Rodolfo Diaz - Electrodinámica

Electrodinamica: Notas de Clase

Rodolfo A. DiazUniversidad Nacional de Colombia

Departamento de FısicaBogota, Colombia

1 de febrero de 2008

Indice general

Introduction XI

I Campos electricos y magneticos independientes del tiempo 1

1. Electrostatica 3

1.1. Ley de Coulomb y campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Distribuciones de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Funcion delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Ley de Gauss en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Potencial electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3. Potencial y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Energıa potencial electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1. Distribuciones contınuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1. Calculo de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6. Teoremas de unicidad para campo vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8. Discontinuidades en el campo electrico y en el potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8.1. Capa dipolar superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Ecuacion de Laplace 27

2.1. Expansion en funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1. Ejemplos de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Propiedades de las soluciones de la Ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Unicidad de la ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.3. Cilindro infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5. Ecuacion de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6. Ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6.1. Operador momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6.2. Separacion de variables para la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas . . . . . 45

2.6.3. Propiedades de Pl (cos θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.4. Esfera con φ = V (θ) en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6.5. Cascarones concentricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

iii

iv INDICE GENERAL

2.7. Problemas con condiciones que no son de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.8. Expansion de 1|r−r′| en polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.8.1. Ejemplos de aplicacion en evaluacion de potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.9. Funciones asociadas de Legendre y Armonicos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.10. Ecuacion de Laplace en coordenadas cilındricas, Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Conductores electrostaticos 57

3.1. Cavidades en conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2. Sistemas de conductores como dispositivos de almacenamiento: Capacitores . . . . . . . . . . 60

3.3. Sistemas con N conductores: Coeficientes de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4. Propiedades adicionales de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.1. El caso de dos conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5. Ejemplos de calculos de la matriz de capacitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6. Energıa electrostatica y matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6.1. Simetrıa de los Cij por argumentos de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6.2. Teorema de reciprocidad para cargas y potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6.3. Energıa electrostatica y capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4. Funciones de Green y ecuacion de Poisson en electrostatica 71

4.1. Teoremas de Green en electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2. Ecuacion de Green y potencial electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3. Interpretacion de la funcion de Green en electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.1. Un teorema sobre las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3.2. Calculo de funciones de Green unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3.3. Un ejemplo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4. Problemas bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.1. Combinacion de metodo directo con expansion ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4.2. Metodo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4.3. Problema bidimensional semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4.4. Funcion de Green en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5. Metodo de imagenes 105

5.1. Metodo de imagenes y teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2. Carga frente a un plano equipotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.1. Lınea de carga finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.3. Carga puntual frente a una esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3.1. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.5. Carga puntual en frente de un conductor esferico a potencial V . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.6. Esfera conductora colocada en campo electrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.7. Energıa interna electrostatica usando el metodo de imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.7.1. Ejemplos de calculo de energıa interna por metodo de imagenes . . . . . . . . . . . . . 118

6. Funcion de Green y ecuacion de Poisson en coordenadas esfericas 123

6.1. Delta de Dirac en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.2. Funcion de Green en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.2.1. Teorema de adicion de armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.3. Esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.4. Funcion de Green para exterior e interior de la esfera combinando imagenes con autofunciones 127

INDICE GENERAL v

6.5. Funcion de Green para espacio comprendido entre dos cascarones esfericos concentricos conG = 0 en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.5.1. Solucion general en el espacio entre dos cascarones esfericos . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.6. Disco cargado uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.7. Condicion de frontera en esfera con varilla interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.8. Carga superficial en semicırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.9. Distribucion poligonal de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7. Funciones de Green en coordenadas cilındricas 135

8. Multipolos electricos 1378.1. Expansion multipolar del potencial electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.1.1. Multipolos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.1.2. Multipolos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.1.3. Ilustracion de los terminos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc. . . . . . . . . . . . . . . 1408.1.4. Aproximacion dipolar para campos cercanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.1.5. Multipolos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.2. Expansion multipolar de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.3. Expansion multipolar de la fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.4. Expansion multipolar del torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

9. Electrostatica de medios materiales 155

9.1. Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.1.1. Materiales dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.1.2. Momentos dipolares inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9.1.3. Momentos dipolares permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1569.1.4. Materiales con momentos dipolares permanentes en campos electricos externos . . . . 1579.1.5. Definicion del vector de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.2. Campo electrico en el exterior de un dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.2.1. Interpretacion Fısica de las cargas de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

9.3. Campo en el interior de un dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.4. Ecuaciones de campo en presencia de dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.5. Susceptibilidad electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.6. Condiciones de frontera en la interfase entre dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.6.1. Problema con interfase utilizando imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.7. Funcion de Green para espacio infinito con semiespacios dielectricos . . . . . . . . . . . . . . 1699.8. Esfera dielectrica de radio a colocada en dielectrico ∞. Carga puntual en r ′ > a. . . . . . . . 170

9.9. Energıa potencial en presencia de dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.9.1. Distribucion sobre esfera dielectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9.10. Energıa de un dielectrico en un campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.Magnetostatica 17710.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

10.2. Conservacion de la carga electrica y ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.3. Ecuacion de continuidad y regimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.4. Leyes de Ampere y Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10.5. Ecuaciones diferenciales de la magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.6. Invarianza Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.7. Rango de validez de la formulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.8. Formalismo de Green en magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18510.8.1. Espira circular de corriente constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

vi INDICE GENERAL

10.9. Multipolos magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

10.9.1. Termino cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

10.9.2. Multipolos magneticos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.9.3. Dipolo magnetico de una espira de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.9.4. Flujo de partıculas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

10.10.Expansion multipolar de fuerza y torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

10.11.Promedio volumetrico del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10.12.Problemas resueltos de magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11.Magnetostatica de medios materiales 203

11.1. Magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.1.1. Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.1.2. Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.1.3. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.1.4. Consecuencias de la ausencia de monopolos magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11.2. Campo generado por objetos magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11.3. Interpretacion de las corrientes de magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

11.4. Campos magneticos en el interior de los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.5. Ecuaciones de campo en medios magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.5.1. Condiciones de frontera en materiales magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

11.5.2. Calculo de potenciales y campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

11.6. Problemas resueltos de magnetostatica en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

II Campos electricos y magneticos dependientes del tiempo 219

12.Ecuaciones de Maxwell 221

12.1. Ley de induccion de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.1.1. Algunas sutilezas sobre el concepto de fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . 225

12.1.2. Fuerza de Lorentz y ley de induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

12.1.3. Forma diferencial de la ley de induccion de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12.1.4. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12.1.5. Energıa almacenada en el campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

12.2. Ecuacion de Ampere Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

12.2.1. Forma integral de la cuarta ecuacion de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

12.3. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

12.4. Potenciales A y φ, transformaciones gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

12.4.1. Gauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

12.4.2. Gauge de Coulomb o transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

12.5. Ecuaciones de Maxwell en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

12.5.1. Corriente de Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

13.Leyes de conservacion 241

13.1. Conservacion de la energıa: Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

13.2. Conservacion del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

13.3. Presion ejercida por el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.4. Teorema de Poynting para vectores de campo complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

13.4.1. Definicion de impedancia en terminos de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

INDICE GENERAL vii

14.Soluciones de la ecuacion de onda 255

14.1. Unicidad de la ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

14.2. Solucion a la ecuacion de onda homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

14.2.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

14.2.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

14.3. Solucion a la ecuacion de onda inhomogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

14.3.1. Funcion de Green para la ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

14.3.2. Funcion de Green y transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

14.3.3. Funcion de Green para espacio tiempo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

14.3.4. Condicion de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

14.3.5. Evaluacion de la funcion de Green para la ecuacion de Helmholtz . . . . . . . . . . . . 273

14.3.6. Otra forma de evaluacion de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

14.3.7. Funcion de Green para espacio infinito en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . 277

14.3.8. Expansion de una onda plana en armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

14.3.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

14.3.10.Ejercicio: carga puntual en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

14.3.11.Dipolo puntual oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

14.4. Transformada de Fourier de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

15.Ondas electromagneticas planas 287

15.1. Caracterısticas basicas de una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

15.1.1. Transporte de momento y energıa en una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

15.1.2. Ondas planas con vector de onda complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

15.2. Polarizacion de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

15.3. Reflexion y transmision de ondas planas cuando se cambia de medio dielectrico . . . . . . . . 295

15.3.1. Reflexion y transmision con incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

15.3.2. Reflexion y transmision con incidencia oblıcua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

15.3.3. Reflexion total interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

15.4. Absorcion y dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

15.4.1. Ondas planas en medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

15.4.2. Reflexion y transmision en superficies metalicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

15.5. Dispersion de ondas en un medio dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

16.Radiacion 311

16.1. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

16.2. Ecuaciones de Jefimenko para los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

16.3. Ecuaciones de Jefimenko en el formalismo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

16.4. Potenciales generados por cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

16.4.1. Potenciales de Lienard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

16.5. Campos electrico y magnetico asociados a cargas puntuales moviles . . . . . . . . . . . . . . . 321

16.6. Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

16.7. Radiacion de dipolo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

16.8. Radiacion de dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

16.9. Radiacion generada por un distribucion arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

16.10.Radiacion de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

16.10.1.Radiacion de Frenado (bremsstrahlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

16.10.2.Radiacion de Ciclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

viii INDICE GENERAL

17.Relatividad especial 34117.1. Propiedades de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34117.2. Transformaciones de Lorentz usando espacios de Riemann de cuatro dimensiones . . . . . . . 34917.3. Formulaciones covariantes en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35217.4. Fuerza y energıa en relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35817.5. Formulacion Lagrangiana de la mecanica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

17.5.1. Formulacion no manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

18.Electrodinamica y relatividad 37118.1. Ecuaciones de Maxwell en forma manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37218.2. Fuerza de Lorentz en forma tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37318.3. Pruebas de consistencia de la formulacion covariante de Maxwell (opcional) . . . . . . . . . . 37418.4. Ecuaciones de onda e invarianza gauge en notacion tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

18.4.1. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37518.5. Conservacion de momento y energıa del campo electromagnetico: tensor momento energıa . . 37618.6. Conservacion del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37818.7. Aplicaciones de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

18.7.1. Cuadrivectores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37818.7.2. Tensores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

A. Teoremas de unicidad de la ecuacion de Poisson 381

B. Coeficientes de capacitancia 385B.1. Pruebas de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385B.2. Derivacion alternativa de (3.12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

C. Ondas planas 387C.1. Incidencia oblıcua de onda plana perpendicular al plano de incidencia . . . . . . . . . . . . . 387

Preface

This is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX field at the beginning of thisparagraph sets the correct page heading for the Preface portion of the document. The preface does notappear in the table of contents.

ix

x PREFACE

Introduction

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xi

xii INTRODUCTION

Parte I

Campos electricos y magneticosindependientes del tiempo

1

Capıtulo 1

Electrostatica

1.1. Ley de Coulomb y campo electrico

La interaccion electrica se obtuvo inicialmente por frotamiento. Experimentalmente se encuentra que sitenemos dos cuerpos electrizados a distancias muchos mayores que sus dimensiones entonces

La fuerza es proporcional al producto de las cargas.

Dicha fuerza es central, es decir actua a lo largo de la lınea que une las cargas.

F es proporcional a 1/r2 siendo r la distancia que separa las cargas.

Solo hay dos tipos de electrizacion, partıculas con electrizaciones semejantes se repelen en tanto quesi ellas tienen electrizaciones diferentes se atraen. Esto puede verse facilmente con experimentos defrotacion.

Convencionalmente se llamo positiva a la electrizacion que adquiere el vidrio frotado y negativa a laelectrizacion que adquiere el ambar frotado.

Cuando tenemos una distribucion de cargas que actuan sobre una carga pequena, la fuerza y campototales obedecen el principio de superposicion. Este principio de superposicion se puede extrapolar cuandotenemos distribuciones contınuas de carga.

1.1.1. Ley de Coulomb

La fuerza que una carga puntual q1 ejerce sobre la carga q2 viene dada por

Fq1→q2 = Kcq1q2 (r2 − r1)

|r2 − r1|3

donde r1, r2 son las posiciones de las cargas con respecto a algun sistema de referencia inercial, y Kc es unaconstante universal de proporcionalidad. En principio, todo el contenido Fısico de la electrostatica yace en laley de Coulomb y el principio de superposicion. La escogencia de la constante de proporcionalidad determinala unidad de carga. Notese que la ley de Coulomb nos fija las dimensiones del producto Kcq1q2 pero no delas cantidades Kc y q por aparte, por esta razon es posible fijar las dimensiones de Kc para obtener enconsecuencia las dimensiones de q, o por otro lado fijar las unidades de q (como unidades independientes delas unidades basicas de longitud tiempo y masa) con lo cual quedarıan fijadas las unidades de Kc. Esto noslleva a dos tipos de unidades que son las mas comunmente usadas

Unidades electrostaticas (e.s.u): Basado en el sistema c.g.s. En este sistema fijamos las unidades deKc eligiendo Kc = 1 (adimensional) de modo que la carga queda con dimensiones de cm3/2g1/2s−1.

3

4 CAPITULO 1. ELECTROSTATICA

A la cantidad q = 1cm3/2g1/2s−1 lo denominamos una unidad electrostatica o statcoulomb. En estesistema de unidades, q = 1 cuando ejerce una fuerza de una dina sobre otra carga identica colocada aun centımetro.

MKSA o sistema internacional SI: Este sistema fija a la carga como unidad independiente (coulombio)en cuyo caso la constante Kc queda con unidades definidas. Se define a su vez la constante Kc =1/ (4πε0) con ε0 = 8,85 × 10−12C2/Nm2. q = 1coulomb cuando dos cargas identicas separadas unmetro experimentan una fuerza mutua de 1

4πε0Newtons. 1Coul = 3 × 109Statcoul.

Las cargas son cantidades algebraicas reales positivas o negativas. La ley de Coulomb obedece au-tomaticamente la ley de accion y reaccion. Por otra parte, si asumimos que la Mecanica Newtoniana es unadescripcion adecuada de la naturaleza, el principio de superposicion esta contenido en la segunda ley deNewton, de tal forma que la ley de Coulomb se puede ver como un caso particular de fuerza que al obedecerla segunda ley debe cumplir el principio de superposicion. Efectivamente, en el dominio de la mecanicaclasica el principio de superposicion esta bien soportado a traves de diversas pruebas experimentales1. Noobstante, en los dominios de la mecanica cuantica, se pueden observar pequenas desviaciones debidas aprocesos como la dispersion luz por luz y la polarizacion del vacıo. De igual forma, existe una fuerte baseexperimental para la ley del inverso cuadrado tanto en el dominio microscopico como en el macroscopico.

La ley de Coulomb tambien puede pensarse como la interaccion de q2 con el campo generado por q1.

Definimos E1 ≡ Fq1→q2q2

= Kcq1(r2−r1)

|r2−r1|3de modo que F2 = q2E1. El campo ası definido solo depende de la

fuente y no de la carga de prueba. Analogamente, se puede definir el campo generado por q2.

El campo es un vector y satisface el principio de superposicion, el cual es herencia directa del mismoprincipio aplicado a las fuerzas. Si una partıcula esta ubicada en alguna posicion dada por r ′ (respectoa algun sistema de referencia inercial) entonces el campo electrico generado por esta, evaluado en algunaposicion r viene dado por

E (r) = Kcq (r− r′)

|r − r′|3

este campo es central y por tanto conservativo. Cuando tenemos una distribucion de carga se usa el principiode superposicion para calcular el campo generado por dicha distribucion en cualquier punto del espacio.Experimentalmente, el campo electrico en una posicion r se mide colocando una carga de prueba q ′ en ry midiendo la fuerza que dicha carga experimenta. Formalmente la medicion del campo requiere tomar ellımite cuando la carga de prueba es arbitrariamente pequena

E = lımq′→0

F

q′

con el fin de asumir que q′ no altera la distribucion de carga original al aproximarse a tal distribucion.Esta definicion formal de campo no se puede aplicar con todo rigor en la realidad Fısica, puesto que nopodemos tener hasta el momento, valores de carga menores que la carga electronica. No obstante, la cargaelectronica es muy pequena cuando tratamos fenomenos macroscopicos y la ecuacion anterior nos da unabuena descripcion de la realidad. Pasando la carga a multiplicar queda

F = q′E

esta ecuacion se puede tomar como definicion alternativa de campo, y tiene la ventaja de independizar elcampo de sus fuentes. Si para dos distribuciones de carga diferentes el campo es el mismo en un determinadopunto, la fuerza que experimenta una carga de prueba en dicho punto sera la misma aunque las fuentes decada campo sean muy distintas. Aunque esta redefinicion parece a priori trivial, nos sera de gran utilidadcuando estudiemos la generacion de campos electricos que no dependen de fuentes.

1Notese que el principio de superposicion depende fuertemente de la naturaleza aditiva de las cargas.

1.1. LEY DE COULOMB Y CAMPO ELECTRICO 5

1.1.2. Distribuciones de carga

El descubrimiento de la estructura atomica de la materia nos enfrenta con distribuciones de carga denaturaleza granular, que en muchas circunstancias se puede aproximar razonablemente a cargas puntuales.Incluso en el caso macroscopico, cuando la distribucion de carga esta confinada a un tamano mucho menorque las distancias de interes, la aproximacion de carga puntual nos da una buena descripcion de la mayorıade fenomenos electricos. Por otra parte, cuando tenemos distribuciones macroscopicas con una gran cantidadde atomos y queremos tener en cuenta los efectos que produce la extension de dicha distribucion, es util con-siderar que la densidad de carga es una funcion contınua de las tres dimensiones espaciales. En consecuenciael campo electrico se puede modelar en terminos de distribuciones de carga contınuas o discretas

Discretas

E (r) = Kc

n∑

i=1

qi (r− ri)

|r − ri|3

Contınuas

E (r) = Kc

∫dq (r′) (r− r′)

|r− r′|3

Las distribuciones contınuas pueden ser lineales λ, superficiales σ, o volumetricas ρ. Tambien es posibletener densidades mixtas.

1.1.3. Funcion delta de Dirac

Como veremos a continuacion la funcion delta de Dirac es un excelente instrumento para convertirdensidades puntuales, lineales y superficiales, en densidades volumetricas equivalentes. Esto tiene un graninteres ya que la ecuacion de Poisson es para densidades volumetricas y no posee analogo en menoresdimensiones, puesto que dicha ecuacion proviene del teorema de la divergencia el cual no tiene analogo endimensiones menores a tres. Es importante enfatizar que la funcion delta de Dirac mas que una funcion esuna distribucion. En el lenguaje del analisis funcional, es una uno-forma que actua en espacios vectoriales defunciones, asignandole a cada elemento del espacio, un numero real de la siguiente forma: Sea V el espaciovectorial de las funciones definidas en el dominio (b, c) con ciertas propiedades de continuidad, derivabilidad,integrabilidad, etc. La distribucion delta de Dirac es un mapeo que asigna a cada elemento f (x) de V unnumero real con el siguiente algoritmo2

∫ c

bf (x) δ (x− a) dx =

f (a) si a ∈ (b, c)

0 si a /∈ [b, c]

Con esta distribucion es posible escribir una densidad de carga puntual (ubicada en r0) como unadensidad volumetrica equivalente

ρ (r) = qδ(r′ − r0

)(1.1)

esta densidad reproduce adecuadamente tanto la carga total como el potencial que genera

q =

∫ρ(r′)dV ′ =

∫q δ(r′ − r0

)d3r′

φ (r) = Kc

∫dq (r′)|r− r′| = Kc

∫ρ (r′)|r− r′|d

3r′ = Kc

∫q δ (r′ − r0)

|r− r′| d3r′

φ (r) =Kc q

|r− r0|(1.2)

2Es usual definir la “funcion” delta de Dirac como δ (r) =

∞ si r = 00 si r 6= 0

y∫δ (x) dx = 1. Esta definicion se basa en

una concepcion erronea de la distribucion delta de Dirac como una funcion. A pesar de ello, hablaremos de ahora en adelantede la funcion delta de Dirac para estar acorde con la literatura.


finalmente, es inmediato ver que el campo electrico tambien se reproduce adecuadamente. Hay variassucesiones de distribuciones que convergen a la funcion Delta de Dirac (para mas detalles ver Metodosmatematicos de Gabriel Tellez Acosta ediciones UniAndes) una de las mas utilizadas es la sucesion definidapor

fn (x− a) =n√πe−n

2(x−a)2

se puede demostrar que al tomar el lımite cuando n→ ∞ se reproduce la definicion y todas las propiedadesbasicas de la distribucion delta de Dirac. Notese que todas las distribuciones gaussianas contenidas en estasucesion tienen area unidad y estan centradas en a. De otra parte, a medida que aumenta n las campanasgaussianas se vuelven mas agudas y mas altas a fin de conservar el area, para valores n suficientemente altos,el area se concentra en una vecindad cada vez mas pequena alrededor de a. En el lımite cuando n → ∞,toda el area se concentra en un intervalo arbitrariamente pequeno alrededor de a.

Algunas propiedades basicas son las siguientes:

1.∫∞−∞ δ (x− a) dx = 1

2.∫∞−∞ f (x) ∇δ (r− r0) dV = − ∇f |r=r0

3. δ (ax) = 1|a|δ (x)

4. δ (r− r0) = δ (r0 − r)

5. xδ (x) = 0

6. δ(x2 − e2

)= 1

2|e| [δ (x+ e) + δ (x− e)]

Vale enfatizar que debido a su naturaleza de distribucion, la funcion delta de Dirac no tiene sentidopor sı sola, sino unicamente dentro de una integral. Por ejemplo cuando decimos que δ (ax) = 1

|a|δ (x), noestamos hablando de una coincidencia numerica entre ambos miembros, sino de una identidad que se debeaplicar al espacio vectorial de funciones en que estemos trabajando, es decir

∫ c

bf (x) δ (ax) dx =

∫ c

bf (x)

1

|a|δ (x) dx ∀ f (x) ∈ V y ∀ a ∈ R

Estrictamente, el mapeo tambien se puede hacer sobre los numeros complejos con propiedades analogas. Eneste mismo espıritu, es necesario aclarar que la densidad volumetrica equivalente de una carga puntual (ytodas las densidades equivalentes que nos encontremos de aquı en adelante) es realmente una distribucion.Por ejemplo, la densidad descrita por (1.1), solo tiene realmente sentido dentro de integrales tales como lasexpresadas en (1.2). Las densidades ordinarias son funciones, pero las densidades equivalentes son distribu-ciones. En sıntesis, lo que se construye con la densidad volumetrica equivalente es una distribucion que meproduzca el mapeo adecuado para reproducir la carga total y el potencial3.

En mas de una dimension la delta se convierte simplemente en productos de deltas unidimensionales,la propiedad

∫δ(n) (x) dnx = 1, aplicada a n dimensiones, nos dice que la delta no es adimensional, sus

dimensiones son de x−n.

1.2. Ley de Gauss

La ley de Coulomb junto con el principio de superposicion conducen a una forma integral muy utilconocida como ley de Gauss. La ley de Gauss en su forma integral, es util cuando queremos evaluar E enuna distribucion de cargas con cierta simetrıa, o cuando queremos evaluar la carga total encerrada en cierto

3Estos dos mapeos se definen en el espacios de las funciones q (r0) y q (r0) / |r − r′| en el caso de cargas puntuales. Paracargas lineales serıan en el espacio de funciones λ (x) y λ (x) / |r − r′|.

1.2. LEY DE GAUSS 7

volumen. Finalmente, la forma integral nos conduce a una forma diferencial con la cual se pueden abordarcasos mas generales. De acuerdo con la figura ???, dado un origen de coordenadas O y un punto donde seubica la carga O′ podemos construir un diferencial de flujo en la vecindad de la posicion definida por elvector r. El campo electrostatico viene dado por

E (r) = Kcq (r− r′)

|r − r′|3

y el flujo de un campo E (r) sobre un diferencial de superficie dS centrada en r esta dado por

E (r) · dS (r) = Kcq (r− r′) · dS (r)

|r − r′|3

donde r′ define la posicion de la carga que genera el campo (con respecto a O). Integrando sobre unasuperficie cerrada, se obtiene

∮E (r) · dS (r) = Kc q

∮(r− r′) · dS (r)

|r− r′|3

es bien conocido que el integrando del miembro derecho define el diferencial de angulo solido subtendido porel area dS tomando como vertice el punto O ′

∮(r− r′) · dS (r)

|r− r′|3=

∮dΩ (1.3)

donde ∮dΩ =

4π si O′ esta dentro de la superficie cerrada0 si O′ esta fuera de la superficie cerrada

(1.4)

con lo cual resulta ∮E (r) · dS (r) = Kc q

∮dΩ

y teniendo en cuenta (1.4), este resultado se puede expresar de manera equivalente ası∮

E · dS = 4πKcq

∫δ(r− r′

)dV = 4πKcq

1 si O′ esta dentro0 si O′ esta fuera

apelando al principio de superposicion esta ley se puede aplicar a cualquier distribucion de cargas. Para elflujo de campo solo contribuye la carga neta que esta adentro (suma algebraica de cargas). Observese que laley de Gauss se basa en tres suposiciones fundamentales a) La ley del inverso cuadrado del campo de cargaspuntuales, b) el principio de superposicion, c) la naturaleza central de la fuerza.

La expresion (1.3) para el angulo solido nos permitira desarrollar una importante identidad que sera deuso frecuente en nuestros desarrollos, calculemos la divergencia del gradiente de la funcion |r − r ′|−1

∇ ·(∇ 1

|r− r′|

)≡ ∇2

(1

|r − r′|

)

el operador ∇ se refiere a las coordenadas no primadas. Haciendo el cambio de variable r = r− r ′ y teniendoen cuenta que ∇r = ∇ tenemos que

∇2

(1

|r− r′|

)= ∇2

r

(1

r

)

esto es equivalente a redefinir el origen en r′ = 0. Olvidemos la notacion r y calculemos explıcitamente estacantidad para r 6= 0; en tal caso escribiendo el operador laplaciano en coordenadas esfericas vemos que soloaparece la derivada con respecto a la coordenada r debido a la simetrıa esferica de 1/r

∇2

(1

r

)=

1

r

∂2

∂r2

(r1

r

)= 0


pero para r = 0 esta expresion esta indeterminada. No obstante, veremos el comportamiento de esta expre-sion bajo una integral de volumen en una cierta vecindad de r = 0

∫

V∇2

(1

r

)dV =

∫∇ ·[∇(

1

r

)]dV =

∮ [∇(

1

r

)]· n dS

=

∮ [− r

r3

]· dS = −

∮dΩ = −4π (1.5)

donde hemos aplicado el teorema de Gauss y la Ec. (1.3). Vemos entonces que ∇2(

1r

)= 0 para r 6= 0 en

tanto que su integral en un volumen que contiene a r = 0 es 4π, reasignando r → r − r ′ resulta entonces que

∫

V∇2

(1

|r− r′|

)dV = −4π

1 si el volumen incluye al punto r′

0 si el volumen no incluye a r′(1.6)

notese que en (1.5) hemos usado el teorema de Gauss a pesar de que la funcion no es bien comportada en

el volumen en cuestion, esto es inconsistente si tomamos a ∇2(|r− r′|−1

)como una funcion ordinaria. Lo

que realmente estamos haciendo es considerando a ∇2(|r− r′|−1

)como una distribucion y encontrando cual

es el mapeo que nos permite asignar un valor a la integral de volumen de modo que nos permita usar elteorema de Gauss. Notemos que precisamente la Ec. (1.6) emula la propiedad fundamental de la delta deDirac en tres dimensiones de modo que

∇2

(1

|r − r′|

)= −4πδ

(r− r′

)(1.7)

esta identidad sera de uso muy frecuente.

1.2.1. Ley de Gauss en forma diferencial

Partiendo de la ley de Gauss, escribimos la carga total como una integracion volumetrica de la densidad

∮E · dS = 4πKcq = 4πKc

∫ρ (r) dV

esto siempre es posible incluso si la densidad es lineal, superficial o puntual, ya que podemos construır unadensidad volumetrica equivalente, como veremos mas adelante. Por otro lado el teorema de la divergencianos dice que ∮

E · dS =

∫(∇ · E) dV

comparando las integrales de volumen

∫(∇ ·E) dV = 4πKc

∫ρ (r) dV

al ser esto valido para un volumen arbitrario en forma y tamano se tiene

∇ · E = 4πKcρ (r)

Esta ecuacion es valida para cualquier distribucion estatica de cargas, y me dice que las cargas positivas(negativas) son fuentes (sumideros) de lıneas de campo electrico. Sin embargo, veremos mas adelante queesta ecuacion se extrapola al caso de campos dependientes del tiempo.

1.2. LEY DE GAUSS 9

1.2.2. Potencial electrostatico

El campo electrico generado por una carga puntual estatica es conservativo en virtud de su naturalezacentral y de su independencia temporal. Por otro lado, la superposicion de campos conservativos genera otrocampo tambien conservativo, de lo cual se sigue que cualquier campo electrico generado por una distribucionestatica de cargas (contınuas o discretas) es conservativo. Matematicamente, un campo conservativo se puedeescribir como E = −∇φ, siendo φ una funcion escalar. La funcion escalar asociada al campo electrico seconoce como potencial

Por otro lado, si recordamos que F = qE para una carga de prueba q, resulta que la fuerza F sobrela carga de prueba es conservativa y se le asocia una energıa potencial F = −∇Ep. De esto se deduceque φ = Ep/q de modo que el potencial es la energıa potencial por unidad de carga generada por ciertadistribucion. El hecho de que el potencial sea una cantidad escalar con la misma informacion Fısica delcampo, es una ventaja operativa, pero tambien surge la pregunta ¿como un objeto con un solo grado delibertad puede contener la misma informacion que uno de tres grados de libertad?, la respuesta es que lascomponentes del campo electrico no son realmente independientes, puesto que ∇× E = 0, nos brinda tresecuaciones diferenciales para las componentes de dicho campo4. Cabe mencionar que el potencial obedecea un principio de superposicion, heredado del campo. Finalmente, es importante tener en cuenta que existeuna arbitrariedad en la definicion del potencial, para lo cual es necesario fijar el punto del espacio en el cualdefinimos el potencial cero. Esto no es ninguna contradiccion ya que el potencial no es un observable fısicocomo veremos mas adelante, el observable es la diferencia de potencial.

Escribamos el campo electrico para una distribucion arbitraria de cargas

E (r) = Kc

∫dq (r′) (r− r′)

|r− r′|3

Valido para distribucion contınua. Usando

−∇(

1

|r− r′|

)=

r− r′

|r− r′|3(1.8)

el campo queda

E (r) = −Kc

∫dq(r′)∇(

1

|r− r′|

)

y como ∇ opera sobre la variable r pero no sobre r′, puede salir de la integral

E (r) = −∇[Kc

∫dq (r′)|r− r′|

]

Definiendo

E = −∇φ (r) ; φ (r) ≡ Kc

∫dq (r′)|r− r′| (1.9)

y φ (r) es el potencial escalar electrostatico5 . En esta ecuacion podemos tomar ∇2 a ambos lados

∇2φ (r) ≡ Kc∇2

∫dq (r′)|r− r′| = Kc

∫dq(r′)∇2

(1

|r− r′|

)

usando la identidad (1.7)

∇2

(1

|r − r′|

)= −4πδ

(r− r′

)(1.10)

4Es importante enfatizar que aun quedan grados de libertad, gracias a que estas tres ecuaciones son ecuaciones diferencialesde primer orden (estos grados de libertad se traducen en el potencial y en la arbitrariedad para definirlo). Si las ecuaciones soloinvolucraran a los campos en sı, no quedarıa ningun grado de libertad.

5Esta expresion para el potencial depende de que se defina el cero de potencial en el infinito. Por esta razon, la forma integraltıpica del potencial puede diverger cuando se trabajan distribuciones de carga no localizadas.


queda

∇2φ (r) = −4πKc

∫dq(r′)δ(r − r′

)= −4πKc

∫ρ(r′)δ(r− r′

)dV ′ = −4πKcρ (r)

Con lo cual queda∇2φ (r) = −4πKcρ (r) (1.11)

Conocida como la ecuacion de Poisson para el potencial escalar. Esta ecuacion tambien se puede obtener dela ley de Gauss en forma diferencial junto con la conservatividad del campo

∇ ·E = 4πKcρ (r) ⇒ ∇ · (−∇φ) = 4πKcρ (r) ⇒ ∇2φ (r) = −4πKcρ (r)

Para un conjunto de cargas puntuales qi ubicadas en las posiciones ri, se puede definir una densidadvolumetrica equivalente que me permite usar la formulacion en el contınuo, tal distribucion equivalentese describe por

ρ(r′)

=N∑

i=1

qiδ(r′−ri

)

Demostremos que el ρ equivalente para una distribucion discreta nos da el potencial correcto

φ (r) = Kc

∫ρ (r′)|r− r′|dV

′ = Kc

∑

i

qi

∫δ (r′−ri)

|r− r′| dV′ = Kc

∑

i

qi|r− ri|

por otro lado

∇×E = −∇× (∇φ) = 0 (1.12)

ya que el rotacional del gradiente de una funcion escalar bien comportada es siempre cero. Esta es otraforma equivalente de ver la conservatividad del campo, todos los campos conservativos son irrotacionales yviceversa (siempre y cuando el campo dependa exclusivamente de la posicion). Ahora usando el teorema deStokes ∫

S(∇×E) · dS =

∮

CE · dl = 0

donde S es cualquier superficie delimitada por el lazo cerrado C. Vemos entonces que toda integral de lıneacerrada del campo electrostatico es cero. Ahora sean dos caminos que pasan por los mismos puntos A y B ⇒

∮E · dl =

∫ B

AE · dl

∣∣∣∣C1

+

∫ A

BE · dl

∣∣∣∣C2

= 0

⇒∫ B

AE · dl

∣∣∣∣C1

−∫ B

AE · dl

∣∣∣∣C2

= 0

de lo cual se deduce que ∫ B

AE · dl

∣∣∣∣C1

=

∫ B

AE · dl

∣∣∣∣C2

y como los puntos A y B son arbitrarios (en virtud de la arbitrariedad de los lazos cerrados originales),se deduce que la integral de lınea del campo electrico es independiente del camino y solo depende delos extremos, es entonces un campo conservativo. Hay que tener especial cuidado con los campos malcomportados. Como ejemplo, sea F (r) = (A/r)uθ, una fuerza restringida a dos dimensiones. El diferencialde trabajo es dW = F · dr = (A/r)uθ · (dr ur + r dθ uθ) = (A/r) r dθ calculemos el trabajo para variastrayectorias

1) Trayectoria cuyos vectores posicion inicial y final estan a un angulo θ1 y θ2 respectivamente

W =

∫Adθ = A (θ2 − θ1)

1.2. LEY DE GAUSS 11

independiente de la trayectoria, solo importan los extremos e incluso solo el angulo (no la distancia)

2) Trayectoria cerrada que no encierra al origen

W =

∫ r2

r1

A dθ +

∫ r1

r2

A dθ = 0

da cero independiente de la forma especıfica de la trayectoria (siempre que no incluya el origen)3) Trayectoria cerrada que encierra al origen

W =

∫ 2π

0A dθ = 2πA 6= 0

Luego la fuerza no es conservativa, la cuestion es que ∇×F = 0 en todo el espacio excepto en el origen, demodo que un camino cerrado que contenga al origen no da necesariamente cero.

Se puede probar que un campo central de la forma E (r) = E (ρ) uρ con ρ en coordenadas esfericases conservativo si E (ρ) es una funcion bien comportada. Se puede calcular el rotacional de este campo yverificar que es cero en todo el espacio. De especial interes son los campos de la forma

M (r) = k

∫df (r′) (r− r′)

|r− r′|n+1 n = real

Se puede verificar que ∇×M = 0, y el potencial asociado se puede encontrar teniendo en cuenta que

(r− r′)

|r − r′|n+1 =

1

n−1∇(

1|r−r′|n−1

)si n 6= 1

∇ ln |r − r′| si n = 1

1.2.3. Potencial y trabajo

La coleccion de todos los puntos con el mismo potencial forman las llamadas superficies equipotenciales.Como E = −∇φ, las lıneas de campo son perpendiculares a tales superficies, y el campo va en la direccionen la cual el potencial disminuye, veamos el sentido Fısico del potencial: consideremos el trabajo realizadosobre una carga q puntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de un campoelectrico

Wa→b =

∫ b

aFext · dr = −q

∫ b

aE · dr = q

∫ b

a∇φ · dr

Wa→b = q

∫ b

adφ = q [φ (b) − φ (a)]

el signo menos proviene del hecho de que la fuerza se hace opuesta al campo. Dividiendo por la carga

Wa→b

q= φ (b) − φ (a) = −

∫ b

aE · dr

De modo que la diferencia de potencial asociada al campo E es el trabajo realizado sobre una carga unidadq puntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de dicho campo electrico.

Es importante mencionar que el trabajo solo depende de la diferencia de potencial y que E = −∇φ dejauna constante arbitraria por definir en el potencial. φ′ = φ + c describe la misma Fısica que φ. Esto sellama una transformacion Gauge o de calibracion (transformacion del campo). El campo y el trabajo soninvariantes Gauge. La forma mas general del potencial es entonces

φ (r) = Kc

∫ρ (r′) dV ′

|r− r′| + φ0


Para fijar la constante escojemos un punto de referencia para definir el cero de potencial. Tomemos el ejemplode la carga puntual; en coordenadas polares tenemos:

∫ b

aE · dr = KcQ

∫ b

a

1

r2ur · (dr ur + rdθ uθ) = Kc

∫ b

a

Q

r2dr = −Kc

Q

r

∣∣∣∣b

a

= KcQ

(1

ra− 1

rb

)= φ (a) − φ (b)

de modo que

φ (a) = KcQ

(1

ra− 1

rb

)+ φ (b)

si hacemos ra = r, rb → ∞ tenemos que

φ (r) =KcQ

r+ φ (∞)

la escogencia φ (∞) = 0 siempre es posible en distribuciones localizadas de carga, pues estas se ven de lejossiempre como puntuales. Cuando hay distribuciones de carga no localizadas como en el caso de un alambreinfinito, la escogencia del cero de potencial en el infinito conduce por lo general a divergencias.

Discusion: En general sı es posible definir el cero de potencial en un punto en el infinito incluso cuandola carga no esta localizada. Sin embargo, en tal caso no es correcto definir el potencial cero cuando r → ∞(r distancia del punto a un origen de coordenadas). La razon para ello es que r → ∞ no define un puntosino una superficie, y no debemos perder de vista que el potencial debe ser fijado en un punto y no enuna superficie. La pregunta natural es ¿porque la definicion del cero de potencial en r → ∞ es valida paradistribuciones localizadas?, la respuesta radica en el hecho de que para distancias suficientemente grandes, ladistribucion se puede ver como una carga puntual, esto significa que para una esfera suficientemente grandey “centrada” en la distribucion, la superficie de dicha esfera es equipotencial, de modo que definir cero elpotencial en un punto de su superficie equivale a definirlo cero en todos los puntos de la superficie. Cuandola distribucion no es localizada, no podemos verla como puntual, incluso alejandonos indefinidamente, portanto esta enorme esfera no define una superficie equipotencial.

Veamos el ejemplo especıfico de un alambre infinito, si ri define la distancia del punto Pi al alambre,tenemos que

φ21 = −∫ P2

P1

E · dS = −2λ ln r2 + 2λ ln r1 = −2λ ln r + const

Escogemos φ (a) = 0 con a arbitrario (a 6= 0, a 6= ∞). Si elegimos el cero de potencial en un punto especıficoen el infinito (por ejemplo el punto (0, 0, z → ∞)), vamos a obtener potenciales infinitos en todo el espacio.Sin embargo, las diferencias de potencial (que son los verdaderos observables fısicos) van a continuar siendofinitas. Hay que tener en cuenta sin embargo que las distribuciones reales son localizadas.

1.3. Energıa potencial electrostatica

Dado el caracter conservativo del campo electrostatico, el trabajo realizado para traer una carga desdea hasta b en un potencial externo φ (r) es

Wa→b = −q∫ b

aE · d~l = q [φ (b) − φ (a)]

De esta manera podemos asociar una energıa potencial a una carga q, en cada punto r del espacio, ysera equivalente al trabajo necesario para mover la carga desde un punto de referencia donde el potencial

1.3. ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTATICA 13

es cero hasta el punto r en cuestion6. Para distribuciones localizadas de carga es usual definir el cero depotencial en el infinito, en tal caso

W∞→r = qφ (r) = U (r) = energıa potencial asociada a la carga q

Calculemos ahora el trabajo necesario para formar una distribucion estatica de cargas puntuales.Para estimar este trabajo podemos razonar del siguiente modo: El trabajo necesario para traer la primera

carga es cero, ya que no hay fuerzas ni campos a los cuales oponerse, de modo que el trabajo necesario paratraer la primera carga (denotado por W1) es nulo. Al traer la segunda carga desde el infinito esta ya semueve en el campo generado por la primera, y como la primera carga genera un potencial φ1 (r) entonces eltrabajo para traer la segunda carga desde el infinito hasta una cierta posicion r2 es

W2 = q2φ1 = Kcq1q2r12

analogamente, la tercera carga se mueve en el campo generado por las dos primeras

W3 = q3 (φ1 + φ2) = Kcq3

(q1r13

+q2r23

)= Kc

(q1q3r13

+q2q3r23

)

si el sistema solo consta de tres cargas el trabajo total es

WT = W1 +W2 +W3 = Kc

(q1q2r12

+q1q3r13

+q2q3r23

)

esto sugiere que para n cargas la expresion sea

WT =n−1∑

i=1

n∑

k>i

Kcqiqkrik

se sugiere al lector demostrar la anterior expresion por induccion matematica. Tambien se deja al lector latarea de demostrar que este trabajo total coincide con el valor de la energıa potencial interna del sistemaUint, es decir la energıa potencial asociada con las fuerzas internas. Esta expresion se puede escribir como

WT = Uint =1

2

n∑

i=1

n∑

k 6=i

Kcqiqkrik

(1.13)

donde el factor 1/2 se coloca debido al doble conteo de terminos, ademas k 6= i lo cual implica que unapartıcula no interactua consigo misma. Por otro lado, si tenemos en cuenta que

φi =n∑

k 6=i

Kcqkrik

donde φi es el potencial asociado a la carga qi debido a su interaccion con las otras cargas. La energıa internase puede escribir como

Uint =1

2

n∑

i=1

qiφi (1.14)

Esta expresion no contiene la autoenergıa asociada a cada carga individual, pues asume que las cargas yaestan armadas, esto se ve en el hecho de que φi es el potencial debido a todas las cargas excepto la i− esima.Solo contiene los terminos debidos a la interaccion entre las cargas. Estas autoenergıas son divergentes perose pueden renormalizar. Como veremos mas adelante, cuando asumimos distribuciones contınuas de cargasestos terminos de autoenergıa aparecen en la formulacion sin dar divergencias (siempre y cuando la densidadsea finita en todo el espacio).

6Esto es analogo a la energıa potencial asociada a una partıcula en un campo gravitatorio. Cuando estamos en un campogravitatorio constante la energıa potencial es mgh donde h = 0 se define por ejemplo en el suelo. Esta energıa potencial esjustamente el trabajo necesario para que una partıcula de masa m se traslade desde el cero de potencial hasta un punto conaltura h.


1.3.1. Distribuciones contınuas de carga

Formaremos la distribucion volumetrica trayendo elementos diferenciales de carga desde el infinito. Lanaturaleza conservativa de las interacciones electrostaticas nos garantiza que la energıa total final de ladistribucion es independiente del orden en que se traigan las cargas (de lo contrario esta cantidad no tendrıaningun significado intrınseco).

Pensemos que queremos concentrarnos en armar la carga que finalmente quedara en un volumen dV (r),denotemos el valor final de la densidad asociada a dV (r) como ρ (r). Supongamos que en cierta etapa delproceso hemos acumulado una carga dq ′ en el volumen dV (r), por lo tanto se tiene que dq ′ = ρ′ (r) dV (r)de modo que ρ′ (r) es la densidad de carga en r en esta etapa del proceso. Parametricemos ρ′ (r) = αρ (r)donde 0 ≤ α ≤ 1. Si asumimos que α es independiente de la posicion y tomamos la ecuacion de Poisson∇2φ (r) = −4πKcρ ⇒ ∇2 [αφ ( r)] = −4πKc (αρ) y como ∇2φ′ (r) = −4πKcρ

′ = −4πKc (αρ) se concluyeque φ′ (r) = αφ (r).

Ahora traemos desde el infinito una carga adicional dq hasta el elemento de volumen dV (r), la carga eneste volumen es ahora dq” (r) = (α+ dα) ρ (r) dV (r). El incremento es claramente dq (r) = (dα) ρ (r) dV (r).El trabajo realizado para traer dq es

dW = φ′ (r) dq = [αφ (r)] [(dα) ρ (r) dV (r)] = αdα ρ (r)φ (r) dV (r)

Ahora bien, para traer elementos dq (r) para cada elemento de volumen dV (r) se requiere un trabajo

dW ′ = α dα

∫

Vρ (r)φ (r) dV (r)

este trabajo aun no es el trabajo total, ya que todavıa falta seguir trayendo cargas diferenciales a cadaelemento de volumen hasta completar la carga total que debe tener cada dV (r), es decir hasta que ladensidad sea ρ (r). Esto se describe matematicamente integrando en α desde cero hasta uno.

W =

∫ 1

0α dα

∫

Vρ (r)φ (r) dV (r)

W =1

2

∫

Vρ (r)φ (r) dV (1.15)

observese que hemos supuesto que α no depende del elemento de volumen en el cual este definido, es decirno depende de la posicion. Esto simplemente implica que para cada elemento de volumen se trae un dq (r)que contenga la misma fraccion de la carga total final en cada elemento de volumen, pero como el metodo deconstruccion no afecta, esto no le quita generalidad al problema. Se puede observar que la expresion (1.15)coincide con el paso al contınuo de la expresion (1.14).

La integral de volumen se realiza solo donde hay carga. Sin embargo, la integral se puede extender sobretodo el espacio teniendo en cuenta que en las regiones donde no hay carga ρ = 0, y no van a contribuir. Alusar todo el espacio podemos escribir

φ (r) =

∫ρ (r′) dV ′

|r− r′| (1.16)

de modo que

Uint =1

2

∫ ∫ρ (r) ρ (r′) dV dV ′

|r− r′|que coincide con el paso al contınuo de (1.13). Este metodo de calculo nos asocia la energıa directamente alas cargas, como si la energıa residiera en las cargas ya que en los sitios de ρ = 0 no hay contribucion a U int.

Un desarrollo adicional permite asociar la energıa con el campo electrostatico (como si la energıa residieraen el campo). Partiendo de (1.15) escribimos

Uint =1

2

∫

Vρφ dV =

1

8πKc

∫

V(4πKcρ)φ dV =

1

8πKc

∫

Vφ (∇ · E) dV

=1

8πKc

∫

V[∇ · (Eφ) −E · ∇φ] dV

1.3. ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTATICA 15

usando el teorema de la divergencia y el hecho de que E = −∇φ

W =1

8πKc

∫Eφ·dS +

1

8πKc

∫E2dV (1.17)

Para dilucidar sobre que volumen estamos integrando, recordemos que se partio de la Ec. (1.15). Por tantoel volumen de integracion es aquel que contiene a toda la distribucion de carga. Sin embargo, podemosextender el volumen sin alterar la integral puesto que las partes del volumen que no contienen carga nocontribuyen a dicha integral. En consecuencia, la expresion (1.17), es valida para cualquier volumen ysuperficie que lo delimita, siempre y cuando toda la carga este contenida en el volumen. Una eleccion astutapara distribuciones localizadas de carga es extender el volumen y la superficie hasta el infinito de modo queE ' Q/r2, φ ' Q/r y S ∼ r2 de modo que todo el integrando de superficie se comporta como 1/r y tiendea cero. Finalmente tenemos

W =1

8πKc

∫

todo el espacioE2dV (1.18)

De modo que la energıa aparece como almacenada en el campo. Esta interpretacion nos permite definir ladensidad de energıa del campo electrostatico como

ε ≡ E2

8πKc; Uint =

∫ε dV

Queda la pregunta, A que se asocia la energıa a las cargas o al campo?, la respuesta es que la energıase asocia al sistema de partıculas pero no se puede asociar a porciones de carga o a porciones del espacio(el termino E2/8πKc que definimos como densidad de energıa, no se puede medir experimentalmente7). Apriori podrıamos pensar que a cada carga se le puede asociar una porcion de esta energıa, si esto es posibledebe ser de una manera unıvoca. Pensemos que al armar un sistema de cargas puntuales asociamos a cadapartıcula la porcion de energıa asociada al potencial en el cual se movio cuando se trajo desde el infinito, enese caso a la primera no le corresponde nada, a la segunda le corresponde la energıa necesaria para traerladesde el infinito hasta el punto donde se dejo, lo cual se hizo en presencia del campo generado por la primeracarga y ası sucesivamente, pero esta forma no es unıvoca ya que las cargas se pueden traer en cualquierorden y las porciones asignadas son diferentes para cada orden.

En conclusion, las interpretaciones como energıa asociada a la carga o al campo son solo metodos decalculo, en la primera interpretacion con cargas solo importa el espacio que tiene carga, en el segundo soloimportan las regiones donde hay campo. Son dos formas diferentes de sumar, ası como lo son las diferentesmaneras de traer las cargas, pero el metodo particular de hacer la suma no tiene significado intrınseco8.

Cuando intentamos calcular la energıa potencial de una distribucion de cargas puntuales a traves dela expresion (1.18) obtenemos divergencias debido a la autoenergıas de las partıculas. Veamos un ejemploconcreto: dos cargas puntuales q1, q2 ubicadas en las coordenadas r1 y r2. El campo electrico esta descritopor

E = Kc

[q1 (r− r1)

|r− r1|3+q2 (r− r2)

|r− r2|3]

E2

8πKc=

K2c q

21

8πKc |r− r1|4+

K2c q

22

8πKc |r− r2|4+K2c q1q2 (r− r1) · (r− r2)

4πKc |r− r1|3 |r − r2|3

los dos primeros terminos correspondientes a la autoenergıa de las partıculas son intrınsecos de las partıculasy no se intercambian ni se modifican por el hecho de que las partıculas se muevan, solo podrıan ser relevantes

7Observese ademas que la Ec. (1.15) nos brinda otra posible definicion de densidad de energıa i.e. ε = 12ρφ. De acuerdo

con esta definicion la densidad de energıa en las regiones sin carga es cero, lo cual en general no es cierto cuando asumimosε = E2/8πKc.

8Cuando estudiemos campos dependientes del tiempo, veremos que la forma E2/8π es la mas adecuada para definir densidadde energıa. Pero en el caso estatico, la densidad de energıa no tiene significado Fısico, debido a que ninguna porcion de volumenesta intercambiando energıa con otra.


si la interaccion entre las partıculas es tan fuerte que revela su estructura interna, en cuyo caso tenemosque abandonar la abstraccion de partıculas puntuales. Las autoenergıas divergen debido a que se producensingularidades para r → r1 y para r → r2. El ultimo termino se debe a la interaccion entre las dos partıculasy se puede calcular de la forma siguiente.

Kc

∫q1q2 (r − r1) · (r − r2)

4π |r− r1|3 |r − r2|3dV =

Kcq1q24π

∫∇(

1

|r − r1|

)· ∇(

1

|r− r2|

)dV

=Kcq1q2

4π

∫∇ ·[

1

|r − r1|∇(

1

|r − r2|

)]dV −

∫∇2

[(1

|r − r2|

)]1

|r− r1|dV

=Kcq1q2

4π

∫ [1

|r− r1|∇(

1

|r− r2|

)]· dS + 4π

∫δ (r− r2)

1

|r − r1|dV

=Kcq1q2

4π

∫ [(r− r2)

|r− r1| |r − r2|3]· dS + 4π

1

|r2 − r1|

como la carga es localizada, la superficie donde se define la primera integral es el infinito en el cual elintegrando decae como 1/r3 en tanto que la superficie crece como r2 de modo que esta integral de anula. Eltermino de interaccion queda

Uint =Kcq1q2|r2 − r1|

el cual coincide con el calculo ya realizado en el caso discreto, Ec. (1.14). Sin embargo, cuando se usa (1.14),no resultan los infinitos de autoenergıa como ya se discutio, la razon es que en el caso discreto el potencial φ iexcluye la contribucion de autointeraccion. En contraste, se puede ver que en el caso contınuo descrito por(1.15), el potencial φ (r) sı incluye la contribucion del diferencial de carga centrado en r. Cuando la densidades bien comportada, la inclusion de este termino no afecta el resultado ya que es despreciable, pero parapuntos en donde la densidad tiene singularidades (como en cargas puntuales), estas contribuciones divergen9.

————————————————-

Calculemos ahora la fuerza experimentada por la superficie de un conductor de carga superficial σ eneste caso la densidad y el campo electrico estan relacionados de modo que

ε =E2

8πKc=

2π

Kcσ2

para llevar un elemento de superficie de 1 a 2 se realiza un trabajo ∆W = ∆F ∆x = ε∆V

∆F =ε∆V

∆x= ε∆A⇒ ∆F

∆A= ε =

2π

Kcσ2

este resultado tambien se puede derivar tomando εσ teniendo presente que el campo electrico debido alelemento mismo debe ser excluıdo (Jackson second ed. pag. 48).

1.4. Ecuaciones de campo

Tenemos las dos ecuaciones de campo

∇ ·E = 4πKcρ (r) ; ∇×E = 0 (1.19)

9Observese por ejemplo que si las cargas q1 y q2 son de signo opuesto, el calculo con (1.14) da un valor negativo en tantoque la Ec. (1.18) esta definida positiva. Esto se debe a que las autoenergıas son divergentes positivas.

1.4. ECUACIONES DE CAMPO 17

El conocimiento de la divergencia y el rotacional de un campo especifican el valor del campo salvo por unfactor adicional que serıa el gradiente de una funcion escalar que satisfaga la ecuacion de Laplace en todoel espacio. Es decir si E es solucion de estas ecuaciones vectoriales entonces E ′ tambien es solucion si

E′ = E + ∇ϕ con ∇2ϕ = 0 en todo el espacio

pero si ∇2ϕ = 0 en todo el espacio entonces ϕ puede ser a lo mas una constante, de modo que E ′ = E. Sinembargo, en la mayorıa de problemas reales de la Fısica, conocemos la densidad ρ solo en una cierta region Rdel espacio. En tal caso conocemos la divergencia y el rotacional del campo electrostatico pero solo dentrode la region R. Esto nos indica que ∇2ϕ = 0 en la region R, pero no necesariamente en todo el espacio, locual implica que la solucion para ϕ puede ser no trivial y tenemos problemas con la unicidad de E. Desdeel punto de vista Fısico, esto es de esperarse puesto que el conocimiento de la densidad en cierta region delespacio, no nos excluye de la influencia de las densidades externas, las cuales por principio de superposiciontambien afectaran el campo. Este sencillo argumento Fısico nos dice que hay infinitas soluciones para Ecuando solo se conoce la densidad en una cierta region del espacio. Esto indica que las ecuaciones anterioressolo son utiles en alguno de los siguientes casos

Conocemos la distribucion de carga en todo el universo

La distribucion de carga en R esta lo suficientemente aislada de otras cargas, con lo cual asumir que ladensidad de carga es ρ (r) en el interior de R y cero fuera de R constituye una aproximacion razonable.

Conocemos la densidad de carga en R e ignoramos la carga fuera de dicha region, pero en cambioconocemos ciertas condiciones en la frontera de R que hacen que la solucion de la ecuaciones anterioressean unicas.

Esta ultima posibilidad esta inspirada en un argumento Fısico y otro Matematico. Fısicamente, sabemosque en algunos sistemas como los conductores electrostaticos, aunque no conozcamos la distribucion de cargaexterior, conocemos ciertos efectos netos que la interaccion de la carga externa con la interna producen:que la superficie del conductor sea un equipotencial. Desde el punto de vista matematico, sabemos quelas ecuaciones diferenciales parciales tienen solucion unica bajo cierto tipo especıfico de condiciones en lafrontera.

Como ya vimos, las ecuaciones (1.19) se pueden sintetizar en una sola: la ecuacion de Poisson (1.11),que en el caso homogeneo se reduce a la ecuacion de Laplace. Esta ecuacion muestra de nuevo las ventajasde trabajar con el potencial

1. La ecuacion para el potencial (Poisson o Laplace) es una sola, en tanto que las ecuaciones de loscampos son dos (divergencia y rotacional).

2. Esta unica ecuacion se define sobre un campo escalar, y no sobre un campo vectorial.

3. En esta ecuacion es mas facil acomodar las condiciones de frontera.

1.4.1. Calculo de campos

Hay varias tecnicas para calcular campos electrostaticos

1. Utilizando E (r) = Kc

∫ ρ(r′) (r−r′)

|r−r′|3 dV ′ para usarla requerimos saber la distribucion de carga en el

universo, o hacer la aproximacion de que la distribucion de carga que conocemos es la unica en eluniverso (i.e. asumir que el sistema en cuestion esta lo suficientemente aislado)..

2. Usar φ (r) = Kc

∫ ρ(r′)|r−r′|dV

′ + φ0 y luego E = −∇φ se usa bajo las mismas condiciones anteriores perocon la ventaja de que se realiza una integracion escalar y no vectorial.


3. Utilizando ley de Gauss∮

E·dS = 4πKcq, aunque tiene validez general, solo es util para casos especialescon muy alta simetrıa. Especıficamente, su utilidad se restringe al caso en el cual se conoce la formade las superficies equipotenciales. En caso contrario resulta ser una ecuacion integral muy difıcil deresolver.

4. Metodo de imagenes: tambien aplicable solo bajo simetrıas muy especiales. Requiere del conocimientode algunas superficies equipotenciales.

5. Usando las formas diferenciales ∇2φ = −4πKcρ, o ∇2φ = 0, junto con ciertas condiciones de frontera,como veremos este es el metodo mas fructıfero.

6. Usando el metodo de transformaciones conformes: Aplicacion de la teorıa de la variable compleja a laecuacion de Laplace. Solo vale para problemas bidimensionales y es en la practica aplicable solo paraproblemas con alta simetrıa.

Con mucha frecuencia lo que conocemos es la distribucion de carga en el interior y cierta condicion sobrela frontera, pero desconocemos la distribucion de carga en el exterior y en la frontera. Es en estos casos endonde la ecuacion de Poisson con condiciones de frontera resulta provechosa.

Veamos un caso particular

Example 1 Placa plana conductora infinita que yace a potencial cero sobre el plano XY, y una carga q enz = h. Al tratar de usar los metodos tradicionales se tiene

φ (r) = Kc

∫ρ (r′) dV ′

|r− r′| + φ0 ; ρ(r′)

= qδ(r′)

+ ρ′(r′)

= qδ(r′)

+ σ(r′)δ (z)

donde ρ′ (r′) es la carga volumetrica equivalente a la carga superficial σ (r′). El potencial queda

φ (r) = Kcq

∫δ (x′) δ (y′) δ (z′ − h) dV ′

√(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

+Kc

∫ρ′ (r′) dV ′

|r − r′| + φ0

φ (r) =Kcq√

x2 + y2 + (z − h)2+Kc

∫σ (r′) δ (z) dV ′

|r − r′| + φ0

pero σ (r′) es desconocido y no se puede inferir facilmente con la informacion sobre el potencial (φ = 0en z = 0), lo maximo que podemos hacer es reducir la integral por medio de la delta de dirac usandocoordenadas cartesianas o cilındricas (la simetrıa indica en todo caso que las coordenadas cilındricas sonmas apropiadas). Tambien podemos decir que por simetrıa la densidad en el plano es solo funcion de ladistancia al origen, con esto la integral triple se convierte en simple pero no es suficiente para realizar elultimo paso.

En general, las formas integrales no pueden incluır facilmente las condiciones de frontera. En este casoparticular conocemos facilmente una superficie equipotencial del sistema (plano XY) y se puede usar elmetodo de imagenes, pero en casos mas complejos el metodo resulta inmanejable.

Ahora consideremos el uso de las formas diferenciales. La ecuacion de Laplace se puede resolver porseparacion de variables en 11 sistemas coordenados diferentes que incluyen practicamente todos los sistemascoordenados de interes fısico. Las constantes de integracion usualmente se acoplan con facilidad a las condi-ciones de frontera y las soluciones pueden generalmente expresarse con facilidad en terminos de funcionesortogonales. Por supuesto, tal ecuacion solo es valida en regiones con ausencia de carga.

La ecuacion de Poisson que nos permite solucionar el problema estatico mas general, es una ecuacioninhomogenea y no admite separacion de variables salvo en caso muy simples. Sin embargo, la tecnica deGreen que veremos mas adelante, hace que el metodo sea mas manejable.

1.5. UNICIDAD DEL POTENCIAL CON CONDICIONES DE DIRICHLET Y NEUMANN 19

1.5. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann

En general la solucion de las ecuaciones diferenciales parciales requiere de condiciones de frontera. En elcaso especıfico electrostatico, con frecuencia se conoce el potencial en la superficie (condiciones de Dirichlet) ola componente normal del campo (equivalentemente la derivada normal del potencial). Si estas condiciones sedefinen sobre una superficie cerrada S que delimita a un volumen V , la solucion es unica como demostraremosa continuacion.

Desarrollemos un par de identidades integrales, partiendo del teorema de la divergencia∫

∇ · A =

∮A · dS

y tomando A = φ∇ψ, donde por el momento φ, ψ son campos escalares arbitrarios, reemplazando estaexpresion en el teorema de la divergencia

∫ [φ∇2ψ + ∇ψ · ∇φ

]dV =

∮[φ∇ψ] · dS (1.20)

La Ec. (1.20) se conoce como primera identidad de Green. Escribiendo de nuevo esta identidad con elintercambio ψ ↔ φ, y restando

∫ [φ∇2ψ − ψ∇2φ

]dV =

∮[φ∇ψ − ψ∇φ] · dS (1.21)

Esta expresion se conoce como segunda identidad de Green o teorema de Green. Notese que es fundamentalque la superficie sea cerrada ya que partimos del teorema de la divergencia. Lo que se busca es demostrarla unicidad de la solucion de la ecuacion de Poisson dentro de un volumen sujeto a condiciones de fronterasobre S de Dirichlet o Neumann.

Para realizar esta demostracion supongamos que existen dos soluciones φ1 y φ2 que satisfacen la ecuacionde Poisson y las mismas condiciones de frontera.

1. Para Dirichlet: φ1|S = φ2|S = φS

2. Para Neumann: ∂φ1

∂n

∣∣∣S

= ∂φ2

∂n

∣∣∣S

= ∂φS

∂n

Sea U ≡ φ2 − φ1, entonces ∇2U = ∇2φ2 −∇2φ1 = −4πKcρ+ 4πKcρ = 0

1. US = φ2|S − φ1|S = 0 (Dirichlet)

2. ∂US

∂n = ∂φ2

∂n

∣∣∣S− ∂φ1

∂n

∣∣∣S

= 0 (Neumann).

Usando la primera identidad de Green (1.20) con φ = ψ = U se obtiene

∫ [U∇2U︸︷︷︸

=0

+ |∇U |2]dV =

∮[U∇U ] · ndS

pero ∇U · n = ∂U/∂n y tenemos ∫|∇U |2 dV =

∮ [U∂U

∂n

]dS

La integral de superficie es cero tanto para condiciones de Dirichlet (US = 0), como de Neumann (∂US/∂n).De modo que ∫

|∇U |2 dV = 0 ⇒ ∇U = 0

puesto que |∇U |2 dV ≥ 0. Esto nos indica que U = cte.


1. Condiciones de Dirichlet: φ2|S = φ1|S ⇒ US = 0 = cte. Por tanto U = 0 y la solucion es unica.

2. Neumann: ∂US

∂n = 0 =∂(φ2−φ1)S

∂n ⇒ φ2 − φ1 = cte.

Estos resultados son logicos ya que el conocimiento de φ en la superficie requiere de haber definido elcero de potencial en tanto que el conocimiento de la derivada aun deja la constante arbitraria sin fijar.

En general la especificacion de condiciones de Neumann y Dirichlet simultaneamente sobre una region dela superficie conduce a contradiccion. Sin embargo, la unicidad de la solucion (salvo una posible constante),se sigue cumpliendo si empleamos condiciones mixtas, en donde las regiones de Dirichlet y Neumann seandisyuntas. Vale mencionar que estos teoremas de unicidad son teoremas matematicos validos para funcionesescalares arbitrarias φ y ρ que cumplan con la ecuacion de Poisson, aunque estas funciones no tengan ningunarelacion con problemas electrostaticos.

1.6. Teoremas de unicidad para campo vectoriales

Como corolario de los anteriores teoremas de unicidad obtenemos el siguiente teorema de unicidad paraun campo vectorial (en nuestro caso los campos vectoriales de interes seran el campo electrico y el campomagnetico)

Theorem 2 Un campo vectorial esta unıvocamente especificado si se conocen la divergencia y el rotacionaldentro de una region simplemente conexa y su componente normal en la superficie que delimita a dicharegion.

Asumamos que en la region en cuestion la divergencia y el rotacional del campo vectorial V esta dadapor

∇ ·V = s ; ∇×V1 = c (1.22)

a s usualmente se le llama un termino de fuente (densidad de carga en nuestro caso) y a c una densidadde circulacion (densidad de corriente en nuestro caso). Asumiendo que conocemos V1n en la superficie quedelimita la region, asumamos que existen dos soluciones V1 y V2 definimos

W = V1 −V2

claramente el rotacional y divergencia de W son nulos

∇ ·W = 0 ; ∇×W = 0 (1.23)

dado que W es irrotacional, podemos expresarlo como

W = −∇φ (1.24)

y tomando la divergencia a ambos lados de (1.24) y teniendo en cuenta (1.23) queda

∇ · W = −∇ · ∇φ = 0 ⇒ ∇2φ = 0

claramente tenemos queWn,s = V1n,s − V2n,s = 0

y

Wn,s = (W · n)s = − ∇φ · n|s = − ∂φ

∂n

∣∣∣∣s

= 0

con lo cual la ecuacion para el escalar φ junto con sus condiciones de frontera son

∇2φ = 0 ;∂φ

∂n

∣∣∣∣S

= 0

1.7. TEOREMA DE HELMHOLTZ 21

es decir ecuacion de Laplace con condiciones de Neumann. Por los teoremas de la seccion anterior, la solucionpara φ es unica salvo por una constante aditiva, por tanto su gradiente es unico y W = 0 en toda la regioncon lo cual V1 = V2 y el campo vectorial es unico. Es necesario enfatizar que estos teoremas de unicidadson validos para campos escalares y vectoriales arbitrarios y no solo para el potencial o el campo electrico.

Como comentario final, para campos escalares el conocimiento de las condiciones en el potencial o suderivada normal en la superficie, constituyen una condicion de suficiencia pero no de necesidad, en realidadexisten multiples condiciones posibles de unicidad. Un argumento similar se sigue para campos vectoriales.A manera de ilustracion de este hecho, en el apendice A, se demuestra que dada una region equipotencialcerrada S, dentro de la cual hay un conjunto de n conductores, el campo electrico esta unıvocamentedeterminado en la region comprendida entre los conductores y la region encerrada por S, si se conocen (a)la carga neta total de cada conductor Qi, i = 1, ..., n (b) la densidad de carga en la region comprendidaentre los conductores y el interior de S 10. Por supuesto, si los conductores carecen de cavidades, se conoceen principio el campo en casi todo el interior de S, puesto que en el interior de los conductores el campo escero. Los unicos puntos conflictivos para la evaluacion del campo son los de la superficie de los conductores,ya que la carga superficial produce un discontinuidad del campo en estos puntos.

Vamos a discutir ahora un teorema que sera de gran utilidad cuando trabajemos campos dependientesdel tiempo pero que de nuevo es valido para campos vectoriales arbitrarios

1.7. Teorema de Helmholtz

Antes que nada debemos hacer algunas definiciones: Cuando la divergencia de un campo vectorial seanula, diremos que el campo es solenoidal. Similarmente cuando el rotacional de un campo sea nulo, diremosque es un campo irrotacional. El teorema de Helmholtz nos dice que

Theorem 3 Si la divergencia y el rotacional de un campo vectorial F (r) estan especificados en todo elespacio por las funciones D (r) y C (r) respectivamente, y si ambas funciones tienden a cero mas rapidoque 1/r2 cuando r → ∞, entonces F (r) se puede escribir como la suma de un campo irrotacional con otrocampo solenoidal. Si adicionalmente, se exige que F (r) → 0 cuando r → ∞ entonces la funcion F (r) esunica (Teorema de Helmholtz).

Demostracion: Tomemos la divergencia y el rotacional de F

∇ · F = D

∇× F = C

dado que la divergencia de un rotacional de un funcion de clase C 2 debe ser cero, se tiene que por consistenciael campo C (r) debe ser solenoidal. Escribiremos un ansatz para F de modo que quede la suma de un terminoirrotacional y otro solenoidal

F = −∇U + ∇×W (1.25)

Definamos las funciones

U (r) ≡ 1

4π

∫D (r′)|r − r′| dV

′ ; W (r) ≡ 1

4π

∫C (r′)|r− r′| dV

′ (1.26)

donde las integrales se definen en todo el espacio. Notese que estas funciones tienen estructura similar a lospotenciales. Calculemos la divergencia de F

∇ · F = −∇2U = − 1

4π

∫D ∇2

(1

|r− r′|

)dV ′ =

∫D(r′)δ3(r− r′

)dV ′ = D (r)

10Es probablemente mas conveniente estudiar este teorema en detalle despues del estudio del capıtulo 3


hemos usado el hecho de que la divergencia de un rotacional es cero. La divergencia reproduce el valoradecuado. Veamos lo que ocurre con el rotacional

∇× F = ∇× (∇×W) = −∇2W + ∇ (∇ ·W)

hemos usado el hecho de que el rotacional de un gradiente es cero. Calculemos entonces cada termino usandola forma explıcita de W

−∇2W = − 1

4π

∫C ∇2

(1

|r− r′|

)dV ′ =

∫C(r′)δ3(r− r′

)dV ′ = C (r)

∇ · W =1

4π

∫C · ∇

(1

|r− r′|

)dV ′ = − 1

4π

∫C · ∇′

(1

|r− r′|

)dV ′

∇ · W =1

4π

∫1

|r− r′|(∇′ ·C

)dV ′ − 1

4π

∮1

|r− r′|C · da (1.27)

dado que −∇2W ya reproduce el valor correcto del rotacional, es condicion de suficiencia (no de necesidad)que ∇ · W sea cero para que el ansatz (1.25) sea consistente. El primer termino integral de la derecha en(1.27) se anula porque C debe ser solenoidal. Ası mismo es condicion suficiente para la anulacion de lasegunda integral si imponemos que C vaya a cero con r → ∞ mas rapido que 1/r2. Adicionalmente, esnecesario que las integrales (1.26) converjan para que las funciones U y W existan. En el lımite r ′ → ∞, setiene |r − r′| ∼= r′ y las integrales adquieren la forma

∫ ∞ X (r′)r′

r′2 dr′ =

∫ ∞r′X

(r′)dr′

siedno X cualquiera de los campo D o C. Notese que si X (r ′) ∼ 1/r′2 la integral es aun logarıtmica, perocualquier potencia de la forma 1/rn+k con k > 0 permite la convergencia de esta integral. Por tanto, escondicion de suficiencia que F decrezca mas rapido que 1/r2 en su regimen asintotico.

Se observa que si agregamos a F una funcion M tal que

F′ = F + M ; ∇×M = ∇ · M = 0

la nueva F′ tiene la misma divergencia y rotacional que F. Pero si exigimos que F (r) → 0 cuando r → ∞el campo M debe ser cero en el infinito con lo cual M = 0 en todo el espacio por unicidad y F es unico.Basicamente hemos agragado una condicion de contorno para garantizar la unicidad de la solucion.

Notese que de este teorema se desprende un corolario interesante que se obtiene de las ecuaciones (1.25,1.26):

Corollary 4 Cualquier funcion diferenciable F (r) que va a cero mas rapido que 1/r cuando r → ∞ sepuede expresar como el gradiente de un escalar mas el rotacional de un vector

F (r) = ∇(− 1

4π

∫ ∇′ · F (r′)|r− r′| dV ′

)+ ∇×

(1

4π

∫ ∇′ × F (r′)|r − r′| dV ′

)

1.8. Discontinuidades en el campo electrico y en el potencial

Asumamos la existencia de una interfaz bidimensional con una cierta distribucion de carga superficial.Tomemos una superficie gaussiana que cruza la superficie de la interfaz. Esta superficie gaussiana es tal quesu altura es diferencial y sus tapas (de tamano finito) a lado y lado de la interfaz, son localmente paralelasa la superficie de la interfaz. Como la altura es diferencial, despreciamos el flujo lateral y solo se considerael flujo por las tapas, usando ley de Gauss tenemos

∮E · dS =

∫E1 · dS1 +

∫E2 · dS2 =

∫E1 · n1 dS1 +

∫E2 · (−n1) dS1 = 4πKcq = 4π

∫σ dS1

1.8. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO ELECTRICO Y EN EL POTENCIAL 23

donde hemos tenido en cuenta que al ser la altura diferencial, las tapas y la superficie de la interfaz encerradason todas iguales. Adicionalmente, la altura diferencial junto con el hecho de que las tapas sean localmenteparalelas a la superficie nos garantizan que n1 = −n2.

∫(E1 −E2) · n1 dS1 = 4πKc

∫σ dS1

como esto es valido para cualquier tamano y forma de la superficie de las tapas (siempre y cuando lasuperficie no sea infinitesimal), se concluye que

(E1 −E2) · n1 = 4πKcσ

Esta ecuacion me indica que hay una discontinuidad de la componente normal del campo cuando consider-amos una superficie con una cierta densidad superficial, pues debemos recordar que E1 y E2 estan evaluadosarbitrariamente cerca a la interface, aunque en lados opuestos.

Observese que si existe ademas una densidad volumetrica en el entorno de la interfaz el resultado nose afecta. La razon es que la cantidad de carga volumetrica encerrada en la superficie gaussiana tenderıa acero, mas no la densidad superficial encerrada. Esto nos indica que la singularidad inherente a la naturalezasuperficial de la carga es lo que me produce la discontinuidad. Efectivamente, si en vez de considerar unasuperficie consideramos una capa muy delgada pero con volumen, la discontinuidad desaparece y se vereemplazada por un cambio brusco pero contınuo del campo (ver Berkeley vol II segunda ed. seccion 1.14).

Usando la naturaleza conservativa del campo electrostatico podemos demostrar que la componente par-alela es contınua. Partiendo de la expresion

∮E · dr = 0

formemos un lazo cerrado con dos lados perpendiculares a la superficie y de longitud diferencial, los otros doslados seran finitos y localmente paralelos a la superficie. Solo los lados paralelos contribuyen a la circulacion

∮E · dr = 0 =

∫E1 · dr1 +

∫E2 · dr2 =

∫E1 · dr1 +

∫E2 · (−dr1)

0 =

∫(E1 −E2) · dr1

en este caso el producto punto da la componente paralela

0 =

∫ (E1,‖ −E2,‖

)· dr1

y como la relacion es valida para cualquier longitud y orientacion localmente paralela del lazo, se concluyeque

E1,‖ = E2,‖

veamos lo que ocurre con el potencial, si φ tuviera discontinuidades en algun punto, entonces en ese puntotendrıamos que |∇φ| → ∞ y la magnitud del campo no estarıa acotada. Observemos sin embargo, queel valor del campo esta acotado aunque sea discontınuo, por lo tanto el potencial es contınuo en todaspartes, pero no es derivable en los puntos sobre la superficie, y esta no derivabilidad es la que produce ladiscontinuidad en la componente normal del campo.

Como veremos en el capıtulo 3, en el caso de un conductor perfecto donde la interfaz es cerrada y definela superficie del conductor, se tiene que el campo en el interior es cero (digamos E2 = 0) ademas el campoes perpendicular a la superficie en la vecindad exterior a esta, de modo que E1 · n1 = E1 con lo cual ladiscontinuidad queda

E1 = 4πKcσ ⇒ σ =E1

4πKc


o en terminos del potencial

σ =E1

4πKc=

E1 · n1

4πKc= −∇φ · n1

4πKc(1.28)

∇φ · n1 es la derivada direccional del potencial en la direccion normal hacia afuera del conductor.

σ = − 1

4πKc

∂φ

∂n1(1.29)

Existen adicionalmente, casos en los cuales aparece discontinuidad del potencial, debidos a singularidades“de orden superior” a la correspondiente a una distribucion superficial de carga. Tal es el caso de distribu-ciones lineales, puntuales o de capas dipolares. Analizaremos este ultimo caso debido a su importanciaposterior en la interpretacion de la formulacion de Green para el potencial

1.8.1. Capa dipolar superficial

Pensemos en una capa de densidad superficial σ y otra muy cercana (y localmente paralela) de densidadde carga −σ. Si nos concentramos en un par de elementos diferencial de area da ′ que estan en contraposicion,podemos ver este par de elementos como un dipolo puntual; para usar la aproximacion de dipolo es necesarioasumir que la distancia entre las capas tiende a cero en tanto que la densidad superficial σ (r ′) tiende ainfinito, de tal manera que podamos definir una densidad superficial de momento dipolar finito D (r ′) atraves del producto

lımd(r)→∞

σ (r) d (r) ≡ D(r′)

este momento dipolar va en la direccion normal a la superficie y en el sentido desdes las cargas negativas alas positivas. El calculo del potencial se puede realizar de manera directa

φ (r) =

∫σ (r′) dA′

|r− r′| −∫

σ (r′) dA′

|r− r′ + nd|

vamos a asumir que |r− r′| >> |nd| con lo cual tenemos

1

|r− r′ + nd| =1√

(r − r′)2 + 2 (r− r′) · nd+ d2

≈ 1√(r− r′)2 + 2 (r− r′) · nd

=1

|r − r′|√

1 + 2(r−r′)·nd|r−r′|2

usando 1√1+2x

≈ 1 − x si x << 1.

1

|r − r′ + nd| ≈1

|r− r′|

[1 − (r− r′) · nd

|r− r′|2]

usando esta aproximacion en el potencial

φ (r) =

∫σ (r′)|r− r′| dA

′[1 − 1 +

(r− r′) · nd|r − r′|2

]

φ (r) =

∫σ (r′) (r− r′) · nd

|r − r′|3dA′ =

∫σ(r′)d︸︷︷︸

D(r′)

[(r− r′) · ndA′

|r− r′|3]

︸︷︷︸dΩ

φ (r) =

∫D(r′)dΩ

el angulo solido se mide con respecto al origen de coordenadas. Si el angulo θ entre el vector dA ′ y el vectorr− r′ es agudo, el angulo solido es positivo ya que desde el origen se ve la cara interna de la capa dipolar.

1.8. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO ELECTRICO Y EN EL POTENCIAL 25

Si la densidad superficial de momento dipolar es uniforme, vemos que el potencial generado por la capadipolar depende solo del angulo solido con que se ve la superficie desde el punto de observacion y no de laforma especıfica de la capa.

En este caso podemos ver una discontinuidad en el potencial, ya que si D (r′) es constante, la integraciones unicamente sobre el angulo solido. Por simplicidad, asumamos que la capa dipolar es cerrada (por ejemplodos esferas concentricas de radio muy similar) dicha integral es 4π si el punto de observacion esta dentro dela capa y cero si estamos afuera, hay entonces una discontinuidad de 4πD en el potencial al atravesar las doscapas (recordemos que la distancia entre ellas tiende a cero). Para entender esta discontinuidad observemosque tenemos dos capas con densidad superficial que producen discontinuidad del campo al atravesar cadacapa. Sin embargo, el campo que hay entre las capas es en principio infinito debido a que σ (r ′) tiende ainfinito, por tanto en este caso el campo no esta acotado y a esto se debe la discontinuidad en el potencial.En ese sentido tenemos un “singularidad superior” a la simple presencia de densidad superficial, puesto queademas tenemos un campo electrico y una densidad superficial infinitos.

Tambien podemos calcular este potencial como la superposicion de potenciales de dipolo puntual, losmomentos dipolares diferenciales son dP = Dn dA′ el potencial en r causado por un dipolo en r′ es

dφ(r′)

=dP · (r− r′)

|r− r′|3

en terminos de θdP · (r− r′)

|r − r′|3=Dn dA′ · (r− r′)

|r− r′|3=

cos θ dA′

|r− r′|2= dΩ

con dΩ el angulo solido subtendido por el area dA′ desde el punto de observacion O′.

Capıtulo 2

Ecuacion de Laplace

La ecuacion de Laplace es una ecuacion diferencial parcial, con frecuencia para solucionar problemasrelativos a estas ecuaciones se requieren expansiones en funciones ortonormales. Por tanto, es conveniente queantes de discutir la naturaleza de sus soluciones, hagamos una rapida revision de las funciones ortonormalesmas utilizadas y sus propiedades.

2.1. Expansion en funciones ortonormales

Sea una espacio vectorial de funciones definidas sobre sobre un intervalo [a, b] en x, con ciertas propiedadesde continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc. Como todo espacio vectorial, se puede definir una baseortonormal de vectores, por el momento asumamos que las funciones de la base son numerables Un (x),antes de definir ortonormalidad es necesario definir un producto interno, definamos

(φ, ψ) =

∫ b

aφ∗ (x)ψ (x) dx

se puede demostrar que la relacion anterior cumple todas las propiedades de un producto interno. Como esbien sabido, la definicion de un producto interno nos induce automaticamente una norma para los vectores

‖φ (x)‖2 ≡ (φ, φ) =

∫ b

a|φ∗ (x)|2 dx ≥ 0

un producto interno permite ademas definir la ortogonalidad entre elementos del espacio vectorial encuestion. φ es ortogonal con ψ cuando

(φ, ψ) =

∫ b

aφ∗ (x)ψ (x) dx = 0

esto define entonces la ortonormalidad de una base en este espacio

(Un, Um) = δnm =

∫ b

aU∗n (x) Um (x) dx

una funcion f (x) perteneciente a este espacio vectorial puede expandirse a traves de una combinacion linealde los elementos de la base (estos espacios vectoriales son en general de dimension infinita)

f (x) =∑

n=1

CnUn (x)

Los coeficientes Cn se pueden evaluar ası

(Um, f) =

(Um,

∑

n=1

CnUn

)=∑

n=1

Cn (Um, Un) =∑

n=1

Cnδnm = Cm

27

28 CAPITULO 2. ECUACION DE LAPLACE

de lo cual nos queda que

Cm = (Um, f) =

∫ b

aU∗n

(x′)f(x′)dx′ (2.1)

Las Cm son las componentes de f (x) a lo largo de los vectores unitarios Um (x). Esto puede verse teniendoen cuenta que el producto interno (Um, f) lo que nos da es justamente la proyeccion del vector f (x) a lolargo de Um (x). Naturalmente, para que todo vector arbitrario f (x) de este espacio sea expandible en estosvectores unitarios, es necesario que el conjunto que define la base sea completo, la condicion de completezpuede obtenerse reemplazando Cn en la expansion de f (x)

f (x) =∑

n

CnUn (x) =∑

n

(Un, f)Un (x) =∑

n

∫ b

af(x′)U∗n

(x′)Un (x) dx′

f (x) =

∫ b

af(x′)[∑

n

U∗n

(x′)Un (x)

]dx′

por otro lado

f (x) =

∫ b

af(x′)δ(x− x′

)dx′

Igualando las dos ultimas expresiones, y teniendo en cuenta que f (x′) es arbitraria se obtiene

∑

n

U∗n

(x′)Un (x) = δ

(x− x′

)(2.2)

retrocediendo en nuestros pasos vemos que la relacion anterior nos garantiza que cualquier funcion arbitrariadentro del espacio se puede expandir en terminos del conjunto Un (x). Por tanto a la Ec. (2.2), se le conocecomo relacion de completez.

Por otro lado, tambien existen bases contınuas para ciertos espacios vectoriales de funciones. En tal casodefinimos los vectores unitarios de la base como U (k, x) donde k es una variable contınua definida en unintervalo [c, d], que hace las veces de n en las bases discretas. Para estas bases contınuas la ortonormalidadse plantea como

(Uk, Uk′) =

∫ b

aU∗ (k, x) U

(k′, x

)dx = δ

(k − k′

)(2.3)

veremos de aquı en adelante que esta definicion de ortogonalidad reproduce los resultados anteriores parael caso discreto. Expandiendo f (x) arbitraria como una combinacion lineal contınua de la base

f (x) =

∫ d

cC (k) U (k, x) dk

tenemos que

(Uk′ , f) =

(Uk′ ,

∫ d

cC (k) U (k, x) dk

)=

∫ d

cC (k) (Uk′ , Uk) dk

=

∫ d

cC (k) δ

(k − k′

)dk = C

(k′)

con lo cual los coeficientes de la expansion contınua se evaluan como

C(k′)

= (Uk′ , f) (2.4)

vemos por tanto que en terminos de producto interno, el calculo de los coeficientes en una base contınuaEc. (2.4) es igual que en el caso discreto Ec. (2.1), esto depende fuertemente de nuestra definicion deortonormalidad en el contınuo Ec. (2.3) mostrando la consistencia de dicha definicion.

2.1. EXPANSION EN FUNCIONES ORTONORMALES 29

Veamos la completez

f (x) =

∫ d

cC (k) U (k, x) dk =

∫ d

c(Uk, f) U (k, x) dk

f (x) =

∫ d

c

[∫ b

aU∗ (k, x′

)f(x′)dx′]U (k, x) dk

f (x) =

∫ b

a

[∫ d

cU∗ (k, x′

)U (k, x) dk

]f(x′)dx′

por otro lado f (x) =∫ ba δ (x− x′) f (x′) dx′ con lo cual resulta

∫ d

cU∗ (k, x′

)U (k, x) dk = δ

(x− x′

)

que nos define la relacion de completez para una base contınua U (k, x). De lo anterior puede verse que lasrelaciones de completez para bases contınuas o discretas, pueden interpretarse como representaciones de lafuncion delta de Dirac. Lo mismo ocurre con la relacion de ortonormalidad pero solo para bases contınuas.Al respecto vale la pena aclarar que una representacion dada de la delta en un cierto espacio no puede seraplicada a otro espacio, por ejemplo es posible tener un espacio vectorial r−dimensional de funciones V1 conuna base Vn (x), que define una relacion de completez

∑rn=1 V

∗n (x′)Vn (x) = δ1 (x− x′), pensemos en otro

espacio vectorial r+ k dimensional que denotaremos por V2 y tal que V2 ⊃ V1, de modo que una base Umde V2 incluye a la base anterior mas otros vectores linealmente independientes; la relacion de completez es:∑r+k

n=1 U∗n (x′)Un (x) = δ2 (x− x′). ¿Cual es la diferencia entre δ1 (x− x′) y δ2 (x− x′)?, la respuesta esta en

el caracter de distribucion de la mal llamada funcion delta de Dirac; la propiedad fundamental de estadistribucion me dice que para toda funcion f (x′) que pertenece al espacio V1 tenemos que

f (x) =

∫f(x′)[∑

n

V ∗n

(x′)Vn (x)

]dx′ =

∫f(x′)δ1(x− x′

)dx′

sin embargo, si la funcion f (x) no pertenece a V1 pero si pertenece a V2 entonces δ1 (x− x′) no es unadistribucion adecuada para representar a esta funcion. Esta es una propiedad general de las distribuciones,ya que estas solo se definen a traves de sus propiedades de transformacion con las funciones del espaciovectorial, una representacion de la delta de Dirac (y en general de cualquier distribucion) esta ligada a unespacio vectorial especıfico.

2.1.1. Ejemplos de funciones ortogonales

Consideremos un conjunto de funciones Un (x) reales o complejas

Un (x) = 1√a

sin(nπxa

)ortonormal en (−a, a) o (0, 2a) una funcion impar f (x) en este dominio puede

expandirse en senos. Por otro lado, una funcion arbitraria f (x) definida en (0, a) admite expansion ensenos si en (−a, 0) se asume de la forma −f (−x) con lo que obtenemos una funcion impar en (−a, a).

Un (x) = 1√a

cos(nπxa

)ortonormal en (−a, a) o (0, 2a) una funcion par f (x) en este dominio puede ex-

pandirse en cosenos. Una funcion arbitraria f (x) en (0, a) admite expansion en cosenos si en (−a, 0) seasume de la forma f (−x).

Un (x) = 1√a

cos(nπxa

); Vm (x) = 1√

asin(mπxa

)conjunto ortonormal en (−a, a). la completez se

expresa por 1a

∑∞n=0 cos

[nπa (x− x′)

]= δ (x− x′). Observese que al expandir esta suma de argumentos


aparecen tanto la funcion seno como la coseno. La ortonormalidad se representa por la propiedad

1

a

∫ a

−asin(nπax)

sin(mπax)dx = δnm

1

a

∫ a

−asin(nπax)

cos(mπax)dx = 0

1

a

∫ a

−acos(nπax)

cos(mπax)dx = δnm

Un (x) = ei nπa x

√2a

ortonormal y completa en (−a, a). La ortonormalidad y completez se expresan como

1

2a

∫ a

−aei(n−m) πx

a dx = δnm ;1

2a

∞∑

−∞ei

nπa

(x−x′) = δ(x− x′

)(2.5)

Ejemplos en el contınuo

U (k, x) = eikx√2π

con propiedades de ortonormalidad y completez:

1

2π

∫ ∞

−∞ei(k−k

′)xdx = δ(k − k′

)

1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)dk = δ(x− x′

)

U (k, x) = sinkx√π

∫ ∞

−∞sin kx sin k′x dx = πδ

(k − k′

)

∫ ∞

−∞sin kx sin kx′ dk = πδ

(x− x′

)

Comentarios: Observese que la ortonormalidad y completez de las funciones de la forma eikx, tanto en eldiscreto como en el contınuo, son la base para el analisis de Fourier para funciones periodicas y no periodicasrespectivamente. Por ejemplo una funcion definida en todos los reales se escribe

F (x) =1√2π

∫ ∞

−∞C (k) eikxdk

los coeficientes de esta combinacion lineal se calculan de la manera tradicional y se les conoce como trans-formada de fourier

C (k) = (Uk, F ) =1√2π

∫ ∞

−∞F (x) e−ikxdx

con frecuencia se denota C (k) → F (k).Si las funciones a expandir son de dos variables, la expansion queda

f (x, y) =∑

m,n

CmnUm (x)Vn (y)

con

Cmn =

∫ d

c

∫ b

aU∗m (x)Vn (y) f (x, y) dx dy

donde Um (x), Vm (y) son cada uno, un conjunto ortonormal y completo en cada variable, definidos en losintervalos [a, b] y [c, d] respectivamente.

2.2. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACION DE LAPLACE 31

Figura 2.1: Si no hay carga en el interior ni en la superficie de la esfera, el valor del potencial φc en elcentro de la esfera, coincide con el valor promedio del potencial evaluado sobre la superficie de la esfera.

2.2. Propiedades de las soluciones de la Ecuacion de Laplace

Donde quiera que no haya densidad de carga, el potencial electrostatico obedece a la ecuacion homogenea

∇2φ = 0

Conocida como ecuacion de Laplace, esta ecuacion aparece con frecuencia no solo en la electrodinamicasino en muchas teorıas clasicas de campos, de modo que el estudio de sus soluciones es de importanciamayor. Como ya mencionamos, esta ecuacion admite separacion de variables en 11 sistemas coordenadosdiferentes. Las soluciones a esta ecuacion se denominan funciones armonicas. Estas funciones poseen lasiguiente propiedad importante

Theorem 5 Si φ (x, y, z) satisface la ecuacion de Laplace en una cierta region esferica (incluyendo la su-perficie), el valor promedio de esta funcion sobre la superficie de la esfera coincide con el valor de φ en elcentro de esta.

Este hecho se ilustra en la figura 2.1Este teorema es valido para cualquier funcion armonica, es facilver que el potencial electrostatico en particular cumple esta condicion. Supongamos que tenemos una cargapuntual q y una esfera de radio a cargada uniformemente sobre la superficie con carga q ′ (aislante para queen todo instante la carga permanezca uniformemente distribuida en la superficie). Asumamos que traemosla carga puntual desde el infinito hasta una distancia R con respecto al centro de la esfera, con R > a. Laenergıa potencial necesaria para ensamblar el sistema en esa configuracion es UA = Kcqq

′/R ya que la esferaactua como el equivalente a una carga puntual.

Ahora procedemos al contrario, trayendo la esfera desde el infinito, en este caso el trabajo para ensamblarel sistema se puede calcular de la siguiente manera: La energıa potencial se puede calcular de la energıapotencial asociada al par de cargas q y dq ′ donde dq′ se integrarıa sobre toda la esfera1,

dUB =Kcq dq

′

|r| ⇒ UB = Kc

∫q dq′

|r| = Kc

∫q σdA′

|r|1A priori uno podrıa pensar que es necesario incluır el trabajo necesario para ensamblar las cargas primadas en la esfera. Sin

embargo, en ambos casos estamos considerando que la esfera ya esta armada y por tanto ignoramos ese trabajo. Si decidimosincluirlo aparecera igualmente en UA y en UB de modo que no altera el resultado que aquı se obtiene.


donde |r| se refiere a la distancia entre q y dq ′. Dado que σ es constante, la energıa potencial queda

UB = KcσA

A

∫q dA′

|r|

donde A se refiere a la superficie de la esfera. Kcq/ |r| es el potencial que la carga q genera sobre un puntoen la superficie de la esfera, lo denotaremos φq.

UB = q′(

1

A

∫φq dA

′)

claramente el termino entre parentesis corresponde al potencial promedio sobre la superficie de la esferagenerado por la carga puntual q. Por otro lado, el caracter conservativo de las fuerzas electrostaticas nos dacomo resultado la igualdad de la energıa potencial al usar ambos procedimientos de modo que

UA = UB ⇒ Kcqq′

R= q′

(1

A

∫φq dA

′)

⇒ Kcq

R=

(1

A

∫φq dA

′)

el termino de la izquierda es el valor del potencial generado por la carga puntual q en el centro de la esfera,que resulta ser igual al promedio del potencial generado por la misma carga sobre la superficie de la esfera,esto prueba la afirmacion para una carga puntual. Para un sistema de cargas basta con apelar al principio desuperposicion para el potencial. Esta demostracion tambien se puede hacer por calculo directo del potencialpromedio generado por una carga puntual sobre una esfera que no contiene a dicha carga (ver Ref. [7]). Ellector puede demostrar que esta propiedad tambien se cumple en una dimension (tomando un intervalo)y en dos dimensiones (tomando una circunferencia). El hecho de que el potencial en un punto sea igualal promedio en una vecindad del punto, sirve como base para un metodo numerico para el calculo de lassoluciones de la ecuacion de Laplace, conocido como metodo de relajacion (ver [1]).

Finalmente, una demostracion alternativa se obtiene a partir del teorema de Green Ec. (1.21)∫ [

φ∇2ψ − ψ∇2φ]dV =

∮[φ∇ψ − ψ∇φ] · dS

eligiendo ψ = |r− r′|−1 y tomando a φ como la funcion que satisface la ecuacion de Laplace

∫φ(r′)∇′2

(1

|r− r′|

)dV ′ =

∮ [φ(r′)∇′(

1

|r− r′|

)− 1

|r − r′|∇′φ(r′)]

· dS′

usando las propiedades (1.8, 1.10, 1.3)

∇′(

1

|r− r′|

)=

r − r′

|r− r′|3; ∇′2

(1

|r − r′|

)= −4πδ

(r− r′

);

∮(r − r′) · dS (r′)

|r − r′|3= −

∮dΩ

obtenemos

−4π

∫φ(r′)δ(r− r′

)dV ′ =

∮ [φ(r′) r− r′

|r− r′|3− 1

|r− r′|∇′φ(r′)]

· dS′

φ (r) =1

4π

∮ [1

|r − r′|∇′φ(r′)− φ

(r′) (r− r′)

|r− r′|3]· dS′

φ (r) =1

4π

[∮1

|r − r′|∇′φ(r′)· dS′ +

∮φ(r′)dΩ

]

esto es valido en cualquier punto r siempre que la superficie S contenga a dicho punto y la funcion φ cumplacon la ecuacion de Laplace en la superficie y en el volumen delimitado por esta. Por simplicidad hagamos

2.2. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACION DE LAPLACE 33

r = 0 y r′ = Rur de modo que la superficie S es una esfera de radio R centrada en el nuevo origen r = 0.La integral de superficie es

φ (0) =1

4π

[∮1

R∇′φ

(r′)· dS′ +

∮φ(r′)dΩ

]=

1

4π

[1

R

∮∇′φ

(r′)· dS′ +

1

R2

∮φ(r′)R2dΩ

]

usando el teorema de la divergencia tenemos

φ (0) =

[1

4πR

∮∇′2φ

(r′)dV ′ +

1

4πR2

∮φ(r′)dS

]

como φ obedece a la ecuacion de Laplace en el volumen se anula la primera integral y se tiene

φ (0) =1

S

∮φ(r′)dS = φS

que es lo que se querıa demostrar. Como el origen elegido es arbitrario entonces se deduce que la relaciones valida para cualquier valor del punto r y del radio de la esfera centrada en tal punto, siempre que φ seaarmonica en el volumen y superficie de la esfera. Notese que esta ultima demostracion es mucho mas generalya que no presupone que la funcion armonica tenga que proceder de una configuracion electrostatica. Elresultado anterior nos conduce a un hecho muy importante:

Theorem 6 Ninguna configuracion electrostatica nos genera una configuracion de equilibrio estable parauna carga de prueba en el espacio vacıo (teorema de Earnshaw).

Veamoslo: para que una carga positiva en el punto P este en equilibrio estable, es necesario que encierta vecindad alrededor de P , el potencial sea mayor que el potencial en P en todos los puntos, estoimplica que podemos construir una esfera contenida en esa vecindad, para la cual claramente el promedioen la superficie serıa mayor que su valor en el centro, de modo que la existencia de un punto de equilibrioestable nos implicarıa una violacion de la afirmacion ya demostrada. Para una carga negativa el argumentoes similar. Matematicamente hablando, esto implica que

Theorem 7 Una funcion armonica (en nuestro caso el potencial electrostatico) no puede tener maximos nimınimos locales dentro de la region en donde es valida la ecuacion de Laplace.

La ausencia de maximos y mınimos locales en el volumen donde es valida la ecuacion de Laplace tambiense puede ver teniendo en cuenta que la existencia de un maximo local requiere que ∂ 2ψ/∂x2

i < 0, pero laecuacion de Laplace nos dice que ∇2ψ = 0, algo similar ocurre con la posible existencia de mınimos locales2.

Otra manera de probar la ausencia de puntos de equilibrio estable implica el uso del teorema de Gauss:asumamos que existe un punto P de equilibrio estable y ubicamos una carga positiva en el, al ser establecualquier desplazamiento debe generar una fuerza restauradora que lo intente regresar a P , esto implicaque al construir una esfera alrededor de P el campo debe apuntar hacia el interior de la esfera en todasdirecciones; pero esto contradice la ley de Gauss ya que no hay cargas negativas en el interior (la carga qes positiva y ademas no cuenta ya que estamos hablando del campo que generan las fuentes a las cualesesta sometida la carga de prueba, pues ciertamente su propio campo no actua sobre ella). Similarmente alponer una carga negativa no es posible que el campo apunte hacia afuera en la esfera alrededor de P . Portanto no hay equilibrio estable.

No obstante, es necesario aclarar que sı existen puntos de equilibrio electrostatico, solo que no son esta-bles. Sin embargo, campos magneticos o campos electromagneticos variables en el tiempo pueden manteneruna carga en equilibrio estable.

2Esto significa que la ecuacion puede presentar extremos tipo “punto de silla” o puntos de inflexion en el caso unidimensional.


2.3. Unicidad de la ecuacion de Laplace

La unicidad de la ecuacion de Laplace se puede ver como un caso particular de la unicidad de la solucion dePoisson. Sin embargo, es interesante ver un modo alternativo para establecer la unicidad de esta ecuacion paracondiciones de Dirichlet. Una vez establecida la existencia, la demostracion de la unicidad resulta sencillagracias a la propiedad de linealidad de la ecuacion de Laplace. Asumamos que φ (x, y, z) es una solucion de laecuacion con ciertas condiciones de frontera, imaginemos que existe una segunda solucion ϕ (x, y, z) con lasmisma condiciones de frontera. Si ambas son soluciones, tambien lo es una combinacion lineal de estas,en particular W (x, y, z) = φ (x, y, z) − ϕ (x, y, z). W (x, y, z) no satisface las condiciones de frontera ya queen este caso al tomar los puntos en las fronteras φ (x, y, z) y ϕ (x, y, z) toman los mismos valores. W (x, y, z)es la solucion de otro problema electrostatico con todas las superficies a potencial cero. Adicionalmente si Wes cero en todas las superficies, debe ser cero en todo el espacio donde no hay carga por la siguiente razon:si el potencial no es nulo en todo el espacio vacıo entonces deben haber al menos un punto que sea maximoo mınimo local, pero como ya vimos, las soluciones armonicas no permiten estos extremos, de modo que Wdebe ser cero en todo punto, y la solucion es unica3.

2.4. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones

2.4.1. Coordenadas cartesianas

La ecuacion de Laplace en dos dimensiones se escribe

(∂2x + ∂2

y

)φ (x, y) = 0

realizando separacion de variables φ (x, y) = A (x)B (y) y dividiendo la ecuacion por AB se obtiene

1

A

d2A

dx2+

1

B

d2B

dy2= 0

como el primer sumando solo depende de x y el segundo solo de y, entonces cada sumando debe ser igual auna constante

1

A

d2A

dx2= −α2 ;

1

B

d2B

dy2= α2

la asignacion de ±α, es arbitraria (se pudo haber hecho al contrario). Pero dado que α es en general complejo,esto no supone ninguna limitacion. Las soluciones en el caso α 6= 0 son

A (x) = Aeiαx +Be−iαx ; B (x) = Ceαy +De−αy

la solucion para α = 0, nos da

A (x) = a′x+ b′ ; B (x) = c′y + d′

La solucion general es de la forma

φ (x, y) =(Aeiαx +Be−iαx

) (Ceαy +De−αy

)+ axy + bx+ cy (2.6)

donde hemos redefinido adecuadamente las constantes, observese que en particular, la constante que apareceen la solucion con α = 0, no se incluye explıcitamente. Sin embargo, un termino constante aparece cuandohacemos α = 0 en esta ecuacion (recordemos que una constante puede ser relevante aquı, puesto que concondiciones de Dirichlet ya se ha fijado el cero de potencial y dicha constante ya no es arbitraria). Lasconstantes estan determinadas por las condiciones de frontera.

3Este argumento tambien nos lleva a la unicidad de la ecuacion de Poisson bajo condiciones de Dirichlet, ya que aun enpresencia de carga, W continua obedeciendo a la ecuacion de Laplace.

2.4. ECUACION DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES 35

Discusion: las soluciones para α = 0,y para α 6= 0 son aparentemente excluyentes, de modo que notendrıa sentido incluır los dos tipos de soluciones en una sola expresion. Sin embargo, si rotulamos estassoluciones como φα (x, y) donde α ≥ 0, una superposicion de ellas es tambien solucion y en muchos casosla superposicion es obligatoria para obtener las condiciones de frontera (esta superposicion puede ser sobreel discreto o sobre el contınuo dependiendo de los valores posibles de α). Esto hace indispensable incluır lasolucion con α = 0 como parte de la superposicion.

Ejemplos de la solucion de la ecuacion de Laplace en dos dimensiones

Figura 2.2:

Vamos a resolver la ecuacion de Laplace para el potencial electrostatico en la region bidimensionalcomprendida por 0 ≤ x ≤ L; 0 ≤ y <∞, con las condiciones de frontera siguientes (ver Fig. 2.2): φ = 0, enx = 0, en x = L, y en y → ∞. φ = V (x) en y = 0. Con estas condiciones de frontera y tomando la ecuacion(2.6) tenemos que

a) φ = 0 en x = 0, ∀y conduce a

φ(0, y) = (A+B)(Ceαy +De−αy

)+ cy = 0

esto solo se cumple ∀y si B = −A, y c = 0, dejando

φ (x, y) = A(eiαx − e−iαx

) (Ceαy +De−αy

)+ axy + bx

φ (x, y) = sinαx(Ceαy +De−αy

)+ axy + bx

donde la constante A (y las constantes necesarias para armar el seno) se han absorbido en C y D. Denuevo, estrictamente deberıamos cambiar la notacion a digamos C ′, D′ pero como estas constantes son aundesconocidas, esto no hace ninguna diferencia.

b) φ = 0 en x = L⇒

φ (L, y) = sinαL(Ceαy +De−αy

)+ aLy + bL = 0

como φ (L, y) = 0 para todo y tenemos que sinαL = 0, a = b = 0 de modo que α = αn = nπ/L. La solucionse reduce a

φ (x, y) = sinαnx(Cne

αny +Dne−αny

)


Y dado que la solucion es valida para todo n entero (positivo o negativo), tenemos que la solucion masgeneral es una superposicion de estos modos (linealidad en accion).

φ (x, y) =∑

n

sinαnx(Cne

αny +Dne−αny

)

c) φ → 0, en y → ∞, este requerimiento impide que existan valores positivos y negativos de n (y portanto de αn) al mismo tiempo, ya que con αn positivo se requiere que Cn = 0, y con αn negativo se requiereque Dn = 0, esto es incompatible con las otras condiciones de frontera4. Por tanto usaremos αn positivos, yesta condicion conduce a Cn = 0, (igual se podrıa usar αn negativo), la solucion queda

φ (x, y) =

∞∑

n=1

Dne−αny sinαnx

d) φ (x, 0) = V (x). Tenemos que

φ (x, 0) = V (x) =

∞∑

n=1

Dn sinαnx

multiplicando la ecuacion por 2L sinαmx dx e integrando entre 0 y L

2

L

∫ L

0V (x) sinαmx dx =

2

L

∞∑

n=1

Dn

∫ L

0sinαnx sinαmx dx =

∞∑

n=1

Dnδmn

Dm =2

L

∫ L

0V (x) sinαmx dx

con lo cual la expresion final para el potencial queda

φ (x, y) =2

L

∞∑

n=1

e−nπLy sin

(nπLx)∫ L

0V(x′)sin(nπLx′)dx′

En el caso particular en el cual V (x) = V , obtenemos

φ (x, y) =2V

L

∞∑

n=1

e−nπLy sin

(nπLx) ∫ L

0sin(nπLx′)dx′

φ (x, y) =2V

L

∞∑

n=1

e−nπLy sin

(nπLx) (

− 1

π

L

ncos

π

Lnx

)∣∣∣∣L

0

φ (x, y) = −2V

π

∞∑

n=1

e−nπLy

nsin(nπLx)

[(−1)n − 1]

la suma solo sobrevive para terminos impares de modo que hacemos n ≡ 2k + 1 quedando

φ (x, y) =4V

π

∞∑

k=0

e−(2k+1)π

Ly

2k + 1sin

((2k + 1) π

Lx

)

esta forma del potencial se puede llevar a una forma cerrada (ver Jackson y Sepulveda)

φ (x, y) =2V

πtan−1

[sin(πLx)

sinh(πLy)]

es importante hacer notar que la serie converge rapidamente para y & a/π, pero para valores mucho maspequenos que esta cantidad, se necesitan muchos terminos para lograr una buena aproximacion.

4Otra razon adicional para tomar αn positivo consiste en que la superposicion de funciones de la forma sinαnx, con αn

positivo, forman una base en el intervalo [0, a].


2.4.2. Coordenadas polares

La ecuacion de Laplace en coordenadas polares se escribe como

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂φ

∂ρ

)+

1

ρ2

(∂2φ

∂ϕ2

)= 0

de nuevo suponemos separacion de variables

φ (ρ, ϕ) = R (ρ) Ψ (ϕ)

1

ρ

[d

dρ

(ρdR (ρ)

dρ

)]Ψ(ϕ) +

R (ρ)

ρ2

(d2Ψ(ϕ)

dϕ2

)= 0

multiplicando la ecuacion por ρ2

R(ρ)Ψ(ϕ)

ρ

R

d

dρ

(ρdR (ρ)

dρ

)+

1

Ψ

(d2Ψ(ϕ)

dϕ2

)= 0

el primer termino solo depende de ρ y el segundo depende exclusivamente de ϕ, de modo que cada uno deellos debe ser una constante, hacemos entonces

1

Ψ

(d2Ψ(ϕ)

dϕ2

)= −ν2 ;

ρ

R

d

dρ

(ρdR (ρ)

dρ

)= ν2

asumiendo ν2 6= 0, la ecuacion para Ψ (ϕ) es

d2Ψ(ϕ)

dϕ2+ ν2Ψ(ϕ) = 0 ⇒ Ψ(ϕ) =

[Ceiνϕ +De−iνϕ

]

y la ecuacion para R (ρ) queda

ρd

dρ

(ρdR

dρ

)−Rν2 = 0 ⇒

ρ

(dR

dρ

)+ ρ2 d

2R

dρ2−Rν2 = 0 (2.7)

Esta ecuacion es homogenea en ρ y se puede resolver con

ρ = eµ ⇒ dρ

dµ= eµ = ρ,

dµ

dρ= e−µ =

1

ρ

dR

dρ=dµ

dρ

dR

dµ=

1

ρ

dR

dµ; (2.8)

d2R

dρ2=

d

dρ

(dR

dρ

)=dµ

dρ

d

dµ

(dR

dρ

)=

1

ρ

d

dµ

(e−µ

dR

dµ

)

d2R

dρ2= −1

ρe−µ

dR

dµ+

1

ρe−µ

(d2R

dµ2

)= − 1

ρ2

dR

dµ+

1

ρ2

(d2R

dµ2

)(2.9)

reemplazando (2.8) y (2.9)en (2.7) resulta

ρ

(1

ρ

dR

dµ

)+ ρ2

[− 1

ρ2

dR

dµ+

1

ρ2

(d2R

dµ2

)]−Rν2 = 0

dR

dµ− dR

dµ+

(d2R

dµ2

)−Rν2 = 0

(d2R

dµ2

)−Rν2 = 0


la solucion es

R (µ) = Aeνµ +Be−νµ = A (eµ)ν +B (eµ)−ν

R (ρ) = Aρν +Bρ−ν

La solucion para ν2 6= 0 esφ (ρ, ϕ) =

[Aρν +Bρ−ν

] [Ceiνϕ +De−iνϕ

]

para ν2 = 0 las ecuaciones quedan

d2Ψ

dϕ2= 0 ⇒ Ψ = aϕ+ b

(d2R

dµ2

)= 0 ⇒ R (µ) = (Eµ+ F )

pero ρ = eµ ⇒ µ = ln ρR (ρ) = E lnρ+ F

la solucion para ν = 0 esφ (ρ, ϕ) = (aϕ+ b) (E ln ρ+ F )

La solucion general (para ν ≥ 0) es

φ (ρ, ϕ) =[Aρν +Bρ−ν

] [Ceiνϕ +De−iνϕ

]+ (aϕ+ b) (E lnρ+ F )

o alternativamente


][C cos νϕ+D sin νϕ] + (aϕ+ b) (E ln ρ+ F ) (2.10)

La solucion general es la superposicion de todas las soluciones encontradas, los valores permitidos de ν (sobrelos cuales se hace la suma discreta o contınua) dependen dle problema particular. En general las solucionescon ν = 0 y con ν 6= 0 deben ser incluıdas por completez, al ignorar alguna de ellas es posible que no seaposible ajustar las condiciones de frontera.

Interseccion entre dos planos

Evaluar el potencial en la region cercana a la interseccion entre dos planos que forman un angulo diedroβ, con las siguientes condiciones de frontera: en ϕ = 0, φ = V ; en ϕ = β, φ = V ′.

El punto ρ = 0 esta incluıdo en la region por lo cual B = E = 0, en (2.10) para evitar una divergenciaen el potencial. Quedando la solucion

φ (ρ, ϕ) = ρν [C cos νϕ+D sin νϕ] + (aϕ+ b)

discusion: observese que en la punta tenemos que el potencial tiende a V por un lado y a V ′ por el otro,luego el campo deberıa tener una divergencia, al menos si V 6= V ′. Sin embargo, E y B deben ser cero yaque aunque el campo puede en general diverger, el potencial sı se mantiene acotado.

1. En ϕ = 0, φ = Vφ (ρ, 0) = V = Cρν + b

solo es posible para todo ρ, si C = 0, y b = V

φ (ρ, ϕ) = aϕ+ V +Dρν sin νϕ

observese que el coeficiente b es parte de la solucion con ν = 0, si no hubieramos incluıdo esta con-tribucion, no hubiese sido posible satisfacer las condiciones de frontera.


2. En ϕ = β, φ = V ′

φ (ρ, β) = V ′ = aβ + V +Dρν sin νβ

como esto debe ser valido ∀ρ ⇒ D = 0 o sin νβ = 0 se puede ver que la primera alternativa nosoluciona las condic. de frontera. Con la segunda tenemos los valores permitidos para ν (con ν 6= 0)

ν = νm =mπ

β

m es entero positivo o negativo, pero ρν produce divergencia en ρ → 0 cuando se toma m negativo,por lo tanto m > 0 ⇒ ν > 0. y m es entero, como la solucion ν = 0 ya ha sido incluıda, entoncesm = 1, 2, 3, .... (efectivamente m = 0 nos deja solo con coeficientes que provienen de la solucion conν = 0, para todo ρ y para todo ϕ). El potencial para ϕ = β queda

φ (ρ, β) = V ′ = aβ + V

con lo cual

a =V ′ − V

β

La solucion es entonces la combinacion lineal de la solucion para cada m

φ (ρ, ϕ) = V +

(V ′ − V

β

)ϕ+

∞∑

m=1

Dmρmπ/β sin

(mπ

βϕ

)

Los coeficientes Dm requieren conocer las condiciones de frontera que cierren el contorno, por ejemplosea φ (R,ϕ) = V (ϕ) y V = V ′

3.

φ (R,ϕ) = V (ϕ) = V +

∞∑

m=1

DmRmπ/β sin

(mπ

βϕ

)

multiplicando por sin nπβ e integrando en ϕ ∈ (0, β) queda

Dm =2

βR−mπ/β

[∫ β

0[V (ϕ) − V ] sin

(mπ

βϕ′)]

dϕ′

el potencial queda

φ (ρ, ϕ) = V +∞∑

m=1

2

βR−mπ/β

[∫ β

0[V (ϕ) − V ] sin

(mπ

βϕ′)]

dϕ′ρmπ/β sin

(mπ

βϕ

)

se puede verificar que la condicion φ (R,ϕ) = V (ϕ) se cumple. Por otro lado si todas las paredes sonequipotenciales i.e. V (ϕ) = V = V ′ se cumple que φ = V en el interior, este caso se darıa por ejemplosi la cuna define un conductor cerrado (o la cavidad de un conductor). En este problema, la superficieequipotencial cerrada es simplemente un lugar geometrico.

Veamos lo que ocurre en el caso general para ρ pequeno, cuando aun no se ha evaluado Dm. Dado que ladependencia en ρ es de la forma ρmπ/β puede concluirse que cerca de ρ = 0, el potencial depende mayormentedel primer termino en la serie (mas exactamente de los dos primeros con ν = 0 y el segundo con m = 1).Asumamos V = V ′

φ (ρ, ϕ) = V +

∞∑

m=1

Dmρmπ/β sin

(mπ

βϕ

)≈ V +D1ρ

π/β sin

(π

βϕ

)


queremos evaluar la densidad de carga en la vecindad de ρ = 0. La cual para un conductor viene dada por

σ = − 1

4πn · ∇ϕ = − 1

4π

∂φ

∂n=

1

4πn ·E

evaluemos el campo electrico

Eρ = −∂φ∂ρ

= −D1π

βρ

(πβ−1)

sin

(πϕ

β

)

Eϕ = −1

ρ

∂φ

∂ϕ= −D1π

βρ

(πβ−1)

cos

(πϕ

β

)

observemos que para el conductor en ϕ = 0, el vector normal es −uϕ en tanto que para el conductor enϕ = β se tiene que el vector normal es uϕ las densidades son

σ0 = − 1

4πuϕ · E

∣∣∣∣ϕ=0

= − 1

4πEϕ

∣∣∣∣ϕ=0

=D1

4βρ

(πβ−1)

σβ =1

4πuϕ · E

∣∣∣∣ϕ=β

=1

4πEϕ

∣∣∣∣ϕ=β

=D1

4βρ

(πβ−1)

para diferentes valores de β tenemos diferentes comportamientos de σ en ρ→ 0 es decir en las puntas.

1. para ξ ≡ πβ − 1 > 0, con ρ pequeno, la densidad tiende a cero. No hay casi acumulacion de carga en

las puntas. Especialmente si ξ es grande (β pequeno).

2. para β ≈ π2 ⇒ |σ| ≈ D1

2π ρ y tambien disminuye al acercarse a la punta

3. para β ≈ π ⇒ |σ| ≈ D14π independiente de ρ, lo cual es de esperarse ya que se convierte en un plano

infinito.

4. para β ≈ 3π2 ⇒ |σ| ≈ D1

6π ρ(−1/3) tanto el campo como la densidad de carga son singulares en ρ = 0.

5. Para β ≈ 2π ⇒ |σ| ≈ D18π ρ

(−1/2). La carga se acumula en las puntas mas rapidamente que en el casoanterior.

Como se ve la carga tiende a acumularse en las puntas en algunos casos. Estas acumulaciones de cargaproducen campos muy intensos. En este sencillo principio se basa el pararrayos.

La diferencia entre β pequeno y β → 2π consiste en que en el segundo caso la region que consideramosinterior es casi todo el espacio en tanto que para β pequeno el interior es una cuna muy estrecha.

La solucion de la ecuacion de Laplace en estos casos es para un volumen delimitado por las condicionesde frontera en una superficie cerrada, si queremos solucionarla en el exterior debemos asumir superficie entrelas condiciones ya dadas y el infinito (es decir siempre formando un volumen con una superficie cerrada). Lasolucion general sigue siendo la que aquı se escribio, pero los coeficientes pueden variar ya que no tendrıamoslas mismas condiciones de frontera que en el problema interior original.

2.4.3. Cilindro infinito

Cilindro infinito a potencial V (ϕ) en su superficie.

El potencial es independiente de Z lo que lo convierte en un problema bidimensional. Tomemos la solucionbidimensional general


][C cos νϕ+D sin νϕ] + (aϕ+ b) (E ln ρ+ F )


el potencial debe ser el mismo en ϕ = 0 y en ϕ = 2nπ. Esto implica a = 0, y que ν debe ser entero. Por otrolado E = B = 0 para evitar divergencias en ρ→ 0. La solucion queda

φ (ρ, ϕ) = ρν [C cos νϕ+D sin νϕ] + F ′

teniendo presente que ν debe ser entero, la solucion general es

φ (ρ, ϕ) = F ′ +∞∑

ν=1

ρν [Cν cos νϕ+Dν sin νϕ]

usando la condicion φ = V (ϕ) en ρ = R

φ (R,ϕ) = V (ϕ) = F ′ +∞∑

ν=1

Rν [Cν cos νϕ+Dν sin νϕ] (2.11)

multiplicando por sin ν ′ϕ dϕ e integrando

∫ 2π

0V (ϕ) sin ν ′ϕ dϕ =

∫ 2π

0F ′ sin ν ′ϕ dϕ

+

∞∑

ν=1

Rν[Cν

∫ 2π

0cos νϕ sin ν ′ϕ dϕ+Dν

∫ 2π

0sin νϕ sin ν ′ϕ dϕ

]

∫ 2π

0V (ϕ) sin ν ′ϕ dϕ =

∞∑

ν=1

RνDν

∫ 2π

0sin νϕ sin ν ′ϕ dϕ

∫ 2π

0V (ϕ) sin ν ′ϕ dϕ = πRν

′Dν′

obteniendo

Dν =1

πRν

∫ 2π

0V (ϕ) sin νϕ dϕ

similarmente se obtiene Cν al multiplicar por cos ν ′ϕ

Cν =1

πRν

∫ 2π

0V (ϕ) cos νϕ dϕ

integrando (2.11) en ϕ se tiene

∫ 2π

0V (ϕ) dϕ =

∫ 2π

0F ′dϕ+

∞∑

ν=1

Rν[Cν

∫ 2π

0cos νϕ dϕ+Dν

∫ 2π

0sin νϕ dϕ

]

F ′ =1

2π

∫ 2π

0V (ϕ) dϕ

la solucion queda entonces

φ (ρ, ϕ) =1

2π

∫ 2π

0V (ϕ) dϕ

+1

π2

∞∑

ν=1

( ρR

)ν ∫ 2π

0

[V(ϕ′) cos νϕ′ cos νϕ dϕ′ + V

(ϕ′) sin νϕ′ sin νϕ dϕ′]

inquietud: no se esta definiendo las condiciones de frontera sobre una superficie cerrada (no se definio elpotencial en las tapas del infinito), y sin embargo es soluble. Posible respuesta, un cilindro infinito estopologicamente equivalente a un toro de radio infinito.


2.5. Ecuacion de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas

∇2φ (x, y, z) = 0 ⇒(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)φ (x, y, z) = 0

separacion de variables φ = A (x)B (y)C (z)

1

A

d2A

dx2︸︷︷︸−α2

+1

B

d2B

dy2︸︷︷︸

−β2

+1

C

d2C

dz2︸︷︷︸γ2

= 0 ⇒ γ2 = α2 + β2

Para obtener la solucion mas general debemos obtener todas las combinaciones con α, β, γ iguales a ceroo diferentes de cero, la solucion mas general requiere que α, β, γ sean complejos. En esta seccion nos re-stringiremos al caso en que estos parametros son reales, en cuyo caso podemos tomar todos ellos con valoresno negativos.

α 6= 0, β 6= 0 α = 0, β = γ 6= 0 β = 0, α = γ 6= 0 α = 0, β = γ = 0

A (x) Aeiαx +Be−iαx ax+ b Leiαx +Me−iαx ex+ f

B (y) Ceiβy +De−iβy Geiβy +He−iβy cy + d gy + h

C (z) Eeγz + Fe−γz Jeβz +Ke−βz Neαz + Pe−αz jz + k

la ligadura γ2 = α2 + β2 prohibe la posibilidad de α = β 6= 0, γ = 0, (aunque esta posibilidad existe cuandoasumimos que estos parametros son complejos). La solucion cuasi general queda

φ (x, y, z) =(Aeiαx +Be−iαx

) (Ceiβy +De−iβy

) (Eeγz + Fe−γz

)

+(ax+ b)(Geiβ

′y +He−iβ′y)(

Jeβ′z +Ke−β

′z)

+(Leiα

′x +Me−iα′x)

(cy + d)(Neα

′z + Pe−α′z)

+(ex+ f) (gy + h) (jz + k) (2.12)

α, α′, β, β′ son positivos, aunque en esta expresion final pueden tomar el valor cero. Cuando todos ellostoman el valor cero, se obtiene una constante por lo cual uno podrıa remover la constante que aparece en laexpresion para el potencial, que es fhk.

La solucion mas general implica sumatorias y/o integrales en α, α′, β, β′ y las constantes estan determi-nadas por las condiciones de frontera.

Caja de lados a, b, c

Asumamos una caja de lados a, b, c en donde el potencial es cero en todas las caras excepto en la paralelaal plano XY, a una distancia c, en esta cara el potencial es V (x, y). Este problema se resuelve facilmenteproponiendo una solucion en funciones senoidales en x, y y una funcion libre en z (ver Jackson). Sin embargo,aquı llegaremos a la solucion partiendo de la expresion general (2.12), aunque el procedimiento es muchomas largo que el antes mencionado, nos dara cierta habilidad en el empleo de la formula general.

1. φ = 0 en x = 0, la solucion (2.12) queda

φ (0, y, z) = (A+B)(Ceiβy +De−iβy

) (Eeγz + Fe−γz

)

+b′(Geiβ


Jeβ′z +Ke−β

′z)

+(L+M)(c′y + d

) (Neα

′z + Pe−α′z)

+f (gy + h) (jz + k)

2.5. ECUACION DE LAPLACE EN TRES DIMENSIONES, COORDENADAS CARTESIANAS 43

φ (0, y, z) = (A+B)Φ1 (y, z) + b′Φ2 (y, z)

+ (L+M)Φ3 (y, z) + f [Φ4 (y, z) + hk]

= 0

donde usaremos la notacion a′, b′, c′ para los coeficientes en el potencial, a fin de no confundirlos conlas dimensiones del paralelepıpedo. Como cada Φi (y, z) es linealmente independiente, y ademas laconstante fhk se puede remover, entonces cada coeficiente que acompana a los Φi (y, z) se debe anular

A+B = 0 ; b′ = 0 ; (L+M) = 0 ; f = 0

la solucion queda

φ (x, y, z) = sinαx(Ceiβy +De−iβy

) (Eeγz + Fe−γz

)

+x(Geiβ


Jeβ′z +Ke−β

′z)

+sinα′x(c′y + d

) (Neα

′z + Pe−α′z)

+x (gy + h) (jz + k)

2. φ = 0, en y = 0

φ (x, 0, z) = sinαx (C +D)(Eeγz + Fe−γz

)

+x (G+H)(Jeβ

′z +Ke−β′z)

+sinα′x (d)(Neα

′z + Pe−α′z)

+xh (jz + k)

un argumento similar al anterior nos da

C +D = 0 ; G+H = 0; d = 0, h = 0

estamos suponiendo que A y L de la expresion original son diferentes de cero. Puede chequearse quesi cualquiera de ellos se hace cero las condiciones de frontera no se cumplen (chequear). La solucionqueda

φ (x, y, z) = sinαx sinβy(Eeγz + Fe−γz

)+ x sinβ′y

(Jeβ

′z +Ke−β′z)

+y sinα′x(Neα

′z + Pe−α′z)

+ xy (jz + k)

3. φ = 0 en z = 0

φ (x, y, 0) = sinαx sin βy (E + F ) + x sinβ ′y (J +K)

+y sinα′x (N + P ) + xyk

conduce a

(E + F ) = (J +K) = (N + P ) = k = 0

quedando

φ (x, y, z) = E sinαx sinβy sinhγz + Jx sinβ ′y sinhβ′z

+Ny sinα′x sinhα′z + jxyz


4. φ = 0 en x = a

φ (a, y, z) = E (sinαa) sinβy sinhγz + Ja sinβ ′y sinhβ′z

+Ny(sinα′a

)sinhα′z + jayz

conduce a

sinαa = 0 ; J = 0 ; sinα′a = 0, j = 0

quedando

φ (x, y, z) = En sinαnx sinβy sinhγz +Nky sinα′kx sinhα′

kz

con

αn =nπ

a; α′

k =kπ

a

5. φ = 0 en y = b

φ (x, b, z) = En sinαnx (sinβb) sinh γz +Nkb sinα′kx sinhα′

kz

conduce a Nk = 0, β = βm = mπb

φ (x, y, z) = Enm sinαnx sinβmy sinhγnmz

6. φ = V (x, y) en z = c

φ (x, y, c) = V (x, y) = Enm sinαnx sinβmy sinhγnmc

multiplicamos por sinαn′x sinβm′y e integramos con lo cual se obtiene

Enm =4

ab

∫ a

0

∫ b

0

V (x, y) sinαnx sinβmy

sinhγmncdx dy

con

γ2mn = π2

(n2

a2+m2

b2

)

a manera de consistencia se puede ver que si V (x, y) = 0, el potencial en el interior nos da φ = 0. Esteserıa el caso de un paralelepıpedo conductor conectado a tierra.

2.6. Ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas

2.6.1. Operador momento angular orbital

Un operador momento angular es un operador con tres componentes J1, J2, J3 donde cada componentees hermıtica y satisface las relaciones de conmutacion

[Ji, Jj

]= iεkijJk

el cuadrado de este operador se define como

J2 = J21 + J2

2 + J23

se puede verificar que cada componente conmuta con J2

[J2, Jj

]= 0

2.6. ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS 45

esto implica que J2 y Jj admiten un conjunto comun de funciones propias. Elijamos J3 para encontrar esteconjunto comun, se cumple que:

J2Ψjm = j (j + 1) Ψjm ; J3Ψjm = mΨjm

j = 0,1

2, 1,

3

2, 2, ...; m = j, j − 1, j − 2, ..,− (j − 2) ,− (j − 1) ,−j

(Ψjm,Ψj′m′

)= δj′jδmm′

El operador momento angular orbital clasico es L = −ir×∇ se puede ver que este operador cumple con laspropiedades de un momento angular, por otro lado la exigencia de periodicidad en 2π nos exige excluir losvalores semienteros de j. Es notable el hecho de que los valores propios solo depeden de la hermiticidad delos operadores y de su algebra de Lie, pero no de su forma explıcita.

