Sobre relaciones asint oticas de sistemas ortogonales tipo S...

Sobre relaciones asintóticas desistemas ortogonales tipo Sóbolev

Xiury Noraya Hortua Tamayo

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de Ciencias y Educación

Proyecto Curricular de Matemáticas

Bogotá, Colombia

2019

Sobre relaciones asintóticas desistemas ortogonales tipo Sóbolev

Xiury Noraya Hortua Tamayo

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al t́ıtulo de

Matemática

Director:

Luis Oriol Mora Valbuena

Profesor

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de Ciencias y Educación

Proyecto Curricular de Matemáticas

Bogotá, Colombia

2019

Dedicado a:

A mi familia, en especial a la memoria de mi

mamá.

”No llueve eternamente”

Agradecimientos

Inicialmente quiero dar las gracias al Profesor Luis Oriol Mora por toda su paciencia y

apoyo, por su disposición para ofrecerme conocimientos sólidos y sacar este proyecto adelante.

En segundo lugar quiero dar las gracias a toda mi familia; a mi papá, por todo su apoyo,

por todo su amor, por hacer lo mejor cada d́ıa para cubrir todos estos años la ausencia de

mi mamá quien a pesar de no estar f́ısicamente conmigo ha vivido y vivirá para siempre

en mi corazón y en mi memoria, a ella también gracias por dejarme los sentimientos más

desinteresados que he podido ver en la esencia de alguien. A mis hermanos; por la paciencia

y el entendimiento en todos esos d́ıas de estres, por quererme a pesar de mis malos ratos

donde mi forma de tratar los problemas no es muy inteligente, gracias a ellos por ser mi

motor de fuerza en cada momento de flaqueza, gracias porque ellos me recuerdan la razón

por la cual estoy aqúı. Gracias a mis abuelitos, a mi abuela por todo el amor y la paciencia,

por cada café en cada noche de desvelo, gracias a ellos por todas las enseñanzas que me han

regalado. Gracias a mis t́ıos, en especial a mi t́ıa Mary y a mi t́ıo Jhon, que siempre creyeron

en mı́ y me apoyaron en cada cosa que necesité.

Y por último, y no por ello menos importante, quiero agradecer a mis amigos, gracias por

las risas, por los aprendizajes, por estar ah́ı a pesar de todo, gracias por la confianza y por

darme la oportunidad de estar en sus vidas.

Contenido

Agradecimientos VII

Introducción XI

1. Resultados Preeliminares 1

1.1. Conceptos básicos de Álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Elementos de Análisis Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Espacios Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3. Espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4. Conjuntos Ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Elementos de Teoŕıa de la Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.4. Espacio L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Polinomios Ortogonales 21

2.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev 29

3.1. Sistemas ortonormales de polinomios : Comparación . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2. Relación asintótica para c /∈ supp(µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Relación asintótica para c ∈ supp(µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Conclusiones 49

Consideraciones 51

Bibliograf́ıa 53

Introducción

La teoŕıa general de polinomios ortogonales ha sido de gran utilidad en distintas áreas

de las matemáticas, en f́ısica, en ingenieŕıa. En temas como; resolución de ecuaciones dife-

renciales, aproximación númerica, análisis combinatorio, entre otros. Existen varias familias

de polinomios ortogonales, polinomios como los de Chebyshev, Legendre, Jacobi, Hermite,

Laguerre, que han permitido fortalecer la teoŕıa con resultados fructuosos en aplicaciones,

éstos tipos de sistemas pueden encontrarse en [4] y [10].

La importancia de los polinomios ortogonales, fue para el autor de este trabajo la moti-

vación principal de desarrollar su monograf́ıa de grado esta área. Para lo cual se propuso

estudiar el art́ıculo Relative Asymptotics for Orthogonal Polynomials with a Sobo-

lev Inner Product [6, Marcellán & Van Assche ].

El art́ıculo antes mencionado investiga la relación que existe entre los sistemas ortogonales

de polinomios con un producto interno tipo Sóbolev, es decir, de la siguiente forma,

〈f, g〉 =n∑i=0

∫ ba

f (i)g(i)(x)dµi(x),

donde µi, i = 0, 1, · · · , n son medidas positivas que pertenecen al espacio de SóbolevWn,2[a, b].El art́ıculo estudia el caso particular cuando n = 1, éste define un sistema ortonormal de

polinomios {qn(x)}. También, presenta sistemas de polinomios definidos por una medidaque pertenece a la clase de Nevai M(0, 1). Realiza un estudio de la relación asintótica entre

el sistema de polinomios generado por la medida de Nevai y el sistema de polinomios tipo

Sóbolev. Establece una relación de recurrencia de 5 términos para el sistema ortonormal de

polinomios tipo Sóbolev.

Al realizar la lectura del art́ıculo se encontraron inconvenientes relacionados con la com-

prensión de los argumentos usados en la teoŕıa ah́ı establecida.

Por la razón anteriormente expuesta, este trabajo propone:

Realizar una śıntesis teórica de las teoŕıas que cobijan los principales conceptos alĺı

usados.

xii CONTENIDO

Detallar las demostraciones de los teoremas establecidos de la relación asintótica entre

los sitemas ortonormales expuestos en el art́ıculo.

Por consiguiente, para lograr los propósitos anteriores:

Se realiza un seminario sobre teoŕıa general de polinomios ortogonales.

Se lee el art́ıculo en compañ́ıa del director y se detectan las áreas teóricas principa-

les donde se soporta el art́ıculo. Encontrándose las áreas de álgebra lineal, análisis

funcional, teoŕıa de la medida y teoŕıa general de polinomios ortogonales.

El autor junto con el director hace una búsqueda de bibliograf́ıa necesaria para hacer el

estudio de las áreas principales, esta búsqueda se realiza tomando la bibliograf́ıa suge-

rida por el art́ıculo y dada la imposibilidad de algunos textos, se realiza una búsqueda

de bibliograf́ıa pertinente al alcance.

El estudio se reporta orgranizado en tres caṕıtulos. El caṕıtulo 1, incluye los resultados

preeliminares dividido en tres secciones; conceptos básicos de álgebra lineal, elementos de

análisis funcional y elementos de teoŕıa de la medida, en cada sección se hace una śıntesis

teórica que contiene los resultados necesarios para el propósito del estudio. En el caṕıtulo 2

se establece los conceptos básicos de la teoŕıa general de polinomios ortogonales; funcional

de momentos, la relación de recurrencia de 3 términos, el teorema de Favard, la Fórmula de

Christoffel Darboux. En el caṕıtulo 3, dividido en tres secciones se presenta la comparación de

los sistemas ortonormales pn(x) y qn(x), la relación asintótica para c /∈ supp(µ) y la relaciónpara c ∈ supp(µ). Se establecen las conclusiones y algunas consideraciones, finalmente sereportan las referencias bibliográficas.

Caṕıtulo 1

Resultados Preeliminares

En este caṕıtulo se incluyen los conceptos teóricos necesarios que soportan los argumen-

tos teóricos del art́ıculo estudiado. Algunos conceptos como espacio vectorial, funcional de

momentos, sistema ortogonal de polinomios, medida, espacios de Sóbolev, entre otros.

1.1. Conceptos básicos de Álgebra lineal

En esta sección se incluyen los conceptos principales del álgebra lineal, estos conceptos en

su mayoŕıa, son tomados de [1, 7] a menos que se especifique lo contrario.

1.1.1. Espacios vectoriales

Definición 1.1 (Espacio vectorial) Sea V un conjunto no vaćıo y F un campo, se dice

que V es un espacio vectorial sobre F si satisface los siguientes axiomas.

Axiomas de clausura

1. Clausura de la adición. Para todo x, y ∈ V se tiene un único elemento asociadollamado la suma de éstos dos, tal que x+ y ∈ V .

2. Clausura de la multiplicación.

Para todo x ∈ V y α ∈ F , existe un único elemento asociado llamado el producto deéstos dos, tal que αx ∈ V .

Axiomas para la adición

3. Ley conmutativa. Para todo x, y ∈ V se tiene que x+ y = y + x.

4. Ley asociativa. Si x, y, z ∈ V cualesquiera, entonces (x+ y) + z = x+ (y + z).

2 1 Resultados Preeliminares

5. Existencia del elemento neutro. Existe un único elemento e ∈ V , tal que x+ e =e+ x = x para todo x ∈ V .

6. Existencia del elemento opuesto. Para todo x ∈ V , existe un único elemento enV denotado por −x tal que x+ (−x) = e.

Axiomas para la multiplicación

7. Ley asociativa. Para todo x ∈ V y α, β ∈ F , se tiene α(βx) = (αβ)x.

8. Ley distributiva para la adición de elementos de V . Para todo x, y ∈ V y paratodo α ∈ F , se cumple que α(x+ y) = αx+ αy.

9. Ley distributiva para la adición de elementos de F . Para todo x ∈ V y todopar de escalares α, β ∈ F , se tiene que (α + β)x = αx+ βx.

10. Existencia del elemento identidad Existe un único elemento en F diferente de 0

denotado por 1 tal que para todo x ∈ V se tiene 1x = x.

Ejemplo 1.1 El conjunto de todas las funciones en un intervalo dado [a, b] define un espacio

vectorial sobre el campo de los reales.

Definición 1.2 (Subespacio) Dado un espacio vectorial V y sea S un subconjunto no

vaćıo de V . Si S es también un espacio vectorial, entonces S se llama subespacio de V .

Ejemplo 1.2 El conjunto de todas las funciones continuas en un intervalo [a, b], forma

también un espacio vectorial que se denota como C(a, b), éste en particular es un subespacio

del espacio vectorial de las funciones sobre el campo de los reales. Por otro lado el conjunto de

los polinomios en un intervalo [a, b] es un subespacio del espacio de las funciones continuas

sobre un intervalo [a, b].

A continuación se introduce el concepto de combinación lineal para aśı poder definir in-

dependencia lineal y base para un espacio vectorial.

Definición 1.3 (Combinación lineal) Sea S un subconjunto no vaćıo de un espacio vec-

torial V . Un elemento x ∈ V de la forma

x =n∑i=1

cixi,

en donde x1, ..., xn pertenecen todos a S y c1, ..., cn pertenecen al campo F , se denomina

combinación lineal de elementos de S. El conjunto de todas las combinaciones lineales de

elementos de S satisface los axiomas de clausura y por tanto es un subespacio de V .

1.1 Conceptos básicos de Álgebra lineal 3

Definición 1.4 (Conjunto Linealmente Independiente) Sea S ⊂ V con S 6= ∅, se diceque S es linealmente independiente si toda combinación lineal

n∑i=1

cixi = 0,

implica que ci = 0 para todo i = 1, ..., n, donde x1, ..., xn ∈ S y c1, ..., cn ∈ F .

Definición 1.5 (Generado de un subconjunto) El generado de un subconjunto A ⊂ Ves el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de A. El generado de A es

un subespacio de V .

Definición 1.6 (Base) Se dice que un conjunto S de un espacio vectorial V no necesaria-

mente de dimensión finita es una base de Hamel para V , si éste es linealmente independiente

y genera a V . Cuando V tiene una base finita, V tiene dimensión finita, sea n el número de

elementos de ésta base, entonces se dice que dimV = n. Si no existe una base finita para V ,

se dice que V es de dimensión infinita.

Ejemplo 1.3 El conjunto {Pk|Pk tiene grado k} en un intervalo [a, b] donde k ∈ N, es unabase para el espacio de polinomios en un intervalo [a, b].

Para verificar que {Pk|Pk tiene grado k} donde k ∈ N es una base para el espacio depolinomios en un intervalo [a, b], basta con demostrar que el conjunto es linealmente inde-

pendiente. Se tiene que{Pk|Pk tiene grado k} es distinto de vaćıo, por tanto si se toma lacombinación lineal

n∑i=1

αiPki = 0,

se debe demostrar que αi = 0 para todo i = 1, ..., n.

