SESIÒN 04: 12 SESIÒN 05: 13 SESIÒN 06: 16

2

ALGEBRA – 4 AÑO

Tabla de contenido algebra SESIÒN 01: .......................................................................................................................................................3

SITUACION 01: ................................................................................................................................................ 3 PROBLEMAS CON ECUACIONES ................................................................................................ 3 EJERCICIOS DE APLICACION ....................................................................................................... 3

SESIÒN 02: .......................................................................................................................................................5 SITUACION 02 ................................................................................................................................ 5 P0ROGRESION GEOMETRICA ....................................................................................................... 5 EJERCICIOS DE APLICACION ...................................................................................................... 7

SESIÒN 03: .......................................................................................................................................................8 SITUACION 03 ................................................................................................................................ 8 INECUACIONES DE PRIMER GRADO ........................................................................................... 9 EJERCICIOS DE APLICACIÒN ..................................................................................................... 10

SESIÒN 04: .................................................................................................................................................... 12 INECUACIONES CUADRATICAS ................................................................................................ 12 EJERCICIOS DE APLICACION ................................................................................................... 12

SESIÒN 05: .................................................................................................................................................... 13 SITUACION 04 ........................................................................................................................................13

FUNCIONES ............................................................................................................................. 14 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ................................................................................................... 15

SESIÒN 06: .................................................................................................................................................... 16 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION .................................................................................... 16 EJERCICIOS DE APLICACIÒN ..................................................................................................... 17

SESIÒN 07: .................................................................................................................................................... 18 SITUACION 05 ........................................................................................................................................18

FUNCIONES LINEAL Y AFIN ...................................................................................................... 18 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ................................................................................................... 19

SESIÒN 08: .................................................................................................................................................... 20 APLICACIÓN DE FUNCIONES .................................................................................................. 20 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ................................................................................................... 21

SESIÒN 09: .................................................................................................................................................... 22 FUNCIONES CUADRATICAS ................................................................................................... 22 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ................................................................................................... 23

3

ALGEBRA – 4 AÑO SITUACION Alimentos y nutrición El consumo de frutas y verduras aporta una gran parte de las vitaminas y minerales que requiere nuestro organismo. Sin embargo, estos no son los únicos nutrientes que necesita una persona saludable. Analicemos el caso de un nutricionista que prepara una dieta que consta de los alimentos A y B. Cada 100 g del alimento A contiene 20 g de proteínas y 40 g de carbohidratos; cada 100 g del alimento B contiene 10 g de proteínas y 50 g de carbohidratos. En promedio, un adolescente activo necesita diariamente 120 g de proteínas y 300 g de carbohidratos. • Prueba diferentes cantidades de alimento A y B para ver si satisfacen ese requerimiento diario. Por ejemplo, 200 g de A y 300 g de B, u otras combinaciones. • Si se aconseja una ingesta diaria de medio kilogramo del alimento A, ¿qué cantidad del B necesitaría entonces un adolescente activo?

1. Repartimos 5400 Kg. de azúcar en

tres mercados, en el primero dejamos 200 Kg. menos que en el segundo y en el tercero una quinta parte menos que en el segundo. ¿Cuántos Kg. dejamos en el tercero? a) 2800 b) 1600 c) 3200 d) 2500 e) N.A.

2. Hallar el menor de tres números

consecutivos, si sabemos que los 3/4 del menor, sumados con la tercera parte del número medio, equivale al mayor

a) 2 b) 21 c) 24

d) 18 e) 20

3. Un terreno rectangular tiene un

perímetro de 540m, su largo es 30m mayor que el doble de su ancho. Hallar el largo

a) 80m b) 190 c) 110

d) 270 e) N.A. 4. En un teatro hay cierta cantidad de

espectadores si hubieran entrado 800 espectadores más, habría el triple de espectadores que hay en este momento disminuido en 60. Diga cuántos espectadores hay en la sala. a) 240 b) 430 c) 210 d) 480 e) 640

Sesión 01:

III BIMESTRE

4

5. Lo que cobra y lo que gasta un profesor suman s/. 600, lo que gasta y lo que cobra está en la relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? a) 14 b) 16 c) 20

d) 24 e) 30

4. En un zoológico hay 50 animales, entre aves y felinos. Si se cuentan el número total de patas tenemos que es 160. ¿Cuál es el número de felinos? a) 20 b) 30 c) 40 d) 10 e) N.A.

5. En un examen de admisión, el

número de preguntas es 100, la calificación es 4 puntos por respuesta correcta y menos 1 punto por respuesta errada. Si en total Jessica obtuvo 225 puntos. ¿Cuántas acertó?

a) 35 b)65 c) 30 d) 45 e) N.A.

6. Al comprar 20 naranjas me sobran

s/.480 soles pero para adquirir 24 naranjas me faltarían s/. 120. ¿Cuánto cuesta cada naranja?

a) 150soles b) 15 c) 30 d) 300 e) N.A.

7. Una vendedora de huevos vende los 2/9 de la canasta menos 5 huevos, si añadiera 37 huevos a los que quedan, el número primitivo quedaría aumentado en 1/6. ¿Cuántos huevos tenía inicialmente en la canasta?

a) 80 b) 350 c) 91 d) 108 e) n.a.

8. Un matrimonio dispone de cierto

dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra las entradas de s/.50 soles le faltaría s/. 10 soles, y si compra las entradas de 40 soles le sobraría 40 soles. ¿Cuántos hijos tienen?

a) 5 b) 7 c) 3 d) 8 e) N.A.

6. Los dos factores de una multiplicación suman 91, si se aumenta 5 unidades al multiplicando y se disminuye 2 al multiplicador, el producto aumenta en 67. ¿Cuáles son los factores? a) 54 y 37 b) 90 y 30 c) 24 y 63 d) 93 y 25 e) 50 y 35

7. Juan le dice a Fidel “préstame 30

soles para tener ambos la misma cantidad”. Fidel le responde: “Mejor págame los 10 soles que me debes y así tendré 9 veces lo que te queda” Entre ambos tienen:

5

ALGEBRA – 4 AÑO a) 80 soles b) 60 c) 120 d) 140 e) 100

8. Se debía repartir 1800 soles entre

cierto número de personas, cuatro de ellas renuncian a su parte, por consiguiente a c/u de las restantes le tocó 15 soles más. ¿Cuántas personas eran inicialmente? a) 12 b) 24 c) 20 d) 27 e) N.A.

9. Se debía repartir 1800 entre cierto

número de personas, 4 de ellas renuncian a su parte con lo cual a

cada uno de los restantes le tocó $ 15 más. ¿Cuántas personas eran en total? a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 22

10. Los capitales de 2 individuos son

“x” e “y” soles, el primero ahorra diariamente “a” soles y el segundo “b” soles. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que el capital del primero sea “n” veces el segundo? a)

nbaxny

�

� b)abaynx

�

� c) ban

)xy(n�

�

d)nbaxny

�

� e)bnaynx

�

�

SITUACION Según la leyenda, un rey quedo tan entusiasmado con el juego de ajedrez que prometió al inventor todo lo que este le pidiera. Y el inventor pidió, modestamente, suficiente trigo como para poner un grano en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la siguiente y así, sucesivamente, en cada una el doble de la anterior, hasta llegar a la última casilla del tablero. El rey ordeno que trajeran inmediatamente bolsas de trigo para satisfacer el pedido del inventor. Pero grande fue su sorpresa cuando vio que rápidamente estas llenaban la habitación y todavía no cumplía con lo ofrecido.

1. Cuantos granos de trigo pidió en total el inventor? Puedes utilizar calculadora. 2. Que expresión matemática me ayudaría a resolver dicha situación?

Una Progresión es Geométrica si entre cada par de términos consecutivos de ella hay una razón constante denominada Razón Geométrica.

