2010

UNPRG-FIME

Neiker D. Arévalo Roque

[ DISEÑO POR RIGIDEZ Y ANÁLISIS DINÁMICO ] Para diseñar un eje que transmite potencia y garantizar que sea seguro respecto de los esfuerzos cortantes de torsión y flexionante, los procesos de diseño se han concentrado en el análisis de esfuerzos; pero además del análisis de esfuerzos, la rigidez del eje es un asunto muy importante. También el comportamiento dinámico puede volverse peligrosamente destructivo si funciona cerca de su velocidad crítica.

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DISEÑO POR RIGIDEZ Y ANÁLISIS DINÁMICO

Contenido

TEMA Págs.

Introducción. 3

DEFORMACIÓN Y VIBRACIÓN TORSIONAL. 4

Deformación torsional. 4

Esfuerzo cortante torsional. 4

Deformación por torsión 6

Vibración torsional. 9

VELOCIDAD CRÍTICA Y FRECUENCIA NATURAL. 9

Velocidad crítica. 9

Frecuencia natural. 16

DEFORMACION Y VIBRACION TRANSVERSAL. 18

Deformación transversal. 18

Vibración transversal. 20

BIBLIOGRAFIA. 22

ANEXOS. 23

3

DISEÑO POR RIGIDEZ Y ANÁLISIS DINÁMICO

Para diseñar un eje que transmite potencia y garantizar que sea seguro respecto

de los esfuerzos cortantes de torsión y flexionante, los procesos de diseño se han

concentrado en el análisis de esfuerzos; pero además del análisis de esfuerzos, la

rigidez del eje es un asunto muy importante y existen muchas razones para ello:

i. Una deflexión radial excesiva del eje puede provocar que queden

desalineados los ejes menos activos, con el consecuente bajo rendimiento o

desgaste acelerado. Por ejemplo las distancia entre centros de los ejes que

tengan engrane de presión no deben variar más que 0.005 pulgadas (0.13

mm), aproximadamente, respecto de la dimensión teórica. Habría engranado

inadecuado de los diente de los engranajes, y los esfuerzos flexionante y

contacto reales podrían ser bastante mayores que los calculados en el

diseño.

ii. También la deflexión de un eje contribuye de manera importante a su

tendencia a vibrar, mientras gira. Un eje flexible oscila en los modos de

deflexión y de torsión, lo cual causa movimientos mayores que las

deflexiones estáticas debidas solo a la gravedad y a las cargas y los pares

torsionales aplicados. Un eje largo y esbelto tiende a azotar y a girar con

deformaciones relativamente grandes respecto de su eje teórico.

iii. El eje mismo y los ejes que se montan en el deben estar balanceados.

Cualquier desbalanceo causa fuerzas centrifugas, las cuales gira con el eje.

Los grandes desbalanceos y las altas velocidades de rotación pueden crear

fuerzas de magnitud inaceptable, y agitación del sistema giratorio. Un

ejemplo con el que podríamos familiarizarnos es el de la rueda de un

automóvil “desbalanceada”. Al conducir, en realidad se puede sentir la

vibración a través del volante. Si se mandan a balancear el neumático y la

rueda, se reduce la vibración a magnitudes aceptables.

iv. El comportamiento dinámico del eje puede volverse peligrosamente

destructivo si funciona cerca de su velocidad crítica.

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1. DEFORMACIÓN Y VIBRACIÓN TORSIONAL.

Los elementos sometidos a torsión se encuentran en muchas situaciones de

ingeniería. La aplicación más común la representan los ejes de transmisión

que se usan para transferir potencia de un punto a otro, de una turbina de

vapor a un generador eléctrico, o de un motor a una máquina herramienta, o

del motor al eje trasero del automóvil. Estos ejes pueden ser sólidos, o

huecos.

Por ejemplo en un sistema TURBINA-GENERADOR, la turbina ejerce un

torque T sobre el eje, y que el eje ejerce un torque igual sobre el generador. El

generador reacciona ejerciendo un torque igual y opuesto T´ sobre el eje, y

este ejerciendo el torque T’ en la turbina.

