SERIES NOTABLESSERIES

INTRODUCCIÖN:En el mundo actual muchos de los avances en la ciencia y la tecnología se deben al desarrollo incesante de la matemática y en ese sentido el cálculo integral juega un papel importante. Una de las herramientas fundamentales empleadas en el cálculo integral lo constituyen las series cuyo origen y uso datan de la antigüedad.En nuestro curso desarrollaremos el tema de forma sencilla pero sentando las bases para una posterior ampliación en tus estudios universitarios, aplicaremos además algunas de sus conclusiones en el capítulo: Conteo de figuras:

RESEÑA HISTÓRICA La operación aritmética fundamental en el antiguo Egipto era la edición y los escribas llegaron a realizar cálculos muy complicados con series finitas compuestas por fracciones. Durante la época griega encontramos en la proposición 35 del libro IX de Los Elementos de Euclides una fórmula para hallar la suma de los términos de una serie geométrica finita expresada elegantemente en prosa y cuyo equivalente actual sería:

El gran Arquímedes empleo la expresión:

para calcular el área de un segmento parabólico con lo que logro resolver el problema de cuadratura de la parábola cuestión que desde hacia un siglo atrás atormentaba a los matemáticos griegos. Aunque el genio no habla de Series Infinitas pues los “procesos infinitos” no eran aceptados en aquella época no se hace problemas para trabajar con ellas, situándose así muy cerca del moderno cálculo integral y convirtiéndose en el único matemático de la antigüedad que estuvo a punto de lograrlo.

Nicomaco es quien demuestra que la suma de la n primeros cubos perfectos es igual al cuadrado de la suma de los n primeros números enteros.En la obra china “El espejo precioso” del matemático Chu Shih Chie encontramos la expresión:

problema que es resuelto mediante el método denominado de las diferencias finitas cuyas bases se remontan al siglo VII D.C.El matemático Aryabhata consigna en su obra “Aryabhatiya” las fórmulas para el cálculo de la suma de los términos de una progresión aritmética y la de una progresión geométrica aunque no brinda la demostración de dichas fórmulas. Una de las más conocidas series es la llamada de Maclaurin. Colin Maclaurin fue uno de los matemáticos más grande del siglo XVIII y no goza de toda la popularidad que merece pues su figura se ve eclipsada por su contemporáneo protector y amigo Isaac Newton. Maclaurin elevo a un nivel muy alto los estudios matemáticos en Escocia y mantuvo junto con Landen e Ivory la reputación de los matemáticos británicos por más de 70 años. La serie que lleva su nombre aparece en la obra “Treatise of Fluxiones”, publicado en 1742.

Fuente: “Historia de la matemática “ C.B. Boyer

LOS CONEJITOS DE FIBONACCI:“..... supongamos que tenemos una pareja de conejo macho y hembra en un corral donde pueden anidar y criar. Supongamos además que los conejos empiezan a procrear a los dos meses de su nacimiento engendrando siempre un único par macho y hembra y a partir de ese momento cada uno de los meses siguientes un par mas de iguales características. Asimismo que

no se muere ningún conejito. ¿Cuántos conejos contendría el corral al cabo de un año?”. Veamos:Árbol genealógico de los conejitos de Fibonacci.

FINAL TOTAL DE DEL MES PAREJAS______________________________________

0 1______________________________________1 2______________________________________2 3______________________________________3 5______________________________________4 8______________________________________5 13

Observación: 1° 2° 3° 4° 5° 6°......12°

Sucesión 1, 1, 2, 3; 5, 8....., 144de Fibonacci

Serie 1 + 1 + 2 + 3 + 8 + 8+. ..+144

¿Qué es una serie numérica?Se denomina serie numérica a la adición indicada de los términos de una sucesión numérica. Al resultado de la adición si es que este existe se le llama suma o valor de la serie.ejemplo: Si tenemos la sucesión:4;7;10;13;16;........;(3n+1);..........La serie asociada a ella será:4 + 7 + 10 + 13 + 16 +..........+ (3n+1) +........