Sesión 02:

III BIMESTRE

6

En general: si a1, a2, a3, a4,....., an es una progresión geométrica de “n” términos entonces podeos escribir sus términos como:

a1 ; a1 r ; a1 r2 ; a1 r3 ;.......... a1 rn-1

an = a1 rn-1 a1 : es el primer término r : es la razón Interpolación de un Número Finito de Términos de una Progresión Geométrica

En general tenemos: a ; ............................... ; b

“Solo necesitamos la razón para calcular los términos que se ubican en el centro”. La cual se calcula así:

r = 1mab�

Suma de los Término de los “n” Primeros Términos de una Progresión Geométrica Dada la P. G.: a1, a2,..........., an se quiere calcular : a1 + a2 +.................... + an = Sn (suma)

a1 : primer término r : razón n : número de términos Nota Si tenemos una suma infinita, como:

S = 2 + 1 + 21 +

41 +.......... (Se llama límite)

Dicha suma se calcula así: a1 : primer término ; r : razón (r < 1) SL : suma límite

a2 a3 a4 an

m = medios geométricos

Sn =� �

1r1nr1a

�

�

SL = r1

1a�

7

ALGEBRA – 4 AÑO EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Si en una progresión geométrica: a1 = 2 y a6 = 64. Encuentre r, a4 a) 2; 61 b) 3; 16 c) 2; 16 d) 3; 64 e) N.A.

2. Interpolar cuatro medios geométricos entre 1/9 y –27 a) 1/3, 1, 3 y 9 d) 1/3, -1, 3 y 9 b) 1/3, -1, -3 y 9 e) N.A. c) –1/3, 1, -3 y 9

3. Calcular la razón y el primer término de una P. A. en el cual a3 = 3 y el séptimo es 3/16 a) 12; -1/2 b) 12; ½ c) 1/2, 12 d) 1/2, -12 e) –1/2, 12

4. El segundo término de una P. G. es –18 y el quinto término es 16/3. Calcular el cuarto término. a) 1 b) 3 c) 4 d) 8 e) N.A.

5. Encuentre cuatro números positivos que formen una P. G. de modo que a1 + a2 = 15 y a3 + a4 = 60. De cómo respuesta la razón. a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3

6. El producto de tres números en P. G. es 27. ¿Cuál es el término central? a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 18

7. Si el producto de tres números que

están en P. G. es 1000 y la razón es 3. Los tres números son a) 1 1/3, 4, 12 d) 3, 9, 27 b) 2, 6, 18 e) 3 1/3, 10, 30 c) 2 1/3, 7 , 21

8. En una P. G. si a5 = 9 y a7 = 1 entonces a6 vale : a) 8 b) 5 c) 7 d) 3 e) 1

9. Calcular la suma de los términos de la progresión : 5 , 5/2 , 5/4 , 5/8 , ....... a) 5 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

10. Encontrar “x” para que : 2

4x � ; x

+ 2 y 2(x-2) estén en P. G. a) 3 b) 2 c) 5 d) 1 e) N.A.

11. Determinar cuántos términos tiene una P. G. cuyo primer término es 2 y cuyo último término es 512 si su suma es 682. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4

12. Calcular la suma de todas las áreas de todos los cuadrados que se pueden inscribir sucesivamente a partir de un cuadrado de 4 m de lado.

III BIMESTRE

8

a) 16 m2 b) 64 c) 32 d) 48 e) N.A.

13. Calcular la suma de todos los número naturales, múltiplos de 6, menores que 200. a) 3636 b) 3663 c) 3366 d) 3676 e) N.A.

14. Encuentra el número de términos que es preciso sumar de la progresión aritmética :

9, 11, 13, 15, ...; para que esta suma sea igual a lo de los nueve primeros términos de la P. G. : +3, -6, 12, -24 a) 20 b) 19 c) 18 d) 16 e) 13

15. Dada la P. G. de razón : 3. a1, a2, a3, a4, ... Calcular :

2a5a

a) 27 b) 81 c) 9 d) 3 e) 243

SITUACION En la agricultura ecológica, se da gran importancia al empleo de fertilizante orgánico que se obtiene mediante el reciclaje de materia orgánica en descomposición. Una empresa que produce y distribuye fertilizante orgánico registra en una tabla la producción de tres días.

Al hacer un análisis de la producción, se supo que la cuarta parte de la producción del martes, más la producción del miércoles, no es mayor que la mitad de la producción del jueves. ¿Entre qué valores puede oscilar la cantidad de fertilizante producido el lunes? Si esta cantidad es el mayor entero posible, ¿cuál fue la producción de los tres días?

La desigualdad de la forma: ax + b > 0 ó ax + b t 0

ax + b < 0 ó ax + b d 0

O toda aquella que pueda transformarse en una de las cuatro anteriores se denomina

Sesión 03:

9

ALGEBRA – 4 AÑO “desigualdad de primer grado” con una incógnita. Por ejemplo: 3x – 8 < 0 ; 5x + 13 > 0 2x + 3 d 0 ; 3x + 9 t 0

2x3 - 5 >

5x2 + 2

11.. Solución

Se denomina así a todo valor de “x” que satisface la desigualdad dada. Por ejemplo: El número 2 es solución de 3x – 8 < 0, puesto que: 3 . 2 – 8 < 0 � -2 < 0

22.. Resolver una Inecuación

Significa hallar todos los valores de la incógnita que verifican la desigualdad dada. La búsqueda de la solución de cualquier inecuación de primer grado con una incógnita da lugar a desigualdades elementales de la forma: x x > a

x � <a, f> � conjunto solución

x x t a

x � [a, f> � conjunto solución

x x < a

x � <-f, a> � conjunto solución

x x d a

x � <-f, a] � conjunto

solución Ejemplo: Resolver

35x2 � - 1 > 3 - x

3. Intervalos Finitos

x Intervalo Cerrado : [a, b] = {x � R/ a d x d b}

x Intervalo Abierto : <a, b> = {x � R/ a < x < b}

x Intervalos semi abiertos : [a, b> = {x � R/a d x < b}

a x - +

a x - +

x a -

+

x a - +

x b -

+

a

x b - +a

x b -f

+f

a

III BIMESTRE

10

<a, b] = {x � R/a < x d b}

44.. Inecuaciones con Valor Absoluto Para resolver este tipo de

inecuaciones se utilizan los siguientes teoremas: Teorema 1: ~a~ < b � b > 0 � -b < a < b Ejemplo: Resolver

~x - 3~ < 1 � -1 < x – 3 < 1

2 < x < 4 x � <2, 4>

Teorema 2:

~a~ > b � b > 0 � a < -b � a > b Ejemplo: Resolver

~2x - 3~ t 7

2x – 3 d -7 � 2x – 3 t 7

x d -2 x t 5

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Señalar cuál o cuáles de las

siguientes afirmaciones es verdadera : I. Si :

3x2

51x2 �� > 1; entonces : x >

2 II. Si :

1013x3

41x5 �� >

31x5 � ; entonces

: x > 1 III. Si :

21x

51x3 �� <

7x1 � ; entonces :

x < 7 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) II y III

2. Si : k < 0, resolver la inecuación :

2x31

kx �� <

k42x �

a) x > k21k1

�� d) x < )k21(3

)k1(2��

b) x < k21k1

�� e) x >

)k21(3k1

��

c) x > )k21(3)k1(2

��

3. Si : -10 < m < 2, resolver la inecuación

: 3

1x2m

mx ��

< 4

3x2 �

a) x > )10m(2

2m�� d) x < 10m

)2m(5��

b) x > 10m)2m(5

�� e) x >

)10m(22m

��

c) x < )10m(2)2m(5

��

4. Resolver el sistema : 0,4x + 37 <

32 x –1,2

5x + 17 > 9x - 63 a) x < -20 b) x > -20 c) x > 53/4

d) –20 < x < 53/4 e) N.A.

x b - +a

5 -

+

x - x

11

ALGEBRA – 4 AÑO 5. Se desea saber el mayor número de

alumnos que hay en el aula, si al doble del número de éstos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y sí al triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del número aumentado en 16. a) 20 b) 22 c) 21 d) 18 e) 19

