Sistemas Dinámicos - Semana 15
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SISTEMAS DINÁMICOS: CAPITULO 4- PROPIEDADES DE SISTEMAS.
Ing. Gerardo Becerra B. M.Sc.
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Propiedades de sistemas.
Objetivos: 1. Explicar el sistema por su comportamiento y efectos (CDIO 2.3.1.1)
2. Clasificar las interacciones externas al sistema y el impacto en el comportamiento del mismo (CDIO 2.3.1.4)
3. Explicar las propiedades funcionales y de comportamiento (intencional y no intencional) que surgen de un sistema. (CDIO 2.3.2.2)
4. Clasificar los factores críticos, efectos colaterales, métricas y variables adicionales que complementan el modelo propuesto. (CDIO 2.3.3.2)
5. Identificar los factores generadores del comportamiento del sistema (CDIO 2.3.3.3)
GJB-May-2015 2
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Clase 15
Contenido: 1. Definir estabilidad
2. Definir y evaluar estabilidad BIBO
3. Definir estabilidad en el sentido de Lyapunov.
4. Definir y evaluar estabilidad absoluta Routh – Hurwitz.
5. Definir y evaluar estabilidad de sistemas discretos.
6. Definir y evaluar estabilidad relativa .
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Temas para repasar
• Polos y ceros(Circuitos en frecuencia)
• Valores y vectores propios (Algebra lineal)
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Estabilidad1
• “The property of a body that causes it when disturbed from a condition of equilibrium or steady motion to develop forces or moments that restore the original condition”: • The country's political and economic stability
• Test the platform for stability before using it.
• There are some questions about the applicant's mental stability.
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Estabilidad4
GJB-May-2015 6
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Estabilidad
• Puntos de equilibrio estable: ..\..\Soporte\Imagenes\Stable Equilibria.mp4
• Puntos de equilibrio neutral: ..\..\Soporte\Imagenes\LLN neutral equilibrium.mp4
• Puntos de equilibrio inestable: ..\..\Soporte\Imagenes\NXT Ballbot _ Self-Balancing Robot On A Ball.mp4
• ..\..\Soporte\Imagenes\NXT Standalone - kabellose Version.mp4
GJB-May-2015 7
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Estabilidad
• Punto de equilibrio
• Puntos de equilibrio inestables
• Puntos de equilibrio estable
• Punto neutralmente estable
• Estabilidad local
• Estabilidad global
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Estabilidad BIBO
• ESTABILIDAD BIBO – EXTERNA O ENTRADA / SALIDA:
• La respuesta en estado cero de un sistema es BIBO estable (Bounded Input Bounded Output) si para toda entrada limitada la salida también es limitada.
GJB-May-2015 9
..\..\Soporte\Imagenes\Andreas Thorkildsen 91.28m Zürich 2009.mp4
https://youtu.be/3mclp9QmCGs?t=65
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Estabilidad BIBO
• Teorema: Un sistema LIT es BIBO estable si y solo si existe un número finito k tal que:
GJB-May-2015 10
kdtth
0
)(
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Estabilidad BIBO
Teorema: Un sistema LIT descrito por una función de transferencia propia racional G(s) es BIBO estable si y solo si todos los polos de G(s) tienen parte real negativa, o, equivalente, si todos sus polos están en la parte izquierda del plano complejo, sin incluir el eje imaginario.
GJB-May-2015 11
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Estabilidad en el sentido de Lyapunov4
GJB-May-2015 12
En un sistema ESL un disturbio en la condición inicial menor de δ produce un vector de estado x(t) confinado a una distancia máxima ε de xe: para estabilidad el estado debe permanecer en las vecindades del punto de equilibrio.
Asintótico Marginal Inestable
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Aleksandr M. Lyapunov (1857-1918)
• Alumno de Chebyshev
• Tesis Doctoral en 1892: The general problem of the stability of motion.
• Traducido al ingles en 1992.
GJB-May-2015 13
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Estabilidad en el sentido de Lyapunov
• La respuesta a entrada cero, es decir la solución de:
Es marginalmente estable o estable en el sentido de Lyapunov si todo estado inicial finito genera una respuesta limitada.
