Curso Eb-103 Circuito de Corriente Alternada (Primera Parte)
Serie Alternada mate II
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Serie alternada
Enmatemticas, unaserie alternadaes unaserie infinitadel tipo
conan 0. Una suma finita de este tipo es unasuma alternada.
Condiciones de convergencia[editar]Una condicinsuficientepara que laseriealternada converja es que seaabsolutamente convergente. Pero la misma no es una condicinnecesaria, ya que existen series que no la satisfacen y aun as son convergentes. Por ejemplo, laserie armnica
diverge, mientras que su versin alternada
converge allogaritmo naturalde 2.
Un test ms amplio de convergencia de una serie alternada es eltest de Leibniz: si la sucesines montona decreciente y tiende a cero, entonces la serie
converge.
Se puede utilizar lasuma parcial
para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Sies montona decreciente y tiende a cero, entonces el error en esta aproximacin resulta ser menor que.
Convergencia condicional[editar]Unaserie condicionalmente convergentees una serie infinita que converge, pero no converge absolutamente. El siguiente resultado anti intuitivo es verdadero: si la seriereal
converge condicionalmente, entonces para todo nmero realexiste unreordenamientode la serie tal que
Como un ejemplo de esto, consideremos la serie precedente para el logaritmo natural de 2:
Una forma posible de reordenar la serie es (los parntesis en el primer rengln estn nicamente para mejorar la comprensin):
Una demostracin de este postulado se basa en que elalgoritmo vorazpara escorrecto.
Criterio de Leibniz
Enanlisis matemticoelcriterio de Leibnizes un mtodo, debido aGottfried Leibniz, utilizado para demostrar laconvergenciadeseries alternadas.
Unaserie alternadaesaquellade la forma:
conan 0.
Entonces, la serie converger si lasucesinanesmontona decrecienteyconvergente a cero(han de cumplirse ambas condiciones). Adems, si
y
la suma parcialSkaproxima la suma de la serie con error
La inversa en general no es cierto.