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Cinemática delPunto
Versión 04/09/2015
![Page 2: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/2.jpg)
FÍSICA GENERAL ITema 1: Magnitudes físicas. Unidades y medidasTema 2: Vectores y sistemas de vectoresTema 3: Estática de sistemasTema 4: Cinemática del puntoTema 5: Cinemática del sólido rígidoTema 6: Cinemática relativa del puntoTema 7: Dinámica del puntoTema 8: Trabajo y energía ITema 9: Trabajo y energía IITema 10: Movimiento del punto bajo fuerzas centralesTema 11: Dinámica del los sistemas ITema 12: Dinámica de los sistemas II Tema 13: Medios deformables ITema 14: Medios deformables II
Tema 4: Cinemática del punto • Velocidad y aceleración• Triedro intrínseco; fórmulas de
Frenet• Componentes intrínsecas de la
velocidad y la aceleración • Estudio de movimientos sencillos• Velocidad y aceleración en
coordenadas polares
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tr ttr
r
trvm
VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA
r dtrd
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t
0
lim
![Page 4: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/4.jpg)
tv
tvam
ACELERACIÓN MEDIA Y ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
v
dtvd
tva
t
0
lim
ttv
![Page 5: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/5.jpg)
i
j
ji
tytxtr
ji
tytxtv
ji
tytxta
r
![Page 6: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/6.jpg)
r
ruu
ttrtr ru
tttrttrtv uu r
u2u r2 rrrrta
![Page 7: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/7.jpg)
Un punto sigue una trayectoria que expresada en coordenadas polares es y . Calcular:
• la componente radial de la velocidad
• la componente acimutal de la velocidad
• la componente radial de la aceleración
• la componente acimutal de la aceleración
BtABtrtvr exp
BtABttrtv exp
0expexp 222 BtABBtABrrtar
)exp(20)exp(22 22 BtABBtABrrta
![Page 8: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/8.jpg)
i
k
j
kji
tztytxtr
kji
tztytxtv
kji
tztytxta
r
![Page 9: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/9.jpg)
zρ uu tzttr
r
ρu
u
zu zρ uuu
tzttttv
z
ρ2
uu2
u
z
ta
![Page 10: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/10.jpg)
Recta tangente
Pt
Plano osculador
Plano normalRecta normal principal
n
Plano rectificanteRec
ta b
inor
ma l
b
TRIEDRO INTRÍNSECO, FÓRMULAS DE FRENET Y VECTOR DE DARBOUX (1)
![Page 11: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/11.jpg)
Recta tangente
tPlano osculador
Plano normalRecta normal principal
n
Plano rectificanteRec
ta b
inor
ma l
b
TRIEDRO INTRÍNSECO, FÓRMULAS DE FRENET Y VECTOR DE DARBOUX (2)
tA
tB
l
tB
tB - tA
tb
ndlbd
tbdlnd
ndltd
lC
l
0
lim1
nbdlbd
tbndlnd
ntdltd
![Page 12: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/12.jpg)
tA
nA
bB
TRIEDRO INTRÍNSECO, FÓRMULAS DE FRENET Y VECTOR DE DARBOUX (3)
tb
nbdlbd
tbndlnd
ntdltd
AB
tB
nBbA
bAbB
0
1 lims
Ts
![Page 13: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/13.jpg)
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Marcha
v vt
2
t ndv va a t a n t ndt
aan
at
a
an
atn
![Page 14: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/14.jpg)
2
cossin
ptz
tRtytRtx
0ta
0
sin
cos2
2
tztRty
tRtx
-0.50
0.51-0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2 2
2222222
4 pRzyxv
El módulo de la velocidad es
constante
naRzyxa 2222
RpR
av
n2
22
4
Un punto sigue la trayectoría helicoidal dada por las ecuaciones
tptz
tRtytRtx
2
sincos
donde R, p y son constantes. Encontrar las aceleraciones tangencial y normal y el radio de curvatura de flexión de la trayectoria para cualquier instante de tiempo.
![Page 15: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/15.jpg)
1. Un proyectil sigue una trayectoria parabólica dada por las ecuaciones (m), (m). Calcular:
las aceleraciones tangenciales y normales del proyectil para los valores del tiempo 1s, 2s y 3s. (1.5 p)
la ordenada máxima que alcanza el proyectil (0.5 p) el radio de curvatura de la trayectoria en el punto de ordenada máxima (1 p)
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2520
10
ttty
ttx
ttytx
102010
10
0
tytx
21020100
j1020i10tt
t
200j10i10)1(t
s
200j10i10)3(t
s
i)2(t
s
t
aat
252001001
sat
25200
1003 sat
02 sat
j10
a
22tn aaa
251 san
253 san
102 san
10222
2
sasvs
n
![Page 17: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/17.jpg)
La trayectoria de un punto del perímetro de una rueda (CICLOIDE) es descrita por las siguientes ecuaciones paramétricas en función del tiempo expresadas en metros:
Tras el instante inicial, cuando la ordenada del punto es un metro por primera vez, calcule las aceleraciones tangencial y normal y el radio de curvatura de la trayectoria.
tty
tttxcos1sin
tty
ttxsin
cos1
tty
ttxcossin
El punto alcanza por primera vez la ordenada 1 en t=(/2) s
ji2
v 2v ji
21
2
t
i2
a
21
2
taat
2
12
22
tn aaa
m828.2222
2
nav
![Page 18: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/18.jpg)
La trayectoria de un punto de una rueda de radio R situado a una distancia R/2 de su centro es descrita por las siguientes ecuaciones paramétricas en función del tiempo, siendo la velocidad angular de rodadura:
En el instante inicial t=0, el punto tiene coordenadas cartesianas (0,R/2). Calcule para el instante en el que el punto alcanza por primera vez su máximo valor de ordenada:
• Las coordenadas del punto.
RtRy23cos
211max
1t
1t
t0 =0 t1=/
Rty
Rtx
23
1
1
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t0 =0 t1=/
• Las aceleraciones tangencial y normal del punto.
tRty
tRtx
sin21
cos211
tRty
tRtx
cos21
sin21
2
2
023
1
1
ty
Rtx
21
1
21
0
Rty
tx
i
t 0 taat
2
21 Ran
• El radio de curvatura de la trayectoria.
R
av
n 29
//2
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Un punto recorre una circunferencia de radio 2 m partiendo del reposo y con una aceleración tangencial constante igual a 10 m/s2. Para el instante en que pase por vez primera por la posición inicial. Calcule:• El tiempo transcurrido Rtats t 2
21 2 s58,14
taRt
• La velocidad 1sm8,15 tatv t
• El módulo de la aceleración
]sm06,126][sm21,125[ 2222
2
Rvata t
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ECUACIONES INTRÍNSECAS DE LA DINÁMICA (1)
bnt
bnt FFFF
nt2 v
dtdva amF
ntbnt2
vm
dtdvmFFF bnt
0
2
b
n
t
F
vmF
dtdvmF
![Page 22: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/22.jpg)
CÁLCULO DE LA REACCIÓN NORMAL EN EL PUNTO MÁS ALTO DE UN CARRIL CIRCULAR POR EL QUE SE DESLIZA SIN ROZAMIENTO UN GRAVE DE DIMENSIONES DESPRECIABLES
R
pn
H
0
2
b
n
t
F
vmF
dtdvmF
2vmFn RvmmgN B
B
2
RmgmvmgH BA 221 2
52
RHmgN A
B
![Page 23: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/23.jpg)
R
p
n
2R
CÁLCULO DE LA REACCIÓN NORMAL DE UN CARRIL CIRCULAR POR EL QUE SE DESLIZA SIN ROZAMIENTO UN GRAVE DE DIMENSIONES DESPRECIABLES
0
2
b
n
t
F
vmF
dtdvmF
2vmFn RvmmgN B
B
2
sin sin212 2 RRmgmvRmg B
sin32 mgNB
![Page 24: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/24.jpg)
R
p
n
2R
CÁLCULO DE LA REACCIÓN NORMAL DE UN CARRIL CIRCULAR POR EL QUE SE DESLIZA SIN ROZAMIENTO UN GRAVE DE DIMENSIONES DESPRECIABLES (2)
sin32 mgNB
![Page 25: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/26.jpg)
CINEMÁTICA DEL PUNTO
MOVIMIENTO ARMÓNICO (1)
tAtx sen
A
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CINEMÁTICA DEL PUNTO
MOVIMIENTO ARMÓNICO (2)
T = 0.5 s
f = 2 Hz
T = 1 s
f = 1 Hz
T = 2 s
f = 0.5 Hz
fT 1
tAtx sen
![Page 28: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/28.jpg)
MOVIMIENTO ARMÓNICO (3)
CINEMÁTICA DEL PUNTO
Tf 22
= 2 rad/s
f = 1 ciclo/s
tT
Asen
ftAsentAsentx
22
![Page 29: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/29.jpg)
MOVIMIENTO ARMÓNICO (4)
CINEMÁTICA DEL PUNTO
tAtx sen
= 0
= /4
= /2
= 3/4
1/8 s
1/4 s
3/8 s
21
t
![Page 30: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/30.jpg)
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS DE LA MISMA FRECUENCIA EN FASE, OPOSICIÓN Y CUADRATURA
CINEMÁTICA DEL PUNTO
1=0
2=0
1=0
2=
1=0
2=/2
=1=2
=1 o 2
=1+atan(A2/A1)
EN FASE
EN OPOSICIÓN
EN CUADRATURA
![Page 31: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/31.jpg)
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS DE FRECUENCIAS PARECIDAS: PULSACIONES (1)
CINEMÁTICA DEL PUNTO
T1=1 s
T2=1.5 s
T1=1 s
T2=1.1 s
T1=1 s
T2=1.01 s
A1= A2
1=2
ttA
tAtAtx
2cos
2sen2
sensen
2121
21
![Page 32: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/32.jpg)
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS DE FRECUENCIAS PARECIDAS: PULSACIONES (2)
CINEMÁTICA DEL PUNTO
T1=1 s
T2=1.5 s
T1=1 s
T2=1.1 s
T1=1 s
T2=1.01 s
A1=0.75 m A2=0.25 m
1=2=0
![Page 33: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/33.jpg)
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (1)
tBtytAtx
sensen
CINEMÁTICA DEL PUNTO
A=2 B=1
=0 =133
22
2
2
2
sencos2ABxy
By
Ax
![Page 34: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/34.jpg)
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (2)
tBtytAtx
sensen
-
-
22
2
2
2
sencos2ABxy
By
Ax
![Page 35: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/35.jpg)
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (3)
tBtytAtx
2
1
sensen
CINEMÁTICA DEL PUNTO
2 = 31
-
-
![Page 36: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/36.jpg)
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (4)
tBtytAtx
2
1
sensen
CINEMÁTICA DEL PUNTO
-
-
2 = 1
![Page 37: Sprf](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103009/56d6bf621a28ab30169606ae/html5/thumbnails/37.jpg)
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (5)
Pantalla