Taller i Control No Lineal[1]
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TALLER I CONTROL NO LINEAL
1.0. Dado el siguiente sistema dinámico obtenga la representación de estados, verifique los puntos y tipos de equilibrio y su estabilidad para el sistema lineal. Verifique el retrato de fase del sistema no lineal y el explique comportamiento cualitativo del sistema:
ψ+ψ=ζ⋅ψ (1−ψ2−ψ2)ζ ∈R
j [ x , y ]=[ 0 1−2 ζ xy−1 ζ−ζx2 y−3 ζx2 ]j [0,0 ]=[ 0 1
−1 ζ ]Cuandoζ=0x= yy=0 y−0 x2 y−0 y3−x
Control no Lineal
Taller No 1. Análisis cualitativo de Sistemas no lineales Nelly Paola Fonseca Jamaica 20081283010
Edwin L. Márquez Sandoval 20091283016
(Marzo de 2010)
x1=ψx2=ψx= yy=ζ⋅y (1−x2− y2)−x=ζy−ζx2 y−ζy3−x
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = - x
-15 -10 -5 0 5 10
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t
x
Cuandoζ=1x= yy=1 y−1 x2 y−1 y3−x
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = y - y x2 - y3 - x
-5 0 5 10 15 20 25
-1
-0.5
0
0.5
1
t
x
Cuandoζ=−1x= yy=−1 y+1 x2 y+1 y3−x
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = - y + x2 y + y3 - x
-25 -20 -15 -10 -5 0 5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
x
2.0.Dada la ecuación de Rayleigh, obtenga la representación de estado, verifique
los puntos y tipos de equilibrio, estabilidad para el sistema lineal. Verifique el
retrato de fase del sistema no lineal y explique comportamiento cualitativo.
x−ξ x(1− x2
3 )+x=0
Cuando
ξ=1ξ=0 .1
x1=xx2= x1
x2=ξx2(1−x223 )−x1x1= y
y1=ξy (1− y2
3 )−x
j [ x , y ]=[ 0 1
−1 ζ (1− y2 ) ]j [0,0 ]=[ 0 1
−1 ζ ]Si ξ=1 , entonces:
x1= y
y1= y−y3
3−x
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = y - ((y3)/3) - x
-5 0 5 10 15 20 25
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
x
Si ξ=0 .1 , entonces:
x1= y
y1=0 .1 y−0.1 y3
3−x
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = 0.1 y - ((0.1 y3)/3) - x
-40 -20 0 20 40 60 80 100
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
x
3.0. Para el siguiente sistema verificar que el origen es un equilibrio, linealize el sistema alrededor del origen e indique el tipo de equilibrio y la estabilidad del sistema lineal. Encuentre el retrato de fase del sistema no lineal (haga conversión a coordenadas polares):
x1=−x1−
x2ln√ x12+x22
x2=−x2+x1ln √ x12+x22x1=rcos θ
x2=r sinθ
r=√(x1+ x2 )
θ=Tan−1( x2x1)r 2=x1
2+x22
r r=x1 x1+x2 x21
cos2θθ=
x1 x2−x2 x1x12
r r=x1 (−x1−x2ln √x12+x22 )+x2(−x2+x1ln √ x12+x22 )
r r=− x12−x1 x2ln√ x12+x22
−x22+x2 x1ln √ x12+x22
r r=− x12−x2
2=−(x12+x22 )=−r2
r=−r
1
cos2θθ=
x1 (−x2+x1ln√ x12+x22 )−x2(−x1−x2ln √x12+ x22 )
x12
1
cos2θθ=
−x2 x1+x12
ln √x12+x22+ x2 x1+
