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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Simulacion numerica
Ander Murua
Donostia, UPV/EHU
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Modelo Malthusiano
dP
dt= rP, P(0) = P0
donde r es la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa demortandad por unidad de tiempo. La solucion exacta es
P(t) = P0 er t .
Si r > 0, la poblacion crece de forma ilimitada, y si r < 0, decaeexponencialmente hacia cero.Este modelo no es nada realista, pues no tiene en cuenta lalimitacion de recursos naturales.
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Modelo Malthusiano
dP
dt= rP, P(0) = P0
donde r es la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa demortandad por unidad de tiempo. La solucion exacta es
P(t) = P0 er t .
Si r > 0, la poblacion crece de forma ilimitada, y si r < 0, decaeexponencialmente hacia cero.Este modelo no es nada realista, pues no tiene en cuenta lalimitacion de recursos naturales.
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Modelo de Verhulst. Ecuacion logstica
dP
dt= r (1 P/K )P, P(0) = P0,
donde r > 0.
Si P0 = K , entonces P(t) = K para todo t.
Se puede comprobarque la solucion general es de la forma
P(t) =K P0
P0 + (K P0)er t ,
de modo que en cualquier caso (para P0 0 arbitrario), lapoblacion tiende hacia K cuando t .
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Modelo de Verhulst. Ecuacion logstica
dP
dt= r (1 P/K )P, P(0) = P0,
donde r > 0.
Si P0 = K , entonces P(t) = K para todo t. Se puede comprobarque la solucion general es de la forma
P(t) =K P0
P0 + (K P0)er t ,
de modo que en cualquier caso (para P0 0 arbitrario), lapoblacion tiende hacia K cuando t .
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Modelo simplificado de pesca
dP
dt= r(1 P/K )P H(t)
donde t el tiempo medido en meses, y H(t) es la cantidad detoneladas que se pesca por unidad de tiempo. Consideremos doscasos:
Se pesca un numero fijo L de toneladas al mes durante todo elano. En ese caso, H(t) es una funcion constante H(t) = L.Solo se pesca durante tres meses al ano, con una cantidad fijaL de toneladas al mes, y durante el resto del ano no se pesca.En tal caso, H(t) sera una funcion periodica
H(t) =
{L si 12n t < 12n + 30 si 12n + 3 t < 13n
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Modelo simplificado de pesca
dP
dt= r(1 P/K )P H(t)
donde t el tiempo medido en meses, y H(t) es la cantidad detoneladas que se pesca por unidad de tiempo. Consideremos doscasos:
Se pesca un numero fijo L de toneladas al mes durante todo elano. En ese caso, H(t) es una funcion constante H(t) = L.
Solo se pesca durante tres meses al ano, con una cantidad fijaL de toneladas al mes, y durante el resto del ano no se pesca.En tal caso, H(t) sera una funcion periodica
H(t) =
{L si 12n t < 12n + 30 si 12n + 3 t < 13n
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Modelo simplificado de pesca
dP
dt= r(1 P/K )P H(t)
donde t el tiempo medido en meses, y H(t) es la cantidad detoneladas que se pesca por unidad de tiempo. Consideremos doscasos:
Se pesca un numero fijo L de toneladas al mes durante todo elano. En ese caso, H(t) es una funcion constante H(t) = L.Solo se pesca durante tres meses al ano, con una cantidad fijaL de toneladas al mes, y durante el resto del ano no se pesca.En tal caso, H(t) sera una funcion periodica
H(t) =
{L si 12n t < 12n + 30 si 12n + 3 t < 13n
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Velocidad de caida de un paracaidista
mdv
dt= mg + c v2, v(0) = 0.
donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g = 9.8m/s2,y c > 0 es un parametro relativo a la friccion del aire con respectoal cuerpo que cae.Tiene dicho problema solucion unica?
De hecho, se puedecomprobar que la solucion v(t) es
v(t) = vt 1 exp(2gt/vt)1 + exp(2gt/vt)
donde vt =
mg/c . Observar que limt v(t) = vt .
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Velocidad de caida de un paracaidista
mdv
dt= mg + c v2, v(0) = 0.
donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g = 9.8m/s2,y c > 0 es un parametro relativo a la friccion del aire con respectoal cuerpo que cae.Tiene dicho problema solucion unica? De hecho, se puedecomprobar que la solucion v(t) es
v(t) = vt 1 exp(2gt/vt)1 + exp(2gt/vt)
donde vt =
mg/c .