Es asintóticamente estable si todo estado inicial finito genera una respuesta limitada que tiende a cero cuando t tiende a infinito.
GJB-May-2015 14
XX A
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Estabilidad en el sentido de Lyapunov
Teorema: • El sistema descrito por la ecuación
• Es marginalmente estable si y solo si todos los valores propios de la matriz A tienen parte real cero o negativa (parte real no positiva). Si tienen parte real cero, deben ser sencillos.
• ..\..\Soporte\Imagenes\Pendulum Waves.mp4
GJB-May-2015 15
AXX
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Estabilidad en el sentido de Lyapunov
Teorema: • El sistema descrito por la ecuación
• Es asintóticamente estable si y solo si todos los valores propios de A tienen parte real estrictamente negativa.
• ..\..\Soporte\Imagenes\Geomag_oscillator_-_KendinCos.mp4
GJB-May-2015 16
AXX
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Ejemplo 12
Para el oscilador :
• Estabilidad ESL
• Estabilidad BIBO.
• Respuesta para una entrada seno.
GJB-May-2015 17
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Estabilidad BIBO - ESL
• ¿Qué relación existe entre la estabilidad BIBO (Externa) y la estabilidad Asintótica?
• La estabilidad BIBO se determina por los polos de G(S) mientras que la estabilidad interna se determina por los valores propios de la matriz A.
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Estabilidad BIBO - ESL
• Función de transferencia:
• La ecuación característica de G(S) es
D(s)=det(SI-A)=0
• Si N(S) y D(S) son coprimos, todas las raíces de la ecuación característica son polos de G(S)
GJB-May-2015 19
dBASIAdjCASI
dBASICSD
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Estabilidad BIBO - ESL
• Los valores propios de la matriz A son las soluciones de la ecuación característica:
det(λI-A)=0
• Como existe la posibilidad de cancelación de los términos comunes entre N(s) y D(S) los polos de G(s) están incluidos en el conjunto de raíces de det(sI-A)=0.
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Estabilidad BIBO - ESL
• El conjunto de los polos de G(s) está contenido o es un subconjunto del conjunto de valores propios de A:
• De lo anterior se concluye que si todos los valores propios de A tienen parte real negativa todos los polos de G(S) tienen la parte real negativa.
GJB-May-2015 21
AdepropiosValoresSGdePolos )(
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Estabilidad BIBO - ESL
• Por lo tanto si el sistema es asintóticamente estable entonces es BIBO estable.
• En el sentido inverso si todos los polos tienen parte real negativa no necesariamente todos los valores propios tienen parte real negativa: estabilidad BIBO no implica estabilidad asintótica.
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Estabilidad BIBO - ESL
• Cuando un sistema no es asintóticamente estable no se puede hacer afirmación alguna sobre la estabilidad BIBO
• Un sistema puede ser marginalmente estable (o estable en el sentido de Lyapunov) y no ser asintóticamente estable.
• Otra forma de enunciar el punto a es: Un sistema BIBO estable no necesariamente es asintóticamente estable.
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Estabilidad BIBO - ESL
• La estabilidad BIBO se determina por la ubicación de los polos de G(S).
• La estabilidad asintótica por las raíces de la ecuación característica de la matriz A.
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Ejemplo 13
• Analizar estabilidad BIBO y ESL.
• ..\Soporte\Punto_m\Clase_14_Ejemplo_6.m
GJB-May-2015 25
XY
UXX
010
1
1
0
301
010
200
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Estabilidad Absoluta
• Estabilidad Absoluta: solamente se debe saber si existen raíces de la ecuación característica en la parte derecha del plano complejo.
• Criterio de Routh - Hurwitz: condición necesaria y suficiente para estabilidad absoluta.
GJB-May-2015 26
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Edward Routh (1831-1907)
• Compañero de universidad de J.C. Maxwell. Graduados de Cambridge en 1854.
• En 1877 gano el premio Adams por su “Treatise on the stability of a given state of motion, particularly steady motion”
GJB-May-2015 27
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Adolf Hurwitz (1859-1919)
• Alumno de Weierstrass y Kronecker.
• Profesor de Hilbert y Minkowski.
• ¿Cuándo un polinomio de grado n con coeficientes reales tiene solo raíces con parte real negativa?