Se tiene que α1 = 0 para n = 1. Suponiendo ahora que se cumple para n, es decir que

αi = 0 para todo i = 1, ..., n. Se procede ahora a demostrar para n+ 1, es decir que si

n+1∑i=1

αiPki = 0,

se debe demostrar que αi = 0 para todo i = 1, ..., n+ 1. Como

n+1∑i=1

αiPki = 0,

entonces al derivar la ecuación anterior n+1 veces se encuentra que αn+1 = 0. Por hipótesis

de inducción se tiene que si


n∑i=1

αiPki = 0,

entonces αi = 0 con i = 1, ..., n.

Con lo cual se concluye que {Pk|Pk tiene grado k} donde k ∈ N es un conjunto linealmenteindependiente y por tanto una base para el espacio vectorial de todos los polinomios.

1.1.2. Determinantes

En esta sección se incluyen las definiciones de matriz, determinante y sus propiedades.

Definición 1.7 (Matriz) Una matriz es un arreglo rectangular de escalares. El arreglo se

representa como:

A = [aij] =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

am1 am2 · · · amn,

con aij ∈ F , donde F es un campo. Una matriz con m filas y n columnas se llama matrizde m× n. Se dice que una matriz de n× n es cuadrada y de orden n.

Después de definir lo que es una matriz, se procede a dar la definición de determinante y sus

propiedades.

Definición 1.8 (Determinante) Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden

n

A = [aij] =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

an1 an2 · · · ann

al escalar denotado por |A| tal que

|A| =n∑i=1

(−1)i+jaji|Aij|

donde |Aij| es el valor del determinante de la matriz inicial A que resulta al eliminar laj−ésima fila y la i−ésima columna y el cual recibe el nombre de menor con respecto a laj−ésima fila y la i−ésima columna, con i, j = 1, ..., n.

El determinante de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1.2 Elementos de Análisis Funcional 5

1 SeaA′ la matriz que resulta de multiplicar una fila(o columna) por un escalar t, entonces

|A′| = t|A|.

2 Si B es la matriz que resulta al sumar un vector α a una fila de la matriz A y C la

matriz que cambia dicha fila por el vector α, entonces

|B| = |A|+ |C|.

3 El determinante de la matriz A se anula si dos de sus filas (o columnas) son iguales.

4 Si A′ es la matriz que resulta al intercambiar dos filas(o dos columnas) de la matriz A,

entonces

|A′| = −|A|.

5 Si A′ es la matriz que resulta después de sumar un múltiplo de una fila(o columna) a

otra de la matriz A, entonces

|A| = |A′|

6 Sea At la matriz traspuésta de A, entonces

|A| = |At|.

1.2. Elementos de Análisis Funcional

En esta sección se incluyen algunas definiciones necesarias para comprender el concepto

de espacios normados, espacios con producto interno, funcional, conjunto ortonormal, entre

otros. Estos conceptos son parte fundamental de éste trabajo y por tanto constituyen también

una de las bases principales de su desarrollo. Su teoŕıa está basada principalmente en el texto

[5].

1.2.1. Espacios Métricos

Para el apartado actual se definen los conceptos de espacio métrico y convergencia en

espacios métricos. La teoŕıa presentada en este item es importante para comprender las

definiciones de completitud y compacidad.

Definición 1.9 (Espacio Métrico) Un espacio métrico es un par (X, d), donde X es un

conjunto y d es una métrica sobre X, es decir, d es una función definida de X ×X a R talque para cualesquiera x, y, z ∈ X se cumple que

M1. d(x, y) > 0.


M2. d(x, y) = 0 si y sólo si x = y.

M3. d(x, y) = d(y, x).

M4. d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) (Desigualdad triangular).

Para poder definir un conjunto abierto, se necesita primero definir el concepto de bola

abierta.

Definición 1.10 (Bola abierta) Sea x0 ∈ X, donde X es un espacio métrico, y sea r ∈ Rmayor a cero, entonces se define la bola abierto con centro en x0 y radio r como el conjunto

B(x0; r) = {x ∈ X|d(x, x0) < r}.

Definición 1.11 (Conjunto abierto, conjunto cerrado) Un subconjunto M de un es-

pacio métrico X se dice abierto si para todo x ∈ M existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ M . Unsubconjunto C de X se dice cerrado si su complemento X − C es abierto.

La convergencia en espacios métricos forma los cimientos para el estudio de los espacios

completos. Como en este documento se trabaja sobre espacios completos, no se puede pres-

cindir de éstos conceptos. Por ello, a continuación se dan las definiciones correspondientes a

convergencia, suseción de Cauchy y espacio completo.

Definición 1.12 (Convergencia de una sucesión.) Una sucesión (xn) en un espacio métri-

co (X, d) se dice que es convergente si existe x ∈ X tal que

ĺımn→∞

d(xn, x) = 0

x se llama el limite de (xn).

Existen varios criterios de convergencia de sucesiones, uno de éstos criterios es el criterio

de Stolz-Césaro, el cual es importante para definir los relativos asintóticos de los sistemas

ortonormales de polinomios en el caṕıtulo 3. Esta demostración es tomada de [3].

Lema 1.1 (Criterio de Stolz-Césaro) Sean xn y yn (n = 0, 1, 2, ...) sucesiones a valor

real, donde yn es monótona creciente distinta de cero para todo n, y el limite de yn cuando

tiende a infinito diverge. Si además,

ĺımn→∞

xn+1 − xnyn+1 − yn

= L,

entonces

ĺımn→∞

xnyn

= L.

1

1Existen dos partes del criterio de Stolz-Césaro, sin embargo sólo se demuestra la parte b, dado que es la

única que se utiliza en el presente documento.


Demostración

Se tiene que para todo � > 0 tan pequeño como se quiera, existe m ∈ N tal que para∀n > m, se cumple que

(L− �)(yn − ym) < xn − xm < (L+ �)(yn − ym).

Entonces, como yn es positivo

(L− �)(

1− ymyn

)+xmyn

<xnyn

< (L+ �)

(1− ym

yn

)+xmyn.

Ahora, como ĺımn→∞ yn = +∞ se tiene entonces que

ĺımn→∞

[(L− �)

(1− ym

yn+xmyn

)]= L− �

y

ĺımn→∞

[(L+ �)

(1− ym

yn+xmyn

)]= L+ �.

Con lo cual se obtiene

L− � ≤ ĺım infn→∞

xnyn≤ ĺım sup

n→∞

xnyn≤ L+ �.

Como éste ĺımite es independiente de n, y se cumple para todo �, entonces de las desigual-

dades se tiene que el ĺımite es igual a L. Ésto es,

ĺımn→∞

xnyn

= L

�

Definición 1.13 ( Sucesión de Cauchy, Completitud) Una sucesión (xn) en un espa-

cio métrico (X, d) se dice que es de Cauchy si para todo � > 0 existe un natural N tal que

d(xm, xn) < � para cada m,n > N . El espacio X se dice que es completo si cada sucesión de

Cauchy converge en X.

Un ejemplo de espacios completos son R y C.

A continuación se da la definición de conjunto compacto, esta definición es relevante a la

hora de tratar con medidas que pertenecen a clases de Nevai. Sin embargo, estas dos últimas

menciones se explican con detalle más adelante.

Definición 1.14 (Compacidad) Un espacio métrico X se dice que es compacto si cada

sucesión en X tiene una subsucesión convergente. Un subconjunto M de X se dice que es


compacto si M es compacto considerado como subespacio de X, ésto es, si cada sucesión en

M tiene una subsucesión convergente a un elemento de M .2

A continuación, se presenta la definición de punto de acumulación, clausura de un conjunto

y conjunto denso, este último concepto es fundamental para resultados que se muestran más

adelante.

Definición 1.15 (Punto de acumulación, Clausura de un conjunto) Si M es un sub-

conjunto de un espacio métrico X. Entonces un punto x0 de X(no necesariamente de M)

es llamado punto de acumulación de M si cada bola abierta con centro en x0 contiene al

menos un punto y ∈ M distinto de x0. El conjunto de todos los puntos de M y puntos deacumulación de M es llamado clausura de M y está denotado por M .

Definición 1.16 (Conjunto denso, espacio separable) Un subconjunto M de un espa-

cio métrico X, se dice que es denso en X, si

M = X.

X se dice que es separable si éste contiene un conjunto enumerable que es denso en X.

1.2.2. Espacios Normados

Es primordial definir lo que es una norma, espacio normado, espacio de Banach, puesto

que dichas definiciones son indispensables para comprender la teoŕıa de conjuntos ortonor-

males.

A continuación se define lo que es una norma para un espacio vectorial V .

Definición 1.17 (Espacio Normado) Una norma sobre un espacio vectorial V es una

función a valor real ‖‖: V −→ R, que satisface las siguientes propiedades

N1. ‖ v ‖> 0 para todo v ∈ V .

N2. ‖ v ‖= 0 si y sólo si v = 0.

N3. ‖ αv ‖= |α| ‖ v ‖ para todo v ∈ V y α ∈ R.

N4. ‖ u+ v ‖6‖ u ‖ + ‖ v ‖ para todo u, v ∈ V (Desigualdad triangular).

2Se tiene que hay otros dos tipos de compacidad, sin embargo para espacios métricos los tres conceptos

coinciden.


El espacio vectorial V se dice que es normado bajo la norma ‖ · ‖ y se nota como (V, ‖ · ‖).En caso de que la condición (N2) no se cumpla, se tiene que ‖ · ‖ es una semi norma paraV .

Un espacio normado sobre V define una métrica d sobre V , la cual está dada por

d(x, y) =‖ x− y ‖,

con lo cual se tiene que todo espacio normado es un espacio métrico.

Un espacio normado completo se dice que es un espacio de Banach.

Por ejemplo, Rn y Cn son espacios normados bajo la norma

‖ x ‖=

(n∑j=1

|xj|2),

además por ser completos son también espacios de Banach.

También se tiene que el conjunto de todas las funciones continuas sobre un intervalo [a, b],

notado por C[a, b] es un espacio de Banach bajo la norma

‖ x ‖= máxt∈[a,b]

|x(t)|.

En éste trabajo es de particular interés el espacio L2[a, b], el cual se define después de dar

la teoŕıa necesaria para su comprensión, éste espacio es normado bajo la norma

‖ x ‖2=(∫ b

a

|x(t)|2dt)1/2

.

Definición 1.18 (Base de Schauder) Si un espacio normado X contiene una sucesión

(en) con la propiedad de que para cada x ∈ X existe una única sucesión de escalares αn talque

‖ x− (α1e1 + · · ·+ αnen) ‖→ 0 cuando n→∞,

entonces se dice que (en) es una base de Schauder para x.

Definición 1.19 (Operador Lineal) Un operador lineal T es una función de un espacio

Vectorial V a un espacio vectorial W sobre el mismo campo F , tal que para todo x, y ∈ V ypara todo α ∈ F , se tiene que

T (x+ y) = T (x) + T (y)

T (αx) = αT (x).


Un ejemplo de operador lineal, es T (x) = 0 para todo x ∈ V , este operador es usualmentellamado el operador nulo. El kernel de T es el conjunto de todos los elementos x ∈ V paralos cuales T (x) = 0, es notado por N(T ).

El operador definido como T : V −→ V tal que T (x) = x para todo x ∈ V , es llamado eloperador lineal unitario.

Como en éste trabajo el espacio de todos los polinomios es de vital importancia, un ejem-

plo fundamental es el operador diferenciación definido del espacio de polinomios sobre el

intervalo [a, b] tal que T (p(t)) = p′(t) para cada p ∈ P.

Otro ejemplo importante hace referencia al operador integración definido de C[a, b] a los

reales tal que

T (x(t)) =

∫ ta

x(τ)dτ.

