Ing. Omar Castillo Paredes

ooccpp@hotmail.com

2015-V

OBJETIVOS

1. Identificar las distribuciones deprobabilidad que más se utilizan enla toma de decisiones.

2. Elaborar una Distribución Binomial,una Distribución Hipergeomètrica.

3. Comprender las limitaciones de cadauna de las distribuciones que utilice.

Al finalizar la Tema , el participante será capaz de:

TIPOS DE DISTRIBUCIONES

a)DISCRETAS: La variable toma un númerolimitado de valores.

- Distribución Binomial

- Distribución de Poisson

- Distribución Hipergeométrica

b)CONTINUAS: La variable puede tomarcualquier valor dentro de un intervalo dado.

- Distribución normal

- Distribución normal estándar o Z

- Distribución t

- Distribución Ji-cuadrada 2

- Distribución F

La Distribución Binomial.

Un experimento es llamado de Bernoulli, sisatisface las siguientes características:

• Cada ensayo tiene solo dos resultadosllamados: éxito y fracaso

• La probabilidad de éxito en cada ensayo,denotada por p que permanece constantey la de fracaso por q=1-p

• Las repeticiones de los experimentosdeben ser independientes.

Distribución Binomial

• Es una distribución discreta de probabilidadconocida por sus variadas aplicaciones que serelaciona con un experimento de etapas múltiples

• Un experimento binomial tiene cuatropropiedades:

1. El experimento consiste en una sucesión de nintentos idénticos

2. En cada intento son posibles 2 resultados. Éxito oFracaso

3. La probabilidad de éxito, representado por p, nocambia de un intento a otro. En consecuencia, laprobabilidad de fracaso, (1-p), no cambia de unintento a otro. Supuesto de estacionariedad.

4. Los intentos son independientes

• Si existen sólo las propiedades 2,3,4 se habla deun proceso Bernoulli

• Un ejemplo de distribución Binomial esdeterminar la probabilidad de que en n intentosal lanzar una moneda salga cara (éxito) y nosello (fracaso)

• La fórmula de combinatoria de n objetosseleccionados en un grupo proporciona lacantidad de resultados experimentales queresultan en x éxitos

Distribución Binomial

• Cantidad de resultados experimentales conexactamente x éxitos en n intentos

• También es necesario conocer la probabilidadasociada a cada uno de los resultadosexperimentales el cual se puede determinar através de la siguiente relación

!

! !

n n

x x n x

( )(1 )x n xp p

Distribución Binomial

• Combinando las dos expresiones obtenemos la función de distribución Binomial

( )( ) (1 )

( ) probabilidad de x exitos en n intentos

!

!( - )!

probabilidad de un exito en cualquier intento

(1- )=probabilidad de un fracaso en cualquier intento

x n xn

f x p px

f x

n n

x x n x

p

p

Distribución Binomial

• Valor esperado de la distribución binomial de probabilidad

• Varianza de la distribución binomial de probabilidad

( )E x np

2( ) (1 )Var x np p

Distribución Binomial

Ejemplo

• El gerente de una gran tienda necesitadeterminar cual es la probabilidad de que 2 detres clientes que ingresan a la tienda haganuna compra. Él sabe que la probabilidad deque un cliente compre es de 0.3

3 3!3

2 2! 3 2 !

2 (3 1)0.3 (1 ) 0.063p

Cantidad de resultados experimentales

Probabilidad de cada resultado

experimental en donde 2 de los tres

clientes compran

Luego 3·0.063 = 0.189, probabilidad de que de 3 clientes que ingresan a la

tienda 2 compren

Distribución Geométrica• En una serie de intentos independientes, con una

probabilidad constante p de éxito, sea la variable Xel número de ensayos realizados hasta laobtención del primer éxito. Se dice que X tiene unadistribución geométrica con parámetro p cuando

• La media y varianza para esta distribución son

• Una característica de esta distribución es quecarece de memoria, es decir, se puede empezar acontar en cualquier ensayo o intento hasta obtenerel éxito

