1. Completen la tabla que corresponde a cada función y representen gráficamente el sistema de dos ecuaciones para interpretar el conjunto solución.

En el mismo instante en que el auto rojo sale de una estación de servicio, el auto azul se encuentra a 240 Km de esa estación circulando por la misma ruta, pero en sentido contrario. Las funciones que indican a qué distancia de la estación de servicio se encuentra cada auto son:

Auto Rojo y = 80 * x Auto Azul y = 240- 80 * xx: tiempo (en horas) y: distancia (en Km)

2. Completar a partir de lo comprendido en la actividad anterior.

Resolver un Sistema de Ecuaciones significa………………………………………………….

Dos ecuaciones de 1er grado con dos incógnitas determinan………………………………….

Los valores de x e y satisfacen………………………………………………………………...

La representación gráfica esta dada por………………………………………………………..

El conjunto solución es………………………………………………………………………...

ACTIVIDADES DE REPASO

1. Completa según corresponda:

FUNCIÓN AFÍN

a) Si a = 0 Función……………………………………

b) Si a = 0 y b = 0 Función Nula

c) Si b = 0 Función……………………………………

d) Si a = 1 y b = 0 Función……………………………………

e) Si a > 0 la Pendiente de la recta es………………….f) Si a < 0 la Pendiente de la recta es………………….

2. Indica si se trata de una función o no observando la grafica.

a) b) c)

d)

3. Completen la tabla Función Pendiente Ordenada Comportamiento Raíz

y = 2x + 6 y = -3x - 4 y = 5x + 4 y = (2x + 6) / 3y = -3

4. El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente forma el…………………5. El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente forma la……………………

y = ax + b

y = b

y = …...

y = …...

y = x

Métodos analíticos de resolución: Sustitución

Método de sustitución:

De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:

i. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.ii. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer

grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.iii. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida

en el primer paso.iv. Se escribe el conjunto solución.

Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema mediante el método de sustitución:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y

= 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600 y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, ya despejada. Sustituimos el valor de y = 2x en la primera ecuación, con lo que tendremos:

x + 2x = 600 3x = 600 x = 600/3 x = 200⇒ ⇒ ⇒

Ahora sustituimos x = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x y = 400⇒

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros.

Métodos analíticos de resolución: Igualación

El método de igualación. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

i. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.ii. Se igualan las expresiones obtenidas.

iii. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.iv. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones

despejadas de primer paso.v. Se escribe el conjunto solución.

A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior mediante el método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así como el sistema de ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600 y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:

y = 2x                 2x = 600 - x 2x + x = 600 3x = 600 x = 600/3 = 200⇒ ⇒ ⇒ ⇒y = 600 - x

Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x y = 400⇒

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.

Tradicionalmente, se ha asignado la paternidad del Álgebra a los matemáticos árabes. En realidad, el mérito de éstos radica en la recopilación y ampliación de los conocimientos de matemáticos babilónicos, egipcios, hindúes y griegos.

Es de todos conocido el código, grabado en una estela de diorita, del rey babilónico Hammurabi, cuyas leyes regían la sociedad babilónica y que actualmente está en el Museo del Louvre. Es, sin embargo, menos conocido que, en diversas excavaciones arqueológicas, se han encontrado tablillas de arcilla de su época en las que se plantean y solucionan sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas.

Los sistemas de ecuaciones lineales, por tanto, fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser:

anchura = 20, longitud = 30

Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de reducción. En nuestra notación, sería:

y + 4x = 28 y + x = 10

restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18, es decir, x = 6 e y = 4.

También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a. de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refieren a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos, de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

Imagen del Papiro de Moscú.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:

x + ax = b x + ax + bx = c

donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.

Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente:

"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".

En notación moderna, la ecuación sería:

x + 1/7 x = 24

Imagen de la 1ª parte del Papiro de Rhind.<BR

Imagen de la 2ª parte del Papiro de Rhind.

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Imagen de los "Elementos de Euclides".

Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.

Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada. Sin embargo, una de las dificultades que encontramos en su resolución de ecuaciones es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.

Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.

El libro "El arte matemático", de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

Uno de los períodos más fructíferos de la ciencia en China tuvo lugar con el reinado de la dinastía Sung (960-1279). Coincidiendo con el declive de esta dinastía, en el siglo XIII, el desarrollo del Álgebra alcanzó cotas elevadas en este pais.

Actualmente se conservan admirables trabajos de cuatro matemáticos chinos: Qin Jiu-shao, Yang Hui, Zhu Shi-jie y Li-Ye. De este último se conservan dos textos: Tse yuan hai jing (Espejo marino de las medidas del círculo) y Yi gu yan duan (Nuevos pasos del cálculo). Ambas obras reducen problemas geométricos a problemas algebraicos planteando el método tian-yuan (método de los elementos celestiales) para la resolución de las ecuaciones algebraicas.

El método tian-yuan se introdujo en Europa varios siglos después, en el siglo XV con Al-Kasi, en el año 1600 con François Viète (Vieta) y en 1804 con Paolo Ruffini.

La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha

notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

Definición. Soluciones. Equivalencia de sistemas.

1. Definición

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:

ax + by = pcx + dy = q

donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los términos independientes.

Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser:

x + y = 10x - y = 2

Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que cumplan a la vez las dos.

Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemáticas muy diversas. Por ejemplo, el sistema que hemos propuesto más arriba, podría ser el planteamiento para resolver un problema de este tipo:

Entre lápices y gomas tengo diez piezas de material escolar. Tengo dos lápices más que gomas. ¿Cuántos lápices y cuántas gomas tengo?

Los sistemas de ecuaciones nos ayudan, por tanto, a plantear y resolver problemas parecidos al redactado en el párrafo anterior. Vamos pues, en esta Unidad, a profundizar en el conocimiento y manejo del planteamiento y la resolución de estos problemas utilizando como herramienta

los sistemas de ecuaciones.

2. Soluciones

En el ejemplo anterior, decíamos que buscábamos un par de números que cumplieran las dos ecuaciones del sistema. Pues bien, ese par de números (x, y) que satisface ambas ecuaciones de un sistema se llama solución del sistema de ecuaciones.

En el caso del problema que utilizamos como ejemplo, la solución vendría dada por el par de números (6, 4), es decir, x = 6 e y = 4. Por tanto, la respuesta del problema planteado sería que tengo seis lápices y cuatro gomas. Debemos insistir en que 6 y 4 no son dos soluciones del sistema, sino que es una solución y ésta está formada por dos números.

¿Quiere decir esto que siempre un sistema de ecuaciones tiene un par de números por solución? Pues no. En realidad, un poco más adelante en la Unidad veremos que un sistema de ecuaciones puede que no tenga solución, e, incluso, puede que tenga infinitas soluciones. Esto dependerá del tipo de sistema de que se trate.

3. Equivalencia de sistemas

Para poder hablar de sistemas equivalentes, vamos a hacerlo primero de ecuaciones equivalentes.

Supongamos que tenemos en una balanza un bote azul y dos verdes que pesan 7 kg. Esto lo podemos expresar como una ecuación de la forma: a + 2v = 7. Si en ambos platos de la balanza ponemos una pesa de 3 kg., la balanza seguirá equilibrada. Esta última acción se escribiría en la ecuación así: a + 2v + 3 = 7 + 3, es decir, a + 2v + 3 = 10. Estas dos ecuaciones tienen la misma solución y se dice que son ecuaciones equivalentes.

De la misma forma, si, en vez de sumar la misma cantidad, se multiplican los dos miembros de una ecuación por la misma cantidad, ambas ecuaciones tendrán la misma solución. Es decir:

Si se suma una misma cantidad a los dos miembros de una ecuación o se multiplican ambos por un mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Bien, pues una vez definido el concepto de ecuación equivalente, ya podemos definir el de sistemas equivalentes:

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la(s) misma(s) solución(es).

Aunque ya conozcamos la definición, debemos saber también qué operaciones nos permiten pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente. Pues bien, son las siguientes:

o Sumar un mismo número (no una incógnita) a ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema.

o Multiplicar ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema por un número distinto de cero.

o Sumar una ecuación a otra previamente multiplicada por un número cualquiera. o Despejar una incógnita en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

Mediante cualquiera de los métodos relacionados antes se obtiene un sistema equivalente al dado y que, por tanto, tendrá las mismas soluciones que el primitivo.

¿Cómo puedes comprobar si un par de números es solución de un sistema de ecuaciones?

Métodos analíticos de resolución: Sustitución

Antes de centrarnos en el método de sustitución, vamos a hablar de algunas generalidades sobre la resolución de los sistemas de ecuaciones. En primer lugar, hay que saber que, en realidad, resolver adecuadamente un sistema es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución. La discusión consiste en clasificar el sistema según el esquema visto en la sección anterior, es decir, analizar si el sistema tiene o no solución y, en caso de tenerla, cuántas soluciones. Por otro lado, para la resolución, una vez comprobado que el sistema tiene solución, se utilizará uno de los métodos que en esta Unidad se describen.

En principio, por tanto, la discusión es un proceso anterior al de resolución. Ahora bien, estas fases sólo se realizan en ese orden cuando se utilizan métodos para la resolución de los sistemas distintos de los que veremos en este nivel y que, por tanto, quedan fuera del ámbito de este curso. Por ello, en este momento, ambos procesos, la discusión y la resolución del sistema, se harán de manera simultánea.

En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, que no son todos como ha quedado indicado más arriba, se dividen en dos grupos: métodos analíticos y método gráfico. Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de la equivalencia de sistemas, ya vista anteriormente, y simples operaciones aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres: sustitución, igualación y reducción. Por contra, el método gráfico (sólo hay uno), consiste, como su propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones.

De ahora en adelante, iremos viendo, uno por uno, los diferentes métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones y, al mismo tiempo, cómo, simultáneamente, se puede ir haciendo, en cada caso, la discusión del sistema. Vamos a empezar pues con el método de sustitución:

De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:

v. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.vi. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer

grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.vii. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida

en el primer paso.

Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.

Hemos mencionado, en los párrafos anteriores, que, de manera simultánea, se puede ir haciendo la discusión del sistema. ¿Cómo?. Pues bien, si en el proceso de sustituir la incógnita despejada en el primer paso en la otra ecuación e intentar resolverla nos quedase una expresión del tipo "0 = 0", o "K = K", siendo K un número cualquiera (por ejemplo, 4 = 4), tendremos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que, en ese caso, una de las ecuaciones es múltiplo de la otra y el sistema quedaría reducido a una sola ecuación, con lo que habría infinitos pares de números (x, y) que la cumplirían. Este tipo de ecuación (0 = 0) se llama ecuación trivial.

Por otro lado, si la ecuación que nos resultase en el proceso anteriormente explicado fuera de la forma "K = 0", siendo K cualquier número distinto de 0, tendremos que el sistema es incompatible por lo que, en ese caso, no tiene solución. Esto es claro por la imposibilidad de la expresión aparecida. Este tipo de ecuación (K = 0) se llama ecuación degenerada. No habría, por tanto, ningún par de números (x, y) que cumplieran ambas ecuaciones del sistema.

Por último, si no nos encontramos, al resolver el sistema, ninguna de los tipos antes descritos de ecuaciones (triviales y degeneradas) y llegamos, al final de su resolución, a un valor para la incógnita x y a otro para la y, estos dos valores formarán el par (x, y) que nos da la solución del sistema y éste tendrá, por tanto una única solución y será un sistema compatible determinado.

Todas las aclaraciones de los párrafos anteriores sobre la discusión de los sistemas son válidas, no sólo para el método de sustitución, sino también para los otros dos métodos de tipo analítico, igualación y reducción, que veremos en las secciones siguientes.

Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema mediante el método de sustitución:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600 y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, ya despejada. Sustituimos el valor de y = 2x en la primera ecuación, con lo que tendremos:

x + 2x = 600 3x = 600 x = 600/3 x = 200⇒ ⇒ ⇒

Ahora sustituimos x = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x y = 400⇒

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros.

Escribe un sistema de dos ecuaciones que no tenga solución.

Métodos analíticos de resolución: Igualación

El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

vi. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.vii. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que

resulta.viii. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones

despejadas de primer paso.

Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior mediante el método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así como el sistema de ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona

la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600 y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:

y = 2x                 2x = 600 - x 2x + x = 600 3x = 600 x = 600/3 = 200⇒ ⇒ ⇒ ⇒y = 600 - x

Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x y = 400⇒

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.

¿Dependerán las soluciones del sistema de que la incógnita que se despeja para igualar sea la x o la y?

Actividades Iniciales

Entendemos como actividades iniciales aquellas que se realizan, o bien antes de empezar el tema, para introducirlo, o bien al principio del mismo, para ir motivando al alumno/a y hacerle comprender los objetivos que puede ir alcanzando a lo largo del desarrollo de la materia. Proponemos como ejemplos de actividades iniciales las siguientes:

1. En esta actividad, lee los pasos siguientes con atención, puesto que cada uno de ellos está relacionado con el anterior, y contesta las preguntas que se te proponen:

a. Busca parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, parejas de números cuya diferencia sea 2.

Esta "pareja" de chavales suman 10 años

b. ¿Cuántas parejas hay de cada tipo?. ¿Seguro?. ¿Has considerado sólo los números enteros o has trabajado también con racionales?. Si no lo has hecho, hazlo ahora. ¿Cuántas te salen ahora de cada tipo?.

c. Tomando cada pareja de cada uno de los dos tipos como un par (x, y), represéntalas en unos ejes coordenados (ambos conjuntos de pares de números en los mismos ejes).

d. ¿Qué figuras se han formado en la representación?. ¿Serías capaz de poner en forma de ecuaciones las dos figuras que te han salido en la gráfica?

e. ¿Cuántos pares de números de los que has hallado y representado cumplen las dos cosas?, es decir, ¿cuántos pares de números hay que sumen 10 y cuya diferencia sea 2?

f. Considerados como puntos (par de coordenadas), ¿dónde está(n) situado(s) en la gráfica?

g. Si has hallado en un apartado anterior las ecuaciones, ¿qué significado crees que tendrá el (o los) punto(s) que cumple(n) ambas condiciones?

2. Sergio y Luis son dos amigos aficionados a los juegos de circo. En unos juegos, Sergio y Luis son igualmente hábiles, pero en otros, uno de ellos mejora los resultados del otro. Un día estaban jugando a lanzar verticalmente varias bolas. En este juego, uno es capaz de jugar con más bolas que el otro. Teniendo en cuenta lo que contestan a la pregunta de su amiga Ana que los está observando, averiguad cuántas bolas tiene cada uno.

o Ana: ¿Cuántas bolas tenéis cada uno?o Sergio: Si Luis me diera una bola, entonces tendríamos igual número de bolas.o Luis: Pues si Sergio me diera a mí una bola, entonces tendría el triple que Sergio.

Actividades de Desarrollo

Estas actividades de desarrollo son las que los alumnos/as deben ir realizando a lo largo del tema, por ello, son actividades que, en principio, no van más allá de comprobar si se han adquirido los procedimientos relativos al primer nivel de utilización de los conocimientos. A modo de ejemplo, proponemos las siguientes:

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando, para cada uno de ellos, un método analítico distinto:

a.

b.

c.

2. Los sistemas de ecuaciones del ejercicio anterios, ¿de qué tipo son?. Clasifícalos.

3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante un cualquiera de los métodos analíticos y mediante el método gráfico. Clasifica el sistema según sus soluciones.

4. Alberto cambia 1940 ptas. en dólares y euros. Le dan 8 euros y 4 dólares. Después, cambia para un amigo 3190 ptas. y le dan 10 euros y 10 dólares. ¿A qué cambio, en pesetas, se han cotizado el euro y el dólar?

Las actividades de consolidación, como su propio nombre indican, son las que van a yudar a los alumnos/as a consolidar los conocimientos adquiridos a lo largo del desarrollo de la Unidad Didáctica. Como ejemplo de estas actividades, proponemos las siguientes:

1. Señala cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones son equivalentes:a.

b.

c.

2. Los gráficos a), b) y c) son la representación gráfica de los sistemas S, S' y S'' . Indica qué gráfico corresponde a cada sistema:

3. Una pandilla de amigos va a pasar la velada a una bolera. A la hora de pagar para marcharse se dan cuenta de que si cada uno pone 3.000 ptas. faltan 2.000 ptas. para el total, mientras que si ponen 3.500 ptas. por cabeza sobran un total de 4.000 ptas.

a. ¿Cuántos amigos componen la pandilla?b. ¿Qué cantidad tienen que pagar en total?