Puede observarse que el término enésimo de la sucesión dada es: tn=3n+1entonces recordemos que podemos escribir la serie dada de

forma abreviada empleando la notación sigma que

denota “Sumatoria”Así

=4 + 7 + 10 + 13 +......

PRINCIPALES SERIES NOTABLES1. Suma de los “n” primeros números naturales

S=1+ 2 + 3+ .....+ n

Ejm: Calcular la suma de los 40 primeras filas del siguiente arreglo numérico.

F1........................ 1

F2........................ 2 3

F4......................... 4 5 6

F5........................ 7 8 9 10

RESOLUCIÓN............................................................................................................................................................................................................

2. Suma de los “n” primeros números pares naturales.Ejemplo:Dino camina entre dos puntos A, B de la siguiente manera. Avanza 3m y retrocede 1m; avanza 5m; 7m; 9m y así sucesivamente, retrocediendo sucesivamente 1m cada

Razonamiento Matemático8

vez que avanza. Si la última vez que caminó hacia adelante avanzó 41m, hallar AB si luego de su último avance no retrocedió.

RESOLUCIÓN................................................................................................................................................................................................................................................................................En general:

3. Suma de los “n” primeros números impares naturales.

Ejemplo:Hallar la suma de los 25 primeros términos, de la sucesión determinada por la diferencia de las sucesiones definidas por:

tn=2n2 – n y

tn=2n2 – 3n+1

Nota: Los términos de la nueva sucesión pertenece a

RESOLUCIÓN............................................................................................................................................................................................................

En general:

=

4. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números naturales.Ejemplo:En el triángulo numérico hallar la suma de las veinte primeras columnas. (Dar como respuesta la suma de cifras).

C1 C2 C3 C4.....

43 4

2 3 4 1 2 3 4......

RESOLUCIÓN............................................................................................................................................................................................................

En general:

5. Suma de los cubos de los “n” primeros números naturales.Ejemplo: Hallar la suma de:

12 + 22 + 32 + 42 +............................+ 152

22 + 32 + 42 +................................+ 152

32 + 42 +...................................+ 152

42 +.......................................+ 152

142 + 152

152

RESOLUCIÓN............................................................................................................................................................................................................En general:

6. Suma de los “2n” primeros productos consecutivosa. Tomados de 2 en 2

Ejemplo: Un frutero está apilando naranjas con el ánimo de formar dos pirámides tetraédricas iguales. Si desea que cada pirámide tenga 21 niveles, ¿cuántas naranjas debe tener como mínimo?RESOLUCIÓN............................................................................................................................................................................................................En general:

b. “Tomados de 3 en 3” Ejemplo: Hallar la suma de los términos en el siguiente arreglo triangular. A A=11x12x13 B C B=12x13x14 D E F C=13x14x15 G H I J D=14x15x16

RESOLUCIÓN............................................................................................................................................................................................................

En general:

Importante: Suma de términos de una serie conociendo su término enésimo Ejemplos:1. Si:

2. Si:

3. Si:

Aplicación:Calcular la suma de los veinte primeros términos de: S=4+11+22+37+56+....

RESOLUCIÓN

Razonamiento Matemático9

.....................................................................................................

.....................................................................................................

..

OBSERVACIÓN:Dada una sucesión polinomial

1° 2° 3° 4° 5° 6°........n°

Entonces la suma de sus términos:

Sn= t1 + t2 + t3 + t4 +........+ tn

Se obtiene a partir de:

Aplicación:

Resolución

Luego:

....................................................................................

...................................................................................................

S20 =........... Rpta

Importante

1. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números pares naturales

2. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números impares naturales.

3. Suma de los cubos de los “n” primeros números pares naturales.

4. Suma de los cubos de los “n” primeros números impares naturales

5. Suma de potencias

6. Suma de las inversas de los productos consecutivosa. De 2 en 2

b. De 3 en 3

7. Suma de los “n” primeros números naturales a la cuarta potencia

8. El número e

PROBLEMAS

01.