El funcionamiento de la máquina hace que existan deformaciones en los

componentes de ésta, y entre ellos, los ejes.

1.1. Deformación torsional.

1.1.1. Esfuerzo cortante torsional.

Cuando un par de torsión, o momento de torsión, se aplica a un

elemento, tiende a deformarlo por torcimiento, lo cual causa una

rotación de una parte del elemento con relación.

El caso más frecuente de cortante por torsión, en el diseño de

maquinas, es el de un eje redondo que transmite potencia.

Formula del esfuerzo cortante torsional

Cuando un eje redondo macizo se somete a un par de torsión, la

superficie externa sufre la máxima deformación cortante unitaria y,

por consiguiente, el esfuerzo cortante torsional máximo. El valor del

esfuerzo cortante torsional máximo se calcula con

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𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑇𝑐

𝐽

Donde: c = radio de la superficie externa del eje

J = momento polar de inercia.

Formula general del esfuerzo cortante torsional

Si se desea calcular el esfuerzo cortante torsional en en algun punto

dentro del eje, se emplea la formula mas general

𝜏 =𝑇𝑟

𝐽

Donde: r = radio de la superficie externa del eje

En las figuras se muestra en forma grafica que esta ecuación se

basa en la variación lineal dele esfuerzo constante torsional desde

cero, al centro del eje, hasta el valor máximo en la superficie externa.

Los cálculos también se aplican a ejes huecos. El resultado es que el

eje hueco es más eficiente.

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Modulo de sección polar

Para el diseño, conviene definir el modulo de sección polar, Zp:

𝑍𝑝 =𝐽

𝑐

Entonces, la ecuación del esfuerzo cortante máximo por torsión es

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑇

𝑍𝑝

Esta forma de la ecuación del esfuerzo cortante torsional es útil en

problemas de diseño, porque el modulo de sección polar es el único

término relacionado con la geometría del área transversal.

1.1.2. Deformación por torsión

Cuando un eje se somete a un par de torsión, sufre un retorcimiento

en el que una sección transversal gira con respecto a otras secciones

transversales en el eje. El ángulo de torsión se calcula mediante

𝜃 =𝑇𝐿

𝐺𝐽

7

Donde: 𝜃 = ángulo de torsión (radianes)

L = longitud del eje donde se calcula el ángulo de

torsión.

G = módulo de elasticidad del material del eje en

cortante.

Torsión en miembros de sección transversal no circular

El comportamiento de miembros con secciones transversales no

circulares, al someterse a la torsión, es radicalmente distinto al

comportamiento de elementos con secciones transversales

circulares. Sin embargo, los factores que as se manejan en el diseño

de maquinas son el esfuerzo máximo y el ángulo total de torsión,

para esos elementos.

Se manejan las siguientes dos formulas:

Esfuerzo cortante torsional

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑇

𝑄

Deflexión de secciones no circulares

𝜃 =𝑇𝐿

𝐺𝐾

Estas dos últimas ecuaciones se parecen a las anteriores con la

sustitución de Q por Zp y K por J, con los métodos para determinar

los valores de K y Q para varios tipos de secciones transversales que

se manejan en el diseño de maquinas (VER ANEXO 1). Esos valores

solo son adecuados si los extremos de los miembros son libres para

deformarse. Si alguno de los extremos se fija, por ejemplo,

soldándolo a una estructura firme, el esfuerzo resultante y el

torcimiento angular son muy diferentes.

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Torsión en tubos cerrados de pared delgada

En un método general para tubos cerrados de pared delgada, de casi

cualquier forma, se manejan las ecuaciones, con métodos especiales

para evaluar K y Q. La siguiente figura muestra uno de esos tubos,

que tiene un espesor de pared constante. Los valores de K y Q son

𝐾 =4𝐴2𝑡

𝑈

𝑄 = 2𝑡𝐴

Donde: A = área encerrada con línea punteada (limite medio).

t = espesor de la pared.

