M. Calderon2 , R. Caroca1 , Diego Molina2 y P. Salgado2 .

1Departamento de Matemática y Física Aplicadas, Universidad Católica de la Santísima Concepción, Alonso

de Rivera 2850, Concepción, Chile

2Departamento de Física, Universidad de Concepción, Casilla 160-C,

Concepción, Chile.

rcaroca@ucsc.cl

Índice

Introducción al método de la S-expansión.

Aspectos geométricos del método de la S-

expansión.

Semisimplicidad y no semisimplicidad .

Un álgebra de Lie obtenida por S-expansión no es

un álgebra simple (SO(4) a partir de SO(3)).

Expandiendo la métrica de Killing-Cartan de

un álgebra de Lie, se obtuvo otras álgebras

de Lie. El procedimiento de la S-expansión

afecta a la geometría de un grupo de Lie,

cambiando las magnitudes de los vectores y

los ángulos entre ellos. Mediante ejemplos,

se muestra que un álgebra de Lie obtenida

por S-expansión no es un álgebra simple

(SO(4) a partir de SO(3)).

En física son de gran importancia:

• Los principios de invariancia y las leyes

de conservación (las simetrías).

• La construcción de acciones invariantes

bajo ciertas álgebras de Lie (grupo de

Lie).

• La construcción de nuevas álgebras de

Lie a partir de otras álgebras de Lie.

E8 is perhaps the most beautiful structure in all

of mathematics, but it's very complex.

“ Hermann Nicolai ”.

The beauty of E8. Raíces simples de E8 (orden=248 generadores)

C

ABC

C

C

ABBA TCTT ,

8)10()5(1)2()3( ESOSUUSUSU

Tres de las cuatro fuerzas fundamentales se han

podido unificar en un modelo teórico, denominado

modelo estándar de las interacciones fundamentales

de la naturaleza.

Su estructura matemática esta basado en el producto

directo de tres grupos de Lie, y es una teoría de gauge

con rompimiento espontáneo de simetría.

donde SU(3), SU(2) y U(1) son grupos de Lie.

Q

simetríide

oRompimient

YLC UUSUSU )1()1()2()3(

El método de S-expansión

Introducción: El método de S-expansión permite obtener nuevas álgebras de Lie a partir de otra conocida. En el presente trabajo se estudia el método de S-expansión desde un punto de vista geométrico, para poder aplicarlo a las teorías físicas actuales, p.e., super álgebras de Lie, supergravedad, etc.

Aumenta la dimensionalidad del álgebra.

[1] F. Izaurieta, E. Rodríguez, P. Salgado, Expanding Lie (Super)Algebras through Abelian Semigroups.. Jour. Math. Phys. 47 (2006) 123512. arXiv: hep-th/0606215. [2] F. Izaurieta, A. Pérez, E. Rodríguez and P. Salgado, Dual Formulation of the Lie Algebra S-expansion Procedure, J. Math. Phys. 50 (2009) 073511. [arXiV:0903.4712 [hep-th]]. [3] R. Caroca, N. Merino, P. Salgado, S expansion of higher-order Lie algebras, J. Math. Phys. 50 (2009) 013503. [4] R. Caroca, N. Merino, P. Salgado, Generating higher-order Lie algebras by expanding Maurer–Cartan forms, J. Math. Phys. 50 (2009) 123527. [5] R. Caroca, N. Merino, P. Salgado, O. Valdivia, "Generating infinite-dimensional algebras from loop algebras by expanding Maurer-Cartan forms, J. Math. Phys. 52, (2011)043519. [6] R. Caroca, I. Kondrashuk, N. Merino and F. Nadal, Bianchi spaces and its 3-dimensional isometries as S-expansions of 2-dimensional isometries, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical; arXiv:1104.3541v2 [math-ph].

Referencias

SSS

1, K

G

AATdim

1

El método de S-expansión

NS

0

Sea un semigrupo abeliano finito equipado con una ley de

composición asociativa y conmutativa

Sea el par (G ; [; ]), un álgebra de Lie donde G es un espacio vectorial de

dimensión finita con base,

sobre el campo K, y [ ; ], es una regla de composición G x G→G,

2,, C

C

ABBABA TCTTTT

El método de S-expansión El método de S-expansión es definido como el producto cartesiano B=S x G

3G,:SxG Β , AAA TSTT

equipado con una ley de composición ; : B x B→B definida por

C

C

ABBABA TCKTTTT ,, ,,

4,, ,

,

,,,,

C

C

BABA TCTT

donde C

AB

C

BA CKC

,

,, son las constantes de estructuras

La ecuación anterior define el corchete de Lie del álgebra de Lie S-expandida, donde es un base de B.