1( ; ) (1 )

cantidad de intentos

xfx x p p p

x

2

( ) 1/

(1 )( )

E X p

pVar X

p

Ejemplo

• La probabilidad de que una muestra de airecontenga una molécula rara es 0.01. Si sesupone que las muestras son independientesrespecto a la presencia de la molécula. Determinecuál es la probabilidad de que sea necesarioanalizar 125 muestras antes de detectar unamolécula rara

125 1(125;0.01) (1 0.01) 0.01 0.0029fx

Tarea: Graficar distribución

Distribución Binomial Negativa

• En una serie de intentos independientes con una probabilidadconstante de éxito p, sea la variable aleatoria X en número deensayos efectuados hasta que se tienen r éxitos. Se dice queX tiene una distribución Binomial negativa con parámetros: py r cuando

• Una variable binomial negativa es un conteo del número deensayos necesarios para obtener r éxitos. Es decir, el númerode éxitos está predeterminado y lo aleatorio es el número deensayos. SE puede decir que esta variable es el opuesto deuna variable binomial

• Una variable binomial negativa es una suma de variablesaleatorias geométricas

• La media y varianza para esta distribución son

1( ; ; ) (1 )

1

x r rx

fx x p r p pr

2

( ) /

(1 )( )

E X r p

r pVar X

p

Ejemplo

• Una aeronave tiene 3 computadorasidénticas. Sólo una de ellas se empleapara controlar la nave, las otras 2 son dereservas por si falla la primera. Duranteuna hora de operación la probabilidad defalla 0.0005.– ¿Cuál es el tiempo promedio de falla de las

tres computadoras?

– ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 fallendurante un vuelo de 5 horas?

( ) 3/ 0.0005 6000E x h

3 3 3 9

( 5) ( 3) ( 4) ( 5)

3 40.0005 0.0005 (0.9995) 0.0005 (0.9995) 1.249 10

2 2

P x P X P X P X

x

a)

b)

Ejemplo

Distribución Hipergeométrica• Está estrechamente relacionada con la distribución

de probabilidad binomial. La diferencia entreambas está en la independencia de los intentos yen que la probabilidad de éxito cambia de uno aotro

• Se usa para calcular la probabilidad de que unamuestra aleatoria de n artículos seleccionados sinreemplazo, obtengamos x elementos identificadoscomo éxitos, y n-x como fracasos. Para quesuceda esto debemos obtener x éxitos de los r dela población, y n-x fracasos de los N-r de lapoblación

( )

r N r

x n xf x

N

n

0 x r

Ejemplo• Se debe seleccionar 2 miembros de un

comité, entre 5, para que asistan a unaconvención en Santiago. Suponga queel comité está formado por 3 mujeres y2 hombres. Determine la probabilidadde seleccionar 2 mujeres al azar

– Tenemos N=5, n=2, r=3 y x=2

– Luego el cálculo de la probabilidad es:

3 2

2 0 3(2) 0.3

5 10

2

f

Distribución Poisson

• Es una distribución de probabilidad que muestrala probabilidad de x ocurrencias de un evento enun intervalo especificado de tiempo o e espacio

• Las propiedades de un experimento de Poissonson:

– La probabilidad de una ocurrencia es igual en dosintervalos cualesquiera de igual longitud

– La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo esindependiente de la ocurrencia o no ocurrencia encualquier otro intervalo

• La distribución de Poisson se expresacomo:

(x = cantidad de ocurrencia)

• Se puede usar este distribución deprobabilidad como una aproximación de ladistribución binomial cuando p, laprobabilidad éxito es pequeña y n, lacantidad de intentos, es grande. Tan sólose iguala =n·p

( )!

xef x

x

Distribución Poisson

Ejemplo

• Se necesita estimar la cantidad de llegadas ala ventanilla de servicio en automóviles de unbanco, durante un período de 15 minutos enlas mañanas de los días hábiles. Los datoshistóricos indican que en este período lacantidad de automóviles en promedio es 10. Ala gerencia le interesa saber cual es laprobabilidad exacta de que lleguen 5automóviles en 15 minutos

5 1010(5) 0.0378

5!

ef

Ejercicios

• Se comprobó que un nuevo detergentepara ropa quita bien la mugre y lasmanchas del 88% de las prendas lavadas.Suponga que se van a lavar 10 prendascon el nuevo detergente– ¿Cuál es la probabilidad de obtener buenos

resultados en las 10 prendas?

