SEÑALES Y SISTEMAS Clase 10 - catedra.ing.unlp.edu.ar · Convolucion continua 2´ Resulta la...
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SENALES Y SISTEMASClase 10
Carlos H. Muravchik
9 de Abril de 2018
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Habıamos visto:
I Sistemas en generalI Generalidades. Propiedades. Invariancia. Linealidad.
Y se vienen hoy:
I Sistemas grales: Causalidad. Estabilidad. Combinacion.I Sistemas Lineales.I Convolucion discreta.I Convolucion continua.I Invariancia, causalidad,I Estabilidad EA/SA. (si entra)
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Sistemas variantes
Vimos invariantes en el tiempo e invariantes al desplazamientoSi no son invariantes, son variantes: SVT y SVD.
I El operador de un SVT cambia segun el instante en que seaplica la senal.
I Por ejemplo, se debe denotar y [n] = Hk{x(·)}[n] indicandoque se aplico la secuencia x [·] en el instante k y seobserva su respuesta y [·] en el instante n.
De manera similar para sistemas IT.
Ejemplo 1: Celular - enlaces ascendente (movil a base) ydescendente (base a movil): camino variable de las ondas EM.
Ejemplo 2: Guiado - vehıculo con masa variable por consumode combustible (recordar F = d(m~v)
dt ).
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Causalidad
Intuicion: dado un cambio a la entrada, la respuesta al mismoaparece en la salida de un sistema causal solamente despuesdel cambio en la senal de entrada.
I Sistemas fısicos: son causales.I Sistemas con senales VIC o VID que no son tiempo
pueden dar sistemas anticipativos o no-anticipativos.I En la computadora es facil tener sistemas anticipativos.
Por ejemplo:
y [n] = x [n − 1] + x [n] + x [n + 1]
o en imagenes.
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Estabilidad 1Intuicion: Un sistema es estable si para una perturbacion deentrada de pequena amplitud, no se aparta demasiado delpunto donde estaba y/o retorna a el, mas o menos lentamente.
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Estabilidad 2I Hay varios tipos de estabilidad (se vera mas en Control,
Control moderno) asintotica, exponencial, uniforme, etc.I Usaremos una forma simple: estabilidad en sentido
entrada-acotada/salida-acotada, denotada EA/SA.I Estabilidad EA/SA – intuicion: para cualquier entrada
acotada la salida tambien resulta acotada.I Entrada acotada: significa que existe 0 < Ke <∞ tal que|x [n]| < Ke, ∀n ∈ Z.
I x [n] = en no es acotada; x [n] = cos(2πf0n + φ) es acotadapues cualquier Ke ≥ 1 es una cota.
I Estabilidad EA/SA: Un sistema es estable EA/SA si aplicarcualquier entrada acotada causa que exista un0 < Ks <∞ tal que |y [n]| < Ks, ∀n ∈ Z; o sea, que lasalida sea acotada.
I Igualmente para sistemas continuos.
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Estabilidad – ejemplosEjemplo 1: y(t) = y2(t) + x(t), con condicion inicialy(0) = y0 > 0 y entrada nula x(t) = 0
yy2 = 1 ⇒
∫ y(t)
y0
dyy2 =
∫ t
0dτ ⇒ −1
y
]y(t)
y0
= t
Luego t = 1y0− 1
y(t) y finalmente y(t) = y01−y0t que vale para
0 ≤ t < 1/y0 y explota para t → 1/y0. ¿Y si y0 < 0?
Ejemplo 2: y(t)− ay(t) = x(t) con condicion inicial y(0) = y0,a > 0 y entrada nula x(t) = 0.
yy
= a ⇒ logy(t)y0
= at ⇒ y(t) = y0eat
1/y0
y0
0 t
y0e
y0
0 t
tEj. 1 Ej. 2
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Estabilidad – ejemplo discreto
Ejemplo 3: y [n]: balance de una cuenta bancaria; α: tasa diariade interes; x [n]: depositos diarios.Entonces
y [n + 1] = (1 + α)y [n] + x [n]
Si comienzo el dıa cero con y [0] = y0 y nunca deposito nada,
y [1] = (1 + α)y0 + 0
y [2] = (1 + α)y [1] = (1 + α)2y0
y [n] = (1 + α)ny0
... como α es positivo, sere rico si vivo lo suficiente!