2.6.2. Separacion de variables para la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas

∇2φ = 0

en coordenadas esfericas queda

1

r2∂

∂r

(r2∂φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2φ

∂ϕ2= 0

utilizando la identidad1

r2∂

∂r

(r2∂φ

∂r

)=

1

r

∂2

∂r2(rφ)

escribimos1

r

∂2

∂r2(rφ) +

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2φ

∂ϕ2= 0

hacemos separacion de variables de la forma

φ (r, θ, ϕ) =U (r)

rY (θ, ϕ) (2.13)

reemplazamos

1

rY (θ, ϕ)

∂2U

∂r2+U (r)

r

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y (θ, ϕ)

∂θ

)+U (r)

r

1

r2 sin2 θ

∂2Y (θ, ϕ)

∂ϕ2= 0

y multiplicamos por r3/ (UY )

r2

U (r)

d2U

dr2+

1

sin θY (θ, ϕ)

∂

∂θ

(sin θ

∂Y (θ, ϕ)

∂θ

)+

1

sin2 θY (θ, ϕ)

∂2Y (θ, ϕ)

∂ϕ2= 0

r2

U (r)

d2U

dr2+

1

Y (θ, ϕ)

[1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y (θ, ϕ)

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2Y (θ, ϕ)

∂ϕ2

]= 0

ahora bien, el termino entre parentesis es justamente el operador momento angular orbital clasico al cuadrado(con signo menos)

L = −ir ×∇ ⇒ L2=(−ir ×∇)2 = −

[1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

](2.14)

L2Y (θ, ϕ) = −[

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y (θ, ϕ)

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2Y (θ, ϕ)

∂ϕ2

](2.15)


la ecuacion se reduce ar2

U (r)

d2U

dr2︸︷︷︸l(l+1)

− L2Y (θ, ϕ)

Y (θ, ϕ)︸︷︷︸l(l+1)

= 0

quedando las ecuacionesr2

U (r)

d2U

dr2= l (l + 1)

⇒ d2Udr2

− l(l+1)r2

U = 0

L2Y (θ, ϕ) = l (l + 1) Y (θ, ϕ)

La ecuacion radial es homogenea para r de modo que podemos hacer r = eµ obteniendose

d2U

dµ2− dU

dµ− l (l + 1)U = 0

denotando D como el operador derivada

[D2 −D − l (l + 1)

]U = 0 ⇒ [D − (1 + l)] [D + l]U = 0

la soluciones son

U = e(1+l)µ = rl+1 ; U = e−lµ = r−l

la solucion para r queda

U = Arl+1 +Br−l

veamos la solucion para la parte angular

[1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y (θ, ϕ)

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2Y (θ, ϕ)

∂ϕ2

]+ l (l + 1) Y (θ, ϕ) = 0

separamos variables

Y (θ, ϕ) = P (θ)Q (ϕ) (2.16)[Q (ϕ)

sin θ

d

dθ

(sin θ

dP (θ)

dθ

)+P (θ)

sin2 θ

∂2Q (ϕ)

∂ϕ2

]+ l (l + 1)P (θ)Q (ϕ) = 0

multiplicamos por sin2 θ/ (PQ)

[sin θ

P (θ)

d

dθ

(sin θ

dP (θ)

dθ

)+ l (l + 1) sin2 θ

]

︸︷︷︸m2

+1

Q (ϕ)

∂2Q (ϕ)

∂ϕ2

︸︷︷︸−m2

= 0

la solucion se escogio de tal manera que en Q (ϕ) haya soluciones armonicas.

∂2Q (ϕ)

∂ϕ2+m2Q (ϕ) = 0 ⇒ Q (ϕ) =

Ceimϕ +De−imϕ si m 6= 0

aϕ+ b si m = 0(2.17)

la solucion en θ essin θ

P (θ)

d

dθ

(sin θ

dP (θ)

dθ

)+ l (l + 1) sin2 θ −m2 = 0

sustituyamos

x = cos θ ⇒ dx

dθ= − sin θ; sin2 θ = 1 − x2 (2.18)


dP

dθ=dx

dθ

dP

dx= − sin θ

dP

dx

sustituyendo esta derivada en la ecuacion

− sin θ

P (θ)

d

dθ

(sin θ sin θ

dP

dx

)+ l (l + 1) sin2 θ −m2 = 0

dividiendo por sin2 θ

1

P (θ)

(− 1

sin θ

)d

dθ

(sin2 θ

dP

dx

)+ l (l + 1) − m2

sin2 θ= 0

1

P (θ)

(dθ

dx

)d

dθ

[(1 − x2

) dPdx

]+ l (l + 1) − m2

(1 − x2)= 0

1

P (θ)

d

dx

[(1 − x2

) dPdx

]+ l (l + 1) − m2

(1 − x2)= 0

multiplicando por Pd

dx

[(1 − x2

) dPdx

]+ l (l + 1)P − m2P

(1 − x2)= 0 (2.19)

o equivalentemente(1 − x2

) d2P

dx2− 2x

dP

dx+ l (l + 1)P − m2P

(1 − x2)= 0 (2.20)

la cual se conoce como ecuacion asociada de Legendre.

Consideremos primeramente la solucion correspondiente a m = 0

(1 − x2

) d2P

dx2− 2x

dP

dx+ l (l + 1)P = 0

denominada ecuacion ordinaria de Legendre. Consideremos una solucion en series de potencias

P (x) = xα∞∑

j=0

ajxj (2.21)

α es un parametro a determinar, al introducirlo en la ecuacion ordinaria de Legendre, se tiene

(1 − x2

) d2

dx2

∞∑

j=0

ajxj+α

− 2x

d

dx

∞∑

j=0

ajxj+α

+ l (l + 1)

∞∑

j=0

ajxj+α

= 0

(1 − x2

) d

dx

∞∑

j=0

aj (j + α) xj+α−1

− 2x

∞∑

j=0


+ l (l + 1)

∞∑

j=0

ajxj+α

= 0

—————————–

(1 − x2

)

∞∑

j=0

aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2

−2x

∞∑

j=0


+ l (l + 1)

∞∑

j=0

ajxj+α

= 0

————————–


∞∑

j=0

aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2

−

∞∑

j=0

aj (j + α) (j + α− 1) xj+α

−∞∑

j=0

[2aj (j + α) xj+α

]+ l (l + 1)

∞∑

j=0

(ajx

j+α)

= 0

∞∑

j=0

[aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2

]

−∞∑

j=0

[2aj (j + α) + aj (j + α) (j + α− 1) − ajl (l + 1)] xj+α = 0

——————-

∞∑

j=0

aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2 − [(j + α) (2 + j + α− 1) − l (l + 1)] ajx

j+α

= 0

quedando finalmente

∞∑

j=0

aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2 − [(j + α) (j + α+ 1) − l (l + 1)] ajx

j+α

= 0

cada coeficiente debe ser cero por separado

aj (j + α) (j + α− 1) = 0

aj (j + α) (j + α+ 1) − l (l + 1) = 0

con lo cual para j = 0, 1. Si a0 6= 0 ⇒con j = 0

α (α− 1) = 0

la primera relacion nos dice que α =cero o uno. Si a1 6= 0 con j = 1

(1 + α)α = 0

para cualquier otro j se obtiene la recurrencia

aj+2 =

[(α+ j) (α+ j + 1) − l (l + 1)

(α+ j + 1) (α+ j + 2)

]aj

las relaciones para j = 0 y j = 1 son en realidad equivalentes de modo que podemos elegir a0 6= 0 o a1 6= 0,pero no los dos al tiempo. Eligiendo a0 6= 0 obtenemos que α = 0 o α = 1. La relacion de recurrencia muestraque la serie de potencias tiene solo potencias pares (α = 0) o impares (α = 1).

α resulta ser cero o uno. Para ambos valores de α la serie converge para x2 < 1, y diverge en x = ±1 amenos que la serie sea truncada, convirtiendose entonces en un polinomio, esto solo es posible si l es cero oentero positivo. Adicionalmente, para l par (impar) se exige α = 0 (α = 1).

Los polinomios se normalizan de tal manera que valgan 1 en x = 1 y se denominan polinomios deLegendre. En forma general estos polinomios estan dados por

Pl (x) =1

2ll!

dl

dxl(x2 − 1

)l(2.22)


los cuales forman la solucion de la funcion P (θ) definida en (2.16), i.e.

P (θ) ≡ Pl (cos θ) (2.23)

Los polinomios de Legendre Pl (x) forman un conjunto ortogonal y completo en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1

∫ 1

−1Pl (x)Pl′ (x) dx =

2

2l + 1δll′

1

2

∞∑

l=0

(2l + 1)Pl (x)Pl(x′)

= δ(x− x′

)

y teniendo en cuenta las relaciones (2.18) se obtiene en terminos de θ

x = cos θ ⇒ dx = − sin θ dθ; x = −1 ⇒ θ = π ; x = 1 ⇒ θ = 0

∫ 1

−1Pl (x)Pl′ (x) dx =

∫ 0

πPl (cos θ)Pl′ (cos θ) [− sin θ dθ]

=

∫ π

0Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ

las relaciones de ortogonalidad y completez quedan∫ π

0Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ =

2

2l + 1δll′

1

2

∞∑

l=0

(2l + 1)Pl (cos θ)Pl(cos θ′

)= δ

(cos θ − cos θ′

)

cualquier funcion regular definida en el intervalo [−1, 1] puede escribirse

f (x) =

∞∑

l=0

AlPl (x) ⇒ Al =2l + 1

2

∫ 1

−1f(x′)Pl(x′)dx′

la solucion de la parte angular con m = 0 se obtiene entonces reemplazando (2.17) y (2.23) en (2.16) usandom = 0:

Ym=0 (θ, ϕ) = (aϕ+ b)Pl (cos θ) (2.24)

y la solucion a la ecuacion de Laplace con m = 0 se obtiene reemplazando (??, 2.24) en (2.13) y teniendoen cuenta que la superposicion de soluciones tambien es solucion.

φ (r, θ, ϕ) = (aϕ+ b)

∞∑

l=0

Ul (r)

rPl (cos θ) (2.25)

si asumimos simetrıa azimutal (i.e. independencia con respecto a ϕ), entonces a = 0, y la solucion queda

φ (r, θ) =∞∑

l=0

[Alr

l +Blrl+1

]Pl (cos θ) (2.26)

puede verse efectivamente que las soluciones con m 6= 0 ya no tienen simetrıa azimutal ya que tienensoluciones no triviales en ϕ. Al, Bl se determinan con las condiciones de frontera.

2.6.3. Propiedades de Pl (cos θ)

??????????????????


Figura 2.3:

2.6.4. Esfera con φ = V (θ) en la superficie

Evaluar φ en el interior de una esfera sin carga en su interior si φ = V (θ) en la superficie (ver Fig. 2.3).

φ (r, θ) =∞∑

l=0

[Alr

l +Blrl+1

]Pl (cos θ)

para evitar divergencia en φ se hace Bl = 0

φ (r, θ) =∞∑

l=0

AlrlPl (cos θ)

en r = a⇒ φ = V (θ)

V (θ) =

∞∑

l=0

AlalPl (cos θ)

multiplicamos por Pl′ (cos θ) sin θ dθ e integramos entre 0 y π.

∫ π

0V (θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ =

∞∑

l=0

Alal

∫ π

0Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ

=∞∑

l=0

Alal 2

2l + 1δll′ =

2Al′al′

2l′ + 1

Al =2l + 1

2al

∫ π

0V(θ′)Pl(cos θ′

)sin θ′ dθ′

φ (r, θ) =

∞∑

l=0

[2l + 1

2al

∫ π


)sin θ′ dθ′

]rlPl (cos θ)

φ (r, θ) =

∞∑

l=0

2l + 1

2

( ra

)lPl (cos θ)

[∫ π


)sin θ′ dθ′

]

si se quiere calcular el potencial por fuera de la esfera basta con reemplazar (r/a) l → (a/r)l+1.

2.7. PROBLEMAS CON CONDICIONES QUE NO SON DE FRONTERA 51

2.6.5. Cascarones concentricos

Cascaron de radio b a potencial V0 cascaron de radio a a potencial

V para 0 ≤ θ ≤ π/2 ;

0 para π/2 ≤ θ ≤ π

con φ = V0 en r = b ⇒

V0 =∞∑

l=0

[Alb

l +Blbl+1

]Pl (cos θ)

multiplicamos por Pl′ (x) e integramos

∫ 1

−1V0Pl′ (x) dx =

∞∑

l=0

[Alb

l +Blbl+1

] ∫ 1

−1Pl (x)Pl′ (x) dx

2V0δl′0 =

∞∑

l=0

[Alb

l +Blbl+1

](2

2l + 1

)δll′

2V0δl0 =

[Alb

l +Blbl+1

](2

2l + 1

)

por tanto se obtiene A0 + B0

b = V0 si l = 0

Albl + Bl

bl+1 = 0 si l ≥ 1(2.27)

ahora aplicamos φ = V (θ) en r = a

∫ 1

−1V (x)Pl (x) dx =

2

2l + 1

(Ala

l +Blal+1

)

∫ 1

−1V (x)Pl (x) dx =

∫ 0

−10 · Pl (x) dx+

∫ 1

0V · Pl (x) dx = V

∫ 1

0Pl (x) dx

V

∫ 1

0Pl (x) dx =

V δl0 si l = par

0 si l = impar

por tanto

⇒

22l+1

(Ala

l + Bl

al+1

)= V si l = 0

22l+1

(Ala

l + Bl

al+1

)= 0 si l ≥ 1

(2.28)

Al y Bl se pueden calcular de (2.27, 2.28).

2.7. Problemas con condiciones que no son de frontera

La unicidad de la solucion (2.26), nos conduce a que si encontramos cualquier metodo para hallar A l yBl, estos valores seran unicos. En algunas ocasiones es posible encontrar estos coeficientes sin recurrir enforma explıcita a las condiciones de frontera, conociendo por ejemplo el potencial en cierta region (que nonecesariamente pertenece a la frontera), usualmente el eje de simetrıa. Cuando aplicamos la solucion generalEq. (2.26) a dicho eje obtenemos

φ (r = z, θ = 0) =∞∑

l=0

[Alz

l +Blzl+1

](2.29)


para la parte negativa del eje i.e. θ = π, tenemos que introducir un factor (−1) l. Si el potencial en esta regionpuede desarrollarse en series de potencias, entonces podemos encontrar los coeficientes ya mencionados porcomparacion de la serie de potencias con la Ec. (2.29).

Para ilustrar este metodo, tomemos una esfera con potenciales ±V en las superficies de los hemisferiosnorte y sur respectivamente (ver Fig ??? en la Pag. ???). Como veremos mas adelante (seccion 5.3.1), esplausible obtener una solucion al potencial generado en el exterior de la esfera evaluado sobre el eje desimetrıa (eje Z), y viene dado por la Ec. (5.17)

φ (z) = V

(1 −

(z2 − a2

)

z√a2 + z2

)

dado que z > a, la variable adecuada para la expansion es a/z

φ (z) = V

1 −

(z2−a2)z2

z2

z2√

a2+z2

z2

= V

1 − 1 −

(az

)2√

1 +(az

)2

una expansion de Taylor de esta funcion nos da

φ (z) =V√π

∞∑

j=1

(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!

(az

)2j(2.30)

comparando esta ecuacion con (2.29) tenemos

∞∑

l=0

[Alz

l +Blzl+1

]=

V√π

∞∑

j=1

(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!

(az

)2j

comparando las potencias de z se ve que a la derecha no hay potencias positivas de esta. Por tanto A l = 0.

∞∑

l=0

Bl1

zl+1=

V√π

∞∑

j=1

[(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!a2j

]1

z2j

De esta expresion se ve que al lado izquierdo solo deben contribuir las potencias pares en l + 1, es decirimpares en l. De modo que Bl = 0 si l es par, por esta razon podemos escribir la suma de la izquierda conl + 1 ≡ 2j, y dado que solo contribuyen los valores l = 1, 3, 5, 7, .. la suma se expresa como

∞∑

j=1

B2j−11

z2j=

V√π

∞∑

j=1

[(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!a2j

]1

z2j

quedando

B2j−1 =V√π

(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!a2j

el valor B2j−1 es unico y valido para todas las regiones de la esfera exterior aun fuera del eje, de modo quela solucion general para el potencial fuera de la esfera es

φ (r, θ) =

∞∑

j=1

B2j−11

r2jP2j−1 (cos θ)

quedando

φ (r, θ) =

∞∑

j=1

[V√π

(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!a2j

]1

r2jP2j−1 (cos θ)

φ (r, θ) =V√π

∞∑

j=1

[(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!

](ar

)2jP2j−1 (cos θ) (2.31)

2.8. EXPANSION DE 1|R−R′| EN POLINOMIOS DE LEGENDRE 53

Notese que en realidad se usaron condiciones de Dirichlet para garantizar la unicidad, esto nos permiteasegurar que una vez encontrados Al y Bl por cualquier metodo, estos conducen a la solucion (unica) entoda la region.

2.8. Expansion de 1|r−r′| en polinomios de Legendre

Una importante aplicacion de la tecnica anterior nos posibilita expandir la funcion 1|r−r′| (la cual sera muy

importante en aplicaciones subsecuentes) en polinomios de Legendre. Esta funcion satisface la ecuacion deLaplace para r 6= r′. Si rotamos los ejes de tal forma que r′ quede a lo largo de Z, tendremos una funcionque satisface la ecuacion de Laplace y posee simetrıa azimuthal, de modo que podemos usar (2.26)

1

|r − r′| =

∞∑

l=0

[Alr

l +Blrl+1

]Pl (cos γ) (2.32)

donde γ es el angulo entre los vectores r y r′ que en el caso de la rotacion ya descrita coincidirıa con θ de lascoordenadas esfericas. Naturalmente, Al y Bl son en general funciones de r′. Examinemos las condicionesde frontera

1. Para r < r′ y con 1|r−r′| 6= ∞, hay que evitar divergencia en r→0 se tiene que Bl = 0 en (2.32)

1

|r− r′| =

∞∑

l=0

AlrlPl (cos γ)

a continuacion introduciremos la siguiente notacion: r> denota al mayor entre r y r′; similarmente r<simboliza al menor entre r y r′. En esta notacion, la expansion anterior se escribe:

1

|r− r′| =

∞∑

l=0

Alrl<Pl (cos γ) (2.33)

2. Para r > r′ con 1|r−r′| 6= ∞, hay que evitar divergencia en r→∞ , entonces Al = 0 en (2.32)

1

|r− r′| =

∞∑

l=0

Bl

rl+1>

Pl (cos γ) (2.34)

Una solucion valida en ambas regiones se obtiene haciendo el producto entre los sumandos de (2.33)con los de (2.34) y sumando sobre l5.

1

|r − r′| =

∞∑

l=0

Cl

(rl<

rl+1>

)Pl (cos γ)

para evaluar Cl consideramos el caso en que r y r′ son colineales i.e. γ = 0. Esto permite hacerfacilmente una expansion en series de potencias. Para el caso r > r ′ la expansion adecuada es en r′/r

1

|r− r′| =1

(r − r′)=

∞∑

l=0

Cl

(rl<

rl+1>

)Pl (cos 0)

=1

r>

∞∑

l=0

Cl

(r<r>

)lPl (1) =

1

r

[C0 + C1

r′

r+ C2

(r′

r

)2

+ ...

]

r>r′

5El hecho de poder escribir la solucion valida en ambas regiones como un producto de las soluciones en cada region, esuna caracterıstica general cuando dichas soluciones se escriben en la notacion r<, r>. En realidad, esa es la motivacion paraintroducir dicha notacion.


pero a su vez

1

(r − r′)=

1

r

(1 − r′

r

)−1

=1

r

[1 +

r′

r+

(r′

r

)2

+ ...

]

r>r′

se sigue que Cl = 1 (e igualmente para r < r′) con lo cual

1

|r− r′| =

∞∑

l=0

(rl<

rl+1>

)Pl (cos γ) (2.35)

2.8.1. Ejemplos de aplicacion en evaluacion de potenciales

Figura 2.4:

La expresion (2.35) se puede aplicar para evaluar potenciales. En particular la expresion (2.35) combinadacon los metodos de la seccion 2.7 puede resultar muy fructıfera como veremos en el ejemplo siguiente:Consideremos un anillo cargado (ver Fig. 2.4), cuyo plano es paralelo al plano XY a una distancia b dedicho plano, y el eje Z pasa por su centro, sea a el radio del anillo y c la distancia desde el origen a un puntoen el borde del anillo, el problema tiene claramente simetrıa azimutal. Por otro lado, es muy facil evaluar elpotencial sobre el eje el cual viene dado por

φ (z) =

∫Kc dq√

a2 + (z − b)2=

Kcq√a2 + (z − b)2

=Kcq√

a2 + b2 + z2 − 2zb

=Kcq√

c2 + z2 − 2cz cosα=

Kcq

|z − c|

usando la expansion (2.35) para z > c

φ (z) =Kcq

|z − c| = Kcq

∞∑

l=0

cl

zl+1Pl (cosα)

donde estamos expandiendo el potencial en el eje, el cual a su vez esta dado por la Ec. (2.29) con A l = 0para evitar divergencias

φ (z) =

∞∑

l=0

Blzl+1

igualando

Kcq

∞∑

l=0

cl

Z l+1Pl (cosα) =

∞∑

l=0

Blzl+1

Bl = KcqclPl (cosα)

de modo que el potencial para r > c es

φ (r) = q

∞∑

l=0

cl

rl+1Pl (cosα)Pl (cos θ)

analogamente para r < c

φ (r) = q

∞∑

l=0

rl

cl+1Pl (cosα)Pl (cos θ)

2.9. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE Y ARMONICOS ESFERICOS 55

2.9. Funciones asociadas de Legendre y Armonicos Esfericos

Hasta el momento hemos solucionado la ecuacion de Laplace solo en el caso de simetrıa azimutal quesurge cuando se hace m = 0 en la Ec. (2.20). Ahora consideremos la situacion general con m 6= 0, la cualsera necesaria si el problema no presenta simetrıa azimuthal. Retornamos a la ecuacion diferencial generalEq. (2.20)

(1 − x2

) d2P

dx2− 2x

dP

dx+ l (l + 1)P − m2P

(1 − x2)= 0

Que nos brinda la solucion mas general para la funcion P (θ) definida en (2.16) que naturalmente dependera´ahora de l y m

P (θ) ≡ Pml (cos θ) (2.36)

Las soluciones finitas en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1, solo se pueden obtener con l = 0 o entero positivo y si mtoma valores entre −l,− (l − 1) , ..., 0, ..., l − 1, l. Lo cual concuerda con la ecuacion de valores propios paraL2 y la exigencia de periodicidad en la funcion. La solucion es conocida como funcion asociada de LegendrePml (x), con

Pml (x) = (−1)m(1 − x2

)m/2 dm

dxmPl (x) =

(−1)m

2ll!

(1 − x2

)m/2 dl+m

dxl+m(x2 − 1

)l

puede demostrarse que

P−ml (x) = (−1)m

(l −m)!

(l +m)!Pml (x)

Los Pml forman un conjunto completo ortogonal para cada m, sobre el intervalo −1 ≤ x ≤ 1.

∫ 1

−1Pml (x)Pml′ (x) dx =

2

2l + 1

(l +m)!

(l −m)!δll′

donde P 0l (x) ≡ Pl (x).

La solucion mas general para la parte angular de la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas seobtiene reemplazando (2.17) y (2.36) en (2.16) usando m 6= 0. Dicha solucion angular genera (salvo factoresde normalizacion) unas funciones especiales conocidas como Armonicos Esfericos

Ylm (θ, ϕ) =

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ) eimϕ (2.37)

Yl,−m (θϕ) = (−1)m Y ∗lm (θ, ϕ) (2.38)

Estas funciones cumplen ortonormalidad y completez∫Ylm (θ, ϕ)Y ∗

l′m′ (θ, ϕ) dΩ = δll′δmm′

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) = δ

(ϕ− ϕ′) δ


)

dΩ ≡ sin θ dθ dϕ

dΩ se refiere a un elemento de angulo solido. haciendo l ′ = m′ = 0 en la relacion de ortonormalidad∫Ylm (θ, ϕ)Y ∗

00 (θ, ϕ) dΩ = δl0δm0 ;1√4π

∫Ylm (θ, ϕ) dΩ = δl0δm0

∫Ylm (θ, ϕ) dΩ =

√4πδl0δm0


se puede ver de la forma explıcita de los armonicos esfericos que aquellos armonicos con m = 0 solo dependende θ, efectivamente se reducen a los polinomios ordinarios de Legendre (chequear) que dan cuenta de loscasos con simetrıa azimuthal.

La completez de los armonicos esfericos me permite expandir cualquier funcion F (θ, ϕ) como superposi-cion de esta base numerable

F (θ, ϕ) =

∞∑

l=0

l∑

m=−lAlmYlm (θ, ϕ) ; Alm =

∫F (θ, ϕ)Y ∗

lm (θ, ϕ) dΩ

La solucion general para el potencial es entonces

φ (r, θ, ϕ) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

[Almr

l +Blmrl+1

]Ylm (θ, ϕ)

De nuevo, las constantes Alm, Blm se evaluan a traves de las condiciones de frontera.

2.10. Ecuacion de Laplace en coordenadas cilındricas, Funciones de Bessel

En estas coordenadas la ecuacion toma la forma

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂φ

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2φ

∂ϕ2+∂2φ

∂z2= 0

separando variablesφ = R (ρ)Q (ϕ)Z (z)

1

Q

d2Q

dϕ2= −ν2 ⇒ Q ∝ e±iνϕ ν > 0

1

Z

d2Z

dz2= k2 ⇒ Z ∝ e±kz

se escoge −ν2 en ϕ para obtener soluciones armonicas en la parte angular que son las unicas que garantizanla continuidad en el potencial. La escogencia −k2 tambien es posible para Z.

Para la parte radial se obtiene despues del cambio de variable x = kρ la ecuacion de Bessel

d2R

dx2+

1

x

dR

dx+

(1 − ν2

x2

)R = 0

las soluciones son series de potencias que dan como solucion las funciones de Bessel de orden ν, donde νes cualquier numero positivo. Se puede demostrar que si ν no es entero entonces Jν y J−ν son linealmenteindependientes, pero si ν es entero ellas son linealmente dependientes de modo que cuando ν es entero hayque completar la solucion con una segunda solucion que sı sea linealmente independiente de Jν . Esta segundasolucion es la funcion de Bessel de segunda clase o funcion de Neumann Nν (x) .

Las funciones de Bessel poseen relaciones de ortonormalidad y completez.Dado que la parte Z posee dos tipos posibles de soluciones ello nos conduce a dos tipos de soluciones

generales. En el caso de Z = e±kz la solucion radial conduce a las funciones de Bessel en tanto que para elcaso de Z = e±ikz la parte radial conduce a la ecuacion de Bessel modificada

d2R

dx2+

1

x

dR

dx−(

1 +ν2

x2

)R = 0

la cual se puede llevar a la forma de la ecuacion de Bessel haciendo x → ix, las soluciones van a ser engeneral combinaciones lineales complejas de Jν , Nν que definen las funciones modificadas de Bessel Iν , Kν .Elegir cual de las dos soluciones generales se debe tomar depende del problema. Basicamente, si al tomaruna solucion no podemos satisfacer las condiciones de frontera entonces tomamos la otra.

Capıtulo 3

Conductores electrostaticos

Figura 3.1:

Un conductor ideal es aquel en el cual los portadores de carga que conducen, no interactuan con losatomos o moleculas del material, excepto en cercanıas a la superficie (puesto que los portadores no sonlibres de abandonar el material). En solidos la conduccion es usualmente de electrones con interacciondespreciable con la red cristalina, en lıquidos los portadores son generalmente iones. Aunque no existenconductores ideales, existen materiales que se comportan muy aproximadamente como tales. En ese sentidolos portadores se pueden tratar en buena aproximacion como un gas interactuante dentro de un contenedor,puesto que las cargas no son libres de abandonar el material1. Existen conductores cargados que puedenformar configuraciones estaticas de carga, para lo cual es necesario que el campo en el interior del conductorsea cero, puesto que de lo contrario las cargas libres se moverıan, abandonando la configuracion estatica. Estaafirmacion esta respaldada por el hecho experimental de que un conductor en un campo electrico externoy estatico, produce una redistribucion de sus cargas que apantalla completamente al campo en el interiordel conductor. El campo inducido que anula al externo es producido por la polarizacion de las cargas comose aprecia en la figura (3.1). En dicha figura solo se muestran las lıneas de campo externo las cuales alsuperponerse con las lıneas del campo inducido producen un apantallamiento del campo en el interior delconductor. Es importante enfatizar que el campo es cero solo en el interior del conductor.

Por otra parte, la ley de Gauss aplicada al interior del conductor nos dice que ∇ · E (r) = 4πKcρ = 0,puesto que E (r) = 0. Esta ecuacion tomada matematicamente, nos dice que no podrıa haber ninguna carga

1La interaccion solo es significativa entre portadores, y es despreciable su interaccion con el resto del material, excepto enlas vecindades de la superficie.

57

58 CAPITULO 3. CONDUCTORES ELECTROSTATICOS

en el punto matematico en donde se evalua la divergencia. Sin embargo, una vision mas Fısica es que lasecuaciones de Maxwell locales solo son validas para volumenes suficientemente pequenos para considerar elfenomeno como local, pero suficientemente grandes para contener una gran cantidad de atomos. Por tanto,el significado real es que en promedio hay tanta carga positiva como negativa, en una vecindad alrededordel punto.

Lo anterior trae como consecuencia que cualquier carga neta se distribuye en la superficie. Adicional-mente, el hecho de que el campo sea nulo en el interior implica que el conductor sea equipotencial en suinterior. Es facil ver que ademas, su superficie debe estar al mismo potencial que el interior, ya que de no serası tambien habrıa flujo desde el interior hacia la superficie o viceversa, lo cual es incompatible con la condi-cion estatica. Teniendo en cuenta que el campo electrico en el exterior del conductor no es necesariamentenulo, se llega a que en las vecindades exteriores de la superficie las lıneas de campo son perpendiculares a lasuperficie del conductor. Para ver esto, podemos apelar nuevamente a la condicion estatica, ya que si hubieracomponente tangencial se provocarıa movimiento de las cargas superficiales. Un argumento matematico al-ternativo consiste en recordar que E = −∇φ, y que el gradiente de una funcion escalar, es perpendicular enr0 a la superficie definida por la ecuacion φ = φ (r0) = cte, es decir perpendicular a la superficie equipotencialque pasa por el punto.

Dado que los portadores de carga son esencialmente libres de moverse en el material, ellos buscan suconfiguracion de mınima energıa, se puede ver con algunos ejemplos concretos (e.g. una esfera uniformementecargada en su volumen o en su superficie), que la distribucion superficial hace que la energıa interna delsistema de portadores sea menor que cuando se distribuye en el volumen2, lo cual es otra manera de verporque los portadores que producen carga neta libre se acumulan en la superficie. Es importante anadir queaunque hemos llegado por argumentos simples a que la distribucion de carga neta en el conductor debe sersuperficial, no hay una forma simple de saber como es la forma funcional de dicha distribucion.

Lo anterior nos proporciona otra manera de ver el efecto de carga inducida del conductor en presencia deun campo externo. Inicialmente, el conductor esta en su estado de mınima energıa (en ausencia del campo),la introduccion del campo hace que la “curva” de energıa potencial se modifique dejando al sistema fuera dela configuracion de mınimo local. Por tanto el sistema se redistribuye para volver al mınimo de energıa. Porsupuesto, tambien se puede ver como un problema de equilibrio de fuerzas, teniendo presente que ademas dela interaccion electrica entre los portadores, tambien existen fuerzas de enlace con los atomos y moleculas queimpiden a las cargas escapar del material. En un conductor ideal estas ultimas serıan fuerzas estrictamentesuperficiales.

Finalmente, vale la pena llamar la atencion en el hecho de que la minimizacion de la energıa interna condistribucion en la superficie es un efecto en solo tres dimensiones. Por ejemplo, en un disco bidimensionalconductor, la carga no se acumula solo en los bordes, y en una aguja conductora, la carga no se va todahacia las puntas.

Es importante enfatizar que aunque el conductor sea neutro como sucede en la mayorıa de los casos,pueden existir acumulaciones de carga locales por efecto de campos externos, la carga neta sigue siendocero pero se produce igualmente el campo inducido que anula el campo total en el interior. Por ejemplo, sise acerca una carga puntual positiva a un conductor, las cargas negativas migran tratando de acercarse ala carga puntual, en tanto que las cargas positivas se alejan ubicandose en el otro extremo3. Esto produceun campo inducido como ya se comento anteriormente, debido a la existencia del campo externo generadopor la carga, pero adicionalmente se produce un efecto neto de atraccion entre la carga y el conductor,puesto que las cargas negativas que producen atraccion estan mas cercanas y por tanto producen una fuerza(atractiva) de mayor intensidad que las fuerzas (repulsivas) que producen las cargas positivas.

2Este es un mınimo sujeto a ligaduras, ya que los portadores estan impedidos para salir del material. De no ser ası laconfiguracion de mınima energıa (para portadores del mismo signo), serıa que todos se alejaran indefinidamente unos de otros.

3Hay que recordar que las cargas positivas no son moviles. Pero los huecos dejados por las cargas negativas actuan de maneraefectiva como si se moviera la carga positiva.

3.1. CAVIDADES EN CONDUCTORES 59

3.1. Cavidades en conductores

Si dentro del conductor hay una cavidad, este espacio no forma parte del interior del conductor. En loque sigue de la discusion, cuando hablemos del exterior del conductor nos referiremos a los puntos que nopertenecen ni al conductor ni a la cavidad (a pesar de que los puntos de la cavidad tambien son parte delexterior del conductor, para estos puntos usaremos el termino “interior de la cavidad”).

Si colocamos una cantidad neta de carga qcav, en el interior de la cavidad, se puede demostrar que en lasuperficie de dicha cavidad se induce una carga de igual magnitud y signo opuesto. Para ello se puede usaruna superficie gaussiana que contenga a la cavidad, pero que este contenida en el volumen del conductor,de tal manera que todo punto de dicha superficie este en el interior del conductor, donde el campo es cero.Obviamente el flujo de campo sobre esta superficie es cero de modo que la ley de gauss me dice que no haycarga neta contenida en la superficie, y como en el interior del conductor no hay carga, toda la carga seencuentra en el interior de la cavidad o en su superficie (carga inducida), ası que QTotal = qindcav + qcav = 0,de modo que qindcav = −qcav como se querıa demostrar. Esto implica que para el exterior de la cavidad,la contribucion del campo generado por qcav se ve apantallado por el campo generado por la carga qindcav

distribuıda en la superficie de la cavidad. Aunque no es facil visualizar la razon por argumentos fısicossimples, es un hecho que este apantallamiento es total, de tal manera que la superposicion de estos doscampos es cero en el exterior de la cavidad (tanto en el interior como en el exterior del conductor). Por otrolado, en el interior de la cavidad, la superposicion de estos dos campos es en general diferente de cero.

Imaginemos ahora que tenemos un conductor neutro con una cavidad y que ademas hay distribucionesde carga qcav, qext en el interior de la cavidad, y en el exterior del conductor respectivamente. Como yavimos, en el exterior de la cavidad (y en particular en el interior del conductor) los campos generados porlas cargas qcav y qindcav = −qcav que se encuentran en el volumen y la superficie de la cavidad respectivamente,se anulan. De esto sale como consecuencia que para que el campo en el interior del conductor sea cero, esnecesario que el campo generado por la distribucion exterior de carga qext este completamente apantalladopor la carga inducida en la superficie exterior del conductor (q indext = qcav ya que el conductor es neutro). En

sıntesis, tenemos cuatro distribuciones de carga (qcav, qindcav , qext, q

indext )=(q

(a)cav,−q(b)

cav, qext, q(c)cav)4, las cuales en

el interior del conductor, se anulan por pares. Mas aun, en el interior de la cavidad se anula la contribuciondebida a qext, q

indext de manera que el campo resultante se debe solo a las cargas en el volumen y superficie

de la cavidad. Similarmente, en el exterior del conductor no hay contribucion del par qcav, qindcav , y el campo

resultante es debido solo a la pareja qext, qindext . De modo que el conductor aisla completamente a las dos

parejas de distribuciones. No hay lıneas de campo generadas en la cavidad y su superficie que crucen elconductor ni que lleguen al exterior. De la misma forma no hay lıneas de campo generadas en el exteriory la superficie del conductor, que crucen el interior del conductor ni que lleguen al interior de la cavidad.El conductor esta actuando como escudo electrostatico en ambas direcciones. Mas aun, se pueden fabricarescudos electrostaticos muy efectivos incluso si el conductor no es cerrado sino que posee pequenos huecos(jaulas de Faraday), el campo es muy atenuado en el interior excepto en las regiones cercanas a los agujeros.Esto solo es valido para campos exteriores independientes del tiempo o que varıan lentamente en el tiempo(mas adelante veremos que tambien hay efectos de apantallamiento de campos dependientes del tiempo enel interior de los conductores).

De lo anterior es facil ver que si la cavidad esta libre de carga, el campo electrico en su interior es cero.La manera mas sencilla de verlo, es tomando qcav → 0+, en tal caso qindcav → 0−, y la contribucion de estepar al campo en el interior de la cavidad tiende a cero, y como ya vimos, las otras dos fuentes de campo nocontribuyen en el interior de la cavidad y obtenemos lo que se querıa demostrar. Se demuestra ademas, queno se induce carga en la superficie de la cavidad5.

4Los supraındices (a) , (b) , (c) indican que aunque las cargas netas pueden ser iguales, su distribucion es en general, totalmentedistinta.

5Este es un hecho interesante, ya que en tal caso, aun con cargas en el exterior del conductor, la carga inducida en este no sedistribuye sobre toda la superficie del conductor, puesto que la superficie que da a la cavidad tambien hace parte de la superficiedel conductor.


Otra manera de verlo es teniendo en cuenta que las lıneas de campo generadas en las eventuales cargaspresentes en la superficie de la cavidad, deben comenzar y terminar en la superficie de la cavidad (ya queninguna lınea de campo le llega del exterior y por otro lado, no hay cargas en el volumen en donde puedaterminar una de estas lıneas). Esto no es posible si todas las cargas en la superficie fueran del mismo signo,es necesario que una lınea comience en una carga positiva en la superficie y termine en una negativa tambienen la superficie. Podemos completar un lazo cerrado con esta lınea continuandola de tal manera que el restodel lazo yace en el interior del conductor, este complemento no produce contribucion a la integral de lıneacerrada del campo ya que E = 0 en los puntos por donde pasa, esto conduce a que solo la lınea que pasapor el interior de la cavidad contribuye a la integral cerrada, y dicha contribucion es positiva (si tomamosel sentido que va de la carga positiva a la negativa), ya que el campo se origina en una carga positiva yotra negativa, esto nos conduce a que este es un campo electrostatico no conservativo a menos que no existacarga neta en ningun punto de la superficie, y el campo sea cero en el interior de la cavidad.

Finalmente, hay un argumento alternativo con base en el teorema de unicidad para la ecuacion deLaplace: en el interior de la cavidad (en ausencia de carga), se satisface la ecuacion de Laplace con potencialconstante en la frontera, una solucion posible es φ = cte =potencial en la frontera, y como la solucion esunica entonces el potencial es constante en el interior, de modo que el campo es cero en esta region.

Una aclaracion final: de lo anterior se sigue que para un conductor neutro, la carga neta inducida sobrela superficie exterior, es igual en magnitud y signo a la carga neta que esta en el interior de la cavidad(digamos positiva). Esto no significa que se distribuya carga positiva a lo largo de toda la superficie exteriordel conductor. Es posible por ejemplo, que la carga exterior genere una polarizacion de tal forma que sedistribuye carga positiva y negativa en extremos opuestos de la superficie conductora, lo importante es quela carga positiva polarizada es mayor que la negativa polarizada, en una cantidad igual a la magnitud de lacarga en el interior de la cavidad.

Example 8 Supongamos una esfera conductora neutra con una cavidad cuya posicion y forma es arbitraria,coloquemos una carga puntual q en el interior de la cavidad, y evaluemos el campo electrico resultante enel exterior del conductor. En este caso, las cuatro distribuciones mencionadas arriba vienen dadas por(qcav, q

indcav , qext, q

indext )=(q(a),−q(b), 0, q(c)). En el interior del conductor las dos primeras se anulan, y como la

tercera es nula, es necesario que la distribucion qindext produzca contribucion nula al campo en el interior delconductor. Por tanto, la carga qindext = q debe estar uniformemente distribuıda en la superficie de la esfera. Elcampo resultante en el exterior es entonces el debido a esta ultima carga uniformemente distribuıda, puestoque las dos primeras se anulan entre sı. Tenemos por tanto que el campo es

E = Kcq

r2ur

este campo es central sin importar la forma de la cavidad ni la posicion de la cavidad o la carga. Lo unicoque importa es el valor de la carga encerrada en la cavidad.

3.2. Sistemas de conductores como dispositivos de almacenamiento: Ca-pacitores

Imaginemos un conductor esferico aislado de radio a, que esta a potencial ϕ0 y que posee una carga Q(definimos el cero de potencial en el infinito). Para un conductor esferico sabemos que ϕ0 = Q/a podemosdefinir entonces la capacitancia de la esfera como el cociente

C ≡ Q

ϕ0= a

notamos que este cociente es un factor geometrico, es decir no depende de las cargas ni los potenciales sobreel conductor, unicamente de su forma y tamano. El lector puede comprobar que para un disco delgado de

3.3. SISTEMAS CON N CONDUCTORES: COEFICIENTES DE CAPACITANCIA 61

radio a la carga almacenada y la capacitancia cuando este esta a un potencial ϕ0 vienen dados por

Q =2aϕ0

π; C =

2a

π

nuevamente un factor geometrico. Consideremos ahora un sistema que consiste de dos conductores elec-trostaticos originalmente neutros. La idea es transferir carga positiva desde uno de los conductores haciael otro, de modo que ambos queden con cargas finales Q y −Q. El procedimiento de transferencia debeser cuasi estatico con el fin de garantizar que no hay perdidas por radiacion. Extrapolando la definicionanterior de capacitancia es natural definir la capacitancia como el cociente entre la carga Q y la diferenciade potencial V entre los conductores

C ≡ Q

V(3.1)

un caso muy simple lo constituye el sistema de un par de placas paralelas. El lector puede comprobar quepara dicho sistema el valor de la carga y capacitancia (despreciando efectos de borde) vienen dadas por:

Q = AV

4πs; C =

A

4πs

siendo A el area de cada placa, s la distancia entre placas y V la diferencia de potencial entre ellas. Nue-vamente la cantidad denominada capacitancia resulta ser un factor exclusivamente geometrico. El siguientepaso natural es tratar de extrapolar el concepto cuando hay en juego N conductores. Veremos que el conceptode capacitancia resulta de mucha utilidad en la caracterizacion de sistemas de N conductores electrostaticos.

3.3. Sistemas con N conductores: Coeficientes de capacitancia

Si

SN+1

F= j1

F= ji

F= jN

F= jN+1

ni

nN+1

F= ji

Figura 3.2: Sistema de N conductores internos con un conductor N + 1 que los encierra. Las normales n icon i = 1, .., N + 1 apuntan hacia el exterior de los conductores y hacia el interior del volumen VST

. Lassuperficies Si con i = 1, .., N son un poco mayores a las de los correspondientes conductores. En contraste,la superficie SN+1 es ligeramente menor a la superficie del conductor externo.

Consideremos un sistema de N conductores donde el potencial en cada conductor es ϕi, i = 1, 2, ..., Ny un conductor externo que posee una cavidad en la cual estan contenidos los N conductores anteriores.La superficie de la cavidad que contiene a los conductores la denotamos por SN+1 y esta a potencial ϕN+1,ver Fig. 3.2. Hay dos razones importantes para introducir el conductor externo que encierra a los otros: laprimera es que muchos sistemas de capacitores contienen un conductor que enciera a los demas, la segundaes que la condicion de frontera sobre la superficie SN+1 nos garantizara la unicidad de las soluciones que nosinteresan como veremos mas adelante. Finalmente, veremos que el caso en el cual no hay conductor externorodeando al sistema se puede obtener utilizando el lımite apropiado.


La densidad de carga en la superficie de un conductor esta dada por (1.28), de modo que la carga totalen cada conductor se escribe como

Qi =

∮

Si

σi dS = −ε0∮

Si

∇φ · ni dS , i = 1, . . . , N,N + 1 (3.2)

donde Si es la superficie exterior que encierra al conductor i y que esta arbitrariamente cercana y localmenteparalela a la superficie real del conductor (ver Fig. 3.2)6, ni es un vector normal a Si que apunta hacia elexterior del conductor. Definamos la superficie total ST como

ST = S1 + . . .+ SN + SN+1

y el volumen VSTque encierra la superficie ST es aquel delimitado por la superficie exterior SN+1 y las

N superficies interiores Si. Claramente, el potencial φ en dicho volumen debe satisfacer la ecuacion deLaplace con las condiciones de frontera

φ (Si) = ϕi ; i = 1, . . . , N,N + 1 (3.3)

en virtud de la linealidad de la ecuacion de Laplace, la solucion para φ se puede parametrizar como

φ =

N+1∑

j=1

ϕjfj (3.4)

donde fj son funciones que cumplen la ecuacion de Laplace en el volumen VST, y que deben cumplir con las

siguientes condiciones de frontera

∇2fj = 0 ; fj(Si) = δij , i, j = 1, . . . , N,N + 1 (3.5)

las soluciones para fj nos aseguran que φ es solucion de la ecuacion de Laplace con las condiciones defrontera (3.3). Adicionalmente, los teoremas de unicidad nos aseguran que la solucion para cada fj es unica(ası como la solucion para φ). Mas aun, las condiciones de frontera (3.5) nos indican claramente que losfactores fj dependen exclusivamente de la geometrıa. Aplicando el operador gradiente en la Ec. (3.4)y reemplazando en (3.2) resulta

Qi =N+1∑

j=1

Cijϕj ; Cij ≡ −ε0∮

Si

∇fj · nidS (3.6)

de lo cual se ve claramente que los Cij son factores exclusivamente geometricos. Los coeficientes Cijse pueden organizar en forma de una matriz de capacitancia la cual consiste en una generalizacion delconcepto de capacitancia planteado en la seccion anterior. Podemos demostrar que la matriz C ij es simetricapor medio de argumentos puramente geometricos. Partiendo de la definicion de Cij en la Ec. (3.6) se tiene

Cij = −ε0∮

Si

∇fj · nidS = ε0

∮

ST

fi∇fj · (−ni) dS

donde hemos usado el hecho de que fi = 1 en la superficie Si en tanto que fi = 0 en las otras superficies.Del teorema de Gauss encontramos que

6QN+1 no es necesariamente la carga total sobre el conductor externo, sino la carga acumulada sobre la superficie de lacavidad que encierra a los otros conductores. El valor de la carga se calcula con la integral de superficie (3.2), la cual para elcaso de los conductores internos comprende toda su superficie, pero para el conductor externo es solo la superficie de la cavidadque encierra a los otros conductores.

3.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA MATRIZ DE CAPACITANCIA 63

Cij = ε0

∫

VST

∇ · (fi∇fj) dV = ε0

∫

VST

[∇fi · ∇fj + fi∇2fj

]dV

y dado que ∇2fj = 0 en VSTse sigue que

Cij = ε0

∫

VST

∇fi · ∇fj dV (3.7)

la cual es claramente simetrica7, i.e.

Cji = Cij (3.8)

una demostracion alternativa usando argumentos de energıa se describe en la seccion 3.6.

Es posible que uno o mas de los conductores internos tenga una cavidad vacıa. De acuerdo con la discusionhecha en la seccion 3.1, no hay carga inducida sobre la superficie de esta cavidad (la cual denotaremos porSic). En consecuencia, aunque Sic es parte de la superficie del conductor, dicha superficie se puede excluirde la integracion en la Ec. (3.2). Por otro lado, se puede ver por argumentos de unicidad que fj = δij en elvolumen de la cavidad Vic con lo cual ∇fj = 0 en dicho volumen, y por tanto Vic puede ser excluıdo de laintegral de volumen (3.7). En sıntesis ni Sic ni Vic contribuyen en este caso.

Esta situacion es diferente si hay otro conductor en la cavidad. En este caso la superficie de la cavidadcontribuye en la Ec. (3.2). Similarmente, el volumen comprendido entre la cavidad y el conductor dentrode ella contribuye en la integral (3.7). Estos argumentos se pueden extender para el caso de embebimientosucesivos de conductores en cavidades como muestra la Fig. 3.3 o para conductores con varias cavidades.

Figura 3.3: Ejemplo de un sistema en el cual hay embebimiento sucesivo de conductores. El volumen VST

corresponde a la region en blanco. Las regiones correspondientes a cavidades vacıas (y sus superficies yvolumenes asociados) pueden ser excluıdos sin afectar los calculos. En esta figura la cavidad A esta vacıa,de modo que su superficie y volumen no necesitan ser considerados en los calculos.

3.4. Propiedades adicionales de la matriz de capacitancia

Definamos una funcion F en la forma

F ≡N+1∑

j=1

fj (3.9)

de la ecuacion (3.5) vemos que

∇2F = 0, F (Si) = 1 (i = 1, . . . , N + 1). (3.10)

y dado que F = 1 a lo largo de toda la superficie ST , vemos por unicidad que F = 1 en todo el volumenVST

de modo que se obtiene la identidadN+1∑

i=1

fi = 1 (3.11)

7La Ec. (3.7) es una integral de volumen para los factores Cij . Podrıamos estar tentandos a usar el teorema de Gauss paraobtener una integral de volumen directamente de la Ec. (3.6). Sin embargo, fj no esta definido en la region interior a losconductores. El gradiente de fj en la Ec. (3.6) se evalua en una vecindad exterior de la superficie conductora.


adicionalmente si sumamos sobre j en la segunda de las ecuaciones (3.6) y teniendo en cuenta la Ec. (3.11),encontramos

N+1∑

j=1

Cij = 0 (3.12)

La simetrıa de los Cij conduce tambien a la identidad

N+1∑

i=1

Cij = 0 (3.13)

Las ecuaciones (3.12) and (3.13) implican que la suma de los elementos sobre cualquier fila o columna dela matriz es nula. En el apendice B.1 se obtienen algunas pruebas de consistencia para estas importantespropiedades. Teniendo en cuenta la simetrıa de la matriz de los Cij con dimensiones (N + 1) × (N + 1)ası como las N +1 ligaduras dadas por la Ec. (3.13), vemos que para un sistema de N conductores rodeadospor un conductor externo N + 1, el numero de coeficientes de capacitancia independientes viene dado por

NI = (N + 1)2 −[N (N + 1)

2

]− (N + 1) =

(N + 1)N

2. (3.14)

Si

fi= 0Ñf i

Sj

ni

Si

Ñf j

Sj

ni

(a) (b)

C iiC ij

fi= 1

fj= 0

fj= 1

Figura 3.4: Comportamiento del factor ∇fi en la superficie de cada conductor.

Otras propiedades importantes son las siguientes

Cii ≥ 0 ; Cij ≤ 0, i 6= j (3.15)

La primera de las Ecs. 3.15 se sigue directamente de la Ec. (3.7). Para demostrar la segunda, recordemosque las soluciones de la ecuacion de Laplace no pueden tener mınimos o maximos locales en el volumen endonde la ecuacion es valida (ver seccion 2.2). Por lo tanto las funciones fj deben yacer en el intervalo

0 ≤ fj ≤ 1. (3.16)

y puesto que fj = 0 sobre las superficies Si con i 6= j, vemos que fj adquiere su valor mınimo sobre talessuperficies. En consecuencia, la funcion ∇fj debe apuntar hacia afuera con respecto al conductor i parai 6= j. de modo que

ni · ∇fj ≥ 0 for i 6= j. (3.17)

sustituyendo la Ec. (3.17) en la Ec. (3.6) se obtiene que Cij ≤ 0 para i 6= j. Una demostracion adicionalde la propiedad Cii ≥ 0 se puede obtener teniendo en cuenta que fj adquiere su valor maximo sobre lasuperficie Sj . La Fig. 3.4, muestra el comportamiento de estos gradientes en las vecindades de las superficiesconductoras.

Por otro lado, la Ecuacion (3.13) la podemos reescribir como

N∑

j=1

Cij = −CN+1,j

3.5. EJEMPLOS DE CALCULOS DE LA MATRIZ DE CAPACITANCIAS 65

Y a partir de la Ec. (3.15) tenemos que CN+1,j ≤ 0 para j = 1, . . . , N y CN+1,N+1 ≥ 0. Por tanto

N∑

i=1

Cij ≥ 0 (j = 1, . . . , N) (3.18a)

N∑

i=1

Ci,N+1 ≤ 0. (3.18b)

Las siguientes propiedades se siguen de las Ecs. (3.8), (3.13), (3.15), (3.18a) y (3.18b)

|Cii| ≥N∑

i6=j|Cij | (3.19a)

|Cii| ≥ |Cij |, (3.19b)

CiiCjj ≥ C2ij (3.19c)

|CN+1,N+1| =

N∑

i=1

|Ci,N+1| (3.19d)

|CN+1,N+1| ≥ |Ci,N+1|, (3.19e)

donde i, j = 1, . . . , N .Un caso particularmente interesante surge cuando el conductor externo esta a potencial cero. En tal caso,

aunque los elementos de la forma CN+1,j no son necesariamente nulos, no aparecen en las contribuciones ala carga de los conductores internos como se puede ver de la ecuacion (3.6) haciendo ϕN+1 = 0. Por estarazon, la matriz de capacitancia usada para describir N conductores libres (es decir sin un conductor externoque los rodee) tiene dimensiones N ×N , ya que por unicidad, la solucion para este problema es equivalentea la solucion del sistema de N conductores rodeados por un conductor externo conectado a tierra y cuyasdimensiones tienden a infinito.

3.4.1. El caso de dos conductores

Analicemos el caso de un solo conductor interno y el conductor externo i.e. N = 1. En todos los casos elconductor 1 es el conductor interno. De 3.13 y 3.8 tenemos que

C21 = C12 = −C11 = −C22

por lo tanto solo hay un coeficiente independiente, por ejemplo C11 (en consistencia con la Ec. 3.14 conN = 1). Las cargas del conductor interno y externo se obtienen a partir de (3.6)

Q1 = C11(ϕ1 − ϕ2)

Q2 = −C11(ϕ1 − ϕ2) = −Q1

Este ultimo resultado es consistente con la Ec. (B.2) y nos muestra que la carga inducida en la superficie dela cavidad del conductor 2 es opuesta a la carga del conductor 1.

De este caso se pueden derivar tres ejemplos que resumimos en la tabla (3.1). Las fj son las funcionesauxiliares que nos permiten calcular los coeficientes de capacitancia.

3.5. Ejemplos de calculos de la matriz de capacitancias

Ejemplo 1: Consideremos el caso de dos cascarones esfericos concentricos de radios b y c, y un conductoresferico solido (concentrico con los anteriores) de radio a de tal forma que c > b > a. Los potenciales se


System f1 C11

Spherical shell with radius band concentric solid spherewith radius a.

abb−a

(1r − 1

b

)4πε0abb−a

Cylindrical shell with radiusb and concentric solid cylin-der with radius a, both withlength L.

ln(r/b)ln(a/b)

2πε0Lln(b/a)

Two parallel planes with areaA at x = 0 and x = d (con-ductor 1).

x/d ε0Ad

Cuadro 3.1: factores C11 y f1 para tres sistemas de dos conductores con a ≤ r ≤ b y 0 ≤ x ≤ d. Despreciamosefectos de borde para los cilindros y planos.

denotan por ϕ1, ϕ2, y ϕ3 respectivamente. La solucion general de la ecuacion de Laplace para fi se puedeescribir como

fi =Air

+Bi (3.20)

Usando (3.5) y (3.20), obtenemos f1 y f3

f1 =

1, r ≤ aabb−a

(1r − 1

b

), a ≤ r ≤ b

0, b ≤ r ≤ c

f3 =

0, 0 ≤ r ≤ b

bcc−b(

1b − 1

r

), b ≤ r ≤ c

aunque f2 se puede obtener con el mismo procedimiento, es mas ventajoso extraerlo con base en la propiedad(3.11) y se obtiene

f2 =

0, r ≤ aabb−a

(1a − 1

r

), a ≤ r ≤ b

bcc−b(

1r − 1

c

), b ≤ r ≤ c

Los nueve coeficientes de capacitancia se pueden evaluar explıcitamente a partir de (3.6), lo cual se dejaal lector. Sin embargo, es mas facil usar las propiedades (3.13) y (3.8), y tener en cuenta que C31 = 0(∇f1(r) = 0 para r > b) para obtener

C13 = 0, C12 = −C11, C22 = C11 − C32 y C33 = −C32 (3.21)

De 3.6 la carga en cada uno de los conductores es

Q1 = C11 (ϕ1 − ϕ2) (3.22)

Q2 = −Q1 + C32 (ϕ3 − ϕ2)

Q3 = C32 (ϕ2 − ϕ3) = −(Q1 +Q2)

por lo tanto, solo debemos calcular C11 y C328, los cuales estan dados por

8Si tenemos en cuenta que C13 es otro grado de libertad (aunque sea nulo), tenemos un total de tres grados de libertad, enconcordancia con la Ec. 3.14 para N = 2.

3.5. EJEMPLOS DE CALCULOS DE LA MATRIZ DE CAPACITANCIAS 67

C11 = 4πε0ab

b− a, C23 = −4πε0

bc

c− b

con lo que obtenemos

C12 = −4πε0ab

b− a, C33 = 4πε0

bc

c− b,

C22 = 4πε0b

(a

b− a+

c

c− b

)

Q1 = 4πε0ab

b− a(ϕ1 − ϕ2) ; Q2 = −Q1 + 4πε0

bc

c− b(ϕ2 − ϕ3)

En el caso en que ϕ2 = ϕ3, se llega a que Q1 = −Q2 y Q3 = 0. Se puede demostrar que las ecuaciones(3.21) y (3.22) son validas incluso si no tenemos conductores esfericos ni concentricos, ya que estas ecuacionesprovienen de la primera de las Ecs. (3.6) ası como de las Ecs. (3.8) y (3.13), las cuales reflejan propiedadesgenerales independientes de geometrıas especıficas.

Ejemplo 2 Consideremos dos conductores internos y el conductor externo conectado a tierra. Comence-mos con los conductores internos inicialmente neutros i.e. Q1 = Q2 = 0. Si transferimos carga desde uno delos conductores internos al otro se mantendra la condicion Q1 = −Q2. A partir de la Ec. (??) y definiendoV ≡ ϕ1 − ϕ2 encontramos

Q1 = (C11 + C12)ϕ1 − C12V (3.23)

Q1 = −C13ϕ1 − C12V (3.24)

donde hemos usado la Ec. (3.13). Similarmente Q2 = −C23ϕ1 − C22V , y usando de nuevo la Ec. (3.13)encontramos

Q1 +Q2 = C33ϕ1 − C32V (3.25)

y dado que el sistema es neutro i.e. Q1 +Q2 = 0 se obtiene que

ϕ1 = −C32

C33V (3.26)

sustituyendo la Ec. (3.26) en la Ec. (3.24) encontramos

Q1 = CV ; C ≡ C13C32 − C33C12

C33(3.27)

Por tanto, para un sistema de dos conductores internos y un conductor envolvente, la carga almacenadaen el conductor 1 es directamente proporcional al voltage V = ϕ1 − ϕ2 siempre que se mantenga la condi-cion Q1 = −Q2 , y el conductor externo permanezca conectado a tierra. La constante de proporcionalidadgeometrica es una combinacion de los elementos de la matriz de capacitancia que la llamaremos la capaci-tancia efectiva C. Dado que N = 2, solo tres de los coeficientes en la definicion de C son independientes.A partir de las Ecs. (3.15) vemos que esta capacitancia efectiva es no negativa. El procedimiento no es validosi C33 = 0, en tal caso vemos que al usar las Ecs. (3.13, 3.8, (3.15)) se obtiene Ci3 = C3i = 0, y a partir dela Ec. (3.24) encontramos C = −C12 = C22 = C11 que tambien es no negativo.

Finalmente, el lımite en el cual no hay conductor externo se obtiene haciendo tender todas las dimensionesde la cavidad hacia infinito manteniendo el conductor externo conectado a tierra como ya se discutio porargumentos de unicidad. En consecuencia, para un sistema de dos conductores sin conductor externo, lacondicion (3.27) permanece valida. Esta es entonces la demostracion formal de la Ec. (3.1) que se discutio enla pag. (61) de manera eurıstica.


3.6. Energıa electrostatica y matriz de capacitancia

Notese que a partir de la Ec. (3.6) los argumentos utilizados han sido exclusivamente geometricos sinalucion alguna a cargas o potenciales sobre los conductores. Esto esta relacionado con el hecho de que loscoeficientes de capacitancia son factores geometricos independientes de dichas cargas y potenciales. Por otrolado, la Ec. (3.6) nos brinda la relacion que hay entre las cargas y potenciales a traves de los factores decapacitancia. El objetivo ahora es ver que informacion nos pueden dar estos coeficientes para observablestales como cargas, potenciales y la energıa electrostatica.

3.6.1. Simetrıa de los Cij por argumentos de energıa

Notemos en primer lugar que la propiedad de simetrıa de los Cij se puede obtener utilizando la conser-vatividad de los sistemas electrostaticos: Tomemos un sistema de N conductores con un conductor N + 1que los rodea tal como lo describe la Fig. (3.2). Comenzando con todos los conductores a potencial cero,cargamos el conductor j hasta que alcance su potencial final ϕj , el trabajo necesario es 1/2Qjϕj = 1/2Cjjϕ

2j .

Ahora manteniendo el conductor j a potencial ϕj , cargamos el conductor i hasta que quede a potencial ϕi,el trabajo para esto es 1/2Qiϕi = 1/2 (Ciiϕi + Cijϕj)ϕi, la energıa total para llevar ambos conductores apotenciales ϕi y ϕj (los otros conductores se mantiene a potencial cero) es

UT =1

2

(Ciiϕ

2i +Cijϕjϕi + Cjjϕ

2j

)(3.28)

Por otro lado, si cargamos primero el conductor i para luego cargar el conductor j hasta la mismaconfiguracion final, la conservatividad de los sistemas electrostaticos nos garantiza que la energıa requeridaes la misma y esta dada por

UT =1

2

(Ciiϕ

2i +Cjiϕjϕi + Cjjϕ

2j

)(3.29)

de modo que las Ecs. (3.28, 3.29) conducen a

Cij = Cji (3.30)

3.6.2. Teorema de reciprocidad para cargas y potenciales

Ahora para una geometrıa dada de conductores, tomemos dos configuraciones de carga y potencialesQi, ϕi y Q′

i, ϕ′i. Un resultado adicional interesante surge de aplicar las relaciones (3.8) y (3.6) se tiene

queN+1∑

i=1

Qiϕ′i =

N+1∑

i=1

N+1∑

j=1

Cijϕj

ϕ′

i =

N+1∑

j=1

(N+1∑

i=1

Cjiϕ′i

)ϕj

y aplicando nuevamente (3.6) se obtiene

N+1∑

i=1

Qiϕ′i =

N+1∑

j=1

Q′jϕj

resultado conocido como teorema de reciprocidad [5].

3.6.3. Energıa electrostatica y capacitancia

Para demostrar la simetrıa de los coeficientes de capacitancia hemos calculado la energıa interna enel caso en que se eleva el potencial de dos conductores manteniendo los otros a tierra. Sin embargo, laconfiguracion final del sistema puede ser tal que todos los conductores esten a potencial diferente de cero.

3.6. ENERGIA ELECTROSTATICA Y MATRIZ DE CAPACITANCIA 69

Para este caso general vamos a calcular la energıa interna del sistema, es decir el trabajo necesario para quelos conductores queden en sus potenciales finales partiendo todos de potencial cero. En particular queremosver la conexion que hay entre la energıa interna del sistema y los coeficientes de capacitancia. Partiendo dela expresion (1.18) para la energıa interna electrostatica tenemos:

U =ε02

∫

VST

E2dV =ε02

∫

VST

∇φ · ∇φ dV =1

2

∑

i,j

ϕiϕj

[ε0

∫

VST

∇fi · ∇fj dV]

donde hemos usado (3.4), teniendo en cuenta la relacion (3.7) obtenemos

U =1

2

∑

i,j

Cijϕjϕi =1

2

∑

i

Qiϕi

que nos muestra la forma de calcular la energıa almacenada en el sistema de conductores, con base en loscoeficientes de capacitancia y los potenciales de estos.

Capıtulo 4

Funciones de Green y ecuacion dePoisson en electrostatica

La naturaleza no homogenea de la ecuacion de Poisson trae como consecuencia que sus soluciones no sepueden construır por el metodo de separacion de variables salvo en casos muy especiales. En realidad, estees el caso para la mayor parte de las ecuaciones inhomogeneas. Por esta razon es necesario recurrir a otrosmetodos, en particular trabajaremos el metodo de las funciones de Green. Es necesario enfatizar que aunqueen este texto trabajaremos la mencionada tecnica para los casos particulares de la ecuacion de Poissony la funcion de onda, el formalismo de Green es de mucha utilidad para muchas ecuaciones diferencialesinhomogeneas y es tambien extendible al caso particular en que dichas ecuaciones se vuelven homogeneas.

4.1. Teoremas de Green en electrostatica

Lo que usualmente conocemos (o podemos medir) en un problema electrostatico real es la densidadde carga en el volumen y el potencial, o su derivada normal en la superficie. Ademas los teoremas deunicidad nos aseguran que la solucion es unica cuando tenemos esa informacion disponible. Por esta razones natural tomar como punto de partida un teorema que nos enlace una integral en el volumen donde seconoce la carga, con otra integral en la superficie que delimita a dicho volumen. Se nos viene entonces a lamente el teorema de la divergencia. En realidad, es mucho mas provechoso comenzar con un corolario delteorema de la divergencia conocido como teorema de Green, que ya estudiamos en la seccion 1.5. Dado que∇φ · dS = ∇φ · n dS = ∂φ

∂ndS, el teorema de Green Ec. (1.21), se escribe

∫ [φ(r′)∇′2ψ

(r′)− ψ

(r′)∇′2φ

(r′)]

dV ′ =

∮

S

[φ(r′) ∂ψ (r′)

∂n′− ψ

(r′) ∂φ (r′)

∂n′

]dS′

El termino a la derecha involucra φ (r′) , ∂n′ψ (r′) , ψ (r′) , ∂n′φ (r′) evaluados en la superficie pero no susvalores en el interior. Por lo tanto, esta integral podrıa dar cuenta de las condiciones de frontera.

Tomemos φ como el potencial electrostatico. La integral de volumen incluye a φ y a ∇ ′2φ, usando laecuacion de Poisson reemplazamos ∇′2φ (r′) por −4πKcρ (r′), y solo quedarıa por “despejar” φ (r′). Esto

se logra asignando ψ = |r− r′|−1 y recordando la propiedad ∇′2(|r− r′|−1

)= −4πδ (r− r′) con lo cual la

identidad de Green queda

∫ [φ(r′)∇′2

(∣∣r − r′∣∣−1)− 1

|r− r′|∇′2φ(r′)]

dV ′ =

∮

S

[φ(r′) ∂

∂n′

(1

|r− r′|

)− 1

|r− r′|∂φ (r′)∂n′

]dS′

usando la Ec. de Poisson y la identidad (1.10)

−4π

∫φ(r′)δ(r − r′

)dV ′ + 4πKc

∫ρ (r′)|r− r′| dV

′ =

∮

S

[φ(r′) ∂

∂n′

(1

|r− r′|

)− 1

|r− r′|∂φ (r′)∂n′

]dS′

71

72 CAPITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACION DE POISSON EN ELECTROSTATICA

Ahora bien, si el punto r esta dentro del volumen de integracion, entonces la integracion con la deltade Dirac hace posible “despejar” φ (r).

−4πφ (r) = −4πKc

∫ρ (r′)|r− r′| dV

′ +∮

S

[φ(r′) ∂

∂n′

(1

|r− r′|

)− 1

|r− r′|∂φ (r′)∂n′

]dS′

abreviando la notacion R = |r − r′|, queda finalmente

φ (r) = Kc

∫ρ (r′)R

dV ′ +1

4π

∮

S

[1

R

∂φ (r′)∂n′

− φ(r′) ∂

∂n′

(1

R

)]dS′ (4.1)

con esta expresion tenemos en principio despejado el valor de φ (r) al menos para valores de r en el interiordel volumen, observese que si r esta fuera del volumen, la integral que permitio despejar al potencial seanularıa1. El diferencial dV ′ se refiere a las cargas en el interior

1. Recordando que para un conductor perfecto

σ = − 1

4πKc∂nφ

tenemos que1

4π

∮1

R∂n′φ dS′ = −Kc

∮σ′ dS′

R

La primera integral de superficie equivale al potencial generado por una carga superficial σ, hay quenotar sin embargo que esta analogıa solo es valida para conductores, en tanto que la expresion (4.1)para el potencial tambien vale para cualquier tipo de material.

2. La segunda integral de superficie se puede escribir como

− 1

4π

∮φ∂n′

(1

R

)dS′ = − 1

4π

∮φ

(r− r′)

|r− r′|3· dS′

= − 1

4π

∮φ(r′)dΩ′

con lo cual podemos hacer la analogıa con el potencial de una capa dipolar discutida anteriormentepara lo cual se hace D = − φ

4π , la integral de superficie queda de la forma∫D dΩ que es el potencial

generado por una capa dipolar con densidad de momento superficial D = − φ4π .

3. Se puede ver que si la superficie avanza hacia el infinito y el potencial decrece mas rapido que 1/R(como por ejemplo en el caso de distribuciones localizadas), la integral en dS ′se anula (o tiende a unaconstante) obteniendose

φ (r) = Kc

∫ρ (r′)R

dV ′ + φ0

que es la expresion para el potencial sin frontera (frontera en el ∞) cuando la distribucion ρ (r ′) esconocida en todo el espacio. Vale la pena notar que esta relacion tambien se cumple para ciertasdistribuciones de carga no localizada (e.g. una esfera cuya densidad viene dada por ρ (r) = ke−αr,α > 0).

4. Esta ecuacion requiere conocer ρ (r) pero tambien φ y ∂nφ simultaneamente sobre la misma superficielo cual es en general inconsistente. Por tanto, este todavıa no es un metodo practico para evaluar φ. Acontinuacion desarrollaremos un formalismo para poder hacer uso real de las condiciones de frontera.

1Si estamos justo en la frontera tampoco podemos aplicar este formalismo, puesto que el uso de las propiedades de la deltasolo es claro para puntos en el interior y exterior de la region. Sin embargo, el valor del potencial en la superficie es dado en elcaso de Dirichlet, y en el caso de Neumann se puede obtener recurriendo a la continuidad del potencial a menos que tengamoscierto tipo de singularidades.

4.2. ECUACION DE GREEN Y POTENCIAL ELECTROSTATICO 73

4.2. Ecuacion de Green y potencial electrostatico

En el intento de solucion anterior elegimos ψ = |r − r′|−1 con el fin de obtener una delta de Dirac quenos permitiera despejar φ (r′). Esto fue posible en virtud de la propiedad

∇2

(1

|r − r′|

)= −4πδ

(r− r′

)

Sin embargo, |r− r′|−1 no es la unica funcion que me puede cumplir este cometido, asumamos que existenotras funciones que emulan esta propiedad y las llamaremos funciones de Green

∇2G(r, r′

)= −4πδ

(r− r′

)(4.2)

reescribiendo G (r, r′) = 1|r−r′| + F (r, r′), vemos que G (r, r′) es una funcion de Green, siempre y cuando

F (r, r′) cumpla la ecuacion de Laplace. Usando G (r, r′) y con un procedimiento analogo al que nos llevo a(4.1) se obtiene la siguiente expresion para el potencial

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ +

1

4π

∮

S

[G(r, r′

) ∂φ (r′)∂n′

− φ(r′) ∂G (r, r′)

∂n′

]dS′

Ahora bien, el problema fundamental es evitar el uso simultaneo de las condiciones de Dirichlet y Neumannpara lo cual podemos hacer uso de la libertad para elegir la funcion de Green (expresada a traves de lafuncion F (r, r′)). Se ve de inmediato que podemos eliminar la primera integral de superficie si hacemosG (r, r′) = 0 en la superficie, lo cual serıa conveniente si tenemos condiciones de Dirichlet, puesto que laintegral de superficie que sobrevive requiere el conocimiento del potencial en la superficie. Se deduce entoncesque el problema de Dirichlet se resuelve formalmente si encontramos la solucion de la ecuacion de Green(4.2), con condicion de frontera (GD)S = 0, con lo cual la ecuacion para el potencial se reduce a

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)GD

(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∮

S

[φ(r′) ∂GD (r, r′)

∂n′

]dS′ (4.3)

A priori, se podrıa pensar que para el problema de Neumann podemos exigir analogamente que se anule laotra integral a traves de la condicion ∂n′G (r, r′) = 0, con esta suposicion evaluemos las siguientes integrales

∫∇2GN dV = −4π

∫δ(r− r′

)dV = −4π

∮∇GN · dS =

∮∂GN∂n′

· dS = 0

sin embargo, el teorema de la divergencia exige que estas dos integrales sean iguales, de modo que la exigencia∂n′G (r, r′) = 0 es incompatible con el teorema de la divergencia2. Para lograr la compatibilidad requerimosque ∮

∂GN∂n′

· dS = −4π

La forma mas inmediata es escoger ∂n′GN (r, r′) = −4π/S, siendo S la magnitud de la superficie cerrada.Por tanto, F (r, r′) debe ser escogida para cumplir esta condicion, y el potencial queda

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)GN

(r, r′

)dV ′ +

1

4π

∮

S

[GN

(r, r′

) ∂φ (r′)∂n′

− φ(r′) ∂GN (r, r′)

∂n′

]dS′

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)GN

(r, r′

)dV ′ +

1

4π

∮

S

[GN

(r, r′

) ∂φ (r′)∂n′

+4π

Sφ(r′)]dS′

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)GN

(r, r′

)dV ′ +

1

4π

∮

SGN

(r, r′

) ∂φ (r′)∂n′

dS′ +1

S

∮

Sφ(r′)dS′

2Observese que si r esta fuera del volumen V ′, la condicion es compatible con el teorema de la divergencia, pero recordemosque en este caso la solucion para el potencial ya no es valida.


el potencial queda finalmente

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)GN

(r, r′

)dV ′ +

1

4π

∮

SGN

(r, r′

) ∂φ (r′)∂n′

dS′ + 〈φ〉S (4.4)

donde 〈φ〉S corresponde al valor promedio del potencial en la superficie, claramente este promedio es unnumero (no una funcion) de modo que solo es una recalibracion. De nuevo esta constante arbitraria aparecedebido a que las condiciones de Neumann no fijan el cero de potencial.

4.3. Interpretacion de la funcion de Green en electrostatica

La funcion de Green mas simpleG = |r− r′|−1 cumple la Ec. ∇2G = −4πδ (r− r′), y se puede interpretarcomo el potencial generado por una carga “unidad” (tal que Kcq = 1)3 ubicada en r′, esto a su vez esconsistente con la ecuacion de Poisson, ∇2φ = −4πKcρ puesto que δ (r − r′) corresponde a la densidadvolumetrica equivalente de una carga puntual en r′. Para el caso de una funcion de Green mas generalG (r, r′) = |r− r′|−1 + F (r, r′), recordemos que F (r, r′) satisface la ecuacion de Laplace en el interior deV ′, de modo que se puede interpretar como el potencial generado dentro de V ′ debido a una distribucionde cargas en la frontera y/o en el exterior de V′, y tal que hace que la funcion de Green cumplalas condiciones de frontera de Dirichlet o Neumann. Ahora bien, como la funcion de Green es la que debecumplir la condicion de frontera, lo que tenemos es la superposicion de dos potenciales (ambos evaluados enr) el generado por la carga unidad ubicada en r′ y el generado por las cargas externas. La funcion F (r, r′)debe depender de la ubicacion de la carga puntual (r′) ya que es la superposicion de ambas la que producelas condiciones de frontera.

Para las condiciones de Dirichlet se puede demostrar una propiedad de simetrıa de la funcion de Green.Partiendo del teorema de Green Ec. (1.21) con φ (r′) = G (r, r1) , ψ (r′) = G (r, r2)

∫ [G (r, r1)∇2G (r, r2) −G (r, r2)∇2G (r, r1)

]dV

=

∮[G (r, r1)∇G (r, r2) −G (r, r2)∇G (r, r1)] · dS

al usar condiciones de Dirichlet, se anulan las integrales de superficie. Por tanto, G (r1, r2) = G (r2, r1). Paracondiciones de Neumann no es automatico pero se puede imponer.

Las expresiones para el potencial con condiciones de Neumann o Dirichlet Ecs. (4.3, 4.4), nos indicanque primero debemos encontrar la funcion de Green con las condiciones de frontera apropiadas. A prioripareciera escasa la ganancia: hemos cambiado la ecuacion de Poisson (1.11), por la ecuacion de Green(4.2), y las condiciones de frontera para el potencial las cambiamos por las condiciones de frontera para lafuncion de Green. No obstante, un analisis mas detallado nos muestra la ganancia: La ecuacion de Poisson esinhomogenea, y aunque la ecuacion de Green tambien lo es, la ecuacion para F (r, r ′) es homogenea ( y conF encontramos G). Mas importante aun, para una determinada geometrıa la ecuacion de Poisson requerirıaun tratamiento diferente para diferentes formas de las distribuciones de carga y/o de las condiciones defrontera (digamos de Dirichlet). En contraste, las condiciones de frontera de Green para una geometrıa dadason las mismas, aunque la distribucion de cargas en el volumen o de potenciales en la superficie, sea diferente(digamos GS = 0 para Dirichlet sin importar la forma funcional de φ en la superficie, ni la distribucion decarga en el interior).

Para evaluar la funcion de Green podemos recurrir a la expansion de G en funciones ortonormalesapropiadas para la simetrıa del sistema (ver seccion 2.1), los coeficientes de la expansion se ajustan parareproducir las condiciones de frontera. Por otro lado, la tecnica de imagenes tambien nos puede proveer deuna solucion muy elegante en ciertos casos especiales. Hay otros metodos tanto numericos como analıticosque no citaremos aquı [Ref. ????].

3Este uno no es adimensional y depende del sistema de unidades usado.

4.3. INTERPRETACION DE LA FUNCION DE GREEN EN ELECTROSTATICA 75

4.3.1. Un teorema sobre las funciones de Green

Por otro lado, las funciones ortogonales son en general autofunciones de operadores lineales y en estesentido conforman bases que permiten expandir funciones.

En este punto podemos demostrar un teorema relacionado con funciones de Green. Sea O un operadorlineal y hermıtico sobre el espacio de funciones de interes de modo que OF (r) = H (r) me mapea unafuncion del espacio, en otra funcion del mismo espacio. Consideremos una funcion que cumple la ecuacion

[O − λ

]ψ (r) = 0

y la funcion de Green asociada al operador O − λ[O − λ

]G(r, r′, λ

)= −δ

(r − r′

)

los operadores lineales y hermıticos cumplen una ecuacion de valores propios

Oϕn (r) = λnϕn (r) ⇒[O − λn

]ϕn (r) = 0

Las funciones propias linealmente independientes asociadas a un operador lineal hermıtico forman una basecompleta, ademas los valores propios son reales4. Usando la completez

δ(r− r′

)=∑

n

ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

donde estamos asumiendo que los vectores propios estan normalizados y ortogonalizados5 . Aplicando com-pletez a la funcion de Green

[O − λ

]G(r, r′, λ

)= −

∑

n

ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

G(r, r′, λ

)=

∑

n

Cn (λ) ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

de modo que la ecuacion de Green queda[O − λ

]∑

n

Cn (λ) ϕ∗n

(r′)ϕn (r) = −

∑

n

ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

teniendo en cuenta que O solo opera sobre las funciones con variable r

O[ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

]= ϕ∗

n

(r′) [Oϕn (r)

]= λnϕ

∗n

(r′)ϕn (r)

se obtiene ∑

n

Cn (λ) [λn − λ] ϕ∗n

(r′)ϕn (r) = −

∑

n

ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

y recurriendo a la independencia lineal de los ϕn

Cn (λ) [λn − λ] = −1 ⇒ Cn (λ) =1

λ− λn

reemplazando en la funcion de Green obtenemos

G(r, r′

)=∑

n

ϕ∗n (r′)ϕn (r)

λ− λn(4.5)

4la notacion λn, ϕn denota los diferentes funciones y valores propios sin importar la posible degeneracion.5Recordemos que la ortogonalidad automatica de todas las funciones propias solo esta garantizada en ausencia de degen-

eracion.


Esta solucion de la funcion de Green no tiene en cuenta las condiciones de frontera, las cuales usualmentese incluyen en las ϕn. Esta expresion muestra la simetrıa G (r, r′) = G∗ (r′, r). Este formalismo nos ayuda

a resolver la ecuacion[O − λ

]ψ (r) = 0 que es mas general que la ecuacion de Poisson. Tambien vale la

pena anotar que en la demostracion solo requerimos que las funciones propias sean completas; el espectroλn podrıa ser complejo y el operador podrıa no ser hermıtico (pero si lineal).

4.3.2. Calculo de funciones de Green unidimensionales

La formulacion anterior no es valida para casos unidimensionales ni bidimensionales, ya que se basa en elteorema de la divergencia, el cual no tiene analogo unidimensional ni bidimensional. En lo que sigue veremosque la solucion de la ecuacion diferencial

d2ξ

dx2= f (x)

con condiciones de frontera en x = a, x = b se le puede asociar la funcion de Green unidimensional

d2G (x, x′)dx2

= −4πδ(x− x′

)

veamosd2ξ

dx2= f (x) ⇒ G

(x, x′

) d2ξ

dx2= G

(x, x′

)f (x)

por otro lado

d2G (x, x′)dx2

= −4πδ(x− x′

)⇒ d2G (x, x′)

dx2ξ (x) = −4πξ (x) δ

(x− x′

)

restando las dos ultimas ecuaciones

G(x, x′

) d2ξ

dx2− d2G (x, x′)

dx2ξ (x) = G

(x, x′

)f (x) + 4πξ (x) δ

(x− x′

)

intercambiando x↔ x′ e integrando entre a y b en x′

∫ b

a

[G(x′, x

) d2ξ (x′)dx′2

− ξ(x′) d2G (x′, x)

dx′2−G

(x′, x

)f(x′)]

dx′

=

∫ b

a4πξ

(x′)δ(x− x′

)dx′

despejando ξ (x) se obtiene

ξ (x) =1

4π

∫ b

a

[G(x′, x

) d2ξ (x′)dx′2

− ξ(x′) d2G (x′, x)

dx′2−G

(x′, x

)f(x′)]

dx′

ξ (x) =1

4π

∫ b

a

[d

dx′

(G(x′, x

) dξ (x′)dx′

)− d

dx′

(ξ(x′) dG (x′, x)

dx′

)−G

(x′, x

)f(x′)]

dx′

ξ (x) =1

4π

[G(x′, x

) dξ (x′)dx′

− ξ(x′) dG (x′, x)

dx′

]x′=b

x′=a

− 1

4π

∫ b

aG(x′, x

)f(x′)dx′

para condiciones de Dirichlet G = 0 en x = a, x = b (o en x′ = a, b da lo mismo por la simetrıa de G)

ξ (x) = − 1

4π

∫ b

af(x′)GD

(x, x′

)dx′ − 1

4π

[ξ(x′) dGD (x′, x)

dx′

]x′=b

x′=a

4.3. INTERPRETACION DE LA FUNCION DE GREEN EN ELECTROSTATICA 77

4.3.3. Un ejemplo unidimensional

Resolvamos la ecuacion de Green

d2G (x, x′)dx2

= −4πδ(x− x′

)

con condiciones de Dirichlet G = 0 en x = 0, a. Abordaremos el problema por varios metodos

1) Expansion ortonormal

G(x, x′

)=

∞∑

n=1

Cn(x′)sin(nπx

a

)+

∞∑

n=0

Dn

(x′)cos(nπx

a

)

Haciendo Dn = 0 se satisface la condicion de frontera de Dirichlet. Adicionalmente, se usa la relacion decompletez

δ(x− x′

)=

1

a

∞∑

n=1

sin(nπx

a

)sin

(nπx′

a

)

y reemplazamos la relacion de completez, ası como la expansion de G (x, x ′) en la ecuacion de Green

d2

dx2

∞∑

n=1

Cn(x′)sin(nπx

a

)= −4π

a

∞∑

n=1

sin(nπx

a

)sin

(nπx′

a

)⇒

−∞∑

n=1

(nπa

)2Cn(x′)sin(nπx

a

)= −4π

a

∞∑

n=1

sin(nπx

a

)sin

(nπx′

a

)

recurriendo a la independencia lineal de sin(nπxa

)nos queda

(nπa

)2Cn(x′)

=4π

asin

(nπx′

a

)

Cn(x′)

=4a

n2πsin

(nπx′

a

)

reemplazando en la expansion para G (x, x′)

G(x, x′

)=

4a

π

∞∑

n=1

1

n2sin

(nπx′

a

)sin(nπx

a

)

nota: La simetrıa G (x, x′) = G (x′, x), puede sugerir la proposicion G (x, x′) =∑∞

n=1An sin(nπx′

a

)sin(nπxa

)

que simplifica un poco el problema.

2) Usando el teorema para funciones de Green enunciado en la seccion (4.3.1), Ec. (4.5).

G(r, r′

)= 4π

∑

n


(λ− λn)(4.6)

asociado a:(O − λ

)G (r, r′) = −4πδ (r− r′) (en la demostracion no aparece el factor 4π debido a que la

funcion de Green la definimos sin ese factor). Para nuestro caso O = d2/dx2, λ = 0

G(r, r′

)= −4π

∑

n


λn


el conjunto 1√a

sin(nπxa

)= ϕn (x) es un conjunto ortonormal de valores propios del operador d2/dx2 que

cumplen las condiciones de frontera6. Veamos cuales son los valores propios

d2

dx2

[1√a

sin(nπx

a

)]= −

(nπa

)2[

1√a

sin(nπx

a

)]

de modo que λn = −(nπa

)2con lo cual la funcion de Green queda

G(r, r′

)= −4π

∑

n

[1√a

sin(nπx′

a

)] [1√a

sin(nπxa

)]

−(nπa

)2

G(r, r′

)=

4a

π

∑

n

1

n2sin

(nπx′

a

)sin(nπx

a

)

que coincide con el resultado anterior.3) Metodo directo: asumamos que x′ esta en alguna region del intervalo [0, a], la ecuacion de Green

d2G (x, x′)dx2

= −4πδ(x− x′

)

es homogenea en todos los puntos excepto en x = x′. Este punto divide el intervalo en dos partes, cada una

conteniendo una frontera, la solucion de la ecuacion homogenea d2G(x,x′)dx2 = 0, es

G = A(x′)x+B

(x′)

Analicemos cada intervalo:

a) La region en la cual x < x′, contiene la frontera x = 0, se tiene que G = 0, cuando x = 0 ⇒ B (x′) = 0y Ga (x, x′) = A (x′) x. A continuacion definimos x< ≡ el menor entre x y x′, con lo cual se puede reescribirla solucion como

Ga(x, x′

)= A

(x′)x<

b) La region definida por x > x′, contiene a la frontera x = a. Requerimos entonces G = 0 en x = a.Definiendo x> ≡ el mayor entre x y x′ se obtiene

Gb(x, x′

)= A′ (x′

)x+B′ (x′

)⇒ A′ (x′

)a+B′ (x′

)= 0

⇒ B′ = −A′a

Gb(x, x′

)= A′x−A′a = −A′ (a− x) = −A′ (a− x>)

una solucion valida para las dos regiones es el producto de las dos anteriores (recordemos que esta es lamotivacion para introducir la notacion de x>, x<).

G(x, x′

)= Ga

(x, x′

)Gb(x, x′

)= −A′ (x′

)A(x′)x< (a− x>)

pero el factor −A′ (x′)A (x′) se puede absorber en una sola constante C (x′) ≡ −A′ (x′)A (x′), y la funcionde Green se escribe

G(x, x′

)= C

(x′)x< (a− x>)

sin embargo, debemos tener presente que la solucion encontrada es solo para la parte homogenea (x 6= x ′)la constante C (x′) debe contener la informacion sobre la parte inhomogenea. Para tener en cuenta la parteinhomogenea, integramos la ecuacion diferencial entre x = x′ − ε, y x = x′ + ε, despues se hace ε→ 0+.

6La parte coseno tambien son funciones propias, y se requiere para la completez. Pero se elimina en virtud de las condicionesde frontera.

4.4. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES 79

∫ x=x′+ε

x=x′−ε

(d2G (x, x′)

dx2

)dx = −4π

∫ x=x′+ε

x=x′−εδ(x− x′

)dx

dG (x, x′)dx

∣∣∣∣x=x′+ε

x=x′−ε= −4π

dG (x, x′)dx

∣∣∣∣x=x′+ε

− dG (x, x′)dx

∣∣∣∣x=x′−ε

= −4π

Es decir que dG(x,x′)dx es discontinua en x = x′. Reemplazando nuestra solucion

d

dx

[C(x′)x< (a− x>)

]∣∣∣∣x=x′+ε

− d

dx

[C(x′)x< (a− x>)

]∣∣∣∣x=x′−ε

= −4π

cuando x = x′ + ε tenemos que x = x> y x′ = x<, y lo contrario cuando x = x′ − ε.

d

dx

[C(x′)x′ (a− x)

]∣∣∣∣x=x′+ε

− d

dx

[C(x′)x(a− x′

)]∣∣∣∣x=x′−ε

= −4π

−C(x′)x′∣∣x=x′+ε

− C(x′) (a− x′

)∣∣x=x′−ε = −4π

C(x′) [

x′ +(a− x′

)]= 4π

donde se ha tomado el lımite cuando ε → 0+. De la ultima expresion se obtiene C = 4π/a en este caso Cresulto independiente de x′. La solucion para la funcion de Green es:

G(x, x′

)=

4π

ax< (a− x>) (4.7)

podemos verificar la simetrıa de G (x, x′) en la expresion (4.7). Si por ejemplo x > x′ entonces x = x> yx′ = x<, en cuyo caso esta funcion queda

G(x, x′

)=

4π

ax′ (a− x) ; x > x′

no obstante, si intercambaimos a x, x′ es claro que x sigue siendo el mayor y x′ sigue siendo el menor, demodo que G (x, x′) = G (x′, x).

4.4. Problemas bidimensionales

Encontremos la funcion de Green con condiciones de Dirichlet sobre una region rectangular de modo queG = 0 en x = 0, a y G = 0 en y = 0, b.

La ecuacion de Green es(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)G(x, x′, y, y′

)= −4πδ

(x− x′

)δ(y − y′

)

utilicemos la expresion general de la funcion de Green7

G(r, r′

)= 4π

∑

n


λ− λn

7En esta expresion general aparece un solo rotulo n, si existe mas de un rotulo siempre es posible renumerar para convertirloen uno solo (n1, n2, . . . , nk) → n.


usemos las funciones propias ϕnm (r) = 1√ab

sinαnx sinβmy, del operador ∇2 en dos dimensiones8. Deter-

minemos sus valores propios

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)[1√ab

sinαnx sinβmy

]

= −(α2n + β2

m

) [ 1√ab

sinαnx sinβmy

]

Lo valores propios son −(α2n + β2

m

). Ahora bien, para que las funciones propias satisfagan la condicion de

frontera es necesario sinαna = 0, sinβmb = 0, lo cual nos da αna = nπ, βmb = mπ, de modo que

αn =nπ

a; βm =

mπ

b

la funcion de Green queda

G(r, r′

)= 4π

∑

n,m

[1√ab

sinαnx′ sinβmy′

] [1√ab

sinαnx sinβmy]

(α2n + β2

m)

G(r, r′

)=

4π

ab

∑

n,m

[sinαnx′ sinβmy′] [sinαnx sinβmy]

(α2n + β2

m)

4.4.1. Combinacion de metodo directo con expansion ortonormal

Proponemos expansion ortonormal en x y metodo directo en y.

G(x, x′, y′y′

)=

∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′Fn

(y, y′

)

La parte en x, x′ es simetrica y satisface las condiciones de frontera. Nos queda por tanto evaluar Fn (y, y′),a partir de la ecuacion de Green

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)G(x, x′, y, y′

)= −4πδ

(x− x′

)δ(y − y′

)

usando la relacion de completez para los senos en x, x′9 y la solucion para G se tiene

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)[ ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′Fn(y, y′

)]

= −4π

a

[ ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′]δ(y − y′

)

de modo que

∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′[−α2

nFn(y, y′

)+∂2Fn (y, y′)

∂y2

]

= −4π

a

[ ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′]δ(y − y′

)

8De nuevo, los cosenos tambien intervienen en principio, pero se eliminan por las condiciones de frontera.9Recordemos que los senos son una base completa en el intervalo (0, a).


y en virtud de la independencia lineal de sinαnx

−α2nFn

(y, y′

)+∂2Fn (y, y′)

∂y2= −4π

aδ(y − y′

)

(∂2y − α2

n

)Fn(y, y′

)= −4π

aδ(y − y′

)

De nuevo nos concentramos primero en la solucion homogenea cuando y 6= y ′, la cual tiene la forma generalFn (y, y′) = A (y′) coshαny +B (y′) sinhαny

a) Si y < y′ se cumple G = 0 en y = 0 ⇒ Fn1 = 0 en y = 0. de modo que Fn1 (y, y′) = Bn1 (y′) sinhαnyque se puede escribir como

Fn1

(y, y′

)= Bn1

(y′)sinhαny<

b) Para y > y′ G = 0 en y = b

Fn2

(y, y′

)= Cn2

(y′)sinhαn (b− y)

Fn2

(y, y′

)= Cn2

(y′)sinhαn (b− y>)

la solucion para ambas regiones es el producto de las soluciones anteriores

Fn(y, y′

)= Bn1

(y′)Cn2

(y′)sinhαny< sinhαn (b− y>)

Fn(y, y′

)= Cn

(y′)sinhαny< sinhαn (b− y>)

donde de nuevo hemos absorbido dos constantes en una. La constante C se evalua de nuevo integrando laecuacion diferencial en una vecindad de la region inhomogenea

∫ y=y′+ε

y=y′−ε

(∂2y − α2

n

)Fn(y, y′

)dy = −4π

a

∫ y=y′+ε

y=y′−εδ(y − y′

)dy

∫ y=y′+ε

y=y′−ε

(∂2yFn

)dy − α2

n

∫ y=y′+ε

y=y′−εFn dy = −4π

a

∫ y=y′+ε


)dy

si la funcion Fn (y, y′) es continua y acotada la integral sobre la funcion tiende a cero cuando ε → 0 (noası la integral de su segunda derivada)

∂yFn|y=y′+ε

y=y′−ε = −4π

a

reemplazando las soluciones que tenemos hasta el momento

Cn∂

∂y[sinhαny< sinhαn (b− y>)]

∣∣∣∣y=y′+ε

−Cn∂


∣∣∣∣y=y′−ε

= −4π

a

entonces

Cn∂

∂y

[sinhαny

′ sinhαn (b− y)]∣∣∣∣y=y′+ε

−Cn∂

∂y

[sinhαny sinhαn

(b− y′

)]∣∣∣∣y=y′−ε

= −4π

a


−αnCn sinhαny′ coshαn (b− y)

∣∣y=y′+ε

−αnCn sinhαn(b− y′

)coshαny

∣∣y=y′−ε

= −4π

a

tomando el lımite ε→ 0+

αnCn[sinhαny

′ coshαn(b− y′

)+ sinhαn

(b− y′

)coshαny

′]

=4π

a

usando identidades para la suma de funciones hiperbolicas

αnCn sinhαnb(cosh2 αny

′ − sinh2 αny′) =

4π

a

pero cosh2 αny′ − sinh2 αny

′ = 1 quedando

Cn =4π

aαn sinhαnb

y la funcion de Green finalmente resulta

G(x, x′, y, y′

)=

4π

a

∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′ sinhαny< sinhαn (b− y>)

αn sinhαnb

4.4.2. Metodo directo

Partiendo de la ecuacion de Green(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)G(x, x′, y, y′

)= −4πδ

(x− x′

)δ(y − y′

)

solucionamos primero la ecuacion homogenea

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)G(x, x′, y, y′

)= 0

valida para y 6= y′. Asumimos separacion de variables: G = A (x, x′)B (y, y′) reemplazando y dividiendo porAB

(∂2

∂x2 + ∂2

∂y2

)A (x, x′)B (y, y′)

AB= 0

[∂2

∂x2A (x, x′)]B (y, y′) +A (x, x′)

[∂2

∂y2B (y, y′)]

AB= 0

∂2xA

A+∂2yB

B= 0

∂2xA

A= −∂

2yB

B= −α2

donde α es una constante, las ecuaciones diferenciales quedan

∂2xA(x, x′

)+ αA

(x, x′

)= 0 ; ∂2

yB(y, y′

)− αB

(y, y′

)= 0


cuyas soluciones son:

A(x, x′

)= C1

(x′)eiαx + C2

(x′)e−iαx

B(y, y′

)= D1

(y′)eαy +D2

(y′)e−αy

la segunda ecuacion se puede escribir tambien como combinacion lineal de senos y cosenos hiperbolicos, lasolucion general es entonces

G(x, x′, y, y′

)=[C1

(x′)eiαx +C2

(x′)e−iαx

] [D1

(y′)exp (αy) +D2

(y′)exp (−αy)

]

1. Para y < y′, G = 0 en y = 0 se cumple si D1 = −D2 de modo que

B1

(y, y′

)= D1

(y′)sinhαy<

2. Para y > y′, G = 0 en y = b se cumple si D1eαb +D2e

−αb = 0. La solucion se puede escribir como

B2

(y, y′

)= K2

(y′)sinhα (b− y>)

El producto nos da la solucion para y en todo el intervalo

B(y, y′

)= K

(y′)sinhαy< sinhα (b− y>)

y la funcion de Green es

G(x, x′, y, y′

)=[C1

(x′)eiαx + C2

(x′)e−iαx

]K(y′)sinhαy< sinhα (b− y>)

Para determinar las constantes C1 (x′) , C2 (x′) tenemos en cuenta que G = 0 en x = 0 ⇒ C2 (x′) =−C1 (x′); con G = 0 en x = a⇒ sinαa = 0, la solucion para x queda

An(x, x′

)= Cn

(x′)sinαnx ; αn =

nπ

a

y un conjunto de soluciones para la funcion de Green es

Gn(x, x′, y, y′

)= Cn

(x′)Kn

(y′)sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>)

recordemos que por ahora estamos solucionando solo la parte homogenea, y recordando que la superposicionde soluciones es tambien solucion (principio de superposicion solo valido para la parte homogenea), entoncesla solucion mas general es una superposicion de las soluciones ya encontradas

G(x, x′, y, y′

)=∑

n

Cn(x′)Kn


ahora insertamos esta solucion en la ecuacion de Green inhomogenea y expandimos δ (x− x ′) en la baseortonormal de senos.

(∂2x + ∂2

y

)[∑

n

Cn(x′)Kn


]= −4π

aδ(y − y′

) ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′

[∑

n

−α2nCn

(x′)Kn


]

+∑

n

Cn(x′)Kn

(y′)sinαnx ∂

2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]

= −4π

aδ(y − y′

) ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′


∑

n

Cn(x′)Kn

(y′)sinαnx

−α2

n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]

= −4π

aδ(y − y′

) ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′

en virtud de la independencia lineal de sinαnx

Cn(x′)Kn

(y′)

−α2n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2

y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]

= −4π

aδ(y − y′

)sinαnx

′ (4.8)

genericamente, esta ecuacion se puede escribir como

Cn(x′)H(y, y′

)= −4π

aδ(y − y′

)sinαnx

′

H(y, y′

)≡ −α2

nKn

(y′)sinhαny< sinhαn (b− y>) +Kn

(y′)∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]

con lo cual se tiene queCn(x′)

= Fn sinαnx′ (4.9)

y redefiniendo Rn (y′) ≡ FnKn (y′), la funcion de Green queda

G(x, x′, y, y′

)=∑

n

Rn(y′)sinαnx

′ sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>)

de nuevo esta forma de la funcion de Green (al menos la parte en x) se pudo haber supuesto desde el principiousando la simetrıa G (x, x′, y, y′) = G (x′, x, y, y′) 10. El factor Rn (y′) contiene la informacion de la parteinhomogenea en y y su valor se puede extraer integrando y entre (y ′ − ε, y′ + ε) en la ecuacion inhomogenea11. Retomando (4.8) pero teniendo en cuenta (4.9)

Rn(y′)sinαnx

′ −α2n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2


= −4π

aδ(y − y′

)sinαnx

′

Rn(y′)

−α2n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2


= −4π

aδ(y − y′

)

−Rn(y′)α2n

∫ y=y′+ε

y=y′−εsinhαny< sinhαn (b− y>) dy +Rn

(y′) ∫ y=y′+ε

y=y′−ε∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)] dy

= −4π

a

∫ y=y′+ε


)

la primera integral de la izquierda tiende a cero cuando ε→ 0+. La segunda queda

Rn

[∂


]y=y′+ε

y=y′−ε= −4π

a

Rn

[∂


]

y=y′+ε

−[∂


]

y=y′−ε

= −4π

a

Rn

[∂

∂y

[sinhαny

′ sinhαn (b− y)]]

y=y′+ε

−[∂

∂y

[sinhαny sinhαn

(b− y′

)]]

y=y′−ε

= −4π

a

10Notese sin embargo que estrictamente hablando, la simetrıa nos dice que G (r, r′) = G∗ (r′, r) que en realidad equivale ainvertir todas las coordenadas simultaneamente. Esto no nos garantiza que una funcion de Green real sea simetrica cuando seinvierte una coordenada solamente. Sin embargo, este ansatz es consistente en la mayorıa de los casos

11La parte inhomogenea en x ya se tuvo en cuenta al expandir δ (x− x′). Observese que para solucionar la parte homogeneasolo supusimos y 6= y′.


Rn−αn sinhαny


)− αn coshαny

′ sinhαn(b− y′

)= −4π

a

Rnαnsinhαny


)+ coshαny

′ sinhαn(b− y′

)=

4π

a

Rnαn sinhαnbcosh2 αny

′ − sinh2 αny′ =

4π

a

Rnαn sinhαnb =4π

a

resultando

Rn =4π

a αn sinhαnb

y la funcion de Green se escribe

G(x, x′, y, y′

)=

4π

a

∑

n

sinαnx′ sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>)

αn sinhαnb

que coincide con la encontrada anteriormente.

4.4.3. Problema bidimensional semi-infinito

Expansion ortonormal

Tomemos un rectangulo cuya anchura tiende a infinito de tal forma que para condiciones de Dirichletnos impone G = 0 en y = 0, b y G = 0 en x = ±∞. Las condiciones de frontera en y son satisfechas poruna superposicion discreta de senos como ya hemos visto. Por otro lado, las condiciones de frontera en xrequieren el uso de una base completa en el intervalo (−∞,∞), lo cual a su vez requiere del uso de basescontınuas. Por tanto, es sensato usar la expansion

G(x, x′, y, y′

)=

∞∑

n=1

sinβny sinβny′∫ ∞

−∞An (k) eik(x−x

′) dk

la proposicion en la parte contınua de la forma eik(x−x′) esta inspirada en la propiedad G (x, x′, y, y′) =

G∗ (x′, x, y′, y) teniendo en cuenta que el intercambio y ↔ y ′ deja invariante a la funcion de Green deacuerdo con la forma propuesta. Usamos las relaciones de completez

δ(x− x′

)=

1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′) dk ; δ(y − y′

)=

1

a

∞∑

n=1

sinβny sinβny′ ; βn ≡ nπ

b

Uso del teorema de valores propios

La expresion (4.5) puede generalizarse, para un espectro de funciones propias con una parte contınua yuna parte discreta

G(r, r′, λ

)=∑

n

∫ϕ∗n (k, r′)ϕn (k, r)

λ− λn (k)dk

Se deja al lector la tarea de encontrar una base de funciones propias del operador ∂ 2x + ∂2

y que posea unaparte discreta y otra contınua.

Combinacion de expansion ortonormal con metodo directo

asumimos

G =

∞∑

n=1

sinβny sinβny′Fn(x, x′

)


introduciendo esta expansion en la ecuacion de Green y expandiendo δ (y − y ′) en senos

(∂2x + ∂2

y

) ∞∑

n=1

sinβny sinβny′Fn(x, x′

)= −4π

bδ(x− x′

) ∞∑

n=1

sinβny sinβny′

∞∑

n=1

[∂2xFn

(x, x′

)− β2

nFn(x, x′

)]sinβny

′ sinβny = −4π

bδ(x− x′

) ∞∑

n=1

sinβny sinβny′

por independencia lineal(∂2x − β2

n

)Fn(x, x′

)= −4π

bδ(x− x′

)

para x 6= x′ la solucion es Fn (x, x′) = A (x′) eβnx +Be−βnx

1. Si x < x′ ⇒ G→ 0, cuando x→ −∞, resultando

Fn1

(x, x′

)= An1e

αnx = An1eαnx<

2. Si x > x′ ⇒ G→ 0, cuando x→ ∞, resultando

Fn2

(x, x′

)= Bn2e

−αnx = Bn2e−αnx>

La solucion es

Fn1

(x, x′

)= Cne

αnx<e−αnx> = Cne−αn(x>−x<)

al integrar en la vecindad de la inhomogeneidad en la ecuacion se obtiene

Cn =2π

bαn

resultando

G(x, x′, y, y′

)=

2π

b

∞∑

n=1

sinβny sinβny′e−αn(x>−x<)

αn

G(x, x′, y, y′

)=

2π

b

∞∑

n=1

sinβny sinβny′e−αn|x−x′|

αn

Combinacion de metodo directo con expansion contınua

Podemos proceder usando una base contınua sobre x y una funcion libre en y

G =

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)Fk(y, y′

)dk ; δ

(x− x′

)=

1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′) dk

introduciendo estas expansiones en la ecuacion de Green

(∂2x + ∂2

y

) ∫ ∞

−∞eik(x−x

′)Fk(y, y′

)dk = −4π

2πδ(y − y′

) ∫ ∞

−∞eik(x−x

′) dk

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)[−k2Fk

(y, y′

)+ ∂2

yFk(y, y′

)]dk = −2δ

(y − y′

) ∫ ∞

−∞eik(x−x

′) dk

la independencia lineal nos da [∂2y − k2

]Fk(y, y′

)= −2δ

(y − y′

)


Anotaciones generales

1. Hemos visto varias estrategias para calcular funciones de Green, que podemos numerar ası:

a) Expansion ortonormal en x, y: recomendable cuando podemos encontrar bases tanto en x comoen y, que puedan ajustar facilmente las condiciones de frontera.

b) Expansion ortonormal en x o y, y funcion libre en la otra variable: recomendable si la expansionortonormal es facilmente ajustable a las condic. de frontera y la ec. diferencial para la funcionlibre es facilmente soluble.

c) Metodo directo: Se asume funcion libre en ambas variables. Si la ec. dif. es facilmente soluble,este metodo usualmente conduce a soluciones mas simples o cerradas.

d) Uso del teorema de valores propios: Recomendable cuando podemos hallar una base de funcionespropias en donde las condiciones de frontera sean facilmente ajustables. En esencia este metodotambien es una expansion ortonormal, pero los coeficientes se hallan mas facilmente.

2. Con fronteras en el infinito, es recomendable usar espectros contınuos de funciones base. En particular,la representacion exponencial contınua es de amplio uso en virtud del lema de Riemann-Lebesgue quenos dice que

lımx→∞

∫ b

ae±ikxF (k) dk = 0

si F (k) es absolutamente integrable i.e.

∫ b

a|F (k)| dk = finito

este lema nos garantiza que G→ 0 cuando x→ ±∞.

Funcion de Green en coordenadas polares

Para encontrar la funcion de Green de la cuna mostrada en la figura, es obviamente mas conveniente eluso de coordenadas polares. Usando el laplaciano y la funcion delta de Dirac en estas coordenadas se obtiene

1

ρ

∂

∂ρ

[ρ∂G

∂ρ

]+

1

ρ2

∂2G

∂ϕ2= −4π

ρδ(ρ− ρ′

)δ(ϕ− ϕ′) (4.10)

las condiciones de Dirichlet equivalen a G = 0 en ϕ = 0, β y en ρ = R hagamos una expansion de la forma

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′Fn

(ρ, ρ′

); αn =

nπ

β

δ(ϕ− ϕ′) =

1

β

∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′

introduciendo las expansiones en la ecuacion de Green (4.10)

∂

∂ρ

ρ∂

∂ρ

[ ∞∑

n=1


(ρ, ρ′

)]

+1

ρ

∂2

∂ϕ2

[ ∞∑

n=1


(ρ, ρ′

)]

= −4π

βδ(ρ− ρ′

) ∞∑

n=1



∂

∂ρ

[ ∞∑

n=1


(ρ, ρ′

)]

+ρ

∂2

∂ρ2

[ ∞∑

n=1


(ρ, ρ′

)]

+1

ρ

∂2

∂ϕ2

[ ∞∑

n=1


(ρ, ρ′

)]

= −4π

βδ(ρ− ρ′

) ∞∑

n=1


∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′∂ρFn

(ρ, ρ′

)

+

∞∑

n=1

ρ sinαnϕ sinαnϕ′∂2ρFn

(ρ, ρ′

)

−∞∑

n=1

1

ρα2n sinαnϕ sinαnϕ

′Fn(ρ, ρ′

)

= −4π

βδ(ρ− ρ′

) ∞∑

n=1


∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′[∂ρFn

(ρ, ρ′

)+ ρ∂2

ρFn(ρ, ρ′

)− 1

ρα2nFn

(ρ, ρ′

)]

= −4π

βδ(ρ− ρ′

) ∞∑

n=1


resultando

∂ρFn(ρ, ρ′

)+ ρ∂2

ρFn(ρ, ρ′

)− 1

ρα2nFn

(ρ, ρ′

)= −4π

βδ(ρ− ρ′

)

(ρ∂2

ρ + ∂ρ −1

ρα2n

)Fn(ρ, ρ′

)= −4π

βδ(ρ− ρ′

)

con ρ 6= ρ′ tenemos una ecuacion homogenea cuya solucion es

Fn(ρ, ρ′

)= A

(ρ′)ραn +B

(ρ′)ρ−αn

1. Para ρ < ρ′, G = 0 en ρ = 0 ⇒ Fn1 (ρρ′) = An1 (ρ′) ραn = An1 (ρ′) ραn<

2. Para ρ > ρ′, G = 0 en ρ = R⇒ Fn1 (ρρ′) = An2 (ρ′)[( ρ

R

)αn −(Rρ

)αn]

= An2 (ρ′)[(ρ>

R

)αn −(Rρ>

)αn]

La solucion homogenea completa es:

Fn(ρ, ρ′

)= Cn

(ρ′)ραn<

[(ρ>R

)αn −(R

ρ>

)αn]

Al integrar la ecuacion diferencial entre ρ = ρ′ − ε y ρ = ρ′ + ε se obtiene Cn = −2π/ (βRαnαn) de modoque

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) = −2π

β

∞∑

n=1


αn

(ρ<R

)αn

[(ρ>R

)αn

−(R

ρ>

)αn]


Esta solucion abarca como casos particulares al sector circular recto (β = π/2) y al semicırculo (β = π).Adicionalmente, si tomamos R→ ∞ obtenemos

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

2π

β

∞∑

n=1


αn

(ρ<ρ>

)αn

que abarca en particular al cuadrante y al semiplano. A priori estarıamos tentados a pensar que el cırculose puede generar con β = 2π, y el plano con β = 2π, R → ∞. Sin embargo, es importante enfatizar que niel cırculo completo ni el plano se pueden generar de esta forma, como se explica en el siguiente problema.

Problem 9 Cırculo de radio R. Evaluar G para condiciones de Dirichlet. En este caso no hay condicionesde frontera para ningun valor de ϕ, por tanto el uso exclusivo de senos es inadecuado, por tanto es necesarioel uso de senos y cosenos, o equivalentemente, se puede usar eim(ϕ−ϕ′) con lo cual se propone

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

m=−∞eim(ϕ−ϕ′)Fm

(ρ, ρ′

)

una proposicion de la forma

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞Amn sinβnρ sinβnρ

′eim(ϕ−ϕ′)

es inconsistente ya que G no es necesariamente cero en ρ = 0 puesto que este punto no hace parte de lafrontera. Se necesitan de nuevo senos y cosenos en ρ.

4.4.4. Funcion de Green en tres dimensiones

Funcion de Green para espacio infinito

∇2G (r, r′) = −4πδ (r− r′). Recordando que ∇2(

1|r−r′|

)= −4πδ (r− r′) y observando que 1

|r−r′| tiende

a cero cuando r → ∞ tenemos que esta es justamente la funcion de Green para espacio infinito (fronteraen el infinito). Recordemos que esta fue la primera funcion de Green que nos encontramos en el caminoası como la mas simple.

Podemos encontrar un representacion de fourier de esta funcion de Green usando la ecuacion de Greeny suponiendo una solucion de la forma

G(r, r′

)=

∫ ∞

−∞A (k) eik·(r−r′)d3k

usando la ecuacion de Green y la representacion de Fourier de la delta de Dirac

∇2

∫ ∞

−∞A (k) eik·(r−r′)d3k = − 4π

(2π)3

∫ ∞

−∞eik·(r−r′)d3k

∫ ∞

−∞k2A (k) eik·(r−r′)d3k = − 1

2π2

∫ ∞

−∞eik·(r−r′)d3k ⇒

A (k) =1

2π2k2


G(r, r′

)=

1

2π2

∫ ∞

−∞

eik·(r−r′)

k2d3k

Una integracion por polos nos da que esta integral equivale a

G(r, r′

)=

1

|r− r′|lo cual muestra la consistencia del procedimiento.


4.5. Problemas

1) Considere una lınea recta infinita. Evalue la funcion de Green a partir de la ecuacion d2Gdx2 = −4πδ (x− x′).

Notese que no es posible satisfacer las condiciones de frontera utilizando sumatoria en senos y cosenos pueseste sistema no es completo cuando el intervalo tiende a infinito, en tal caso se debe utilizar una expansioncontınua. Elijamos la expansion

G(x, x′

)=

∫ ∞

−∞g (k) eik(x−x

′)dk ; δ(x− x′

)=

1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)dk

introduciendo estas expansiones en la funcion de Green

d2G

dx2= −

∫ ∞

−∞k2g (k) eik(x−x

′)dk = −4π1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)dk ⇒

∫ ∞

−∞k2g (k) eik(x−x

′)dk = 2

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)dk

la independencia lineal de las funciones nos permite igualar coeficientes

k2g (k) = 2 ⇒ g (k) =2

k2


G(x, x′

)=

∫ ∞

−∞

2

k2eik(x−x

′)dk

la condicion de frontera G→ 0 cuando x→ ±∞ se garantiza a traves del lema de Riemann-Lebesgue

lımx→±∞

∫ b

−ag (k) e±ikxdk = 0 si

∫ b

−a|g (k)| dk <∞ y existe

en este caso (a, b) → (−∞,∞) y g (k) = 2/k2

∫ ∞

−∞

∣∣∣∣2

k2

∣∣∣∣ dk =

∫ ∞

−∞

2

k2dk = −2

k

∣∣∣∣∞

−∞= 0

de modo que g (k) es absolutamente integrable y se cumple el lema. Esta integral se puede calcular porpolos.

——————————————————————-2) Evalue G para un paralelepıpedode lados a, b, c con condiciones de Dirichlet, usando triple suma de

senos y doble suma de senosa) Usando triple suma de senos

G(x, x′

)=

∑

n,m,l

Cmnl sinαnx sinαnx′ sinβmy sinβmy

′ sin γlz sinγlz′

αn =nπ

a, βm =

mπ

b, γl =

lπ

c

los valores de αn, βm, γl garantizan las condiciones de frontera para G. el laplaciano aplicado a G queda

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)G(x, x′

)= −

∑

n,m,l

(α2n + β2

m + γ2l

)Cmnl

× sinαnx sinαnx′ sinβmy sinβmy

′ sin γlz sinγlz′

4.5. PROBLEMAS 91

usando las relaciones de completez

δ(x− x′

)=

1

a

∑

n

sinαnx sinαnx′ ; δ

(y − y′

)=

1

b

∑

m

sinβmy sinβmy′

δ(z − z′

)=

1

c

∑

l

sin γlz sin γlz′

definimos W ≡ sinαnx sinαnx′ sinβmy sinβmy

′ sin γlz sin γlz′ e introduciendo las expansiones en la funcion

de Green

−∑

n,m,l

(α2n + β2

m + γ2l

)CmnlW = − 4π

abc

∑

n,m,l

W

debido a la condicion de ortogonalidad de los senos se tiene

(α2n + β2

m + γ2l

)Cmnl =

4π

abc⇒ Cmnl =

4π

abc(α2n + β2

m + γ2l

)

con lo cual la funcion de Green queda

G(x, x′

)=∑

n,m,l

4π sinαnx sinαnx′ sinβmy sinβmy

′ sinγlz sin γlz′

abc(α2n + β2

m + γ2l

)

b) Usamos doble suma en senos de x, y y asumimos una funcion libre en z.

G(x, x′

)=∑

n,m

sinαnx sinαnx′ sinβmy sinβmy

′Fmn(z, z′

)

escribamos H ≡ sinαnx sinαnx′ sinβmy sinβmy

′. Utilizando completez para δ (x− x′) , δ (y − y′) y derivan-do G (x, x′) se obtiene

∑

n,m

[d2Fnmdz2

−(α2n + β2

m

)Fnm

]H = −4π

ab

∑

m,n

Hδ(z − z′

)⇒

d2Fnmdz2

−(α2n + β2

m

)Fnm = −4π

abδ(z − z′

)

definiendo γ2nm ≡ α2

n+β2m. sabemos que αn = nπ/a, βm = mπ/b. Para satisfacer las condiciones de frontera.

Para z 6= z′ se obtiene la ecuacion homogenea

d2Fnmdz2

− γ2nm ⇒ Fnm ∼ Aeγnmz +Be−γnmz

a1) Para z < z′ se tiene que si z = 0 ⇒ G = 0 de modo que A = −B y tenemos una solucion de la forma

Fnm ∼ sinh γnmz = sinhγnmz<

b1) Para z > z′: si z = c⇒ G = 0

Fnm ∼ sinhγnm (c− z>)

de modo que la solucion general se puede escribir como

Fnm = ρnm sinhγnmz< sinhγnm (c− z>)

para hallar ρnm integramos la ecuacion diferencial entre (z ′ − ε, z′ + ε)

∫ z=z′+ε

z=z′−ε

d2Fnmdz2

dz − γ2

∫ z=z′+ε

z=z′−εF(z, z′

)dz = −4π

ab

∫ z=z′+ε

z=z′−εδ(z − z′

)dz


al ser Fnm una funcion contınua en los intervalos (z ′ − ε, z′) y (z′, z′ + ε) se tiene que

lımε→0

∫ z=z′+ε

z=z′−εF(z, z′

)dz = 0

resultandodFnmdz

∣∣∣∣z=z′+ε

z=z′−ε= −4π

ab⇒ dFnm

dz

∣∣∣∣z=z′+ε

− dFnmdz

∣∣∣∣z=z′−ε

= −4π

ab

cuando z = z′ + ε⇒ z = z> y z′ = z<. En el caso z = z′ − ε ocurre lo contrario

d

dz

[ρnm sinh γnmz

′ sinhγnm (c− z)]− d

dz

[ρnm sinh γnmz sinh γnm

(c− z′

)]= −4π

ab

ρnm sinhγnmz′ d [sinhγnm (c− z)]

dz

∣∣∣∣z=z′+ε

− ρnm sinhγnm(c− z′

) d [sinhγnmz]

dz

∣∣∣∣z=z′−ε

= −4π

ab

−γnmρnm sinhγnmz′ cosh γnm

(c− z′

)− γnmρnm sinhγnm

(c− z′

)cosh γnmz

′ = −4π

ab

γnmρnm[sinhγnmz

′ cosh γnm(c− z′

)+ sinhγnm

(c− z′

)cosh γnmz

′] =4π

ab

donde hemos apelado a la continuidad de las funciones hiperbolicas para ignorar ε cuando este parametrotiende a cero. Usando identidades trigonometricas hiperbolicas

sinha cosh (b− a) + sinh (b− a) cosh a =(cosh2 a− sinh2 a

)sinh b = sinh b

γnmρnm sinhγnmc =4π

ab

quedando finalmente

ρnm =4π

γnmab sinh γnmc

Con esto ya tenemos la forma completa de la funcion de Green

G(x, x′

)=∑

n,m

4π sinhγnmz< sinhγnm (c− z>)

γnmab sinh γnmcsinαnx sinαnx

′ sinβmy sinβmy′

————————————————————-

3) Encontrar la funcion de Green para una region bidimensional definida por 0 ≤ ϕ ≤ β, y 0 ≤ ρ <∞.

La ecuacion para G en coordenadas polares es

∂2G

∂ρ2+

1

ρ

∂G

∂ρ+

1

ρ2

∂2G

∂ϕ2= −4π

ρδ(ρ− ρ′

)δ(ϕ− ϕ′)

ρ∂2G

∂ρ2+∂G

∂ρ+

1

ρ

∂2G

∂ϕ2= −4πδ

(ρ− ρ′

)δ(ϕ− ϕ′)

las condiciones de Dirichlet exigen que G = 0 en ϕ = 0, β y en ρ = 0 y ρ→ ∞. La condicion para ϕ puedeser satisfecha para una serie de senos. Entonces escribimos G de la forma

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

n=1


(ρ, ρ′

); αn =

nπ

β

4.5. PROBLEMAS 93

usando completez para expandir δ (ϕ− ϕ′) = 1β

∑∞n=1 sinαnϕ sinαnϕ

′ en introduciendo estas expansionesen la ecuacion de Green

∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′[d2Fndρ2

+1

ρ

dFndρ

− α2n

ρ2Fn

]= −4π

βδ(ρ− ρ′

) ∞∑

n=1


igualando coeficientes y multiplicando la ecuacion por ρ

ρd2Fndρ2

+dFndρ

− α2n

ρFn = −4π

βδ(ρ− ρ′

)⇒

d

dρ

[ρdFndρ

]− α2

n

ρFn = −4π

βδ(ρ− ρ′

)

para ρ 6= ρ′ obtenemos la ecuacion homogenea

d

dρ

[ρdFndρ

]− α2

n

ρFn = 0

cuya solucion es Fn (ρ, ρ′) = Aραn +Bρ−αn

a1) si ρ < ρ′, G = 0 para ρ = 0 de modo que B = 0 para que Fn no diverja y cumpla la condicion defrontera

Fn(ρ, ρ′

)∼ ραn ⇒ Fn

(ρ, ρ′

)∼ ραn

<

b1) si ρ > ρ′ ⇒ G = 0 para ρ→ ∞ de modo que A = 0

Fn(ρ, ρ′

)∼ ρ−αn ⇒ Fn

(ρ, ρ′

)∼ ρ−αn

>

la solucion toma la forma

Fn(ρ, ρ′

)= Cnρ

αn< ρ−αn

> = Cn

(ρ<ρ>

)αn

integramos la ecuacion diferencial inhomogenea entre ρ = ρ′ − ε y ρ = ρ′ + ε con ε→ 0

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−ε

d

dρ

[ρdFndρ

]dρ− α2

n

ρ

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−εFn dρ = −4π

β

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−εδ(ρ− ρ′

)dρ

la continuidad de Fn hace que se anule la segunda integral cuando ε→ 0.[ρdFndρ

]

ρ=ρ′+ε

−[ρdFndρ

]

ρ=ρ′−ε= −4π

β

cuando ρ = ρ′ + ε⇒ ρ = ρ>, ρ′ = ρ<, cuando ρ = ρ′ − ε⇒ ρ′ = ρ>, ρ = ρ<

Cn

[ρd

dρ

(ρ′

ρ

)αn]

ρ=ρ′+ε

− Cn

[ρd

dρ

(ρ

ρ′

)αn]

ρ=ρ′−ε= −4π

β

−αnCn(ρ′)αn

[(1

ρ

)αn]

ρ=ρ′+ε

− αnCn(ρ′)αn

[ραn ]ρ=ρ′−ε = −4π

β

2αnCn =4π

β⇒ Cn =

2π

αnβ

por ser funciones contınuas en la vecindad de ρ′ hemos evaluado ambas en ρ′ y no en ρ′ + ε cuando ε → 0.La funcion de Green queda

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

2π

β

∞∑

n=1


αn

(ρ<ρ>

)αn


esta solucion abarca en particular 1) El cuadrante (β = π/2) y el semiplano (β = π)———————————————–4) Para la cuna definida por G = 0 en ϕ = 0, β y ρ = 0, R asumase

G =∑

n,m

anm sinαnϕ sinαnϕ′ sinβmρ sinβmρ

′

αn ≡ nπ

β; βm =

mπ

R

¿Es esta una solucion consistente?La funcion ası definida satisface las condiciones de Dirichlet, introduciendo G en la ecuacion diferencial,

se mira si es posible encontrar para esta solucion un coeficiente que dependa exclusivamente de m, y n.

∂G

∂ρ=

∑

n,m

anmβm sinαnϕ sinαnϕ′ cos βmρ sinβmρ

′

∂2G

∂ρ2= −

∑

n,m

anmβ2m sinαnϕ sinαnϕ

′ sinβmρ sinβmρ′

∂2G

∂ϕ2= −

∑

n,m

anmα2n sinαnϕ sinαnϕ

′ sinβmρ sinβmρ′

la ecuacion diferencial insertando la completez es

∑

n,m

[βm cosβmρ−

(α2n + β2

m

)sinβmρ

]anm sinαnϕ sinαnϕ

′ sinβmρ′

= − 4π

βR

∑

n,m

sinαnϕ sinαnϕ′ sinβmρ sinβmρ

′ ⇒

∑

m

[βm cos βmρ−

(α2n + β2

m

)sinβmρ

]anm sinβmρ

′ = − 4π

βR

∑

m

sinβmρ sinβmρ′

dado que el coseno y el seno son funciones linealmente independientes, no es posible encontrar una expresionpara el coeficiente anm que dependa exclusivamente de m y n como se propone al suponer la solucion de G;luego la solucion propuesta es inconsistente.

La inconsistencia en la solucion esta relacionada con la singularidad asociada a la frontera en ρ → 0(chequear).

—————————————————————5) Para la cuna con R→ ∞, ¿es posible escoger?

G =

∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′∫ ∞

−∞an (k) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk ?

Veamos si resulta una solucion consistente para a (k)

1

ρ

∂G

∂ρ=

∞∑

n=1


−∞

ik

ρan (k) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk ?

∂2G

∂ρ2= −

∞∑

n=1


−∞k2an (k) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk

1

ρ2

∂2G

∂ϕ2= − 1

ρ2

∞∑

n=1

α2n sinαnϕ sinαnϕ

′∫ ∞

−∞an (k) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk

4.5. PROBLEMAS 95

introduciendo estas relaciones en la ecuacion diferencial, ası como la completez, nos da

∞∑

n=1


−∞

(ik − k2ρ− α2

n

ρ

)an (k) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk = − 2

β

∞∑

n=1


−∞exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk

por ortogonalidad de senos y exponenciales se obtiene(ik − k2ρ− α2

n

ρ

)an (k) = − 2

β

la cual nos da una solucion compleja para an (k). Sin embargo, esta solucion claramente depende tambiende ρ y no exclusivamente de k lo cual contradice la hipotesis, observese en particular que con a (k, ρ) ya nopodemos despejar este coeficiente recurriendo a la independencia lineal (chequear). Por tanto la solucion esinconsistente.

——————————————–6) Es posible escoger para la cuna con R→ ∞ la solucion

G =

∫ ∞

−∞Fk(ϕ,ϕ′) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk ?

Introduciendo esta solucion y la completez en la ecuacion de Green se tiene∫ ∞

−∞

(ikFk

(ϕ,ϕ′)− ρk2Fk

(ϕ,ϕ′)+

1

ρ

d2Fk (ϕ,ϕ′)dϕ2

)exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk = −δ

(ϕ− ϕ′)

∫ ∞

−∞2 exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk

(ik − ρk2 +

1

ρ

d2

dϕ2

)Fk(ϕ,ϕ′) = −2δ

(ϕ− ϕ′)

para ϕ 6= ϕ′ y multiplicando por ρ(ikρ− ρ2k2 +

d2

dϕ2

)Fk(ϕ,ϕ′) = 0

La solucion es en general compleja. Pero de acuerdo con esta ecuacion, Fk (ϕ,ϕ′) dependerıa de ρ contradi-ciendo la hipotesis. Por tanto la solucion planteada es inconsistente.

