Sinusoides y Espectros Digitales

Juan-Pablo CaceresCCRMA

Stanford University

Agosto, 2007

Contenidos

Senales Digitales y Muestreo (Sampleo)

Numeros Complejos

Fasores y Sinusoides

Espectros Digitales

Que es una Senal Digital?

Medicion de la Marea

Dos Formas de Medir:

1. En forma continua.

2. En forma discreta (digital)

Medicion de la Marea

Medicion ContinuaMedicion Discreta

Informacion de Frecuencias

Periodo de muestreo: TFrecuencia de Muestreo: fs = 1

T

Captura de la informacion de frecuencias:

◮ fs tiene directa influencia en cuanta informacion de frecuenciapodemos obtener

◮ Mientras mayor es fs, mas altas frecuencias pueden sertabuladas.

Conversion Analoga-Digital (ADC)

1. Filtrado Pasa Bajos: Remover frecuencias altas innecesarias

2. Muestreo (Sampleo): Tomar muestras periodicas de laamplitud de onda

3. Retencion (Hold): Estabilizar para facilitar medicion

4. Cuantificacion (Quantization): Redondear al valor discretomas cercano

5. Codificacion: Grabar en codigo binario las muestrasobtenidas

Conversion Analoga-Digital (ADC)

El fenomeno del Aliasing

El fenomeno del Aliasing

alias1.mov (30 fmp)

Teorema de Nyquist

Theorem

Para una Frecuencia de Muestreo fs Hz:

◮ Frecuencias f en en rango −fs/2 < f < fs/2 Hz no estan”aliased”

◮ Las frecuencias fuera de ese rango estan ”aliased”

Senal Sinusoidal Submuestreada (Undersampled)

◮ Una senal sinusoidal de frecuencia mas baja (azul) es un aliasde la senal original (rojo)

◮ No hay forma de reconstruir la senal original cuando estasubmuestreada

Consecuencias del Aliasing en Audio

Numeros Complejos

Numeros complejos nacen de la necesidad de resolver ecuacionescomo la siguiente:x2 + 2 = 0x =?

Solucion: Nombrar j =√−1 como el numero imaginario

Coordenadas

◮ Numeros Complejos

x + yj con x : parte Realy : parte Imaginariaj :

√−1

◮ Plano Complejo◮ eje-x (parte real)◮ eje-y (parte imaginaria)

x

y

Coordenadas Rectangulares y Polares

Coordenadas Rectangulares

Eje Reales

Eje Imaginarios

z = a + bj

b

a

z = a + bj

Coordenadas Polares

z = r(cos θ + j sin θ)

r = |z| =√

a2 + b2

θ = tan−1(b/a)

Series de Taylor y Euler

Por las series de Taylor, sin y cos pueden escribirse:

sin x = x − x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · ·

cos x = 1 − x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ · · ·

Series desarrolladas para obtener valores aproximados de relacionestrigonometricas.La serie de Taylor de e (numero de Euler) es:

e =

∞∑

n=0

1

n!=

1

0!+

1

1!+

1

2!+ · · ·

ex = 1 +∞∑

n=1

xn

n!= 1 +

x

1!+

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!· · ·

Los paterns de ambas series tienen muchas similitudes...

Series de Taylor y Euler

Reescribamos las ecuaciones ocupando nuestro numero complejo zcomo argumento:

sin z = z − z3

3!+

z5

5!− z7

7!+ · · ·

cos z = 1 − z2

2!+

z4

4!− z6

6!+ · · ·

Y usamos como argunmento para e iz:

ejz = 1 +jz

1!+

j2z2

2!+

j3z3

3!+

j4z4

4!+

j5z5

5!· · ·

ejz = 1 − z2

2!+

z4

4!− z6

6!+ · · · + j

(

z

1!− z3

3!+

z5

5!− z7

7!

)

+ · · ·

ejz = cos z + j sin z Ecuacion de Euler

El Numero π

Usando la Ecuacion de Euler, podemos concluir:

ej(z+n2π) = ejz

La mas Bella Formula de las Matematicas:

ejπ = cos π + j sin π

ejπ = −1 Identidad de Euler

Fasores

z = cos θ + j sin θ = ejθ

ejθ es un vector unitario con:

◮ Magnitud: 1

◮ Periodo: Una rotacioncompleta en el circulounitario

◮ Fases: Las distintasposiciones en el circulounitario

◮ θ: Angulo de Fase

Fasores

z = rejθ es un fasor de magnitud r.