U = longitud del límite medio.

El esfuerzo cortante calculado con este método es el esfuerzo

promedio en la pared del tubo. Para diseñar un miembro que solo

resista torsión, o torsión y flexión combinadas, se aconseja

seleccionar tubos huecos. Tienen buena eficiencia, tanto en la

deflexión como en la torsión.

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1.2. Vibración torsional.

La vibración torsional es una oscilación con una posición angular hacia

una línea central, y es causada por fuerzas de torque oscilatorias por

ejemplo, un motor acoplado a una flecha activando un engrane piñón en

una caja de engranes tendrá una variación de torque, cada vez que un

diente se junta con un diente del otro engrane. Este produce una vibración

torsional en la flecha. Es importante cuidar que esas fuerzas no ocurren

cerca de las frecuencias de resonancias torsionales, o los niveles de

vibración pueden ser muy altos.

Debido a que hay semejanzas muy estrechas entre las vibraciones

rectilíneas y las torsionales, la teoría y el análisis explicado para las

primeras, pueden ser aplicados igualmente para las segundas. La tabla

(VER ANEXO 2) muestra las analogías existentes entre los dos tipos de

vibración.

2. VELOCIDAD CRÍTICA Y FRECUENCIA NATURAL.

2.1. Velocidad crítica.

Todos los ejes, aun sin la presencia de cargas externas, se deforman

durante la rotación. La magnitud de la deformación depende de la rigidez

del eje y de sus soportes, de la masa total de eje y de las partes que se le

adicionan, del desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotación y

del amortiguamiento del sistema.

La deformación considerada como una función de la velocidad, presenta

sus valores máximos en las llamadas velocidades críticas, teniendo más

importancia para el diseñador la velocidad más baja (frecuencia natural),

también llamada, primera y ocasionalmente se emplea la segunda; las

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otras son tan altas que están muy alejadas de las velocidades de

operación.

En la figura siguiente se muestra la deformada de un eje con dos masas

m1 y m2 cuando pasa por la primera y segunda velocidad crítica

respectivamente.

Fig. Deformada de un eje en la primera y segunda velocidad crítica.

Primera velocidad crítica.

a. Para un eje que lleva una sola masa (m), si la propia es pequeña

en comparación con la masa que lleva unida, la primera velocidad

crítica puede calcularse aproximadamente por:

𝑛𝑐 = 𝑘

𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Donde k es la constante del resorte del eje fuerza requerida para

producir una deformación unitaria en el punto de localización de la

masa).También puede expresarse como.

𝑛𝑐 = 𝑔

𝛿 𝑟𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

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Donde δ es la deformación estática, (deformación producida por una

fuerza mg, en el punto de localización de la masa), y g es la

constante de gravitación.

𝑛𝑐 = 𝑔

𝛿 𝑟𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝑔 = 981 𝑐𝑚 𝑠𝑒𝑔2

= 981

𝛿 𝑐𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔

= 31,33. 1

𝛿

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔.60_𝑠𝑒𝑔

1_𝑚𝑖𝑛.

1_𝑟𝑒𝑣

2.𝜋_𝑟𝑎𝑑= 300.

1

𝛿(𝑐𝑚 ) 𝑟. 𝑝.𝑚

Es decir, finalmente:

𝑛𝑐 = 300. 1

𝑓; 𝑟.𝑝.𝑚

Siendo “f”, la flecha estática en cm.

Es preferible tener una velocidad crítica grande, mucho mayor que la

velocidad de funcionamiento; entonces, la rigidez debe ser grande y la

masa pequeña. Las variables principales sobre las que tiene control un

diseñador son el material y su modulo de elasticidad E, su densidad ρ, e

diámetro del eje D y su longitud. La siguiente relación funcional puede

ayudar a comprender la influencia de cada una de esas variables:

𝑤𝑛 ∝ 𝐷 𝐿2 𝐸 𝜌

Donde el símbolo ∝ representa proporcionalidad entre las variables. Al

emplear esta función como guía, las siguientes acciones pueden reducir

los problemas potenciales por deflexiones o por velocidades críticas.