——————————————————-7) Sea un cırculo de radio R, evalue G con condiciones de Dirichlet.Dado que no hay condiciones de frontera para ϕ (excepto por la exigencia de periodicidad 2π en ϕ) y

teniendo en cuenta que para R no hay condicion de frontera en R = 0 puesto que este punto no es de lafrontera, no podemos hacer una expansion en senos ni podemos generarlo como caso particular de la cunacon β = 2π. Usaremos entonces una expansion en senos y cosenos o equivalentemente en exp [im (ϕ− ϕ ′)]

G =

∞∑

m=−∞Fm(ρ, ρ′

)exp

[im(ϕ− ϕ′)]

en este caso la relacion de completez es

∞∑

m=−∞exp

[im(ϕ− ϕ′)] = 2πδ

(ϕ− ϕ′)

de modo que la ecuacion resultante es

∞∑

m=−∞

[dFm (ρ, ρ′)

dρ+ ρ

d2Fm (ρ, ρ′)dρ2

− m2

ρFm(ρ, ρ′

)]exp

[im(ϕ− ϕ′)] = −2δ

(ρ− ρ′

) ∞∑

m=−∞exp

[im(ϕ− ϕ′)]

d

dρ

[ρdFm (ρ, ρ′)

dρ

]− m2

ρFm(ρ, ρ′

)= −2δ

(ρ− ρ′

)


la solucion de la ecuacion homogenea para ρ 6= ρ′ es

Fm(ρ, ρ′

)= Aρm +Bρ−m

a1) ρ < ρ′ ⇒ G debe ser finita en ρ = 0 de modo que B = 0 ⇒ Fm (ρρ′) ∼ ρm = ρm<b1) ρ > ρ′ ⇒ G = 0 en ρ = R de modo que ARm+BR−m = 0 ⇒ B = −AR2m la solucion general queda

Fm = Aρm> +Bρ−m> = Aρm> −AR2mρ−m> = ARm[(ρ>

R

)m−(R

ρ>

)m]= A′

[(ρ>R

)m−(R

ρ>

)m]

la solucion general es el producto de las dos anteriores

Fm(ρ, ρ′

)= Cmρ

m<

[(ρ>R

)m−(R

ρ>

)m]

integramos la ecaucion inhomogenea asumiendo continuidad de Fm (ρ, ρ′)

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−ε

d

dρ

[ρdFm (ρ, ρ′)

dρ

]dρ− m2

ρ

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−εFm(ρ, ρ′

)dρ = −2

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−εδ(ρ− ρ′

)dρ

[ρdFm (ρ, ρ′)

dρ

]

ρ=ρ′+ε

−[ρdFm (ρ, ρ′)

dρ

]

ρ=ρ′−ε= −2

ρd

dρ

(Cmρ

m<

[(ρ>R

)m−(R

ρ>

)m])

ρ=ρ′+ε

−ρd

dρ

(Cmρ

m<

[(ρ>R

)m−(R

ρ>

)m])

ρ=ρ′−ε= −2

ρd

dρ

(Cm

(ρ′)m[( ρR

)m−(R

ρ

)m])

ρ=ρ′+ε

−ρd

dρ

(Cmρ

m

[(ρ′

R

)m−(R

ρ′

)m])

ρ=ρ′+ε

= −2

ρCm

(ρ′)m[mρm−1

Rm+mRm

ρm+1

]

ρ=ρ′+ε

−Cmρ

[(ρ′

R

)m−(R

ρ′

)m]mρm−1

ρ=ρ′+ε

= −2

Cm

[m (ρ′)2m

Rm+mRm

]− Cm

[m (ρ′)2m

Rm−mRm

]= −2

2mCmRm = −2 ⇒ Cm = − 1

mRm

la solucion para G sera entonces

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

m=−∞

ρm<mRm

[(R

ρ>

)m−(ρ>R

)m]exp

[im(ϕ− ϕ′)]

———————————————————8) Para el caso anterior, pruebe que las dos formas siguientes no son consistentes

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞Amn sinβnρ sinβnρ

′ exp[im(ϕ− ϕ′)]

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

m=1

sinβmρ sinβmρ′Fm

(ϕ,ϕ′)

a) usando la primera forma y las expansiones para los deltas de Dirac, la ecuacion de Green

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂G

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2G

∂ϕ2= −4πδ

(ρ− ρ′

)δ(ϕ− ϕ′)

4.5. PROBLEMAS 97

queda

1

ρ

∂

∂ρ

[ρ

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞βnAmn cos βnρ sinβnρ


]

− 1

ρ2

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞Amnm

2 sinβnρ sinβnρ′ exp

[im(ϕ− ϕ′)]

= − 4π

2πR

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞sinβnρ sinβnρ


entonces

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞

[1

ρβnAmn cos βnρ− β2

nAmn sinβnρ−1

ρ2Amnm

2 sinβnρ

]sinβnρ


= − 4π

2πR

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞sinβnρ sinβnρ


la independencia lineal de las funciones exp [im (ϕ− ϕ′)] nos lleva a

∞∑

n=1

[1

ρβnAmn cos βnρ− β2

nAmn sinβnρ−1

ρ2Amnm

2 sinβnρ

]sinβnρ

′ = − 2

R

∞∑

n=1

sinβnρ sinβnρ′

pero no podemos igualar coeficientes recurriendo a la independencia lineal en las funciones de ρ, ρ ′ debido ala aparicion del factor cosβnρ, esto a su vez esta ligado al hecho de que en coordenadas polares, el laplacianoposee primeras derivadas en ρ lo cual no ocurre cuando utilizamos coordenadas cartesianas, una expresionanaloga se obtiene con la segunda forma de expandir G.

————————————————————-9) La funcion de Green de Dirichlet para el espacio semiinfinito definido por −∞ < y <∞, −∞ < z <∞,

x ≥ 0. Esta dada por

G(r, r′

)=

1

π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

sinhγx< exp i [ky (y − y′) + kz (z − z′)] − γx>γ

dky dkz

γ2 ≡ k2y + k2

z

con base en este resultado, calcule el potencial debido a una placa plana infinita a potencial V , asumiendoque no hay cargas en x > 0.

El potencial dentro de la region donde ha sido calculado G viene dado por

φ (r) =

∫

Vρ(r′)G(r, r′

)d3r′ − 1

4π

∮

S

[φ(r′) ∂G (r, r′)

∂n′

]dS′

en nuestro caso ρ (r′) = 0 debido a la ausencia de cargas en la region de interes. El potencial se reduce a

φ (r) = − 1

4π

∮

S

[φ(r′) ∂G (r, r′)

∂n′

]dS′

la superficie que limita la region donde fue calculada G se puede pensar como una semiesfera de radioinfinito cuya base es el plano Y Z donde esta la placa, y el eje X es el eje de simetrıa de dicha semiesfera.Sin embargo, solo la base o superficie donde se encuentra la placa contribuye a la integral de superficie, yaque ∂G/∂n′ = 0 cuando alguna de las variables tiende a infinito, lo cual se puede chequear a traves de lasderivadas parciales ∂G/∂xi. Luego solo S ′

1 (el plano Y Z) contribuye a la integral. El vector n′ es un vectorperpendicular a dicha superficie saliendo del volumen donde se calculo G, por tanto n ′ = −ux y la condicionde frontera en la derivada direccional se convierte en

∂G

∂n′= − ∂G

∂x′

∣∣∣∣x′=0


como x′ = 0 a lo largo de toda la integracion, se tiene que x′ = x< puesto que x ≥ 0. De esta forma laderivada direccional en la superficie es

− ∂G

∂x′

∣∣∣∣x′=0

= − 1

π

∂

∂x′

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

[sinhγx′ exp i [ky (y − y′) + kz (z − z′)] − γx

γ

]dky dkz

∣∣∣∣x′=0

− ∂G

∂x′

∣∣∣∣x′=0

= − 1

π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

[cosh γx′ exp

i[ky(y − y′

)+ kz

(z − z′

)]− γx

]dky dkz

∣∣∣∣x′=0

− ∂G

∂x′

∣∣∣∣x′=0

= − 1

π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

[exp

i[ky(y − y′

)+ kz

(z − z′

)]− γx

]dky dkz

por otro lado φ (x′) = V sobre S ′1 y dS′

1 = dz′ dy′, la expresion para el potencial queda entonces

φ (r) =V

4π2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

[exp

i[ky(y − y′

)+ kz

(z − z′

)]− γx

]dky dkzdz

′dy′

φ (r) =V

4π2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞exp

(−ikzz′

)dz′]

exp(−ikyy′

)dy′

[exp i [kyy + kzz] − γx] dky dkz

φ (r) =2πV

4π2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞δ (kz) exp

(−ikyy′

)dy′

[exp i [kyy + kzz] − γx] dky dkz

y recordadno la definicion de γ

φ (r) = V

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞δ (ky) δ (kz)

[exp

i [kyy + kzz] −

(√k2y + k2

z

)x]

dky dkz

φ (r) = V

∫ ∞

−∞δ (ky)

[exp

(ikyy −

√k2yx)]

dky

y el potencial queda finalmente

φ (r) = V

????????????????? es bueno revisar si es cierto que la integral de superficie sobre el resto de la semiesfera seanula.

—————————————————-

10) Calcule G para el ortoedro de altura semi infinita (0 ≤ z ≤ ∞) y de base rectangular (a, b).

Si proponemos una solucion de la forma

G =∑

m,n

Fmn(z, z′

)sinαnx sinαnx

′ sinβmy sinβmy′ ; αn =

nπ

a; βm =

mπ

b

esta solucion garantiza las condiciones de frontera enX e Y . La ecuacion de Green en coordenadas cartesianasqueda

∑

m,n

[d2Fmndz2

− γ2mnFmn

]sinαnx sinαnx

′ sinβmy sinβmy′ = −4π

abδ(z − z′

)∑

m,n


′

donde hemos definido γ2mn ≡ α2

n + β2m. La ecaucion diferencial para Fmn queda

d2Fmndz2

− γ2mnFmn = −4π

abδ(z − z′

)

resolvemos la homogenea z 6= z ′, su solucion general es Fmn = A exp (γmnz) +B exp (−γmnz)a) z < z′ ⇒ G = 0 cuando z = 0 ⇒ Fmn = A1 sinh γmnz<b) z > z′ ⇒ G = 0 cuando z → ∞ ⇒ Fmn = A2 exp (−γmnz>)

4.5. PROBLEMAS 99

la solucion en ambos intervalos es

Fmn(z, z′

)= Cmn sinhγmnz< exp (−γmnz>)

integramos la ecucion inhomogenea entre z ′ − ε y z′ + ε

dFmndz

∣∣∣∣z=z′+ε

− dFmndz

∣∣∣∣z=z′−ε

= −4π

ab

Cmn

d

dz

[sinhγmnz

′ exp (−γmnz)]∣∣∣∣z=z′+ε

− d

dz

[sinh γmnz exp

(−γmnz′

)]∣∣∣∣z=z′−ε

= −4π

ab

Cmn

−γmn sinh γmnz

′ exp (−γmnz)∣∣z=z′+ε

−[γmn cosh γmnz exp

(−γmnz′

)]∣∣z=z′−ε

= −4π

ab

−Cmnγmn exp(−γmnz′

) sinhγmnz

′ + cosh γmnz

= −4π

ab

Cmnγmn exp(−γmnz′

)exp

(γmnz

′) =4π

ab

Cmn =4π

abγmn

la funcion de Green es

G =4π

ab

∑

m,n

sinh γmnz< exp (−γmnz>) sinαnx sinαnx′ sinβmy sinβmy

′

γmn

esta es la solucion para un orotedro de base (a, b) cuya base inferior esta sobre el plano XY y con 0 ≤ z ≤ ∞.Sin embargo, si la altura va desde −∞ ≤ z ≤ ∞ la solucion de G toma otra forma.

——————————————-9) Calcule G para el ortoedro de altura infinita (−∞ ≤ z ≤ ∞) y de base rectangular (a, b).Se podrıa usar la misma forma funcional del problema anterior, la funcion Fmn cumple la misma ecuacion

diferencial pero con diferentes condiciones de frontera. En lugar de ello, usaremos la expansion

G(x, x′, y, y′, z, z′

)=∑

m,n


′∫ ∞

−∞anm (k) eik(z−z

′) dk

la ecuacion de Green queda

−∑

m,n


′∫ ∞

−∞anm (k)

[α2n + β2

m + k2]eik(z−z

′) dk

= − 4π

2πab

∑

m,n


′∫ ∞

−∞eik(z−z

′) dk

[α2n + β2

m + k2]anm (k) =

2

ab⇒ a (k) = anm (k) =

2

ab (α2n + β2

m + k2)

y la funcion de Green queda finalmente

G(x, x′, y, y′, z, z′

)=∑

m,n


′∫ ∞

−∞

2eik(z−z′) dk

ab (α2n + β2

m + k2)

la integral se puede calcular por polos.


—————————————10) Evaluar G en el octante x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. En este caso es mas conveniente usar coordenadas

esfericas. La razon es que para estas coordenadas hay dos variables acotadas y solo una se evalua en unintervalo semi infinito (0 ≤ ρ ≤ ∞). En coordenadas cilındricas habrıan dos variables no acotadas y encartesianas habrıa tres ?????????

————————————————————-

11) Evaluar G para una cuna con un angulo de abertura β y tal que a ≤ ρ ≤ R.Proponemos una solucion de la forma

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∑

n


(ρ, ρ′

); αn =

nπ

β

La ecuacion diferencial es la misma que aparece en el problema de la cuna completa con 0 ≤ ρ ≤ R. Lasolucion es

Fn = Aραn +Bρ−αn

pero las condiciones de frontera son diferentesa) ρ < ρ′ ⇒ G = 0 en ρ = a⇒ Aaαn +Ba−αn = 0, con un procedimiento similar al de la cuna completa,

se tiene que

Fn = A1n

[(ρ<a

)αn

−(a

ρ<

)αn]

b) ρ > ρ′ ⇒ G = 0 en ρ = R

Fn = A2n

[(ρ>R

)αn −(R

ρ>

)αn]

la solucion general es

Fn = Cn

[(ρ<a

)αn −(a

ρ<

)αn] [(ρ>

R

)αn −(R

ρ>

)αn]

integrando la ecuacion diferencial homogenea se obtiene

ρ

[dF

dρ

∣∣∣∣ρ=ρ′+ε

− dF

dρ

∣∣∣∣ρ=ρ′−ε

]= −4π

β

resultando

Cnαn

[(ρ′

a

)αn

−(a

ρ′

)αn] [(

ρ′

R

)αn

+

(R

ρ′

)αn]

−Cnαn[(

ρ′

a

)αn

+

(a

ρ′

)αn] [(

ρ′

R

)αn

−(R

ρ′

)αn]

= −4π

β

simplificando

2Cnαn

[(R

a

)αn

−( aR

)αn

]=

4π

β⇒ Cn = Cn =

2π

βαn

[(Ra

)αn −(aR

)αn

]


G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

2π

β

∑

n


αn

[(Ra

)αn −(aR

)αn

][(ρ<

a

)αn −(a

ρ<

)αn] [(ρ>

R

)αn −(R

ρ>

)αn]

———————————————————————10) Para la geometrıa anterior, asumamos una densidad lineal de carga en un segmento de arco de radio

c. Los potenciales a lo largo de l1, l2, l3, l4 son 0, V2, V, V1 respectivamente. Encuentre el potencial en elinterior de la region.

4.5. PROBLEMAS 101

La carga total viene dada por

q =β

2π(2πrλ) = βrλ = βcλ

donde c es el radio de la cuna.

q = q

∫ R

aδ (r − c) dr

∫ 2π

0

dϕ

2π=

∫qδ (r − c)

2πc(c dr dϕ)

la densidad superficial equivalente es

σ =qδ (r − c)

2πc=βcλδ (r − c)

2πc=βλδ (r − c)

2π

con esta densidad de carga y conociendo G y φ en la superficie se tiene

φ (r) =

∫ρ(r′)GD

(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∮φs(r′) ∂G∂n′

dS′

en nuestro caso bidimensional, la primera integral sera de superficie y la segunda de lınea

φ (r) =

∫βλδ (r′ − c)

2π

∞∑

n=1

Kn sinαnϕ sinαnϕ′[(ρ<

a

)αn −(a

ρ<

)αn] [(ρ>

R

)αn −(R

ρ>

)αn]r′ dr′ dϕ′

− 1

4π

[∫

l1

φ(r′) ∂G∂n′

dl′1 +

∫

l2

+

∫

l3

+

∫

l4

]GD

(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∮φs(r′) ∂G∂n′

dS′

donde l1 es el segmento radial correspondiente a ϕ = 0. l2 es el segmento de arco para r = R y l3, l4corresponden a segmento radial con ϕ = β y segmento de arco con r = a respectivamente. La integral sobrel1 se anula puesto que ϕ′ = 0. Evaluamos primero la integral en ϕ′

∫ R

a

βλδ (r′ − c)

2π[][. . . r′ dr′

] ∞∑

n=1

∫ β

0Kn sinαnϕ sinαnϕ

′ dϕ′

la integral en ϕ′ es

∞∑

n=1

∫ β

0Kn sinαnϕ sinαnϕ

′ dϕ′ =∞∑

n=1

Kn sinαnϕ

αn[1 − cosαnβ] (4.11)

para hacer la integral en r′ se parte el intervalo entre a y R en r′ < r y r′ > r. Para r < c ⇒se anula laintegral en el intervalo a ≤ r′ ≤ r. Para r > c⇒se anula la integral en el intervalo r < r ′ ≤ R.

a) Para r < c

∫ R

a

βλ

2πδ(r′ − c

) [(ra

)αn −(ar

)αn]r′[(

r′

R

)αn

−(R

r′

)αn]dr′

=βλ

2π

[( ra

)αn

−(ar

)αn]c

[( cR

)αn

−(R

c

)αn]

(4.12)

b) Para r > c

∫ r

a

βλ

2πδ(r′ − c

) [(r′a

)αn

−( ar′

)αn

]r′[( rR

)αn −(R

r

)αn]dr′

=βλ

2π

[( ca

)αn −(ac

)αn]c

[( rR

)αn −(R

r

)αn]

(4.13)


Calculemos∫l2φ (r′) ∂G

∂n′ dl′2. En tal caso r′ = R de modo que r′ > r

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=R

=∂G

∂r′

∣∣∣∣r′=R

=∑

Kn sinαnϕ sinαnϕ′[( ra

)αn −(ar

)αn](2αn

R

)

= V2

∫

l2

∞∑

n=1

Kn sinαnϕ sinαnϕ′[( ra

)αn −(ar

)αn](2αn

R

) (R dϕ′)

= 2V2

[( ra

)αn

−(ar

)αn] ∫ β

0

∞∑

n=1

Knαn sinαnϕ sinαnϕ′ dϕ′

la integral angular coincide con (4.11) de modo que

∫

l2

= 2V2

[( ra

)αn −(ar

)αn] ∞∑

n=1

Knαn sinαnϕ

αn[1 − cosαnβ]

con lo cual ∫

l2

= 2V2

[( ra

)αn −(ar

)αn] ∞∑

n=1

Kn sinαnϕ [1 − cosαnβ]

Ahora calculemos la integral sobre l4

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= − ∂G

∂r′

∣∣∣∣r′=a

=∑

Kn sinαnϕ sinαnϕ′[( rR

)αn −(R

r

)αn]

2αna

sea dl = a dϕ ∫

l4

= V1

∫ β

0

∑Kn sinαnϕ sinαnϕ

′ 2αna

a dϕ

[( rR

)αn −(R

r

)αn]

similarmente, ∫

l4

= 2V1

[( rR

)αn

−(R

r

)αn] ∞∑

n=1

(1 − cosαnβ)Kn sinαnϕ (4.14)

finalmente, evaluemos sobre l3∂G

∂n′

∣∣∣∣ϕ′=β

=1

ρ′∂G

∂ϕ′

∣∣∣∣ϕ′=β

=

∞∑

n=1

αn sinαnϕ cosαnβ Kn

[(ρ<a

)αn −(a

ρ>

)αn] [(ρ>

R

)αn −(R

ρ>

)αn]

en este caso dl = dr′

∫

l3

= V

∫ R

a

∑αn sinαnϕ cosαnβ Kn

[(ρ<a

)αn −(a

ρ<

)αn] [(ρ>

R

)αn −(R

ρ>

)αn]dr′

haciendo nuevamente la particion

a) r′ < r

∫

l3

= V

∫ r

a


[(r′

a

)αn

−( ar′

)αn

] [( rR

)αn −(R

r

)αn]dr′

+V

∫ R

r


[( ra

)αn −(ar

)αn] [(r′

R

)αn

−(R

r′

)αn]dr′

4.5. PROBLEMAS 103

∫

l3

= V∑ αnKn sinαnϕ cosαnβ

αn

[( rR

)αn

−(R

r

)αn] [( r

a

)αn

+(ar

)αn

− 2]

+[(ra

)αn

−(ar

)αn] [

2 −(( r

R

)αn

+

(R

r

)αn)]

∫

l3

= 2V∑

Kn sinαnϕ cosαnβ

[( aR

)αn −( rR

)αn −(R

a

)αn

+

(R

r

)αn

+( ra

)αn −(ar

)αn

]

∫

l3

= 2V∑


[( aR

)αn −(R

a

)αn]

+

[(R

r

)αn

−( rR

)αn

]+[( ra

)αn −(ar

)αn]

(4.15)La solucion para φ (r) en el interior es la suma de las expresiones anteriores

φ (r) =

∫ρ(r′)GD

(r, r′

)dV ′ − 1

4π

4∑

i=1

∮

li

φs(r′) ∂G∂n′

dS′

de (4.11) y (4.12) para r < c

∫

Vρ dV =

∞∑

n=1

Kn sinαnϕ

αn[1 − cosαnβ]

βλc

2π

[( ra

)αn −(ar

)αn] [( c

R

)αn −(R

c

)αn]

(4.16)

y de (4.11) y (4.13) para r > c

∫

Vρ dV =

∞∑

n=1

Kn sinαnϕ

αn[1 − cosαnβ]

βλc

2π

[( ca

)αn −(ac

)αn] [( r

R

)αn −(R

r

)αn]

(4.17)

por otro lado

− 1

4π

4∑

i=1

∮

li

φs(r′) ∂G∂n′

dS′ = − 1

2π

∞∑

n=1

(1 − cosαnβ) Kn sinαnϕV2

[( ra

)αn

−(ar

)αn]

+ V1

[( rR

)αn −(R

r

)αn]

− V

2π

∞∑

n=1


[( aR

)αn −(R

a

)αn

+( rR

)αn

−(R

r

)αn

+( ra

)αn

−(ar

)αn]

(4.18)

luego el potencial para r > c es la suma de (4.16)+ (4.18) y para r > c es la suma de (4.17)+ (4.18).

Capıtulo 5

Metodo de imagenes

5.1. Metodo de imagenes y teorema de unicidad

Supongamos que tenemos cierta distribucion de cargas en el interior de un volumen V , con unas condi-ciones de frontera dadas sobre la superficie que delimita a este volumen. En particular, tomemos condicionesde Dirichlet. Ahora supongamos que podemos encontrar una distribucion virtual de cargas ubicadas en elexterior del volumen V , de tal manera que la superposicion de la distribucion real de cargas (en el interiorde V ) con la distribucion virtual (en el exterior de V ) emulen las condiciones de frontera en la superficie.Uno de los teoremas de unicidad que hemos demostrado nos dice que dada una cierta distribucion interiorde cargas y unas condiciones de frontera con el potencial, la solucion para el potencial en el interior delvolumen V , es unica. Ahora bien, comparando la situacion real (distribucion interior mas condiciones defrontera) con la situacion virtual (cargas reales interiores mas cargas virtuales exteriores), podemos inferirque el potencial en el interior del volumen V , es el mismo en ambas situaciones. Para demostrarlo,observemos que en ambos casos la distribucion interior es la misma (debido a que las cargas virtuales estantodas en el exterior de V ), y ası mismo las condiciones de frontera tambien coinciden ya que las cargasvirtuales se colocaron precisamente para ajustarse a esa condicion. No obstante, es necesario aclarar que elvalor del potencial en el exterior del volumen V , en general no es el mismo en ambas situaciones; esto sepuede ver teniendo en cuenta que si tomamos el complemento del volumen de Dirichlet, las cargas virtualesestarıan alterando la carga interior (donde el interior se define ahora en el complemento de V ).

Esto nos sugiere un metodo para encontrar el potencial en el interior de un volumen en ciertas situacionesespeciales, en las cuales es facil encontrar una distribucion de cargas virtuales exteriores que puedan emularlas condiciones de frontera, sin alterar la distribucion interior. Las cargas ubicadas en el exterior se denominanimagenes de modo que este procedimiento se conoce como metodo de imagenes.

Surge entonces la pregunta ¿cual es la ventaja del metodo de las imagenes?. Debemos observar que alintroducir las cargas imagen las condiciones de frontera dejan de ser relevantes en el problema (siemprey cuando se cumplan) y en su lugar debe solucionarse el problema (en general mas simple) de calcular elpotencial en el interior del volumen, por simple superposicion entre las cargas interiores (reales) y exteriores(imagenes).

Adicionalmente, si conocemos las superficies equipotenciales de una cierta distribucion de cargas, es facilretroalimentar el problema puesto que un conductor con la forma de una de estas superficies equipotenciales(y con un potencial igual al potencial de esta superficie) puede utilizar la distribucion original como imagen.

Veamos la conexion del metodo de imagenes con el formalismo de Green. Recordemos que la funcion deGreen mas general asociada a la ecuacion de Poisson, se escribe como

∇2G(r, r′

)= −4πδ

(r− r′

)

y que su solucion mas general se escribe

G(r, r′

)=

1

|r− r′| + F(r, r′

)

105

106 CAPITULO 5. METODO DE IMAGENES

donde F (r, r′) debe satisfacer la ecuacion de Laplace, el primer termino en la funcion de Green correspondeal potencial de una carga unidad, en tanto que el segundo termino es un potencial generado dentro delvolumen delimitado por la superficie debido a cargas externas a este volumen (ya que dentro del volumenobedece a una ecuacion de Laplace) de tal manera que hace que G (r, r′) cumpla las condiciones de frontera.La interpretacion de la funcion F (r, r′) nos proporciona otro punto de vista del metodo, ya que F (r, r′) esel potencial equivalente a imagenes colocadas en el exterior del volumen, de tal forma que junto con la cargaunidad (Kcq = 1) ubicada en una posicion interior r′, nos de un potencial cero en la superficie (o cualquieraque sea la condicion sobre la funcion de Green en la superficie).

5.2. Carga frente a un plano equipotencial

A manera de ejemplo consideremos una carga puntual colocada frente a un plano conductor infinitoubicado en el plano Y Z y a potencial cero. Puede verse facilmente que si ubicamos una carga puntualimagen al otro lado del plano a la misma distancia y de signo opuesto, las condiciones de frontera sobre elplano Y Z (potencial cero) se cumplen automaticamente.

Seanr = xi+yj + zk ; r′ = x′i + y′j + z′k ; r′i = −xi + yj + zk (5.1)

las posiciones de el punto donde se quiere evaluar el potencial, el punto donde se ubica la carga real y elpunto donde se ubica la carga imagen respectivamente. El potencial generado por el dipolo es

φ (r) =Kcq√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2− Kcq√

(x+ x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

claramente este potencial se anula en x = 0. Mas sinteticamente

φ (r) =Kcq

|r − r′| −Kcq

|r − r′i|(5.2)

a partir del potencial es facil calcular la distribucion de carga sobre la superficie del conductor, usando larelacion (1.29) valida para conductores y usando coordenadas cilındricas

σ (r) = − 1

4πKc

∂φ

∂n1= − qd

2π (r2 + d2)3/2

siendo d la distancia del plano a la carga, y r la distancia del punto de evaluacion al eje vertical al planoque pasa por la carga. Si se integra esta cantidad obtenemos que la carga total inducida sobre el conductores −q, lo cual se puede ver por ley de Gauss1. La fuerza que el plano hace sobre la carga se puede calcularde dos maneras: 1) calculando la fuerza que la distribucion de carga en el plano hace sobre la carga puntual,usando superposicion, 2) calculando la fuerza entre la imagen y la carga real.

No obstante, es de anotar que aunque el problema del potencial en el interior del semiespacio (x > 0) y elde la fuerza se pueden resolver de forma equivalente con la imagen, la energıa interna del sistema carga real-carga imagen es diferente (el doble) que la energıa del sistema carga real-plano conductor. Hay dos manerasde ver esta diferencia: a) Si se calcula la integral del campo al cuadrado Ec. (1.18), para el sistema de las doscargas contribuyen los dos semiespacios, por simetrıa ambos semiespacios contribuyen igual. En contraste,para el sistema carga-conductor, solo el semiespacio con x > 0 contribuye, ya que el otro semiespaciotiene campo cero. b) Para calcular la energıa interna del sistema carga conductor, solo hay que calcular eltrabajo necesario para traer la carga puntual real desde el infinito hasta el punto donde se localiza2. En

1Teniendo en cuenta que el conductor es neutro, el resto de la carga se acumula (en un conductor real) en los bordes de laplaca y en la superficie opuesta a la que da frente a la carga puntual.

2La redistribucion de cargas que se produce cuando se va acercando la carga al conductor no requiere trabajo adicional, yaque su superficie es equipotencial.

5.2. CARGA FRENTE A UN PLANO EQUIPOTENCIAL 107

contraste, para calcular la energıa interna del dipolo, se pueden traer las dos cargas simultaneamente enforma simetrica, en cuyo caso hay que hacer un trabajo igual al anterior pero sobre cada carga.

¿Porque la fuerza sobre la carga real, sı es igual para los dos sistemas? se puede ver simplemente porquela carga real esta en el interior de la region en donde ambos producen el mismo potencial y por tanto elmismo campo, y la fuerza es qE. La esencia de que la fuerza coincida en tanto que la energıa no, es elhecho de que la fuerza es una variable local (definida en un punto) que depende de otra variable local (elcampo) que coincide en ambas configuraciones. La energıa en cambio es un concepto global que depende engeneral de la configuracion del campo en todo el espacio, y el metodo de las imagenes solo nos garantiza queel campo es el mismo para ambas configuraciones en una cierta porcion del espacio, la region exterior deDirichlet posee campos diferentes para ambas configuraciones. A pesar de ello, es posible calcular la energıainterna de un sistema de cargas en presencia de un conductor a traves del metodo de las imagenes comoveremos en la seccion 5.7.

Ahora estamos en capacidad de conectar el problema del sistema carga real-carga imagen con la funcionde Green en el semiespacio x ≥ 0. Si hacemos Kcq = 1 en la Ec. (5.2), lo que tenemos es una carga puntual“unidad” ubicada en r′ y un sistema de cargas exteriores (la carga imagen) tal que la superposicion de lasdos da potencial cero en la frontera, la carga real estarıa generando el factor 1/ |r− r ′|, y la carga imagenesta generando el factor F (r, r′). Es claro entonces que la asignacion Kcq = 1 en la Ec. (5.2) nos da lafuncion de Green para el semiespacio con x ≥ 0.

G(r, r′

)=

1

|r− r′| −1

|r− r′i|(5.3)

donde r, r′, r′i vienen dados por la Ec. (5.1). Claramente la funcion de Green (5.3) cumple la condicion deDirichlet en las fronteras (y, z → ±∞, x→ ∞, y x = 0). Donde

F(r, r′

)= − 1

|r− r′i|

La funcion de Green aquı calculada puede ser utilizada para calcular el potencial en x ≥ 0 para cualquiercondicion de frontera en x = 0, con cualquier distribucion de carga localizada y que este encerrada en elsemiespacio determinado por x ≥ 0 (el hecho de que la carga este localizada nos garantiza que el potencialsea constante en el infinito definido por y, z → ±∞, x → ∞). No debemos olvidar que la formulacion deGreen es para volumenes cerrados, (aunque no necesariamente cerrados fısicamente) en donde el potencialo su derivada normal se deben conocer en una superficie cerrada, que en este caso es como una “semiesferainfinita”. Veamos un ejemplo de aplicacion de la funcion de Green (5.3) para el semiespacio.

5.2.1. Lınea de carga finita

Supongamos una lınea de densidad lineal λ constante, paralela al eje X, con φ = Va en x = 0. Ver Fig.???. Queremos evaluar el potencial debido a esta configuracion en la region x ≥ 0.

Primero debemos calcular la densidad volumetrica equivalente

q =

∫ρ (r) dV =

∫λ dx

∫δ (z) dz

∫δ (y) dy

q =

∫λδ (z) δ (y) dx dy dz =

∫λδ (z) δ (y) dV

la densidad volumetrica equivalente es entonces

ρ(r′)

= λδ(z′)δ(y′)

(5.4)


Calculando G para espacio semi-infinito Ec. (5.3), en coordenadas cartesianas y evaluando ∂G/∂n ′:

∂G

∂n′

∣∣∣∣x′=0

= ∇G · n|x′=0 = ∇G · (−i)|x′=0 = − (∇G)x′ |x′=0 = −∂G∂x′

∣∣∣∣x′=0

(5.5)

−∂G∂x′

∣∣∣∣x′=0

= − ∂

∂x′

1√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2− 1√

(x+ x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

∣∣∣∣∣∣x′=0

=−2x

(√x2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

)3

la integral de superficie en la semiesfera infinita, solo tiene contribucion en el plano Y Z ya que el termino∂G/∂n′ se anula en la superficie semiesferica de radio infinito (∂G/∂n′ → 0, con x→ ∞, y/o con y, z → ±∞).Reemplazando (5.4), (5.3) y (5.5) en (4.3) y usando coordenadas cartesianas se tiene

φ (r) =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ d+l

dλδ(z′)δ(y′) 1√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

− 1√(x+ x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

dx′dy′dz′

− 1

4π

∫Va

−2x(√

x2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)3

dS

′

φ (r) = λ

∫ 1√

(x− x′)2 + y2 + z2

− 1√(x+ x′)2 + y2 + z2

dx′

+Vax

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

1(√

x2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)3

dy

′dz′

5.3. Carga puntual frente a una esfera conductora

Supongamos que tenemos una esfera conductora de radio a (a potencial cero) y una carga puntual enel exterior como ilustra la Fig. ???, queremos evaluar el potencial en el exterior de la esfera. De modo quenuestro volumen “cerrado” esta entre la esfera de radio a, y una esfera de radio infinito. Por simetrıa lacarga imagen debe estar en la lınea que une a la carga real con el centro de la esfera, y debe estar en elinterior de la esfera (para que sea exterior a nuestro volumen “cerrado”), y debe ser de signo opuesto a lacarga real para que sea posible una cancelacion del potencial en r = a.

El potencial se escribe como

φ (r) =Kcq

|r− r′| +Kcq

′

|r− r”| =Kcq√

(r− r′) · (r− r′)+

Kcq′

√(r− r”) · (r− r”)

(5.6)

5.3. CARGA PUNTUAL FRENTE A UNA ESFERA CONDUCTORA 109

en r = a se tiene que φ = 0. Cuando el vector posicion de evaluacion del potencial tiene magnitud a, lodenotaremos como r =~a

φ (~a) =Kcq√

(~a−r′) · (~a−r′)+

Kcq′

√(~a−r”) · (~a−r”)

= 0 ⇒

q2

(~a−r′) · (~a−r′)=

q′2

(~a−r”) · (~a−r”)⇒

q2(~a−r”

)·(~a−r”

)− q′2

(~a−r′

)·(~a−r′

)= 0

q2(a2 − 2~a · r” + r”2

)− q′2

(a2 − 2~a · r′ + r′2

)= 0

a2(q2 − q′2

)+ q2r”2 − q′2r′2 − 2~a ·

(q2r” − q′2r′

)= 0 (5.7)

la cantidad 2~a ·(q2r” − q′2r′

)implica un cos θ arbitrario en virtud de que ~a toma todas las direcciones

posibles de modo que es necesario que(q2r” − q′2r′

)= 0 y como r′ y r” son paralelos se tiene que

q′2 =q2r”

r′(5.8)

reemplazando este valor de q′ en la expresion (5.7) se obtiene

a2

(q2 − q2r”

r′

)+ q2r”2 − q2r”

r′r′2 = 0

a2q2(

1 − r”

r′

)+ q2r”2 − q2r”r′ = 0

a2(r′ − r”

)+ r′r”2 − r”r′2 = 0

a2(r′ − r”

)+ r′r”

(r” − r′

)= 0(

a2 − r′r”) (r′ − r”

)= 0

es obvio que (r′ − r”) 6= 0 ya que el uno es interior (r” < a) y el otro es exterior (r ′ > a) de modo que

r” =a2

r′⇒∣∣q′∣∣ =

∣∣∣qar′

∣∣∣⇒ q′ = −qar′

(5.9)

donde hemos usado (5.8). Observese que |q ′| < |q|. Reemplazando (5.9) en (5.6), el potencial fuera de laesfera queda

φ (r) =Kcq

|r− r′| +Kcq

′

|r− r”| =Kcq

|r− r′| −Kcqa

r′∣∣∣r−a2

r′r′

r′

∣∣∣

φ (r) =Kcq

|r− r′| −Kcqa

r′∣∣∣r− a2

r′2r′∣∣∣

(5.10)

y la funcion de Green para r ≥ a, es este potencial con la carga real normalizada a uno (Kcq = 1) i.e.

Gr>a(r, r′

)=

1

|r − r′| −a

r′∣∣∣r− a2

r′2 r′∣∣∣

(5.11)

Observemos que cuando la carga real se aproxima a la superficie, la magnitud de la carga imagen vaaumentando tendiendo a la magnitud de la carga real. Adicionalmente, la carga imagen tambien se acerca


a la superficie de la esfera y cuando la carga real esta muy proxima a la esfera, la carga imagen tiende aestar equidistante a ella, veamos: Sea r ′ = a + ε con ε/a << 1, la distancia de la carga real a la superficiees ε y la distancia de la carga imagen a la superficie es a− r”

a− r” = a− a2

r′= a

(1 − a

a+ ε

)= a

(1 − a

a(1 + ε

a

))

' a[1 −

(1 − ε

a

)]

a− r” ' a[ εa

]= ε

el hecho de que las cargas tiendan a ser iguales en magnitud y equidistantes a la superficie, se debe a que alacercarse la carga real, esta ve a la esfera como un plano infinito y el metodo de imagenes se reduce al deuna carga puntual enfrente de un conductor plano infinito.

Recordemos que la densidad superficial de carga inducida sobre la esfera conductora se puede evaluar apartir de la discontinuidad de la componente perpendicular del campo electrico en la superficie y del hechode que el campo en el interior del conductor es cero, Ec. (1.29). Obteniendose

σ = − 1

4πKc

∂φ

∂n

∣∣∣∣S

= − 1

4πKc

∂φ

∂r

∣∣∣∣r=a

(5.12)

asumamos por ejemplo que la carga esta ubicada a lo largo del eje polar Z a una distancia r ′ > a. Evaluandola densidad de superficie (5.12) usando el potencial (5.10) obtenemos

φ (r) =Kcq

|r− r′| −Kcqa

r′∣∣∣r− a2

r′2r′∣∣∣

=Kcq√

(r− r′) · (r − r′)− Kcqa

r′∣∣∣∣√(

r− a2

r′2r′)·(r− a2

r′2r′)∣∣∣∣

=Kcq√

r2 + r′2 − 2rr′ cos θ− Kcqa

r′∣∣∣∣√r2 + a4

r′2− 2 a

2

r′2rr′ cos θ

∣∣∣∣

φ (r) =Kcq√

r2 + r′2 − 2rr′ cos θ− Kcq

r′∣∣∣∣√(

ra

)2+(ar′

)2 − 2 rr′ cos θ

∣∣∣∣(5.13)

siendo θ el angulo entre r′ y r. Derivando y evaluando en r = a

σ = − Kcq

4πa2

( ar′

)(1 − a2

r′2

)

(1 + a2

r′2 − 2ar′ cos θ

)3/2

al integrar para obtener la carga se obtiene justamente la carga imagen. Esto ultimo tambien se puede verpor ley de Gauss, para lo cual podemos construir una superficie S cerrada que encierre tanto a la esfera comoa la carga real exterior, el flujo Φ debido al campo generado por el sistema esfera-carga real es exactamenteel mismo que generarıa el sistema carga real- carga imagen, ya que la superficie Gaussiana esta toda en laregion del espacio en donde ya se probo que el potencial (y por tanto el campo electrico) son iguales paraambas configuraciones. Como en ambos casos el flujo es el mismo, la ley de Gauss me dice que la carga netadebe ser la misma en ambos casos, por lo cual la carga inducida en la esfera debe coincidir en magnitud ysigno con la carga imagen.

La fuerza que la esfera ejerce sobre la carga q, se puede calcular a partir de la carga imagen

F =Kcqq

′

L2uρ = q

(−qar′

) Kc

(r′ − r”)2uρ = q

(−qar′

) Kc(r′ − a2

r′

)2 uρ

F = −Kcq2

a2

( ar′

)3(

1 − a2

r′2

)−2

uρ

5.3. CARGA PUNTUAL FRENTE A UNA ESFERA CONDUCTORA 111

con r′ >> a (aproximacion de carga lejana)

F ≈ −Kcq2

a2

( ar′

)3(

1 + 2a2

r′2

)uρ ≈ −Kcq

2a

r′3uρ

si r′ ' a (aproximacion de carga cercana) es decir r ′ = a+ ε con ε/a << 1 la magnitud de la fuerza queda

|F | =Kcq

2

a2

(a

a+ ε

)3(1 − a2

(a+ ε)2

)−2

=Kcq

2

a2

(1(

1 + εa

))3(

1 − 1(1 + ε

a

)2

)−2

=Kcq

2

a2

(1(

1 + εa

))3([

1 +(εa

)]2 − 1[1 +

(εa

)]2

)−2

=Kcq

2

a2

(1(

1 + εa

))3( [

1 +(εa

)]2[1 +

(εa

)]2 − 1

)2

=Kcq

2

a2

(1(

1 + εa

))3( 2

aε+ 1a2 ε

2 + 12aε+ 1

a2ε2

)2

=Kcq

2

a2

(1(

1 + εa

))3

1

ε2

(2aε+ 1

a2 ε2 + 1

2a + 1

a2ε

)2

∼= Kcq2

a2

(1 − ε

a

)3 1

ε2

(1

(2/a)

)2

' Kcq2

4ε2

lo cual es consistente con el hecho de que al aproximarse la carga real a la superficie, la carga imagen tiendea estar equidistante, y a tener la misma magnitud de la carga real, de modo que F ∼= Kcqq/ (2ε)2 que es elresultado que se obtuvo.

Podemos tambien resolver el problema interior para el cual se obtiene

q′ = −qar′, r” =

a2

r(5.14)

y |q′| > |q|. La expresion para la funcion de Green tiene la misma forma que para el problema exterior.Debe tenerse en cuenta que el problema interior y exterior son excluyentes. Esto debido a que en cadacaso la carga imagen debe estar afuera del volumen sobre el cual se define el potencial. Para comprendermejor el concepto de excluyente veamos un ejemplo: Supongamos que queremos resolver el problema delpotencial generado por una configuracion localizada de cargas X, ubicada fuera de una esfera conductoraconectada a tierra. Para esto usamos la funcion de Green exterior a la esfera e integramos en el volumen y lasuperficie definidas entre la esfera y el infinito, el formalismo de Green no me permite calcular el potencialen el interior de la esfera en este caso (que serıa el exterior de mi volumen de integracion). Por otro lado,si tenemos una distribucion de cargas dentro de la esfera podemos usar Green para el interior de la esfera,pero no podemos calcular con el formalismo de Green el potencial afuera de la esfera en este caso (siemprese puede calcular solo dentro del volumen limitado por la superficie en la cual se conocen las condiciones defrontera y la distribucion de carga).

Como veremos mas adelante, la solucion de la esfera conductora conectada a tierra en presencia de cargapuntual sirve de base para resolver muchos problemas con simetrıa esferica. En primer lugar, veremos unejemplo de la aplicacion de la funcion de Green exterior de la esfera, para un problema de condiciones defrontera

5.3.1. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial

Tenemos una esfera conductora que en el hemisferio “norte” (“sur”) esta a potencial +V (−V ) comoindica la figura ???. Esto corresponderıa a dos semiesferas aisladas por algun dielectrico muy delgado en el“ecuador”. Debemos utilizar la funcion de Green para problema exterior en la esfera, pero es mas comodo


escribirlo en coordenadas esfericas. Podemos tomar la expresion 5.13 pero con Kcq = 1, y con θ = γ ya queθ esta reservado para el angulo con el eje Z.

G(r, r′

)=

1√r2 + r′2 − 2rr′ cos γ

− 1

r′∣∣∣∣√(

ra

)2+(ar′

)2 − 2 rr′ cos γ

∣∣∣∣(5.15)

G(r, r′

)=

1√r2 + r′2 − 2rr′ cos γ

− 1∣∣∣∣√(

rr′

a

)2+ a2 − 2rr′ cos γ

∣∣∣∣(5.16)

los vectores unitarios a lo largo de r y de r′ se escriben

r = cos θuz + sin θu‖ = cos θuz + sin θ (cosϕux + sinϕuy)

r′ = cos θ′uz + sin θ′ cosϕ′ux + sin θ′ sinϕ′uy

cos γ = r · r′ = sin θ cosϕ sin θ′ cosϕ′ + sin θ sinϕ sin θ′ sinϕ′ + cos θ cos θ′

cos γ = sin θ sin θ′(cosϕ cosϕ′ + sinϕ sinϕ′)+ cos θ cos θ′

cos γ = sin θ sin θ′ cos(ϕ− ϕ′)+ cos θ cos θ′

Primero calculamos la derivada normal de G en la superficie de la esfera, ya que en la otra superficie (elinfinito) el potencial es cero y la integral de superficie no contribuye.

∂G

∂n′

∣∣∣∣S′

= −∂G∂r′

∣∣∣∣r′=a

= −(r2 − a2

)

a (r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2

como no hay carga en el exterior ρ (r′) = 0, y el potencial queda

φ (r) = − 1

4π

∫φ(r′) ∂G∂n′

dS′ =1

4π

∫φS′

[ (r2 − a2

)

a (r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2

]a2 sin θ′dθ′dφ′

=1

4π

∫ 2π

0

[∫ π/2

0V

(r2 − a2

)

a (r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2a2 sin θ′dθ′

]dφ′

+1

4π

∫ 2π

0

[∫ π

π/2(−V )

(r2 − a2

)

a (r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2a2 sin θ′dθ′

]

φ (r) =a2V

4π

∫ 2π

0

[∫ π/2

0

( (r2 − a2

)

a (r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2

)sin θ′dθ′

−∫ π

π/2

( (r2 − a2

)

a (r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2

)sin θ′dθ′

]dφ′

esta integral no es sencilla debido a la complicada dependencia del cos γ con respecto a θ ′. Por ahora tomemosel caso particular del potencial sobre el eje Z. Con θ = 0 ⇒ cos γ = cos θ ′ y r = z. La integracion nos da

φ (z) = 2πaV

4π

(z2 − a2

)

2az

[−2√

a2 + z2 − 2az cos θ′

∣∣∣∣π/2

0

+2√


∣∣∣∣π

π/2

]

φ (z) =V

2

(z2 − a2

)

z

[−1√


∣∣∣∣π/2

0

+1√


∣∣∣∣π

π/2

]

φ (z) =V

2

(z2 − a2

)

z

[(1√

a2 + z2 − 2az− 1√

a2 + z2

)

+

(1√

a2 + z2 + 2az− 1√

a2 + z2

)]

5.4. CARGA PUNTUAL FRENTE A ESFERA CONDUCTORA CARGADA Y AISLADA 113

φ (z) =V(z2 − a2

)

2z

(1

(z − a)+

1

(z + a)− 2√

a2 + z2

)

φ (z) =V

2z

((z + a) + (z − a) − 2

(z2 − a2

)√a2 + z2

)

φ (z) = V

(1 −

(z2 − a2

)

z√a2 + z2

)(5.17)

este valor del potencial sobre el eje de simetrıa fue el que se tomo en la seccion 2.7 para obtener la solucionen todo el espacio, la cual esta dada por la Ec. (2.31).

5.4. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada

Sea Q la carga total sobre la esfera. Analicemos el problema de la siguiente manera: inicialmente laesfera esta conectada a tierra (potencial cero) de modo que la presencia de la carga puntual q induceuna carga superficial q′ numericamente igual a la imagen que ya calculamos. Esta carga esta distribuidainhomogeneamente debido a la presencia de la carga q.

Ahora se desconecta tierra y se agrega a la esfera una carga Q−q ′. Esta carga se distribuye uniformementesobre la esfera, hay dos formas de verlo a) Las fuerzas electrostaticas debidas a q ya fueron balanceadas porq′, b) La superficie del conductor con carga q ′ es equipotencial por lo que la carga restante se distribuyeuniformemente.

Por tanto el potencial se puede escribir como

φ (r) =Kcq

|r− r′| −Kcqa

r′∣∣∣r− a2

r′2r∣∣∣+Kc

(Q+ aq

r′

)

|r|

Los dos primeros terminos corresponden a la esfera con potencial cero enfrente de una carga puntual queya se soluciono, el tercero es el termino debido a la carga Q − q ′ = Q − (−aq/r′), la cual al repartirseuniformemente produce un potencial puntual equivalente en el exterior de la esfera.

La fuerza sobre la carga q se puede calcular con el mismo proceso. La fuerza debida a la esfera conectadaa tierra con carga q′ ya se calculo como la fuerza entre q y q ′; a esto hay que sumarle la fuerza debida a lacarga Q− q′ repartida uniformemente

F = −Kcq2

a2

( ar′

)3(

1 − a2

r′2

)−2

r′ +Kcq

(Q+ aq

r′

)

r′2r′

F =Kcq

r′2

[Q− qa3

(2r′2 − a2

)

r′ (r′2 − a2)

]r′

si r′ >> a, se reduce a la fuerza entre cargas puntuales Q, q como era de esperarse. Si Q y q tienen signosopuestos (o si Q = 0), la interaccion es siempre atractiva. Pero si son del mismo signo, la fuerza es atractivaa cortas distancias y repulsiva a largas distancias. De aquı se deduce que debe existir un punto de equilibrio(inestable como vimos en la Sec. 2.2). Los resultados anteriores nos llevan a concluır que si queremos removeruna carga del conductor hay que hacer trabajo para vencer la atraccion a cortas distancias. Este trabajonecesario para extraer una carga del conductor se conoce como funcion trabajo del metal y explica al menosen parte, porque las cargas en un conductor no son expulsadas a pesar de estar rodeadas de cargas delmismo signo3.

3Para un conductor cargado, es generalmente razonable asumir que Q >> q, si q es un portador de carga fundamental (usual-

mente el electron). En este lımite, el punto de equilibrio inestable para dicho portador esta ubicado en r′ ≈ a(1 + 1/2

√q/Q

),

es decir muy cerca a la superficie de la esfera.


Por otra parte, el problema tambien se puede resolver por imagenes, ubicando dos cargas imagen: q ′ enr′′ y Q− q′ en el centro de la esfera. La fuerza sobre la carga real se puede calcular como la debida a estasdos cargas imagen. La interaccion de estas tres cargas puede darnos una imagen mas clara de porque lainteraccion puede ser atractiva o repulsiva cuando Q y q son del mismo signo.

Finalmente, vale la pena mencionar que para este problema, la unicidad de la solucion para el potencialesta garantizada gracias al teorema de unicidad explicado en el apendice A, puesto que conocemos la carganeta en el conductor, una superficie equipotencial (infinito) y la densidad de carga en la region exterior alconductor e interior a la superficie equipotencial.

5.5. Carga puntual en frente de un conductor esferico a potencial V

Podemos verlo con un argumento similar al anterior, conexion a tierra produce carga q ′ y luego sedesconecta tierra y se agrega la cantidad de carga necesaria para que el potencial en la superficie pase decero a V , como esta ultima carga QV se reparte uniformemente se tiene que

KcQVa

= V ⇒ KcQV = V a

la contribucion de esta QV al potencial es KcQV / |r| = V a|r| el potencial total es

φ (r) =Kcq

|r− r′| −Kcqa

r′∣∣∣r− a2

r′2 r∣∣∣+V a

|r|

donde el primer termino es debido a la carga puntual real, el segundo es debido a la carga imagen q ′ (apotencial cero), y el tercero es debido a la carga adicional que hay que distribuir en la superficie para elevarel potencial desde cero hasta V (si V < 0 este termino es negativo). Tambien se puede ver el tercer terminocomo la contribucion de una carga imagen ubicada en el centro de la esfera, de tal forma que tenemos doscargas imagen y una real: QV en el origen, q′ en r” y q ubicada en r′. Se puede verificar que φ (~a) = V .

Finalmente, las expresiones para la fuerza sobre la carga (y su comportamiento asintotico) son muysimilares a las de la seccion anterior, y se dejan como ejercicio al lector.

5.6. Esfera conductora colocada en campo electrico uniforme

Un campo electrico E uniforme puede pensarse como producido por dos cargas Q y −Q, colocadas enz = R y en z = −R (ver Fig. ???). En un vecindad de z = 0 con tamano mucho menor que R, el campo esuniforme y aproximadamente constante, paralelo a Z. La magnitud de este campo es

E = Kc

(Q

R2+

Q

R2

)cos θ ' 2KcQ

R2

ya que θ ∼ 0. En el lımite Q→ ∞, y R→ ∞ con Q/R2 constante, la aproximacion se vuelve exacta. Sea unaesfera de radio a, ubicada en el origen. El potencial se puede pensar como debido a cuatro fuentes puntuales±Q y ±q′, donde ±q′ son imagenes de las cargas lejanas ∓Q.

φ (r) =KcQ√

r2 +R2 + 2rR cos θ− KcQ√

r2 +R2 − 2rR cos θ

− KcQa

R√r2 + a4

R2 + 2a2rR cos θ

+KcQa

R√r2 + a4

R2 − 2a2rR cos θ

5.6. ESFERA CONDUCTORA COLOCADA EN CAMPO ELECTRICO UNIFORME 115

al expandir para los radicales teniendo en cuenta que R >> r, y R >> a, obtenemos

φ (r) =KcQ

R√

1 +(rR

)2+ 2

(rR

)cos θ

− KcQ

R√

1 +(rR

)2 − 2(rR

)cos θ

− KcQa

R2

√(rR

)2+(aR

)4+(aR

)2 ( rR

)cos θ

+KcQa

R2

√(rR

)2+(aR

)4 −(aR

)2 ( rR

)cos θ

despreciando terminos de tercer orden

φ (r) ' KcQ

R√

1 + 2(rR

)cos θ +

(rR

)2 − KcQ

R√

1 − 2(rR

)cos θ +

(rR

)2

− KcQa

R2

√(rR

)2 +KcQa

R2

√(rR

)2

φ (r) =KcQ

R√

1 + 2(rR

)cos θ +

(rR

)2 − KcQ

R√

1 − 2(rR

)cos θ +

(rR

)2

teniendo en cuenta que1√

1 ± x= 1 ∓ 1

2x+

3

8x2

φ (r) =KcQ

R

[1 − r

Rcos θ − 1

2

( rR

)2+

3

8

(2r

Rcos θ +

( rR

)2)2]

−[1 +

r

Rcos θ − 1

2

( rR

)2+

3

8

(−2

r

Rcos θ +

( rR

)2)2]

φ (r) =KcQ

R

[1 − r

Rcos θ − 1

2

( rR

)2+

3

2

( rR

)2cos2 θ

]

−[1 +

r

Rcos θ − 1

2

( rR

)2+

3

8

(−2

r

Rcos θ +

( rR

)2)2]

???????????/

φ (r) = −2KcQr

R2cos θ +

2KcQ

R2

a3

r2cos θ + ...

donde Q/R2 se ha considerado constante, de modo que el campo E = 2KcQ/R2 tambien lo es

φ (r) = −E(r cos θ − a3

r2cos θ

)

El primer termino corresponde al campo uniforme E, el segundo es debido a la carga inducida sobre lasuperficie conductora y cuya densidad es

σ = − 1

4π

∂φ

∂r

∣∣∣∣r=a

=3

4πE cos θ

Probar que∫σdA = 0, lo cual es logico por simetrıa (se puede observar desde el punto de vista de las cuatro

cargas ±Q, ±q′).El momento de dipolo inducido sobre la esfera es

~p =

∫σrdA ; pz =

∫σa3 cos θ sin θ dθ dφ =

3a3E

4π

sin3 θ

3

∣∣∣∣π/2

0

= Ea3


5.7. Energıa interna electrostatica usando el metodo de imagenes

Como hemos visto el metodo de imagenes es una herramienta util para calcular campos y potencialeselectrostaticos, funciones de Green y fuerzas que los conductores ejercen sobre ciertas distribuciones de carga.Sin embargo, no es obvio como calcular la energıa interna de una configuracion electrostatica usando dichatecnica. Llamemos sistema A (el sistema real) aquel que consiste de un conductor y cierta distribucionde cargas en el exterior de este, y sistema B (el sistema virtual) el que consiste de la distribucion decargas mas el conjunto de cargas imagenes (ver Fig. 5.1). La razon por la cual no es directo el calculo de laenergıa interna del sistema A basado en el sistema B es que la integral

∫E2dV no es la misma para ambas

configuraciones, puesto que en la region interior al conductor el campo electrico es diferente en cada sistema.Para una forma y tamano arbitrarios del conductor no hay una simetrıa evidente que conecte las energıasde ambas configuraciones. Veremos a continuacion la manera en que se puede calcular la energıa interna delsistema A basados en el sistema B.

fs qc

System A

r j

qj

r k

qkq

j

System B

r j

Figura 5.1: System A is defined as the set composed of the conductor and the distribution of charges qjoutside the conductor (left). System B consists of the distribution of charges qj plus the set of imagecharges qk, (right)

Queremos encontrar la energıa potencial interna asociada con el sistema A que consiste en un conjuntode cargas ubicadas en cierta region exterior a un conductor. Al conjunto de cargas (reales) lo denotaremospor qj. Tomamos como punto de partida la expresion (1.15)

U(A)int =

1

2

∫ρ (r) φ (r) dV, (5.18)

donde ρ (r) , φ (r) denotan densidad de carga y potencial respectivamente. Como ya se discutio en la seccion1.3.1 la Ec. (5.18) conduce a divergencias cuando hay partıculas puntuales presentes debido a la inclusionde terminos de autoenergıa. Por supuesto los terminos de autoenergıa se pueden remover para obtener soloresultados finitos. Extrayendo la autoenergıa y teniendo en cuenta que la integral solo contribuye en regionesdonde hay carga presente, vemos que

U(A)int =

1

2qcφs +

1

2

M∑

j=1

qjφA (rj) , (5.19)

donde φs es el potencial (constante) en la superficie del conductor, rj describe la localizacion de la cargapuntual qj, qc es la carga neta (superficial) del conductor, y φA (rj) es el potencial electrico en rj debido atodas las fuentes (excluyendo a la propia qj i.e. removiendo la divergencia). El metodo de las imagenes nosgarantiza que el potencial electrostatico en la region exterior al conductor es equivalente al potencial generadopor el sistema B (las cargas qj mas el conjunto de imagenes). En particular, el potencial electrostaticogenerado por el conjunto de imagenes mas las cargas reales en el punto rj esta dado por4

φB (rj) =N∑

k=1

Kcqk|rk − rj |

+M∑

r 6=j

Kcqr|rr − rj |

= φA (rj) , (5.20)

4Una vez mas, el autopotencial generado por la carga puntual qj en el punto rj ha sido extraıdo.

5.7. ENERGIA INTERNA ELECTROSTATICA USANDO EL METODO DE IMAGENES 117

donde (qk, rk) denota el conjunto de imagenes y sus posiciones, ası mismo (qr, rr) denota las cargas reales ysus posiciones excluyendo a qj. Reemplazando (5.20), en (5.19) resulta

U(A)int =

1

2qcφs +

1

2

M∑

j=1

qj

N∑

k=1

Kcqk|rk − rj |

+M∑

r 6=j

Kcqr|rr − rj|

. (5.21)

A partir de la ley de Gauss, se puede ver que la carga neta qc sobre la superficie del conductor, es lasuma algebraica de las cargas imagen. Similarmente, el potencial sobre la superficie del conductor es aquelgenerado por el sistema B en cualquier punto de dicha superficie, por tanto obtenemos

qc =

N∑

k=1

qk ; φs =

N∑

j=1

Kcqj|rj − rs|

+

N∑

k=1

Kcqk|rk − rs|

, (5.22)

donde rs es la posicion de cualquier punto en la superficie del conductor. Reemplazando (5.22) en (5.21),encontramos la energıa interna del sistema A en terminos exclusivamente de los componentes del sistema B

U(A)int =

1

2

[N∑

k=1

qk

]

N∑

j=1

Kcqj|rj − rs|

+

N∑

m=1

Kcqm|rm − rs|

+

1

2

M∑

j=1

N∑

k=1

Kcqkqj|rk − rj|

+1

2

M∑

j=1

M∑

r 6=j

Kcqrqj|rr − rj|

(5.23)

La energıa interna del sistema A se puede escribir entonces como

U(A)int =

1

2qcφs +

1

2U

(B)ext + U

qjint ,

qc =

N∑

k=1

qk ; φs =

M∑

j=1

Kcqj|rj − rs|

+

N∑

m=1

Kcqm|rm − rs|

U(B)ext ≡

M∑

j=1

N∑

k=1

Kcqkqj|rk − rj|

=M∑

j=1

qjφ (rj) ; Uqjint =

1

2

M∑

j=1

M∑

r 6=j

Kcqrqj|rr − rj|

(5.24)

donde φ (rj) es el potencial generado por las imagenes en el punto rj donde se ubica la carga qj. Por tanto,

U(B)ext representa la energıa potencial externa asociada con la distribucion de cargas reales cuando estas estan

inmersas en el campo generado por las imagenes. Finalmente Uqjint representa la energıa interna asociada a

la distribucion real de cargas qj, i.e. el trabajo necesario para ensamblar esta distribucion si esta estuvieraaislada (es decir en ausencia del conductor y/o las imagenes). Por supuesto, la distribucion (y tal vez lasimagenes) pueden ser contınuas, en cuyo caso las sumas se convierten en integrales.

En muchos casos estaremos interesados en el trabajo necesario para traer la distribucion de carga comoun todo, es decir qj se mueve como un cuerpo rıgido inmerso en el campo generado por el conductor. En

tal caso el termino Uqjint deja de ser relevante puesto que no cambia en el proceso y podemos removerlo de

la formulacion. Si adicionalmente el conductor se conecta a tierra, la energıa interna adquiere una formaparticularmente simple,

U(A)int =

1

2U

(B)ext . (5.25)

En este punto conviene discutir brevemente acerca de la diferencia entre energıa potencial externa einterna. En primer lugar debemos precisar el sistema de partıculas para el cual definimos los conceptos deenergıa interna y externa. Una vez definido el sistema, la energıa potencial interna es la energıa potencialasociada con las fuerzas internas y corresponde al trabajo necesario para ensamblar el sistema comenzando


con las partıculas muy alejadas entre sı5. Por otro lado, la energıa potencial externa es aquella asociada conlas fuerzas externas, y corresponde al trabajo necesario para traer el sistema como un todo desde el infinitohasta su configuracion final, inmerso en un campo de fuerzas generado por todas las fuentes exteriores al

sistema en cuestion. En nuestro caso, U(B)ext representa la energıa potencial externa asociada con el sistema

de cargas reales exteriores al conductor, las fuerzas externas son las generadas por el conjunto de cargas

imagen. En consecuencia, U(B)ext es el trabajo necesario para traer la distribucion qj como un todo desde

el infinito hasta su configuracion final en presencia de las cargas imagen. Por otro lado, U(A)int representa el

trabajo necesario para ensamblar el sistema A. Finalmente Uqjint es la energıa necesaria para ensamblar al

conjunto de cargas reales en ausencia de fuerzas externas, vale decir que esta cantidad contribuye a U(A)int

pero si el sistema de cargas se trae desde el infinito “ya ensamblado” y no se redistribuye en el proceso (esdecir se comporta como cuerpo rıgido) dicha cantidad es irrelevante en el problema. Notese que las energıaspotenciales internas y externas son diferentes tanto conceptual como operativamente.

5.7.1. Ejemplos de calculo de energıa interna por metodo de imagenes

Trabajaremos dos tipos de configuraciones (a) Sistemas en los cuales el conductor esta aislado (de modoque la carga neta qc es fija), (b) Sistemas en los cuales el potencial en la superficie del conductor es constante(e.g. conectado a tierra o a una baterıa). En todos los casos consideramos al sistema exterior de cargas como

un cuerpo rıgido de modo que omitiremos el termino Uqjint de la Ec. (5.24).

Ejemplo 1: Un caso muy simple es el de una carga puntual en frente de un plano infinito conectado atierra. Para muchos propositos este sistema es equivalente a reemplazar el conductor por una carga imagende signo opuesto igual magnitud e igual distancia al otro lado del plano formando un dipolo fısico, es facilver que la energıa interna correspondiente al sistema A, es la mitad de la energıa interna asociada al sistemaB. Esto se puede ver por dos argumentos, (a) El espacio se puede dividir en dos mitades separadas por elconductor. Para el sistema B la integral

∫E2dV da contribuciones identicas en ambas mitades, en tanto

que en el sistema A solo una de estas mitades contribuye a la energıa. (b) Calculando el trabajo necesariopara traer q desde el infinito. En el sistema A solo se realiza trabajo sobre q puesto que la redistribucion decargas en el conductor no requiere trabajo debido a que dichas cargas se mueven en una equipotencial. Encontraste, si ensamblamos el sistema B trayendo ambas cargas simultaneamente, podemos trabajar sobreambas en forma simetrica, resultando claramente un trabajo dos veces mayor. Esta solucion es consistentecon lo que se encuentra al aplicar la Ec. (5.25), y se puede estimar por argumentos de simetrıa. Sin embargo,la Ec. (5.25) es valida mucho mas alla de este ejemplo, incluso en escenarios sin niguna simetrıa evidente.

Ejemplo 2: Sea una carga puntual q ubicada en r0 en presencia de un conductor aislado con carga netaqc. Estamos interesados en calcular el trabajo externo necesario para traer q desde el infinito hasta r0. Lacarga neta es invariante durante el proceso y la energıa interna del sistema al comienzo y al final del procesose obtiene aplicando (5.21)

U(A,i)int =

1

2qcφ

is ; U

(A,f)int =

1

2qcφ

fs +

1

2

∑

k

Kcq(f)k∣∣∣r0 − r(f)k

∣∣∣q

,

donde φis, φfs son los potenciales en la superficie del conductor al comienzo y al final del proceso respecti-

vamente, el conjunto de imagenesq(f)k , r

(f)k

es la configuracion que fija el potencial del conductor al final

del proceso (i.e. con q localizada en r0). Hemos asumido que la distribucion de las imagenes es localizada

5En algunos casos cuando el sistema esta compuestos de subsistemas que actuan como cuerpos rıgidos, la energıa interna sepuede definir como la necesaria para ensamblar estos subsistemas comenzando con ellos muy lejos uno de otro. Esto implicaignorar la energıa necesaria para ensamblar los subsistemas, lo cual esta justificado puesto que en el proceso la energıa internaasociada a cada subsistema no esta cambiando y por tanto no es relevante en el problema. No obstante, debe tenerse presenteque si algunos subsistemas pueden cambiar su energıa interna en el proceso, estas energıas deben incluırse en el calculo de laenergıa interna total del sistema.


durante todo el proceso con lo cual se asegura que la energıa potencial asociada con la carga puntual es cerocuando esta se ubica en el infinito. El trabajo externo para traer a q desde el infinito hasta r0, es el cambioen la energıa interna

Wext = ∆U(A)int =

1

2qc(φ

fs − φis) +

1

2

∑

k


∣∣∣q

, (5.26)

los valores de φis y φfs se pueden obtener de la Ec. (5.22) utilizando la configuracion de imagenes al principio

y al final del proceso respectivamente 6. Es claro que los valores de φfs , φis dependen de la geometrıa delconductor. Notese sin embargo, que si la carga neta es nula, Wext se vuelve independiente de estos potencialesy el resultado tiene la misma forma que aquel en el cual el conductor esta conectado a tierra (ver Ecs. 5.25,5.24) sin importar cual sea la geometrıa del conductor 7.

Ejemplo 3: Carga puntual q ubicada en r0 con conductor conectado a una baterıa que lo mantiene a unpotencial fijo V . En el proceso de traer q desde el infinito hasta r0, la baterıa debe proporcionar una carga∆Q al conductor para mantener constante su potencial, de tal modo que aplicando (5.21) al comienzo y alfinal y haciendo la diferencia, obtenemos el cambio en la energıa interna

∆U(A)int =

V

2∆Q+

1

2

∑

k


∣∣∣q

.

Nuevamente, hemos asumido que la configuracion de imagenes esta localizada a lo largo del proceso. De-

notemos q(i)c , q

(f)c a las cargas totales en la superficie del conductor al principio y al final del proceso respec-

tivamente. Usando la Ec. (5.22), el cambio en la energıa interna es

∆U(A)int =

V

2

[(∑

k

q(f)k

)−(∑

m

q(i)m

)]+

1

2

∑

k


∣∣∣q

. (5.27)

Este cambio en la energıa interna es igual al trabajo neto externo sobre el sistema, el cual se puede separaren dos terminos: el trabajo hecho por la bateria sobre el conductor para suplir la carga ∆Q y el trabajohecho por la fuerza externa sobre q

∆U(A)int = Wext = Wbatt +WFext .

El trabajo hecho por la baterıa es claramente

Wbatt = V ∆Q = V

[(∑

k

q(f)k

)−(∑

m

q(i)m

)], (5.28)

de modo que WFext viene dado por

WFext =V

2

[(∑

m

q(i)m

)−(∑

k

q(f)k

)]+

1

2

∑

k


∣∣∣q

, (5.29)

el conductor conectado a tierra es un caso especial con V = 0.

Los ejemplos 2, 3 son validos para cualquier forma y tamano del conductor. Apliquemos estos resultadosa un conductor esferico de radio R, con el origen en el centro de la esfera.

6qc es dado en el problema. pero por consistencia podemos chequear si este valor se obtiene usando la configuracion deimagenes al principo o al final del proceso en la Ec. (5.22), dado que qc es invariante durante el proceso.

7No obstante, el resultado no es necesariamente el mismo para carga nula que para potencial cero, dado que la configuracionde imagenes no es en general, la misma en ambos casos.


q

x0

q2

q1

x1

R

x

Figura 5.2: Carga puntual q en presencia de un conductor esferico de radio R. Las cargas q1, q2 representanla configuracion de imagenes, y adquieren diferentes valores y posiciones de acuerdo con el caso estudiado.Sin embargo, q2 esta siempre en el origen y la configuracion q1, q2, q yace sobre el eje X.

Ejemplo 4: La esfera se conecta a una baterıa que mantiene su potencial V constante. La estructura delas imagenes ya se obtuvo en la seccion 5.5 . En la notacion de la figura 5.2, con la carga q en cierta posicionx0, la estructura de imagenes esta descrita por

q1 = −qRx0

; x1 =R2

x0; q2 =

V R

Kc; x2 = 0 , (5.30)

La configuracion inicial de imagenes se obtiene haciendo x0 → ∞, y para la configuracion final asumimosque la posicion es justamente x0, usando (5.22) encontramos

q(i)c = q(i)1 + q

(i)2 =

V R

Kc; q(f)

c = q(f)1 + q

(f)2 = −qR

x0+V R

Kc(5.31)

reemplazando (5.30, 5.31) en (5.28, 5.29) encontramos

Wbatt = −qRVx0

WFext =qRV

x0− 1

2

Kcq2R(

x20 −R2

)

=Kcq2q

x0+

1

2

Kcqq(f)1(

x0 − x(f)1

) . (5.32)

la esfera conectada a tierra se obtiene haciendo V = 0 (o q2 = 0). Examinando la ultima lınea de la ecuacion(5.32) vemos que el primer termino de WFext es equivalente al trabajo para traer la carga q en presencia dela imagen q2 (que es invariante durante el proceso). Vale la pena enfatizar que en este termino el factor 1/2no esta presente debido a que la carga q2 es estacionaria y constante en magnitud en el proceso de traer q, demodo que la fuerza externa necesaria para traer la carga es siempre de la forma Kcq2q/r

2 en la direccion demovimiento. En contraste, el segundo termino posee el factor 1/2 y tal termino es equivalente a la mitad deltrabajo requerido para transportar la carga q en presencia de la imagen q1 si tal imagen estuviera siempre ensu posicion final, y con su magnitud final. Este factor surge del hecho de que durante el proceso de traer q,la carga imagen q1 tiene que cambiar su posicion y magnitud, con el fin de mantener su rol de carga imagen.

Example 5: La esfera esta aislada con una carga neta qc. De nuevo, la estructura de las imagenes ya hasido estudiada en la seccion 5.4, y en la notacion de la Fig. 5.2 esta dada por

q1 = −qRx0

; x1 =R2

x0; q2 = qc − q1 = qc +

qR

x0; x2 = 0 , (5.33)

el potencial en la superficie del conductor cuando la carga yace en su posicion final, es aquel generado por lacarga q2 solamente, puesto que los potenciales generados por q1 y q se cancelan mutuamente por construccion.


Por otro lado, el potencial en la superficie del conductor cuando q yace en el infinito, es claramente de laforma Kcqc/R, y usando (5.33) los potenciales sobre la superficie del conductor al comienzo y al final delproceso se escriben

φfs =Kcq2R

=Kc

(qc + qR

x0

)

R; φis =

KcqcR

, (5.34)

reemplazando las expresiones (5.33, 5.34) en (5.26) encontramos

Wext = Kcq

qcx0

+qR

2

[1

x20

− 1(x2

0 −R2)]

.

En este caso, no hay trabajo sobre el conductor como ocurre en el caso de la esfera conectada a tierra (V = 0en la Ec. 5.32). En particular, en el escenario con un conductor neutro i.e. qc = 0, el trabajo necesario paratraer la carga es mayor que en el caso de la esfera conectada a tierra en virtud de que una segunda cargaimagen localizada en el centro de la esfera y del mismo signo que q debe ser anadida, dicha imagen conducea una interaccion repulsiva que requiere incrementar el trabajo externo.

l-l

a-a x

z

Figura 5.3: Alambre infinito con densidad lineal de carga constante λ, en frente de un conductor infinitoconectado a tierra. El alambre punteado es la correspondiente imagen.

Example 6: Consideremos un alambre infinito con densidad lineal uniforme λ, que yace a una distancia aal lado derecho de un conductor plano infinito conectado a tierra, ver Fig. 5.3. En este caso la imagen consistede otro alambre infinito de densidad lineal −λ al lado izquierdo del plano. En este ejemplo la distribucionreal y la configuracion de imagenes son ambas distribuciones contınuas. Los potenciales electricos en unpunto r =xı+ y+zk (x > 0) debido al alambre y su imagen estan dados por

Φ(r) = 2Kcλ ln√

(x− a)2 + y2 + C1,

Φ(r) = −2Kcλ ln√

(x+ a)2 + y2 + C2. (5.35)

Para asegurar que el potencial sobre el plano sea nulo (plano Y Z) debemos escoger las constantesarbitrarias como C1 = −C2 = C de modo que el potencial total sobre el lado derecho del plano esta dadopor

ΦT (r) = 2Kcλ ln

√(x− a)2 + y2

(x+ a)2 + y2,


el cual satisface la condicion ΦT (0, y, z) = 0. Nuestro proposito es calcular la energıa interna electrostaticadel sistema A, para el cual usamos la Ec. (5.24) con φs = 0

U(A)int =

1

2U

(B)ext ; U

(B)ext ≡

∫Φ(a,0,0) dq (5.36)

donde la energıa potencial externa asociada con el alambre real en el campo generado por el sistema virtual(sistema B) puede ser escrito como

U(B)ext

L= Φ(a,0,0)λ,

con L la longitud de un trozo de alambre con densidad λ, de la Ec. (5.35) encontramos que

U(B)ext

L= −2Kcλ

2 ln (2a) −Cλ.

Usando la Ec. (5.36) la energıa potencial por unidad de longitud del alambre en presencia del conductorplano conectado a tierra puede escribirse como

U(A)int

L= −Kcλ

2 ln (2a) − Cλ

2,

y el trabajo externo por unidad de longitud para llevar el alambre (en presencia del conductor) desde ladistancia ai hasta la distancia af viene dada por:

Wi→f

ext

L= −Kcλ

2 ln

(aiaf

).

Capıtulo 6

Funcion de Green y ecuacion de Poissonen coordenadas esfericas

Cuando tenemos en cuenta problemas con alguna simetrıa esferica, es conveniente escribir la ecuacionde Green

∇2G = −4πδ(r− r′

)

en coordenadas esfericas, para lo cual se utiliza el Laplaciano en coordenadas esfericas que ya se empleo enel capıtulo anterior, ası como la funcion delta de Dirac en estas mismas coordenadas.

6.1. Delta de Dirac en coordenadas esfericas

Definimos δ (r − r′), δ (cos θ − cos θ′) , δ (ϕ− ϕ′) a traves de las siguientes relaciones

∫ ∞

0δ(r − r′

)dr = 1 ,

∫ 2π

0δ(ϕ− ϕ′) dϕ = 1 ,

∫ π

0δ(cos θ − cos θ′

)sin θ dθ = 1

⇒∫δ(r− r′

)dV = 1 =

(∫ ∞

0δ(r − r′

)dr

)(∫ 2π

0δ(ϕ− ϕ′) dϕ

)(∫ π

0δ(cos θ − cos θ′

)sin θ dθ

)

=

∫δ (r − r′) δ (ϕ− ϕ′) δ (cos θ − cos θ′)

r2r2dr sin θ dθ dϕ

=

∫δ (r − r′) δ (ϕ− ϕ′) δ (cos θ − cos θ′)

r2dV

Por lo tanto, el delta de Dirac en coordenadas esfericas queda

δ(r − r′

)=δ (r − r′) δ (ϕ− ϕ′) δ (cos θ − cos θ′)

r2

con lo cual ya estamos listos para escribir la ecuacion de Green en estas coordenadas

6.2. Funcion de Green en coordenadas esfericas

Ya conocemos la expresion analıtica para la funcion de Green para espacio infinito con condiciones deDirichlet (G→ 0, r → ∞). La cual viene dada por

G(r, r′

)=

1

|r− r′|

123

124CAPITULO 6. FUNCION DE GREEN Y ECUACION DE POISSON EN COORDENADAS ESFERICAS

Para ajustar esta funcion de Green a problemas con simetrıa esferica, es conveniente expandir la solucionen armonicos esfericos

G(r, r′

)=

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)Flm

(r, r′

)(6.1)

la inclusion de Y ∗lm (θ′, ϕ′) se debe a que la funcion de Green debe satisfacer G (r, r′) = G∗ (r′, r). Utilizando

la completez de los armonicos esfericos

δ(ϕ− ϕ′) δ


)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)

reemplazando en ∇2G = −4πδ (r− r′) y usando el Laplaciano en coordenadas esfericas

1

r

∂2

∂r2(rG) − 1

r2L2G = −4πδ (r − r′)

r2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)

con L2 definido por (2.14). Usando (6.1) se obtiene

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) 1

r

d2

dr2[rFlm

(r, r′

)]

− 1

r2L2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)Flm

(r, r′

)

= −4πδ (r − r′)r2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)

ahora teniendo en cuenta que los armonicos esfericos son funciones propias del operador L2 con valor propiol (l + 1), y teniendo en cuenta que este operador es solo funcion de θ, ϕ y no de θ ′, ϕ′ se obtiene

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) 1

r

d2

dr2[rFlm

(r, r′

)]

− 1

r2

∞∑

l=0

l∑

m=−ll (l + 1) Ylm (θ, ϕ) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)Flm

(r, r′

)

= −4πδ (r − r′)r2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)

igualando coeficientes

1

r

d2

dr2[rFlm

(r, r′

)]− 1

r2l (l + 1)Flm

(r, r′

)= −4πδ (r − r′)

r2

multiplicando por r2

rd2

dr2[rFlm

(r, r′

)]− l (l + 1)Flm

(r, r′

)= −4πδ

(r − r′

)(6.2)

la solucion para r 6= r′ ya la hemos estudiado cuando solucionamos la ecuacion de Laplace

Flm(r, r′

)= Almr

l +Blmrl+1

6.2. FUNCION DE GREEN EN COORDENADAS ESFERICAS 125

Para r < r′ Flm 6= ∞, para r → 0 de modo que la solucion tiene la forma

Flm = Almrl<

Para r > r′, Flm → 0 cuando r → ∞ (condicion de frontera en el infinito)

Flm =Blm

rl+1>

la solucion para ambos casos es

Flm = Clmrl<

rl+1>

para hallar Clm multiplicamos la ecuacion (6.2) por r dr e integramos entre r ′ − ε y r′ + ε.

∫ r′+ε

r′−εrd2

dr2[rFlm

(r, r′

)]dr − l (l + 1)

∫ r′+ε

r′−εFlm

(r, r′

)dr = −4π

∫ r′+ε

r′−εδ(r − r′

)dr

la primera integral se soluciona facilmente por partes con u = r, dv = d2

dr2[rFlm (r, r′)] dr ⇒ du = dr,

v = ddr [rFlm (r, r′)]. Asumimos Flm acotada y contınua de modo que la integral sobre la funcion tiende a

cero cuando ε→ 0.

(rd

dr(rFlm) − rFlm

)∣∣∣∣r′+ε

r′−ε= −4π

Clm

[rd

dr

(rrl<

rl+1>

)− r

rl<

rl+1>

]

r′+ε

− Clm

[rd

dr

(rrl<

rl+1>

)− r

rl<

rl+1>

]

r′−ε= −4π

Clm

[rd

dr

(r(r′)l

rl+1

)− r

(r′)l

rl+1

]

r′+ε

−Clm

[rd

dr

(r

rl

r′(l+1)

)− r

rl

r′(l+1)

]

r′−ε= −4π

Clm =4π

2l + 1

La funcion de Green queda

G(r, r′

)=

1

|r− r′| = 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ) Y ∗lm (θ′, ϕ′)

2l + 1

rl<

rl+1>

(6.3)

A partir de esta funcion de Green se puede calcular el potencial debido a cualquier distribucion localizaday estatica de cargas en el espacio libre. Como en tal caso tanto la funcion de Green como el potencial soncero en el infinito, la integral de superficie se anula y solo queda la integral de volumen.

φ (r) = 4πKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ dΩ′ (6.4)

esta expresion es la base para la expansion del potencial en multipolos esfericos como veremos en la seccion8.1.2.


6.2.1. Teorema de adicion de armonicos esfericos

Comparando la expresion obtenida para 1|r−r′| en terminos de armonicos esfericos y en terminos de

polinomios ordinarios de Legendre, Ecs. (2.35, 6.3) obtenemos

1

|r− r′| = 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)Y ∗lm (θ′, ϕ′)

2l + 1

rl<

rl+1>

=

∞∑

l=0

Pl (cos γ)rl<

rl+1>

donde γ es el angulo entre r y r′. De lo anterior se deduce

Pl (cos γ) = 4π

l∑

m=−l


2l + 1(6.5)

resultado que se conoce como teorema de adicion de los armonicos esfericos. En particular, si θ = θ ′,ϕ′ = ϕ⇒ γ = 0

Pl (cos 0) = Pl (1) = 1 = 4π

l∑

m=−l

|Ylm (θ, ϕ)|22l + 1

de lo cual se deriva la propiedadl∑

m=−l

|Ylm (θ, ϕ)|22l + 1

=1

4π(6.6)

6.3. Esfera uniformemente cargada

Calcular el potencial interior y exterior debido a una esfera de densidad volumetrica constante ρ y radioa. Usando (6.4)

φ (r) = 4πKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ dΩ′

= 4πρKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

] ∫ a

0

rl<

rl+1>

r′2dr′

= 4πρKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[√4πδl0δm0

] ∫ a

0

rl<

rl+1>

r′2dr′

= 4πρKcY00

√4π

∫ a

0

r0<r0+1>

r′2dr′

φ (r) = 4πρKc

∫ a

0

1

r>r′2dr′

a) Para r < a

∫ a

0

1

r>r′2dr′ =

∫ r

0

1

r>r′2dr′ +

∫ a

r

1

r>r′2dr′

=

∫ r

0

1

rr′2dr′ +

∫ a

r

1

r′r′2dr′

=1

6

(3a2 − r2

)

6.4. FUNCION DE GREEN PARA EXTERIOR E INTERIOR DE LA ESFERA COMBINANDO IMAGENES CON AUTOFUNCIONES127

b) Para r > a⇒ r > r′ ∫ a

0

1

r>r′2dr′ =

∫ a

0

1

rr′2dr′ =

a3

3r

φ (r) =4πKcρ

3

12

(3a2 − r2

)si r < a

a3

r si r > a

φ (r) =KcQ

a3

12

(3a2 − r2

)si r < a

a3

r si r > a

En r = a ambos potenciales coinciden, como debe ocurrir en la interface. El potencial afuera coincide con elde una carga puntual situada en el centro de la esfera con carga Q. En el interior el potencial es el generadopor la carga interior con respecto al punto.

6.4. Funcion de Green para exterior e interior de la esfera combinando

imagenes con autofunciones

En la seccion 5.3 se calculo la funcion de Green exterior e interior para la esfera de radio a, a partir delmetodo de las imagenes, Ec. (5.11)

G(r, r′

)=

1

|r − r′| −a

r′∣∣∣r−a2r′

r′2

∣∣∣

=1

|r − r′| −1∣∣ r′r

a −ar′

r′

∣∣

≡ 1

|r − r′| −1∣∣k − k′∣∣

como el segundo termino es semejante al primero, es facil hacer la expansion del segundo termino enarmonicos esfericos, solo tenemos que saber cual de los terminos r′r

a o ar′

r′ (o k,k′) tiene mayor magni-tud

a) Problema exterior, en este caso tanto r como r ′ son mayores que a, de modo que rr′ > a2 ⇒ r′ra >

a⇒ r′ra > ar′

r′ de modo que aplicando la Eq. (6.3) la expansion para 1∣∣∣ r′ra

−ar′

r′

∣∣∣es

G2

(r, r′

)= 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

(r′ar′

)l

(rr′

a

)l+1

y la funcion de Green completa queda

G(r, r′

)= 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

[rl<

rl+1>

− a2l+1

(rr′)l+1

]

b) Problema interior, r y r′ menores que a entonces

rr′

a<ar′

r′

de modo que

G2

(r, r′

)= 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

(rr′

a

)l

(r′ar′

)l+1


y la funcion de Green completa queda

G(r, r′

)= 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

[rl<

rl+1>

− (rr′)l

a2l+1

]

las funciones de Green interior y exterior se pueden considerar como un caso particular del siguiente problema

6.5. Funcion de Green para espacio comprendido entre dos cascaronesesfericos concentricos con G = 0 en la superficie

Figura 6.1: Problema de Dirichlet para la region comprendida entre dos cascarones esfericos.

Resolveremos la ecuacion de Green para la region mostrada en la Fig. 6.1. Partiendo de ∇2G (r, r′) =−4πδ (r− r′). Siguiendo el procedimiento usual encontramos

F(r, r′

)= Arl +

B

rl+1

a) Para r < r′ → f = 0 en r = a

f = Al

(rl< − a2l+1

rl+1<

)

b) si r > r′ → f = 0 en r = b

f = Bl

(rl> − b2l+1

rl+1>

)

el F que cumple ambas es

f = Clm

[rl< − a2l+1

rl+1<

][rl> − b2l+1

rl+1>

]

evaluamos Clm con el proceso usual para obtener

G(r, r′

)= −4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1 − (a/b)2l+1

][rl< − a2l+1

rl+1<

][1

rl+1>

− rl>b2l+1

](6.7)

6.5. FUNCION DE GREEN PARA ESPACIO COMPRENDIDO ENTRE DOS CASCARONES ESFERICOS CONCENTRICOS CONG = 0 EN LA SUPERFICIE129

con b→ ∞ obtenemos el problema exterior para la esfera de radio a. Notese que (r>r<)2l+1 = (rr′)2l+1

Con a → 0 se obtiene el problema interior para esfera de radio b. Si ademas se hace b → ∞, se obtieneGreen para espacio infinito.

6.5.1. Solucion general en el espacio entre dos cascarones esfericos

Utilizaremos la expresion general de la funcion de Green para dos cascarones esfericos Ec. (6.7) conb > a, usando condiciones de Dirichlet

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∫φS(r′) ∂G (r, r′)

∂n′dS′

El potencial se escribe como

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ − 1

4π

[∫

S1

φa(r′) ∂G (r, r′)

∂n′dS′ +

∫

S2

φb(r′) ∂G (r, r′)

∂n′dS′]

asumiremos el caso general donde las superficies definidas por r = a y r = b estan a potenciales φa (θ, ϕ) yφb (θ, ϕ) respectivamente. Calculemos primero la derivada normal de la funcion de Green

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= ∇G · (−ur′) = −(∂G

∂r′ur′ +

1

r′∂G

∂θ′uθ′ +

1

r′ sin θ′∂G

∂ϕ′uϕ′

)· ur′

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= − ∂G

∂r′

∣∣∣∣r′=a

= −4π∂

∂r′

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1 − (a/b)2l+1

]

×[(r′)l − a2l+1

(r′)l+1

][1

rl+1− rl

b2l+1

]

r′=a

donde hemos tenido en cuenta que para r ′ = a, se tiene que r′ < r

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= −4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1 − (a/b)2l+1

][l(r′)l−1

+ (l + 1)a2l+1

(r′)l+2

][1

rl+1− rl

b2l+1

]r′=a

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= −4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1 − (a/b)2l+1

] [l + (l + 1)]

[1

rl+1− rl

b2l+1

]al−1

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= −4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)Y ∗lm (θ′, ϕ′)[

1 − (a/b)2l+1]

[1

rl+1− rl

b2l+1

]al−1

De la misma manera

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=b

=∂G

∂r′

∣∣∣∣r′=b

= 4π∂

∂r′

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1 − (a/b)2l+1

][rl − a2l+1

rl+1

][1

(r′)l+1− (r′)l

b2l+1

]r′=b

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=b

= 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1 − (a/b)2l+1

][rl − a2l+1

rl+1

] [− (l + 1)

1

bl+2− l

bl−1

b2l+1

]r′=b

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=b

= 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1 − (a/b)2l+1

][rl − a2l+1

rl+1

][− (2l + 1)]

1

bl+2


∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=b

= −4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ) Y ∗lm (θ′, ϕ′)[

1 − (a/b)2l+1]

[rl − a2l+1

rl+1

]1

bl+2

reemplazando en el potencial

φ (r) = −4πKc

∫ ρ(r′) ∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1 − (a/b)2l+1

][rl< − a2l+1

rl+1<

][1

rl+1>

− rl>b2l+1

] sin θ′ r′2dr′ dθ′ dϕ′

+

∫

S1

φa

(θ′, ϕ′)

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ) Y ∗lm (θ′, ϕ′)[

1 − (a/b)2l+1]

[1

rl+1− rl

b2l+1

]al−1

a2 sin θ′dθ′dϕ′

+

∫

S2

φb

(θ′, ϕ′)

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ) Y ∗lm (θ′, ϕ′)[

1 − (a/b)2l+1]

[rl − a2l+1

rl+1

]1

bl+2

b2 sin θ′dθ′dϕ′

simplificando

φ (r) = −4πKc

∫ ρ(r′) ∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1 − (a/b)2l+1

][rl< − a2l+1

rl+1<

]

×[

1

rl+1>

− rl>b2l+1

]sin θ′ r′2dr′ dθ′ dϕ′

+∞∑

l=0

l∑

m=−l

al+1

(1

rl+1 − rl

b2l+1

)

(1 − (a/b)2l+1

)

Ylm (θ, ϕ)

∫

S1

φa(θ′, ϕ′)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) sin θ′dθ′dϕ′

+∞∑

l=0

l∑

m=−l

(rl − a2l+1

rl+1

)

bl(1 − (a/b)2l+1

)

Ylm (θ, ϕ)

∫

S2

φb(θ′, ϕ′)Y ∗

lm


definiendo

H(1)lm (a, b) ≡

∫S1φa (θ′, ϕ′)Y ∗

lm (θ′, ϕ′) sin θ′dθ′dϕ′[1 − (a/b)2l+1

]

H(2)lm (a, b) ≡

∫S2φb (θ

′, ϕ′) Y ∗lm (θ′, ϕ′) sin θ′dθ′dϕ′

[1 − (a/b)2l+1

]

tenemos que

φ (r) = −4πKc

∫ ρ(r′) ∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1 − (a/b)2l+1

][rl< − a2l+1

rl+1<

]

×[

1

rl+1>

− rl>b2l+1

]sin θ′ r′2dr′ dθ′ dϕ′

+

∞∑

l=0

l∑

m=−lal+1

[1

rl+1− rl

b2l+1

]Ylm (θ, ϕ)H

(1)lm (a, b)

+∞∑

l=0

l∑

m=−l

[rl − a2l+1

rl+1

]1

blYlm (θ, ϕ)H

(2)lm (a, b)

6.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE 131

φ (r) = −4πKc

∫ρ(r′)GdV ′ +

∞∑

l=0

l∑

m=−lrlYlm (θ, ϕ)

[H

(2)lm (a, b)

bl− al+1

b2l+1H

(1)lm (a, b)

]

+

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

rl+1

[al+1H

(1)lm (a, b) − a2l+1

blH

(2)lm (a, b)

]

definiendo

Alm ≡ H(2)lm (a, b)

bl− al+1

b2l+1H

(1)lm (a, b) ; Blm ≡ al+1H

(1)lm (a, b) − a2l+1

blH

(2)lm (a, b)

φ (r) = −4πKc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ +

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[Almr

l +Blmrl+1

]

La solucion general posee una integral de volumen que depende de la distribucion de carga ρ (r) peroque ademas posee un factor modulador G asociado a la geometrıa de las fronteras, cuando la frontera es elinfinito este termino queda como en el caso del potencial de distribucion localizada que ya conocıamos. Paraotras geometrıas el termino modulador da cuenta de la forma en que las condiciones de frontera afectan lacontribucion de la distribucion volumetrica. La integral de superficie, es la que contiene la informacion ex-plıcita sobre las condiciones de frontera; dichas condiciones son generadas por las cargas interiores exterioresy superficiales de la region de Dirichlet.

Discusion El potencial solo se puede evaluar estrictamente dentro del volumen de Dirichlet cuando unousa las funciones de Green, la carga superficial alojada sobre la superficie de Dirichlet no esta en el interior demodo que su influencia esta incluıda indirectamente en la integral de superficie. Con frecuencia el potenciales contınuo en las interfaces (a menos que haya cargas puntuales o singularidades de algun tipo) de modoque al resolver el problema interior podemos tomar el lımite cuando se tiende a la frontera y el potencialobtenido sera el correcto para la superficie (debe tender a las condiciones de frontera), recordemos que lacomponente perpendicular del campo si puede tener discontinuidad.

Podemos chequear que en los casos a) a→ 0, b) b → ∞, c) a → 0, b→ ∞, los potenciales se reducen alo que se espera.

6.6. Disco cargado uniformemente

Sea un disco de radio a y densidad superficial σ, que yace en el plano XY y centrado en el origen. Estadistribucion de carga es localizada, se toma entonces el G para espacio infinito. Como la distribucion essuperficial debemos hallar el ρ equivalente

∫ρdV = q =

∫σdA =

∫σr dr dϕ×

∫δ (cos θ) sin θ dθ =

∫σ

rδ (cos θ) r2 dr dϕ sin θ dθ

∫σdA =

∫σ

rδ (cos θ) dV ⇒ ρ =

σ

rδ (cos θ)

Reemplazando esta densidad equivalente en el potencial asociado a la funcion de Green para espacio infinitoEc. (6.4) se tiene

φ (r) = 4πKc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ = 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ dΩ′

φ (r) = 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫σ

r′δ(cos θ′

)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ sin θ′dθ′dϕ′

φ (r) = 4πσ∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[∫δ(cos θ′

)Y ∗lm


] [∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′]


utilizamos la propiedad

∫f(θ′)δ(cos θ′

)sin θ′ dθ′ = f

(π2

);

∫ 2π

0Y ∗lm

(π2, ϕ′)dϕ′ = 2π

√2l + 1

4πPl (0) δm0

φ (r) = 8π2σ

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

√2l + 1

4πPl (0) δm0

[∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′]

φ (r) = 8π2σ∞∑

l=0

Yl0 (θ, ϕ)√4π (2l + 1)

Pl (0)

[∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′]

Yl0 (θ, ϕ) =

√2l + 1

4πPl (cos θ)

φ (r) = 2πσ

∞∑

l=0

Pl (cos θ)Pl (0)

[∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′]

la integral sobre r′ se divide como es usual en dos casos

a) r < a⇒∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′ =

∫ r

0

rl<

rl+1>

r′dr′ +∫ a

r

rl<

rl+1>

r′dr′ =

∫ r

0

(r′)l

rl+1r′dr′ +

∫ a

r

rl

(r′)l+1r′dr′

∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′ =r

l + 2+

1

−l + 1

(rl

al−1− r

)si l 6= 1

∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′ =r

3+ r ln

(ar

)si l = 1

de modo que

φ (r) = 2πσP1 (cos θ)P1 (0)︸︷︷︸=0

[r3

+ r ln(ar

)]+ 2πσ

∞∑

l=0,l 6=1

Pl (cos θ)Pl (0)

[∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′]

teniendo en cuenta quePl (0) = 0 con l impar

φ (r) = 2πσ

∞∑

k=0

P2k (cos θ)P2k (0)

[r

2k + 2+

1

−2k + 1

(r2k

a2k−1− r

)]

b) r > a∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′ =

∫ a

0

(r′)l

rl+1r′dr′ =

al+2

l + 2

1

rl+1

φ (r) = 2πσa

∞∑

k=0

P2k (cos θ)P2k (0)

2 (k + 1)

(ar

)2k+1

se puede observar que en r = a ambas soluciones coinciden. Solo valores pares de l contribuyen. Se puedever que para r >> a se sigue φ → Kcπa2σ

r = Kcqr . Tambien se puede ver de la solucion para r < a que en

r = 0, el potencial es cero.

6.7. CONDICION DE FRONTERA EN ESFERA CON VARILLA INTERNA 133

6.7. Condicion de frontera en esfera con varilla interna

Calcular el potencial generado por una varilla y con la condicion de frontera φ = V en r = a. La varillaesta ubicada sobre el eje Z positivo con uno de sus extremos en el origen, su longitud es b < a, su densidadlineal es λ. La densidad volumetrica de carga equivalente es

q =

∫ b

0λ dr =

∫λ dr

[∫δ (cos θ − 1) sin θ dθ

] [∫dϕ

2π

]

q =

∫λ

2πr2r2 dr

[∫δ (cos θ − 1) sin θ dθ

] [∫dϕ

]

q =

∫λ

2πr2δ (cos θ − 1) r2 dr sin θ dθ dϕ =

∫ρ dV

ρ(r′, θ′

)=

λ

2πr′2δ(cos θ′ − 1

)

en este caso intervienen tanto la integral de volumen como la de superfcie

φ(r′)

=

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∫φS(r′) ∂G∂n′

dS′

dS′ = a2 sin θ′dθ′dϕ′

usando las propiedades

∫ 2π

0Y ∗lm

(0, ϕ′) dϕ′ = 2π

√2l + 1

4πPl (1) δm0 = 2π

√2l + 1

4πδm0

∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ =

√4πδl0δm0

Las soluciones quedan

φ (r) = λ

(1 − b

a

)+ λ ln

(b

r

)+ V +

+λ∞∑

l=0

P2l+1 (cos θ)

1

2 (l + 1)

[1 −

( ra

)2l+1(b

a

)2(l+1)]

+1

2l + 1

[1 −

(rb

)2l+1]

para r < b. Y

φ (r) = λ∞∑

l=0

Pl (cos θ)1

(l + 1)

[(b

r

)l+1

−(b

a

)l+1 ( ra

)l]

+ V

para r > b. Es importante anotar que

1. φ es singular en r = 0

2. en r = a se reproduce la condicion de frontera

3. en r = b ambas soluciones coinciden

4. Si a→ ∞ se obtiene el potencial de una varilla en espacio libre.

Se puede hacer b → ∞, con a → ∞ (pero manteniendo b < a), y V = 0. Para obtener el potencialgenerado por la varilla semi-infinita.


6.8. Carga superficial en semicırculo

Carga superficial σ constante en el semidisco ubicado en z = 0. Cascaron a potencial cero. Evaluar φ (r)interior. Como el potencial es cero en la superficie solo sobrevive la integral de volumen, veamos la densidadequivalente

∫σdA =

∫σr dϕ dr =

∫σ

rr2 dϕ dr

∫δ(cos θ − cos

π

2

)sin θ dθ

ρ = σδ (cos θ − 0)

r

hay que tener presente que la integral volumetrica de carga solo varıa entre [0, π] para la variable ϕ. Conesto se obtiene

φ (r) = 4πσ∑

l 6=1

r

l∑

m=−limpar

2iYlm (θϕ)

(2l + 1)m

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (0) +

Yl0 (θ, ϕ)π√2l + 1

√4π

[1

l − 1+

1

l + 2

] [1 −

( ra

)l−1]

+ 4πσ

[1∑

m=−1

Y1m (θ, ϕ)

3

2i

m

√3

8πPm1 (0) +

Y10 (θ, ϕ)√12π

π

]r ln

(ar

)

Si la carga cubre el angulo completo en ϕ, la expresion es mucho mas simple debido a la simetrıa azimuthaly es

φ (r) = σ

2π

∑

l 6=1

Pl (cos θ)Pl (0)

(1

l − 1+

1

l + 2

)r

(1 −

( ra

)l−1)

6.9. Distribucion poligonal de cargas

Consideremos N cargas puntuales qi, colocadas en los vertices de un polıgono regular de N lados inscritoen una circunferencia de radio a. El polıgono esta en el plano XY de modo que θ = π

2 . Evalue el potencial.Se usa la funcion de Green para espacio infinito. Hay que construır el equivalente volumetrico de la

densidad de carga, dos cargas subtienden un angulo ϕ = 2π/N . Asumamos que hay una carga en ϕ = 0, demodo que hay una carga para ϕk = k 2π

N donde k = 1, ..., N es entero, ϕN = 0.

∫ρdV = q =

N∑

k=1

qk =N∑

k=1

qk

∫δ(cos θ − cos

π

2

)sin θ dθ

∫δ (r − a)

r2r2dr

∫δ

(ϕ− 2πn

N

)

⇒ ρ = δ (cos θ)δ (r − a)

r2

N∑

k=1

qkδ

(ϕ− 2πn

N

)

el potencial es

φ (r) = 4π∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ dΩ′

= 4π

N∑

k=1

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1qk

[∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) δ

(cos θ′

)δ

(ϕ′ − 2πn

N

)dΩ′]

×∫δ (r′ − a)

r′2rl<

rl+1>

r′2dr′

Capıtulo 7

Funciones de Green en coordenadascilındricas

La base natural para expansiones en coordenadas cilımdricas son las funciones de Bessel. Por tanto,podemos encontrar la funcion de Green para espacio infinito en terminos de funciones de Bessel, de lamisma forma es conveniente calcular la funcion de Green para el espacio entre dos cilindros. Lo cual nospermite calcular facilmente potenciales (de la ec. de Poisson) cuando tenemos problemas que involucran estasimetrıa.

135

136 CAPITULO 7. FUNCIONES DE GREEN EN COORDENADAS CILINDRICAS

Capıtulo 8

Multipolos electricos

Es bien sabido que cuando tenemos una distribucion localizada de cargas, para puntos muy lejanosa la distribucion, el campo observado se asemeja al de una carga puntual. Nos podemos preguntar ¿quepasa cuando la carga neta de la distribucion es cero?, ciertamente el campo aun en puntos lejanos no esnecesariamente cero, debido a que las cargas individuales que componen a la distribucion, estan a diferentesdistancias y orientaciones relativas con respecto al punto de observacion. La forma mas obvia de procederconsiste en la aplicacion directa del principio de superposicion. No obstante, para distribuciones complejasexisten alternativas simplificadoras que si bien son solo aproximadas, nos pueden dar una vision mas sencilladel problema. El proposito del presente capıtulo es desarrollar estos metodos de aproximacion para camposlejanos. En particular, veremos mas adelante que la presente formulacion adquiere notable importancia enlos casos en que no se conoce la distribucion de carga de manera detallada, como ocurre por ejemplo cuandoestudiamos campos en la materia. En dicha situacion no es posible una aplicacion directa del principio desuperposicion.

8.1. Expansion multipolar del potencial electrostatico

8.1.1. Multipolos cartesianos

Para una distribucion localizada de cargas, y realizando integracion sobre todo el espacio, solo queda laintegral de volumen

φ (r) = Kc

∫ρ (r′)|r− r′|dV

′ (8.1)

Para valores de r >> r′, el potencial puede ser expandido en potencias de r ′/r. Dado que r, r′ son vectoresposicion, esta expansion depende fuertemente del origen de coordenadas elegido. En general se elige unorigen cercano a la distribucion para acelerar la convergencia de los terminos (es decir, disminuir los valoresde r′/r).

1

|r− r′| =∣∣r− r′

∣∣−1=∣∣∣√

(r− r′) · (r− r′)∣∣∣−1

=(r2 + r′2 − 2r · r′

)−1/2

=

r2

[1 +

(r′

r

)2

− 2r · r′r2

]−1/2

=1

r

1 +

[r′2

r2− 2

r · r′r2

]−1/2

=1

r

[1 − 1

2

(r′2

r2− 2

r · r′r2

)+

(−1

2

) (−1

2 − 1)

2!

(r′2

r2− 2

r · r′r2

)2

+ . . .

]

=1

r

[1 − 1

2

(r′2

r2− 2

r · r′r2

)+

3

8

(r′4

r4+ 4

(r · r′)2r4

− 4r′2

r2r · r′r2

)+ . . .

]

137

138 CAPITULO 8. MULTIPOLOS ELECTRICOS

Realizaremos la expansion que esta en el parentesis cuadrado, hasta orden O[(r′/r)2

]. Por ejemplo, el

termino (r · r′) /r2 = (rr′ cos θ) /r2 = (r′/r) cos θ es del ordenO [r′/r]; el termino (r · r′)2 /r4 =(r2r′2 cos2 θ

)/r4 =

(r′2/r2

)cos2 θ es del orden O

[(r′/r)2

]. La expansion hasta segundo orden es entonces

1

|r − r′| =1

r+

1

r

r · r′r2

− 1

2

1

r

r′2

r2+

3

8

1

r

[4(r · r′)2r4

]+ . . .

1

|r − r′| =1

r+

r · r′r3

− 1

2

r′2

r3+

3

2

(r · r′)2r5

+ . . .

1

|r − r′| =1

r+

r · r′r3

+1

2r5[3(r · r′

) (r · r′

)− r2r′2

]+ . . . (8.2)

donde hemos factorizado potencias iguales en r ′. El potencial queda

φ (r) = Kc

∫ρ(r′) [1

r+

r · r′r3

+1

2r5[3(r · r′

) (r′ · r

)− r2r′2

]+ . . .

]dV ′

φ (r) =Kc

r

∫ρ(r′)dV ′ +Kc

r

r3·∫

r′ρ(r′)dV ′ +

Kcr

2r5·[∫ (

3r′r′ − I r′2)ρ(r′)dV ′

]· r + . . . (8.3)

notese que las integrales que aparecen en (8.3) no dependen del punto r de evaluacion del potencial, sino solode la distribucion de carga como tal. Si sintetizamos estos terminos integrales adecuadamente los podemosescribir de la siguiente manera

φ (r) =Kcq

r+Kc (p · r)

r3+Kc

2r5r·Q·r + . . . (8.4)

cada termino integral lo definimos de acuerdo con la potencia de 1/r que lo acompana: q ≡momento demonopolo electrico (carga, escalar), su contribucion al potencial es de la forma 1/r; p ≡momento de dipoloelectrico (vector), su contribucion al potencial es de la forma 1/r2. Q ≡momento de cuadrupolo electrico(Diada), contribucion al potencial ∼ 1/r3. Esto se puede ver mas facilmente si se toma el vector unitario rpara reescribir la expansion (8.4)

φ (r) =Kcq

r+Kc (p·r)

r2+Kc

2r3r·Q·r + . . .

Cuando se toman todos los terminos de la expansion, el resultado es exacto siempre que r > r ′ (no serıaestrictamente necesario que fuera mucho mayor). Sin embargo, la utilidad practica de estas expansiones seda usualmente en el regimen de campo lejano (r >> r ′), en el cual es posible tomar solo unos pocos terminos,aunque existen excepciones a esta regla (ver seccion 8.1.4).

Los 3 primeros multipolos cartesianos son

q =

∫ρ(r′)dV ′ ; p =

∫r′ρ(r′)dV ′ ⇒ pi =

∫ρ(r′)x′i dV

′ (8.5)

Q =

∫ (3r′r′ − I r′2

)ρ(r′)dV ′ ⇒ Qij =

∫ρ(r′) [

3x′ix′j − r′2δij

]dV ′ (8.6)

Para el cuadrupolo se puede observar que

3∑

i=1

Qii = tr [Q] = 0 ; Qij = Qji

es decir que es un tensor de segundo rango, simetrico y de traza nula. Esta diada solo tiene en consecuencia,5 componentes independientes (sin tener en cuenta las posibles simetrıas adicionales de la distribucion decarga). Estos multipolos tambien se pueden obtener tomando la expansion de |r− r ′|−1 en polinomios deLegendre Ec. (2.35) y reemplazandola en el potencial (8.1), teniendo en cuenta que cos γ = r · r′ y que r > r′

de modo que r′ = r<, r = r>.

8.1. EXPANSION MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELECTROSTATICO 139

8.1.2. Multipolos esfericos

El potencial para una distribucion localizada de cargas en terminos de armonicos esfericos viene dadopor la Ec. (6.4)

φ (r) = 4πKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ dΩ′

si tomamos r > r′ como en la expansion cartesiana, tenemos que r = r>, r′ = r<

φ (r) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

4πKc

2l + 1

Ylm (θ, ϕ)

rl+1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) (r′

)lr′2dr′ dΩ′

de nuevo, la integral depende solo de la distribucion de cargas, y no del punto de evaluacion del potencial,con lo cual podemos absorber este termino en un coeficiente.

φ (r) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

4πKc

2l + 1

Ylm (θ, ϕ)

rl+1qlm (8.7)

donde hemos definido los multipolos esfericos como

qlm =

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) (r′

)ldV ′ (8.8)

una propiedad importante es que

ql,−m =

∫ρ(r′)Y ∗l,−m

(θ′, ϕ′) (r′

)ldV ′ = (−1)m

∫ρ(r′)Ylm

(θ′, ϕ′) (r′

)ldV ′

ql,−m = (−1)m q∗lm

teniendo en cuenta la forma explıcita de los primeros armonicos esfericos, ası como las siguientes relaciones

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ ; x′ = r′ sin θ cosϕ′ ; y′ = r′ sin θ′ sinϕ′ ; z′ = r′ cos θ′

x′ + iy′ = r′ sin θ′e−iϕ′ ∝ Y ∗

11

(θ′, ϕ′)

(x′ − iy′

)2= r′2 sin2 θ′e−2iϕ′ ∝ Y ∗

22

(θ′, ϕ′)

se obtiene

q00 =1√4π

∫ρ(r′)dV ′ =

q√4π

; q11 = −√

3

8π

∫ (x′ − iy′

)ρ(r′)dV ′ = −

√3

8π(px − ipy)

q10 =

√3

4π

∫z′ρ(r′)dV ′ =

√3

4πpz

q22 =1

4

√15

2π

∫ ′ (x′ − iy′

)2ρ(r′)dV ′ =

1

12

√15

2π(Q11 − 2iQ12 −Q22)

q21 = −√

15

8π

∫z′(x′ − iy′

)ρ(r′)dV ′ = −1

3

√15

8π(Q13 − iQ23)

q20 =1

2

√5

4π

∫ (3z′2 − r′2

)ρ(r′)dV ′ =

1

2

√5

4πQ33 (8.9)

Las Ecs. (8.9), muestran la relacion que hay entre los multipolos esfericos y los cartesianos. Se puededemostrar que el ρ (r) equivalente que genera el potencial (8.4) es

ρ (r) = qδ (r) − p · ∇δ (r) +1

6Q : ∇∇δ (r) + . . .


En la expansion multipolar en armonicos esfericos, las funciones en base a las cuales se hizo la expansion sonortogonales en l y enm. De modo que los coeficientes qlm son independientes para cada valor de l y m. A cadavalor de l, le corresponden 2l+1 multipolos. En contraste, la expansion en serie de Taylor no nos da terminosortogonales entre sı, de modo que no conforma una base, por tanto los coeficientes (multipolos cartesianos)

no tienen porque ser independientes1. Hay (l+1)(l+2)2 multipolos cartesianos de orden l, pero solo 2l + 1 son

independientes. Por ejemplo, el cuadrupolo esferico (l = 2) tiene 5 componentes (todas independientes), entanto que el cuadrupolo cartesiano posee 9. Sin embargo, el hecho de que el tensor cartesiano es simetricoy de traza nula hace que solo tenga 5 componentes independientes.

El octupolo esferico (l = 3) tiene 7 componentes; el cartesiano tiene 10, pero dado que es un tensor detres ındices puede ser construıdo de modo que ademas de ser completamente antisimetrico, tenga “trazas”nulas (

∑πiij = 0, j = 1, 2, 3) lo que reduce el numero de componentes independientes a 7.

Como ya vimos antes, los multipolos dependen fuertemente de la escogencia del origen de coordenadas.Imaginemos que los multipolos qlm son nulos para todo l < l0, de modo que l0 es el menor valor de l parael cual los multipolos esfericos son no nulos. Puede demostrarse que

Theorem 10 si los multipolos qlm son nulos para todo l < l0, los 2l0+1 multipolos ql0m son independientes

del origen de coordenadas. Sin embargo los multipolos de orden mas alto (l > l0), dependen en generaldel origen.

Exercise 11 Veamos la manera en que transforma el momento dipolar cuando se hace un cambio de origen.Para ello escribamos el momento dipolar enfatizando en el origen de coordenadas utilizado

pA =

∫rAρA (rA) d3rA

sea r0 el vector posicion del nuevo origen B con respecto al antiguo origen A. Llamando rB a las nuevascoordenadas de posicion con respecto a B, se tiene que rB = rA − r0 y el momento dipolar visto por B es

pB =

∫rBρB (rB) d3rB =

∫(rA − r0) ρB (rB) d3 (rA − r0) =

∫(rA − r0) ρB (rB) d3rA

Adicionalmente, para un valor fijo de rA se tiene que ρA (rA) = ρB (rB) ya que lo que estamos midiendoes la densidad de la misma distribucion en el mismo punto del espacio, vista por diferentes sistemas dereferencia. Por tanto

pB =

∫(rA − r0) ρA (rA) d3rA =

∫rAρA (rA) d3rA − r0

∫ρA (rA) d3rA

pB = pA − r0Q

esto nos da la manera en que el dipolo de la distribucion transforma cuando cambiamos el origen. Enparticular si la carga neta de la distribucion se anula nos queda que pB = pA; de modo que cuando elmonopolo es nulo, el dipolo es independiente del origen, lo cual es un caso particular del teorema 10.

8.1.3. Ilustracion de los terminos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc.

Asumiendo una carga puntual q ubicada en el origen, el potencial es de la forma Kcq/r y se comportacomo el primer termino de la Ec. (8.4), razon por la cual se conoce este termino como monopolo.

Ahora tomemos por ejemplo un sistema de dos cargas puntuales q, −q a una cierta distancia d. Si d << rsiendo r la distancia al punto de evaluacion del potencial, es razonable hacer una expansion hasta primerorden en d/r, y el potencial queda

V (r) ' Kcqd cos θ

r2= Kc

p · rr3

; p ≡ qd

1Esto se puede ver tambien por el comportamiento de los tensores multipolares ante rotaciones. Los tensores cartesianos sonreducibles en tanto que los esfericos son irreducibles.


donde d es un vector que va desde la carga negativa hacia la positiva. El potencial se comporta como 1/r 2

de forma identica al termino que llamamos dipolo en la Ec. (8.4). El potencial decrece mas rapidamente queuna carga puntual lo cual era de esperarse debido al efecto de apantallamiento de las cargas. Similarmentesi colocamos cuatro cargas ±q y ∓q en los vertices de un cuadrado de tal forma que las cargas igualesestan diagonalmente opuestas, podemos ver que el potencial se comporta como 1/r3 es decir disminuye masrapido que en el dipolo2. Este comportamiento es el que corresponde a un cuadrupolo, tercer termino en laexpansion (8.4).

Finalmente, examinaremos una configuracion de 4 cargas q y 4 cargas −q, ubicadas en los vertices deun cubo de tal manera que dos vertices conectados por una diagonal principal tienen cargas opuestas, y losvertices que conectan las diagonales de una cara son del mismo signo. Esto implica colocar dos cuadrupolosen contraposicion, se puede ver que el potencial decrece como 1/r4 y el termino se denomina octupolo, serıael siguiente termino (no indicado) en la expansion (8.4).

Es necesario aclarar sin embargo que en cada uno de estos sistemas realmente contribuyen todos losmultipolos (en la carga puntual otros multipolos contribuyen si la colocamos fuera del origen), lo unicoque podemos afirmar es que el multipolo no nulo de menor orden en cada caso son el monopolo, dipolo,cuadrupolo, etc. De acuerdo con el teorema descrito en la seccion anterior, el monopolo, dipolo, cuadrupolo,y octupolo son independientes del origen para las configuraciones aquı descritas de una, dos, tres, cuatro yocho cargas respectivamente.

Bajo ciertos casos lımite podemos construır a partir de las configuraciones reales, ciertos multipolospuros, por ejemplo la carga ubicada en el origen es un monopolo puro, el sistema de dos cargas ±q, formanun dipolo puro en el lımite r → ∞, o en el lımite q → ∞, d → 0 con qd = cte. En tal caso, solo el terminodipolar contribuye al potencial.

8.1.4. Aproximacion dipolar para campos cercanos

El campo electrico debido a un termino multipolar se puede calcular facilmente tomando el gradientedel correspondiente termino en el potencial. 8.4. Tomemos el termino dipolar de esta ecuacion de lo cual seobtiene

E (r) = −∇φ (r) = −∇[Kc

p · rr3

]

E (r) =3Kcn (p · n) − p

|r− r0|3; n ≡ r − r0

|r − r0|(8.10)

donde r es el punto donde se evalua el potencial, y r0 el punto donde se ubica el momento dipolar.A continuacion examinaremos una importante propiedad del campo electrico debido a una distribucion

de carga localizada. Haremos la integral de volumen del campo generado por la distribucion, evaluada en elinterior de una esfera de radio R, tomando el origen en el centro de la esfera

∫

r<RE (r) dV = −

∫

r<R∇φ (r) dV

es posible demostrar que esta integral viene dada por (ver Jackson)

∫

r<RE (r) dV = −4πKcR

2

3

∫r<r2>

n′ρ(r′)dV ′ ; n′ ≡ r′

r′(8.11)

donde r< (r>) es el menor (mayor) entre R y r′. Observese que la integracion en las variables primadas serealiza en toda la region en donde hay carga, sin importar si esta region es interior o exterior a la esfera. Laexpresion (8.11), es valida para cualquier tamano y ubicacion de la esfera. En particular, tomemos el caso

2Dado que este sistema se puede ver como dos dipolos en contraposicion, se puede explicar el decrecimiento mayor que eldel monopolo y el del dipolo, ya que en este sistema se apantalla la carga (monopolo) y tambien se apantallan los momentosdipolares vistos por pares.


en el cual la esfera encierra toda la carga de la distribucion. En tal caso, R = r>, r′ = r< en (8.11) de locual se obtiene ∫


2

3R2

∫r′

r′

r′ρ(r′)dV ′ = −4πKc

3p (8.12)

donde p es el momento dipolar de la distribucion tomando el origen en el centro de la esfera. Observese queel resultado es independiente del tamano de la esfera siempre y cuando encierre toda la carga. Tambien esnotable el hecho de que esta igualdad es exacta, ya que no hemos tomado ningun tipo de aproximacion parael calculo de E (r) (no estamos tomando por ejemplo aproximacion dipolar).

Tomemos un segundo caso particular en el cual la esfera no encierra a ningun elemento de carga de ladistribucion, tomando el origen de nuevo en el centro de la esfera. En tal caso R = r<, r′ = r> y la expresion(8.11) queda: ∫


3

3

∫1

r′2n′ρ(r′)dV ′

la integral claramente se reconoce como la evaluacion del campo electrico en el centro de la esfera exceptopor algunos factores multiplicativos

∫

r<RE (r) dV =

4πR3

3E (0) ⇒

1

Vesf

∫

r<RE (r) dV = E (0) (8.13)

lo cual nos indica que el valor promedio del campo electrico tomado sobre el volumen de la esfera es igual alvalor del campo evaluado en el centro de la misma. Este resultado es independiente del tamano y ubicacionde la esfera siempre que esta no contenga carga3.

Por otro lado asumiendo aproximacion dipolar del campo Ec. (8.10) y realizando la integral sobre unaesfera que contiene al dipolo, vemos que no se reproduce la Ec. (8.12), esto ocurre debido a una serie deaspectos

La aproximacion dipolar y en general la expansion multipolar requiere que r > r ′ para garantizar laconvergencia de la serie. Sin embargo, en este caso al evaluar la integral de volumen descrita arriba,estamos tomando puntos cercanos en donde la serie multipolar no necesariamente converge.

En particular en el punto donde esta ubicado el dipolo r0, la integral diverge en su componente radial.Se puede ver en general que la integracion angular se anula en tanto que la radial diverge.

La expresion (8.12) es valida para el campo exacto y no para la aproximacion dipolar del campo.

Es notable sin embargo que podemos hacer compatibles las integrales de volumen agregando un terminoa la aproximacion dipolar (8.10) de la siguiente forma

E (r) = Kc

[3n (p · n) − p

|r− r0|3− 4π

3pδ (r− r0)

](8.14)

Con este termino la integral de volumen del campo en (8.14) coincide con el valor obtenido en (8.12).Un procedimiento interesante para encontrar el termino adicional se puede ver en Griffith tercera edicionproblema 3.42. Observese que la delta de Dirac no contribuye en regiones de campo lejano de modo que noaltera la contribucion dipolar para r > r ′. Para analizar la utilidad de (8.14), podemos ver que la integral(8.12) fue realizada sobre una distribucion real de cargas en tanto que la integral de volumen realizada con

3Observese la analogıa de este resultado con el que se obtiene para el potencial (ver seccion 2.2), salvo que en el caso delpotencial el promedio se toma sobre la superficie y no sobre el volumen. Por otro lado, de los resultados aquı expresados seve que el promedio del campo sobre el volumen de la esfera vienen dado por −Kcp/R

3 en el caso en el cual la esfera contienea toda la carga de la distribucion.


(8.14) se hace en principio sobre un dipolo puntual. El hecho de que ambas integrales coincidan no indicaque ambos campos sean iguales en cada punto, pero sı significa que sus promedios coinciden en un ciertovolumen. Con frecuencia cuando tomamos campos en la materia debemos realizar los calculos basados enpromedios macroscopicos, para cuyos efectos el campo real se puede emular muy bien a traves de (8.14)puesto que ambos reproducen el mismo promedio. Observese en particular que en este caso estamos usandola aproximacion dipolar en un regimen muy cercano a la distribucion, para el cual la expansion multipolaroriginal queda fuera de rango. El primer termino en (8.14) es la contribucion de un dipolo puntual, entanto que el segundo es un termino efectivo que me da cuenta de los efectos adicionales producidos por ladistribucion real de cargas. Como veremos mas adelante, los momentos dipolares magneticos admiten untratamiento similar.

8.1.5. Multipolos de carga puntual

Evaluar multipolos cartesianos y esfericos para carga puntual en z = aa) Multipolos cartesianos: el ρ equivalente es

ρ(r′)

= qδ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

)

monopolo

q =

∫ρ(r′)dV ′

dipolo

p =

∫ρ(r′)r′dV ′ = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) (x′ux + y′uy + z′uz

)dx′ dy′ dz′

p = qauz

cuadrupolo

Q =

∫ρ(r′) [

3r′r′ − r′2I]dV ′ ; Qij =

∫ρ(r′) [

3x′ix′j − r′2δij

]dV ′

x′1 ≡ x′ ; x′2 ≡ y′ ;x′3 ≡ z′

Qxx =

∫ρ(r′) [

3x′x′ − r′2δ11]dV ′

Qxx = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) [3x′2 −

(x′2 + y′2 + z′2

)]dx′dy′dz′

Qxx = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) [2x′2 − y′2 − z′2

]dx′dy′dz′

Qxx = −a2q

Qyy = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) [2y′2 − x′2 − z′2

]dx′dy′dz′ = −a2q

Qzz = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) [2z′2 − x′2 − y′2

]dx′dy′dz′ = 2a2q

Qxy = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) [3x′y′ − r′2δ12

]dV ′ = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) (3x′y′

)dV ′ = 0

Qxz = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) (3x′z′ − r′2δ13

)dV ′ = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) (3x′z′

)dV ′ = 0

Qyz = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) (3y′z′

)dV ′ = 0


b) Multipolos esfericos

ρ(r′)

=q

2πa2δ(r′ − a

)δ(cos θ′ − 1

)

qlm =

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) (r′

)ldV ′ =

q

2πa2

∫δ(r′ − a

)δ(cos θ′ − 1

)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) (r′

)lr′2 dr′ sin θ′dθ′dϕ′

qlm =qal+2

2πa2

∫δ(cos θ′ − 1

)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) sin θ′dθ′dϕ′ =

qal

2π

∫Y ∗lm

(0, ϕ′) dϕ′

apelando a la definicion (2.37) de Y ∗lm (θ′, ϕ′), y evaluando en θ′ = 0 se obtiene

qlm =qal

2π

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (1)

∫ 2π

0eimϕ

qlm =qal

2π

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (1) (2πδmo) = qalδmo

√2l + 1

4πP 0l (1) =

(qal√

2l + 1

4π

)δmo

si a = 0 solo q00 existe (o solo el monopolo cartesiano). Efectivamente, para carga puntual en el origen solocontribuye el monopolo. Los multipolos con m 6= 0 se anulan lo cual es logico por la simetrıa azimutal.

De un modo similar se puede demostrar que para un par de cargas puntuales q, −q situadas en r0 y r1

respectivamente, sus momentos multipolares se pueden escribir como

qlm = q[rl0Y

∗lm (θ0, φ0) − rl1Y

∗lm (θ1, φ1)

]

en este caso el momento monopolar se anula y los momentos dipolares (l = 1) quedan

q10 =

√3

4πq (z0 − z1) ; q11 = −

√3

8πq [(x0 − x1) − i (y0 − y1)]

q1,−1 = −q∗11estos tres momentos dipolares son independientes de la eleccion del origen de coordenadas (aunque sı de-penden de la posicion relativa entre las cargas), y son los momentos multipolares no nulos con l mas bajo,es decir cumplen el teorema discutido en la seccion 8.1.2.

Para el caso de una sola carga puntual, el momento monopolar es el multipolo no nulo con l mas bajo(l = 0) y efectivamente es el unico que es independiente del origen.

multipolo de tres cargas puntuales

Sean dos cargas −q ubicadas en z = ±a, y una carga 2q ubicada en el origen. La densidad volumetricade carga es

ρ(r′)

= q

[−δ (r′ − a) δ (cos θ′ − 1)

2πa2− δ (r′ − a) δ (cos θ′ + 1)

2πa2+

2δ (r′)4πr′2

]

Los multipolos quedan

qlm = q

∫ [2δ (r′)4πr′2

− δ (r′ − a) δ (cos θ′ − 1)

2πa2− δ (r′ − a) δ (cos θ′ + 1)

2πa2

]

×Y ∗lm

(θ′, ϕ′) (r′

)ldV ′

= q

∫2δ (r′)

4π

(r′)ldr′∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ − q

∫δ (r′ − a)

2πa2

(r′)l+2

dr′

×∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) δ

(cos θ′ − 1

)sin θ′dθ′dϕ′

−q∫δ (r′ − a)

2πa2

(r′)l+2

dr′∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) δ

(cos θ′ + 1

)sin θ′dθ′dϕ′

8.2. EXPANSION MULTIPOLAR DE LA ENERGIA 145

qlm =

(2q

4πδl0

)(√4πδl0δm0

)−(qal+2

2πa2

)∫Y ∗lm

(0, ϕ′) dϕ′

−(qal+2

2πa2

)∫Y ∗lm

(π, ϕ′) dϕ′

qlm =

(2q√4π

)(δl0δm0) a

l −(qal

2π

)√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (1)

∫ 2π

0eimϕ

′dϕ′

︸︷︷︸2πδmo

−(qal

2π

)√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (−1)

∫ 2π

0eimϕ

′dϕ′

︸︷︷︸2πδmo

qlm =

(2q√4π

)δm0

[(2l + 1) al

]δl0

︸︷︷︸=δl0

− qal√

2l + 1

4πP 0l (1) δm0 − qal

√2l + 1

4πP 0l (−1) δm0

qlm = qal√

2l + 1

4πδm0 [2δl0 − Pl (1) − Pl (−1)]

y como Pl (1) + Pl (−1) = 1 + (−1)l nos queda

qlm = qal√

2l + 1

4πδm0 [2δl0 − δl,par]

De estos ejemplos podemos ver que una ventaja adicional de los multipolos esfericos (ademas de sertodos independientes), es que en muchos casos podemos encontrar expresiones analıticas validas para todoslos multipolos de cualquier orden. En multipolos cartesianos esto no es posible dado que cada multipolo esun tensor de rango diferente.

8.2. Expansion multipolar de la energıa

Consideremos una distribucion localizada de cargas ρ (r) colocada en un campo externo φext (r) generadopor alguna distribucion remota que no se incluye explıcitamente en el formalismo. La energıa potencial dela distribucion es

Uext =

∫ρ (r)φext (r) dV (8.15)

debemos anotar que este valor no corresponde a la energıa necesaria para ensamblar la distribucion. Enrealidad, se esta suponiendo que dicha distribucion ya esta armada y que se comporta como un cuerporıgido a fin de que su energıa interna (energıa para ensamblarla) no sea relevante en el problema. Con elvalor de Uext de la ecuacion (8.15) conocemos la energıa potencial asociada a las fuerzas externas (interaccionde las cargas con el campo externo), y con ella podemos calcular el trabajo necesario para que la distribucioncomo un todo se transporte de un lugar a otro dentro del campo en el que se encuentra inmerso.

Si suponemos que φext (r) varıa suavemente en las regiones en las cuales ρ no es despreciable, podemoshacer una expansion de Taylor del potencial alrededor de un cierto origen r0. Por brevedad definamosx = r − r0

φext (r) = φext (r0) + x · ∇φext (r0) +1

2

∑

i

∑

j

xixj∂2φext∂xi∂xj

(r0) + . . .


por brevedad, usaremos convencion de suma sobre ındices repetidos, eliminaremos el subındice “ext” ydenotaremos

xixj∂2φ

∂xi∂xj(r0) ≡ xx : ∇∇φ (r0)

= −xx : ∇E (r0) ≡ −xixj∂Ej∂xi

(r0)

Donde hemos tenido en cuenta que E = −∇φ. La notacion de dos puntos : es una extension natural de lanotacion de producto punto a · b = aibi en el caso en el cual hay suma sobre dos ındices independientes.Con esta notacion, el potencial queda

φ (r) = φ (r0) − x · E (r0) −1

2xx : ∇E (r0) + . . .