6. Un comerciante adquirió cierto número de artículos de los que vendió 70 y le quedaron más de la mitad; al día siguiente le devolvieron 6, pero logró vender 36, después de lo cual le quedaron menos de 42. ¿Cuántos artículos formaban el lote? a) 140 b) 141 c) 142 d) 139 e) 143

7. Se define la operación:

m ' n = 3

n1m2 ��

Hallar el conjunto solución de la inecuación definida por: x ' 2 d 3/4 a) x d -9/8 d) x d 1/8 b) –9/8 d x d -7/8 e) –1/8 d x d 1/8 c) x t -7/8

8. Hallar el total de números enteros que verifican el sistema :

2x

311 � <

914x5 �

9

14x5 � > 5

6x3 �

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 3

9. Un padre dispone de S/. 320 para ir a un evento deportivo con sus hijos, si toma entradas de S/. 50 le falta dinero y

si las tomas de S/. 40, le sobra dinero. ¿Cuál es el número de hijos? a) 5 b) 4 c) 6 d) 3 e) 7

10. Entre 3 cazadores A, B y C reúnen más de 8 perros, B piensa adquirir 4 perros más, con lo que tendría más perros que entre A y C juntos. Se sabe que B tiene menos perros que C y los que éste tiene no llegan a 5. ¿Cuántos perros tiene cada cazador? a) 2, 3, 4 b) 4, 2, 3 c) 4, 3, 2

d) 3, 3, 4 e) 3, 2, 4 11. Para la confección de la parte final de

un libro habían cierto número de problemas, se duplicó este número y se eliminaron 39 problemas porque eran muy sencillos, de este modo quedaron menos de 65 problemas. Si se hubiera triplicado el número original de problemas y eliminando luego 70 por considerarlos repetidos en capítulos anteriores. ¿Cuántos problemas había inicialmente? a) 38 b) 47 c) 51 d) 53 e) 57

12. Se compró un número impar y múltiplo de 3 de naranjas, tal que, si se vende la cuarta parte, quedan por vender menos de 120, pero si se vendiera la sexta parte, quedarían más de 129 por vender. ¿Cuántas naranjas se compraron? a) 147 b) 159 c) 135

d) 165 e) 195

III BIMESTRE

12

1. Definición

Las desigualdades de tipo : ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c t 0 ax2 + bx + c < 0 ; ax2 + bx + c d 0 Se denominan desigualdades de segundo grado o cuadráticas. Ejemplos: x2 + x – 6 > 0 ; 2x2 – 5x – 3 < 0 5x2 – 8x + 3 t 0 ; 2x2 + 4x + 5 d 0

2. Resolución de Inecuaciones de Segundo Grado

Sea el polinomio de segundo grado:

ax2 + bx + c

x Se verifica que “a” sea positivo, si a es negativo se cambia el signo a todos los términos de la desigualdad. Ejemplo: Resolver -2x2 + 5x + 3 < 0 cambiando el signo 2x2 – 5x – 3 > 0

Se calcula el discriminante para ver el tipo de raíces:

' = (-5)2 – 4(2) (-3) ' = 49

x Se calculan las raíces factorizado por aspa simple o por fórmula general : 2x2 – 5x – 3 = (2x + 1) (x - 3) = 0 x = -1/2 ; x = 3 A estos valores se les conoce como “puntos críticos”.

x Se ubican los puntos críticos en la recta numérica para analizar los signos del trinomio : P = 2x2 – 5x – 3

Como P > 0 entonces la respuesta

es la Zona positiva.

x Se escribe el intervalo solución : x � <-f, -1/2> � <3, f>

APLICAMOS LO APRENDIDO 1. Al resolver el sistema:

21 x2 – 3x +

835 > 0

21 x2 – 3x +

835 < 1

Se pide dar la suma de todos los

números enteros que lo satisfagan.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

2. Al resolver el sistema:

3x2 – 12x – 15 d 0

-x2 + 4x – 3 d 0

el conjunto solución es : [a, b] � [c, d].

Calcular el valor de: E = 2a + b – 3c + d

a) –5 b) –3 c) 0

d) 1 e) 8

Sesión 04:

- +f

-f

3 -

+ +

13

ALGEBRA – 4 AÑO

3. Resolver la inecuación:

x(x - 8) + 8 > 4(1 - x)

a) R b) <0, f> c) <-f, 0>

d) R – {2} e) R – {4}

4. Al resolver la inecuación:

x2 – 10x + 33 < 0

Podemos afirmar que:

a) No existe solución real

b) x < -33/10

c) x > -33/10

d) x > 0

e) x < 0

5. Si: m t -x2 + 3x + 12, � x � R. ¿Cuál es

el menor valor que puede tomar “m”?

a) 2 b) 14 c) 12

d) 14,25 e) 12,25

6. ¿Cuántos valores enteros de “x”

satisfacen el sistema?

2y + x2 + 4x d 2

x2 + 6x + 3 < 3y

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1 7. Resolver la inecuación: x2 – 3x t 2x

f) <-f, 0] � [5, f> d) <-f, 2] � [5, f>

g) <-f, 0> � [5, f> e) <-f, 0] � <2, f>

h) <-f, 0] � <5, f>

8. Al resolver el sistema :

x2 + 8x + 15 < 0

x2 – 2x – 24 < 0 el conjunto solución es <a, b>. Hallar el valor de “2b - a”. a) –4 b) –2 c) 5 d) 7 e) 8

9. Resolver el sistema : x2 + 5x – 14 > 0

x2 – x – 12 < 0

a) <-f, -7> � <2, f> d) <2, 4>

b) <-3, 4> e) <-7, 2>

c) <-7, -3> � <2, 4>

10. Resolver el sistema :

5x – 1 < (x + 1)2 < 7x – 3

a) x � <2, 5> b) x � <3, 6> c) x � <2, 7>

d) x � <3, 5> e) x � <2, 4>

SITUACION La intensidad del sonido que percibe el oído humano depende de la distancia entre el receptor y el emisor. De esta forma, la intensidad I en decibelios que recibe el receptor está dada por la formula I(d) =100/d2, donde d es la distancia (en metros). a. Construye una tabla con seis valores diferentes para la distancia. b. Determina el dominio y el rango de la función.

III BIMESTRE

14

c. Grafica la función. d. ¿Qué sucede si se aumenta la distancia entre el emisor y el receptor del sonido?

Dado dos conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación f � A x B, se define: “f es una función de A en B si y solamente si para cada x � A existe a lo más un elemento y � B , tal que el par ordenado (x, y) � f “. Observación.- Dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente; para la función f. (x; y) � f � (x; z) � f � y = z Siendo A = Conjunto de partida Y B = Conjunto de llegada i) Son funciones: Dominio de f: Dom (f) Se llama también pre-imagen y es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida A. (Dom (f) � A) Rango de f = Rang (f)

Sesión 05:

f2

1

2

3

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

1

2

3

4

B A

5 4

5

B A f1

a

b

c

d

e

f

B A f3

15

ALGEBRA – 4 AÑO

Llamado también imagen, recorrido o contra dominio, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B (Rang. (f) � B) Si los conjuntos A y B, de partida y llegada respectivamente de una función f son conjuntos de números reales, entonces f es una función real de variable real y por ello f tendrá una representación gráfica en el plano R2. Existe una relación unívoca entre la variable independiente x y su imagen la variable dependiente y; es decir:

f = ^(x; y) � R x R/ x � Dom (f) � y = f(x) `

APLICAMOS LO APRENDIDO

1. Hallar “ab”, si el conjunto de pares ordenados representa una función. F = {(2; 3), (3; a - b), (2; a + b), (3; 1)} a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

2. De la función: F = {(2; 2a), (2; a2), (a; b), (a + 2; b), (4; 4)} Hallar: “a + b” a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) Hay 2 correctas

3. De la función: F = {(2; 3), (3; 4), (4; 1)} Calcular:

))3(F())2(F( FFA �

a) 1 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

4. Dado: F = {(0; 1), (1; 2), (2; 3)}

Hallar:

)0(F)2()2(F

)1()1(F

)0( FFF ��

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

5. De la función:

¯®

��

t�

0x;3x0x;x2

F )x(

Hallar: ))2(F())3(F( FF�

�

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

FUNCIÓN REAL DE VARIANTE REAL

16

ALGEBRA – 4 AÑO 6. Si: f(x) = 5x + 4

Hallar: f(3) a) 1 b) 2 c) 3 d) 17 e) 19

7. Sea el costo de una tela en función de su medida “x” denotado por: C(x) = x + 1 (en soles) para 3 metros de tela cuanto debe invertir. (en soles) a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

8. La tabla muestra los valores hallados para la función:

F(x) = ax2 + b; .