1. Al hacer que el eje sea más rígido se puede evitar el

comportamiento dinámico inconveniente.

2. Los ejes más grandes tienen mayor rigidez.

3. Las longitudes cortas de los ejes reducen las deflexiones y

reducen las velocidades críticas.

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4. Se recomienda colocar los elementos activos en el eje cerca de

los cojinetes de soporte.

5. Al reducir el peso de los elementos soportados por el eje, se

reduce la deflexión estática y se reduce la velocidad crítica.

6. Es deseable seleccionar un material para el eje, que tenga una

alta relación de 𝐸 𝜌 . Si bien la mayor parte de los metales tienen

relaciones parecidas, las relaciones de los materiales compuestos

suelen ser altas. Por ejemplo, los ejes de impulsión largos, para

vehículos que deben trabajar a grandes velocidades, son

fabricados con frecuencia con materiales compuestos y huecos,

mediante fibras de carbón.

7. Los cojinetes deben tener gran rigidez, en términos de deflexión

radia en función de la carga.

8. Los montajes para cojinetes y cajas deben diseñarse con una

gran rigidez

b. Para un eje de sección transversal constante, simplemente

apoyado en sus extremos, sin otra masa fuera de la propia, la

velocidad critica es muy cercana a:

𝑛𝑐 = 5.𝑔

4. 𝛿𝑚𝑎𝑥; rad unid tiempo

Donde 𝛿𝑚𝑎𝑥 es la deformación estática máxima producida por una

carga uniformemente sobre el eje e igual a su propio peso.

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c. Para un eje de masa despreciable con varias masas

concentradas unidas a él, la primera velocidad critica es

aproximadamente:

𝑛𝑐 = 𝑔. 𝑊𝑛 . 𝛿𝑛

𝑓2

𝑊𝑛 . 𝛿𝑛2𝑓

2

; Ecuacion de Rayleigh− Ritz

d. otra aproximación para la primera velocidad critica de un

sistema de masas múltiples, es:

1

𝑛𝑐2=

1

𝑛12

+1

𝑛22

+1

𝑛32

+ ⋯ Ecuacion de Dunkerley

Donde nc es la primera velocidad critica del sistema de masas

múltiples, n1 es la velocidad critica que existiría con la presencia

aislada de la masa n°1, n2 la velocidad critica con la presencia

aislada de la masa n°2, etc.

Con cualquiera de estas expresiones se puede calcular la velocidad critica

de un sistema con una o varias masas fijas a un eje de sección conocida,

de acero; biapoyado y previo cálculo de las flechas correspondientes, en

función de la geometría del eje (sección), distancia entre apoyos y posición

de las masas.

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Ejemplo de aplicación

Para el eje escalonado de la figura, sometido a una carga puntual de

F= 8 kN, determinar el valor de la flecha máxima, así como el ángulo de

inclinación del eje en los apoyos la velocidad critica del árbol. Considerar

como modulo de elasticidad, E=210.000 N/mm2

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Aplicando el método del área calculamos en primer lugar la distancia 𝐵𝐵´ ,

Por semejanza de triángulos obtenemos ahora la distancia 𝐶𝐶′′

𝐶𝐶′′

240=𝐵𝐵´

425

De donde, 𝐶𝐶′′ = 0.560 𝑚𝑚.

Finalmente procedemos al cálculo de la flecha en C,

𝐶𝐶′ = 0,560 − 0,262 = 0,298 𝑚𝑚.

El ángulo girado en el apoyo A se obtiene de:

tan𝛼𝑎 =0,992

425= 0,0023; 𝛼𝑎 = 7′54"

Podemos por ultimo estimar la velocidad crítica,

𝑛𝑐 = 300. 1

𝑓𝑐𝑚= 300.

1

0.0298= 1737 𝑟𝑝𝑚

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2.2. Frecuencia natural.

Una frecuencia natural es una frecuencia a la que una estructura vibrará si

uno la desvía y después la suelta. Una estructura típica tendrá muchas

frecuencias naturales.

De cualquier estructura física se puede hacer un modelo en forma de un

número de resortes, masas y amortiguadores. Los amortiguadores

absorben la energía pero los resortes y las masas no lo hacen. Como lo

vimos en la sección anterior, un resorte y una masa interactúan uno con

otro, de manera que forman un sistema que hace resonancia a su

frecuencia natural característica. Si se le aplica energía a un sistema

resorte-masa, el sistema vibrará a su frecuencia natural, y el nivel de las

vibraciones dependerá de la fuerza de la fuente de energía y de la

absorción inherente al sistema. La frecuencia natural de un sistema

resorte-masa no amortiguado se da en la siguiente ecuación:

𝐹𝑛 =1

2𝜋 𝑘

𝑚

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝑛 , 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙

𝑘, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒, 𝑜 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧.

𝑚, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎

De eso se puede ver que si la rigidez aumenta, la frecuencia natural

también aumentará, y si la masa aumenta, la frecuencia natural disminuye.

Si el sistema tiene absorción, lo que tienen todos los sistemas físicos, su

frecuencia natural es un poco más baja y depende de la cantidad de

absorción.

Un gran número de sistemas resorte-masa-amortiguación que forman un

sistema mecánico se llaman "grados de libertad", y la energía de vibración

que se pone en la máquina, se distribuirá entre los grados de libertad en

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cantidades que dependerán de sus frecuencias naturales y de la

amortiguación, así como de la frecuencia de la fuente de energía.

Por esta razón, la vibración no se va a distribuir de manera uniforme en la

máquina. Por ejemplo, en una máquina activada por un motor eléctrico

una fuente mayor de energía de vibración es el desbalanceo residual del

rotor del motor. Esto resultará en una vibración medible en los

rodamientos del motor. Pero si la máquina tiene un grado de libertad con

una frecuencia natural cerca de las RPM del rotor, su nivel de vibraciones

puede ser muy alto, aunque puede estar ubicado a una gran distancia del

motor. Es importante tener este hecho en mente, cuando se hace la

evaluación de la vibración de una máquina. La ubicación del nivel de

vibración máximo no puede estar cerca de la fuente de energía de

vibración. La energía de vibración frecuentemente se mueve por largas

distancias por tuberías, y puede ser destructiva, cuando encuentra una

estructura remota con una frecuencia natural cerca de la de su fuente.

Resonancia: La resonancia es un estado de operación en el que una

frecuencia de excitación se encuentra cerca de una frecuencia natural de

la estructura de la máquina. Una estructura típica tendrá muchas

frecuencias naturales. Cuando ocurre la resonancia, los niveles de

vibración que resultan pueden ser muy altos y pueden causar daños muy

rápidamente.

En una máquina que produce un espectro ancho de energía de vibración,

la resonancia se podrá ver en el espectro, como un pico constante aunque

varíe la velocidad de la máquina. El pico puede ser agudo o puede ser

ancho, dependiendo de la cantidad de amortiguación que tenga la

estructura en la frecuencia en cuestión.

Ejemplos de sistemas mecánicos con alta resonancia son campanas y

diapasones. ¡Bajo ninguna circunstancia se debe opera una máquina a la

frecuencia de resonancia!

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3. DEFORMACION Y VIBRACION TRANSVERSAL.

3.1. Deformación transversal.

Es un tipo de deformación elástica que acompaña a toda tensión o

compresión axial. En efecto, se comprueba experimentalmente que si una

barra se alarga por una tensión axial sufre una reducción de sus

dimensiones transversales. Poisson comprobó en el año 1811 que la

relación entre las deformaciones unitarias en estas direcciones es

constante, por debajo del límite de proporcionalidad. En recuerdo suyo, se

ha dado su nombre a esta relación, que se denota con la letra griega 𝜈(nu

minúscula) y está definida por:

𝜈 = −휀𝑦

휀𝑥= −

휀𝑧휀𝑥

Donde 휀𝑥 es la deformación debida solamente a un esfuerzo en la

dirección X, y 휀𝑦 y 휀𝑧 son las deformaciones unitarias que se manifiestan

en las direcciones perpendiculares. El signo menos indica un acortamiento

en las dimensiones transversales cuando 휀𝑥 es positiva, como ocurre con

un alargamiento producido por tensión.

La relación de Poisson permite generalizar la aplicación de la ley de Hooke

al caso de esfuerzos biaxiales. Por ejemplo, si un elemento está sometido

simultáneamente a esfuerzos de tensión según los ejes X y Y, la

deformación en la dirección X debida a 𝜍𝑥 es 𝜍𝑥 𝐸 pero, al mismo tiempo,

el esfuerzo 𝜍𝑦 producirá una contracción lateral en la dirección X de valor

𝜈𝜍𝑥 𝐸 , por lo que la deformación resultante en la dirección X estará

expresada por:

휀𝑥 =𝜍𝑥𝐸− 𝜈

𝜍𝑦

𝐸

Análogamente, la deformación según la dirección Y es:

휀𝑦 =𝜍𝑦

𝐸− 𝜈

𝜍𝑥𝐸

Resolviendo el sistema formado por las expresiones anteriores, se,

obtienen los esfuerzos en función de las deformaciones:

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𝜍𝑥 = 휀𝑥 + 𝜈휀𝑦 𝐸

1 − 𝜈2; 𝜍𝑦 =

휀𝑦 + 𝜈휀𝑥 𝐸

1 − 𝜈2

Más aun estas expresiones pueden todavía generalizarse al caso de

deformaciones por tensión triaxiales, obteniéndose:

휀𝑥 =

1

𝐸 𝜍𝑥 − 𝜈(𝜍𝑦 + 𝜍𝑧)

휀𝑦 =1

𝐸 𝜍𝑦 − 𝜈(𝜍𝑧 + 𝜍𝑥)

휀𝑧 =1

𝐸 𝜍𝑧 − 𝜈(𝜍𝑥 − 𝜍𝑦)

Ejemplo de aplicación

Un eje macizo de aluminio de 80 mm de diámetro se introduce

concéntricamente dentro de un tubo de acero. Determinar el diámetro

interior del tubo de manera que no exista presión alguna de contacto entre

eje y tubo, añuque el aluminio soporte una fuerza axial de compresión de

400 kN. Para el aluminio 𝜈 =1

3 y 𝐸𝑎 =

70𝑥109𝑁

𝑚2 .

Solución: La compresión axial del aluminio es

𝜍 =𝑃

𝐴 𝜍𝑥 = −

400𝑥103

𝜋4 (0.080)2

= −79.6 𝑀𝑁/𝑚2

Para el esfuerzo unidireccional, la deformación transversal es:

휀𝑦 = −𝜈휀𝑥 = −𝜈𝜍𝑥𝐸 휀𝑦 = −

1

3 −79.6𝑥106

70𝑥109 = 379𝑥10−6 𝑚/𝑚

Por lo que la holgura diametral que se requiere es:

𝛿 = 휀𝐿 𝛿𝑦 = 379𝑥10−6 80 = 0.0303 𝑚𝑚

El diámetro interior del tubo de acero se obtiene sumando el diámetro del

eje de aluminio a la holgura requerida:

𝐷 = 80 + 0.0303 = 80.0303 𝑚𝑚

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3.2. Vibración transversal.

Los sistemas mecánicos, tales como cables, varillas, vigas, placas, etc.,

que tienen sus masas y sus fuerzas elásticas distribuidas, en lugar de tener

masas concentradas separadas por resortes, son susceptibles de tener las

llamadas vibraciones de medios continuos.