Observar que limt v(t) = vt .
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Velocidad de caida de un paracaidista
mdv
dt= mg + c v2, v(0) = 0.
donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g = 9.8m/s2,y c > 0 es un parametro relativo a la friccion del aire con respectoal cuerpo que cae.Tiene dicho problema solucion unica? De hecho, se puedecomprobar que la solucion v(t) es
v(t) = vt 1 exp(2gt/vt)1 + exp(2gt/vt)
donde vt =
mg/c . Observar que limt v(t) = vt .
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuacion del pendulo
mLd2
dt2= mg sin() c d
dt
Este es un ejemplo de ecuacion de segundo orden. Si introducimosuna nueva variable para la velocidad angular ddt , obtenemos unsistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
d
dt= g
Lsin() c
m L
d
dt=
Para determinar una solucion concreta, hay que conocer (t0) y(t0) para un instante t0 inicial. Fijados estos valores, la soluciones unica.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuacion del pendulo
mLd2
dt2= mg sin() c d
dt
Este es un ejemplo de ecuacion de segundo orden. Si introducimosuna nueva variable para la velocidad angular ddt , obtenemos unsistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
d
dt= g
Lsin() c
m L
d
dt=
Para determinar una solucion concreta, hay que conocer (t0) y(t0) para un instante t0 inicial. Fijados estos valores, la soluciones unica.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Un modelo depredador-presa: El sistema de Lotka-Volterra
du
dt= (a b v) u,
dv
dt= (c u d) v ,
donde u representa la poblacion de presas y v la de depredadores,y a, b, c , d > 0 son parametros del problema previamente fijados.
Es un sistema autonomo.
Se puede ver que sus soluciones son periodicas.
Si se conocen u(0) y v(0) (ademas de los valores de losparametros a, b, c , d > 0), la solucion (u(t), v(t)) se puededeterminar de forma unica.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Consideremos la funcion
I (u, v) = d ln u + a ln v c u b v .
Para cualquier solucion (u(t), v(t)) del sistema
d
dtI (u(t), v(t)) = 0 para todo t,
y por tanto
I (u(t), v(t)) = I (u(0), v(0)) para todo t,
es decir, I (u, v) is un invariante del sistema. A partir de ello, sepuede deducir que (u(t), v(t)) es periodica respecto de t.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Simulacion de un satelite artificial
El movimiento de un satelite artificial alrededor de la tierra:
d2x
dt2= x
r3+ #Fx(x , y),
d2y
dt2= y
r3+ #Fy (x , y),
donde # es una constante positiva, r =
x2 + y2, y
Fx(x , y) =1
2
(9 + 15x
2
r2
)x
r5,
Fy (x , y) =1
2
(3 + 15x
2
r2
)y
r5.
Valor tpico del parmetro: # = 103.Ejemplo de valores iniciales con solucion casi periodica:
x(0) = 1, y(0) = 0, x (0) = 0, y (0) = 1.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
El sistema de Lorenz
El siguiente sistema es un ejemplo de sistema caotico (fuepropuesto por Lorenz como un modelo simplificado para laevolucion de variables atmosfericas).
dx
dt= a x + a y ,
dy
dt= r x y x z ,
dz
dt= b z + x y ,
donde a, b, y r son constantes positivas.Valores tpicos de los parametros: a = 10, b = 8/3, y r = 28.Ejemplo de condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Supongamos que tenemos una barra fina aislada termicamente delexterior, excepto posiblemente por los extremos.
La ecuacion del calor unidimensional
tu(x , t) = a
2
x2u(x , t).
donde
a > 0 es la constante de difusion,
u(x , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenada espacial x .
Para determinar de forma unica la solucion, necesitamos masinformacion:
Que ocurre en los extremos? (i.e. condiciones de contorno?)
Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Problema de valor inicial de EDOs
d
dty = f (t, y),
y(t0) = y0.
Datos del problema:1 Tiempo inicial t0,2 Valor inicial y0,3 Lado derecho de la equacion diferencial: f (t, y).
Solucion: La funcion y(t).