– ¿Cuál es la probabilidad de encontrar mallavadas al menos 2 prendas?

– ¿Qué tipo de distribución empleó?

• Un director regional tiene la responsabilidad deldesarrollo de una empresa, y le preocupa lacantidad de quiebras de empresas pequeñas. Sila cantidad promedio de quiebras de empresaspequeñas por mes es de 10, ¿cuál es laprobabilidad de que quiebren exactamente 4empresas pequeñas durante un mes?, Supongaque la probabilidad de una quiebra es igual endos meses cualesquiera, y que la ocurrencia o noocurrencia de una quiebra en cualquier mes esindependiente de las quiebras en los demásmeses

Ejercicios

• La mayoría de las personas conoce el póker conmanos de 5 cartas. Con 52 cartas que incluyen 4ases, cuál es la probabilidad de que la mano decinco cartas contenga:

– Un par de ases

– Exactamente un as

– Ningún as

– Cuando menos 1

Ejercicios

Ejemplos:

1. Lanzar tres monedas o 3 veces unamisma moneda.

2. Responder al azar 10 preguntas deverdadero o falso.

3. Tomar 6 artefactos de un grupo ydeterminar si son buenos o malos.

Notación: X ~ B(n;p)

La distribución de probabilidad de x éxitos en n pruebas es:

Dónde:n: número de ensayosx : número de éxitos en cada ensayo.n - x : número de fracaso en el ensayo

: número de maneras de obtenerexactamente x éxitos en n pruebas

p: probabilidad de éxito en cualquier pruebaq = 1-p probabilidad de fracaso en cualquierprueba

!)!(

!

xxn

n

x

n

n, ........, , xqpx

nxXP xnx 210 )(

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

x n-x( ) p (1-p)n

P xx

Esperanza de X : E(X) = n p

Varianza de X : V(X) = n p q

nx .......,,2,1;

Problemas de cálculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1.

Ejemplo1: Una compañía de encuestas determinaque el 30% de los habitantes de Lima Metropolitanalee periódico en la noche. Si aleatoriamente seescogen 3 persona dentro de esa población. ¿Cuáles la probabilidad de que?

a) Se elijan exactamente 2 personas que leanperiódico en la noche

SOLUCIÓN: Datos:x =2p =0.3 lee periódico en la nocheq = 0.7 no lee periódico en la noche

)7.0()3.0(2

3)2( 2

XP

189.07.009.03)2( XP

b) Ninguno lee periódico en la noche

30 )7.0()3.0(0

3)0(

XP

343.0)7.0()0( 3 XP

c) Al menos una persona lea periódico en la noche

)1(1)1( XPXP

657.03430.01)0(1)1( XPXP

d) Hallar )31( xP

657.0)0(1

)3()2()1(

XP

XPXPXP

e) Que una persona no lea periódico en la noche, es semejantea decir que dos personas lean periódico en la noche

p=0.3 0 1 2 3

p=0.7 3 2 1 0

x p(x) F(x)

0 0.343 0.343

1 0.441 0.784

2 0.189 0.973

3 0.027 1

Total 1

p= 0.3

En Excel la distribución Binomial

p= 0.7x p(x)3 0.3432 0.4411 0.1890 0.027

TOTAL 1

Ejemplo2: AMD Corp. Fabricante de chips paraPC, tiene un índice de defectos del 5% en suschips de microprocesador. La firma IBM uno desus principales clientes encarga 500 chips de loscuales hay que elegir una muestra de 12. Si haymás de 2 defectuosos en la muestra se devolveráa AMD el lote de 500.¿Cuál es la probabilidad deque el lote entero sea devuelto?Solución: Sea X: número de chips defectuososSí N= 500, p= 0.05, n=12,