Estos sistemas constan de un número infinito de partículas y por tanto

requieren igual cantidad de coordenadas para especificar su configuración. En

consecuencia, los sistemas mecánicos de esta clase tienen un infinito número

de frecuencias naturales y de modos naturales de vibración.

En general, las vibraciones de medios continuos están gobernadas por

ecuaciones diferenciales parciales y para sus análisis se supone que todos los

materiales son homogéneos e isotrópicos y obedecen a la ley de Hooke.

a. Vibración longitudinal de barras

La ecuación diferencial del movimiento es:

𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒕𝟐= 𝒂𝟐

𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐

Donde: 𝒖 = 𝐝𝐞𝐬𝐩𝐥𝐚𝐳𝐚𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐬𝐞𝐜𝐜𝐢ó𝐧 𝐭𝐫𝐚𝐧𝐬𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚𝐥 𝐜𝐮𝐚𝐥𝐪𝐮𝐢𝐞𝐫𝐚,

𝒂𝟐 =𝑬𝒈

𝜸,𝑬 = 𝐦ó𝐝𝐮𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝐞𝐥𝐚𝐬𝐭𝐢𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐛𝐚𝐫𝐫𝐚,

𝜸 = 𝐩𝐞𝐬𝐨 𝐞𝐬𝐩𝐞𝐜𝐢𝐟𝐢𝐜𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐛𝐚𝐫𝐫𝐚,

𝒙 = 𝐜𝐨𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐚 𝐚 𝐥𝐨𝐥𝐚𝐫𝐠𝐨 𝐝𝐞 𝐞𝐣𝐞 𝐥𝐨𝐧𝐠𝐢𝐭𝐮𝐝𝐢𝐧𝐚𝐥.

La solución general está dada por la fórmula:

𝒖 𝒙, 𝒕 = (𝑨𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝒑𝒊𝒕 +𝑩𝒊 𝐬𝐞𝐧𝒑𝒊𝒕) 𝑪𝒊 𝐜𝐨𝐬𝒑𝒊𝒙

𝒂+𝑫𝒊 𝐬𝐞𝐧

𝒑𝒊𝒙

𝒂

𝒏

𝒊=𝟏,𝟐,…

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Donde 𝑨𝒊,𝑩𝒊,𝑪𝒊 𝒚 𝑫𝒊 son constantes que deben determinarse de las

condiciones iniciales y de contorno y 𝒑𝒊 son las frecuencias naturales del

sistema.

b. Vibración transversal de vigas

La ecuación diferencial del movimiento es:

𝝏𝟐𝒚

𝝏𝒕𝟐= 𝒂𝟐

𝝏𝟒𝒚

𝝏𝒙𝟒= 𝟎

Donde: 𝒚 = 𝐝𝐞𝐟𝐥𝐞𝐱𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐯𝐢𝐠𝐚,

𝒙 = 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 𝒂 𝒍𝒐 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒋𝒆 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒈𝒂.

𝒂𝟐 =𝑬𝒍𝒈

𝑨𝜸,𝑨 = á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒍,

𝜸 = 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒇𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒈𝒂,

𝐲 𝑬𝒍 𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒍𝒂 𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒆𝒛 𝒂 𝒍𝒂 𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒈𝒂.

La solución general está dada por la fórmula:

𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝒑𝒕 + 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝒑𝒕 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬𝒌𝒙 + 𝑪𝟐 𝐬𝐞𝐧𝒌𝒙 + 𝑪𝟑 𝐜𝐨𝐬𝐡𝒌𝒙 + 𝑪𝟒 𝐬𝐞𝐧𝐡𝒌𝒙)

Donde 𝒑 = 𝒇𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍,𝒌𝟐 = 𝒑 𝒂 ,

Y las constantes A y B son evaluadas de las condiciones iniciales y

𝑪𝟏,𝑪𝟐,𝑪𝟑,𝒚 𝑪𝟒 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒖𝒂𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.

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4. BIBLIOGRAFÍA.

INTRODUCCION AL ANALISIS DE VIBRACIONES : Glen White, ed. Azima

DLI, 2010.

DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINA : Robert L. Moot, P.E.