Resolucion numerica:
Discretizacion del tiempo: Considerar t0, t1, t2, . . . , tn, dondetk = tk1 + h, con h relativamente pequeno,Calcular aproximaciones yk y(tk) para k = 1, 2, 3, . . . , n.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Problema de valor inicial de EDOs
d
dty = f (t, y),
y(t0) = y0.
Datos del problema:1 Tiempo inicial t0,2 Valor inicial y0,3 Lado derecho de la equacion diferencial: f (t, y).
Solucion: La funcion y(t).
Resolucion numerica:
Discretizacion del tiempo: Considerar t0, t1, t2, . . . , tn, dondetk = tk1 + h, con h relativamente pequeno,Calcular aproximaciones yk y(tk) para k = 1, 2, 3, . . . , n.
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Problema de valor inicial de EDOs
d
dty = f (t, y),
y(t0) = y0.
Datos del problema:1 Tiempo inicial t0,2 Valor inicial y0,3 Lado derecho de la equacion diferencial: f (t, y).
Solucion: La funcion y(t).
Resolucion numerica:
Discretizacion del tiempo: Considerar t0, t1, t2, . . . , tn, dondetk = tk1 + h, con h relativamente pequeno,Calcular aproximaciones yk y(tk) para k = 1, 2, 3, . . . , n.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Metodo de Euler
Para k = 0, 1, . . . , n 1
yk+1 = yk + h f (tk , yk)
Importante: En el caso de un sistema de EDOs de dimension d ,
Cada yk es un vector de d componentes ( yk Rd),Para cada (t, y) Rd+1, tenemos f (t, y) Rd .
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Metodo de Euler
Para k = 0, 1, . . . , n 1
yk+1 = yk + h f (tk , yk)
Importante: En el caso de un sistema de EDOs de dimension d ,
Cada yk es un vector de d componentes ( yk Rd),Para cada (t, y) Rd+1, tenemos f (t, y) Rd .
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Metodo de Euler mejorado
Para k = 0, 1, . . . , n 1
yk+1 = yk + h f (tk +h
2, yk +
h
2f (tk , yk))
Metodo del punto medio explcito
y1 = y0 + h f (t0 +h
2, y0 +
h
2f (t0, y0))
y para k = 1, . . . , n 1,
yk+1 = yk1 + 2h f (tk , yk).
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Metodo de Euler mejorado
Para k = 0, 1, . . . , n 1
yk+1 = yk + h f (tk +h
2, yk +
h
2f (tk , yk))
Metodo del punto medio explcito
y1 = y0 + h f (t0 +h
2, y0 +
h
2f (t0, y0))
y para k = 1, . . . , n 1,
yk+1 = yk1 + 2h f (tk , yk).
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Para sistemas autonomos, es decir de la formad
dty = f (y),
Metodo de Euler mejorado
Para k = 0, 1, . . . , n 1
yk+1 = yk + h f (yk +h
2f (yk))
Metodo del punto medio explcito
y1 = y0 + h f (y0 +h
2f (y0))
y para k = 1, . . . , n 1,
yk+1 = yk1 + 2h f (yk).
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Para sistemas autonomos, es decir de la formad
dty = f (y),
Metodo de Euler mejorado
Para k = 0, 1, . . . , n 1
yk+1 = yk + h f (yk +h
2f (yk))
Metodo del punto medio explcito
y1 = y0 + h f (y0 +h
2f (y0))
y para k = 1, . . . , n 1,
yk+1 = yk1 + 2h f (yk).
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Ejercicio
La EDO de la velocidad del paracaidista
mdv
dt= mg + c v2, v(0) = 0,
donde g = 9.8m/s2, m = 70Kg y c = 0.3, y que queremosaproximar la solucion v(t) para t [0, 30].
Aproximar la solucion v(t) para t = t0, t1, t2, . . . , tn = 30(donde tk = h k y h = 30/n) utilizando el metodo de Eulercon distintos valores de h. Nuestro objetivo es analizar comose reduce el error cometido segun reducimos h. Para ello,calcular para h = 0.3, h = 0.15, h = 0.075
Error = max1kn
|v(tk) vk |.
Repetir el experimento para el metodo de Euler mejorado.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Definicion de orden de un metodo
Supongamos que aplicamos un metodo numerico a un problema devalor inicial
d
dty = f (t, y), y(t0) = y0
para aproximar la solucion y(t) para t [t0,T ], de modo queobtenemos
yk y(tk), k = 0, 1, 2, . . . , n,
donde tk = t0 + k h y h = (T t0)/n.El metodo es de orden r si existe C > 0 tal que para cualquierdiscretizacion suficientemente fina
1
hrError =
1
hrmax1kn
||y(tk) yk || C .
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Ejercicio
Las ecuaciones del pendulo
d
dt= , mL
d
dt= mg sin() c,
donde g = 9.8m/s2, L = 1m, m = 1Kg y c = 0.0003, y quequeremos aproximar la solucion y(t) = ((t),(t)) para t [0,T ]con T = 10.
Aproximar la solucion y(t) para t = t0, t1, t2, . . . , tn = T(donde tk = h k y h = T/n) utilizando el metodo de Eulermejorado con distintos valores de h. Comprobarexperimentalmente que el metodo es de orden 2. Para ello,calcular para h = 0.01, h = 0.005, h = 0.00025
1
h2Error =
1
h2max1kn
||y(tk) yk ||.Repetir el experimento para T = 20.Repetir el experimento para T = 40.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Implementacion
Supongamos que tenemos definida en Matlab una funcion (porejemplo, edofun) tal que, dados t R un vector y Rd ,edofun(t, y) devuelve un vector f (t, y) Rd . Dicha funciondetermina un sistema de ecuaciones differenciales de la forma
d
dty = f (t, y).
Sabemos que, dados t0 R y y0 Rd , existe una unica soluciondel sistema que satisfaga la condicion inicial
y(t0) = y0.
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Implementacion
Supongamos que tenemos definida en Matlab una funcion (porejemplo, edofun) tal que, dados t R un vector y Rd ,edofun(t, y) devuelve un vector f (t, y) Rd . Dicha funciondetermina un sistema de ecuaciones differenciales de la forma
d
dty = f (t, y).
Sabemos que, dados t0 R y y0 Rd , existe una unica soluciondel sistema que satisfaga la condicion inicial
y(t0) = y0.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Ejercicio
Definir una nueva funcion, digamos EulerModif, que dadost0 R,y0 Rd , h > 0, y n N, devuelve un vector columnaT Rn+1 y una matriz Y R(n+1)d , tales que
T =
t0
t1...
tn
, Y
y(t0)T
y(t1)T
...
y(tn)T
,donde tk = t0 + k h.
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Dado el problema de valor inicial
d
dty = f (t, y), y(t0) = y0,
Para obtener para j = 0, 1, 2, . . . las aproximaciones yj y(tj)(tj = t0 + j h),
Metodo de Runge-Kutta de orden 4
k1 = h f (tj , yj),
k2 = h f (tj +h
2, yj +
1
2k1),
k3 = h f (tj +h
2, yj +
1
2k2),
k4 = h f (tj + h, yj + k3),
yj+1 = yj +1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4).
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Dado un sistema autonomo con condicion iniciald
dty = f (y), y(t0) = y0,
Para obtener las aproximaciones yj y(tj) (tj = t0 + j h,j = 0, 1, 2, . . .),
Metodo de Runge-Kutta de orden 4 para sistemas autonomos
k1 = h f (yj),
k2 = h f (yj +1
2k1),
k3 = h f (yj +1
2k2),
k4 = h f (yj + k3),
yj+1 = yj +1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4).
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
RK de orden 5 de Dormand & Prince (ode45)
Para tj = t0 + j h (j = 0, 1, 2, . . .), y(tj) yj , donde
k1 = h f (yj)
k2 = h f (yj +k15)
k3 = h f (yj +3k140
+9k240
)
k4 = h f (yj +44k145
56k215
+32k39
)
k5 = h f (yj +19372k16561
25360k22187
+64448k36561
212k4729
)
k6 = h f (yj +9017k13168
355k233
+46732 k35247
+49k4176
5103k518656
)
yj+1 = yj +35k1384
+500k31113
+125k4192
2187k56784
+11k684
.
-
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Ejemplo de decaimiento radiactivo
dy
dt= 100y , y(0) = 1,
La solucion exacta es
y(t) = e100 t .