Luego el producto de “a” y “b” es: a) 15 b) 12 c) 20 d) 9 e) 21

9. Dada la función: F = {(5; 4), (3; 2), (7; 8), (2; 5)} Indicar: E = F(F(F(3))) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Sea: E = {(5; 4), (1; 2), (3; 8), (7; b), (5;b)} Hallar: “b” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Sea la función F(x) = 3x + 10 Hallar: F(-5) a) -5 b) -10 c) -20 d) -15 e) -1

12. Sea la función: 1x1x)x(F

��

Hallar: F(2) . F(3) . F(4) a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 30

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Ejemplo

Halle el dominio de la función:

4x5x)x(f

��

Solución: Cuando se pide el dominio, nos preguntamos para que valores de “x” (variable) está definida la función f(x). ? f(x) está definida en R; si x – 4 z 0 � x z 4

? Domf = R – {4} RANGO DE UNA FUNCIÓN Ejemplo

Hallar el rango de la función: f(x) = 2x + 5. Si: x � <-1; 2]

Solución:-1 < x d 2

Multiplicando x 2: -2 < 2x d 4 Sumamos 5: 3 < 2x + 5 d 9

3 < f(x) d 9 ? Rang (f) = <3, 9]

Sesión 06:

x 1 0 8 5 F(x

)

17

ALGEBRA – 4 AÑO APLICAMOS LO APRENDIDO

1. Hallar el dominio de la función: F(x) = x + 9 a) R – {9} b) R – {-9} c) R d) R – {0} e) R+

2. Hallar el dominio de la función: F(x) = 3x2 + 2x + 1 a) R – {3} b) R – {2} c) R – {1} d) R e) R-

3. Hallar el dominio de la función “f”

definida en R por: 3

2xf )x( ��

a) R+ b) R- c) R d) R – {2} e) R – {-2}

4. Hallar el dominio de la función “f”

definida por: y = f(x) = x + 5 en el conjunto Z. a) R b) Z c) R – {5} d) Z – {5} e) Z – {-5}

5. ¿Cuál es el rango de la función:

F = {(1; 3), (2; 5), (1; a - 1), (2; b + 2), (a; b), (2b; a)}?

Señale la suma de sus elementos. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

6. El dominio de la función: x11xF )x( ��

a) [-1; 0] b) [0; 1] c) [0; 2] d) [-2; 0] e) [-1; 1]

7. Si: f(x) = x2 – 4x + 2 y x � <-1; 4> Hallar el dominio.

a) R b) R+ c) [-1; 4] d) <-1; +f> e) <-1; 4>

8. Hallar el rango en: 4x2x3N )x( �

�

a) y � R – {4} b) y � R – {-4} c) y � R d) y � R – {3} e) y � R – {-3}

9. Hallar el dominio de la siguiente función:

1x1xf 2)x( �

�

a) R+ b) R- c) R d) R – {1} e) R – {-1}

10. Hallar el dominio, si:

2)x(x1

1f�

a) <-1; 1> b) [-1; 1> c) <-1; 1] d) [-1; 1] e) R

11. Sea la función, hallar el dominio de la función: a) <-f; 5> d) <-f; -1> � [0; 5> b) <-f; 5> - {1} e) N.A. c) <-f; 1> � [0; 5> - {1}

12. Hallar el rango de la siguiente función:

x

y

-1 0 1 5

x

y

1

3

III BIMESTRE

18

a) <-f; 3] b) <-f; 0> c) <-f; 3]

d) <-f; 2] e) N.A.

13. Hallar el dominio de la función: f(x) = |x - 2| + 1 a) R – {1} b) R – {2} c) R – {-1} d) R – {-2} e) R

14. Hallar el rango de la función: f(x) = -|x + 4| a) [0; 4] b) <-f; 0] c) R+ d) R e) <-f; -1]

15. Hallar el rango de la función:

f(x) = 3x2 + 12x + 20 a) [2; +f> b) [-4; +f> c) [6; +f> d) [8; +f> e) [10; +f>

16. Hallar el dominio de la función: f(x) = -2x2 – 6x + 11 a) <-f; +f> b) <-f; 0> c) <0; +f> d) R – {2} e) R – {-2}

17. Hallar el rango de la función: f(x) = -4x2 – 8x - 9

a) <-f; -1] b) <-f; -2] c) <-f; -3] d) <-f; -4] e) <-f; -5]

SITUACION Se realizó una campana de vacunación en un país africano. Los gastos de distribución son $ 600 y los gastos de vacunación son $ 5 por cada vacuna puesta.

a) Determina la expresión algebraica de esta función.

b) Representa la función.

FUNCION LINEAL:

Las funciones lineales son de la forma f (x) = mx, donde m es una constante diferente de cero. Una función lineal transforma todos los elementos del dominio, multiplicándolos por un mismo número.

Sesión 07:

19

ALGEBRA – 4 AÑO FUNCION AFIN:

Las funciones de la forma y =mx +n, con m y n números reales se llaman funciones afines de la función y 5 mx. Su grafica corresponde a una línea recta.


III BIMESTRE

20

Sesión 08:

21

ALGEBRA – 4 AÑO


III BIMESTRE

22

Es una función con dominio en el conjunto de los números reales y cuya regla de correspondencia es:

f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c � R; a z 0 < Su gráfica es una parábola

simétrica respecto a una recta vertical, llamada eje de simetría, abierta hacia arriba si: a > 0 y hacia abajo si: a < 0.

< Nota gráfica: Sea la función: y = ax2 + bx + c ' = Discriminante = b2 – 4ac

{x1; x2} raíces de la ecuación, cuando: y = 0

{x1; x2} raíces iguales de la ecuación, cuando: y = 0 Esta función, cuando: y = 0, los valores de “x” son números complejos.

Sesión 09:

V: Vértice

x

y

x1 x2

V

a2b–

)a2

b(–f

a > 0 � ' > 0

V: Vértice

x

y

x1 x2

V

a2b–

)a2

b(–f

a < 0 � ' > 0

x

y

V

a2b–xx 21

a > 0 � ' = 0

a > 0 � ' < 0

x

y

V )

a2b(–f

a2b–

a > 0 � ' < 0

x

y

V )

a2b(–f

a2b–

23

ALGEBRA – 4 AÑO APLICAMOS LO APRENDIDO

1. Un horticultor cuenta con 400 metros de cerca para delimitar un terreno rectangular. Si quiere aprovechar un muro ya existente para señalar uno de los lados del terreno rectangular, ¿cuál es la expresión del área del terreno rectangular?

2. Una partícula se desplaza siguiendo la siguiente trayectoria: y = x2 + 4x - 5. Traza la gráfica de la trayectoria de dicha partícula e indica los vértices y los puntos de corte con los ejes, así como el dominio y el rango.

3. Se tiene un terreno de forma rectangular de 150 m por 80 m. Con motivo de realizar obras públicas, la Municipalidad debe recortar en x m el lado más largo e incrementar en x m el lado más corto. Expresa mediante un modelo el área del nuevo terreno.

4. Las utilidades (U) de una empresa, en miles de dólares, están dadas por la expresión U(x) = -x2 + 12x - 24, donde x representa el número de cientos de unidades vendidas. Halla el número de unidades que se deben

vender para obtener la máxima utilidad posible.

5. Las dimensiones de un jardín de forma rectangular son de 60 pies de ancho por 80 pies de largo. Al construir una vereda alrededor del, de ancho uniforme x, se elimina parte del jardín. Determina el área del nuevo jardín en función del ancho de la vereda.

