Lic. Fis. Carlos Levano Huamaccto

CICLO 2011-I Módulo:Unidad: 7 Semana: 7

FISICA I

DINAMICA ROTACIONAL

• Energía Cinética de Rotación• Inercia de Rotacional• Momento de Inercia• Teorema de ejes paralelos• Momento Angular• Conservación del Momento Angular

CONTENIDOS TEMÁTICOS

ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN

Es la energía de movimiento rotacional .

Ejemplos

K=(1/2)(2Kgm2)( 2 rad/s)2= 4J

I=(2Kg)(1m)2=2 Kgm2

INERCIA ROTACIONAL

Es la resistencia de un objeto a los cambios en su movimiento de rotación, es decir, los objetos en rotación tienden a permanecer en este estado, mientras que los objetos que no giran tienden a permanecer sin girar.

i la mayoría de la masa está ubicada muy lejos del centro de rotación, la inercia de rotación será muy alta y costará hacerlo girar o detener su rotación.

Si la masa está cerca del centro de rotación de un determinado objeto, la inercia será menor y será más fácil hacerlo girar.

Eje de giro

MOMENTO DE INERCIA

Es la medida de la inercia rotacional.

Discreto

Continuo

EJEMPLOS: Momento de inercia de cuatro cuerpos puntuales.

EJEMPLOS: Determinar el momento de inercia del sistema de cuatro partículas puntuales.

Ejercicios: Determine el momento de inercia para cada eje.

EJEMPLO: Momento de Inercia de una barrra

Ejemplo: Determinar el momento de inercia del sistema

M0MENTO DE INERCIA DE ALGUNOS CUERPOS

TEOREMA DE EJES PARALELOS

TORQUE Y MOMENTO ANGULAR

Recuerden

Relación entre torque y aceleración angular

Partícula

Cuerpo

EJEMPLOS: Determinar la aceleración tangencial

Determine la aceleración angular de la rueda.

Solución:

MOMENTUM ANGULAR

MOMENTO ANGULAR

l momento angular o cantidad de movimiento angular es una magnitud que resulta del producto entre el momento de inercia(I) y la velocidad angular (ω) de un cuerpo en rotación. Es un vector que se determina con la regla de la mano derecha y su módulo es

L L = I · = I · ωω

Sus unidadesSus unidades

Sistema Internacional: kg·mSistema Internacional: kg·m²²/s/s

CGS: g·cmCGS: g·cm²²/s/s

Momento Angular (L)

Se relaciona con el hecho de que un objeto en rotación persiste en este tipo de movimiento. El momento angular produce una cierta estabilidad de giro en el eje de rotación. Por eso es fácil mantener el equilibrio en una bicicleta en movimiento, ya que al girar las ruedas se produce este fenómeno.

Conservación del momento angular

Cuando un cuerpo se encuentra girando , su momento angular permanece constante a no ser que sobre él actúe un torque externo que lo haga modificar su estado de rotación. Luego si el torque externo es cero, el momento angular final (Lf)Es igual al momento angular inicial(Li).

IIinicialinicial · · ωωinicialinicial = I= Ifinalfinal · · ωωfinalfinal

jemplo.- Una rueda de bicicleta girando horizontalmente experimenta una variación en su velocidad angular. Esto significa que pudo variar.

. su inercia rotacional.

I. su momento angular.

II. el torque neto sobre ella.

s o son verdadera(s):

) sólo I

) sólo II

) sólo III

) sólo I y II

) sólo II y III

Ejemplo: Calcular el momento de inercia de disco

X

Y

Z

R ∫=

R

O dmrI

0

2 ] 4

0 3

2

1

2

1Rr

Rπρπρ == 2

2

1 MR=∫=

R

drrr

0

2 2 πρ

jemplo.-Calcular el momento de inercia de un rectángulo homogéneo cuyas dimensiones son a×b, su densidad superficial es ρ y su espesor despreciable, respecto a los ejes X, Y, Z indicados en la figura.

olución

X

Y

Z a

b

a

b

baM ρ=

La masa de la figura es su área por su densidad superficial

Momento de inercia respecto al eje X

Y

X

( )∫+

−

+=

2/

2/

22

b

b

xx dmzyI ∫+

−

=

2/

2/

2

b

b

dmy

∫+

−

=

2/

2/

2

b

b

xx dyyaI ρ ] 2/

2/3

3

1 b

bya+−= ρ

−=8

-8

3

1 33 bbaI xx ρ 3

12

1baρ= 2

12

1bM=

En función de la masa M

Y

X

a

b

( )∫+

−

+=

2/

2/

22

a

a

yy dmzxI ∫+

−

=

2/

2/

2

a

a

dmx ∫+

−

=

2/

2/

2

a

a

dxxbρ ] 2/

2/3

3

1 a

axb+−= ρ

−=8

-8

3

1 33 aabρ 3

12

1abρ= 2

12

1aM=

Primero consideremos el momento de inercia respecto al centro O

( )∫ ++= dmzyxIO222 ( )∫ += dmyx 22

figura plana

yyxx II +=

Ozzyyxx IIII 2=++

( )zzyyzzyyxx IIIII +=++ 2Por lo tanto, para una figura plana

yyxxzz III +=

Usando los resultados anteriores ( )22 12

1baMI zz +=

5 5

4Rρπ=∫∫ ==

R

O drrrdmrI

0

222 4 ρπ ∫=

R

drr

0

4 4 ρπ23

3

4

5

3RR

= ρπ 2

5

3RMIO =

Ejemplo:-Calcular el momento de inercia de una esfera homogénea de radio R y densidad ρ respecto a uno de sus diámetros. Y

O

Ya que todos los puntos materiales de cada una de esas capas está

situado a la misma distancia r del centro, el momento de inercia

respecto de O es:

GRACIAS