9805.00988.03413.05404.0)(

)2()1()0()(

)(1)(

)2()(

AceptadoP

XPXPXPAceptadoP

AceptadoPDevueltoP

XPDevueltoP

0195.0)(1)( AceptadoPDevueltoP

• Calculando así para diferentes valores de p,se puede establecer una Función deProbabilidad de Aceptación, esto indica laprobabilidad de aceptación de un lote paradistintos índices de defectos

Ejemplo3: Cierto proceso médico serepite cuatro veces. Suponga queexiste la probabilidad de 0.50 que elproceso resulte deficiente. En cuatrorepeticiones se puede obtener0,1,2,3 ó 4 procesos deficientes. Sepuede calcular la probabilidad decada uno de estos posiblesresultados mediante la distribuciónbinomial, su E(X) Y V(x)

P(X = )xX

(Número de

procesos deficientes)

0

1

2

3

4

0625.016

12

1

2

1

!4!0

!440

250.016

42

1

2

1

!3!1

!431

375.016

62

1

2

1

!2!2

!422

0625.016

12

1

2

1

!0!4

!404

250.016

42

1

2

1

!1!3

!413

A estos resultados se denomina distribución de probabilidad.

En Excel

X P(X) F(X)

0 0,0625 0,0625

1 0,2500 0,3125

2 0,3750 0,6875

3 0,2500 0,9375

4 0,0625 1

Total 1

e) La media y la desviación estándar

Consideramos la distribución del ejemplo anterior

(p = 1/2, n = 4)

0 1 2 3 4

1/16 4/16 6/16 4/16 1/16P(X = )x

X

La media

)(X= xP

Interpretación: Si seleccionamos 4 procesosmédicos al azar, se espera encontrar 2procesos deficientes, si este experimento serepite un número infinito de veces.

0

1

2

3

4

1/16

4/16

6/16

4/16

1/16

0

4/16

12/16

12/16

4/16

X P(x) XP(x)

16

32)(XP x

= procesos2

También:

= np

= 4( 12 2)

32/16

La desviación estándar

2 2 2( ) ( ) ( )V x E X E X

0

1

2

3

4

0

1

4

9

16

0

4/16

24/16

36/16

16/16

1/16

4/16

6/16

4/16

1/16

2

2 2 ( ) ( )x P x x x P x

E(X2)=80/16

También la distribución binomial (p = 1/2, n= 4) tiene una media de 2 y una desviaciónestándar de 1.

2

2 80 325 4 1

16 16

1

npq

4(0,5)(0,5) 1

Luego

Ejemplo 4: Una máquina A produce eldoble de artículos que la máquina B.Se sabe que el 6% de los artículos queproduce la maquina A son defectuosos,mientras que el 3% de los artículosproducidos por la máquina B sondefectuosos. Si al final de un día deproducción se juntan las dosproducciones y de ella se toma unamuestra aleatoria de 10 artículos¿Calcular la probabilidad de obtenertres artículos defectuosos?

• La probabilidad de obtener unartículo defectuoso del total de laproducción de un día es

05.0)03.0(3

1)06.0(

3

2p

01047.0)95.0()05.0(3

10)3( 73

XP

X: Numero de artículos defectuosos

Solución:

Ejemplo 5: El gerente de un restauranteque sólo da servicio mediante reservassabe, por experiencia, que el 20% de laspersonas que reservan una mesa noasistirán. Si el restaurante acepta 25reservas pero sólo dispone de 20 mesas,¿cuál es la probabilidad de que a todaslas personas que asistan al restaurantese les asigne una mesa?Solución :