Queremos aproximar la solucion para t [0, 100].Aplicar el metodo de Euler, primero con h = 0.019, y despuescon h = 0.021. Comparar graficamente los resultados.Aplicar el integrador ode45 con longitud de paso constante,primero con h = 0.02, y despues con h = 0.04, yrepresentarlas graficamente en una misma figura.Aplicar el integrador ode45 con tolerancia absoluta y relativatol, primero con tol = 103, Y despues con tol = 104.Comparar el coste computacional y el error cometido.
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Problema test de estabilidad lineal
y = y , y(0) = 1,
donde es una constante.
La solucion exacta es y(t) = e t , y si < 0,
limt y(t) = 0.
Aplicacion del metodo de Euler
y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.
Es decir yn = (1 + h )n
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Problema test de estabilidad lineal
y = y , y(0) = 1,
donde es una constante.
La solucion exacta es y(t) = e t , y si < 0,
limt y(t) = 0.
Aplicacion del metodo de Euler
y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.
Es decir yn = (1 + h )n
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Aplicacion del metodo de Euler
y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.
Es decir yn = (1 + h )n.
Inestabilidad: Si |1 + h| > 1, entonces limn |yn| =. Por
ejemplo, si = 100 y h = 0.009, |1 + h | = 1.1, y por tanto
limn |yn| = limn(1.1)
n =.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
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Aplicacion del metodo de Euler
y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.
Es decir yn = (1 + h )n.
Inestabilidad: Si |1 + h| > 1, entonces limn |yn| =.
Por
ejemplo, si = 100 y h = 0.009, |1 + h | = 1.1, y por tanto
limn |yn| = limn(1.1)
n =.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Aplicacion del metodo de Euler
y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.
Es decir yn = (1 + h )n.
Inestabilidad: Si |1 + h| > 1, entonces limn |yn| =. Por
ejemplo, si = 100 y h = 0.009, |1 + h | = 1.1, y por tanto
limn |yn| = limn(1.1)
n =.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Ejemplo de muelle rgido con masa puntual (oscilador armonico)
x = 1000000(x 1), x(0) = 1.1, x (0) = 0.La solucion exacta es
x(t) = 1 + cos(1000 t).
Queremos aproximar la solucion para t [0, 1].Aplicar el metodo de Euler, primero con h = 0.01, y despuescon h = 0.001. Comparar graficamente los resultados.Aplicar el integrador ode45 con longitud de paso constante,primero con h = 0.0009, y despues con h = 0.0011, yrepresentarlas graficamente en una misma figura.Aplicar el integrador ode45 con tolerancia absoluta y relativatol, primero con tol = 104, Y despues con tol = 103.Comparar el coste computacional y el error cometido.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
La ecuacion de segundo orden del oscilador armonico se puedereescribir, con el cambio de variable u = x 1, y anadiendo lavariable v = x = u, como
u = v , v = 1000000u, u(0) = 0.1, v(0) = 0. (1)
Ejercicio
Encontrar un cambio de variable de la forma
u = a1,1y + a1,2z , v = a2,1y + a2,2z ,
que transforma el sistema (1) en dos ecuaciones independientes
y = y , z = z .
Cuales son concretamente los valores , ?
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Version general del test de estabilidad lineal
y = y , y(0) = 1,
donde C.La solucion exacta es y(t) = e t , y
Si Re() < 0, limt y(t) = 0,
Si Re() > 0, limt |y(t)| =,
Si Re() = 0 ( imaginario puro), entonces |y(t)| 1 (t).
Aplicacion del metodo de Euler
y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.
Es decir yn = (1 + h )n.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Version general del test de estabilidad lineal
y = y , y(0) = 1,
donde C.La solucion exacta es y(t) = e t , y
Si Re() < 0, limt y(t) = 0,
Si Re() > 0, limt |y(t)| =,
Si Re() = 0 ( imaginario puro), entonces |y(t)| 1 (t).Aplicacion del metodo de Euler
y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.
Es decir yn = (1 + h )n.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Aplicacion del metodo de Euler
y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.
Es decir yn = (1 + h )n.
Inestabilidad: Si |1 + h| > 1, entonces
limn |yn| =.