6. Sea la función: F(x) = x2 + 5x + 1 Indicar el mínimo valor que toma dicha función. a) 1 b) 0 c) -1 d) 10 e) 25

7. Para que valor de “x” la función será máxima. f(x) = -x2 - 25 a) 1 b) 25 c) -25 d) 0 e) -1

8. Hallar el rango de: f(x) = 4 – x2 Si: x � [-2; 3> a) <-5; 4> b) <-5; 4] c) [-5; 4> d) [-5; 4] e) <-f; 4>

9. Hallar el valor de “x” de manera que la función “f” sea máxima: f(x) = x2 – 3x + 1 a) 3/2 b) -2/3 c) 2/3 d) -3/2 e) 1/3

III BIMESTRE

24

10. Hallar el valor mínimo que puede tomar la función “f” donde: f(x) = x2 + 5x + 1 a) -21 b) -21/3 c) -21/4 d) 21/4 e) 21/3

11. Hallar el extremo de la función “f(x)” Siendo: f(x) = -x2 + 8x + 3

a) 1 b) 15 c) 16 d) 17 e) 19

12. Dada la función: f(x) = 5|x| - 3 Hallar: E = f(f(-3)) a) 55 b) 56 c) 57 d) 58 e) 59

APLICACIONES

1

FISICA – 4 AÑO

4 FÍSICA

Profesor: Robert André Vega Catón

III BIMESTRE

2

FISICA – 4 AÑO

Tabla de contenido física SESIÒN 01: ................................................................................................................................... 3

INDAGUEMOS....................................................................................................................................... 3 ELECTRICIDAD ............................................................................................................................ 3 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ................................................................................................... 4

SESIÒN 02: ................................................................................................................................... 6

ELECTROSTATICA ....................................................................................................................... 6 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ................................................................................................... 7

SESIÒN 03: ................................................................................................................................... 8

CAMPO ELECTRICO ................................................................................................................... 8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ................................................................................................... 9

SESIÒN 04: ................................................................................................................................. 11

POTENCIAL ELECTRICO .............................................................................................................. 11 EJERCICIOS DE APLICACION ................................................................................................. 12

SESIÒN 05: ................................................................................................................................. 14

CONDENSADORES ................................................................................................................. 14 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ................................................................................................. 16

SESIÒN 06: ............................................................................................................................... 19

ELECTRODINAMICA ............................................................................................................ 19 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ...................................................................................... 22

CIENCIAS – 4º AÑO

3

SITUACION

Gabriel y Mayra son dos jóvenes que viven en el distrito de Masisea, en Ucayali. Ellos están muy contentos porque el pueblo celebrará el carnaval de Masisea, el cual es muy importante porque reúne a toda la población.

Los jóvenes están colocando unos globos en la huamisha, que es el árbol en cuyo alrededor se danzará y que luego se cortará para que los regalos y objetos caigan al suelo y sean recogidos por todos.

Mayra, al tratar de amarrar un globo, lo acerca y sin querer lo frota en la tela de seda de su blusa. Cuando levanta el globo para colocarlo en el árbol, se da cuenta de que su cabello se levanta cuando el globo está cerca.

Gabriel, que observa lo ocurrido, se pregunta: “¿Por qué el globo se comporta de esa forma? ¿Qué hace que el globo atraiga los cabellos de Mayra?”.

Es el efecto que producen los electrones al trasladarse de un punto a otro. Todo cuerpo está constituido por partículas, estas por moléculas y estas a su vez por átomos. Los átomos tienen un núcleo y los electrones giran alrededor de él. Dentro del núcleo se encuentran los protones y neutrones. ATOMO: esta compuesto por:

CUERPOS SEGÚN SUS PROPIEDADES ELÉCTRICAS a) CONDUCTORES.- Son aquellos que permiten el paso de las cargas eléctricas sin alterar sus propiedades químicas. b) AISLANTES.- Se les llama también dieléctricos o malos conductores, se caracterizan por ofrecer gran resistencia al paso de las cargas eléctricas. Sin embargo, se electrizan fácilmente por frotación. ELECTRIZACIÓN DE LOS CUERPOS 1. POR FROTACIÓN

Sesión 01:

III BIMESTRE

4

Al frotar dos cuerpos uno pierde electrones y se carga positivamente, el otro gana los electrones y se carga negativamente 2. POR CONTACTO Al poner en contacto un conductor cargado con otro sin carga, existirá entre ellos un flujo de electrones que durara hasta que se equilibren electrostáticamente. 3. POR INDUCCIÓN Si acercamos un cuerpo cargado llamado inductor a un conductor llamado inducido, las cargas atómicas de éste se reacomodan de manera que las de signo contrario al del inductor se sitúan lo más próximo a él. CARGA ELÉCTRICA Es el estado en el cuál los átomos de un cuerpo han ganado o perdido electrones; y pueden ser positivas y negativas. CUANTIZACIÓN DE LA CARGA El electrón (e) posee la carga elemental más pequeña que existe en la naturaleza, por lo tanto, toda carga deberá ser múltiplo entero de ella. q=n.e q = carga total n = número entero positivo e = 1,6.10-19 C PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA "La carga no se crea ni se destruye, sólo se transporta de un cuerpo a otro"

APLICAMOS LO APRENDIDO 1. Los radios de dos bolitas de metal

son de 2 y 3 cm. y sus cargas respectivas son de 52 C y -13 C. Colocando las cargas en contacto. ¿Qué carga adquiere cada bolita en C?

a) 9 y 30 b) 10 y 29 c)15y 24 d) 12 y 27 e) 20 y 19 2. Dos esferas de cargas 18 Micro

coulomb y – 6 Micro coulomb, y radios 1 y 5 cm. respectivamente


5

son conectados mediante un alambre; determine las cargas finales de las esferas después de la conexión (en Micro coulomb)

a) 2 y 10 b) 3 y 9 c) 4 y 8 d) 6 y 6 e) 12 y 0 3. Los radios de dos bolitas de metal

son de 2 cm. y 4 cm. y sus cargas respectivas son de 15 C y +30 C. Colocando las bolitas en contacto ¿Qué carga queda en cada bolita?

a) 10 C y 35 C b) 5 C y 40 C c) 9 C y 36 C d) 20 C y 25 C e) 14 C y 31 C 4. Si un cuerpo se carga con 4 x 10-

16 C. ¿Cuántos electrones ha perdido?

a) 250 b) 2500 c) 25000 d) 250000 e) 0 5. Dos partículas neutras A y B son

frotadas mutuamente de manera que A se carga con -1,44 x 10-15C, luego con respecto a la partícula B podemos afirmar que:

a) gana 9 x 103 electrones b) cede 9 x 103 electrones c) gana 9 x 104 electrones d) cede 9 x 104 electrones e) no se carga 6. Se tiene una esfera cargada con

300C, se conecta mediante un cable conductor con otra esfera descargada cuyo radio es la mitad que la anterior. Determine la carga final de la esfera mayor

cuando alcanza el equilibrio electrostático. La distancia entre las esferas es muy grande (en C)

a) 50 b) 100 c) 150 d) 200 e) 250 7. Una esfera conductora de radio 2

cm. cargada con magnitud q1 = 80C, se pone en contacto con otra esfera conductora de radio 6 cm, cargada con magnitud q2 = 20C. Después de separar las esferas, determinar la carga en microCoulomb de cada esfera

a) 10; 90 b) 20 ; 80 c) 70 ; 30 d) 100 ; 0 e) 40 ; 60 8. Luego de una frotación, la carga

electrostática en una tela de lana es de + 0,8C. ¿Cuántos electrones ha cedido esta tela?

a) 5 x 1015 b) 5 x 1018 c) 5 x 1020 d) 5 x 1025 e) 5 x 1030 9. Si un cuerpo se carga con +8 C;

entonces: a) Pierde electrones y protones b) Solo pierde electrones c) Gana protones d) Gana neutrones e) Pierde 5 x 1019 electrones

III BIMESTRE

6

10. Si un cuerpo se carga con + 4,8C; identificar la proposición correcta: a) El cuerpo ha ganado 3 x 1019

protones

b) El cuerpo ha perdido 1,6 x 1019 electrones

c) El cuerpo ha perdido 3 x 1019 electrones

d) El cuerpo ha ganado 1,6 x 1019

protones e) No existe transferencia de cargas

Estudia los fenómenos producidos por las cargas eléctricas en reposo. LEYES DE LA ELECTROSTÁTICA 1. LEY CUALITATIVA Cargas de igual signos se repelen. Cargas de diferentes signos se atraen.