Ahora debemos tener en cuenta que el potencial φ (r), corresponde al potencial debido a las fuentes remotasunicamente. Es decir, no corresponde al potencial total generado en el punto r, el cual serıa la superposiciondel potencial generado por las cargas remotas y las cargas exteriores. La razon por la cual φ (r) no es elpotencial total en el punto r, es que en la Ec. (8.15) estamos evaluando la energıa asociada a fuerzas externasal sistema ρ (r), y las fuerzas internas han sido excluıdas de la formulacion. De la misma forma E (r) es elcampo producido exclusivamente por las cargas remotas, por lo tanto ∇ · E (r0) = 0, siempre y cuando nohaya presencia de carga remota en r0, incluso si hay carga perteneciente a la distribucion externa en dichopunto. Asumiendo por tanto que no hay carga remota en r0 tenemos que ∂iEi (r0) = 0, lo cual se puedereescribir como δij∂iEj (r0) = 0, o en la notacion que hemos desarrollado I : ∇E (r0) = 0, adicionando estetermino nulo al tercer termino en la expansion del potencial, y recordando que x ≡ r− r0 se obtiene

φ (r) = φ (r0) − (r − r0) ·E (r0) −1

6

[3 (r− r0) (r− r0) − (r− r0)2I

]: ∇E (r0) + . . .

al reemplazar en (8.15) resulta

Uext =

∫ρ (r)

φ (r0) − (r − r0) ·E (r0) −

1

6

[3 (r− r0) (r − r0) − (r− r0)2I

]: ∇E (r0) + . . .

dV

separando las integrales que solo dependen de las distribuciones, queda

Uext = qφ (r0) −[∫

ρ (r) (r − r0) dV

]·E (r0)+

−1

6

∫ρ (r)

[3 (r− r0) (r − r0) − (r− r0)

2 I]dV

: ∇E (r0) + . . . (8.16)

los cuales identificamos como los multipolos cartesianos Ecs. (8.5, 8.6)

Uext = qφ (r0) − p ·E (r0) −1

6Q : ∇E (r0) + . . . (8.17)

Uext = qφ (r0) − piEi (r0) −1

6Qij∂iEj (r0) + . . . (8.18)

estos momentos multipolares son los correspondientes a la distribucion de carga ρ (r) colocada en el campoexterno, y se evaluan con respecto a r0. Es importante insistir en que r0 debe estar ausente de carga remotaaunque puede estar presente carga de la distribucion externa. De acuerdo con esta expresion los diferentesmultipolos interactuan de diferente manera con el campo externo: La carga interactua con el potencial, eldipolo con el campo E, el cuadrupolo con el gradiente del campo E, etc.

Observese que los multipolos dependen del origen pero la energıa no. Esto tiene que ver con el hecho deque el teorema de Taylor permite hacer la expansion alrededor de cualquier punto en donde la funcion sea


analıtica, pero la expansion completa no depende del punto elegido. No obstante, es mas conveniente elegirun punto cercano a la distribucion de carga externa, ya que de esa manera la serie converge mas rapido4.

Como caso particular, puede verse que para φ = cte, E = 0 y solo contribuye el monopolo dando energıapotencial externa constante como era de esperarse. Para campo electrico uniforme contribuye hasta el dipolo,para campo electrico con gradiente todos los multipolos en general pueden contribuır. De acuerdo con ladiscusion sobre la forma en que cada multipolo se acopla al campo, vemos que la expansion cuadrupolar esimportante cuando tenemos campos de alto gradiente, tal es el caso de los campos en las vecindades de unnucleo atomico, en donde los momentos multipolares pueden revelar aspectos de la estructura nucleonicay de la forma del nucleo. En el caso de campos en la materia en el cual los campos se calculan a nivelmacroscopico, la aproximacion dipolar sera usualmente suficiente.

Un caso de gran interes es el del calculo de la energıa potencial externa de un dipolo debida al campogenerado por otro dipolo, para lo cual podemos usar las Ecs. (8.17, 8.14) y se obtiene

U =p1 · p2 − 3 (n · p1) (n · p2)

|r1 − r2|3; n ≡ r1 − r2

|r1 − r2|donde se asume que r1 6= r2. Esta energıa tambien se puede interpretar como la energıa potencial internadel sistema de los dos dipolos, es decir su energıa de interaccion. La interaccion entre dipolos es repulsivao atractiva dependiendo de la orientacion relativa de los dipolos. Cuando la orientacion y separacion de losdipolos esta fija, el valor de esta interaccion promediado sobre las posiciones relativas es nulo. Si los momentosdipolares son paralelos la fuerza es atractiva (repulsiva) cuando dichos momentos estan orientados de talforma que la lınea que une sus centros es paralela (perpendicular) a los momentos dipolares. Efectivamente,sin los momentos dipolares son paralelos entre sı y a su vez paralelos al vector relativo unitario n, la energıainterna que se obtiene es

U =(|p1| n) · (|p2| n) − 3 [n · (|p1| n)] (n · |p2| n)

|r1 − r2|3= −2 |p1| |p2|

|r1 − r2|3< 0

que corresponde a interaccion atractiva. Similarmente, si ambos momentos dipolares van en una direccionn1 perpendicular a n esta energıa es positiva, como corresponde a una interaccion repulsiva. Se deja al lectorverificar lo que ocurre cuando los momentos dipolares son antiparalelos entre sı y uno de ellos es paralelo(perpendicular) a n.

Dado que con frecuencia se puede asumir aproximacion dipolar en las distribuciones de carga presentes enla materia, la interaccion entre dipolos se puede ver como una interaccion efectiva entre porciones diferentesde distribuciones, en particular cuando el tamano de las porciones que definen el multipolo es mucho menorque la distancia entre dichas porciones, ya que en este caso estarıamos evaluando campo lejano5.

Finalmente, reemplazando (8.7) en (8.15), podemos calcular la energıa potencial externa en terminos demultipolos esfericos

Uext =

∫ρ (r)

[ ∞∑

l=0

l∑

m=−l

4πKc

2l + 1

Ylm (θ, ϕ)

rl+1qlm

]dV

Sin embargo, de aquı no se puede ver facilmente la forma caracterıstica en que cada multipolo interactuacon el campo externo, esto se debe a que aquı no se realiza una expansion de Taylor que nos muestre lassucesivas derivadas del potencial en forma explıcita.

Example 12 Para dipolo Fısico en campo externo, la energıa potencial externa se puede calcular en formadirecta. Asumiendo que las cargas −q, q estan en las posiciones r0, r1 respectivamente tenemos que la cargavolumetrica equivalente es

ρ (r) = q [−δ (r− r0) + δ (r − r1)] (8.19)

4Estrictamente, al truncar la serie estamos haciendo que la energıa dependa del origen elegido, se espera que esta dependenciasea suave si los terminos convergen rapidamente.

5Notese que esta suposicion es cierta en una gran variedad de materiales, ya que por lo general las distancias entre atomoso moleculas son mucho mayores que los tamanos tıpicos de los atomos o moleculas.


reemplazando esta densidad en (8.15) se obtiene

Uext = −qφ (r0) + qφ (r1) (8.20)

esta expresion es exacta. Cuando los vectores posicion de ambas cargas estan muy proximos entre sı podemoshacer una expansion a primer orden en ∆r ≡ r1 − r0 para obtener

Uext ' −qφ (r0) + q [φ (r0) + ∆r·∇φ (r0) + . . .]

Uext ' q ∆r·∇φ (r0) = −q ∆r · E (r0)

el dipolo puntual se obtiene haciendo ∆r → 0 con q ∆r = p = cte con lo cual la energıa externa paraconfiguracion de dipolo puntual se escribe

Uext = −p ·E (r0) (8.21)

Por otro lado, podemos calcular esta energıa (en forma aproximada) por medio de la expansion multipolarEcs. (8.16, 8.17) y la densidad (8.19) con respecto a r0 se tiene

Uext = qtotal φ (r0) −[∫

ρ (r) (r− r0) dV

]· E (r0)

Uext = −q

∫[−δ (r − r0) + δ (r− r1)] (r− r0) dV

· E (r0)

Uext = −q (r1−r0) · E (r0) + . . .

en el lımite (r1−r0) → 0, con q (r1−r0) = cte ≡ p, se obtiene de nuevo la energıa externa para el dipolopuntual Ec. (8.21). Naturalmente, en el lımite de dipolo puntual la expresion (8.21) se considera exacta.Notese que la expansion se ha hecho tomando como origen a r0 punto en el cual hay una carga puntuallocalizada, sin embargo recordemos que esta carga pertenece a la distribucion externa y no a la distribucionremota, por lo cual el campo E (r0) es bien comportado.

Example 13 Calcular la energıa potencial de la distribucion de tres cargas (q,−2q, q) colocadas en el campode una carga Q. El potencial y los multipolos se expandiran alrededor de O ′ el punto donde se ubica la carga−2q, el cual sera nuestro origen. La densidad volumetrica de la distribucion de carga externa (q, q,−2q) es

ρ (r) = qδ (y) δ (z) [−2δ (x) + δ (x− a) + δ (x+ a)]

en tanto que la distribucion de carga remota se describe por

ρ(r′)

= Qδ (x) δ (y) δ (z +R)

es necesario tener claro que calculos requieren la distribucion externa y que calculos requieren la distribucionremota. Primero calculamos los multipolos para lo cual se requiere la distribucion externa

qtotal = q + q − 2q = 0 ; p =qaux − qaux + (0) · 2qux = 0

Q11 =

∫ρ (r)

[3xx−

(x2 + y2 + z2

)δ11]dV

Q11 =

∫[−2qδ (x) δ (y) δ (z) + qδ (x− a) δ (y) δ (z) + qδ (x+ a) δ (y) δ (z)]

×[3x2 −

(x2 + y2 + z2

)]dV

Q11 =

∫[qδ (x− a) δ (y) δ (z) + qδ (x+ a) δ (y) δ (z)]

[2x2 − y2 − z2

]dV

Q11 = 2qa2 + 2qa2 = 4qa2


similarmente

Q22 = Q33 = −2qa2; Q12 = Q23 = Q31 = 0

en forma sintetica se puede escribir

Qij = 2qa2δij [3δi1 − 1] (8.22)

no hay suma sobre ındices repetidos. Por otro lado, la expansion multipolar requiere tambien el campoelectrico generado unicamente por la distribucion remota, quedando

E (r) = Kc

∫ρ (r′) (r− r′)

|r− r′|3dV ′ = KcQ

∫δ (x′) δ (y′) δ (z′ +R) (x− x′, y − y′, z − z′)[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

]3/2 dx′ dy′ dz′

E (r) = KcQ(x, y, z +R)

[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

y como el cuadrupolo es el primer multipolo que contribuye, tambien debemos calcular el gradiente del campoelectrico

∂Ex∂x

= KcQ∂

∂x

x[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

= KcQ

[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2− 3

2x[x2 + y2 + (z +R)2

]1/2· 2x

[x2 + y2 + (z +R)2

]3

esta derivada se debe evaluar en el origen elegido

∂Ex∂x

∣∣∣∣x=y=z=0

= KcQR3

R6=KcQ

R3

y similarmente con las otras derivadas

∂Ex∂y

∣∣∣∣r=0

= KcQ∂

∂y

x[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

r=0

= KcQ

−32x[x2 + y2 + (z +R)2

]1/2· 2y

[x2 + y2 + (z +R)2

]3

r=0

= 0

∂Ex∂z

= 0

∂Ey∂x

∣∣∣∣r=0

= KcQ∂

∂x

y[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

r=0

= 0

∂Ey∂z

∣∣∣∣r=0

= 0


∂Ey∂y

∣∣∣∣r=0

= KcQ∂

∂y

y[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

r=0

= KcQ

[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2− 3

2y[x2 + y2 + (z +R)2

]1/2· 2y

[x2 + y2 + (z +R)2

]3

r=0

∂Ey∂y

∣∣∣∣r=0

=KcQ

R3

∂Ez∂x

∣∣∣∣r=0

= KcQ∂

∂x

z +R[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

= KcQ

−32 · 2x

[x2 + y2 + (z +R)2

]1/2(z +R)

[x2 + y2 + (z +R)2

]3

= 0

∂Ez∂y

∣∣∣∣r=0

= 0

∂Ez∂z

∣∣∣∣r=0

= KcQ∂

∂z

z +R[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

r=0

= KcQ

[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2− 3

2 · 2 (z +R)[x2 + y2 + (z +R)2

]1/2(z +R)

[x2 + y2 + (z +R)2

]3

r=0

∂Ez∂z

∣∣∣∣r=0

= KcQ

R3 − 3R3

R6

= −2KcQ

R3

en forma sintetica se puede escribir

[∇E (0)]ij =∂Ei∂xj

(0) =KcQ

R3δij [1 − 3δi3] (8.23)

no hay suma sobre ındices repetidos, vemos por tanto que el cuadrupolo es en este caso, el primer multipolono nulo en la expansion. Reemplazando (8.22) y (8.23) en (8.18) y teniendo en cuenta que en (8.18) sı haysuma sobre ındices repetidos, solo los elementos diagonales sobreviven de modo que

Uext = −1

6Qij∂iEj (r0) + . . . = −1

6Qii∂iEi + . . .

Uext = −1

6Q11∂1E1 +Q22∂2E2 +Q33∂3E3 + . . .

Uext = −1

6

(4qa2

)(KcQ

R3

)+(−2qa2

)(KcQ

R3

)+(−2qa2

)(−2

KcQ

R3

)

Uext = −(KcQqa

2

R3

)

8.3. EXPANSION MULTIPOLAR DE LA FUERZA 151

haciendo el calculo de la energıa de modo directo, se calculan los acoples de las tres cargas externas con lacarga remota

Uext =KcQq√R2 + a2

+KcQq√R2 + a2

− 2KcqQ

R= −2KcqQ

R+

2KcqQ

R√

1 +(aR

)2

∼= −2KcqQ

R

[1 − 1 +

1

2

a2

R2+ . . .

]⇒

Uext = −Kcqa2Q

R3+ . . .

vemos en consecuencia que la aproximacion de cuadrupolo puntual, coincide con el metodo directo cuandoexpandimos hasta orden (a/R)2. Visto desde el punto de vista de los multipolos esfericos, el cuadrupolo(l = 2) corresponde en este ejemplo al multipolo no nulo con l mas bajo y se puede observar que efectivamentees independiente del origen. Una imagen interesante consiste en ver la carga −2q como dos cargas −q y−q muy cercanas entre sı. Esto nos permite ver al sistema de tres partıculas como dos dipolos alineadosantiparalelamente con lo cual los momentos dipolares se anulan como se ve en el calculo. Por otro lado, laexpansion de Taylor que se hace a partir de la expresion exacta de Uext, nos muestra que la aproximacioncuadrupolar solo es razonable si a << R, es decir que para que la aproximacion tenga sentido, es necesarioque las fuentes que llamamos remotas sean verdaderamente remotas.

8.3. Expansion multipolar de la fuerza

Sea una distribucion de carga ρ (r) colocado en un campo externo. Suponemos que las fuentes de campoexterno permanecen fijas. La fuerza experimentada por la distribucion es

Fext =

∫dq (r) E (r) =

∫ρ (r)E (r) dV (8.24)

recurrimos entonces a la expansion de Taylor del campo electrico externo, usamos la notacion x ≡ r− r0,y suma sobre ındices repetidos

Ei (r) = Ei (r0) + xj∂jEi (r0) +1

2xjxk

∂Ei (r0)

∂xj∂xk+ . . .

en notacion tensorial

E (r) = E (r0) + (r − r0) · ∇E (r0) +1

2(r− r0) (r − r0) : ∇∇E (r0) + . . .

donde las contracciones se hacen con respecto a las componentes del gradiente y no con respecto a lascomponentes del campo. Tomando esta expansion en la expresion de la fuerza

F =

[∫ρ (r) dV

]E (r0) +

[∫ρ (r) (r− r0) dV

]· ∇E (r0)

+

[∫ρ (r) (r− r0) (r− r0) dV

]:∇∇E (r0)

2+ . . .

En regiones donde no hay carga remota se tiene que ∇2φ (r) = 0, incluso si hay carga externa. De modo que

∇2φ = 0 ⇒ ∂i∂iφ = 0 ⇒ −∂k (∂i∂iφ) = 0 ⇒ −∂i∂i (∂kφ) = 0

⇒ δij∂i∂j (Ek) = 0 ⇒ xmxmδij∂i∂j (Ek) = 0


en notacion tensorial esto se escribe como (r− r0)2 I : ∇∇E (r0) = 0, este termino nulo puede incluırse en

la ultima integral con el fin de completar el cuadrupolo, de lo cual se obtiene

F =

[∫ρ (r) dV

]E (r0) +

[∫ρ (r) (r− r0) dV

]· ∇E (r0)

+

∫ρ (r)

[3 (r − r0) (r− r0) − (r − r0)

2 I]dV

:∇∇E (r0)

6+ . . .

la expansion multipolar de la fuerza queda finalmente

F = qE (r0) + p (r0) · ∇E (r0) +1

6Q (r0) : ∇∇E (r0) + . . . (8.25)

vamos a reescribir el termino p (r0) · ∇E (r0). La componente k−esima de este termino es pi∂iEk. Por otrolado, examinando componente a componente la ecuacion ∇ × E = 0, valida para el campo electrostaticopodemos ver que ∂iEk = ∂kEi para k 6= i, trivialmente esta relacion tambien se cumple para k = i.Adicionalmente, debemos tener en cuenta que los multipolos dependen del origen elegido pero no de laposicion, por tanto son constantes. Usando estos dos hechos se tiene

[p · ∇E]k = pi∂iEk = p1∂1Ek + p2∂2Ek + p3∂3Ek

= p1∂k (E1) + p2∂k (E2) + p3∂k (E3)

= ∂k (p1E1) + ∂k (p2E2) + ∂k (p3E3)

[p · ∇E]k = ∂k (p ·E) = [∇ (p ·E)]k

se llega a la identidad

p · ∇E = ∇ (p · E) (8.26)

el lector podrıa a primera vista pensar que la identidad (8.26), es trivial dado que p no depende de laposicion y puede simplemente introducirse dentro del gradiente, esta peligrosa conclusion nos llevarıa a que(8.26) es valida para cualquier campo vectorial E. Sin embargo, es necesario tener presente el significadode las contracciones a cada lado de la igualdad en (8.26), escrito en componentes esta igualdad nos diceque pi∂iEk = ∂k (piEi) lo cual no se obtiene simplemente introduciendo pi en el operador diferencial, lapropiedad adicional ∇×E = 0 es necesaria para garantizar la validez general de (8.26).

Con un procedimiento similar transformamos el termino cuadrupolar en (8.25). Teniendo en cuenta queQij es constante, se tiene

[Q : ∇∇E]k = Qij∂i∂jEk = ∂i (Qij∂jEk)

usando la propiedad ∂iEj = ∂jEi, y haciendo las sumas explıcitas

∂i (Qij∂jEk) =

3∑

i=1

∂i (Qi1∂1Ek +Qi2∂2Ek +Qi3∂3Ek)

=

3∑

i=1

∂i (Qi1∂kE1 +Qi2∂kE2 +Qi3∂kE3) =

3∑

i=1

3∑

j=1

∂i (Qij∂kEj)

retornando a la convencion de suma sobre ındices repetidos

[Q : ∇∇E]k = ∂i (Qij∂kEj) = ∂k (Qij∂iEj) = [∇ (Q : ∇E)]k


[Q : ∇∇E] = [∇ (Q : ∇E)] (8.27)

8.4. EXPANSION MULTIPOLAR DEL TORQUE 153

finalmente, reemplazamos las identidades (8.26, 8.27) en la expansion multipolar de la fuerza (8.25) paraobtener

F = −q∇φ (r0) + ∇ [p (r0) ·E (r0)] + ∇(

Q (r0) : ∇E (r0)

6

)+ . . .

F = −∇[qφ (r0) − p (r0) ·E (r0) −

Q (r0) : ∇E (r0)

6+ . . .

](8.28)

pero la expresion entre parentesis, es justamente la expansion multipolar de la energıa potencial externaasociada a la distribucion, Ec. (8.17), y se concluye que

F = −∇Uext (8.29)

De acuerdo con la expresion (8.24), F es la fuerza externa total sobre la distribucion. Por tanto la Ec. (8.29),muestra la consistencia entre ambas expansiones. La Ec. (8.29) nos permite entender porque la condicion,∇×E = 0, es necesaria para garantizar las identidades (8.26, 8.27), ya que estas ultimas nos conducen a laconservatividad de F (manifestada en F = −∇Uext) la cual en realidad proviene de la conservatividad delcampo (que se manifiesta en ∇×E = 0)6.

De la expansion (8.25) se puede ver en particular, que un dielectrico neutro en un campo E uniforme,no experimenta fuerza externa neta.

8.4. Expansion multipolar del torque

Para la misma situacion anterior calculamos el torque alrededor del origen de coordenadas teniendo encuenta la misma expansion para el campo electrico.

~τ =

∫r× dF =

∫r ×E (r) ρ (r) dV

~τ =

∫ρ (r) [r0 + (r − r0)] ×

×[E (r0) + (r − r0) · ∇E (r0) +

1

2(r− r0) (r − r0) : ∇∇E (r0) + . . .

]

~τ = r0 ×[∫

ρ (r) dV

]E (r0) + r0 × [ρ (r)xl dV ] ∂lE (r0)

+r0 × [ρ (r)xlxm dV ] ∂l∂mE (r0) + [ρ (r)x dV ] ×E (r0)

+

∫ρ (r)x× xl dV ∂lE (r0) + . . .

donde

xl ≡ (r− r0)l ; ∂l ≡∂

∂xl

quedando finalmente

~τ = qr0 ×E (r0) + r0 × (p · ∇)E (r0) +r0

6× (Q : ∇∇)E (r0)

+p×E (r0) +1

3(Q · ∇) ×E (r0) + . . . (8.30)

6A priori la ecuacion F = −∇Uext es desconcertante ya que tanto F como Uext son variables globales, y para una distribuciondada, son realmente numeros. Esta sutileza yace en el hecho de que la fuerza total externa (variable global) es igual a la sumade las fuerzas externas sobre cada partıcula (variables locales). Tanto la fuerza externa como la energıa potencial asociadas auna sola partıcula son variables locales, de modo que la relacion Fi = −∇Ui tiene sentido, cuando escribimos F = −∇Uext loque realmente estamos escribiendo es

∑i Fi (ri) = −

∑i ∇Ui (ri). Argumento similar se da para distribuciones contınuas.

Capıtulo 9

Electrostatica de medios materiales

9.1. Polarizacion

9.1.1. Materiales dielectricos

La gran mayorıa de materiales pertenecen a dos grandes grupos, caracterizados por sus propiedadeselectricas: conductores y aislantes (o dielectricos). En los dielectricos no existen portadores de carga quepuedan moverse con facilidad a lo largo de todo el material, mas bien cada electron esta ligado a un nucleoespecıfico con fuertes interacciones de enlace. Por supuesto que campos electricos lo suficientemente intensospueden ionizar estos materiales, pero para la mayorıa de campos tıpicos macroscopicos podemos despreciareste fenomeno.

Sin embargo, aunque no puede haber un desplazamiento macroscopico de las cargas, los materialesdielectricos sufren desplazamientos de cargas a nivel atomico y molecular, bien sea en forma espontanea opor presencia de campos electricos externos. En el primer caso hablamos de polarizabilidad permanente yen el segundo caso hablamos de polarizacion inducida. Estudiaremos en algun detalle ambos casos

9.1.2. Momentos dipolares inducidos

Como estaremos interesados en campos y potenciales macroscopicos, podremos considerar que estosobservables se miden en puntos lejanos con respecto a los tamanos tıpicos de un atomo o una molecula.Por esta razon, las contribuciones monopolar y dipolar seran las dominantes cuando calculemos campos ypotenciales generados por distribuciones de carga atomicas o moleculares. Por otro lado, teniendo en cuentaque los atomos y moleculas (ası como el material macroscopico) son usualmente neutros, la contribuciondipolar sera en muchos casos la contribucion dominante.

Imaginemos por simplicidad el atomo de hidrogeno en su estado base, su momento monopolar es cerodebido a la ausencia de carga neta. Por otro lado, aunque en un determinado instante de tiempo dicho atomoposee un momento dipolar neto (al menos en una imagen clasica), su momento dipolar sera cero cuandotomamos un promedio temporal de este observable, en virtud de la simetrıa esferica del estado base dedicho atomo. Naturalmente, un electron orbitando en una trayectoria cerrada debe radiar, lo cual pondrıaen problemas la estabilidad del atomo. En un escenario cuantico, tenemos una vision de la carga negativacomo una nube electronica que rodea al nucleo, mientras esta nube continue poseyendo simetrıa esferica elmomento dipolar promediado en el tiempo continuara siendo cero.

No obstante, si aplicamos un campo electrico externo podemos ver que la nube electronica como un todo,sufre un desplazamiento en la direccion contraria al campo, de tal manera que su “centro de gravedad” sedesplaza con respecto al nucleo en una cantidad ∆z, el atomo adquiere entonces un momento dipolar e∆z.A traves de argumentos simples, trataremos de estimar el valor aproximado del desplazamiento ∆z. En lasvecindades del atomo hay campos electricos del orden de e/a2 siendo a el radio de Bohr. En forma general,se espera que la distorsion relativa de la estructura atomica (medida por el cociente ∆z/a) sea del mismo

155

156 CAPITULO 9. ELECTROSTATICA DE MEDIOS MATERIALES

orden de magnitud que el cociente entre el campo externo y los campos generados por el atomo mismo ensus vecindades, lo cual nos da

∆z

a≈ E

e/a2

para campos tıpicos de laboratorio este cociente serıa menor que una parte en 103, el momento dipolar delatomo distorsionado serıa de la forma

p = e∆z ≈ a3E

dado que el atomo era esfericamente simetrico en ausencia del campo, se espera que en el momento en quese activa el campo, esta simetrıa esferica se rompa para dejar una simetrıa cilındrica cuyo eje de simetrıa esparalelo al campo, esto trae como consecuencia que el desplazamiento ∆z y por lo tanto el momento dipolar,sean paralelos a E, el factor que relaciona al campo con el momento dipolar se conoce como polarizabilidadatomica.

p = αE (9.1)

de acuerdo con los estimativos anteriores, se espera que α sea del orden del volumen atomico. Pero el valorde este observable para un atomo en particular depende de la estructura de carga detallada. Por ejemplo,los atomos alcalinos presenta alta polarizabilidad en tanto que los gase nobles son muy poco polarizables.

Como es natural, las moleculas tambien exhiben polarizabilidad inducida por campos electricos externos.Por ejemplo, la polarizabilidad electrica de la molecula de metano CH4 es α = 2,6×10−24cm3, si sumaramoslas polarizabilidades individuales del carbono y los cuatro hidrogenos (medidas experimentalmente) se ob-tiene αT = 4,1 × 10−24cm3, mostrando que la estructura atomica esta siendo afectada por los enlaces. Lapolarizabilidad molecular es un observable muy util para caracterizar la estructura molecular. En general elcomportamiento de las moleculas en campos externos es mucho mas complejo debido a su mayor variedad enformas geometricas, por ejemplo el CO2 es una molecula lineal cuya polarizabilidad es 4,5× 10−40C2 ·m/Npara campos aplicados a lo largo de la cadena molecular, en tanto que para campos perpendiculares a lacadena, la polarizabilidad es 2× 10−40C2 ·m/N . En general para campos no muy intensos la relacion linealse conserva, pero no el paralelismo entre E y P obteniendose una relacion de la forma

p = αijE

donde αij es un tensor de nueve componentes simetrico. En virtud de su simetrıa, siempre se puedenencontrar ejes principales que diagonalicen este tensor.

Es importante anotar que en el presente analisis hemos dejado de lado muchos aspectos relacionados conla estructura del material, como es la interaccion de los atomos o moleculas con sus vecinos, las fluctuacionestermicas, posibles estructuras cristalinas anisotropicas, etc.

9.1.3. Momentos dipolares permanentes

Hay moleculas que en virtud de la alta asimetrıa de su distribucion de carga, presentan momento dipolarincluso en ausencia de un campo electrico externo. Esto se puede ver teniendo en cuenta que en moleculascon alta asimetrıa, la nube electronica asociada difıcilmente estarıa centrada en el “centro de gravedad” dela carga positiva. Un ejemplo muy simple es la molecula diatomica HCl, los dos extremos de la molecula sonmuy diferentes. Cuando se forma esta molecula la nube electronica del hidrogeno se corre parcialmente haciael atomo de cloro, provocando un exceso de carga negativa en el lado del cloro. La magnitud del momentodipolar electrico resultante es 1,03×10−18esu−cm. A manera de comparacion, un atomo de hidrogeno en uncampo externo de 30kilovolts/cm, adquiere un momento inducido de 10−22 esu-cm. En general, los momentosdipolares permanentes cuando existen son mucho mayores que los inducidos con campos electricos tıpicosde laboratorio. Esto se puede explicar teniendo en cuenta que para obtener momentos dipolares inducidosdel mismo orden que los dipolares permanentes, se necesitarıan campos externos cuya intensidad fuera delorden del campo interno en un atomo, pero por obvias razones campos de esta intensidad pueden destruirla estructura del material.

9.1. POLARIZACION 157

En el caso del atomo de hidrogeno se dijo que aunque podrıan (en una imagen clasica) tener dipolo netoen un instante de tiempo, este dipolo se anula cuando se realiza un promedio temporal. Sin embargo, en elcaso de las moleculas se tiene que el tiempo que requiere una molecula para interactuar con sus alrededores,es tıpicamente menor que el tiempo en el cual se anula el momento dipolar cuando se toma el promedio, portanto el momento dipolar neto logra tener efecto en los alrededores.

La molecula de agua es un ejemplo de una molecula de muy alta polarizabilidad (1,84 × 10−18esu-cm),esta gran polarizabilidad es en gran parte responsable de las propiedades del agua como solvente.

Finalmente, es necesario destacar que estos momentos dipolares son aleatorios en ausencia de camposexternos por lo cual no hay momento dipolar neto a nivel macroscopico. No obstante, cuando se activa uncampo electrico estos momentos se alinean para dar una contribucion neta mucho mayor a la de los dipolosinducidos. Como la mayorıa de moleculas son polares, y estos momentos permanentes son los dominantes,es necesario estudiar el comportamiento de materiales polares en presencia de campos electricos externos.

9.1.4. Materiales con momentos dipolares permanentes en campos electricos externos

Para la mayor parte de fenomenos en que estaremos interesados, podemos considerar a las moleculas comodipolos puntuales a menos que tengan carga neta. La fuerza y el torque que un dipolo puntual experimentacuando se sumerge en un campo externo E (r), se evalua de las expresiones (8.25, 8.30) tomando solo lacontribucion dipolar

F = p (r0) · ∇E (r0)

~τ = r0 × (p · ∇)E (r0) + p×E (r0)

en este punto debemos tener especial cuidado, ya que la fuerza externa, el momento dipolar y el torqueexterno, son en principio propiedades globales (ya que surgen de integrar sobre la distribucion de carga en elespacio). No obstante, cuando pretendemos abordar un tratamiento estadıstico del problema, los observablesse deben medir sobre volumenes que sean suficientemente pequenos para que el observable se pueda consider-ar local a nivel macroscopico, y lo suficientemente grandes para que contengan un gran numero de partıculasde modo que las fluctuaciones estadısticas disminuyan. En este sentido, las variables p, F, ~τ se deben con-siderar locales ya que son integrales sobre distribuciones en volumenes macroscopicamente pequenos1. Sepuede ver que la fuerza en aproximacion dipolar depende del gradiente del campo. En consecuencia, si elcampo es uniforme o de bajo gradiente, no hay fuerza neta sobre el dipolo. Por otro lado, si calculamos eltorque con respecto al punto en donde se ubica el dipolo, se tiene que

~τ = p (0)×E (0) (9.2)

se puede observar que este torque es de naturaleza restauradora con respecto al eje definido por el campoelectrico. En otras palabras, el torque siempre es tal que trata de alinear el momento dipolar p con el campoelectrico externo, en ausencia de otros efectos el momento dipolar oscilarıa alrededor del eje del campo, estono significa una alineacion perfecta pero sı significa que el promedio temporal del dipolo ira en la direccion delcampo. Adicionalmente, si existen efectos disipativos, la amplitud de la oscilacion disminuira y obtendremospara tiempos suficientemente grandes, dipolos casi perfectamente alineados (la agitacion termica no permiteuna alineacion perfecta).

Finalmente, vale anotar que el desplazamiento de cargas en la molecula puede producir dipolos inducidosadicionales, pero como ya se discutio, estos son usualmente despreciables con respecto a las contribucionesde los dipolos permanentes. Un rasgo comun que tienen los momentos dipolares permanentes e inducidos(cuando asumimos que E y P son paralelos), es que en presencia de un campo electrico externo, ambosgeneran un campo que se opone al campo externo, generando un fenomeno de apantallamiento. Esto sepuede verificar cualitativamente al examinar la migracion o distribucion de cargas que generan a los dipolos,o cuantitativamente a traves de la expresion (8.10).

1En tal caso, la relacion F = −∇U tambien se vuelve local. Por este motivo, al tomar un volumen macroscopico no podemosasumir que p es constante de modo que no podemos aplicar macroscopicamente, la relacion (8.28).


9.1.5. Definicion del vector de polarizacion

Un material dielectrico ideal es aquel que no posee en su estado natural (neutro) cargas libres. De modoque en presencia de un campo electrico externo los unicos movimientos son: a) la separacion de sus portadoresde carga y b) la reorientacion de sus dipolos permanentes. Como ya se discutio, en la mayorıa de los casosen ausencia de campo electrico externo los momentos de dipolo se anulan estadısticamente, incluso cuandolas moleculas son polares.

La redistribucion de carga en el material crea un campo electrico, el campo generado por el dielectrico.Asumiremos que dicho campo se debe solo a momentos dipolares y despreciaremos la contribucion de mul-tipolos de mayor orden. Ası, un material polarizado produce en su interior y exterior un campo que debeser superpuesto al campo externo, el campo inducido en general tiende a cancelar el campo externo, lo cualse ve por la forma en que se produce la migracion de cargas o la rotacion de los dipolos permanentes.

Si las moleculas del material tienen momento dipolar permanente, el campo electrico tiende a reorientarlosde modo que el material presenta una polarizacion neta no nula. El campo rompe la aleatoriedad de losmomentos de dipolo permanentes creando un momento dipolar promedio que va en la direccion del campo siel medio es isotropo, por otro lado la migracion de cargas puede crear dipolos inducidos los cuales tambienen promedio tienden a orientarse en direccion al campo cuando el medio es isotropo. La agitacion termicano permite que todos los dipolos se orienten de la misma manera pero lo que interesara macroscopicamentees el momento dipolar promedio.

Es posible definir una cantidad que describe el momento de dipolo promedio por unidad de volumen:El vector de Polarizacion P (r) ≡ dp(r)

dV =∑

iNi〈pi〉. Donde asumiendo la existencia de diversos tiposde moleculas o atomos 〈pi〉 nos da el momento dipolar promedio de moleculas o atomos del tipo i, Ni es ladensidad volumetrica de este tipo de molecula o atomo. El vector de polarizacion incluye la contribucion tantode la reorientacion de los dipolos permanentes como de la creacion de dipolos inducidos por la redistribucionde carga. El promedio 〈pi〉 se toma en un volumen macroscopicamente pequeno (lo suficientemente pequenopara considerar al vector de polarizacıon como una cantidad local) pero lo suficientemente grande comopara que contenga un gran numero de moleculas con los cuales tenga sentido la estadıstica, y se puedandespreciar las fluctuaciones. El vector de polarizacion es en general funcion de la posicion cuando el materiales inhomogeneo. Por otro lado, no debemos perder de vista que el material puede ser anisotropico en cuyocaso no necesariamente ocurre la alineacion de los dipolos con el campo y la respuesta del dielectrico puededepender de la orientacion del campo externo.

9.2. Campo electrico en el exterior de un dielectrico

Nos ocuparemos de evaluar el campo producido por los momentos dipolares permanentes e inducidos enel material. No nos preocuparemos por el campo externo (el cual simplemente debe superponerse al anterior)y simplemente asumiremos que el material ya esta polarizado. Asumiremos que conocemos el valor del vectorde polarizacion (experimentalmente o a traves de algun modelo fenomenologico) en todo el dielectrico y portanto debemos escribir el potencial en terminos de el. El potencial en r debido al dipolo diferencial dpcontenido en el volumen dV esta dado por

dφ (r) = Kcdp · (r− r′)

|r − r′|3= Kc

P (r′) · (r− r′)

|r− r′|3dV(r′)

si ademas hay cargas libres, hay que adicionar el termino ρ(r′)dV (r′)|r−r′| . Por ahora supondremos dielectrico ideal

es decir sin cargas libres.

9.2. CAMPO ELECTRICO EN EL EXTERIOR DE UN DIELECTRICO 159

φ (r) = Kc

∫P (r′) · (r− r′)

|r− r′|3dV(r′)

= Kc

∫P(r′)· ∇′

(1

|r− r′|

)dV ′ (9.3)

= Kc

∫∇′ ·

(P (r′)|r − r′|

)dV ′ −Kc

∫ ∇′ · P (r′)|r− r′| dV ′

φ (r) = Kc

∫P (r′)|r− r′| · n dS′ +Kc

∫ −∇′ · P (r′)|r − r′| dV ′ (9.4)

estas integrales tienen la forma

Kc

∫σ (r′) dS′

|r− r′| +Kc

∫ρ (r′) dV ′

|r− r′|es decir analogo al potencial debido a una distribucion superficial y una distribucion volumetrica de carga.Decimos entonces que el campo debido al dielectrico polarizado es equivalente al producido por distribu-ciones de carga con densidades efectivas

σp(r′)

= P(r′)· n∣∣S

; ρp(r′)

= −∇′ ·P(r′)

(9.5)

Estas densidades de carga de polarizacion son cargas ligadas ya que no se pueden mover a traves del material.Estas cargas deben ser tales que la carga total en el dielectrico debe ser cero si estaba inicialmente neutro.Veamos:

Q =

∫σpdS +

∫ρpdV =

∫P(r′)· n dS −

∫∇′ ·P

(r′)dV

=

∫P(r′)· n dS −

∫P(r′)· n dS = 0

De momento, estas densidades de polarizacion aparecen como un artificio para realizar los calculos consis-tentemente y ademas provienen de cantidades estadısticas. Sin embargo, veremos mas adelante, que estaexpresiones son atribuıbles a la forma en que se organizan las cargas reales en el dielectrico. Usualmente a lascargas de polarizacion se les denomina tambien cargas ligadas, no obstante es importante mencionar queestas no son necesariamente las unicas cargas ligadas. Por ejemplo si el material posee moleculas ionizadashay contribucion monopolar, pero si el exceso de carga no se puede mover en el material tenemos otro tipode cargas ligadas, ademas de las cargas efectivas de polarizacion.

Por otro lado, a partir de la expresion (9.3)

φ(r′)

= Kc

∫P (r′) · (r− r′)

|r− r′|3dV ′

y usando

∇(

1

|r− r′|

)= − (r− r′)

|r− r′|3

se puede obtener una expresion alternativa para el potencial que tambien se escibe en terminos del vectorde polarizacion, de lo anterior se sigue

φ (r) = −Kc

∫P(r′)· ∇(

1

|r− r′|

)dV ′ = −Kc

∫∇ ·(

P (r′)|r − r′|

)dV ′

φ (r) = −∇ · ~Πe ; ~Πe ≡ Kc

∫P (r′)|r − r′| dV

′ (9.6)

donde ~Πe se conoce como vector de Hertz electrico. Notese que la evaluacion de cada componente delvector de Hertz electrico es semejante a la evaluacion del potencial electrostatico en el vacıo, donde cada


componente es el analogo de la densidad. Es importante recordar que los potenciales (9.4, 9.6) no incluyenla contribucion de cargas libres (contribuciones monopolares) ni la contribucion asociada al campo externo.Dado que el vector de Hertz esta escrito exclusivamente en terminos del vector de Polarizacion es en generalmas facil de evaluar que la expresion original para el potencial, ya que esta incluye densidades de cargalibres y de polarizacion.

9.2.1. Interpretacion Fısica de las cargas de polarizacion

Tomemos una imagen ideal de dipolos perfectamente alineados con el campo, de tal manera que podemosen buena aproximacion pensar en columnas muy delgadas paralelas a los momentos dipolares. Tomemos unade estas columnas de seccion transversal A, y la dividimos en trozos de longitud ∆z, el momento dipolar enel volumen A ∆z es P A ∆z. Esto se puede simular como una carga q en un extremo y otra −q en el otro.Dado que estas cargas estan a una distancia ∆z, ellas deben tomar un valor de q = P A, a fin de generar elmomento dipolar P A ∆z. Tomemos entonces la imagen de que los dipolos son generados por las cargas qy −q en los extremos del trozo de columna. Al tomar la columna completa, lo que hacemos es superponercarga q, −q a lo largo de la columna, de tal manera que cada carga +q queda unida con una carga −q yviceversa, excepto para las cargas de los extremos, es decir las que se ubican en los topes de la columna.Si asumimos que los topes de la columna tienen seccion transversal recta, la densidad superficial sobre lostopes sera

σp =q

A=PA

A= P

pero dado que esta columna termina en la superficie del dielectrico, sus topes no necesariamente tienenseccion transversal recta, si la seccion transversal en el tope es oblıcua, de tal modo que el vector de areahace un angulo θ con P, se tiene que el area transversal en regiones interiores del tubo esta relacionada conel area del tope por A = Atop cos θ, y dado que la carga es la misma que en el caso de tope recto tenemos

σp =q

Atop=

q

A/ cos θ= P cos θ

σp = P · n (9.7)

por tanto el efecto neto de la polarizacion es el de colocar una carga ligada superficial de la forma σp = P ·nsobre el dielectrico. Este valor coincide con la expresion para la carga superficial de polarizacion definida en(9.5). Si la polarizacion no es uniforme podemos tener tambien cargas netas acumuladas en ciertas regionesdel espacio. Imaginemos un conjunto de cargas negativas −qi en el interior de una esfera y sus cargas positivasen el exterior de esta. Los momentos dipolares generados por cada par de la forma ±qi apuntan hacia afuerade la esfera dando un flujo neto diferente de cero. El vector de polarizacion resultante de esta distribucionde dipolos tendra divergencia diferente de cero, y el volumen definido por la esfera claramente tiene carganeta. Ahora bien, para cualquier volumen razonablemente grande en el interior del dielectrico, la carga netaen su interior es cero y se genera una carga superficial dada por (9.7)2, de esta forma podemos escribir

∫ρp dV +

∫σp dS = Q = 0 ⇒

∫ρp dV +

∫P · n dS = 0

usando el teorema de la divergencia∫ρp dV +

∫∇ · P dV = 0

como esto es valido para cualquier volumen macroscopico en el interior del dielectrico, se tiene que al menosen promedio se debe cumplir la relacion

ρp = −∇ ·Pque coincide con la expresion (9.5).

2El analisis que se realizo para el dielectrico completo se puede hacer identico para un volumen macroscopico en su interiorpara estimar una densidad superficial en tal volumen.

9.3. CAMPO EN EL INTERIOR DE UN DIELECTRICO 161

9.3. Campo en el interior de un dielectrico

La aproximacion dipolar esta plenamente justificada cuando el campo se evalua en el exterior del dielectri-co ya que todas las distribuciones de carga estarıan muy lejos del punto de evaluacion con respecto a unradio atomico o molecular, con lo cual podemos estar seguros de que la aproximacion dipolar esta muy bienjustificada. Sin embargo, cuando pretendemos evaluar el campo en el interior del dielectrico no podemosasegurar que el punto de evaluacion es lejano a todas las distribuciones de carga. En particular para puntoscercanos a los electrones o nucleos, nos tropezamos con campos de altısima intensidad, altısimo gradiente(en direccion y magnitud), y enormes fluctuaciones en el tiempo. Los campos en el interior de la materiapueden ser tremendamente complejos si queremos una evaluacion detallada de ellos.

Sin embargo, debemos recordar que macroscopicamente, lo que evaluamos es en general promedios es-tadısticos tomados en volumenes macroscopicamente pequenos pero que contenga un gran numero de cargas(y dentro de los cuales el gradiente del campo sea despreciable)3. Por tanto, al evaluar el campo en un puntor lo que haremos en realidad es evaluar su promedio en un cierto volumen alrededor de el que cumpla losrequisitos ya mencionados. Tomemos en particular una esfera del radio apropiado de modo que contenga ungran numero de cargas pero que sea pequena con respecto al tamano del dielectrico y dentro de la cual elgradiente del campo sea tambien pequeno. Hay distribucion de carga interior y exterior a la esfera y cadauna de estas distribuciones produce un campo Eint, Eext respectivamente, de modo que el campo electricototal es

E (r) = Eint (r) + Eext (r)

es necesario tener muy claro el significado de Eint (r), ya que NO significa el campo evaluado en el interiorde la esfera, sino el campo evaluado en el punto r (interior o exterior) debido exclusivamente a las cargasen el interior de la esfera. Similarmente, Eext (r) es el campo producido en el mismo punto r, debidoexclusivamente a las cargas exteriores a la esfera. Recurriendo a los resultados obtenidos en la seccion(8.1.4), Ecs. (8.12, 8.13), los campos Eint y Eext cumplen las siguientes relaciones

∫

r<REint (r) dV = −4πKc

3pint (9.8)

1

Vesf

∫

r<REext (r) dV = Eext (0)

donde la integral de volumen se realiza sobre una esfera de radio R, tomando el origen en el centro de laesfera. Dado que el radio de la esfera es mucho mayor que un radio atomico o molecular, se puede considerarla aproximacion dipolar como muy razonable para las cargas exteriores, ellas producen un campo Eext (r)tal que su valor en el centro de la esfera es igual a su promedio sobre el volumen de la esfera, y como lo quebuscamos es justamente un promedio de este tipo, entonces el valor del campo Eext (0) en el centro de laesfera es un buen representativo estadıstico del campo en toda la esfera debido a fuentes exteriores a esta.Por otro lado, como la aproximacion dipolar es buena para este campo se tiene que

φext (r) = Kc

∫

exterior

(r− r′) · Pext

|r− r′|3dV ′

el promedio del campo Eint sobre el volumen de la esfera, se puede evaluar a partir de (9.8), dividiendo aambos lados por el volumen de la esfera, y se obtiene

Eint = −KcpintR3

(9.9)

escribiendolo en terminos del vector de Polarizacion (que se supone constante en este pequeno volumen) setiene

pint =4

3πR3Pint

3Incluso para el campo en el exterior del dielectrico, lo que tenemos son promedios estadısticos de todos los observables.


el asumir que el vector de polarizacion es constante dentro de la esfera es consistente con el resultado (9.9),ya que se puede demostrar que para una esfera uniformemente polarizada, el campo electrico en el interiorde la esfera es uniforme y viene dado justamente por (9.9). El potencial electrico promedio total en el centrode la esfera se puede escribir como

φint (r) + φext (r) = Kc

∫

int

(r− r′) ·Pint

|r− r′|3dV ′ +Kc

∫

ext

(r − r′) · Pext

|r − r′|3dV ′

φint (r) + φext (r) = Kc

∫

V

(r − r′) · P|r− r′|3

dV ′

donde la ultima integral se hace sobre todo el volumen del dielectrico. Esta expresion para el potencialpromedio coincide con la que se uso para campo exterior, como se ve en la Ec. (9.3). En conclusion: elpotencial en el interior del dielectrico se calcula con la misma expresion que se usa para elpotencial en el exterior de dicho dielectrico.

9.4. Ecuaciones de campo en presencia de dielectricos

El campo electrico macroscopico que se trabaja para medios materiales es conservativo como todo campoelectrostatico4 , y por tanto es calculable de E = −∇φ (r). Dada la conservatividad del campo se tiene que∇ × E = 0. Como ya vimos, el campo generado por materiales polarizados es equivalente a la existenciade distribuciones de carga σp y ρp, ademas de eventuales densidades de carga libres σf y ρf

5 con lo cualpodemos usar la ley de Gauss

∇ ·E (r) = 4πKcρtotal = 4πKc (ρf + ρp)

donde hemos incluıdo posibles cargas libres y asumimos que las cargas ligadas son solo cargas de polarizacion.

∇ ·E (r) = 4πKc [ρf −∇ ·P (r)] ⇒ ∇ ·[E (r)

4πKc+ P (r)

]= ρf

definiendo el vector desplazamiento electrico

D ≡ E (r)

4πKc+ P (9.10)

se obtiene∇ · D (r) = ρf (r) (9.11)

expresion que se conoce como ley de Gauss para dielectricos.

Observese que el rol del vector desplazamiento electrico es el de parametrizar nuestra “ignorancia” sobreel verdadero campo electrico y lo reemplaza por un promedio estadıstico. Si conocieramos en detalle comose distribuyen todas las cargas libres y ligadas en el material, este formalismo no serıa en principio necesario(al menos no en una aproximacion clasica al problema). Hay que tener presente que la definicion de D asumeque solo hay contribucion dipolar. Si introducimos otras contribuciones multipolares, su definicion serıa mascompleja. La aproximacion dipolar esta justificada por el hecho de que las moleculas se comportan muybien como dipolos puntuales a escala macroscopica. La pregunta crucial es: ¿cual es la ventaja de plantear

4En realidad, no existen en la naturaleza campos electrostaticos microscopicos, ya que cuando se trabaja a nivel atomicoo molecular, las cargas tienen movimientos traslacionales, rotacionales y vibracionales muy fuertes. El concepto de campoelectrostatico como una buena descripcion de los fenomenos tiene su mejor escenario en el mundo macroscopico.

5Como ya mencionamos, tambien pueden existir cargas ligadas que no son de polarizacion, como son por ejemplo los excesosde carga en atomos y moleculas en un plasma. Estas cargas son ligadas en el sentido de que no son libres de salir de su nucleo,sin embargo para efectos operativos estas cargas se pueden adicionar a ρf , con lo cual un nombre mas adecuado para ρf serıael de “densidad monopolar”.

9.5. SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA 163

una ecuacion como (9.11)?, en realidad debe tenerse en cuenta que lo que mejor se puede controlar o medirexperimentalmente es la carga libre, la carga de polarizacion es justamente una respuesta del dielectrico ala presencia (con frecuencia controlada) de carga libre.

Esta ley de Gauss se interpreta de la siguiente forma: Las lıneas de campo D comienzan o terminan encargas libres6; en tanto que las lıneas de E comienzan o terminan en cargas libres y de polarizacion. En elvacıo D = E(r)

4πKcya que P = 0 puesto que clasicamente el vacıo no es polarizable. Es necesario enfatizar en

el hecho de que en general D NO es conservativo y por tanto no se puede generar de un potencial.

9.5. Susceptibilidad electrica

Se dice que un dielectrico es lineal si la polarizacion P esta relacionada linealmente con el campo quela produce es decir que Pi es combinacion lineal de las componentes del campo polarizador. El dielectricoes isotropo si P es paralelo a E para cualquier direccion de E, de modo que las propiedades del medio nodependen de la direccion; y es homogeneo si el medio responde igualmente en todos los puntos. Para unmedio lineal e isotropo

P =χl

4πKcE (9.12)

donde E es el campo electrico total en el punto donde se evalua P (campo externo mas campo dipolar)7. χles una cantidad adimensional que depende de la temperatura ası como de la estructura atomica y moleculardel material. Se conoce como susceptibilidad electrica y es en general funcion de la posicion cuando el medioes inhomogeneo. Como la ecuacion (9.12) depende tanto del campo externo como del inducido, esta puede serde difıcil evaluacion ya que el campo inducido depende de la densidad de carga de polarizacion. Razon porla cual es de gran interes encontrar una relacion entre D y E ya que con frecuencia (aunque no en general) elcampo D se puede encontrar a partir de las cargas libres, especialmente cuando estas ultimas tienen algunasimetrıa (por ejemplo usando la ley de Gauss 9.11). A partir de las definiciones del vector desplazamientoelectrico (9.10) y susceptibilidad electrica (9.12), se puede encontrar una relacion mas sencilla entre D y E:

D =E

4πKc+ P =

E

4πKc+

χl4πKc

E =

(1 + χl4πKc

)E ⇒

εE = D ; ε ≡(

1 + χl4πKc

)(9.13)

valida para medios lineales e isotropos. ε se conoce como permitividad del dielectrico, tambien se puededefinir la constante adimensional εr ≡ 4πKcε = 1 + χl conocida como constante dielectrica. En el vacıo setiene que χl = 0, εr = 1. En general εr ≥ 1 reflejando el efecto de apantallamiento que el dielectrico producesobre el campo electrico externo. Para medios no lineales, anisotropos e inhomogeneos se puede escribir engeneral:

Pi =

3∑

j=1

aij (r)Ej +

3∑

i,j=1

bijk (r)EjEk + . . .

El primer termino a la derecha es lineal pero revela anisotropıa del medio ya que cada aij es en generaldiferente, tambien revela inhomogeneidad (dependencia con r). El segundo termino es no lineal (cuadratico)anisotropico e inhomogeneo. Por otro lado, cuando el medio es lineal, isotropo y homogeneo

aij = χlδij , bijk = 0, χl = cte

6Esta afirmacion nos puede dar la sensacion de que el vector desplazamiento electrico esta dictaminado unicamente porlas cargas libres. Como contraejemplo simple, se puede ver que en ausencia de carga libre el vector desplazamiento no esnecesariamente nulo, ya que la ecuacion ∇ · D = 0, no especifica completamente el campo.

7Notese que la expresion (9.12) es el equivalente macroscopico de la expresion microscopica (9.1).


En este caso particular

∇ ·D = ∇ · (εE) = ε∇ ·E = ρf

∇ ·E =ρfε

⇒ ∇2φ = −ρfε

los campos en dielectricos (E,φ) estan reducidos en un factor 1/ε respecto a campos en el vacıo. Esto sedebe a que la polarizacion genera campo opuesto a la direccion del campo polarizante.

Por otro lado, es importante enfatizar que la ecuacion ∇ · D = ρF es valida en general (caso estatico almenos) aunque el medio sea no lineal, anisotropo e inhomogeneo. Incluso si vamos mas alla de la aproximaciondipolar, esta ecuacion se puede mantener con una redefinicion adecuada de D.

Es en este punto en donde la parametrizacion realizada en el sistema internacional para Kc resulta util.

9.6. Condiciones de frontera en la interfase entre dielectricos

En general podemos tener yuxtapuestos varios materiales dielectricos con diferente permitividad, esimportante en consecuencia estudiar el comportamiento de las lıneas de campo cuando pasan de un mediodielectrico al otro. En particular, es importante encontrar si existen ligaduras entre los campos en amboslados de una frontera entre dos medios dielectricos (condiciones de frontera entre dielectricos). Para elloutilizamos argumentos similares a los ya empleados en la seccion (1.8) relacionada con el comportamientodel campo cuando cruza una superficie.

Considerando un pequeno cilindro (con tapas localmente paralelas a la interfase de area A) y con alturadiferencial de manera que podemos despreciar el area lateral y por tanto el flujo sobre las caras laterales, setiene

∫D · dS =

∫D2 · n12dS −

∫D1 · n12dS =

∫σfdS

⇒∫

(D2 −D1) · n12 dS =

∫σfdS

donde n12 es el vector unitario perpendicular a la interfase que apunta desde el medio 1 hacia el medio 2.Como esto es valido para una superficie arbitraria en tamano forma y ubicacion entonces

(D2 −D1) · n12 = σf (9.14)

lo cual nos dice que hay una discontinuidad en la componente normal de D en la interfase debido a lapresencia de cargas libres superficiales.

Por otro lado, teniendo en cuenta que el campo electrostatico E es conservativo i.e. ∇×E = 0, podemosusar una integral de lınea con un rectangulo con dos lados localmente paralelos a la superficie y dos lados (delongitud infinitesimal) localmente perpendiculares. Solo intervienen en la integral cerrada los lados paralelosya que los perpendiculares son infinitesimales.

∫E · dl = 0 ⇒ (E2 −E1) · dl = 0 (9.15)

lo cual nos indica que la componente tangencial de E es contınua a traves de la interfase. Esto tambien sepuede expresar con (E2 −E1)×n12 = 0. Notese que la integral sobre la misma trayectoria cerrada, serıa nonula si la evaluamos con D, esto en virtud de la diferencia entre las permitividades de ambos medios. Estehecho nos muestra la no conservatividad de D. Usando las Ecs. (9.14, 9.15) se pueden resolver problemasque involucran a la frontera entre dos medios dielectricos diferentes.

Finalmente, notese que para un medio lineal, homogeneo e isotropico, la densidad de carga volumetricade polarizacion ρp es proporcional a la carga libre ρf

ρp = −∇ · P = −∇ ·(Kc

χl4πε

D)

= −(

χl1 + χl

)ρf

9.6. CONDICIONES DE FRONTERA EN LA INTERFASE ENTRE DIELECTRICOS 165

en particular si no hay carga volumetrica libre, la carga de polarizacion es estrictamente superficial. Ental caso el potencial en el interior del dielectrico esta descrito por una ecuacion de Laplace. Es importanteenfatizar que no existe una proporcionalidad analoga entre las densidades σf y σp debido justamente a queχl es diferente a lado y lado de la frontera.

Veamos algunos ejemplos de aplicacion de estas condiciones de frontera.

9.6.1. Problema con interfase utilizando imagenes

Consideremos una carga puntual ubicada en un medio dielectrico ε1 semiinfinito (z > 0) separado deotro medio semiinfinito ε2 (z < 0) como muestra la figura ???. Asumamos ademas, que no se acumula cargalibre en ningun punto de la interfaz entre los dielectricos. Los campos D y E generados por q y las cargasde polarizacion, deben satisfacer las siguientes condiciones de frontera.

a) D1n = D2n componentes normales contınuas del vector desplazamiento electrico D. Esto en virtud deque no hay cargas libres en la interfase. Esta condicion se manifiesta en

ε1E1n|z=0 = ε2E2n|z=0 ⇒ ε1∂φ1

∂z

∣∣∣∣z=0

= ε2∂φ2

∂z

∣∣∣∣z=0

(9.16)

donde estamos usando un sistema coordenado en el cual el eje z es perpendicular a la interfase y pasa porla carga.

b) Continuidad de la componente tangencial del campo electrico.

E1T |z=0 = E2T |z=0 ⇒ ∂φ1

∂ρ

∣∣∣∣z=0

=∂φ2

∂ρ

∣∣∣∣z=0

(9.17)

Como el problema tiene simetrıa azimutal para el sistema coordenado propuesto, no hay condicion no trivial

sobre ∂φ∂ϕ

∣∣∣z=0

.

El potencial en el medio 1 debe satisfacer la ecuacion de Poisson ∇2φ1 = −4πqε1δ (r− r′) ası como las

condiciones de frontera (tanto en la frontera dielectrica como en la frontera de Dirichlet). Asumamos unacarga imagen localizada simetricamente respecto a z = 0 y de magnitud q ′. Las condiciones que se pidenpara el potencial generado por q′ son las siguientes:

1) El potencial debido a q′ debe satisfacer la ecuacion de Laplace en z > 0, a fin de que el potencial totalen el medio 1 (debido a q y q′) siga cumpliendo la misma ecuacion de Poisson que antes de la introduccionde la carga imagen. Esta condicion se cumple dado que la carga imagen esta fuera de la region donde seevalua el potencial.

2) La introduccion de la carga imagen debe mantener las condiciones de frontera de Dirichlet originales(teorema de unicidad). Esto es inmediato ya que la condicion de Dirichlet en este caso es potencial cero enel infinito, condicion que no se ve alterada porque la nueva distribucion sigue siendo localizada.

3) El potencial generado en los medios 1 y 2 (debido a q y q ′) debe satisfacer las condiciones de fronteraen la interface dielectrica Ecs. (9.16, 9.17). Para ello escribamos la forma explıcita del potencial en el medio1 (z > 0 con constante dielectrica ε1):

φ1 (r) =Kcq

ε1 |r− r′| +Kcq

′

ε1 |r− r′i|

φ1 (r) =Kcq

ε1

√(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

+Kcq

′

ε1

√(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

(9.18)

donde de nuevo se ve la simetrıa azimuthal. Sin embargo el cumplimiento de esta tercera condicion requiereconocer el potencial en el medio 2 evaluado en la frontera. Para evaluar el potencial en el medio 2 tengamosen cuenta que no hay carga en este hemisferio y por tanto φ2 obedece la ecuacion de Laplace. Localizamos


entonces una carga imagen q” en r′ (en z > 0 en el mismo punto donde esta ubicada la carga real q), demodo que el potencial en z < 0 solo sea generado por q”8.

φ2 (r) =Kcq”

ε2

√(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

(9.19)

claramente la introduccion de esta carga no altera la ecuacion de movimiento (Laplace) en el medio 2, ytampoco altera las condiciones de Dirichlet del problema original, por tanto cumple con las dos primerascondiciones antes citadas. La tercera condicion requiere entonces reemplazar (9.18) y (9.19) en las Ecs. (9.16,9.17) y ver si existen soluciones para q ′ y q” que satisfagan tales relaciones. En caso afirmativo, el problemaesta resuelto.

La condicion de frontera (9.16) conduce a

a)

ε1∂φ1

∂z

∣∣∣∣z=0

= ε2∂φ2

∂z

∣∣∣∣z=0

⇒

ε1∂

∂z

Kcq

ε1

√(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

+Kcq

′

ε1

√(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

∣∣∣∣∣∣z=0

= ε2∂

∂z

Kcq”

ε2

√(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

∣∣∣∣∣∣z=0

ε1−q[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]−1/2(z − z′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

] + ε1−q′

[(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

]−1/2(z + z′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

]

∣∣∣∣∣∣∣z=0

= ε2

−q”

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]−1/2(z − z′)

ε2

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]

∣∣∣∣∣∣∣z=0

al evaluar en z = 0

(q − q′

)[(ρ− ρ′)2 + z′2

]−1/2z′

[(ρ− ρ′)2 + z′2

] = q”

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]−1/2z′

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]

resultando

q” = q − q′ (9.20)

b) Tomando la condicion (9.17) se tiene

∂φ1

∂ρ

∣∣∣∣z=0

=∂φ2

∂ρ

∣∣∣∣z=0

⇒

8Quizas pueda resultar inadecuado el uso del termino “carga imagen” para q”, puesto que lo que pretendemos resolver enla region de interes es la ecuacion de Laplace. Al no haber ninguna carga al otro lado, q” no es imagen de nada. Sin embargo,cumple las mismas propiedades de la carga imagen cuando hay una carga o cargas en la region de interes: q” debe reproducirlas condiciones de frontera, y debe estar por fuera de la region de interes R, por tanto no esta alterando la distribucion de cargaen R, lo cual garantiza la unicidad de la solucion en dicha region.

9.6. CONDICIONES DE FRONTERA EN LA INTERFASE ENTRE DIELECTRICOS 167

∂

∂ρ

Kcq

ε1

√(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

+Kcq

′

ε1

√(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

∣∣∣∣∣∣z=0

=∂

∂ρ

Kcq”

ε2

√(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

∣∣∣∣∣∣z=0

−q[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

] +−q′

[(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

]

∣∣∣∣∣∣∣z=0

=−q”

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε2

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]

∣∣∣∣∣∣∣z=0

−q[(ρ− ρ′)2 + z′2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + z′2

] +−q′

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]

=−q”

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε2

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]

q”

ε2=q + q′

ε1(9.21)

las expresiones (9.20, 9.21) nos dan un conjunto de dos ecuaciones con dos incognitas que al resolver nos da

q′ = −q(ε2 − ε1ε2 + ε1

); q” = q

(2ε2

ε2 + ε1

)(9.22)

Reemplazando (9.22) en (9.18) y (9.19), escribimos entonces q” y q ′ (cargas imagen) en terminos de q (cargareal). De lo cual el potencial en ambos medios se escribe como

φ1 (r) =Kcq

ε1 |r − r′| −(ε2 − ε1)Kcq

ε1 (ε1 + ε2) |r− r′i|; φ2 (r) =

2Kcq

(ε2 + ε1) |r− r′| (9.23)

se puede observar que el potencial es contınuo en la interfase. Adicionalmente, para ε1 = ε2 = ε se obtiene

φ1 = φ2 =Kcq

ε |r − r′|

volviendo al caso general, el potencial en todo el espacio se puede escribir en forma mas compacta

φ (r) =Kcq

ε1

[1

|r − r′| −(ε2 − ε1)

(ε1 + ε2) |r− r′i|

]θ (z) +

[2Kcq

(ε2 + ε1) |r− r′|

]θ (−z) (9.24)

siendo θ (z) la funcion paso o escalon. La densidad volumetrica de polarizacion en ambos medios esta dadapor

ρp1 = −∇ ·P1 , ρp2 = −∇ ·P2


por otro lado, cada medio produce una densidad de carga de polarizacion superficial con lo cual se puedecalcular la carga de polarizacion superficial total que yace en la interfase z = 0:

σp1 = P1 · n12 = −P1 · uz ; σp2 = P2 · n21 = P2 · uz ⇒σp = σp1 + σp2 = (P2 −P1) · uz

Con P = χl

4πKcE ⇒ P =

(ε−14π

)E . Evaluando en la superficie teniendo en cuenta que D es contınuo en

virtud de la ausencia de carga libre en la superficie, tenemos

P1 =ε1 − 1

4πE1 =

− (ε1 − 1)

4π∇φ1 ; P2 =

ε2 − 1

4πE2 =

− (ε2 − 1)

4π∇φ2

recuerdese que aunque φ es contınuo, el gradiente no necesariamente lo es. La carga neta resulta

σp =(ε1 − ε2)

4π∇φ

φ es el campo debido a la distribucion ρ (r′) en z > 0. En particular, para carga puntual q en r′

σp =q (ε1 − ε2) z

′

2πε1 (ε1 + ε2)[(ρ− ρ′)2 + z′2

]3/2 (9.25)

Vemos que aunque no hay cargas libres sobre la interface, sı se acumulan cargas de polarizacion. Un resultadomuy interesante se ve en el lımite en el cual ε2 >> ε1 ya que en este caso el campo electrico en el medio2 (medio exterior a la carga) se apantalla fuertemente, y la densidad superficial en (9.25) se aproxima alvalor que adquirirıa una superficie conductora. El comportamiento global del medio 2 se asemeja al de unconductor, mostrando que los dielectricos tambien pueden bajo ciertas condiciones actuar como escudoselectrostaticos.

En resumen, lo que tenemos es el potencial generado por una carga puntual en z > 0 en presencia deuna interfase que separa dos medios dielectricos. En consecuencia, si hacemos Kcq = 1 en (9.24) se obtieneuna funcion de Green

Gε1,ε2(r, r′

)=

1

ε1

[1

|r− r′| −(ε2 − ε1)

(ε1 + ε2) |r − r′i|

]θ (z) +

[2

(ε2 + ε1) |r − r′|

]θ (−z) (9.26)

que corresponde a la funcion de Green para todo el espacio (ya que la region de Dirichlet es todo el espacio)con dielectricos semiinfinitos separados por una interfase en z = 0, y con carga unidad solo en z > 0. Por lotanto, la funcion de Green (9.26) nos permite calcular el potencial generado por cualquier distribucion decarga localizada ubicada en z > 0, en presencia de medios dielectricos ε1 en z > 0 y ε2 en z < 0,

φε1,ε2 (r) =

∫

z>0ρf(r′)Gε1,ε2

(r, r′

)dV ′

se puede ver que con ε1 = ε2 = 1 se obtiene el resultado esperado.

G11

(r, r′

)=θ (z) + θ (−z)

|r− r′| =1

|r − r′|

Nota: Es importante diferenciar entre las condiciones de frontera de Dirichlet o Neumann, y las condi-ciones de frontera entre medios dielectricos. Las primera son condiciones relacionadas con el conocimiento delpotencial o de su derivada normal, en tanto que las segundas son condiciones relacionadas con el conocimien-to de la constante dielectrica a ambos lados de la frontera. Por ejemplo, las Ecs. (9.16) son condiciones enla derivada normal del potencial. No obstante, estas NO son condiciones de Neumann ya que en esta in-terfase no conocemos el valor especıfico de esta derivada, solo sabemos que hay una relacion entre dichas

9.7. FUNCION DE GREEN PARA ESPACIO INFINITO CON SEMIESPACIOS DIELECTRICOS 169

derivadas a ambos lados de la superficie. Adicionalmente, las superficies entre dielectricos no tienen que sercerradas para garantizar la unicidad del potencial. En el caso que hemos resuelto la condicion de frontera enel potencial es de tipo Dirichlet, con superficie que encierra a todo el espacio y condicion de potencial ceroen el infinito. La condicion de frontera dielectrica en cambio esta definida sobre el plano XY . No obstante,ambas condiciones de frontera son necesarias para definir el potencial.

————————————Asociada al potencial que es solucion de ∇2φ (r) = − 4π

ε ρf existe una funcion de Green definida por

∇2G(r, r′

)= −4π

εδ(r− r′

)

para cada region en donde ε es constante. Para el problema de Dirichlet el potencial es

φ (r) =

∫ρf(r′)G(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∫

Sφ(r′) ∂G (r, r′)

∂n′dS′

La region encerrada (con superficie donde G = 0) puede ser finita o infinita y puede contener dielectricos dediferente ε. ¿Es factible definir G (r, r′) si ε = ε (r)?. ¿De que modo?.

Algunos potenciales y funciones de Green se pueden evaluar de forma inmediata.1) Para espacio infinito ocupado por dielectrico ε y una carga puntual q:

φε (r) =q

ε |r− r′| ; Gε(r, r′

)=

1

ε |r− r′|Ası, para distribucion arbitraria φ (r) =

∫ρ (r′)G (r, r′) dV ′

2) Para espacio semi-infinito ocupado por dielectrico y con condiciones de Dirichlet

G(r, r′

)=

1

ε |r− r′| −1

ε |r − r′i|

9.7. Funcion de Green para espacio infinito con semiespacios dielectricos

Hemos encontrado la funcion de Green para dos medios dielectricos semiinfinitos con interface plana,pero con la restriccion de que la solucion del potencial solo se puede hacer en el caso en que la distribucionde carga este ubicada en uno solo de los medios, z > 0. Veamos un caso mas general en que permitimos quehaya carga en ambos medios. En tal caso la funcion de Green debe ser inhomogenea a ambos lados de lainterfase.

∇2G1

(r, r′

)= −4π

ε1δ(r − r′

)z < 0

∇2G2

(r, r′

)= −4π

ε2δ(r − r′

)z > 0

mas sinteticamente

∇2[G1

(r, r′

)θ(−z′)

+G2

(r, r′

)θ(z′)]

= −4πδ(r − r′

) [θ (−z′)ε1

+θ (z′)ε2

]

Descomponiendo en Fourier para x, y con

G1,2 =

∫ei[kx(x−x′)+ky(y−y′)]f1,2

(z, z′

)dkxdky

se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales

d2f1,2

dz2− γ2f1,2 = − 1

πδ(z − z′

); γ2 ≡ k2

x + k2y


hasta aquı las soluciones son exactamente iguales, pero esta igualdad deja de ser cierta cuando demandamoslas condiciones de frontera. Al tener en cuenta que f1,2 → 0 cuando z → ∓∞ respectivamente, las funcionesquedan

f1 (z) = eγz<(Aeγz> +Be−γz>

); f2 (z) = e−γz>

(Ceγz< +De−γz<

)

Las condiciones de frontera son

ε1∂G1

∂z

∣∣∣∣z=0

= ε2∂G2

∂z

∣∣∣∣z=0

∂G1

∂x

∣∣∣∣z=0

=∂G2

∂x

∣∣∣∣z=0

Naturalmente existe una condicion de frontera asociada a la derivada parcial en y pero no da informacionadicional, lo cual se ve de la simetrıa azimuthal. Con estas condiciones se obtienen las siguientes ecuaciones

A−B = ε2e−2γz′

ε1(C −D) ; A+B = e−2γz′ (C +D)

por integracion de las ecuaciones diferenciales para f1 y f2 se obtiene

B =1

2πε1γ; C =

1

2πε2γ

de lo cual resulta finalmente

A =1

2πε1γ

[2ε1e

−2γz′ + ε1 − ε2

] 1

ε1 + ε2

D =1

2πε2γ

[2ε2e

−2γz′ + ε2 − ε1

] 1

ε1 + ε2

En el lımite ε1 = ε2 = ε se obtiene el resultado esperado

G(r, r′

)=

1

π

∫ ∫ei[kx(x−x′)+ky(y−y′)+γ(z<−z>)]

εγdkx dky

9.8. Esfera dielectrica de radio a colocada en dielectrico ∞. Carga pun-

tual en r′ > a.

Sea una esfera dielectrica de radio a con permitividad ε1 y el resto del espacio tiene permitividad ε2.La carga esta en el exterior de la esfera y es localizada, ası que la region de Dirichlet es el espacio infinito.Por tanto, el potencial en el exterior obedece a una ecuacion de Poisson y en el interior es una ecuacion deLaplace. Esto lo deben manifestar las funciones de Green

∇2G1

(r, r′

)= 0 ; ∇2G2

(r, r′

)= −4π

ε2δ(r− r′

)

Lo mas natural es asumir una expansion en armonicos esfericos para las funciones de Green

G1,2

(r, r′

)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) f (1,2)

lm

(r, r′

)(9.27)

usando el Laplaciano en coordenadas esfericas llegamos a

1

r

∂2

∂r2

(rf (2)

)− l (l + 1)

r2f (2) = −4π

ε2δ(r− r′

)(9.28)

9.8. ESFERA DIELECTRICA DE RADIOA COLOCADA EN DIELECTRICO ∞. CARGA PUNTUAL ENR′ > A.171

resolviendo la ecuacion homogenea, es decir para r 6= r′ se obtiene

f (2)(r, r′

)= r−l−1

>

(Arl< +Brl+1

<

)

Un procedimiento analogo para G1 nos da

f (1)(r, r′

)= C

(r′)rl

(r−l−1 diverge en r → 0.

)

quedando

G1

(r, r′

)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) C

(r′)rl

G2

(r, r′

)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) [r−l−1

>

(Arl< +Br−l−1

<

)]

La aplicacion de las condiciones de frontera,

ε1∂G1

∂r

∣∣∣∣r=a

= ε2∂G2

∂r

∣∣∣∣r=a

,∂G1

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

=∂G2

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

(siendo la tercera condicion linealmente dependiente con estas), nos da

ε1∂G1

∂r

∣∣∣∣r=a

= ε1

∞∑

l=0

l∑

m=−ll Ylm (θ, ϕ) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) C

(r′)al−1

ε2∂G2

∂r

∣∣∣∣r=a

= ε2∂

∂r

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) [(r′

)−l−1(Arl +Br−l−1

)]∣∣∣∣∣r=a

= ε2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) (r′

)−l−1[lAal−1 − (l + 1)Ba−l−2

]

donde hemos tenido en cuenta que la carga esta fuera i.e. r ′ > a, de modo que si r = a ⇒ r = r<. Igualandoestas expresiones

ε1l C(r′)al−1 = ε2

(r′)−l−1

[lAal−1 − (l + 1)Ba−l−2

]⇒

ε1l C(r′)

= ε2

(r′)−l−1

[lA+ (l + 1)Ba−2l−1

]

la otra condicion de frontera nos da

∂G1 (r, r′)∂ϕ

∣∣∣∣r=a

=

∞∑

l=0

l∑

m=−l

∂Ylm (θ, ϕ)

∂ϕY ∗lm

(θ′, ϕ′) C

(r′)al

∂G2 (r, r′)∂ϕ

∣∣∣∣r=a

=∞∑

l=0

l∑

m=−l

∂Ylm (θ, ϕ)

∂ϕY ∗lm

(θ′, ϕ′) [(r′

)−l−1(Aal +Ba−l−1

)]

C(r′)al =

[(r′)−l−1

(Aal +Ba−l−1

)]⇒

C(r′)

=[(r′)−l−1

(A+Ba−2l−1

)]


resultan dos ecuaciones con tres incognitas, con un poco de algebra vemos que

B =(l + 1) (ε2 − ε1) a

2l+1

[ε1 (l + 1) + ε2l]; C

(r′)

=Ar′−l (2l + 1)

[ε1 (l + 1) + ε2l]

el coeficiente A se puede evaluar integrando la ecuacion diferencial (9.28) para f (2), de lo cual se obtieneA = 4π/ (2l + 1) ε2. Finalmente

G(r, r′

)=

4π

ε2

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

(r′)−l−1 (2l + 1) ε2r

l

[ε1 (l + 1) + ε2l]θ (a− r)

+r−l−1>

(rl< +

(l + 1) (ε2 − ε1) a2l+1r−l+1

<

[ε1 (l + 1) + ε2l]

)θ (r − a)

(9.29)

una vez mas podemos obtener el valor esperado cuando hacemos ε1 = ε2 = ε

G(r, r′

)=

4π

ε

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

(r′)−l−1 (2l + 1) εrl

[ε (l + 1) + εl]θ (a− r)

+r−l−1> rl<θ (r − a)

G(r, r′

)=

4π

ε

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

(r′)−l−1 (2l + 1) εrl

ε (2l + 1)θ (a− r)

+r−l−1> rl<θ (r − a)

G(r, r′

)=

4π

ε

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl

(r′)l+1θ (a− r)

+rl<

rl+1>

θ (r − a)

ahora teniendo en cuenta que θ (a− r) solo es no nulo cuando r < a, y asumiendo que solo hay carga enel exterior es decir r′ > a, se tiene que r′ = r> y r = r< con lo cual

G(r, r′

)=

4π

ε

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

[rl<

(r>)l+1θ (a− r) +

rl<

rl+1>

θ (r − a)

]

G(r, r′

)=

4π

ε

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

(r>)l+1(9.30)

lo cual reproduce la funcion de Green para espacio infinito en el vacıo cuando ε = 1, Ec. (6.3). Es importanteenfatizar que para llegar de (9.29) a (9.30) con ε1 = ε2 = ε, fue necesario usar ademas el hecho de que lacarga libre es exterior a la esfera.

9.9. Energıa potencial en presencia de dielectricos

Supongamos que tenemos un dielectrico inicialmente descargado y sin campo externo. Vamos a formaruna distribucion de cargas en cercanıas del dielectrico, para lo cual tenemos que armar las cargas trayendolas

9.9. ENERGIA POTENCIAL EN PRESENCIA DE DIELECTRICOS 173

del infinito como es usual. Sin embargo, a diferencia del caso en el cual el dielectrico esta ausente, la presenciadel dielectrico induce un campo adicional que se agrega al campo de la distribucion de carga. Por tanto altraer una nueva carga, dicha carga tiene que vencer el campo generado por la superposicion del campo delas cargas mas el campo inducido en el dielectrico. En ultimas podemos decir que el trabajo realizado nosolo debe armar la configuracion sino que tambien debe polarizar el dielectrico.

Supongamos que ya hemos traıdo una cierta cantidad de carga, de modo que el dielectrico ya esta polar-izado. El campo resultante en cierto punto sobre una carga dq ′ es la suma de los dos campos ya explicados.Cuando traemos mas carga el dielectrico se polariza aun mas de modo que el campo de polarizacion al igualque el generado por las cargas, es variable en el proceso.

En particular, el campo que tiene que vencer la partıcula viniendo desde el infinito hasta un punto, esmenor que si solo existiera la distribucion de cargas, y el trabajo necesario para armar la distribucion esmenor en presencia de un dielectrico. Es importante enfatizar que el trabajo necesario para armar las cargasen presencia del dielectrico corresponde a el cambio en la energıa interna del sistema cargas-dielectrico yno del sistema de cargas solamente (ya que con este trabajo no solo se reorganizan las cargas libres delsistema sino tambien las cargas de polarizacion del dielectrico). El calculo del proceso es analogo al caso sindielectrico

W =1

2

∫

V ol. de la distribucionρf (r)φ (r) dV =

1

2

∫

Todo el espacioρf (r)φ (r) dV

la extrapolacion a todo el espacio es posible siempre que el dielectrico no posea cargas libres. Con ρf =14π∇ · D ⇒

W =1

8π

∫φ∇ ·D dV =

1

8π

∫∇ · (φD) dV − 1

8π

∫D · ∇φ dV

=1

8π

∫φD · dS +

1

8π

∫D · E dV

Si la distribucion esta localizada la integral de superficie desaparece quedando

W =1

8π

∫

todo el espacioD · E dV

este resultado es valido incluso si el medio dielectrico es no lineal, anisotropo, e inhomogeneo ya que solo de-pende de la ecuacion ∇·D = 4πρf . Pero sı depende de que hagamos aproximacion dipolar para el dielectrico.Observese que aquı como antes se pueden definir varias densidades de energıa, todas ellas diferentes.

9.9.1. Distribucion sobre esfera dielectrica

Es interesante calcular la energıa potencial de una distribucion q de carga libre colocada en la superficiede una esfera (conductora) de radio b, recubierta por un cascaron dielectrico ε de radio exterior a. En virtudde la simetrıa del sistema, es conveniente comenzar con la ley de Gauss

∫D · dS = 4πq ⇒ D=

q

r2⇒ E =

q

εr2

E =

qεr2

si b < r < aqr2

si r > a0 si r < b

W =1

8π

∫

todo el espacioE ·D dV =

1

8π

∫

b≤r≤aE · D dV +

1

8π

∫

r≥aE · D dV

=q2

2

[1

ε

(1

b− 1

a

)+

1

a

]


Si no hubiese dielectrico (o si su polarizacion es muy pequena) entonces ε = 1

W0 =q2

2b

W −W0 =−q2

(1 − b

a

)(ε− 1)

2εb< 0

Por otro lado si a→ ∞ ⇒W −W0 = − q2(ε−1)2εb = WD

La cantidad WD nos da el incremento de energıa del dielectrico al ser colocado alrededor de q. (esteincremento es negativo).

Es importante mencionar que en este problema las fuentes libres del campo han sido mantenidas fijas.Al introducir dielectrico el campo de polarizacion se opone al campo original y lo disminuye. Ası, el trabajopara mover una carga es ahora menor, esto es consecuente con el hecho de que WD sea negativo.

Si en el anterior problema, en vez de q fija tenemos V constante en el cascaron obtendremos para radioinfinito

W = 2πεbV 2

W0 = 2πbV 2

W −W0 = 2πbV 2 (ε− 1) > 0

En este caso la fuente de potencial suministra energıa para hacer fluır cargas al cascaron

Example 14 Condensador de placas paralelas con carga fija en las placas: (q,−q) en este caso D = 4πσf ⇒εE = 4πσf , la energıa viene dada por

Uε =1

8π

∫(D · E) dV =

1

8π

∫(4πσf ) ·

(4πσfε

)dV =

2πσ2f

εAd⇒

Uε =2πσ2

fAd

ε⇒ Uε − Uε0 = −2πσ2Ad (ε− 1)

ε< 0

El campo dentro de las placas es menor cuando hay dielectrico, esto hace que V sea menor en presencia deeste y por tanto tambien es menor el trabajo necesario para desplazar una carga positiva de la placa negativaa la positiva.

Example 15 Condensador de placas paralelas con voltage fijo entre ellas:

Uε =1

8π

∫(D ·E) dV =

ε

8π

∫E2 dV =

ε

8π

∫ (V

d

)2

dV =εV 2

8πd2Ad

Uε =V 2εA

8πd⇒ Uε − Uε0 =

V 2A

8πd(ε− 1) > 0.

El campo electrico entre las placas es V/d de modo que es fijo, con o sin dielectrico, pero la baterıa suministracargas a las placas para mantener V constante cuando se introduce el dielectrico. Notese que aquı no es fijala distribucion de carga libre y hay un agente externo que provee la carga libre adicional (la baterıa).

9.10. Energıa de un dielectrico en un campo externo

Supongamos que originalmente tenemos una distribucion de cargas libres que permanece fija y que generaun campo E0. La energıa de esta distribucion sera W0 = 1

8π

∫E0 ·D0 dV. En el vacıo D0 = E0. Introduzcamos

ahora un dielectrico en las cercanıas de la distribucion (un proceso inverso al anterior). El campo cambia alos valores E,D y tendremos que W = 1

8π

∫E ·D dV , el cambio de energıa interna debido a la introduccion

del dielectrico es

W −W0 =1

8π

∫[E · D−E0 · D0] dV

9.10. ENERGIA DE UN DIELECTRICO EN UN CAMPO EXTERNO 175

E ·D −E0 ·D0 = E ·D0 −E0 · D + (E + E0) · (D−D0)

W −W0 =1

8π

∫[E ·D0 −E0 · D + (E + E0) · (D−D0)] dV

A continuacion veremos que la integral del ultimo termino es nula si la carga y el dielectrico son localizados

∇× [E + E0] = 0 ⇒ E + E0 = −∇φ

siendo φ la suma de los potenciales asociados a E y E0.

∫(E + E0) · (D−D0) dV = −

∫∇φ · (D−D0) dV

=

∫∇ · [(D−D0)φ] dV −

∫φ∇ · [(D−D0)] dV

=

∫(D−D0)φ · dS −

∫φ [4π (ρf − ρf )] dV

la primera integral tambien se anula cuando hacemos tender la superficie a infinito. Continuamos calculandoW −W0

W −W0 =1

8π

∫[E ·D0 −E0 · D] dV =

1

8π

∫[E · E0 −E0 · D] dV

notese que el integrando se anula en las regiones fuera del dielectrico ya que en el exterior de este se tieneque D = E, por tanto la integral se puede restringir al volumen interior al dielectrico y en dicha region secumple que D = εE

W −W0 =1

8π

∫

int diel[E ·E0 − εE0 · E] dV = − 1

8π

∫

int diel(ε− 1)E · E0 dV

y teniendo en cuenta que D = εE = E + 4πP se tiene que P = (ε−1)E4π de modo que

W −W0 = −1

2

∫P ·E0 dV = WD

esta integral incluso se puede extender a todo el espacio ya que en el exterior del dielectrico el vector depolarizacion es nulo. Esta integral corresponde a la energıa de un dielectrico colocado en un campo externoE0 i.e. el trabajo necesario para traerlo desde el infinito hasta su configuracion final.

Example 16 Volviendo al cascaron conductor rodeado de dielectrico infinito tenemos E0 = q/r2, P =(ε−1)E

4π ⇒ P = (ε−1)q4πεr2 , por tanto

WD = −1

2

∫P ·E0 dV = −(ε− 1) q2

2εb

que coincide con el resultado ya obtenido.

Capıtulo 10

Magnetostatica

10.1. Aspectos generales

Hasta el momento hemos estudiado configuraciones estaticas de carga. Cuando las cargas se ponenen movimiento se generan corrientes que ademas del conocimiento de la densidad de carga, requieren delconocimiento de la direccion en que estas se desplazan, surge ası el concepto (vectorial) de densidad decorriente, definida como la cantidad de carga que cruza una superficie unidad en la unidad de tiempo,multiplicada por un vector unitario en la direccion de desplazamiento de las cargas. A traves de diversosexperimentos se demostro que estas corrientes interactuan con una carga puntual a traves de una interaccionno central y dependiente de la velocidad de la carga puntual. Para entender la naturaleza no central de lafuerza producida, se puede ver que el caracter central de la ley de Coulomb es consecuencia de la isotropıadel espacio y del hecho de que el unico vector privilegiado es la coordenada relativa entre las partıculas,la introduccion de una velocidad hace que exista por lo menos un vector privilegiado adicional como es lavelocidad de una de las partıculas. La dependencia con la velocidad pone a esta fuerza en inmediato conflictocon las leyes de Newton, ya que no es posible conciliar con la primera y segunda ley, a una fuerza que dependade la velocidad de una partıcula con respecto al sistema de referencia inercial que se tome. Para ver esto,notemos que para este tipo de fuerza, si tenemos una partıcula que viaja a velocidad constante podemostener un sistema de referencia inercial donde la fuerza es diferente de cero y otro (tambien inerical) endonde la fuerza es nula, la segunda ley tendrıa entonces una forma diferente para dos sistemas de referenciainerciales. Esta clase de contradicciones son las que condujeron a la teorıa de la relatividad especial.

A diferencia del caso electrico, no es posible dividir experimentalmente una corriente entre sus consti-tuyentes primarios. Por ejemplo, si tenemos una corriente estacionaria en un circuito cerrado, no podemoshacer experimentos con un segmento del circuito que sostenga la misma corriente estacionaria. Por estarazon, todo calculo real debe implicar al circuito como un todo, aunque en algunos casos es posible modelarmatematicamente el aporte de un solo segmento.

En este capıtulo y el siguiente, estudiaremos escenarios en donde la corriente es estacionaria, lo cualimplica que la densidad de corriente solo puede ser funcion de la posicion y no puede ser funcion explıcita deltiempo. Antes de entrar al formalismo de fuerzas y campos, estudiaremos mas detalladamente el significadode la naturaleza estacionaria de la corriente a la luz del principio de conservacion de la carga electricatraducido en la llamada ecuacion de continuidad.

10.2. Conservacion de la carga electrica y ecuacion de continuidad

Dado que ahora estudiaremos fenomenos que involucran cargas en movimiento i.e. corrientes, y queexiste un principio de conservacion de la carga, debemos ver como se traduce este importante principio deconservacion en terminos de una ecuacion diferencial. Si tenemos una region cerrada la carga que sale (entra)se debe manifestar como una disminucion (aumento) de la carga en el interior, de no ser ası significa que se

177

178 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA

esta creando o destruyendo carga neta de manera espontanea. La carga que sale por unidad de tiempo delvolumen V es ∫

SJ · dS

y esta cantidad debe ser igual a la disminucion de carga en el interior por unidad de tiempo

−dqintdt

= − d

dt

∫ρ dV

La integral de volumen se realiza en un instante fijo de tiempo y la derivada depende de este valor evaluadoen t y en t+ dt. Sin embargo, el volumen y un cierto punto x, y, z dentro de este son fijos en el proceso, demodo que esta es realmente una derivada parcial en el tiempo.

−dqintdt

= −∫∂ρ

∂tdV ⇒

∫

SJ · dS = −

∫∂ρ

∂tdV

⇒∫ [

∇ · J +∂ρ

∂t

]dV = 0

como el volumen en cuestion es arbitrario, llegamos a la ecuacion diferencial

∇ · J +∂ρ

∂t= 0 (10.1)

esta ecuacion diferencial se conoce como ecuacion de continuidad y expresa la conservacion de la cargaelectrica en procesos generales donde existen corrientes que pueden incluso depender del tiempo. Cuandofluye una cierta cantidad de carga hacia afuera (adentro) del volumen, la cantidad de carga disminuye(aumenta) a la misma rata en que tal carga sale (entra). Vale decir que la ecuacion diferencial es extrapo-lable para expresar la conservacion de muchas cantidades escalares que puedan desplazarse como un fluıdo(corrientes generalizadas).

10.3. Ecuacion de continuidad y regimen estacionario

Hemos descrito la situacion estacionaria como aquella en que la densidad de corriente en todas las regionesde interes solo depende de la posicion y no depende explıcitamente del tiempo. En este caso las lıneas de Jmantienen su forma en el tiempo. Por otro lado, si en un volumen determinado la corriente que entra no esigual a la corriente que sale, en virtud de la conservacion de la carga habra un flujo neto (constante en eltiempo) que entra o sale de dicho volumen, esto trae como consecuencia que haya un aumento o disminucionde carga que crece sin cota (ya que el flujo no puede aumentar ni disminuır en el tiempo) produciendo unacarga que crece al infinito en magnitud (positiva o negativa). Este argumento conduce al hecho de que enregimen estacionario la divergencia de la densidad de corriente debe ser cero a fin de que el flujo se anuleen cualquier volumen de referencia que tomemos.

∇ · J = 0 (10.2)

que de acuerdo con la ecuacion de continuidad (10.1) implica que la densidad de carga no depende explıcita-mente del tiempo

∂ρ

∂t= 0

Adicionalmente la corriente que atravieza cierta superficie S

I =

∫J (r) · dS

sera claramente constante en el tiempo. Las corrientes seran en consecuencia constantes en el regimenestacionario. Una vez definido el regimen estacionario y sus implicaciones, procedemos a desarrollar elformalismo de fuerzas campos y potenciales cuando tenemos corrientes estacionarias.

10.4. LEYES DE AMPERE Y BIOT-SAVART 179

10.4. Leyes de Ampere y Biot-Savart

A partir de razonamientos empıricos provenientes de la experimentacion se puede ver que la fuerza entredos circuitos cerrados a y b con corrientes electricas estacionarias ia e ib puede escribirse en la forma

Fa→b =1

c2iaib

∮

a

∮

b

dlb × (dla × rab)

r3ab=

1

c2iaib

∮

a

∮

b

dlb × (dla × rab)

r2ab(10.3)

Esta expresion nos da la fuerza ejercida por el circuito a sobre el b. dla, dlb tienen las direcciones de lascorrientes ia e ib, respectivamente y rab es el vector posicion trazado desde el segmento dla hasta el segmentodlb. La integral es sobre lazos cerrados. La corriente electrica es i = dq/dt sus unidades en el cgs son elstatamperio (statcoulomb/seg) y en MKS el amperio (coulombio/seg). En la expresion (10.3) se consideravalido el principio de superposicion (formalismo Newtoniano), puesto que se asume que la fuerza de asobre b es la suma (integral) de la fuerza de a sobre cada elemento diferencial de b.

En condiciones estacionarias se espera que la fuerza entre circuitos satisfaga la ley de accion yreaccion, pero esto no es evidente de la expresion (10.3), para que se vea explıcitamente manipularemos laexpresion matematicamente.

dlb × (dla × rab) = (dlb · rab) dla − (dlb · dla) rabcon lo cual queda

Fa→b =1

c2iaib

∮

a

∮

b

(dlb · rab) dla − (dlb · dla) rabr2ab

=1

c2iaib

[∮

a

∮

b

(dlb · rab) dlar2ab

−∮

a

∮

b

(dlb · dla) rabr2ab

]

=1

c2iaib

[∮

adla

∮

b

(dlb · rab)r2ab

−∮

a

∮

b


]

En la primera integral cada elemento diferencial de corriente ia dla aparece interactuando con el circuito b.De modo que en la integral sobre b el origen de r permanece fijo, y por tanto dlb = drab, de donde

∮

b

dlb · rabr2ab

=

∮

b

drab · rabr2ab

=

∮

bd

(1√

rab·rab

)=

1√rab·rab

∣∣∣∣2

1

esta integral se anula para lazos cerrados, tambien se anula si la corriente se extiende desde −∞ hasta ∞.La fuerza resulta

Fa→b = − 1

c2iaib

∫

a

∫

b


de aquı si es clara la ley de accion y reaccion. En condiciones no estacionarias la tercera ley no se satis-face. Esto se debe a que en condiciones no estacionarias, ya no podemos considerar a la interaccion comoinstantanea y parte del momento es transportado por los campos

Esta misma interaccion se puede escribir en terminos de campos. Podemos ver la fuerza del circuito asobre el b como la interaccion del campo generado por a con el circuito b. Para lograr esta vision, debemosseparar las fuentes de las corrientes de prueba. Retornando a la Ec. (10.3) podemos separar las fuentes dela siguiente manera

Fa→b =1

c2iaib

∮

a

∮

b

dlb × (dla × rab)

r2ab

=ibc

∮

bdlb ×

(1

cia

∮

a

dla × rabr2ab

)


el termino entre parentesis depende solo del circuito a (fuente). Con lo cual podemos definir el vectorinduccion magnetica B como

Ba =iac

∮

a

dla × rabr2ab

(10.4)

expresion conocida como ley de Biot Savart. La fuerza queda entonces

Fab =1

cib

∮

bdlb ×Ba (10.5)

expresion conocida como ley de Ampere que nos da la interaccion del circuito b con el campo generadopor el circuito a. De la ley de Biot Savart se ve que dado que rab y dla son polares, su producto cruz esaxial. En contraste, el campo electrico es un vector polar, por este motivo, ningun observable vectorial enelectrodinamica es de la forma E + B. Por otro lado, cuando tenemos varios circuitos actuando sobre otrocircuito se verifica experimentalmente que la fuerza y tambien B satisfacen el principio de superposicion.

Usando el vector densidad de corriente J es decir la densidad de flujo de carga electrica (carga/area*tiempo) y con

idl =dq

dtdl = dq

dl

dt= dq v

ahora, haremos la extrapolacion de que las expresiones (10.4), (10.5) se pueden extender al caso volumetricoarbitrario, de modo que dq → ρ dV en tal caso

idl → ρv dV = J dV (10.6)

reemplazando (10.6) en (10.4) y en (10.5) tenemos

Ba =1

c

∫Ja × rabr2ab

dV ⇒ F =1

c

∫Jb ×Ba dV (10.7)

y para el torque sobre un circuito colocado en un campo Ba, con respecto a un cierto origen

~τ =1

c

∫r× (Jb ×Ba) dV (10.8)

La expresion aquı encontrada permite obtener Ba conociendo la corriente en todo el espacio (analogo a lasformulas originales de la electrostatica). Sin embargo, al igual que en el caso electrostatico a veces conocemosla corriente solo en cierta region junto con ciertas condiciones de frontera, en cuyo caso hay que usar formasmas convenientes. Haremos ademas una extrapolacion extra, la expresion original Ec. (10.3) es valida paracorrientes unidimensionales que recorren lazos cerrados. De aquı en adelante asumiremos que las expresiones(10.7, 10.8) son validas para corrientes volumetricas arbitrarias que ademas no necesariamente recorren uncircuito cerrado (por esta razon omitimos el sımbolo de integral cerrada en las Ecs. 10.7 y 10.8). Estaextrapolacion tiene su base en la confrontacion experimental.

Por otro lado, aunque tenemos expresiones para evaluar el campo magnetico con base en las corrientes,debemos recordar que una de las ventajas del concepto de campo se obtiene cuando el valor del campo sepuede obtener independientemente de la distribucion de sus fuentes. Analogamente al caso electrostatico,la idea serıa poder colocar una carga puntual en el punto donde se quiere evaluar el campo y medir este atraves de la fuerza que experimenta dicha carga, para esto necesitamos conocer la forma en que una cargapuntual interactua con B.

Example 17 Sea una carga puntual con velocidad v inmersa en un campo magnetico B. La densidad decorriente equivalente es se tiene

Jb = ρv = qvδ (r − r0 (t))

donde hemos enfatizado que la posicion de la carga r0 (t) es funcion del tiempo. Aplicando la Ec. (10.7)resulta

F =q

cv (r0) ×B (r0) , ~τ = qr×(v ×B)

c

10.5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA MAGNETOSTATICA 181

Esta derivacion es por supuesto altamente sospechosa ya que el tratamiento que hemos desarrollado hastaaquı (y en particular la ley de Biot-Savart), son validas solo en el regimen estacionario y una carga puntualen movimiento claramente NO genera una corriente estacionaria. Es notable sin embargo, que el resultadoaquı derivado se cumple muy bien experimentalmente. En realidad veremos mas adelante que la ley de BiotSavart se puede utilizar hasta cierto punto en un regimen no estacionario para derivar otros resultados, larazon para esta inesperada extrapolacion solo resultara mas clara en la seccion (16.2). La expresion para lafuerza ejercida por el campo B sobre una carga puntual, se conoce como fuerza de Lorentz. Si ademasexiste un campo electrico (cuya fuente sigue siendo en el caso estacionario las densidades de carga) tenemos

F = qE +q

cv ×B (10.9)

cuando solo existe campo magnetico, basta con conocer la velocidad de la carga y la fuerza que experimentapara medir B.

10.5. Ecuaciones diferenciales de la magnetostatica

La forma general para el campo magnetostatico generado por una densidad de corriente estacionaria Jindependiente del tiempo viene dada por (10.7):

B (r) =1

c

∫J (r′) × (r− r′)

|r− r′|3dV ′

esta integral se hace sobre todo el espacio e incluye todas las fuentes. Estas son ecuaciones integrales, ypermiten en principio calcular el campo cuando conocemos la distribucion de corrientes en todo el espacio,sin embargo para problemas que involucren algun tipo de condicion de frontera y el conocimiento de lacorriente solo en cierta region del espacio, las ecuaciones diferenciales son mas adecuadas. Como en el casoelectrostatico (o el de cualquier otro campo vectorial), es necesario conocer la divergencia y el rotacional delcampo (y la componente normal en la frontera) para determinar unıvocamente su solucion (ver teorema 2, pag20). Para encontrar la divergencia y el rotacional del campo magnetico, exploraremos algunas propiedadesvectoriales de B.

∇(

1

|r− r′|

)= − (r− r′)

|r− r′|3; B (r) = −1

c

∫J(r′)×∇

(1

|r − r′|

)dV ′

∇×(

J (r′)|r− r′|

)= ∇

(1

|r− r′|

)× J

(r′)

+∇× J (r′)|r− r′|︸︷︷︸

=0

(∇× J (r′) = 0 puesto que ∇ contiene solo derivadas en r) quedando

B (r) =1

c

∫∇×

(J (r′)|r− r′|

)dV ′ = ∇×

[1

c

∫ (J (r′)|r − r′|

)dV ′]

⇒ B (r) = ∇×A (r) ; A (r) ≡ 1

c

∫ (J (r′)|r − r′|

)dV ′ (10.10)

Con lo cual se define el potencial vectorial magnetico. La integral en (10.10) esta definida sobre todo elespacio.

A es el analogo de φ en electrostatica. A ↔ φ, J ↔ ρ. Su forma matematica es analoga, ambas poseenun gauge y obedecen la ecuacion de Poisson, son componentes del cuadrivector potencial en relatividad.Una diferencia importante es que uno es vectorial y el otro es escalar, esto esta relacionado con el hechode que las fuentes de cada potencial (densidades de carga y densidades de corriente) son escalar y vectorialrespectivamente. Otra diferencia importante es que la existencia del potencial escalar esta asociada a la


conservatividad del campo E, en tanto que el potencial vectorial no esta asociado a una conservatividadde B, ya que como veremos mas adelante, B es en general no conservativo (aunque la fuerza magneticası es conservativa ya que no realiza trabajo). En realidad dado que hemos cambiado un vector (B) por otrovector, no es clara en un principio la ventaja de trabajar con A en lugar de B. Sin embargo, a lo largo delos desarrollos posteriores iremos descubriendo varias ventajas. La expresion B = ∇×A permite evaluar By E = −∇φ permite evaluar E. Una consecuencia inmediata es

∇ · B (r) = ∇ · [∇×A (r)] = 0

ya que la divergencia del rotacional de cualquier funcion vectorial es cero si dicha funcion vectorial es declase C2 (para una interpretacion geometrica ver Ref. [1] problema 2.16).

∇ ·B = 0 (10.11)

vale decir que aunque estrictamente partimos de la ecuacion para la fuerza entre dos circuitos unidimen-sionales, la formula anterior es de validez general incluso en el caso volumetrico y no estacionario. Estaecuacion nos dice que el flujo por unidad de volumen de B en cualquier punto es nulo. Usando el teoremade la divergencia en un volumen arbitrario

∫∇ ·B dV = 0 =

∫

SB · dS (10.12)

En el caso del campo electrico la divergencia es cero si no hay fuentes ni sumideros (o si estos se cancelan)cuando hay fuentes y/o sumideros en el volumen, hay lıneas de campo que empiezan o terminan dentro delvolumen de modo que no salen todas las lıneas que entran, y/o viceversa. Pero para el campo magnetico laslıneas de campo no empiezan ni terminan en ningun punto ya que de lo contrario tendrıamos al menos unpunto con divergencia no nula. Es decir las lıneas de campo magnetico no tienen fuentes ni sumideros1, nohay cargas magneticas, de modo que las lıneas de B deben cerrarse sobre sı mismas o ir hasta el infinito2.

Ahora que hemos determinado la divergencia de B, debemos calcular tambien su rotacional. Para ello,empleamos otra identidad vectorial

∇×B = ∇× (∇×A) = ∇ (∇ · A) −∇2A (10.13)

calculemos ∇2A

∇2A =1

c∇2

∫J (r′)|r− r′|dV

′ =1

c

∫J(r′)∇2

(1

|r− r′|

)dV ′

= −4π

c

∫J(r′)δ(r − r′

)dV ′

∇2A = −4π

cJ (r) (10.14)

Calculemos la divergencia de A

∇ ·A =1

c∇ ·∫

J (r′)|r − r′|dV

′ =1

c

∫∇ ·[

J (r′)|r− r′|

]dV ′

=1

c

∫J(r′)· ∇(

1

|r − r′|

)dV ′ = −1

c

∫J(r′)· ∇′

(1

|r − r′|

)dV ′

= −1

c

∫ [∇′ ·

(J (r′)|r − r′|

)dV ′ − ∇′ · J (r′)

|r− r′| dV ′]

1Por supuesto las corrientes son fuentes pero en otro sentido. Cuando hablamos de fuentes y sumideros aquı, nos referimosa puntos donde comienza o termina una lınea de campo.

2Notese que no serıa permisible una lınea semi infinita, ya que esta posee un extremo.

10.6. INVARIANZA GAUGE 183

La conservacion de la carga para corrientes estacionarias nos lleva a que ∇ · J = 0. Y utilizando el teoremade la divergencia

∇ · A =1

c

∫ (J (r′)|r− r′|

)· dS′ = 0 (10.15)

expresion valida para corrientes localizadas, ya que en ese caso J = 0 en el infinito3. Reemplazando, (10.14)y (10.15) en (10.13) se obtiene

∇×B =4π

cJ (10.16)

ahora integrando sobre una superficie abierta S delimitada por un lazo cerrado C, se encuentra que

∫(∇×B) · dS =

4π

c

∫J · dS

∮

C

B · dl =4π

ci (10.17)

donde la integral de lınea es sobre el lazo cerrado que expande a la superficie, e “i” es la corriente queatraviesa la trayectoria cerrada (o que cruza la superficie que expande la trayectoria). Esta expresion seconoce como ley circuital de Ampere. Estableciendo un analogo con la electrostatica, la ley de Biot-Savart es el equivalente de la ley de Coulomb, en tanto que la ley circuital de Ampere es el equivalente de laley de Gauss4. En virtud de esta equivalencia, la forma integral de la ley circuital de Ampere es tambien utilpara calcular campos magneticos con alta simetrıa, en particular su utilidad es evidente cuando la corrienteposee una configuracion como las siguientes: lıneas infinitas, planos infinitos, solenoides infinitos y toroides(ver [7]). Veamos algunos ejemplos

Example 18 ?**

Enfatizamos de nuevo que la ecuacion (10.16) fue construıda para ser compatible con la conservacion dela carga en el caso estacionario ya que ∇ · (∇×B) = 0 = 4π

c ∇ · J. Adicionalmente, la Ec. (10.14) nosmuestra que A satisface la ecuacion de Poisson, escrita en componentes cartesianas

∂2Ax∂x2

+∂2Ax∂y2

+∂2Ax∂z2

= −4πJxc

y similarmente para las otras componentes.

10.6. Invarianza Gauge

La identidad vectorial ∇× (∇ψ) = 0 nos indica que la definicion de A a traves de la relacion B = ∇×A,no define unıvocamente al potencial vectorial, ya que si redefinimos

A′ ≡ A + ∇ψ (10.18)

tenemos que aun se cumple que ∇ × A′ = B, la transformacion descrita por (10.18) se conoce comouna transformacion gauge o recalibracion del potencial A. Se dice que el vector B es invariante ante estatransformacion gauge de su potencial asociado.

3Recordemos que las integrales de volumen estan definidas sobre la region en donde hay corrientes, pero se puede extenderal volumen de todo el espacio como en el caso de la electrostatica.

4La ley de Coulomb conduce a la ley de Gauss y a ∇×E = 0. Por otro lado, la ley de Biot-Savart conduce a la ley circuitalde Ampere y a la Ec. (10.12) o equivalentemente a ∇ · B = 0. No debe confundirse la ley de Ampere (10.5) con la ley circuitalde Ampere (10.17).


Esto nos indica que hay cierta arbitrariedad en la definicion de A. La definicion dada en la Ec. (10.10) espor tanto solo una forma posible para el potencial vectorial. Un campo vectorial se especifica completamentesi se conoce su componente normal en la frontera ası como su divergencia y su rotacional. En este caso soloconocemos el rotacional de A y su divergencia queda en principio indeterminada, esto nos da la libertad deescoger la divergencia siempre que se pueda encontrar una solucion para ψ. Una posibilidad interesante yque simplifica muchos calculos consiste en imponer la condicion

∇ ·A′ = 0 (10.19)

este gauge especıfico se denomina gauge de Coulomb. Notese que la imposicion de este gauge no conducetodavıa a un valor unico de A ya que aun es necesario especificar las condiciones de frontera. El poten-cial vectorial magnetico definido en (10.10) cumple con esta condicion (implıcitamente tambien estamosdefiniendo su valor en la frontera i.e. A = 0 en el infinito ya que asumimos que la corriente es localizada).

El gauge de Coulomb junto con A′ = A + ∇ψ implica

∇ ·A′ = ∇ ·A + ∇2ψ = 0 ⇒∇2ψ = −∇ · A (10.20)

volviendo al caso de la definicion en (10.10) tenemos que para este caso ∇·A = 0 y por tanto ∇2ψ = 0. Porotro lado, calculando ∇×B teniendo en cuenta que B = ∇×A, se obtiene

∇× (∇×A) = ∇ (∇ ·A) −∇2A = ∇[∇ ·(A′ −∇ψ

)]−∇2

(A′ −∇ψ

)

= ∇(∇ ·A′ −∇2ψ

)−∇2A′ + ∇2 (∇ψ)

= ∇(∇ ·A′)−∇

(∇2ψ

)−∇2A′ + ∇2 (∇ψ)

∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A′)−∇2A′ = ∇×

(∇×A′)

con lo cual se llega a que ∇ × (∇×A) = ∇ × B es invariante gauge, lo cual es de esperarse ya que estees un observable. Es claro que no necesariamente ∇ · A = 0, pero sı podemos recalibrar para que el nuevoA′ cumpla ∇ · A′ = 0. En adelante solo usaremos la notacion A (sin primar), incluso si estamos en elgauge de Coulomb, ya que una vez hecha la recalibracion adecuada es irrelevante usar la notacion primada.Recordando que ∇×B = 4π

c J resulta

∇×B = ∇ (∇ · A) −∇2A ⇒ ∇ (∇ ·A)−∇2A =4π

cJ

si en particular usamos el gauge de Coulomb i.e. ∇ · A = 0 se llega a

−∇2A =4π

cJ (10.21)

con lo cual cada componente del potencial vectorial obedece una ecuacion de Poisson, cuyas fuentes sonlas componentes del vector densidad de corriente. Es importante enfatizar que la relacion (10.21) es validasolo en el gauge de Coulomb. La ecuacion (10.21), muestra una de las ventajas de la inclusion delpotencial vectorial, ya que en principio hemos sintetizado las dos ecuaciones de B (su divergencia y surotacional) en una sola, similar al caso electrostatico. Adicionalmente, tenemos una ecuacion de Poisson(aunque vectorial), de tal manera que con las extensiones adecuadas podemos emular el formalismo seguidoen el caso electrostatico (ver por ejemplo la seccion 10.8).

Para espacio infinito con gauge de Coulomb, tenemos que

A (r) =1

c

∫J (r′)|r − r′|dV

′ + ∇ψ con ∇2ψ = 0 (10.22)

10.7. RANGO DE VALIDEZ DE LA FORMULACION 185

Sin embargo, debemos recordar que en virtud de las propiedades de la Ecuacion de Laplace ψ no puedetener maximos ni mınimos locales en V . Si exigimos ademas que A sea nulo en el infinito, tendremos que∇ψ = 0. Estos dos hechos nos llevan a que ψ debe ser constante5.

Si ψ es solucion a ∇2ψ = 0 en una region V limitada por una superficie S (infinita en este caso), entoncesψ no puede tener maximos ni mınimos en V .

En el caso en que −∇ · A = ∇2ψ 6= 0, ψ no es constante. No obstante, si fijamos el valor de ∇ · A yasumimos que A = 0 en el infinito, entonces tendremos definido unıvocamente el valor de A ya que habremosespecificado la divergencia, el rotacional y la componente normal (nula) en la superficie infinita.

10.7. Rango de validez de la formulacion

La ley de Biot Savart, establecida como una regla empırica para el calculo del campo magnetico, es solovalida en el caso estacionario, de modo que las ecuaciones que se derivan de ella para el campo magnetico

∇ · B = 0 ; ∇×B =4π

cJ

son en principio solo validas en el regimen estacionario. Cuando estudiemos campos dependientes del tiempoveremos que la primera ecuacion es de validez general aun fuera del regimen estacionario, en tanto que lasegunda requerira una modificacion para ser compatible con el principio de conservacion de la carga.

Un ejemplo interesante para enfatizar en el rango de validez de la ley de Biot Savart, se da cuandointentamos aplicar este formalismo para calcular el campo generado por una carga puntual en movimiento,facilmente se obtiene

B (r) =µ0

4π

qv × (r− r′)

|r − r′|3

este valor es solo aproximado y se aplica en el rango no relativista (v << c), la razon es que una carga puntualen movimiento no genera una corriente estacionaria y por tanto la ley de Biot Savart no es aplicable en estecaso6.

10.8. Formalismo de Green en magnetostatica

Dado que aquı tenemos un potencial vectorial y no escalar, es necesario utilizar el teorema de Gaussen su forma extendida aplicado a una diada T a fin de llegar al teorema vectorial de Green, el teorema deGauss queda ∫

∇ · T dV =

∫dS · T

lo cual escrito en componentes se lee ∫∂iTijdV =

∫dSiTij

donde se ha usado convencion de suma sobre ındices repetidos. Utilizando para la diada el siguiente valorparticular

T = (∇G)A−G∇A

o en componentes

Tij = (∂iG)Aj −G∂iAj

5Por ejemplo una funcion lineal permite que ∇2ψ = 0 sin que haya maximos ni mınimos, pero la funcion ψ no estarıa acotadaen el infinito y ∇ψ 6= 0.

6Notese sin embargo que la expresion para la fuerza de Lorentz sı se obtiene a partir de la ley de Biot Savart y aplicado a lacorriente generada por una carga puntual, como se aprecia en el ejemplo 17. Sin embargo, esto no constituye una demostracionde la expresion para la fuerza de Lorentz, la cual se considera una ley empırica fundamental.


obtenemos

∂iTij =(∇2G

)Aj + (∂iG) (∂iAj) − (∂iG) (∂iAj) −G

(∇2Aj

)

=(∇2G

)Aj −G

(∇2Aj

)

o en notacion tensorial∇ · T =

(∇2G

)A−G∇2A

y el teorema de la divergencia aplicado a esta diada nos da∫ [

A∇2G−G∇2A]dV =

∫dS · [(∇G)A−G∇A]

la funcion de Green tiene como argumentos G = G (r, r′). Integrando sobre variables primadas tenemos∫ [

A(r′)∇′2G

(r, r′

)−G

(r, r′

)∇′2A

(r′)]

dV ′ =

∫dS′ ·

[∇′G

(r, r′

)]A(r′)−G

(r, r′

)∇′A

(r′)

con ∇′2A (r′) = −4πc J (r′) (valido solo en el gauge de coulomb) y con ∇′2G (r, r′) = −4πδ (r − r′)

−4π

∫A(r′)δ(r− r′

)dV ′ +

4π

c

∫G(r, r′

)J(r′)dV ′

=

∫ [dS′ · ∇′G

(r, r′

)]A(r′)−G

(r, r′

) [dS′ · ∇′A

(r′)]

de nuevo la presencia de la delta de Dirac permite despejar a A (r)

−4πA (r) = −4π

c

∫G(r, r′

)J(r′)dV ′ +

∫ [∂G (r, r′)∂n′

]dS′ A

(r′)−G

(r, r′

) [∂A (r′)∂n′

]dS′

quedando finalmente

A (r) =1

c

∫G(r, r′

)J(r′)dV ′ − 1

4π

∫ [∂G (r, r′)∂n′

]A(r′)−G

(r, r′

) [∂A (r′)∂n′

]dS′ (10.23)

es necesario enfatizar que esta forma de la solucion es valida solo en el Gauge de Coulomb. Para el problemade Dirichlet G = 0 en la frontera y nos queda.

A (r) =1

c

∫G(r, r′

)J(r′)dV ′ − 1

4π

∫∂G (r, r′)∂n′

A(r′)dS′ (10.24)

Recordemos que G solo depende de la geometrıa y de la ecuacion diferencial, pero no depende de la presenciade cargas o corrientes, de manera que para la misma geometrıa la funcion de Green es la misma que enelectrostatica. Si la frontera esta en el infinito, tomamos G (r, r ′) = |r − r′|−1 y desaparece la integral desuperficie, en cuyo caso el potencial se reduce a la expresion (10.10) como era de esperarse.

10.8.1. Espira circular de corriente constante

Este ejemplo es de gran importancia ya que como veremos mas adelante, los dipolos magneticos puntualesse pueden visualizar como pequenas espiras de corriente. Para una espira circular de corriente constante,encontraremos A (r) y B (r). Primero debemos calcular la densidad de corriente volumetrica equivalente

∫J dV =

∫Idl = I

∫auϕdϕ = I

∫auϕdϕ

=

∫Iauϕdϕ

∫δ (cos θ − 0) sin θ dθ

∫δ (r − a)

r2r2 dr

=

∫ a

0

∫ 2π

0

∫ π

0Iaδ (cos θ)

δ (r − a)

a2uϕr

2 dr sin θ dθdϕ

=

∫Iδ (cos θ)

δ (r − a)

auϕdV

10.8. FORMALISMO DE GREEN EN MAGNETOSTATICA 187

la densidad de corriente volumetrica equivalente es

J(r′)

= Iδ(cos θ′

) δ (r′ − a)

auϕ′ = Jϕ′uϕ′

teniendo en cuenta que uϕ′ = −ux sinϕ′ +uy cosϕ′ y sustituyendo G en armonicos esfericos en la ec. (10.10)queda

A (r) =4π2I

ca

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

√(2l + 1) (l −m)!

4π (l +m)!Pml (0)

×∫ ∞

0

rl<

rl+1>

r′2dr′δ(r′ − a

) [−uxi

(δm,1 − δm,−1) + uy (δm,1 + δm,−1)]

usando

P−1l = −(l − 1)!

(l + 1)!P 1l , Yl,−1 = −Y ∗

l,1

A (r) =πI

ca

∞∑

l=1

2P 1l (0) (l − 1)!

(l + 1)!

−ux sinϕ′ + uy cosϕ′︸︷︷︸

uϕ′

×∫ ∞

0

rl<

rl+1>

r′2dr′δ(r′ − a

)· P 1

l (cos θ)

Despues de integrar en r se obtiene

A (r) =4πI

cuϕ

∞∑

l=1

P 1l (0) (l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ)

rl<

rl+1>

= Aϕuϕ

B (r) =4πI

c

∞∑

l=1

P 1l (0) (l − 1)!

(l + 1)!

[urrl (l + 1)Pl (cos θ)

rl<

rl+1>

−uθrP 1l (cos θ)

rl(l+1)al+1 si r < a

−l al

rl+1 si r > a

]

para r >> a, conservando solo el primer termino

B (r) =2πIa

cP 1

1 (0)[2urP1 (cos θ) + uθP

11 (cos θ)

] ar3

B (r) =2πIa

c

[− sin

π

2

][2ur cos θ + uθ (− sin θ)]

a

r3

B (r) = −2πIa

c[2ur cos θ − uθ sin θ]

a

r3

Br =2µ cos θ

r3, Bθ =

µ sin θ

r3

como veremos mas adelante, estas expresiones definen el campo lejano de dipolo magnetico, donde µ = IAc =

Iπa2

c . Si comparamos este caso con la misma espira circular pero con carga estatica, vemos que en el casoelectrostatico aparecen los polinomios ordinarios de Legendre, en tanto que en el caso de corrientes aparecenpolinomios asociados de Legendre. Esta diferencia se puede atribuir a la diferencia entre el caracter escalarde la densidad de carga y el caracter vectorial de la densidad de corriente.


10.9. Multipolos magneticos

A continuacion realizaremos la expansion multipolar del potencial vectorial A. Las motivaciones sonlas mismas que en el caso electrostatico, es decir simplificar las expresiones para los campos lejanos yeventualmente hacer predicciones sobre distribuciones de corriente que no se conocen detalladamente comoen el caso de los campos magneticos en la materia. La idea de nuevo es hacer una expansion en 1/r quecomo antes sera dependiente del origen. Sin embargo, una ventaja que tendremos es que los dipolos seranindependientes del origen y estos seran los que se usen en la mayorıa de aplicaciones (los monopolos seanulan). Utilizaremos la expansion de la funcion de Green |r− r′|−1 dada por la Ec. (8.2)

1

|r − r′| =1

r+

r · r′r3

+1

2r5[3(r · r′

) (r · r′

)− r2r′2

]+ . . .

Y la expresion para A en el caso de corrientes localizadas y espacio infinito.

A (r) =1

c

∫J (r′)|r− r′|dV

′ (10.25)

dado que partimos de (10.25), la expansion multipolar de A solo sera valida en el gauge de Coulomb.

A (r) =1

c

∫ 1

r+

r · r′r3

+1

2r5[3(r · r′

) (r · r′

)− r2r′2

]+ . . .

J(r′)dV ′

A (r) =1

cr

∫J(r′)dV ′ +

r

cr3·∫

r′J(r′)dV ′ +

1

2cr5

∫ [3(r · r′

) (r · r′

)− r2r′2

]J(r′)dV ′ + . . .

A (r) =1

cr

∫J(r′)dV ′ +

r

cr3·∫

r′J(r′)dV ′ +

1

2cr5

∫J(r′) [

3r′r′ − r′2I]dV ′ : rr + . . . (10.26)

Analizando cada termino se obtiene:

∇ · (JXk) = ∂i (JiXk) = (∂iJi)Xk + Ji (∂iXk)

= (∇ · J)︸︷︷︸=0

Xk + Jiδik = Jk

∇ · (JXk) = Jk ⇒ uk∇ · (JXk) = ukJk ⇒ ∇ · (JXkuk) = Jkuk

J = ∇ · (Jr)

Aplicando teorema de la divergencia∫

JdV =

∫∇ · (Jr) dV =

∫dS· (Jr) = 0

valido para corriente localizada (J = 0 en el infinito) y para caso estacionario (se supuso que ∇ · J = 0). Enconsecuencia el primer termino de la expansion (monopolo) no existe.

Momento de dipolo magnetico

Calculemos

∇ · (JXkXi) = ∂m (JmXkXi) = XkXi(∂mJm)︸︷︷︸=0

+ (Jm∂mXk)Xi + (Jm∂mXi)Xk

= (Jmδmk)Xi + (Jmδmi)Xk

= JkXi + JiXk

10.9. MULTIPOLOS MAGNETICOS 189

∇ · (JXkXi) = JkXi +XkJi ⇒ ∇ · [J (Xkuk) (Xiui)] = (Jkuk) (Xiui) + (Xkuk) (Jiui)

∇ · (Jrr) = Jr + rJ

observese que el producto tensorial se escribe en el orden ki. Integrando

∫∇ · (Jrr) dV =

∫dS· (Jrr) = 0 =

∫(Jr + rJ) dV

donde se anula la integral de superficie porque la corriente esta localizada

∫Jr dV = −

∫rJ dV

con lo cual podemos escribir

∫rJ dV =

1

2

∫rJ dV +

1

2

∫rJ dV

∫rJ dV =

1

2

∫(rJ − Jr) dV (10.27)

Aplicando (10.27) para el segundo termino de la expansion (10.26) en su componente i se tiene

(r

c·∫

r′J′ dV ′)

i

=

(r

2c·∫ (

r′J′ − J′r′)dV ′)

i

=1

2cXj

∫ (X ′jJ

′i − J ′

jX′i

)dV ′

=1

2cXj

∫εjik

(r′ × J′)

kdV ′ = − 1

2cεijkXj

∫ (r′ × J′)

kdV ′

= −[

r

2c×∫

r′ × J′ dV ′]

i

=

[1

2c

∫r′ × J′ dV ′

]× r

≡ (m × r)i

Reiteramos aquı el uso de la convencion de suma sobre ındices repetidos. Se ha definido el momento dedipolo magnetico

m ≡ 1

2c

∫r× J dV (10.28)

tal como se ha definido, el momento de dipolo magnetico proviene de una diada antisimetrica, lo que hace quese comporte como un vector axial ya que con las tres componentes independientes de un tensor antisimetricode segundo orden, se puede formar un vector axial. Se puede observar que el dipolo magnetico a diferenciadel electrico, no depende nunca del origen, lo cual esta relacionado con el hecho de que no hay monopoloy por tanto el termino dipolar es el termino no nulo mas bajo (a menos que tambien sea nulo). En el casoelectrico, el dipolo es independiente del origen solo cuando la distribucion no tiene carga neta (monopolonulo).

10.9.1. Termino cuadrupolar

Calculamos

∇ · (JXiXjXk) = XiXjXk∇ · J + (J · ∇Xi)XjXk

+(J · ∇Xj)XiXk + (J · ∇Xk)XiXj

= JiXjXk +XiJjXk +XiXjJk


∇ · (Jrrr) = Jrr + rJr + rrJ∫∇ · (Jrrr) dV =

∫dS · (Jrrr) dV = 0 =

∫[Jrr + rJr + rrJ] dV

⇒∫

Jrr dV = −∫

[rJr + rrJ] dV

de modo que el tercer termino en la expansion del potencial es∫ [

3Jrr − JI r2]dV =

∫ [3

2(Jrr− rJr − rrJ)−JI r2

]dV (10.29)

desarrollemos el segundo termino de la izquierda en (10.29)

∇ ·(JXkr

2)

= ∇ · (JXkXlXl) = ∂i (JiXkXlXl)

= (∂iJi)XkXlXl + Ji (∂iXk)XlXl + 2JiXk (∂iXl)Xl

= Ji (δik)XlXl + 2JiXk (δil)Xl

= JkXlXl + 2JlXkXl

= Jkr2 + 2 (J · r)Xk

queda entonces∇ ·(Jrr2

)= r2J + 2 (J · r) r ⇒ r2J = ∇ ·

(Jrr2

)− 2 (J · r) r

de lo cual la segunda integral de volumen a la izquierda de (10.29) queda

∫JIr2 dV =

1

2

[∫JIr2 dV +

∫JIr2 dV

]

=1

2

[∫JIr2 dV +

∫ [∇ ·(JIrr2

)− 2 (JI · r) r

]dV

]

=1

2

[∫JIr2 dV − 2

∫(J · r) rI dV +

∫dS ·

(JIrr2

)]

nuevamente el termino de superficie se va y nos queda∫

JIr2 dV =1

2

∫ [JIr2 − 2 (J · r) rI

]dV

por tanto (10.29) queda∫ [

3Jrr− JI r2]dV =

1

2

∫ 3 (Jrr − rJr− rrJ) −

[r2JI − 2 (J · r) rI

]dV

=c

2Q

donde Q define el momento de cuadrupolo magnetico y es una triada o tensor de tercer rango. En compo-nentes el cuadrupolo se escribe

Qijk =1

c

∫ 3 (JiXjXk −XiJjXk −XiXjJk) − r2Jiδjk + 2JlXlXiδjk

dV

la traza con respecto a jk es nula∑3

j=1Qijj = 0. Cuantos elementos independientes tiene Qijk?.El potencial vectorial se escribe

A (r) =m× r

r3+

1

4r5Q : rr + . . .

Ai (r) =(m× r)i

r3+

1

4r5QijkXjXk

10.9. MULTIPOLOS MAGNETICOS 191

el campo magnetico en aproximacion dipolar se obtiene tomando el rotacional del termino dipolar en A

B (r) =3r (r · m) −m

r3

Este termino es identico en forma al campo dipolar electrostatico, no obstante en el caso de dipolos Fısicos, losdipolos electrico y magnetico difieren fuertemente en su estructura en el caso de campos cercanos. En formaanaloga al caso electrostatico seccion (8.1.4), podemos aquı encontrar la correccion que este termino dipolarrequiere para poder ser usado estadısticamente en regiones cercanas a las corrientes. Para ello requerimosque el campo corregido reproduzca el promedio obtenido en la Ec. (10.30), este campo corregido es

B (r) =3r (r · m) −m

r3+

8π

3m δ (r)

el termino extra es necesario para calcular el valor de la constante hiperfina de los atomos.Por ultimo, si bien es un arreglo mas ien artificial, conviene hacernos una idea de lo que es un dipolo

magnetico puro: lazo cerrado con todas sus dimensiones infinitesimales, ubicado en el origen y de tal formaque m = Ia sea constante de modo que el area a tiende a cero y la corriente tiende a infinito.

10.9.2. Multipolos magneticos esfericos

En analogıa con el caso electrostatico Seccion 8.1.2, podemos utilizar la expansion de |r− r ′|−1 enarmonicos esfericos Ec. (6.3), y la expresion (10.25) para obtener

A =1

c

∫J (r′)|r− r′|dV

′ =4π

c

∫J(r′) ∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

dV ′

A =4π

c

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[∫J(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

dV ′]

A =4π

c

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1q(M)lm

los multipolos magneticos esfericos tienen propiedades similares a los multipolos electricos esfericos. Porejemplo, el primer multipolo no nulo es independiente del origen.