Definición 1.20 (Operador Lineal Acotado) Sean V,W espacios normados y T : V −→W un operador lineal. El operador lineal se dice que es acotado si existe un número real c

tal que para todo x ∈ V ,

‖ T (x) ‖6 c ‖ x ‖ .

De los ejemplos anteriores, se tiene que el operador nulo, el operador identidad y el ope-

rador integración son acotados. Pero el operador diferenciación no lo es.

Para dar fin a la teoŕıa de este apartado, se define por último el concepto de funcional,

este concepto es importante puesto que en el presente trabajo se trabaja sobre funcionales

de momentos los cuales definen un sistema ortogonal de polinomios.

Definición 1.21 (Funcional Lineal) Un funcional lineal f es un operador lineal con do-

minio en un espacio vectorial V y rango en el campo de escalares F de V , es decir

f : D(V ) −→ F,

donde F = R o F = C.

1.2.3. Espacios con producto interno

En esta sección se incluyen los conceptos de producto interno, conjuntos ortonormales,

espacio de Hilbert, entre otros. Estos conceptos son importantes porque permiten la com-

prensión de conceptos que se presentan más adelante.


Definición 1.22 (Producto interno) Sea V un espacio vectorial, se dice que un producto

interno para V es una función de V × V al campo escalar F de V , tal que para cada parde vectores x, y ∈ V asocia un escalar en F notado por 〈x, y〉, llamado el producto internoentre x, y, y el cual cumple las siguientes propiedades para todo x, y, z ∈ V y α ∈ F

PI1. 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉.

PI2. 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉.

PI3. 〈x, y〉 = 〈y, z〉.

PI4. 〈x, x〉 ≥ 0.

PI5. 〈x, x〉 = 0 si y sólo si x = 0.

Se tiene que V es un espacio de producto interno con respecto a 〈, 〉. Por otro lado se tieneque un producto interno sobre V define también una norma sobre V dada por ‖ x ‖=

√〈x, x〉

y una métrica dada por d(x, y) =‖ x − y ‖=√〈x− y, x− y〉. Por tanto se tiene que un

espacio con producto interno es un espacio normado, y por ende un espacio métrico. Un

espacio con producto interno completo se dice que es un espacio de Hilbert, aśı todo espacio

de Hilbert es también un espacio de Banach.

Algunos ejemplos de espacios con producto interno son;

1 Rn es un espacio de Hilbert bajo el producto interno

〈x, y〉 =n∑i=1

xi · yi,

donde x = (x1, · · · , xn) y y = (y1, · · · , yn).

2 Cn es un espacio de Hilbert bajo el producto interno

〈x, y〉 =n∑i=1

xi · yi,

donde x = (x1, · · · , xn) y y = (y1, · · · , yn).

3 El espacio L2[a, b] define un producto interno que se deriva de la norma dada anterior-

mente en el apartado de espacios normados el cual se define por

〈x, y〉 =∫ ba

x(t)y(t)dt,

suponiendo que las funciones están dadas en el espacio vectorial de los complejos C.


1.2.4. Conjuntos Ortonormales

A continuación, se establecen las definiciones y teoremas más relevantes sobre conjuntos

ortonormales.

Definición 1.23 (Conjuntos ortonormales) Un conjunto ortogonal M de un espacio con

producto interno V , es un subconjunto de V cuyos elementos son pares ortogonales, ésto es,

para todo x, y ∈M se tiene que

〈x, y〉 ={

0 if x 6= y1 if x = y

.

Si además se tiene que ‖ x ‖= 1 para todo x ∈ M , entonces se dice que M es un conjuntoortonormal.

Lema 1.2 Un conjunto ortonormal es linealmente independiente.

Si se tiene una sucesión ortonormal {e1, e2, · · · , en, · · · } de un espacio con producto internoV y además se tiene que x pertenece al generado de {e1, e2, · · · , en} donde n es fijo, entoncesla expansión de Fourier del elemento x, está dada por

x =n∑k=1

〈x, ek〉 ek. (1-1)

En efecto, cómo {e1, e2, · · · , en} es una base para su generado, entonces se puede repre-sentar a x como combinación lineal de los elementos, ésto es

x =n∑k=1

akek,

donde ak son escalares del campo.

Por otro lado

〈x, ej〉 =

〈n∑k=1

akek, ej

〉=

n∑k=1

ak 〈ek, ej〉 = aj,

por tanto los coeficientes de la combinación lineal están dados por 〈x, ek〉.

Se puede obtener una sucesión ortonormal a partir de una sucesión dada (xn). Este proceso

es extenso y constructivo y recibe el nombre de Proceso de Gram-Schmidt de ortonor-

malizar una sucesión linealmente independiente bajo la propiedad de que dado un n fijo,

entonces

span{e1, ..., en} = span{x1, ..., xn}.


Proceso de Gram Schmidt

Sea la base ortonormal que se busca {e1, ..., en} dada una base linealmente independiente{x1, ..., xn}, el proceso de Gram Schmidt está dado por los siguientes pasos

1 e1 =x1‖x1‖ .

2 x2 puede escribirse de la forma x2 = 〈x2, e1〉 e1 + v2, entonces v2 = x2 − 〈x2, e1〉 e1 elcual es un vector distinto de cero dado que (xj) es linealmente independiente, por tanto

v2 ⊥ e1 dado que 〈v2, e1〉 = 0, aśı que

e2 =v2‖ v2 ‖

.

3 x3 puede escribirse de la forma x3 = 〈x3, e1〉 e1 + 〈x3, e2〉 e2 + v3, entonces v3 = x3 −〈x3, e1〉 e1−〈x3, e2〉 e2 el cual es un vector distinto de cero dado que (xj) es linealmenteindependiente, por tanto v3 ⊥ e1 y v3 ⊥ e2 dado que 〈v3, e1〉 = 0 y 〈v3, e2〉 = 0, aśı que

e3 =v3‖ v3 ‖

....

El n−ésimo paso continua tomando el vector

vn = xn −n−1∑k=1

〈xn, ek〉 ek,

el cual es distinto de cero y es ortogonal a e1, · · · , en−1. Por tanto, de ésto se tiene que

en =vn‖ vn ‖

.

Dada la importancia de los espacios de Hilbert, se introduce el siguiente resultado

Teorema 1.1 Si H un espacio de Hilbert separable , entonces existe un conjunto ortonormal

en H.

Demostración

Dado que H es separable, entonces se puede tomar una sucesión {Ek}∞k=1 ∈ H tal que laclausura de su generado es igual a H. Aśı, si se toma una subsucesión, entonces para n ∈ N,En+1 /∈ span{Ek}nk=1. Por tanto se puede aplicar el proceso de Gramm-Schmidt a {Ek}∞k=1


inductivamente, y aśı como resultado se tiene un sistema ortonormal {ek}∞k=1 ∈ H, dondeSpan({ek}∞k=1) = Span({Ek}∞k=1) = H. �

Es posible representar a un funcional lineal acotado en un espacio de Hilbert como el

producto interno del espacio. Éste resultado es llamado el Teorema de Riesz y dice lo

siguiente.

Teorema 1.2 (Teorema de Riesz.) Cada funcional lineal acotado f sobre un espacio de

Hilbert H puede ser representado en términos de un producto interno, llamado

f(x) = 〈x, z〉

donde z depende de f , y está únicamente determinado por f y tiene norma

‖ z ‖=‖ f ‖ .

Teorema 1.3 (Teorema aproximación de Weierstrass) El conjunto de todos los poli-

nomios con coeficientes reales es denso en C[a, b]. Por tanto para cada x ∈ C[a, b] y dado� > 0 entonces existe un polinomio p tal que |x(t)− p(t)| < � para todo t ∈ [a, b].

1.3. Elementos de Teoŕıa de la Medida

En la presente sección se introducen espacios que ya se hab́ıa mostrado como ejemplo el

espacio L2(a, b) el cual no habia sido definido debido a que la teoŕıa necesaria para ello se

presenta a partir de ahora.

Para poder definir el espacio L2(a, b), es necesario dar algunas definiciones como lo son

sigma álgebra, medida, integral de Lebesgue, entre otros. Para ello se toma como libro

principal [2] a menos de que se indique lo contrario.

1.3.1. Funciones medibles

Para poder definir la integral de Lebesgue, en principio se debe introducir las definiciones

previas, éstas son σ−álgebra, conjunto medible, función medible, entre otros.

Definición 1.24 (σ−álgebra) Una familia F de subconjuntos de X se dice que es unaσ−álgebra si se cumple que

1 ∅, X ∈ F .

2 Si A ∈ F , entonces Ac = X − A ∈ F .

3 Si (An) es una sucesión de conjuntos en F , entonces la unión enumerable⋃∞n=1An ∈ F .

1.3 Elementos de Teoŕıa de la Medida 15

El par ordenado (X,F) es llamado espacio medible.

Ejemplos 1.4 Sea X cualquier conjunto y sea F = P(X) entonces (X,F) es unespacio medible.

Sea un conjunto X y F = {∅, X}, entonces (X,F) es un espacio medible.

Sea X = R. Se dice que el álgebra de Borel B es la familia generada por todos losintervalos abiertos (a, b) ∈ R. ésta álgebra también es generada por todos los intervaloscerrados [a, b] ∈ R. Cualquier conjunto en B es llamado conjunto de Borel.

A continuación se da la definición de función medible.

Definición 1.25 (Función medible) Una función f de X a R se dice que es medible sipara cada real α el conjunto

{x ∈ X : f(x) > α} ∈ F .

El conjunto de todas las funciones medibles de X se nota como M(X,F). El conjunto delas funciones medibles no negativas de X se nota como M+(X,F)

Ejemplos 1.5 Cualquier función constante se tiene que es medible. Si f(x) = c para

todo x ∈ X y sea α ≥ c, entonces {x ∈ X : f(x) > α} = ∅ ∈ F y en el caso α < c,entonces {x ∈ X : f(x) > α} = X ∈ F .

Se tiene que si E ∈ F , entonces la función caracteŕıstica de E definida por

χE =

1 si x ∈ E

0 si x /∈ Ees medible.

Si X = R y F es el álgebra de Borel B, entonces se tiene que cualquier función continuaf : R −→ R es Borel medible. También se tiene que cualquier función monótona en Res Borel medible.

Como resultados importantes si f, g son medibles, entonces también se tiene que las fun-

ciones

cf, f 2, f + g, fg, |f |, f−1

son medibles.

Por otro lado si f es cualquier función de X a R, y sean f+ llamada parte positiva de fy f− llamada parte negativa de f , funciones no negativas que se definen sobre X por

f+(x) = sup{f(x), 0}, f−(x) = sup{−f(x), 0},

entonces

f = f+ − f− y |f | = f+ + f−.


1.3.2. Medidas

En esta sección se incluye el concepto de medida, pero para ello primero se deben dar

algunas definiciones previas como espacio medible. Puesto que las medidas son funciones

que están definidas de X a R o R(los reales extendidos) y cumplen ciertas condicionesespeciales.

Definición 1.26 (Medida) Una medida es una función a valor real extendido µ definida

sobre una σ−álgebra F se subconjuntos de X tal que

1 µ(∅) = 0.

2 µ(E) ≥ 0 para todo E ∈ F .

3 µ es contable aditiva en el sentido de que si (En) es cualquier sucesión disjunta de

conjuntos de F , entonces

µ

(∞⋃n=1

En

)=∞∑n=1

µ (En) .

Ejemplos 1.6 Sea X el conjunto de los números naturales, y sea F = P(X). SiE ∈ F se define µ(E) como el número de elementos de E en caso de que E sea finito,si E es un conjunto no finito entonces µ(E) = ∞. Se tiene que µ es una medida, lacual es conocida como la medida de conteo sobre los naturales.