2. LEY CUANTITATIVA O DE COULOMB La fuerza atractiva o repulsiva entre dos cargas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa".

En resumen, si consideras los cuerpos cargados como puntos materiales, la fuerza de interacción eléctrica de ellos es proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.

APLICAMOS LO APRENDIDO 1. En la figura determine la fuerza

eléctrica resultante ejercida sobre la carga puntual B en Newton.

qA = 2 C; qB = -3 C; qC = 4

C

a) 3,2 x 10-2 b) 4,2 x 10-2

c) 4,2 x 10-2 d) 2,8 x 10-2

e) 0 2. Si el sistema mostrado se

encuentra en equilibrio, calcular el valor de q1, si q2 = -60 C; m1 = 2 Kg. y g = 10 m/s2 en Micro coulomb.

Sesión 02:


7

a) 2 b) -1,5 c) -1,6 d) -2,5 e) -1,8 3. En dos vértices opuestos de un

cuadrado se colocan cargas “q” mientras que en los otros vértices se ubican cargas “-Q” tal como se muestra en la figura. Determinar la relación (Q/q) entre las cargas de modo que “-Q” no se mueva

a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 2 / 2 e) 2 2 / 3 4. Dos esferas de pesos iguales P = 120

Newton se encuentran en equilibrio. Si ambos poseen cargas iguales pero de signos diferentes q = 40 Micro coulomb, determine la longitud natural del resorte cuya constante elástica es K = 400 Newton/metros.

a) 10 cm. b) 15 cm. c) 20 cm. d) 30 cm. e) 40 cm. 5. Dos esferillas metálicas idénticas con

cargas de “q” y “3q” se repelen con una fuerza de 9 Newton, si la

distancia entre ellas se reduce a la mitad. ¿Con qué fuerza (en Newton) volverán a repelerse?

a) 10 b) 36 c) 15 d) 20 e) 25 6. Calcule la fuerza electrostática en

newton sobre la carga de 300 C en el triángulo equilátero que se muestra.

a) 30 3 b) 50 3 c) 60 3 d) 70 3 e) 45 3 7. En la figura, hallar “x” en metros,

para que la fuerza eléctrica resultante se anule sobre “q0”. Además q1 =2C, q2 = 8C

a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m 8. En el diagrama se muestran dos

cargas idénticas q, de 1,2 N de peso cada una. Halle “q” en microCoulomb si estas cargas están en equilibrio y suspendidas del mismo punto con hilos aislantes de igual longitud

III BIMESTRE

8

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 9. En la figura, determinar el valor de

la fuerza eléctrica, en N, sobre la carga q3; Si q1 = 4 x 10–4 C; q2 = – 3 x 10–4 C y q3 = 2 x 10–4 C

a) 50 b) 80 c) 90

d) 100 e) 120 10. En la figura, determinar el valor de

la fuerza eléctrica resultante en newton sobre q2, si q1 = 15C, q2 = 40C y q3 = -60C

a) 3,64 b) 4,20 c) 4,84 d) 10,8 e) 6,24 11. Dos cargas puntuales se repelen

con fuerzas de valor 12 newton. Si duplicamos la distancia de separación de las cargas y triplicamos la carga de una de ellas, el valor de la nueva fuerza en newton es:

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

Es aquel medio, a través del cual una carga eléctrica puede actuar sobre otra carga.

La intensidad del campo eléctrico en uno de sus puntos está dado por la fuerza con que actúa por unidad

positiva de carga colocada en dicho punto.

La unidad en el SI es el N/C, newton por coulomb. La intensidad del campo eléctrico en un punto ubi- cado a una distancia r de una carga Q, está dada por:

Sesión 03:


9

Observaciones: • Las intensidades de campo en

dos puntos ubicados a una misma distancia no siempre son iguales, puesto que pueden tener direcciones distintas.

• La intensidad de campo es una magnitud vectorial, puesto que además de un módulo (valor numérico y unidad) posee una dirección.

• Una región de campo eléctrico se puede re- presentar mediante líneas de fuerza, las cuales son salientes en una carga positiva y entrantes en una carga negativa.

Se llama campo eléctrico uniforme u homogéneo a aquel que está representado por líneas de fuerza paralela e igualmente espaciada; en cuyos puntos la intensidad del campo siempre es la misma (en módulo y dirección).

EJERICICOS DE APLICACIÒN NIVEL I

1. Halle el módulo y dirección del campo eléctrico en el punto “P” debido a Q = 36 x 10-8 C.

a) C/N10

b) 10

c) 20

d) 20

e) 15

2. Halle el módulo y dirección del

campo eléctrico en el punto “P” debido a Q = -6 x 10-5 C.

a) C/N6000

b) 6000

c) 5400

d) 5400

e) 5000


campo eléctrico en el punto “P” debido a Q = 4 x 10-7 C.

Q

18 m (P)

Q

10 m (P)

Q

3 m (P)

III BIMESTRE

10

a) C/N100

b) 200

c) 200

d) 400

e) 400


campo eléctrico en el punto “P” debido a Q = -16 x 10-10 C.

a) C/N7000

b) 9000

c) 9000

d) 8000

e) 8000


campo eléctrico en el punto “P” debido a que las cargas mostradas q4 = 8 x 10-8C, q2 = 4 x 10-8 C. a) 100 N/C b) 110 c) 120 d) 150 e) N.A.

NIVEL II 1. En los vértices de un rectángulo se

han colocado cuatro cargas eléctricas de modo que: qA = +5 Micro coulomb, qB = -8 Micro coulomb, qC = 2 Micro coulomb, q D = -3 Micro coulomb. Si además AB = 30 3 cm. y BC = 30 cm., determinar la intensidad de campo eléctrico en el punto de intersección de las diagonales.

a) 8 N/C b) 7 N/C c) 7 N/C d) 7 N/C e) 10 N/C 2. Un péndulo cónico de longitud L =

20 cm. tiene una masa pendular m = 50 gramos y una carga eléctrica q = +6 Micro coulomb. Determine

el módulo de la velocidad angular de su movimiento para que la cuerda forme un ángulo = 37° con la vertical. (g = 10 m/s2).

a) 2 rad/s b) 3 rad/s c) 4 rad/s d) 5 rad/s e) 6 rad/s 3. Calcular el valor de la carga “q” para

que el campo eléctrico en el punto “A” sea vertical

a) 10 C b) 8 C c) 12 C d) 14 C e) 11 C 4. Una esferita de masa m = 0.001 Kg

y carga q = 10-5C se lanza con una rapidez inicial Vo = 20 m/s formando un ángulo de 30°, respecto de la horizontal, dentro de un campo eléctrico homogéneo E = 1500 N/C, representado mediante líneas de campo hacia abajo. Determinar la altura máxima alcanzada por la esferita (en m) (g = 10m/s2).

Q

4 cm (P)


11

a) 1 b) 1.5 c) 2 d) 2.5 e) 3

5. Determinar la magnitud del campo eléctrico resultante en el punto “A” en N/C, si q1 =+ 1 µC q2 = - 9 µC.

a) 2.103 b) 5.104 c) 1,8.104 d) 1.104 e) 0

POTENCIAL ELÉCTRICO (V) Es una magnitud escalar que nos indica el trabajo que efectúa el agente externo para trasladar una carga a velocidad constante desde el infinito hasta el punto mencionado.