10.9.3. Dipolo magnetico de una espira de corriente

Asumamos una espira plana como indica la figura ???. Para calcular el momento dipolar magneticohacemos el analogo unidimensional J dV → idl

m =1

2c

∫r× J dV =

i

2c

∮r× dl

Para calcular el valor de esta integral separamos el vector posicion r = r0 + r′. Donde r0 va desde el origenhasta un punto fijo que pasa por el plano de la espira y que esta encerrado por el lazo cerrado; r ′ es unvector que va desde el punto fijo en cuestion hasta el borde de la espira, es decri hasta el extremo de r.

m =i

2c

∮ (r′ + r0

)× dl =

i

2c

∮r′ × dl + r0 ×

∮dl =

i

2c

∮r′ × dl =

i

c(Area de la espira)n

donde hemos tenido en cuenta que∮dl = 0. En particular para espira plana

m =i

cArea n

donde n estarıa definido por la regla de la mano derecha.


10.9.4. Flujo de partıculas puntuales

Sean un conjunto de cargas puntuales qi de masas mi que viajan a velocidad vi, formando un flujodiscreto de carga. La densidad de corriente se escribe

J (r) =

N∑

i=1

ρivi =

N∑

i=1

qiδ (r− ri) vi

con lo cual el momento dipolar magnetico estara dado por

m =

∫r× J

2cdV =

1

2c

∫r×

N∑

i=1

qiviδ (r− ri) dV

m =1

2c

N∑

i=1

∫ri × viqi =

1

2c

∑

i=1

qimi

ri × pi =1

2c

∑

i=1

qimi

Li

si la relacion carga masa es la misma para todas las partıculas, el momento dipolar magnetico se simplifica

m =qL

2mc

esta es la relacion clasica entre el momento angular y el momento dipolar magnetico. Tal relacion es modi-ficada en mecanica cuantica por la introduccion del momento angular intrınseco.

10.10. Expansion multipolar de fuerza y torque

La fuerza que un elemento de carga dq que tiene velocidad v, experimenta en un campo magnetico es

dF =dq

c(v ×B) =

1

cρ (v ×B) dV =

1

c(ρv ×B) dV =

1

c(J ×B) dV

Por tanto, la fuerza que una distribucion de corriente J experimenta cuando esta inmersa en un campo Bes

F =1

c

∫(J×B) dV

En analogıa con el procedimiento realizado para la fuerza electrica (Sec. 8.3, p. 151), realizamos una expan-sion de B alrededor de algun punto r0 cercano a la distribucion J.

F =1

c

∫J (r) × [B (r0) + (r− r0) · ∇B (r0) + (r− r0) (r − r0) : ∇∇B + . . .] dV

=

[1

c

∫J (r) dV

]×B (r0) +

1

c

∫J (r) × [(r− r0) · ∇B (r0)]

+1

c

∫J (r) × [(r− r0) (r− r0) : ∇∇B] + . . .

El primer termino se anula ya que corresponde al monopolo magnetico, calculando los terminos dipolares ycuadrupolares se obtiene

F = ∇ (m · B) +∇6

(Q : B) + . . .

Para el torque, se tiene

~τ =

∫r× dF =

1

c

∫r× (J×B) dV

10.11. PROMEDIO VOLUMETRICO DEL CAMPO MAGNETICO 193

calculando solo el dipolo queda~τ = m ×B

que define el torque sobre un dipolo magnetico puntual. Al igual que en el caso electrostatico, este torquetiende a alinear al dipolo en direccion paralela al campo, es decir, es de caracter restaurador.

La expansion de la fuerza hasta orden dipolar nos lleva a definir un valor de la energıa potencial de laforma U = −m ·B. Sin embargo, es facil ver que esta no es la energıa total del sistema ya que para traer aldipolo m a su posicion final en el campo externo, es necesario hacer trabajo para mantener a la corrienteJ de la distribucion que se trae, de tal forma que mantenga a m constante. Sin embargo, este valor de laenergıa es util para el calculo los efectos que un campo magnetico tiene sobre los atomos como es el caso delefecto Zeeman, la estructura fina y la estructura hiperfina. Notese finalmente que esta energıa U dependede la velocidad ya que m depende de la densidad de corriente que a su vez depende de la velocidad.

10.11. Promedio volumetrico del campo magnetico

Para distribuciones localizadas de corrientes estacionarias, los promedios volumetricos de los camposmagneticos definidos sobre una esfera, tienen propiedades muy semejantes a las que se obtuvieron en laseccion (8.1.4), para el campo electrostatico de una distribucion localizada de cargas. La expresion analogaa la Ec. (??) (ver seccion 8.1.4), es

∫

r<RB dV =

4π

3c

∫ (R2r<r′r2>

)r′ × J

(r′)dV ′

donde r> es el mayor entre r′ y R, con el origen en el centro de la esfera. La integracion en las variablesprimadas se realiza en toda la region en donde hay corriente, sin importar si esta region es interior o exteriora la esfera. La expresion (??), es valida para cualquier tamano y ubicacion de la esfera. En particular, sitoda la densidad de corriente esta contenida en la esfera, entonces r ′ = r< quedando

∫

r<RB dV =

8π

3m (10.30)

donde

m ≡ 1

2c

∫r× J dV

es el dipolo magnetico y es el primer termino en la expansion multipolar del potencial vectorial, como vimosen la seccion (10.9). Si por otro lado, la esfera es totalmente externa a la carga se tiene

1

Vesfera

∫

r<RB dV = B (0) (10.31)

vale la pena mencionar que estos resultados son exactos, y no dependen de la aproximacion dipolar delcampo, en analogıa con lo que ocurre con los campos electrostaticos.

10.12. Problemas resueltos de magnetostatica

Los siguientes son problemas planteados en el texto de Sepulveda, capıtulo de magnetostatica1) (Sepulveda pag 197). La densidad de corriente producida por un electron 2p en el atomo de hidrogeno

es:

J = uϕq~

32ma50

e−r/a0r sin θ

evaluar A (r).


Debemos hallar A (r), para todo el espacio. La expresion para A (r) con condiciones de Dirichlet es

A (r) =1

c

∫

VJ(r′)G(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∮∂G

∂n′A(r′)dS′

si las fornteras estan en el infinito,G es la funcion de Green para espacio infinito, y la integral de superficiese anula obteniendose

A (r) =1

c

∫

VJ(r′)G(r, r′

)dV ′ =

1

c

∫

V

J (r′)|r− r′| dV

′ (10.32)

utilizando el diferencial de volumen en coordenadas esfericas y la expansion de G en armonicos esfericos(6.3), se obtiene

A (r) =1

c

∫

V

[uϕ

q~

32ma50

e−r′/a0r′ sin θ′

][4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

]r′2 dr′ dΩ′

A (r) =4π

c

q~

32ma50

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[∫uϕ sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

][∫rl<

rl+1>

r′3e−r′/a0 dr′

](10.33)

realizamos primero la integracion angular

AΩ =

∫ 2π

0

∫ π

0uϕ sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

recordando la expresion para el vector unitario uϕ = −ux sinϕ′ + uy cosϕ′ y utilizando las expresiones

sinϕ′ =eiϕ

′ − e−iϕ′

2i; cosϕ′ =

eiϕ′+ e−iϕ

′

2

se tiene

AΩ =

∫ 2π

0

∫ π

0

[−ux

(eiϕ

′ − e−iϕ′

2i

)+ uy

(eiϕ

′+ e−iϕ

′

2

)]sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

AΩ =

∫ 2π

0

∫ π

0

[−ux

(eiϕ

′

2i

)]sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ +

∫ 2π

0

∫ π

0

[ux

(e−iϕ

′

2i

)]sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ +

∫ 2π

0

∫ π

0

[uy

(eiϕ

′

2

)]sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ +

∫ 2π

0

∫ π

0

[uy

(e−iϕ

′

2

)]sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

definiendo

AΩ1 ≡∫ 2π

0

∫ π

0eiϕ

′sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ ; AΩ2 ≡

∫ 2π

0

∫ π

0e−iϕ

′sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

obtenemosAΩ =

uy2

(AΩ1 +AΩ2) −ux2i

(AΩ1 −AΩ2)

en lo que sigue seran utiles las siguientes expresiones

Y11 (θ, ϕ) = −√

3

8πsin θ eiϕ ; Yl,−m (θ, ϕ) = (−1)m Y ∗

lm (θ, ϕ) (10.34)

calculemos AΩ1, de las anteriores indentidades tenemos que sin θ eiϕ = −√

8π/3Y11 (θ, ϕ) sustituyendo estoen la expresion para AΩ1

AΩ1 ≡ −√

8π

3

∫ 2π

0

∫ π

0Y11

(θ′, ϕ′) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ = −

√8π

3δl1δm1

10.12. PROBLEMAS RESUELTOS DE MAGNETOSTATICA 195

calculamos ahora AΩ2. Conjugando la identidad antes usada se tiene sin θ e−iϕ = −√

8π/3Y ∗11 (θ, ϕ), y

usando la segunda identidad (10.34), sin θ e−iϕ =√

8π/3Y1,−1 (θ, ϕ), sustituyendo en la expresion para AΩ2

AΩ2 ≡√

8π

3

∫ 2π

0

∫ π

0Y1,−1 (θ, ϕ) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ =

√8π

3δl1δm,−1

la integral angular queda

AΩ =uy2

(−√

8π

3δl1δm1 +

√8π

3δl1δm,−1

)− ux

2i

(−√

8π

3δl1δm1 −

√8π

3δl1δm,−1

)

AΩ = uy

√2π

3δl1 (−δm1 + δm,−1) − iux

√2π

3δl1 (δm1 + δm,−1)

AΩ =

√2π

3δl1 [uy (−δm1 + δm,−1) − iux (δm1 + δm,−1)]

sustituımos esta expresion en (10.33)

A (r) =4π

c

q~

32ma50

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

√2π

3δl1 [uy (−δm1 + δm,−1) − iux (δm1 + δm,−1)]

[∫rl<

rl+1>

r′3e−r′/a0 dr′

]

A (r) =4π

c

√2π

3

q~

32ma50

1∑

m=−1

Y1m (θ, ϕ)

2 + 1uy (−δm1 + δm,−1) − iux (δm1 + δm,−1)

[∫r<r2>r′3e−r

′/a0 dr′]

A (r) =4π

3c

√2π

3

q~

32ma50

1∑

m=−1

[uyY1m (θ, ϕ) (−δm1 + δm,−1) − iuxY1m (θ, ϕ) (δm1 + δm,−1)] Ar

A (r) =π

24c

√2π

3

q~

ma50

uy [−Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ)] − iux [Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ)] Ar (10.35)

donde hemos definido

Ar =

∫r<r2>r′3e−r

′/a0 dr′

tomando la expresion explıcita para Y11 (θ, ϕ) y Y1,−1 (θ, ϕ)

√3/8π sin θ e−iϕ = Y1,−1 (θ, ϕ) ; −

√3/8π sin θ eiϕ = Y11 (θ, ϕ)

−Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ) =√

3/8π sin θ eiϕ +√

3/8π sin θ e−iϕ = 2√

3/8π sin θ cosϕ =

√3

2πsin θ cosϕ

Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ) = −√

3/8π sin θ eiϕ +√

3/8π sin θ e−iϕ = −2i√

3/8π sin θ sinϕ = −i√

3

2πsin θ sinϕ

sustituyendo en (10.35)

A (r) =π

24c

√2π

3

q~

ma50

uy

[√3

2πsin θ cosϕ

]− iux

[−i√

3

2πsin θ sinϕ

]Ar

A (r) =π

24c

√3

2π

√2π

3

q~

ma50

sin θ uy cosϕ− ux sinϕ Ar

A (r) =

[πq~

24cma50

sin θ

]uϕ Ar (10.36)


debemos ahora evaluar la integral radial Ar, para lo cual partimos la integral entre [0, r], y (r,∞)

Ar =

∫r<r2>r′3e−r

′/a0 dr′ =

∫ r

0

r′

r2r′3e−r

′/a0 dr′ +∫ ∞

r

r

r′2r′3e−r

′/a0 dr′

Ar =1

r2

∫ r

0r′4e−r

′/a0 dr′ + r

∫ ∞

rr′e−r

′/a0 dr′

hacemos el cambio de variable x = r′/a0

Ar =1

r2

∫ r/a0

0(a0x)

4 e−x a0 dx+ r

∫ ∞

r/a0

a0x e−x a0 dx

Ar =a5

0

r2

∫ r/a0

0x4e−x dx+ a2

0 r

∫ ∞

r/a0

x e−x dx ≡ a50

r2Ar2 + a2

0 r Ar1 (10.37)

Ar1 se calcula facilmente por partes con u = x, dv = e−xdx

∫x e−x dx = −xe−x −

∫−e−xdx = −xe−x +

∫e−xdx = −e−x (x+ 1) ⇒

Ar1 =

∫ ∞

r/a0

x e−x dx = e−r/a0(

1 +r

a0

)

Ar2 se puede hacer por partes en forma sucesiva, comenzando con u1 = x4, dv1 = e−xdx, para las siguientesintegrales se tiene u2 = x3, dv2 = e−xdx y ası sucesivamente

∫x4e−x dx = −x4e−x + 4

∫x3e−xdx = −x4e−x + 4

(−x3e−x + 3

∫x2e−xdx

)

= −x4e−x + 4

[−x3e−x + 3

(−x2e−x + 2

∫xe−xdx

)]

= −x4e−x − 4x3e−x − 12x2e−x + 24

∫xe−xdx

= −x4e−x − 4x3e−x − 12x2e−x − 24e−x (1 + x)

∫x4e−x dx = −e−x

[x4 + 4x3 + 12x2 + 24x+ 24

]

Ar2 =

∫ r/a0

0x4e−x dx = 24 − e−r/a0

[(r

a0

)4

+ 4

(r

a0

)3

+ 12

(r

a0

)2

+ 24

(r

a0

)+ 24

]

la integral radial (10.37) queda

Ar =a5

0

r2

24 − e−r/a0

[(r

a0

)4

+ 4

(r

a0

)3

+ 12

(r

a0

)2

+ 24

(r

a0

)+ 24

]+ a2

0 r

e−r/a0

(1 +

r

a0

)

factorizando adecuadamente

Ar =a5

0

r2e−r/a0

24er/a0 −

[(r

a0

)4

+ 4

(r

a0

)3

+ 12

(r

a0

)2

+ 24

(r

a0

)+ 24

]+a5

0

r2e−r/a0

[(r

a0

)3

+

(r

a0

)4]

Ar =a5

0

r2e−r/a0

24er/a0 − 3

(r

a0

)3

− 12

(r

a0

)2

− 24

(r

a0

)− 24


Ar = −3a50

r2e−r/a0

−8er/a0 +

(r

a0

)3

+ 4

(r

a0

)2

+ 8

(r

a0

)+ 8

Ar = −3a50

r2e−r/a0

(r

a0

)3

+ 4

(r

a0

)2

+ 8

(r

a0

)+ 8

(1 − er/a0

)(10.38)

reemplazando (10.38) en (10.36) se tiene

A (r) =

[−3a5

0

r2e−r/a0

πq~

24cma50

sin θ

]uϕ

[(r

a0

)3

+ 4

(r

a0

)2

+ 8

(r

a0

)+ 8

(1 − er/a0

)]

A (r) = −πq~ sin θ

8mcr2e−r/a0

[(r

a0

)3

+ 4

(r

a0

)2

+ 8

(r

a0

)+ 8

(1 − er/a0

)]uϕ

———————–

———————–

2) Sepulveda pag 201. Evaluar A y B para un sistema de dos anillos con corrientes i1 e i2 y radios a yb, separados una distancia 2h. Los planos de los anillos son paralelos y concentricos.

Primero calculamos la densidad volumetrica equivalente J = J1 + J2

J dV = I1 dl1 + I2 dl2, dl1 = a dϕ uϕ, dl2 = b dϕ uϕ

∫J1 dV =

∫I1 a dϕ uϕ

∫ δ(r −

√h2 + a2

)

r2r2 dr

∫δ (cos θ − cos θ1) sin θ dθ

=

∫ I1 a

δ(r −

√h2 + a2

)

h2 + a2δ

(cos θ − h√

h2 + a2

)uϕ

sin θ dθ dϕ r2 dr

⇒ J1 = I1 aδ(r′ −

√h2 + a2

)δ(cos θ′ − h√

h2+a2

)

h2 + a2uϕ′

para la otra corriente (debajo del plano XY), el angulo θ2 viene dado por θ2 = π−α0, donde α0 es el anguloagudo entre el eje Z negativo y la posicion de un punto en el alambre 2 de modo que

cos θ2 = cos (π − α0) = − cosα0 = − h√h2 + b2

y la densidad equivalente para el alambre 2 es

J1 = I2 bδ(r′ −

√h2 + b2

)δ(cos θ + h√

h2+b2

)

h2 + b2uϕ

por brevedad escribiremos

R1 ≡√h2 + a2 , R2 ≡

√h2 + b2 , cos θ1 =

h√h2 + a2

, cos θ2 = − h√h2 + b2

la densidad de corriente euqivalente total es

J1 =

[I1 a δ (r′ −R1) δ (cos θ′ − cos θ1)

R21

+I2 b δ (r′ −R2) δ (cos θ′ − cos θ2)

R22

]uϕ′


usando la expresion de A, para espacio infinito, con expansion G en armonicos esfericos

A (r) =1

c

∫

V

[I1 a δ (r′ −R1) δ (cos θ′ − cos θ1)

R21

+I2 b δ (r′ −R2) δ (cos θ′ − cos θ2)

R22

]uϕ′

×[4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

]r′2 dr′ dΩ′

evaluamos la integral sobre un solo alambre ya que el resultado se extrapola facilmente para el otro

A1 (r) =1

c

∫

V

[I1 a δ (r′ −R1) δ (cos θ′ − cos θ1)

R21

uϕ′

][4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

]r′2 dr′ dΩ′

A1 (r) =4πaI1cR2

1

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[∫δ(cos θ′ − cos θ1

)uϕ′Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

][∫rl<

rl+1>

r′2 δ(r′ −R1

)dr′]

A1 (r) =4πaI1cR2

1

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1AθAr (10.39)

Aθ ≡∫δ(cos θ′ − cos θ1

)uϕ′Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ ; Ar ≡

∫rl<

rl+1>

r′2 δ(r′ −R1

)dr′

evaluemos la integral angular

Aθ =

∫ 2π

0

[∫ π

0δ(cos θ′ − cos θ1

)sin θ′ dθ′

]uϕ′Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dϕ′ =

∫ 2π

0uϕ′Y ∗

lm

(θ′1, ϕ

′) dϕ′

Aθ =

∫ 2π

0

[−ux sinϕ′ + uy cosϕ′]Y ∗

lm

(θ′1, ϕ

′) dϕ′ = −ux

∫ 2π

0sinϕ′Y ∗

lm

(θ′1, ϕ

′) dϕ′ + uy

∫ 2π

0cosϕ′Y ∗

lm

(θ′1, ϕ

′) dϕ′

Aθ = −ux

∫ 2π

0

(eiϕ

′ − e−iϕ′

2i

)√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ1) e

−imϕ′dϕ′

+uy

∫ 2π

0

(eiϕ

′+ e−iϕ

′

2

)√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ1) e

−imϕ′dϕ′

Aθ = −ux

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ1)

∫ 2π

0

(eiϕ

′ − eiϕ′

2i

)e−imϕ

′dϕ′

+uy

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ1)

∫ 2π

0

(eiϕ

′+ eiϕ

′

2

)e−imϕ

′dϕ′

usando las expresiones ∫ 2π

0e±iϕ

′e−imϕ

′dϕ′ = 2πδm,±1

Aθ =

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!

2π

2Pml (cos θ1) [iux (δm1 − δm,−1) + uy (δm1 + δm,−1)]

Aθ = πiux

[√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm1 −

√2l + 1

4π

(l + 1)!

(l − 1)!P−1l (cos θ1) δm,−1

]

+πuy

[√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm1 +

√2l + 1

4π

(l + 1)!

(l − 1)!P−1l (cos θ1) δm,−1

]


usando la identidad

P−1l (cos θ) = − (l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ)

Aθ = πiux

[√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm1 +

√2l + 1

4π

(l + 1)!

(l − 1)!

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm,−1

]

+πuy

[√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm1 −

√2l + 1

4π

(l + 1)!

(l − 1)!

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm,−1

]

Aθ = π

√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) [iux (δm1 + δm,−1) + uy (δm1 − δm,−1)]

Aθ =1

2

√(2l + 1) π

l (l + 1)P 1l (cos θ1) [iux (δm1 + δm,−1) + uy (δm1 − δm,−1)]

reemplazando en (10.39)

A1 (r) =4πaI1cR2

1

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

×

1

2

√(2l + 1) π

l (l + 1)P 1l (cos θ1) [iux (δm1 + δm,−1) + uy (δm1 − δm,−1)]

Ar

A1 (r) =2πaI1cR2

1

∞∑

l=1

√π

(2l + 1) l (l + 1)×Ar

×P 1l (cos θ1) iux [Yl,1 (θ, ϕ) + Yl,−1 (θ, ϕ)] + uy [Yl,1 (θ, ϕ) − Yl,−1 (θ, ϕ)]

observese que la suma sobre l comienza desde 1 y no desde cero, ya que como los unicos valores permitidosde m son ±1, el termino l = 0, estarıa prohibido. Por otro lado

Yl,1 (θ, ϕ) + Yl,−1 (θ, ϕ) = Yl,1 (θ, ϕ) − Y ∗l,1 (θ, ϕ) = 2iRe [Yl,1 (θ, ϕ)]

= 2i

√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ) cosϕ

= i

√2l + 1

πl (l + 1)P 1l (cos θ) cosϕ

Yl,1 (θ, ϕ) − Yl,−1 (θ, ϕ) = Yl,1 (θ, ϕ) + Y ∗l,1 (θ, ϕ) = 2Im [Yl,1 (θ, ϕ)]

=

√2l + 1

πl (l + 1)P 1l (cos θ) sinϕ

reemplazando en la expresion para A1

A1 (r) =2πaI1cR2

1

∞∑

l=1

√π√

(2l + 1) l (l + 1)×Ar P

1l (cos θ1)

iux

[i

√2l + 1

πl (l + 1)P 1l (cos θ) cosϕ

]+ uy

[√2l + 1

πl (l + 1)P 1l (cos θ) sinϕ

]


A1 (r) =2πaI1cR2

1

∞∑

l=1

Arl (l + 1)

P 1l (cos θ1)P

1l (cos θ) −ux cosϕ+ uy sinϕ

A1 (r) =2πaI1cR2

1

∞∑

l=1

P 1l (cos θ1)P

1l (cos θ)

l (l + 1)uϕ Ar

ahora debemos evaluar la integral radial

Ar =

∫rl<

rl+1>

r′2 δ(r′ −R1

)dr′

para lo cual consideramos dos intervalosa) si r < R1 ⇒ r < r′

Ar = rl∫ ∞

r

1

(r′)l+1r′2 δ

(r′ −R1

)dr′ = rl

∫ ∞

r

1

(r′)l−1δ(r′ −R1

)dr′ =

rl

R(l−1)1

b) si r > R1 ⇒ r > r′

Ar =1

rl+1

∫ r

0

(r′)lr′2 δ

(r′ −R1

)dr′ =

1

rl+1

∫ r

0

(r′)l+2

δ(r′ −R1

)dr′ =

R(l+2)1

rl+1

podemos sintetizar la expresion de Ar de la siguiente manera

Ar = R1

[(r

R1

)lΘ(R1 − r) +

(R1

r

)l+1

Θ(r −R1)

]

la expresion final para A1 es

A1 (r) =2πaI1cR1

∞∑

l=1

P 1l (cos θ1)P

1l (cos θ)

l (l + 1)uϕ

[(r

R1

)lΘ(R1 − r) +

(R1

r

)l+1

Θ(r −R1)

]

la expresion para A2 se obtiene simplemente reemplazando cos θ1 → cos θ2, a → b, I1 → I2, R1 → R2.Escribiremos el potencial vectorial total A = A1 + A2 en forma sintetica

A (r) =2πuϕc

∞∑

l=1

P 1l (cos θ)

l (l + 1)

aI1P

1l (cos θ1)

R1Fl (r,R1) +

bI2P1l (cos θ2)

R2Fl (r,R2)

cos θ1 =h√

h2 + a2; cos θ2 = − h√

h2 + b2; R1 ≡

√h2 + a2 ; R2 ≡

√h2 + b2

Fl (r,R) ≡( rR

)lΘ(R− r) +

(R

r

)l+1

Θ(r −R)

ahora evaluamos el campo electrico, para lo cual tendremos en cuenta que para A = Auϕ el rotacionalvendra dado por

∇×A =ur

r sin θ

∂

∂θ(A sin θ) − uθ

r

∂

∂r(rA)

∇×A =2πurcr sin θ

∞∑

l=1

∂∂θ

[sin θ P 1

l (cos θ)]

l (l + 1)

aI1P

1l (cos θ1)

R1Fl (r,R1) +

bI2P1l (cos θ2)

R2Fl (r,R2)

−2πuθcr

∞∑

l=1

P 1l (cos θ)

l (l + 1)

aI1P

1l (cos θ1)

R1

∂

∂r[rFl (r,R1)] +

bI2P1l (cos θ2)

R2

∂

∂r[rFl (r,R2)]


utilizamos la identidad

dP 1l (cos θ)

dθ= P 2

l (cos θ) + cot θ P 1l (cos θ) ⇒

∂

∂θ

[sin θ P 1

l (cos θ)]

= 2 cos θ P 1l (cos θ) + sin θ P 2

l (cos θ)

toda la contribucion angular en θ para la componente ur se puede escribir como

∂∂θ

[sin θ P 1

l (cos θ)]

sin θ= 2 cot θ P 1

l (cos θ) + P 2l (cos θ)

por otro lado las derivadas radiales se escriben

∂

∂r[rF (r,R)] = (l + 1)

( rR

)lΘ(R− r) − l

(R

r

)l+1

Θ(r −R)

el campo magnetico se puede escribir sinteticamente como

B =2πurcr

∞∑

l=1

Zl (θ)

l (l + 1)

aI1P

1l (cos θ1)

R1Fl (r,R1) +

bI2P1l (cos θ2)

R2Fl (r,R2)

−2πuθcr

∞∑

l=1

P 1l (cos θ)

l (l + 1)

aI1P

1l (cos θ1)

R1Hl (r,R1) +

bI2P1l (cos θ2)

R2Hl (r,R2)

Zl (θ) ≡ 2 cot θ P 1l (cos θ) + P 2

l (cos θ) ; H (r,R) ≡ (l + 1)( rR

)lΘ(R− r) − l

(R

r

)l+1

Θ(r −R)

si a = b se obtienen los anillos de Helmholtz, en tal caso R1 = R2, cos θ1 = − cos θ2. Vamos a suponeradicionalmente que i1 = i2, usando la relacion Pl (−x) = (−1)l Pl (x) se puede ver que

Pl (cos θ2) = Pl (− cos θ1) = (−1)l Pl (cos θ1)

de modo que

Bh =4πaI1urcrR1

∞∑

l=1

Zl (θ)

l (l + 1)

[P 1l (cos θ1) + (−1)l Pl (cos θ1)

]Fl (r,R1)

−4πaI1uθcrR1

∞∑

l=1

P 1l (cos θ)

l (l + 1)

[P 1l (cos θ1) + (−1)l Pl (cos θ1)

]Hl (r,R1)

por lo tanto cuando a = b, e I1 = I2, las contribuciones impares de l se anulan y el campo magnetico sereduce a

Bh =4πaI1urcrR1

∞∑

l=1

Z2l (θ)

2l (2l + 1)P 1

2l (cos θ1)F2l (r,R1)

−4πaI1uθcrR1

∞∑

l=1

P 12l (cos θ)

2l (2l + 1)P 1

2l (cos θ1)H2l (r,R1)

Bh =4πaI1crR1

∞∑

l=1

P 12l (cos θ1)

2l (2l + 1)

[urZ2l (θ) F2l (r,R1) − uθP

12l (cos θ) H2l (r,R1)

]

para obtener el valor aproximado de Bh cerca al origen coordenado, se observa que r/R1 << 1. Por tantopodemos tomar solo el termino de primer orden en r/R1, en las expresiones de F2l (r,R1) y H2l (r,R1), locual equivale a tomar solo el termino l = 1 en la sumatoria

Bh ≈ 4πaI1crR1

P 12 (cos θ1)

2 (2 + 1)

[urZ2 (θ) F2 (r,R1) − uθP

12 (cos θ) H2 (r,R1)

]


teniendo en cuenta que r < R1 ⇒ Θ(r −R1) = 0 y se tiene

Bh ≈ 4πaI1crR1

P 12 (cos θ1)

6

ur[2 cot θ P 1

2 (cos θ) + P 22 (cos θ)

] ( r

R1

)2

−uθP12 (cos θ)

[3

(r

R1

)2]

usando las identidades

P 12 (x) = −3x

√(1 − x2) ; P 2

2 (x) = 3(1 − x2

)⇒

P 12 (cos θ) = −3 cos θ sin θ = −3

2sin 2θ ; P 2

2 (cos θ) = 3 sin2 θ

el campo magnetico Bh cerca al origen es

Bh ≈ 4πaI1crR1

(−3

2 sin 2θ1)

6

ur

[2 cot θ

(−3

2sin 2θ

)+ 3 sin2 θ

] (r

R1

)2

−uθ

(−3

2sin 2θ

) [3

(r

R1

)2]

Bh ≈ πaI1crR1

sin 2θ1

(r

R1

)2ur[3 cot θ sin 2θ − 3 sin2 θ

]− 3uθ

(3

2sin 2θ

)

Bh ≈ 3πaI1crR1

(r

R1

)2

sin 2θ1

ur[2 cos2 θ − sin2 θ

]− 3

2uθ sin 2θ

Bh ≈ 3πaI1crR1

(r

R1

)2

sin 2θ1

ur[3 cos2 θ − 1

]− 3

2uθ sin 2θ

Capıtulo 11

Magnetostatica de medios materiales

11.1. Magnetizacion

En la materia existen corrientes microscopicas (electrones y tal vez iones en movimiento). Estas cor-rientes microscopicas dan lugar a dipolos magneticos microscopicos cuando el material se sumerge en uncampo magnetico B; por reorientacion surgen entonces efectos macroscopicos. No obstante, la forma en queresponden los cuerpos a un campo magneticos nos lleva a tres grandes tipos de materiales: paramegneticos,diamagneticos y ferromagneticos. Los dos primeros tienen usualmente una respuesta lineal y no dependen dela historia del material, por el contrario el ferromagnetismo es un fenomeno no lineal que ademas dependede la historia del material, diferiremos la discusion de estos ultimos para el final del capıtulo. Aunque la ex-plicacion mas satisfactoria de todos estos fenomenos yace en la mecanica cuantica, haremos un acercamientocualitativo clasico o semiclasico a estos fenomenos.

11.1.1. Paramagnetismo

En la seccion (10.10) vimos que el torque generado por un dipolo magnetico viene dado por

~τ = m ×B

esta forma funcional del torque es identica a la que se encontro para el caso electrostatico Ec. (9.2), donde~τ = p × E. Y al igual que en el caso electrostatico, este torque es de tipo restaurador, de modo que tiendea alinear a los campos en la direccion paralela al campo B. Cuando los materiales alinean sus momentosdipolares (en promedio) en la direccion paralela al campo se habla de materiales paramagneticos. Porotro lado, el movimiento electronico en los atomos produce un momento dipolar1, que genera esta clasede torque restaurador en presencia de un campo B externo. Sin embargo, la mayor contribucion a m lada el momento dipolar intrınseco (momento magnetico de espın µs), y dado que el principio de exclusionde Pauli en mecanica cuantica “organiza” a los electrones en pares con valor opuesto de µs, existe unacancelacion de estos torques a menos que el numero de electrones sea impar. De esta forma, el fenomenodel paramagnetismo se observa generalmente en atomos con numero impar de electrones. Por supuesto, laalineacion no es perfecta dados los efectos termicos y las interacciones con atomos vecinos.

11.1.2. Diamagnetismo

Aun una discusion clasica del diamagnetismo requiere de la ley de induccion de Faraday, por lo cualharemos una breve discusion que sera complementada cuando lleguemos a campos dependientes del tiempo.

1Se podrıa decir que el electron como partıcula no produce una corriente estacionaria. Sin embargo, si reemplazamos estavision por la de una nube electronica podemos ver al electron mas como una esfera rotante de carga, que por tanto puede enpromedio mantener una corriente estacionaria.

203

204 CAPITULO 11. MAGNETOSTATICA DE MEDIOS MATERIALES

Podemos ver los dipolos magneticos en la materia como una serie de espiras cerradas de corrientes mi-croscopicas (usualmente de electrones). Consideremos la corriente microscopica producida por un electroncon enorme frecuencia orbital, en tal caso se puede tomar la corriente del electron como si fuera estacionar-ia. Si este lazo de corriente se introduce en un campo B, y este campo depende del tiempo, se produceun fenomeno de induccion debido al cambio del flujo en la espira, este fenomeno de induccion tambien sepuede producir si el campo es no uniforme y la espira se mueve inmersa en el campo. Como veremos masadelante, este fenomeno de induccion produce un cambio en el momento dipolar que se opone al campo i.e.∆m = −KB, este fenomeno de induccion sobre la espira microscopica da lugar al diamagnetismo el cuales tıpicamente de menor magnitud que el paramagnetismo, sin embargo, el paramagnetismo se ve usualmentemuy apantallado en atomos con numero par de electrones como ya se discutio, en tal caso el diamagnetismose vuelve un fenomeno importante.

Como comentario final, es bien sabido que en la vida diaria conocemos la interaccion magnetica por mediode objetos ferromagneticos (imanes, brujulas etc.), la razon es que los fenomenos diamagnetico y param-agnetico, son mucho mas debiles y por tanto la materia ordinaria no produce un fenomeno de imanacionapreciable macroscopicamente, salvo con instrumentos muy sensibles.

11.1.3. Ferromagnetismo

Este fenomeno al igual que el paramagnetismo, se debe a la alineacion de espines en electrones desaparea-dos. Pero la diferencia con este, consiste en que existen fuertes correlaciones entre los momentos magneticosvecinos de manera que un dipolo tiende a alinearse paralelamente a sus vecinos. El origen de esta correlaciones mecanico cuantica. Sin embargo esta alineacion solo ocurre en pequenas regiones conocidas como do-minios magneticos, pero los dominios sı estan aleatoriamente orientados de modo que se anula el campomacroscopico generado. Sin embargo, colocando una pieza de este material en un campo magnetico intensose genera un torque que tiende a alinear a los dipolos a lo largo del campo, pero la mayorıa de los dipolosse resisten al cambio en virtud de las fuertes correlaciones. No obstante, en la frontera entre dos dominioshay tensiones entre los dipolos de uno u otro dominio debido a que estan orientados de forma diferente, y eltorque tiende a favorecer al lado de la frontera en donde los dipolos tienen una direccion mas cercana a ladel campo, de modo que se modifican las fronteras de los dominios tal que crecen los dominios paralelos alcampo en tanto que los otros decrecen. Cuando el campo es muy intenso, un dominio puede ocupar todo elmaterial y se llega a una saturacion.

El fenomeno anterior no es completamente reversible, si ahora se apaga el campo, aunque se recuperaparte de la aleatoriedad de los dominios, sigue existiendo una preponderancia de los dominios en la direcciondel campo que se apago. El objeto permanece magnetizado o imanado.

Una forma de producir un iman permanente es usando una bobina e introduciendo un nucleo dehierro en ella. Cuando se aumenta la corriente (y por lo tanto el campo) se mueven los dominios y crecela magnetizacion (M), hasta alcanzar un punto de saturacion en el cual todos los dipolos estan alineadosy un incremento en la corriente ya no tiene efecto sobre M. Si ahora reducimos la corriente, tambien sereduce la magnetizacion pero no volvemos sobre el mismo camino, en particular al pasar por I = 0, todavıahay magnetizacion es decir predominan los dominios paralelos al campo. Ahora aumentamos la corrientepero en la direccion contrario (campo en direccion contraria al original) hasta anular la magnetizacion,y si seguimos aun aumentado esta corriente, encontramos una corriente de saturacion y la magnetizacionaquı ya no aumenta mas (y va en direccion contraria a la magnetizacion original). Una vez que llegamos a lasaturacion disminuımos el valor de la corriente hasta llegar a cero encontrando aun una magneitzacion (denuevo contraria en direccion a la magnetizacion original que obtuvimos con I = 0), de nuevo aumentandola corriente (en la direccion original) podemos anular en un cierto punto la magnetizacion y si seguimosaumentando llegamos de nuevo a un punto de saturacion completando un lazo de Histeresis, de modo quela magnetizacion no depende solo del campo aplicado sino de la historia del material. Adicionalemente, esun fenomeno altamente no lineal.

Es logico pensar que al aumentar la temperatura la alineacion de los dominios se destruya por la agitacion

11.2. CAMPO GENERADO POR OBJETOS MAGNETIZADOS 205

termica. No obstante, existe ademas una tempreatura crıtica (temperatura de Curie) a la cual ocurre unatransicion de fase y el material abruptamente se vuelve paramagnetico.

11.1.4. Consecuencias de la ausencia de monopolos magneticos

Debido a la gran cantidad de expresiones matematicas que se asemejan entre el caso electrostatico y elmagnetostatico, es usual en algunos contextos visualizar “cargas magneticas” a una cierta distancia una deotra. Esta imagen es muy efectiva para muchos propositos, en particular para las aproximaciones de campolejano (modelo de Gilbert). Sin embargo, como ya se discutio, la forma de los dipolos fısicos para regionescercanas a las distribuciones, es drasticamente diferente para los dipolos electrostaticos y magnetostaticos.Otro aspecto draticamente diferente es la ausencia de monopolos magneticos. Este fenomeno se puede vercuando se hacen sucesivos cortes a un iman, en ese caso no nos quedamos con un polo norte y un polo sur porseparado, sino que automaticamente se generan nuevos polos en las nuevas piezas, de tal manera que cadauna adquiere polos norte y sur. Una imagen pictorica de la situacion se ve si miramos a una bobina comoun conjunto de espiras independientes muy cercanas, si separamos en dos mitades esta bobina, el campoque se genera en cada espira se sigue pareciendo al de la bobina original ya que se “reorganizan” los efectosde borde. Este procedimiento no evita que las nuevas lıneas de campo se cierren sobre sı mismas. Otroprocedimiento imaginable es cortar las espiras, pero este proceso simplemente desemboca en la desaparicionde la corriente y por tanto, del campo magnetico. Aquı tenemos una caracterıstica esencialmente diferenteal caso electrostatico, si una carga puntual (elemento fundamental de carga) la dividimos en dos mitades, seproducen dos cargas que generan campos con intensidades tambien divididas por dos. El lazo de corrienteen cambio, es indivisible como elemento generador de campo B. Esto esta relacionado con el hecho de queexiste un principio de conservacion de la carga, en tanto que no hay un principio de conservacion de lacorriente.

Por esta razon, la imagen mas precisa es ver a los dipolos puros como pequenos lazos de corriente(modelo de Ampere), lo cual refleja mas la esencia de esta interaccion. La posibilidad de existencia demonopolos magneticos en etapas primigenias del universo, es un tema de gran interes en la literaturacientıfica contemporanea.

11.2. Campo generado por objetos magnetizados

Asumiremos que los materiales magnetizables se pueden describir por medio de dipolos magneticos. Sigu-iente un proceso analogo al caso electrico, definimos un vector de magnetizacion del material M ≡ dm/dV =∑Ni〈mi〉 siendo Ni la densidad de atomos o moleculas del tipo i y 〈mi〉 su momento dipolar promedio.

En general la magnetizacion es funcion de la posicion. No consideramos en esta seccion corrientes libres.Ademas ignoraremos que tipo de material tenemos y por tanto de donde proviene el valor M, simplementeasumiremos que lo conocemos. El potencial dA generado por un elemento dV de material magnetizado enr es

dA (r) =dm × (r− r′)

|r− r′|3=

M (r′) × (r− r′)

|r− r′|3dV ′

A (r) =

∫M (r′) × (r− r′)

|r− r′|3dV ′ , ∇

(1

|r− r′|

)= − (r− r′)

|r − r′|3(11.1)

A (r) = −∫

M(r′)×∇

(1

|r − r′|

)dV ′ (11.2)

teniendo en cuenta la identidad vectorial

∇× (Mf) = f∇×M −M×∇f

A (r) =

∫ [∇×

(M (r′)|r− r′|

)− ∇×M (r′)

|r− r′|

]dV ′ = ∇×

∫M (r′)|r− r′| dV

′


donde hemos tenido en cuenta que ∇× M (r′) = 0 ya que ∇ actua sobre las coordenadas r. Definiendo elvector de Hertz magnetostatico

Πm (r) ≡∫

M (r′)|r− r′| dV

′ ⇒ A (r) = ∇× Πm (r)

Conocido M, el vector de Hertz es en general mas facil de evaluar que la ecuacion original para A. Ademasdebe tenerse en cuenta que la magnetizacion es usualmente mas facil de medir que las corrientes. Otrometodo alternativo para encontrar A (r) en funcion de la magnetizacion M es el siguiente:

A (r) =

∫M (r′) × (r− r′)

|r− r′|3dV ′ =

∫M(r′)×∇′

(1

|r− r′|

)dV ′ (11.3)

A (r) =

∫ [∇′ ×M (r′)|r − r′| − ∇′ ×

(M (r′)|r− r′|

)]dV ′ (11.4)

Utilizando la identidad ∫(∇×A) dV =

∫

SdS ×A

se encuentra que

A (r) =

∫ ∇′ ×M (r′)|r − r′| dV ′ +

∫M (r′) × n

|r− r′| dS′

Esta ecuacion tiene la forma

A (r) =1

c

∫JM (r′)|r − r′| dV

′ +1

c

∫~σM

|r − r′|dS′ (11.5)

que es analogo a distribuciones volumetricas y superficiales de corriente. Ası:

JM (r) = c∇×M , ~σM = c M× n|S (11.6)

Las cuales se denominan corrientes de magnetizacion. Un material magnetizado equivale entonces a lapresencia de corrientes de magnetizacion volumetrica y superficial (como un dielectrico polarizado equivalea ρp, σp). No olvidemos que estamos bajo la aproximacion dipolar y que por tanto esta equivalencia es soloaproximada. Observese que la densidad volumetrica cumple la ecuacion de continuidad ∇ · JM = 0, paracorrientes estacionarias.

Nota:a) i dl = dq

dt dl = dqdV

dldtdV = ρv dV = J dV densidad de corriente volumetrica equivalente

b) i dl = dqdt dl = dq

dSdldtdS = σJv dS = σ dS densidad de corriente supeficial equivalente.

~σ = idl

dS= it

dl

dl dl′=

it

dl′

esto nos define la corriente por unidad de longitud transversal a la corriente.

11.3. Interpretacion de las corrientes de magnetizacion

Tomemos el material magnetizado y lo dividimos en contornos muy delgados perpendiculares a la mag-netizacion. Uno de estos contornos de espesor d, tiene en general un area lateral que es parte de la superficiedel material, sea n un vector unitario definido sobre un punto del area lateral y que es ortogonal a ella. Estecontorno delgado posee una gran cantidad de lazos de corriente microscopicos, en promedio estos lazos estanorientados en la direccion de M, asumamos por simplicidad que la magnetizacion es constante, en ese casolas corrientes contiguas se anulan entre sı, excepto aquellas que estan contıguas al borde del contorno, estascorrientes que no se anulan son claramente de naturaleza superficial, y generan un efecto neto macroscopico

11.4. CAMPOS MAGNETICOS EN EL INTERIOR DE LOS MATERIALES 207

que se ve como una corriente que recorre toda el area lateral. Estimemos el valor de esta corriente superficial.Cada lazo cerrado tiene un area a, y un espesor d, su momento dipolar es m = MV = Mad. Por otro ladom = Ia para una espira de corriente, y el valor de la corriente circulante neta es igual al valor (promedio)de las corrientes microscopicas en los lazos cerrados, por tanto la corriente efectiva macroscopica se escribecomo I = m/a = Mad/a = Md, y como la densidad superficial de corriente ~σM es corriente por unidad delongitud, se tiene que σM = I/d = Md/d resultando σM = M . Finalmente, se puede ver que la direccioncorrecta de esta densidad de corriente viene dada por

~σM = M× n

esta expresion ademas nos dice que no hay corrientes superficiales en las “tapas” del contorno, puesto queen esas regiones M y n son paralelos. Esto coincide con el hecho de que esta region es interior y allı secancelan las corrientes.

Por otro lado, si la magnetizacion no es uniforme, la cancelacion entre los lazos contıguos de corriente enel interior del contorno ya no es exacta. En realidad en ese caso, los lazos pueden estar orientados en diversasdirecciones de modo que podemos ver la circulacion como la superposicion de tres circulaciones paralelasa los planos XY, XZ, y YZ. Por ejemplo, si los lazos contıguos van a lo largo de la direccion x, hay unacorriente neta sobre la superficie lateral comun a los dos lazos, que va tambien en direccion x (superposicionde circulaciones paralelas al plano XY)

Ix = [Mz (y + dy) −Mz (y)] dz =∂Mz

∂ydy dz

la densidad volumetrica asociada es

(JM )x,1 =∂Mz

∂y

de la misma forma, una magnetizacion no uniforme en la direccion y produce un densidad volumetricade la forma (JM )x,2 = −∂My/∂z (superposicion de circulaciones papalelas al plano XZ) de modo que lacomponente total de la densidad volumetrica de corriente en la direcion x es

(JM )x =∂Mz

∂y− ∂My

∂z

procediendo de manera analoga para cada componente, resulta

JM = ∇×M

ambos resultados coinciden con los que se obtuvieron analıticamente en la seccion anterior.

11.4. Campos magneticos en el interior de los materiales

Los campos magneticos microscopicos en el interior de los materiales tienen fuertes fluctuaciones al igualque en el caso electrico. Sin embargo, dado que los promedios volumetricos tienen propiedades semejantesa las del campo electrostatico, se puede ver que el formalismo anterior tambien es aplicable para hallar loscampos magneticos promedio en el interior de los materiales, cuando trabajamos a nivel macroscopico.

11.5. Ecuaciones de campo en medios magnetizables

De acuerdo con lo que encontramos en la seccion anterior, un material magnetizado equivale a la ex-istencia de corrientes volumetrica y superficial de magnetizacion, al menos bajo la suposicion de que la


aproximacion dipolar sea buena. Por supuesto, tambien es posible la presencia de corrientes libres Jf . Bajola existencia de corrientes libres en el material tenemos que

∇×B =4π

c(Jf + JM ) =

4π

c(Jf + c∇×M)

∇× (B − 4πM) =4π

cJf

definimos el vector intensidad de campo magnetico

H ≡ B− 4πM

con lo cual queda

∇×H =4π

cJf

se sigue por integracion que

∫(∇×H) · dS =

∫4π

cJf · dS

∫

loopH · dl =

4π

cIf

Lo cual nos da la ley cicuital de Ampere para medios materiales con corrientes libres. Dicha ley es validaincluso para medios no lineales, anisotropos, e inhomogeneos, pero bajo la aproximacion dipolar.

Para materiales diamagneticos y paramagneticos (lineales) se cumple experimentalmente que

M = χMH

χM es en general un tensor 3 × 3 y local. Si el medio es isotropo χM se convierte en un escalar, y si esademas homogeneo este escalar es independiente de la posicion. De esta forma, el vector intensidad de campomagnetico queda

H = B− 4πχMH ⇒ B = (1 + 4πχM )H

B = µH ; µ ≡ 1 + 4πχM

χM se denomina la susceptibilidad magnetica, µ se conoce como la permeabilidad magnetica. Para el dia-magnetismo (paramagnetismo) se tiene que µ < 1(> 1). Para el ferromagnetismo, la relacion entre B y Hes no lineal.

Por otro lado la relacion B = ∇×A permanece valida, de tal forma que

∇ ·B = 0 (11.7)

la relacion ∇ · H = 0 es valida tambien si tenemos medios isotropos, homogeneos lineales (bajo la aproxi-macion dipolar). Pero la ec. (11.7) es valida en general, incluso sin la aproximacion dipolar.

Hay un aspecto practico importante a senalar, el campo H es el que en general se puede determinarexperimentalmente, debido a que las corrientes libres son manipuladas externamente, o se miden con facili-dad, en tanto que el campo B depende de las corrientes libres y de polarizacion, es decir del material y suestructura. Por otro lado, en el campo electrico ocurre en general lo contrario, es mas facil determinar Eexperimentalmente debido a que en general lo que se puede medir son voltages i.e. los potenciales y se aplicala relacion E = −∇φ, pero las cargas libres normalmente no se pueden medir en forma directa, ademas elcampo D depende de la estructura del material2. Sin embargo, el campo D es util en ciertas situacionesaltamente simetricas en donde la ley de Gauss es aplicable.

2Recuerdese que aunque ∇ · D = 4πρf , el campo D depende tanto de las cargas libres como de las de polarizacion.

11.5. ECUACIONES DE CAMPO EN MEDIOS MAGNETIZABLES 209

Por otro lado, de manera semejante al caso electrostatico, se tiene que para medios lineales, homogeneose isotropicos la corriente volumetrica de magnetizacion es proporcional a la corriente libre

JM = ∇×M = ∇× (χMH) = χMJf

con lo cual en la ausencia de corriente volumetrica libre, la corriente de magnetizacion sera unicamentesuperficial.

11.5.1. Condiciones de frontera en materiales magnetizables

Las condiciones de frontera que los campos B y H satisfacen en la interfase entre dos medios de diferentepermeabilidad magnetica, estan dictaminados por las ecuaciones ∇·B = 0 y ∇×H = 4π

c Jf . El procedimientoes analogo al caso electrostatico, aunque se llega a resultados diferentes.

Tomemos primero un pequeno cuasi cilindro con altura diferencial y tapas localmente paralelas a lasuperficie de area arbitraria pero finita. El flujo por la superficie lateral es despreciable de modo que

∫∇ ·B dV =

∫B · n da =

∫B1 · n1 da+

∫B2 · n2 da =

∫(B1 −B2) · n1 da

∫∇ ·B dV =

∫(B1 −B2) · n1 da = 0

de lo cual resulta(B1 −B2) · n = 0 ⇒ B1n = B2n (11.8)

ahora tomemos un lazo cerrado, los lados perpendiculares a la superficie son de longitud infinitesimal, loslados localmente paralelos a la superficie son de longitud arbitraria pero finita

∫(∇×H) · nl da =

∮H · dl =

4π

c

∫

sJf · nl da

donde nl es perpendicular a la superficie delimitada por el lazo cerrado, el sentido de circulacion en el lazocerrado se define a traves de nl y la regla de la mano derecha. Solo las lıneas localmente paralelas contribuyena la integral cerrada

∮H1 · dl1+

∮H2 · dl2 =

∮(H1 −H2) · dl1 =

4π

c

∫

sJf · nl da

donde S es cualquier superficie delimitada por el loop. Tomemos por simplicidad, la superficie plana encer-rada por el lazo. Observemos que una densidad de corriente volumetrica darıa una contribucion nula a laintegral de superficie, puesto que la superficie plana ya mencionada tiene un area que tiende a cero. Encambio, una densidad de corriente superficial ~λf puede dar una contribucion finita.

∮(H1 −H2) · nl1 dl1 =

4π

c

∫

s

~λf · nl dl1

es facil ver que vectorialmente se cumple que

nl × nl1 = n ; nl1 × n = nl ; n× nl = nl1 (11.9)

recordemos que n es perpendicular a la interfase, nl1 va en la direccion de dl1 y nl es perpendicular a lasuperficie que delimita el lazo, con el sentido regido por la regla de la mano derecha para la circulacion3.Con estas relaciones se tiene

∮(H1 −H2) · (n× nl) dl1 =

4π

c

∫

s

~λf · nl dl13Es importante mencionar que las identidades vectoriales (11.9), solo son validas si se toma una superficie plana delimitada

por el lazo cerrado cuasi rectangular. Sin embargo, como en el teorema de Stokes puede tomarse cualquier superficie delimitadapor el lazo, las identidades son validas para esta superficie en particular.


usando la identidad vectorial a · (b× c) = c · (a× b) nos queda∮

nl · [(H1 −H2) × n] dl1 =4π

c

∫

s

~λf · nl dl1

como esto es valido para cualquier segmento l1 finito pero de cualquier longitud y en cualquier ubicacionlocalmente paralela a la superficie se concluye que

[(H1 −H2) × n] · nl =4π

c~λf · nl (11.10)

por otro lado, (H1 −H2) × n claramente yace sobre el plano tangente a la superficie y definido por n. Dela misma forma ~λf tambien esta sobre este plano tangente. Adicionalmente, el lazo cerrado puede estarorientado en cualquier direccion siempre y cuando nl este contenido en el plano tangente. Por tanto, nlpuede estar en cualquier direccion sobre el plano tangente, esto nos garantiza que

[(H1 −H2) × n] =4π

c~λf (11.11)

retornando a la Ec. (11.10), y orientando a nl en direccion perpendicular a ~λf se obtiene

[(H1 −H2) × n]⊥ = 0

que denota la componente perpendicular a ~λf del vector (H1 −H2)×n, la cual se obtiene con la componente

paralela a ~λf de (H1 −H2) de modo que4

(H1 −H2)‖ = 0

similarmente, si en la Ec. (11.10), orientamos a nl en direccion paralela a ~λf se obtiene

[(H1 −H2) × n]‖ = λf

de modo que(H1 −H2)⊥ = λf

En conclusion, el campo B es contınuo en su componente normal a la superficie, en tanto que la componenteparalela a la superficie de H, se puede dividir a su vez en dos componentes, la componente paralela a ladensidad superficial de corriente que es contınua, y la componente perpendicular a la densidad superficial decorriente que sufre una discontinuidad. Todos estos resultados se resumen vectorialmente en las expresiones(11.8, 11.11)

(B1 −B2) · n = 0

n × (H2 −H1) =4π

c~λf

con ~λf definido como densidad de corriente superficial libre. Se puede ver que en este caso obtenemos locontrario al caso electrostatico, continuidad en la componente normal a la superficie, y discontinuidad en lacomponente transversal a la superficie. Esto es natural ya que en el caso electrostatico tenıamos ∇ ·D 6= 0,∇×E = 0, en el caso magnetostatico es todo lo contrario ∇·B = 0, ∇×H 6= 0. De nuevo, la discontinuidadse debe a las corrientes superficiales, las corrientes volumetricas no contribuyen a la discontinuidad.

11.5.2. Calculo de potenciales y campos

En general se pueden emplear tres estrategias basicas para calcular el potencial vectorial o el campomagnetico

4Hay que tener cuidado con la notacion, en este caso la notacion (. . .)⊥ significa la componente perpendicular a ~λf y no ala superficie. Analogamente para (. . .)‖

11.5. ECUACIONES DE CAMPO EN MEDIOS MAGNETIZABLES 211

Formalismo de Green

Para distribuciones de corriente libres Jf en el vacıo o en medios materiales se tiene que B = ∇×A, talque, en el caso particular de medios lineales, isotropos y homogeneos

∇×H = ∇× B

µ=

1

µ∇× (∇×A) =

1

µ

[∇ (∇ ·A) −∇2A

]=

4π

cJf

y utilizando el gauge de Coulomb i.e. ∇ · A = 0

∇2A = −4π

cµJf

la ecuacion de Laplace se puede solucionar con el formalismo de Green. En particular, para corrienteslocalizadas y espacio infinito tenemos

A (r) =µ

c

∫J (r′)|r − r′|dV

′

donde la funcion de Green para espacio infinito |r− r′|−1 se puede escribir en te’rminos de una representacionapropiada para la simetrıa del problema.

Potencial escalar magnetico

Cuando Jf = 0 se tiene que ∇×H = 0 de modo que H = −∇φM . Donde φM es el denominado potencialescalar magnetico. Si en particular, trabajamos sobre medios, lineales, isotropos y homogeneos, tenemosentonces que

∇ ·B = ∇ · (µH) = µ∇ · H = −µ∇2φM = 0

Nos queda entonces

∇2φM = 0

debemos tener presente que esta ecuacion solo es valida en las regiones donde no hay distribuciones decorriente. Si hay mas de un medio material (medios con µi constante cada uno) se tiene que ∇2φM1 =∇2φM2 = . . . = 0. y hay que aplicar las condiciones de contorno sobre las interfases con diferente µ.

Sin embargo, el metodo del potencial escalar tambien se puede usar para medios no isotropos, no lin-eales y no homogeneos, si se conoce su magnetizacion, siempre y cuando estemos en regiones fuera de lasdistribuciones de corriente.

∇×H = 0 ⇒ H = −∇φM∇ · B = ∇ · (H + 4πM) = ∇ · (−∇φM + 4πM) = −∇2φM + 4π∇ · M = 0

de lo cual resulta

∇2φM = 4π∇ · M ≡ −4πρM

donde ρM es la densidad volumetrica de “carga” de magnetizacion, insisitimos en que esto es solo un terminoefectivo pero no algo fısicamente real.

Calculemos la “carga” total de magnetizacion, se sigue que

∫ρM dV = −

∫∇ ·M = −

∫M · n dS = −

∫σM dS

de modo que ∫ρM dV +

∫σM dS = 0


con σM ≡ M · n. De modo que tambien hay “carga” superficial de magnetizacion (notese la diferencia ennotacion entre densidad de “carga” superficial de magnetizacion σM y densidad de corriente superficial demagnetizacion ~σM ).

La solucion a la ecuacion ∇2φM = −4πρM debe incluır la presencia de “cargas” superficiales, como enel problema de Green electrostatico.

φM =

∫ρM

|r− r′|dV′ +∫

σM|r− r′|dS

′ = −∫ ∇′ ·M (r′)

|r − r′| dV ′ +∫

M (r′) · n′

|r− r′| dS′

donde la integral volumetrica corresponde a la solucion homogenea en tanto que la integral de superficie esla solucion inhomogenea. Al continuar desarrolando esta expresion queda

φM = −∫

∇′ ·(

M (r′)|r− r′|

)dV ′ +

∫M(r′)· ∇′

(1

|r− r′|

)dV ′ +

∫M (r′) · n′

|r − r′| dS′

aplicando teorema de la divergencia

φM = −∫

M (r′) · n′

|r− r′| dS′ +∫

M(r′)· ∇′

(1

|r − r′|

)dV ′ +

∫M (r′) · n′

|r− r′| dS′

Las integrales de superficie se anulan entre sı (si las corrientes estan localizadas, se tiene ademas que cadauna es cero por aparte) y queda

φM =

∫M(r′)· ∇′

(1

|r − r′|

)dV ′ = −

∫M(r′)· ∇(

1

|r− r′|

)dV ′

= −∫

∇·(

M (r′)|r − r′|

)dV ′ = −∇ ·

∫M (r′)|r− r′|dV

′

φM = −∇ ·ΠM = φM

observese que lejos de la region donde se localizan las corrientes |r− r′|−1 ' |r|−1 y el potencial escalarqueda

φM ' −∇(

1

r

)·∫

M(r′)dV ′ =

m · rr3

donde m es el momento magnetico total. En electrostatica, este es el potencial escalar de un dipolo electrico,en donde m (momento dipolar magnetico) esta haciendo las veces de p (momento dipolar electrico). Ensıntesis, el potencial escalar de una distribucion localizada se comporta asintoticamente como un dipoloelectrico.

Un ejemplo sencillo lo constituye el dipolo puntual magnetico ubicado en un punto r0

ρM(r′)

= −∇ · (mδ (r − r0)) = −m · ∇δ (r− r0) = m · ∇′δ (r− r0) ; σM = 0

φM =

∫ρM

|r− r′|dV′ =

∫m·∇′δ (r− r0)

|r− r′| dV ′ = −∇ ·(

m

|r− r0|

)

= −m · ∇(

1

|r− r0|

)=

m· (r− r0)

|r− r0|3

que de nuevo, coincide con la forma funcional de un dipolo electrico. Tambien se puede evaluar primero ΠM

y luego φM .

Vector de Hertz

Una tercera estrategia consiste en usar el vector de Hertz magnetico

A (r) =

∫ ∇′ ×M (r′)|r− r′| dV ′ +

∫M (r′) × n′

|r− r′| dS′ = ∇×∫

M (r′)|r− r′| dV

′ = ∇× ΠM

11.6. PROBLEMAS RESUELTOS DE MAGNETOSTATICA EN MEDIOS MATERIALES 213

Densidades de corriente de magnetizacion

Un cuarto metodo es el de calcular las densidades superficial y volumetrica de magnetizacion Ecs. (11.6),

JM (r) = c∇×M , ~σM = c M× n|S (11.12)

para luego calcular el potencial vectorial a traves de la expresion (11.5)

A (r) =1

c

∫JM (r′)|r − r′| dV

′ +1

c

∫~σM

|r − r′|dS′ (11.13)

11.6. Problemas resueltos de magnetostatica en medios materiales

Evaluar φM (potencial escalar magnetico) para esfera con magnetizacion M permanente de la formaM = Mur. Evaluar B

Encontremos el vector de Hertz magnetostatico

~ΠM = M

∫ur′

|r − r′|r′2 dr′ sin θ′ dθ′ dϕ′

ur′ = ux sin θ′ cosϕ′ + uy sin θ′ sinϕ′ + uz cos θ′

recurriendo a la expansion en armonicos esfericos de |r− r′|−1

~ΠM = M

∫ur′

[4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

]r′2 dr′ sin θ′ dθ′ dϕ′

~ΠM = 4πM∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[∫ur′Y

∗lm

(θ′, ϕ′) sin θ′ dθ′ dϕ′

] ∫rl<

rl+1>

r′2 dr′

sintetizando

~ΠM = 4πM

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1Z Fl (r) ; Fl (r) ≡

∫rl<

rl+1>

r′2 dr′ (11.14)

Z ≡∫ (

ux sin θ′ cosϕ′ + uy sin θ′ sinϕ′ + uz cos θ′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

escribamos la integracion angular para cada componente cartesiana. Evaluemos la componente x

Zx =

∫sin θ′ cosϕ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ =

1

2

∫sin θ′

(eiϕ + e−iϕ

)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

Zx = −1

2

∫ √8π

3

[Y11

(θ′, ϕ′)+ Y ∗

11

(θ′, ϕ′)] Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

= −√

2π

3

∫ [Y11

(θ′, ϕ′)+ (−1)1 Y1,−1

(θ′, ϕ′)] Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

=

√2π

3δl1 [δm,−1 − δm1]

evaluemos la segunda componente

Zy =1

2i

∫sin θ′

(eiϕ − e−iϕ

)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ =

1

2i

∫ √8π

3

[−Y11

(θ′, ϕ′)+ Y ∗

11

(θ′, ϕ′)] Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

=1

i

√2π

3

∫ [−Y11

(θ′, ϕ′)+ (−1)1 Y1,−1

(θ′, ϕ′)] Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ = i

√2π

3δl1 [δm1 + δm,−1]


y la componente z

Zz =

∫cos θ′Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ =

√4π

3

∫Y10

(θ′, ϕ′) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

Zz =

√4π

3δl1δm0

en sıntesis Z se escribe como

Z ≡√

2π

3δl1

ux [(δm,−1 − δm1)] + uy [i (δm1 + δm,−1)] + uz

√2δm0

y reemplazando en la expresion para (11.14)

~ΠM = 4πM

√2π

3

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1δl1


√2δm0

Fl (r)

~ΠM = 4πM

√2π

3

1∑

m=−1

Y1m (θ, ϕ)

2 (1) + 1


√2δm0

F1 (r)

~ΠM = 4πM

√2π

3

1

3

ux [Y1,−1 (θ, ϕ) − Y1,1 (θ, ϕ)] + iuy [Y1,−1 (θ, ϕ) + Y1,1 (θ, ϕ)] + uz

√2Y10 (θ, ϕ)

F1 (r)

teniendo en cuenta las identidades

Y1,1 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ) = 2iIm [Y11 (θ, ϕ)] = −2i

√3

8πsin θ sinϕ (11.15)

Y1,1 (θ, ϕ) − Y1,−1 (θ, ϕ) = 2Re [Y11 (θ, ϕ)] = −2

√3

8πsin θ cosϕ (11.16)

usando los resultados (11.15) y (11.16) se obtiene

~ΠM = 4πM

√2π

3

1

3

ux

[2

√3

8πsin θ cosϕ

]+ iuy

[−2i

√3

8πsin θ sinϕ

]+ uz

√2

(√3

4πcos θ

)F1 (r)

~ΠM = 8πM

√2π

3

1

3

√3

8πux [sin θ cosϕ] + uy [sin θ sinϕ] + uz cos θ F1 (r)

~ΠM =4π

3M F1 (r) ur

en este caso observamos que −∇·M 6= 0, y por tanto ρM 6= 0, de modo que hay que considerar una “carga”volumetrica de magnetizacion (ya que ur no es constante en el espacio). Calculemos la integral radial

F1 (r) ≡∫r<r2>r′2 dr′

partimos en intervalosa) r < a

F1 (r) ≡∫ a

0

r<r2>r′2 dr′ =

∫ r

0

r′3

r2dr′ +

∫ a

r

r

r′2r′2 dr′ =

r4

4r2+ r (a− r) = r

(a− 3

4r

)

b) r > a

F1 (r) ≡∫ a

0

r<r2>r′2 dr′ =

∫ a

0

r′

r2r′2 dr′ =

a4

4r2


en sıntesis

F1 (r) = r

(a− 3

4r

)Θ(a− r) +

a4

4r2Θ(r − a)

el vector de Hertz ~ΠM queda

~ΠM =4π

3M

[r

(a− 3

4r

)Θ(a− r) +

a4

4r2Θ(r − a)

]ur

evaluemos el potencial escalar magnetico en regiones donde no hay corriente

φM = −∇ · ~ΠM

para ~ΠM = ΠMur la divergencia en coordenadas esfericas queda

∇ · ~ΠM =1

r2 sin θ

∂

∂r

[r2 sin θ ΠM

]=

1

r2∂

∂r

[r2 ΠM

]⇒

φM = −∇ · ~ΠM = − 4π

3r2M

∂

∂r

[r3(a− 3

4r

)Θ(a− r) +

a4

4Θ (r − a)

]

de modo que el potencial escalar queda

φM = 4πM Θ(a− r)

es decir, en el exterior de la esfera se anula el potencial escalar magnetico. Recuerdese que el formalismo delpotencial escalar solo es util en ausencia de corrientes libres, aunque existan corrientes de polarizacion. Altomar el gradiente de φM obtenemos la intensidad de campo magnetico H

H = −∇φM = −∂φM∂r

ur = −4πMur Θ(a− r)

adicionalmente, tomando la relacion entre B y H para medios lineales, isotropos y homogeneos

H = B− 4πM

y teniendo en cuenta que M = Mur Θ(a− r), ya que la magnetizacion se anula fuera de la esfera. Se tieneque B = 0, dentro y fuera de la esfera.

——————————————————–Problema Sepulveda, pag 219. Apantallamiento magnetico: sea un cascaron esferico de radio

interno a y radio externo b. Inmerso en un campo externo H0. Asumimos que todas las corrientes libres sonlejanas de modo que en todos los sectores podemos utilizar el formalismo del potencial escalar magnetico

∇2φ1 = ∇2φ2 = ∇2φ3 = 0

los valores de los potenciales escalares en las tres regiones vienen dados por

φ1 =∑∑

YlmAlmrl : φ2 =

∑∑Ylm

[A′lmr

l +B′lm

rl+1

](11.17)

φ3 =∑∑

Ylm

[A′′lmr

l +B′′lm

rl+1

](11.18)

ahora utilizamos las condiciones de frontera

B1n|r=a = B2n|r=a ⇒ ∂φ1

∂r

∣∣∣∣r=a

= µ∂φ2

∂r

∣∣∣∣r=a

(11.19)

B2n|r=b = B3n|r=b ⇒ µ∂φ2

∂r

∣∣∣∣r=b

=∂φ3

∂r

∣∣∣∣r=b

(11.20)


H1T |r=a = H2T |r=a ⇒ ∂φ1

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

=∂φ2

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

(11.21)

H2T |r=b = H3T |r=b ⇒ ∂φ2

∂ϕ

∣∣∣∣r=b

=∂φ3

∂ϕ

∣∣∣∣r=b

(11.22)

para campo lejano tenemos quelımr→∞

φ3 (r) = −H0r cos θ

teniendo en cuenta que cos θ = P 01 (cos θ), este lımite se puede escribir como

lımr→∞

φ3 (r) = −H0rP01 (cos θ) = −

∑∑H0P

ml (cos θ) eimϕrlδl1δm0 (11.23)

de la ecuacion (11.18) se tiene

lımr→∞

∑∑Ylm

A

′′lmr

l +B′′lm

rl+1︸︷︷︸=0

= lım

r→∞

∑∑Ylm (θ, ϕ)A′′

lmrl (11.24)

igualando (11.24) y (11.23), obtenemos la relacion asintotica

−∑∑

H0Pml (cos θ) eimϕrlδl1δm0 =


lmrl

−∑∑

H0

√4π

(2l + 1)

(l +m)!

(l −m)!Ylm (θ, ϕ) rlδl1δm0 =


lmrl

por tanto

−H0

√4π

(2l + 1)

(l +m)!

(l −m)!δl1δm0 = A′′

lm (11.25)

de (11.19) y (11.17) se deduce

∑∑YlmAlmlr

l−1∣∣∣r=a

= µ∑∑

Ylm

[A′lmlr

l−1 − B′lm (l + 1)

rl+2

]∣∣∣∣r=a

∑∑YlmAlmla

l−1 = µ∑∑

Ylm

[A′lmla

l−1 − B′lm (l + 1)

al+2

]

resultando

Almlal−1 = µA′

lmlal−1 − B′

lmµ (l + 1)

al+2⇒

Almla2l+1 = µA′

lmla2l+1 −B′

lmµ (l + 1) (11.26)

similarmente de (11.20) se obtiene

µlA′lmb

l−1 − µ (l + 1)B′lm

bl+2= lA′′

lmbl−1 − (l + 1)

B′′lm

bl+2⇒

µlA′lmb

2l+1 − µ (l + 1)B ′lm = lA′′

lmb2l+1 − (l + 1)B′′

lm (11.27)

de (11.21) se saca que

Almal = A′

lmal +

B′lm

al+1⇒

Alma2l+1 = A′

lma2l+1 +B′

lm (11.28)


y finalmente de (11.22)

A′lmb

l +B′lm

bl+1= A′′

lmbl +

B′′lm

bl+1⇒

A′lmb

2l+1 +B′lm = A′′

lmb2l+1 +B′′

lm (11.29)

los coeficientes quedan completamente determinados con el sistema 5×5, descrito por las Ecs. (11.25, 11.26,11.27, 11.28, 11.29)

−H0

√4π

(2l + 1)

(l +m)!

(l −m)!δl1δm0 = A′′

lm (11.30)

Almla2l+1 = µA′

lmla2l+1 −B′

lmµ (l + 1) (11.31)

µlA′lmb

2l+1 − µ (l + 1)B ′lm = lA′′

lmb2l+1 − (l + 1)B′′

lm (11.32)

Alma2l+1 = A′

lma2l+1 +B′

lm (11.33)

A′lmb

2l+1 +B′lm = A′′

lmb2l+1 +B′′

lm (11.34)

multiplicando (11.34) por (l + 1) y sumando este resultado con (11.32)

b2l+1A′lm [µl + l + 1] +B ′

lm (l + 1) (1 − µ) = (2l + 1)A′′lmb

2l+1 (11.35)

multiplicando (11.33) por −l y sumando con (11.31)

(µl + µ+ l)B ′lm = (µ− 1) lA′

lma2l+1 ⇒

B′lm =

(µ− 1) lA′lma

2l+1

(µl + µ+ l)(11.36)

sustituyendo (11.36) en (11.35)

(2l + 1)A′′lmb

2l+1 = A′lm

[(µl + l + 1) b2l+1 +

(µ− 1) la2l+1 (l + 1) (1 − µ)

(µl + µ+ l)

]⇒

(2l + 1)A′′lmb

2l+1 = A′lm

[(µl + l + 1) (µl + µ+ l) b2l+1 − (µ− 1)2 l (l + 1) a2l+1

(µl + µ+ l)

](11.37)

recordando (11.30) se ve que A′′lm 6= 0, solo si l = 1,m = 0. Por otro lado, la ecuacion (11.37) muestra que

si A′′lm = 0 ⇒ A′

lm = 0 y por (11.36) se tendrıa B ′lm = 0. Al chequear el resto de las ecuaciones, se ve que

todas las soluciones quedan triviales, por tanto A′′lm 6= 0 y l = 1,m = 0; en tal caso (11.37) queda

3A′′10b

3 = A′10

[(µ+ 2) (2µ+ 1) b3 − 2 (µ− 1)2 a3

(2µ+ 1)

]⇒

A′10 =

3b3 (2µ+ 1)A′′10

(µ+ 2) (2µ+ 1) b3 − 2 (µ− 1)2 a3(11.38)

y de (11.33)

Alm = A′lm +

B′lm

a2l+1(11.39)

y para l = 1,m = 0 en esta ultima ecuacion

A10 = A′10

[1 +

(µ− 1)

2µ+ 1

]⇒

A10 =

[3µ

2µ+ 1

]A′

10 (11.40)


y sustituyendo (11.38) en (11.40)

A10 =

[3µ

2µ+ 1

]3b3 (2µ+ 1)A′′

10

(µ+ 2) (2µ+ 1) b3 − 2 (µ− 1)2 a3

A10 =9µb3A′′

10

(µ+ 2) (2µ+ 1) b3 − 2 (µ− 1)2 a3(11.41)

sustituyendo (11.30) en (11.41)

A10 = −9µH0

√4π3

(µ+ 2) (2µ+ 1) − 2 (µ− 1)2 (ab

)3 (11.42)

recordando la expresion general de φ1 dada por (11.17) y teniendo en cuenta que solo contribuye A10:

φ1 = Y10 (θ, ϕ) A10 r =

√3

4πcos θ A10 r (11.43)

al sustituir (11.42) en (11.43)

φ1 = − 9µH0r cos θ[(2µ+ 1) (µ+ 2) − 2

(ab

)3(µ− 1)2

]

esta expresion coincide con la que se obtiene en Sepulveda. Los potenciales en las otras dos regiones sepueden hallar, calculando el resto de coeficientes.

Parte II

Campos electricos y magneticosdependientes del tiempo

219

Capıtulo 12

Ecuaciones de Maxwell

12.1. Ley de induccion de Faraday

La circulacion de un campo electrostatico es nula. Lo cual proviene de su caracter central (y por tantoconservativo). Las lıneas de campo electrostatico comienzan y terminan en las cargas. Los experimentos deFaraday (1831) revelan que campos electricos con circulacion no nula pueden ser creados (en ausencia decargas netas) por campos magneticos variables en el tiempo, o mas generalmente, por flujos magneticos quecambian con el tiempo. Estos campos electricos tienen lıneas que se cierran sobre sı mismas, de modo queno son conservativos (la integral de lınea cerrada a lo largo de una de estas lıneas es ±

∫|E| |dl| la cual es

positiva o negativa dependiendo de la direccion de circulacion, pero no es cero).

Veamos brevemente algunos antecedentes de la ley de induccion. Supongamos una varilla conductorarectangular moviendose con velocidad constante en un campo magnetico uniforme. Asumamos que la ve-locidad de la varilla es perpendicular a su longitud. En este caso las cargas se estan moviendo respecto alcampo magnetico y se produce una polarizacion. Cuando de nuevo se alcanza la condicion estacionaria elobservador F con respecto al cual la espira se mueve con velocidad uniforme, ve que se tuvo que crear uncampo electrico debido a la redistribucion de cargas que cancelara el efecto del campo magnetico en el inte-rior del conductor. De esta forma, las cargas en la distribucion estatica final han creado una campo electricosemejante al de un dipolo, aunque no exactamente igual dado que las carga no se concentran estrictamenteen los extremos. En el interior del conductor las fuerzas electricas y magneticas se cancelan, y en el exteriorel campo electrico asemeja a un dipolo, en tanto que el campo magnetico es el mismo que estaba antes, yaque las cargas han cesado de moverse. La cancelacion de la fuerza electrica con la fuerza magnetica nos dauna ecuacion que nos relaciona los campos en el interior del conductor

eE = −qcv ×B

lo cual nos determina el valor del campo electrico inducido E en el interior del conductor.

Veamos el fenomeno desde el punto de vista de un observador en F ′ que se mueve con la espira. Si hemosde creer en el principio de relatividad, este observador debe ver la misma Fısica, de modo que es necesarioque este observador tambien vea una polarizacion. Sin embargo, para F ′ las cargas no estan inicialmente enmovimiento y por tanto cualquiera que sea el campo magnetico que el mida, no puede ser responsable deldesplazamiento que produce polarizacion de cargas. Esto nos indica que para dicho observador es necesarioque exista un campo electrico inicial, a fin de mantener el principio de la relatividad. F ′ nos dice que hayun campo magnetico B′ y un campo electrico E′ que son la transformacion relativista de el campo B. E′

viene dado por

E′ = −v′

c×B′ =

v

c×B′

La presencia del campo magnetico no influye sobre las cargas del conductor ya que estas estan en reposo.Pero el campo electrico produce una polarizacion que a su vez produce un campo electrico inducido, este

221

222 CAPITULO 12. ECUACIONES DE MAXWELL

campo inducido es tal que cancela al campo electrico E′ en el interior del conductor, tal como ocurre conlos conductores en presencia de campos electrostaticos. El observador F ′ ve un campo total que es cero enel interior del conductor (pero no en el exterior) y que corresponde a la superposicion de E ′ y el campoinducido por la redistribucion de carga. El campo magnetico B′ existe para F ′ pero no influye en la condicionestacionaria (si nos preguntamos por la condicion transitoria, el campo magnetico juega un papel ya quedurante ese breve instante de redistribucion de cargas e’stas se estan moviendo).

Si colocamos una espira que forma un lazo cerrado moviendose a velocidad constante en este mismocampo magnetico uniforme, ocurre un fenomeno de polarizacion similar al de la varilla. Mas interesantees el caso en el cual dicha espira se mueve inmersa en un campo B que no es uniforme. Por simplicidadasumiremos que B es estacionario, de modo que es funcion de la posicion pero no del tiempo. Movamos laespira a velocidad constante en el campo generado por un solenoide finito. Sea B1 el campo en el segmentomas cercano de la espira y B2 el campo en el segmento mas lejano. En el segmento cercano las cargas semueven tendiendo a circular en la direccion antihoraria visto desde arriba, en el segmento mas lejano lascargas se mueven tendiendo a circular en la direccion horaria, pero dado que el campo es mas intenso en elsegemento cercano, la circulacion neta se hara en direccion antihoraria.

Es por tanto interesante calcular el trabajo que se realizarıa sobre una carga q en la espira al giraren sentido antihorario dando la vuelta completa. En los segmentos paralelos a la velocidad de la espirael desplamiento de q y la fuerza son perpendiculares, de modo que no contribuyen al trabajo. Tomandoentonces solo la contribucion de los segmentos mas cercano y mas lejano se tiene

∮f · dr =

qv

c(B1 −B2)w

(ver Berkeley Cap 7). Donde w es el ancho de la espira, B1 es el campo en el segmento mas cercano a laespira y B2 en el lado opuesto. Esta fuerza de origen magnetico es claramente no conservativa. Se define lafuerza electromotriz como el trabajo por unidad de carga para hacer el lazo cerrado.

ε =1

q

∫f · dr =

vw

c(B1 −B2)

Se puede calcular el flujo de campo magnetico a traves de la espira como la integral de B sobre una superficielimitada por el lazo cerrado (el hecho de que ∇·B = 0 nos garantiza que este flujo no depende de la superficieparticular que se elija). El cambio de flujo en un lapso de tiempo dt se puede calcular como

dΦ = − (B1 −B2)wv dt

relacionando las dos ultimas ecuaciones se llega a

ε = −1

c

dΦ

dt

esto se puede demostrar para una espira de cualquier forma y con cualquier velocidad (Berkeley).Veamos lo que describe un observador F ′ que se mueve con la espira. El ve un campo E′ y un campo

B′. Para el, la fuerza electromotriz se debe exclusivamente al campo electrico y calcula que

ε′ =

∫E′ · dS′ =

∫ (v

c×B′

)· dS′ =

wv

c

(B′

1 −B′2

)

este observador tambien concluye que

ε′ = −1

c

dΦ′

dt′

en estos desarrollos hemos usado aproximacion de primer orden en v/c de modo que se puede despreciar ladilatacion del tiempo, la contraccion de Lorentz y el cambio en el campo magnetico (pero no el cambio enel campo electrico el cual es de primer orden).

12.1. LEY DE INDUCCION DE FARADAY 223

Se pueden hacer tres experimentos claves con una espira y una bobina

1) Alejar la espira mientras la bobina posee corriente constante. Se detecta una corriente en la espira.

2) Ahora se aleja la bobina en la direccion contraria, se detecta la misma corriente lo cual es consistentecon el principio de relatividad.

3) Dejamos quietos ambos elementos y hacemos que la corriente en la bobina varıe en el tiempo de modoque B decrezca en el tiempo (en el loop) de la misma forma que en los experimentos I y II. Localmente estasituacion es identica a la anterior, y se obtiene la misma corriente en la espira.

De aquı se obtiene la llamada ley de Lenz, que nos dice que la fuerza electromotriz inducida se opone alcambio en el flujo del campo magnetico sobre la espira. Esto significa que una variacion del flujo magneticocon el tiempo produce una corriente que circula en la espira y que produce un flujo que se opone al cambiodel flujo original.

Es importante mencionar que la corriente inducida puede calentar el material. Este calentamiento loprovee un patron externo. Para verlo, basta con observar que cuando la espira se mueve a velocidad constanteen el campo del solenoide finito, la fuerza neta del campo magnetico externo sobre la espira, es tal que seopone al movimiento. En consecuencia, es necesario que se haga trabajo sobre la espira para mantenerla enmovimiento constante.

La ley de induccion de Faraday requiere una abstraccion adicional, los experimentos anteriores requirieronla presencia de un lazo conductor cerrado, a traves del cual pasa un flujo de campo magnetico. Podemospreguntarnos que pasa si tenemos un lazo imaginario que forma una curva C, pero sin que haya necesaria-mente algo material en el lazo. Ciertamente, aun tiene sentido el concepto de flujo de campo magnetico, ysi extrapolamos el caso anterior cuando no hay necesariamente algo Fısico en el lazo, obtenemos la ley deinduccion de Faraday: Si tenemos una curva cerrada C, estacionaria e cierto sistema de referencia inercialy si S es una superficie que expande a C, y B (x, y, z, t) , E (x, y, z, t) son los campos electrico y magneticomedidos en la posiscion x, y, z para cierto tiempo t, entonces para un valor fijo de t se tiene que

ε =

∮

C

E·dr = −1

c

d

dt

∫

SB · dS

En este punto debe enfatizarse la diferencia entre la ley de induccion de Faraday y la ley de Lenz. Laley de Lenz asume la existencia de una espira conductora real en tanto que para la ley de induccion solotenemos que tomar una curva cerrada real o imaginaria, sin que necesariamente haya algo Fısico en dichacurva.

Es importante recalcar que bajo las condiciones de la ley, la fuerza electromotriz solo se debe al campoelectrico. Esto se debe a que la curva se asume estacionaria respecto al sistema de referencia, recordemosque cuando el lazo cerrado esta en movimiento, la fuerza electromotriz puede deberse al campo magneticocomo lo vimos en el caso de la espira conductora. Un segundo aspecto es que esta fuerza electromotriz secalcula como una integral cerrada en donde cada elemento diferencial se calcula en el mismo instante detiempo, por ejemplo dos pequenas contribuciones E1 (x1, y1, z1, t) ·dr1 y E2 (x2, y2, z2, t) ·dr2 se calculan en elmismo tiempo t. Esto implica que esta integral cerrada no es estrictamente el trabajo que realizarıa una cargaunidad real para realizar el circuito, ya que si el campo es funcion del tiempo, un diferencial de este trabajodeberıa calcularse usando el valor del campo en el punto espacio temporal donde se ubica la partıcula, dospequenas contribuciones de este trabajo real serıan de la forma E1 (x1, y1, z1, t1) ·dr1 y E2 (x2, y2, z2, t2) ·dr2.Por supuesto en el caso de campos cuasi estaticos y partıculas que circulan rapidamente por el lazo, estadiferencia resultarıa insignificante (cuando hicimos el ejemplo de la espira conductora, se hizo implıcitamenteesta aproximacion).

Otro punto fundamental a discutir es el de la naturalea del campo electrico que aparece en la ley deinduccion. Este campo electrico inducido claramente no proviene de fuentes de carga. En el ejemplo dela espira, este campo aparece como la transformacion relativista del campo magnetico uniforme que veıael sistema de referencia F en el cual la espira tenıa velocidad constante. En el caso general, este campoinducido se debe a la transformacion relativista de los campos que ve el sistema F cuando hacemos un boost


para pasar al sistema F ′ con espira estacionaria. Se ve adicionalmente que la integral de lınea cerrada deeste campo no es cero, por lo cual no puede ser un campo electrostatico, ya que no es conservativo 1.

Otra aclaracion al respecto, observese que el campo electrico proveniente de cargas cumple la condicion∇×Ecargas = 0 en todo el espacio. En electrostatica aprendimos que esto es condicion necesaria y suficientepara la conservatividad del campo. Sin embargo, para el caso de cargas en movimiento, en el cual E esfuncion explıcita del tiempo, la nulidad del rotacional solo nos garantiza que E = −∇φ (r, t) lo cual a su vezimplica que al realizar un trabajo virtual q

∫ rB

rAE ·dr = q [φ (rA, t) − φ (rB , t)] este trabajo es independiente

de la trayectoria ya que no variamos el tiempo. Sin embargo, en una trayectoria real el trabajo puededepender de la trayectoria puesto que el tiempo varıa. La conclusion es que ∇× E = 0 en todo el espacio,solo me garantiza conservatividad del campo en el sentido de trabajos virtuales, por supuesto que en el casoelectrostatico los trabajos virtuales coinciden con los reales y la conservatividad es real.

Cabe finalmente preguntarse, porque llamar ¿campo electrico al campo generado por la ley de induc-cion?, despues de todo no es conservativo ni se origina en las cargas. Sin embargo, si observamos la principalmotivacion para construır el concepto de campo, resulto ser un concepto util independiente de la naturalezade sus fuentes, para el campo electrico encontramos que si tenemos un campo de esa naturaleza (haciendocaso omiso de las fuentes) la fuerza que experimenta una carga q debida a este campo cuando esta inmersaen el, es de la forma F = qE. La fuerza que experimenta una carga inmersa en este campo inducido tieneesta misma expresion; es decir, aunque sus fuentes son diferentes, cumple la misma propiedad local quedefinio originalmente al campo electrico.

La integral cerrada del campo electrico es la fuerza electromotriz. Es posible generar un campo electricoindependiente del tiempo si dΦ/dt = cte. Segun la ley de induccion lo que importa es el cambio con el tiempodel flujo. De modo que los campo electricos se pueden inducir de varias formas

Tomemos el ejemplo de dos espiras, 1 y 2 y asumamos que por al espira 1, circula una corriente i. Enlos siguientes casos aparecera una corriente en la espira (2) (cargas libres de conduccion son puestas enmovimiento por el campo inducido.

a) Si i varıa con el tiempo, con ambas espiras fijas.

b) Acercando o alejando la espira (2) manteniendo la otra fija (y la corriente constante). esto se puedeentender sin ley de induccion teniendo en cuenta que la fuerza de Lorentz actua sobre las cargas de la espira2.

c) Acercando o alejando la espira (1) dejando fija la espira (2) con corriente constante. Este efecto esequivalente al anterior en virtud del principio de relatividad. pero no puede ser entendido directamente conla fuerza de Lorentz sino con la ley de induccion.

d) Cambiando con el tiempo la forma de la espira o su orientacion relativa.

En cualquiera de estos casos se obtiene un cambio de flujo magnetico a traves de la espira (2).

En la ley de induccion se toma la convencion de la regla de la mano derecha para dr y dS. El signo menosindica que la direccion del campo ele´ctrico inducido es tal que genera una corriente que con su campo B,trata de oponerse al cambio de flujo magnetico (ley de lenz).

El efecto se presenta incluso con una sola espira: El cambio de flujo sobre la propia espira da lugar a unacorriente sobre ella que con su campo se opone al cambio de flujo. Fenomeno conocido como autoinduccion.

1Podrıa pensarse en la posibilidad de que este campo se deba a cargas electricas en movimiento, lo cual explicarıa ladependencia temporal explıcita y la no conservatividad. Sin embargo, debemos observar que la integral cerrada del campoelectrico se realiza para un mismo instante de tiempo. Para un campo que proviene de cargas electricas en movimiento, laintegral cerrada del campo electrico debe ser cero si la calculamos en el mismo instante de tiempo para todo tramo, ya queinstantaneamente un campo electrico proveniente de cargas es la superposicion de campos centrales conservativos. Por supuesto,el campo magnetico generado por las cargas en movimiento podrıa generar una fuerza electromotriz virtual diferente de cero,pero en la ley de Faraday esta FEM solo aparece debida al campo electrico. La no conservatividad de campos originados porcargas en movimiento la da el hecho de que la integral debe ser realizada sobre una trayectoria real, en la cual la partıcula ocupadiferentes posiciones en diferentes instantes. En ese sentido, la integral cerrada de la ley de Faraday no es la cantidad correctapara evaluar conservatividad, excepto bajo ciertas aproximaciones.


12.1.1. Algunas sutilezas sobre el concepto de fuerza electromotriz

Supongamos que tenemos una espira rectangular de tal manera que hay un campo magnetico uniformeB = Buz en el semiespacio y < 0, y que la espira se mueve con velocidad constante v = vuy sobre el planoXY . En tanto que una porcion de la espira este en la region con y < 0, y otra porcion este en y > 0, segenerara una fuerza electromotriz en la espira. Sea w el ancho de la espira (paralelo al eje X). La fuerzaelectromotriz se calcula como el trabajo virtual que se hace sobre una trayectoria cerrada en la espira,claramente sobre la espira se ejercen dos fuerzas, la fuerza magnetica, y la fuerza debida al agente externoque hace que la espira viaje a velocidad constante. En las porciones del alambre de ancho w la fuerza externaes perpendicular al desplazamiento virtual (que va en direccion ±ux), y en las porciones de longitud L, lostrabajos se cancelan por simetrıa. De esta forma, la fuerza externa no contribuye al trabajo virtual.Por otro lado, la fuerza magnetica contribuye al trabajo virtual unicamente en el el tramo de ancho w queesta inmerso en el campo.

ε =1

q

∮

virt(Fmag + Fext) · dl =

1

q

∮

virtFmag · dl = vBw

El calculo anterior podrıa sugerirnos errroneamente que el campo magnetico realiza el trabajo necesariopara que se induzca una corriente en la espira. Sin embargo, la forma de la fuerza de Lorentz es tal quela fuerza magnetica no puede realizar trabajo sobre la carga q por arbitraria que sea la trayectoria. ¿porque la integral anterior no es entonces nula?, la respuesta requiere de nuevo tener en cuenta que la FEMes un trabajo virtual. Esto implica que debe ser un agente externo quien realiza el trabajo real, necesariopara generar la corriente, lo cual se puede ver teniendo en cuenta que se requiere una fuerza externa en ladireccion uy para mantener a la espira a velocidad constante. Calculemos entonces, el trabajo real teniendoen cuenta el movimiento de la espira. La velocidad real de la espira es igual a la suma vectorial w = v + u,siendo u la velocidad de la carga con respecto a la espira (en la direccion ux). La fuerza magnetica sobretoda la espira tiene una componente neta en la direccion −uy y por tanto debe ser compensada por unafuerza externa en direccion uy. En el tramo de ancho w inmerso en el campo se tiene que sobre una carga,el campo magnetico ejerce una fuerza qvBux − quBuy, la componente X es la que genera la corriente entanto que la Y debe ser compensada por una fuerza externa de modo que Fext = quBuy, la trayectoria reala lo largo del ancho w, tiene una longitud w/ cos θ, siendo θ el angulo entre u y w. La fuerza magneticaes perpendicular al desplazamiento real y por tanto no contribuye como ya se anticipo. El trabajo real porunidad de carga sobre una trayectoria cerrada en la espira sera

ε =1

q

∮

<(Fmag + Fext) · dl =

1

q

∮

<Fext · dl = (uB)

( w

cos θ

)cos(π

2− θ)

= vBw = ε

observese que el calculo real aunque involucra en principio a las mismas fuerzas, implica una trayectoriamuy diferente a la trayectoria virtual, por lo cual la contribucion de cada una de estas fuerzas al trabajoresulta muy diferente en cada caso. Sin embargo, los dos resultados coinciden de modo que la FEM coincidecon el trabajo real por unidad de carga.

Ley de induccion e invarianza Galileana

Si partimos de la ley de induccion en la forma

ε = −KinddΦ

dt

el valor de la constante Kind no es una constante empırica determinada experimentalmente, como se puedever de los casos particulares que emplean la ley de Lorentz2. Veremos ademas que esta constante se puede

2Aunque los caso que se derivan de la ley de Lorentz son particulares, la ley general debe incluır la misma constante queaparece en estos casos particulares.


determinar exigiendo invarianza Galileana a la ley de induccion. Para ello usaremos la derivada convectiva,que es una forma muy conveniente de escribir una derivada total en el tiempo

d

dt=

∂

∂t+ v · ∇ ⇒ dB

dt=∂B

∂t+ (v · ∇)B =

∂B

∂t+ ∇× (B × v) + v (∇ ·B)

⇒ dB

dt=∂B

∂t−∇× (v ×B)

donde v se trata como un vector fijo en la diferenciacion. En la ley de induccion, el lugar geometrico del lazocerrado debe ser estacionario con respecto al sistema de referencia, con el fin de que solo el campo electricocontribuya a la FEM3. La derivada temporal del flujo queda

d

dt

∫

SB · n da =

∫

S

dB

dt· n da

este paso implica que el lazo y la superficie que lo delimita, son estaticos en el tiempo

d

dt

∫

SB · n da =

∫

S

∂B

∂tda−

∫

S[∇× (v ×B)] da

la ley de induccion de faraday queda

∮E · dl = −Kind

∫

S

∂B

∂tda+Kind

∫

S[∇× (v ×B)] da⇒

aplicando el teorema de Stokes a la segunda integral de superficie

∮[E−Kind (v ×B)] · dl = −Kind

∫

S

∂B

∂tda

este serıa el equivalente de la ley de induccion para un circuito que se mueve a velocidad v. Pero por otrolado, para un sistema de referencia que se mueve con esta velocidad, de modo que tanto el lazo como lasuperficie que lo delimita son estacionarios se tiene

∮E′ · dl = −Kind

∫

S

∂B

∂t· n da

la invarianza galileana implica que los dos sistemas de referencia deben ver la misma Fısica y por lo tanto

E′ = E−Kind (v ×B)

12.1.2. Fuerza de Lorentz y ley de induccion

La modificacion del flujo que genera corriente en una espira se puede hacer cambiando el area con campomagnetico fijo. Veamoslo desde el punto de vista de la fuerza de Lorentz.

Supongamos una varilla que se corre apoyada en un alambre con el cual se forma un lazo cerrado, lavelocidad de la varilla es v. Cada partıcula cargada q de la varilla esta sometida a una fuerza F = q (v ×B) /c.Esto producira una corriente que va de b hacia a. Y recorre el circuito en el sentido antihorario.

Para un observador F ′ que viaja con la varilla, el flujo de carga se produce debido a un campo electricoque realiza una fuerza qE sobre q

qE =q (v ×B)

c⇒ E =

v ×B

c

3En tal caso, si pusieramos un conductor en el lugar geometrico del lazo cerrado, solo el campo electrico causarıa corriente,en virtud de la estacionaridad del lazo.


de modo que entre lo extremos aparece una diferencia de potencial inducida por el movimiento o fem quese escribe como ∫ b

aE · dr =

∫ (v ×B

c

)· dr = −vBl

c

al calcular el flujo se obtiene

ΦB =

∫B · dS = BlX

de lo cual se vedΦB

dt=

d

dt(BlX) = Bl

dX

dt= Blv

de lo cual se deduce que ∫E · dr = −1

c

dΦB

dt

de modo que para cambio de area la ley de induccion se sigue cumpliendo y la fuerza de Lorentz da el mismoresultado. El campo ele´ctrico que ve el observador que se mueve con la varilla es experimentalmente real yse deb a las transformaciones relativistas de los campos.

Lo ultimo nos da como consecuencia el hecho de que el campo inducido aparece incluso en ausenciade espiras sobre las cuales se puedan inducir corrientes (aquı la ley de induccion es mas general que la leyde lenz). La variacion del area de la espira no esta incluıda en la ley de induccion ya que esta se suponeestacionaria, sin embargo, con base en la fuerza de Lorentz vemos que aun en este caso se cumple la ley deinduccion. (lo mismo ocurre con areas rotantes).

12.1.3. Forma diferencial de la ley de induccion de Faraday

∫E·dr = −1

c

d

dt

∫B · dS

usando teorema de Stokes ∫

cE·dr =

∫

S∇×E · dS

con lo cual queda ∫ [∇×E +

1

c

∂B

∂t

]· dS = 0

dado que esta expresion debe ser valida para toda area sin importar su magnitud, tamano y orientacion setiene que

∇×E = −1

c

∂B

∂totra manera que justifica mejor el cambio de derivada total a parcial es la siguiente: como la ley de induc-cion es valida para toda curva cerrada y cualquier area que lo delimita, tomemos un lazo de dimensionesinfinitesimales de modo que el campo B esta bien definido en el area que lo delimita, el flujo de B se vuelvesimplemente B · dS. Por otro lado en virtud de la definicion del rotacional tenemos

∫

dCE · dr = (∇×E) · dS

cuando el lazo cerrado tiende a cero en dimensiones. Debemos tener en cuenta que tanto el lazo cerradocomo la superficie que lo delimita estan fijos en el espacio (hay muchas superficies que delimitan a dC peroaquı estamos tomando una fija) pues el lazo y la superficie estan construıdos alrededor de un punto fijo. Portanto, la derivada total del flujo se convierte en parcial ya que no hay variacion en el espacio (ni de el lazo,ni de la superficie ni de los campos) solo hay variacion en el tiempo. Tenemos entonces

(∇×E) · dS = −1

c

∂ (B·dS)

∂t= −1

c

∂B

∂t·dS


como esto esvalido ∀ dS sin importar su orientacion, se concluye que

∇×E = −1

c

∂B

∂t

12.1.4. Inductancia

Supongamos que tenemos dos lazos cerrados de alambre, y que por uno de ellos (lazo 1) circula unacorriente I1, que genera un campo B1. Este campo produce un flujo sobre el lazo cerrado 2, para calculareste flujo apelaremos primero a la ley de Biot Savart, con el fin de encontrar el campo B1

B1 =µ0

4πI1

∮dl1 × (r2 − r1)

|r2 − r1|3

la ley de Biot Savart nos dice que este campo es proporcional a la corriente. Por otro lado, el flujo sobre ellazo 2 del campo generado por el lazo 1 es

Φ2 =

∫B1 · dS2 =

µ0

4πI1

∫ [∮dl1 × (r2 − r1)

|r2 − r1|3]· dS2 ⇒

Φ2 = M21I1

la constante de proporcionalidad M21 se puede reescribir utilizando el teorema de Stokes

Φ2 =

∫B1 · dS2 =

∫(∇×A1) · dS2 =

∮A1 · dl2

usando la expresion (10.10) o mas bien su equivalente unidimensional

Φ2 =

∮ [µ0

4πI1

∮dl1

|r2 − r1|

]· dl2

con lo cual se obtiene

M21 =µ0

4π

∮ ∮dl1 · dl2|r2 − r1|

(12.1)

donde |r2 − r1| es la distancia entre los dos segmentos de alambre dl1 y dl2. Esta expresion, conocida comoformula de Neumann, nos revela varias caracterısticas de esta constante de proporcionalidad que llamaremosinductancia mutua: a) Es una constante geometrica que solo depende de la forma tamano y posicionesrelativas de los lazos cerrados. b) M21 = M12 lo cual se obtiene intercambiando ındices, esto indica que elflujo sobre el lazo 2 debido a una corriente I en el lazo 1, es igual al flujo que se producirıa en el lazo 1si la misma corriente se pone a circular ahora sobre el lazo 2. Esta simetrıa se conoce como teorema dereciprocidad, por esta razon a la inductancia mutua usualmente se le denota simplemente con la letra M .

Es de anotar que para llegar a la formula de Neumann hemos usado la ley de Biot Savart la cual esestrictamente valida solo en el caso estacionario. Sin embargo, ley de Biot Savart tambien es aplicable enmuy buena aproximacion cuando la corriente varıa en el tiempo, siempre y cuando estemos en un regimencuasi estacionario (ver Sec. 16.2). En consecuencia, la formula de Neumann tambien sera aplicable en elregimen temporal cuasiestacionario. Con esta aclaracion, hagamos ahora variar la corriente I1 en el tiempo,de tal forma que se induzca una fuerza electromotriz en el lazo 2

ε2 = −dΦ2

dt= −M dI1

dt(12.2)

naturalmente esto induce una corriente en el lazo 2.Por otro lado, la variacion de la corriente en un alambre cerrado tambien cambia el flujo sobre el propio

alambre, de nuevo el flujo es proporcional a la corriente y podemos escribir

Φ1 = L1I1


la cantidad L1 es un factor de proporcionalidad geometrico que depende de la forma y tamano del alambre,y se denomina autoinductancia, o simplemente inductancia. Cuando la corriente cambia en el tiempo,la fem inducida es

ε = −LdIdt

la inductancia se mide en Henrios (H) que equivale a Volt-Seg/amp.La inductancia al igual que la capacitancia, son positivas. De acuerdo con lo anterior, hay una oposicion

al cambio de corriente en el alambre debido a la fem inducida por el alambre sobre sı mismo, esta oposicionhace que a esta cantidad usualmente se le denomine contrafem. En este sentido la inductancia juega unpapel similar a la masa en mecanica, ya que ası como en mecanica a mayor masa hay mayor oposicion alcambio en la velocidad, de la misma forma a mayor inductancia mayor oposicion al cambio de corriente.

Veamos la energıa necesaria para establecer una corriente en un circuito. Si inicialmente no hay corriente,sera necesario aumentar esta desde cero hasta el valor en cuestion para lo cual habra que vencer la contrafem,el trabajo hecho por unidad de carga en una vuelta completa del circuito sera −ε, (el signo menos indicaque el trabajo es hecho por un agente externo para contrarrestar la contrafem). Por otro lado, la cantidadde carga por unidad de tiempo que pasa por el alambre es I y el trabajo total por unidad de tiempo es

dW

dt= −εI = LI

dI

dt

comenzando con corriente cero el trabajo se obtiene integrando entre 0 e I (valor final de la corriente)∫dW = L

∫I dI ⇒W =

1

2LI2

esta expresion refuerza la analogıa entre la masa y la inductancia (ası como entre la corriente y la velocidad).Es de anotar que esta cantidad no depende del ritmo con el cual se aumente la corriente, y que es una energıarecuperable (diferente por ejemplo al caso de la energıa disipada en una resistencia). Mientras la corrienteeste presente es una energıa latente en el circuito, pero se recupera cuando se apaga dicha corriente.

12.1.5. Energıa almacenada en el campo magnetico

Reescribiremos la expresion para la energıa almacenada en una inductancia, de modoq ue sea facilmentegeneralizable al caso superficial y volumetrico. Comencemos escribiendo el flujo en terminos de el potencialvectorial, y usando el teorema de Stokes

Φ =

∫B · dS =

∫(∇×A) · dS =

∮A · dl

por lo tanto

LI =

∮A · dl

el trabajo para llevar la corriente desde cero hasta un valor I, viene dado por

W =1

2LI2 =

1

2I

∮A · dl =

1

2

∮A · (I dl)

como ya vimos anteriormente, la generalizacion volumetrica se obtiene haciendo I dl → J dV

W =1

2

∮(A · J) dV (12.3)

esta expresion es analoga a la Ec. (1.15), y nos muestra como si la energıa residiera en las corrientes.Veremos otra expresion analoga a (1.18) que muestra como si la energıa residiera en el campo. Usando laley de Ampere, ∇×B = µ0J, podemos escribir la expresion del trabajo en terminos del campo

W =1

2µ0

∮[A · (∇×B)] dV


usamos la identidad vectorialA · (∇×B) = B · B−∇ · (A×B)

de modo que

W =1

2µ0

∮ [B2 −∇ · (A×B)

]dV

W =1

2µ0

∮B2 dV − 1

2µ0

∮(A ×B) · dS

de nuevo tenemos en cuenta que la integral (12.3) se realiza sobre el volumen en donde hay corrientes perose puede extender hasta el infinito con lo cual se anularıa la integral de superficie, quedando

W =1

2µ0

∫

todo el espacioB2 dV (12.4)

que nos muestra como si la energıa residiera en el campo. Cualquiera de las dos interpretaciones es correctadado que lo relevante Fısicamente es el valor total de la energıa. Por otra parte, podrıa a priori ser descon-certante que la creacion de un campo magnetico demande trabajo, ya que las fuerzas magneticas nuncarealizan trabajo, la respuesta reside en el hecho de que en el proceso de llevar el campo desde cero hasta suvalor final, dicho campo tuve que tener una variacion temporal y por tanto se indujo un campo electrico quesı puede hacer trabajo. Aunque este campo esta ausente la principio y al final del proceso, esta presente entodas las etapas intermedias y es contra el que se realiza el trabajo.

Por otro lado, este resultado ha sido probado con argumentos de cuasi estaticidad. Por un lado, seutilizo la ley de Biot Savart que nos obliga a tener procesos estacionarios o cuasi estacionarios para garantizarsu validez, tambien se utilizo la ley de Ampere que como veremos mas adelante, debe ser corregida en elcaso dependiente del tiempo (ley de Ampere Maxwell). Por otro lado, sin embargo, hemos usado la leyde induccion de Faraday, que requiere que el campo magnetico tenga una variacion temporal (sin la leyde induccion no se requerirıa trabajo para crear el campo o la corriente, ya que no habrıa contrafem). Ensıntesis el procedimiento debe ser cuasiestacionario para despreciar las desviaciones de la ley de Biot Savarty de la ley de Ampere (corriente de desplazamiento), pero debe darsele cierta dinamica a los campos queme den razon de la existencia de la contrafem. Es notable que la ecuacion (12.4) es general para campos quevarıan en el tiempo a pesar de las condiciones tan restrictivas con las que se demostro.

12.2. Ecuacion de Ampere Maxwell

Las ecuaciones basicas que se han obtenido hasta el momento son

∇ ·E = 4πρ ∇ · B = 0 ∇×E = −1

c

∂B

∂t∇×B =

4π

cJ

recuerdese que formalmente hablando, las ecuaciones en la materia no tienen ningun contenido nuevo. Lasredefiniciones de campos que se hacen allı solo parametrizan estadısticamente la ignorancia que poseemosde la distribucion detallada de todas las cargas y corrientes en el material. Escribamos en todo caso losanalogos en la materia

∇ · D = 4πρf ∇ ·B = 0 ∇×E = −1

c

∂B

∂t∇×B =

4π

cJ

Vemos que D tiene como fuentes a las cargas libres en tanto que E tiene como fuentes a las cargas libresy a las de polarizacion. Las lıneas de campos fluyen de tales fuentes.

Las lıneas de campo de B se cierran sobre sı mismas. No hay cargas magneticas.La ley de induccion de Faraday nos dice que existen campos eleectricos inducidos por campos magneticos

variables en el tiempo. Esstos campos electricos no son conservativos y no tienen a las cargas como fuentesy sus lıneas de campo se cierran sobre sı mismas ya que al no tener fuentes ρ = 0 y entonces ∇ · E = 0.

12.2. ECUACION DE AMPERE MAXWELL 231

La ultima ecuacion nos dice que el campo magnetico es originado por cargas en movimiento, y portanto su existencia depende del sistema de referencia. Esta ecuacion no expresa la posibilidad de camposmagneticos inducidos por los electricos que varıen en el tiempo. Esta posibilidad tendrıa sentido ya que estoscampos tampoco tendrıan fuentes y se mantiene entonces que ∇ · B = 0 y que las lıneas de B se cierransobre sı mismas.

La ley fundamental de la conservacion de la carga nos conduce a la ecuacion de continuidad

∇ · J +∂ρ

∂t= 0

Es importante examinar si las ecuaciones anteriores son compatibles con dicha ecuacion de continuidad, enparticular, las ecuaciones que involucran fuentes, veamos

∇ ·E = 4πρ ⇒ 1

4π∇ ·(∂E

∂t

)=∂ρ

∂t;

∇×B =4π

cJ ⇒ ∇ · (∇×B) =

4π

c(∇ · J) ⇒ 0 = (∇ · J)

vemos por tanto que la ecuacion (∇×B) = 4πc J solo es compatible con la ecuacion de continuidad si

no hay acumulacion o perdida de carga en ninguna region, es decir en el caso estacionario en el cual∇·J = 0 = ∂ρ

∂t , pero es claramente incompatible en el caso dependiente del tiempo. Por otro lado la ecuacion

∇·E = 4πρ no presenta ninguna cotradiccion aparente, puesto que el valor de ∂E∂t nos es desconocido hasta el

momento, si bien tampoco podemos ver su compatibilidad con la ecuacion de continuidad. Adicionalmente, laexperiencia muestra que las ecuaciones que involucran las divergencias de los campos se pueden extrapolaral caso dependiente del tiempo. Por tanto, es natural intentar modificar la ecuacion del rotacional delcampo magnetico, colocando un termino adicional que vuelva esta ecuacion compatible con la ecuacion decontinuidad.

Otra forma de ver mas fenomenologicamente la violacion de la conservacion de la carga si la ley deAmpere no se modifica: Sea un circuito RC para descarga de condensador, la corriente se interrumpe entrelas armaduras, allı justamente hay acumulacion de carga (perdida en este caso) tomemos una curva cerradaC alrededor de uno de los alambres suficientemente lejos del condensador el teorema de la divergencia nosda ∫

B · dl =

∫(∇×B) · dS

tomemos dos superficies que estan acotadas por la misma C. Una la del plano generado por C, la otra de talforma que se alargue y atrape a la armadura mas cercana. La primera encierra una corriente I, quedando

∫B · dl =

4π

c

∫

SJ · dS

con J la densidad de corriente que atravieza a S. Basicamente el campo magnetico es el de un alambre.Sobre la superficie S ′ en cambio no fluye ninguna corriente pues ninguna carga atraviesa esta superficie, estonos indicarıa que ∫

SJ · dS 6=

∫

S′

J · dS′

lo cual contradice el teorema de stokes, o el hecho de que divB = 0 (chequear). Amba situaciones una formaly la otra fenomenologica nos induce a pensar que algo falta en la ecuacion ultima

∇×B =4π

cJ + R ⇒ c

4π(∇×B −R) = J

usandola ecuacion de continuidad

∇ · (∇×B) =4π

c∇ · J + ∇ ·R


0 =4π

c∇ · J + ∇ ·R

∇ · J = − c

4π∇ ·R

pero de ρ = 14π∇ · E

∂ρ

∂t=

1

4π

∂

∂t(∇ · E)

las dos ultimas ecuaciones se reemplazan en la Ec. de continuidad

− c

4π∇ ·R+

1

4π

∂

∂t(∇ · E) = 0

∇ ·(− c

4πR+

1

4π

∂E

∂t

)= 0

si tomamos

R =1

c

∂E

∂t

es condicion suficiente para satisfacer ec. de continuidad (no es necesaria ya que ∇·V = 0 no implica V = 0).Un argumento interesante es que esta igualdad le da simetrıa a las ecuaciones.

Este nuevo termino soluciona el problema ya que el teorema de stokes nos dice ahora

∫B · dl =

4π

c

∫

S

(J+

1

c

∂E

∂t

)· dS

como el campo E esta disminuyendo en intensidad con el tiempo (pues se esta descargando el condensador)su derivada apunta en la direccion contraria al campo, este termino produce entonces un flujo hacia elinterior de la superficie S′ de modo que este ya no serıa nulo. Para ver que el flujo es el mismo por S yS′ obse’rvese que los dos forman una superficie cerrada y que el flujo sobre esta superficie cerrada es cero(justamente por conservacion de carga).

La ecuacion corregida queda

∇×B =4π

cJ +

1

c

∂E

∂t

ecuacion de Ampere Maxwell. Maxwell la saco por razones teoricas sin justificacion experimental, fue nece-sario esperar hasta la deteccion de ondas electromagnetica por H. Hertz para comprobarlo. El terminoadicional se denomino corriente de desplazamiento pues parece darle continuidad a la corriente que se inter-rumpio en las placas.

12.2.1. Forma integral de la cuarta ecuacion de Maxwell

Supongamos una superficie abierta S rodeada por una curva C. Por integracion

∫(∇×B) · dS =

4π

c

∫J · dS +

1

c

∫∂E

∂t· dS

con el teorema de stokes ∫B · dr =

4π

ci+

1

c

dΦE

dt

el termino de la izquierda se le conoce a veces como fuerza magnetomotriz. En este caso, la fuerza magne-tomotriz no se opone al incremento de flujo. Las direcciones de los campos inducidos tambien dependen dela corriente. En ausencia de estas, los campos inducidos contribuyen al flujo electrico.

12.3. ECUACIONES DE MAXWELL 233

12.3. Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones basicas que describen la dinamica de los campos electrico y magnetico son

∇ ·E = 4πρ , ∇ · B = 0

∇×E = −1

c

∂B

∂t, ∇×B =

4π

cJ +

1

c

∂E

∂t

La ecuacion de continuidad es deducible de las ecuaciones de Maxwell gracias a la inclusion de la corrientede desplazamiento. Debemos recordar que un campo vectorial esta completamente especificado si se conocensu divergencia, su rotacional y las condiciones de frontera. Las ecuaciones de Maxwell determinan comple-tamente la dinamica de los campos si se conocen las condiciones de frontera (o en la materia si se conocenlas relaciones entre E,B,H,D, las cuales dependen de las propiedades de los materiales). En general, esmas facil conocer las condiciones de frontera en los potenciales vectorial y escalar, por lo cual escribir lasecuaciones de Maxwell en terminos de dichos potenciales sera de gran utilidad.

Es notable la simetrıa que tienen las ecuaciones de Maxwell en ausencia de fuentes (J = ρ = 0), lapregunta natural es ¿porque la introduccion de las fuentes agrega una asimetrıa en las ecuaciones?, larespuesta reside en la ausencia de cargas magneticas y corrientes generadas por dichas cargas, si tales cargasexistieran las ecuaciones tendrıan una notable simetrıa aun en presencia de fuentes. La ecuacion ∇·B = 0 esla que nos revela la ausencia de estas cargas, y fenomenologicamente se refleja en la ausencia de monopolosmagneticos (imanes de un solo polo por ejemplo), por lo cual las lıneas de campo se deben cerrar sobresı mismas. En contraste, la ley de Gauss para el campo electrico ∇ · E = 4πρ (que fundamentalmente es laley de Coulomb mas el principio de superposicion), nos revela la existencia de cargas electricas en el sentidode que las lıneas de campo comienzan y terminan en tales cargas.

Las ecuaciones que involucran al rotacional nos describen procesos de induccion de campos E ↔ B, uncampo electrico puede ser inducido por la variacion temporal de un campo magnetico, de acuerdo con la leyde induccion de Faraday, otro aspecto notable de esta ley de induccion es el hecho de que un cambio de flujosobre un lazo cerrado produce una fuerza electromotriz que se opone a dicho cambio, de modo que el signomenos en la tercera ecuacion de Maxwell es mucho mas que una mera convencion, se puede ver incluso queel cambio de este signo implicarıa un crecimiento indefinido del flujo que comprometerıa la estabilidad de lamateria misma. Finalmente, la cuarta ecuacion (ley de Ampere Maxwell) indica que un campo magneticoes inducido bien por corrientes o bien por campos electricos que varıan en el tiempo, recordemos que eltermino ∂E/∂t (corriente de desplazamiento) fue introducido para que las ecuaciones fueran compatiblescon la ecuacion de continuidad, hay varias diferencias con respecto a la ley de induccion de Faraday a) Laausencia de cargas magneticas produce una asimetrıa entre ambas ecuaciones, b) La derivada temporal notiene un signo menos en la cuarta ecuacion, la razon es que la “fuerza magnetomotriz” que se introducirıaen la formulacion integral de la cuarta ecuacion, no puede interpretarse en ningun sentido como un trabajo,y por tanto no compromete la estabilidad de la materia.

Es notable el hecho de que el campo electrico se puede separar en dos terminos E = Eind + Egen dondeEind es un campo inducido por la variacion temporal del campo magnetico en tanto que Egen es el campogenerado por las cargas. El campo Eind es un campo transversal ya que ∇·Eind = 0, en tanto que el campogenerado por las cargas es longitudinal ya que ∇× Egen = 0. En consecuencia la primera y tercera de lasecuaciones de Maxwell se podrıan escribir en terminos del campo Egen y Eind respectivamente. En contraste,el campo magnetico es puramente inducido y netamente transversal, no se conoce un Bgen. Por otro lado,hay dos fuentes para la induccion del campo magnetico: las corrientes y las variaciones temporales de loscampos electricos.

Por otro lado, las ecuaciones de Maxwell describen la dinamica completa de los campos una vez que seconoce la distribucion de sus fuentes (J, y ρ). Sin embargo, estas ecuaciones no predicen el comportamientode una carga inmersa en estos campos, de modo que la expresion de la fuerza de Lorentz es independientede las ecuaciones de Maxwell.


12.4. Potenciales A y φ, transformaciones gauge

De ∇ · B = 0, se tiene queB = ∇×A (12.5)

Por otro lado, de

∇×E +1

c

∂B

∂t= 0 ⇒ ∇×E+

1

c∇× ∂A

∂t= 0

∇×[E +

1

c

∂A

∂t

]= 0

esto indica que el vector E + 1c∂A∂t define un campo virtualmente conservativo, de modo que

E +1

c

∂A

∂t= −∇φ

con lo cual el campo electrico resulta

E = −∇φ− 1

c

∂A

∂t(12.6)

Los campos E y B estan unıvocamente determinados por las condiciones de frontera, pero este no es el casocon los campos A,φ definidos anteriormente. La transformacion A′ = A + ∇ψ deja invariante la relacionB = ∇ × A. Sin embargo, la relacion con el campo electrico sı se ve alterada a menos que se haga latransformacion adecuada sobre el campo escalar φ. Hagamos la transformacion φ ′ = φ + g adecuada paramantener invariante la expresion para el campo electrico

E = −∇φ′ − 1

c

∂A′

∂t= −∇ (φ+ g) − 1

c

∂ (A + ∇ψ)

∂t= −∇φ− 1

c

∂A

∂t−∇g − 1

c

∂ (∇ψ)

∂t

= −∇φ− 1

c

∂A

∂t−∇

[g +

1

c

∂ψ

∂t

]

la invarianza se obtiene si ∇[g + 1

c∂ψ∂t

]= 0, en todo el espacio tiempo. Por tanto, se obtiene como condicion

de suficiencia

g = −1

c

∂ψ

∂t

Por tanto los campos E y B son invariantes ante la transformacion simultanea de los campos A y φ de lasiguiente forma

A′ = A + ∇ψ ; φ′ = φ− 1

c

∂ψ

∂t(12.7)

donde ψ es cualquier funcion regular (bien comportada) del espacio y el tiempo.Esta arbitrariedad en la definicion de los potenciales nos permitira importantes simplificaciones y la

eleccion de diferentes gauges.Reemplazando las expresiones de los campos en terminos de los potenciales en las ecuaciones de Maxwell

con fuentes, se llega a

∇ ·[−∇φ− 1

c

∂A

∂t

]= 4πρ⇒

∇2φ+1

c

∂

∂t∇ ·A = −4πρ (12.8)

∇× (∇×A) =4π

cJ +

1

c

∂

∂t

(−∇φ− 1

c

∂A

∂t

)= ∇ (∇ · A) −∇2A

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2−∇

(∇ · A +

1

c

∂φ

∂t

)= −4π

cJ (12.9)

12.4. POTENCIALES A Y φ, TRANSFORMACIONES GAUGE 235

hemos obtenido un par de ecuaciones en las cuales A y φ aparecen acoplados. El desacople se puede logrargracias a la simetrıa gauge. Dado que hay cierta libertad para escoger la divergencia de A podemos hacerdiversas escogencias relativas a esta divergencia. Recordemos en todo caso que aun la especificacion dela divergencia de A no conduce a un valor unico de este, en virtud de que la unicidad requiere tambiende condiciones de frontera. En particular, esto implicara que las escogencias que haremos aquı (gauge deLorentz y de Coulomb) no son en general excluyentes, es decir el potencial vectorial puede eventualmentesatisfacer las condiciones impuestas por ambos gauges.

12.4.1. Gauge de Lorentz

Las ecuaciones (12.8) y (12.9) estan fuertemente acopladas. Una forma natural de desacoplar dichasecuaciones es a traves de la siguiente escogencia de la divergencia de A:

∇ · A +1

c

∂φ

∂t= 0 (12.10)

conocida como gauge de Lorentz. Con este gauge las Ecs. (12.8, 12.9) quedan

∇2φ− 1

c

∂

∂t

(1

c

∂φ

∂t

)= −4πρ⇒ ∇2φ− 1

c2∂2φ

∂t2= −4πρ

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ

quedando

∇2φ− 1

c2∂2φ

∂t2= −4πρ (12.11)

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ (12.12)

los potenciales se han desacoplado y han quedado en terminos de sus propias fuentes (escalar con carga,vectorial con corriente). Ademas hemos obtenido una ecuacion de onda para ambos potenciales y ambos sepropagarıan a la velocidad c (mas adelante se vera que corresponde a la velocidad de la luz).

Es importante demostrar que la condicion de Lorentz siempre se puede satisfacer. Supongamos que A, φno satisfacen la condicion de Lorentz, utilicemos un gauge que nos lleve a dicha condicion

∇ ·A′ +1

c

∂φ′

∂t= 0 = ∇ · (A + ∇ψ) +

1

c

∂

∂t

(φ− 1

c

∂ψ

∂t

)

0 = ∇ ·A +1

c

∂φ

∂t+ ∇2ψ − 1

c2∂2ψ

∂t2

de modo que los nuevos potenciales satisfacen la condicion de Lorentz si ψ satisface la ecuacion

∇2ψ − 1

c2∂2ψ

∂t2= −

(∇ ·A +

1

c

∂φ

∂t

)

una transformacion gauge restringida es aquella que satisface

∇2ψ − 1

c2∂2ψ

∂t2= 0

de modo que la condicion de Lorentz es invariante.


12.4.2. Gauge de Coulomb o transverso

En este caso se elige∇ · A = 0

aplicado a las ecuaciones 12.8, 12.9 obtenemos

∇2φ+1

c

∂

∂t(0) = −4πρ⇒ ∇2φ = −4πρ

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2−∇

(0 +

1

c

∂φ

∂t

)= −4π

cJ ⇒ ∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ +

1

c∇(∂φ

∂t

)

quedando

∇2φ = −4πρ (12.13)

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ +

1

c∇(∂φ

∂t

)(12.14)

La primera es una ecuacion de Poisson para φ la cual tiene como solucion para frontera en espacio infinito

φ (r, t) =∫ ρ(r′,t)

|r−r′|dV′. De modo que este campo φ se propaga instantaneamente, en tanto que A obedece a

una ecuacion de onda inhomogenea (que acopla los dos campos) y que se propaga con velocidad finita. Laaccion instantanea contradice a priori los postulados de la relatividad especial. Sin embargo, no debemosolvidar que son los campos y no los potenciales, los que tienen sentido Fısico, los ultimos como hemosvisto portan una arbitrariedad en su definicion. Al observar las ecuaciones de los campos en funcion de lospotenciales vemos que son las variaciones espacio temporales de estos campos las que tienen sentido Fısico,y puede probarse que estas variaciones si se propagan con velocidad c en el vacıo. En este gauge, A, φ noestan desacoplados aunque se puede escribir para frontera en el infinito

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ +

1

c∇ ∂

∂t

∫ρ (r′, t)|r − r′|dV

′

una simplificacion importante puede hacerse si tenemos en cuenta que todo vector se puede descomponeren una parte longitudinal y otra transversal tal que

J = Jl + Jt ∇× Jl = 0, ∇ · Jt = 0

usando las identidades vectoriales

∇×

∇× Jl︸︷︷︸

=0

= ∇ (∇ · Jl) −∇2Jl ⇒ ∇2Jl = ∇ (∇ · Jl) = ∇ (∇ · J)

queda una ecuacion de Poisson para Jl con “densidad de carga” 14π∇ (∇ · J) de modo que la solucion para

espacio infinito queda

Jl = − 1

4π

∫ ∇′ (∇′ · J′)|r− r′| dV ′ = − 1

4π∇∫

(∇′ · J′)|r− r′| dV

′

para Jt

∇× (∇× Jt) = ∇(∇ · Jt)︸︷︷︸=0

−∇2Jt ⇒

∇2Jt = −∇× (∇× Jt) = −∇× (∇× J)

ecuacion de Poisson con densidad equivalente − 14π∇× (∇× J)

Jt = − 1

4π

∫ ∇′ × (∇′ × J′)|r − r′| dV ′ =

1

4π∇×

[∇×

∫J′

|r − r′|dV′]

12.5. ECUACIONES DE MAXWELL EN LA MATERIA 237

Es importante enfatizar que Jl y Jt existen en todo el espacio aunque J este localizado. Teniendo en cuentala solucion para el potencial escalar y la ecuacion de continuidad

∂φ (r, t)

∂t=

∂

∂t

∫ρ (r′, t) dV ′

|r − r′| =

∫dV ′

|r− r′|∂ρ (r′, t)

∂t= −

∫dV ′

|r− r′|∇′ · J′

∇∂φ (r, t)

∂t= −∇

∫dV ′

|r − r′|∇′ · J′ = 4πJl

la ecuacion para A toma la forma

∇2A − 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ +

1

c∇∂φ

∂t

= −4π

cJ +

4π

cJl

∇2A − 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJt

el potencial obdece a una ecuacion de onda que solo esta determinada por la parte transversal de la densidadde corriente. Por este motivo tambien se le suele llamar gauge transverso.

Haciendo una separacion similar para el potencial vectorial

A = Al + At ∇×Al = 0 ⇒ Al = −∇η ; ∇ ·At = 0 ⇒ At = ∇× b

en este gauge∇ ·A = 0 = ∇ · Al + ∇ ·At = ∇ ·Al = ∇2η

de donde se concluye que∇2η = 0

en todo el espacio. Ya se habıa discutido que esta solucion conduce a η = 0 en todo el espacio y ası. A = A t

resultando

∇2At −1

c2∂2At

∂t2= −4π

cJt ; Al = 0

Observese que en ausencia de fuentes (campo libre)

∇2φ = 0 ; ∇2A− 1

c2∂2A

∂t2=

1

c∇(∂φ

∂t

)

la solucion φ = 0, nos lleva a

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= 0

con ∇ ·A = 0. En condiciones estacionarias se obtiene lo que ya conocıamos

∇2φ = −4πρ ; ∇2A = −4π

cJ

12.5. Ecuaciones de Maxwell en la materia

12.5.1. Corriente de Polarizacion

Consideremos un dielectrico inmerso en un campo electrico variable en el tiempo. Los centros de cargacambian su posicion relativa con respecto al tiempo, por tanto al considerar un pequeno volumen ∆V amedida que aumenta el campo mas cargas positivas (negativas) entran (salen) por la izquierda. Del mismomodo por la derecha las cargas positivas (negativas) salen (entran) esto equivale a la existencia de unacorriente conocida como corriente de polarizacion.


Si el dielectrico no posee cargas libres, la corriente de polarizacion Jp se debe exclusivamente a losmomentos dipolares. Especıficamente, es proporcional al cambio con el tiempo del momento dipolar de losatomos o moleculas del material.

Asumiendo que la ecuacion de continuidad es valida para este tipo de corrientes se tiene

∇ · Jp +∂ρP∂t

= 0 con ρp = −∇ · P

∇ · Jp +∂

∂t(−∇ · P) = 0 ⇒ ∇ ·

(Jp −

∂P

∂t

)= 0

Veamos las limitaciones de esta formulacion. No hay un principio de conservacion para las cargas de po-larizacion, de por sı estas pueden ser creadas (destruıdas) con la creacion (destruccion) de dipolos en elmaterial. Por ejemplo si los campos oscilantes llegan a ser muy intensos pueden disociar o ionizar moleculas,destruyendo cargas de polarizacion y creando cargas libres. Si cargas de polarizacion pueden ser creadas elprincipio de conservacion de la carga debe estar asociada a la suma de cargas libres mas las de polarizacion.Observese ademas que incluso si los dipolos no se crean ni se destruyen sino que solo se reorientan, es posi-ble que la carga de polarizacion no se conserve ya que el vector de polarizacion como promedio estadısticotambien puede cambiar en este caso. Por tanto es necesario que los campos no sean muy intensos en ninguninstante y ademas varıen suavemente en el tiempo4.

Las corrientes de magnetizacion tambien satisfacen una ecuacion de continuidad bajo condiciones seme-jantes al caso de la polarizacion.

∇ · JM +∂ρM∂t

= ∇ · (c∇×M) +∂

∂t(0) = 0

ya que no existen cargas magneticas (no se deben confundir estas cargas magneticas con aquellas “cargas”que se definieron para el potencial escalar, pues estas no estan ligadas a la corriente de magnetizacion)(chequear).

———————————————–Como ya vimos, la presencia de campos electricos en la materia genera cargas de polarizacion y la pres-

encia de campos magneticos genera corrientes de magnetizacion. Como en los casos estatico y estacionario,resulta benefico reescribir las ecuaciones de Maxwell de tal manera que solo aparezcan explıcitamente lascargas y corrientes libres, que son las que mas se pueden controlar experimentalmente.