A) 3025 B) 2025 C) 6050 D) 4025 E) 5050

02. Simplificar:

A) 10 B) 84 C) 20 D) 60 E) 80

03. Calcular el valor de:

A) 1/18 B) 1/9 C) 2/9 D) 5/36 E) 5/18

04. Calcular:

A) 19380 B) 1140 C) 15650 D) 23130 E) 21130

05. Calcular el valor de

S = 1+3+5+....+ x; si se sabe que: x+......+83+85+89=1625

Razonamiento Matemático10

z z constante

t1 , t2, t3, t4, t5 t6......, tn

r1 r2 r3 r4 r5

p1 p2 p3 p4

v1 v2 v3

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7°......

4 , 5, 8, 18, 43, 94, 185,

1 3 10 25 51 91

2 7 15 26 40

5 8 11 14

3 3 3

D4D3

A) 41 B) 1681 C) 400 D) 441 E) 961

06. Calcular “S1+S2” Siendo:

S1: la suma de términos de D3

S2: la suma de términos de D4

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 19 19 1

A) 5985 B) 5855 C) 5900 D) 6985 E) 5585

07. Una persona debe vaciar un balde de agua a cada uno de los 20 árboles que están sembrados en fila y separados uno del otro 8m. Si la persona en cada viaje sólo puede llevar un balde con agua y el pozo donde sacará el agua está a 10m del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido, después de haber terminado con su tarea y haber vuelto el balde hasta donde está el pozo?

A) 1160 B) 2520 C) 3820 D) 3440 E) 5640

08. Hallar la suma de:

A) B) C)

D) E)

09. Un tren salió de su paradero inicial con 7 pasajeros y en cada parada suben dos pasajeros más de los que hay. Si al llegar a su paradero final se contaron 616 pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo a recoger pasajeros?

A) 24 B) 25 C) 26 D) 22 E) 21

10. Calcular el valor de:

A) 1 B) C) D) E)

11. Rebeca al ganarse el premio mayor lo reparte entre sus sobrinos de la siguiente manera: al 1ro S/.100, al 2do S/.200, al 3ero. S/.300, y así sucesivamente en P.A. teniendo en cuenta que cuando ya no se pueda continuar con los que siguen, se continuará repartiendo de la manera anterior y así sucesivamente, hasta agotar todo el premio cuyo valor asciende a S/. 22900. ¿Cuántos sobrinos se beneficiaron?

A) 20 B) 22 C) 25 D) 27 E) 28

12. Angélica camina cinco pasos hacia delante y dos hacia atrás, luego de 10 hacia delante y cuatro hacia atrás; y así sucesivamente en P.A ¿Cuántos pasos habrá dado en el momento que por primera vez se encuentra a 1105 pasos del punto de partida?

A) 2305 B) 975 C) 2905 D) 2405 E) 1405

13. Calcular el valor de:

A) 2520 B) 2870 C) 3520 D) 1940 E) 1980

14. Calcular la suma de todos los términos unidos por la línea demarcada hasta la fila 20.

F1 1

F2 1..... 2 1

F3 1 3 3 1

F4 1 4 6 4 1

F5 1 5 10 10....5 1

F6 1 6 15 20 15 - 6 1

F20...................................................................

A) 7410 B) 3570 C) 2180 D) 1540 E) 3420

15. Un agricultor posee 10 troncos de árbol que los planta en línea recta, separados 7m y 2m alternadamente.Hallar el recorrido total a partir del instante que muestra la figura hasta que termina.Solo carga uno a la vez.

A) 625 B) 425 C) 350 D) 580 E) 320

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. En una P.A. la suma de todos los términos en función del número de término es:

Hallar el término 400.

A) 405 B) 905 C) 1205

Razonamiento Matemático11

1er Tronco 2do Tronco

7m2m

D) 1725 E) 4025

02. Calcular:

Sabiendo que (n15)

A) 1/3 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/7 E) 2/7

03. Hallar las sumas de las áreas de los infinitos círculos así formados, tomando como diámetro el radio de la circunferencia anterior.