Por ejemplo, si = 100i y h = 0.009, |1 + h | = 1 + 0.9i , y portanto, puesto que |1 + 0.9i | = 1.81 > 1,
limn |yn| = limn(
1.81)n =.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Aplicacion del metodo de Euler
y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.
Es decir yn = (1 + h )n.
Inestabilidad: Si |1 + h| > 1, entonces
limn |yn| =.
Por ejemplo, si = 100i y h = 0.009, |1 + h | = 1 + 0.9i , y portanto, puesto que |1 + 0.9i | = 1.81 > 1,
limn |yn| = limn(
1.81)n =.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Aplicacion del metodo de Euler
y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.
Es decir yn = (1 + h )n.
Inestabilidad: Si |1 + h| > 1, entonces
limn |yn| =.
Por ejemplo, si = 100i y h = 0.009, |1 + h | = 1 + 0.9i , y portanto, puesto que |1 + 0.9i | = 1.81 > 1,
limn |yn| = limn(
1.81)n =.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Si aplicamos el metodo de Runge-Kutta de orden 5 de Dormand &Prince (Dopri5, ode45) al problema test
y = y , y(0) = 1,
donde C, las aproximaciones yn y(n h) = en,h que seobtienen son
yn = R(h )n
Funcion de estabilidad lineal de DOPRI5 (ode45)
R(z) = 1 + z +z2
2+
z3
6+
z4
24+
z5
120+
z6
600
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
La solucion numerica sera estable si h pertenece a la
Region de estabilidad lineal de DOPRI5 (ode45)
{z C / |R(z)| 1}
-4 -2 0 2
-4
-2
0
2
4
rk46.ma 1
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Dado un problema de valor inicial de EDOs
d
dty = f (t, y), y(t0) = y0,
y fijada una discretizazion tn = t0 + n h del tiempo, paran = 0, 1, 2, . . ., se pueden obtener las aproximaciones
yn y(tn)
por medio del
Metodo de Euler implcito
yn = yn1 + h f (tn, yn)
Precision: Es un metodo de orden 1.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Dado un problema de valor inicial de EDOs
d
dty = f (t, y), y(t0) = y0,
y fijada una discretizazion tn = t0 + n h del tiempo, paran = 0, 1, 2, . . ., se pueden obtener las aproximaciones
yn y(tn)
por medio del
Metodo de Euler implcito
yn = yn1 + h f (tn, yn)
Precision: Es un metodo de orden 1.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
El metodo de Euler implcito aplicado al problema test
y = y , y(0) = 1,
(donde C), da la solucion numerica
yn = R(h)n, donde R(z) =
1
1 z .
Region de estabilidad lineal
{z C / |R(z)| 1} = {z C / |z 1| 1}
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Metodo del trapecio
yn = yn1 +h
2(f (tn1, yn1) + f (tn, yn))
Precision: Es un metodo de orden 2.Aplicado al problema test de estabilidad lineal, se obtiene
yn = R(h)n, donde R(z) =
1 + 12z
1 12z.
Region de estabilidad lineal
{z C / |R(z)| 1} = {z C / Re(z) 0}.
-
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Metodo del trapecio
yn = yn1 +h
2(f (tn1, yn1) + f (tn, yn))
Precision: Es un metodo de orden 2.
Aplicado al problema test de estabilidad lineal, se obtiene
yn = R(h)n, donde R(z) =
1 + 12z
1 12z.
Region de estabilidad lineal
{z C / |R(z)| 1} = {z C / Re(z) 0}.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Metodo del trapecio
yn = yn1 +h
2(f (tn1, yn1) + f (tn, yn))
Precision: Es un metodo de orden 2.Aplicado al problema test de estabilidad lineal, se obtiene
yn = R(h)n, donde R(z) =
1 + 12z
1 12z.
Region de estabilidad lineal
{z C / |R(z)| 1} = {z C / Re(z) 0}.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Metodo de Gauss de orden 4
yn = yn1 +h
2(f (tn1 + c1h,Z1) + f (tn1 + c2h,Z2)),
donde Z1 y Z2 estan definidos de forma implcita por medio de
Z1 = yn1 + h (a11 f (tn1 + c1h,Z1) + a12 f (tn1 + c2h,Z2)),Z2 = yn1 + h (a21 f (tn1 + c1h,Z1) + a22 f (tn1 + c2h,Z2)),
con los coeficientes
a11 = a22 =1
4, a12 =
1
43
6, a21 =
1
4+
3
6,
y c1 = a11 + a21, c2 = a21 + a22.