x22
ln √x12+x22x12
1cos2θ
θ=
x12
ln √x12+x22+x22
ln √x12+x22x12
1
cos2θθ=
x12+x2
2
ln √x12+x22x12
=x12+x2
2
x12⋅ln √x12+x22
=r2
r2cos2θ⋅ln (r )
θ=r2
r2cos2θ⋅ln (r )⋅cos
2θ1
=1ln (r )
r=−r
θ=1ln (r )
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:
x ' = - x y ' = 1/(log(x))
0 100 200 300 400 500 600 700
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
t
x
j [0,0 ]=[ −1 0
−e
r 20 ]
Grafica de comportamiento en el punto (0,1) en el tiempo:x ' = - x y ' = 1/(log(x))
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
0
10
20
30
40
50
t
x
4.0. Verificar los puntos, tipos de equilibrio y estabilidad para el sistema lineal
x1=x2x2=x1−2 tan
−1( x1+x2)
j [ x , y ]=[ 0 1
1−2
1−( x+ y )2−
2
1−( x+ y )2 ]j [0,0 ]=[ 0 1
−1 −2 ]
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = x - 2 atan(x + y)
-2 0 2 4 6 8 10
0
5
10
15
20
25
30
t
x
5.0. El modelo de interacción o acción inhibitoria y ex_citatoria entre dos neuronas
biológicas esta dado por las ecuaciones siguientes, donde x1 es la salida de la
neurona ex_citatoria y x2 la salida de la neurona inhibitoria, la evolución de x1y x2 esta dada por:
j [ x , y ]=[−1+ 2e−λx1
(1+e−λx1)2− 2e
−λx2
(1+e−λx2)2
− 2e− λx1
(1+e− λx1)2−1+ 2e
− λx2
(1+e− λx2 )2]
j [0,0 ]=[−12 −12
−12
−12
]r r=x1 (−1τ x1+tanh ( λx1 )−tanh( λx2 ))+x2(−1τ x2+ tanh( λx1)−tanh ( λx2 ))r r=−1
τx12+x1⋅tanh ( λx1 )−x1⋅tanh ( λx2)−
1τx22+x2⋅tanh ( λx1)− x2⋅tanh( λx2)
r r=−1τ ( x12+x22)+ tanh ( λx1 )( x1+x2 )− tanh( λx2)( x1+x2 )
x1=−1τx1+ tanh( λx1 )−tanh( λx2 )
x2=−1τx2+ tanh( λx1 )−tanh( λx2 )
tanh( λx1)=1−e
−λx1
1+e−λx
1
r r=−1τ
( x12+x22)+( x1+x2 )( tanh( λx1 )− tanh( λx2 ))
r r=−( x12+x22)τ
+(x1+x2 )(1−e−λx11+e−λx
1−1−e
−λx2
1+e− λx
2 )r r=−
( x12+x22 )τ
+(x1+ x2 )((1−e−λx1) (1+e−λx2 )−(1−e− λx2) (1+e−λx1 )
(1+e−λx1) (1+e−λx2 ) )r r=−
( x12+x22 )τ
+(x1+ x2 )(−2e−λx1+2e
−λx2
(1+e−λx1) (1+e−λx2 ) )
r r=−(r2)τ
+2 r (cosθ+sin θ )(−e− λcosθ+e− λ sin θ(1+e−λcos θ) (1+e− λ sin θ) )r=−r
τ+2( cosθ+sin θ )(−e
− λrcos θ+e− λrsin θ
(1+e− λrcos θ) (1+e−λr sinθ ) )
1
cos2θθ=x1 (−1τ x2+ tanh( λx1)−tanh( λx2 ))−x2(−1τ x1+ tanh( λx1 )−tanh( λx2 ))x12
1
cos2θθ=
−x1 x2τ
+ x1⋅tanh( λx1)−x1⋅tanh( λx2)−x1x2τ
−x2⋅tanh( λx1 )+x2⋅tanh( λx2 )
x12
1cos2θ
θ=−2x1 x2τ
+( x1−x2)⋅tanh ( λx1 )−( x1−x2 )⋅tanh( λx2)
x12
1cos2θ
θ=
−2x1 x2τ
+( x1−x2)⋅[1−e−λx11+e− λx1
−1−e− λx
2
1+e− λx2 ]
x12
1
cos2θθ=
−2 r2 senθ cosθτ
+2 r ( cosθ−senθ )⋅(−e−λrcosθ+e− λr sin θ
(1+e−λrcosθ ) (1+e− λr sin θ ) )r2 cos2θ
θ=
−2 rsenθ cosθτ
+2 (cos θ−senθ )⋅(−e− λrcosθ+e− λr sin θ
(1+e− λrcosθ ) (1+e− λr sin θ ) )r
Grafica en el punto (0,0):
x ' = - x + ((1 - exp( - x))/(1 + exp( - x))) - ((1 - exp( - y))/(1 + exp( - y)))y ' = - y + ((1 - exp( - x))/(1 + exp( - x))) - ((1 - exp( - y))/(1 + exp( - y)))
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
0
5
10
15
20
25
t
x
Para
λ=12
τ=1
Paraτ=1λ=2
Grafica en el punto (0,0)x ' = - x + ((1 - exp( - 4 x))/(1 + exp( - 4 x))) - ((1 - exp( - 4 y))/(1 + exp( - 4 y)))y ' = - y + ((1 - exp( - 4 x))/(1 + exp( - 4 x))) - ((1 - exp( - 4 y))/(1 + exp( - 4 y)))
-1 0 1 2 3 4 5 6
-8
-6
-4
-2
0
t
x
6.0. El modelo de sístole y diástole cardiaca(Oscilador van del pol) es dado por las siguientes ecuaciones, en donde x representa la variación de longitud de la fibra muscular cardiaca, v estimulo cardiaco y µ>0 un parámetro del sistema:
x=v−μ(x23 −x)v=−x
μ=0x=vv=−x
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = - x
-10 -5 0 5 10
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
t
x
μ=−0 .5
x=v+0 .5⋅x2
3−0 .5⋅x
v=−x
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:
x ' = y + ((0.5 x2)/3) - 0.5 xy ' = - x
0 5 10 15
-40
-30
-20
-10
0
10
t
x
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y + ((x2)/3) - xy ' = - x
-4 -2 0 2 4 6 8 10-40
-30
-20
-10
0
t
x
μ=−1
x=v+ x2
3−x
v=−x
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y + ((x2)) - xy ' = - x
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-40
-30
-20
-10
0
t
x
7.0. Encuentre el tipo de bifurcaciones del sistema para el caso µ1=0 V µ2 cuando este varia.
j [ x , y ]=[ 1 03x2+2xy μ2+x
2 ]
j [0,0 ]=[1 00 μ2 ]
μ=−3x=v+ x2−xv=−x
x= yy=μ1x+μ2 y+x
2−x2 y
μ1=0 μ2=−1x= yy=−1 y+x2−x2 y
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:
x ' = y y ' = - y + x2 - y x2
-5 0 5 10 15-5
-4
-3
-2
-1
0
t
x
μ1=0 μ2=0x= yy=x2−x2 y
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:
x ' = y y ' = x2 - y x2
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30
0
5
10
15
20
25
t
x
μ1=0 μ2=1x= yy= y+x2−x2 y
Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:
x ' = y y ' = y + x2 - y x2
-15 -10 -5 0 5 10 15
0
2
4
6
8
10
12
14
16
t
x
8.0. Linealize el sistema de tanque cilíndrico (sistema de primer orden) para régimen turbulento alrededor del punto de equilibrio (punto de operación del sistema) cuando , con un valor de restricción en el caudal de salida de y
un valor de capacitancia fluidica C=3.k=2h0=1
(qi−q0 )dt=dv
ℜe>4000 (regimenturbulento )→q=Rh12
ℜe<4000 (regimenlamin ar )→q=Rh
v=πr2hdvdt
=πr 2dhdt
qs ( t )
q i( t )
h( t )
Como πr2=C=3, reemplazando en la anterior ecuación tenemos que:
3dhdt
+12(2)
12=q
Linealizando la ecuación, tenemos que:
3dhdt
+0.7071=q
y− y0=∂ f∂ x
|0Δx
q=Rh12→dq=1
2Rh0
12 dhdt
(q i−Rh12 )=πr2dh
dt
πr2dhdt
+Rh12=q i h0=1
πr2dhdt
+12Rh
12=qi