D. Reducible a Lineal (E. D. de Bernoulli):Familia de Curvas Isoclinas: ................................

UNIDAD VI: Ecuaciones diferenciales lineales de orden superiorE. D. Lineales de Orden Superior con Coeficientes Constantes:E. D. Lineal Homogénea: ................................Ecuación Característica: ................................

1º Caso: Raíces Reales y Distintas:2º Caso: Raíces Reales Repetidas:3º Caso: Raíces Complejas Conjugadas:

E. D. Lineal Completa o Inhomogénea:Método de los coeficientes indeterminados:Método de Variación de Parámetros (Lagrange):

UNIDAD VII: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de 1º ordenReducción a orden 1: ................................Sistema Lineal Normal Homogéneo:Método de Autovalores y Autovectores:

1º Caso: Autovalores Reales y Distintos:2º Caso: Autovalores Reales Repetidos:

2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente independientes:2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente independientes:

3º Caso: Autovalores Complejos Conjugados:

Bibliografía ................................ÍNDICE ................................................................


E. D. Reducible a Lineal (E. D. de Bernoulli): ................................................................................................................................................................................................

s diferenciales lineales de orden superior ................................E. D. Lineales de Orden Superior con Coeficientes Constantes: ................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

1º Caso: Raíces Reales y Distintas: ................................................................................................2º Caso: Raíces Reales Repetidas: ................................................................................................3º Caso: Raíces Complejas Conjugadas: ................................................................................................

E. D. Lineal Completa o Inhomogénea: ................................................................................................Método de los coeficientes indeterminados: ................................................................Método de Variación de Parámetros (Lagrange):................................................................

UNIDAD VII: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de 1º orden ...............................................................................................................................................................

Sistema Lineal Normal Homogéneo: ................................................................................................Método de Autovalores y Autovectores: ................................................................................................

1º Caso: Autovalores Reales y Distintos:................................................................................................2º Caso: Autovalores Reales Repetidos: ................................................................................................

2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente independientes:2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente independientes:

3º Caso: Autovalores Complejos Conjugados: ................................................................

................................................................................................................................................................................................

FECHA DE ÚLTIMA EDICIÓN: 13 de agosto de 2010


..................................... 21 .............................................................. 22

......................................... 22 ....................................... 22

................................................................... 22 .................................... 22

............................................... 22 ................................................ 22

....................................... 22 ............................................. 22

................................................................... 23 ............................................................. 23

............................... 23 ........................................ 23

................................................ 24 .......................................... 24

...................................... 24

...................................... 25 2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente independientes: ............................ 25 2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente independientes: ......................... 25

............................................................. 25

......................................................... 26

................................ 26

13 de agosto de 2010

Resumen de Análisis matemático II

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