◮ θ crece → el fasor gira en sentido contrario a las agujas delreloj (counterclockwise)

◮ θ decrece → gira en sentido de las agujas del reloj (clockwise)

Movimiento Armonico Complexo

Fasore complejoproyectado en:

◮ eje real

◮ eje imaginario

phasors1.mov

sin y cos estan en cuadratura= 90◦ de diferencia de fase.

Sinusoides

Que sucede si proyectamos en otras direcciones?

ej(θ+45◦) = cos(θ + 45◦) + j sin(θ + 45◦)

Sinusoides

Podemos proyectar en cualquier direccion φ, y obtendremos:

ej(θ+φ) = cos(θ + φ) + j sin(θ + φ) Sinusoides

φ: Angulo de fase

Fasores y Sinusoides

Si sumamos y restamos fasores conjugados simetricos, obtenemossenales reales.

cos θ =ejθ + e−jθ

2

sin θ =ejθ − e−jθ

2j

phasorsn.mov

Visualizacion de Senales Complejas

Espectros Digitales

◮ ejθ Frecuencia positiva, Amplitud positiva

◮ −ejθ Frecuencia positiva, Amplitud nagativa

◮ e−jθ Frecuencia negativa, Amplitud positiva

◮ −ej−θ Frecuencia negativa, Amplitud negativa

Espectros de cos y sin

cos θ =ejθ + e−jθ

2

sin θ =ejθ − e−jθ

2j

Otro Ejemplo

x(t) = 10 + 14 cos(

200πt − π

3

)

+ 8cos(500πt +π

3)

x(t) = 10 + 7ej(2π(100)t−π/3) + 7e−j(2π(100)t−π/3)

+4ej(2π(250)t−π/2) + 4e−j(2π(250)t−π/2)

Otro Ejemplo

x(t) = 10 + 14 cos(

200πt − π

3

)

+ 8cos(500πt +π

3)

x(t) = 10 + 7ej(2π(100)t−π/3) + 7e−j(2π(100)t−π/3)

+4ej(2π(250)t−π/2) + 4e−j(2π(250)t−π/2)

Multiplicacion de Fasores, Modulacion

r1ejθ1 · r2e

jθ2 = (r1r2)ej(θ1+θ2)

Multiplicacion de Fasores, Modulacion

r1ejθ1 · r2e

jθ2 = (r1r2)ej(θ1+θ2)

×

Multiplicacion de Fasores, Modulacion

r1ejθ1 · r2e

jθ2 = (r1r2)ej(θ1+θ2)

×

=

Multiplicacion de Sinusoides

Ejemplo:x(t) = sin(100πt) cos(10πt)

Podemos reescribir esta ecuacion usando las indentidades de Euler:

x(t) =

(

ej100πt − e−j100πt

2j

)(

ej10πt − e−j10πt

j

)

x(t) =1

4e−jπ/2ej110π/2 +

1

4e−jπ/2ej90πt−

1

4e−jπ/2e−j90π/2 − 1

4e−jπ/2e−j110π/2

x(t) =1

2cos(110πt − π/2) +

1

2cos(90πt − π/2)

Notar que las nuevas frecuencias son distintas a las originales.DEMO SuperCollider

Beat Notes

Se suman sinusoides con frecuencias muy cercanas.

x(t) = cos(2πf1t) + cos(2πf2t)

Podemos expresar ambas frecuencias con respecto a una frecuenciacentral fc y una frecuencia de desviacion f△,

f1 = fc − f△

f2 = fc + f△

Beat Notes

x(t) = Re{

ej2πf1t}

+ Re{

ej2πf2t}

= Re{

ej2π(fc−f△)t}

+ Re{

ej2π(fc+f△)t}

= Re{

ej2πfct(

e−j2πf△t + e−j2πf△t)}

= 2cos(2πf△t)cos(2πfct)

Es equivalente a:

x(t) = cos(2πf1t) + cos(2πf2t)

DEMO SuperCollider

Beat Notes: Ejemplos Numericos

Beat Notes: Ejemplos Numericos

Modulacion de Amplitud

x(t) = (5 + 2 cos(40πt)) cos(400πt)

Modulacion de Amplitud

Otras frecuencias,

Modulacion de Amplitud

x(t) = (5 + 2 cos(40πt)) cos(400πt)

= 5 cos(400πt) + 2 cos(40πt) cos(400πt)

Componentes en Frecuencia de Senales Reales

◮ Senales reales siempre tienen un balance entre componentespositivas y negativas de frecuencia

◮ Senales simetricas (par) con respecto a 0 Hz y con ambasamplitued reales indenticas son tipo cos reales

◮ Senales simetricas (impar) con respecto a 0 Hz y con ambasimaginarias y de signo opuesto son sin reales