En el caso dependiente del tiempo, las cargas de polarizacion y corrientes de magnetizacion obedecena expresiones similares a los casos estaticos y estacionarios de las Ecs. (9.5, 11.6). Sin embargo, en el casodependiente del tiempo aparece un nuevo tipo de corriente ligada que surge de la variacion temporal delvector de polarizacion. Para ver esto, tomemos un trozo de columna del material de tal modo que la columnava en la direccion de P. Como ya se discutio en la seccion (9.2.1) la polarizacion produce una carga superficialen los extremos del material de valores ±σp tal que |σp| = P . Si P aumenta hay una aumento tambien enlas densidades superficiales, lo cual da una corriente neta de la forma

dI =∂σp∂t

da⊥ =∂P

∂tda⊥

la densidad vectorial es entonces

Jp =∂P

∂t(12.15)

esta corriente de polarizacion debe ser agregada a la corriente libre Jf y a la corriente de magnetizacion JM .Observese que a diferencia de las corrientes de magnetizacion (que se produce por circulaciones microscopicascerradas) esta corriente esta asociada a movimiento lineal de carga, que surge cuando la polarizacion cambiacon el tiempo.

4Variaciones rapidas aun con campos debiles inducen campos magneticos fuertes que pueden afectar la distribucion de cargasen el material (chequear).

12.5. ECUACIONES DE MAXWELL EN LA MATERIA 239

En relacion con lo anterior, es necesario verificar que la ecuacion (12.15) que define a la densidad decorriente de polarizacion, es consistente con la ecuacion de continuidad.

∇ · Jp = ∇ ·(∂P

∂t

)=

∂

∂t(∇ ·P) = −∂ρp

∂t

de modo que la ecuacion de continuidad se cumple, en realidad puede verse que en el caso dependiente deltiempo, la conservacion de la carga ligada requiere de la existencia de esta corriente de polarizacion5.

Podrıa pensarse que la variacion temporal de la magentizacion produce una carga o corriente adicional.Sinembargo, este no es el caso y la variacion de la magnetizacion solo genera cambios en la corriente demagnetizacion JM = ∇×M. Por lo tanto, en la materia definimos dos tipos de densidad de carga: densidadde carga libre y de polarizacion

ρ = ρf + ρp = ρf −∇ · Pen tanto que la corriente se divide en tres partes

J = Jf + JM + Jp = Jf + ∇×M +∂P

∂t

la ley de Gauss se escribe

∇ ·E = 4πKc (ρf −∇ · P)

∇ · D = 4πKcρf ; D ≡ E

4πKc+ P

por otro lado la ley de Ampere Maxwell se reescribe como

∇×B = 4πKa

(Jf + ∇×M+

∂P

∂t

)+Ka

Kc

∂E

∂t

∇×(

B

4πKa−M

)= Jf +

∂

∂t

(P +

E

4πKc

)

∇×H = Jf +∂D

∂t; H ≡ B

4πKa−M

la definicion de H es la misma que en el caso estacionario, sin embargo la corriente de desplazamiento enla materia (que aparece solo en el caso dependiente del tiempo), contiene la informacion de la corriente dedesplazamiento en el vacıo mas la contribucion debida a las corrientes de polarizacion. Las ecuaciones deMaxwell restantes (∇ ·B = 0, y la ley de induccion de Faraday) no contienen a las fuentes de modo que nosufren modificaciones, las ecuaciones de Maxwell quedan

∇ ·D = 4πKcρf ∇ ·B = 0

∇×E = −∂B∂t

; ∇×H = Jf +∂D

∂t

las ecuaciones de Maxwell en la materia tienen la ventaja de estar escritas en terminos de las corrientesy cargas libres, pero tienen la desventaja de mezclar los campos en la materia y en el vacıo. Por estarazon, las ecuaciones de Maxwell en la materia deben ser complementadas con relaciones constitutivas quedeterminen completamente a D y H en terminos de E y B. Para medios isotropicos lineales y homogeneosestas relaciones constitutivas estan determindas por

P = ε0χeE ; M = χMH

D = εE H =B

µ

5Recuerdese que en general lo que se tiene que conservar es la carga total definida como la carga ligada mas la carga libre.En realidad es posible que la carga libre se convierta en carga ligada y viceversa, pero en la mayorıa de los casos ambos tiposde carga se conservan por aparte.


las condiciones de frontera en presencia de cargas y corrientes superficiales se pueden calcular usando laforma integral de las ecuaciones de Maxwell, y con un procedimiento analogo al descrito en las secciones(9.6, 11.5.1), estas condiciones vienen dadas por

D⊥1 −D⊥

2 = σf ; B⊥1 −B⊥

2 = 0

E‖1 −E

‖2 = 0 ; H

‖1 −H

‖2 = ~λf × n (12.16)

en el caso de medios lineales, estas discontinuidades se pueden escribir como

ε1E⊥1 − ε2E

⊥2 = σf ; B⊥

1 −B⊥2 = 0

E‖1 −E

‖2 = 0 ;

B‖1

µ1− B

‖2

µ2= ~λf × n (12.17)

estas ecuaciones son fundamentales a la hora de estudiar la refracion reflexion y transmision de ondas cuandocambian de medio. Las ecuaciones (12.17) se obtienen con razonamientos similares a los presentados en loscasos estaticos y estacionarios descritos en las secciones (1.8, 11.5.1), el unico criterio nuevo es tener encuenta que la cantidad

d

dt

∫D · dS

es nula (¿porque?).

Capıtulo 13

Leyes de conservacion

Las ecuaciones de Maxwell describen la dinamica de los campos electricos y magneticos generados porcargas y corrientes, describe la generacion y propagacion de ondas y permite describir los campos en mediosmateriales bajo ciertas consideraciones estadısticas.

Sin embargo, estas ecuaciones no pueden describir el movimiento de una carga o distribucion de cargasinmersa en un campo electromagnetico, para lo cual hay que recurrir a la ecuacion de la fuerza de Lorentz1.Asumiremos que la expresion F = q (E + v ×B/c), es tambien valida para campos que varıan con eltiempo. Si la distribucion es volumetrica podemos aplicar esta expresion sobre un elemento diferencialdF = dq (E + v ×B/c) con dq = ρ dV y ρv = J, podemos definir f = dF/dV como la densidad volumetricade fuerza, con lo cual

dF

dV=

dq

dV(E + v ×B/c) ⇒ f = ρ (E + v ×B/c)

f = ρE + ρv ×B/c⇒ f = ρE +J×B

c(13.1)

En mecanica Newtoniana se obtienen unos principios de conservacion para sistemas aislados (energıa, mo-mento lineal, momento angular). En lo que sigue definiremos sistemas aislados de cargas y campos que nosconduzcan a estos mismos principios de conservacion, para lo cual sera necesario redefinir las cantidades deenergıa, momento lineal, y momento angular2. En el formalismo original de la mecanica Newtoniana, todasestas cantidades estaban asociadas a las partıculas, no obstante es necesario postular que los campos puedentransportar estas cantidades para poder conciliar los postulados de la relatividad especial, y la causalidadcon los principios de conservacion.

1En la discusion sobre la ley de induccion de Faraday se utilizo la fuerza de Lorentz para derivar el principio de induccionsobre un lazo conductor cerrado. Sin embargo, la ley de induccion de Faraday extrapola el mecanismo de creacion de un campoelectrico inducido, al caso en el cual el loop puede ser cualquier lugar geometrico cerrado (incluso en el vacıo), al hacer estaextrapolacion, ya no se puede derivar la ley de induccion de la fuerza de Lorentz, de modo que esta ultima no esta en generalcontenida en la ley de induccion de Faraday.

2Una forma mas natural de redefinir estas cantidades consiste en observar las variables cıclicas del lagrangiano de Maxwell ysus momentos canonicamente conjugados. Desde el punto de vista del teorema de Noether se puede ver a su vez, que si exigimosla invarianza de este lagrangiano ante traslaciones temporales, espaciales y rotaciones, los momentos canonicamente conjugadoscorresponderan a la energıa, el momento, y el momento angular respectivamente.

241

242 CAPITULO 13. LEYES DE CONSERVACION

13.1. Conservacion de la energıa: Teorema de Poynting

Calculemos el trabajo realizado por el campo electromagnetico sobre un elemento infinitesimal de cargadq, y en un intervalo infinitesimal de tiempo dt (o trayectoria infinitesimal dl)

dW = dF · dl = f · dl dV =

[ρE +

J×B

c

]· dl dV

dW =

[ρE +

J ×B

c

]· v dt dV = ρE · v dt dV

donde hemos tenido en cuenta que J = ρv, de lo cual se deduce que (J×B) · v = 0, de modo que el campomagnetico no realiza trabajo sobre la distribucion de cargas. Este es un diferencial de segundo orden yaque la trayectoria serıa infinitesimal, ası como la carga sobre la cual se realiza trabajo. El trabajo realizadopor unidad de tiempo sobre la carga infinitesimal dq (potencia suministrada por el campo a la distribucionconfinada al volumen dV ) es

dW ′

dt= ρE · v dV = J ·E dV

y la potencia suministrada por el campo a la distribucion de cargas confinada en un cierto volumen V es

dW

dt=

∫

VρE · v dV =

∫

VJ ·E dV (13.2)

esta potencia representa la transformacion de energıa electrica a mecanica o termica y debe ser balanceadapor un decrecimiento en la energıa del campo dentro del volumen V 3. Con el fin de escribir esta potencia enterminos exclusivamente de los campos, despejamos J de la ecuacion ∇×B = 4πJ

c + 1c∂E∂t y reemplazamos4

dW

dt=

∫J · E dV =

c

4π

∫ [∇×B − 1

c

∂E

∂t

]·E dV

y utilizando la identidad vectorial ∇ · (A×B) ≡ B · (∇×A) −A· (∇×B) se tiene5

∇ · (E×B) ≡ B · (∇×E) −E· (∇×B) = −B ·(

1

c

∂B

∂t

)−E· (∇×B)

3Observese que si en un cierto sector del volumen las cargas van en direccion contraria al campo electrico (o al menos laproyeccion de la velocidad sobre el campo es negativa), tendremos que J · E es negativo de modo que son la cargas las querealizan trabajo sobre el campo, contribuyendo a un aumento de la energıa de este. Esto es logico ya que se produce un frenadode las partıculas, de lo cual el campo extrae energıa a expensas de la disminucion de la energıa cinetica de estas (radiacion defrenado).

4A priori se podrıa pensar que este despeje no es correcto, dado que J no es parte de las fuentes del campo, sino unadistribucion inmersa en el (las fuentes se consideran remotas). Sin embargo, hay que tener en cuenta que las ecuaciones deMaxwell en forma diferencial son locales y dependen de las densidades de carga y corriente en el punto de evaluacion, sinimportar cuales son las fuentes.

5Esta identidad se puede demostrar ası:

∇ · (A ×B) ≡ ∂i (A × B)i = ∂i (εijkAjBk)

= εijk (∂iAj)Bk + εijkAj (∂iBk) = εkij (∂iAj)Bk − εjikAj (∂iBk)

= (εkij∂iAj)Bk −Aj (εjik∂iBk) = (∇× A)k Bk −Aj (∇× B)j

= B · (∇×A) − A· (∇×B)

13.1. CONSERVACION DE LA ENERGIA: TEOREMA DE POYNTING 243

dW

dt=

c

4π

∫ [(∇×B) · E− 1

c

∂E

∂t·E]dV

dW

dt=

c

4π

∫ [−∇ · (E×B) −B ·

(1

c

∂B

∂t

)− 1

c

∂E

∂t·E]dV

dW

dt=

1

4π

∫ [−∇ · (cE×B) − 1

2

(∂

∂t

)(B2 + E2

)]dV =

∫J ·E dV

si la expresion es valida para un volumen arbitrario se concluye que

∇ ·( c

4πE×B

)+

(∂

∂t

)(B2 + E2

8π

)= −J ·E

quedando

∇ · S +∂ε

∂t= −J · E (13.3)

donde definimos

S ≡ c

4πE×B ; ε ≡

(B2 + E2

8π

)(13.4)

la ecuacion (13.3) es una ecuacion de continuidad con fuentes. Comparando con la ecuacion de continuidadasociada a la conservacion de la carga, S es el analogo a la densidad de corriente, en tanto que ε es elequivalente de la densidad de carga. Recordando que la magnitud de la densidad de corriente representa lacantidad de carga por unidad de area por unidad de tiempo que atraviesa la superficie, y que su direcciondescribe la direccion de propagacion de las cargas, entonces es logico interpretar a S (vector de Poynting),como un vector cuya magnitud representa la energıa (asociada a los campos) por unidad de area por unidadde tiempo que atraviesa la superficie, y su direccion es la direccion en la cual esta energıa se propaga.Similarmente ε representa la densidad de energıa asociada a los campos.

En virtud de que tenemos una ecuacion de continuidad inhomogenea para la energıa asociada a loscampos, se deduce que dicha energıa no se conserva, ¿significa esto que se viola el principio de conservacionde la energıa? un examen mas cuidadoso nos muestra el origen del termino inhomogeneo (fuente o sumiderode energıa), el termino inhomogeneo surge de la presencia de partıculas cargadas, lo cual simplemente nosindica que estas pueden intercambiar energıa con el campo electromagnetico. En sıntesis, la inhomogeneidadse debe a que la energıa que hemos definido no tiene en cuenta a todos los subsistemas que pueden almacenare intercambiar energıa. Sin embargo, la energıa total (tomando todos los sistemas que la pueden almacenare intercambiar) debe cumplir una ecuacion de continuidad homogenea, de lo contrario habrıa una autenticaviolacion de este principio de conservacion. En el caso en el cual no hay cargas, de modo que tenemos uncampo puro de radiacion o campos confinados en una region donde no hay cargas, se tiene que ∇·S+ ∂ε

∂t = 0y la energıa del campo se conserva, puesto que el flujo de energıa esta implicando un cambio en su densidad,en tal caso la ecuacion de continuidad no tiene fuentes para la energıa.

Retornado al caso general, integramos en el volumen∫

(∇ · S) dV +

∫∂ε

∂tdV = −

∫(J · E) dV

∮S · da +

d

dt

∫εdV = −

∫(J · E) dV

−∮

S · da =

∫(J ·E) dV +

d

dt

∫εdV (13.5)

teniendo en cuenta que S es la energıa por unidad de area por unidad de tiempo que cruza la superficie, setiene que −

∮S · da es la energıa por unidad de tiempo que entra al volumen (dado que da apunta hacia

afuera del volumen). Por otro lado, de acuerdo con la ecuacion (13.2), la expresion∫

(J ·E) dV 6representa

6Observese que el termino∫

(J · E) dV no contribuye en las regiones donde hay ausencia de cargas o donde las cargas estanen reposo. Efectivamente, si las cargas estan en reposo, ellas pueden contribuır a Ep pero no a su variacion temporal.


el trabajo por unidad de tiempo que el campo hace sobre la distribucion de cargas, o en otras palabrasla potencia absorbida por las partıculas. Finalmente, dado que ε es la densidad de energıa del campo,el termino

∫εdV representa la energıa asociada al campo contenido en el volumen V , por tanto d

dt

∫εdV

representa la variacion de la energıa asociada al campo dentro del volumen V . En sıntesis, la ecuacion (13.5)se convierte en

dETotaldt

=dEpdt

+dEcdt

donde hemos interpretado Ep como la energıa asociada a las partıculas, Ec es la energıa asociada a loscampos y dET /dt ≡ −

∮S · da representa el flujo de energıa hacia adentro del volumen, lo cual equivale a la

rata de aumento de energıa total (estamos asumiendo que no entran ni salen partıculas al volumen V )7.Adicionalmente, si la superficie es lo suficientemente grande para contener todo el campo, S sera cero en

la frontera ya que no hay flujo de campo a traves de la superficie, de modo que

dETdt

= 0 ⇒ E = Ec +Ep = cte

cualquier disminucion (aumento) en la energıa del campo Ec se traduce en un aumento (disminucion) en laenergıa asociada a las cargas Ep. De modo que escribimos

dEcdt

=

∫(J · E) dV

Adicionalmente, si definimos la densidad de energıa asociada a las partıculas εp (energıa mecanica), ten-dremos que

dEcdt

=

∫(J · E) dV =

∂

∂t

∫

VεpdV ⇒ J ·E =

∂εp∂t

y reemplazamos la ultima expresion en (13.3)

∇ · S +∂ε

∂t= −∂εp

∂t⇒ ∇ · S +

∂ (ε+ εp)

∂t= 0

como ya anticipamos, al tener en cuenta todos los agentes que almacenan o intercambian energıa, se debellegar a una ecuacion de continuidad homogenea 8. Como prueba de consistencia el lector puede demostrarque para el campo electrostatico 1

2mv2 + qφ = cte.

13.2. Conservacion del momento lineal

De la mecanica Newtoniana sabemos que el intercambio de momento nos cuantifica la interaccion entrelas partıculas a traves de la fuerza, por lo tanto es natural comenzar con el concepto de fuerza para estudiarla transferencia de momento. Por otro lado, dado que aquı estamos trabajando con un medio contınuo(distribucion contınua de cargas) y la fuerza se distribuye en forma tambien contınua en todo el volumen dela distribucion, es mas util aun comenzar con el concepto de densidad de fuerza. Ya vimos que la densidad defuerza para una distribucion contınua inmersa en un campo electromagnetico es f = ρE+ J×B

c , nuevamenteen aras de escribir esta densidad en terminos exclusivamente de campos, usaremos la ley de Gauss y laEcuacion de Ampere Maxwell para despejar las fuentes

ρ = ∇ ·E/4π, J =c

4π

(∇×B−1

c

∂E

∂t

)

7Observese que la interpretacion de −∮

S · da como la energıa por unidad de tiempo que entra al volumen es consecuentecon la interpretacion del vector S, ya que si la energıa esta entrando al volumen a traves de un cierto da, se tiene que S esantiparalelo a da en dicha region y por lo tanto −S · da es positivo.

8Esta ecuacion no es totalmente general ya que no hemos considerado la posibilidad de que las cargas traspasen la frontera.En tal caso, para mantener homogenea la ecuacion, hay que redefinir el vector de Poynting para dar cuenta del flujo de energıamecanica a traves de la superficie.

13.2. CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL 245

reemplazando en f = ρE + J×Bc

f =1

4π

[E (∇ · E) + (∇×B) ×B − 1

c

∂E

∂t×B

]

f =1

4π

[E (∇ · E) −B × (∇×B) − 1

c

∂

∂t(E×B) +

1

cE× ∂B

∂t

]

usando la ley de induccion de Faraday ∂B∂t = −c∇ × E, y agregando un cero de la forma B (∇ ·B), esta

ecuacion queda muy simetrica en los campos E y B.

f =1

4π

[E (∇ ·E) −B× (∇×B) − 1

c

∂

∂t(E×B) +

1

cE× (−c∇×E) + B (∇ · B)

]

f =1

4π

[E (∇ ·E) −E× (∇×E) + B (∇ ·B) −B× (∇×B) − 1

c

∂

∂t(E×B)

]

usando

1

2∇ (E ·E) = (E · ∇)E + E× (∇×E) ⇒

E× (∇×E) =1

2∇ (E · E) − (E · ∇)E

y similarmente para B, con lo cual obtenemos

f =1

4π

[E (∇ ·E) − 1

2∇ (E ·E) + (E · ∇)E+

+B (∇ · B) − 1

2∇ (B ·B) + (B · ∇)B− 1

c

∂

∂t(E×B)

]

y teniendo en cuenta que

∇ ·[EE− 1

2I (E ·E)

]= E (∇ ·E) − 1

2∇ (E ·E) + (E · ∇)E

y analogamente para B, se llega a

f = ∇ ·[EE + BB − 1

2I(E2 + B2

)

4π

]− ∂

∂t

(E×B

4πc

)

que se puede reescribir como

f = ∇ · T − ∂g

∂t

con lo cual llegamos a la ecuacion

∇ · (−T) +∂g

∂t= −f (13.6)

donde hemos definido

g ≡ E×B

4πc=

S

c2(13.7)

T ≡ 1

4π

[EE + BB − 1

2I(E2 + B2

)](13.8)

donde, en analogıa con la ecuacion de continuidad para la carga, definimos g como la densidad de mo-mento lineal asociada a los campos, y −T lo definimos como la densidad de flujo de momento


lineal asociada a los campos (flujo vectorial de momento por unidad de area por unidad de tiempo). Eltensor de segundo rango T se denomina tensor de tensiones de Maxwell, el cual en componentes se escribe:

Tij =1

4π

[EiEj +BiBj −

1

2δij(E2 +B2

)]= Tji (13.9)

adicionalmente I ≡∑3k=1 ukuk representa la diada identidad. La interpretacion que hemos dado nos sugiere

la razon por la cual es llamado tensor de tensiones, ya que al ser un flujo de momento por unidad de areay de tiempo es como una fuerza por unidad de area (presion) pero por su caracter vectorial (la presion noes un vector) adquiere el caracter de tension. Vale decir sin embargo, que esta presion o tension no sonejercidas necesariamente sobre un objeto fısico ya que la superficie cerrada puede ser simplemente un lugargeometrico (lo mismo aplica para la conservacion de la energıa). No obstante, veremos mas adelante que enel caso en el cual hay una superficie fısica, podemos calcular la presion ejercida por la radiacion a traves deeste tensor de tensiones. En virtud de su simetrıa, el tensor de tensiones de Maxwell solo tiene 6 componentesindependientes. En ocasiones es conveniente escribir este tensor en forma matricial.

T =

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

es facil ver que la traza de este tensor es −ε.

Tr (T) = Tii =1

4π

[EiEi +BiBi −

1

2δii(E2 +B2

)]

Tii =1

4π

[E2 +B2 − 3

2

(E2 +B2

)]= − 1

8π

[E2 +B2

]

Tii = −ε

donde hemos usado la convencion de suma sobre ındices repetidos. En virtud de que hemos obtenido unaecuacion de continuidad con fuentes, se tiene que el momento lineal

∫g dV del campo electromagnetico no se

conserva cuando hay cargas presentes. De modo que parte de este momento ha sido absorbido o transmitidopor las cargas. Esto se puede ver con claridad integrando en un cierto volumen

∫∇ · (−T) dV +

∫∂g

∂tdV = −

∫f dV

recordando que f es la densidad de fuerza que los campos ejercen sobre la distribucion de cargas, entoncesla integral sobre este termino corresponde a la fuerza total ejercida sobre las cargas en ese volumen

∫f dV = F =

dPp

dt

donde Pp corresponde al momento lineal total asociado a las partıculas que estan dentro del volumen V .Aplicando el teorema de la divergencia, la integral de volumen de la ecuacion de continuidad con fuentesqueda

−∫

T· dA +d

dt

[∫g dV + Pp

]= 0

d

dt

[∫g dV + Pp

]=

∫T· dA

de modo que la integral∫

T· dA debe darnos el flujo hacia adentro de momento lineal por unidad de tiempo.Lo cual se puede ver componente a componente teniendo en cuenta que el vector dA = n dA apunta haciaafuera del volumen, y que (−T) es la densidad de flujo de momento lineal. Se deduce entonces que T· n nosda la componente normal hacia adentro de la densidad de flujo de momento lineal.

13.2. CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL 247

Si la integracion se toma sobre todo el volumen que contiene los campos, el tensor se anula en la superficiey queda

d

dt

[∫g dV + Pp

]= 0

∫g dV + Pp = cte

de lo cual se ve que la conservacion del momento lineal exige considerar g como la densidad de momentolineal del campo electromagnetico. Adicionalmente, vemos que g va en la direccion de propagacion de laenergıa (que es la direccion de S de acuerdo con la interpretacion de la seccion anterior), esto coincide conla caracterıstica del momento mecanico de las partıculas, el cual apunta en la direccion de propagacion deestas. Todo ello nos induce a pensar que S ademas de determinar la direccion de propagacion del momentoy la energıa nos debe definir la direccion de propagacion de la onda, lo cual se vera mas adelante cuando seestudien algunas soluciones a la ecuacion de onda.

La ecuacion ∇·(−T)+ ∂g∂t = −f proviene de considerar una distribucion de cargas y corrientes inmersa en

un campo que previamente es generado por otras cargas y corrientes. Sin embargo, en virtud de la naturalezalocal de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, en un punto dado se debe considerar la densidad y lacorriente en ese punto, de modo que en general para un punto dentro de la distribucion inmersa, los camposse deben a las contribuciones de las fuentes lejanas mas las de las propias partes de la distribucion inmersa 9.En consecuencia en T aparecen los campos totales debidos a las fuentes originales y la distribucion inmersa.

El campo en un punto P se debe a toda la distribucion. Si queremos calcular la fuerza sobre una ciertadistribucion confinada dentro de un cierto volumen, integramos sobre el volumen que la contiene

∫∇ · T dV = F =

∫T·dA

esto solo es valido para el caso estacionario en el cual asumimos que el momento total debido a los camposdentro del volumen no depende del tiempo es decir d

dt

∫gdV = 010. Asumamos que la distribucion esta aislada

de otras distribuciones que existen en el espacio. Esto nos permite definir dos superficies cerradas A y A ′ talque ambas encierran a la distribucion y A′ encierra completamente a A, de tal manera que no hay cargas enel volumen limitado por las dos superficies. Si definimos VAA′ el volumen entre ambas superficies cerradas,entonces ∫

(∇ · T) dVAA′ = 0

en virtud de la ausencia de cargas en este volumen. Esta integral de volumen se puede escribir como∫

(∇ · T) dVAA′ =

∫(∇ · T) dVA′ −

∫(∇ · T) dVA = 0

de lo cual se tiene∫

(∇ · T) dVA′ =

∫(∇ · T) dVA ⇒

∫T · dA′ =

∫T · dA

lo cual nos indica que la integral∫

T · dA se puede elegir en una superficie arbitraria que encierre ladistribucion que nos interesa, siempre y cuando no encierre otras cargas fuera de dicha distribucion. Con

9Para un pequeno volumen dentro de la distribucion inmersa, el rotacional y la divergencia solo requieren de los valoreslocales de las fuentes. Sin embargo, dado que la solucion completa requiere de condiciones de frontera e iniciales (o por otrolado el conocimiento detallado de todas las fuentes en todo el espacio) las fuentes no locales tambien se requieren para conocerel valor de los campos en tal volumen.

10Dicho de otra forma, todo el momento que atraviesa las paredes de la superficie hacia adentro (afuera) es absorbido (emitido)por las partıculas. En particular, esto es valido para la condicion estacionaria.


esta salvedad, la superficie se puede escoger a conveniencia. De nuevo enfatizamos que dado que el tensorde tensiones depende de los campos totales, esta fuerza tambien depende de los campos totales.

Como ejemplo, calculemos la fuerza entre dos cargas puntuales utilizando el tensor de tensiones deMaxwell. Calculemos la fuerza ejercida sobre la carga −q, la forma mas sencilla consiste en construir unaesfera centrada en la carga con radio r → 0. Tomaremos no obstante, otra geometrıa mas ilustrativa

Tomemos una superfice semiesferica A, hacemos tender su radio a infinito de modo que el tensor se anulaen la parte esferica y solo sobrevive en el plano z = a. La contribucion al campo electrico debido a todas lascargas (q y −q) sobre este plano viene dada por

E =2q

r2uz cos θ

el campo magnetico es nulo, el tensor de tensiones queda

Tij =1

4π

[EiEj +BiBj −

1

2δij(E2 +B2

)]=

1

4π

[EiEj −

1

2δijE

2

]

y con Ei = 2qr2δi3 cos θ

Tij =1

4π

[(2q

r2cos θ

)2

δi3δj3 −1

2δij

(2q

r2cos θ

)2]

Tij =q2

πr4cos2 θ

[δi3δj3 −

1

2δij

]

ahora calculamos T · dA ⇒ (T · dA)i = TijdAj

TijdAj =q2

πr4cos2 θ

[δi3δj3 −

1

2δij

]dAj

TijdAj =q2

πr4cos2 θ

[δi3 dA3 −

1

2dAi

]

teniendo en cuenta que en este caso particular el diferencial de area sobre el plano es −dA uz escribimosdAi = −δi3dA y dA3 = −dA

TijdAj =q2

πr4cos2 θ

[−δi3 dA+

1

2δi3dA

]

TijdAj = − q2

2πr4cos2 θδi3 dA

el vector T · dA, tiene como componentes(T · dA)i = − q2

2πr4cos2 θδi3 dA es decir solo sobrevive la tercera

componente

T · dA = − q2

2πr4uz cos2 θ dA

teniendo en cuenta que todos los elementos de area en el plano estan orientados en la misma direccion,podemos definir diferenciales vectoriales de area con cualquier particion diferencial de la magnitud del area.Usando la coordenada ρ cilındrica, tenemos que un diferencial conveniente es el definido por un anillo deradio interior ρ y exterior ρ+ dρ.

dA = 2πρ dρ (−uz) = −dA uz

reemplazando

T · dA = − q2

2πr4uz cos2 θ (2πρ dρ)

13.3. PRESION EJERCIDA POR EL CAMPO 249

pero cos2 θ = a2/r2 = a2/(ρ2 + a2

), r4 =

(ρ2 + a2

)2

T · dA = − q2

(ρ2 + a2)2uz

a2

(ρ2 + a2)ρ dρ

T · dA = −q2a2uzρ

(ρ2 + a2)3dρ

∫T · dA = −q2a2uz

∫ ∞

0

ρ

(ρ2 + a2)3dρ

∫T · dA = −q2a2uz

(1

4a4

)

∫T · dA = − q2

(2a)2uz

que es el resultado esperado.

13.3. Presion ejercida por el campo

En la seccion anterior se concluyo que∫

T · dA es el flujo de momento lineal hacia adentro de unasuperficie cerrada. Podemos tambien realizar esta integracion para una porcion de la superficie.

El flujo de momento lineal se traduce en una fuerza si la superficie es material, y por tanto en presionsobre esta superficie. Para un elemento diferencial de superficie

dF = −T · dA = −T · n dA

y la componente de la fuerza normal a la superficie (que es la que contribuye a la presion), viene dada por

n·dF = −n · T · n dA

n·dFdA

= −n · T · n

y esta ultima expresion es precisamente la presion ejercida por los campos sobre el elemento de area dA.

P = −n · T · n

en el procedimiento anterior podemos extaer una componente de la fuerza diferente de la normal

nk·dF

dA= −nk·T · n

en particular si nk es una componente paralela a la superficie, y paralela a la proyeccion de la fuerza sobretal superficie, lo que obtenemos es la tension de cizalladura sobre tal superficie. Esto refuerza la idea dellamar a T tensor de Tensiones de Maxwell.

Veamos un ejemplo sencillo de aplicacion: calcular la presion ejercida por una onda electromagnetica queincide normalmente sobre una placa. Asumamos E = uyE, B = uzB y E = B. Construyamos primero eltensor de tensiones de Maxwell

T ≡ 1

4π

[EE + BB − 1

2I(E2 + B2

)]

=1

4π

[(Euy) (Euy) + (Buz) (Buz) −

1

2I(E2 + B2

)]

T ≡ 1

4π

[E2uyuy +E2uzuz − IE2

]


T ≡ 1

4π

[E2uyuy +E2uzuz − (uxux + uyuy + uzuz)E

2]

T ≡ −E2

4πuxux

La presion se escribe como

−n · T · n = −ux · T · ux =E2

4πux · (uxux) · ux

−n · T · n =E2

4π(ux · ux) (ux · ux) =

E2

4π

se puede ver que el valor promedio de la presion coincide con el promedio de la densidad de energıa.〈P 〉 = 〈ε〉 = 1

8πE2. Implıcitamente hemos asumido que la superficie es perfectamente absorbente (ninguna

parte de la onda se refleja ni se transmite). Para superficie perfectamente reflectora el momento absorbidoes doble y por tanto se duplica la presion.

13.4. Teorema de Poynting para vectores de campo complejos

Con frecuencia es mas facil resolver la ecuacion de onda introduciendo soluciones exponenciales complejasen el espacio y/o el tiempo, con ciertos parametros a ajustar. No obstante, la solucion fısica debe ser decaracter real y normalmente corresponde a la parte real de la solucion compleja encontrada. En particular, lasvariaciones temporales periodicas se introducen a menudo atraves de un factor de la forma e±iωt. Queremospor tanto conservar este tipo de soluciones complejas asegurando que las respuestas fısicas continuen siendoreales. Por ejemplo, es necesario asegurar que ε y S sigan siendo reales.

Vamos entonces a considerar el flujo promedio de energıa cuando los campos complejos varıan armonica-mente con el tiempo, es decir con factores de la forma e±iωt. Descompondremos los vectores E, H en suspartes real e imaginaria para la componente espacial

E (r, t) = E0 (r) e−iωt = [E1 (r) + iE2 (r)] e−iωt

H (r, t) = H0 (r) e−iωt = [H1 (r) + iH2 (r)] e−iωt (13.10)

donde E1 (r) , E2 (r) , H1 (r) , H2 (r) son reales. Para el caso de campos reales el vector de Poyntingesta dado por S = cE×H

4π . Cuando los campos son complejos esta vector se define a traves de las partes realesde tales campos

S =c

4πReE×ReH

el flujo promedio de energıa es

〈S〉 =c

4π〈ReE×ReH〉

dado queReE = E1 cosωt+ E2 sinωt ; ReH = H1 cosωt+ H2 sinωt

el flujo promedio de energıa queda

〈S〉 =c

4π〈(E1 cosωt+ E2 sinωt) × (H1 cosωt+ H2 sinωt)〉

=c

4πE1 ×H1〈cosωt cosωt〉 + E1 ×H2〈cosωt sinωt〉

+E2 ×H1〈sinωt cosωt〉 + E2 ×H2〈sinωt sinωt〉calculamos los promedios

ω

2π

∫ 2π/ω

0cos2 ωt dt =

1

2=

ω

2π

∫ 2π/ω

0sin2 ωt dt

ω

2π

∫ 2π/ω

0sinωt cosωt dt = 0

13.4. TEOREMA DE POYNTING PARA VECTORES DE CAMPO COMPLEJOS 251

con lo cual

〈ReE ×ReH〉 =1

2E1 ×H1 + E2 ×H2

por otro lado, dado que el promedio no depende del factor armonico, y que los campos E y B tienen la mismavariacion armonica, podemos tratar de obtener este promedio como un producto de los campos complejosen donde se anule dicho factor armonico, lo cual nos induce a utilizar un campo con el complejo conjugadodel otro. Calculemos Re (E×H∗)

E×H∗ = [E1 + iE2] e−iωt × [H1 − iH2] e

iωt

= E1 ×H1 − iE1 ×H2 + iE2 ×H1 + E2 ×H2

la parte real es

Re (E×H∗) = E1 ×H1 + E2 ×H2

de lo cual se deduce que

〈ReE×ReH〉 =1

2Re (E×H∗)

por tanto

〈S〉 =c

8πRe (E×H∗) (13.11)

otra cantidad que es importante evaluar es la densidad de energıa ε, la cual para campos reales se escribecomo

ε =1

8π(E ·D + B · H)

y en el caso de campos complejos tenemos

ε =1

8π(ReE ·ReD +ReB · ReH)

su promedio temporal esta dado por

〈ε〉 =1

8π〈ReE · ReD +ReB ·ReH〉

con un procedimiento analogo podemos encontrar que

〈ε〉 =Re

16π(E · D∗ + B · H∗) (13.12)

estos dos resultados provienen del siguiente resultado general: Para cualquier par de campos complejos F yG con la misma variacion armonica temporal, el promedio temporal de su producto esta dado por

〈ReF⊗ReG〉 =1

2Re〈F⊗G∗〉 =

1

2Re (F∗ ⊗G) (13.13)

donde ⊗ denota producto escalar o producto vectorial. Si queremos calcular cantidades analogas para elmomento lineal tales como el promedio temporal de la densidad de momento lineal 〈g〉, y el promediotemporal de la densidad de flujo de momento lineal 〈T〉 es necesario desarrollar relaciones analogas paradiadas.

Se puede demostrar que 〈Re (E×H)〉 = Re〈E ×H〉 = 0 de modo que estas cantidades no sirven paradescribir 〈S〉.

¿Como plantear el anterior teorema para campos complejos no monocromaticos?.


13.4.1. Definicion de impedancia en terminos de los campos

Es util disponer de una definicion de terminos como la resistencia y la reactancia que nos son familiaresen la teorıa de circuitos, a partir de los campos. Es bien conocido que las reglas de Kirchhoff provienen dela conservacion de la energıa, la cual se manifiesta en los campos a traves del vector de Poynting. Si estoscampos, ası como sus fuentes, varıan armonicamente de la forma expresada en la seccion anterior, podemosutilizar los resultados de dicha seccion para escribir por ejemplo, el promedio temporal del producto J · Eusando (13.13)

〈J ·E〉 =1

2Re (J∗ · E) (13.14)

veamos como quedan las ecuaciones de Maxwell (complejas) cuando asumimos campos armonicos de laforma planteada en (13.10)

∇×E = −1

c

∂B

∂t, ∇×H =

4π

cJ +

1

c

∂D

∂t

∇×E = −1

c

∂[B0 (r) e−iωt

]

∂t, ∇×H =

4π

cJ +

1

c

∂[D0 (r) e−iωt

]

∂t

∇×E =iω

cB0 (r) e−iωt , ∇×H =

4π

cJ− iω

cD0 (r) e−iωt

con lo cual queda finalmente

∇×E =iω

cB , ∇×H =

4π

cJ− iω

cD (13.15)

En virtud del resultado (13.14) definimos la potencia (compleja) entregada por los campos a las cargas,como

1

2

∫

V(J∗ · E) dV

ya que (13.14) garantiza que la parte real de este termino corresponde a la potencia real. En lo que sigue sehace un desarrollo similar al de la seccion 13.1, despejando la densidad de corriente en (13.15), se obtiene

1

2

∫

V(J∗ ·E) dV =

1

2

∫

V

c

4πE ·[∇×H∗ − iω

cD∗]dV

=1

8π

∫

V[−∇ · (cE×H∗) − iω (E · D∗ −B · H∗)] dV

claramente, si definimos el vector de Poynting complejo

S ≡ c

8πE×H∗

obtenemos el promedio expresado por la Ec. (13.11) tomando la parte real de la expresion anterior. Deidentica forma, podemos identificar la energıa electrica y magnetica armonicas

ge =1

16π(E · D∗) ; gm =

1

16π(B · H∗)

consistentes con (13.12), con lo cual se llega a la relacion

1

2

∫

V(J∗ ·E) dV + 2iω

∫

V(ge − gm) dV +

∮(S · n) da = 0 (13.16)

Esta ecuacion expresa la conservacion de la energıa para un promedio temporal de campos armonicos yes analoga a la ecuacion que resultarıa de tomar el promedio temporal en (13.5), y asumiendo variacionarmonica en el tiempo. La parte real esta relacionada con la conservacion de la energıa para la mediatemporal de las magnitudes involucradas, en tanto que la parte imaginaria esta relacionada con la energıa

13.4. TEOREMA DE POYNTING PARA VECTORES DE CAMPO COMPLEJOS 253

almacenada o reactiva y su flujo alternante. En el caso en que ge y gm son reales (e.g. conductores perfectos,dielectricos sin perdidas etc.) la parte real de (13.16) es

1

2

∫

VRe (J∗ ·E) dV +

∮Re (S · n) da = 0

el primer termino es el promedio temporal del trabajo por unidad de tiempo realizado por el campo sobrelas cargas dentro de V , en tanto que el segundo corresponde al flujo medio de potencia hacia adentro delvolumen V . Este es el resultado que se obtendrıa con el uso del teorema original de Poynting Ec. (13.5)asumiendo que la densidad de energıa g posee una parte estacionaria y una parte armonica en el tiempo, yaque al aplicar el promedio sobre la parte armonica de la energıa se anula la contribucion de g. En el caso enque existen perdidas o acumulaciones en los componentes del sistema (e.g. cuando asumimos que tambienpueden entrar o salir partıculas del volumen, o cuando tenemos medios como condensadores o inductanciasque pueden almacenar energıa electrica o magnetica), el segundo termino en (13.16) tiene una parte real(que corresponde a la parte imaginaria de ge − gm en virtud del numero i que aparece multiplicando a laexpresion).

Es muy importante reiterar que el teorema de Poynting para campos complejos Ec. (13.16) solo es validopara promedios temporales y no para medidas instantaneas de energıa o flujo11. Tambien es importantemencionar que el teorema se basa en que los campos tengan una componente estacionaria y una componentearmonica en el tiempo.

El teorema de Poynting complejo puede usarse para definir la impedancia de entrada entre las terminalesde un sistema electromagnetico pasivo, lineal con dos terminales. Imaginemos un sistema electromagneticoconfinado al volumen V , limitado por la superficie S, y del cual asoman solo dos terminales. La corriente yla tension de entrada (complejas) son Vi e Ii. De nuevo tomando el resultado (13.13), la potencia complejade entrada se puede escribir como 1

2I∗i Vi. Esta potencia se puede escribir en funcion del vector de Poynting

usando (13.16), pero aplicandolo al espacio exterior a S, quedando

1

2I∗i Vi = −

∮

Si

(S · n) da (13.17)

donde n es el vector normal dirigido hacia afuera de V . Ademas se ha supuesto que el flujo de entrada depotencia se da solo a traves de la superficie Si (seccion transversal por donde atraviesan los terminales).

Ahora bien, utilizando (13.16), definido en el volumen V delimitado por la superficie S. El miembroderecho en (13.17) se puede escribir en terminos de las integrales en los campos definidos en el interior de V

1

2I∗i Vi =

1

2

∫

V(J∗ ·E) dV + 2iω

∫

V(ge − gm) dV +

∮

S−Si

(S · n) da = 0 (13.18)

esta integral de superficie corresponde a un flujo de potencia que sale de la superficie S ′ = S − Si, esdecir descontando la zona de entrada de las terminales. Si S ′ se hace tender a infinito, la integral es real yrepresenta la perdida por radiacion, esta perdida es usualmente pequena en el regimen de bajas frecuencias,en tal caso todo el flujo de potencia se puede considerar como aquel que pasa por Si.

Ahora bien, definimos la impedancia de la manera usual i.e. Vi ≡ ZiIi. Usando (13.18), con Z ≡ R− iXpodemos obtener la resistencia y la reactancia del sistema electromagnetico pasivo, lineal y de dos terminalescomo

R =1

|Ii|2Re

∫

V(J∗ ·E) dV + 2

∮

S−Si

(S · n) da+ 4ω Im

∫

V(gm − ge) dV

(13.19)

X =1

|Ii|2

4ω Re

∫

V(gm − ge) dV − Im

∫

V(J∗ · E) dV

(13.20)

11Estrictamente, lo que es valido no es la ecuacion (13.16), sino el promedio temporal de la ecuacion.


donde hemos supuesto que el flujo de potencia saliente a traves de S, es real. El segundo termino del miembroderecho en (13.19), corresponde a la resistencia de radiacion que es usualmente importante a frecuenciaselevadas. A bajas frecuencias se puede considerar que la disipacion ohmica es el unico efecto apreciable deperdida de energıa, en cuyo caso la impedacia se simplifica

R ' 1

|Ii|2∫

Vσ |E|2 dV ; X ' 4ω

|Ii|2∫

V(gm − ge) dV

donde σ es la conductividad real y las densidades de energıa tambien se consideran reales. La resistenciacomo se representa usualmente en los circuitos es una cantidad que solo nos da cuenta de las perdidasohmicas por calor en el circuito. En el caso de una bobina, la energıa almacenada es basicamente magneticade modo que la reactancia X es positiva (X = ωL). Por otro lado, en un condensador la energıa almacenadaes mayoritariamente electrica de modo que la reactancia es negativa (X = −1/ωC). de una manera similarse pueden definir la conductancia y susceptancia de una admitancia compleja Y = G− iB de una red pasivalineal de dos terminales, esto se logra tomando la parte compleja de (13.16), a bajas frecuencias donde sepueden despreciar las perdidas por radiacion se tiene

G ' 1

|V1|2∫

Vσ |E|2 dV ; B ' − 4ω

|V1|2∫

V(gm − ge) dV

Capıtulo 14

Soluciones de la ecuacion de onda

14.1. Unicidad de la ecuacion de ondas

Consideremos por simplicidad un campo ondulatorio escalar ψ (r, t) que satisface la ecuacion de ondainhomogenea (

∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)ψ (r, t) = −4πf (r, t) (14.1)

si el campo es vectorial, tendremos una ecuacion de este estilo para cada componente. De la misma forma,las condiciones iniciales y de frontera serıan como las presentadas aquı, pero para cada componente.

Asumamos que conocemos las siguientes condiciones

ψ (r, 0) = f1 (r) ;∂ψ (r, 0)

∂t= f2 (r)

ψ (r, t)|S = h (r, t) (14.2)

las dos primeras ecuaciones corresponden a condiciones iniciales, la tercera es una condicion de fronteradefinida en alguna superficie cerrada S. Por otro lado, el valor inicial de la funcion de onda sobre la fronterase puede determinar tanto con las condiciones de frontera como con las condiciones iniciales, esto nos llevaa una ecuacion de compatibilidad

ψ(r, 0+

)∣∣S

= h(r, 0+

)= f1 (r)|S

fijadas estas condiciones la solucion es unica1.

Supongamos que existen dos soluciones ψ1, ψ2 que satisfacen la misma ecuacion de onda inhomogeneay las mismas condiciones iniciales y de frontera. Definimos U = ψ1 −ψ2, claramente esta funcion obedece laecuacion de onda homogenea (

∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)U = 0 (14.3)

cada solucion reproduce las mismas condiciones de frontera

ψ1 (r, 0) = ψ2 (r, 0) = f1 (r) ;∂ψ1 (r, 0)

∂t=∂ψ2 (r, 0)

∂t= f2 (r)

ψ1 (r, t)|S = ψ2 (r, t)|S = h (r, t) (14.4)

De esto se sigue que

U (r, 0) = 0 ;∂U (r, 0)

∂t= 0 ; U (r, t)|S = 0 (14.5)

1La notacion 0+ nos enfatiza que la variable tiempo evoluciona hacia el futuro.

255

256 CAPITULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDA

la primera de estas ecuaciones nos dice que U (r, t) es nula para t = 0 en todo el espacio, de modo que elgradiente evaluado en t = 0 nos da cero tambien, ya que dicho operador no mueve la coordenada temporal.De manera similar, puesto que U (r, t) definido en la frontera es cero para todo tiempo, la derivada parcialrespecto al tiempo definida en la frontera es cero.

∇U (r, 0) = 0 ;∂U (r, t)

∂t

∣∣∣∣S

= 0 (14.6)

multiplicando (14.3) por U ≡ ∂U/∂t

U∇2U − 1

c2U∂2U

∂t2= 0 ⇒

U∇ · (∇U) − 1

c2U∂U

∂t= 0

∇ ·(U∇U

)−∇U · ∇U − 1

c2∂

∂t

(U2

2

)= 0

∇ ·(U∇U

)− 1

2

∂

∂t

[(∇U)2 +

U2

c2

]= 0

si la superficie S (sobre la cual se define la condicion de frontera), es cerrada y delimita un volumen V ,podemos integrar sobre este volumen

∫ [∇ ·(U∇U

)]dV − 1

2

d

dt

∫ [(∇U)2 +

U2

c2

]dV = 0

usando el teorema de la divergencia

∫ (U∇U

)· dS − 1

2

d

dt

∫ [(∇U)2 +

U2

c2

]dV = 0 (14.7)

la segunda de las ecs. (14.6) nos dice que U es cero en la frontera. Por tanto la integral de superficie se anula

d

dt

∫ [(∇U)2 +

U2

c2

]dV = 0

la integral no depende de las variables espaciales ya que estas han sido integradas, tampoco depende deltiempo puesto que la derivada temporal es cero, por tanto

∫ [(∇U)2 +

U2

c2

]dV = k

donde k es constante en el espacio y el tiempo, como esto es valido para todo tiempo, se concluye que elintegrando es constante en el tiempo [

(∇U)2 +U2

c2

]= c (r)

donde c (r) es independiente del tiempo. En particular, su valor es el mismo si evaluamos este integrandoen t = 0.

(∇U)2∣∣∣t=0

+U2

c2

∣∣∣∣∣t=0

= c (r)

14.2. SOLUCION A LA ECUACION DE ONDA HOMOGENEA 257

pero la primera de las Ecs. (14.6) nos dice que ∇U = 0 en t = 0. Ademas la segunda de las Ecs. (14.5) nosdice que U = 0 en t = 0. De lo cual queda

c (r) = 0

de lo cual se deduce que U = cte en el espacio y el tiempo. Finalmente la primera de las Ecs. (14.5) nos diceque U (r, 0) = 0 de modo que dicha constante vale cero. Por tanto ψ1 = ψ2 y la solucion es unica.

En conclusion, la ecuacion inhomogenea (14.1) tiene solucion unica si se especifican las condicionesiniciales y de frontera dadas en la ec. (14.4).

Se pueden especificar condiciones de Newmann en donde en lugar de ψ (r, t)|S se conoce ∂ψ∂n

∣∣∣S

lo cual

conduce a la condicion ∂U(r,t)∂n

∣∣∣S

= 0. La integral de superficie definida en (14.7) tambien se anularıa y el

resto del procedimiento es similar.Discusion: para garantizar la unicidad hemos supuesto que la frontera define una superficie cerrada, que

delimita un volumen, de lo contrario no podemos usar el teorema de la divergencia. Tambien esta implıcitoque dicha superficie es fija en el tiempo. Si esta superficie es finita solo podemos garantizar unicidad en elinterior de ella. Pues la unicidad proviene de resolver la ecuacion en el interior del volumen definido porla superficie. Cuando la onda cruza esta superficie debido a su evolucion temporal, seran necesarias nuevascondiciones de frontera para resolver el problema para tiempos posteriores.

El dominio de la solucion es una region en el espacio-tiempo 3+1 dimensional. La unicidad requiere laaplicacion de condiciones de cauchy con frontera abierta en la direccion temporal (futuro)

Nota: la frontera temporal deja de ser abierta si la onda puede cruzar la superficie donde se define lafrontera de acuerdo con la discusion anterior.

Es importante notar que la inclusion de la coordenada temporal nos introduce un concepto nuevo hastael momento, causalidad. Pues esta coordenada tiene una flecha de propagacion, a diferencia de lascoordenadas espaciales. Esto tendra profundas implicaciones en las soluciones.

14.2. Solucion a la ecuacion de onda homogenea

14.2.1. Coordenadas cartesianas

Una dimension

En el caso unidimensional la ecuacion de onda se reduce a(∂2

∂x2− 1

c2∂2

∂t2

)ψ (x, t) = 0

ψ (x, t) ≡ X (x)T (t)

T (t)∂2X (x)

∂x2− 1

c2X (x)

∂2T (t)

∂t2= 0

dividiendo por X (x) T (t)

X”

X− T

c2T= 0 ⇒ X”

X=

T

c2T= −k2

X” + k2X = 0 ; T + (kc)2 T = 0

la solucion es

X = Aeikx +Be−ikx ; T = Ceikct +De−ikct

ψ (x, t) =[Aeikx +Be−ikx

] [Ceikct +De−ikct

]

tambien es posible que k = 0 aunque estas soluciones no son de tipo ondulatorio. En general y dependiendode las condiciones iniciales y de frontera, el valor de k puede depender de uno o mas ındices discretos o


contınuos (y por tanto, tambien las constantes A,B,C,D). En tal caso, la solucion mas general sera lasuperposicion en donde se barran todos los valores posibles de estos ındices. Esto ultimo debido a que lassoluciones de esta ecuacion lineal y homogenea obedecen a un principio de superposicion.

Nota: (chequear) Hemos asumido la hipotesis de separacion de variables. Con base en esta hipotesis,hemos encontrado que existen soluciones y en general, dado que la ecuacion es lineal y homogenea lasuperposicion de las soluciones tambien es solucion. Por tanto, si hallamos todas las soluciones posibles unasuperposicion arbitraria de todas ellas es la solucion mas general. Sin embargo, es necesario demostrar queno existen otras soluciones linealmente independientes de las que se obtienen por separacion de variables2.A priori ¿es posible pensar en que existieran soluciones de la ec. de Laplace, linealmente independientes delas que se obtienen por separacion de variables?.

Example 19 Encontrar la forma especıfica de ψ (x, t) para las siguientes condiciones iniciales y de frontera

ψ (0, t) = ψ (L, t) = 0, ψ (x, 0) = f (x) ,∂ψ (x, 0)

∂t= 0

reemplazando las condiciones de contorno en la solucion general

ψ (0, t) = (A+B)(Ceikct +De−ikct

)= 0

ψ (L, t) =(AeikL +Be−ikL

)(Ceikct +De−ikct

)= 0

y como esto debe ser valido para todo tiempo, se tiene que A = −B y

A(eikL − e−ikL

)= 0 ⇒ sin kL = 0 ⇒ kn =

nπ

L

la otra solucion, A = 0 es trivial y se puede ver que no satisface las otras condiciones a menos que f (x) = 0.La solucion es de la forma

ψn (x, t) =(Cne

iknct +Dne−iknct

)sin knx

la forma mas general es entonces una superposicion de estas soluciones

ψ (x, t) =∞∑

n=1

(Cne

iknct +Dne−iknct

)sinknx

∂ψ (x, t)

∂t=

∞∑

n=1

iknc(Cne

iknct −Dne−iknct

)sin knx

tomando la condicion inicial en la derivada

∂ψ (x, 0)

∂t=

∞∑

n=1

iknc (Cn −Dn) sinknx = 0 ⇒ Cn = Dn

⇒ ψ (x, t) =∞∑

n=1

Cn cos knct sin knx

2Dado que la solucion general en este caso contiene a las funciones exponenciales complejas en x,t. Podrıa pensarse quecualquier funcion de x, t (y por tanto cualquier solucion) se puede generar puesto que estas exponenciales forman una basecompleta. Sin embargo, para generar una funcion arbitraria de x,t se requiere que en general la expansion en f (x) tenga unındice independiente del ındice que expande g (t). Pero en este caso el ındice asociado a ambas funciones es el mismo de modoque no se pueden hacerexpansiones independientes en x, t de modo que no se puede garantizar la completez de las solucionescon este argumento. En la ecuacion de Laplace es mas claro que la solucion no genera una base completa para generar cualquierfuncion (aunque esto no significa que no se puedan generar todas las soluciones), (ver por ejemplo la solucion de Laplace encoordenadas polares),


finalmente usamos la condicion inicial en la funcion

ψ (x, 0) =

∞∑

n=1

Cn sin knx = f (x)

∞∑

n=1

Cn1

L

∫ L

−Lsin knx sin kmx dx =

1

L

∫ L

−Lf (x) sinkmx dx

∞∑

n=1

Cnδnm =1

L

∫ L

−Lf (x) sinkmx dx

Cm =1

L

∫ L

−Lf (x) sinkmx dx

la solucion queda

ψ (x, t) =1

L

∞∑

n=1

[∫ L

−Lf (x) sin kmx dx

]cos knct sin knx

debemos tener en cuenta que f (x) solo esta definido en el intervalo [0, L].

Tres dimensiones

La ecuacion queda (∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2− 1

c2∂2

∂t2

)ψ (x, y, z, t) = 0

ψ = X (x)Y (y)Z (z) T (t)

Y (y)Z (z) T (t)∂2X (x)

∂x2+X (x)Z (z) T (t)

∂2Y (y)

∂y2+X (x) Y (y)T (t)

∂2Z (z)

∂z2

− 1

c2X (x) Y (y)Z (z)

∂2T (t)

∂t2= 0

dividiendo por X (x) Y (y)Z (z)T (t)

X”

X︸︷︷︸−α2

+Y ”

Y︸︷︷︸−β2

+Z”

Z︸︷︷︸−γ2

− T”

c2T︸︷︷︸−k2

= 0

−α2 − β2 − γ2 −(−k2

)= 0 ⇒ −γ2 = α2 + β2 − k2

hemos elegido que todas las soluciones sean armonicos como corresponde a un movimiento ondulatorio(chequear) en todo caso de nuevo las constantes α, β, γ, k pueden depender de ındices y la solucion essuperposicion de ondas planas, esta superposicion se vuelve completa incluso para funciones no periodicassi aparecen ındices contınuos.

X” = −α2X ⇒ X = Aeiαx +Be−iαx

Y ” = −β2Y ⇒ Y = Ceiβy +De−iβy

Z” = −γ2X ⇒ X = Eeiγz + Fe−iγz

T = −k2T ⇒ T = Geikct +He−ikct

Hay que anadir la posibilidad de que alguno de los parametros se vuelva cero, ya que estas soluciones hacenparte de la superposicion general. Ver un analisis semejante en la seccion 2.5.


14.2.2. Coordenadas esfericas

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)ψ (r, t) = 0 ⇒

1

r2∂

∂r

(r2∂ψ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂ψ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2ψ

∂ϕ2− 1

c2∂2ψ

∂t2= 0

Usando separacion de variables

ψ (r, t) = R (r)Y (θ, ϕ)T (t)

y dividiendo la ecuacion por esta misma cantidad

1

r2R

d

dr

(r2dR

dr

)+

1

r2Y sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y

∂θ

)+

1

r2Y sin2 θ

∂2Y

∂ϕ2− T

c2T= 0

1

r2R

d

dr

(r2dR

dr

)+

1

r2Y

(−L2Y

)− T

c2T= 0

por otro lado el cociente Tc2T

es el unico que depende de la variable temporal, los otors factores dependende las coordenadas espaciales de modo que

T

c2T= −k2 ⇒ T + k2T = 0 ⇒ T = Ceikct +De−ikct

y la ecuacion queda

1

r2R

d

dr

(r2dR

dr

)− L2Y

r2Y+ k2 = 0

1

R

d

dr

(r2dR

dr

)− L2Y

Y+ k2r2 = 0

haciendo L2Y = l (l + 1) Y . Nos queda

1

R

d

dr

(r2dR

dr

)+ k2r2 − l (l + 1) = 0

1

R

[2rdR

dr+ r2

d2R

dr2

]+ k2r2 − l (l + 1) = 0

multiplicando por R/r2

d2R

dr2+

2

r

dR

dr− l (l + 1)R

r2+ k2R = 0

esta ecuacion es semejante a la de Bessel, y de por sı puede convertirse en una ecuacion de Bessel mediantela transformacion R = µ/

√r

dR

dr=

d

dr

(µ√r

)=

1√r

dµ

dr− µ

2 (√r)

3 =1√r

(dµ

dr− µ

2r

)

d2R

dr2=

d

dr

[1√r

(dµ

dr− µ

2r

)]= − 1

2 (√r)

3

(dµ

dr− µ

2r

)+

1√r

d

dr

(dµ

dr− µ

2r

)

d2R

dr2= − 1

2r√r

(dµ

dr− µ

2r

)+

1√r

(d2µ

dr2+

µ

2r2− 1

2r

dµ

dr

)


reemplazamos en la ecuacion

− 1

2r√r

(dµ

dr− µ

2r

)+

1√r

(d2µ

dr2+

µ

2r2− 1

2r

dµ

dr

)

+2

r

1√r

(dµ

dr− µ

2r

)− l (l + 1)µ

r2√r

+k2µ√r

= 0

multiplicando por√r

− 1

2r

(dµ

dr− µ

2r

)+

(d2µ

dr2+

µ

2r2− 1

2r

dµ

dr

)+

2

r

(dµ

dr− µ

2r

)− l (l + 1)µ

r2+ k2µ = 0

organizando

d2µ

dr2+

[− 1

2r− 1

2r+

2

r

]dµ

dr+

[1

4r2+

1

2r2− 1

r2− l (l + 1)

r2+ k2

]µ = 0

d2µ

dr2+

1

r

dµ

dr+

[− 1

4r2− l (l + 1)

r2+ k2

]µ = 0

d2µ

dr2+

1

r

dµ

dr+

[k2 −

14 + l (l + 1)

r2

]µ = 0

d2µ

dr2+

1

r

dµ

dr+

[k2 −

14 + l2 + l

r2

]µ = 0

d2µ

dr2+

1

r

dµ

dr+

[k2 −

(l + 1

2

)2

r2

]µ = 0 (14.8)

Esta ultima corresponde a una ecuacion de Bessel cuya solucion se escribe

µ = AJl+ 12(kr) +BNl+ 1

2(kr)

y volviendo a la solucion que necesitamos

R (r) =µ√r

=AJl+ 1

2(kr)

√r

+BNl+ 1

2(kr)

√r

Definimos las funciones de Bessel y Hankel esfericas como:

l (x) =

√π

2xJl+ 1

2(x) , ηl (x) =

√π

2xNl+ 1

2(x)

h(1,2)l (x) = l (x) ± iηl (x)

l (x) , ηl (x) son las funciones esfe’ricas de Bessel y h(1,2)l (x) son las de Hankel.

La solucion queda entonces

R (r) = Al (kr) +Bηl (kr) = A′h(1)l (kr) +B′h(2)

l (kr)

la solucion completa se escribe como

ψ (r, t) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l[Alml (kr) +Blmηl (kr)] Ylm (θ, ϕ)

[Clme

ikct +Dlme−ikct

]

ψ (r, t) =∞∑

l=0

l∑

m=−l

[A′h(1)

l (kr) +B′h(2)l (kr)

]Ylm (θ, ϕ)

[Clme

ikct +Dlme−ikct

]


los coeficientes se evaluan a traves de las condiciones iniciales y de frontera. La solucion mas general podrıacontener a su vez una superposicion sobre diferentes valores permitidos de k2, estos valores permitidospodrıan estar en el contınuo o en el discreto, tambien es necesario incluır explıcitamente la posibilidad deque k2 sea cero.

En particular si hay simetrıa esferica se hace l = m = 0, y la funcion de ondas se reduce a

ψ (r, t) =[A′h(1)

0 (kr) +B′h(2)0 (kr)


]

y teniendo en cuenta que

h(1,2)0 (kr) = ∓ie

ikr

kr

se obtiene

ψ (r, t) =1

r

[A′eikr +B′e−ikr


]

esta solucion tiene la forma generica

e±ik(r±ct)

r

que caracteriza a una onda esfericamente simetrica.

14.3. Solucion a la ecuacion de onda inhomogenea

14.3.1. Funcion de Green para la ecuacion de ondas

La ecuacion de onda inhomogenea

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)ψ (r, t) = −4πf (r, t)

describe la propagacion de un campo con velocidad c, asumiendo que no existe dispersion (o que la ondaasociada es monocromatica). f (r, t) es una distribucion de fuentes que se asume conocida. A dicha ecuacionse le puede definir una funcion de Green asociada

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G(r, r′, t, t′

)= −4πδ

(r− r′

)δ(t− t′

)

A esta solucion debemos ponerle una restriccion de causalidad. Esto se hace mediante el requerimiento deque G = 0 para t < t′.

G (r, r′, t, t′) describe entonces la propagacion de una perturbacion originada en r′, t′. Para t < t′ no haypropagacion y para t > t′ hay un frente unico propagandose esfericamente a velocidad c.

Asumiendo que se ha obtenido de algun modo la funcion de Green asociada, calculemos la funcion deonda que es solucion de la ecuacion inhomogenea

(∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)ψ(r′, t′

)= −4πf

(r′, t′

)

multiplicamos la ecuacion de Green por ψ (r′, t′) y la ecuacion de onda por G (r, r′, t, t′)

[(∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)G(r, r′, t, t′

)]ψ(r′, t′

)= −4πδ

(r− r′

)δ(t− t′

)ψ(r′, t′

)

[(∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)ψ(r′, t′

)]G(r, r′, t, t′

)= −4πf

(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)

14.3. SOLUCION A LA ECUACION DE ONDA INHOMOGENEA 263

restamos ambas ecuaciones[(

∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)G(r, r′, t, t′

)]ψ(r′, t′

)

−[(

∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)ψ(r′, t′

)]G(r, r′, t, t′

)

= −4πδ(r− r′

)δ(t− t′

)ψ(r′, t′

)+ 4πf

(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)

separamos la parte espacial y luego la temporal como

[∇′2G

(r, r′, t, t′

)]ψ(r′, t′

)−[∇′2ψ

(r′, t′

)]G(r, r′, t, t′

)

−[

1

c2∂2

∂t′2G(r, r′, t, t′

)]ψ(r′, t′

)+

1

c2

[∂2

∂t′2ψ(r′, t′

)]G(r, r′, t, t′

)

= −4πδ(r− r′

)δ(t− t′

)ψ(r′, t′

)+ 4πf

(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)

esta expresion se puede escribir como

∇′ ·[ψ∇′G−G∇′ψ

]+

1

c2∂

∂t′

[G∂ψ

∂t′− ψ

∂G

∂t′

]

= −4πδ(r− r′

)δ(t− t′

)ψ(r′, t′

)+ 4πf

(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)

integrando en dV ′dt′ (la integral en t′ va desde t′ = t0 hasta t′ = t1 con t1 > t esto es necesario para que enla expresion que contiene al ψ (r′, t′) el intervalo temporal pase por el polo t = t′),

∫ ∇′ ·

[ψ∇′G−G∇′ψ

]+

1

c2∂

∂t′

[G∂ψ

∂t′− ψ

∂G

∂t′

]dV ′dt′

= −4π

∫ [δ(r − r′

)δ(t− t′

)ψ(r′, t′

)]dV ′dt′

+4π

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′

quedando

∫ ∇′ ·

[ψ∇′G−G∇′ψ

]+

1

c2∂

∂t′

[G∂ψ

∂t′− ψ

∂G

∂t′

]dV ′dt′

= −4πψ (r, t) + 4π

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′

de aquı se puede despejar la funcion de onda

ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′

+1

4π

∫ ∇′ ·

[G∇′ψ − ψ∇′G

]+

1

c2∂

∂t′

[ψ∂G

∂t′−G

∂ψ

∂t′

]dV ′dt′

la integral∫

∇′ · [G∇′ψ − ψ∇′G] + 1c2

∂∂t′

[ψ ∂G∂t′ −G∂ψ

∂t′

]dV ′dt′ se puede simplificar usando el teorema de

la divergencia para el primer integrando y teniendo en cuenta que el segundo termino se puede integrar enel tiempo

ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′ +

1

4π

∫∇′ ·

[G∇′ψ − ψ∇′G

]dV ′dt′

+1

4πc2

∫∂

∂t′

[ψ∂G

∂t′−G

∂ψ

∂t′

]dV ′dt′


ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′

+1

4π

∫ [G∇′ψ − ψ∇′G

]· dS′dt′

+1

4πc2

∫ (ψ∂G

∂t′−G

∂ψ

∂t′

)∣∣∣∣t′=t1

t′=t0

dV ′

ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′

+1

4π

∫ ∫ t′=t1

t′=t0

[G∂ψ

∂n′− ψ

∂G

∂n′

]dS′dt′

+1

4πc2

∫ (ψ∂G

∂t′−G

∂ψ

∂t′

)∣∣∣∣t′=t1

t′=t0

dV ′

La causalidad me exige que G = 0 para t′ > t entonces G|t′=t1>t = 0, con lo cual el termino correspondienteal lımite superior en la ultima integral se anula de modo que

ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′

+1

4π

∫ ∫ t′=t1

t′=t0

[G(r, r′, t, t′

) ∂ψ (r′, t′)∂n′

−ψ(r′, t′

) ∂G (r, r′, t, t′)∂n′

]dS′dt′

+1

4πc2

∫ (ψ(r′, t′

) ∂G (r, r′, t, t′)∂t′

−G(r, r′, t, t′

) ∂ψ (r′, t′)∂t′

)∣∣∣∣t′=t0

dV ′ (14.9)

la integracion temporal continua siendo en principio desde t0 hasta t1 > t, sin embargo dado que G = 0 ent′ > t 3 podemos partir este intervalo en t0, t y t, t1 en el segundo intervalo no hay contribucion justo poresta condicion de causalidad, de modo que la integracion se puede hacer en el intervalo t0, t.

Tanto ψ como G obedecen ecuaciones de onda inhomogeneas, las cuales tienen solucion unica bajolas condiciones iniciales y de frontera que ya se discutieron. Para la funcion de onda debemos conocer enconsecuencia

ψ (r, t)|t0 ,∂ψ (r, t)

∂t

∣∣∣∣t0

, ψ (r, t)|S o∂ψ (r, t)

∂n

∣∣∣∣S

por razones similares al caso estatico, no se pueden especificar condiciones de Dirichlet y Neumann si-multaneamente, debemos trabajar con condiciones de Dirichlet (GS = 0) o de Neumann ( ∂G∂n

∣∣S

= −4πS ).

Una vez conocida G, son calculables las derivadas que se requieren para determinar ψ (r, t) de modo quesuponiendo conocido el termino inhomogeneo f (r, t), podemos evaluar ψ (r, t) por medio de la Ec. (14.9).

14.3.2. Funcion de Green y transformada de Fourier

Una forma alterna de despejar ψ se realiza haciendo una transformada de Fourier de la ecuacion de onda,que la convierte en la ecuacion de Helmholtz

3Observese que si G 6= 0 para t′ > t donde t es el tiempo en que se evalua la funcion de onda, implicarıa que eventos futuros(en t′) influyen en el pasado (en t), violando la causalidad.


Comenzando con (∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)ψ (r, t) = −4πf (r, t)

y tomando las transformadas de fourier de la funcion de ondas y de la funcion f (r, t)4

ψ (r, t) =1√2π

∫ ∞

−∞Ψ(r, ω) e−iωt dω ; f (r, t) =

1√2π

∫ ∞

−∞F (r, ω) e−iωt dω (14.10)

la ecuacion de onda queda(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)∫ ∞

−∞Ψ(r, ω) e−iωt dω = −4π

∫ ∞

−∞F (r, ω) e−iωt dω

∫ ∞

−∞

[∇2Ψ(r, ω)

]e−iωt dω − 1

c2

∫ ∞

−∞Ψ(r, ω)

[∂2

∂t2e−iωt

]dω = −4π

∫ ∞


∫ ∞

−∞

[∇2Ψ(r, ω)

]e−iωt dω +

ω2

c2

∫ ∞

−∞Ψ(r, ω) e−iωt dω = −4π

∫ ∞


∫ ∞

−∞

[∇2Ψ(r, ω) +

ω2

c2Ψ(r, ω)

]e−iωt dω = −4π

∫ ∞


igualando componente a componente

∇2Ψ(r, ω) +ω2

c2Ψ(r, ω) = −4πF (r, ω)

definiendo k2 ≡ ω2/c2 (∇2 + k2

)Ψ(r, ω) = −4πF (r, ω)

Donde k describe el numero de onda asociado a la frecuencia ω, en general la relacion entre k y ω es arbitraria(salvo algunas restricciones impuestas por la causalidad) y podemos escribir k = ω/c (ω), de manera queen general la velocidad de la onda que se propaga puede ser funcion de su frecuencia. La forma especıficade c (ω) depende de las caracterısticas del medio en que la onda se propaga y se conocen como relacion dedispersion. Para esta ecuacion de onda en el espacio (k, ω), definimos una ecuacion de green asociada

(∇2 + k2

)G(r, r′, ω

)= −4πδ

(r− r′

)

observese que hemos llegado de nuevo a una funcion de green que solo depende de la posicion pues ladependencia con ω es solo parametrica. Cambiando ∇2 → ∇′2 y las coordenadas por las primadas

(∇′2 + k2

)Ψ(r′, ω

)= −4πF

(r′, ω

)(∇′2 + k2

)G(r, r′, ω

)= −4πδ

(r− r′

)

5donde hemos usado la simetrıa de la funcion de Green y de la delta de Dirac. Multiplicando estas ecuacionespor G y Ψ

[(∇′2 + k2

)Ψ(r′, ω

)]G(r, r′, ω

)= −4πF

(r′, ω

)G(r, r′, ω

)[(∇′2 + k2

)G(r, r′, ω

)]Ψ(r′, ω

)= −4πδ

(r− r′

)Ψ(r′, ω

)

4Recordemos que esto basicamente equivale a hacer una expansion de estas funciones en una base completa (ondas planastemporales) en donde los coeficientes son los pesos asociados a cada vector unitario.

5Duda: en principio la funcion de Green cumple la propiedad G (r, r′) = G∗ (r, r′). En la ecuacion(∇2 + k2

)G (r, r′, ω) =

−4πδ (r − r′) podemos intercambiar variables primadas con no primadas y se obtiene(∇′2 + k2

)G (r′, r, ω) = −4πδ (r′ − r)

y finalmente(∇′2 + k2

)G∗ (r, r′, ω) = −4πδ (r′ − r). En esta ecuacion debe aparecer el conjugado. Al conjugar esta ecuacion

resulta la ecuacion(∇′2 + k2

)G∗ (r, r′, ω) = −4πδ (r′ − r) ????.


restando

[(∇′2 + k2

)Ψ]G−

[(∇′2 + k2

)G]Ψ = −4πFG+ 4πδ

(r− r′

)Ψ(r′, ω

)

[∇′2Ψ

]G+ k2ΨG−

[∇′2G

]Ψ − k2GΨ = −4πF G+ 4πδ

(r− r′

)Ψ(r′, ω

)

[∇′2Ψ

]G−

[∇′2G

]Ψ = −4πFG+ 4πδ

(r− r′

)Ψ(r′, ω

)

∇′ ·[(∇′Ψ

)G−

(∇′G

)Ψ]

= −4πFG+ 4πδ(r − r′

)Ψ(r′, ω

)

integrando en dV ′ y usando teorema de la divergencia∫

∇′ ·[(∇′Ψ

)G−

(∇′G

)Ψ]

dV ′ = −4π

∫FG dV ′

+4π

∫δ(r− r′

)Ψ(r′, ω

)dV ′

∫ [(∇′Ψ

)G−

(∇′G

)Ψ]· dS′ + 4π

∫FG dV ′ = 4πΨ(r, ω)

quedando finalmente

Ψ (r, ω) =1

4π

∫ [(∂Ψ(r′, ω)

∂n′

)G(r, r′, ω

)−(∂G (r, r′, ω)

∂n′

)Ψ(r′, ω

)]dS′

+

∫F(r′, ω

)G(r, r′, ω

)dV ′ (14.11)

usando las transformadas inversas de F (r′,ω) y Ψ (r′, ω) de la Ec. (14.10) resulta

Ψ (r, ω) =1

4π

∫ [(∂ψ (r′, t′)∂n′

)G(r, r′, ω

)−(∂G (r, r′, ω)

∂n′

)ψ(r′, t′

)]eiωt

′

√2πdS′dt′

+1√2π

∫f(r′, t′

)G(r, r′, ω

)eiωt

′dV ′dt′ (14.12)

y recordando que Ψ (r, ω) es un coeficiente de la transformada de Fourier de ψ (r ′, t′) se tiene

ψ (r, t) =1√2π

∫ ∞

−∞Ψ(r, ω) e−iωt dω

ψ (r, t) =1√2π

1

4π√

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ [(∂ψ (r′, t′)∂n′

)G(r, r′, ω

)

−(∂G (r, r′, ω)

∂n′

)ψ(r′, t′

)]dS′eiω(t′−t)dt′ dω

+1√2π

1√2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫f(r′, t′

)G(r, r′, ω

)dV ′

e−iω(t−t′) dt′ dω

ψ (r, t) =1

8π2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ [(∂ψ (r′, t′)∂n′

)G(r, r′, ω

)

−(∂G (r, r′, ω)

∂n′

)ψ(r′, t′

)]dS′e−iω(t−t′)dt′ dω

+1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫f(r′, t′

)G(r, r′, ω

)dV ′

e−iω(t−t′) dt′ dω (14.13)


definiendo

G(r, r′, t, t′

)=

1

2π

∫ ∞

−∞G(r, r′, ω

)e−iω(t−t′)dω

nos queda

ψ (r, t) =1

4π

∫ ∞

−∞

[∫

S

(∂ψ (r′, t′)∂n′

)G(r, r′, t, t′

)−(∂G (r, r′, t, t′)

∂n′

)ψ(r′, t′

)dS′]dt′

+

∫ ∞

−∞

∫

V ′

f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)dV ′

dt′ (14.14)

Hay varias diferencias entre las Ecs. (14.9) y (14.14). Por ejemplo en (14.14) no aparece la integral

1

4πc2

∫ (ψ(r′, t′

) ∂G (r, r′, t, t′)∂t′

−G(r, r′, t, t′

) ∂ψ (r′, t′)∂t′

)∣∣∣∣t′=t0

dV ′.

Por otro lado, la integracion temporal en (14.14) se hace entre −∞, ∞6; en tanto que en la ecuacion (14.9)la integracion temporal se realiza en el intervalo t0 y t1, esto explica la falta del termino integral, puesto quesi la integral temporal en (14.9) se extendiera hasta −∞ la ultima integral desaparecerıa.

14.3.3. Funcion de Green para espacio tiempo infinito

En virtud de la isotropıa del espacio tiempo (solo rota por la causalidad), la funcion de Green solodependera de la diferencia de coordenadas espacio temporales.

Tomemos una expansion de Fourier (que nos indica que G→ 0 cuando r → ∞ o t→ ±∞).Escribimos la fucion delta de Dirac como

δ(r − r′

)=

1

(2π)3

∫eik·(r−r′)d3k

δ(t− t′

)=

1

2π

∫ ∞

−∞e−iω(t−t′)dω

escribiendo la funcion de Green como

G(r, r′, t, t′

)=

∫g (k, ω) ei[k·(r−r′)−ω(t−t′)] d3K dω

reemplazando en la ecuacion de Green

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G(r, r′, t, t′

)= −4πδ

(r− r′

)δ(t− t′

)

nos queda

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)∫g (k, ω) ei[k·(r−r′)−ω(t−t′)] d3K dω

= −4π1

(2π)4

[∫eik·(r−r′)d3k

] ∫ ∞

−∞e−iω(t−t′)dω

∫g (k, ω)

[−k2 +

ω2

c2

]ei[k·(r−r′)−ω(t−t′)] d3K dω

= − 1

4π3

∫ei[k·(r−r′)−ω(t−t′)]d3k dω

6La integracion entre −∞, ∞ es indispensable para garantizar la completez en la transformada de Fourier.


con lo cual resulta

g (k, ω)

[−k2 +

ω2

c2

]= − 1

4π3⇒

g (k, ω) =1

4π3[k2 − ω2

c2

]

la funcion de Green queda entonces

G(r, r′, t, t′

)=

1

4π3

∫ei[k·(r−r′)−ω(t−t′)][k2 − ω2

c2

] d3k dω

utilicemos coordenadas esfericas en la variable k. Abreviando t− t′ ≡ τ, r−r′ = R, y |r− r′| = R nos queda

G(r, r′, t, t′

)=

1

4π3

∫ei[kR cos θ−ωτ ][k2 − ω2

c2

] k2 dk sin θ dθ dϕ dω

donde definimos θ el angulo entre R y k, y colocamos el eje Z a lo largo de R. Esta escogencia particularde eje Z, le da simetrıa azimutal al integrando (para esta integracion r y r ′ son fijos, de modo que no haycontradiccion en esta escogencia). Integrando en ϕ

G(r, r′, t, t′

)=

1

2π2

∫ei[kR cos θ−ωτ ][k2 − ω2

c2

] k2 dk sin θ dθ dω

hacemos el cambio de variableµ = ikR cos θ ⇒ dµ = −ikR sin θ dθ

donde hemos considerado a k como una constante, de modo que este cambio de variable solo se usara paraintegrar en θ.

G(r, r′, t, t′

)=

1

2π2

∫eµe−iωτ[k2c2−ω2

c2

]k2−ikR sin θ dθ

(−ikR)dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2

∫eµe−iωτ

[k2c2 − ω2]

dµ

(−ikR)k2 dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2

∫eµdµ

ikR

e−iωτ

[ω2 − k2c2]k2 dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫e−iωτ

k [ω2 − k2c2]

[∫eµdµ

]k2 dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫e−iωτ

[ω2 − k2c2]

[eµ|µf

µ0

]k dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫e−iωτ

[ω2 − k2c2]

[eikR cos θ

∣∣∣θ=π

θ=0

]k dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫e−iωτ

[ω2 − k2c2]

[e−ikR − eikR

]k dk dω

debemos tener presente que hemos escrito k ·R = kR cos θ, de tal modo que k esta en coordenadas esfericas,y por tanto dicha variable va entre 0 e infinito

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫ ∞

−∞

∫ ∞

0

e−iωτ

[ω2 − k2c2]e−ikR k dk −

∫ ∞

0

e−iωτ

[ω2 − k2c2]eikR k dk

dω


G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫ ∞

−∞

∫ ∞

0

e−iωτ

[ω2 − k2c2]e−ikR k dk +

∫ 0

∞

e−iωτ

[ω2 − k2c2]eikR k dk

dω

haciendo k → −k en la segunda integral

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫ ∞

−∞

∫ ∞

0

e−iωτ

[ω2 − k2c2]e−ikR k dk +

+

∫ 0

−∞

e−iωτ[ω2 − (−k)2 c2

]e−ikR (−k) d (−k)

dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫ ∞

−∞e−ikR

[∫ ∞

−∞

e−iωτ dω[ω2 − k2c2]

]k dk

la integral∫∞−∞

e−iωτ dω[ω2−k2c2]

posee dos polos simples en ω = ±kc, y puede evaluarse pasando al plano complejo

y desplazando los polos de z = ±kc a z = ± (kc+ iγ) con el fin de evitar que los polos queden sobre latrayectoria de integracion. Con esta extension al plano complejo se tiene

e−izτ = e−iτ(ω+iη)

y utilizando el contorno cerrado de la parte inferior de dicho plano (η < 0) tenemos

∮e−izτ dz[

z2 − (kc+ iγ)2] =

∫ ∞

−∞

e−iωτ dω[ω2 − (kc+ iγ)2

] +

∫

C

e−izτ dz[z2 − (kc+ iγ)2

]

donde la segunda integral se ejecuta en el semicirculo con radio infinito, primero demostraremos que estaintegral es cero, escribamos z = Aeiξ esta integral esta evaluada en A→ ∞, por otro lado, dz = iAeiξdξ ⇒dz = izdξ ∣∣∣∣∣∣

∫

C

e−izτ dz[z2 − (kc+ iγ)2

]

∣∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫

C

e−izτ dzz

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ π

0e−izτ i dξ

∣∣∣∣ ≤∫ π

0

∣∣e−izτ∣∣ dξ

basta con demostrar que la ultima integral se va a cero (ver Kreyszig vol II pag 327, version espanola de la6 Ed. del ingles).

Por tanto la integral de lınea cerrada con radio infinito coincide con la integral que necesitamos

∮e−izτ dz[

z2 − (kc+ iγ)2] =

∫ ∞

−∞

e−iωτ dω[ω2 − (kc+ iγ)2

]

en este caso, unicamente el polo z = −kc− iγ esta contenido en el loop, de modo que

∮e−izτ dz[

z2 − (kc+ iγ)2] = −2πi res (z = −kc− iγ)

el menos se debe a que la integral de lınea se esta haciendo en el sentido de las agujas del reloj, este polo essimple ya que

e−izτ[z2 − (kc+ iγ)2

] =e−izτ

[z − (kc+ iγ)] [z + (kc+ iγ)]

lımz→−(kc+iγ)

z − [− (kc+ iγ)] e−izτ

[z − (kc+ iγ)] [z + (kc+ iγ)]= finito


∮e−izτ dz[

z2 − (kc+ iγ)2] = −2πi lım

z→−(kc+iγ)[z + (kc+ iγ)]

e−izτ

[z − (kc+ iγ)] [z + (kc+ iγ)]

= −2πi lımz→−(kc+iγ)

e−izτ

[z − (kc+ iγ)]= πi

ei(kc+iγ)τ

(kc+ iγ)

ahora tomamos el lımite cuando γ → 0.

lımγ→0

∫e−izτ dz[

z2 − (kc+ iγ)2] = πi lım

γ→0

ei(kc+iγ)τ

(kc+ iγ)= πi

eikcτ

kc

quedando finalmente∫ ∞

−∞

e−iωτ dω[ω2 − k2c2]

= πieikcτ

kc

con τ > 0, lo cual se ha supuesto a lo largo de toda la integracion (la integral sobre el semicırculo infinitosolo se anula cuando τ > 0). Recordemos que la condicion τ > 0 indica causalidad.

Volviendo a la funcion de Green, tenemos que

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫ ∞

−∞e−ikR

[πieikcτ

kc

]k dk

G(r, r′, t, t′

)=

c

2πR

∫ ∞

−∞e−ik(R−cτ) dk

G(r, r′, t, t′

)=

c

Rδ (R− cτ) =

1

Rδ

(τ − R

c

)

teniendo en cuenta que R > 0, τ > 0 es decir t > t′ a la funcion de Green

G(r, r′, t, t′

)=δ(t− t′ − |r−r′|

c

)

|r− r′|

se le conoce como funcion de Green causal o retardada. Esta funcion corresponde a propagacion de un frentede onda esferico con centro en r′, t′ y moviendose a velocidad c.

En el espacio tiempo la funcion de Green existe solo sobre la superficie determinada por t− t ′ − |r−r′|c .

Es facil ver que con R = |r − r′| finito, G→ 0 para t→ ∞, y con t− t′ finito G→ 0 para r → ∞.

Otra solucion matematicamente aceptable se obtiene desplazando los polos en la forma z → ± (kc− iγ)y con τ < 0. Se obtiene (demostrar)

G =δ(τ + R

c

)

R

conocida como funcion de Green avanzada (τ < 0). Esta funcion de Green tiene cierto interes en Fısicateorica pero no arroja soluciones fısicas en este contexto debido a que viola causalidad.

14.3.4. Condicion de radiacion

Por medio de la funcion de Green retardada o causal, se puede plantear una condicion general quedeben satisfacer los campos lejanos debidos a distribuciones arbitrarias de fuentes (cargas y/o corrientes)


localizadas. Derivando la funcion de Green respecto a t′, r′

∂G

∂t′

∣∣∣∣t′=0

=1

Rδ′(t− t′ −R/c

)∣∣∣∣t′=t0

=1

Rδ′(t′ − t+R/c

)∣∣∣∣t′=t0

=δ′ (t0 − t+R/c)

R

∇′G = ∇′[δ(−τ + R

c

)

R

]= δ

(−τ +

R

c

)∇′[

1

R

]+

1

R∇′[δ

(−τ +

R

c

)]

=δ(−τ + R

c

)(r− r′)

R3+

1

R∇′[δ

(−τ +

R

c

)]

por otro lado

∇′δ(t′ − t+R/c

)= uR

∂

∂Rδ(t′ − t+R/c

)= uR

∂

∂t′δ(t′ − t+R/c

) ∂t′∂R

ahora, dado que G solo existe si t′ − t+R/c = 0 de modo que ∂R∂t′ = −c tenemos

∇′δ(t′ − t+R/c

)= −uR

cδ′(t′ − t+R/c

)

el gradiente primado de la funcion de Green queda

∇′G =δ(τ + R

c

)(r− r′)

R3− RuR

Rc

δ′ (t′ − t+R/c)

R

∇′G =δ(τ + R

c

)R

R3− R

Rc

δ′ (t′ − t+R/c)

R

∇′G =R

R

[δ(−τ + R

c

)

R2− δ′ (t′ − t+R/c)

Rc

]

reemplazando en (14.9) y tomando t′ → −∞ (lo que hace desaparecer la ultima integral, ya que G → 0 ent→ ±∞) se obtiene

ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

) δ(τ + R

c

)

R

]dV ′dt′

+1

4π

∫ t′=t1

t′=−∞

∫

S

δ(τ + R

c

)

R∇′ψ

(r′, t′

)

−ψ(r′, t′

) R

R

[δ(τ + R

c

)

R2− δ′ (t′ − t+R/c)

Rc

]· dS′dt′ (14.15)

ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′ +

1

4π

∫ t′=t1

t′=−∞

∫

S

δ(τ + R

c

)

R∇′ψ

(r′, t′

)

−ψ(r′, t′

) R

R

[δ(τ + R

c

)

R2− δ′ (t′ − t+R/c)

Rc

]· dS′dt′ (14.16)

si ψ (r′, t′) = ψ (r′) e−iωt′, introduciendo esta expresion

ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′ +

1

4π

[∫

S

1

R∇′ψ

(r′)· dS′

] ∫ t′=t1

t′=−∞e−iωt

′δ

(τ +

R

c

)dt′

− 1

4π

[∫

Sψ(r′) R

R3· dS′

] ∫ t′=t1

t′=−∞e−iωt

′δ

(τ +

R

c

)dt′

+1

4π

[∫

Sψ(r′) R

R2c· dS′

] ∫ t′=t1

t′=−∞e−iωt

′δ′(t′ − t+R/c

)dt′ (14.17)


teniendo en cuenta que ∫ ∞

−∞f (x)

d

dxδ (x− x0) dx = −

(df (x)

dx

)

x=x0

∫ t′=t1

t′=−∞e−iωt

′δ′(t′ − t+R/c

)dt′ = −

(d

dt′e−iωt

′

)

t′=t−R/c= iωe−iωt

′∣∣∣t′=t−R/c

= iωe−iω(t−R/c)

ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′ +

1

4π

[∫

S

1

R∇′ψ

(r′)· dS′

]e−iω(t−R/c)

− 1

4π

[∫

Sψ(r′) R

R3· dS′

]e−iω(t−R/c) +

1

4π

[∫

Sψ(r′) R

R2c· dS′

]iωe−iω(t−R/c) (14.18)

ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′ +

1

4π

∫

S

[∇′ψ (r′)R

− ψ(r′) R

R3+ iωψ

(r′) R

R2c

]e−iω(t−R/c) · dS′ (14.19)

ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′ +

1

4π

∫

S

∇′ψ (r′)R

− R

R2ψ(r′) [ 1

R− iω

c

]e−iω(t−R/c) · dS′ (14.20)

si f (r′, t′) esta localizada, desde puntos suficientemente lejanos aparecera como una fuente puntual, teniendoψ, por tanto, la misma forma espacial que G, esto es si G ∼ 1/R tambien ψ ∼ 1/R para puntos lejanos.Este comportamiento ya aparece en la primera integral, de modo que para S → ∞, la segunda integral debeanularse7, es decir

∂ψ (r)

∂n−(

1

r− iω

c

)ψ (r) → 0 para r → ∞ (i.e. R→ r)

∂ψ (r)

∂r→(

1

r− iω

c

)ψ (r)

esta ultima ecuacion se conoce como condicion de radiacion. Integrando esta ecuacion

ψ (r) −−−−→r → ∞ f (θ, ϕ)eikr

ro ψ (r, t) −−−−→r → ∞ f (θ, ϕ)

ei(kr−ωt)

r

lo cual corresponde a una onda esferica en r → ∞.

La condicion de radiacion dice simplemente que las fronteras en el infinito no contribuyen a la radiacion(no la reflejan).

Teniendo en cuenta la solucion para la funcion de Green en el espacio tiempo infinito. La solucion generala la ecuacion inhomogenea de ondas en el infinito se escribe como

ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′

ψ (r, t) =

∫f (r′, t′)R

δ(t′ − t+R/c

)dV ′ dt′

7Observese que si se reemplaza f (r′, t′) ∼ δ (r′ − r0) δ (t′ − t0) en la ecuacion para ψ (r, t) la segunda integral se anulaautomaticamente.


14.3.5. Evaluacion de la funcion de Green para la ecuacion de Helmholtz

(∇2 + α2

)G(r, r′, ω

)= −4πδ

(r− r′

)

si queremos resolver esta cuacion para espacio infinito

δ(r− r′

)=

1

(2π)3

∫eik·(r−r′)d3k

G(r, r′, ω

)=

∫g (k) eik·(r−r′)d3k

remplazando en la ecuacion de Helmholtz

g (k) =4π

(2π)3 (k2 − α2)

quedando

G(r, r′, ω

)=

1

(2π)2

∫eik·(r−r′)

k2 − α2d3k

integrando en ϕ y haciendo µ = ikR cos θ

G(r, r′, ω

)=

∫ ∫ ∫eikR cos θk2 sin θ dk dθ dϕ

k2 − α2

G(r, r′, ω

)=

1

iπR

∫ ∞

0k

[e−ikR − eikR

]

k2 − α2dk =

1

iπR

∫ ∞

−∞k

eikR

k2 − α2dk

como antes, esta integral se evalua pasando al plano complejo y desplazando los polos de k = ±α hastaz = ± (α+ iγ). La integral sobre la semicircunferencia con radio infinito se anula y queda

∫ ∞

−∞k

eikR

k2 − α2dk =

∫eizRz dz

z2 − (α2 + iγ)2= 2πi

(eizRz

z + (α+ iγ)

)

z=α+iγ

= πiei(α+iγ)R

tomando el lımite cuando γ → 0 se obtiene

∫ ∞

−∞k

eikR

k2 − α2dk = πieiαR

de modo que la funcion de Green para la ec. de Helmholtz queda

G(r, r′, ω

)=eiαR

R(14.21)

lo cual corresponde a una onda esferica debida a una fuente puntual monocromatica (onda saliente).

Ahora reemplazamos en la funcion de onda dada en (14.13) para lo cual calculamos

G =eiα|r−r′|

|r− r′| ⇒ ∂G

∂r′=

∂

∂r′

(eiα|r−r′|

|r− r′|

)=

1

|r− r′|∂

∂r′

(eiα|r−r′|

)+ eiα|r−r′| ∂

∂r′

(1

|r− r′|

)

=iαeiα|r−r′|

|r− r′|∂

∂r′(∣∣r− r′

∣∣)+ eiα|r−r′| ∂∂r′

(1

|r− r′|

)

=iαeiα|r−r′|

|r− r′|∂

∂r′

(√r2 + r′2 − 2rr′ cos η

)+ eiα|r−r′| ∂

∂r′

(1√

r2 + r′2 − 2rr′ cos η

)


∂G

∂r′=

iαeiα|r−r′|

|r− r′|

[r′ − r cos η√

r2 − 2rr′ cos η + r′2

]+ eiα|r−r′|

[r cos η − r′

(r2 − 2rr′ cos η + r′2)3/2

]

∂G

∂r′=

iαeiα|r−r′|

|r − r′|2[r′ − r cos η

]+eiα|r−r′|

|r− r′|3[r cos η − r′

]

=

(iα− 1

|r− r′|

) [r′ − r cos η

] eiα|r−r′|

|r− r′|2

=

(iα− 1

|r− r′|

)[r′ − r·r

′

r′

]eiα|r−r′|

|r− r′|2

=

(iα− 1

R

)(r′ − n′ · r

) eiα|r−r′|

|r− r′|2

como estos terminos se evaluan en una superficie que tiende a infinito

lımr′→∞

G(r, r′, ω

)= lım

r′→∞eiα|r−r′|

|r− r′| =eiαr

′

r′

lımr′→∞

∂G (r, r′, ω)

∂r′= lım

r′→∞

(iα− 1

R

)(r′ − n′ · r

) eiα|r−r′|

|r− r′|2

= lımr′→∞

(iα− 1

r′

)r′eiαr

′

r′2

=

iαeiαr

′

r′− eiαr

′

r′2

lımr′→∞

∂G (r, r′, ω)

∂r′= iα

eiαr′

r′

ahora sı reemplazamos en la funcion de onda dada en (14.13)

ψ (r, t) =1

8π2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ [(∂ψ (r′, t′)∂n′

)G(r, r′, ω

)

−(∂G (r, r′, ω)

∂n′

)ψ(r′, t′

)]dS′e−iω(t−t′)dt′ dω

+1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫f(r′, t′

)G(r, r′, ω

)dV ′

e−iω(t−t′) dt′ dω

ψ (r, t) =1

2π

∫f(r′, t′

) eiαRR

e−iω(t−t′)dV ′dt′dω

+1

4π

1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫

S′→∞

[eiαr

′

r′∂ψ (r′, t′)

∂r− ψ

(r′, t) iαeiαr′

r′

]e−iω(t−t′)dS′

dt′dω

al integrar en ω (recordando que α2 = ω2/c2) nos queda

ψ (r, t) =

∫f (r′, t′)R

δ

(R

c− t+ t′

)dV ′dt′

+1

4π

∫

S′→∞

[1

r′∂ψ (r′, t′)

∂r′− ψ (r′, t′)

r′iα

]δ

(R

c− t+ t′

)dS′dt′

dado que la frontera esta en infinito, la ultima integral no contribuye para lo cual es necesario que

∂ψ (r′, t′)∂r′

→ iαψ(r′, t′

)⇒ ψ

(r′, t′

) −−−−−→r′ → ∞ f (θ, ϕ)

eiαr′

r′

recıprocamente, del conocimiento de que la funcion de onda para puntos muy lejanos se comporta como unafuncion de Green, se sigue que la integral de superficie en el infinito debe anularse.


14.3.6. Otra forma de evaluacion de G

Demostraremos que G causal puede expresarse a traves de un problema de valor inicial para la ecuacionde onda homogenea.

Se sabe que la solucion a la ecuacion de onda homogenea es unica si se especifican las condiciones inicialesy de frontera definidas en (14.2).

Si definimos G (r, r′, t, t′) = ψh (r, t) θ (t− t′), donde ψh (r, t′) es la solucion para la ecuacion de ondahomogenea, para un conjunto fijo de condiciones iniciales y de frontera. θ (t− t ′) es la funcion de Heaviside.Observemos que la introduccion de la funcion paso nos garantiza el caracter causal de G.

Se sigue

∇2G(r, r′, t, t′

)= ∇2

[ψh (r, t) θ

(t− t′

)]= θ

(t− t′

)∇2ψh (r, t)

∂G (r, r′, t, t′)∂t

=∂

∂t

[ψh (r, t) θ

(t− t′

)]

= ψh (r, t)∂

∂t

[θ(t− t′

)]+ θ

(t− t′

) ∂ψh (r, t)

∂t

= ψh (r, t) δ(t− t′

)+ θ

(t− t′

) ∂ψh (r, t)

∂t∂2G

∂t2=

∂

∂t

[ψh (r, t) δ

(t− t′

)+ θ

(t− t′

) ∂ψh (r, t)

∂t

]

= ψh (r, t)d

dt

[δ(t− t′

)]+ δ

(t− t′

) ∂ψh (r, t)

∂t

+θ(t− t′

) ∂2ψh (r, t)

∂t2+∂ψh (r, t)

∂tδ(t− t′

)

∂2G

∂t2= ψh (r, t)

d

dt

[δ(t− t′

)]+ 2δ

(t− t′

) ∂ψh (r, t)

∂t

+θ(t− t′

) ∂2ψh (r, t)

∂t2

Sustituyendo en la ecuacion de ondas

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = θ

(t− t′

)∇2ψh (r, t) − 1

c2

ψh (r, t)

d

dt

[δ(t− t′

)]

+2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)

∂t+ θ

(t− t′

) ∂2ψh (r, t)

∂t2

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = θ

(t− t′

)∇2ψh (r, t) − 1

c2θ(t− t′

) ∂2ψh (r, t)

∂t2

− 1

c2ψh (r, t)

d

dt

[δ(t− t′

)]− 2

c2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)

∂t

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = θ

(t− t′

) ∇2 − 1

c2∂2

∂t2

ψh (r, t)

− 1

c2ψh (r, t)

d

dt

[δ(t− t′

)]− 2

c2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)

∂t

pero por definicion∇2 − 1

c2∂2

∂t2

ψh (r, t) = 0 por tanto

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = − 1

c2ψh (r, t)

d

dt

[δ(t− t′

)]− 2

c2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)

∂t


ambos terminos solo contribuyen cuando t = t′. De modo que se puede escribir como

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = − 1

c2ψh (r, t)

∣∣∣∣t=t′

dδ (t− t′)dt

− 2

c2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)

∂t

∣∣∣∣t=t′

por otro lado, por definicion de funcion de Green

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = −4πδ

(r− r′

)δ(t− t′

)

esto se cumple si

− 1

c2ψh (r, t)

∣∣∣∣t=t′

dδ (t− t′)dt

= 0

− 2

c2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)

∂t

∣∣∣∣t=t′

= −4πδ(r− r′

)δ(t− t′

)

finalmente

ψh (r, t)|t=t′ = 0

∂ψh (r, t)

∂t

∣∣∣∣t=t′

= 2πc2δ(r − r′

)

Por tanto, es suficiente determinar ψ (o ∂ψ/∂n) sobre la frontera espacial8; ya que usando G (r, r′, t, t′) =ψh (r, t) θ (t− t′) se obtiene

G(r, r′, t, t′

)∣∣S

= ψh (r, t)|S θ(t− t′

)

o

∂G (r, r′, t, t′)∂n

∣∣∣∣S

=∂ψh (r, t)

∂n

∣∣∣∣S

θ(t− t′

)

tal que si se quiere G = 0 sobre la superficie se hara ψh|S = 0. Si se propone G ∼ eiαr′

r′ en r′ → ∞, tambien

se tiene que ψh ∼ eiαr′

r′

Para resumir: la funcion de Green se puede determinar solucionando la ecuacion homogenea de ondascon las condiciones de frontera e iniciales requeridas ψh (r, t). Con esta solucion se propone

G(r, r′, t, t′

)= ψh (r, t) θ

(t− t′

)

con las condiciones

ψh (r, t)|t=t′ = 0 ;∂ψh (r, t)

∂t

∣∣∣∣t=t′

= 2πc2δ(r− r′

)

observese que estas no son condiciones iniciales, 8aunque estas tambien las debe cumplir la solucion ho-mogenea). Solucionada la ecuacion homogenea con estas condiciones se tiene

G(r, r′, t, t′

)∣∣S

= ψh (r, t)|S θ(t− t′

)

8Las condiciones iniciales han sido absorbidas en la solucion de la parte homogenea.


14.3.7. Funcion de Green para espacio infinito en coordenadas esfericas

la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esfericas toma la forma

1

r2∂

∂r

[r2∂G

∂r

]− L2G

r2+ k2G = −4π

δ (r− r′)r2

δ(cos θ − cos θ′

)δ(ϕ− ϕ′)

L2 es el cuadrado del operador momento angular. Como es usual expandamos G en armonicos esfericos.

G(r, r′, ω

)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) flm

(r, r′

)

antes de reemplazar en la funcion de Helmholtz calculamos

1

r2∂

∂r

[r2∂G

∂r

]=

1

r2∂

∂r

[r2∂

∂r

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) flm

(r, r′

)]

=∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) 1

r2d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]

− L2G

r2= − 1

r2

∞∑

l=0

l∑

m=−l

[L2Ylm (θ, ϕ)

]Y ∗lm

(θ′, ϕ′) flm

(r, r′

)

= −∞∑

l=0

l∑

m=−l[l (l + 1) Ylm (θ, ϕ)]Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) flm (r, r′)

r2

reemplazando en la ecuacion de Helmholtz

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)

1

r2d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]− l (l + 1)

flm (r, r′)r2

+ k2flm(r, r′

)

= −4πδ (r− r′)

r2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)

La ecuacion para flm (r, r′) es

1

r2d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]− l (l + 1)

flm (r, r′)r2

+ k2flm(r, r′

)= −4π

δ (r− r′)r2

(14.22)

primero trabajemos la solucion homogenea, es decir para r 6= r′

1

r2d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]− l (l + 1)

flm (r, r′)r2

+ k2flm(r, r′

)= 0

la solucion es (ver sec. 14.2.2, pag. 260)

fl(r, r′

)= A′h(1)

l (kr) +B′h(2)l (kr) = Ajl (kr) +Bηl (kr)

Al exigir que G 6= ∞ en r → 0, queda

fl(r, r′

)= Ajl (kr<)


tambien se exige que en r → ∞, G represente frentes de onda viajando hacia afuera (“outgoing waves”). Esfacil ver que de

lımr→∞

fl(r, r′

)= A′ e

iαr

αr+B′ e

−iαr

αr

se sigue que B ′ = 0. Por tanto,

fl(r, r′

)= Cjl (kr<) h

(1)l (kr>) (14.23)

Para evaluar C tomamos la ecuacion inhomogenea (14.22)

1

r2d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]− l (l + 1)

flm (r, r′)r2

+ k2flm(r, r′

)= −4π

δ (r− r′)r2

multiplicamos por r2 e integramos

∫ r′+ε

r′−ε

d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]dr − l (l + 1)

∫ r′+ε

r′−εflm

(r, r′

)dr

+k2

∫ r′+ε

r′−εr2flm

(r, r′

)dr = −4π

∫ r′+ε

r′−εδ(r− r′

)dr

asumiendo que la funcion flm (r, r′) es integrable en este intervalo, solo sobrevive el primer termino de laizquierda cuando ε→ 0.

r2dflm (r, r′)

dr

∣∣∣∣r=r′+ε

r=r′−ε= −4π

y tomando (14.23)

C r2d

dr

[jl (kr<)h

(1)l (kr>)

]∣∣∣∣r=r′+ε=r>

r=r′−ε=r<= −4π

Cr2d

dr

[jl(kr′)h

(1)l (kr)

]− d

dr

[jl (kr)h

(1)l

(kr′)]

= −4π

Cr2jl(kr′) ddr

[h

(1)l (kr)

]− h

(1)l

(kr′) ddr

[jl (kr)]

= −4π

se puede demostrar que C = 4πik (ver Sepulveda pags. 270-271) resulta entonces

fl(r, r′

)= 4πik jl (kr<)h

(1)l (kr>)

La funcion de Green es

G(r, r′, ω

)= 4πik

∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<)h

(1)l (kr>)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

como una aplicacion de gran utilidad, obtengamos la expansion de una onda plana en armonicos esfericos

14.3.8. Expansion de una onda plana en armonicos esfericos

De la expansion anterior y tomando (14.21) queda

eik|r−r′|

|r− r′| = 4πik∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<) h

(1)l (kr>) Ylm (θ, ϕ) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) (14.24)


realizando una expansion de |r− r′| para r′ >> r, con lo cual r = r<, r′ = r> resulta

∣∣r − r′∣∣ =

∣∣r′ − r∣∣ =

∣∣n′r′ − r∣∣ = r′

∣∣∣n′ − r

r′

∣∣∣ = r′√

1 +r2

r′2− 2n′·r

r′

∣∣r − r′∣∣ ' r′

√1 − 2n′·r

r′' r′

(1 − n′·r

r′

)= r′ − n′·r

la expansion es valida ya que n′·r ≤ r << r′ ⇒ 2n′·rr′ << 1

de modo que con r′ >> r

eik|r−r′|

|r− r′| ' eik(r′−n′·r)

r′ − n′·r ' eikr′e−ikn

′·r

r′

y definiendo k = kn′ resultaeik|r−r′|

|r− r′| ' eikr′e−ik·r

r′

ademas, h(1)l (kr>) = h

(1)l (kr′) → (−i)l+1 eikr′

kr′

con estas aproximaciones, la relacion asintotica para la ecuacion (14.24) queda

eikr′e−ik·r

r′= 4πik

∞∑

l=0

l∑

m=−l(−i)l+1 jl (kr)

eikr′

kr′Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

e−ik·r = 4π∞∑

l=0

l∑

m=−l(−i)l jl (kr)Ylm (θ, ϕ) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

recordemos que θ′, ϕ′ se asocian a r′ y por otro lado k va en la direccion de n′. Por lo tanto θ, ϕ estanasociados a r en tanto que θ′, ϕ′ estan asociados a k. Tambien se puede escribir

e−i(k·r−ωt) = 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l(−i)l jl (kr)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) eiωt

14.3.9. Resumen

Para espacio infinito, la funcion de onda se puede escribir como

ψ (r, t) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∫f(r′, t′

)G(r, r′, ω

)e−iω(t−t′) dω dt′ dV ′

la integral espacial se realiza sobre el volumen de las fuentes. La funcion G (r, r′, ω) puede expresarse encualquiera de sus representaciones eikR/R, fourier, armonicos esfericos etc.

Recordemos ademas que los potenciales φ (r, t) y A (r, t) satisfacen la ecuacion de onda inhomogeneacuando usamos el gauge de Lorentz. Ademas, cada potencial tiene como fuentes para la parte inhomogenealas cargas y las corrientes.

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)φ (r, t) = −4πρ (r, t)

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)A (r, t) = −4π

cJ (r, t)

la solucion para espacio infinito es

φ (r, t) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∫ρ(r′, t′

)G(r, r′, ω


A (r, t) =1

2πc

∫ ∞

−∞

∫ ∫J(r′, t′

)G(r, r′, ω



14.3.10. Ejercicio: carga puntual en reposo

La densidad volumetrica equivalente si la carga esta en el origen, es

ρ(r′, t)

= qδ (r′)4πr′2

evaluaremos el potencial escalar usando la funcion de Green para todo el espacio, expandida en armonicosesfericos.

φ (r, t) =1

2π

∫ρ(r′, t′

)G(r, r′, ω


φ (r, t) =1

2π

∫qδ (r′)4πr′2

G(r, r′, ω


φ (r, t) =4πiq

2π · 4π

∫δ (r′)r′2

∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<) h

(1)l (kr>) ×

×Ylm (θ, ϕ)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) e−iω(t−t′) k dω dt′ dV ′

debido a la delta de Dirac, r′ solo contribuye para r′ → 0, se tiene entonces que r′ = r<

φ (r, t) =iq

2π

∫ ∫ ∞∑

l=0

l∑

m=−l

[∫δ (r′)r′2

jl(kr′)h

(1)l (kr)

× Ylm (θ, ϕ)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dV ′] e−iω(t−t′)

k dω dt′

efectuando la integral volumetrica primero

IV =

∫δ (r′)r′2

jl(kr′)h

(1)l (kr) r′2dr′

∫Ylm (θ, ϕ) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

=

∫δ(r′)jl(kr′)h

(1)l (kr) dr′


lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

︸︷︷︸=1

= jl (0) h(1)l (kr)


lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

usando la propiedad jl (0) = δl0

IV = h(1)l (kr) δl0

volviendo a la expresion para el potencial escalar y recordando que k = ω/c

φ (r, t) =iqc

2π

∫ ∫ ∞∑

l=0

l∑

m=−lh

(1)l (kr) δl0e

−ikc(t−t′)k dk dt′

φ (r, t) =iqc

2π

∫ h

(1)0 (kr)

[∫e−ikc(t−t

′)dt′]

k dk

φ (r, t) =iqc

2π

∫ h

(1)0 (kr) e−ikct

[∫eikct

′dt′]

k dk


φ (r, t) =iqc

2π

∫ h

(1)0 (kr) e−ikct

[∫eik(ct

′)d (ct′)c

]k dk

φ (r, t) =iqc

2π

∫ (−i) e

ikr

kre−ikct

2πδ (k)

c

k dk

φ (r, t) =q

r

∫ eikr e−ikctδ (k)

dk

φ (r, t) =q

r

14.3.11. Dipolo puntual oscilante

Calcular los campos generados por un dipolo electrico puntual oscilante es de gran interes puesto quecomo hemos visto, la aproximacion dipolar es muy buena en la mayorıa de problemas de campos en lamateria. Por otra parte, estos dipolos que ya hemos estudiado en la situacion estatica, podrıan oscilar porefectos termicos o por perturbaciones externas tales como campos externos variables en el tiempo.

Como se trata de un dipolo puntual, lo ubicaremos por simplicidad en el origen de coordenadas, siasumimos un momento dipolar p0 y una frecuencia de oscilacion ω0 podemos escribir el vector de polarizacioncomo

P (r, t) = p0 δ (r) e−iω0t

naturalmente, el valor real de P es la parte real de esta cantidad, pero es mas comodo trabajar con elexponencial complejo y tomar la parte real al final del proceso. En el capıtulo de campos electricos en lamateria aprendimos que la densidad volumetrica equivalente del dipolo es

ρ (r, t) = −∇ ·P

y como δ (r) solo sobrevive para r → 0, se puede integrar el angulo solido y obtener

δ (r) =δ (r)

4πr2; ∇δ (r) =

ur4π

[1

r2dδ (r)

dr− 2

δ (r)

r3

]

la densidad queda

ρ (r, t) = −∇ ·(p0 δ (r) e−iω0t

)= −p0 · [∇ δ (r)] e−iω0t

ρ (r, t) = −p0k ·

ur4π

[1

r2dδ (r)

dr− 2

δ (r)

r3

]e−iω0t

ρ (r, t) = − p0

4πk · ur

1

r2dδ (r)

dr− 2

δ (r)

r3

e−iω0t

ρ (r, t) = − p0

4πcos θ

[1

r2dδ (r)

dr− 2

δ (r)

r3

]e−iω0t

si convenientemente colocamos p0 (o equivalentemente k) en la direccion del eje Z, entonces θ es el anguloen coordenadas esfericas, puesto que serıa el angulo entre el eje Z y el vector unitario radial.

Expandiendo G (r, r′, ω) en armonicos esfericos, el potencial queda

φ (r, t) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∫ρ(r′, t′

)G(r, r′, ω


φ (r, t) =1

2π

∫ ∫ ∫ − p0

4πcos θ′

[1

r′2dδ (r′)dr′

− 2δ (r′)r′3

]e−iω0t′

×

4πik∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<)h

(1)l (kr>)Ylm (θ, ϕ) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

e−iω(t−t′) dω dt′ dV ′


φ (r, t) =1

2π

∫ ∫ ∫ − p0

4πcos θ′

[1


− 2δ (r′)r′3

]e−iω0t′

×

4πik

∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<)h

(1)l (kr>)Ylm (θ, ϕ) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

e−iω(t−t′) dω dt′ dV ′

φ (r, t) = − ip0

2π

∫ ∫ ∫ cos θ′

[1


− 2δ (r′)r′3

]

× ∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<)h

(1)l (kr>)Ylm (θ, ϕ) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

dV ′k e−iω(t−t′) dω e−iω0t′dt′

φ (r, t) = − ip0

2π

∫ ∫IV k e−iω(t−t′) dω e−iω0t′dt′

realizamos primero la integral de volumen

IV =

∫cos θ′

[1


− 2δ (r′)r′3

]

× ∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<)h

(1)l (kr>)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

dV ′

IV =

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

∫ [1


− 2δ (r′)r′3

]jl (kr<)h

(1)l (kr>) r′2 dr′

∫cos θ′Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

recordando que

cos θ =

√4π

3Y10 (θ, ϕ)

tenemos que estas integrales solo sobreviven para r ′ → 0 de modo que r′ = r<.

IV =

√4π

3

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)h

(1)l (kr)

∫ [1


− 2δ (r′)r′3

]jl(kr′)r′2 dr′

∫Y10

(θ′, ϕ′)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

IV =

√4π

3

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)h

(1)l (kr)

∫ [1


− 2δ (r′)r′3

](δl1δm0) jl

(kr′)r′2 dr′

IV =

√4π

3Y10 (θ, ϕ) h

(1)1 (kr)

∫ [dδ (r′)dr′

− 2δ (r′)r′

]j1(kr′)dr′


recordando que

∫f (x)

d

dxδ (x− x0) dx = −

(df (x)

dx

)

x=x0

j1 (x) = −x(

1

x

d

dx

)(sinx

x

)= − d

dx

(sinx

x

)

j1 (x) =1

x2(sinx− x cos x)

dj1 (kr′)dr′

=d

dr′

[1

k2r′2(sin kr′ − kr′ cos kr′

)]

dj1 (kr′)dr′

=1

k2r′3(2kr′ cos kr′ − 2 sin kr′ + k2r′2 sin kr′

)

tenemos

IV = cos θ h(1)1 (kr) ×

× lımr′→0

[− 1

k2r′3(2kr′ cos kr′ − 2 sin kr′ + k2r′2 sin kr′

)− 2

1

k2r′3(sin kr′ − kr′ cos kr′

)]

IV = cos θ h(1)1 (kr) ×

× lımr′→0

[−(2kr′ cos kr′ − 2 sin kr′ + k2r′2 sin kr′

)− 2 (sinkr′ − kr′ cos kr′)

]

k2r′3

IV = cos θ h(1)1 (kr) lım

r′→0

[−k2r′2 sin kr′

]

k2r′3

IV = − cos θ h(1)1 (kr) lım

r′→0

sinkr′

r′

IV = −k cos θ h(1)1 (kr)

reemplazando en el potencial

φ (r, t) = − ip0

2π

∫ ∫ [−k cos θ h

(1)1 (kr)

]k e−iω(t−t′) dω e−iω0t′dt′

φ (r, t) =ip0

2πcos θ

∫ [∫k2h

(1)1 (kr) e−iω(t−t′) dω

]e−iω0t′dt′

φ (r, t) =ip0

2πcos θ

∫k2h

(1)1 (kr)

[∫e−iω(t−t′)e−iω0t′dt′

]dω

φ (r, t) = ip0 cos θ

∫k2h

(1)1 (kr) e−iωt

[1

2π

∫ei(ω−ω0)t′dt′

]dω


∫k2h

(1)1 (kr) e−iωtδ (ω − ω0) dω

y teniendo en cuenta que k = ω/c


(ω2

0

c2

)h

(1)1

(ω0

cr)e−iω0t


h(1)1 (x) = −i (−1) x

(1

x

d

dx

)(eix

x

)= i

d

dx

(eix

x

)=

−eix

x− ieix

x2= −e

ix

x

(1 +

i

x

)


(ω2

0

c2

)[−e

i(ω0cr)

(ω0c r)(

1 +i(ω0c r))]

e−iω0t

φ (r, t) = −ip0 cos θ(ω0

c

) [(1

r+

ic

ω0r2

)]e−iω0(t− r

c )

φ (r, t) = −ip0 cos θ

[(ω0

rc+

i

r2

)]e−iω0(t− r

c )

el espectro es monocromatico con frecuencia ω0 (l = 1, m = 0). Es interesante analizar algunos casos lımite

1. Si ω0 → 0 el potencial se reduce a p0 cos θ/r2 es decir al dipolo electrico estatico.

2. En la aproximacion de campo lejano es decir con r >> λ, es decir k0r >> 1 se tiene que

ω0

cr > > 1 ⇒ ω0

rc>>

1

r2⇒

φ (r, t) ≈ − ip0 cos θ

crω0 e

−iω0(t− rc )

notese que aun para el campo de radiacion lejano no hay simetrıa esferica debido al factor cos θ, esto sedebe a que el momento dipolar rompe esta simetrıa aun cuando el dipolo sea puntual. Efectivamente,θ esta midiendo el angulo entre el momento dipolar y el vector de observacion r.

3. Para campo cercano

φ (r, t) ≈ p0 cos θ

r2e−iω0(t− r

c )

lo cual corresponde a campo de dipolo estatico afectado por un termino oscilante

para calcular A (r, t) debe tenerse en cuenta que

J (r, t) =∂P (r, t)

∂t= −iωp0e

−iω0t

con lo cual se obtiene

A (r, t) =ω2

0p0k

c2h

(1)0

(ω0r

c

)e−iω0t = −iω0p0k

cre−iω0(t− r

c )

h(1)0 (x) =

eix

ix

Es facil comprobar que A y φ satisfacen la condicion de Lorentz.

Con estos potenciales se puede proceder a calcular los campos

E = −∇φ (r, t) − 1

c

∂A (r, t)

∂t; B = ∇×A (r, t)

dichos campos toman la forma

14.4. TRANSFORMADA DE FOURIER DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL 285

E (r, t) = p0

er

(2

r3− 2iω0

cr2

)cos θ

+eθ

(1

r3− iω0

cr2− ω2

0

c2r

)sin θ

e−iω0(t−r/c)

B (r, t) = −eϕiω0p0

cr

1

r− iω0

c

sin θ e−iω0(t−r/c)

de nuevo se puede apreciar que en el lımite ω0 → 0, se obtiene el dipolo puntual electrico, y el campomagnetico tiende a cero. Tambien se puede observar que el campo electrico tiene componente radial, perono B, de modo que el campo de dipolo electrico es transverso magnetico (TM). Por otro lado en la zona deradiacion (campo lejano) se tiene que Er << Eθ y el campo llega a ser TEM. Finalmente, se puede verificarque los campos E y B son ortogonales.

14.4. Transformada de Fourier de las ecuaciones de Maxwell

???????????

Capıtulo 15

Ondas electromagneticas planas

15.1. Caracterısticas basicas de una onda plana

En este capıtulo trabajaremos el comportamiento de ondas viajeras planas en medio infinito o semi-infinito (para el caso en que hay una interfase entre dos medios). Analizaremos primero el caso mas sencilloen el cual las ondas se propagan en un medio no conductor isotropo, homogeneo y lineal. En tal caso, lasconstantes ε y µ se consideraran constantes i.e. independientes de la frecuencia de tal manera que las ondasno presentan dispersion. Tomando las ecuaciones de Maxwell sin fuentes, en un medio infinito

∇ · E = 0 ; ∇×E +1

c

∂B

∂t= 0

∇ ·B = 0 ; ∇×B − µε

c

∂E

∂t= 0

como ya habıamos notado, estas ecuaciones poseen una mayor simetrıa en ausencia de cargas y corrienteslibres. Esto nos permite escribir con facilidad la ecuacion de onda para los campos E y B directamente.Derivando parcialmente respecto al tiempo una de las ecuaciones rotacionales

∂

∂t(∇×E) +

1

c

∂2B

∂t2= 0 ⇒ ∇×

(∂E

∂t

)+

1

c

∂2B

∂t2= 0

y reemplazando ∂E∂t de la otra ecuacion rotacional

⇒ ∇×(c

µε∇×B

)+

1

c

∂2B

∂t2= 0 ⇒ c

µε

[∇ (∇ ·B) −∇2B

]+

1

c

∂2B

∂t2= 0 ⇒ −∇2B +

µε

c2∂2B

∂t2= 0

quedando finalmente

∇2B− 1

v2

∂2B

∂t2= 0 ; v ≡ c√

µε

Con un procedimiento similar se encuentra la ecuacion de onda para E, en sıntesis

(∇2 − µε

c2∂2

∂t2

)(E (r, t)B (r, t)

)

una solucion (compleja) a esta ecuacion es de la forma

E (r, t) = E0ei(k·r−ωt) ; B (r, t) = B0e

i(k·r−ωt) (15.1)

con E0, B0 constantes complejas, de modo que un posible factor de fase constante se absorbe en este termino.Estas soluciones de tipo sinusoidal son de gran importancia ya que aunque no son las mas generales, sesabe que cualquier solucion de la ecuacion de onda es una superposicion de estas. Por este motivo nos

287

288 CAPITULO 15. ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS

concentraremos en las expresiones (15.1) en lo que sigue. Las soluciones (15.1) corresponden a una unicafrecuencia ω por lo cual describen ondas monocromaticas. Al introducir estas soluciones en las ecuacionesde Maxwell se encuentra que ω = kv. El frente de onda para un instante fijo de tiempo, esta constituıdopor los puntos con la misma fase k · r− ωt. Al ser el tiempo fijo, lo que obtenemos es el conjunto de puntosdonde k · r = cte, donde cada valor de la constante equivale a un frente distinto. La ecuacion k · r = cte, conk un vector constante, es la ecuacion de un plano perpendicular al vector k 1. Por tanto, la solucion (15.1),representa una onda plana viajando en la direccion k. Es facil demostrar de nuestras soluciones complejas(tomando la solucion real Fısica) que los puntos de fase constante son tambien de amplitud constante.Adicionalmente aunque toda solucion de las ecuaciones de Maxwell es solucion de la ecuacion de onda, lorecıproco no es cierto. En particular, las expresiones (15.1) son soluciones de la ecuacion de onda, pero paraque sean soluciones de las ecuaciones de Maxwell deben cumplir condiciones adicionales relacionadas conlas ecuaciones con divergencia2

∇ ·[E0e

i(k·r−ωt)]

= 0 ⇒ k · E0ei(k·r−ωt) = 0 ⇒ k ·E = 0

similarmente para el campo Bk ·E = 0, k ·B = 0

lo cual significa que tanto E como B son perpendiculares a la direccion de propagacion (onda transversal).Las ecuaciones rotacionales nos dan informacion complementaria

∇×E +1

c

∂B

∂t= 0 ⇒ εijk∂jEk = −1

c∂tBi

calculando las derivadas de Ek, Bi de acuerdo con (15.1), resulta

∂jEk = ∂j

[E0k e

i(k·r−ωt)]

= E0k∂j

[ei(k·r−ωt)

]= E0k e

i(k·r−ωt)∂j (knxn − ωt)

∂jEk = E0k ei(k·r−ωt)knδjn =

[E0k e

i(k·r−ωt)]kj = iEkkj

similarmente∂tBi = ∂t

[B0i e

i(k·r−ωt)]

= −iωBicon lo cual

εijkkjEk = −1

c(−ωBi) ⇒ (k ×E)i =

ω

cBi

B =c

ωk×E

por conveniencia, definamos el ındice de refraccion n ≡ c/v. Como v = c/√εµ y ω = kv ⇒

n =√εµ ; k =

nω

c

la expresion anterior queda

B =ck

ωk×E = n

(k×E

)(15.2)

de lo cual se ve que E y B son perpendiculares entre sı, y los vectores k,B, y E forman un sistema ortogonal.Esto nos indica que las ondas electromagneticas asociadas a campos sin fuentes son de naturaleza transversal.

1Aquı de nuevo enfatizamos que estamos suponiendo k = cte independiente de la frecuencia. Cuando esto no ocurre, el frentede onda cambia y ya no serıa en general un plano.

2Observese que para obtener la ecuacion de onda se usaron las ecuaciones rotacionales y se combinaron en una sola, razonpor la cual una de las ecuaciones rotacionales nos da informacion no trivial. Por otro lado, se usaron las condiciones ∇ (∇ · B) =∇ (∇ · E) = 0, las cuales son mas debiles que las condiciones ∇ ·B = ∇ ·E = 0, por este motivo las ecuaciones de Maxwell condivergencia aportan informacion adicional sobre la solucion (15.1).

15.1. CARACTERISTICAS BASICAS DE UNA ONDA PLANA 289

Notese que con k real, la ecuacion anterior nos garantiza que E y B tienen la misma fase. Si k es complejo,la fase asociada a k hace que las fases de los dos campos ya no coincidan, y como veremos mas adelanteel conjunto de vectores k,B, y E ya no necesariamente forma un sistema ortogonal. Por otro lado, la Ec.(15.2) tambien nos da una relacion entre las amplitudes de B y E

‖B‖ =∥∥∥n(k×E

)∥∥∥⇒ B0 = nE0 (15.3)

finalmente, el lector puede verificar que la ecuacion de Ampere Maxwell, no provee ninguna restriccionadicional sino solo una prueba de consistencia para la solucion.

15.1.1. Transporte de momento y energıa en una onda plana

La densidad de energıa se puede calcular con la Ec. (13.4) pero dado que la solucion obtenida es complejase tiene que

εF =1

8π

(|Re (E)|2 + |Re (B)|2

)

(usaremos la notacion εF para no confundirlo con la permitividad electrica ε) y teniendo en cuenta la Ec.(15.3)

εF =1

8π

(|Re (E)|2 + n2 |Re (E)|2

)=

1

8π

(1 + n2

)E2

0 cos2 (k · r − ωt) (15.4)

adicionalmente, como vimos en la seccion (13.4), la energıa por unidad de area y por unidad de tiempoque transportan los campos electromagneticos viene dada por el vector de Poynting Ec. (13.4), teniendo encuenta que las ondas planas descritas en (15.1) son complejas el vector de Poynting se escribe como

S =c

4π(ReE×ReH)

usando las ecuaciones (15.1) y teniendo en cuenta (15.4), se obtiene

S =c

nεF k = εFv

esta relacion es muy logica ya que el “volumen” de la onda que atraviesa el area A en un tiempo ∆t esV = Av ∆t y la energıa contenida en este volumen es ∆EV = εFAv ∆t de modo que la energıa por unidadde area por unidad de tiempo es εF v, la ecuacion anterior nos muestra ademas que la direccion de transportede energıa coincide con la direccion de propagacion de la onda. Notese que esta relacion es analoga a J = ρv.

Finalmente, la expresion para la densidad de momento resulta

g =S

c2=εF k

nc=εFc2

v

no obstante, teniendo en cuenta que la luz tıpicamente tiene una longitud de onda muy corta (∼ 10−7m), yun periodo muy corto (∼ 10−15seg) con relacion a las mediciones macroscopicas, usualmente no nos interesanlas mediciones instantaneas de momento y energıa, sino los promedios realizados sobre un ciclo completo. Deacuerdo con las expresiones (15.1), una onda plana es una forma particular de variacion armonica temporalde los campos, por lo tanto podemos aplicar los resultados de la seccion (13.4). Al evaluar los promediostemporales 〈S〉, 〈εF 〉

〈S〉 =c

8πRe (E×H∗) =

c

8πµRe (E×B∗) =

c

8πµRe[E×

( cω

k∗ ×E∗)]

〈S〉 =c

8πµRe[E×

( cωkk ×E∗

)]=

c2k

8πµωRe[(E · E∗) k−

(E · k

)E∗]

〈S〉 =cn

8πµ|E|2 k =

cn

8πµ|E0|2 k (15.5)


el promedio del vector de Poynting apunta en la direccion de propagacion que es la direccion del vector dePoynting instantaneo. Calculemos ahora 〈εF 〉

〈εF 〉 =1

16πRe (E · D∗ + B ·H∗) =

1

8π|E0|2

de lo cual se obtiene〈S〉 = v〈εF 〉 ; v = c/n

es decir la misma relacion que se obtiene para sus valores instantaneos. Al valor promedio 〈S〉 se le conocecomo intensidad de la onda. Adicionalmente, si usamos g = S/c2 donde g es la densidad de momento linealde la onda, tenemos

〈g〉 =v

c2〈εF 〉

de acuerdo con la dinamica relativista asociada a una partıcula E = γmc2, p = γmv con γ =

(√1 − v2

c2

)−1

.

De estas relaciones se obtiene que para una partıcula p = vE/c2. Por otro lado, para sistemas contınuosen donde todos los subsistemas viajan a la misma velocidad, el analogo de esta relacion es g = vεF /c

2. Alcomparar esta relacion con la obtenida para los campos, se ve que hay una analogıa entre la propagacion delsistema contınuo de partıculas y la propagacion de energıa de una onda electromagnetica. Este constituyeun punto de partida para la proposicion del foton (aunque todos nuestros supuestos son clasicos).

