Sigma-algebras

Objetivos. Definir la nocion de -algebra y estudiar sus propiedades basicas. Definir lanocion de -algebra generada por un conjunto de conjuntos.

Requisitos. Operaciones con conjuntos, operaciones con familias de conjuntos.

1. Notacion (conjunto potencia, conjunto de los subconjuntos). Sea X un con-junto. Entonces denotemos por 2X al conjunto de todos los subconjuntos de X.

2. Definicion (-algebra). Sea X un conjunto. Un conjunto F 2X se llama -algebrasobre X si cumple con las siguientes condiciones:

1. X F.2. F es cerrado bajo complementos: si A F, entonces X \ A F.3. F es cerrado bajo uniones numerables: si Ai F para todo i N y B =

iNAi,

entonces B F.

3. Propiedades elementales de -algebras. Se F una -algebra sobre X. Entonces:

1. F.2. F es cerrada bajo intersecciones numerables:

si Ai F para todo i N, entonces

iNAi F.3. F es cerrada bajo uniones finitas:

si Ai F para todo i {1, . . . ,m}, entoncesm

i=1 Ai F.4. F es cerrada bajo intersecciones finitas:

si Ai F para todo i {1, . . . ,m}, entoncesm

i=1 Ai F.5. F es cerrada bajo la operacion de diferencia de conjuntos:

si A,B F, entonces A \B F.

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Ejemplos de -algebras

4. Ejemplo de una -algebra: conjunto potencia. Sea X un conjunto. Entonces 2X

es una -algebra sobre X.

5. Ejemplo de una -algebra: subconjuntos numerables y sus complementos.Sea X un conjunto no numerable. Denotemos por N al conjunto de todos los subconjuntosfinitos o numerables de X:

N :={Y X : Y es finito o numerable}.

Denotemos por F al conjunto que consiste en todos los subconjuntos finitos o numerablesde X y todos subconjuntos de X cuyos complementos son finitos o numerables:

F :={Y X : Y N Y c N}.

Entonces F es una -algebra.

Indicacion acerca de la demostracion. En la demostracion de la propiedad 3 hay que con-siderar dos casos: 1) Ai N para todo i N; 2) Acj N para algun j N.

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Sigma-algebra generada por un conjunto de conjuntos

6. Interseccion de un conjunto de -algebras es una -algebra. Sea un conjuntode -algebras sobre X. Denotemos por H a la interseccion de las -algebras pertenecientesa :

H :=A

A ={Y X : A Y A}.

Entonces H es una -algebra sobre X.

Demostracion incompleta. Probemos solamente que H es cerrada bajo uniones numera-bles. Sea (Bj)jN HN y sea

C :=jN

Bj.

Para cada j N tenemos que Bj H. Por la construccion de H esto significa quej N A Bj A.

Podemos intercambiar el orden de cuantificadores :A j N Bj A.

En otras palabras, para cada A la sucesion (Bj)jN toma valores en A. Como A esuna -algebra, esto implica que C A. Recordando que A era arbitraria concluimosque C H.7. Sigma-algebra generada por un conjunto de subconjuntos de X. Sea G 2X .Entonces existe una unica -algebra F que contiene G y es mnima entre todas las -algebras que contienen G:

1. G F.2. Si H es una -algebra sobre X y G H, entonces F H.

Se dice que F es la -algebra generada por G.

8. Ejercicio: -algebra generada por los subconjuntos unipuntuales de un con-junto no numerable. Sea X un conjunto no numerable y sea G el conjunto de lossubconjuntos unipuntuales de X:

G :={{t} : t X}.

Describa la -algebra F generada por G. Indicacion: determine que conjuntos se obtienende los conjuntos unipuntuales al aplicar las operaciones de -algebra.

9. Definicion (-algebra de Borel de un espacio topologico). Sea (X, ) un espaciotopologico. La -algebra B generada por la topologa se llama la -algebra de Borel. Enesta situacion los elementos de B se llaman conjuntos de Borel o conjuntos borelianos.

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Generadores de la sigma-algebra de Borel del eje real

10. Proposicion (la sigma-algebra de Borel del eje real esta generada por losrayos derechos). La -algebra BR esta generada por {(a,+) : a R}.

Demostracion. Denotemos por F a la -algebra generada por

G = {(a,+) : a R}.

1. [b,+) =nN

(b 1

n,+

) F.

2. (a, b) = (a,+) \ [b,+) F.3. Sea A un conjunto abierto en R. Se sabe que A se puede representar como la union

de una sucesion de intervalos de la forma (an, bn), donde an, bn R. Por lo tantoA F.

4. F es una -algebra que contiene a la topologa de R, y BR es la mnima -algebracon esta propiedad. Por lo tanto BR F.

5. BR es una -algebra que contiene a G, y F es la mnima -algebra con esta propiedad.Por lo tanto F BR.

11. Proposicion (la sigma-algebra de Borel del eje real extendido esta generadapor los rayos derechos). La -algebra BR esta generada por {(a,+] : a R}.

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