POTENCIAL TOTAL DEBIDO A VARIAS CARGAS

Como el potencial es una magnitud escalar, para hallar el total, solo se sumará algebraicamente

VB: potencial en B

VA: potencial en A q: carga que se traslada (debe ser

colocado con su signo) El trabajo no depende de la

trayectoria, ya que la fuerza eléctrica es conservativa

LÍNEAS EQUIPOTENCIALES Son aquellas líneas en las que todos sus puntos tienen el mismo potencial. Las líneas equipotenciales poseen las siguientes características: Las líneas equipotenciales (punteadas) son perpendiculares a

Sesión 04:

III BIMESTRE

12

las líneas del campo eléctrico. En una misma línea encontramos el mismo potencial.

RELACIÓN ENTRE EL CAMPO ELÉCTRICO Y EL POTENCIAL ELÉCTRICO En realidad, la relación del campo es más bien con la variación o diferencia de potencial.

Dónde: V = VA - VB V: potencial eléctrico (diferencia de potencial) E: intensidad de campo eléctrico d: distancia

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Determine una ecuación que nos

permita determinar el potencial eléctrico (Vx) a una distancia "x" del origen de coordenadas.

a) 20 + 10x b) 25 – 10x c) 25 + 10x d) 20 + x e) 10 – x 2. Determine el trabajo para disponer

3 cargas q en un triángulo equilátero de lado L.

a) 32Kq

L b)

2Kq

3L c)

2Kq

2L

d) 2Kq

3L e)

2Kq

L

3. Determinar el potencial eléctrico en

Megavoltios en el centro del cuadrado de lado 6 2 cm.; q = 8 Micro coulomb.

a) 4,2 b) 3,8 c) 3,6 d) 3,0 e) 2,4 4. La figura representa un campo

eléctrico uniforme, si el potencial en A es 8 voltios. Determine el potencial en B (en voltios) Considerar para X = 0, Vo = 12V


13

a) -8 b) -7 c) -6 d) -5 e) -4 5. Determine el trabajo realizado por

un agente externo para trasladar con rapidez constante una carga Q = 2 Micro coulomb desde el infinito al punto P. (q = 4 Micro coulomb) (en mili joule).

a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 48 6. En la figura determine el trabajo

realizado por el campo eléctrico al trasladar la carga qo desde A hasta B. (en 10-4 Joule) Considere.

q1 = 4 microcoulomb; q2 = -6 microcoulomb; qo = -2c

a) -10 b) -9 c) -8 d) -7 e) -6 7. Determinar la energía potencial

eléctrica, en Kilo joule que almacena el sistema de cargas puntuales que se indica en la figura.

a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 8. Dos cargas q1 = -8 Micro coulomb y

q2 = 3 Micro coulomb se encuentran separadas 4 m; determinar el trabajo para separarlas 4 m. más? (en mili joule)

a) 54 b) 46 c) 27 d) 32 e) 18 9. En la figura se representa a dos

cargas eléctricas puntuales y se sabe que en el punto "P" el potencial eléctrico resultante en nulo y se pide determinar en dicho punto la intensidad del campo eléctrico resultante (en Newton/Coulomb).

a) 13750 b) 23750 c) 33750 d) 43750 e) 53750 10. El potencial eléctrico a una cierta

distancia de una carga puntual es de 600 Voltios y la intensidad del campo eléctrico es de 200

III BIMESTRE

14

Newton/Coulomb. ¿Qué valor tiene la carga eléctrica? (En Micro coulomb).

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 11. Según el diagrama, determine el

trabajo que deben realizar las fuerzas externas para trasladar una carga de +10 Micro coulomb desde el punto "P" hasta el infinito.

a) -0,2 kJ b) -1,2 kJ c) -2,2 kJ d) 1,2 kJ e) 2,2 Kj

CAPACITORES O CONDENSADORES Un capacitor o condensador es un dispositivo que puede almacenar carga eléctrica; consiste de dos objetos conductores colocados uno cerca del otro, pero sin tocarse, cada conductor almacena cargas iguales de signos contrarios. Observe que los cuerpos conductores no se tocan, siempre entre ellos existe una sustancia aislante llamada dielétrico. El aire o vacío es el aislante que comúnmente hay entre las armaduras del condensador

CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS Un capacitor característico consiste de un par de placas paralelas separadas por una distancia pequeña. Si el condensador se conecta a los bornes de una batería, rápidamente se acumulan cargas, una placa adquiere carga negativa (-Q) y la otra una cantidad igual de carga positiva (+Q).

Para un capacitor dado, se ve que la cantidad de carga Q adquirida es proporcional a la diferencia de potencial: CV = Q; de donde: La constante de proporcionalidad C, se llama capacitancia o capacidad del condensador.

Si la distancia d entre las láminas del condensador es pequeña, entre estas láminas se forma un campo eléctrico uniforme.

Sesión 05:


15

ENERGÍA ALMACENADA EN UN CAPACITOR Un capacitor almacena energía eléctrica. Esta energía será igual al trabajo efectuado para cargar- lo. Si un condensador de capacidad C se conecta a una batería de voltaje V, la energía almacenada en el condensador será:

ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES Capacitores en serie. Los capacitores están conectados en serie cuando se conectan unos a continuación de otros. En esta conexión se observan las siguientes características: • Todos los condensadores en

serie almacenan la misma carga:

QT = Q1 = Q2 = Q3 ... (1)

• El voltaje de la batería se reparte

en cada condensador:

VT = V1 + V2 + V3 ... (2)

Capacitores en paralelo. Un circuito en paralelo es aquel en el que dos o más condensadores se encuentran conectados a dos puntos comunes A y B. En este arreglo se observa las siguientes propiedades:

• La carga total se reparte en

cada condensador. QT = Q1 + Q2 + Q3 ... (1)

III BIMESTRE

16

• Cada capacitor está conectado

al mismo voltaje, el de la batería. VT = V1 = V2 = V3 ... (2)

• La capacidad equivalente es

igual a la suma de las capacidades de los condensadores. Recordemos que: C = Q/V & donde: Q = CV Reemplazando en (1):

CTVT = C1V1 + C2V2 + C3V3

Cancelemos los voltajes porque son iguales.

EJERCICIOS DE APLICACIÒN 1. Determine la capacidad equivalente

entre A y B.

a) 4 C b) 2C c) C d) C/2 e) C/4

2. En el circuito dado, calcular la

capacidad equivalente entre los puntos A y B; C = 2F (en F)

a) 0,5 b) 2 c) 1 d) 1,5 e) 2,5 3. Calcular la capacidad equivalente

entre A y B

a) 2 C b) C c) 3 C/2 d) 5 C/3 e) 3 C/5 4. En el circuito mostrado C1 =1 F; C2

= 2 F, = 9V. La diferencia de potencial en voltios en el condensador C1 es:

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 5. En el circuito cerrado mostrado,

hallar la carga acumulada por el capacitador C=2 F. Sabiendo que la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos 1 y 2 es 30 V.


17

a) 110 C b) 120 C c) 130 C d) 140 C e) 100 6. Para el circuito calcular la carga del

condensador C = 2 F (en C)

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 7. Determinar la carga acumulada por

cada capacitor (C)

a) 20; 20; 0 b) 10; 20; 30 c) 20; 40; 60 d) 10; 10; 0 e) 30; 30; 10 8. Hallar la relación entre CeqAB del

sistema mostrado y la CeqAB cuando M y N se unen mediante un conductor.

a) 1/4 b) 4 c) 2 d) 1/2 e) 1 9. Se cargan tres condensadores de 1F

a tensiones de 100V, 200V y 300V. Se conectan luego en paralelo. ¿Cuál es la tensión (en V) resultante?

a) 350 b) 200 c) 100 d) 400 e) 300 10. Determinar la capacidad del

condensador equivalente en el sistema mostrado entre los terminales A y B.

a) 5 C b) 10 C c) 15 C d) 20 C e) 25 C 11. Calcular la capacidad equivalente

entre A y B:

a) C b) 2 C c) (2/3) C d) 10 C e) 5 C 12. Determinar la capacidad

equivalente entre los puntos A y B; C = 2 F.

1

20V C 15V

2 - + + -

- +

III BIMESTRE

18

a) 1F b) 7F c) 2F d) 3F e) 9F 13. En el circuito, determinar la carga

(en C) en el condensador de 2 F.

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 14. En el circuito eléctrico mostrado,

determinar la carga acumulada por el capacitor C = 1 F, en C,

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. El circuito eléctrico mostrado, es

alimentado por una F.E.M de 5V. Determinar la carga acumulada en cada placa del condensador de capacidad 12 F, en C.

a) 50 b) 55 c) 60 d) 65 e) 70

16. Se tiene un capacitor de placas paralelas de capacitancia igual a 6 F conectado a una batería de 12v. Se desconecta la batería y se introduce entre las placas un dieléctrico de constante K = 1,5. Determinar la nueva diferencia de potencial (en V) entre las placas.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15

17. En el esquema de capacitores mostrados C = 10 mF. Determine la cantidad de carga (en mC) en el capacitor de 20C, si la diferencia de potencial entre A y B es de 30V

a) 1000 b) 1200 c) 1500 d) 1600 e) 1800

18. En el circuito que se muestra determine: la energía que almacena el circuito (en µJ)

a) 121,6 b) 115,6 c) 118,6 d) 119,6 e) 117,6


19

19. Se tienen tres baterías de iguales características, que conectada en serie tiene una duración de 2 días ¿Cuántas días durarán si se les conectara en paralelo? Suponer que en ambos casos se alimenta a la misma resistencia

a) 3 b) 9 c) 12 d) 16 e) 18

20. Determine el valor de “C”, en F, si

se sabe que el condensador equivalente al conjunto mostrado, tiene una capacidad de 10F

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

ELECTRODINÀMICA

III BIMESTRE

20


21

III BIMESTRE

22

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Hallar la potencia que entrega la fuente de 12 voltios

4W 1W

8W 2W

R

I

a) 24,2 b) 26,2 c) 28,2 d) 36,2 e) 43,2


23

2. Determine la intensidad de corriente eléctrica que circula por 2W (En A)

a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 3. Cuantos vatios consume la

resistencia de una tetera eléctrica si un litro de agua hierve a los 5 minutos (T0 = 20ºC). Considere 1 Cal = 4, 2 J

a) 1420 b) 1320 c) 1220 d) 1120 e) 920 4. En el circuito mostrado. Hallar el

potencial en A.

a) 6 V b) 4 V c) 3 V d) 2 V e) 1 V 5. Se tiene un alambre metálico de

longitud L y resistencia 80W. Si con dicho alambre se forma otro más grueso de longitud L

2. Calcular la

resistencia del nuevo alambre (En W)

a) 40 b) 4 c) 30

d) 3 e) 20 6. Una lámpara incandescente tiene

la siguiente inscripción 180 V – 135 V. Calcule las calorías disipadas por esta lámpara si es conectada, durante 10 segundos a una tensión de 150 voltios.

a) 200 cal b) 225 cal c) 250 cal d) 275 cal e) 300 cal 7. Un alambre de cobre ( = 1,7 x 10–

8 W.m) de 24 m de longitud tiene una sección recta de 8 x 10–6 m2. Halle la resistencia de este alambre

a) 0, 041 W b) 0,051 W c) 0,061 W d) 0,071 W e) 0,081W 8. Se muestra un segmento de un

circuito, de A hacia B pasa una corriente de 3 A. Determine la diferencia de potencial entre los puntos A y B.

a) 37 V b) 38 V c) 39 V d) 40 V e) 41 V 9. La corriente eléctrica tiene los

efectos de: 1) Calentar conductores

2) Producir fenómenos químicos 3) Desviar agujas imanadas 4) Provocar efectos fisiológicos De estas proposiciones son ciertas

III BIMESTRE

24

a) 1 y 4 b) 1, 2 y 4 c) 1, 3 y 4 d) 1 y 2 e) Todas 10. En el circuito dado, calcular la

resistencia equivalente entre X e Y

x

y

R R/3

R/5

a) (15/18) R b) R c) (8/15) R d) 15 R e) 16 R 11. Cuando una plancha eléctrica se

conecta a un tensión de 220 V consume una potencia de 500 Watts; si se conecta a una tensión de 110 V, la potencia será:

a) 125 W b) 100 W c) 220 W d) 250 W e) 500 W 12. Si por un conductor circula una

corriente de 2 amperios; calcular el número de electrones que atraviesan la superficie del conductor durante 5 minutos

a) 4,65 x 1021 b) 4,75 x 1021 c) 3,65 x 1021 d) 3,85 x 1021 e) 3,75 x 1021 13. El amperímetro “A” indica 6A.

Hallar I (En A)

A

15W

10WI

a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 12 14. Determine el voltaje (V) en la

fuente del circuito si R2 = 5 W y V2

= 15 V

3W

2W

V2 R2+

-V

a) 180 V b) 20 V c) 22 V d) 25 V e) 30 V 15. Halle la resistencia interna de una

pila de 9 V. Si cuando se conecta una resistencia de 4W a sus terminales, por el circuito circula una corriente de 2 amperios.

a) 0,2 W b) 0,3 W c) 0,4 W d) 0,5 W e) 0,8 W 16. En el circuito mostrado el

voltímetro marca 12 voltios y el amperímetro 2 amperios. Determinar “i”


25

a) 4 A b) 5 A c) 6 A d) 7 A e) 8 A 17. Un alambre conductor rectilíneo de

sección recta constante tiene una resistencia eléctrica de 6W. Si el alambre es estirado hasta triplicar su longitud; calcular la nueva resistencia del alambre. Despreciar el calentamiento durante el estiramiento

a) 54 W b) 18 W c) 36 W d) 96 W e) 6 W 18. Una plancha eléctrica de potencia

1 Kw trabaja al día 06 horas, si 1 Kw.h cuesta S/. 0,40. Calcular el costo a pagar por el trabajo de la plancha al mes, en nuevos soles.

a) 40 b) 60 c) 72 d) 45 e) 55 19. En el siguiente nudo, formado por

conductores, en las cuales circula corriente, la corriente que circula por “R”, ¿sale o entra al nudo? ¿Cuál es el valor?

a) Sale 6A b) Entra 6A c) Sale 15A c) Entra 15A e) No circula corriente 20. Hallar las intensidades de corriente

que circulan por las resistencias (en A).

a) 6 ; 15 ; 4,5 b) 6 ; 3,5 ; 25 c) 6 ; 3 ; 3 d) 6 ; 2 ; 4 e) 6 ; 5 ; 1 21. Determine la intensidad de la

corriente en el circuito (en A).

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1,5 e) 2,5 22. Calcular cuánto marcará el

amperímetro instalado (en A)

a) 0,5 b) 0,8 c) 1 d) 2 e) 3 23. Calcular las intensidades de

corriente que pasan por la resistencia de 6 y 7 W (en A).

III BIMESTRE

26

a) 1 ; 2 b) 2 ; 1 c) 2 ; 2 d) 2 ; 3 e) 2 ; 1,5 24. En el circuito mostrado, hallar la

intensidad de corriente y potencia generada por la fuerte de 14V (en A y W).

a) 3 ; 42 b) 3 ; 24 c)1 ; 14 d) 2,5 ; 35 e) 1,5 ; 21 25. Si la intensidad de corriente

eléctrica a través de un conductor es 20 mA. Determine cuántos electrones han pasado por la sección recta del conductor en 10 s.

a) 1,25 x 1016 b) 1,25 x 1017

c) 1,25 x 1018 d) 1,25 x 1019 e) 1,25 x 1020 26. Un alambre cilíndrico de radio R

tiene una resistencia de 60W. ¿Qué resistencia tendrá si el alambre fuera hueco de radio interno R/2 y externo R (en W).

a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140 27. Un amperímetro ideal se ha

conectado en serie a la resistencia de 6W. Determinen su lectura (en A).

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


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