,AT

que satisfacen la condición de Jacobi.

Desde las álgebras de Lie S-expandidas podemos obtener: 1. Las subálgebras resonantes y reducidas, cuando se exige una cierta

estructura al álgebra original G

[1] F. Izaurieta, E. Rodríguez, P. Salgado, Expanding Lie (Super)Algebras through Abelian Semigroups. Jour. Math. Phys. 47 (2006) 123512. arXiv: hep-th/0606215.

[6] F. Izaurieta, A. Pérez, E. Rodriguez and P. Salgado, " Dual Formulation of the Lie Algebra S-expansion Procedure", J. Math. Phys. 50 (2009) 073511. [arXiV: 0903.4712v1 [hep-th]] :

.10 VV

2. El álgebra M a partir de la S-expansión del álgebra Osp(32/1) usando el semigrupo particular [1].

210 ,, S

3. Usando otro semigrupo se puede obtener el álgebra al “estilo” de D ´Auria-Fre partiendo desde el álgebra Osp(32/1).

3210 ,,, S

4. Recently in [2], the S -expansion method was generalized to obtain higher-order expanded Lie algebras.

[7] R. Caroca, N. Merino, P. Salgado, Generating higher-order Lie algebras by expanding Maurer.Cartan forms, J. Math. Phys. 50 (2009) 123527.

[2] R. Caroca, N. Merino, P. Salgado, "S-expansion of higher-order Lie alge-bras", J. Math. Phys. 50 (2009) 013503.

Interpetacion geométrica de la S-

expansión. Marco teórico.

Producto interno de un álgebra de Lie: El producto de Killing-Cartan entre generadores (o combinaciones lineales) da como resultado una forma cuadrática y bilineal que describe la geometría intrínseca.

El producto interno de Killing-Cartan o forma de

Killing-Cartan.

ijjsr

sr

irsji

srj

srrsijiji

gCCXX

XRXRXRXRtrXX

,

,

,

5,

los elementos matriciales de son definidos por iX

αβαβ ii CX

El producto interno de Killing-Cartan es invariante bajo

la acción de un grupo de automorfismos.

Uso del carácter en la obtención de álgebras de Lie S-expandidas. • El "carácter del álgebra“, caracteriza en forma

exclusiva a las distintas formas reales, inequivalentes

y no isomorfas, asociadas a los grupos de Lie.

Geométricamente, el carácter "mide el grado de

compacidad” de la variedad del grupo, dentro de un espectro acotado de valores enteros.

6.

compactos

sgeneradore

denúmero

compactos

nosgeneradore

denúmero

Caracter

Cuando la métrica de K-C esta ortonormalizada el

carácter coincide con la traza.

Otra característica esencial de un grupo de Lie, es

el Rango.

La forma de Killing-Cartan:

Bajo el producto de Killing-Cartan, un álgebra de Lie tiene la descomposición,

donde : representa a una subálgebra invariante nilpotente, p.e., álgebra de Galileo, álgebra de euclides, (el conjunto coseto de las traslaciones).. : subespacio de operadores no compactos. : subálgebra compacta.

110 VVVG

0V

V

V

Carácter del álgebra original (de partida):

12χ VdimVdim

0.χSi VdimVdim

Se obtuvo el producto de K-C de B=S x G

13,, γ

βδ ba

δ

αγ

β,bα,a

S XXKKVVXX

Podemos hacer uso del teorema espectral para diagonalizar la métrica.