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Combinacion de sistemas en general
I Serie o cascadaSistema 1 Sistema 2- -
I ParaleloSistema 1
Sistema 2
- -
I RealimentacionSistema 1
Sistema 2
- i+ -
6
-
�
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Sistemas LinealesRecordamos al operador que representa a un sistema:{
y(t) = H{x(·)}(t) VICy [n] = H{x [·])}[n] VID
Sistema Lineal: esI homogeneo yI aditivo.
O de manera equivalente, satisface el
Principio de Superposicion: para 2 constantes cualesquieraa,b ∈ R y dos entradas arbitrarias x1(t), x2(t) ∈ Ce, se formax(t) = ax1(t) + bx2(t). Sean y1(t) = H{x1(·)}(t) ey2(t) = H{x2(·)}(t), entonces H satisface el principio desuperposicion si cumple
y(t) = H{x(·)}(t) = ay1(t) + by2(t)
I Similar para sistemas discretos.13 / 36
Incrementalmente lineales
Recordar el Ejemplo 2 de Sistemas con Memoria.
y(t) = vC(0)e−t/RC +1
RC
∫ t
0e−(t−σ)/RCx(σ) dσ
El sistema no es homogeneo ni aditivo; no es lineal!!
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Incrementalmente lineales
¿A que se debe? Al termino con las condiciones iniciales. Esomotiva
Definicion: sistemas en los que la diferencia de las salidas paracualesquiera dos funciones de entrada es una funcion lineal.
Forma general de sistemas incrementalmente lineales
sistema lineal-x(t) -y(t) i+ -y(t)?
y0
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Invariancia en el tiempo
Sistema VIC.1. Se aplica x1(t) y se obtiene y1(t) = H{x1(·)}(t).2. Si se aplica la misma senal en el instante t0, se aplica una
x2(t) = x1(t − t0). La salida es y2(t) = H{x2(·)}(t).3. El sistema es invariante en el tiempo si se cumple que
y2(t) = y1(t − t0).4. Interpretacion: la respuesta que da el sistema a una
entrada es la misma, pero desplazada acordemente, noimporta en que instante se la aplica.
5. Un sistema lineal, que es invariante en el tiempo, sedenota abreviadamente SLIT.
6. Nota: Esta propiedad es la que le permite considerar enlos circuitos RLC que la llave siempre se cierra en t = 0
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Invariancia al desplazamiento
Sistema VID.1. Se aplica x1[n] y se obtiene y1[n] = H{x1(·)}[n]
2. Si se aplica la misma senal desplazada en n0, se aplicauna x2[n] = x1[n − n0]. La salida de denominay2[n] = H{x2(·)}[n].
3. El sistema es invariante al desplazamiento si se cumpleque y2[n] = y1[n − n0]
4. Interpretacion: la respuesta que da el sistema a unaentrada es la misma, pero desplazada acordemente, noimporta en que momento se la aplica
5. Un sistema lineal discreto, que es invariante aldesplazamiento, se denota abreviadamente SLID
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Convolucion discreta 1Ingredientes:
I Sistemas lineales discretos (manejan SVID) con operadorH que satisface el principio de superposicion. Tanto paraSLID como SLVD.
I Representacion de SVID en terminos de impulsos
x [n] =∞∑
k=−∞x [n − k ]δ[k ] =
∞∑k=−∞
x [k ]δ[n − k ]
I Aplicando H, en la igualdad de la derecha se puedeinterpretar a x [k ]δ[n − k ] como una secuencia con unimpulso en k de amplitud x [k ].
y [n] = H
∞∑
k=−∞x [k ]δ[n − k ]
[n] =∞∑
k=−∞x [k ]Hk{δ[·]}[n]
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Convolucion discreta 2
y [n] =∞∑
k=−∞x [k ]Hk{δ[·]}[n] =
=∞∑
k=−∞x [k ]h[n, k ]
donde h[n, k ] es la respuesta impulsional: la respuestaobservada en el instante n a un impulso (de Kronecker)aplicado en el instante k .
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Convolucion discreta SLVT
Ejemplo:x [n] =
∑1k=−1 x [k ]δ[n − k ] con x [−1] = −2, x [0] = 5, x [1] = 2
y [n] =1∑
k=−1
x [k ]h[n, k ]
−2 0 2 40
5
−2 0 2 40
5
−2 0 2 40
5
−2 0 2 40
5
n
n
n
n
5
45
4
23
5
2
1
x[n] h[n,-1]
h[n,0] h[n,1]
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Convolucion discreta SLVT
y [n] =1∑
k=−1
x [k ]h[n, k ]
−2 0 2 4
−10
−5
0
5
−2 0 2 40
20
−2 0 2 40
10
20
−2 0 2 40
10
20
30
n
n
n
n
20
−10
8
1525
4 2
9
23
12
x[-1] h[n,-1]
x[0] h[n,0]
x[1] h[n,1]
y[n]
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Especializacion a SLID:Operador basico para todo SL: convolucion.
SLVD: Convolucion discreta - recordar:
y [n] =∞∑
k=−∞x [k ]Hk{δ[·]}[n] =
=∞∑
k=−∞x [k ]h[n, k ]
SLID:
h[n, k ] = h[n − 1, k − 1] = h[n − k ,0] , h[n − k ]
y [n] =∞∑
k=−∞x [k ]h[n − k ] =
∞∑m=−∞
x [n −m]h[m]
Notacion: SLID y [n] = {x ∗ h}[n]
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Convolucion graficaPapeles deslizantes
y [n] =∞∑
k=−∞x [k ]h[n − k ]
1. Dibujar x [k ] y dejar fija.2. Obtener h[·].3. Reflejar h[·].4. Desplazar el origen de h al punto de observacion n.5. Multiplicar muestra a muestra y sumar, da y [n].6. Repetir 4) y 5) hasta tener todos los puntos deseados.
Notar: roles intercambiables de x y h
y [n] =∞∑
m=−∞x [n −m]h[m]
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Convolucion grafica
Ejemplo: x y h
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−2−1
012345
k
x[k]
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6012345
k
h[k]
n−4 n−1 n n+1012345
k
h[n−
k]
Por ejemplo, queremos y [−3]
0−2−1
012345
k
x[k]
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0012345
k
h[−
3−k]
y[−3]=0
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Convolucion grafica – cont.Si queremos y [0]
0−2−1
012345
k
x[k]
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3012345
k
h[−
k]
y[0]=23
Si queremos y [5]
0−2−1
012345
k
x[k]
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8012345
k
h[5−
k]
y[5]=2
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Duracion
x y h de duracion finita;
0−2−1
012345
kx[
k]
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0012345
k
h[−
3−k]
y[−3]=0
Duracion de y : duracion de x mas duracion de h menos 1.
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Causalidad
Aplicando δ[n] (impulso en cero); la respuesta esh[n] = 0; n < 0. El SLID es causal⇔ respuesta impulsionalunilateral a derecha.
y [n] =∞∑
m=−∞x [n −m]h[m] =
∞∑m=0
x [n −m]h[m]
=∞∑
m=−∞h[n −m]x [m] =
n∑m=−∞
h[n −m]x [m]
Si ademas, x [n] fuera unilateral a derecha (x [n] ≡ 0; n < 0)
y [n] =n∑
m=0
h[n −m]x [m]
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Convolucion continuaIngredientes:
I Sistemas lineales continuos (manejan SVIC) con operadorH que satisface el principio de superposicion. Tanto paraSLIT como SLVT.
I Representacion de SVIC en terminos de impulsos
x(t) =
∫ ∞−∞
x(σ)δ(t − σ)dσ
I Aplicando H se puede interpretar a x(σ)δ(t − σ) como unasenal con un impulso (Dirac) en σ de area x(σ)
y(t) = H{x(·)} (t) = H{∫ ∞−∞
x(σ)δ(t − σ) dσ}
(t)
I Mas hipotesis adicionales, definiendoh(t , σ) = Hσ{δ(·)}(t).