Sea X = R y F = B el álgebra de Borel, entonces existe una medida λ definidasobre B, que además es única y coincide con la longitud de intervalos abiertos, es decirλ(E) = b− a. ésta medida es llamada la medida de Lebesgue.

Sea X = R y F = B el álgebra de Borel, y sea f una función continua monótonacreciente entonces existe una medida λj definida sobre B tal que si E = (a, b), entoncesλj(E) = f(b)− f(a). ésta medida es llamada la medida de Borel-Stieltjes generada porf .

Definición 1.27 (Espacio de medida) Un espacio de medida es una tripla (X,F , µ) queconsiste en un conjunto X, una σ−álgebra F de subconjuntos de X, y una medida µ definidasobres F .

Se dice que una proposición es verdadera µ−casi toda parte si existe un subconjuntoN ∈ F con µ(N) = 0 tal que la proposición se cumple para todo x ∈ N c.

Por ejemplo, se dice que dos funciones f, g son iguales µ−casi toda parte si existe unconjunto N con medida cero, tal que f(x) = g(x) para todo x ∈ N c. De la misma forma,se dice que una sucesión (fn) de funciones en X converge µ−casi toda parte si existe unconjunto N ∈ F de medida cero tal que f(x) = ĺım fn(x) para todo x ∈ N c.


Definición 1.28 (Medidas absolutamente continuas ) Una medida λ sobre F se diceabsolutamente continua con respecto a una medida µ sobre F si E ∈ F y µ(E) = 0 implicaque λ(E) = 0 para cualquier conjunto E ∈ F .

Definición 1.29 (Soporte) El soporte de una medida µ corresponde al conjunto cerrado

de todos los puntos x ∈ X para los cuales µ(x) 6= 0. Se denota de aqúı en adelante comosupp(µ).

1.3.3. Funciones integrables

A continuación se introducen las nociones básicas para definir funciones integrables, en

principio se define para funciones no negativas, después se da la definición para una función

sin importar si ésta es negativa. Es importante mencionar que cada vez que se escriba M+

se entiende que se habla de M+(X,F).

Definición 1.30 (Función simple) Una función a valor real es simple si ésta tiene úni-

camente un número finito de valores.

Una función medible simple ϕ puede ser representada de la forma

ϕ =n∑j=1

ajχEj , (1-2)

donde aj ∈ R y χEj es la función caracteŕıstica de un conjunto Ej ∈ X.

Se dice que ϕ tiene representación única estándar si cada aj es distinto y si Ej son conjuntos

no vaćıos disjuntos.

Definición 1.31 (Integral de una función simple) Si ϕ es una función en M+ con re-

presentación estándar (1-2), se define la integral de ϕ con respecto a µ como el número real

extendido ∫ϕdµ =

n∑j=1

ajµ(Ej). (1-3)

Definición 1.32 (Integral de una función en M+) Si f ∈ M+, se define la integral def con respecto a la medida µ como el valor real extendido∫

fdµ = sup

∫ϕdµ, (1-4)

donde el supremo se extiende sobre todas las funciones simples ϕ ∈M+ tales que 0 ≤ ϕ(x) ≤f(x) para todo x ∈ X.


Si f ∈M+ y e ∈ F entonces se define la integral de f sobre E con respecto a µ como∫E

fdµ =

∫fχEdµ. (1-5)

Las definiciones dadas anteriormente estaban dadas para funciones en M+, a partir de

ahora se tratan las integrales de funciones medibles tanto negativas como no negativas.

Definición 1.33 (L(X,F , µ)) La colección L = L(X,F , µ) , consiste en el conjunto detodas las funciones medibles a valor real f definidas en X, tal que sus partes positiva y

negativa f+, f− tienen integrales finitas con respecto a µ. Aśı, se define la integral de f con

respecto a µ como ∫fdµ =

∫f+dµ−

∫f−dµ. (1-6)

Se tiene que si E ∈ F , entonces∫E

fdµ =

∫E

f+dµ−∫E

f−dµ. (1-7)

A continuación se presentará el teorema más importante para la convergencia de funciones

integrables.

Teorema 1.4 (Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue) Sea (fn) una

sucesión de funciones integrables que converge casi en toda parte a una función medible f

a valor real. Si existe una función integrable g tal que |fn| ≤ g para todo n, entonces f esintegrable y ∫

fdµ = ĺım

∫fndµ. (1-8)

1.3.4. Espacio L2

Para culminar este caṕıtulo se introduce un espacio bastante importante, el espacio L2, el

cual es especial porque permite solucionar gran parte de la teoŕıa presentada en el caṕıtulo

3, pues básicamente los funcionales de momentos que definen los sistemas ortogonales de

polinomios, son integrales de Lebesgue.

A continuación se presentan algunos resultados importantes.

Definición 1.34 Sea (X,F , µ) un espacio de medida. Si f ∈ L(X,F , µ), se define la semi-norma sobre L(X,F , µ)

Nµ(f) =

∫|f |dµ. (1-9)

Además se tiene que L(X,F , µ) es un espacio vectorial.


Definición 1.35 (µ-equivalencia) Dos funciones en L(X,F , µ) se dicen que son µ− equi-valentes si éstas son iguales µ-casi toda parte. La clase de equivalencia determinada por

f en L se denota por [f ] y consiste en el conjunto de todas las funciones en L que son

µ-equivalentes a f . El espacio de Lebesgue L1 = L1(X,F , µ) consiste de todas las clasesµ−equivalentes en L. Si [f ] ∈ L1, entonces se define su norma por

‖ [f ] ‖1=∫|f |dµ. (1-10)

Teorema 1.5 El espacio de Lebesgue L1(X,F , µ) es un espacio lineal normado.

Definición 1.36 (Espacio L2) El espacio L2 = L2(X,F , µ) consiste de todas las clasesµ−equivalentes de funciones medibles a valor real f donde |f |2 tiene integral finita con res-pecto a µ sobre X. Su norma está dada por

‖ f ‖2={∫|f |2dµ

}1/2. (1-11)

L2 es un espacio normado que además es completo. Por tanto L2 es un espacio de Banach.

Teorema 1.6 (Desigualdad de Cauchy-Bunyakovskǐi-Schwarz) Si f y g pertenecen

a L2, entonces fg es integrable y∣∣∣∣∫ fgdµ∣∣∣∣ 6 ∫ |fg|dµ 6‖ f ‖2‖ g ‖2 .Teorema 1.7 El conjunto de las funciones continuas C[a, b] es un subconjunto denso de

L2(a, b)

Definición 1.37 (Sucesión de Cauchy en L2.) Una sucesión (fn) en L2 es una sucesión

de Cauchy en L2 si para cada número positivo ε existe un número natural M(ε) tal que si

m,n > M(ε), entonces ‖ fm − fn ‖2< ε. Una sucesión (fn) en L2 converge a una funciónf en L2 si para cada número positivo ε existe un número natural N(ε) tal que si n > N(ε),entonces ‖ f − fn ‖2< ε. Un espacio normado lineal es completo si cada sucesión de Cauchyconverge a un elemento del espacio.

Se tiene que L2(a, b) define un producto interno y toda sucesión de Cauchy converge

en L2(a, b) por el teorema de Weierstrass, por ende L2(a, b) es un espacio de Hilbert que

además tiene una base de Schauder y por tanto es separable, de tal forma que L2(a, b) tiene

un conjunto ortogonal.

Caṕıtulo 2

Polinomios Ortogonales

La teoŕıa general de los polinomios ortogonales permite ejemplificar un sistema ortonormal

de polinomios en espacios de Sóbolev, estos polinomios son muy especiales debido a que se

trabaja también con sus derivadas.

Por consiguiente, en el presente caṕıtulo se incluyen parte de los conceptos principales de

la teoŕıa de polinomios ortogonales.

La bibliograf́ıa usada corresponde a [10, 4], a menos que se especifique lo contrario.

2.1. Conceptos básicos

Definición 2.1 (Funcional de Momentos.) Un Funcional de momentos L es unatransformación C−lineal del espacio C[x] de los polinomios con coeficientes complejos en elcampo C de los números complejos.

Definición 2.2 (Sistema de polinomios ortogonales.) Se dice que un sistema {Pn(x)|n >0} de polinomios mónicos es un sistema ortogonal con respecto a un funcional demomentos L si

Pn(x) es de grado n, (2-1)

y

L(Pn(x) · Pm(x)) = λn · δmn, n,m > 0. (2-2)

Donde λ0 = 1, λn 6= 0 para todo n ≥ 1.

Si un funcional de momentos L admite un sistema mónico ortogonal de polinomios, sedice que L es regular.

Se tiene que todo sistema de polinomios ortogonales cumple una relación de recurrencia

de tres términos, por ello a continuación se presenta el teorema principal de ésta teoŕıa, este

22 2 Polinomios Ortogonales

resultado es atribuido a Favard, y es útil a la hora de determinar un funcional L para el cualcierto sistema de polinomios sea un sistema ortogonal.

Teorema 2.1 Si {Pn(x)|n > 0} es un sistema de polinomios mónicos, ortogonal con respectoa un funcional de momentos L y dadas las condiciones iniciales

P−1(x) = 0, P0(x) = 1, (2-3)

existen números complejos Bn, Cn, n > 0, tales que

Cn 6= 0, para n > 1, (2-4)

y

xPn(x) = Pn+1(x) +BnPn(x) + CnPn−1(x), n > 0. (2-5)

De forma rećıproca, si {Pn(x)|n > 0} es un sistema de polinomios mónicos determinadopor una relación de recurrencia (2-5) con las condiciones iniciales (2-3), que cumplen la

ecuación (2-4), entonces existe un funcional L para el cual {Pn(x)|n > 0} es un sistemaortogonal de polinomios mónicos.

Este funcional está determinado por los coeficientes Ci con i = 1, ..., n de la siguiente

manera

λn = L(P 2n(x)) = C1 · · ·Cn, (2-6)

y

L(1) = 1;L(Pn(x)) = 0, n > 1. (2-7)

Demostración

⇒ Por (2-1) se tiene que {Pn(x)|n > 0} es de grado n, aplicando el teorema (1.3) esademás una base de C[x]. Entonces se puede escribir a xPn(x) como combinación lineal decada Pi(x), es decir

xPn(x) =n+1∑i=0

Ci,nPi(x), n > 1, (2-8)

donde los Ci,n son números complejos y Cn+1,n = 1 puesto que xPn(x) y Pn+1(x) son poli-

nomios mónicos.

Cuando n = 0 entonces

xP0(x) = C0,0P0(x) + C1,0P1(x),

2.1 Conceptos básicos 23

con lo cual se verifica (2-5), dado que P−1(x) = 0.

Cuando n = 1, se tiene

xP1(x) = C0,1P0(x) + C1,1P1(x) + C2,1P2(x),

como C2,1 = 1, entonces se verifica también la ecuación (2-5) cuando n = 1.

Ahora se prueba la relación para n ≥ 2, para ello se multiplica a ambos lados de la ecuación(2-8) por Pk(x), donde 0 6 k 6 n− 2, con lo cual se tiene

xPk(x)Pn(x) =n+1∑i=0

Ci,nPi(x)Pk(x). (2-9)

Pero de (2-8), se tiene también que

xPk(x) =k+1∑i=0

Ci,kPi(x).

Multiplicando esta ecuación por Pn(x)

xPk(x)Pn(x) =k+1∑i=0

Ci,kPi(x)Pn(x), (2-10)

por tanto, al evaluar el funcional en (2-10) se cumple

L(xPk(x)Pn(x)) =k+1∑i=0

Ci,kL(Pi(x)Pn(x)), 0 6 k 6 n− 2.

Como k 6 n−2,entonces para i 6 k+1, se cumple que i 6 n−1 < n, y además k+1 < n.