X: Numero de personas q asistirán al restaurante se les asigne una mesa

5799.0)80.0()20.0(25

)20( 2520

0

ii

i iXP

Ejemplo 6: La probabilidad de éxito de unadeterminada vacuna es 0,72. Calcula laprobabilidad de a que una vez administrada a 15pacientes:a) Ninguno sufra la enfermedadb) Todos sufran la enfermedadc) Dos de ellos contraigan la enfermedad

Solución: Sea X: numero de pacientes sanos

00724.028.072.015

15)15( ) 015

xPa

9150 10097.528.072.00

15)0 )

P(xb

11503.028.072.013

15)13( ) 213

xPc

Ejemplo 7: Supongamos que la probabilidad deque una pareja tenga un hijo o una hija es igual.Calcular la probabilidad de que una familia con 6descendientes tenga 2 hijos

Ejemplo 8: En cierta Universidad, aprobaron elCurso de Estadística el 40% de los alumnos deAdministración. ¿Cuál es la probabilidad de que,de un grupo de 10 alumnos elegidos al azar, sólodos hubiesen desaprobado el curso deEstadística?

Ejemplo 9: De un total de 2,000 familias con 4 hijos cada una, en cuántas de ellas se puede esperar que haya:a) Al menos un niño. b) Dos niños. c) Una o dos niñas d) Ninguna niña

a) Multiplica 2,000 por P(al menos un niño) = 1,875

Solución

b) Multiplica 2,000 por P(dos niños) = 750

X: Numero de niños µ=Ex)=np

Ejemplo 10 :Un tipo de piezas requiere de 4 soldaduras. Sehace un control de calidad a mil de esas piezas y se obtienenlos siguientes resultados: ¿Se ajustan estos datos a unabinomial

SOLDADURAS DEFECTUOSAS

0 1 2 3 4

PIEZAS 603 212 105 52 28

¿Se ajustan estos datos a una distribución binomial?

La media de la muestra es x = 0.69

Solución:

Si las cuatro soldaduras tuvieran la misma probabilidad, p,de ser defectuosa y fueran independientes, el número, x,de soldaduras defectuosas en cada pieza seguiría unadistribución binomial B (4, p), por lo cual:

x = 4 · p = 0,69 , luego p = 0.1725

Veamos cómo se comportaría, teóricamente, esta binomial con1000 individuos y comparémoslo con los resultados de la muestra:

Las diferencias son enormes. Se rechaza la hipótesis de que “elnúmero de soldaduras defectuosas en una pieza” siga unadistribución binomial

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

47

Consideremos el siguiente experimento:

Partimos de un experimento de Bernoulli donde laprobabilidad de que ocurra un suceso es p (éxito) y laprobabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso).Repetimos nuestro experimento

hasta conseguir el primer éxito. Definimos la variablealeatoria X, como el número de fracasos hasta que seobtiene el primer éxito. Entonces:

.........2,1 )( 1 xpqxXP x

2)(

1)(

p

qxV

pxE

Ejemplo1: En un canal de comunicación, un modempuede equivocar un carácter enviado con unaprobabilidad p=0.001.a) ¿Qué probabilidad hay de que transmita 300caracteres sin error?b) ¿Cuál es el promedio de caracteres sin error?

Solución:

0.0007407101)0.740)(0.0 (

)001.0()999.0()301( 300

XPa) Sea

b) La respuesta es 000,1001.0

1)( XE

Ejemplo2: En cierta región de la sierra laprobabilidad de que una tormenta con truenosocurra en un día cualquiera durante el verano(Enero-Febrero) es igual a 0.1. Suponiendo laindependencia de un día con otro. ¿Cuál es laprobabilidad de que la primera tormenta con truenosocurra el 3 de febrero.

Solución:X: Número de días hasta la primera tormenta

003.01.09.0)34( 33 XP

Ejemplo3: El costo de efectuar un experimento es de $1,000. Si elexperimento falla, se incurre en un costo adicional de $300, debido a ciertoscambios que se deben efectuar antes de que se intente un nuevo ensayo. Síla probabilidad de éxito en cualquiera de los ensayos es 0.2, y si los ensayosaislados son independientes y los experimentos continúan hasta que seobtiene el primer resultado exitoso.¿Cuál es el costo esperado del procedimiento completo?

Solución:Si C es el costoX es el número de ensayos para obtener éxitoX-1 es el número de ensayos fallados

x

x

pqqqqqqqq

1

.........

3600,3

2300 ,2

1000 ,1

cqqpx

cqpx

cpxSi

200,63002.0

11300)(

300)(1300)(

3001300

)1(3001000

CE

xECE

XC

XXC

Costo delexperimento $1,000

Costo adicional de $ 300

LA DISTRIBUCIÓN DE PASCAL

La distribución de Pascal también llamada Binomial Negativa es unageneralización de la distribución geométrica.Supongamos que un experimento continúa hasta que ocurra el éxito porr-ésima vez.

La distribución de X es ,.....1, 1

1)(

rrxqp

r

xxXP rxr

Donde:X: número de ensayos hasta que ocurra el éxito por r-ésima vez.r : número de éxitosX-r : número de fallas

1

1

r

x

número de arreglos

p

rxE )(

2)(

p

rqxV

Ejemplo1: Un estudiante responde a unexamen con 5 alternativas de respuestas,hasta obtener 5 respuestas correctas. ¿Cuáles la probabilidad de que los obtenga alterminar de contestar el examen con 25preguntas?

0392.05

4

5

1

15

125)25(

205

XP

Solución:

X: número de ensayos hasta que ocurra el éxito por r-ésima vez.r : número de éxitosX-r : número de fallas

,.....1, 1

1)(

rrxqp

r

xxXP rxr

Ejemplo2: La ONPE cuenta con tres servidores

idénticos para sus procesos electorales. Se utiliza

únicamente solo un servidor para operar las elecciones

presidenciales, las dos restantes se activan en caso de

que el sistema primario falle.

Durante una hora de funcionamiento la probabilidad de

falla en el servidor primario (o cualquiera de los

servidores de respuesta activados) es 0.0005

Suponiendo que cada hora representa un ensayo

independiente.

1. ¿Cuál es el tiempo promedio para que fallen los tres

servidores?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres servidores

fallen en un proceso de 5 horas?

a) Sea X numero de horas de funcionamiento hasta que los 3servidores fallen y sea X1,X2, y X3 denotan el numero dehoras de funcionamiento antes de una falla del primero,segundo y tercer servidor, entonces X= X1+X2 + X3

En el proceso falla el tercer servidor falla x = r, r+1…….

000,60005.0

3)(

p

rxE

)5()4()3()5( XPXPXPXPb) Como P(x=3) Probabilidad de que en la tercera hora falle el tercerservidorP(x=4) Probabilidad de que en la cuarta hora falle el tercerservidorP(x=5) Probabilidad de que en la quinta hora falle el tercerservidor

233333 )9995.0()0005.0(13

15)9995.0()0005.0(

13

14)9995.0()0005.0(

13

13)5(

XP

2333 )9995.0()0005.0(6)9995.0()0005.0(3)0005.0(

LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se aplica al muestreo sin reposición de una población

finita, cuyos elementos pueden ser clasificados en dos

categorías: Defectuosos (r) y no defectuosos (N-r).

N - r r

LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

CARACTERÍSTICAS

• Población Finita

• La selección de la muestra es sin reemplazo

• Cada elemento puede ser calificado por un éxito

o un fracaso

• La probabilidad de éxito no permanece

constante de un ensayo a otro

donde:N : tamaño de la poblaciónr : es el número total de defectuosos en la poblaciónn : tamaño de la muestrax : es el número de defectuosos en la muestra

nx

n

N

xn

rN

x

r

xXP ,.......1,0 )(

npxE )(

1)(

N

nNnpqxV

N

rp

Ejemplo1: De un lote de 10 impresoras de las cuales

7 son buenas y 3 defectuosas. Si se escoge 2 artículos

al azar.

a)¿Hallar la probabilidad de encontrar 1 impresora

defectuosa.

Solución: Sea X: número de impresoras defectuosas.

N = 10

r = 3 impresoras defectuosas

N - r = 7 impresoras no defectuosos

n = 2 tamaño de la muestra

x = 1

n –x = 1

466.045

73

2

10

1

7

1

3

)1(

XP

b)Hallar la probabilidad de encontrar por lo menos una impresora defectuosa

534.045

211

2

10

2

7

0

3

1)1(

)0(1)1(

XP

XPXPSi

En Excel la distribución Hipergeométrica

x p(x)

0 0.46666667

1 0.46666667

2 0.06666667

Total 1

Ejemplo2: Se acaba de recibir un embarque de 10 TV.

Poco después de recibirlos, el fabricante llamó para

informar que por descuido se habían enviado tres

aparatos defectuosos.

Se decidió probar dos de estos ¿Cuál es probabilidad

que ninguno de los dos este defectuoso?

Ejemplo3: Se embarcan motores en lotes de

50. Antes de que tal cargamento sea aceptado,

un inspector elige 5 motores y los revisa. Si

ninguno de los motores probados es

defectuoso, el lote es aceptado. Si se

encuentra que uno o más son defectuosos, se

inspecciona el cargamento completo.

Supongamos que, en realidad hay 3 motores

defectuosos en el lote ¿Cuál es la probabilidad

de que sea necesaria una inspección de todo el

cargamento?

Solución: Sea X: número de motoresdefectuosos.Se necesita una inspección al 100% sí X 1

28.0

5

50

5

47

0

3

1)1(

)0(1)1(

XP

XPXP

N = 50r=3 motores defectuososN-r = 47 motores no defectuososn = 5 tamaño de la muestraX 1

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Esta distribución considera la repetición de un evento simple. Ladiferencia con la distribución binomial, es que el número derepeticiones es muy grande y la probabilidad de éxito es muypequeña.(n>100, p<0.05)

La distribución de Poisson puede utilizarse para determinar la probabilidad del

número de ocurrencias (llegadas o prestaciones de servicios) durante

un intervalo de tiempo o región.

Aplicaciones:

El número de trabajos realizados por un servidor en 1 minuto.

El número de accidentes que suceden en una fábrica durante un mes.

En problemas de teoría de colas o simulación, como el número de llegadas

o solicitudes de servicios en la ventanilla de caja de un banco.

En control de calidad cuenta el número de unidades defectuosas en una

unidad de tiempo

Si x es el número de ocurrencias de algún evento aleatorio en unintervalo de tiempo o región la probabilidad de que x ocurra esta dadopor

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

0 ........2,1,0 !

)(

xx

exXP

x

Donde:x: es el número de veces que ocurre un sucesoλ: el número promedio de ocurrencias del suceso por unidad de tiempo o espacioLos parámetrosson:

)(

)(

xV

xE

Ejemplo1: Los clientes en el Banco Wiese se forman en la ventanilla B,a razón de 4 por minuto.a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un cliente se forme en

dicha cola en cualquier periodo de 30 segundos (1/2 minuto)?b) Hallar P(μ-2σ<X<μ+2σ)

Solución: Sea X: numero de clientes que llegan a la ventanillaSi tiene en promedio 4 llegadas por minuto, cada medio minuto tendráen promedio 2 llegadas, luego, λ=2

a) Entonces

865.01!0

1)1(

)0(1)1(

20

ee

XP

XPXP

Ejemplo2: Se sabe que 3 es el promedio de buques tanques de petróleoque llegan por día al puerto de Talara. Las instalaciones del puertopueden atender cuando mucho a 5 buques tanques en un día.¿ Cuál esla probabilidad de que en un determinado día se tengan que regresar losbuques tanques?