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Convolucion continua 2Resulta la convolucion para SLVT:
y(t) = {x ∗ h}(t) =
∫ ∞−∞
x(σ)h(t , σ)dσ
I Para SLIT: h(t , σ) , h(t − σ) luego
y(t) =
∫ ∞−∞
x(σ)h(t − σ)dσ =
∫ ∞−∞
h(λ)x(t − λ)dλ
I Agregando Causalidad: h(t) ≡ 0; t < 0 luego
y(t) =
∫ t
−∞x(σ)h(t − σ)dσ =
∫ ∞0
h(λ)x(t − λ)dλ
I Si ademas la senal de entrada se aplica en cero, o sea esunilateral a derecha desde t = 0, x(t) ≡ 0; t < 0
y(t) =
∫ t
0x(σ)h(t − σ)dσ =
∫ t
0h(λ)x(t − λ)dλ
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SLIT - Convolucion graficaPapeles deslizantes
y(t) =
∫ −∞−∞
x(σ)h(t − σ)dσ
1. Dibujar x(t) y dejar fija.2. Obtener h(·).3. Reflejar h(·).4. Desplazar el origen de h al punto de observacion t .5. Multiplicar punto a punto e integrar, da y(t).6. Repetir 4) y 5) hasta tener todos los puntos deseados.
Notar: roles intercambiables de x y h
y(t) =
∫ ∞0
h(σ)x(t − σ)dσ
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Propiedades de la Convolucion y CombinacionesValidas tanto para SLIT como SLID (con los cambios obvios):
I Conmutativa: y = {x ∗ h} = {h ∗ x}. Intercambiabilidadentre respuesta impulsional y entrada.
I Asociativa:y2 = {x ∗ h1 ∗ h2} = {{x ∗ h1}︸ ︷︷ ︸
y1
∗h2} = {x ∗ {h1 ∗ h2}︸ ︷︷ ︸h
}.
h = h1 ∗ h2 = h2 ∗ h1 es el sistema equivalente a uno serie.I Distributiva: y = {x ∗ {h1 + h2}︸ ︷︷ ︸
h
} = {x ∗ h1}︸ ︷︷ ︸y1
+{x ∗ h2︸ ︷︷ ︸y2
}.
h = h1 + h2 es el sistema equivalente a un paralelo.
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Estabilidad de SLID 1Teorema: Un SLID es estable en sentido EA/SA sii surespuesta impulsional es absolutamente sumable; es decir
existe 0 < Kh <∞ tal que∞∑
k=−∞|h[k ]| ≤ Kh
Demostracion: 1) “ida” y 2) “vuelta”.1) h abs. sumable es suficiente:Sea una entrada acotada por 0 < Ke <∞, o sea |x [n]| ≤ Kepara todo n. El modulo de la salida es
|y [n]| =
∣∣∣∣∣∣∞∑
k=−∞x [k ]h[n − k ]
∣∣∣∣∣∣ ≤∞∑
k=−∞|x [k ]||h[n − k ]| ≤
≤ Ke
∞∑k=−∞
|h[n − k ]|
≤ KeKh
tomando Ky = KeKh la salida resulta acotada.32 / 36
Estabilidad de SLID 2
2) h abs. sumable es necesaria: sistema EA/SA⇒ h es abs.sumable.⇔ h NO es abs. sumable⇒ sistema NO es EA/SA.Mostraremos una entrada acotada que, suponiendo que h NOes abs. sumable, dara y [n] no acotada.Sea x [n] , h[−n]/|h[−n]| luego |x [n]| ≤ Ke = 1 para todo n. Lasalida en n = 0 es
y [0] =∞∑
k=−∞x [k ]h[−k ] =
∞∑k=−∞
h[−k ]h[−k ]
|h[−k ]|=
=∞∑
k=−∞|h[−k ]| → ∞
que no esta acotada por hipotesis. Luego y no esta acotada yentonces el sistema no es EA/SA.
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Estabilidad de SLIT 1
Paralelo a SLID:
Teorema: Un SLIT es estable en sentido EA/SA sii surespuesta impulsional es absolutamente integrable, es decir,
existe un 0 < Kh <∞ tal que∫ ∞−∞|h(τ)|dτ ≤ Kh
Demostracion: similar a la de SLID.
Repase las ideas de la demostracion para SLID, haciendo estapara SLIT.
¿Y si el sistema fuera VT (tanto C como D)?
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Proximas Clases
I Otras representaciones de SLIT y SLID: diagramas debloques, estados
I Sistemas Lineales con entradas aleatoriasI Analisis frecuencial: Transformada de Fourier. Inicio
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