Al hacer uso de la definición (2.2), se tiene que

L(xPk(x)Pn(x)) =k+1∑i=0

Ci,kL(Pi(x)Pn(x)) =k+1∑i=0

Ci,k · 0 = 0.

Por otro lado al evaluar el funcional en la ecuación (2-9) y usando la definición (2.2), se

cumple

L(xPk(x)Pn(x)) =n+1∑i=0

Ci,nL(Pi(x)Pk(x)) = Ck,nλk,

puesto que k < n, al igualar los funcionales de momentos

L(xPk(x)Pn(x)) = Ck,nλk = 0,


y dado que λk 6= 0,Ck,n = 0, 0 6 k 6 n− 2.

Entonces al reemplazar cada constante Ck,n en la ecuación (2-8), y dado que Cn+1,n = 1

se tiene que

xPn(x) = Pn+1(x) + Cn,nPn(x) + Cn−1,nPn−1(x), n > 0.

Como Cn,n y Cn−1,n son números complejos entonces Cn,n = Bn, y Cn,n−1 = Cn.

Esto demuestra la relación (2-5).

Para n > 1 se cumple que

xPn−1(x) = Pn(x) +Bn−1Pn−1(x) + Cn−1Pn−2(x)

al multiplicar por Pn(x), se tiene que

xPn−1(x)Pn(x) = P2n(x) +Bn−1Pn(x)Pn−1(x) + Cn−1Pn−2(x)Pn(x),

aplicando el funcional a ambos lados de la ecuación, y resolviendo se tiene que

L(xPn−1(x)Pn(x)) = L(P 2n(x)).

Por otro lado, se cumple también que

xPn(x) = Pn+1(x) +BnPn(x) + CnPn−1(x).

Multiplicando por Pn−1(x) a ambos miembros de la ecuación (2-5) y a su vez evaluando

en el funcional de momentos,

L(xPn−1(x)Pn(x)) = CnL(P 2n−1(x)),

e igualando ambas partes

L(P 2n(x)) = CnL(P 2n−1(x)). (2-11)

Como para n > 1, L(P 2n(x)) y L(P 2n−1(x)) son no nulos, entonces Cn 6= 0 para todo n. Esdecir que al evaluar con recurrencia el funcional con ayuda de la fórmula anterior, se cumple

que, L(P 2n(x)) = C1 · · · · · Cn. Además las condiciones iniciales y la relación de recurrenciadeterminan únicamente al sistema de polinomios.

A continuación se presenta la prueba de lo que se conoce como el teorema de Favard

⇐) Se supone ahora que {Pn(x)} satisface la relación de recurrencia y las condicionesiniciales, además de ser de grado n. Como Pn(x) tiene grado n para todo n > 0, entonces{Pn(x)|n > 0} es una base para C[x]. Por lo tanto, si se define L por la relación (2-7) y se


extiende por linealidad a todo C[x], L es una transformación lineal de C[x] en C.

Se verifica que L satisface la definición de sistema de polinomios ortogonales. En primerlugar, se nota que para m > 0 fijo,

L(xmPn(x)) = 0 (2-12)

para todo n > m. Haciendo inducción sobre m, si m = 0, entonces L(Pn(x)) = 0.

Suponiendo ahora que L(xmPn(x)) para m y que n > m+1. Entonces se tiene que n > m,n− 1 > m y n+ 1 > m. Usando la hipótesis se sabe que

xm+1Pn(x) = xmPn+1(x) +Bnx

mPn(x) + CnxmPn−1(x).

Por otro lado, la hipótesis de inducción asegura que

L(xm+1Pn(x)) = 0.

Por tanto se tiene que para m 6= n, L(Pm(x)Pn(x)) = 0.

Finalmente se demuestra que L(P 2n(x)) 6= 0, si se multiplica la ecuación de la relación derecurrencia por Pn−1(x) y se evalúa en el funcional, se tiene que

L(P 2n(x)) = CnL(P 2n−1(x)) = · · · = Cn · · · · · C1L(1 · 1) = Cn · · · · · C1.

Como cada Cn es diferente de cero, entonces finalmente se tiene que L(P 2n(x)) 6= 0. Y aśıL es un funcional para el sistema de polinomios que satisface la relación de recurrencia, elcual es único y está determinado por las condiciones iniciales del funcional. �

A continuación se establece un resultado importante para establecer cuando un funcional

de momentos puede definir un sistema de polinomios ortogonales.

Teorema 2.2 Si L es un funcional de momentos con L(1) = 1, y si cn = L(xn) es el n-ésimo momento de L para todo n ≥ 0, una condición necesaria y suficiente para que L searegular es que

Γn :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣c0 c1 · · · cnc1 c2 · · · cn+1...

.... . .

...

cn cn+1 · · · c2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0, n ≥ 0. (2-13)


Demostración

Para iniciar la demostración de este teorema, se supone la veracidad de (2-13). Por ende

P0(x) = 1 y

Pn(x) =1

Γn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣c0 c1 · · · cn...

.... . .

...

cn−1 cn · · · c2n−11 x · · · xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , n ≥ 1. (2-14)Si m ≤ n,

L(xmPn(x)) =1

Γn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣c0 c1 · · · cn...

.... . .

...

cn−1 cn · · · c2n−1L(xm) L(xm+1) · · · L(xm+n)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (2-15)

Dado que la fila (L(xm),L(xm+1), · · · ,L(xm+n)) = (cm, cm+1, · · · , cm+n) coincide con unade las filas del determinante en caso de que m < n entonces se tiene la siguiente expresión

L(xmPn(x)) = 0.

Cuando m = n

L(xnPn(x)) =Γn

Γn−16= 0

puesto que

L(Pn(x)Pn(x)) = L(xnPn(x)).

Con lo cual queda demostrado que

L(xnPn(x)) = L(P 2n(x)) =Γn

Γn−16= 0.

Se supone ahora que L es regular, donde Pn(x) corresponde a su sistema de polinomiosmónicos ortogonales, y se demuestra que Γn 6= 0 para todo n ≥ 0. De esta forma, realizandola prueba por inducción.

Para n = 0, Γ0 = 0 = L(1) = 1 6= 0.

Se supone que la propiedad es válida para n = k, es decir, Γk 6= 0, y se demuestra para n+1.


Sea aśı

P (x) =1

Γk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

c0 · · · ck ck+1c1 · · · ck+1 ck+2...

. . ....

...

ck · · · c2k c2k+11 · · · xk xk+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, (2-16)

entonces P (x) corresponde a un polinomio de grado k + 1, con lo cual P (x) puede ser

representado como combinación lineal de los polinomios de grado a lo sumo k + 1, esto es

P (x) = Pk+1(x) + akPk(x) + · · ·+ a0P0(x) ai ∈ C. (2-17)

De lo anterior , si m < k + 1, se tiene que

L(xmP (x)) = 0,

y en consecuencia para m < k + 1,

L(Pm(x)P (x)) = 0,

aśı al multiplicar por Pm(x) a ambos lados de la igualdad (2-17) con m = 0, 1, 2, · · · , k yal evaluar en el funcional L, se tiene que am = 0,m = 0, 1, 2, · · · , k, es decir que se verificaP (x) = Pk+1(x).

Por otro lado,

L(xk+1Pk+1(x)) = L(P 2k+1(x)),

lo cual es distinto de cero, y por ende

Γk+1Γk

= L(P 2k+1(x)) 6= 0.

Con lo cual se concluye la demostración.

�

Se tiene que todo sistema de polinomios que satisface la relación de recurrencia de 3

términos dada en (2-5), satisface la identidad de Chistoffel-Darboux, esta identidad es

indispensable en la teoŕıa de polinomios ortogonales, gracias a ella se pueden deducir los

resultados que conducen a concluir la relación de asintoticidad en el caṕıtulo 3.


Teorema 2.3 (Identidad de Christoffel-Darboux) Sea {Pn(x)} un sistema de polino-mios que satisface la relación de recurrencia (2-5) donde Cn 6= 0 para n ≥ 0, entonces sesatisface la siguiente relación

n∑k=0

Pk(x)Pk(y)

C0C1C2 · · ·Ck=

1

C0C1C2 · · ·Cn· Pn+1(x)Pn(y)− Pn(x)Pn+1(y)

x− y. (2-18)

Demostración

De la relación de recurrencia (2-5) se satisfacen para n > 0 las ecuaciones

xPn(x)Pn(y) = Pn+1(x)Pn(y) +BnPn(x)Pn(y) + CnPn−1(x)Pn(y),

yPn(y)Pn(x) = Pn+1(y)Pn(x) +BnPn(y)Pn(x) + CnPn−1(y)Pn(x).

Restando las identidades anteriores se tiene que

(x− y)Pn(x)Pn(y) = Pn+1(x)Pn(y)− Pn+1(y)Pn(x)− Cn[Pn(x)Pn−1(y)− Pn(y)Pn−1(x)].

Por otro lado si se denota 1C0C1C2···Cn ·

Pn+1(x)Pn(y)−Pn(x)Pn+1(y)x−y como Fn(x, y), entonces

Pn(x)Pn(y)

C0C1C2 · · ·Cn=Fn(x, y)− Fn−1(x, y)

x− y.

Si se aplica sumatoria a ambos lados con i = 0, 1, 2, · · · , n, se sigue

n∑k=0

Pk(x)Pk(y)

C0C1C2 · · ·Ck=

n∑i=0

Fk(x, y)− Fk−1(x, y)x− y

.

Dado que el lado derecho de la ecuación corresponde a una sumatoria telescópica, y debido

a las condiciones iniciales de los polinomios se sabe que F−1(x, y) = 0, por tanto

n∑k=0

Pk(x)Pk(y)

C0C1C2 · · ·Ck=Fn(x, y)

x− y=

1

C0C1C2 · · ·Cn· Pn+1(x)Pn(y)− Pn(x)Pn+1(y)

x− y.

Lo cual demuestra la identidad de Christoffel-Darboux. �

Definición 2.3 Sea E ⊂ (−∞,∞) un conjunto cerrado, un funcional de momentos L sedice que es definido positivo sobre E si y sólo si L(π(x)) > 0 para cada polinomio real π(x)

que es no negativo sobre E y no se hace cero sobre E. Este conjunto se denomina el soporte

de L y de denota por supp(L).

Caṕıtulo 3

Asintoticidad para Polinomios

ortogonales tipo Sóbolev

La teoŕıa planteada en los caṕıtulos anteriores se presentó con el fin de introducir el

presente caṕıtulo, dicha teoŕıa es necesaria para las definiciones y teoremas que se presentan

a partir de ahora. El presente caṕıtulo está basado en el art́ıculo [6], sin embargo, se toman

en consideración algunos conceptos y resultados de los art́ıculos [8, 9].

Definición 3.1 (Espacios Sóbolev, Wm,2(a, b) ) Sea (a, b) un intervalo abierto, se define

el espacio de Sóbolev como el conjunto

Wm,2(a, b) = {f ∈ L2(a, b) : f (k) ∈ L2(a, b); k = 0, 1, ..,m}, (3-1)

donde f (k) representa la k-ésima derivada de la función f , y Wm,2(a, b) ⊂ L2(a, b).

El espacio Wm,2(a, b) es muy importante para el estudio que se realiza, pues los sistemas or-

tonormales de polinomios estudiados aqúı se encuentran en el espacio de Sóbolev Wm,2(a, b).

Para poder definir los sistemas de polinomios ortogonales correspondientes a este estudio,

primero se introduce el producto interno definido en los espacios de Sóbolev.

Definición 3.2 Suponga que µk(k = 0, 1, 2, ...,m) son medidas positivas sobre el intervalo

abierto (a, b), entonces se define el producto interno tipo Sóbolev como

〈f, g〉 =m∑k=0

∫ ba

f (k)(x)g(k)(x)dµk(x),

donde f, g ∈ Wm,2(a, b).