14~,

~~~

,,

γ

βδ

.

γ

βδ

ba

δ

αγ

β,bα,adiag

ba

δ

αγ

β,bα,a

S

XXKKVV

XXKKVVXX

baparaXXpero ba 0,

15,, γ

βδ

.

aa

δ

αγ

β,aα,adiag

S XXKKVVXX

16~

λ...00

0.::

0....0

0...0λ

~,

1

β,a

KN

K

α,aT

S V

M

M

VXX

La métrica expandida que resulta es diagonal en bloques, pero es

diagonalizable, que en forma matricial se expresa

donde es un vector fila que representa a las coordenadas en el espacio B=S x G.

α,aTV~

NP 1

El es un vector columna y ,aV β~ .1 NP

es una matriz cuadrada que llamaremos “matriz ”, donde

P es el orden del semigrupo.

γ

βδ

δγ

δ

αγ KKMp

K ,

PP

KMA cada valor propio se le adosa una matriz

KM

iλ

16~

λ...00

0.::

0....0

0...0λ

~,

1

β,a

KN

K

α,aT

S V

M

M

VXX

17

λλ0000

λλ

λλ

0000λλ

,

1

1

11

NPNPPN

N

P

Sd XX

Al diagonalizar la matriz

La S-expansión produce efectos

sobre la signatura de la métrica:

ml

gsig

18

λλ

λλ

0

λλ

λλ

0

λλ

λλ

,

1

11

1

11

NPNPPml

Pl

l

Pl

P

Sd XX

Al diagonalizar la matriz

19

0

0

ABd

ABd

SABd g

gg

20

λ

λ0

λ

0

λ

λ

PlPlK

Ki

K

K

K

ABd

M

M

M

M

M

g

ld

d1

id

2d

1d

Diagonalización avalada en la Ley de Inercia de

Silvester.

21

λ-

λ-0

λ-

0

λ-

λ-

2

PmPmK

Ki

Ki

K

K

ABd

M

M

M

M

M

g

dml

d1l

dl

dl

d1l

22

λ

λ0

λ-

0

λ-

λ-

PPP

KdM

1Q

Q

2

1

Considerando que existen Q valores propios negativos de los P valores

propios en la matriz M

230N,N,0N,N

QllQP

24N,0N,N,0N QPmQm

25

NNNNVranS

26

NNNNVranS

27χ2χ QHPS

obtenemos finalmente que, el carácter del álgebra S-expandida:

HDenotando por a la cantidad de autovalores nulos en la matriz KM

No pueden ser los casos:

PH,χχ S

PH,,0χ0χSi S

)30()( aQVranQHPVranVRanS

)30()( bQVranQHPVranVRanS

)30()(00 cQranVranVPVranVRanS

Se establece el sistema de ecuaciones

Con ayuda de un programa iterativo, se encontró algunas de

las posibles S-expansiones, usando un sistema de ecuaciones

que involucra los rangos y las dimensionalidades, para ciertos

valores de los parámetros P, H y Q.

Por S-expansión:

28)()( lnSOnSOdesde

Características del término Pero el selector , luego tenemos

donde . Si fijamos los índices i=j=1

γ

δ

δ

γ ji KK

1,0δ

γ iK

PKK ji ,...,1,0γ

δ

δ

γ

Pji ,...,1,

P

δ1

δ

1

2

δ1

δ

12

1

δ1

δ

11δ1

δ

1 ... KKKKKKKK Pγ

γ

P

1

P

1

P

12

2

1

P

11

1

1

2

1

P

12

2

12

2

12

2

11

1

12

1

1

P

11

1

12

2

11

1

11

1

11

γ

δ1

δ

γ1

...

...

...

...

PPPP

P

P

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKKKK

0...00sup 2

112

2

12

2

12

2

11

1

12 P

P KKyKKyKKonemosSi

000 2

11

1

12

2

11

1

12 KyKKKcomo

0...0... 11

3

11

1

1112

3

12

2

12 PP KKKyKKKluego

......:

....λλ

..λλλ

..λλ

12

121

21

tablalatenemosy

Magnitud de los vectores

Una consecuencia de

Afecta la norma de los vectores bases

PKK ,...,1,0γδ

XKKgKKgKKX

CCKKCCCCX

XRXRXRXRtrXXX

ABAB

C

AD

D

AC

C

DA

D

CA

S

,

,,

,

,,

,

AAAAA

AAAAA

AAAAA

AA

gXPgP

gXg

gXg

XKKX

,,

,,

,,

,

:

11

00

AA XKKX

,

A

A

AA

A

XKKvV

gvV

,

,,

2,

Y en el caso general

Re escalamiento de las componentes diagonales del tensor Métrico, mediante el factor