Cuarta edición, 2006.

MECANICA DE MATERIALES : F.P. Beer, E.R. Johnston,

McGRAW-HILL. Segunda

edición, 1999.

RESISTENCIA DE MATERIALES : Andrew Pytel, Ferdinand

L. Singer. Oxford. Cuarta

edcion, 1999.

23

5. ANEXOS.

Anexo 1: Métodos para determinar valores de K y Q para varios tipos de

secciones transversales

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Anexo 2: Analogía entre la vibración rectilínea y la torsional

Vibración rectilínea Vibración torsional

Símbolo Unidad Símbolo Unidad

Tiempo 𝑡 𝑠𝑒𝑔 𝑡 𝑠𝑒𝑔

Desplazamiento 𝑥 𝑝𝑢𝑙 𝜃 𝑟𝑎𝑑

Velocidad 𝑥 𝑝𝑢𝑙/𝑠𝑒𝑔 𝜃 𝑅𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

Aceleración 𝑥 𝑝𝑢𝑙/𝑠𝑒𝑔2 𝜃 𝑅𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔2

Constante elástica 𝑘 𝑙𝑖𝑏/𝑝𝑢𝑙 𝐾 𝑝𝑢𝑙. 𝑙𝑖𝑏/𝑟𝑎𝑑

Coeficiente de

amortiguación 𝑐 𝑙𝑖𝑏. 𝑠𝑒𝑔/𝑝𝑢𝑙 𝑛 𝑝𝑢𝑙 − 𝑙𝑖𝑏. 𝑠𝑒𝑔/𝑟𝑎𝑑

Factor de

amortiguación 𝜻 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝜻 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

Masa 𝑚 𝑙𝑖𝑏. 𝑆𝑒𝑔2/𝑝𝑢𝑙 𝐽 𝑙𝑖𝑏 − 𝑝𝑢𝑙 − 𝑠𝑒𝑔2/𝑟𝑎𝑑

Fuerza o momento

torsional 𝐹 = 𝑚𝑥 𝑙𝑏 𝑇 = 𝐽 𝜃 𝑝𝑢𝑙 − 𝑙𝑖𝑏

momento 𝑚𝑥 𝑙𝑖𝑏 − 𝑠𝑒𝑔 𝐽𝜃

impulso 𝐹𝑙 𝑙𝑖𝑏 − 𝑠𝑒𝑔 𝑇𝑙 𝑝𝑢𝑙 − 𝑙𝑖𝑏. 𝑠𝑒𝑔

Energía cinética 1

2𝑚𝑥 2 𝑙𝑖𝑏 − 𝑝𝑢𝑙

1

2𝐽𝜃 2 𝑙𝑖𝑏 − 𝑝𝑢𝑙

Energía potencial 1

2𝑘𝑥2 𝑙𝑖𝑏 − 𝑝𝑢𝑙

1

2𝐾𝜃2 𝑙𝑖𝑏 − 𝑝𝑢𝑙

Trabajo 𝑙𝑖𝑏 − 𝑝𝑢𝑙 𝑙𝑖𝑏 − 𝑝𝑢𝑙

Frecuencia natural 𝑤𝑛 = 𝑘 𝑚 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 𝑤𝑛 = 𝐾 𝐽 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

Ecuación de

movimiento 𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 𝐽𝜃 + 𝑛𝜃 + 𝐾𝜃 = 𝑇0𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡

Condiciones iniciales 𝑥 0 = 𝑥0 ,𝑥 0 = 𝑥 0 𝜃 0 = 𝜃0 , 𝜃 0 = 𝜃 0

Respuestas

transitorias

Respuestas del

estado estacionario

𝑥𝑝 = 𝑋𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − ∅)

𝑋 =𝐹0

𝑘 −𝑚𝑤2 2 + (𝑐𝑤)2

𝜙𝑝 = 𝛷𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − ∅)

𝛷 =𝑇0

𝐾 − 𝐽𝑤2 2 + (𝑛𝑤)2