A continuación se da el concepto de clases de Nevai, estas clases son importantes porque

la medida trabajada se encuentra en la clase de Nevai M(0, 1).

30 3 Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev

Definición 3.3 (Clases de Nevai M(s, r)) Sea r ≥ 0 y s ∈ R, se define la clase M(s, r)como

M(s, r) =

{{an, bn}∞n=0; an > 0, bn ∈ R| ĺım

n→∞an =

r

2∧ ĺım

n→∞bn = s

}. (3-2)

Se dice que una medida µ pertenece a la clase de Nevai M(s, r), si el sistema ortogonal de

polinomios {pn(x)} respecto a la medida µ cumple la relación de recurrencia de tres términoscuyos coeficientes son sucesiones que pertenecen a M(s, r), es decir

xpn(x) = an+1pn+1(x) + bnpn(x) + anpn−1(x). (3-3)

Además, si µ ∈ M(s, r) entonces, supp(µ) = [s − r, s + r] ∪ S donde S es un conjuntoacotado y enumerable con puntos de acumulación en {s− r, s+ r}.

Se considera desde ahora el caso donde el producto interno tipo Sóbolev está dado por

〈f, g〉 =∫ 1−1f(x)g(x)dµ(x) + λf ′(c)g′(c), (3-4)

donde c ∈ R, λ > 0, y µ ∈M(0, 1).

El producto interno con respecto a la medida µ está dado por

〈f, g〉µ =∫ 1−1f(x)g(x)dµ(x). (3-5)

3.1. Sistemas ortonormales de polinomios : Compara-

ción

Sea {pn(x)} (n = 0, 1, 2, ...) el sistema ortonormal de polinomios con respecto a la medidaµ, como µ pertenece a la clase Nevai M(0, 1), entonces se tiene que el sistema de polino-

mios {pn(x)} cumple la relación de recurrencia de tres términos (3-3) donde los coeficientessatisfacen las ecuaciones

ĺımn−→∞

an =1

2, ĺım

n−→∞bn = 0.

Por otro lado, se define el Kernel del sistema ortonormal de polinomios {pn(x)}, como

Kn(x, y) =n∑k=0

pk(x)pk(y). (3-6)

Al derivar la ecuación (3-6) anterior, se tienen las derivadas de primer y segundo orden

del Kernel, por tanto se introduce la siguiente notación

3.1 Sistemas ortonormales de polinomios : Comparación 31

K(1,0)n (x, y) =n∑k=0

p′k(x)pk(y) =∂

∂xKn(x, y), (3-7)

K(1,1)n (x, y) =n∑k=0

p′k(x)p′k(y) =

∂2

∂x∂yKn(x, y). (3-8)

A continuación, se presenta el teorema que expresa el sistema de polinomios {qn(x)} conrespecto al sistema de polinomios {pn(x)}.

Teorema 3.1 Sean qn = γ′nx

n + · · ·+ γ′1x+ γ′0 y pn(x) = γnxn + · · ·+ γ1x+ γ0, entonces secumple que

qn(x) =γ′nγnpn(x)− λq′n(c)K

(1,0)n−1 (c, x), (3-9)

donde

γ′nγn

=

√√√√1 + λK(1,1)n−1 (c, c)1 + λK

(1,1)n (c, c)

(3-10)

y

q′n(c) =p′n(c)√

(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))(1 + λK

(1,1)n (c, c))

. (3-11)

Demostración

Como {pn(x)} representa una base para Pn entonces qn(x) se puede representar comocombinación lineal de dicha base, ésto es

qn(x) =n∑k=0

ak,npk(x). (3-12)

Se tiene que la expansión de Fourier de qn(x) en términos del sistema ortonormal {pn(x)},está dado por,

qn(x) =n∑k=0

ak,npk(x) =n∑k=0

〈qn(x), pk(x)〉µ pk(x), (3-13)

es decir,

ak,n =

∫ 1−1qn(x)pk(x)dµ(x) = 〈qn, pk〉 − λq′n(c)p′k(c).

Expandiendo (3-12), se sigue que


γ′0 + γ′1x+ · · ·+ γ′nxn = a0,np0(x) + a1,np1(x) + · · ·+ an,npn(x)

= a0,nγ11 + a1,n(γ12 + γ22x) + · · ·+ an,n(γ0 + γ1x+ · · ·+ γnxn).(3-14)

Igualando los coeficientes de los términos xn, entonces γ′n = γan,n es decir que cuando

k = n el coeficiente corresponde a an,n =γ′nγn

. Cuando k < n, ak,n = −λq′n(c)p′k(c) por laortogonalidad de los polinomios 〈qn, pk〉 = 0. Sustituyendo estos coeficientes en (3-12) setiene que

qn(x) =γ′nγnpn(x) +

n−1∑k=0

(−λq′n(c)p′k(c))pk(x)

=γ′nγnpn(x)− λq′n(c)

n−1∑k=0

p′k(c)pk(x)

=γ′nγnpn(x)− λq′n(c)K

(0,1)(n−1)(c, x),

lo cual verifica (3-9).

Ahora, de (3-13) multiplicando a ambos lados de la ecuación por qn(x) y definiendo el

producto interno de la medida µ,∫ 1−1q2n(x)dµ(x) =

∫ 1−1

n∑k=0

ak,npk(x)qn(x)dµ(x)

=n∑k=0

a2k,n.

(3-15)

Reemplazando los coeficientes ak,n en (3-15)∫ 1−1q2n(x)dµ(x) =

(γ′nγn

)2+

n−1∑k=0

(−λq′n(c)p′k(c))2

=

(γ′nγn

)2+ λ2[q′n(c)]

2

n−1∑k=0

[p′k(c)]2

=

(γ′nγn

)2+ λ2[q′n(c)]

2K(1,1)n−1 (c, c).

(3-16)

Tomando el producto interno de qn(x),

〈qn(x), qn(x)〉µ = 〈qn(x), qn(x)〉+ λ[q′n(c)]2,

aśı, al usar la ortonormalidad de qn(x) con su producto interno respectivo∫ 1−1q2n(x)dµ(x) = 1− λ[q′n(c)]2. (3-17)

3.1 Sistemas ortonormales de polinomios : Comparación 33

Igualando (3-16) y (3-17)

1− λ[q′n(c)]2 =(γ′nγn

)2+ λ2[q′n(c)]

2K(1,1)n−1 (c, c) (3-18)

[q′n(c)]2 =

1− (γ′n/γn)2

λ(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))

. (3-19)

Por otro lado, si se deriva qn(x) en (3-12), y se toma x = c

q′n(x) =∂

∂x

(n∑k=0

ak,npk(x)

)

= ak,n

n∑k=0

p′k(x)

q′n(x) =n∑k=0

ak,np′k(c)

=γ′nγnp′n(c) +

n−1∑k=0

(−λq′n(c)p′k(c))p′k(c)

=γ′nγnp′n(c)− λq′n(c)K

(1,1)n−1 (c, c),

despejando se obtiene entonces

q′n(c) =(γ′n/γn)p

′n(c)

1 + λK(1,1)n−1 (c, c)

. (3-20)

Al elevar (3-20) al cuadrado e igualar con (3-18), entonces

(γ′n/γn)2[p′n(c)]

2

[1 + λK(1,1)n−1 (c, c)]

2=

1− (γ′n/γn)2

λ(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))

,

y aśı despejando γ′n

γn, (

γ′nγn

)2=

1 + λK(1,1)n−1 (c, c)

1 + λK(1,1)n (c, c)

,

lo cual verifica (3-10).

Finalmente, reemplazando γ′n

γnen (3-20)

q′n(c) =p′n(c)√

(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))(1 + λK

(1,1)n (c, c))

, (3-21)

ésto completa la demostración del teorema. �


3.2. Relación asintótica para c /∈ supp(µ)Con la intención de atender los propósitos del presente trabajo, esta sección presenta la

relación asintótica entre los sistemas de polinomios {pn(x)} y {qn(x)}, ya que ésta determinaque tan cerca está un sistema de polinomios del otro a medida que estos crecen considera-

blemente.

Teniendo en cuenta que µ ∈M(0, 1) entonces se tiene que supp(µ) = [−1, 1]∪E donde Ees un conjunto acotado y contable con puntos de acumulación en {−1, 1}.

También se cumplen las siguientes relaciones

ĺımn−→∞

pn−1(x)

pn(x)=

1

x+√x2 − 1

, (3-22)

ĺımn−→∞

1

n

p′n(x)

pn(x)=

1√x2 − 1

, (3-23)

ĺımn−→∞

p′n−1(x)

p′n(x)=

1

x+√x2 − 1

, (3-24)

uniformemente para x en conjuntos compactos de C \ supp(µ).

Teorema 3.2 Sea {qn(x)} el sistema ortonormal de polinomios para el producto interno(3-4), y sea {pn(x)} es sistema ortonormal de polinomios para la medida µ. Si µ ∈ M(0, 1)y c ∈ R \ supp(µ) entonces

ĺımn−→∞

qn(x)

pn(x)=

1

|c+√c2 − 1|

(1−

√c2 − 1

x+√x2 − 1

(x+√x2 − 1− (c+

√c2 − 1))

x− c

), (3-25)

uniformemente para x sobre subconjuntos compactos de C \ (supp(µ) ∪ {c}).

Demostración

De la relación (3-9) se tiene que

qn(x) =γ′nγnpn(x)− λ

γ′nγn

p′n(c)K(1,0)n−1 (c, x)

1 + λK(1,1)n−1 (c, c)

,

de esta forma sustituyendo en el ĺımite, se sigue que

ĺımn→∞

qn(x)

pn(x)= ĺım

n→∞

γ′nγn

(pn(x)

pn(x)− λ

p′n(c)K(1,0)n−1 (c, x)

(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))pn(x)

). (3-26)

Se soluciona cada ĺımite, para ello primero se calcula ĺımn→∞γ′nγn

, ésto es

3.2 Relación asintótica para c /∈ supp(µ) 35

ĺımn→∞

γ′nγn

= ĺımn→∞

√√√√1 + λK(1,1)n−1 (c, c)1 + λK

(1,1)n (c, c)

=

√√√√ ĺımn→∞

1 + λK(1,1)n−1 (c, c)

1 + λK(1,1)n (c, c)

.

Para hallar el ĺımite se hace uso del criterio de Stolz parte b, ver en [3, pag; 378], para

ello se tiene que 1 + λK(1,1)n (c, c) es una sucesión estrictamente creciente, cuyo ĺımite tiende

a infinito, y además

ĺımn→∞

1 + λK(1,1)n (c, c)− (1 + λK(1,1)n−1 (c, c))

1 + λK(1,1)n+1 (c, c)− (1 + λK

(1,1)n (c, c))

= ĺımn→∞

λK(1,1)n (c, c)− λK(1,1)n−1 (c, c)

λK(1,1)n+1 (c, c)− λK

(1,1)n (c, c)

= ĺımn→∞

[p′n(c)]2

[p′n+1(c)]2

=

(ĺımn→∞

p′n(c)

p′n+1(c)

)2.

Haciendo uso de (3-22),

ĺımn→∞

1 + λK(1,1)n (c, c)− (1 + λK(1,1)n−1 (c, c))

1 + λK(1,1)n+1 (c, c)− (1 + λK

(1,1)n (c, c))

=

(1

c+√c2 − 1

)2.