KK

Separación angular entre vectores

El procedimiento de S-expansión afecta a los ángulos entre vectores

)()()()(

()(

,,

,cos

XRXRtrXRXRtr

XRXRtr

XXXX

XX

SS

SSθ

θcosθcosγ

βδ

δ

βγ

γ

αδ

δ

αγ

γ

βδ

δ

αγ

KKKK

KKS

jjii

ji

PP

P

KKKK

KK

,,

,

γ

βδ

δ

βγ

γ

αδ

δ

αγ

γ

βδ

δ

αγ

,...,3,2,1,0,...,3,2,1,0

,...,3,2,1,0

Criterio de semisimplicidad de Cartan: Un álgebra de Lie es semisimple, si y solo si, el determinante de la métrica de Killing-Cartan es distinto de cero. Un álgebra S-expandida será semisimple, si y solo si:

310,det SXX

Los grupos de Lie semisimples son muy

importantes en física.

Base de Cartan-Weyl:

• Si un álgebra no es semisimple, entonces el álgebra S-expandida

no es semisimple.

• Si un álgebra es semisimple, entonces el álgebra S-expandida puede ser semisimple o no.

La preservación de la semisimplicidad, dependerá básicamente, de

la matriz simetrica . KM

KMPara el caso de un semigrupo de orden dos, S = {λ₁,λ₂}, se obtiene la

matriz

32α

β2

β

α2

α

β1

β

α2

α

β2

β

α1

α

β1

β

α1

CB

BA

KKKK

KKKKM K

33,, α

β2

β

α2

α

β1

β

α2

α

β2

β

α1

α

β1

β

α1 KKCKKKKBKKA

Para que el álgebra S-expandida sea semisimple, se debe cumplir

que el , entonces evaluamos 0det 2 BACM K

.2

21

1

22

2

12

2

12

1

22

2

21

2

12

2

12

1

21

1

21

2

12

2

12

2

22

2

22

2

11

1

12

2

21

1

22

2

11

1

12

1

21

1

21

2

11

1

12

2

22

2

22

1

12

2

11

2

21

1

22

1

12

2

11

1

21

1

21

1

12

2

11

2

22

2

22

1

11

1

11

2

21

1

22

1

11

1

11

1

22

2

21

1

11

1

11

KKKKKKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKKKKKKAC

.2

21

1

12

2

22

2

12

1

22

2

11

2

22

2

12

1

21

1

11

2

22

2

12

2

22

2

12

2

21

1

12

2

21

1

12

2

21

1

12

1

21

1

11

2

21

1

12

2

22

2

12

1

22

2

11

1

22

2

11

1

22

2

11

1

21

1

11

1

22

2

11

2

22

2

12

1

21

1

11

2

21

1

12

1

21

1

11

1

22

2

11

1

21

1

11

2

KKKKKKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKKKKKKB

Determinación del semigrupo de orden 2, que

preserva la semisimplicidad en la expansión.

21,λλS

1°. Primer caso: Si 02

22

2

22

1

11

1

11 KKKK

0,01,1 1

22

2

11222

2

221

1

1111

1

11 KKKKKUnicidad

Y tenemos dos casos:

1.1. ,0,0,1 1

21

1

12

2

21

2

12 KKKK

1,1,2 CBA

34.01det,11

12

KK MM

35

λλλ

λλλ

λλ

222

211

21

2

1

SSemigrupo

1.2. Alternativamente:

.1,0,0,1 1

21

1

12

2

21

2

12

1

22

2

11

2

22

1

11 KKKKKKKK

2

1

222

211

21

121

222

12 cambio alIsomorfo

21

212

111

21

2

2

λλλ

λλλ

λλ

λλλ

λλλ

λλ

λλλ

λλλ SSSemigrupo

Siguiendo el mismo procedimiento anterior, obtenemos los semigrupos

no triviales que preservan la semisimplicidad:

35

λλλ

λλλ

λλ

)λ(λ

λλλ

λλλ

λλ

212

111

21

2

2

cambio alIsomorfo

21

222

211

21

2

1

SSSemigrupo

36)2(mod

λλλ

λλλ

λλ

)λ(λ

λλλ

λλλ

λλ cambio al

Isomorfo

2

212

121

21

2

421

122

211

21

2

3

ZSSSemigrupo

37

λλλ

λλλ

λλ

)λ(λ

λλλ

λλλ

λλ

122

221

21 cambio alIsomorfo

2

621

112

121

21

2

5

SSSemigrupo

Con el álgebra semisimple inicial