Solución:Sea X número de buques que llegan al puerto

0839.0)5(

9161.01)5(

)(1)5(

)5(1)5(

5

0

XP

XP

xPXP

XPXP

x

i

Ver tabla de distribuciones acumuladas

de Poisson

APROXIMACION DE LA BINOMIAL POR POISSON

REGLA: Si n 30 y/o np<5, luego λ=np

Ejemplo1: Una compañía de seguros contra robos tiene 3,840asegurados. La probabilidad de que alguno de ellos presente unreclamo en un año cualquiera es 1/1200 ¿Cuál es la probabilidad deque 2 de los asegurados presente un reclamo en un año cualquiera?

Solución:X: numero de asegurados que presente un reclamoAproximando

2.31200

1840,3 np

!2

)2.3()2(

2.32 eXP

Distribución Exponencial

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 x

f(x)

LA DISTRIBUCION EXPONENCIAL:

La relación entre las distribuciones exponencial y de Poissonpuede establecerse como sigue, si el número de ocurrenciastiene un distribución de Poisson, entonces el tiempo entreocurrencias tiene un distribución exponencial.Por ejemplo, si el número de pedidos para cierto artículorecibidos a la semana tiene una distribución de Poisson, eltiempo entre pedidos tiene una distribución exponencial. Unavariable es discreta (el conteo) y la otra (el tiempo) continua.

caso otroen 0

0 ,0 )(

xe

xfx

:Dondeλ=Tasa media de llegadas o de servicios

(Índice de falla del sistema)E(x)=1/λ tiempo medio hasta que falleV(x)=1/λ2

EJERCICIOS

1. Se lanzan dos dados cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de 9 aparezca exactamente dos veces? Rpta= 0.058527

2. La probabilidad de tener una venta en un intento de cierto vendedor es½ ¿Cuál es la probabilidad de obtener

a) Exactamente dos ventas en tres intentos de ventas consecutivas

b) ¿Por lo menos una venta en tres intentos de ventas consecutivas? c) ¿Cuántos intentos de ventas consecutivas deben hacerse paraobtener una seguridad de 0.9375 de obtener por lo menos unaventa?

4. Sea X una variable aleatoria binomial con E(x)=1 y V(x)=0.75 . Hallar la probabilidad de obtener 5 éxitos en el la prueba?

3. Sea X una variable aleatoria con media 12 y varianza 4.8. Calcular

a) P(X>5), b) P(5<X<10), c)P(X<10)

5) La morosidad en el pago de los clientes que hacen uso de tarjetas de

crédito es alrededor del 20%. Si se escogen al azar los estados de cuenta

de 10 clientes, hallar la probabilidad de que:

a) Dos de ellas correspondan a clientes morosos

b) Mas de tres correspondan a clientes morosos

c) Por lo menos seis sean de clientes al día en sus pagos

d) Cuál es el valor esperado y la desviación estándar del numero de

clientes morosos?

6) Con base a encuestas al consumidor se sabe que la preferencia de éste

con respecto a dos marcas, A y B, de un producto dado, se encuentra muy

pareja. Si la opción de compra entre estas marcas es independiente, ¿cuál

es la probabilidad de que entre 25 personas seleccionadas al azar, no más

de diez tengan preferencia por la marca A?

7) Determinar el valor de k para que la función P(x) = k/x, x = 1,2,3,4,sea la función de probabilidad de X . Determinar P(1≤ X ≤ 3).

8) En un sondeo sobre la actitud hacia la donación de órganos seencuentra que en una determinada población hay un 80% desujetos que están a favor. Si se extrae una muestra aleatoria de10 sujetos obtenga lo siguiente:

a) Probabilidad de que 4 personas estén a favor

b) Probabilidad de que más de 4 personas estén a favor

c) Probabilidad de que menos de 4 personas estén a favor

d) Probabilidad de que como máximo 4 personas estén a favor

e) Probabilidad de que como mínimo haya 7 personas a favor

f) Probabilidad de que estén a favor al menos el valor esperado de sujetos que están a favor

h) Probabilidad de que estén en contra 4 o más personas