Finalmente por criterio de Stolz

ĺımn→∞

1 + λK(1,1)n (c, c)− (1 + λK(1,1)n−1 (c, c))

1 + λK(1,1)n+1 (c, c)− (1 + λK

(1,1)n (c, c))

= ĺımn→∞

1 + λK(1,1)n−1 (c, c)

1 + λK(1,1)n (c, c)

=

(1

c+√c2 − 1

)2,

aśı se tiene que el ĺımite está dado por

ĺımn→∞

γ′nγn

=1

|c+√c2 − 1|

. (3-27)

Solucionando ahora

ĺımn→∞

λp′n(c)K(1,0)n−1 (c, x)

(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))pn(x)

= ĺımn→∞

[p′n−1(c)]2λp′n(c)K

(1,0)n−1 (c, x)

[p′n−1(c)]2(1 + λK

(1,1)n−1 (c, c))pn(x)

= ĺımn→∞

λ[p′n−1(c)]2

(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))

· ĺımn→∞

p′n(c)K(1,0)n−1 (c, x)

[p′n−1(c)]2pn(x)

,

usando la igualdad

λ[p′n−1(c)]2

(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))

= 1−1 + λK

(1,1)n−2 (c, c)

1 + λK(1,1)n−1 (c, c)


y haciendo uso nuevamente del criterio de Stolz, como en el ĺımite anterior

ĺımn→∞

λ[p′n−1(c)]2

(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))

= ĺımn→∞

1−1 + λK

(1,1)n−2 (c, c)

1 + λK(1,1)n−1 (c, c)

= 1− 1(c+

√c2 − 1)2

=c2 + 2

√c2 − 1 + c2 − 1− 1

(c+√c2 − 1)2

=2(c+

√c2 − 1)(

√c2 − 1)

(c+√c2 − 1)2

=2√c2 − 1

c+√c2 − 1

. (3-28)

Por otro lado, se tiene

ĺımn→∞

K(1,0)n−1 (c, x)p

′n(c)

[p′n−1]2pn(x)

,

de la fórmula de Christoffel-Darboux

Kn−1(x, c) =n−1∑k=0

pk(x)pk(c) = anpn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x)

x− c,

al derivar el kernel con respecto a c, entonces

K(1,0)n−1 (x, c) =

∂

∂canpn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x)

x− c

= an

[(x− c)(pn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x))′ − (pn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x))(x− c)′

(x− c)2

]= an

pn(x)p′n−1(c)− p′n(c)pn−1(x)

x− c+ an

pn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x)(x− c)2

.

Reemplazando esto en

ĺımn→∞

K(1,0)n−1 (c, x)p

′n(c)

[p′n−1(c)]2pn(x)

,

entonces

3.2 Relación asintótica para c /∈ supp(µ) 37

ĺımn→∞

K(1,0)n−1 (c, x)p

′n(c)

[p′n−1(c)]2pn(x)

=1

(x− c)ĺımn→∞

an[pn(x)p

′n−1(c)− p′n(c)pn−1(x)]p′n(c)

[p′n−1(c)]2pn(x)

+1

(x− c)2ĺımn→∞

an[pn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x)]p′n(c)

[p′n−1(c)]2pn(x)

=1


an

(pn(x)

pn(x)·p′n−1(c)

p′n−1(c)· p

′n(c)

p′n−1(c)− (p

′n(c))

2

(p′n−1(c))2· pn−1(x)pn(x)

)+

1


an

(pn(x)

pn(x)· pn−1(c)p′n−1(c)

· p′n(c)

p′n−1(c)− pn(c)p′n−1(c)

· pn−1(x)pn(x)

· p′n(c)

p′n−1(c)

)=

1


an

(p′n(c)

p′n−1(c)− (p

′n(c))

2

(p′n−1(c))2· pn−1(x)pn(x)

)+

1


an

(pn−1(c)

p′n−1(c)· p

′n(c)

p′n−1(c)− pn(c)p′n−1(c)

· pn−1(x)pn(x)

· p′n(c)

p′n−1(c)

)=

1


an

(p′n(c)

p′n−1(c)− (p

′n(c))

2

(p′n−1(c))2· pn−1(x)pn(x)

)+

1


an

(n

n

pn−1(c)

p′n−1(c)

p′n(c)

p′n−1(c)− nn

pn−1(c)

pn−1(c)

pn(c)

p′n−1(c)

pn−1(x)

pn(x)

p′n(c)

p′n−1(c)

)=

1


an

(p′n(c)

p′n−1(c)− (p

′n(c))

2

(p′n−1(c))2· pn−1(x)pn(x)

)

+1


an

1n 1p′n−1(c)npn−1(c)

p′n(c)

p′n−1(c)− 1n

1

p′n−1(c)

pn−1(c)

pn(c)

pn−1(c)

pn−1(x)

pn(x)

p′n(c)

p′n−1(c)

.

Aplicando (3-22), (3-23) y (3-24), y dado que ĺımn→∞ an =12,

ĺımn→∞

=K

(1,0)n−1 (c, x)p

′n(c)

[p′n−1(c)]2pn(x)

1

2(x− c)·(c+√c2 − 1− (c+

√c2 − 1)2 · 1

x+√x2 − 1

)+

1

(x− c)2

[(ĺımn→∞

1

n

)·(

1

2

√c2 − 1 · (c+

√x2 − 1)− (

√c2 − 1)(c+

√c2 − 1)2

x+√x2 − 1

)].

(3-29)

En vista que

ĺımn→∞

1

n= 0,

entonces (3-29) se reduce a

ĺımn→∞

K(1,0)n−1 (c, x)p

′n(c)

[p′n−1(c)]2pn(x)

=1

2·(

(c+√c2 − 1)[x+

√x2 − 1− c+

√c2 − 1]

(x+√x2 − 1)(x− c)

). (3-30)


Finalmente sustituyendo las ecuaciones (3-27), (3-28) y (3-30) en la ecuación (3-26),

ĺımn→∞

qn(x)

pn(x)=

1

|c+√c2 − 1|

·(1− −2

√c2 − 1

c+√c2 − 1

(c+√c2 − 1)

2(x+√x2 − 1)

(x+√x2 − 1− (c+

√c2 − 1))

x− c

)=

1

|c+√c2 − 1|

(1−

√c2 − 1

x+√x2 − 1

(x+√x2 − 1− (c+

√c2 − 1))

x− c

).

Puesto que los ĺımites son uniformes sobre x en subconjuntos compactos de C\(supp(µ)∪{c}),se concluye la demostración. �

Es notorio que la relación entre ambos sistemas de polinomios puede alejarse dependiendo

del punto c que se tome, es decir, que ambos sistemas pueden no acercarse a medida que n

tienda a infinito.

3.3. Relación asintótica para c ∈ supp(µ)En la sección anterior se estudió el comportamiento asintótico de los polinomios ortonor-

males {pn(x)} y {qn(x)} para un punto de masa que no se encuentra en el soporte.

Por otro lado, el estudio no es el mismo para un c que śı se encuentra en supp(µ). Por

tanto, esta sección establece un estudio para cuando c ∈ supp(µ).

Recordando que µ ∈M(0, 1), se tiene el siguiente resultado para x ∈ supp(µ)

ĺımn→∞

p2n(x)

Kn−1(x, x)= 0. (3-31)

Inicialmente el estudio para c ∈ supp(µ) requiere introducir otra medida µ2 distinta a µ.Se tiene que dµ2 = (x− c)2dµ(x), donde µ2 es absolutamente continua con respecto a µ.

De la relación expuesta en el parrafo anterior, se tiene como consecuencia de clases de

Nevai, que si µ ∈M(0, 1) entonces µ2 ∈M(0, 1).

Lema 3.1 Sea pn(x;µ2) el sistema ortonormal de polinomios con respecto a µ2 y denotando

su núcleo relacionado por Kn(x, y;µ2). Si pn(x) es el sistema ortonormal de polinomios con

respecto a µ y Kn(x, y) su núcleo, entonces

(x− c)pn−1(x;µ2) =

√Kn−1(c, c)

Kn(c, c)

(pn(x)−

pn(c)

Kn−1(c, c)Kn−1(x, c)

)(3-32)

3.3 Relación asintótica para c ∈ supp(µ) 39

y

(x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2) = Kn(x, y)−Kn(x, c)Kn(y, c)

Kn(c, c). (3-33)

Demostración

Para comenzar la demostración se denota el espacio lineal de polinomios a lo más de

grado n como Pn, y dado que {pk(x;µ2)} es un sistema ortonormal de polinomios entoncesel sistema {(x− c)pk(x;µ2) : k = 0, 1, · · · , n− 1}∪{Kn(x, c)} representa una base ortogonalen L2(µ) para Pn. Es decir que en L2(µ) se tiene que

Pn = (x− c)Pn−1 ⊕⊥ L{Kn(x, c)} (3-34)= (x− c)Pn−2 ⊕⊥ L{Kn(x, c), (x− c)pn−1(x;µ2)}, (3-35)

donde L{f1, · · · , fk} denota al espacio lineal generado por las funciones f1, · · · , fk. Se sabetambién que {pk(x) : k = 0, 1, · · · , n}} es una base ortonormal en L2(µ) para Pn, puesto quees el sistema de polinomios para dicha medida, de lo cual se sigue la relación

Pn = Pn−1 ⊕⊥ L{pn(x)} (3-36)

que se mantiene en L2(µ).

De (3-34) se tiene que

Pn−1 = (x− c)Pn−2 ⊕⊥ L{Kn1(x, c)},

y al asociar esto con (3-36), se sigue que

Pn = (x− c)Pn−2 ⊕⊥ L{pn(x), Kn−1(x, c)}.

De esta forma, de lo anterior y de (3-35),

L{Kn(x, c), (x− c)pn−1(x;µ2)} = L{pn(x), Kn−1(x, c)}.

Por tanto, en particular, el polinomio (x − c)pn−1(x;µ2) puede ser representado comocombinación lineal de pn(x) y Kn−1(x, c), es decir que

(x− c)pn−1(x;µ2) = Apn(x) +BKn−1(x, c), (3-37)

para algún A,B ∈ R. Si se hace x = c en (3-37), se tiene entonces

(x− c)pn−1(x;µ2) = Apn(x) +BKn−1(x, c)0 = Apn(c) +BKn−1(c, c)

B = − Apn(c)Kn−1(c, c)

.


Con lo cual (3-37) se transforma en

(x− c)pn−1(x;µ2) = Apn(x)−Apn(c)

Kn−1(c, c)Kn−1(x, c). (3-38)

Y al aplicar el producto interno correspondiente a la medida µ a ambos lados de la igualdad,

entonces

〈(x− c)pn−1(x;µ2), (x− c)pn−1(x;µ2)〉µ = 〈Apn(x)−BKn−1(x, c), Apn(x)−BKn−1(x, c)〉µ(∫ 1−1

((x− c)pn−1(x;µ2))2dµ)1/2

=

(∫ 1−1

(Apn(x)−BKn−1(x, c))2dµ)1/2

(3-39)

(∫ 1−1

(pn−1(x;µ2))2dµ2

)1/2=

(∫ 1−1A2[pn(x)]

2 − 2Apn(x)BKn−1(x, c) +B2[Kn−1(x, c)]2dµ)1/2

.

(3-40)

Por ortonormalidad de los polinomios pk(x;µ2) entonces

(∫ 1−1

(pn−1(x;µ2))2dµ2

)1/2= 1,

de igual forma usando la ortonormalidad de pn(x),∫ 1−1A2[pn(x)]

2dµ = A2,

teniendo en cuenta que Kn−1(x, c) =∑n−1

i=0 pi(x)pi(c)

∫ 1−1−2Apn(x)BKn−1(x, c)dµ = 0

y ∫ 1−1B2[Kn−1(x, c)]

2dµ = B2Kn−1(c, c).

Sustituyendo los valores de éstas tres integrales en (3-40), se tiene que

1 =√A2 +B2Kn−1(c, c).


Reemplazando B = − Apn(c)Kn−1(c,c)

1 =

√A2 +

A2[pn(c)]2

[Kn−1(c, c)]2Kn−1(c, c)

= A

√1− [pn(c)]

2

[Kn−1(c, c)]2Kn−1(c, c)

= A

√Kn(c, c)

Kn−1(c, c).