cualquiera.

S-expansión semisimple del álgebra de Lie

SO(3).

Al expandir el grupo SO(3) con el semigrupo 2

1S

21111

2

1 λ,λ,,)3( HEESOS

38,,,,)3( 2,11,12,11,12,11,1

2

1 HHEEEESOS

Si usamos la partición 1,11,11,11 ,,)3( HEESO

2,12,12,12 ,,)3( HEESO

Ambos SO(3) satisfacen las relaciones de conmutación de Cartan-Weyl:

1,11,11,1 , EEH

0, 1,11,1 HH

1,11,11,1 , EEH

1,11,11,1 2, HEE

2,12,12,1 , EEH 2,12,12,1 , EEH

0, 2,12,1 HH 2,12,12,1 2, HEE

:)3(1SO

:)3(2SO

Además, ambos grupos se cierran:

)3()3(),3( 111 SOSOSO

)3()3(),3( 222 SOSOSO

Conclusión: al expandir el álgebra SO(3) con el

semigrupo se obtiene una suma directa de dos

álgebras SO(3):

39)4()3()3()3( 21

2

1 SOSOSOSOS

Con su correspondiente diagrama de Dynkin:

2

1S

Con su correspondiente diagrama de raíces:

Cada uno es un ideal y por ende subálgebra.

Se puede extender la idea para los casos de semigrupos de orden mayor

40

λλλλ

λλλλ

λλλλ

λλλ

3333

3222

3211

321

3

1

S

41

,,,

,,,,)3(

,,λ,λ,λ)3(

3,12,11,13,1

2,11,13,12,11,13

1

111321

3

1

HHHE

EEEEESOS

HEESOS

Para un semigrupo de orden tres 321 ,, S

Producto directo

Al considerar la suma directa

)3()3()3()3( 321

3

1 SOSOSOSOS

donde

1,11,11,11 ,,)3( HEESO

2,12,12,12 ,,)3( HEESO

3,13,13,13 ,,)3( HEESO

Se cumplen relaciones de conmutación de Cartan-Weyl en cada

subgrupo por separado (doce en total), y cada grupo se cierra.

Cada subespacio vectorial lineal es un ideal y por ende una

subálgebra.

Matriz KM

111

122

123

α

β3

β

α3

α

β2

β

α3

α

β1

β

α3

α

β3

β

α2

α

β2

β

α2

α

β1

β

α2

α

β3

β

α1

α

β2

β

α1

α

β1

β

α1

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M K

yMK 01det

Con su correspondiente diagrama de Dynkin:

42)3()4()3()3()3()3( 321

3

1 SOSOSOSOSOSOS

La generalización es inmediata.

Al expandir el grupo SO(3) con el semigrupo 2

3S

10

2

3 )3( VVSOS

2,12,12,11

1,11,11,10

,,

,,

HEEV

HEEV

donde es una subálgebra y es un coseto simétrico 0V 1V

110

011

000

,

,

,

VVV

VVV

VVV

También se puede pasar del grupo SL(2,R) al SO(2,2)

utilizando el semigrupo : 2Z

acb

cca

bba

XXX

XXX

XXX

2,

,2,

2,

2

4

2

3

212

121

21

2

λλλ

λλλ

λλ

SSZ

SL(2,R);

SO(2,2):

),2()2,2( 2 RSLZSO

)(, MMMMiMM

342423141312 ,,,,, MMMMMMM

1,1,1,1

!¡Conformal

Obtener las (súper)álgebras mediante la S-expansión geométrica. Aplicación del método para la obtención de lagrangeanos en supergravedad.

Relación entre los diagramas de Dynkin y la S-

expansión geométrica.

Implementar el método para el caso de las F.D.A.

Posibles aplicaciones.

Para el caso no semsimple también se

encuentran reglas de selección.

FIN. ¡ GRACIAS !

donde H es una subálgebra compacta maximal. La descomposición de Cartan básicamente divide el álgebra en dos subespacios, uno con una métrica de K-C definida negativa y la otra definida positiva (ambas estrictamente definidas), además H y E son mutuamente ortogonales con respecto a este producto interno.

9EH Gc

tal que C es un coeficiente complejo. Aquí se tiene una descomposición tipo

81 0

l

i

ln

i

i EHC

Gc

)10(0),( EH

Consideremos un álgebra de Lie semisimple y compleja: