Solución de Exámen

INGENIERÍA

SÍSMICA

Solución de dos ejercicios

Examen de la UNC

Elaborado por:

Alex Henrry Palomino Encinas

Teléfono:

971608814

Cajamarca – Perú

Universidad Nacional de Cajamarca Alex Henrry

Solución de dos Ejercicios Palomino Encinas

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UNC – 31/07/2012 GRUPO B

Dados los grados de libertad indicados del sistema estructural que se muestra en la Figura 1. Formule la ecuación diferencial de movimiento para la coordenada u. Considere que sobre la estructura se encuentra una masa concentrada de 𝑚 = 10 𝑡𝑜𝑛 ∙ 𝑠𝑒𝑔2/𝑚, una relación de amortiguamiento de 𝜉 = 7%. Si se considera al sistema vibrando en vibración libre, calcule los desplazamientos máximos si 𝑢0 = 5𝑐𝑚 y �̇�0 = 0. La columna inclinada 60° con la horizontal (Base) tiene una sección transversal de 30x50cm2. La columna vertical tiene una altura de 5mts y una sección transversal de 30x60cm2. El material es concreto armado con 𝑓𝑐

′ = 210 𝐾𝑔/𝑐𝑚2. Para calcular la rigidez lateral use el método directo de rigideces.

Figura 1. Gráfica para la solución del problema

Solución

1. Cálculo de la Matriz de Rigidez

1.1 Grados de Libertad

Primero debemos definir cuantos G.D.L existen, y de acuerdo a las condiciones del problema, no tenemos restricción alguna de ningún G.D.L, por lo tanto, la matriz de rigidez se define con los G.D.L mostrados en la Figura 2 y como se puede observar, existen 6 G.D.L, por lo tanto se tendrá una matriz de rigidez [𝐾] de 6x6.

Figura 2. Grados de Libertad



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1.2 Propiedades de las secciones (I, E & A) El área de la sección 𝐴 y Momento de Inercia 𝐼 de la columna inclinada y vertical se detallan a continuación en el siguiente cuadro:

Columna Vertical Columna Inclinada 𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ = 0.30𝑥0.60 = 0.18 𝑚2 𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ = 0.30𝑥0.50 = 0.15 𝑚2

𝐼 =𝑏 ∗ ℎ3

12=

0.3𝑥0.63

12= 0.0054 𝑚4 𝐼 =

𝑏 ∗ ℎ3

12=

0.3𝑥0.53

12= 0.003125 𝑚4

El módulo de Elasticidad 𝐸, de acuerdo a la sección 8.5.1 del ACI 318S 2008 es igual a:

𝐸 = 15000√𝑓𝑐′ = 15000√210 = 217370.6512

𝐾𝑔

𝑐𝑚2= 2173706.512

𝑇𝑛

𝑚2

1.1 Ensamblaje de la Matriz de Rigidez La matriz de rigidez la calculamos con la ayuda de una calculadora programable, quedando esta como se muestra a continuación:

[𝐾] =

[

9390.40

014456.2

0−1059.7

2817.1−14456.2

024277.4

4695.2−1059.7

02817.1

−1059.7−14456.2

4712.41059.7

1059.715583

612.5−24277.4

2356.23876.8

04695.2

24277.4−1059.7

612.52356.2

−24277.43876.8

120679.7612.5

612.514102.8]

2. Condensación Estática de la Matriz de Rigidez

Ahora que ya tenemos la matriz de rigidez [𝐾] de la estructura, lo que nos queda es condensarla al grado de libertado mostrado en la Figura 1, que es condición del problema, por lo tanto, de los G.D.L mostrados en la Figura 2 vemos que se hará la condensación estática al G.D.L 4, siendo esta la rigidez lateral [𝐾]𝐿 de la estructura. El primer paso para condensar la matriz será pasar tanto la fila como la columna del G.D.L 4 a la primera fila y columna de la matriz de rigidez calculada en 1.3, quedando como se indica

[𝐾] =

[

15583−14456.2

−14456.214456.2

1059.7−1059.7

2817.10

−24277.424277.4

3876.8−1059.7

1059.72817.1

−1059.70

4712.40

09390.4

612.50

2356.24695.2

−24277.43876.8

24277.4−1059.7

612.52356.2

04695.2

120679.7612.5

612.514102.8 ]



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El segundo paso será definir las submatrices para el cálculo de [𝐾]𝐿, estas están separadas por las líneas de color naranja mostradas: [𝐾]𝐴𝐴 = [15583] [𝐾]𝐴𝐵 = [−14456.2 1059.7 2817.1 −24277.4 3876.8]

[𝐾]𝐵𝐴 =

[ −14456.21059.72817.1

−24277.43876.8 ]

[𝐾]𝐵𝐵 =

[ 14456.2 −1059.7 0 24277.4 −1059.7−1059.7

024277.4−1059.7

4712.40

612.52356.2

09390.4

04695.2

612.50

120679.7612.5

2356.24695.2612.5

14102.8]

Finalmente, aplicamos la siguiente fórmula para el cálculo de la rigidez lateral [𝐾]𝐿 de la estructura:

[𝐾]𝐿 = [𝐾]𝐴𝐴 − [𝐾]𝐴𝐵 ∙ [𝐾]𝐵𝐵−1 ∙ [𝐾]𝐵𝐴

Reemplazando datos se tiene que la rigidez lateral [𝐾]𝐿 es igual a:

[𝑲]𝑳 = [𝟗𝟑. 𝟒𝟏𝟒] (𝑻𝒏/𝒎)

3. Formulación de la Ecuación Diferencial de Movimiento

3.1 Propiedades Dinámicas de la Estructura

Las propiedades dinámicas de la estructura son: masa, período y frecuencia natural, amortiguamiento.

a) Masa: 𝑚 = 10 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑠𝑒𝑔2/𝑚

b) Frecuencia Natural: 𝜔𝑛 = √𝐾

𝑚= √

93.414

10= 3.057 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

c) Relación de Amortiguamiento: 𝜉 = 7%

4.1 Ecuación Diferencial de Movimiento La ecuación diferencial de movimiento para movimiento armónico amortiguado es:

𝑚 ∙ �̈� + 𝑐 ∙ �̇� + 𝑘 ∙ 𝑢 = 0 �̈� + 2𝜉𝜔𝑛�̇� + 𝜔𝑛

2𝑢 = 0 Reemplazando en esta ecuación los valores de 𝜔𝑛 𝑦 𝜉, se tendrá formulada la ecuación diferencial de Movimiento, quedando de la manera como se muestra:

�̈� + 2(0.07)(3.057)�̇� + 3.0572𝑢 = 0 �̈� + 𝟎. 𝟒𝟐𝟕𝟗𝟖�̇� + 𝟗. 𝟑𝟒𝟏𝟒𝒖 = 𝟎



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4. Cálculo de los Desplazamientos Máximos

Los desplazamientos máximos serán determinados de acuerdo a la ecuación:

𝑢(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [𝑢𝑜 cos𝜔𝐷𝑡 +�̇�𝑜 + 𝜉𝑢𝑜𝜔𝑛

𝜔𝐷sin𝜔𝐷𝑡]

𝜔𝐷 = 𝜔𝑛√1 − 𝜉2

Donde 𝑢𝑜 = 5𝑐𝑚 y �̇�𝑜 = 0 condiciones iniciales del problema, luego, reemplazando datos a la ecuación anterior se tiene la siguiente expresión:

𝑢(𝑡) = 𝑒−0.214𝑡[5 cos 3.05𝑡 + 0.351 sin 3.05𝑡]

𝜔𝐷 = 𝜔𝑛√1 − 𝜉2 = 3.057√1 − 0.072 = 3.050 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

Ahora, los desplazamientos máximos serán aquellos que se produzcan al completar cada ciclo de

oscilación 𝑇𝐷 =2𝜋

𝜔𝐷 de la masa concentrada, o alternativamente se puede determinar estos

máximos a un periodo 𝑇𝐷/2 que representa medio ciclo de oscilación.

Se tiene finalmente los desplazamientos máximos en el siguiente cuadro:

𝑡(𝑠𝑒𝑔) 𝑢(𝑡) 2.06 𝑢(2.06) = 3.217 𝑐𝑚 4.12 𝑢(4.12) = 2.070 𝑐𝑚 6.18 ⋮

𝑢(6.18) = 1.332 𝑐𝑚 ⋮



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UNC – 31/07/2012 GRUPO B

La estructura que se muestra en la Figura 2. La viga se considera infinitamente rígida en flexión y axial. Las columnas tienen una sección transversal de 40x60 cm². El material es de concreto armado con una resistencia a la compresión a los 28 días de 210 Kg/cm². El peso total sobre la viga es de 50 toneladas. Dado el grado de libertad indicado en el sistema estructural que se muestra en la Figura 2. Formule la ecuación diferencial de movimiento, si en la dirección del grado de libertad actúa una carga de 𝑃(𝑡) = 60 cos15𝑡 toneladas.

Figura 2.

Solución

1. Cálculo de la Rigidez Lateral

1.1 Determinamos E & I

Para el cálculo de la inercia de las columnas se considerará que estas están en posición de tal manera que se dé el mayor valor en la dirección de la carga mostrada.

𝐸 = 15000√𝑓′𝑐 = 15000√210 = 217370.6512𝐾𝑔

𝑐𝑚2= 2173706.512

𝑇𝑛

𝑚2

𝐼 =𝑏 ∙ ℎ3

12=

0.40 ∙ 0. 603

12= 0.0072 𝑚4



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1.2 Calculamos KL

La rigidez lateral KL estará representada solamente por la que representan las columnas, ya que, como la viga es infinitamente rígida en flexión y axial, entonces, solamente se tendrá un G.D.L, tal como se muestra en la Figura 2.1.

Figura 2.1. Deformada de la estructura.

[𝐾𝐿] = 3 ∗ [12𝐸𝐼

𝐿3]

[𝑲𝑳] = [𝟒𝟓𝟎𝟕. 𝟑𝟗𝟖]𝑻𝒏

𝒎

2. Formulación de la Ecuación Diferencial de Movimiento

La ecuación diferencial de movimiento que describe a un sistema bajo carga armónica es:

�̈� + 2𝜉𝜔𝑛�̇� + 𝜔𝑛2𝑢 =

𝑃𝑜

𝐾𝐿

𝜔𝑛2 sin𝜔𝑡

𝜔𝑛 = √𝐾𝐿

𝑚= √

4507.398 ∙ 9.80

50= 29.723

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔

Sabemos que: sin𝜔𝑡 = cos (𝜋

2− 𝜔) ∙ 𝑡 →

𝜋

2− 𝜔 = 15

∴ 𝜔 =𝜋

2− 15

Finalmente la ecuación diferencial de movimiento, para una relación de amortiguamiento similar al del problema anterior, estará dado por:

�̈� + 𝟒. 𝟏𝟔�̇� + 𝟖𝟖𝟑. 𝟒𝟓𝒖 = 𝟏𝟏. 𝟕𝟔 𝒔𝒊𝒏 (𝝅

𝟐− 𝟏𝟓) 𝒕

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