Un comentario final, hemos resuelto el problema de propagacion de ondas planas en materiales dielectricosen ausencia de cargas y corrientes libres. Sin embargo, pueden existir cargas y corrientes de polarizaciony magnetizacion. Desde el punto de vista matematico esto solo repercutio en la modificacion de algunasconstantes, sin embargo desde el punto de vista fısico microscopico el paso de la onda produce polarizacion decargas ligadas y magnetizacion de corrientes ligadas, estas se manifiestan en forma de dipolos oscilantes quecrean su propia onda. Lo que se ve macroscopicamente es la superposicion de la onda original con la creadapor los dipolos oscilantes en la materia. La superposicion es tal que crea una onda de la misma frecuenciaque la original pero con diferente velocidad. Este hecho es responsable del fenomeno de transparencia y esuna consecuencia de la linealidad del medio (Am. J. Phys. 60, 309 (1992)).

15.1.2. Ondas planas con vector de onda complejo

Debemos tener en cuenta sin embargo, que la suposicion de que k es real, no nos da la solucion masgeneral posible para una onda plana. Para ver esto, volvamos a la solucion general de la ecuacion de ondahomogenea, discutida en la seccion (14.2.1) pero con una generalizacion adicional

(∇2 − 1

v2

∂2

∂t2

)ψ (x, y, z, t) = 0 ; ψ = X (x) Y (y)Z (z) T (t)

X”

X︸︷︷︸−k2

x

+Y ”

Y︸︷︷︸−k2

y

+Z”

Z︸︷︷︸−k2

z

− T”

v2T︸︷︷︸−ω2/v2

= 0

k2x + k2

y + k2z =

ω2

v2≡ k2 (15.6)

donde la notacion˜enfatiza en la posibilidad de considerar valores complejos para estas cantidades (en laseccion 14.2.1, se consideraron reales todas estas variables). De nuevo tomamos una solucion exponencialcompleja, de la misma forma anterior pero con extensiones complejas para las variables k, ω

E (r, t) = E0ei(k·r−ωt) ; B (r, t) = B0e

i(k·r−ωt) (15.7)

definimos

15.1. CARACTERISTICAS BASICAS DE UNA ONDA PLANA 291

k ≡ kñ (15.8)

a partir de (15.6) se obtiene k2 = k · k = k2 ñ · ñ de modo que ñ · ñ = 13. Esta ultima relacion se puededescomponer en sus partes real e imaginaria si escribimos

ñ = nR + inI ⇒ ñ · ñ = 1 = n2R − n2

I + 2i (nR · nI) ⇒n2R − n2

I = 1 ; (nR · nI) = 0

la primera es una relacion entre las magnitudes de los vectores reales nR y nI , en tanto que la segunda esuna relacion entre sus direcciones (ortogonalidad). La primera relacion se asemeja a una relacion entre senosy cosenos hiperbolicos de modo que es natural definir

nR = u1 cosh θ ; nI = u2 sinh θ ; u1 · u2 = 0

donde u1 y u2 son vectores reales y unitarios. El vector unitario complejo se puede escribir como

ñ = u1 cosh θ + iu2 sinh θ (15.9)

Ahora calculamos ∇ ·E asociada a la onda plana

∇ ·E = ∇ ·E0 exp

[i(kñ · r − ωt

)]= ∂i

E0,i exp


)]

∇ · E = iE0,i exp[i(kñ · r− ωt

)]∂i

kñ · r− ωt

∇ · E = iE0,i exp


)]∂i

(kñjxj − ωt

)

∇ · E = iE0,ikñjδij exp[i(kñ · r− ωt

)]= iE0,ikñi exp


)]

∇ · E = ik exp[i(kñ · r− ωt

)](ñ · E0

)

y teniendo en cuenta que ∇ ·E = 0, se obtiene que

ñ ·E0 = 0 (15.10)

escribiendo E0 en terminos de constantes complejas Ai

E0 = A1u1 +A2u2 +A3u3

tenemosñ · E0 = 0 = A1 cosh θ + iA2 sinh θ ⇒ A2 = iA1

cosh θ

sinh θ

lo cual nos permite reescribir E0 = A1u1+A2u2+A3u3 = A1u1+iA1cosh θsinh θu2+A3u3. Redefiniendo constantes

complejas A1 → iA′1 sinh θ nos queda

E0 = A′1 (i sinh θ u1 − cosh θ u2) +A3u3 (15.11)

sustituyendo (15.11, 15.8, 15.9) en (15.7) y usando ω ≡ ω + iγ ; k ≡ k + iβ

E0 exp[i(k · r− ωt

)]=[A′

1 (i sinh θ u1 − cosh θ u2) +A3u3

]exp

i[kñ · r− (ω + iγ) t

](15.12)

3Notese que ñ · ñ = 1, no implica que∥∥∥ñ∥∥∥

2

= 1, i.e. el vector no tiene necesariamente norma unidad. Esto se debe a que el

producto punto definido como a·b =∑3

i=1 aibi no es un producto interno cuando las componentes ai, bi son complejas. Por tanto,el producto punto ası definido no induce una norma para vectores con componentes complejas (redefiniendo a·b =

∑3i=1 aib

∗i , sı se

obtiene un producto interno).


desarrollemos primero la fase en la exponencial

i[kñ · r− (ω + iγ) t

]= i (k + iβ) (u1 cosh θ + iu2 sinh θ) · (xu1 + yu2 + zu3) − i (ω + iγ) t

= i (k + iβ) (x cosh θ + iy sinh θ) − iωt+ γt

= ik (x cosh θ + iy sinh θ) − β (x cosh θ + iy sinh θ) − iωt+ γt

= ikx cosh θ − ky sinh θ − βx cosh θ − iβy sinh θ − iωt+ γt

sustituyendo en (15.12), y separando las partes real e imaginaria de la fase

E =[A′


]exp − [ky sinh θ + βx cosh θ − γt]

× exp i [kx cosh θ − βy sinh θ − ωt] (15.13)

finalmente, a partir de la relaciones (15.6) se puede establecer una dependencia entre los parametros de laonda

k2 = ω2/v2 ⇒ (k + iβ)2 =(ω + iγ)2

v2⇒ k2 − β2 + 2ikβ =

ω2 − γ2 + 2iωγ

v2

⇒ k2 − β2 =ω2 − γ2

v2; kβ =

ωγ

v2(15.14)

de la solucion (15.13), conocida como ondas planas no homogeneas, podemos extraer las siguientesconclusiones.

La onda tiene un termino oscilatorio (fase imaginaria) y un termino de amortiguamiento (fase real)que puede representar un crecimiento o decrecimiento exponencial en ciertas direcciones, y a travesdel tiempo (esto depende de los signos de k, β, γ).

Las ondas se propagan en el plano XY . Para mirar en detalle la direccion de propagacion, se puedereescribir la fase imaginaria en la forma

kx cosh θ − βy sinh θ − ωt = (k cosh θ u1 − β sinh θ u2) · (xu1 + yu2) − ωt

de modo que la onda se propaga en la direccion del vector (k cosh θ u1 − β sinh θ u2)

Se puede ver que las superficies de fase y amplitud constantes siguen siendo planas, pero ya no sonparalelas entre sı.

Observese que E0 (y por tanto E) tienen componentes a los largo de ñ, lo cual se puede ver comparando(15.13) con (15.9). Esto puede ser a priori sorprendente debido a la relacion (15.10). Sin embargo,

debemos recordar que el caracter complejo de ñ y E0 puede hacer que existan componentes de E0 alo largo de ñ aunque ñ · E0 = 0 4. La existencia de estas componentes significa que hay componentelongitudinal de campo. La onda no es netamente transversal.

Tambien se pueden examinar algunos casos lımite.

Si ñ es real i.e. θ = 0, pero con k, ω complejos, la Ec. (15.13) queda

E =[−A′

1 u2 +A3u3

]exp −βx+ γt exp i [kx− ωt]

con lo cual se obtiene una onda que se propaga en x, y que esta amortiguada en esa misma direccion(que en este caso es la direccion de ñ). Se puede ver que en este caso la onda sı es transversal ya queñ ·E0 = u1 · E0 = 0.

4De nuevo esto esta asociado al hecho de que ñ ·E0, no define una proyeccion de E0 sobre ñ debido a que esta operacion nodefine un producto interno para vectores complejos.

15.2. POLARIZACION DE ONDAS PLANAS 293

Veamos ahora el lımite en el que k es real i.e. β = 0, pero ˜n, ω son complejos. Usando (15.14), conβ = 0 (k real), resulta que γ = 0 (ω tambien es real), y la onda se reduce a

E =[A′


]exp −ky sinh θ exp i [kx cosh θ − ωt] (15.15)

se observa que la onda se propaga en la direccion x, pero se amortigua en la direccion y. En este casohay componente longitudinal, puesto que E0 tiene componente no nula a lo largo de la direccion depropagacion u1. Finalmente, se ve que si en la ecuacion anterior tomamos el lımite θ = 0 ( ˜n real), laonda plana se reduce al caso de ondas planas homogeneas como era de esperarse.

15.2. Polarizacion de ondas planas

Regresemos a las ondas planas con k y n reales (recordemos que esto automaticamente conduce a ωreal). Podemos condensar la notacion para el campo electromagnetico

(E0

B0

)ei(k·r−ωt)

donde E0, B0 son constantes complejas, de modo que los campos electrico y magnetico permanecen fijosen direccion aunque pueden invertir su sentido. Por esta razon, se dice que las ondas estan polarizadaslinealmente. El vector de polarizacion es un vector normal definido por la direccion del campo electrico.

Por convencion colocamos a k en la direccion u3 de modo que los campos E y B estan en el planoperpendicular a k. Si superponemos dos ondas linealmente polarizadas de la misma frecuencia y que estanpolarizadas en las direcciones ua y ub (que forman un plano perpendicular a u3), obtenemos la onda planahomogenea mas general que se propaga en la direccion k = kn, el campo electrico resultante es

E = (uaE1 + ubE2) exp [i (k · r − ωt)] (15.16)

E1, E2 son cantidades complejas y su diferencia de fase nos da diferentes formas de polarizacion, usandoE1 = E01e

iα, E2 = E02eiβ, el campo electrico se puede reescribir como

E =(uaE01e

iα + ubE02eiβ)

exp [i (k · r − ωt)]

E =[uaE01 + ubE02e

i(β−α)]exp [i (k · r− ωt+ α)]

E =[uaE01 + ubE02e

iδ]exp [i (k · r − ωt+ α)]

con δ ≡ β−α. Veamos algunos casos particulares de esta diferencia de fase, asumiendo que ua = ux = u1 yque ub = uy = u2 es decir que las ondas linealmente polarizadas tienen polarizaciones perpendiculares entresı.

1. δ = ±nπ ⇒ eiδ = e±nπ = cosnπ ± i sinnπ = (−1)n; tomando la parte real de las componentes delcampo, nos queda

Ex = E01 cos (kz − ωt+ α)

Ey = (−1)nE02 cos (kz − ωt+ α)

se puede ver que

Ex = (−1)n(E01

E02

)Ey

de modo que obtenemos de nuevo una polarizacion lineal. El modulo del campo es claramente E =√E2

1 +E22 . Si n = 0 (ondas en fase), el vector de polarizacion forma un angulo θ = arctan (E2/E1)

con u1 (vector de polarizacion de la onda plana 1).


2. δ = ±π/2 → eiδ = ±i. El campo electrico vendra dado por

E = [u1E01 ± iu2E02] exp [i (k · r − ωt+ α)]

Las componentes de la parte real del campo resultan ser

Ex = E01 cos (kz − ωt+ α) ⇒ E2x

E201

= cos2 (kz − ωt+ α)

Ey = ∓E02 sin (kz − ωt+ α) ⇒E2y

E202

= sin2 (kz − ωt+ α)

sumando las dos ecuaciones de la derecha

E2x

E201

+E2y

E202

= 1

de modo que se obtiene polarizacion elıptica. En el caso en que E01 = E02, se obtiene polarizacioncircular.

En el caso de la polarizacion circular, si tomamos un punto fijo en el espacio, se ve que las componentesson tales que el campo es constante en modulo, y gira en un cırculo con frecuencia angular ω. Para δ = π/2,el campo electrico gira en sentido antihorario cuando el observador mira hacia la onda que incide, se diceque la onda tiene helicidad positiva, ya que la proyeccion del momento cinetico sobre el eje de propagacion(eje z), es positiva. Para δ = −π/2, el campo electrico invierte su sentido de giro y la helicidad es negativa.

Por otro lado, una vez conocido el campo electrico, el campo magnetico se puede hallar a traves de larelacion B = nk×E = µH. El promedio temporal del vector de Poynting se escribe 〈S〉 = c

8πRe (E×H∗) =cn

8πµE2k, donde E2 = E2

01 +E202 y 〈εF 〉 = εE2

8π de donde resulta que 〈S〉 = v〈εF 〉.En la formulacion anterior hemos usado ondas planas homogeneas linealmente polarizadas como base

para generar cualquier onda plana homogenea. Sin embargo, las ondas planas homogeneas de polarizacioncircular sirven igualmente como base para la descripcion de un estado cualquiera de polarizacion, definiendolos vectores unitarios complejos ortogonales ε± = u1 ± iu2 la onda circularmente polarizada se puedereescribir como

E = E0ε± exp [i (kz − ωt)]

para ondas con helicidad positiva (negativa). Los vectores de polarizacion circular poseen las siguientespropiedades

ε∗± · ε∓ = 0, ε∗± · ε3 = 0 , ε∗± · ε± = 1

una representacion de ondas arbitrariamente polarizadas equivalente a (15.16) es

E (x, t) = (E+ε+ + E−ε−) exp [i (kz − ωt)]

donde E+, E− son coeficientes complejos en la nueva base.

Finalmente, vale la pena mencionar que aunque simples desde el punto de vista matematico, las basesde polarizacion lineal y circular no son muy adecuadas para la obtencion del estado de polarizacion deuna onda plana. Para la determinacion del estado de polarizacion de una onda plana en el laboratorio, esmas adecuado el uso de los cuatro parametros de Stokes (solo tres de ellos son independientes), el lectorinteresado puede consultar J. D. Jackson y las referencias allı citadas.

15.3. REFLEXION Y TRANSMISION DE ONDAS PLANAS CUANDO SE CAMBIA DE MEDIO DIELECTRICO295

15.3. Reflexion y transmision de ondas planas cuando se cambia demedio dielectrico

Es familiar el hecho de que cuando una onda cambia de medio dielectrico, su velocidad cambia. Sinembargo, dado que la frecuencia de la onda permanece igual5, su longitud de onda tambien debe cambiar.Eventualmente, la direccion de propagacion tambien se puede modificar siempre y cuando se mantenganlos principios de conservacion de la energıa, el momento y el momento angular. En general supondremosque las unicas condiciones de frontera que deben satisfacer las ondas son aquellas en la frontera entre losdielectricos, por lo demas asumiremos que la onda incidente viene desde el infinito y las ondas reflejadas ytransmitidas tambien continuan viajando indefinidamente.

La clave para la solucion del problema son las condiciones de frontera entre medios dielectricos, descritaspor las ecuaciones (12.16), que para medios isotropicos, lineales y homogeneos se reducen a las Ecs. (12.17).Dado que nos limitaremos a estudiar el comportamiento de las ondas solo en medios lineales, usaremos lascondiciones (12.17), las cuales reproducimos aquı por comodidad

ε1E⊥1 − ε2E

⊥2 = σf ; B⊥

1 −B⊥2 = 0

E‖1 −E

‖2 = 0 ;

B‖1

µ1− B

‖2

µ2= ~λf × n (15.17)

examinaremos primero el caso mas sencillo de incidencia normal

15.3.1. Reflexion y transmision con incidencia normal

Supongamos que el plano XY define la frontera entre dos medios lineales. Una onda plana homogeneaincidente, con polarizacion en la direccion ux se propaga en la direccion uz acercandose a la interfase enz = 0. El campo electrico incidente se escribe

EI (z, t) = E0Iei(kIz−ωt)ux

Dado el campo electrico y la direccion de propagacion, el campo magnetico queda determinado por laecuacion (15.2)

BI (z, t) = n1

(kI ×EI

)= n1

[uz ×

(E0Ie

i(kIz−ωt)ux)]

= n1E0Iei(kIz−ωt)uz × ux

BI (z, t) = n1E0Iei(kIz−ωt)uy

cuando esta onda incide sobre la superficie genera una onda que se refleja y otra que se transmite al otromedio

ER (z, t) = E0Rei(−kRz−ωt)ux

BR (z, t) = n1

(kR ×ER

)= n1

[−uz ×

(E0Re

i(−kRz−ωt)ux)]

BR (z, t) = −n1E0Rei(−kRz−ωt)uy

Nota: es facil caer en el error de creer que el valor de ER debe invertir su signo dado que se trata de laonda reflejada. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que la direccion de propagacion la dictamina k y no ladireccion del campo electrico. En todo caso, puesto que E0I y E0R son dos numeros complejos diferentes,sus diferencias de fase son en principio arbitrarias y podrıan generar por ejemplo una inversion del campocuando se refleja.

5Se puede demostrar que si la frecuencia cambiara, habrıa una acumulacion (o perdida) indefinida de energıa en la interfaseentre los dielectricos.


Aplicando la relacion k = ω/v y teniendo en cuenta que la rapidez de la onda reflejada es la misma quela incidente puesto que esta en el mismo medio i.e. v = c/

√µ1ε1, y que ademas ω tambien es la misma, se

concluye que kR = kI de modo que

ER (z, t) = E0Rei(−kIz−ωt)ux ; BR (z, t) = −n1E0Re

i(−kIz−ωt)uy

se puede verificar que efectivamente el vector de Poynting asociado a la onda reflejada va en direccioncontraria al vector de Poynting de la onda incidente. Por otro lado, la onda que se transmite viene dada por

ET (z, t) = E0T ei(kT z−ωt)ux ; BT (z, t) = n2E0T e

i(kT z−ωt)uy

ahora aplicando las condiciones de frontera (15.17) para z = 0, se observa que las condiciones asociadas alas componentes perpendiculares resultan triviales puesto que los campos no poseen componentes perpen-diculares a la superficie6. La condicion sobre la componente paralela del campo electrico se escribe

E‖1 −E

‖2 = 0 ⇒ [EI (0, t) + ER (0, t)] −ET (0, t) · ux = 0

⇒ E0Ie−iωt+E0Re

−iωt −E0T e−iωt = 0

resultandoE0I + E0R = E0T (15.18)

la condicion sobre la componente paralela al campo magnetico es

1

µ1[BI (0, t) + BR (0, t)] · uy =

1

µ2BT (0, t) · uy

n1

µ1[EI (0, t) −ER (0, t)] · uy =

n2

µ2ET (0, t) · uy

n1

µ1[E0I −E0R] =

n2

µ2E0T

que mas sinteticamente se escribe

[E0I −E0R] = βE0T ; β ≡ µ1n2

µ2n1=µ1v1µ2v2

(15.19)

las Ecs. (15.18, 15.19), nos permiten escribir las amplitudes reflejada y transmitida en terminos de la incidente

E0R =

(1 − β

1 + β

)E0I ; E0T =

(2

1 + β

)E0I (15.20)

si β < 1, el factor(

1−β1+β

)es positivo con lo cual E0R y E0I estan en fase y solo difieren en su magnitud. Si

por el contrario β > 1 se tiene que

E0R = −∣∣∣∣1 − β

1 + β

∣∣∣∣E0I ⇒ E0R =

∣∣∣∣1 − β

1 + β

∣∣∣∣ eiπE0I

E0ReiδR =

∣∣∣∣1 − β

1 + β

∣∣∣∣E0Iei(δI+π)

luego δR = δI + π de modo que la onda reflejada estarıa en antifase con la incidente. Finalmente, el vectorde onda kT se relaciona con kI teniendo en cuenta que los dos estan asociados a la misma frecuencia

kT =ω

v2=

ω

v1

v1v2

= kIv1v2

⇒

kT = kIv1v2

= kIn2

n1

6Estrictamente, hemos supuesto desde el principio que las ondas reflejada y transmitida no cambian de direccion respecto ala onda incidente, lo cual es razonable por simetrıa. No obstante, si asumimos que dichas ondas se propagan en una direcciondiferente, formando angulos θ, φ con el eje Z, las condiciones sobre las componentes perpendiculares ya no serıan triviales y nosllevan a que θ = φ = 0, siempre y cuando haya un solo haz reflejado y un solo haz transmitido.


Un punto interesante consiste en averiguar como se reparte la intensidad incidente entre las ondasreflejada y transmitida. Para ello usaremos la medida de intensidad tomada como promedio temporal delvector de Poynting, usando la expresion (15.5) calculamos el promedio temporal del vector de Poynting paracada onda

〈SI〉 =cn1

8πµ1|E0I |2 uz =

cn1E20I

8πµ1uz

〈SR〉 = − cn1

8πµ1|E0R|2 uz = −cn1E

20R

8πµ1uz = −

(1 − β

1 + β

)2 cn1

8πµ1E2

0Iuz

〈ST 〉 =cn2

8πµ2|E0T |2 uz =

cn2E20T

8πµ2uz =

(2

1 + β

)2 cn2E20I

8πµ2uz

definimos el coeficiente de reflexion como el cociente entre la intensidad de la onda reflejada sobre la inten-sidad de la onda incidente. Analogamente se define el coeficiente de transmision

R ≡ IRII

=|〈SR〉||〈SI〉|

=

(1 − β

1 + β

)2

T ≡ ITII

=µ1n2

n1µ2

(2

1 + β

)2

= β

(2

1 + β

)2

naturalmente se cumple que R+T = 1, que equivale a la conservacion de la energıa. El balance de intensidadpromedio se puede escribir como

〈SI〉 · uz = 〈SR〉 · (−uz) + 〈ST 〉 · uz

lo cual nos dice que la energıa incidente es igual a la suma de la energıa reflejada mas la transmitida. De lasEcs. (15.20), se ve que si β ≈ 1, la onda reflejada es casi nula en tanto que la transmitida queda practicamentecomo la incidente, lo cual es de esperarse ya que al ser los dos medios casi identicos, el fenomeno se asemejaa la propagacion en un solo medio dielectrico. Si por otro lado, β >> 1, la onda transmitida esta muyatenuada en tanto que la reflejada tiene practicamente las mismas caracterısticas que la incidente, salvo sudireccion de propagacion. Adicionalemente la onda reflejada estarıa en antifase con la incidente, formandouna interferencia casi perfectamente destructiva en el campo electrico (y casi perfectamente constructiva enel campo magnetico) generando una onda cuasiestacionaria ?* (chequear).

Por otra parte, dado que para la mayor parte de materiales se tiene que µ1 ≈ µ2 ≈ µ0, la condicionβ < 1 (> 1) se traduce en n2 < (>)n1. Los coeficientes de reflexion y transmision quedan

R =

(n1 − n2

n1 + n2

)2

; T =4n1n2

(n1 + n2)2

Por ejemplo, cuando la luz pasa del aire (n1 = 1) al vidrio (n2 = 1,5), R = 0,04 y T = 0,96 es decir casitoda la luz se transmite como era de esperarse.

?* Si comparamos el problema anterior con el de la transmision de una onda sobre dos cuerdas en dondeel nudo tiene masa despreciable y donde µ′

1, µ′2 denota sus densidades lineales, se tiene (bajo el supuesto de

que µ1 ≈ µ2 ≈ µ0) que las relaciones entre las amplitudes incidente reflejada y transmitida son identicascuando estos coeficientes se escriben en terminos de la velocidad, la condicion n1 ≈ n2 equivale a la condicionµ′1 ≈ µ′2 y n2 >> n1 equivale a µ′2 >> µ′1 ambos equivalentes son razonables ya que el primero implicaque se pasa a un medio casi identico al inicial por lo cual se espera un reflejo debil y una transmision casiperfecta. Por otro lado la condicion mecanica µ′

2 >> µ′1 equivale a tener una cuerda de masa enorme al otrolado con lo cual se espera que la transmision sea casi nula. ¿que pasa con el caso β << 1?.


15.3.2. Reflexion y transmision con incidencia oblıcua

Tomemos el caso mas general en el cual el angulo de incidencia es θI . Definiremos el plano de incidenciacomo el formado por la normal n al plano y el vector kI . Por simplicidad hacemos coincidir este plano conel plano XZ. Las ondas monocromaticas que describen a las ondas incidente, reflejada y transmitida vienendadas por

EI (r, t) = E0Iei(kI ·r−ω1t) ; BI (r, t) = n1

(kI ×EI

)

ER (r, t) = E0Rei(kR·r−ω2t) ; BR (r, t) = n1

(kR ×ER

)

ET (r, t) = E0T ei(kT ·r−ω3t) ; BT (r, t) = n2

(kT ×ET

)

en el caso en el cual no hay cargas ni corrientes libres superficiales en la interfase entre dos medios dielectricos,las condiciones de frontera tienen la siguiente forma generica

AIei(kI ·r−ω1t) +ARe

i(kR·r−ω2t) = AT ei(kT ·r−ω3t) en z = 0 (15.21)

donde los factores AI , AR, AT no dependen de la posicion ni el tiempo, estas condiciones se tienen quecumplir en las vecindades de z = 0 para todo x, y, t. En particular, cuando lo aplicamos para todo tiempose llega a que

ω1 = ω2 = ω3 ≡ ω (15.22)

que es la condicion ya mencionada de que las frecuencias de las ondas incidente reflejada y transmitida sontodas iguales. Esto a su vez nos lleva a una relacion entre los tres numeros de onda de la forma

kIv1 = kRv1 = kT v2 = ω ⇒ kI = kR =v2v1kT =

n1

n2kT (15.23)

Que coincide con las relaciones ya encontradas para el caso de incidencia frontal. De otro lado, losterminos espaciales de la exponencial deben cumplir

(kI · r)z=0 = (kR · r)z=0 = (kT · r)z=0 ⇒ (15.24)

x (kI)x + y (kI)y = x (kR)x + y (kR)y = x (kT )x + y (kT )y (15.25)

como esto es valido para todo x, y se tiene

(kI)x = (kR)x = (kT )x ; (kI)y = (kR)y = (kT )y

y recordando que por convencion kI yace sobre el plano XZ se tiene que las componentes en Y son nulas,por tanto todos los vectores de onda yacen en el plano XZ a este plano tambien pertenece el vector normala la superficie (en la direccion ±uz) y se obtiene la

Primera ley: Los vectores de onda de las ondas incidente, reflejada y transmitida ası como el vectornormal a la superficie, estan todos contenidos en un mismo plano (el plano de incidencia).

Adicionalmente, a partir de la primera ley y de la igualdad en las componentes X de los vectores deonda se concluye que

kI sin θI = kR sin θR = kT sin θT (15.26)

donde hemos definido a θI , θR, θT con respecto a la normal n. El angulo de transmision θT es mas conocidocomo angulo de refraccion. Vale la pena enfatizar que las relaciones (15.26) dependen del hecho de que todoslos vectores de onda y la normal esten en el mismo plano, es decir dependen de la primera ley. A partir de(15.26) y de las relaciones (15.23) se obtienen dos leyes adicionales. Con kI = kR se obtiene que θI = θR; ycon kI = n1

n2kT se obtiene que n1 sin θI = n2 sin θT

Segunda ley: El angulo de incidencia es igual al angulo de reflexion


Tercera ley (ley de Snell o de refraccion):

sin θTsin θI

=n1

n2(15.27)

es notable el hecho de que la extraccion de las tres leyes fundamentales de la optica geometrica solo dependende la forma generica de las condiciones de frontera y no de dichas condiciones en forma especıfica. Tambiende esta forma generica se extrae el hecho de que las tres ondas deben tener la misma frecuencia.

Sin embargo, la extraccion del valor de las amplitudes reflejada y transmitida ası como el calculo de loscoeficientes IR, IT dependen de la forma especıfica de las condiciones de frontera. Dado que una onda planahomogenea con polarizacion arbitraria se puede escribir como una superposicion de dos ondas polarizadaslinealmente, analizaremos dos casos de polarizacion lineal:

a) Onda incidente con vector de polarizacion perpendicular al plano de incidencia.b) Onda incidente con vector de polarizacion paralelo al plano de incidencia.Despues de estudiar los dos casos separadamente se hace una combinacion lineal de las dos polarizaciones

para obtener cualquier onda plana homogenea. Manteniendo la condicion de que el plano de incidencia esel plano XZ, asumiendo que no hay cargas ni corrientes superficiales libres en z = 0 y teniendo en cuentaque las exponenciales se cancelan en las condiciones de frontera debido a (15.22, 15.24), las condiciones defrontera (15.17) en componentes se simplifican a

ε1 [E0I + E0R]z = ε2 [E0T ]z ; [B0I + B0R]z = [B0T ]z

[E0I + E0R]x,y = [E0T ]x,y ;1

µ1[B0I + B0R]x,y =

1

µ2[B0T ]x,y (15.28)

analizaremos ahora cada uno de los casos

Polarizacion perpendicular al plano de incidencia

Al ser la polarizacion perpendicular a XZ, el campo electrico incidente se puede escribir como

EI (z, t) = (E0I)y ei(kI ·r−ωt)uy ; kI = −kI sin θIux + kI cos θIuz

las Ecs. (15.22, 15.24), nos dicen que las fases de todas las ondas son iguales y por tanto se factorizan delas condiciones de frontera, de modo que toda informacion adicional estara contenida en las amplitudes,podrıamos decir que las tres leyes fundamentales de la optica geometrica ya extrajeron toda la informacioncontenida en la exponenciales. Asumiendo que los campos electricos reflejado y transmitido son tambienperpendiculares a XZ y recordando que solo necesitamos los coeficientes de los campos (sin el exponencial)se obtienen los siguientes valores de los coeficientes para los campos electricos y magneticos (ver apendiceC.1)

E0I = (E0I)y uy ; B0I = −n1 (E0I)y [sin θIuz + cos θIux]

E0R = (E0R)y uy ; B0R = −n1 (E0R)y [sin θIuz − cos θIux]

E0T = (E0T )y uy ; B0T = −

n1 sin θIuz +

√

1 −(n1

n2

)2

sin2 θI

ux

(E0T )y

donde los vectores de onda se escriben

kI = −kI sin θIux + kI cos θIuz

kR = −kI sin θIux − kI cos θIuz

kT = kT

−n1

n2sin θIux +

√

1 −(n1

n2

)2

sin2 θI

uz


y los angulos θI , θR, θT son todos positivos y medidos respecto a la normal a la superficie. Las condicionesde frontera aplicadas a estos coeficientes nos da

(E0I)y + (E0R)y = (E0T )y

n1 cos θIµ1

[− (E0I)y + (E0R)y

]= − 1

µ2

√

1 −(n1

n2

)2

sin2 θI

(E0T )y

una de las condiciones resulta trivial porque los campos no tienen componente Z7 y la otra reproduce laprimera condicion arriba escrita (ver apendice C.1).

Asumiendo µ1∼= µ2

∼= µ0, estas condiciones conducen a

E0R =cos θI − (n2/n1) cos θTcos θI + (n2/n1) cos θT

E0I

E0T =2 cos θI

cos θI + (n2/n1) cos θIE0I

conocidas como ecuaciones de Fresnel para polarizacion perpendicular al plano de incidencia. Notese que lareflejada puede estar en fase o antifase con la incidente, en tanto que la transmitida siempre esta en fasecon esta ultima.

Polarizacion paralela al plano de incidencia

Teniendo en cuenta que las ondas reflejadas y transmitida tambien estarıan polarizadas en el planoincidente, las condiciones de frontera conducen a las siguientes ecuaciones

ε1 (−E0I sin θI + E0R sin θR) = ε2 (−E0T sin θT )

E0I cos θI + E0R cos θR = E0T cos θT1

µ1v1(E0I −E0R) =

1

µ2v2E0T

usando las leyes de reflexion y refraccion, la primera y tercera de estas ecuaciones se reducen a

E0I −E0R = βE0T

y la segunda queda

E0I + E0R = αE0T ; α ≡ cos θTcos θI

=

√1 −

(n1n2

)2sin2 θI

cos θI

las ecuaciones de Fresnel para las amplitudes quedan

E0R =

(α− β

α+ β

)E0I ; E0T =

(2

α+ β

)E0I

de aquı se puede ver que la onda trasmitida siempre esta en fase con la incidente, en tanto que la reflejadaesta en fase (antifase) si α > (<) β.

Se puede ver que con incidencia normal θI = 0, se reduce todo correctamente. Cuando la incidencia esparalela a la superficie i.e. θI = π/2, α diverge y la onda es totalmente reflejada. Adicionalmente hay unangulo intermedio en el cual la onda reflejada se extingue completamente, (angulo de Brewster θB), queocurre cuando α = β i.e.

sin2 θB =1 − β2

(n1/n2)2 − β2

7Esta condicion resulta trivial gracias a la suposicion inicial de que las ondas reflejada y transmitida son tambien perpen-diculares a XZ, de otro modo conducen justamente a esta conclusion.


las intensidades incidente, reflejada y transmitida vienen dadas por la magnitud del valor promedio delvector de Poynting

II =1

2ε1v1E

20I cos θI ; IR =

1

2ε1v1E

20R cos θR

IT =1

2ε2v2E

20T cos θT

en este caso se ha tenido en cuenta que el area subtendida por la superficie es oblıcua es decir subtiende unangulo con respecto al frente de onda, de lo cual surgen los cosenos

R =

(α− β

α+ β

)2

; T = αβ

(2

α+ β

)2

; R+ T = 1

R + T expresa la conservacion de la energıa ya que la energıa por unidad de tiempo que incide sobre unaporcion de area debe ser igual a la energıa por unidad de tiempo que sale de esta porcion (repartida entre laonda reflejada y transmitida), asumiendo que no hay absorcion en la superficie. Notese que para polarizacionperpendicular no existe angulo de Brewster, y el unico caso en que no hay onda reflejada es el caso trivialen el que β = 1, de modo que los dos medios son opticamente indistinguibles.

—————–Usando µ1 = µ2 las ecuaciones de Fresnel para polarizacion paralela se pueden escribir como

E0R =

(tan (θI − θT )

tan (θI + θT )

)E0I ; E0T =

(2 cos θI sin θT

sin (θI + θT ) cos (θI − θT )

)E0I

se pueden ver los lımites de anulacion del rayo reflejado, el trivial (θI = θT donde n1 = n2) y el de BrewsterθI + θT = π/2 vemos que si existiera el vector de onda kR serıa perpendicular al trasmitido. En el caso depolarizacion paralela el rayo reflejado se anula de modo que kR no existe.

Polarizacion arbitraria

Las ecuaciones de Fresnel para polarizacion paralela y perpendicular se pueden combinar en una solaexpresion escogiendo un par de vectores unitarios que por comodidad escogeremos ası: u1 (antiparalelo a Y )y k × u1 que se situa en el plano de polarizacion, de esta forma se obtiene

u1 (E0R)⊥ = u1sin (θT − θI)

sin (θT + θI)(E0I)⊥ ; u1 (E0T )⊥ = u1

sin (θT − θI)

sin (θT + θI)(E0I)⊥

(kR × u1

)(E0R)‖ =

(kR × u1

) tan (θI − θT )

tan (θI + θT )(E0I)‖

(kT × u1

)(E0T )‖ =

(kT × u1

) 2 cos θI sin θTsin (θI + θT ) cos (θI − θT )

(E0I)‖

por otro lado

E0R = u1 (E0R)⊥ +(kR × u1

)(E0R)‖

E0T = u1 (E0T )⊥ +(kT × u1

)(E0T )‖

con lo cual queda

E0R = u1sin (θT − θI)

sin (θT + θI)(E0I)⊥ +

(kR × u1

) tan (θI − θT )

tan (θI + θT )(E0I)‖

E0T = u1sin (θT − θI)

sin (θT + θI)(E0I)⊥ +

(kT × u1

) 2 cos θI sin θTsin (θI + θT ) cos (θI − θT )

(E0I)‖


se puede ver en esta expresion que cuando θI = θB , la onda reflejada solo tiene componente perpendicularal plano de polarizacion. Esto se explica por el hecho de que la polarizacion arbitraria se puede ver comouna superposicion de una onda polarizada paralelamente y otra perpendicularmente al plano de incidencia,cuando el angulo de incidencia coincide con el angulo de Brewster la onda reflejada correspondiente a lacomponente paralela desaparece y solo queda la componente con polarizacion perpendicular, el efecto netoes que cuando la onda incidente con polarizacion arbitraria incide con el angulo de Brewster, se obtiene unaonda reflejada polarizada en una direccion paralela a la interfase y perpendicular al plano de incidencia. Aeste fenomeno se le conoce como polarizacion por reflexion, y al angulo de Brewster se le llama tambienangulo de polarizacion.

15.3.3. Reflexion total interna

Si tenemos una onda que va de un medio 1 a un medio 2 de tal forma que n2 < n1, y aumentamosgradualmente el angulo de incidencia, llega el momento en el cual θT = π/2, para un cierto θI = θc (angulocrıtico), este angulo se puede hallar por ley de Snell

n1 sin θc = n2 sinπ/2 ; θc = arcsin

(n2

n1

)

veamos ahora lo que ocurre para angulos incidentes mayores al crıtico, usando ley de Snell

sin θT =n1

n2sin θI =

sin θIsin θc

> 1

de modo que sin θT es un numero real mayor que uno, esto implica que θT debe ser complejo

cos θT =√

1 − sin2 θT =

√

1 − sin2 θI

sin2 θc=√

1 − w2 = iQ

Q ≡√w2 − 1 ; w = sin θT

de modo que la onda transmitida se escribe como

ET = E0T ei(kT ·r−ωt)

calculando kT · r

kT · r = (−kT sin θTux + kT cos θTuz) · (xux + zuz)

kT · r = kT z cos θT − kTx sin θT

reemplazando en la onda transmitida

ET = E0T ei(kT ·r−ωt) = E0T exp [i (kT z cos θT − kTx sin θT − ωt)]

ET = E0T exp [ikT z (iQ) − kTxw − ωt]ET = E0T exp [−kT zQ] exp [−i (kTxw + ωt)]

esta expresion nos indica que la onda trasmitida (o refractada) se propaga sin amortiguamiento en la direccion−ux y se propaga con amortiguamiento en la direccion uz. Finalmente, hay una forma muy conveniente dereescribir la fase oscilante de esta onda

kTxw + ωt = kTw

(x+

ωt

kTw

)= kTw (x+ vt)

de lo cual se sigue que v es la velocidad de fase y

v =ω

kTw=

c

n1 sin θI

15.4. ABSORCION Y DISPERSION 303

15.4. Absorcion y dispersion

15.4.1. Ondas planas en medios conductores

En las condiciones de frontera que hemos trabajado hasta ahora, hemos asumido que la densidad decarga y de corriente libres, es nula. Aunque esta suposicion puede ser razonable para medios dielectricos,como el vidrio o el agua destilada, no es en general cierto en el caso de medios conductores. En este caso, laley de Ohm nos dice que la corriente libre en un medio conductor es proporcional al campo electrico

Jf = σE

en este caso las ecuaciones de Maxwell para medios lineales isotropos y homogeneos asumen la siguienteforma

∇ · E =ρfε

; ∇×E = −∂B∂t

(15.29)

∇ · B = 0 ; ∇×B = µJf + µε∂E

∂t(15.30)

Es facil demostrar que estas ecuaciones de Maxwell conducen a las siguiente ecuaciones de onda inhomogeneaspara los campos E, B

∇2E− εµ

c2∂2E

∂t2= 4π∇ρf +

4πµ

c2∂Jf∂t

∇2B− εµ

c2∂2B

∂t2= −4π

c(∇× Jf ) (15.31)

Por otro lado la ecuacion de continuidad para las cargas y corrientes libres nos da

∇ · Jf = −∂ρf∂t

usando la ley de Ohm y la ley de Gauss en la ecuacion de continuidad se llega a

σ∇ · E = −∂ρf∂t

=σ

ερf

donde hemos asumido σ constante lo cual es consistente con la suposicion de homogeneidad del material.Esta ecuacion diferencial tiene solucion para ρf en funcion del tiempo

ρf (t) = e−(σ/ε)tρf (0)

lo cual significa que cualquier carga libre que este inicialmente presente, se disipara con un tiempo carac-terıstico dado por τ = ε/σ. Este hecho implica que aun en presencia de campos dependientes del tiempo,la carga libre en el interior del conductor tiende a emigrar a la superficie de este. Para un conductor idealσ → ∞, y τ → 08. Una forma mas realista de hablar de un buen conductor es comparando τ con cualquierotro tiempo caracterıstico del sistema (por ejemplo con 1/ω donde ω es una frecuencia de oscilacion car-acterıstica del sistema). Teniendo en cuenta que los tiempos de disipacion de carga libre son muy cortos(∼ 10−14s) esta fase transitoria es usualmente despreciable y no la consideraremos en lo que sigue de modoque la ley de Gauss en (15.29) resulta en una ecuacion homogenea. Usando la ley de Ohm se tiene que

∇× Jf = σ∇×E = −σc

∂B

∂t;∂Jf∂t

= σ∂E

∂t

8Por supuesto, cualquier modelo realista impone lımites a este tiempo por efectos relativistas. Por otro lado para tiemposcaracterısticos menores que el tiempo promedio entre colisiones τc, el tiempo tıpico de disipacion de carga libre esta dado porτC y no por τ . En realidad esto ocurre para la mayorıa de buenos conductores.


con ρf = 0, y los resultados anteriores, las ecuaciones de onda (15.31) resultan

∇2E− εµ

c2∂2E

∂t2=

4πµσ

c2∂E

∂t

∇2B − εµ

c2∂2B

∂t2=

4πµσ

c2∂B

∂t(∇2 − εµ

c2∂2

∂t2− 4πµσ

c2∂

∂t

)(E (r, t)B (r, t)

)= 0 (15.32)

el termino extra en esta “ecuacion de onda modificada” actua como un amortiguamiento (similar al amor-tiguamiento en fluıdos que es usualmente proporcional a la primera derivada de la posicion). Es naturalpreguntarse si la solucion de onda plana es todavıa una solucion a esta ecuacion diferencial y en caso afirm-tivo, cuales son las diferencias con respecto a la solucion no amortiguada. Si introducimos una solucion tipoonda plana de la forma

E (r, t) = E0 exp[i(k · r− ωt

)]; B (r, t) = B0 exp

[i(k · r− ωt

)]

en la ecuacion de onda, resulta que

−k2 +εµω2

c2+ i

4πµσω

c2= 0 ⇒ k2 =

εµω2

c2

(1 + i

4πσ

εω

)(15.33)

donde hemos parametrizado al vector k = kk donde k es un vector unitario real y k es complejo9. Ahoraparametrizamos

k ≡ α+ iβ (15.34)

sacando la raız cuadrada de k2 resulta

α =ω

c

√µε

2

√

1 +

(4πσ

ωε

)2

+ 1

1/2

; β =ω

c

√µε

2

√

1 +

(4πσ

ωε

)2

− 1

1/2

(15.35)

finalmente definimos ξ ≡ k · r y escribimos

E (r, t) = E0 exp (−βξ) exp [i (αξ − ωt)]

la parte compleja de k nos da el factor de amortiguamiento. De una forma similar al caso con vector deonda real, es posible encontrar una relacion entre E y B. Reemplazando la forma de la onda plana en la leyde Faraday se obtiene

B =ck

ωk ×E

con lo cual tenemos una extension natural compleja para el ındice de refraccion

B = nk ×E ; n ≡ ck

ω

debido al factor complejo en n, los campos E y B estan en general en desfase. Para calcular la diferencia defase entre ambos basta con extraer la fase del vector de onda complejo

k =∣∣∣k∣∣∣ eiφ =

√α2 + β2eiφ ; tanφ =

β

α

tan 2φ =2 tanφ

1 − tan2 φ=

2β

α(1 − β2

α2

) =2αβ

α2 − β2=

4πσ

ωε

⇒ φ =1

2arctan

(4πσ

ωε

)

9Notese que esta no es la forma mas general de parametrizar un vector complejo, ya que con esta parametrizacion seesta asumiendo que todas las componentes complejas del vector poseen la misma fase. No obstante, tal parametrizacion nosbrinda una solucion consistente para la Ec. (15.33)


y∣∣∣k∣∣∣ =

√α2 + β2 =

ω√µε

c

[1 +

(4πσ

ωε

)2]1/4

con lo cual la expresion para B en funcion de E resulta

B =√µε

[1 +

(4πσ

ωε

)2]1/4

eiφ(k ×E

)

el campo magnetico esta “atrasado” en una fase φ con respecto al campo electrico. Recurriendo a lasecuaciones de Maxwell con divergencia se llega de nuevo a que los campos son transversales, la relacionanterior nos muestra que tambien son perpendiculares entre sı ya que k es un vector real. La ecuacion deAmpere Maxwell no da informacion adicional.

Volviendo a la expresion original para k2 Ec.(15.33) vemos que la parte real proviene de la corrientede desplazamiento en tanto que la parte imaginaria proviene de la corriente de conduccion. Como la parteimaginaria es la que nos da la desviacion con respecto al caso con vector de onda real, usaremos comoparametro de desviacion el cociente entre ellos es decir 4πσ/ (ωε), con lo cual se distinguen dos casos

1) 4πσ/ (ωε) << 1, lo cual corresponde a malos conductores o buenos conductores a muy altas frecuen-cias, expandiendo α y β de (15.35), en terminos de este cociente, se obtiene

α ≈ ω

c

√µε

[1 +

1

2

(2πσ

ωε

)2]

; β ≈ 2πσ

c

√µ

ε

asumiendo que σ, ε, µ son independientes de ω de modo que no se presenta dispersion, se tiene que elamortiguamiento β tambien es independiente de ω.

En el caso de malos conductores β ∼ 0, la atenuacion es pequena como era de esperarse ya que nosacercamos alcaso de vector de onda real. Tambien son validas para malos conductores las siguientes aprox-imaciones ∣∣∣k

∣∣∣ ' ω

c

√µε ; φ ' 0 ; |B| ' √

µε |E|

de modo que los campos estan aproximadamente en fase como era de esperarse.

Por otro lado, podemos calcular la velocidad de fase

αξ − ωt = α (ξ − ωt/α) = α (ξ − vt) ; v = ω/α =c

√µε[1 + 1

2

(2πσωε

)2]

la velocidad de grupo se calcula como

vg =dω

dα' c√

µε

2) 4πσ/ (ωε) >> 1, lo cual corresponde a buenos conductores o malos conductores a muy bajas fre-cuencias, sin embargo dado que las frecuencias usualmente son altas estamos en el regimen de buenosconductores10. Los parametros en este caso se aproximana a

α ' β '√

2πµσ

c;∣∣∣k∣∣∣ ' 1

c

√4πµωσ ; φ ' π/4

|B| '√µε

(4πσ

ωε

)|E| ⇒ |B| >> |E|

10En la mayorıa de los metales σ/ε ≈ 108 tal que la condicion se cumple para frecuencias debajo de 1017s−1, es decir de laregion de rayos X hacia abajo.


Lo anterior nos indica que la densidad de energıa es mayormente magnetica, en el caso lımite ω → 0, la energıase vuelve puramente magnetica lo cual nos dice que un campo electrostatico es totalmente apantallado enel interior de un conductor como era de esperarse.

Es interesante calcular de nuevo la velocidad de fase y la velocidad de grupo

v (ω) ' c

√ω

2πµσ=

c√µε

√ωε

4πσ< c

vg (ω) =dω

dα=

c√µε

√2ωε

πσ<< c

vemos que para el caso de medios disipativos las velocidaes de fase y de grupo son funcion e la frecuencia.En el factor de amortiguamiento e−iβξ se puede definir β ≡ 1/δ donde δ tiene unidades de longitud. Enrealidad δ define el parametro de penetracion o piel del conductor, que para una frecuencia dada nos da lalongitud que recorre la onda para decrecer en un fator 1/e con respecto a su valor en la superficie.

En un buen conductor la corriente de conduccion domina sobre la corriente de desplazamiento, con locual la ecuacion de onda se puede aproximar de la siguiente forma

∇2E− 4πσµ

c2∂E

∂t= 0

y usando Jf = σE

∇2Jf −4πσµ

c2∂Jf∂t

= 0

ambas ecuaciones tienen la forma de una ecuacion de difusion, de modo que es de esperarse que sus solucionesdecaigan con la distancia, como ya se ha visto en la solucion general.

15.4.2. Reflexion y transmision en superficies metalicas

Para el estudio de la reflexion y transmision de un medio dielectrico 1 a un medio conductor 2, seutiliza una estrategia similar a la utilizada en la seccion (15.3). Se comienza con las condiciones de fronteragenerales Ecs. (15.17), teniendo en cuenta que un material ohmico de conductividad finita requerirıa uncampo electrico infinito en la superficie para sostener una corriente superficial, solo los conductores idealespueden sostener tales corrientes, de modo que se omitiran debido a que los materiales reales son buenosconductores pero no conductores ideales.

Asumiremos incidencia frontal de una onda desde un medio dielectrico (medio 1) hacia un medio con-ductor (medio 2). El plano XY determina el lımite entre ambos medios, las ondas incidente reflejada ytransmitida se escriben como

EI (z, t) = E0Iei(kIz−ωt)ux ; BI (z, t) =

ckIω

E0Iei(kIz−ωt)uy

ER (z, t) = E0Rei(−kIz−ωt)ux ; BR (z, t) = −ckI

ωE0Re

i(−kIz−ωt)uy

ET (z, t) = E0T ei(kT z−ωt)ux ; BT (z, t) =

ckTω

E0T ei(kT z−ωt)uy

donde se ha tenido en cuenta que solo la onda transmitida presenta atenuacion ya que es la unica que sepropaga en el medio conductor, de modo que puede tener vector de onda complejo.

Tomando la ecuacion (15.33)

k2T =

µ2ε2ω2

c2

[1 +

4πσ2

ε2ωi

]


por otro lado, dado que no hay componentes perpendiculares de los campos, una de las condiciones defrontera es trivial y la otra conduce a σf = 0, las condiciones sobre las componentes paralelas conducen a

Eq

1 −Eq

2 = 0 → E0I + E0R = E0T

Bq

1

µ1− Bq

2

µ2= 0 → E0I −E0R = βE0T

β ≡ µ1v1µ2v2

kT

como la condicion de frontera se evalua en z = 0, la relacion entre las amplitudes tiene la misma forma queen el caso en el cual el vector de onda era real. Hemos asumido conductividad finita de modo que no haycorriente superficial en la interfase. Se sigue que

E0R =

(1 − β

1 + β

)E0I ; E0T =

(2

1 + β

)E0I (15.36)

Es util escribir kT en terminos de la longitud de penetracion Ec. (15.34)

kT = α+i

δ(15.37)

y teniendo en cuenta la definicion de β, las relaciones de Fresnel para el caso µ1 = µ2 = 1 quedan

E0R =

[(1 + i) (λ/δ) − n1

(1 + i) (λ/δ) + n1

]E0I ; E0T =

(2n1

(1 + i) (λ/δ) + n1

)E0I

siendo λ la longitud de onda y δ la longitud de penetracion. Los coeficientes de reflexion y transmision seescriben

R =[1 − (δ/λ) n1]

2 + 1

[1 + (δ/λ) n1]2 + 1

; T = 1 −R (15.38)

para un conductor perfecto σ = ∞, y por tanto tomando∣∣∣β∣∣∣ = ∞, en (15.36) o δ = 0 en (15.38) se ve que

para conductores perfectos el coeficiente de reflexion es igual a la unidad. Las superficies conductoras sonbuenas reflectoras. Mas fenomenologicamente se requiere que (δ/λ) n1 << 1 para una buena reflexion.

Como las relaciones entre amplitudes son ahora coeficientes complejos, hay diferencias de fase entrelas ondas reflejada y transmitida con respecto a la incidente. En particular, para conductores perfectos seencuentra que toda la onda incidente se refleja con un desfase de π respecto a la onda incidente, de modo

que los buenos conductores hacen buenos espejos, lo cual se puede visualizar tomando∣∣∣β∣∣∣→ ∞ en (15.36).

De lo anterior se ve que para buenos conductores se puede hacer la aproximacion E0I ≈ E0R, de modoque el campo total en el medio 1 viene dado por

E = EI + ER ≈ E0Ie−iωt

[eikIz − e−ikIz

]ux

tomando la parte realE =2uxE0I sinωt sinkIz

lo cual describe una onda estacionaria en el medio 1, esta expresion es exacta cuando se asume conductorperfecto, con esta misma aproximacion y usando (15.37) se obtiene

E0T ≈ 2δ n1

(1 + i) λE0I ⇒ ET = uxE0T e

−z/δei[(z/δ)−ωt]

la onda transmitida se amortigua en la direccion z (perpendicular a la interfase), y este amortiguamiento esmayor cuando crece la conductividad. Naturalmente, la onda transmitida se extingue cuando el conductores perfecto como debe ser. La fase entre E0I y E0R es aproximadamente π como era de esperarse.


Para conductor perfecto el campo electrico se anula en la interfase pero no el campo magnetico. Enel interior del conductor perfecto los campos son nulos, es decir son buenos escudos electromagneticos. Ensıntesis el conductor perfecto no admite campos en su interior ni campos electricos tangenciales cerca a lasuperficie, pero sı admiten campos magneticos tangenciales encima de su superficie. Las cargas en el interiorde estos conductores se mueven instantaneamente (por supuesto que la relatividad pone un lımite de modoque el modelo no funciona para muy altas frecuencias), en respuesta a los campos de modo que producen ladensidad superficial y corriente superficial para anular los campos electricos y magneticos. Recordemos quelas corrientes superficiales solo aparecen en conductores perfectos.

De n · B = 0 y n ×E = 0 se sigue que conductores perfectos no admiten campos electricos normales nicampos magneticos tangenciales en su superficie.

15.5. Dispersion de ondas en un medio dielectrico

En las secciones anteriores hemos visto que la propagacion de ondas en la materia depende fundamen-talmente de ε, µ y σ. En la realidad estas cantidades dependen en cierta medida de la frecuencia de la ondaincidente. Usualmente la cantidad mas sensible a la frecuencia es la permitividad, esto a su vez conduce aque el ındice de refraccion dependa de la longitud de onda y que la velocidad sea funcion de la frecuencia,tal fenomeno se conoce como dispersion11. Un medio se dice dispersivo si la velocidad de la onda en dichomedio es funcion de la frecuencia. Por simplicidad trabajaremos el fenomeno de dispersion en el caso deondas monocromaticas.

En medios no conductores, los electrones estan fuertemente ligados a sus atomos y moleculas, asumire-mos un modelo en el cual los electrones realizan movimiento armonico simple alrededor de su posicion deequilibrio, con los nucleos fijos debido a que son muy masivos. Dado que la carga esta vibrando, presentaperdidas de energıa por radiacion y posiblemente por interaccion con partıculas vecinas. En presencia deuna onda electromagnetica el electron es sometido a una “fuerza aplicada” de la forma qE. La fuerza totalsobre el electron sera entonces modelada de la siguiente forma:

Fenlace = −kx = −mω20x, Faplicada = qE = qE0 cosωt

Famortig = −mγdxdt

donde hemos supuesto una onda monocromatica, usando la segunda ley de Newton llegamos entonces a laecuacion diferencial de un oscilador armonico amortiguado y forzado

md2x

dt2+mγ

dx

dt+mω2

0x = qE0 cosωt (15.39)

donde ω0 serıa la frecuencia natural del sistema y ω la frecuencia aplicada (frecuencia de la onda que incide).La fase estacionaria de la solucion se obtiene facilmente a traves de la extension compleja de esta ecuacion

d2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω2

0x =q

mE0e

−iωt

y recordando que en esta clase de problemas el sistema termina vibrando con la frecuencia aplicada, postu-lamos

x (t) = x0e−iωt

que al insertarlo en la Ec. (15.39) nos da

x0 =q/m

ω20 − ω2 − iγω

E0

11El desdoblamiento espectral en un prisma es el mas clasico de los ejemplos de dependencia del ındice de refraccion con lalongitud de onda.

15.5. DISPERSION DE ONDAS EN UN MEDIO DIELECTRICO 309

el momento dipolar es la parte real de

p (t) = qx (t) =q2/m

ω20 − ω2 − iγω

E0e−iωt

la parte imaginaria en el denominador nos dice que p tiene un retraso de fase con respecto a E, el lectorpuede demostrar que esta diferencia de fase viene dada por

arctan

[γω

ω20 − ω2

]

esta diferencia de fase es muy pequena para ω << ω0 y tiende a π cuando ω >> ω0.

En general los electrones en una molecula pueden experimentar diferentes frecuencias naturales y amor-tiguamientos12. si fj es el numero de electrones con frecuencia y amortiguamiento ωj, γj en cada moleculay adicionalmente N es la densidad de moleculas, el vector de polarizacion P viene dado por la parte real de

P =Nq2

m

∑

j

fjω2j − ω2 − iγjω

E

por otro lado, hemos definido previamente la susceptibilidad electrica de la forma P = ε0χeE. Debido alas diferencias de fase las partes reales de P y E no definen una relacion de proporcionalidad, es decir elmedio no es estrictamente lineal, pero dado que esta proporcionalidad sı se cumple para la parte compleja,es natural definir la susceptibilidad compleja como

P = ε0χeE

adicionalmente definimos la constante de proporcionalida entre D y E como la permitividad complejaε = ε0 (1 + χe) y la constante dielectrica compleja para este modelo en particular queda

εr = 1 +Nq2

mε0

∑

j


(15.40)

la parte imaginaria es usualmente despreciable salvo en las regiones en las cuales ω se acerca a una de lasfrecuencias de resonancia.

En un medio dispersivo la ecuacion de onda tiene una solucion tipo onda plana de la forma

E = E0ei(kz−ωt)

y el numero de onda es complejo dado que

k =√εµ0ω

separando de nuevo k en sus partes real e imaginaria

k = k + iκ⇒ E (z, t) = E0e−κzei(kz−ωt)

la onda es atenuada, esto se puede ver de el hecho de que un oscilador amortiguado forzado debe absorber lamisma energıa que pierde a fin de mantener oscilaciones estacionarias. De otra parte, dado que la intensidaddepende de E2 y por tanto de e−2κ la cantidad

α ≡ 2κ

12Es natural pensar que si el amortiguamiento se debe a la perdida por radiacion debida a la vibracion del electron, entoncesel amortiguamiento debe ser funcion de la frecuencia natural, en este modelo simplificado ignoramos tal efecto.


se define como el coeficiente de absorcion. La fase oscilatoria define la velocidad de la onda y el ındice derefraccion

v =ω

k; n =

ck

ω

para gases el segundo termino en (15.40) es pequeno y se puede expandir√

1 + ε ' 1 + 12ε y se obtiene

k =ω

c

√εr '

ω

c

1 +

Nq2

2mε0

∑

j


n =ck

ω' 1 +

Nq2

2mε0

∑

j

fj

(ω2j − ω2

)

(ω2j − ω2

)2+ γ2

jω2

α = 2κ ' Nq2ω2

mε0c

fjγj(ω2j − ω2

)2+ γ2

jω2

Capıtulo 16

Radiacion

16.1. Potenciales retardados

En el presente capıtulo, trabajaremos la solucion de los potenciales escalar φ (r, t) y vectorial A (r, t) enel gauge de Lorentz exclusivamente. En dicho gauge las ecuaciones de movimiento vienen dadas por las Ecs.(12.11, 12.12) que escribiremos aquı por comodidad

(∇2 − µ0ε0

∂2

∂t2

)φ = − 1

ε0ρ (16.1)

(∇2−µ0ε0

∂2

∂t2

)A ≡ −µ0J (16.2)

en el caso estacionario, estos potenciales se reducen a ecuaciones de Poisson

∇2φ = − ρ

ε0; ∇2A = −µ0J

sus soluciones se escriben de la forma

φ (r) =1

4πε0

∫ρ (r′)R

dV ′ ; A (r) =µ0

4π

∫J (r′)R

dV ′

R ≡ r −r′ ; R ≡∣∣r− r′

∣∣ (16.3)

cuando trabajamos el caso no estatico, debe tenerse en cuenta que la senal electromagnetica viaja a lavelocidad de la luz. Por lo tanto, si queremos evaluar los potenciales en un tiempo t en una cierta posicion r,no es el estado de la fuente en el tiempo t el que realmente cuenta, sino su condicion en un cierto tiempoanterior tr (llamado el tiempo retardado), en el cual el “mensaje” fue enviado. Como el mensaje viajauna distancia R a una velocidad c, el retardo es R/c con lo cual

tr = t− R

c

de modo que una generalizacion inmediata de (16.3) en el caso de fuentes no estaticas serıa

φ (r, t) =1

4πε0

∫ρ (r′, tr)

RdV ′ ; A (r, t) =

µ0

4π

∫J (r′, tr)

RdV ′ (16.4)

donde ρ (r′, tr) corresponde a la densidad de carga que hay en el punto r′ cuando se mide en el tiempo tr.Estos potenciales se conocen como potenciales retardados, en virtud de que se evaluan en el tiempo deretardo. Hay que tener en cuenta que para fuentes extensas, este tiempo de retardo a su vez es funcion dela posicion ya que no todos los puntos en la fuente estan a la misma distancia del punto en que se desea

311

312 CAPITULO 16. RADIACION

evaluar el potencial. Estos potenciales se reducen de forma natural a los que se obtienen en el caso estaticoen cuyo caso las cargas y corrientes son independientes del tiempo.

Sin embargo, por el momento estos potenciales retardados son solo un ansatz razonable para tener encuenta la finitud con que se propaga la senal, pero no hemos demostrado que estos potenciales sean solucionde las ecuaciones fundamentales del potencial. A continuacion demostraremos que los potenciales definidospor las Ecs. (16.4) satisfacen las ecuaciones de onda inhomogeneas (16.1, 16.2) ası como la condicion (12.10)que define al gauge de Lorentz1. Es necesario entonces tener en cuenta que las soluciones retardadasdadas por (16.4) solo seran validas en el gauge de Lorentz. Vale la pena decir de paso que un ansatzsimilar para los campos electrico y magnetico nos llevan a un respuesta equivocada, de modo que

E (r, t) 6= 1

4πε0

∫ρ (r′, tr)R2

R dV ′ ; B (r, t) 6= µ0

4π

∫J (r′, tr) × R

R2dV ′

lo cual se esperarıa haciendo una extension de las leyes de Coulomb y Biot Savart. Mas adelante veremoscuales son los valores correctos de estos campos. De momento, demostremos que los potenciales (16.4)satisfacen las ecuaciones de onda inhomogeneas (16.1, 16.2).

Comencemos con el potencial escalar. En primera instancia, calculamos el Laplaciano teniendo en cuentaque el integrando del potencial retardado depende de r en dos formas: explıcitamente a traves de el factorR ≡ |r− r′| e implıcitamente a traves del tiempo retardado tr = t−R/c, el gradiente queda entonces

∇φ (r, t) =1

4πε0

∫ [(∇ρ) 1

R+ ρ∇

(1

R

)]dV ′

y

∂iρ =∂ρ

∂tr

∂tr∂xi

∇ρ(r′, tr

)= ρ∇tr = − ρ

c∇R (16.5)

ρ denota diferenciacion con respecto al tiempo, notese que ∂t = ∂tr ya que tr = t−R/c, y R es independientedel tiempo puesto que r y r′ se refieren a posiciones fijas (lugares geometricos). Usaremos tambien lasidentidades

∇R = R ; ∇(

1

R

)= − R

R2(16.6)

con lo cual el gradiente queda

∇φ (r, t) =1

4πε0

∫ [− ρc

R

R− ρ

R

R2

]dV ′ (16.7)

tomando la divergencia obtenemos el Laplaciano

∇2φ (r, t) = − 1

4πε0

∫ [ρ

c∇ ·(

R

R

)+

1

c

R

R· (∇ρ)

]+

[ρ∇ ·

(R

R2

)+

R

R2· (∇ρ)

]dV ′

y usando las identidades

∇ρ = −1

cρ∇R = −1

cρR ; ∇ ·

(R

R

)=

1

R2; ∇ ·

(R

R2

)= 4πδ3 (R) (16.8)

1Naturalmente tambien deben cumplir con las condiciones de frontera, para las cuales asumiremos potenciales nulos en elinfinito, condicion que se cumple si la distribucion de cargas y corrientes es localizada.

16.2. ECUACIONES DE JEFIMENKO PARA LOS CAMPOS 313

con las identidades (16.5, 16.6, 16.8), el Laplaciano del potencial queda

∇2φ (r, t) = − 1

4πε0

∫ [1

c

ρ

R2− ρ

c2R · RR

]+

[4πρδ3 (R) − 1

cρ

R

R2· ∇R

]dV ′

∇2φ (r, t) = − 1

4πε0

∫ [ρ

cR2− ρ

c2R

]+

[4πρδ3 (R) − ρ

cR2R · R

]dV ′

∇2φ (r, t) =1

4πε0

∫ ρ

c2R− 4πρδ3

(r − r′

)dV ′ =

1

4πε0

∫1

c2R

∂2ρ (r′, tr)∂t2

dV ′ − ρ (r)

ε0

recordando que R no depende del tiempo

∇2φ (r, t) =1

c2∂2

∂t2

[1

4πε0

∫ρ (r′, tr)

RdV ′]− ρ (r)

ε0

quedando finalmente

∇2φ (r, t) =1

c2∂2φ (r, t)

∂t2− ρ (r)

ε0[∇2 − 1

c2∂2

∂t2

]φ (r, t) = −ρ (r)

ε0

de modo que el potencial retardado escalar definido en (16.4) es solucion de la Ec. de onda (16.1). Ahoradebemos demostrar que cumple la condicion gauge (12.10) para ello se usa primero la identidad

∇ ·(

J

R

)=

1

R(∇ · J) +

1

R

[∇′ · J

]−∇′ ·

[J (r′, tr)

R

]

y notando que J (r′, t−R/c) depende de r′ explıcitamente a traves de R e implıcitamente a traves de tf , entanto que de r solo depende implıcitamente por medio de tr, se puede ver que

∇ · J = −1

cJ · (∇R) ; ∇′ · J = −ρ− 1

cJ·(∇′R

)

y usando estas identidades para calcular la divergencia de A se llega a la condicion que fija el gauge deLorentz Ec. (12.10).

Es notable el hecho de que si cambiamos el tiempo retardado por el tiempo avanzado ta ≡ t + R/cen las Ecs. 16.4 obtenemos los potenciales avanzados que tambien son solucion a las ecuaciones de ondainhomogeneas (16.1, 16.2) y son enteramente consistentes con las ecuaciones de Maxwell, no obstante estassoluciones avanzadas violan el principio de causalidad, puesto que indican que fuentes ubicadas en elfuturo pueden afectar en el pasado. El hecho de que los potenciales avanzados tambien sean solucion sepuede ver teniendo en cuenta que la ecuacion de onda es invariante ante inversion temporal y por tanto nodistingue pasado de futuro. Esta distincion se introduce cuando asumimos que los potenciales retardadosson los que describen los fenomenos en lugar de los avanzados. Aunque los potenciales avanzados son decierto interes (soluciones taquionicas?*) en fısica teorica, no tienen una interpretacion fısica directa.

16.2. Ecuaciones de Jefimenko para los campos

Dados los potenciales retardados

φ (r, t) =1

4πε0

∫ρ (r′, tr)

RdV ′ ; A (r, t) =

µ0

4π

∫J (r′, tr)

RdV ′


es en principio directo encontrar la forma funcional de los campos electrico y magnetico

E (r, t) = −∇φ (r, t) − ∂A (r, t)

∂t; B (r, t) = ∇×A (r, t)

sin embargo, el calculo explıcito no es tan trivial en virtud de que los integrandos dependen de r a travesdel factor R pero tambien a traves del tiempo retardado tr.

Ya calculamos el gradiente de φ Ec. (16.7), la derivada temporal de A es facil de calcular

∂A

∂t=µ0

4π

∫J (r′, tr)

RdV ′

teniendo en cuenta que c2 = 1/ (µ0ε0), el campo electrico se escribe

E (r, t) =1

4πε0

∫ [ρ (r′, tr)R2

R +ρ (r′, tr)cR

R − J (r′, tr)c2R

]dV ′ (16.9)

esta es la generalizacion del campo de Coulomb para campos dependientes del tiempo, en el caso estaticolos dos ultimos terminos desaparecen y en el primero la dependencia temporal desaparece de la densidad decarga.

Ahora calculamos el campo magnetico a traves del rotacional de A

∇×A =µ0

4π

∫ [1

R(∇× J) − J×∇

(1

R

)]dV ′

pero

(∇× J)i = εijk∂jJk ; ∂jJk =∂Jk∂tr

∂tr∂xj

= Jk∂tr∂xj

= −1

cJk∂R

∂xj⇒

(∇× J)i = −1

cεijkJk∂jR =

1

cεikjJk∂jR =

1

c

[J ×∇R

]i

y recordando que ∇R = R

∇× J =1

cJ × R

usando esta expresion junto con ∇ (1/R) = −R/R2 el campo magnetico queda

B (r, t) =µ0

4π

∫ [J (r′, tr)R2

+J (r′, tr)cR

]× R dV ′ (16.10)

esta es la generalizacion de la ley de Biot-Savart para el caso dependiente del tiempo, y se reduce a estacuando nos reducimos al caso estacionario con J independiente del tiempo. Estas expresiones se conocen comoecuaciones de Jefimenko, y nos proveen las soluciones de las ecuaciones de Maxwell cuando conocemos enforma explıcita las fuentes. En general estas ecuaciones son de utilidad muy limitada en los calculos practicos,ya que suele ser mas sencillo evaluar los potenciales retardados y diferenciarlos para obtener los campos. Sinembargo, son un instrumento interesante para observar la consistencia de la teorıa. En particular, observeseque aunque los potenciales se obtuvieron a partir del caso estacionario tan solo reemplazando el tiempopor el tiempo retardado, los campos no se obtienen con este simple reemplazo ya que aparecen terminosadicionales que involucran a ρ y a J.

Por otro lado, estas ecuaciones nos sirven para examinar el rango de validez de la aproximacion cuasi-estacionaria, supongamos que la densidad de corriente cambia lentamente de tal manera que podemos enbuena aproximacion ignorar los terminos de orden 2 en la expansion de Taylor

J (r, tr) = J (t) + (tr − t) J (t)

16.3. ECUACIONES DE JEFIMENKO EN EL FORMALISMO DE GREEN 315

se deja como ejercicio al lector que una interesante cancelacion en la Ec. (16.10) nos lleva a la expresion

B (r, t) =µ0

4π

∫J (r′, t) × R

R2dV ′

es decir, la ley de Biot-Savart aun se mantiene con J evaluado en el tiempo no retardado t. Esto nos indicaque la aproximacion cuasi-estatica es valida en un rango mas alla del esperado, debido a que los dos erroresque implican ignorar el tiempo de retardo y la omision del segundo termino en (16.10) se cancelan entresı a primer orden. Este hecho permite explicar porque el valor de la fuerza electromotriz en la Ec. (12.2)esta en buen acuerdo con los experimentos a pesar de que dicha ecuacion fue derivada de la Ec. (12.1) queproviene de la ley de Biot Savart (regimen estacionario), junto con la ley de induccion de Faraday (regimenno estacionario).

16.3. Ecuaciones de Jefimenko en el formalismo de Green

A traves del formalismo de Green, es posible calcular los campos en regimen temporal (ecuaciones deJefimenko) en forma directa sin recurrir a los potenciales retardados. Partiendo de la Ec. (14.11), en dondeΨ representa la solucion de la ecuacion de Helmholtz y teniendo en cuenta la funcion de Green para espacioinfinito de la ecuacion de Helmholtz Ec. (14.21), podemos aplicar esta solucion al potencial escalar en el gaugede Lorentz, ya que en este gauge el potencial escalar φ (r, t) obedece la ecuacion de onda. En consecuenciapodemos partir de la Ec. (14.11) con las correspondencias Ψ (r, ω) → Φ(r, ω), F (r ′, ω) → % (r, ω). SiendoΦ (r, ω) , % (r, ω) las transformadas de Fourier del campo (potencial escalar) y la fuente (densidad de carga)respectivamente. Como evaluamos en espacio infinito, se anulan las integrales de superficie y se usa la funcionde Green para la ecuacion de Helmholtz Ec. (14.21)

Φ (r, ω) =

∫%(r′, ω

)G(r, r′, ω

)dV ′ =

∫%(r′, ω

) eikR

RdV ′ ; R ≡

∣∣r− r′∣∣ (16.11)

similarmente ocurre para el potencial vectorial cuyas fuentes son las corrientes

~A (r, ω) =

∫~J(r′, ω

)G(r, r′, ω

)dV ′ =

∫~J (r, ω)

eikR

RdV ′ (16.12)

primero calculemos el campo magnetico a traves de B = ∇×A su transformada de Fourier se escribe

~B (r, ω) = ∇× ~A (r, ω) = ∇×∫

~J (r, ω)eikR

RdV ′ =

∫∇×

(~J (r, ω)

eikR

RdV ′

)

~B (r, ω) =1

c

∫ [− 1

R2+ik

R

]R

R× ~J

(r′, ω

)eikR dV ′ (16.13)

~B (r, ω) =1

c

∫ [− 1

R3R × ~J

(r′, ω

)+ik

R2R × ~J

(r′, ω

)]eikR dV ′ (16.14)

Por otro lado, usando la transformada de Fourier

J (r, t) =1√2π

∫~J (r, ω) e−iωtdω ⇒ (16.15)

J (r, t) =1√2π

∫(−iω) ~J (r, ω) e−iωtdω (16.16)

y usando la transformada inversa de Fourier en (16.15, 16.16), se obtiene

~J (r, ω) =1√2π

∫J (r, t) eiωtdt (16.17)

iω ~J (r, ω) = − 1√2π

∫J (r, t) eiωtdt (16.18)


reemplazando (16.17) y (16.18) en (16.14) resulta

~B (r, ω) =1

c

∫ − 1

R3R×

[1√2π

∫J(r′, t′

)eiωt

′dt′]

+ik

R2R ×

[− 1

iω√

2π

∫J(r′, t′

)eiωt

′dt′]

eikR dV ′

~B (r, ω) = − 1

c√

2π

∫ [1

R3R × J

(r′, t′

)+

k

ωR2R × J

(r′, t′

)]ei(ωt

′+kR) dV ′dt′ (16.19)

recurriendo ahora a la transformada de Fourier para el campo magnetico

B (r, t) =1√2π

∫~B (r, ω) e−iωtdω (16.20)

y reemplazando (16.19) en (16.20)

B (r, t) = − 1

2πc

∫ ∫ [1

R3R× J

(r′, t′

)+

1

cR2R × J

(r′, t′

)]ei(ωt

′+kR) dV ′dt′e−iωtdω

B (r, t) = − 1

2πc

∫ R×

[J (r′, t′)R3

+J (r′, t′)cR2

]eiω(t

′−t+ kωR)

dV ′ dt′ dω

B (r, t) = − 1

2πc

∫ R×

[J (r′, t′)R3

+J (r′, t′)cR2

] [∫eiω(t′−t+R/c) dω

]dV ′ dt′

B (r, t) =1

c

∫ [J (r′, t′)R3

+J (r′, t′)cR2

]×R

δ(t′ − t+R/c

)dV ′ dt′

quedando finalmente

B (r, t) =1

c

∫ [J (r′, tr)R3

+J (r′, tr)cR2

]×R

dV ′ (16.21)

tr ≡ t− R

c(16.22)

Expresion que coincide con la Ecuacion de Jefimenko (16.10). Derivemos ahora el campo electrico

E (r, t) = −∇φ (r, t) − 1

c

∂A (r, t)

∂t

la correspondiente transformada de Fourier de esta ecuacion se escribe

~E (r, ω) = −∇Φ(r, ω) +iω

c~A (r, ω) (16.23)

y reemplazando (16.11) y (16.12) en (16.23) resulta

~E (r, ω) = −∇[∫

%(r′, ω

) eikR

RdV ′

]+iω

c

∫~J(r′, ω

) eikR

RdV ′

~E (r, ω) =

∫ [%(r′, ω

) ( 1

R3− iω

cR2

)R +

iω

c2R~J(r′, ω

)]eikR dV ′

~E (r, ω) =

∫ [ (% (r′, ω)

R3− iω% (r′, ω)

cR2

)R +

iω

c2R~J(r′, ω

)]eikR dV ′

16.4. POTENCIALES GENERADOS POR CARGAS PUNTUALES 317

utilizando (16.18) y una expresion analoga para iω% (r′, ω), ası como la transformada inversa de % (r′, ω) (elanalogo de 16.17),la transformada del campo queda

~E (r, ω) =

∫ [1

R3

(1√2π

∫ρ(r′, t′

)eiωt

′dt′)− iω

cR2

(− 1

iω√

2π

∫ρ(r′, t′

)eiωt

′dt′)]

R

+iω

c2R

[− 1

iω√

2π

∫J(r′, t′

)eiωtdt′

]eikR dV ′

~E (r, ω) =1√2π

∫ R

R3ρ(r′, t′

)+

R

cR2ρ (r, t) − 1

c2RJ(r′, t′

)ei(ωt

′+kR) dV ′dt′ (16.24)

y usando la transformada de Fourier del campo

E (r, t) =1√2π

∫~E (r, ω) e−iωtdω (16.25)

y reemplazando (16.24) en (16.25) resulta

E (r, t) =1

2π

∫ ∫ [R

R3ρ(r′, t′

)+

R

cR2ρ (r, t) − 1

c2RJ(r′, t′

)]ei(ωt

′+kR) dV ′dt′e−iωtdω

E (r, t) =1

2π

∫ [R

R3ρ(r′, t′

)+

R

cR2ρ (r, t) − 1

c2RJ(r′, t′

)] [eiω(t′−t+R/c)dω

]dV ′dt′

E (r, t) =

∫ [R

R3ρ(r′, t′

)+

R

cR2ρ (r, t) − 1

c2RJ(r′, t′

)]δ(t′ − t+R/c

)dV ′dt′

quedando finalmente

E (r, t) =

∫ [R

R3ρ(r′, tr

)+

R

cR2ρ (r, tr) −

1

c2RJ(r′, tr

)]dV ′ (16.26)

que coincide con (16.9).

16.4. Potenciales generados por cargas puntuales

16.4.1. Potenciales de Lienard-Wiechert

Hemos trabajado el formalismo general para calcular potenciales debidos a fuentes moviles, la idea ahoraes calcular estos potenciales cuando las fuentes son cargas puntuales. Denotaremos w (t) como la posicionde la carga q en el tiempo t. El tiempo de retardacion esta determinado implıcitamente por la ecuacion

|r−w (tr)| = c (t− tr) (16.27)

ya que a la izquierda tenemos la distancia que la senal debe viajar y (t− tr) es el tiempo que emplea lasenal para hacer el viaje. Denominaremos a w (tr) como la posicion retardada de la carga, R es el vectorque va desde la posicion retardada hasta el punto de evaluacion r

R ≡ r−w (tr) (16.28)

Notese que a diferencia del R definido en (16.3), el factor R definido en (16.28) sı depende del tiempo yaque r′ es un lugar geometrico del espacio, en tanto que w (tr) es la posicion de una partıcula. Es importantenotar que a lo mas un punto sobre la trayectoria de la partıcula esta en “comunicacion” con r para cualquiertiempo particular t (ver Fig. ???). Para verlo supongamos que hay dos puntos con tiempos retardados t1 yt2 tales que

R1 = c (t− t1) ; R2 = c (t− t2)


por lo tanto R1 −R2 = c (t2 − t1), de tal manera que la velocidad promedio de la partıcula en la direccionde r serıa c, y por otro lado no estamos teniendo en cuenta posibles componentes de la velocidad de lacarga en otras direcciones. Dado que ninguna carga puede viajar a la velocidad de la luz, se sigue que soloun punto retardado contribuye a los potenciales en un tiempo dado. Por esta misma razon unobservador en r ve a la partıcula en solo un lugar a la vez. En contraste, es posible escuchar a un objetoen dos lugares al tiempo, si una fuente sonora a cierta distancia del observador emite un pulso y viaja a lavelocidad del sonido en direccion al observador, y emite otro pulso justo cuando llega al observador, esteultimo detectara ambos pulsos al mismo tiempo que provienen de diferentes lugares aunque hay una solafuente 2.

A priori uno podrıa pensar que la formula

φ (r, t) =1

4πε0

∫ρ (r′, tr)

RdV ′

se puede integrar para obtener simplemente el potencial retardado de una carga puntual en la forma

1

4πε0

q

R

es decir, analogo al caso estatico salvo por el hecho de que R es la distancia a la posicion retardada de lacarga. Sin embargo, esto NO es cierto, y esto se debe a un hecho muy sutil: es cierto que para una cargapuntual el denominador puede salir de la integral

φ (r, t) =1

4πε0R

∫ρ(r′, tr

)dV ′ (16.29)

pero la integral que queda NO es la carga total de la partıcula, esto se debe a que para obtener la carga dela partıcula ρ debe ser integrado sobre la distribucion completa en el mismo instante de tiempo. En el casode fuentes extendidas, el retardo tr = t−R/c, nos obliga a evaluar a ρ en tiempos diferentes para diferentespartes de la configuracion. Si la configuracion se mueve, esto nos dara una imagen distorsionada de la cargatotal. A priori podrıa pensarse que este problema no aparece para cargas puntuales debido a su falta detamano. Sin embargo, no es ası, puesto que en el formalismo de Maxwell una carga puntual se debe vercomo el lımite de una carga extendida cuando su tamano tiende a cero. Y para una carga extendida que semueva no importa cual sea su tamano, el volumen aparente V ′ con respecto al volumen real V de la cargaesta dado por

V ′ =V

1 − R · v/c(16.30)

demostremos este hecho antes de continuar. El efecto es puramente geometrico y lo ilustraremos con elejemplo de un tren que se aproxima. El observador vera que el tren que se aproxima tiene una longitudmayor de la que realmente tiene. Esto se debe a que la luz que el observador recibe de la parte traseraha partido antes que la luz que recibe el observador simultaneamente de la locomotora, y en este tiempoanterior el tren estaba mas lejos. Tomemos el origen en el punto en donde parte el rayo de la parte trasera,y el tiempo de partida de dicho rayo lo tomamos tambien como t = 0 (ver Fig. ???). Ahora sean t y L ′

el tiempo (posterior) y posicion en los cuales parte el rayo de la locomotora que llegara simultaneamenteal observador. Para que ambos rayos lleguen simultaneamente es necesario que el rayo de la parte traseraeste pasando en el tiempo t por la posicion L′. Si L es la longitud del tren, entonces en este tiempo el trenha recorrido una distancia L′ − L por tanto el tiempo t se puede evaluar como

t =L′

c=L′ − L

v

2Cuando la luz viaja en un medio, es posible que las cargas viajen a velocidades mayores o iguales que la luz en dicho medio(partıculas Cerenkov), de modo que este fenomeno y otros analogos que aparecen en el sonido tales como el estampido sonicopueden surgir para los fenomenos electromagneticos.

16.4. POTENCIALES GENERADOS POR CARGAS PUNTUALES 319

siendo v la velocidad del tren. La ultima igualdad nos conduce a

L′ =L

1 − v/c

claramente L′ es la longitud aparente del tren, y es mayor que la longitud real L en un factor de (1 − v/c)−1.Se puede demostrar en forma similar que si el tren se aleja del observador, su longitud aparente es menor porun factor de (1 + v/c)−1. En el caso mas general en el cual la velocidad del tren hace un angulo θ con la lıneade vision del observador, la longitud aparente es mas difıcil de calcular, haremos la suposicion simplificadorade que la longitud del tren es mucho menor que la distancia del tren al observador en todos los instantesde tiempo considerados (ver Fig. ???), de este modo la lınea que une el origen con el observador se puedeconsiderar paralela a la lınea que une la posicion L′ con el observador, en este caso la distancia extra quedebe recorrer la luz que parte del extremo trasero es L′ cos θ. En el tiempo L′ cos θ/c el tren recorre unadistancia L′ − L de modo que

L′ cos θc

=L′ − L

v⇒ L′ =

L

1 − (v cos θ) /c

notese que este efecto no distorsiona las dimensiones perpendiculares al movimiento (el ancho y la alturadel tren), puesto que no hay movimiento en dicha direccion, estas dimensiones se ven iguales que si el trenestuviera totalmente en reposo. El volumen aparente solo se modifica entonces en una de sus dimensionescon lo cual

V ′ =V

1 −(R · v (tr)

)/c

(16.31)

siendo R un vector unitario desde el tren hacia el observador. Notese que la velocidad del tren es aquellacomprendida entre los tiempos de partida de los rayos, si la longitud del tren es muy pequena respecto a ladistancia al observador, podemos definir sin ambiguedad a este tiempo como el tiempo retardado (ya queel retardo entre la partida de los dos rayos serıa mucho menor que el retardo para que estos rayos lleguenal observador), la velocidad esta entonces evaluada en el tiempo retardado. Notese que para nuestra cargapuntual este calculo para el volumen aparente se vuelve exacto puesto que las dimensiones de la carga sehacen tender a cero y son entonces mucho menores que cualquier distancia al punto de evaluacion.

Una aclaracion importante, este efecto no tiene nada que ver con el efecto relativista de contraccion deLorentz. Por ejemplo, L es la longitud del tren en movimiento y la longitud propia del tren no juega ningunpapel. Notese incluso que en este caso puede ocurrir contraccion o expansion. El fenomeno guarda mayorsemejanza con el efecto Doppler. Vemos por ejemplo que aquı no hay dos sistemas de referencia involucrados(como sı ocurre en la contraccion de Lorentz) y la longitud que medimos es la longitud aparente en tantoque la longitud que mide cada observador en el efecto de contraccion de Lorentz es la longitud real para cadaobservador (en el sentido de que los fotones de la parte trasera y delantera deben partir simultaneamente yNO llegar simultaneamente al ojo del observador).

Volviendo ahora a la evaluacion de nuestro potencial retardado para una carga puntual, en la integral(16.29) el integrando es evaluado en el tiempo retardado, de modo que el volumen es afectado por el factordefinido por (16.31), sustituyendo (16.30) en (16.29) resulta

φ (r, t) =1

4πε0R

[q

1 − R · v/c

]=

1

4πε0

qc

[Rc−R · v (tr)](16.32)

donde v (tr) es la velocidad de la partıcula en el tiempo retardado y R es el vector desde la posicion retardadahasta el punto de evaluacion r de los campos, Ec. (16.28). Adicionalmente, dado que la corriente se puedeescribir como ρv, tenemos que el potencial vectorial retardado se puede escribir como

A (r, t) =µ0

4π

∫ρ (r′, tr) v (tr)

RdV ′ =

µ0

4π

v (tr)

R

∫ρ(r′, tr

)dV ′


quedando finalmente

A (r, t) =µ0

4π

qcv (tr)

Rc−R · v (tr)dV ′ =

v

c2φ (r, t) (16.33)

las expresiones (16.32, 16.33) se conocen como potenciales de Lienard-Wiechert para una carga enmovimiento.

Example 20 Como ejemplo sencillo encontremos los potenciales asociados a una carga puntual con veloci-dad constante. Por simplicidad, asumamos que la carga pasa por el origen en t = 0, por tanto

w (t) = vt

calculemos primero el tiempo de retardo usando (16.27)

|r− vtr| = c (t− tr)

elevando al cuadrado

r2 − 2r · vtr + v2t2r = c2(t2 − 2ttr + t2r

)

resolviendo para tr

tr =

(c2t− r · v

)±√

(c2t− r · v)2 + (c2 − v2) (r2 − c2t2)

c2 − v2(16.34)

para elegir el signo consideremos el lımite v → 0

tr = t± r

c

en cuyo caso la carga esta en reposo en el origen, y el tiempo retardado debe ser t− r/c por lo tanto el signomenos es el correcto. La otra solucion es la solucion avanzada que como ya vimos siempre aparece comosolucion matematica adicional. Ahora usando (16.27) y (16.28)

R = c (t− tr) ; R =r− vtrc (t− tr)

por lo tanto

R(1 − R · v/c

)= c (t− tr)

[1 − v

c· (r− vtr)

c (t− tr)

]= c (t− tr) −

v · rc

+v2

ctr

=1

c

[(c2t− r · v

)−(c2 − v2

)tr]

=1

c

√(c2t− r · v)2 + (c2 − v2) (r2 − c2t2)

en el ultimo paso se uso (16.34) con el signo menos. El potencial escalar (16.32) queda entonces

φ (r, t) =1

4πε0

qc√(c2t− r · v)2 + (c2 − v2) (r2 − c2t2)

y el potencial vectorial Ec. (16.33) queda

A (r, t) =µ0

4π

qcv√(c2t− r · v)2 + (c2 − v2) (r2 − c2t2)

16.5. CAMPOS ELECTRICO Y MAGNETICO ASOCIADOS A CARGAS PUNTUALES MOVILES 321

16.5. Campos electrico y magnetico asociados a cargas puntuales moviles

Existen dos estrategias posibles para calcular los campos electricos y magneticos de una carga puntualen movimiento arbitrario, una de ellas es usar los potenciales de Lienard Wiechert (16.32, 16.33) junto conlas relaciones (12.5, 12.6), o por otro lado usando las ecuaciones de Jefimenko (16.9, 16.10). La segundaalternativa es mucho mas compleja, de modo que adoptaremos la primera estrategia, partamos entonces delas relaciones

E = −∇φ− ∂A

∂t; B = ∇×A (16.35)

la diferenciacion es compleja de nuevo en virtud del fenomeno de retardacion. Las cantidades

R = r−w (tr) ; v = w (tr)

estan evaluadas en el tiempo de retardacion y tr esta definido implıcitamente por la ecuacion

|r−w (tr)| = c (t− tr) (16.36)

de modo que tr es en sı mismo funcion de r y t. Comencemos con el gradiente de φ, para lo cual partimosde (16.32) y usamos la segunda de las Ecs. (16.6)

∇φ (r, t) =qc

4πε0

−1

(Rc−R · v)2∇ (Rc−R · v) (16.37)

dado que R = c (t− tr)∇R = −c∇tr (16.38)

en cuanto al segundo termino, usamos la identidad

∇ (A · B) = A × (∇×B) + B× (∇×A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A (16.39)

se tiene∇ (R · v) = (R · ∇)v + (v · ∇)R + R× (∇× v) + v × (∇×R) (16.40)

evaluemos cada uno de estos terminos

[(R · ∇)v]i = (Rk∂k) vi = Rk (∂kvi) = Rk∂vi∂tr

∂tr∂xk

= Rkvi∂ktr

[(R · ∇)v]i = aiR · (∇tr) ⇒(R · ∇)v = a (R · ∇tr)

donde a ≡ v es la aceleracion de la partıcula en el tiempo retardado. Tomemos el otro termino

(v · ∇)R = (v · ∇) r − (v · ∇)w

[(v · ∇)R]i = (vk∂k) xi − (vk∂k)wi = vk (∂kxi) − vk (∂kwi)

[(v · ∇)R]i = vkδki − vk∂wi∂tr

∂tr∂xk

= vi − vkvi∂ktr = vi (1 − vk∂ktr)

[(v · ∇)R]i = vi (1 − v · ∇tr)

quedando finalmente(v · ∇)R = v (1 − v · ∇tr)

evaluemos

[∇× v]i = εijk∂jvk = εijkdvkdtr

∂tr∂xj

= εijkvk∂jtr = εijkak∂jtr = εijk (∂jtr) ak

∇× v = (∇tr) × a (16.41)


[∇×R]i = [∇× r]i − [∇×w]i = 0 − εijk∂jwk = −εijkwk∂jtr∇×R = −v ×∇tr

reemplazando estas cantidades en (16.40)

∇ (R · v) = a (R · ∇tr) + v (1 − v · ∇tr) + R× (∇tr × a) + v × (v ×∇tr)∇ (R · v) = a (R · ∇tr) + v − v (v · ∇tr) + ∇tr (R · a) − a (R · ∇tr) + v (v · ∇tr) −∇tr (v · v)

∇ (R · v) = v + ∇tr (R · a) −∇tr (v · v)

∇ (R · v) = v +[R · a− v2

]∇tr (16.42)

usando (16.38, 16.42), la Ec. (16.37) queda

∇φ (r, t) =qc

4πε0

1

(Rc−R · v)2[v +

(c2 − v2 + R · a

)∇tr

](16.43)

para completar el calculo debemos calcular ∇tr para lo cual tomamos el gradiente a partir de la ecuacionde definicion (16.36), lo cual ya se hizo en (16.38), expandiendo ∇R obtenemos

−c∇tr = ∇R = ∇√

R · R =1

2√

R ·R∇ (R ·R)

=1

R[(R · ∇)R + R× (∇×R)]

donde hemos usado la identidad (16.39), por procedimientos similares a los ya calculados se tiene que

(R · ∇)R = R − v (R · ∇tr) ; ∇×R = (v ×∇tr)

con lo cual

−c∇tr =1

R[R − v (R · ∇tr) + R× (v ×∇tr)]

−c∇tr =1

R[R − v (R · ∇tr) + v (R · ∇tr) − (R · v)∇tr]

−c∇tr =1

R[R − (R · v)∇tr]

despejando ∇tr se obtiene finalmente

∇tr = − R

Rc−R · v (16.44)

sustituyendo este resultado en (16.43) se obtiene

∇φ =1

4πε0

qc

(Rc−R · v)3[(Rc−R · v)v −

(c2 − v2 + R · a

)R]

(16.45)

un calculo similar que se deja al lector nos da

∂A

∂t=

1

4πε0

qc

(Rc−R · v)3

[(Rc−R · v)

(−v +

Ra

c

)+R

c

(c2 − v2 + R · a

)v

](16.46)

sustituyendo (16.45, 16.46) en (16.35) el campo electrico queda

E (r, t) =q

4πε0

R

(R · u)3[(c2 − v2

)u + R× (u × a)

](16.47)

u ≡ cR − v

16.5. CAMPOS ELECTRICO Y MAGNETICO ASOCIADOS A CARGAS PUNTUALES MOVILES 323

para calcular el campo magnetico debemos calcular ∇×A, el cual se puede escribir como

B (r, t) = ∇×A =1

c2∇× (φv) =

1

c2[φ (∇× v) − v × (∇φ)]

ya hemos calculado ∇×v y ∇φ Ecs. (16.41, 16.45), teniendo en cuenta ademas la expresion (16.44) para el∇tr se obtiene

B (r, t) = −1

c

q

4πε0

1

(u ·R)3R ×

[(c2 − v2

)v + (R · a)v + (R · u)a

](16.48)

la cantidad entre parentesis cuadrados se asemeja mucho a (16.47). En especial si en esta ultima reem-plazamos el factor R× (u × a) por la identidad (R · a)u− (R · u) a

E (r, t) =q

4πε0

R

(R · u)3[(c2 − v2

)u + (R · a)u − (R · u) a

](16.49)

la principal diferencia consiste en que los dos primeros terminos contienen a v en lugar de u. En reali-dad, puesto que ambos estan en produto cruz con R podemos cambiar estos v ′s en u′s, el extraterminoproporcional a R desaparece en el producto cruz y se sigue que

B (r, t) =1

cR ×E (r, t) (16.50)

evidentemente, el campo magnetico de una carga puntual es siempre perpendicular al campo electrico, ytambien es perpendicular al vector que va desde la posicion retardada hasta el punto de evaluacion delcampo.

El primer termino de E en la Ec. (16.47) proporcional a(c2 − v2

)u, decae como el inverso cuadrado

de la distancia a la partıcula. Si la velocidad y la aceleracion son ambas cero, este termino es el unico quesobrevive y se reduce al caso electrostatico normal. Por esta razon, este primer termino se llama usualmenteel campo generalizado de Coulomb; por otro lado, dado que este termino no depende de la aceleraciontambien se le denomina campo de velocidades). El segundo termino proporcional a R× (u× a) decaecomo el inverso de la primera potencia de R y es por tanto, el dominante a largas distancias. Como veremosmas adelante, este es el termino responsable de la radiacion electromagnetica y por tanto se le denominael campo de radiacion; por otro lado, dado que es proporcional a a se le denomina tambien campo deaceleraciones. La misma terminologıa se aplica para el campo magnetico.

Por otro lado, es muy util encontrar la formula para la fuerza que una carga hace sobre otra (con ambasen movimiento arbitrario). Esta expresion, junto con el principio de superposicion, contendrıa a toda la teorıade la electrodinamica clasica. Claramente, ahora estamos en posicion de escribir tal expresion tomando loscampos (16.47, 16.50) y la ley de fuerza de Lorentz

F =qQ

4πε0

R

(R · u)3

[(c2 − v2

)u + R × (u× a)

]+

V

c×[R ×

[(c2 − v2

)u + R× (u× a)

]](16.51)

donde Q es la carga de prueba, q es la carga fuente, V es la velocidad de Q y las cantidades R, u, v, ya (asociadas a la carga fuente q) se evaluan en el tiempo retardado. Como se dijo, esta relacion junto conel principio de superposicion contienen formalmente a toda la teorıa electromagnetica clasica, aunque nosiempre sea la forma mas util para los calculos explıcitos de distribuciones arbitrarias de carga fuente y/ode prueba.

Se deja como ejercicio al lector calcular el campo generado por una carga puntual con velocidad constante,en cuyo caso el campo de radiacion se anula tanto para E como para B. Los campos vendran dados por

E (r, t) =q

4πε0

1 − v2/c2(1 − v2

c2sin2 θ

) R

R2; R ≡ r− vt

B (r, t) =1

c2v ×E


es notable el hecho de que E apunta a lo largo de la lınea que parte de la posicion presente (ver Fig.???). Esta es una gran coincidencia puesto que la senal partio de la posicion retardada. Debido al terminocon sin2 θ en el denominador, el campo de una carga que se mueve muy rapidamente se comprime en ladireccion perpendicular al movimiento ver Fig ???. En las direcciones adelante atras E se reduce en unfactor

(1 − v2/c2

)con respecto al campo que se obtiene con carga en reposo, en la direccion perpendicular

se fortalece por un factor(1 − v2/c2

)−1. Las lıneas de campo magnetico circulan alrededor de la lınea de

desplazamiento de la carga como muestra la figura ???, los cırculos decrecen (para un instante dado detiempo) a medida que nos alejamos de la carga hacia adelante o hacia atras.

En el lımite v2/c2 << 1 estos campos se reducen a

E (r, t) =1

4πε0

q

R2R ; B (r, t) =

µ0

4π

q

R2

(v × R

)

la primera es esencialmente la ley de Coulomb, y la segunda es la ley de Biot Savart para una carga puntual.La primera era de esperarse, pero la segunda es sorprendente ya que la ley de Biot Savart solo es valida enprincipio para corriente estacionarias y una carga puntual NO forma una corriente estacionaria. Una vezmas, la ley de Biot Savart parece ser aplicable en un rango mucho mas alla de su formulacion original.

16.6. Radiacion

Hemos discutido hasta ahora el fenomeno de transporte de ondas planas en diferentes medios, ası comoel transporte de energıa y momento por parte de una onda, pero hemos hecho caso omiso de las fuentes dedichas ondas. Las fuentes de toda onda electromagnetica son cargas y corrientes. Pero una carga en reposoo una corriente estacionaria no generan ondas electromagneticas. Se requieren cargas aceleradas y corrientesque cambian como ya veremos.

Una vez generadas, las ondas electromagneticas en el vacıo se propagan hacia el infinito llevando energıacon ella. El fenomeno de radiacion consiste en el flujo irreversible de energıa que se aleja de la fuente.Asumiremos que las fuentes son localizadas y estan cercanas al origen (notese que el concepto mismo deradiacion es problematico para fuentes no localizadas). Imaginemos una superficie esferica gigantesca deradio r “centrada” en la distribucion de cargas y corrientes, la potencia total que cruza esta superficieesferica es la integral de superficie del vector de Poynting

P (r) =

∮S·da =

1

µ0

∮(E×B) ·da (16.52)

donde hemos usado la Ec. (13.4) para el vector de Poynting. Si tomamos ahora el lımite cuando r → ∞ en laexpresion anterior obtendremos la energıa por unidad de tiempo que se transporta hacia el infinito y nuncaregresa.

Por otro lado, el area de la esfera es 4πr2 de modo que para que exista radiacion el vector de Poyntingtiene que decrecer para valores grandes de r a un ritmo no mayor que 1/r2, ya que si decreciera a un ritmomayor, digamos 1/r3 entonces P (r) irıa como 1/r y el lımite cuando r → ∞ se irıa para cero de modoque no habrıa radiacion. Los campos electrostaticos de cualquier fuente localizada van como 1/r 2 o inclusomas rapido si la distribucion no tiene carga neta. Por otro lado, la ley de Biot Savart nos dice que loscampos magnetostaticos lejanos se comportan como 1/r2 o incluso pueden decrecer mas rapido. De estaforma el vector de Poynting S decrece como 1/r4 para configuraciones estacionarias. De esto se concluyeque las fuentes estacionarias no radıan. No obstante, las ecuaciones de Jefimenko (16.9, 16.10) indicanque los campos dependientes del tiempo incluyen terminos (que involucran a ρ y J) que se comportanasintoticamente como 1/r, y estos terminos son los responsables de la radiacion electromagnetica.

En conclusion, el estudio de la radiacion consiste en tomar las partes de los campos que van como 1/ra grandes distancias de la fuente, de modo que se construye con estos el termino de Poynting que va como1/r2, para integrarlos sobre la superficie esferica cuyo radio posteriormente se lleva al infinito. Naturalmente,no es necesario que la superficie sea esferica, pero es la geometrıa mas simple para los calculos.

16.7. RADIACION DE DIPOLO ELECTRICO 325

Por otro lado, cuando las fuentes no tienen simetrıa esferica la radiacion no es isotropica, es posible quepara ciertas franjas de angulo solido haya mayor potencia disipada que para otras. Por lo tanto es util definiruna cantidad que defina la distribucion angular de la potencia radiada, para ello tenemos en cuenta quepara una esfera de radio r la potencia radiada sobre un elemento de la superficie esferica esta dado por

dP = S·da = S · nr2dΩ = S · urr2dΩ

donde hemos asumido que las fuentes estan “centradas en el origen” y por tanto la esfera tambien estarıacentrada en el origen. Definimos entonces la potencia radiada por angulo solido

dP

dΩ= S · urr2 (16.53)

como ya hemos dicho, el vector de Poynting se comporta como 1/r2 para los campos radiativos, de modoque es de esperarse que la potencia P ası como dP/dΩ sean independientes del radio de la esfera cuando setoma el lımite r → ∞.

Tomaremos los casos mas simples de radiacion de dipolo oscilante electrico y magnetico para estudiarposteriormente el caso mas complejo de la radiacion de cargas puntuales

16.7. Radiacion de dipolo electrico

Figura 16.1:

Supongamos un par de esferas metalicas pequenas separadas una distancia d conectadas por un alambremuy delgado (ver Fig. 16.1). En el tiempo t la carga de la esfera superior es q (t) y la de la carga inferiores −q (t). Supongamos que la carga total del sistema fluye de un lado a otro de tal modo que siempre la carganeta es cero y no se acumula carga neta en el alambre en ningun momento (aunque sı circula una corriente),de tal modo que en todo tiempo la carga de ambas esferas tiene la misma magnitud y signo opuesto, peroesta magnitud oscila de la forma

q (t) = q0 cosωt (16.54)

el resultado es un dipolo oscilante

p (t) = p0 cosωt uz ; p0 = q0d

p0 es el maximo valor del momento dipolar. Podrıa pensarse que este sistema es muy artificial, y pensar quees mas natural definir dos cargas constantes montadas sobre un “resorte” de tal manera que lo que oscila


es la distancia d. Aunque este sistema conduce a los mismos resultados, requiere del calculo (mas sutil) delpotencial retardado de una carga en movimiento que trataremos mas adelante.

El potencial escalar retardado (16.4) es el correspondiente a dos cargas puntuales oscilantes aunque conel efecto de retardacion. Asumiremos que para tr = 0 la carga que esta a una distancia R+ del punto deevaluacion adquiere el valor +q0

φ (r, t) =1

4πε0

q0 cos [ω (t−R+/c)]

R+− q0 cos [ω (t−R−/c)]

R−

(16.55)

donde por la ley de cosenos

R± =

√r2 ∓ rd cos θ + (d/2)2

siendo r la distancia del origen al punto de evaluacion y θ el angulo entre r y uz. Ahora debemos convertireste dipolo fısico en un dipolo puntual tomando los lımites apropiados

Primera aproximacion: d << r, sin embargo d 6= 0 para que exista el potencial. Por tanto estacondicion la traducimos en una expansion a primer orden en d/r.

R± = r

√

1 ∓ d

rcos θ +

(d

2r

)2∼= r

√

1 ∓ d

rcos θ +

(d

2r

)2

R± ∼= r

(1 ∓ d

2rcos θ

)⇒ (16.56)

1

R±∼= 1

r

(1 ± d

2rcos θ

)(16.57)

usando (16.56) se tiene que

t− R±c

= t− r

c

(1 ∓ d

2rcos θ

)= t− r

c± d

2ccos θ

con lo cual tambien se pueden expandir las funciones trigonometricas en (16.55)

cos [ω (t−R±/c)] ∼= cos

[ω (t− r/c) ± ωd

2ccos θ

]

= cos [ω (t− r/c)] cos

(ωd

2ccos θ

)∓ sin [ω (t− r/c)] sin

(ωd

2ccos θ

)

en el lımite de dipolo puntual perfecto tambien se debe cumplir que d sea mucho menor que la longitud deonda emitida, con λ = 2πc/ω esto se puede traducir en:

Aproximacion 2: d << cω . Con esta condicion podemos escribir

cos [ω (t−R±/c)] ∼= cos [ω (t− r/c)] ∓ ωd

2ccos θ sin [ω (t− r/c)] (16.58)

sustituyendo (16.57) y (16.58) en (16.55) se obtiene el potencial retardado para un dipolo puntual o perfecto.

φ (r, t) =1

4πε0

[q0 cos [ω (t− r/c)] − q0ωd

2ccos θ sin [ω (t− r/c)]

]1

r

(1 +

d

2rcos θ

)

−[q0 cos [ω (t− r/c)] +

q0ωd


]1

r

(1 − d

2rcos θ

)

φ (r, t) =1

4πε0

2q0 cos [ω (t− r/c)]

1

r

(d

2rcos θ

)− 2

q0ωd


1

r

φ (r, t) =q0d cos θ

4πε0r

cos [ω (t− r/c)]

(1

r

)− ω

csin [ω (t− r/c)]

16.7. RADIACION DE DIPOLO ELECTRICO 327

φ (r, θ, t) =p0 cos θ

4πε0r

−ωc

sin [ω (t− r/c)] +1

rcos [ω (t− r/c)]

(16.59)

en el lımite estatico ω → 0 el segundo termino reproduce la formula que ya conocemos para el potencial deun dipolo estacionario.

φ (r) =p0 cos θ

4πε0r2

no obstante, este no es el termino que nos interesa, en realidad nos interesan los campos que sobreviven agrandes distancias a partir de la fuente, en la llamada zona de radiacion.

Aproximacion 3: r >> cω es decir distancias al dipolo mucho mayores que la longitud de onda emitida.

Notese que las aproximaciones 2 y 3 conducen a la aproximacion 1 ya que tomadas juntas conducen ad << λ << r. La aproximacion 3 no concierne a la naturaleza del dipolo como las anteriores, sino a la zonaen donde interesa calcular el potencial (en la zona de radiacion, r es mucho mayor que todas las dimensionescaracterısticas del sistema que en este caso son la distancia d y la longitud de onda λ). Esta aproximacionimplica que 1/r << ω/c, por lo tanto solo conservaremos el primer termino en el potencial (16.59) y elpotencial en la zona de radiacion se reduce a

φ (r, θ, t) = − p0ω

4πε0c

(cos θ

r

)sin [ω (t− r/c)] (16.60)

por otra parte, el potencial vectorial se determina por la corriente que fluye en el alambre

I (t) =dq

dtuz = −q0ω sin (ωt) uz (16.61)

de acuerdo con la figura ???. El potencial vectorial se puede escribir

A (r, t) =µ0

4π

∫ d/2

−d/2

−q0ω sin [ω (t− r/c)] uzR

dz

dado que la integracion como tal introduce un factor d, podemos a primer orden, reemplazar el integrandopor su valor en el centro con lo cual queda

A (r, t) ∼= −µ0 (q0d)ω sin [ω (t− r/c)]

4πruz

A (r, t) ∼= −µ0p0ω

4πrsin [ω (t− r/c)] uz (16.62)

observese que los argumentos para llegar a (16.62), no requieren de la tercera aproximacion. A partir de lospotenciales, se calculan los campos en forma directa. Usando (16.60) se tiene que

∇φ =∂φ

∂rur +

1

r

∂φ

∂θuθ

∇φ = − p0ω

4πε0c

cos θ

(− 1

r2sin [ω (t− r/c)] − ω

crcos [ω (t− r/c)]

)ur −

sin θ

r2sin [ω (t− r/c)]uθ

∇φ = − p0ω

4πε0cr

cos θ

(−1

rsin [ω (t− r/c)] − ω

ccos [ω (t− r/c)]

)ur −

sin θ

rsin [ω (t− r/c)]uθ

∇φ ∼= p0ω2

4πε0c2

(cos θ

r

)cos [ω (t− r/c)]ur (16.63)

donde el primer y el ultimo termino se desprecian en consistencia con la tercera aproximacion i.e. 1/r << ω/c.Similarmente

∂A

∂t= −µ0p0ω

2

4πrcos [ω (t− r/c)] (cos θ ur − sin θ uθ) (16.64)


a partir de (16.63) y (16.64) podemos evaluar el campo electrico en la zona de radiacion

E (r, t) = −∇φ− ∂A

∂t= −µ0p0ω

2

4π

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)]uθ (16.65)

recordemos que la expresion para A Ec. (16.62), fue calculada sin la aproximacion 3, es decir el campomagnetico que surge no solo es valido en la zona de radiacion

∇×A =1

r

[∂

∂r(rAθ) −

∂Ar∂θ

]uφ

B ∼= −µ0p0ω

4πr

ω

csin θ cos [ω (t− r/c)] +

sin θ

rsin [ω (t− r/c)]

uφ

sin embargo, el segundo termino se desprecio de nuevo por la aproximacion 3. Por tanto ahora sı tenemosque el campo resultante solo es valido en la zona de radiacion

B = −µ0p0ω2

4πc

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)] uφ (16.66)

Las Ecs. (16.65) y (16.66) representan ondas monocromaticas de frecuencia ω viajando en direccion radiala la velocidad de la luz. E y B estan en fase, son mutuamente perpendiculares y transversales. El cocienteentre las amplitudes es E0/B0 = c, propiedades que se cumplen para las ondas electromagneticas planas en elespacio vacıo tal como vimos en la seccion 15.1. No obstante, estas ondas son esfericas, y su amplitud decrececomo 1/r a medida que se propagan, pero para valores grandes de r los frentes de onda son aproximadamenteplanos para pequenas regiones.

La energıa radiada por un dipolo electrico oscilante esta determinada por el vector de Poyinting Ec.(13.4).

S =1

µ0(E×B) =

µ0

c

p0ω

2

4π

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)]

2

ur

la intensidad se obtiene haciendo el promedio en el tiempo sobre un ciclo completo como se explico en laseccion 13.4

〈S〉 =

(µ0p

20ω

4

32π2c

)sin2 θ

r2ur

La potencia total radiada se calcula con la integral de superficie de la intensidad sobre la esfera de radio r.

〈P 〉 =

∫〈S〉 · da =

∫ [(µ0p

20ω

4

32π2c

)sin2 θ

r2ur

]·(ur r

2dΩ)

=µ0p

20ω

4

32π2c

∫sin2 θ

r2r2 sin θ dθ dφ

〈P 〉 =µ0p

20ω

4

12πc(16.67)

Finalmente, calculamos la distribucion angular de la potencia radiada promediada sobre un ciclo, Ec. (16.53)

d〈P 〉dΩ

= 〈S〉 · ur r2 =

[(µ0p

20ω

4

32π2c

)sin2 θ

r2ur

]·(ur r

2)

d〈P 〉dΩ

=

[(µ0p

20ω

4

32π2c

)sin2 θ

]

como se anticipo, las cantidades P y dP/dΩ son independientes del radio de la esfera como se esperarıa dela conservacion de la energıa, pues con la aproximacion 3, nos estamos anticipando a tomar el lımite cuandor → ∞. Notese que no hay radiacion a lo largo del eje del dipolo (sin θ = 0); el perfil de intensidad tiene laforma de un toroide, con su maximo en el plano ecuatorial (sin θ = 1).

16.8. RADIACION DE DIPOLO MAGNETICO 329

Figura 16.2:

16.8. Radiacion de dipolo magnetico

Asumamos que tenemos un alambre circular de radio b, que yace en el plano XY y centrado en el origen,ver Fig. 16.2. Alrededor del alambre circula una corriente alterna de la forma

I (t) = I0 cosωt

lo cual constituye un modelo de dipolo magnetico oscilante

m (t) = πb2I0 cosωt uz = m0 cosωt uz ; m0 ≡ πb2I0

puesto que la espira no tiene carga neta, el potencial escalar es cero. El potencial vectorial retardadovendra dado por

A (r, t) =µ0

4π

∫I0 cos [ω (t−R/c)]

Rdl′

para un punto r colocado directamente sobre el eje X (i.e. en el plano ZX), la simetrıa nos sugiere queA debe apuntar en la direccion Y , puesto que las componentes X de dos fragmentos dl1 y dl2 colocadossimetricamente a uno u otro lado del eje X se cancelaran, ademas tales fragmentos no tienen componenteZ. Por lo tanto

A (r, t) =µ0I0b

4πuy

∫ 2π

0

I0 cos [ω (t−R/c)]

Rcosφ′ dφ′ (16.68)

donde el cosφ′ extrae la componente Y de dl′. Por la ley de cosenos

R =√r2 + b2 − 2rb cosψ

siendo ψ el angulo entre r y b.

r = r sin θ ux + r cos θ uz ; b = b cosφ′ ux + b sinφ′ uy

r · b = rb cosψ = rb sin θ sinφ′

de esto se deduce

R =√r2 + b2 − 2rb sin θ cosφ′

de nuevo, queremos resolver el problema para dipolo puntual o perfecto, de modo que la aproximacionnatural es


Aproximacion 1: b << r. Con lo cual a primer orden en b/r resulta

R ∼= r

(1 − b

rsin θ cosφ′

);

1

R∼= 1

r

(1 +

b

rsin θ cosφ′

)(16.69)

cos [ω (t−R/c)] ∼= cos

[ω (t− r/c) +

ωb

csin θ cosφ′

]

= cos [ω (t− r/c)] cos

(ωb

csin θ cosφ′

)− sin [ω (t− r/c)] sin

(ωb

csin θ cosφ′

)(16.70)

al igual que con el dipolo electrico, el caracter de puntual tambien requiere que el radio de la espira seamucho menor que la longitud de onda radiada:

Aproximacion 2: b << c/ω. En cuyo caso una expansion a primer orden en ωb/c nos da

cos [ω (t−R/c)] ∼= cos [ω (t− r/c)] − ωb

csin θ cosφ′ sin [ω (t− r/c)] (16.71)

insertando las aproximaciones (16.71) y (16.69) en (16.68) y omitiendo terminos de segundo orden, resulta

A (r, t) ∼= µ0I0b

4πruy

∫ 2π

0cos [ω (t−R/c)]

+b sin θ cosφ′(

1

rcos [ω (t− r/c)] − ω


)cosφ′ dφ′

el primer termino se anula ya que ∫ 2π

0cosφ′ dφ′ = 0

el segundo termino se integra con ∫ 2π

0cos2 φ′ dφ′ = π

con estos resultados y teniendo en cuenta que uy apunta en la direccion uφ cuando estamos en un puntosobre el plano ZX y teniendo en cuenta que la orientacion de este plano se puede cambiar sin afectar lageometrıa del problema, se concluye que el potencial vectorial para un momento dipolar puro oscilante vaen la direccion uφ

A (r, θ, t) =µ0m0

4π

(sin θ

r

)1

rcos [ω (t− r/c)] − ω


uφ

en el lımite estatico ω → 0 encontramos el valor del potencial vectorial de dipolo magnetico puntual estatico

A (r, θ) =µ0

4π

m0 sin θ

r2uφ

de nuevo, la region de interes para calcular la radiacion (zona de radiacion) es aquella lejana a la fuente,que se traduce en el hecho de que la distancia al punto de evaluacion debe ser mucho mayor que la longitudde onda

Aproximacion 3: r >> cω . Con esta aproximacion el primer termino en A es despreciable y queda

A (r, θ, t) = −µ0m0ω

4πc

(sin θ

r

)sin [ω (t− r/c)]uφ (16.72)

ahora calculamos los campos E y B con base en (16.72)

E = −∂A∂t

=µ0m0ω

2

4πc

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)] uφ (16.73)

B = ∇×A = −µ0m0ω2

4πc2

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)] uθ (16.74)

16.9. RADIACION GENERADA POR UN DISTRIBUCION ARBITRARIA 331

en el calculo de B se ha usado la aproximacion 3. Como en el caso del dipolo electrico, los campos estanen fase, son mutuamente perpendiculares y transversales a la direccion de propagacion ur, el cociente entresus amplitudes es E0/B0 = c. Es notable la similaridad en estructura de estos campos con los del dipolopuntual electrico oscilante Ecs. (16.65, 16.66), salvo que en este caso B apunta en direccion uθ, y E apuntaen la direccion uφ, lo cual es opuesto al caso del dipolo puntual electrico.

Para calcular la radiacion del dipolo magnetico oscilante, calculamos primero el flujo de energıa asociadoa los campos (16.73, 16.74)

S =1

µ0(E×B) =

µ0

c

m0ω

2

4πc

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)]

2

ur

la intensidad es

〈S〉 =

(µ0m

20ω

4

32π2c3

)sin2 θ

r2ur

la potencia total radiada es

〈P 〉 =µ0m

20ω

4

12πc3(16.75)

de nuevo, el perfil de intensidad tiene la forma de un toroide, y la potencia radiada va como ω4. Hay sinembargo una diferencia muy importante con respecto al dipolo electrico: Para configuraciones con dimen-siones comparables, la potencia radiada por el dipolo electrico es mucho mayor. Haciendo el cociente entrelas potencias radiadas por ambos dipolos Ecs. (16.67, 16.75)

PmagPelect

=

(m0

p0c

)2

para efectuar la comparacion recordemos que m0 = πb2I0 y p0 = q0d. Por otro lado, teniendo en cuenta la Ec.(16.61), tenemos que la amplitud de la corriente en el caso electrico viene dada por I0 = q0ω . Finalmente,sustituyendo d ∼ πb (lo cual nos dice que ambos dipolos tienen dimensiones comparables) este cociente sereduce a

PmagPelect

∼(ωb

c

)2

=

(b

c/ω

)2

pero esta cantidad es muy pequena de acuerdo con la aproximacion 2 en cualquiera de los dipolos, adicional-mente aquı aparece elevada al cuadrado. Por lo tanto, es de esperarse que la radiacion de dipolo electricodomine, a menos que la configuracion del sistema sea tal que la contribucion electrica sea excluıda por algunmecanismo, que es el caso tratado aquı ya que asumimos que el lazo cerrado es neutro en todos sus puntos(el dipolo electrico es neutro pero tiene acumulaciones locales de carga) y por tanto el potencial escalar seanula.

16.9. Radiacion generada por un distribucion arbitraria

Ahora veamos que podemos decir del caso general en que asumimos distribuciones arbitrarias de cargas ycorrientes. La unica suposicion especial es que las cargas y corrientes estan localizadas en una region vecinaal origen de coordenadas. El potencial escalar retardado sera

φ (r, t) =1

4πε0

∫ρ (r′, t−R/c)

RdV ′ (16.76)

R ≡√r2 + r′2 − 2r · r′

la region de interes es de nuevo la zona de radiacion en la cual el punto de evaluacion de los campos esta muylejos con respecto a las dimensiones de la fuente


Aproximacion 1: r′ << r para todo r′ en donde exista carga y/o corriente. Expandiendo a primerorden en r′/r resulta

R ∼= r

(1 − r · r′

r2

);

1

R∼= 1

r

(1 +

r · r′r2

)(16.77)

ρ(r′, t−R/c

) ∼= ρ

(r′, t− r

c+

r · r′c

)

adicionalmente, expandimos ρ como una serie de Taylor en t alrededor del tiempo de retardo en el origen

t0 ≡ t− r

c(16.78)

con lo cual ρ a primer orden queda

ρ(r′, t−R/c

) ∼= ρ(r′, t0

)+ ρ

(r′, t0

)( r · r′c

)+

1

2ρ

(r · r′c

)2

+1

3!

...ρ

(r · r′c

)3

+ . . . (16.79)

el punto significa derivacion en el tiempo. Haremos entonces la siguiente aproximacionAproximacion 2:

r′ <<c

|ρ/ρ| ,c

∣∣...ρ/ρ∣∣1/2

,c

∣∣....ρ /...ρ∣∣1/3

, . . .

para un sistema oscilante cada uno de estos cocientes corresponde a c/ω lo cual corresponde a nuestraantigua aproximacion 2. Aunque en el caso mas general es mas difıcil interpretar esta aproximacion, sepuede ver que esta aproximacion junto con la primera dan cuenta de el hecho de mantener solo terminos aprimer orden en r′. Tomando (16.77) y los dos primeros terminos a la derecha de (16.79) y sustituyendolosen (16.76) resulta

φ (r, t) ∼= 1

4πε0r

[∫ρ(r′, t0

)dV ′ +

r

r·∫

r′ρ(r′, t0

)dV ′ +

r

c· ddt

∫r′ρ(r′, t0

)dV ′

](16.80)

la primera integral es simplemente la carga total Q evaluada en t0. Sin embargo, dado que la carga seconserva, Q es independiente del tiempo. Las otras dos integrales representan el momento dipolar electricoevaluado en t0. Por tanto

φ (r, t) ∼= 1

4πε0

[Q

r+

r · p (t0)

r2+

r · p (t0)

rc

](16.81)

en el caso estatico, los dos primeros terminos son las contribuciones monopolar y dipolar a la expansion delpotencial y el tercer termino se anula.

Para el potencial vectorial se tiene

A (r, t) =µ0

4π

∫J (r′, t−R/c)

RdV ′

como veremos en un momento, a primer orden en r ′ es suficiente reemplazar R por r en el integrando

A (r, t) ∼= µ0

4πr

∫J(r′, t0

)dV ′

el lector puede demostrar que la integral de J es la derivada temporal del momento dipolar

A (r, t) ≡ µ0

4π

p (t0)

r(16.82)

ahora se ve porque razon no es necesario llevar la aproximacion de R mas alla del orden cero (R ∼= r). p yaes de primer orden en r′, y cualquier refinamiento serıa una correccion de segundo orden.

16.9. RADIACION GENERADA POR UN DISTRIBUCION ARBITRARIA 333

Ahora debemos calcular los campos para lo cual utilizaremos de nuevo solo la zona de radiacion, es decirlos campos que sobreviven a grandes distancias de la fuente, por lo tanto solo conservaremos los terminosque vayan como 1/r

Aproximacion 3: Omitiremos los terminos de la forma 1/r2en los campos E y B.Por ejemplo el termino de Coulomb

E =1

4πε0

Q

r2ur

que proviene del primer termino en (16.81) no contribuye a la radiacion electromagnetica. De hecho, laradiacion proviene completamente de aquellos terminos en los cuales diferenciamos el argumento t0. Apartir de (16.78) se tiene

∇t0 = −1

c∇r = −1

cur

con lo cual

∇φ (r, t) ∼= ∇[

1

4πε0

r · p (t0)

rc

]∼= 1

4πε0

[r · p (t0)

rc

]∇t0 = − 1

4πε0c2[r · p (t0)]

rur

similarmente∇×A ∼= µ0

4πr[∇× p (t0)] =

µ0

4πr[∇ (t0) × p (t0)] = − µ0

4πrc[r× p (t0)]

y∂A

∂t∼= µ0

4π

p (t0)

r

con lo cual el campo electrico queda

E (r, t) ∼= µ0

4πr[(r · p) r− p] =

µ0

4πr[r× (r × p)] (16.83)

donde p se evalua en t0 = t− r/c. El campo magnetico queda

B (r, t) ∼= − µ0

4πrc[r × p (t0)] (16.84)

dado que la radiacion usualmente se calcula sobre una enorme esfera, es conveniente escribir los campos(16.83, 16.84), en coordenadas esfericas. Por comodidad haremos que p (t0) este sobre el eje Z

E (r, θ, t) ∼= µ0p (t0)

4π

(sin θ

r

)uθ ; B (r, θ, t) ∼= µ0p (t0)

4πc

(sin θ

r

)uφ

con lo cual se puede calcular el vector de Poynting

S =1

µ0(E×B) ∼= µ0

16π2c[p (t0)]

2

(sin2 θ

r2

)ur

y la potencia total radiada sera

P =

∫S · da ∼= µ0p

2

6πc

de nuevo se puede apreciar que E y B son perpendiculares entre sı, transversales a la direccion de propagacionur, y E/B = c, como ocurre en general para campos de radiacion. Notese que haciendo p constante, loscampos (16.83, 16.84) se anulan, ya que los dipolos estaticos no contribuyen en la zona de radiacion.

Es facil ver que si tomamos el caso del dipolo oscilante

p (t) = p0 cosωt ; p (t) = −ω2p0 cosωt

recobramos los resultados de la seccion (16.7).


Otro ejemplo interesante lo constituye la carga puntual cuyo momento dipolar se puede escribir como

p (t) = q d (t) ; p (t) = q a (t)

donde d es la posicion de la carga con respecto al origen y a es la aceleracion de dicha carga. La potenciaradiada es

P =µ0q

2a2

6πc

que corresponde a la formula de Larmor, la cual nos dice que la potencia radiada por una carga puntuales proporcional al cuadrado de su aceleracion.

Basicamente hemos realizado una expansion multipolar de los potenciales retardados, al orden mas bajoen r′ que puede producir radiacion electromagnetica, es decir campos que se comportan como 1/r en lazona de radiacion. El termino mas bajo que puede radiar es el dipolar, esto se debe a que en virtud de laconservacion de la carga, el termino monopolar no puede radiar. Si la carga no se conservara el primertermino en (16.81) serıa de la forma

Vmono =1

4πε0

Q (t0)

r

y producirıa un termino monopolar radiante (ya que se comporta como 1/r)

Emono =1

4πε0c

Q (t0)

rur

por ejemplo, podrıa pensarse a priori que una esfera cuyo radio oscila deberıa radiar, sin embargo este no esel caso, puesto que el campo afuera (y en particular en la zona de radiacion) es exactamente Q/

(4πε0r

2)ur,

sin importar la fluctuacion del tamano. vale la pena enfatizar que en el analogo acustico los monopolossı radıan.

Si el momento dipolar electrico (o su segunda derivada) se anulan, no hay radiacion de dipolo electrico,y debemos mirar el siguiente termino, es decir terminos de segundo orden en r ′. Dichos terminos de segundoorden contienen dos partes, una relacionada con el dipolo magnetico de la fuente y la otra relacionada con elcuadrupolo electrico, si estos a su vez se anulan debemos considerar terminos de orden r ′3 que correspondena cuadrupolo magnetico y octupolo electrico etc.

16.10. Radiacion de cargas puntuales

Ya hemos derivado los campos E y B para cargas puntuales en movimiento arbitrario Ecs. (16.47, 16.50),y vienen dados por

E (r, t) =q

4πε0

R

(R · u)3[(c2 − v2

)u + R× (u × a)

](16.85)

B (r, t) =1

cR ×E (r, t) ; u ≡ cR − v ; R ≡ r−w (tr) (16.86)

Siendo w (tr) la posicion de la carga en el tiempo retardado, y la velocidad v se evalua en el tiempo retar-dado. Como ya mencionamos el primer termino en ambos campos se denomina el campo de velocidadesy al segundo se le llama campo de aceleraciones. El vector de Poynting se escribe como

S =1

µ0(E×B) =

1

µ0c

[E×

(R ×E

)]=

1

µ0c

[E2R −

(R ·E

)E]

(16.87)

sin embargo no todo este flujo de energıa constituye radiacion. Parte de el es flujo de energıa de campoque se transporta junto con la partıcula. La energıa radiada es aquella parte del flujo que efectivamente sesepara de la partıcula y se propaga hacia el infinito. Para calcular la potencia total radiada por la partıcula

16.10. RADIACION DE CARGAS PUNTUALES 335

en el tiempo tr, pintamos una enorme esfera de radio R, centrada en la posicion de la partıcula en el tiempotr, el tiempo t en el cual la radiacion incide en la superficie de la esfera viene dado por

t− tr =R

c

y en este tiempo t se integra el vector de Poynting sobre la superficie. El tiempo tr es efectivamente eltiempo de retardo para todos los puntos sobre la esfera en el tiempo t. Dado que la superficie crece comoR2 solo contribuyen terminos en S que decrezcan como 1/r2, las potencias cubicas y cuarticas inversas nocontribuyen en el lımite cuando R → ∞. Por lo tanto, solo los campos de aceleracion contribuyen a laradiacion y por eso se les denominan tambien campos de radiacion como ya habıamos anticipado.