-
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
El metodo de Gauss de orden 4 aplicado al problema test deestabilidad lineal y = y , y(0) = 1:
yn = R(h)n, donde R(z) =
1 + z2 +z2
12
1 z2 + z2
12
.
Region de estabilidad lineal
{z C / |R(z)| 1} = {z C / Re(z) 0}.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Metodo de BDF de orden 2
2
3yn 2yn1 + 1
2yn2 = h f (tn, yn).
Metodo de BDF de orden 3
11
6yn 3yn1 + 3
2yn2 1
3yn3 = h f (tn, yn).
Metodo de BDF de orden 4
25
12yn 4yn1 + 3yn2 4
3yn3 +
1
4yn4 = h f (tn, yn).
-
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Metodo de BDF de orden 2
2
3yn 2yn1 + 1
2yn2 = h f (tn, yn).
Metodo de BDF de orden 3
11
6yn 3yn1 + 3
2yn2 1
3yn3 = h f (tn, yn).
Metodo de BDF de orden 4
25
12yn 4yn1 + 3yn2 4
3yn3 +
1
4yn4 = h f (tn, yn).
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Metodo de BDF de orden 2
2
3yn 2yn1 + 1
2yn2 = h f (tn, yn).
Metodo de BDF de orden 3
11
6yn 3yn1 + 3
2yn2 1
3yn3 = h f (tn, yn).
Metodo de BDF de orden 4
25
12yn 4yn1 + 3yn2 4
3yn3 +
1
4yn4 = h f (tn, yn).
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Supongamos que tenemos una barra fina aislada termicamente delexterior, excepto posiblemente por los extremos.
La ecuacion del calor unidimensional
tu(x , t) = a
2
x2u(x , t).
donde
a > 0 es la constante de difusion,
u(x , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenada espacial x .
Que ocurre en los extremos? Es decir, cuales son lascondiciones de contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Supongamos que tenemos una barra fina aislada termicamente delexterior, excepto posiblemente por los extremos.
La ecuacion del calor unidimensional
tu(x , t) = a
2
x2u(x , t).
donde
a > 0 es la constante de difusion,
u(x , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenada espacial x .
Que ocurre en los extremos? Es decir, cuales son lascondiciones de contorno?
Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Supongamos que tenemos una barra fina aislada termicamente delexterior, excepto posiblemente por los extremos.
La ecuacion del calor unidimensional
tu(x , t) = a
2
x2u(x , t).
donde
a > 0 es la constante de difusion,
u(x , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenada espacial x .
Que ocurre en los extremos? Es decir, cuales son lascondiciones de contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.
Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Supongamos que tenemos una barra fina aislada termicamente delexterior, excepto posiblemente por los extremos.
La ecuacion del calor unidimensional
tu(x , t) = a
2
x2u(x , t).
donde
a > 0 es la constante de difusion,
u(x , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenada espacial x .
Que ocurre en los extremos? Es decir, cuales son lascondiciones de contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
La ecuacion del calor bidimensional
tu(x , y , t) = a
(2
x2u(x , y , t) +
2
y2u(x , y , t)
).
donde
a > 0 es la constante de difusion,
u(x , y , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenadas cartesianas (x , y).
Que forma tiene la placa? Es decir, como es su contorno?
Que ocurre en los puntos del contorno? Es decir, cuales sonlas condiciones de contorno? Ejemplo: u(x , y , t) = 0 paratodo t en cualquier punto (x , y) de su contorno.
Condiciones iniciales: u(x , y , 0) =? para cada (x , y).
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
La ecuacion del calor bidimensional
tu(x , y , t) = a
(2
x2u(x , y , t) +
2
y2u(x , y , t)
).
donde
a > 0 es la constante de difusion,
u(x , y , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenadas cartesianas (x , y).
Que forma tiene la placa? Es decir, como es su contorno?
Que ocurre en los puntos del contorno? Es decir, cuales sonlas condiciones de contorno?
Ejemplo: u(x , y , t) = 0 paratodo t en cualquier punto (x , y) de su contorno.