GJB-May-2015 28
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Estabilidad Absoluta
• Criterio de Routh - Hurwitz permite verificar si todas las raíces de un polinomio con coeficientes reales tienen parte real negativa.
Condiciones necesarias:
• Todos los coeficientes deben ser diferentes de cero.
• Todos los coeficientes deben tener el mismo signo.
GJB-May-2015 29
0...)( 01
1
1
asasasasD n
n
n
n
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Ejemplo 14
• Determinar estabilidad BIBO de:
• Raíces con parte real positiva
GJB-May-2015 30
8s2ss)s(D 23
Roots = 0.5000 + 1.3229i 0.5000 - 1.3229i -1.3333 + 0.0000i
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Estabilidad Absoluta
Criterio de Routh - Hurwitz :
Un sistema LIT es estable si y solo si todos los elementos de la primera columna del
arreglo de Routh son del mismo signo.
GJB-May-2015 31
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Criterio de Routh - Hurwitz
GJB-May-2015 32
1n
0
5n3n1n
3n
5n3n1n
2n
5n3n1n
1n
4n2nn
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2n
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n
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nn
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![Page 33: Sistemas Dinámicos - Semana 15](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022020110/55c42c27bb61eb18038b4855/html5/thumbnails/33.jpg)
Criterio de Routh - Hurwitz
• Existe un cero en la primera columna pero los otros elementos de la misma fila no son nulos.
• Se reemplaza el elemento nulo por un positivo pequeño, se continúa con el arreglo y después se toma el límite cuando:
GJB-May-2015 33
.0
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Criterio de Routh - Hurwitz
• Todos los elementos de una fila son cero, o el único elemento de la fila es nulo.
• Con los coeficientes de la fila inmediatamente superior se construye la ecuación auxiliar A(s), siempre de orden par, porque sus raíces corresponden a los pares simétricos.
GJB-May-2015 34
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Criterio de Routh - Hurwitz
• Raíces imaginarias repetidas.
• Cuando las raíces imaginarias son sencillas el sistema es marginalmente estable. Cuando hay raíces imaginarias repetidas, la respuesta del sistema contiene un término de la forma t[sen(wt+φ)] creciente con el tiempo: el sistema es inestable. En este caso el criterio no revela esta forma de inestabilidad.
GJB-May-2015 35
![Page 36: Sistemas Dinámicos - Semana 15](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022020110/55c42c27bb61eb18038b4855/html5/thumbnails/36.jpg)
Ejemplo 15
• Determinar estabilidad BIBO de:
GJB-May-2015 36
1011422)( 2345 ssssssD 1ss2s2ss)s(D 2345
roots = 0.8950 + 1.4561i 0.8950 - 1.4561i -1.2407 + 1.0375i -1.2407 - 1.0375i -1.3087 + 0.0000i
roots = -1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i
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Ejemplo 16
• Para el polinomio D(s) la ganancia k es variable y mayor que cero.
• Determinar el rango de valores de K para que el sistema sea estable.
• Determinar la ganancia para la cual las raíces son imaginarias conjugadas (llamada Ku) y la frecuencia de oscilación w0 ( o wu).
GJB-May-2015 37
KssssD 42)( 23
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Criterio de Routh - Hurwitz
• Como la estabilidad de sistemas descritos por medio de variables de estado se evalúa también a partir de la ecuación característica , el criterio de Routh-Hurwitz se puede emplear para determinar la estabilidad asintótica y marginal del sistema.
GJB-May-2015 38
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Ejemplo 17
• Determinar estabilidad marginal y asintótica de:
GJB-May-2015 39
0/00
1000
0/00
0010
lg
MmgA
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Estabilidad sistemas discretos
• Un sistema descrito por su secuencia impulso h(k) es BIBO estable si y sólo si:
• Como la secuencia impulso es de la forma:
• Es necesario que la magnitud de todas las raíces:
GJB-May-2015 40
0
)(k
kh
k
nn
kkzczczckh ...)( 2211
izi 1
![Page 41: Sistemas Dinámicos - Semana 15](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022020110/55c42c27bb61eb18038b4855/html5/thumbnails/41.jpg)
Ejemplo 18
• Sea un sistema discreto estacionario con respuesta al impulso g[k] = 1/k, para k 1, y g[0] = 0. Es g[k] absolutamente sumable:
• La secuencia de la respuesta al impulso es acotada pero no
sumable, por lo tanto el sistema no es estable BIBO.
GJB-May-2015 41
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Estabilidad sistemas discretos
• Las definiciones de estabilidad en el sentido de Lyapunov y asintótica son las mismas para sistemas en tiempo discreto:
• Teorema (Estabilidad Lyapunov para Sistemas Discretos).
• El sistema x[k + 1] = Ax[k] es:
• estable en el sentido de Lyapunov si y sólo si todos los valores propios de A tienen magnitud no mayor que 1, y aquellos con magnitud igual a 1 son raíces simples del polinomio característico de A.
GJB-May-2015 42
![Page 43: Sistemas Dinámicos - Semana 15](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022020110/55c42c27bb61eb18038b4855/html5/thumbnails/43.jpg)
Estabilidad sistemas discretos
• Asintóticamente estable si y sólo si todos los valores propios de A tienen magnitud menor que 1.
GJB-May-2015 43
![Page 44: Sistemas Dinámicos - Semana 15](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022020110/55c42c27bb61eb18038b4855/html5/thumbnails/44.jpg)
Estabilidad sistemas discretos
• Para sistemas discretos el punto de equilibrio es el vector xe
tal que:
• Puntos de equilibrio:
• Cuando la matriz (A - I) es no singular, el único equilibrio posible es el origen, xe = [0 0]T.
GJB-May-2015 44
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0I)x(A
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![Page 45: Sistemas Dinámicos - Semana 15](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022020110/55c42c27bb61eb18038b4855/html5/thumbnails/45.jpg)
Ejemplo 19
• Para el sistema discreto:
• Puntos de equilibrio:
• Como la matriz (A - I) es no singular, el único equilibrio posible es el origen, xe = [0 0]T.
• Los valores propios de la matriz A son λ1 = ½ y λ2 = 2. El sistema no es estable en el sentido de Lyapunov
GJB-May-2015 45
0I)x(A
Axx
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ee
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Estabilidad relativa
• Para un buen diseño es necesario verificar la estabilidad relativa del sistema: ¿cuál es el factor de amortiguamiento asociado a las raíces del polinomio característico?
• Un par de raíces r2, ubicadas más a la izquierda es relativamente más estable que r1: su factor de amortiguamiento es mayor y el transitorio asociado
decae más rápidamente.
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Estabilidad relativa4
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Estabilidad relativa
• Al analizar la respuesta en frecuencia se puede obtener parámetros importantes como el ancho de banda, y definir la estabilidad relativa por medio del margen de fase y el margen de ganancia.
• GRÁFICAS DE MAGNITUD Y FASE:
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Estabilidad relativa
• Grafica polar:
• Diagramas de magnitud y fase directos:
• Diagrama de Bode
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Ejemplo 20
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)1()(
SS
KsG
Gráfica polar
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Estabilidad relativa
• Si corta el eje real en un valor más a la izquierda de -1+j0 el sistema es inestable, y si corta el eje real entre 0 y -1 el sistema es asintóticamente estable.
• Por lo tanto la distancia entre el punto de cruce sobre el eje real y el punto crítico -1+j0 es un indicativo de la estabilidad relativa de un sistema.
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Estabilidad relativa
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Temas para el futuro
• Controlabilidad y Observabilidad y Controles y Sistemas Lineales
• Realizaciones: Sistemas Lineales
• Estabilidad: Controles y Sistemas Lineales
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Referencias
1. merriam-webster dictionary
2. FRANKLIN J.D; POWELL J.D, and ENAMI-NAEINI A. Feedback control of dynamic systems. 4th ed. Upper Saddle River, New Jersey : Prentice Hall, 2002.
3. DORF Richard and BISHOP Robert. Modern Control Systems. 10th Edition. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. 2005.
4. SMITH Carlos A. and CORRIPIO Armando. Principles and practice of Automatic Process control 2nd Edition. New York: John Wiley and sons. 1997.
5. ZAK. S. Systems and Control. New York. Oxford University Press. 2003
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