Erad =q

4πε0

R

(R · u)3[R× (u× a)] (16.88)

los campos de velocidad transportan energıa pero tal energıa es arrastrada por la carga en su movimiento.Dado que Erad es perpendicular a R el segundo termino en (16.87) se cancela y el vector de Poynting sesimplifica

Srad =1

µ0cE2radR (16.89)

si la carga esta en reposo instantaneo en el tiempo tr entonces u = cR, que al reemplazarlo en (16.88) queda:

Erad =q

4πε0

R(R · cR

)3

[R×

(cR × a

)]=

q

4πε0

1

c2R

R3

[(R · a) R −

(R · R

)a]

Erad =q (µ0ε0)

4πε0R2

[(RR · a

)R−

(RR · R

)a]

=qµ0

4πR

[(R · a

)R− a

]

y la componente radiante del vector de Poynting (16.89) queda

Srad =1

µ0c

( qµ0

4πR

)2[a2 − 2

(R · a

)(R · a

)+(R · a

)2]R

Srad =1

µ0c

( µ0q

4πR

)2[a2 −

(R · a

)2]R =

1

µ0c

(µ0q

4π

)2 1

R2

[a2 − a2 cos2 θ

]R

Srad =µ0q

2a2

16π2c

(sin2 θ

R2

)R (16.90)

siendo θ el angulo entre R y a. No se genera radiacion en la direccion de la aceleracion (si el movimientoes rectilıneo esto significa que no hay radiacion en las direcciones adelante y atras). La radiacion se emiteen un toroide que se forma alrededor de la aceleracion instantanea, como se ve en la Fig. 16.3. La potenciatotal radiada es

P =

∮Srad · da =

µ0q2a2

16π2c

∫sin2 θ

R2R2 sin θ dθ dφ

P =µ0q

2a2

6πc

que corresponde de nuevo a la formula de Larmor obtenida por otro metodo. Aunque esta relacion sederivo con v = 0 en realidad se mantiene con buena aproximacion para el caso no relativista con v << c.

El caso v 6= 0 es mas difıcil en primer lugar porque la expresion para Erad es mas complicada, y ensegundo lugar por el hecho (mas sutil) de que Srad la rata de energıa a la cual la energıa pasa a traves dela esfera no es igual a la rata de energıa que abandona a la partıcula. Para ilustrarlo, supongamos que untirador movil dispara una corriente de balas hacia un blanco fijo. La rata Nt a la cual las balas golpean el


Figura 16.3:

blanco estacionario no es igual a la rata Ng a la cual las balas abandonan la pistola debido al movimientodel tirador. Se puede verificar facilmente que Ng = (1 − v/c)Nt si el carro se mueve hacia el blanco (siendoc la rapidez de las balas con respecto a tierra) y para una direccion arbitraria v del tirador movil se obtiene

Ng =

(1 − R · v

c

)Nt

donde R es el vector unitario desde el tirador hasta el blanco. Notese que este es un factor puramentegeometrico que no esta asociado a las transformaciones relativistas y es muy analogo al efecto Doppler.

En nuestro caso, si dW/dt es la rata a la cual la energıa pasa a traves de la esfera de radio r, entoncesla rata a la cual la energıa abandona la carga dW/dtr esta dada por:

dW

dtr=

(1 − R · v

c

)dW

dt(16.91)

teniendo en cuenta la definicion de u Ec. (16.86) se tiene que

1 − R · vc

=c− R · v

c=cR−RR · v

Rc=cR · R−R · v

Rc=

R·(cR − v

)

Rc⇒

1 − R · vc

=

(R · uRc

)(16.92)

remplazando (16.92) en (16.91) resulta

dW

dtr=

(R · uRc

)dW

dt

Pcar =

(R · uRc

)Pesf (16.93)

que es precisamente el cociente entre Ng y Nt, y es un factor puramente geometrico. La distribucion angularde la radiacion se puede calcular con

dPcar =

(R · uRc

)dPesf =

(R · uRc

)Sesf · da =

(R · uRc

)Sesf · urR2dΩ

dPcardΩ

=

(R · uRc

)(1

µ0cE2radR

)· urR2


donde hemos usado (16.89). Teniendo en cuenta que ur = R, la potencia radiada por la partıcula en unaseccion de area R2dΩ = R2 sin θ dθ dφ sobre la esfera, esta dada por

dP

dΩ=

(R · uRc

)1

µ0cE2radR

2

y usando el valor del campo electrico de radiacion Ec. (16.88)

dP

dΩ=

(R · uRc

)1

µ0c

∣∣∣∣q

4πε0

R

(R · u)3[R× (u× a)]

∣∣∣∣2

R2

dP

dΩ=

RR · uR

R2

(RR · u

)6

1

µ0

1

c2

(q

4πε0

)2 ∣∣∣RR× (u × a)∣∣∣2R2

dP

dΩ=

1(R · u

)5

1

µ0(µ0ε0)

(q

4πε0

)2 ∣∣∣R × (u × a)∣∣∣2

quedadno finalmente

dP

dΩ=

q2

16π2ε0

∣∣∣R × (u × a)∣∣∣2

(R · u

)5 (16.94)

siendo dΩ el angulo solido en el cual se radıa esta potencia. Notese que esta expresion depende de R pero node R, lo cual es de esperarse ya la distribucion de la radiacion depende de la direccion pero no del tamanode la esfera, siempre que esta sea suficientemente grande con respecto a todas las dimensiones del sistema.Integrando sobre θ y φ se obtiene la potencia total radiada,

∫dP

dΩdΩ =

∫q2

16π2ε0

∣∣∣R × (u× a)∣∣∣2

(R · u

)5 sin θ dθ dφ

donde hemos definido el eje Z en la direccion de la velocidad instantanea y R es el vector que se barreen todas las direcciones, θ es entonces el angulo entre v y R. Teniendo en cuenta la simetrıa azimuthal laintegracion en φ es inmediata

∫dP

dΩdΩ =

q2

8πε0

∫∣∣∣R × (u× a)

∣∣∣2

(R · u

)5 sin θ dθ

el resultado es

P =µ0q

2γ6

6πc

[a2 −

∣∣∣∣v × a

c

∣∣∣∣2]

; γ ≡ 1√1 − v2

c2

esta es la generalizacion de Lienard para la formula de Larmor, que claramente se reduce a esta ultimacuando v c. El factor γ6 nos indica que la potencia radiada se incrementa enormemente cuando la partıculase acerca a la velocidad de la luz.

16.10.1. Radiacion de Frenado (bremsstrahlung)

Supongamos que v y a son instantaneamente colineales (en el tiempor tr). Calculemos la distribucionangular de la radiacion y la potencia total emitida. En este caso

(u× a) = c(R × a

)


y reemplazando esta expresion en la Ec. (16.94) se tiene que

dP

dΩ=

q2c2

16π2ε0

∣∣∣R ×(R × a

)∣∣∣2

(c− R · v

)5

usando la identidad

R ×(R × a

)= R

(R · a

)− a ⇒

∣∣∣R ×(R× a

)∣∣∣2

= a2 −(R · a

)2

si hacemos que el eje Z coincida con la direccion instantanea de la velocidad v obtenemos

dP

dΩ=µ0q

2a2

16π2c

sin2 θ

(1 − β cos θ)5; β ≡ v

c(16.95)

esta expresion es consistente con la Ec. (16.90) en el caso en que v = 0. Pero para valores grandes de la

Figura 16.4:

velocidad i.e. β ∼= 1, el perfil de la distribucion de la radiacion en forma de toroide se estrecha y es “empujado”hacia adelante por el factor (1 − β cos θ)−5, como se indica en la figura ???. Aunque no hay radiacion en lalınea delantera, la radiacion tiende a concentrarse en un cono cada vez mas estrecho en la direccion delantera.Es facil encontrar el angulo θmax en donde la radiacion es maxima en el lımite ultrarelativista

θmax∼=√

1 − β

2para β ∼= 1

la potencia total emitida se puede encontrar integrando (16.95) sobre el angulo solido completo

P =

∫dP

dΩdΩ =

µ0q2a2

16π2c

∫sin2 θ

(1 − β cos θ)5sin θ dθ dφ =

µ0q2a2

8πc

∫ π

0

sin3 θ dθ

(1 − β cos θ)5

con la sustitucion x = cos θ queda

P =µ0q

2a2

8πc

∫ 1

−1

(1 − x2

)dx

(1 − βx)5=µ0q

2a2

8πc

[4

3

(1 − β2

)−3]

y se concluye que

P =µ0q

2a2γ6

6πceste resultado es consitente con la formula de Lienard para v colineal con a. Es de anotar que la distribucionde la radiacion es la misma para la partıcula acelerada o desacelerada puesto que solo depende del cuadradode la aceleracion, y esta concentrada en la direccion frontal con respecto a la velocidad. Por ejemplo cuandoun electron de alta energıa golpea un blanco metalico, este desacelera rapidamente, dando lugar a la llamadaradiacion de frenado o bremsstrahlung. La anterior descripcion corresponde a la teorıa clasica debremsstrahlung.


16.10.2. Radiacion de Ciclotron

Podemos realizar un analisis similar al anterior pero ahora suponiendo que v y a son perpendiculares.Escojamos los ejes de tal forma que Z sea paralelo a v y X sea paralelo a a. Escribimos entonces vectorial-mente

v = vuz ; a = aux ; R = sin θ cosφ ux + sin θ sinφ uy + cos θ uz

reemplazando en la formula de Lienard resulta

dP

dΩ=

µ0q2a2

16π2c

[(1 − β cos θ)2 −

(1 − β2

)sin2 θ cos2 φ

]

(1 − β cos θ)5

P =µ0q

2a2γ4

6πc

para velocidades relativistas (β ∼= 1) de nuevo la radiacion esta distribuıda en un pico agudo en la direccionadelante con respecto a la velocidad, ver Fig. ???. La aplicacion mas importante es la correspondiente almovimiento circular, en cuyo caso hablamos de la radiacion de ciclotron. Para un electron relativista laradiacion se barre alrededor de la orbita circular a medida que este se mueve.

Capıtulo 17

Relatividad especial

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17.1. Propiedades de las transformaciones de Lorentz

Consideremos dos sistemas de referencia S y S ′ cuyo origen es coincidente en t = 0 vistos por ambossistemas. S ′ se mueve a velocidad constante v con respecto a S en una direccion paralela al eje X3. Lastransformaciones de Lorentz vienen dadas por

x′1 = x1 ; x′2 = x2

x′3 =x3 − vt√

1 − β2; t′ =

(t− vx3

c2

)√

1 − β2; β ≡ v

c(17.1)

siendo c la velocidad de la luz en el vacıo. Estas leyes de transformacion cumplen con las propiedades quelas inspiraron. En particular, cumple con los postulados de la relatividad especial. Por ejemplo, la velocidadde la luz es la misma en ambos sistemas. Supongamos que con respecto al sistema S se emite una ondaesferica desde el origen en t = 0, la ecuacion del frente de onda vista por S es

xixi = c2t2

Usando las transformaciones de Lorentz (17.1) vemos que la ecuacion para el frente de onda transformado(es decir visto por S ′) es tambien esferico y se propaga tambien con velocidad c

x′ix′i = c2t′2

si hacemos una expansion de las Ecs. (17.1)

x′1 = x1 ; x′2 = x2

x′3 ≈ (x3 − vt)

(1 +

1

2β2 + . . .

); t′ ≈

(t− β

cx3

)(1 +

1

2β2 + . . .

)

a orden cero en β = v/c

x′1 = x1 ; x′2 = x2

x′3 ≈ x3 − vt ; t′ ≈ t

con lo cual se obtienen las transformaciones de Galileo. Al ser el movimiento a lo largo de x3 las coordenadasx1 y x2 no se ven afectadas como es de esperarse en virtud de la isotropıa del espacio. Las ecuaciones de

341

342 CAPITULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL

transformacion son lineales lo cual se puede demostrar a partir del requerimiento del principio de relatividadrestringida, pues si el movimiento uniforme en S debe transformarse en movimiento uniforme en S ′ lastransformaciones entre tales sistemas deben ser lineales. Como la transformacion debe ser igualmente validapara pasar desde S ′ hacia S se puede ver que la inversa de la transformacion debe ser tal que T −1 (v) =T (−v) lo cual se puede verificar invirtiendo las transformaciones de Lorentz.

La parte espacial de las transformaciones de Lorentz se puede escribir en forma vectorial teniendo encuenta que v va en la direccion x3

(x′1, x

′2, x

′3

)=

(x1, x2,

x3 − vt√1 − β2

)=

(x1, x2, x3 − x3 +

x3 − vt√1 − β2

)

(x′1, x

′2, x

′3

)= (x1, x2, x3) +

(0, 0,

x3 − vt√1 − β2

− x3

)

r′ = r +

(x3 − vt√

1 − β2− x3

)u3

y teniendo en cuenta que u3 = v/v se obtiene

r′ = r +

(x3 − vt√

1 − β2− x3

)v

v

podemos ademas hacer el reemplazo

v · r = vx3

con lo cual la parte espacial se puede escribir en forma enteramente vectorial

r′ = r +

(vx3 − v2t√

1 − β2− vx3

)v

v2= r +

(vx3√1 − β2

− vx3

)v

v2− v2t√

1 − β2

v

v2

r′ = r + vx3

(1√

1 − β2− 1

)v

v2− vt√

1 − β2

r′ = r + (v · r) v

v2

(1√

1 − β2− 1

)− vt√

1 − β2

y definiendo

β ≡ v

c; γ ≡ 1√

1 − β2

se obtiene

r′ = r +(β · r)ββ2

(γ − 1) − βγct (17.2)

y para la transformacion de la coordenada temporal

t′ =

(t− vx3

c2

)√

1 − β2= γ

(t− v · r

c2

)

t′ = γt− (β · r) γc

(17.3)

dado que no hay nada especial en la direccion x3 elegida (por la isotropıa del espacio) las ecuacionesvectoriales (17.2, 17.3) son validas para direcciones arbitrarias de v siempre que los ejes de S y S ′ seanparalelos.

17.1. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 343

Las Ecs. (17.2, 17.3) definen transformaciones lineales en 4 componentes, por tanto podemos utilizar elformalismo matricial para describir estas transformaciones. Un artificio ideado por Minkowski nos permiteconstruir un sistema coordenado cartesiano con cuatro ejes en el cual el cuarto eje coordenado se elije comox4 ≡ ict. El cuadrado del modulo de un vector en este espacio se escribe como

x21 + x2

2 + x23 + x2

4 = x21 + x2

2 + x23 − c2t2 (17.4)

recordemos que esta cantidad es invariante debido a la exigencia de que la velocidad de la luz sea invari-ante. En consecuencia debemos usar transformaciones ortogonales en cuatro dimensiones1, por tanto latransformacion de Lorentz es una transformacion ortogonal en el espacio de Minkowski.

Dado que la cuarta coordenada es imaginaria, los elementos de la matriz de transformacion pueden sercomplejos. La representacion matricial se puede obtener de las ecuaciones vectoriales (17.2, 17.3). Represen-tando por L a la matriz de transformacion de Minkowski se tiene que

x′ = Lx (17.5)

siendo Lµν un elemento generico. Las letras griegas representaran a las cuatro coordenadas en tanto que lasletras latinas representaran solo coordenadas espaciales. Las ecuaciones vectoriales (17.2, 17.3) en compo-nentes se escriben como

x′j = xj +βjβkxkβ2

(γ − 1) + iβjγx4 (17.6)

x′4 = −iβkxkγ + γx4 (17.7)

Con lo cual se pueden determinar los elementos de L para una direccion arbitraria de β

x′j =

[δjk +

βjβkβ2

(γ − 1)

]xk + iβjγx4

x′4 = −iβkγxk + γx4 (17.8)

que podemos escribir en la forma

x′j = Ljkxk + Lj4x4

x′4 = L4kxk + L44x4 (17.9)

y comparando (17.8) con (17.9) se obtienen los elementos de L

Ljk = δjk +βjβkβ2

(γ − 1) ; Lj4 = iβjγ

L4k = −iβkγ ; L44 = γ (17.10)

En el caso particular en el cual v va dirigida a lo largo de x3 tenemos que βj = βδj3 y L adopta la forma

Ljk = δjk +β2δj3δk3β2

(γ − 1) = δjk + δj3δk3 (γ − 1) ; Lj4 = iβδj3γ

L4k = −iβδk3γ ; L44 = γ (17.11)

que explıcitamente se escribe

L =

1 0 0 00 1 0 00 0 γ iβγ0 0 −iβγ γ

(17.12)

1Las trasnformaciones unitarias mantienen invariante la cantidad xix∗i en tanto que las transfroamciones ortogonales

mantienen invariante la cantidad xixi.


ya hemos visto que en una matriz ortogonal la inversa es igual a la traspuesta. Veamos que ocurre al hacerla traspuesta de la matriz L (β) en (17.10)

Ljk (β) = Lkj (β) = δkj +βkβjβ2

[γ (β) − 1] = δjk +(−βj) (−βk)

(−β)2[γ (−β) − 1] = Ljk (−β)

Lj4 (β) = L4j (β) = −iβjγ = i (−βj) γ = Lj4 (−β)

L4k (β) = Lk4 (β) = iβkγ = −i (−βk) γ = L4k (−β) ; L44 (β) = L44 (β) = γ (β) = γ (−β) = L44 (−β)

donde hemos usado el hecho de que γ (β) = γ (−β) lo cual es evidente de su definicion. Tenemos por tantoque

Lµν (β) = Lµν (−β)

y como la traspuesta es la inversa llegamos a la propiedad esperada de que L−1 (v) = L (−v).Notemos que la submatriz inferior 2×2 en (17.12) se asemeja a una rotacion en un plano, la cual se

escribirıa de la forma (cosφ sinφ− sinφ cosφ

)

en este caso lo que tenemos es una rotacion en los ejes x3x4 del espacio de Minkowski, pero en un angulo φimaginario

cosφ = γ ; sinφ = iβγ (17.13)

podemos definir un angulo real ψ en la forma φ ≡ iψ con lo cual

coshψ = γ ; sinhψ = βγ

y la matriz (17.12) queda

L =

1 0 0 00 1 0 00 0 cosφ sinφ0 0 − sinφ cosφ

=

1 0 0 00 1 0 00 0 coshψ i sinhψ0 0 −i sinhψ coshψ

(17.14)

esta parametrizacion facilita muchas operaciones matriciales. Por ejemplo, si hacemos dos transformacionesde Lorentz sucesivas en donde ambas poseen velocidades relativas a lo largo de x3 la transformacion matricialsolo es no trivial en el plano x3x4 y se puede ver que simplemente se suman los angulos φ y φ′ correspondientescomo ocurre en una rotacion en el plano, de modo que L′ (φ′)L (φ) = L (φ+ φ′). De las Ecs. (17.13) se tieneque

tanφ = iβ ; tanφ′′ = tan(φ+ φ′

)=

tanφ+ tanφ′

1 − tanφ tanφ′

⇒ iβ′′ =iβ + iβ′

1 − (iβ) (iβ ′)

de modo que estas dos transformaciones de Lorentz sucesivas corresponden a una sola transformacion deLorentz equivalente de la forma

β′′ =β + β′

1 + ββ′ (17.15)

la Ec. (17.15) corresponde a la ley de adicion de velocidades para velocidades paralelas. En esta ecuacion seve que la velocidad equivalente no es simplemente la suma de las velocidades de las dos transformaciones envirtud del factor de correccion ββ ′ en el denominador. Podemos ver ademas que incluso tomando valores deβ y β′ cercanos a la unidad, se tiene que β ′′ < 1. Esto indica que no se puede obtener una velocidad mayorque c con transformaciones de Lorentz sucesivas. No hay manera de que una sistema de referencia vaya masrapido que la luz con respecto a otro.


Aunque hemos visto que las transformaciones de Lorentz son ortogonales, no hemos demostrado queestas cubran todas la transformaciones ortogonales posibles en el espacio de Minkowski, de por sı estono es cierto como se puede demostrar con una transformacion descrita por L44 = 0, L4i = Li4 = 0 y losnueve elementos restantes formando una submatriz 3×3 ortogonal en el espacio euclıdeo tridimensional. Estamatriz es ortogonal en el espacio de Minkowski, pero no produce movimiento relativo entre los dos sistemas,su efecto es una rotacion de las coordenadas espaciales. Las rotaciones espaciales son un subconjuntode las transformaciones ortogonales en el espacio de Minkowski. Similarmente, (17.5) no define latransformacion de coordenadas mas general ante la cual deben permanecer invariantes las ecuaciones de laFısica, pues es claro que una redefinicion de origen espacio temporal tampoco debe afectar a las leyes de laFısica. Debemos ver ademas si existen otro tipo de transformaciones ortogonales en el espacio de Minkowski.La transformacion mas general en el espacio de Minkowski que mantiene invariante la velocidad de la luz es

x′ = Lx + a (17.16)

donde a representa una traslacion del origen en el espacio de Minkowski (i.e. de espacio y tiempo) y L es unamatriz ortogonal. A las transformaciones del tipo (17.16) se les conoce como transformaciones de Poincare otransformaciones de Lorentz inhomogeneas. La condicion de ortogonalidad

LL = LL = 1 ; LµνLµρ = δνρ o LνµLρµ = δνρ (17.17)

representa diez ligaduras sobre los elementos de L (cuatro condiciones diagonales y seis no diagonales) demodo que solo hay seis cantidades independientes en L. Por otro lado, vemos que las transformaciones deLorentz (17.10) involucran tres grados de libertad (las tres componentes de la velocidad) en tanto que lasrotaciones euclıdeas involucran otros tres grados de libertad (e.g. los angulos de Euler). Esto parece indicarnosque las transformaciones de Lorentz del tipo (17.10) junto con las rotaciones espaciales (o combinaciones deambas) forman el conjunto mas general de transformaciones ortogonales en el espacio de Minkowski. Porotro lado, para la transformacion (17.16) existen cuatro grados de libertad adicionales con lo cual la cantidadde elementos independientes sera diez. En el presente estudio nos restringimos a las transformaciones deLorentz homogeneas de modo que requerimos manejar seis elementos independientes de L

x′ = Lx

recordemos que las matrices ortogonales tienen determinante ±1

(detL)2 = ±1

y ya hemos visto que si nos restringimos a las transformaciones contınuas debemos excluır las matrices dedeterminante −1. Las matrices L de determinante +1 representan entonces transformaciones de Lorentzpropias. Sin embargo, no hay garantıa de que todas las matrices de determinante +1 correspondan atransformaciones contınuas. Efectivamente, en el caso de la inversion simultanea de todas las coordenadasespacio temporales, el determinante sigue siendo +1. Necesitamos entonces un criterio para excluir lastransformaciones propias no contınuas. Examinemos el comportamiento de L44, usando las Ecs. (17.17) sepuede escribir con ν = ρ = 4

L4µL4µ = δ44 ⇒ L244 + L4jL4j = 1 (17.18)

y como los elementos L4j conectan una coordenada espacial (real) con una temporal (imaginaria), estoselementos deben ser imaginarios puros. En contraste L44 debe ser real porque conecta al eje imaginarioconsigo mismo, estas caracterısticas se pueden apreciar en (17.10). En consecuencia L4jL4j debe ser negativoy L2

44 debe ser positivo de modo que

|L44|2 > |L4jL4j| y L244 ≥ 1 (17.19)


La Ec. (17.19) plantea dos posibilidades: L44 ≤ −1 que implica una inversion del tiempo y L44 ≥ 1 queimplica una transformacion contınua a partir de la identidad2. Las transformaciones de Lorentz con L44 ≥ 1se denominan ortocronas en tanto que las de L44 ≤ −1 se denominan no ortocronas. Solamente lastransformaciones ortogonales propias ortocronas pueden evolucionar en forma contınua a partir de laidentidad. De las cuatro subclases solo las transformaciones propias ortocronas forman un grupo, lasotras tres subclases no. A las trasnformaciones de Lorentz propias ortocronas se les conoce como trans-formaciones de Lorentz restringidas, solo ellas pueden generar rotaciones contınuas en el espacio y reducirsea las transformaciones de Galileo en el lımite de bajas velocidades. En consecuencia, solo trabajaremostransformaciones de Lorentz restringidas denominandolas simplemente transformaciones de Lorentz.

A las transformaciones de Lorentz restringidas que corresponden a dos sistemas de ejes paralelos quese mueven uniformemente uno respecto al otro se les denomina transformaciones de Lorentz puras (oboosts). La matriz descrita por (17.10) corresponde a una transformacion de Lorentz pura. La intuicionnos indica que una transformacion de Lorentz restringida puede descomponerse en una transformacion deLorentz pura junto con una rotacion espacial sin movimiento relativo (en uno u otro orden). Veamos comose realizarıa tal descomposicion. Descompongamos la transformacion de Lorentz en un boost seguido de unarotacion

L = RP (17.20)

Las coordenadas del sistema transformado x′ν estan relacionadas con las coordenadas no primadas por

x′ = Lx ⇒ x = L−1x′ ⇒ x = Lx′ ⇒ xµ = Lνµx′ν (17.21)

nos preguntamos ahora cual es la velocidad del origen de S ′ vista por un observador en S. En el origen de S ′

tenemos que x′j = 0 y las coordenadas del origen de S ′ vistas por el observador en S se obtienen aplicando(17.21) con x′j = 0

xj = L4jx′4 ; x4 = L44x

′4 (17.22)

de las Ecs. (17.22) vemos que la velocidad relativa (normalizada a unidades de c) del origen de S ′ tieneentonces las siguientes componentes

βj =xjct

=ixjx4

=iL4jx

′4

L44x′4=iL4j

L44(17.23)

combinando las Ecs. (17.18, 17.23) se obtiene

L244

(1 +

L4jL4j

L244

)= 1 ⇒ L2

44

[1 −

(iL4j

L44

)2]

= 1

L244 (1 − βjβj) = 1 (17.24)

podemos ver que |βj| esta entre cero y uno usando la primera desigualdad en (17.19) aplicada a (17.23)

|βj |2 =

∣∣∣∣iL4j

L44

∣∣∣∣2

≤∣∣∣∣L4jL4j

L44

∣∣∣∣2

≤ 1

por otra parte, despejando el valor de L44 en terminos de β en (17.24) se obtiene3

L44 =(1 − β2

j

)−1/2= γ (17.25)

2La identidad tiene L44 = 1 como se puede ver de (17.10) con v = 0. Con un argumento similar al que se uso paratransformaciones ortogonales impropias en R3, no es de esperarse que para una transformacion contınua haya un cambioabrupto desde la identidad (con L44 = 1) hasta un valor de L44 ≤ −1 sin pasar por estados intermedios. Por lo tanto, lasmatrices con L44 ≤ −1 contienen al menos una transformacion discreta.

3Notese que en (17.25) hemos asumido que L44 ≥ 1 al tomar la raız cuadrada positiva.


construyendo entonces una transformacion de Lorentz pura P (β) asociada al vector velocidad relativa delorigen de S ′ Ec. (17.23), vemos que la transformacion inversa debe ser P (−β). Ahora teniendo en cuenta(17.20) se encuentra entonces que la matriz R se puede despejar

L = RP (β) ⇒ LP (−β) = RP (β)P (−β)

⇒ R = LP (−β) (17.26)

se puede demostrar formalmente que este producto entre P (−β) y L corresponde a una rotacion en elespacio usando los elementos matriciales de P (−β) y la ortogonalidad de L. No obstante se puede vergeometricamente que en la Ec. (17.20), el sistema intermedio de coordenadas definido por P (β) esta enreposo respecto al sistema final de ejes de modo que R solo puede girar las coordenadas. Esta descomposicionnos permite deducir que los parametros independientes siempre seran las tres componentes de la velocidadrelativa entre los sistemas y los tres grados de libertad de la rotacion espacial (por ejemplo los angulos deEuler).

Por otro lado, puede demostrarse que la composicion de transformaciones de Lorentz puras no es engeneral otra transformacion de Lorentz pura a menos que sean paralelas las velocidades relativas de lastransformaciones sucesivas. El caso general es muy complejo y poco ilustrativo, veamos entonces un calculosencillo que posee amplias aplicaciones en Fısica moderna dando origen al efecto llamado precesion deThomas.

Tomaremos tres sistemas inerciales con orıgenes O1, O2, O3. El sistema O1 es el laboratorio y O2 tienevelocidad β relativa a O1. O3 se mueve con velocidad β ′ relativa a O2. Sin perdida de generalidad se puedetomar a β en la direccion de x3 de O1 y a β′ lo podemos tomar sobre el plano x2x3 de O2 de modo que β yβ′ definen el plano x2 − x3 de O2. Supondremos que las componentes de β ′ son muy pequenas de modo quesolo las conservamos hasta el menor grado no nulo. Con esto, γ ′ para la transformacion entre O2 y O3 sepuede sustituır por la unidad. Con base en lo anterior la matriz L que nos lleva de O1 a O2 tiene la formadada por (17.12) y la matriz que nos lleva de O2 a O3 se escribe usando la aproximacion γ ′ ∼= 1 en (17.10)

L′jk = δjk ; L′

j4 = iβ′j ; L′4k = −iβ′

k ; L′44 = 1

y recordando que por construccion β ′1 = 0, explıcitamente queda

L′ =

1 0 0 00 1 0 iβ′

2

0 0 1 iβ′3

0 −iβ′2 −iβ′3 1

siendo β′2, β

′3 las componentes de β ′. La matriz producto con la misma aproximacion esta dada por

L′′ = L′L =

1 0 0 00 1 0 iβ′

2

0 0 1 iβ′3

0 −iβ′2 −iβ′3 1

1 0 0 00 1 0 00 0 γ iβγ0 0 −iβγ γ

=

1 0 0 00 1 βγβ′

2 iγβ′20 0 γ + βγβ′

3 iβγ + iγβ′3

0 −iβ′2 −iβγ − iγβ ′

3 γ + βγβ′3

L′′ = L′L ∼=

1 0 0 00 1 ββ′

2γ iβ′2γ0 0 γ iβγ0 −iβ′

2 −iβγ γ

(17.27)

donde se ha despreciado β ′3 frente a β por considerar a β ′ pequena. Se puede ver que (17.27) no representa

una transformacion de Lorentz pura ya que por ejemplo los elementos L′′ij de las coordenadas espaciales no

son simetricos como lo demandan las Ecs. (17.10) para transformaciones de Lorentz puras. Usando la Ec.(17.23), podemos ver que las componentes de la velocidad relativa entre O1 y O3 se escriben en la forma

β′′2 =iL′′

42

L′′44

=β′2γ

; β′′3 = β ; β′′1 = 0 (17.28)


dado que (β ′′)2 = (β′′2 )2 + (β′′3 )2 ' β2 y por tanto γ ′′ ' γ, podemos aproximar la transformacion de Lorentzpura asociada a la velocidad relativa β ′′ reemplazando estas aproximaciones en (17.10)

Ljk = δjk +β′′j β

′′k

β′′2(γ′′ − 1

) ∼= δjk +β′′j β

′′k

β2(γ − 1) ; Lj4 = iβ′′j γ

′′ ∼= iβ′′j γ′′

L4k = −iβ′′kγ

′′ ∼= −iβ′′kγ ; L44 = γ′′ ; (17.29)

y combinando las Ecs. (17.28, 17.29) podemos construır P (β). Escribiremos P (−β) que es el que nos interesa

P(−β′′

)=

1 0 0 0

0 1β′2βγ (γ − 1) −iβ ′

2

0β′2βγ (γ − 1) γ −iβγ

0 iβ′2 iβγ γ

y usando la Ec. (17.26) podemos encontrar la matriz de rotacion correspondiente de los ejes de O3 conrespecto a O1. Suprimiendo los terminos de orden superior en β ′ se obtiene

R = L′′P(−β′′

)=

1 0 0 0

0 1β′2βγ (γ − 1) 0

0 − β′2βγ (γ − 1) 1 0

0 0 0 1

(17.30)

como esta rotacion es a primer orden en β ′2 se puede comparar con una rotacion infinitesimal4. Comparando

entonces la submatriz 3×3 superior izquierda (17.30) con la matriz infinitesimal (??) se obtiene que (17.30)esta asociada a una rotacion alrededor del eje x1 con un angulo (pequeno) dado por

∆Ω1 =β′2βγ

(γ − 1) = β′′2β

(γ − 1)

β2

este es entonces un ejemplo concreto de dos transformaciones de Lorentz a ejes paralelos sucesivas (boostsde Lorentz) que dan como resultado la combinacion de un boost con una rotacion. Esta paradoja tieneimporantes aplicaciones especialmente en Fısica atomica como veremos a continuacion.

Consideremos una partıcula que se mueve en el laboratorio con una velocidad v no constante, el sistemaen el cual esta partıcula esta en reposo no es inercial y por tanto no es aplicable el formalismo anterior.Para obviar esta dificultad, consideraremos un conjunto de sistemas inerciales todos coincidentes con eloriginal en t = 0 y que viajan a diferentes valores de velocidad relativa (todos los valores de velocidad quese requieran). En consecuencia, la partıcula estara en reposo instantaneo con respecto a alguno de estossistemas de referencia en cualquier instante de tiempo.

Pensemos que O1 es el sistema del laboratorio y que O2 y O3 son sistemas en los cuales la partıculaesta en reposo instantaneo en dos tiempos t2 y t3 respectivamente. De acuerdo con las Ecs. (17.28), elobservador O1 vera en el tiempo ∆t = t3− t2 una variacion ∆v en la velocidad de la partıcula que solo tienecomponente x2 de valor β ′′

2 c.

∆Ω1 =β′′2 cc

v

c

(γ − 1)

v2/c2= (∆v) v

(γ − 1)

v2

Dado que el eje x3 se ha tomado a lo largo de v, y que ∆v va alo largo de x2, la ecuacion anterior se puedeescribir en forma vectorial. El vector asociado a la rotacion (pequena) durante este tiempo se puede escribir

∆Ω = − (γ − 1)v × ∆v

v2

4Las ecuaciones desarrolladas en la seccion (??) son validas para matrices infinitesimales pero tambien son aproximadamentevalidas para rotaciones finitas suficientemente pequenas como para permitir mantener solo terminos de primer orden.

17.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ USANDO ESPACIOS DE RIEMANN DE CUATRO DIMENSIONES349

de modo que si la partıcula tiene alguna direccion especıfica asociada a ella (como un vector de espın), elsistema del laboratorio observara que esta direccion experimenta una precesion de velocidad angular

ω = − (γ − 1)v × a

v2(17.31)

siendo a la aceleracion de la partıcula vista desde O1. La Ec. (17.31) aparece con frecuencia en la literaturaen la forma que posee cuando se toma el lımite de velocidad pequena que permite aproximar a γ

ω =1

2c2(a× v)

ω es la frecuencia de precesion de Thomas.

17.2. Transformaciones de Lorentz usando espacios de Riemann de cu-atro dimensiones

Una forma alternativa de trabajar el espacio en donde ocurren las transformaciones de Lorentz es asumirque el espacio tetradimensional es real de modo que la cuarta coordenada (deniminada la coordenada cero enla notacion mas usual) se escribe como x0 ≡ ct. Debemos por supuesto mantener el postulado fundamentalde que la luz se propague a la misma velocidad en todos los sistemas, lo cual se manifiesta como la invarianzade la cantidad dada en la ecuacion (17.4). Para que esta cantidad siga representando el modulo al cuadradode un vector en un espacio real, es necesario que el espacio deje de ser euclıdeo y se convierta en un espaciode Riemann con tensor metrico diagonal definido por

G =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

(17.32)

donde los ındices 1230 representan las tres coordenadas espaciales y la coordenada temporal. El modulo alcuadrado de un vector en tal espacio viene dado por

xGx = xixi − x20 = xixi − c2t2 (17.33)

que nos representa al invariante que queremos. Una transformacion de Lorentz homogenea es una transfor-macion lineal en este espacio real que mantiene invariante este modulo de los vectores. Es evidente que lamatriz asociada a estas transformaciones debe ser real en este espacio, de modo que la denotaremos porΛ. La condicion de invarianza del modulo de los vectores ante una transformacion de Lorentz se escribematricialmente en la forma

x′Gx′ = xGx ⇒ (Λx)G (Λx) = xGx ⇒ xΛGΛx = xGx

y como esto es valido para un vector arbitrario en este espacio, la condicion para las transformaciones deLorentz resulta

ΛGΛ = G (17.34)

La Ec. (17.34) es una transformacion de congruencia que deja invariante al tensor metrico. Haciendo laanalogıa con las matrices ortogonales del espacio euclıdeo (donde el tensor metrico cartesiano es 1), podemosdecir que (17.34) es la condicion de ortogonalidad de Λ en el espacio real de Riemann con tensor metricoG5.

5Es claro que esta condicion se reduce a la ortogonalidad usual cuando G = 1.


La relacion entre las formulas expresadas en el espacio de Minkowski y las expresadas en el espacio realde Riemann se logra con las siguientes asociaciones simples

x4 = ix0 ; Λj0 = iLj4 ; Λ0k = −iL4k (17.35)

en tanto que los demas elementos no varıan, lo cual es de esperarse ya que ambos contienen al subespacioR3 dotado de la misma estructura. A manera de ejemplo, la transformacion de Lorentz pura con velocidadrelativa a lo largo de x3 correspondiente a la Ec. (17.12), tiene la siguiente representacion matricial real eneste espacio de Riemann

Λ =

1 0 0 00 1 0 00 0 γ −βγ0 0 −βγ γ

el producto escalar se escribe usando el tensor metrico

(x,y) ≡ xGy =yGx = (y,x)

xGy = xµgµνyν

donde la igualdad entre (x,y) y (y,x) viene dada por el caracter real de este producto interno. La condicionde ortogonalidad de la Ec. (17.34) garantiza la invarianza del producto escalar ante una transformacion deLorentz Λ.

Es usual escrbir estas formulas de manera mas compacta mediante un conveniente cambio de notacion.Supongamos que formamos un vector en el espacio de Riemann con los elementos de coordenadas dxµ yestudiemos su comportamiento ante una trasnformacion general de coordenadas del tipo

yν = fν (x1, x2, ...)

se encuentra que las propiedades de transformacion de dxµ son

dyν =∂fν∂xµ

dxµ =∂yν∂xµ

dxµ (17.36)

las derivadas son los elementos de la matriz jacobiana de la trasnforamcion entre (x) e (y). Cuando latrasnformacion A es lineal, serıan simplemente los elementos matriciales Aνµ. Por otro lado, las componentesde un vector gradiente se transforman de acuerdo con al ecuacion

∂

∂yν=∂xµ∂yν

∂

∂xµ(17.37)

notese que en (17.37) los coeficientes corresponden a los elementos de la matriz jacobiana de la transformacioninversa de (y) hacia (x). Los vectores que se transforman de acuerdo con la regla dada por la Ec. (17.36) sedenominan vectores contravariantes y se denotan con supraındices

D′ν =∂yν∂xµ

Dµ

en contraste, los vectores que transforman de la manera prescrita por la Ec. (17.37) se denominan covariantesy se denotan con subındices

F ′ν =

∂xµ∂yν

Fµ

El producto de las matrices jacobianas correspondientes a una transformacion y a su inversa debe ser lamatriz unidad ya que corresponde a pasar de (x) a (y) y volver de nuevo a (x). De aquı se desprende

17.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ USANDO ESPACIOS DE RIEMANN DE CUATRO DIMENSIONES351

que el poducto interno entre un vector contravariante y un vector covariante queda invariante ante latrasnformacion,

D′νF ′ν =

∂yν∂xµ

∂xρ∂yν

DµFρ = δµρDµFρ = DµFµ

en el caso de espacios cartesianos, no hay diferencia entre vectores covariantes y contravariantes ante transfor-maciones lineales ortogonales. Si la matriz A describe la transformacion, un vector contravariante transformasegu la prescripcion

D′ν = AνµDµ

en tanto que un vector covariante transforma en la siguiente forma

F ′ν =

(A−1

)µνFµ =

(A)µνFµ = AνµFµ

de modo que no es necesario distinguir hasta ahora entre los dos tipos de comportamiento ante la transfor-macion.

De la misma manera en que definimos tensores cartesianos segun la prescripcion (??) heredada de latransformacion de los vectores, uno define las propiedades de transformacion de tensores de cualquier rangoen espacios no euclıdeos. Por tanto, un tensor covariante G de segundo ordense transforma con la prescripcion

G′µν = Gρλ

∂xρ∂yµ

∂xλ∂yν

y se puede demostrar que la contraccion de un tensor de segundo rango covariante con un tensor de segundorango contravariante (o con dos vectores contravariantes) es invariante ante la transformacion. Similarmente,la contraccion de un tensor de segundo rango covariante con un vector contravariante transforma como unvector covariante

GµνHµν = s1 GµνR

µMν = s2 ; GµνDµ = Fν

donde s1 y s2 son invariantes ante la transformacion (escalares) y Fν es un vector covariante. Veamos lademostracion de la tercera ecuacion

F ′µ = G′

µνD′ν = Gρλ

∂xρ∂yµ

∂xλ∂yν

∂yν∂xτ

Dτ = Gρλ∂xρ∂yµ

δλτDτ = GρλDλ

∂xρ∂yµ

F ′µ = Fρ

∂xρ∂yµ

En un espacio de Riemann el tensor metrico se construye a traves de un elemento diferencial de longitudde arco

(ds)2 = gµνdxµdxν

que se construye de tal manera que sea invariante ante las transformaciones de interes. De esto se desprendeque el tensor metrico es covariante. Notese que en el caso particular de las transformaciones de Lorentz, esto sepuede ver directamente de la condicion de ortogonalidad (17.34) si la escribimos en la forma G = Λ−1GΛ−1

considerada como transformacion de congruencia en G.Vemos entonces que en el espacio de Riemann real de cuatro dimensiones, el producto escalar de dos

vectores contravariantes Aµ, Bν se puede escribir en la forma

gµνAµBν = (gµνA

µ)Bν = AνBν (17.38)

donde hemos tenido en cuenta el caracter covariante del tensor metrico para obtener el vector covarianteAν .En particular, el cuadrado del modulo del vector posicion en el cuadriespacio real se puede escribir en laforma

xnxn


de esta forma los productos internos se pueden construir sin alucion directa al tensor metrico, teniendo encuenta que un facto del producto escalar se sustituye por el vector covariante que se obtiene al contaer conel tensor metrico como se ve en (17.38). Si nos interesa el producto escalar de dos vectores covariantes,debemos “subir” el ındice por contraccion con el inverso del tensor metrico, el cual se puede demostrar quees contravariante. En el caso del cuadriespacio real donde el tensor metrico es diagonal con elementos ±1son sus propios inversos y no hay diferencias entre tensores metricos covariantes y contravariantes.

Es claro que esta no es la unica forma de construır el tensor metrico, el cual fue disenado para generar elinvariante (17.33) por medio del modulo al cuadrado del vector posicion en tal espacio, podemos en cambioconsturır el invariante en la forma

xG′x ≡ xµG′µνxν = −xixi + c2t2

de modo que el tensor metrico queda

G =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

(17.39)

es claro que bajo la metrica (17.39) se mantiene invariante la velocidad de la luz y las matrices Λ quedescriben a las transformaciones de Lorentz no se modifican. Todo el formalismo permanece inalteradoexcepto que el producto interno cambia de signo6. El tensor G tiene la signatura (+ + +−) en tanto que eltensor G′ tiene la signatura (−−−+). Tambien podemos identificarlos por sus trazas TrG = 2, TrG ′ = −2.

El uso del formalismo de Minkowski o de Riemann presenta cada uno sus ventajas y desventajas. Enteorıa general de la relatividad sera necesario usar la metrica de un esapcio curvo para lo cual es muyadecuado el uso de espacios de Riemann, por otro lado en meca´nica cuantica donde la funciones de onda ovectores de estado son complejos, el uso de una coordenada compleja complica la operacion de conjugacioncompleja. Por otro lado, cuando nos restringimos al marco de la relatividad especial, las operaciones en elespacio de Minkowski suelen tener analogıas muy cercanas al esapcio euclıdeo y no es necesaria la distincionentre vectores covariantes y contravariantes, debido a la trivialidad del tensor metrico. En todo caso lamayorıa de formulas presentan el mismo aspecto en ambos casos o su transicion de uno a otro esquema esmuy sencilla. Un aspecto comun en ambos formalismos es la idea de que elemento de longitud de arco tieneun caracter indefinido, pues (ds)2 puede ser positivo, negativo o cero.

17.3. Formulaciones covariantes en el espacio de Minkowski

El primer postulado de la relatividad especial nos dice que las leyes de la Fısica deben poseer la mismaforma en todos los sistemas inerciales. Por lo tanto, es de gran importancia poder verificar que las leyes dela naturaleza sean invariantes en forma bajo las transformaciones de Lorentz. Esta verificacion se facilitaenormenente con la introduccion del concepto de tensor de Minkowski.

Cuando hablamos de la invarianza ante transformaciones de Lorentz, nos referimos tanto a los boostscomo a las rotaciones en el espacio ordinario. Como la invarianza ante rotaciones tridimensionales nos esmas familiar podemos usar esta invarianza como modelo para establecer un metodo que se generalice a todaslas transformaciones de Lorentz.

Ya hemos definido los tensores euclidianos y su comportamiento bajo rotaciones. Para satisfacer elrequerimiento de que una ley de la Fısica sea invariante ante rotaciones tridimensionales es usual escribirlas ecuaciones que expresan esa ley de modo que todos sus terminos sean escalares o todos vectoriales(en el sentido euclidiano). Mas en general, todos los terminos deben ser tensores del mismo rango y este

6En ambos casos el tensor G describe una pseudometrica ya que la norma de un vector en este espacio no esta necesariamentedefinida positiva.

17.3. FORMULACIONES COVARIANTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI 353

requisito asegura de manera automatica la invarianza de la forma de la ecuacion ante una rotacion de losejes espaciales. Por ejemplo una relacion escalar tiene la forma general

a = b

y dado que los dos miembros de la igualdad por ser escalares euclidianos son invariantes ante rotacionesespaciales de los ejes, es evidente que la relacion sera valida para todos los sistemas de coordenadas conorigen comun. Una relacion vectorial sera de la forma

F = G

que se puede escribir en terminos de tres relaciones numericas entre las componentes7

Fi = Gi (17.40)

Claramente, estas componentes no son invariantes ante rotaciones espaciales. En general, se transforman anuevas componentes F ′

i , G′i que son las componentes de los vectores transformados (pasivamente) F′, G′.

Pero como los dos miembros de las ecuaciones se transforman de igual manera, entre las componentestransformadas se debe cumplir la misma relacion

F ′i = G′

i

y por tanto la relacion vectorial tambien se preserva con la rotacion espacial; en el nuevo sistema coordenadoescribimos

F′ = G′

Es importante enfatizar que la invarianza en la forma se debe a que ambos miembros de la ecuacion sonvectores. Decimos que los terminos de la ecuacion son covariantes. Es necesario aclarar que el concepto decovarianza empleado aquı tiene un significado muy distinto al de la covarianza de vectores en el espacio deRiemann. La covarianza en espacios de Riemann se refiere a la propiedad segun la cual algunos vectorestransforman bajo un cambio de coordenadas segun la matriz jacobiana de la transformacion, en este escenarioel termino se usa por contraposicion a los vectores (o tensores) contravariantes que transforman con el inversode la matriz jacobiana bajo el cambio de coordenadas. En el caso que nos ocupa ahora, la covarianza se definepara los terminos de una ecuacion que expresa alguna ley de la Fısica, para indicar que todos los terminosinvolucrados en la ecuacion (escalares, vectores, tensores) transforman en la misma manera de modo que semantiene la forma de la ecuacion.

La covarianza por supuesto se puede generalizar para ecuaciones que involucran tensores de orden ar-bitrario, si tenemos una ecuacion tensorial de la forma C = D los tensores transformados implicaran lamisma igualdad C′ = D′ siempre que los tensores de ambos miembros sean del mismo rango. Porejemplo, si una ecuacion posee terminos que son escalares, otros que son vectores etc, no se podra mantenerinvariante ante una transformacion ortogonal tridimensional. Podemos concluir que la invarianza de una leyFısica ante una rotacion del sistema de coordenadas espaciales, exige la covarianza de los terminos de laecuacion ante transformaciones ortogonales tridimensionales.

Vamos ahora al espacio extendido de Minkowski o espacio de universo. El manejo allı es identico unavez que hemos caracterizado a las transformaciones ortogonales en este espacio y por ende la estructurade sus tensores de cualquier rango. A los tensores en este espacio los llamamos tensores de Minkowski otensores de universo, genericamente escalares de universo, vectores de universo (cuadrivectores), etc. Enconsecuencia, la invarianza de una ley Fısica ante transformaciones de Lorentz sera inmediata si se expresaen forma cuadridimensional covariante, de modo que todos los terminos son tensores de universo del mismorango. De lo anterior se deriva que una teorıa Fısica en el marco de la relatividad especial solo tiene validezsi es covariante ante transformaciones de Lorentz (boosts y rotaciones espaciales).

7Notese que las Ecs. (17.40) son relaciones numericas pero no son relaciones escalares.


Notemos por ejemplo que el producto de un numero por un cuadrivector solo sera otro cuadrivector siel numero es un escalar de universo. Supongamos que α es un numero que no es escalar de universo, en unsistema S el producto de este numero por un cuadrivector es

αF = W

ante una transformacion de Lorentz, F y W transforman como cuadrivectores con una cierta matriz Mde transformacion, por otro lado α′ transforma en la forma α′ = Nα siendo N un operador diferente a laidentidad (ya que no es escalar de universo). Tenemos entonces

α′F′ = (Nα) (MF) = NM (αF) ; W′ = MW ⇒ α′F′ 6= W′

por tanto si W es cuadrivector αF no lo es y la ecuacion no es covariante de Lorentz. La ecuacion se vuelvecovariante si N = 1.

Finalmente, notemos que una ecuacion pude ser covariante sin ser manifiestamente covariante. Porejemplo, supongamos que tenemos una ecuacion de la forma

Fµν + Tµν + Hµν = Rµν

y supongamos que Fµν , Tµν , Hµν no son tensores de universo pero que Rµν sı lo es. En general esta ecuacionno sera covariante, pero puede ocurrir que la suma de los tres terminos no tensoriales sı transforme comoun tensor gracias a ciertos efectos de cancelacion, ciertamente si estos terminos no son tensores sera muchomas complejo demostrar la covarianza de la ecuacion (si es que es covariante). Esta anotacion es util, porquea menudo ocurre que se construye una teorıa en forma manifiestamente covariante, pero luego para efectospracticos de calculo se transforma a una estructura en donde la covarianza no es evidente.

El ejemplo mas simple de cuadrivector de Lorentz es el vector de posicion de un “punto” en el espaciode Minkowski o de universo, donde sus componentes se denotan por (x1, x2, x3, x4). Las cuatro coordenadasde un punto de universo nos dice cuando (tiempo) y donde (espacio) ha ocurrido un suceso, a todo puntode este espacio se le llama entonces un suceso o un evento.

Cuando una partıcula en el espacio ordinario sigue una determinada trayectoria, su punto representativoen el espacio de Minkowski describe una trayectoria conocida como lınea de universo. El cuadrivector dxµrepresenta la variacion del cuadrivector posicion para un movimiento diferencial a lo largo de la lınea deuniverso. Este termino multiplicado por sı mismo es un invariante de Lorentz de modo que representa unescalar de universo denominado dτ

(dτ)2 = − 1

c2dxµdxµ (17.41)

para elucidar el significado Fısico de dτ evaluaremos (17.41) en un sistema inercial en el cual la partıculaeste en reposo instantaneo. En este sistema el cuadrivector transformado dx ′

µ asociado a esta partıculaesta descrito por (0, 0, 0, icdt′) y el invariante dτ se escribe

(dτ)2 = − 1

c2dx′µdx

′µ =

(dt′)2

con lo que se ve que dτ es el intervalo de tiempo medido por un reloj que se mueva con la partıcula, que sedenomina el tiempo propio o tiempo de universo.

Ahora veamos la relacion entre dτ y el intervalo de tiempo correspondiente a un cierto sistema inercialdt, usando la Ec. (17.41)

(dτ)2 = − 1

c2

[(dx1)

2 + (dx2)2 + (dx3)

2 + (dx4)2]

= − 1

c2

[(dx1)

2 + (dx2)2 + (dx3)

2 − c2 (dt)2]

dτ = (dt)

√√√√1 − 1

c2

[(dx1

dt

)2

+

(dx2

dt

)2

+

(dx3

dt

)2]


que se puede escribir en la forma

dt =dτ√

1 − β2(17.42)

debemos tener en cuenta que en este caso β nos esta representando la velocidad de una partıcula conrespecto a un sistema de referencia inercial S. Este es un uso diferente al que se le ha dado hasta ahora comovelocidad relativa (normalizada a c) de un cierto sistema de referencia inercial S ′ con respecto a otro sistemainercial S. Por supuesto, se puede pensar en β como la velocidad relativa del sistema S ′ (con respecto a S)de tal modo que la partıcula esta en reposo instantaneo con respecto a S ′. La Ec. (17.42) nos dice que elintervalo de tiempo medido por el sistema en el cual la partıcula no esta en reposo es siempre mayor que elintervalo de tiempo medido en el sistema en donde la partıcula esta en reposo instantaneo. Este fenomenose conoce como dilatacion del tiempo y ha sido comprobado experimentalmente en diversas situaciones,particularmente en la observacion de las vidas medias de partıculas elementales inestables. La vida mediade estas partıculas se puede medir cuando estas estan en reposo y se compara con su vida media cuandoestan en vuelo a velocidades cercanas a la de la luz.

Hemos visto que el cuadrado del modulo de un cuadrivector no es necesariamente definido positivo.Los cuadrivectores cuyo modulo cuadrado sean positivos se denominan del genero espacial o tambien sedenominan como de espacio o espacialoides. Cuando el modulo es cero (lo cual no significa necesariamenteque el cuadrivector sea cero) se denominan como de luz. Finalmente, cuando su modulo cuadrado es negativose dice que es del genero temporal, como de espacio o espacialoide. Puesto que este modulo al cuadrado es unescalar de universo, esta denominacion no dependera del sistema inercial utilizado. Los nombres se deben aque el modulo de un vector espacial tridimensional es definido positivo al igual que el cuadrivector del generoespacial, adicionalmente un cuadrivector de este genero siempre se puede transformar de tal forma que seanule su cuarta componente (temporal). Por otro lado, un cuadrivector del genero temporal tiene su cuartacomponente no nula, pero se puede transformar de tal forma que se anulen todas sus tres componentesespaciales. A manera de ilustracion veamos el comportamiento del vector diferencia o relativo entre dospuntos de universo. Este vector relativo puede ser del genero espacial temporal o de luz, definiremos a estevector relativo como

Xµ ≡ x1µ − x2µ

donde los subındices 1 y 2 denotan los dos sucesos. El modulo de este cuadrivector relativo sera

XµXµ = |r1 − r2|2 − c2 (t1 − t2)2

de modo que Xµ sera del genero espacial si los dos puntos de universo estan separados de modo que

|r1 − r2|2 > c2 (t1 − t2)2

sera como de luz si se cumple la igualdad

|r1 − r2|2 = c2 (t1 − t2)2

y finalmente sera del genero temporal si

|r1 − r2|2 < c2 (t1 − t2)2

la condicion para que el vector diferencia sea temporal equivale a decir que se puede cubrir la distancia entrelos dos eventos o sucesos mediante una senal luminosa (e incluso algunas senales mas lentas que la luminosa),en cuyo caso se habla de sucesos o eventos causalmente conectados. La condicion de cuadrivector del generoespacial equivale a que estos eventos no podran conectarse con ninguna onda luminosa o senal que viajea velocidad menor o igual que c, decimos que los eventos estan causalmente desconectados. Finalmente, siel cuadrivector diferencia es como de Luz, solo una senal que viaje a velocidad c podra conectar a estossucesos (y no se pueden conectar con senales que viajen a velocidades menores), claramente estos son eventoscausalmente conectados.


Podemos elegir el eje x3 de modo que quede alineado con los ejes espaciales r1 − r2 del cuadrivectorrelativo. En tal caso se tiene que |r1 − r2| = x3(1) − x3(2). Si realizamos una transformacion de Lorentzpura con velocidad v a lo largo de x3 podemos aplicar las transformaciones dadas en (17.1) para la cuartacomponente de Xµ

t′1 =

(t1 − vx3(1)

c2

)

√1 − β2

; t′2 =

(t2 − vx3(2)

c2

)

√1 − β2

t′1 − t′2 =

(t1 − vx3(1)

c2

)

√1 − β2

−

(t2 − vx3(2)

c2

)

√1 − β2

=

(t1 − t2 − vx3(1)−vx3(2)

c2

)

√1 − β2

c(t′1 − t′2

)=

c (t1 − t2) − vc

[x3(1) − x3(2)

]√

1 − β2(17.43)

si Xµ es del genero espacial y los sucesos son tales que t1 > t2 nos queda que

c (t1 − t2) < x3(1) − x3(2)

y sera posible encontrar una velocidad v < c de modo que se anule la cuarta componente ic (t ′1 − t′2) ≡ X ′4.

Fısicamente la anulacion de la componente temporal significa que es posible encontrar un sistema inercialque viaje a velocidad v < c en el cual los dos sucesos sean simultaneos. Adicionalmente, tambien es posibleencontrar valores de v < c que haga que el miembro de la derecha en (17.43) se vuelva negativo lo cualindicarıa que t′2 > t′1, de modo que encontramos un sistema de referencia inercial en el cual se invierte lasecuencia de los sucesos. El que pueda invertirse la secuencia de sucesos entre eventos del genero espacial noconstituye una violacion de la causalidad ya que estos eventos estan causalmente desconectados y no haymanera de que un suceso pueda influır en el otro. Por ejemplo, nada de lo que ocurra ahora en la tierrapuede afectar a la estrella alfa centauri dentro de los siguentes cuatro anos en virtud de su distancia a latierra de unos cuatro anos luz.

En contraste, para separaciones del genero temporal entre sucesos, no es posible encontrar una trans-formacion de Lorentz que los haga simultaneos y menos aun que pueda invertir el orden temporal de lossucesos. Ası debe ser puesto que estos eventos sı estan causalmente conectados y pueden influır el uno sobreel otro. Esto implica que el antes y el despues, o la causa y el efecto, son conceptos invariantes de Lorentzy se preserva la causalidad.

Es importante establecer la generalizacion relativista de las cantidades Newtonianas mas importantes.Por ejemplo la velocidad

vi =dxidt

no puede extrapolarse de manera inmediata para construır un cuadrivector de Lorentz ya que la cantidadvµ = dxµ/dt es el producto de un cuadrivector (dxµ) con una cantidad que no es escalar (dt no es invariantede Lorentz) de modo que el resultado no es un cuadrivector. El invariante mas obvio asociado a dt es eltiempo propio τ de modo que resulta natural definir la cuadrivelocidad uν como la variacion por unidad detiempo del vector de posicion de una partıcula (medida en un sistema S) con respecto al tiempo propio dedicha partıcula (invariante)

uν =dxνdτ

=dxν

dt√

1 − β2(17.44)

cuyas componentes espacial y temporal son

ui =dxi

dt√

1 − β2=

vi√1 − β2

; u4 =dx4

dt√

1 − β2=

ic√1 − β2

(17.45)

la cuadrivelocidad (o velocidad de universo) modulo cuadrado es invariante de Lorentz

uνuν =v2

1 − β2− c2

1 − β2= −c2 (17.46)


y es ademas del genero temporal. Por supuesto, la cuadrivelocidad no tiene un significado Fısico directo yaque para medir dxν y dτ se estan usando en general sistemas de referencia diferentes. Sin embargo, la Ec.(17.45) nos muestra que la cuadrivelocidad contiene toda la informacion sobre la velocidad Fısica y tiene laventaja de que si escribimos las expresiones en terminos de la cuadrivelocidad, sera mas facil chequear lacovarianza de las ecuaciones gracias a la naturaleza cuadrivectorial de uν .

Otro cuadrivector de enorme importancia es el cuadrivector jµ formado con la corriente electrica j unidacon la cantidad icρ siendo ρ la densidad de corriente electrica. Para obtener esta forma cuadrivectorialcomenzamos con la ecuacion de continuidad

∇ · j +∂ρ

∂t= 0

que me expresa la conservacion de la carga, si asumimos que la conservacion de la carga es valida en todos lossistemas de referencia inerciales, entonces esta ecuacion debe conservar su forma ante una transformacion deLorentz. Dado que j esta asociado en la ecuacion de continuidad a derivadas en el tiempo es razonable pensarque haga parte de las componentes espaciales de un cuadrivector, similarmente dado que ρ esta asociado auna derivada temporal resulta razonable pensar que hace parte de la componente temporal del cuadrivector.Para escribir esta ecuacion en forma manifiestamene covariante escribamosla en componentes

∂jk∂xk

+∂ρ

∂t= 0 ⇒ ∂jk

∂xk+∂ (icρ)

∂ (ict)= 0 ⇒ ∂jµ

∂xµ= 0

⇒ ∂µjµ = 0 ; jµ ≡ (j1, j2, j3, icρ) (17.47)

Dado que ∂µ es un cuadrivector, se tiene que jµ tambien debe serlo si la ecuacion de continuidad ha de sercovariante, es decir si la carga se ha de conservar en todos los sistemas inerciales. Por otro lado, se puedever a jµ como el cuadrivector ρ0uµ siendo ρ0 la densidad de carga en el sistema en el cual las cargas estanen reposo, es decir es la densidad de carga propia.

Por otro lado, el operador cuadrigradiente se transforma en el espacio de Minkowski como un cuadrivec-tor8

∂

∂x′ν=∂xµ∂x′ν

∂

∂xµ= L′

µν

∂

∂xµ= Lνµ

∂

∂xµ

donde hemos usado la ortogonalidad de L. Vemos pues que la cantidad ∂µjµ es invariante ante una trans-formacion de Lorentz (escalar de universo) ya que es la contraccion de dos cuadrivectores. Este ejemplo nosmuestra una forma de escribir una ley Fısica en una forma manifiestamente covariante.

Veamos otro ejemplo de cuadrivector muy importante en la Fısica. Es bien conocido de la teorıa clasicaelectromagnetica que los potenciales escalar y vectorial obedecen ecuaciones de onda desacopladas

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cj ; ∇2φ− 1

c2∂2φ

∂t2= −4πρ (17.48)

siempre y cuando se imponga la condicion de Lorentz.

∇ · A +1

c

∂φ

∂t= 0 (17.49)

Notese que la condicion de Lorentz es semejante en estructura a la ecuacion de continuidad, por ello usandoun argumento similar al usado para la ecuacion de continuidad es natural pensar que A esta asociado alas componentes espaciales de un cuadrivector y φ a la componente temporal. Esta asociacion parece estarreforzada por las Ecs. (17.48) donde A tiene como fuente a j (que a vez forma parte de la componente espacial

8Recordemos que en la formulacion de espacios de Riemann, este operador se transforma covariantemente y la ecuacion(17.47) es el producto escalar de un vector covariante con un contravariante, esto se denota como ∂µj

µ = 0. En general losinvariantes en el espacio de Riemann son combinaciones de tensores covariantes con tensores contravariantes, de modo quedeben escribirse con ındice arriba contraıdo con ındice abajo e.g. jµkµ, k

µνpµν .


del cuadrivector jµ) en tanto que φ tiene como fuente a ρ (donde este ultimo es parte de la componentetemporal de jµ). Comencemos por la condicion gauge Ec. (17.49) que se puede reescribir como

∂iAi +∂ (iφ)

∂ (ict)= 0 ⇒ ∂µ =

(∇, ∂

∂x4

)=

(∇, ∂

∂ict

); Aµ ≡ (A, iφ) (17.50)

⇒ ∂µAµ = 0 (17.51)

las Ecs. (17.48) se pueden reescribir en la forma

∇2A +∂2A

∂ (ict)2= −4π

cj ; ∇2iφ− 1

c2∂2iφ

∂t2= −4π

cicρ (17.52)

definimos el operador de D’Alembert en la forma

2 ≡ ∇2 − 1

c2∂2

∂t2= ∇2 +

∂

∂ (ict)2= ∂i∂i + ∂4∂4

2 ≡ ∂µ∂µ =∂2

∂xµ∂xµ

las Ecs. (17.52) en el espacio de Minkowski quedan

2A = −4π

cj ; 2iφ = −4π

cicρ

que se puede condensar en una sola ecuacion cuadrivectorial con jµ = (j, icρ)

2Aµ = −4π

cjµ (17.53)

Las Ecs. (17.51) y (17.53) estan escritas de manera manifiestamente covariante. En (17.51) ambos miembrosson escalares de universo, en tanto que en (17.53) ambos miembros son vectores de universo, pues el operadorde D’Alembert es un escalar de universo. Estas ecuaciones demuestran que la teorıa electromagnetica deMaxwell es covariante con respecto a las transformaciones de Lorentz de modo que esta descrita por larelatividad especial y no por la relatividad de Galileo. El lector puede verificar que el uso del gauge deCoulomb ∇ ·A = 0 hace mucho mas difıcil el proceso de colocar las ecuaciones de manera manifiestamentecovariante.

17.4. Fuerza y energıa en relatividad

Las leyes de Newton son invariantes de Galileo y por tanto no son invariantes de Lorentz. En consecuencia,es necesario encontrar una generalizacion adecuada de fuerza cuya ley fundamental satisfaga los requisitosde covarianza ante transformaciones de Lorentz. Naturalmente, debemos tambien exigir que las ecuacionesrelativistas se reduzcan a la ecuacion dinamica fundamental de Newton en el lımite β → 0

d

dt(mvi) = Fi (17.54)

es facil ver que las componentes espaciales de un cuadrivector forman un vector espacial, ya que las trans-formaciones de Lorentz contienen a las rotaciones espaciales (L4i = Li4 = 0 y L44 = 1). No obstante, elrecıproco no es cierto, las componentes de un vector espacial no se transforman necesariamente como loharıan las componentes espaciales de un cuadrivector. Por ejemplo, se puede multiplicar a las componentesdel trivector por una funcion cualquiera de β y sus propiedades de rotacion no se alteran. En cambio, es-ta multiplicacion sı alterarıa las propiedades de transformacion de las tres componentes espaciales de uncuadrivector ante una transformacion de Lorentz. En concordancia con esto, las componentes espaciales de

17.4. FUERZA Y ENERGIA EN RELATIVIDAD 359

la cuadrivelocidad uν forman un vector espacial v/√

1 − β2. Sin embargo, la v no hace parte de ninguncuadrivector, para que lo sea debe dividirse por

√1 − β2.

Primero buscaremos una generalizacion cuadrivectorial del miembro izquierdo en (17.54), es claro que lacuadrivelocidad definida en (17.45) posee una parte espacial que se reduce a v cuando β → 0. Tomaremosa m como un invariante que lo llamaremos la masa en reposo o masa propia de la partıcula. En cuando altiempo t, este no es un invariante relativista pero sabemos que el tiempo propio τ sı es un invariante queademas se reduce a t cuando β → 0. Los argumentos anteriores sugieren que la generalizacion de la ley deNewton (17.54) para una partıcula tenga la forma

d

dτ(muν) = Kν (17.55)

donde Kν debe ser un cuadrivector llamado fuerza de Minkowski.Notese que en general las componentes espaciales de Kν no tienen que coincidir con las componentes

de la fuerza, salvo por supuesto en el lımite no relativista con β → 0. Podemos pensar por ejemplo que K i

se puede construır como el producto de Fi con cierta funcion h (β) que se reduzca a la unidad en el lımiteno relativista. Para conocer la forma de h (β) debemos conocer el comportamiento de la fuerza ante unatransformacion de Lorentz. Utilizaremos dos procedimientos.

En el primer procedimiento, tendremos en cuenta que las fuerzas fundamentales son solo cuatro: lasinteracciones gravitacional, electromagnetica, nuclear debil y nuclear fuerte. La idea serıa expresar las leyesque gobiernan a estas interacciones de manera covariante. No obstante, no se conoce teorıas covariantespara las fuerzas nucleares, entre otras cosas porque tales interacciones no se pueden modelar clasicamenteen forma satisfactoria (en la teorıa cuantica la fuerza pierde su significado y es reemplazada por la energıapotencial). Sin embargo, en el caso electromagnetico clasico es de esperarse que podamos construır unaexpresion de la fuerza que nos proporcione una ecuacion covariante, despues de todo la teorıa especial dela relatividad fue construıda justamente para que las ecuaciones de Maxwell fueran invariantes de Lorentz.Afortunadamente, esta construccion sera suficiente ya que las propiedades de transformacion de las fuerzasdeben ser las mismas independientemente de su origen. Por ejemplo, el hecho de que una partıcula este enequilibrio (suma de fuerzas cero) debe ser independiente del sistema de referencia inercial utilizado y estosolo es posible si las fuerzas transforman todas igual, incluso si cada una es de diferente naturaleza.

Vimos que a partir de la expresion para la fuerza de Lorentz escrita en terminos de potenciales en lugarde campos, la fuerza electromagnetica que se ejerce sobre una partıcula cargada viene dada por

Fi = −q[∂

∂xi

(φ− 1

cv · A

)+

1

c

dAidt

]

recordando la definicion del cuadripotencial (17.50), y de la cuadrivelocidad (17.45) podemos escribir laexpresion φ− (1/c) v · A en forma covariante

φ− 1

cv ·A = −1

c

√1 − β2uνAν

y las componentes Fi de las fuerzas son

Fi = −q[∂

∂xi

(−1

c

√1 − β2uνAν

)+

1

c

√1 − β2

dAi√1 − β2 dt

]

Fi =q

c

√1 − β2

[∂

∂xi(uνAν) −

dAidτ

](17.56)

una extension cuadrivectorial del termino entre parentesis es de la forma

∂

∂xµ(uνAν) −

dAµdτ


este termino es claramente un cuadrivector, pues el primer termino es la derivada ∂µ (operador cuadrivec-torial) de un escalar de universo, el segundo termino es el producto de un cuadrivector dAµ por un escalarde universo (dτ)−1. En consecuencia, la expresion en parentesis cuadrados en (17.56) esta asociada a lascomponentes espaciales de un cuadrivector. Por tanto, Fi es el producto de

√1 − β2 por la componente

espacial de un cuadrivector, el cual identificamos como la fuerza de Minkowski Kν . Por tanto la relacionentre la fuerza ordinaria y la de Minkowski esta dada por

Fi = Ki

√1 − β2 (17.57)

esta relacion debe ser general e independiente del origen de las fuerzas. Para el caso de partıculas cargadassometidas a un campo electromagnetico, la fuerza de Minkowski se obtiene de la extrapolacion de la expresion(17.56)

Kµ =q

c

[∂

∂xµ(uνAν) −

dAµdτ

](17.58)

En un segundo procedimiento, se define la fuerza como la variacion del momento lineal por unidad detiempo, en todos los sistemas de Lorentz se tiene entonces que

Fi =dpidt

(17.59)

pero para ello sera necesario redefinir el momento lineal pi de modo que en el lımite no relativista se reduzcaa mvi. Podemos hallar la forma que toma el momento y el significado de Kµ haciendo que la Ec. (17.55)se parezca en lo posible a (17.59). A partir de la relacion entre τ y t y de la definicion de cuadrivelocidad,podemos escribir las componentes espaciales de (17.55) en la forma

d

dt

(mvi√1 − β2

)= Ki

√1 − β2 (17.60)

y comparando (17.60) con (17.59) vemos que el teorema de conservacion del momento lineal (reemplazantemas general que la tercera ley de Newton) sera invariante de Lorentz si definimos la cantidad de movimientoen la forma

pi =mvi√1 − β2

(17.61)

y que Fi y Ki esten relacionadas como lo indica la ecuacion (17.57). Notese que la ecuacion (17.61) se reducea mvi cuando β → 0 como se esperaba. Los dos procedimientos conducen entonces a los mismos resultados.Comparando (17.61) con la definicion (17.45) de la cuadrivelocidad vemos que pi es la parte espacial delllamado cuadrivector momento energıa

pν = muν (17.62)

la ecuacion de movimiento generalizada para una partıcula se escribe entonces

dpνdτ

= Kν (17.63)

hasta ahora solo hemos estudiado la parte espacial de las ecuaciones cuadrivectoriales (17.55, 17.63). Paraobtener informacion de la parte temporal hagamos el producto interno de (17.55) por la cuadrivelocidad

uνd

dτ(muν) =

d

dτ

(m2uνuν

)= Kνuν

de (17.46) vemos que uνuν = −c2 y como m es tambien constante, vemos que la expresion de la mitad seanula. Luego

Kνuν ≡ Kiui +K4u4 = 0

17.4. FUERZA Y ENERGIA EN RELATIVIDAD 361

y usando las Ecs. (17.45, 17.57) tenemos

Kνuν ≡Fi√

1 − β2

vi√1 − β2

+K4

(ic√

1 − β2

)=

F · v1 − β2

+icK4√1 − β2

= 0

de modo que la cuarta componente de la fuerza de Minkowski sera

K4 =i

c

F · v√1 − β2

(17.64)

la componente temporal de la Ec. (17.55) se obtiene empleando (17.45) y (17.64)

d

dτ(mu4) = K4 ⇒ 1√

1 − β2

d

dt

(m

ic√1 − β2

)=i

c

F · v√1 − β2

finalmente la cuarta componente de (17.55) queda de la forma

d

dt

(mc2√1 − β2

)= F · v (17.65)

recordemos ahora el escenario no relativista. En este escenario F · v corresponde al trabajo por unidad detiempo que se hace sobre la partıcula dW/dt. Teniendo en cuenta ademas el teorema fundamental del trabajoy la energıa resulta dW = dT siendo T la energıa cinetica. De esto se concluye que

F · v =dW

dt=dT

dt(lımite no relativista)

Extrapolando esta definicion al caso relativista tenemos que

dT

dt= F · v (escenario relativista) (17.66)

Comparando (17.65) con (17.66) se obtiene la generalizacion relativista de la energıa cinetica

T =mc2√1 − β2

(17.67)

en el lımite β2 << 1 esta ecuacion se expande como

T ∼= mc2[1 +

β2

2

]= mc2 +

1

2mv2

Este valor no coincide con el lımite no relativista esperado. Sin embargo, el valor adicional pareciera a prioriser irrelevante ya que se puede adicionar una constante a la derecha de (17.67) que no afectarıa la validezde la Ec. (17.65). Sin embargo, es preferible mantener este valor y conservar la cantidad T en la formadada por (17.67), hay dos buenas razones para mantener esta cantidad: (a) En algunos casos como veremosmas adelante mc2 puede cambiar gracias al cambio en la masa en reposo de las partıculas, por ejemplo encolisiones inelasticas. Esto nos indica que este tipo de energıa se puede intercambiar o transferir y por tantoes Fısicamente relevante y (b) al comparar (17.62) con (17.67) vemos que iT/c es la cuarta componente delcuadrivector momento energıa

pν = (p1, p2, p3, p4) ; pi =mvi√1 − β2

= mui ; p4 =iT

c=

imc√1 − β2

= mu4


Sin embargo, para usar una terminologıa consistente con la newtoniana es preferible definir la energıa cineticacomo la parte de esta energıa que se reduce correctamente al valor no relativista

K ≡ T −mc2 = mc2 (γ − 1)

no existe una unica designacion para T . En ocasiones se le llama energıa total (si bien esto solo serıa apropiadopara partıcula libre) y en otras simplemente energıa. En todo caso T posee propiedades interesantes. Porejemplo se puede demostrar que la T dada por (17.67) se conserva siempre que se conserve el momento linealespacial. Para verificar este teorema, podemos tener en cuenta que la conservacion del momento espacialdebe ser invariante ante una transformacion de Lorentz, en realidad esta invarianza esta implıcita en ladefinicion de sistema inercial dada por Einstein. Las componentes transformadas p ′j seran funciones linealesde las pi pero tambien de p4 i.e. de la energıa T . En consecuencia, la conservacion de p′j para todos lossistemas inerciales exige la conservacion conjunta de todas las componentes de pν . Es facil calcular el valordel invariante pνpν

pνpν = (muν) (muν) = m2uνuν = −m2c2

por otro lado

pνpν = p2 − T 2

c2

de lo cual se obtiene la relacion cinematica fundamental para la relatividad especial

T 2 = p2c2 +m2c4 (17.68)

la Ec. (17.68) es la analoga a la relacion no relativista T = mv2/2 con la diferencia de que en relatividadT incluye la energıa en reposo mc2. La definicion de T Ec. (17.67) muestra que la energıa de una partıculacon energıa en reposo finita tiende a infinito cuando v → c, es decir que se requiere una energıa infinita parallevar una partıcula material desde el reposo hasta una velocidad c. Por tanto la teorıa predice que no esposible alcanzar o superar la velocidad de la luz en el vacıo partiendo de una velocidad menor que c.

El enunciado anterior no prohıbe la existencia de partıculas que nazcan con velocidades mayores a las dela luz (taquiones). De acuerdo con la Ec. (17.67) la masa asociada a esta partıcula tendrıa que ser imaginariapara tener una energıa real. Esto implica que un taquion esta descrito por un parametro real m ′ de modoque T = m′c2/

√β2 − 1. Las soluciones taquionicas y en particular sus implicaciones sobre la causalidad han

sido motivo de una amplia especulacion cientıfica. No obstante, no se han observado partıculas taquionicashasta el momento.

Ya hemos dicho que en relatividad especial la conservacion del trimomento conduce a la conservacionde la cuarta componente del cuadrivector momento energıa. Esta situacion contrasta con la mecanica norelativista, en la cual la conservacion del momento lineal y la conservacion de la energıa cinetica son aspectosindependientes. Por ejemplo, en un choque inelastico entre dos partıculas se conserva el momento lineal perono la energıa cinetica, esto se debe a cambios en la energıa interna del sistema debido a reconfiguracionesinternas. En el caso relativista, la energıa T debe conservarse junto con el momento espacial incluso enchoques inelasticos debido a sus propiedades de transformacion como cuadrivector. Fısicamente, esto seentiende teniendo en cuenta que T posee dos terminos, la energıa cinetica y la energıa en reposo mc2. Enun choque inelastico la energıa cinetica relativista cambia tambien en virtud de reconfiguraciones internasdel sistema, pero en este caso estos cambios en la energıa interna se traducen en cambios en la energıa enreposo y por tanto de la masa en reposo.

Veamos un ejemplo sencillo del hecho de que la conservacion de T implica un cambio en la masa enreposo en colisiones inelasticas. Sean dos partıculas identicas en masa que viajan con respecto al laboratorioa velocidades iguales y opuestas. El momento lineal total es nulo visto por el laboratorio y el cuadrivectormomento energıa viene dado por

Pµ = pµ (1) + pµ (2)

que tendra componentes espaciales nulas pero una cuarta componente no nula dada por 2iT/c siendo T laenergıa de cada partıcula definida por la Ec. (17.67). Supongamos que el choque es totalmente inelastico de

17.5. FORMULACION LAGRANGIANA DE LA MECANICA RELATIVISTA 363

modo que las dos masas quedan unidas y en reposo con respecto al laboratorio (como dos bolas de plastilina).La energıa total es la energıa en reposo del sistema compuesto final, que tendra una masa

M = 2m+ ∆M

la conservacion de P4 en el choque implica

2T = Mc2

por otro lado, para dar a las partıculas sus velocidades iniciales a partir del reposo en el sistema de labora-torio, se requiere una energıa dada por

∆E = 2T − 2mc2 = (∆M) c2

por lo tanto, el choque inelastico ha convertido toda la energıa del movimiento inicial vista por el laboratorioen un incremento en la masa en reposo del sistema. En esta clase de choque inelastico se suele decir que laenergıa cinetica perdida en el choque se convierte en calor. La relatividad restringida nos dice que la masaen reposo o inercia del sistema aumenta en proporcion al calor que se produce. Este incremento de masase podrıa detectar poniendo al sistema en movimiento a traves de una fuerza conocida, no obstante parasistemas macroscopicos estos cambios de masa son muy difıciles de detectar ya que un joule de energıa poseeun equivalente de masa de aproximadamente 1,1×10−17Kg. No es de extranarse entonces que las evidenciassobre los cambios de la masa en reposo se hayan visto en sistemas de escala atomica, nuclear o subnuclear.En estos casos no podemos hablar de produccion de calor sino de cambios en la energıa interna del sistema.A la escala subnuclear, estos cambios en la energıa en reposo suelen ser suficientes para permitir la creacionde una o mas partıculas adicionales. Es de anotar ademas que estos cambios tambien pueden ocurrir en elsentido opuesto: la energıa en reposo se puede convertir en energıa en movimiento, fenomeno particularmentevisible en las explosiones nucleares, por supuesto en estas explosiones el valor de T permanece constantedurante la explosion. A pesar de la enorme energıa liberada en estas explosiones, la perdida de masa sueleser del orden del 0,1% de la masa original.

17.5. Formulacion Lagrangiana de la mecanica relativista

Dado que hemos realizado la generalizacion adecuada de las leyes de Newton en el marco de la relatividadrestringida, podemos intentar establecer una formulacion Lagrangiana para la dinamica relativista. Vamosa describir dos procedimientos. En el primero, se pretende reproducir en un sistema inercial particular lasecuaciones de la forma (17.59), resultando en general una formulacion que no es manifiestamente covariante.Las fuerzas Fi podrıan estar o no adecuadamente relacionadas con una fuerza de Minkowski Kν . El otrometodo consiste en construır un principio de Hamilton covariante a partir del cual se llega a las ecuacionesde Lagrange en las cuales el espacio y el tiempo se tratan como coordenadas de un espacio de configuracionde cuatro dimensiones. El primer metodo puede presentar problemas cuando las fuerzas no se formulan bienrelativısticamente, pero generalmente las ecuaciones de movimiento ası obtenidas son correctas relativıstica-mente en un sistema inercial dado, aunque no sean manifiestamente covariantes. El segundo metodo aunqueformalmente mas correcto, desemboca en grandes dificultades incluso para sistemas de una partıcula. Parasistemas de varias partıculas falla casi desde el pincipio y no hay una formulacion covariante satisfactoriapara la mecanica clasica relativista de muchas partıculas. Este sigue siendo un tema activo de investigacion.

17.5.1. Formulacion no manifiestamente covariante

La idea es encontrar una Lagrangiana que nos lleve a las ecuaciones de movimiento relativista queconstituyeron nuestra generalizacion de las Leyes de Newton. Estas ecuaciones seran obtenidas en funcionde las coordenadas de un determinado sistema inercial. Notese que el principio de D’Alembert resulta pocofructıfero en este caso, ya que aunque tal principio sigue siendo valido, las deducciones basicas se basaban


en el hecho de que pi = mivi relacion que ya no es valida en relatividad restringida. Por lo tanto, elegiremosel camino de tomar como punto de partida el principio de Hamilton

δI = δ

∫ t2

t1

L dt = 0 (17.69)

y obtener con base en las ecuaciones de Euler Lagrange ecuaciones de movimiento que concuerden con lasgeneralizaciones obtenidas para el formalismo Newtoniano Ec. (17.59). Estudiaremos el caso de una partıculasometida a fuerzas conservativas que no dependen de la velocidad, en cuyo caso escribimos

L = −mc2√

1 − β2 − V (17.70)

siendo V un potencial que solo depende de la posicion y β2 = v2/c2 donde v es la velocidad de la partıculaen el sistema inercial particular que se toma. Veamos que este Lagrangiano nos conduce a las ecuacionescorrectas, partiendo de las ecuaciones de Lagrange

d

dt

(∂L

∂vi

)− ∂L

∂xi= 0

y teniendo en cuenta la relacion∂L

∂vi=

mvi√1 − β2

= pi (17.71)

se obtienedpidt

+∂V

∂xi= 0 ⇒ dpi

dt= −∂V

∂xi⇒ dpi

dt= Fi

que concuerda con (17.59). Notese que el lagrangiano NO es de la forma L = T−V . No obstante, la expresion∂L/∂vi sigue siendo el momento lineal. En realidad es este hecho lo que garantiza la correccion adecuada delas ecuaciones de Lagrange. Por tanto, hubieramos podido proceder hacia atras desde (17.71) para obteneral menos la dependencia de la velocidad del Lagrangiano.

La generalizacion de (17.70) a sistemas de muchas partıculas o a sistemas de coordenadas generalizadasqj es directa. Las cantidades de movimiento canonicas siguen definiendose en la forma

pj =∂L

∂qj(17.72)

de modo que se mantiene la relacion entre coordenadas cıclicas y la conservacion de los momentos asociadosa ellas. Adicionalmente, si el Lagrangiano no depende explıcitamente del tiempo se sigue manteniendo a lafuncion h como constante de movimiento

h = qjpj − L (17.73)

hay sin embargo, una diferencia importante con el caso no relativista: debido al factor√

1 − β2 en elLagrangiano (17.70), dicho Lagrangiano no es una funcion homogenea de la velocidad, de modo que lademostracion realizada en el caso no relativista para llegar a que h es la energıa del sistema (en el caso depotenciales dependientes de la posicion y coordenadas que no dependen explıcitamente del tiempo) no esvalida en el caso relativista. Veremos sin embargo que para potenciales que solo dependen de la posicion hcontinua siendo la energıa total del sistema

h = xipi − L =mvivi√1 − β2

+mc2√

1 − β2 + V

=

√1 − β2

m

(mvi√1 − β2

)(mvi√1 − β2

)+mc2

√1 − β2 + V

h =√

1 − β2[pipim

+mc2]

+ V (17.74)


por otro lado de la Ec. (17.68) vemos que

pipi = p2 =T 2

c2−m2c2 (17.75)

y reemplazando (17.75) en (17.74) resulta

h =√

1 − β2

[T 2

mc2−mc2 +mc2

]+ V =

√1 − β2

T 2

mc2+ V

h =

√1 − β2

mc2T 2 + V =

(1

T

)T 2 + V

la funcion energıa queda entonces

h =mc2√1 − β2

+ V = T + V = E (17.76)

de modo que para el caso de potenciales dependientes solo de la posicion, h se conserva y es la energıa delsistema (naturalmente hemos usado coordenadas cartesianas de modo que la transformacion de coordenadasa las coordenadas generalizadas es trivial).

La introduccion de potenciales dependientes de la velocidad no conlleva ninguna dificultad particular y sepuede efectuar en forma analoga al caso no relativista. De esta forma, para el caso de una partıcula inmersaen un campo electromagnetico, el lagrangiano se obtiene reemplazando V por el potencial de Lorentz en(17.70)

L = −mc2√

1 − β2 − qφ+q

cA · v (17.77)

puede verse que el momento canonico ya no es mui hay terminos adicionales debidos a la parte del potencialque depende de la velocidad

pi = mui +q

cAi (17.78)

esta relacion es analoga a la Ec. (??) obtenida para el caso no relativista. El Lagrangiano (17.77) noes manifiestamente covariante. Sin embargo, en este caso se espera que estos resultados sean validos encualquier sistema de referencia inercial en virtud de la covarianza relativista de la fuerza de Lorentz, de lacual proviene el potencial dependiente de la velocidad que se usa en (17.77).

De lo anterior se desprende que muchas de las estrategias y propiedades desarrolladas para la mecanicano relativista se pueden aplicar en un escenario relativista como veremos en los siguientes ejemplos

Movimiento bajo una fuerza constante (hiperbolico)

Sin perdida de generalidad se puede tomar el eje x1 a lo largo de la fuerza constante. El Lagrangianotiene la forma

L = −mc2√

1 − β2 +max ; β ≡ x

c

Las ecuaciones de Lagrange quedan

d

dt

(∂L

∂x

)=

d

dt

[∂

∂x

(−mc2

√1 − x2

c2

)]=

d

dt

(mx√1 − β2

)= c

d

dt

(mβ√1 − β2

)

∂L

∂x= ma

y se obtiene

cd

dt

(mβ√1 − β2

)+ma = 0 ;

d

dt

(β√

1 − β2

)=a

c


la primera integracion se escribe comoβ√

1 − β2=at+ α

c

siendo α una constante de integracion. Podemos despejar β de esta ecuacion elevando al cuadrado a amboslados

β2

1 − β2=

(at+ α)2

c2⇒ β2 =

(at+ α)2

c2(1 − β2

)⇒ β2

[1 +

(at+ α)2

c2

]=

(at+ α)2

c2

⇒ β2

[c2 + (at+ α)2

c2

]=

(at+ α)2

c2⇒ β

[√c2 + (at+ α)2

]= (at+ α)

⇒ β =at+ α√

c2 + (at+ α)2(17.79)

la Ec. (17.79) sera util para examinar el lımite no relativista, por el momento continuamos manipulando laexpresion

⇒ x

c=

at+ α√c2 + (at+ α)2

⇒ dx = cat+ α√

c2 + (at+ α)2dt

Una segunda integracion con t′ entre 0 y t y con x′ entre x0 y x nos da

∫ x

x0

dx′ = c

∫ t

0

(at′ + α) dt′√c2 + (at′ + α)2

da la solucion

x = x0 +c

a

[√c2 + (at+ α)2 −

√c2 + α2

](17.80)

la velocidad quedarıa en la forma

x = v =c

a

aα+ a2t√2atα+ c2 + α2 + a2t2

(17.81)

de esta expresion se ve que

v0 =c

a

aα√c2 + α2

(17.82)

la Ec. (17.82) muestra que α esta directamente relacionado con la velocidad inicial. Si la partıcula parte delreposo en el origen las condiciones iniciales quedan x0 = v0 = α = 0, y la Ec. (17.80) se puede escribir en laforma

x =c

a

[√c2 + (at)2 − c

]⇒ x+

c2

a=c

a

[√c2 + (at)2

]

⇒(x+

c2

a

)2

=c2

a2

[c2 + a2t2

]⇒(x+

c2

a

)2

− c2t2 =c4

a2

que describe la ecuacion de una hiperbola en el plano x− t.

Veamos ahora como se recobra el lımite no relativista. La Ec. (17.79) se puede reescribir como

β =1√(c

at+α

)2+ 1


y como el lımite no relativista corresponde a β → 0 se ve que esto es equivalente a la condicion [c/ (at+ α)]2 >>1, o lo que es lo mismo at+α << c. Reemplazando dicho lımite en (17.80) se obtiene la parabola tıpica delmovimiento no relativista y ademas se llega a que α→ v0.

Este movimiento puede describir por ejemplo, la trayectoria de electrones que se aceleran con un campoelectrico constante y uniforme. Pues las velocidades tıpicas de los electrones son al menos del orden de lavelocidad de la luz en el vacıo.

Oscilador armonico unidimensional relativista

En este caso el Lagrangiano (17.70) toma la forma

L = −mc2√

1 − β2 − 1

2kx2

dado que L no es funcion explıcita del tiempo entonces la funcion enrgıa y por tanto la energıa total delsistema es una constante de movimiento. Si despejamos la velocidad en la Ec. (17.76) teniendo en cuentaque h es la energıa, se tiene

E =mc2√1 − β2

+ V ⇒ (E − V )2 =m2c4

1 − β2⇒ 1 − β2 =

m2c4

(E − V )2⇒ β2 = 1 − m2c4

(E − V )2

1

c2

(dx

dt

)2

= 1 − m2c4

(E − V )2(17.83)

podemos generalizar un poco antes de entrar en el potencial del oscilador armonico. Sea un potencial talque V (x) = V (−x) y tal que V (0) es un mınimo local. Si la energıa E esta entre V (0) y el maximo de Vel movimiento sera oscilatorio entre los lımites x = ±b donde b esta determinado por

V (±b) = E

el periodo del movimiento oscilatorio se puede obtener a partir de (17.83)

1

c

(dx

dt

)=

√1 − m2c4

(E − V )2⇒ 1

c

dx√

1 − m2c4

(E−V )2

= dt

un periodo consistira en ir y volver desde −b hasta b. Por simetrıa esto se puede escribir como cuatro vecesla integral entre 0 y b

τ =4

c

∫ b

0

dx√1 − m2c4

[E−V (x)]2

(17.84)

cuando (17.84) se aplica al potencial de Hooke, se puede expresar en terminos de integrales elıpticas. Noobstante, sera mas ilustrativo examinar las correcciones relativistas de primer orden cuando V (x) << mc2.Escribiremos la energıa total E de la forma

E = mc2 (1 + E)

con lo cual se tiene que

E − V (x)

mc2=

mc2 (1 + E) − 12kx

2

mc2= 1 + E − λx2 ; λ ≡ k

2mc2

E − V (x)

mc2= 1 + λ

(b2 − x2

); b2 ≡ E

λ


y el termino en el interior del radical en (17.84) resulta

1 − m2c4

[E − V (x)]2= 1 − 1

[1 + λ (b2 − x2)]2=

[1 + λ

(b2 − x2

)]2 − 1

[1 + λ (b2 − x2)]2=

2λ(b2 − x2

)+ λ2

(b2 − x2

)2

[1 + λ (b2 − x2)]2

∼=2λ(b2 − x2

)

[1 + λ (b2 − x2)]2

Donce hemos conservado terminos hasta orden(λb2)2

. El periodo es aproximadamente

τ ∼= 4

c

∫ b

0

dx√2λ(b2−x2)

[1+λ(b2−x2)]2

=4

c

∫ b

0

dx√2λ (b2 − x2)

[1 + λ

(b2 − x2

)]

???????????????????

??????????????????

en (17.84) el periodo se escribe como

τ ∼= 4

c

∫ b

0

dx√2λ (b2 − x2)

[1 − 3λ

4

(b2 − x2

)](17.85)

la integral (17.85) se ppuede evaluar con el cambio de variable x = b sinφ resultando

τ ∼= 2π

c

1√2λ

[1 − 3

8λb2]

= 2π

√m

k

[1 − 3kb2

16mc2

]= τ0

[1 − 3kb2

16mc2

]

donde τ0 es el periodo en el caso no relativista. vemos entonces que las correcciones relativistas introducenuna dependencia con la amplitud, dada aproximadamente por

∆ν

ν0= −∆τ

τ0∼= 3

16

kb2

mc2=

3

8E (17.86)

Movimiento de partıcula cargada en un campo magnetico

Este problema se puede trabajar aplicando el Lagrangiano (17.77) usando φ = 0 y el potencial vectorialadecuado para un campo magnetico constante A = 1/2 (r×B). No obstante, es mas sencillo empleardirectamente el formalismo Newtoniano de fuerzas y escribir

F =q

c(v ×B) (17.87)

con lo cual la ecuacion de movimiento es

dp

dt=q

c(v ×B) =

q

mcγ(p×B)

La expresion (17.87) nos garantiza que la fuerza de Lorentz magnetica no efectua trabajo sobre la partıculade modo que F · v = 0. Este hecho junto con las Ecs. (17.65, 17.66) nos dice que T permanece constante,en tanto que la expresion (17.68) nos dice que p y γ tambien lo son. Adicionalmente, (17.87) nos indicaque F es perpendicular a B de modo que la componente del momento a lo largo de B se debe conservar.Finalmente, la ortogonalidad entre F y v nos indica que la partıcula no cambia su rapidez.

Por lo anterior sera posible sin perdida de generalidad asumir que x3 es la direccion de B y que elmovimiento es en el plano x1x2. Descompondremos a p en la forma p = p3u3 +p⊥. Con base en lo anteriorsabemos que p3 es constante asıcomo el modulo de p. Por tanto, el modulo de p⊥ es claramente constante


de modo que p realiza una precesion alrededor de la direccion del campo magnetico con una frecuencia dadapor

Ω =qB

mcγ(17.88)

al ser γ constante se deduce que la proyeccion de la velocidad en el plano x1x2 tiene modulo constante ygira con la misma frecuencia. La partıcula se mueve entonces en un plano y describe una orbita circularuniforme con velocidad angular Ω. De esto se obtiene el modulo de p⊥

p⊥ = mγrΩ

siendo r el radio de la circunferencia. Si combinamos esta ecuacion con (17.88) obtenemos el radio de lacircunferencia en funcion del momento lineal

r =p⊥qB/c

(17.89)

el radio de curvatura solo depende de las propiedades de esta a traves del factor pc/q (= Br), que se conocecomo la rigidez magnetica de la partıcula. Se puede ver que aunque Ω presenta correcciones relativistascontenidas en el factor γ, la relacion entre radio y momento es la misma que en el caso no relativista(justamente porque el momento a su vez se redefine con el mismo factor γ). Debe tenerse en cuenta queaunque r solo depende de p⊥, en el calculo de γ debe usarse tanto la componente perpendicular como laparalela a B a fin de calcular β.

Capıtulo 18

Electrodinamica y relatividad

Ya hemos discutido anteriormente que la ausencia de covarianza de las ecuaciones de Maxwell antetransformaciones de Galileo fue el motivo central para la creacion de los postulados de la relatividad especial.Por tanto, es de maxima importancia chequear la covarianza de tales ecuaciones. Con el fin de ser consistentescon la notacion utilizada en la literatura, vamos a emplear en este caso la notacion covariante y contravarianteproveniente del espacio real de Riemann, lo cual simplemente presupone escribir los invariantes tales comoKµKµ en la forma KµK

µ o KµKµ. Asımismo las matrices de transformacion complejas L seran sustituıdaspor las matrices de transformacion Λ de acuerdo con la Ec. (17.35). El tensor metrico sera usado con lasignatura g = (1,−1,−1,−1)

Comencemos definiendo el cuadrivector corriente como J ν = ρ0uν , siendo ρ0 la densidad de carga propia

i.e. medida por un observador en reposo instantaneo respecto a ella. Es claro que JνJν = ρ2

0uνuν = ρ2

0c2 es

invariante por construccion. Podemos representar este cuadrivector de varias maneras ya que

Jν = ρ0 (cγ, γv) = (cρ, ρv) = (cρ,J) (18.1)

donde hemos tenido en cuenta que ρ = ρ0γ.

∇ · J +∂ρ

∂t= 0 =

∂J i

∂xi+∂J0

∂x0=∂Jν

∂xν

⇒ ∂νJν = 0 (18.2)

vemos entonces que la definicion de la cuadri corriente permite escribir la ecuacion de continuidad de maneramanifiestamente covariante. De la misma forma podemos definir un cuadrivector con los potenciales escalary vectorial

Aν = (φ,A)

el gauge de Lorentz se expresa en la forma∂νA

ν = 0 (18.3)

condicion que tambien es claramente covariante. Veamos como se escribe en esta notacion la relacion entrelos campos electromagneticos y los potenciales

E = −∇φ− 1

c

∂A

∂t⇒ Ei = − ∂φ

∂xi− 1

c

∂Ai

∂t⇒ Ei = −∂A

0

∂xi− ∂Ai

∂x0=∂A0

∂xi− ∂Ai

∂x0= ∂iA0 − ∂0Ai ≡ φi0

donde hemos usado el hecho de que

Kν = Kµgµν ⇒ Ki = −Ki, K0 = K0

para un cuadrivector arbitrario. Calculemos ahora el campo magnetico B = ∇×A

B1 =∂A3

∂x2− ∂A2

∂x3= −∂A

3

∂x2+∂A2

∂x3= −∂2A3 + ∂3A2 ≡ −φ23

371

372 CAPITULO 18. ELECTRODINAMICA Y RELATIVIDAD

analogamenteB2 = −∂3A1 + ∂1A3 ≡ −φ31 ; B3 = −∂1A2 + ∂2A1 ≡ −φ12

reuniendo todas las ecuaciones para las seis componentes Ei y Bi resulta

Ei = φi0 , φij = −Bk (cıclicamente)

que se puede condensar en la forma

φµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ ; φµν = −φνµ

dado que ∂µ y Aν son cuadrivectores contravariantes, es claro que φµν es un tensor de segundo rangocontravariante. Solo 6 de sus 9 componentes son independientes en virtud de su antisimetrıa. Efectivamente,solo aparecen como componentes independientes las seis componentes Ei, Bi. A φµν se le conoce comotensor de campo electromagnetico. Es facil demostrar las siguientes propiedades de este tensor a partirde su definicion

φµν = −φνµ , φµν = −φνµ , φi0 = −φi0 = φ0i ; φ12 = φ12 = −φ21

podemos escribir φµν en forma matricial explıcita

φµν =

φ00 φ01 φ02 φ03

φ10 φ11 φ12 φ13

φ20 φ21 φ22 φ23

φ30 φ31 φ32 φ33

=

0 −Ex −Ey −EzEx 0 −Bz ByEy Bz 0 −BxEz −By Bx 0

18.1. Ecuaciones de Maxwell en forma manifiestamente covariante

Es relativamente claro que las ecuaciones con fuentes

∇ ·E = 4πρ ; ∇×B− 1

c

∂E

∂t=

4π

cJ

deben escribirse en una sola ecuacion cuadrivectorial puesto que ρ y J forman un solo cuadrivector Ec.(18.1). En efecto estas ecuaciones se pueden escribir como

∂iφi0 =

4π

cJ0 ; ∂µφ

µi =4π

cJ i (18.4)

las ecuaciones de Maxwell con fuentes se pueden entonces escribir en la forma

∂µφµν =

4π

cJν

similarmente las ecuaciones sin fuentes

∇ ·B = 0 ; ∇×E+1

c

∂B

∂t= 0

se pueden sintetizar en la ecuacion∂µφνρ + ∂ρφµν + ∂νφρµ = 0 (18.5)

que usualmente se le denomina ecuacion interna. La estructura cıclica que se observa en los ındices µνρen la ecuacion interna nos sugiere definir un tensor analogo al de Levi civita pero en cuatro dimensiones,definimos entonces

ε0123 = 1 ; εµνσρ = levi civita

la ecuacion interna se puede escribir en forma mas sintetica definiendo el tensor dual

φ∗µν ≡ 1

2εµνσρφ

σρ

con lo cual la ecuacion interna se escribe∂µφ

∗µν = 0 (18.6)

18.2. FUERZA DE LORENTZ EN FORMA TENSORIAL 373

18.2. Fuerza de Lorentz en forma tensorial

Dado que las ecuaciones de Maxwell junto con la ley de Fuerza de Lorentz poseen en principio todoel contenido Fısico formal de la teorıa electromagnetica, el siguiente paso natural es buscar una expresionmanifiestamente covariante de la fuerza de Lorentz. Partiendo de la ecuacion de fuerza de Lorentz

F = q(E +

v

c×B

)

debemos recordar que para obtener una expresion cuadridimensional debemos trabajar con la expresion dela cuadrifuerza, la cual en su componente temporal posee informacion sobre la potencia o trabajo por unidadde tiempo hecha sobre la partıcula. La cuadrifuerza es entonces de la forma

Kν = γ

(1

c

dW

dt,F

)(18.7)

ahora bien, se puede demostrar que

d

dt

(mc2γ

)= F · v = qE · v =

dW

dt

con lo cual la cuadrifuerza queda en la forma

Kν = γ(qcE · v, qE +

q

cv ×B

)

y la generalizacion covariante de la fuerza de Lorentz vendra dada por

Kν =q

cφµνuµ (18.8)

puede verificarse que Kνuν = 0. Es de suma importancia enfatizar que esta ecuacion solo es realmentecovariante si q es un escalar i.e. invariante de Lorentz, hecho que posee un fuerte sustento experimental.Recordemos que para medios contınuos y en particular para examinar los principios de conservacion, esusualmente mas util escribir ecuaciones para densidades de fuerza y energıa. Para encontrar la formulacionequivalente en terminos de densidades, escribamos la expresion para un elemento diferencial de carga

dKν =dq

cφµνuµ = ρ0

dV0

cφνµuµ ⇒

dKν

dV0≡ Kν =

ρ0

cφνµuµ =

1

cφνµJµ

tenemos que la ecuacion para la densidad de cuadrifuerza es

Kν =1

cφνµJµ (18.9)

naturalmente Kν se define directamente de (18.7) en la forma

Kν = γ

(1

c

dWdt

, f

)

siendo f y W las densidades de fuerza y energıa respectivamente. De esto se obtiene que

f = ρE +1

cJ×B ;

dWdt

= J · E

en concordancia con las Ecs. (13.1, 13.2).


18.3. Pruebas de consistencia de la formulacion covariante de Maxwell(opcional)

Teniendo en cuenta que las ecuaciones ∇·B = 0 y ∇×E+ 1c∂B∂t = 0 se siguen de las relaciones B = ∇×A

y E = −∇φ − 1c∂A∂t , se puede demostrar analogamente que la ecuacion interna se sigue de la definicion

φµν = ∂µAν − ∂νAµ. Similarmente, la ecuacion de continuidad ∂νJν = 0 se sigue directamente de la Ec.

(??) y de la antisimetrıa de φµν .

18.4. Ecuaciones de onda e invarianza gauge en notacion tensorial

Las ecuaciones de Maxwell y la expresion para la fuerza de Lorentz en notacion tensorial han quedadoescritas en la forma

∂µφµν =

4π

cJν (18.10)

∂µφνρ + ∂ρφµν + ∂νφρµ = 0 (18.11)

Kν =q

cφµνuµ (18.12)

φµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ (18.13)

en estas ecuaciones esta formalmente todo el contenido Fısico de la teorıa electromagnetica clasica, por tantotodas las ecuaciones de campo vistas hasta ahora se pueden generar con estas ecuaciones. En particular sepuede observar que a partir de las ecuaciones (18.10) y (18.13) se puede generar la ecuacion interna (18.11)por simple derivacion y cambio apropiado de ındices. Tambien se puede ver que la ecuacion de continuidadse obtiene por derivacion de (18.10)

∂ν∂µφµν =

4π

c∂νJ

ν

usando la simetrıa del tensor ∂µ∂ν y la antisimetrıa de φµν se observa que ∂ν∂µφµν = 0 de modo que ∂νJ

ν = 0,esto es de esperarse ya que la ecuacion con fuentes (18.10) contiene la corriente de desplazamiento que seintrodujo justo para que se mantenga la ecuacion de continuidad.

Por otro lado, reemplazando (18.13) en (18.10) se obtiene la ecuacion de onda para Aν

∂µ (∂µAν − ∂νAµ) =4π

cJν ⇒ ∂µ∂

µAν − ∂ν (∂µAµ) =

4π

cJν ⇒

Aν − ∂ν (∂µAµ) =

4π

cJν (18.14)

si expresamos esta ecuacion en componentes podemos ver que (18.14) reproduce correctamente las Ecs. deonda (12.8) y (12.9) para los potenciales φ y A.

Se puede observar que φµνes invariante gauge1. Las transformaciones gauge definidas por (12.7) se puedencondensar en notacion cuadrivectorial en la forma

A′µ = Aµ + ∂µψ

la transformacion para φµν bajo la transformacion gauge electromagnetica sera entonces

φ′µν = ∂µA′ν − ∂νA′µ = ∂µ (Aν + ∂νψ) − ∂ν (Aµ + ∂µψ) = ∂µAν + ∂µ∂νψ − ∂νAµ − ∂ν∂µψ

φ′µν = ∂µAν − ∂νAµ = φµν

1No debe confundirse la transformacion gauge con la transformacion de Lorentz. La primera es una transformacion de loscampos (potenciales), en tanto que la segunda es una transformacion de coordenadas de espacio y tiempo. φµν es invariante

gauge pero es contravariante de Lorentz de segundo rango.

18.4. ECUACIONES DE ONDA E INVARIANZA GAUGE EN NOTACION TENSORIAL 375

demostrando la invarianza gauge de φµν . El gauge de Lorentz se puede escribir en la forma

∂µAµ = 0

con lo cual la ecuacion de onda (18.14) para los potenciales queda

Aν =4π

cJν (18.15)

que coincide con la ecuaciones (12.11, 12.12).Veremos ahora que φρµ tambien obedece a una ecuacion de onda. Derivando la ecuacion interna (18.11)

con respecto a ν

∂ν (∂ρφµν + ∂νφρµ + ∂µφνρ) = 0 ⇒ ∂ρ (∂νφµν) + φρµ + ∂µ (∂νφ

νρ) = 0

⇒ ∂µ (∂νφνρ) − ∂ρ (∂νφ

νµ) + φρµ = 0

y teniendo en cuenta la ecuacion con fuentes

4π

c(∂µJρ − ∂ρJµ) + φρµ = 0

φρµ =4π

c(∂ρJµ − ∂µJρ)

Es util definir el tensor de Hertz Πσν de seis componentes independientes en la forma

Π0i ≡ Π(el)i vector de hertz electrico

Π12 ≡ −Π(mag)3 vector de hertz magnetico

Πσν = −Πνσ

se puede demostrar que siAν = ∂σΠ

σν (18.16)

entonces ∂νAν es automaticamente cero. Por otro lado, se puede ver que la Ec. (18.16) equivale en notacion

ordinaria a

φ = −∇ · Πel ; A =1

c

∂Πel

∂t+ ∇× Πmag

es posible ademas introducir un gauge sobre Πσν de modo que Aν permanezca invariante.

18.4.1. Invariantes

Los dos unicos invariantes bilineales que se pueden formar con φµν son

φµνφµν ; εµνσρφ

µνφσρ

y se puede demostrar que

φµνφµν ∼ E2 −B2

εµνσρφµνφσρ ∼ E ·B

al ser estos invariantes se obtiene que

E · B = E′ ·B′ ; E2 −B2 = E′2 −B′2

donde las cantidades se refieren a sistemas de referencia inerciales S y S ′. Esto trae consecuencias Fısicasinteresantes


1. Si en S se anula alguno de los campos entonces E · B = 0 de modo que en cualquier otro sistemainercial S ′ se tiene que E′ ·B′ = 0 i.e. los campos son perpendiculares. Un ejemplo simple es una cargapuntual en reposo con respecto a S. En este caso B = 0. En un sistema S ′ la carga tiene movimientouniforme y se puede verificar que E′ ·B′ = 0 y que E′ > B′.

2. Si E = B y E · B = 0 entonces E′ · B′ = 0 y E′ = B′. Notese que la ondas planas homogeneas tieneneste par de caracterısticas, las cuales son invariantes de Lorentz.

3. Si E > B en S entonces E ′ > B′ en cualquier S ′.

18.5. Conservacion de momento y energıa del campo electromagnetico:tensor momento energıa

Veremos a continuacion que la conservacion del momento y la energıa del campo electromagnetico sepuede obtener de forma elegante y unificada a traves del llamado tensor momento energıa. Usando laexpresion tensorial para la densidad de fuerza de Lorentz Ec. (18.9) y la ecuacion tensorial de Maxwell confuentes (18.10)

Kν =1

cφνµJµ ; ∂σφσµ =

4π

cJµ

y eliminando Jµ

Kν =1

cφνµ∂σφσµ =

1

4π[∂σ (φνµφσµ) − φσµ∂

σφνµ]

teniendo en cuenta que

φσµ∂σφνµ = φµσ∂

µφνσ = −φσµ∂µφνσ

se tiene

φσµ∂σφνµ =

1

2φσµ (∂σφνµ − ∂µφνσ) =

1

2φσµ (∂σφνµ + ∂µφσν) =

1

2φσµ∂

νφσµ

=1

4∂ν (φσµφσµ) =

1

4∂ν (φρµφρµ)

la densidad de cuadrifuerza de Lorentz queda

Kν =1

4π

[∂σ (φνµφσµ) −

1

4∂ν (φρµφρµ)

]=

1

4π∂σ[φνµφσµ −

1

4δνσφ

ρµφρµ

]

Kν = −∂σ[

1

4π

(φνµφµσ +

1

4δνσφ

ρµφρµ

)]

Kν ≡ −∂στνσ (18.17)

en la ultima ecuacion hemos definido el Tensor momento energıa que en notacion totalmente contravari-ante se escribe

τνσ = τσν ≡ 1

4π

(φνµφµ

σ +1

4gνσφρµφρµ

)

y puesto que dicho tensor es simetrico, solo 10 de sus 16 componentes son independientes. Evaluemos latraza de este tensor la cual es un invariante de Lorentz

τσσ = τ00 + τ1

1 + τ22 + τ3

3

18.5. CONSERVACION DE MOMENTO Y ENERGIA DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO: TENSOR MOMENTO ENERGIA377

τνσ =1

4π

(φνµφµσ +

1

4δνσφ

ρµφρµ

)⇒

τσσ =1

4π

(φσµφµσ +

1

4δσσφ

ρµφρµ

)

τσσ =1

4π(−φσµφσµ + φρµφρµ) = 0

τσσ = 0

evaluemos las componentes de τ νσ

con ν = i, σ = j

τ ij = − 1

4π

[EiEj +BiBj −

1

2δij(E2 +B2

)]≡ −τij

siendo τij el tensor de tensiones de Maxwell Ec. (13.9). En notacion de diadas ver Ec. (13.8)

T ≡ 1

4π

[EE + BB− 1

2I(E2 + B2

)]

con ν = i, σ = 0 se obtiene

τ i0 = τ0i =1

4π(E×B)i =

Sic

siendo Si la componente i−esima del vector de Poynting.

Finalmente τ 00 = 18π

(E2 + B2

)= ε que se identifica con la densidad de energıa asociada al campo

Ec. (13.4).

Vemos entonces que este tensor contiene todos los observables que dan cuenta de la conservacion delmomento lineal y de la energıa como se ve en las secciones 13.1 y 13.2. Matricialmente podemos escribir estetensor en la forma

τνσ =

τ00 τ01 τ02 τ03

τ10

τ20

τ30

τ11 τ12 τ13

τ21 τ22 τ23

τ31 τ32 τ33

=

(ε S/c

S/c −T

)

volvamos ahora a la relacion (18.17) reescrita en la forma Kν ≡ −∂στσν . Tomando las componentes ν = ise obtiene

∇ · (−T) +∂g

∂t= −f

es decir se reproduce la Ec. (13.6) que da cuenta de la conservacion del momento. Ahora con ν = 0 resulta

∇ · S +∂ε

∂t= −J · E

que reproduce el teorema de Poynting Ec. (13.3) el cual nos da cuenta de la conservacion de la energıa.

Debemos recordar que la energıa y el momento del campo no se conservan cuando hay cargas presentes,ya que estas ultimas pueden intercambiar energıa y momento con el campo, ver detalles en las secciones 13.1y 13.2.


18.6. Conservacion del momento angular

Es de esperarse que el momento angular asociado a los campos y partıculas se conserve. Para verloconstruyamos el tensor densidad de torque

N νµ = xνKµ − xµKν = −xν∂στσµ + xµ∂στσν = −∂σ (xντσµ − xµτσν) + τσµ∂σx

ν − τσν∂σxµ

los dos ultimos terminos de la derecha de anulan ya que

τσµ∂σxν − τσν∂σx

µ = τσµδσν − τσνδσ

µ = τνµ − τµν = τµν − τµν = 0

el tensor densidad de torque se escribe entonces

N νµ = −∂σMσνµ ; Mσνµ ≡ (xντσµ − xµτσν)

es natural definir entonces a Mσνµ como el tensor densidad de momento angular. En ausencia de cargas∂σ = Mσνµ = 0. Puede verse que esta ecuacion contiene la conservacion del momento angular del campomas otra expresion que describe el movimiento del centro de energıa del campo (la cual es una generalizaciondel centro de masa). El centro de energıa se mueve inercialmente.

Puede demostrarse que el tensor densidad de momento angular posee 24 componentes independientes.Adicionalmente sus componentes esta caracterizadas por

Mij0 = c[xjgi + tTij

]

M0jk = c[xjgk − xkgj

]

M00i = −tSi + xiε

Mijk = xjTik − xkTij

siendo gk componentes del vector densidad de momento, Si componentes del vector de Poynting, Tij com-ponentes del tensor de tensiones de Maxwell, y t la coordenada temporal.

18.7. Aplicaciones de las transformaciones de Lorentz

Los conceptos de cuadrivector, tensor de segundo rango etc. son muy utiles para establecer las reglasde transformacion de los observables Fısicos bajo transformaciones de Lorentz. Si sabemos que una ciertacantidad es cuadrivector o tensor, entonces concocemos por definicion sus reglas de transformacion.

18.7.1. Cuadrivectores de Lorentz

Para el caso de cuadrivectores de Lorentz la regla de transformacion viene dada por

V ′ν = aνµVµ

por ejemplo, si es posible armar un cuadrivector de Lorentz a partir de trivector campo magnetico B en laforma Bν =

(B0,B

)las reglas de transformacion seran de la forma

B′ = B +

[(γ − 1) β ·B

β2−B0γ

]β

B′0 =[B0 − β ·B

]γ

la trasnformacion inversa se obtiene con el simple cambio β → −β. Por tanto, es necesario encontrar la com-ponente B0 que convierta al campo magnetico en cuadrivector para encontrar sus reglas de transformacion.

Los cuadripotenciales fueron construıdos como cuadrivectores de modo que su regla de trasnformacionante transformaciones de Lorentz es inmediata.

18.7. APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 379

18.7.2. Tensores de Lorentz

En forma matricial la regla de transformacion de tensores queda en la forma

T′ = ΛTΛ

su inversa es de la formaT = AgT′gA

el lector puede ver que a traves de la transformacion de φµν se puede obtener la transformacion de loscampos

E′ = γ (E + β ×B) − γ2

γ + 1β (β ·E)

B′ = γ (B − β ×E) − γ2

γ + 1β (β ·B)

en particular si S ′ se mueve en el eje X de S

E′1 = E1 ; B′

1 = B1

E′2 = γ (E2 − βB3) ; B′

2 = γ (B2 + βE3)

E′3 = γ (E3 + βB2) ; B′

3 = γ (B3 − βE2)

Apendice A

Teoremas de unicidad de la ecuacion dePoisson

Ademas del teorema de unicidad asociado a las condiciones de Dirichlet o Neumann, existen multiplesteoremas de unicidad. Uno de los mas importantes es el siguiente: dada una region equipotencial cerrada S,dentro de la cual hay un conjunto de n conductores, el campo electrico esta unıvocamente determinado enla region comprendida entre los conductores y la region encerrada por S (que llamaremos Vp), si se conocen(a) la carga total de cada conductor Qi, i = 1, ..., n (b) la densidad de carga ρp en el interior de Vp.

Demostracion: llamemos Vp el volumen comprendido entre los conductores y el interior de la superficieequipotencial S (S podrıa ser el infinito). Asumamos que se conoce la distribucion de carga en el interiorde Vp y la carga total de cada uno de los conductores. Asumamos ademas que existen dos soluciones parael campo electrico E1, E2 en el interior de Vp

∇ ·E1 = 4πKcρ ; ∇ · E2 = 4πKcρ

tomemos para cada conductor, una superficie Si que lo encierre completamente1 pero de tal manera quela diferencia entre el volumen Vi y el volumen del conductor sea infinitesimal. Esto nos garantiza que lacarga volumetrica en la region exterior al conductor e interior a Si es infinitesimal y solo contribuye la cargasuperficial del conductor. Para cada una de estas superficies se puede escribir

∮

Si

E1 · dSi =

∮

Si

E2 · dSi = 4πKcQi

de la misma forma, se calcula la integral de superficie sobre una superficie S ′ que esta incluıda en S peroque se acerca arbitrariamente a S 2.

∮

S′

E1 · dS′ =

∮

S′

E2 · dS′ = 4πKcQtot

donde Qtot es la suma de las cargas en Vp mas las cargas en los conductores3. Si sumamos las integrales desuperficie consideradas anteriormente obtenemos la superficie total que delimita al volumen Vp.

∮

S′

E1 · dS′ +n∑

i=1

∮

Si

E1 · dSi =

∮

S′

E2 · dS′ +n∑

i=1

∮

Si

E2 · dSi

1Colocar una superficie gaussiana justo sobre la superficie del conductor nos conducirıa a un conflicto al usar la ley de gauss,dado que la carga es precisamente superficial.

2Si la superficie equipotencial S es precisamente un conductor que encierra a los demas, evitamos un posible uso inadecuadode la ley de Gauss haciendo que la superficie S′ este incluıda en S. De esta forma evitamos incluır las posible cargas superficialesdel conductor en S.

3Ademas de las cargas superficiales en los conductores, tambien podrıan haber cargas volumetricas en las cavidades de losconductores. Para este caso podemos considerar a las cavidades como parte del interior del conductor.

381

382 APENDICE A. TEOREMAS DE UNICIDAD DE LA ECUACION DE POISSON

denotando esta superficie como Sp y definiendo un nuevo campo vectorial E3 ≡ E2 −E1encontramos

∮

Sp

E3 · dSp = 0 ; ∇ · E3 = 4πKc (ρ− ρ) = 0 (A.1)

la relacion diferencial es valida en los puntos interiores a Vp. La superficie Sp no es estrictamente la superficiedelimitada por S y los conductores, ya que los Si deben contener completamente a los conductores, y S ′

esta incluıda en S, pero recordemos que estas superficies se deben aproximar arbitrariamente a las superficiesde los conductores y a S respectivamente. Sean φ1 y φ2 los potenciales asociados a los campos E1 y E2 en lasuperficie Sp. Como estas superficies son practicamente las superficies de los conductores y de S, entoncesson equipotenciales, por tanto φ3 ≡ φ2−φ1 es otra constante en Sp. Ahora se calcula la siguiente divergencia

∇ · (φ3E3) = φ3 (∇ ·E3) + E3 · (∇φ3)

dado que φ3 es constante en la superficie, su gradiente no puede tener componentes tangenciales a la superficiey solo debe tener componente normal a esta. En realidad ∇φ3 = −E3, y teniendo en cuenta (A.1), resulta

∇ · (φ3E3) = −E23

ahora se integra sobre el volumen Vp y se usa el teorema de la divergencia

∫

Vp

∇ · (φ3E3) dVp =

∮

Sp

φ3E3 · dSp = −∫

Vp

E23 dVp

y teniendo en cuenta la primera de las Ecs. (A.1) y el hecho de que φ3 es constante sobre Sp∮

Sp

φ3E3 · dSp = −∫

Vp

E23 dVp = φ3

∮

Sp

E3 · dSp = 0

llegamos a la conclusion de que ∫

Vp

E23 dVp = 0 (A.2)

y como el integrando es no negativo, la integral es cero solo si el campo es cero en todo el volumen Vp.Una prueba alternativa consiste en usar la primera identidad de Green, Ec. (1.20), aplicada a Vp y Sp

∫ [φ∇2ψ + ∇ψ · ∇φ

]dV =

∮[φ∇ψ] · dS

con φ = ψ = φ3, en tal caso ∇ψ = ∇φ = −E3, y ∇2ψ = ∇ ·E3 = 0 quedando∫

Vp

E23 dVp = −

∮

Sp

(φ3E3) · dSp

y teniendo en cuenta que φ3 es constante en Sp y usando la Ec. (A.1)

∫

Vp

E23 dVp = −φ3

∮

Sp

E3 · dSp = 0

y se llega de nuevo a la Ec. (A.2). Esta demostracion muestra las ventajas del uso de las identidades deGreen.

La superficie equipotencial S podrıa ser por ejemplo la superficie de un conductor que circunda a losotros conductores, o podrıa ser una superficie en el infinito. Notese que la prueba de unicidad no requiereconocer la forma en que la carga se distribuye en las superficies conductoras, solo es necesario conocer la

383

carga neta en cada conductor. Adicionalmente, aunque se requiere que la superficie S sea equipotencial, noes necesario conocer el valor de dicho potencial, ni tampoco necesitamos conocer el valor de la densidadcorrespondiente a una eventual distribucion superficial de carga sobre S.

Comparando con el criterio de unicidad de Neumann, vemos que dicho criterio requiere en el caso deconductores, conocer la densidad superficial de carga, ya que en un conductor |σ| = 1/ (4πKc) |∂φ/∂n1| Ec.(1.29). El presente criterio de unicidad requiere un informacion fısicamente mas accesible como es la carganeta sobre cada conductor. Aunque por otro lado, el criterio de Neumann no requiere que las superficiessean equipotenciales(cuando no tenemos conductores).

384 APENDICE A. TEOREMAS DE UNICIDAD DE LA ECUACION DE POISSON

Apendice B

Coeficientes de capacitancia

B.1. Pruebas de consistencia

Una prueba de consistencia de la identidad (3.13), se logra usando (3.6), para calcular la carga total delos N conductores interiores

Qint =

N∑

i=1

Qi =

N+1∑

j=1

[ϕj

N∑

i=1

Cij

]

usando (3.13) se obtiene

Qint = −N+1∑

j=1

CN+1,jϕj (B.1)

Ahora usando nuevamente (3.6), se puede obtener la carga del conductor externo

Qext =

N+1∑

j=1

CN+1,jϕj

y por lo tanto

Qext = −Qint (B.2)

propiedad que se puede obtener tambien por ley de Gauss [5, 6]. Es necesario aclarar que Qext no esnecesariamente la carga total del conductor externo, sino solo la carga total acumulada en la superficie dela cavidad que encierra a los otros conductores. Por ejemplo, si el conductor es una esfera con una cavidadconcentrica, puede haber tambien carga acumulada en la superficie esferica de radio mayor. Efectivamente,a lo largo de todo el tratamiento el valor de la carga se ha calculado con la integral de superficie (3.2) lacual para los conductores interiores toma toda la superficie pero para el conductor externo solo toma lasuperficie de la cavidad.

Una prueba adicional de consistencia se obtiene al emplear las Ecs. (B.1) y (3.6), para calcular Q int

Qint = −N+1∑

j=1

CN+1,jϕj = ε0

∮

SN+1

∇

N+1∑

j=1

fjϕj

· nN+1 dS

y teniendo en cuenta (3.4) resulta

Qint = ε0

∮

SN+1

∇φ · nN+1 dS = ε0

∮

SN+1

E · (−nN+1) dS

relacion claramente correcta teniendo en cuenta que nN+1 apunta hacia el interior del volumen VST.

385

386 APENDICE B. COEFICIENTES DE CAPACITANCIA

B.2. Derivacion alternativa de (3.12)

A partir de la definicion de las Cij dada por (3.6), se puede ver que

N+1∑

i=1

Cij = −ε0N+1∑

i=1

∮

Si

∇fj · ni dS

= −ε0∮

ST

∇fj · ni dS = ε0

∫

VST

∇2fj dV

donde hemos usado el teorema de Gauss teniendo en cuenta que las normales ni apuntan hacia adentro delvolumen VST

(ver Fig. 3.2). Recordando que los factores fj obedecen a la ecuacion de Laplace en el volumenVST


N+1∑

i=1

Cij = 0

que coincide con (3.13).

Apendice C

Ondas planas

C.1. Incidencia oblıcua de onda plana perpendicular al plano de inci-dencia

La onda incidente se escribe como

EI (z, t) = (E0I)y ei(kI ·r−ωt)uy ; kI = −kI sin θIux + kI cos θIuz

BI (z, t) = n1kI ×EI =n1

kIkI ×EI =

n1

kIkI ×

[(E0I)y e

i(kI ·r−ωt)uy]

BI (z, t) = −n1kI sin θIkI

ux ×[(E0I)y e

i(kI ·r−ωt)uy]

+n1kI cos θI

kIuz ×

[(E0I)y e

i(kI ·r−ωt)uy]

BI (z, t) = −n1 (E0I)y [sin θIuz + cos θIux] ei(kI ·r−ωt)

y como solo nos interesan las amplitudes en virtud de (15.21) se tiene que

E0I = (E0I)y uy ; B0I = −n1 (E0I)y [sin θIuz + cos θIux]

Dado que ya demostramos que los otros vectores de onda tambien yacen en el plano de incidencia, yteniendo en cuenta que kI = kR, θI = θR y la ley de Snell Ec. (15.27) se tiene

kR = −kR sin θRux − kR cos θRuz = −kI sin θIux − kI cos θIuz

kT = −kT sin θTux + kT cos θTuz = −kT(n1

n2

)sin θIux +

(kT√

1 − sin2 θT

)uz

kT = kT

−n1

n2sin θIux +

√

1 −(n1

n2

)2

sin2 θI

uz

las ondas reflejada y transmitida siguen teniendo polarizacion perpendicular al plano de incidencia.

BR (z, t) =n1

kRkR ×ER = −n1

kI[kI sin θIux + kI cos θIuz] ×

[(E0R)y e

i(kR·r−ωt)uy]

BR (z, t) = −n1 (E0R)y [sin θIuz − cos θIux] ei(kR·r−ωt)

la amplitud de los campos electrico y magnetico reflejados es

E0R = (E0R)y uy ; B0R = −n1 (E0R)y [sin θIuz − cos θIux]

387

388 APENDICE C. ONDAS PLANAS

para los campos transmitidos se tiene

BT (z, t) =n2

kTkT ×ET = n2

−n1

n2sin θIux +

√

1 −(n1

n2

)2

sin2 θI

uz

× (E0T )y e

i(kT ·r−ωt)uy

BT (z, t) = −

n1 sin θIuz +

√

1 −(n1

n2

)2

sin2 θI

ux

(E0T )y e

i(kT ·r−ωt)

la amplitud de los campos electrico y magnetico transmitidos es

E0T = (E0T )y uy ; B0T = −

n1 sin θIuz +

√

1 −(n1

n2

)2

sin2 θI

ux

(E0T )y

con los valores de estos coeficientes se procede a aplicar las condiciones de frontera (15.28)

ε1 [E0I + E0R]z = ε2 [E0T ]z ⇒ trivial

la otra condicion es

[B0I + B0R]z = [B0T ]z ⇒ −n1 (E0I)y sin θI − n1 (E0R)y sin θI = −n1 sin θI (E0T )y⇒ − (E0I)y − (E0R)y = − (E0T )y

y la siguiente se escribe[E0I + E0R]x,y = [E0T ]x,y

pero solo hay componente a lo largo de y de modo que solo una de estas ecuaciones es no trivial

[E0I + E0R]y = [E0T ]y ⇒ (E0I)y + (E0R)y = (E0T )y

finalmente1

µ1[B0I + B0R]x,y =

1

µ2[B0T ]x,y

pero no existe componente y

1

µ1[B0I + B0R]x =

1

µ2[B0T ]x ⇒

n1 cos θIµ1

[− (E0I)y + (E0R)y

]= − 1

µ2

√

1 −(n1

n2

)2

sin2 θI

(E0T )y

Bibliografıa

[1] Edward M. Purcell, “Electricity and Magnetism” Berkeley Physics Course Vol. 2, 2nd Ed., McGraw-HillInternational Editions (1985).

[2] Mituo Uehara, “Green’s functions and coefficients of capacitance” Am. J. Phys. 54, 184 (1986).

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[7] David J. Griffiths “Introduction to Electrodynamics” 3rd Ed., Prentice Hall (1999).

389

Rodolfo Diaz - Electrodinámica

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