Curso: Clculo AplicadoAyudante: Francisco Valenzuela Riquelme Sucesiones y series 1.1.- Lmite de una sucesin Una sucesin{ }natiene lmite L si para cualquier 0 > c existe un nmero N>0 tal que si n es un nmero entero y si n>N entoncesc < L an Se escribe:L a Lmnn= 1.2.- Definicin de sucesiones creciente y decreciente Una sucesin{ }naes: (i)Creciente si 1 +sn na apara todo n (ii)Decreciente si 1 +>n na apara todo n *Una sucesin es montonasi es creciente o decreciente 2.- Series 2.1.- Definicin de la suma de una serie infinita Si{ }naes una sucesin y: n na a a a S + + + + = ........3 2 1 Entonces{ }nSes una sucesin de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por: nnna a a a a + + + + ==........3 2 11

Donde los nmeros na a a a .. .......... ; ;3 2 1 son los trminos de la serie infinita SiS S Limnn=entonces la serie la serie es convergente y S es la suma de la serie. Si el lmite anterior no existe, entonces la serie es divergente, y la serie no tiene suma. Teorema 1:Si la serie infinita =1 nna es convergente, entonces: 0 = nna Lm Si el lmite anterior es distinto de cero no puede inferirse lo contrario. 2.2.- Algunas series 2.2.1- Serie geomtrica ==111nnraarsi1 < r 2.2.2.- Serie p ==111npran Converge si p>1; diverge sip1 2.2.3.- Series Alternadas Una serie alternada: = 1) 1 (nnna = 1) 1 (nnna Es convergente si: - 0 >na yn na a >+1 n -0 = nnalm 2.3.- Criterios de convergencia 2.3.1.- Criterio de comparacin Sea la serie =1 nna una serie de trminos postivos. (1) Si otra serie de trminos positivos=1 nnb es convergente conn nb a s entonces=1 nna converge (2) Si otra serie de trminos positivos=1 nnc es divergente conn nc a > entonces=1 nna diverge 2.3.2.- Criterio de comparacin por paso al lmite Sean =1 nnay =1 nnbdos series de trminos positivos (1) Si0 > = cbaLmnnn , entonces las dos series son convergentes o ambas son divergentes. (2) Si cbaLmnnn= , y si =1 nnbconverge, entonces=1 nna converge. (3) Si = nnnbaLm , y si =1 nnadiverge, entonces=1 nnb diverge Curso: Clculo AplicadoAyudante: Francisco Valenzuela Riquelme El criterio de comparacin en el lmite es eficaz para comparar una serie algebraica con una serie p adecuada. Debe elegirse como p-serie una que tenga el trmino general de la misma magnitud que el trmino general de la serie dada. Serie dadaSerie para comparar Conclusin =+ 125 4 31nn n =121nn Ambas series convergen =12 31nn =11nn Ambas series divergen =+13 52410nn nn ===131521n nn nn Ambas series convergen 2.3.3.- Criterio de la integral Sea f una funcin continua, decreciente, y de valores positivos para toda x1. Entonces la serie infinita =+ + + + =1) ( ....... ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) (nn f f f f n f-Es convergente si la integral}1) ( dx x fexiste -Es divergente si =} bbdx x flm1) ( 2.4.-Definicin de convergencia absoluta La serie infinita =1 nna es absolutamente convergente si la serie=1 nna es convergente *Una serie que es convergente, pero no absolutamente convergente, se denomina condicionalmente convergente. 2.4.1.- Teoreman Si la serie =1 nna es convergente, entonces la serie =1 nnaes convergente. 2.4.2.- Criterio de la razn Sea =1 nna una serie infinita para la cual cada naes diferente de cero: (1) Si11< =+ LaaLmnnn ,entonces la serie es absolutamente convergente. (2) Si11> =+ LaaLmnnn o si =+ nnnaaLm1 , la serie es divergente. (3) Si11=+ nnnaaLm, no se puede concluir nada acerca de la convergencia. *ste criterio resulta til para el clculo del radio de convergencia de una serie. 2.4.3.- Criterio de la raz Sea =1 nna una serie infinita para la cual cada naes diferente de cero: (1) Si1 < = L u Lmnnn ,entonces la serie es absolutamente convergente. (2) Si1 > = L u Lmnnn o si = nnnu Lm, la serie es divergente. (3) Si1 = nnnu Lm , no se puede concluir nada acerca de la convergencia. Ejercicios Ayudanta (1)Determine el trmino general na , las sumas parciales ns y la suma s de la serie .. .......8 216 214 21+ +++ (2)Calculeel valor de =|.|

\| 11nnt (3)Determine el intervalo y radio de convergencia de = 18) 8 ( ) 1 (nnn nnx Bibliografa empleada y recomendada: - El clculo Leithold - Calculo Vol.1 Larson Hostetler