Sistema de un grado de libertad con amortiguamietno viscoso y exitación externa cualesquira

Fuerzas llamadas de friccion o de amortigacion estan siempre presentes en cualquier sistema en movimiento, estas fuerzas disipan energia, es decir la presencia de estas fuerzas constituye un mecanismo por el cual la energia del sistema, energia cinetica o energia potencial, se transforma en otros tipos de energia, como el calor, siendo el estudio de esta disipacion muy complejo.

Amortiguacion viscosa.- al considerar las fuerzas de amortiguacion o friccion en el analisis dinamico, se presume que estas son proporcionales a la magnitud de la velocidad y opuestas a la direccion del movimiento. La suposicion de amortiguacion viscosa se hace sin tener en cuetna las diferentes caracteristicas disipativas de los sistemas reales.

Ecuacion del movimeinto.- Como ya esta expresado anteriormente tenemos la ecuacion del movimiento dada por

m ¨y+c y+ky=0

Para que la ecuacion satisfaga se utilizara una funcion exponencial, siendo : y+C ept

dando como resultado la ecuación:

mC p2 ept+cCp ept+kCe pt=0

Al realizar las debidas simplificaciones se obtiene

m p2+cp+k=0

Las raices de la ecuacion estan dadas por

p1p2

=−c2m

±√( c2m )2

− km

Donde el valor dentro de la raiz define el tipo de amortiguamiento.

La solucion general de la ecuacion viene dada por la superposicion de las dos soluciones posibles

y (t )=C1 ep1t+C2 e

p2 t

C1 y C2 son constantes de integración

Sistema con amortiguación critica.- Cuando el valor dentro de la raiz es cero, p1y p2 son iguales, y c=ccr es el coeficiente de amortiguación critica

p1=p2=−ccr2m

La solución general de este sistema con amortiguamiento critico viene dado igualmente por la superposicion de las dos soluciones posibles.

y (t )=(C1+C 2t )e−(c cr /2m ) t

Sistema sobreamortiguado.- Cuando c>ccr , el valor detro de la raiz hace que las raices sean reales y distintas. La magnitud del desplazamietno inicial decrece exponencialmente con el tiempo, hasta llegar al valor cero.

La solución a este sistema viene dado por

y ( t )=C1 ep1t+C2 e

p2 t

Sistema subamortiguado.- uando c<ccr , el valor dentro de la raiz hace que las raices de la expresión sean conjugadas, por lo que es necesario introducir las ecuaciones de Euler

e ix=cos ( x )+ isen ( x )

e−ix=cos ( x )−isen(x )

Dando como movimiento de un sistema subamortiguado

y ( t )=e−( c2m )t ( AcosWpt+BsenWpt )

Donde A y B son constantes de integración

La amplitud en este sistema no es constante, sino que este decrece, pero las oscilaciones ocurren en intervalos de tiempo iguales.

En este tipo de sistemas la frecuencia esta dada por ℘=w√1−ξ2

Donde la razón de amortiguación esta definida como ξ=c /ccr

La solución a este sistema viene dado por

y ( t )=Ce−ξ wtcos (wD t−α )

Donde

C=√ yo2+ (vo+ yo ξ w ) ²wD

2

tan α=(vo+ yo ξw )wD yo

Periodo de vibracion con amortiguadores esta dado por:

T D=2 π

w√1−ξ2

El valor del coeficiente de amortiguamiento en estructuras reales es considerablemente menor que el coeficiente crítico de amortiguación, generalmente fluctua entre el 2% y el 20% del valor crítico.

Un método común para determinar la amortiguación presente en un sistema es calcular el decremento logatritmico, el cual se define como el logaritmo natural de la razon de dos amplitudes consecutivas máxias en vibracion libre

δ= lny1y2