A) 144

B) 160

C) 180

D) 192

E) 200

04. En la siguiente serie:

1+2x+3x2+4x3+.....+(n+1) xn; 0 x 1

A)

B)

C)

D)

E)

05. Calcular: S+M si:

S=13 + 33 + 53 + 73 +.......+ 393

M=22 + 42 + 62 +.....+ 382

A) 98804 B) 319600 C) 94500D) 329480 E)) 12450

06. Calcular el valor de S:

A) 650 B) 651 C) 750 D) 751 E) 951

07. Efectuar:

A) 8/15 B) 23/15 C) 15/23 D) 7/15 E) 7/23

08. Hallar el número de términos de la siguiente serie:

A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28

09. Hallar la suma de los 78 términos de la serie aritmética:

A) 25380 B) 40911 C) 42315D) 37410 E) 50125

10. En la Academia “ACSITEC”, el tutor, ha implantando una estrategia de disciplina para evitar las tardanzas, la cual consiste en lo siguiente: El alumno que llegue a las 8:01,tendrá que entregar al tutor 2 caramelos, el que llegue a las 8:02, tendrá que entregar 5 caramelos, el que llegue a las 8:03, 10 caramelos, el que llegue a las 8:04, 17 caramelos y así sucesivamente. Si cierto día se observó que el alumno “Manolo” llegó a las 8:12; ¿cuántos caramelos tendrá que entregar a dicho tutor?

A) 96 B) 108 C) 121 D) 145 E) 168

11. Calcular la suma límite de los infinitos términos dados:

A) 9/45 B) 9/70 C) 3/16D) 7/16 E) 11/21

12. Dados:

S1=10x11 + 11x12 + 12x13 + ..... + 20x21

S2=1x2 + 2x3 + 3x4 + 4 +........ + 20x21

Hallar: S2 S1

A) 28/75 B) 38/15 C) 25/28D) 28/25 E) 38/35

13. Hallar el valor de ; si:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2x+5)=900

A) 3 B) 9 C) 14 D) 17 E) 27

14. Calcular:

A) B) 1 C) D) E) 0

15. Hallar la suma del siguiente arreglo:

2 + 4 + 6 + 8 +....... + 604 + 6 + 8 +.... + 606 + 8 + 10 +....+60

58+6060

A) 16241 B) 21431 C) 17431D) 18910 E) 13241

16. Calcular el valor de “A+B” en.

A= 1 + 3 + 5 + 7 + .......+ 19B= 2 + 4 + 6 + 8 +........ + 20

Razonamiento Matemático12

12

A) 196 B) 200 C) 205 D) 210 E) 245

17. Hallar la suma de todos los términos de:´

12 + 22 + 32 + 42 +........ + 152

22 + 32 + 42 +........ + 152

32 + 42 + ...... + 152

42 +...... + 152

+ 152

A) 13700 B) 12900 C) 15800D) 14400 E) 14000

18. Calcular:

A) 0,9 B) 1 C) 2 D) 99 E) 1,1

19. Calcular: a+b+c+d

Si:

A) 16 B) 24 C) 21 D) 23 E) 22

20. La suma de los 20 términos de una P.A. creciente es 650. Si el producto de los términos extremos es 244. Hallar la razón.

A) 1 B) 2 C) 5 D) 4 E) 3

21. Calcular a2, si:

A) 4 B) 9 C) 16 D) 25 E) 36

22. Calcular la suma total si hay 10 filas

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

A) 3080 B) 2050 C) 1030D) 2472 E) 4250

23. Hallar la suma de los términos de la fila 10

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

A) 1110 B) 505 C) 1820D) 1540 E) 1624

24. Hallar “n” en:

(1+n)+(2+n)+(3+n)+.......+(n+n)=610

A) 18 B) 20 C) 25 D) 24 E) 22

25. El Dr. “Rosendo”, para hacer más vistoso las naranjas que vende, ha ordenado éstas, formando una pirámide triangular. Si en la base de dicha pirámide ha empleado 210 naranjas, ¿cuántas naranjas en total ha utilizado?

A) 1210 B) 1350 C) 1430D) 1540 E) 1620

26. En el siguiente arreglo triangular calcular la suma de los

términos de F20:

F1 1F2 4 9

F3 16 25 36F4 49 64 81 100

F20 ......................

A) 540190 B) 227820 C) 148120D) 250315 E) 804670

Razonamiento Matemático13