Es decir que

A =

√Kn−1(c, c)

Kn(c, c).

Aplicando ésta igualdad en (3-38)

(x− c)pn−1(x;µ2) =

√Kn−1(c, c)

Kn(c, c)

(pn(x)−

pn(c)


), (3-41)

lo cual demuestra (3-32).

Para demostrar (3-33) se tiene en cuenta que para un elemento y fijo (x−c)(y−c)Kn−1(x, y;µ2)−Kn(x, y) ∈ Pn, es decir que éste elemento se puede escribir como combinación lineal dadapor la base en (3-34), es decir

(x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2)−Kn(x, y) =n−1∑i=0

ci(x− c)pi(x;µ2) + cnKn(x, c). (3-42)

Al multiplicar a ambos lados por (x− c)pk(x;µ2) y al aplicar la integral con respecto a lamedida µ

Si k < n, al multiplicar a ambos lados por (x− c)pk(x;µ2) y al aplicar la integral conrespecto a la medida µ

∫ 1−1

((x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2)−Kn(x, y))(x− c)pk(x;µ2)dµ

=

∫ 1−1

(n−1∑i=0

ci(x− c)pi(x;µ2) + cnKn(x, c)

)(x− c)pk(x;µ2)dµ.

Por otro lado se tienen las siguientes consecuencias , usando la igualdad (3-32)


∫ 1−1Kn(x, c)(x− c)pk(x;µ2)dµ

=

∫ 1−1Kn(x, c)

√Kk(c, c)

Kk+1(c, c)

(pk+1(x)−

pk+1(c)

Kk(c, c)Kk(x, c)

)dµ

=

√Kk(c, c)

Kk+1(c, c)

(∫ 1−1Kn(x, c)pk+1(c)dµ−

∫ 1−1Kn(x, c)

pk+1(c)

Kk(c, c)Kk(x, c)dµ

)

=

√Kk(c, c)

Kk+1(c, c)

(pk+1(c)−

pk+1(c)

Kk(c, c)Kk(c, c)

)= 0

y

∫ 1−1

(n−1∑i=0

ci(x− c)pi(x;µ2)

)(x− c)pk(x;µ2)dµ =

∫ 1−1

(n−1∑i=0

cipi(x;µ2)

)pk(x;µ2)dµ2

= ck.

Por tanto los coeficientes ck están dados por

ck =

∫(x− c)2(y − c)Kn−1(x, y;µ2)pk(x;µ2)dµ(x)−

∫Kn(x, y)(x− c)pk(x;µ2)dµ(x).

De ∫(x− c)2(y − c)Kn−1(x, y;µ2)pk(x;µ2)dµ(x)

y usando dµ2 = (x− c)dµ, y la ortonormalidad de pk(x;µ2) con respecto a µ2∫(x− c)2(y − c)Kn−1(x, y;µ2)pk(x;µ2)dµ(x) =

∫(y − c)Kn−1(x, y;µ2)pk(x;µ2)dµ2(x)

= (y − c)pk(y;µ2).

Para

ck =

∫Kn(x, y)(x− c)pk(x;µ2)dµ(x),

aplicando nuevamente (3-32)


∫ 1−1Kn(x, y)(x− c)pk(x;µ2)dµ =

∫ 1−1Kn(x, y)

√Kk(c, c)

Kk+1(c, c)

(pk+1(x)−

pk+1(c)

Kk(c, c)Kk(x, c)

)dµ

=

√Kk(c, c)

Kk+1(c, c)

(∫ 1−1Kn(x, y)pk+1(c)dµ−

∫ 1−1Kn(x, y)

pk+1(c)

Kk(c, c)Kk(x, c)dµ

)

=

√Kk(c, c)

Kk+1(c, c)

(pk+1(y)−

pk+1(c)

Kk(c, c)Kk(y, c)

)= (y − c)pk(y;µ2).

Por tanto al reemplazar dichos valores

ck = (y − c)pk(y;µ2)− (y − c)pk(y;µ2) = 0, siempre que k < n.

Finalmente si se sustituyen los valores de ck en (3-42)

(x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2)−Kn(x, y) = cnKn(x, c),

de lo anterior y haciendo x = c, entonces

cn = −Kn(c, y)

Kn(c, c).

Sustituyendo cn

(x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2)−Kn(x, y) = −Kn(c, y)

Kn(c, c)Kn(x, c), (3-43)

por tanto,

(x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2) = Kn(x, y)−Kn(c, y)

Kn(c, c)Kn(x, c), (3-44)

lo que demuestra (3-33), concluyendo aśı la demostración del lema. �

A continuación se demuestra la relación asintótica entre [p′n(c)]2 y su Kernel, este teo-

rema es útil para establecer el comportamiento asintótico entre {qn(x)} y {pn(x)} parac ∈ supp(µ).

Teorema 3.3 Suponga que µ ∈M(0, 1) y c ∈ [−1, 1] entonces

ĺımn→∞

[p′n(c)]2

K(1,1)n−1 (c, c)

= 0. (3-45)


Demostración

Como µ2 ∈M(0, 1) entonces de (3-31) se cumple también que

ĺımn→∞

p2n−1(c;µ2)

Kn−2(c, c;µ2)= 0. (3-46)

Al derivar (3-32) con respecto a x, entonces

∂

∂x(x− c)pn−1(x;µ2) =

∂

∂x

√Kn−1(c, c)

Kn(c, c)

(pn(x)−

pn(c)


),

p′n−1(x;µ2) + (x− c)pn−1(x;µ2) =

√Kn−1(c, c)

Kn(c, c)

(p′n(x)−

pn(c)

Kn−1(c, c)K

(1,0)n−1 (x, c)

),

sustituyendo x = c

pn−1(c;µ2) =

√Kn−1(c, c)

Kn(c, c)

(p′n(c)−

pn(c)

Kn−1(c, c)K

(1,0)n−1 (c, c)

).

Realizando el mismo procedimiento con (3-33),

∂

∂x(x− c)(y − c)Kn−2(x, y;µ2) =

∂

∂xKn−1(x, y)−

Kn−1(x, c)Kn−1(y, c)

Kn−1(c, c),

(y− c)Kn−2(x, y;µ2) + (x− c)(y− c)K(1,0)n−2 (x, y;µ2)Kn−1(x, y)(1,0)−Kn−1(x, c)

(1,0)Kn−1(y, c)

Kn−1(c, c),

sustituyendo x = c

(y − c)Kn−2(x, y;µ2)+ = Kn−1(c, y)(1,0) −Kn−1(c, c)

(1,0)Kn−1(y, c)

Kn−1(c, c),

derivando con respecto a y

∂

∂y(y − c)Kn−2(x, y;µ2) =

∂

∂yKn−1(c, y)

(1,0) − Kn−1(c, c)(1,0)Kn−1(y, c)

Kn−1(c, c),

(y − c)K(0,1)n−2 (x, y;µ2) +Kn−2(x, y;µ2) = Kn−1(c, y)(1,1) −Kn−1(c, c)

(1,0)K(1,0)n−1 (y, c)

Kn−1(c, c).

Si se hace y = c, entonces se obtiene

Kn−2(c, c;µ2) = K(1,1)n−1 (c, c)−

[K(1,0)n−1 (c, c)]

2

Kn−1(c, c)6 K(1,1)n−1 (c, c),


al sustituir estos valores se tiene como consecuencia

p2n−1(c;µ2)

Kn−2(c, c;µ2)>Kn−1(c, c)

Kn(c, c)·

(p′n(c)− (pn(c)/Kn−1(c, c))K(1,0)n−1 (c, c))

2

K(1,1)n−1 (c, c)

. (3-47)

De dondeKn−1(c, c)

Kn(c, c)=

1

1 +p2n(c)

Kn−1(c, c)

.

Haciendo uso de (3-31)

ĺımn→∞

Kn−1(c, c)

Kn(c, c)= ĺım

n→∞

1

1 +p2n(c)

Kn−1(c, c)

= 1.

Si se hace uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la derivada con respecto a x del

kernel, entonces

|K(1,0)n−1 (c, c)|2 =∣∣∣∣ n−1∑i=0

p′i(c)pi(c)

∣∣∣∣2 6 K(1,1)n−1 (c, c)Kn−1(c, c),al aplicar ráız a ambos lados de la desigualdad y al despejar el kernel

|K(1,0)n−1 (c, c)|√K

(1,1)n−1 (c, c)

≤√Kn−1(c, c).

Como |pn(c)|Kn−1(c,c)

≥ 0, al multiplicar esto a ambos lados de la desigualdad anterior

|pn(c)|Kn−1(c, c)

|K(1,0)n−1 (c, c)|√K

(1,1)n−1 (c, c)

≤√Kn−1(c, c) ·

|pn(c)|Kn−1(c, c)

,

usando (3-31) y dado que

|pn(c)|Kn−1(c, c)

|K(1,0)n−1 (c, c)|√K

(1,1)n−1 (c, c)

≥ 0.

Entonces se concluye que

ĺımn→∞

|pn(c)|Kn−1(c, c)

|K(1,0)n−1 (c, c)|√K

(1,1)n−1 (c, c)

= 0.

Para concluir, se sigue de la ecuación (3-46), y de los ĺımites anteriores


ĺımn→∞

p2n−1(c;µ2)

Kn−2(c, c;µ2)> ĺım

n→∞

Kn−1(c, c)

Kn(c, c)·

(p′n(c)− (pn(c)/Kn−1(c, c))K(1,0)n−1 (c, c))

2

K(1,1)n−1 (c, c)

0 > ĺımn→∞

p′2n (c)

K(1,1)n−1 (c, c)

.

Puesto que p′2n (c)

K(1,1)n−1 (c,c)

≥ 0, se sigue que

ĺımn→∞

p′2n (c)

K(1,1)n−1 (c, c)

= 0.

Con lo cual se finaliza la demostración. �

Con las demostraciones anteriores expuestas en el presente caṕıtulo, ya se tienen los resul-

tados necesarios para probar la asintoticidad del cociente de ambos sistemas de polinomios

con c ∈ supp(µ). El siguiente teorema da dicha relación.

Teorema 3.4 Sea qn(x) = γ′nx

n+ · · · un sistema ortonormal de polinomios para el productointerno (3-4) y pn(x) = γnx

n + · · · un sistema ortonormal de polinomios con respecto a lamedida µ. Suponga que µ ∈M(0, 1) y c ∈ [−1, 1], entonces

ĺımn→∞

γ′nγn

= 1, (3-48)

y

ĺımn→∞

q′n(c)p′n(c) = 0. (3-49)

Además se tiene el comportamiento asintótico relativo

ĺımn→∞

qn(x)

pn(x)= 1, (3-50)

uniformemente para x sobre subconjuntos compactos de C \ supp(µ).

Demostración

Para demostrar (3-48), se parte de que

ĺımn→∞

γ′nγn

= ĺımn→∞

√√√√1 + λK(1,1)n−1 (c, c)1 + λK

(1,1)n (c, c)

,

para calcular el ĺımite a lado izquierdo se halla ĺımn→∞1+λK

(1,1)n−1 (c,c)

1+λK(1,1)n (c,c)

.

Usando (3-45)


ĺımn→∞

1 + λK(1,1)n−1 (c, c)

1 + λK(1,1)n (c, c)

= ĺımn→∞

1 + λK(1,1)n−1 (c, c)

K(1,1)n−1 (c, c)

1 + λK(1,1)n (c, c)

K(1,1)n−1 (c, c)

= ĺımn→∞

1

K(1,1)n−1 (c, c)

+λK

(1,1)n−1 (c, c)

K(1,1)n−1 (c, c)

1

K(1,1)n−1 (c, c)

+λK

(1,1)n

Sobre relaciones asint oticas de sistemas ortogonales tipo S...

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