Condiciones iniciales: u(x , y , 0) =? para cada (x , y).
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
La ecuacion del calor bidimensional
tu(x , y , t) = a
(2
x2u(x , y , t) +
2
y2u(x , y , t)
).
donde
a > 0 es la constante de difusion,
u(x , y , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenadas cartesianas (x , y).
Que forma tiene la placa? Es decir, como es su contorno?
Que ocurre en los puntos del contorno? Es decir, cuales sonlas condiciones de contorno? Ejemplo: u(x , y , t) = 0 paratodo t en cualquier punto (x , y) de su contorno.
Condiciones iniciales: u(x , y , 0) =? para cada (x , y).
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
La ecuacion del calor bidimensional
tu(x , y , t) = a
(2
x2u(x , y , t) +
2
y2u(x , y , t)
).
donde
a > 0 es la constante de difusion,
u(x , y , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenadas cartesianas (x , y).
Que forma tiene la placa? Es decir, como es su contorno?
Que ocurre en los puntos del contorno? Es decir, cuales sonlas condiciones de contorno? Ejemplo: u(x , y , t) = 0 paratodo t en cualquier punto (x , y) de su contorno.
Condiciones iniciales: u(x , y , 0) =? para cada (x , y).
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Siguiendo con el ejemplo anterior:
El conjunto de puntos (x , y) de la placa se conoce como eldominio del problema.
La frontera de se denota como .
Una condicion de contorno tpica es u(x , y , t) = Cte paratodo x .
Ejemplo
= {(x , y) R2 / 0 x 1, 0 y 1}Condiciones de contorno: u(x , y , t) = 0 si (x , y) Condiciones iniciales:
u(x , y , 0) =
{1 si x2 + y2 < 2/5,
0 si x2 + y2 2/5,
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Siguiendo con el ejemplo anterior:
El conjunto de puntos (x , y) de la placa se conoce como eldominio del problema.
La frontera de se denota como .
Una condicion de contorno tpica es u(x , y , t) = Cte paratodo x .
Ejemplo
= {(x , y) R2 / 0 x 1, 0 y 1}Condiciones de contorno: u(x , y , t) = 0 si (x , y) Condiciones iniciales:
u(x , y , 0) =
{1 si x2 + y2 < 2/5,
0 si x2 + y2 2/5,
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Familias de metodos para la discretizacion espacial
Diferencias finitas (basados en formulas de derivacion),
Elementos finitos (FEM),
Metodos de tipo espectral,
. . .
Formulas de derivacion numerica
Para aproximar derivadas primeras
f (x) f (x +x) f (x x)2x
= f (x) +O(x2)
Para aproximar derivadas segundas
f (x) f (x +x) 2f (x) + f (x x)x2
= f (x) +O(x2)
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
La ecuacion de ondas lineal
2
t2u(x , y , t) = a
(2
x2u(x , y , t) +
2
y2u(x , y , t)
).
donde
a > 0 es la constante de elasticidad,
u(x , y , t) es la altura de la placa en el punto con coordenadascartesianas (x , y).
Condiciones iniciales: u(x , y , 0) = u0(x , y),t u(x , y , 0) = v0(x , y)
Condiciones de contorno tpica: u(x , y , t) = 0 para(x , y)
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
La ecuacion de ondas no-lineal
2
t2u(x , y , t) = a
(2
x2u(x , y , t) +
2
y2u(x , y , t)
)+ f (u).
donde
a > 0 es la constante de elasticidad,
u(x , y , t) es la altura de la placa en el punto con coordenadascartesianas (x , y),
f (u) es el termino no lineal. Ejemplos: b u2, b sin(u) (b R),Condiciones iniciales y de contorno como en la ecuacion lineal.
-
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ejemplo
= {(x , y) R2 / 0 x 1, 0 y 1}Condiciones de contorno: u(x , y , t) = 0 si (x , y) Condiciones iniciales:
u(x , y , 0) = arctan(sin(pix) sin(piy)),
v(x , y , 0) = 3 sin(pix) sin(piy)esin(piy).
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasEcuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales
Resolucin numrica de problemas de valor inicial de EDOsMtodos elementales e implementacin bsicaEjemplos de mtodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales